Основы теории цепей

Министерство образования и науки Российской федерации ФГАОУ ВО «Севастопольский государственный университет» Институт радиоэлектроники и информационной безопасности КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине «Основы теории цепей» для студентов очной и заочной формы обучения направления подготовки 11.03.01 — «Радиотехника» и специальности 11.05.01 — «Радиоэлектронные системы и комплексы» Севастополь 2017 г. СОДЕРЖАНИЕ Лекция № 1 4 Тема 1. Теория линейных четырехполюсников 4 1.1. Классификация четырехполюсников 4 1.2. Системы уравнений четырехполюсника 5 Лекция № 2 8 1.3. Связь между A-параметрами и Y-параметрами четырёхполюсника 8 1.4. Входное и выходное сопротивления четырехполюсника 8 1.5. Характеристические параметры четырехполюсников 9 1.5.2. Характеристическая постоянная передачи четырехполюсника 11 Лекция № 3 12 Тема 2. Теория электрических фильтров 12 2.1. Основные определения и классификация электрических фильтров 12 2.2. Условие существования полосы пропускания реактивного фильтра 13 2.3. Частотные характеристики Т- образного и П-образного реактивных фильтров 15 Лекция № 4 17 2.4. Фильтры нижних частот типа k 17 Лекция № 5 21 2.6. Фильтр верхних частот типа k 21 2.7. Полосно-пропускающий фильтр типа k 23 Лекция № 6 26 2.8. Полосно-задерживающий фильтр типа k 26 2.9. Фильтры типа m 27 2.10. Активные электрические фильтры 28 Лекция № 7 31 Тема 3. Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными параметрами 31 3.1. Переходные процессы и вызывающие их причины 31 3.2. Принцип непрерывности и законы коммутации для реактивных элементов цепи 31 3.3. Цель и методы расчёта переходных процессов 32 3.4. Классический метод расчёта переходных процессов в линейных цепях 33 Лекция № 8 35 3.5 Переходный процесс в RC-цепи при скачкообразном изменении э.д.с. источника 35 Лекция № 9 38 3.6. Переходный процесс в RL–цепи при скачкообразном изменении э.д.с. источника 38 3.7. Переходный процесс в RC–цепи при включении источника гармонической э.д.с. 40 Лекция № 10 43 3.8. Переходный процесс в RL–цепи при включении источника гармонической э.д.с. 43 3.10. Переходный процесс в RLC–цепи при включении источника гармонической э.д.с 44 Лекция № 11 48 Тема 4. Операторный метод расчета переходных процессов 48 4.1. Преобразование Лапласа 48 4.2. Операторные схемы замещения линейных двухполюсников 49 4.3. Общая характеристика операторного метода анализа переходных процессов 52 Лекция № 12 53 4.4. Анализ переходного процесса в последовательной RC-цепи операторным методом 53 4.5. Анализ переходного процесса в последовательной RL-цепи операторным методом 54 4.6. Анализ переходного процесса в последовательной RLC-цепи операторным методом 55 Лекция № 13 57 Тема 5. Расчет переходных процессов методом наложения 57 5.1. Единичная ступенчатая функция и её свойства 57 5.2. Единичная импульсная функция и её свойства 58 5.3. Переходная и импульсная характеристики линейной цепи 59 Лекция № 14 61 5.4. Определение реакции цепи на монотонное воздействие по известной переходной характеристике цепи 61 5.5. Определение реакции цепи на монотонное воздействие по известной импульсной характеристике цепи 63 5.6. Определение реакции цепи на кусочно-непрерывное воздействие методом наложения 64 Лекция № 16 66 Тема 6. Цепи с распределенными параметрами 66 6.1. Понятие цепи с распределёнными параметрами 66 6.2. Первичные параметры длинной линии 67 6.3. Уравнение однородной длинной линии 68 Лекция № 16 71 6.4. Распределение напряжения падающей и отраженной волн вдоль длинной линии и его параметры 71 6.5. Граничные условия и коэффициент отражения длинной линии 72 6.6. Входное сопротивление длинной линии 74 Лекция № 17 75 6.7. Параметры и уравнения длинной линии без потерь 75 6.8. Режим бегущей волны 75 6.9. Режим стоячей волны 77 Лекция № 18 79 6.10. Режим стоячей волны при холостом ходе в конце линии 79 6.11. Режим стоячей волны при коротком замыкании в конце линии 80 6.12. Режим стоячей волны в линии, нагруженной реактивным сопротивлением 81 6.13. Режим смешанных волн 82 Лекция № 1 Тема 1. Теория линейных четырехполюсников 1.1. Классификация четырехполюсников Четырехполюсником называется часть электрическая цепь, рассматриваемая по отношению к любым двум парам её выводов, два из которых рассматриваются как вход четырёхполюсника, а два других — как его выход. Рис. 1.1. — Общий вид четырёхполюсника Четырехполюсник, состоящий только из линейных элементов, называется линейным. Если хотя бы один элемент четырехполюсника является нелинейный, то такой четырехполюсник называется нелинейный. Четырехполюсник, содержащий источники энергии, называется активным, а не содержащий — пассивным. Если активный четырёхполюсник содержит только независимые источники энергии, которые не компенсируют друг друга, о чем свидетельствует наличие напряжения хотя бы на одной из пар его выводов, после отсоединения четырёхполюсника от внешней цепи, то такой активный четырёхполюсник называется автономным. Если активный четырёхполюсник содержит только зависимые источники энергии, и после отсоединения от внешней цепи на его выводах нет напряжения, то такой активный четырёхполюсник называется неавтономным. Два четырехполюсника, взаимная замена которых не изменяет токов и напряжений во внешней цепи, называются эквивалентными. Если перемена местами входных 1 и 1’ и выходных 2 и 2’ выводов четырехполюсника не изменяет токов и напряжений во