Основы теории испытаний ЭС.Некоторые понятия теории вероятностей. Выборочный метод испытаний

Испытания ЭС Лекция 4 Основы теории испытаний ЭС. Некоторые понятия теории вероятностей. Выборочный метод испытаний Понятия теории вероятностей • • • • • • • Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при определенном комплексе условий, тесно связанном с возможностью появления события. Предположим, что сдается партия изделий, состоящая из N образцов. Заранее известно, что в ней имеется D дефектных изделий. ероятность извлечения из этой партии дефектного образца Q = D/N (2.1) Вероятность извлечения из N образцов одного бездефектного P=1-Q=(N-Q)/N (2.2) Очевидно, что значения Q и Р для данной партии изделий постоянны и определяются числом D дефектных изделий в партии. Величины Q и P называют генеральными характеристиками. Если в сдаваемой партии дефектные изделия отсутствуют (D = 0), то, согласно (2.2), вероятность извлечения бездефектного изделия P = 1. Такое событие называют достоверным. Если же партия состоит только из дефектных изделий ( D = N ), то, согласно (2.2), вероятность извлечения бездефектного изделия P = 0. Такое событие в противоположность достоверному называют невозможным. На практике чаще приходится иметь дело с так называемыми «практически невозможными» и «практически достоверными» событиями. Практически невозможным событием называется событие, вероятность которого близка нулю, а практически достоверным – событие, вероятность которого близка единице. 2 Понятия теории вероятностей • • • • • • • • • Предположим, что методом случайного отбора из сдаваемой партии изделий составлена выборка (часть изделий, отобранных из общей совокупности для получения информации о всей массе изделий) объемом n. После проверки выяснилось, что из n изделий в выборке d изделий оказались дефектными. Доля дефектных изделий в выборке, взятой из партии, q = d/n (2.3) называется статистической вероятностью дефектных изделий в выборке. Статистическая вероятность бездефектных изделий в выборке P=1-q=(n-d)/n (2.4) Величины q и p называют выборочными характеристиками. Предположим, что в партии изделий производят замер какого-либо параметра, конкретное значение xi которого для каждого изделия является случайным. Число повторяющихся значений обозначают через mi и называют абсолютной частотой или статистическим весом, а сам ряд значений случайной величины – статистическим рядом. Среднее арифметическое значение ряда, где каждое значение случайной величины встречается только один раз: Среднее взвешенное значение ряда: 3 Понятия теории вероятностей • • • Медиана случайной величины приходится на середину упорядоченного ряда. Характеристики, описывающие рассеивание случайной величины вокруг среднего значения. Размах Rmax=Xmax+Xmin; Выборочная дисперсия: • Взвешенная выборочная дисперсия: • Среднеквадратическое отклонение: • Коэффициент вариации: V=(s/x) 100% • 4 Понятия теории вероятностей • Для характеристики среднего положения случайной величины в генеральной совокупности служит математическое ожидание случайной величины (M[X]), которое иногда называют генеральным средним арифметическим. Оно может быть получено следующим образом. Пусть случайная величина X принимает дискретные значения x1,x2,x3…xi…xn с соответствующими вероятностями p1,p,p3…pi…pn. Тогда • • С учетом получаем Следует заметить, что если выборочное среднее арифметическое значение всегда содержит элемент случайности, то математическое ожидание – величина постоянная для данной генеральной совокупности (например, сдаваемой партии изделий). 5 Понятия теории вероятностей • • Дисперсия случайной величины X в генеральной совокупности для случая, когда значения X в генеральной совокупности не повторяются • и при повторяющихся значениях X: • Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Соответственно и распределения их вероятностей описываются законами распределения дискретных или непрерывных случайных величин. Пример дискретной случайной величины – число изделий в выборке, параметры которых не отвечают тем или иным требованиям. Это число дефектных изделий может быть только целым. Пример непрерывной случайной величины – время работы изделия до отказа, которое может принимать как целые, так и дробные значения. 6 Композиция и суперпозиция распределений случайных значений • • • • При проведении испытаний ЭС и обработке их результатов часто встречаются с композицией и суперпозицией распределений. Остановимся на этих понятиях более подробно. Пусть имеется ряд независимых случайных величин х1,х2,х3…хi…xn с плотностями вероятностей f(x1), f(x2), f(x3)…f(xn). Плотность вероятности – отношение вероятности попадания значений случайной величины в заданный интервал к длине интервала. Просуммировав указанные величины, получим новую случайную величину Y=x1+x2+x3+…+xn, с плотностью вероятности f(Y). Закон распределения случайной величины Y называется композицией законов распределения случайных величин х1,х2,х3…хi…xn. 7 Композиция распределений • • • • • • • • • • • • Рассмотрим общие и частные свойства композиции распределений. Общие св-ва не зависят от вида законов распределения случайных величин, составляющих композицию: 1. Математическое ожидание случайной величины Y равно арифметической сумме математических ожиданий случайных величин, законы распределения которых составляют композицию распределений: M[y]=M[x1]+M[x2]+…+M[xn]. 