Основы теории автоматического управления

В. А. Лукас, В. П. Барановский ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Учебное пособие Екатеринбург 2007 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный горный университет» В. А. Лукас, В. П. Барановский Основы теории автоматического управления Учебное пособие Утверждено Редакционно-издательским советом Уральского государственного горного университета в качестве учебного пособия Екатеринбург 2007 УДК 681. 5. 011. (075. 8) Л 84 Лукас В. А., Барановский В. П. Л 84 Основы теории автоматического управления: Учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2007. 190 с.; ил. Изложены основные понятия и принципы построения систем автоматического управления, методы математического описания и структурного анализа элементов и систем управления, аналитические способы оценки устойчивости и качества линейных непрерывных систем управления при регулярных внешних воздействиях. Учебное пособие предназначено для студентов всех форм обучения специальности 140604 – «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов (ЭГП)» направления 140600 – «Электротехника, электромеханика и электротехнологии». Рецензент: Макаров В. А., канд. техн. наук, генеральный директор ЗАО Центра диагностики и экспертизы «Цветметналадка». Печатается по решению Редакционно-издательского совета Уральского государственного горного университета © Уральский государственный горный университет, 2007 © Лукас В.А., Барановский В. П., 2007 Учебное издание Вильмар Адольфович Лукас Валерий Петрович Барановский ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Учебное пособие для студентов всех форм обучения специальности 140604 – «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов (ЭГП)» направления 140600 – «Электротехника, электромеханика и электротехнологии» Редактор Л. Н. Авдеева Компьютерная верстка: Т. М. Комлева, А. В. Павлова, Н. Е. Балбекова Подписано в печать 25.04.07 г. Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая Гарнитура Times New Roman. Печать на ризографе. Печ. л. 11,875 Уч. изд. л. 9,5 Тираж 150 экз. Заказ № Издательство УГГУ 620144, г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30. Уральский государственный горный университет Лаборатория множительной техники ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ..................................................................................................................... 5 Сокращения и условные обозначения ........................................................................ 6 Введение ............................................................................................................................ 7 1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ .......................................................................................................................... 11 1.1. Основные понятия, определения и термины теории управления................... 11 1.2. Функциональная и алгоритмическая структуры системы управления (СУ) .......................................................................................................................... 15 1.3. Принципы построения и классификация СУ .................................................... 20 1.4. Примеры СУ......................................................................................................... 25 Контрольные задания и вопросы .............................................................................. 29 2. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ........................................................................ 30 2.1. Общие понятия о передаточных свойствах элементов и систем .................... 30 2.2. Временные характеристики сигналов и типовых воздействий ...................... 33 2.3. Статические характеристики элементов ........................................................... 38 2.4. Линейные дифференциальные уравнения как динамические характеристики ............................................................................................................................ 45 2.5. Временные (переходные) характеристики ........................................................ 48 2.6. Операторный метод и передаточная функция .................................................. 52 2.7. Частотные характеристики ................................................................................. 57 2.8. Статические и динамические характеристики типовых соединений элементов ................................................................................................................ 62 2.9. Элементарные операции машинного математического моделирования ....... 68 Контрольные задания и вопросы .............................................................................. 70 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ И МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.......................................................... 72 3.1. Классификация звеньев ...................................................................................... 72 3.2. Безынерционное звено ........................................................................................ 74 3.3. Инерционное звено первого порядка ................................................................ 77 3.4. Инерционные звенья второго порядка .............................................................. 83 3.5. Интегрирующие звенья ....................................................................................... 91 3.6. Дифференцирующие звенья ............................................................................... 96 3.7. Звено запаздывания ........................................................................................... 