внешней цепи, то четырехполюсник является симметричным, в противном случае — несимметричным. Достаточным условием симметричности четырёхполюсника является симметрия его электрической схемы относительно поперечной оси А-А (рис. 1.2, б, в). Рис. 1.2 — Симметричные четырехполюсники В случае симметричного четырёхполюсника с помощью внешних измерений невозможно установить разницу между входными и выходными выводами. Если перемена местами входных 1 и 1’ и выходных 2 и 2’ выводов путём поворота четырёхполюсника относительно продольной оси на 180о не изменяет токи и напряжения во внешней цепи, то такой четырехполюсник называется уравновешенным (рис. 1.2, г); в противном случае четырёхполюсника является неуравновешенным. Достаточным условием уравновешенности четырёхполюсника является его симметрия относительно продольной оси. Если один из выводов четырёхполюсника является общим для входа и выхода, то такой четырехполюсник называется предельно неуравновешенным (рис. 1.2, б, в). Четырехполюсник называется обратимым, если отношение напряжения на входе к току на выходе не зависит от того, какая пара выводов четырёхполюсника является входом, а какая выходом. В противном случае четырехполюсник является не обратимым. Пассивные линейные четырехполюсники всегда являются обратимыми. Симметричные активные четырехполюсники всегда являются обратимыми, а несимметричные — необратимые. Далее будут рассматриваться только линейные, неавтономные четырёхполюсники. 1.2. Системы уравнений четырехполюсника Рассмотрим четырехполюсник (рис. 1.3) и зададим направления токов и напряжений на его входе , , и выходе , . Рис. 1.3 — Четырехполюсник Если две из четырех величин , , , рассматривать как независимые переменные, то для определения двух других переменных можно составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, решая которую можно найти эти переменные. В результате, можно составить шесть систем уравнений. Система уравнений четырёхполюсника с использованием Y-параметров Если за независимые переменные принять напряжения и , то можно составить систему уравнений с параметрами, имеющими размерность проводимости и называемыми Y-параметрами четырехполюсника: (1.1) где — входная проводимость при закороченном выходе; — передаточная проводимость при закороченном входе; — передаточная проводимость при закороченном выходе; — выходная проводимость при закороченном входе. Из определения Y-параметров видно, что они могут быть измерены, осуществляя поочередно режим короткого замыкания на входе и выходе четырехполюсника. Поэтому Y-параметр частот называют параметрами короткого замыкания. Система уравнений (1.1) четырехполюсника может быть записана в матричной форме , где — матрица проводимостей или Y-матрица. В случае обратимого четырехполюсника . (1.2) Откуда следует, что для обратимого четырехполюсника могут быть заданы только три независимых Y-параметра, поскольку чётвёртый однозначно определяется соотношением (1.2). В случае симметричного четырехполюсника наряду с равенством (1.2) выполняется условие . (1.3) В этом случае число независимых Y-параметров будет равно двум (например, и ), поскольку остальные параметры однозначно определяются соотношениями (1.2) и (1.3). Система уравнений четырёхполюсника с использованием Z-параметров Если за независимые переменные принять токи и , то можно составить систему уравнений четырёхполюсника с параметрами, имеющими размерность сопротивления и называемыми: Z-параметрами четырехполюсника: (1.4) где — входное сопротивление при разомкнутом выходе; — передаточное сопротивление при разомкнутом входе; — передаточное сопротивление при разомкнутом выходе; — выходное сопротивление при разомкнутом входе. Из определения Z-параметров следует, что они могут быть измерены, осуществляя поочередно режим холостого хода на входе и выходе четырехполюсника. Поэтому Z-параметр частот называют параметрами холостого хода. В матричном виде уравнения четырехполюсника с использованием Z-параметров будут иметь вид , где — матрица сопротивлений или Z-матрица. В случае обратимого четырехполюсника . (1.5) Откуда следует, что для обратимого четырехполюсника могут быть заданы независимо только три Z-параметра, поскольку чётвёртый однозначно определяется соотношением (1.5). В случае симметричного четырехполюсника наряду с равенством (1.5) выполняется условие . (1.6) В этом случае число независимых Z-параметров равно двум, поскольку остальные параметры однозначно определяются соотношениями (1.5) и (1.6). Система уравнений четырёхполюсника с использованием A-параметров Данный вид параметров применяется в случае, когда четырехполюсник рассматривается как промежуточное звено между источником энергии и сопротивлением нагрузки и необходимо проанализировать передачу электрической энергии через четырёхполюсник. Поэтому при определении A- параметров направление выходного тока четырёхполюсника выбирают обратным направлению, которое используют при определении Y- и Z-параметров (рис. 1.4). Рис. 1.4 — Направление напряжений и токов при определении A-параметров Если за независимые переменные принять выходное напряжение и выходной ток четырёхполюсника, то можно составить систему уравнений с параметрами, которые называются A-параметрами четырехполюсника: (1.7) где — величина обратная комплексному коэффициенту передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе; — величина обратная передаточной проводимости при закороченном