Основы теории деформированного состояния

Лекция №6 Основы теории деформированного состояния 6.1. Деформированное состояние в точке. Главные деформации Рисунок 1 - Деформируемое тело 1) Относительная линейная деформация: 2) Тензор малых деформаций, или тензором деформаций: 3) Для главных направлений тензор деформаций: При плоском напряженном состоянии деформации в некоторой плоскости на произвольной наклонной площадке можно выразить через главные деформации и угол наклона α следующим образом: Главные деформации можно выразить через произвольные деформации по двум взаимно перпендикулярным площадкам в виде: Положение главных площадок будет задаваться углом α, который определяется из выражения: 6.2. Обобщенный закон Гука при объемном напряженном состоянии Рисунок 2 - Деформация элемента тела Главные деформации, представляют собой относительные удлинения в главных направлениях Сложив эти величины, будем иметь Обобщенный закон Гука для изотропного тела, то есть зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае объемного напряженного состояния При этом угловые деформации на соответствующих площадках будут вычисляться как: где G – модуль сдвига. 6.3. Объемная деформация при сложном напряженном состоянии - объем элемента до деформации Объем элемента после деформации Относительное изменение объема: Средняя деформация в точке Выразив главные деформации через главные напряжения при помощи обобщенного закона Гука, получим Средняя напряжение в точке Закона Гука для объемной деформации: - модуль объемной упругости 6.4. Потенциальная энергия деформации при объемном напряженном состоянии Потенциальная энергия деформации (U) – это энергия, которая накапливается в теле при его упругой деформации. Удельная потенциальная энергия деформации (u) – это величина потенциальной энергии деформации, приходящаяся на единицу объема тела. где F и ∆l – значения усилия и удлинения в промежуточный момент нагружения. Удельная потенциальная энергия Суммируя потенциальную энергию деформации от каждого напряжения, получим: Удельная потенциальная энергия деформации элемента через главные напряжения Удельную потенциальную энергию рассматривают как состоящую из двух частей: 1) удельной потенциальной энергии изменения объема uv, то есть энергии, накапливаемой за счет изменения объема V рассматриваемого элементарного объема (одинакового изменения всех его размеров без искажения его формы); 2) удельной потенциальной энергии формоизменения uф, то есть энергии, накапливаемой за счет изменения формы элементарного объема (расходуемой на превращение кубика в параллелепипед) Рисунок 4 Удельная потенциальная энергия деформации элемента в первом состоянии (А) равна: Удельная потенциальная энергия деформации элемента во втором состоянии (А0) равна Потенциальная энергия изменения объема при uф0 =0: Относительное изменение объема обоих кубиков одинаково: Следовательно, потенциальная энергия изменения объема у них также одинакова: Удельной потенциальной энергии изменения объема: Удельная потенциальная энергию формоизменения