2. Дисперсия случайной величины Y равна арифметической сумме дисперсий случайных величин, законы распределения которых составляют композицию распределений: σ2[y]= σ2[x1]+ σ2[x2]+…+ σ2[xn]; Из этих свойств можно вывести два следствия: 1) с ростом числа n изделий в выборке коэффициент вариации убывает, а следовательно, мера точности возрастает пропорционально. 2) если имеются две (или более) случайные величины с резко отличными средними квадратическими отклонениями, то в композиции их распределений случайная величина с меньшей дисперсией практически не оказывает влияния на суммарную дисперсию. Композиция распределения встречается на практике при обобщении результатов испытаний нескольких выборок, взятых из различных партий изделий. 8 Суперпозиция распределений • • • • • • Предположим, что на испытания предъявляется партия, состоящая из N изделий. Из них для N1 изделий плотность вероятности случайной величины x составляет f1(x), а для N2 изделий – f2(x) В этом случае получается суперпозиция распределений f1(x) и f2(x): f(x)=w1f1(x)+w2f2(x), где w1=N1/N; w2=N2/N. M(x)=w1M1(x)+w2M2(x); σ2[x]=(w1 σ12[x]+w2 σ22[x]+w1w2{M1(x)-M2(x)}2; Суперпозиция распределений может иметь место, когда партию изделий, предъявляемых заказчику, комплектуют из однотипных изделий, изготовленных из различных партий сырья и полуфабрикатов или на различных технологических линиях. 9 Равномерное распределение 10 Нормальное распределение (Гаусса) Для нормального распределения значения, отличающиеся от среднего на число, меньшее чем одно стандартное отклонение, составляют 68,27 % популяции. В то же время значения, отличающиеся от среднего на два стандартных отклонения, составляют 95,45 %, а на три стандартных отклонения — 99,73 %. 11 12 Распределение Вейбулла • • • • Если величину X принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда: k < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем k = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем k > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем 13 Выборочный метод испытаний • • • Большинство методов испытаний ЭС являются либо разрушающими, либо значительно сокращающими технический ресурс изделий. Поэтому наиболее широкое применение в практике испытаний получил выборочный метод, который позволяет судить о всей генеральной совокупности изделий по взятой из нее выборке. Если изделия, входящие в выборку, в полной мере отражают характер и структуру генеральной совокупности, то такая выборка называется представительной или репрезентативной. Выборки классифицируют по ряду признаков, например по способу образования (повторные и бесповторные), по преднамеренности отбора (преднамеренные и случайные), по отношению ко времени образования (единовременные и текущие), по целевому назначению (расслоенные и общепроизводственные) и т. д. Выборочные характеристики, с помощью которых делают статистические выводы относительно генеральной совокупности, называют оценками генеральных характеристик. Так, при испытании ЭС с помощью выборочной характеристики q оценивают генеральную характеристику Q для партии изделий, из которых взята данная выборка, а выборочные среднее арифметическое x и среднее квадратическое отклонение s служат оценками математического ожидания M[x ] и дисперсии σ. 14 Выборочный метод испытаний • • • • • • • Чтобы дать представление о точности и надежности оценки числа D дефектных изделий в генеральной совокупности с помощью полученного значения числа d дефектных изделий в выборке, пользуются так называемыми доверительными границами. Вероятность нахождения оцениваемого параметра в доверительных границах называют достоверностью. Достоверность P является количественной характеристикой практически достоверного события и характеризует степень нашего доверия к анализируемым событиям. Обычно достоверность берется близкой единице: 0,9; 0,95; 0,99. Достоверность P называют односторонней, если она отражает степень нашего доверия к тому, что Q≥Qн или Q≤ Qв, где Qн и Qв – нижняя и верхняя доверительные границы. Двусторонняя достоверность P*отражает степень нашего доверия к тому, что Q нdдоп , то партия изделий заказчиком не принимается, так как она не удовлетворяет требованиям на надежность, которые оговариваются в ТУ на эти изделия. Наименьшее число отказавших изделий в испытываемой выборке, при котором результаты испытаний считаются отрицательными, называют браковочным числом C' . Наибольшее число отказавших изделий в испытываемой выборке, при котором результаты испытаний считаются положительными, называют приемочным числом C. 17 Определение объема выборки для испытаний партии продукции • Кривая зависимости вероятности ОП P приемки партии изделий по результатам испытания выборки объемом n от заданной вероятности Q отказа изделий в партии, из которой взята выборка, называется оперативной характеристикой плана контроля надежности изделий. 18