выходе; — величина обратная передаточному сопротивлению при разомкнутом выходе; — величина обратная комплексному коэффициенту передачи по току при закороченном выходе. Если заданными величинами выбрать и то получим систему уравнений с параметрами, которые называются H-параметрами четырехполюсника: . Если заданными величинами положить и , то получим систему уравнений с параметрами, которые называются G -параметрами четырехполюсника: , . Если заданными считаем и , то получим систему уравнений с параметрами, которые называются B-параметрами четырехполюсника: , . Лекция № 2 1.3. Связь между A-параметрами и Y-параметрами четырёхполюсника Из второго уравнения системы (1.1) найдем входное напряжение четырёхполюсника . Подставляя полученное выражение в первое уравнение той же системы, получаем , где — определитель системы Y-параметров. Используя полученные выражения, составим систему уравнений: Сравнивая полученную систему уравнений с системой уравнений (1.3), находим выражения для А-параметров: ; ; ; . Тогда определитель системой уравнений (1.3) будет равен: . В случае обратимого четырехполюсника, у которого , получаем уравнение , (1.8) из которого следует, что только три A-параметра такого четырехполюсника могут быть заданы независимо, поскольку чётвёртый однозначно определяется с учётом трёх заданных параметров путём решения уравнения (1.8). В случае симметричного четырехполюсника, у которого и , и только два A-параметра четырёхполюсника могут быть заданы независимыми. Аналогичным образом определяется связь между любыми параметрами четырёхполюсника. На основании такой взаимосвязи составлены специальные таблицы с формулами пересчёта одних параметров четырёхполюсника в другие, которые приводятся в технической литературе. 1.4. Входное и выходное сопротивления четырехполюсника Рассмотрим четырехполюсник, нагруженный на выходе сопротивлением (рис. 1.5). Рис. 1.5 — Четырёхполюсник, нагруженный сопротивлением Найдем входное сопротивление нагруженного четырёхполюсника, используя систему A-параметров, . (1.9) В режиме короткого замыкания на выходе входное сопротивление с учётом ранее найденных выражений, связывающих A- и Y-параметров, . Аналогичным образом определим входное сопротивление в режиме холостого хода . Выходное сопротивления четырехполюсника можно рассматривать как входное сопротивление со стороны выводов 2, 2' при условии, что сопротивление нагрузки подключено к выводам 1, 1'. Решая систему уравнений с A-параметрами относительно величин и , получаем: ; . Тогда выходное сопротивление четырехполюсника с учётом определяется в виде . (1.10) В режиме короткого замыкания на входе четырехполюсника , а в режиме холостого хода . Полученные выражения позволяют рассчитать входное и выходное сопротивления четырехполюсника, зная его A- или Y-параметры. 1.5. Характеристические параметры четырехполюсников Кроме рассмотренных выше Y-, Z- и A-параметров четырехполюсников, которые называются первичными параметрами, в теории цепей используются вторичные параметры, к которым относятся характеристические сопротивления и характеристическая постоянная передачи. 1.5.1. Характеристические сопротивления четырехполюсника Различают входное и выходное характеристические сопротивления четырехполюсника, которые удовлетворяют следующим условиям. Входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного на выходе сопротивлением , равно , а выходное сопротивление четырехполюсника, нагруженного на входе сопротивлением , равно . Если четырехполюсник нагружен характеристическим сопротивлением, то такую нагрузку называют согласованным сопротивлением, а режим работы — согласованным режимом. Подставляя характеристические сопротивления в качестве сопротивления нагрузки в выражения (1.9) и (1.10), получаем ; (1.11) . (1.12) Преобразуем уравнения к виду: ; . Вычитая из первого уравнения второе , и преобразуя, находим: . Откуда ; . Подставив выражения для в формулу (1.12), получим уравнение: ; . Решая полученное уравнение, определяем входное характеристическое сопротивление . Аналогичным образом определяется выходное характеристическое сопротивление . С учётом ранее полученных выражений входное характеристическое сопротивления можно представить в виде среднего геометрического входных сопротивлений в режиме короткого замыкания и холостого хода , (1.13) а выходное характеристическое сопротивление в виде среднего геометрического выходных сопротивлений в указанных режимах работы . (1.14) Поскольку у симметричного четырехполюсника , то такой четырёхполюсник имеет одинаковые характеристические сопротивления . 1.5.2. Характеристическая постоянная передачи четырехполюсника Ранее было установлено, что для обратимого четырехполюсника определитель системы уравнений с A-параметрами удовлетворяем условию . С другой стороны из курса тригонометрии известно тождество , где — комплексная величина. Сравнивая два последних выражения, видно, что для обратимых четырехполюсников, величина , удовлетворяет следующим условиям: ; (1.15) . (1.16) В теории цепей величина называется характеристической постоянной передачи или просто постоянной передачи четырехполюсника. В общем случае характеристическая постоянная передачи является комплексной величиной . Анализ симметричного согласованного четырехполюсника, имеющего одинаковые характеристические сопротивления , показывает, что его комплексный коэффициент передачи по напряжению и характеристическая постоянная передачи