101 Контрольные задания и вопросы ............................................................................ 104 4. ТИПОВЫЕ ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ ............................................................ 105 4.1. Общие понятия об анализе объектов управления .......................................... 105 4.2. Генератор постоянного тока ............................................................................. 107 4.3. Двигатель постоянного тока ............................................................................. 111 Контрольные задания и вопросы ............................................................................ 116 5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (СУ) ................. 118 5.1. Правила преобразования алгоритмических структур .................................... 118 5.2. Пример составления передаточных функций и уравнений динамики СУ.............................................................................................................................. 124 5.3. Передаточные функции типовой одноконтурной СУ.................................... 127 Контрольные задания и вопросы ............................................................................ 131 6. ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ............................................................. 133 6.1. Общие понятия о точности управления .......................................................... 133 6.2. Точность статических и астатических систем стабилизации ....................... 134 3 6.3. Динамическая точность СУ .............................................................................. 137 6.4. Типовые линейные алгоритмы управления .................................................... 141 Контрольные задания и вопросы ............................................................................ 143 7. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ..... 144 7.1. Понятие, виды и общее условие устойчивости .............................................. 144 7.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица......................................... 149 7.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста .............................................. 153 7.4. Влияние структуры и передаточного коэффициента СУ на устойчивость ......................................................................................................................... 160 Контрольные задания и вопросы ............................................................................ 164 8. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ .............................................................. 166 8.1. Понятие и основные показатели качества ...................................................... 166 8.2. Приближённая оценка качества по параметрам разомкнутого контура ...... 176 8.3. Приближённая оценка качества по ЛАЧХ разомкнутого контура ............... 182 8.4. Интегральные показатели качества ................................................................. 184 Контрольные задания и вопросы ............................................................................ 188 Список дополнительной рекомендуемой литературы ......................................... 189 4 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемое студентам учебное пособие преследовало цель в краткой форме изложить основные разделы учебной дисциплины «Теория автоматического управления» (ТАУ) с учётом реального объёма учебного времени (≈ 80 часов, в том числе ≈ 40 часов аудиторных занятий), предусматриваемым учебным планом специальности. Теория автоматического управления – учебная дисциплина, преподаваемая студентам указанной специальности в течение одного семестра. Целью преподавания ТАУ являются: формирование у студентов прочных знаний об общих принципах построения и законах функционирования автоматических систем управления, основных методах анализа непрерывных систем управления при регулярных внешних воздействиях, привитие студентам практических навыков по составлению функциональной и алгоритмической схем конкретной автоматической системы управления техническим объектом, определению передаточных функций и параметров отдельных конструктивных элементов системы, записи передаточных функций и уравнений статики и динамики линейной системы, расчёту статической и динамической точности управления, анализу устойчивости линейной системы, оценке показателей качества процесса управления. Материал пособия сформировался в процессе длительного преподавания авторами курса ТАУ студентам, специализировавшимся в области автоматизации технологических процессов. Основу учебного пособия составляют книги: • Лукас В. А. Теория управления техническими системами: Учебное пособие для вузов. 4-е издание, исправленное. Екатеринбург: Из-во УГГУ, 2005. 677 с. • Лукас В. А. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1990. 416 с. • Лукас В. А. Основы теории автоматического управления: Учебник для вузов. М.: Недра, 1977. 