связаны соотношением , (1.17) где , — модуль и аргумент комплексного коэффициента передачи. Из (1.17) следует, что вещественная часть характеристической постоянной передачи определяет изменение действующего значения (амплитуды) напряжения или тока, вносимое четырехполюсником и называется коэффициентом затухания четырехполюсника. Мнимая часть характеристической постоянной передачи , модуль которой равен фазовому сдвигу , вносимому четырехполюсником, называется коэффициентом фазы. Тогда собственное затухание и коэффициент фазы: ; . При использовании натурального логарифма собственное затухание измеряется в неперах (неп). Затухание 1 неп соответствует уменьшению амплитуды напряжения в число раз, равное основанию натурального логарифма . Фазовый коэффициент измеряется в радианах или градусах. На практике для оценки затухания обычно используется не натуральный, а десятичный логарифм. В этом случае затухание измеряется в белах (Б). Поскольку затухание 1 Б соответствует уменьшению напряжения на выходе четырехполюсника в 10 раз, то есть. достаточно большое, то более широкое применение находит оценка затухания в децибелах (дБ), которые в десять раз меньше бела (1 дБ = 0,1 Б). Лекция № 3 Тема 2. Теория электрических фильтров 2.1. Основные определения и классификация электрических фильтров Электрическим фильтром называется четырехполюсник, который пропускает электрические колебания в определённом диапазоне частот, и подавляет колебания в области частот вне этого диапазона. В качестве частотно-избирательных цепей фильтры находят широкое применение в различных электрических и радиотехнических устройствах. В России они были впервые использованы в 1880 г. военным инженером капитаном Игнатьевым для передачи по одной и той же двухпроводной линии связи телефонного и телеграфного сигналов. Диапазон частот, в пределах которого затухание фильтра мало, называют полосой пропускания фильтра, а остальная область частот, в которой затухание фильтра велико, называется полосой задерживания (затухания) фильтра. Идеальным фильтром называется фильтр, у которого в полосе пропускания затухание равно нулю (модуль коэффициента передачи равен единице ), а в полосе задерживания — затухание бесконечно велико (модуль коэффициента передачи равен нулю ). Фильтры классифицируются по различным признакам. 1. По взаимному расположению полос пропускания (ПП) и полосы задерживания (ПЗ) различают: фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосно-пропускающие фильтры (ПФ) и полосно-задерживающие фильтры (ЗФ). На рис. 2.1 показана АЧХ идеального ФНЧ, полоса пропускания которого составляет интервал . Рис. 2.1 — АЧХ идеального пассивного ФНЧ На рис. 2.2 показана АЧХ идеального ФВЧ, полоса пропускания которого составляет интервал . Рис. 2.2 — АЧХ идеального ФВЧ На рис. 2.3 изображена АЧХ идеального ПФ, полоса пропускания которого составляет интервал , ограниченный конечными значениями частоты, неравными нулю. На рис. 2.4 показана АЧХ идеального ЗФ, полоса задерживания которого составляет интервал , ограниченный конечными значениями частоты, неравными нулю. Рис. 2.3 — АЧХ идеального ПФ Рис. 2.4 — АЧХ идеального ЗФ 2. Различают пассивные фильтры, содержащие только пассивные элементы R, L, C и активные фильтры, которые содержат как пассивные, так и активные элементы (транзисторы, операционные усилители и т. п.). 3. По типу пассивных элементов, входящих в состав фильтров, различают следующие виды пассивных фильтров: реактивные фильтры, содержащие только реактивные элементы (LC-фильтры), безиндуктивные RC-фильтры, пьезоэлектрические фильтры и др. 4. По виду схем звеньев, из которых состоят фильтры, различают: Г-образные, Т-образные, П-образные, мостовые и др. 5. В зависимости от соотношения между сопротивлениями ветвей различают Г-образные фильтры типа k и типа m. Основными задачами теории фильтров являются: • определение условий, при которых фильтр может иметь полосу пропускания; • определение полосы пропускания фильтра; • определение частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ) фильтра. 2.2. Условие существования полосы пропускания реактивного фильтра В радиотехнических устройствах в качестве частотно избирательных цепей широкое применение находят пассивные фильтры, составленные из катушек индуктивности и конденсаторов, имеющих малые потери. Поскольку частотные характеристики таких фильтров близки к характеристикам фильтров, составленных из идеальных элементов, то целесообразно рассмотреть такие фильтры, что существенно упрощает анализ. Наиболее простую структуру имеет Г-образный фильтр (рис 2.5), который используется как звено для построения более сложных фильтров. Рис. 2.5 — Схема Г-образного фильтра Используя выражения (1.13) и (1.14), определим характеристические сопротивления Г-образного фильтра со стороны Т-плеча и П-плеча: ; (2.1) . (2.2) Путём последовательного соединения Г-образных фильтров могут быть построены Т-образные (рис. 2.6, а) и П-образные фильтры (рис. 2.6). а) б) Рис. 2.6 — Схемы Т–образного (а) и П–образного (б) фильтров Построенные Т-образный (рис. 2, а) и П–образный (рис. 2, б) фильтры являются симметричными. Определим характеристические сопротивления этих фильтров: ; . Полученные выражения совпадает с соответствующими характеристическими сопротивлениями Г-образного фильтра (рис. 2.5). Так как Т-образный и П-образный фильтры (рис. 2.6) представляет собой симметричный четырехполюсник, то их параметры удовлетворяют условиям ; . (2.3). Найдём параметр Т-образного фильтра (рис. 2.6, а) . (2.4) Аналогичный вид имеет параметр П-образного фильтра. Подставляя (2.2) в (2.1), получаем . (2.5) Соотношение (2.5) справедливо при любой частоте гармонического воздействия,. Полосой пропускания фильтра называется диапазон частот, в котором затухание, вносимое фильтром, равно нулю . В случае идеального согласования фильтра с нагрузкой в пределах полосы пропускания амплитуды напряжения и тока на входе и выходе реактивного фильтра без потерь должны быть одинаковыми. Хотя идеальное согласование реактивных фильтров на практике недостижимо, однако анализ согласованного режима работы позволяет определить характеристики фильтров, к которым следует стремиться при их разработке и настройке. Для того, чтобы в полосе пропускания затухание фильтра было равно нулю , необходимо, чтобы характеристическая постоянная передачи фильтра была мнимой величиной , подставляя которую в (2.3), получаем . (2.6). С учётом пределов изменения косинусоидальной функции , находим условие, которому должны удовлетворять сопротивления и Т-образного и П-образного фильтров в полосе пропускания, . Преобразуем полученное неравенство к более простому виду . (2.7) В теории фильтров неравенство (2.7) называется условием существования полосы пропускания. Из (2.7) следует, это условие выполняется, если сопротивления и являются мнимыми величинами , и имели разные знаки, что возможно только тогда, когда одно из сопротивлений имеет индуктивный характер, а другое — ёмкостной. На граничных частотах и полосы пропускания фильтра неравенство (2.7) преобразуется в систему уравнений: (2.8) решая которую, можно определить граничные частоты полосы пропускания фильтра. 2.3. Частотные характеристики Т- образного и П-образного реактивных фильтров При анализе четырёхполюсников было показано, что частотные зависимости затухания и коэффициента фазы следует рассматривать как АЧХ и ФХЧ четырёхполюсника. Проанализируем АЧХ и ФЧХ Т- образного и П-образного реактивных фильтров в полосе пропускания. При условии согласования фильтра с нагрузкой затухание фильтра в полосе пропускания равно нулю . (2.9) Проанализируем АЧХ и ФЧХ реактивного фильтра в полосе пропускания. При условии согласования фильтра с нагрузкой затухание фильтра в полосе пропускания равно нулю . (2.9) При этом коэффициент фазы должен удовлетворять условию пропускания (2.4), используя которое, находим (2.10) Для анализа АЧХ и ФЧХ реактивного фильтра в полосе задерживания подставим формулу разложения гиперболического косинуса в уравнение (2.3) . (2.11) Поскольку в реактивном фильтре отношение сопротивлений являются вещественной величиной, то, значит правая часть уравнения (2.11) является вещественной. Следовательно, левая часть этого уравнения также должна быть вещественной, что возможно при равенстве нулю мнимой составляющей этой части уравнения . Так как в полосе задерживания затухание фильтра , то . Тогда для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы . Отсюда следует, что в полосе задерживания фазовый коэффициент должен быть либо , либо . Поскольку при получаем , а при — , то выражение (2.9) можно записать в виде . Так как затухание может иметь только положительное значение, то АЧХ и ФЧХ фильтра в полосе задерживания будут иметь вид; ; (2.12) . (2.13) Знак коэффициента фазы определяется путем анализа фазового сдвига между входным и выходным напряжением фильтра. Значение коэффициента фазы свидетельствует о противофазности входного и выходного напряжений ФНЧ. Следует иметь в виду, что соотношения (2.1) — (2.13) справедливы для Т-образных и П-образных фильтров любого типа (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ЗФ). Лекция № 4 2.4. Фильтры нижних частот типа k Фильтром типа k называется такой фильтр, у которого произведение сопротивлений продольной и поперечной ветвей равно постоянной величине . Для построения ФНЧ типа k следует в продольную ветвь включить индуктивность, а в поперечные — емкость. Простейшим ФНЧ типа k является Г-образный фильтр, изображённый на рис 2.7, а. а) б) Рис. 2.7 — Простейший Г-образный ФНЧ типа k (а) и его эквивалентная схема на постоянном токе Действительно произведение сопротивлений ветвей такого фильтра , где — волновое сопротивление эквивалентного LC-контура, то есть . Проанализируем качественно работу Г-образный ФНЧ типа k в режиме холостого хода. На частоте , то есть на постоянном токе индуктивность эквивалентна короткому замыканию, и ёмкость — разрыву цепи. При этом эквивалентная цепь ФНЧ имеет вид, показанный на рис. 2.7, б. Затухание и коэффициент фазы такой цепи равны нулю. При увеличении частоты сопротивление продольной ветви увеличивается, поперечной ветви уменьшается. В результате, затухание цепи растёт с ростом частоты до бесконечности. На рис. 2.8 изображены Т-образный и П-образный ФНЧ типа k, составленные из Г-образных звеньев и нагруженные на характеристическое сопротивление, то есть работающие в согласованном режиме. а) б) Рис. 2.8 — Т-образный (а) и П-образный (б) ФНЧ типа k Подставляя в (2.8) сопротивления и , получаем уравнения: решая которые, находим граничные частоты полосы пропускания ФНЧ: . Поскольку характеристические сопротивления Т-образного и П-образного фильтров такие же, как сопротивления Г-образного фильтра со стороны Т-плеча и П-плеча, то определим эти сопротивления Г-образного фильтра (рис. 2.5), полагая и и подставляя их в (2.1) и (2.2): ; (2.12) . (2.13) где — волновое сопротивление эквивалентного LC-контура; — граничные частоты полосы пропускания ФНЧ; — нормированная частота. Примечание. Из (2.12) следует, что для ФНЧ справедливы соотношения , которые далее используются с целью упрощения полученных выражений. Следует отметить, что произведение характеристических сопротивлений (2.12), (2.13) рассматриваемого ФНЧ . Частотные зависимости модулей сопротивлений и ФНЧ типа k показаны на рис. 2.10. а) б) Рис. 2.9 — Частотные зависимости модулей сопротивлений (а) и (б) ФНЧ типа k В полосе пропускания и характеристические сопротивления и являются вещественными величинами, то есть имеют резистивной характер. Следовательно, в полосе пропускания входное сопротивление фильтра будет также иметь резистивный характер, и согласованный режим работы фильтр может быть получен с помощью нагрузки в виде резистора. В полосе задерживания, то есть при , характеристические сопротивления и являются мнимыми величинами. Причём сопротивление носит индуктивный характер (рис. 2.9, а), а сопротивление — ёмкостной (рис. 2.9, б). Поэтому в полосе задерживания эквивалентные схемы Т-образного и П-образного фильтров будут состоять только из реактивных элементов, а их входные и выходные напряжения и токи фильтра будут синфазны или в противофазны. Проанализируем частотные характеристики ФНЧ типа (рис. 2.18), работающих в согласованном режиме. В полосе пропускания затухание (АЧХ) и коэффициент фазы (ФЧХ) рассматриваемых фильтров определяется по формулам (2.9) и (2.10): ; . Эквивалентные схемы Т-образного и П-образного ФНЧ на нижней граничной частоте показаны на рис. 2.10. а) б) Рис. 2.10 — Эквивалентные схемы Т-образного (а) и П-образного (б) ФНЧ на частоте Нижняя граничная частота полосы пропускания соответствует режиму работы ФНЧ (рис. 2.1) на постоянном токе, при котором индуктивность представляет собой короткое замыкание, и ёмкость — разрыв цепи. В результате, на этой частоте затухание обоих схем (рис. 2.10) равно нулю . При этом коэффициент фазы также равен нулю . На верхней граничной частоте полосы пропускания с учётом (2.5)получаем . Так как , то полученное выражение сводится к уравнению , решениями которого являются и . Таким образом, в пределах полосы пропускания затухание ФНЧ типа k в согласованном режиме равно нулю, что свидетельствует о равенстве амплитуд (действующих значений) входных и выходных напряжений и токов. При этом характеристические сопротивления (2.12) и (2.13) являются вещественными величинами. Однако фазовый сдвиг между входным и выходным напряжениями зависит от частоты, достигая на частоте значения 180о. В полосе задерживания АЧХ и ФЧХ ФНЧ типа k в согласованном режиме работы определяется по формулам (2.12) и (2.13) соответственно; ; . Для определения знака коэффициента фазы проанализируем фазовые сдвиг между током и напряжением в элементах, например, Т-образного фильтра. В продольной ветви, имеющей индуктивное сопротивление, ток отстаёт от напряжения на 90о, а в поперечной ветви, имеющей ёмкостное сопротивление, напряжение отстаёт от её тока на 90о. Отсюда следует, что в полосе задерживания входное напряжение ФНЧ опережает выходное напряжение. Следовательно, в полосе задерживания коэффициент фазы . На рис. 2.11 показаны АЧХ и ФЧХ реактивного Т-образного и П-образного ФНЧ типа k в режиму согласованной нагрузки. Увеличение затухания в полосе задерживания объясняется тем, что с ростом частоты индуктивное сопротивление продольных ветвей увеличивается, а емкостное сопротивление поперечных ветвей уменьшается. Ранее было показано, что модуль и аргумент комплексного коэффициента передачи согласованного симметричного четырехполюсника связаны с коэффициентом затухания и коэффициентом фазы соотношениями: , (1.17), в соответствии с которыми АЧХ и ФЧХ Т-образного и П-образного ФНЧ типа k будут иметь вид, показанный на рис. 2.12. а) б) Рис. 2.11 — АЧХ (а) и ФЧХ (б) Т-образного и П-образного ФНЧ типа k в согласованном режиме работы Рис. 2.12 — АЧХ и ФЧХ Т-образного и П-образного ФНЧ типа k в согласованном режиме работы На рис. 2.14 сплошными линиями показаны АЧХ П–образного ФНЧ типа k при различных сопротивлениях активной нагрузки . Пунктирной линией изображена АЧХ, соответствующая режиму согласования. Рис. 2.14 — АЧХ П–образного ФНЧ типа k в рассогласованном режиме работы Видно, что наиболее близкой к АЧХ, соответствующей режиму согласования, является АЧХ фильтра, нагруженного сопротивлением, равное волновому сопротивлению . В случае АЧХ остается монотонной функцией, но её значения уменьшаются по сравнению с АЧЧ при , что объясняется уменьшением добротности LC-контура. В случае появляется максимум АЧХ на резонансной на частоте контура , что объясняется увеличением добротности контура. Лекция № 5 2.6. Фильтр верхних частот типа k Если в схемах ФНЧ типа k (рис. 2.8) поменять местами емкости и индуктивности, то они преобразуются в Т-образный и П-образный фильтры верхних частот (ФВЧ) типа k, изображённые на рис. 2.15. а) б) Рис. 2.15 — Схемы Т-образного (а) и П-образного (б) ФВЧ типа k Подставляя сопротивления и в систему уравнений (2.8), получаем: Решая уравнения, определяем граничные частоты полосы пропускания ФВЧ: , . Таким образом, ФВЧ должен задерживать колебания, частота которых меньше нижней граничной частоты и пропускать колебания с частотой больше . Подставляя сопротивления и в выражения (2.1) и (2.2), определим характеристические сопротивления Т-образного и П-образного ФВЧ: ; (2.14) . (2.15) где — волнового сопротивления эквивалентного LC-контура; — нормированная частота. Произведение характеристических сопротивлений (2.14), (2.15) ФВЧ типа k имеет такое же значение, как аналогичное произведение для ФНВЧ типа k. Частотные зависимости модуля сопротивлений и изображены на рис. 2.16. В полосе пропускания ФВЧ, то есть в диапазоне частот (), АЧХ и ФЧХ определяются по формулам (2.9) и (2.10): ; . Рис. 2.16 — Частотные зависимостей характеристических сопротивления Т-образного и П-образного ФВЧ типа k В полосе задерживания, то есть в диапазоне частот (), АЧХ и ФЧХ фильтра определяются выражениями (2.12) и (2.13): , . Для определения знака коэффициента фазы проанализируем фазовые сдвиг между током и напряжением в элементах, например, схему П-образного ФВЧ. В продольной ветви имеющей, имеющей ёмкостное сопротивление, ток опережает напряжение на 90о, а в поперечной ветви, имеющей индуктивное сопротивление, напряжение опережает ток на 90о. Следовательно, в полосе задерживания входное напряжение ФНЧ отстаёт от выходного напряжения. Поэтому в полосе задерживания коэффициент фазы На рис. 2.17 изображены АЧХ и ФЧХ фильтра верхних частот типа k. а) б) Рис. 2.17 — АЧХ (а) и ФЧХ (б) ФВЧ типа k в режиме согласованной нагрузки На рис. 2.18 показаны АЧХ ФВЧ типа k в рассогласованном режиме работы при различных сопротивлениях активной нагрузки . Пунктиром изображена АЧХ, соответствующая режиму согласованной нагрузки, наиболее близкой к которой является АЧХ фильтра, нагруженного сопротивлением . Параметры элементов L и C ФВЧ типа k, соответствующие заданным значениям граничная частота и сопротивление нагрузки рассчитываются аналогично параметрам L и C элементов ФНЧ (см. п. 2.5). Рис. 2.18 — АЧХ П–образного ФВЧ типа k при различных сопротивлениях нагрузки 2.7. Полосно-пропускающий фильтр типа k Анализ частотных характеристик колебательных LC-контуров показал, что по виду АЧХ контура соответствуют полосно-пропускающим фильтрам. Недостатком LC-контуров является невысокая частотная избирательность, обусловленная медленным нарастанием затухание в переходной полосе. В последовательном LC-контуре имеет место резонанс напряжений, при котором его сопротивление при отсутствия потерь равно нулю, а в параллельном LC-контуре — резонанс токов, при котором сопротивление контура при отсутствия потерь равно бесконечности. С учётом указанных свойств LC-контуров можно составить Г-образный реактивный полосно-пропускающий фильтр (ПФ) типа k, включив в его продольную ветвь последовательный контур с сопротивлением , а в поперечную ветвь параллельный контур с сопротивлением (рис. 2.19). Рис. 2.19 — Г-образный полосно-пропускающий фильтр типа k Рассмотрим работу ПФ в режиме холостого хода при условии, что резонансные частоты контуров одинаковы . На рис. 2.20 показаны эквивалентные схемы рассматриваемого фильтра на разных частотах. Поскольку на резонансной частоте последовательный контур эквивалентен короткому замыканию, а параллельный — разрыву цепи (рис. 2.20, а), то на этой частоте напряжение на выходе фильтра равно напряжению на его входе, и затухание фильтра равно нулю . а) б) в) Рис. 2.20 — Эквивалентные схемы Г-образного ПФ типа k на разных частотах На частотах больше резонансной частоты последовательный контур имеет индуктивное сопротивление, которое растет с ростом частоты, а параллельный контур — емкостное сопротивление, которое убывает с ростом частоты (рис. 2.20, б). Поэтому с ростом частоты затухание фильтра будет увеличиваться. На частотах характер реактивного сопротивления контуров изменяется на противоположный, что будет также вызывать увеличение затухания фильтра, но уже при уменьшении частоты (рис. 2.20, в). Поэтому в данном диапазоне частот поведение фильтра эквивалентно поведению фильтра верхних частот в полосе задерживания. На рис. 2.21 изображены электрические схемы Т-образного и П-образного полосно-пропускающих фильтров типа k, составленные из Г-образных звеньев (рис. 2.19) и нагруженные характеристическими сопротивлениями. а) б) Рис. 2.21 — Т-образный (а) и П-образный (б) полосно-пропускающие фильтры типа k Проанализируем качественно зависимость затухания Т-образного полосно-пропускающего фильтра (рис. 2.21, а) от частоты при работе фильтра в режиме холостого хода при условии, что все контура настроены на одну и ту же частоту Эквивалентные схемы фильтра на разных частотах показаны на рис. 2.22. На резонансной частоте последовательные контура эквивалентны короткому замыканию, а параллельный контур — разрыву цепи (рис. 2.23, а). При этом напряжение на выходе фильтра будет равно напряжению на его входе, а затухание коэффициент фазы фильтра будут равны нулю и , что эквивалентно наличию у фильтра полосы пропускания. На частоте последовательные контура имеет индуктивное сопротивление, а параллельный контур — емкостное (рис. 2.22, б). Поэтому с ростом частоты затухание фильтра будет увеличиваться. На частотах характер реактивных сопротивлений контуров изменяется на противоположный (рис. 2.22, в), что будет также вызывать увеличение затухания фильтра, но уже при уменьшении частоты. Частотная зависимость затухания П-образного полосно-пропускающего фильтра (рис. 2.21, б) в режиме холостого хода имеет такой же характер, как у Т-образного фильтра. а) б) в) Рис. 2.22 — Эквивалентные схемы Т-образного полосно-пропускающего фильтра типа k на разных частотах в режиме холостого хода Поскольку в полосе задерживания затухание полосно-пропускающего фильтра на частотах изменяется аналогично затуханию ФНЧ, а на частотах — аналогично затуханию ФВЧ эквивалентны, то АЧХ и ФЧХ полосно-пропускающего фильтра в согласованном режиме работы можно построить, используя частотные характеристики ФНЧ (рис. 2.12) и ФВЧ (рис. 2.17). Результат такого построения показан на рис. 2.23. Рис. 2.23 — АЧХ и ФЧХ полосно-пропускающего фильтра типа k в режиме согласованной нагрузки Полоса пропускания полосно-пропускающего фильтров располагается в окрестности резонансной частоты в диапазоне частот , где и нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания. В диапазонах частот и , то есть слева и справа от полосы пропускания, располагается полоса задерживания. Лекция № 6 2.8. Полосно-задерживающий фильтр типа k Если в полосно-пропускающих фильтрах типа k (рис. 2.21) поменять местами параллельные и последовательные контура, то эти фильтры преобразуется в полосно-задерживающие, работающие в режиме согласованной нагрузки (рис. 2.24). а) б) Рис. 2.24 — Т-образный (а) и П-образный (б) полосно-задерживающие фильтры типа k Чтобы убедится в указанном выше преобразовании вида фильтров, проанализируем качественно частотную зависимость затухания Т-образного фильтра (рис. 2.24, а) в режиме холостого хода () при условии, что LC-контура фильтра настроены на одну и ту же частоту . Эквивалентные схемы рассматриваемого фильтра в режиме холостого хода на разных частотах показаны на рис. 2.25. Рис. 2.25 — Эквивалентные схемы Т-образного полосно-задерживающего фильтра типа k на разных частотах в режиме холостого хода На резонансной частоте последовательный контур эквивалентен короткому замыканию, а параллельные контура — разрыву цепи (рис. 2.25, а). При этом напряжение на выходе фильтра будет равно нулю, а затухание фильтра будет равно бесконечности , что эквивалентно наличию у фильтра полосы задерживания. На частотах последовательный контур будет иметь индуктивное сопротивление, а параллельные контура — емкостное (рис. 2.25, б). При этом с ростом частоты затухание фильтра будет уменьшаться, то есть в этом диапазоне частот рассматриваемый фильтр эквивалентен ФВЧ, работающему в переходной полосе при приближении к полосе пропускания. На частотах характер реактивного сопротивления контуров изменяется на противоположный (рис. 2.25, в), что будет вызывать уменьшение затухания фильтра при уменьшении частоты, то есть поведение рассматриваемого фильтра эквивалентно поведению ФВЧ, работающему в переходной полосе при приближении к полосе пропускания. На частотах поведение полосно-задерживающего фильтра эквивалентно поведению ФНЧ в полосе пропускания, на частотах и — поведению ФВЧ в полосе пропускания. На рис. 2.26 изображены АЧХ и ФЧХ полосно-задерживающего фильтра в режиме согласованной нагрузки, построенные по аналогии с построением АЧХ и ФЧХ полосно-пропускающего фильтра (рис. 2.23) с использованием частотных характеристик ФНЧ и ФВЧ в режиме согласованной нагрузки. Рис. 2.26 — АЧХ и ФЧХ полосно-задерживающего фильтра типа k в режиме согласованной нагрузки 2.9. Фильтры типа m К недостаткам рассмотренных Т-образных и П-образных фильтров типа k можно отнести следующее. 1. Характеристическое сопротивление фильтров зависит от частоты, что усложняет обеспечение согласованного режима работы. Наиболее простым видом нагрузки фильтра является сопротивление в виде резистора, параметры которого практически не зависят от частоты в широком диапазоне частот. Однако при такой нагрузке фильтр работает в рассогласованном режиме. 2. Нарастания затухания однозвенных Т-образных или П-образных фильтров типа k в переходной полосе, происходит довольно медленно, поэтому для повышения частотной избирательности необходимо использовать многозвенные фильтры. 3. Фазочастотная характеристика фильтров является нелинейной. Перечисленные выше недостатки фильтра типа k можно минимизировать с помощью буферного четырёхполюсника, у которого в полосе пропускания фильтра одно из характеристических сопротивлений равно характеристическому сопротивлению фильтра типа k, а другое является постоянным и не зависит от частоты. Такой буферный четырёхполюсник, полученный путем преобразования Г-образного фильтра типа k, называют фильтром типа m. Поскольку прототип имеет два характеристических сопротивления: и , то возможно создание двух видов фильтра типа m: • последовательно-производный фильтр, у которого в полосе пропускания сопротивление со стороны последовательной ветви остается таким же, как у прототипа , а сопротивление со стороны параллельной ветви слабо зависит от частоты ; • параллельно-производный фильтр, у которого в полосе пропускания сопротивление со стороны параллельной ветви остается таким же, как у прототипа , а сопротивление со стороны последовательной ветви слабо зависит от частоты . К достоинствам фильтров типа m следует отнести возможность согласования фильтров типа k с нагрузкой в виде резистивного сопротивления и достаточно быстрое нарастание затухания в переходной полосе. Недостатком фильтром типа m является малое затухание на частоте существенно превышающей граничную частоту полосы пропускания. Фильтры типа m применяют в качестве буферных звеньев при построении сложных фильтров. В качестве примера на рис. 2.27 показан комбинированный ФНЧ, составленный из двух Г-образных последовательно-производных ФНЧ типа m, где 0