376 с. 5 СОКРАЩЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 1. Сокращения основных терминов ТАУ – теория автоматического управления ТС – техническая система ОУ- объект управления УУ- управляющее устройство СУ – система управления ИО – исполнительный орган ИУ – исполнительное устройство Д – датчик ОС – обратная связь ПК – передаточный коэффициент ПФ – передаточная функция АФЧХ – амплитудно-фазовая частотная характеристика АЧХ – амплитудно-частотная характеристика ЛАЧХ – логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ФЧХ - фазо-частотная характеристика 2. Условные обозначения основных переменных и функций x(t) – входной сигнал элемента СУ, выходной сигнал ОУ и СУ (управляемая величина) y(t) – выходной сигнал элемента СУ, входной сигнал ОУ (управляющее воздействие) xз(t) – задающее воздействие СУ z(t) – возмущающее воздействие на СУ (t) – сигнал ошибки (рассогласования) в СУ 1(t) – единичное ступенчатое воздействие (t) – единичное импульсное воздействие xm, ym – амплитудные значения сигналов x(t) и y(t) p – оператор Лапласа, оператор дифференцирования  - круговая частота, оператор преобразования Фурье X(p) – изображение непрерывного сигнала x(t) по Лапласу X(j) – изображение непрерывного сигнала x(t) по Фурье k – ПК звена (или соединения звеньев) W(p) – ПФ звена (или соединения звеньев) W(j) – АФЧХ звена (или соединения звеньев) А() – АЧХ звена (или соединения звеньев) () – ФЧХ звена (или соединения звеньев) Ф(р) – ПФ замкнутой СУ h(t) – переходная функция (характеристика) звена или СУ w(t) – импульсная (весовая) функция (характеристика) звена или СУ 6 ВВЕДЕНИЕ Теория автоматического управления (ТАУ) – научная дисциплина, предметом изучения которой являются информационные процессы, протекающие в системах управления техническими и технологическими объектами. ТАУ выявляет общие закономерности функционирования автоматических систем различной физической природы и на основе этих закономерностей разрабатывает принципы построения высококачественных систем управления. При изучении процессов управления в ТАУ абстрагируются от физических и конструктивных особенностей систем и вместо реальных систем рассматривают их адекватные математические модели. Чем точнее (полнее) математическая модель соответствует физическим процессам, протекающим в реальной системе, тем совершеннее будет проектируемая система управления. Основными методами исследования в ТАУ являются математическое моделирование, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, операционное исчисление и гармонический анализ. Рассмотрим кратко каждый из них. Метод математического моделирования, объединяющий самые разнообразные способы и приёмы описания и представления физических объектов и явлений, можно условно, схематично представить с помощью наиболее часто используемого приёма – графическим изображением простого объекта, имеющего один входной сигнал x(t) и один выходной сигнал y(t), в виде прямоугольника (рис. В. 1,а). Символ А внутри прямоугольника означает некоторый математический оператор (функцию, интеграл и т. п.), который связывает входной и выходной сигналы, меняющиеся во времени. 7 а а б в Рис. В.1. Схематичное представление математических методов, используемых в ТАУ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, акцентирующая своё внимание на физические аспекты и приложения получаемых решений, служит главной методологической основой ТАУ, а сами обыкновенные дифференциальные уравнения – наиболее общей и полной формой математического описания элементов и систем управления. Дифференциальные уравнения связывают меняющиеся во времени входные и выходные переменные и их производные. В простейшем случае дифференциальное уравнение имеет вид dy(t)/dt=f[x(t),y(t)]. (В.1) Метод операционного исчисления, в основе которого лежит преобразование Лапласа  X ( p) =  x (t )e − pt dt , (В.2) позволяет алгебраизировть дифференциальные уравнения – перейти к так называемым операторным уравнениям, связывающим изображения X(p) и Y(p) входного и выходного сигналов через передаточную функцию W(p) (рис. В. 1,б) W(p)=Y(p)/X(p). (В.3) Метод гармонического анализа основан на известном из курса математики преобразовании Фурье, имеющем вид 8   X ( j ) = x (t )e − j t dt . (В.4) − С помощью преобразования Фурье (В. 4) находят изображения X(j) и Y(j) входного и выходного сигналов x(t) и y(t), характеризующие частотные спектры этих сигналов. Изображения сигналов по Фурье связаны (рис.В. 1,в) частотной передаточной функцией W(j)=Y(j)/X(j). (В.5) Все четыре метода, кратко представленные выше, образуют математический аппарат ТАУ. На его базе разработан комплекс «собственных» методов ТАУ, излагаемых в настоящем курсе. ТАУ вместе с теорией построения и функционирования элементов систем управления (датчиков, регуляторов, исполнительных устройств) образует более широкую отрасль науки – автоматику. Автоматика в свою очередь является одним из разделов технической кибернетики. Техническая кибернетика изучает сложные автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУТП) и предприятиями (АСУП), построенные с использованием управляющих вычислительных машин (УВМ). Техническая кибернетика наряду с биологической и социоэкономической – составная часть кибернетики, которую её родоначальник, американский математик Н. Винер, в 1948 году определил как науку об управлении и связи в технических системах и живых организмах. Первые промышленные регуляторы появились в период 1765-1804 гг. (И. Ползунов, Дж. Уатт, Ж. Жаккар). Первые теоретические исследования регуляторов появились в период 1868-1893 гг. (Дж. Максвелл, И. Вышнеградский, А. Стодола). Российский учёный и инженер И. А. Вышнеградский выполнил ряд научных исследований, в которых паровая машина и её регулятор впервые были проанализированы математическими методами как единая динамическая система. В становлении российской школы ТАУ большую роль сыграли работы А. А. Анд9 ронова, В. С. Кулебакина, И. Н. Вознесенского, Б. В. Булгакова, А. А. Фельдбаума, Б. Н. Петрова, Н. Н. Красовского, А. А. Воронова, Я. З. Цыпкина, В. С. Пугачёва, … Развитие современной теории управления из так называемой «классической» теории регулирования, основанной на четырёх вышеупомянутых основных методах исследования ТАУ, и формирование её новейших методов схематично проиллюстрированы на рис. В. 2. К лассическая теория р е гул и р о ва н и я Теория диф ф еренциальны х уравнений С оврем енная теория управления О п ер ац и о н н о е и сч и сл ен и е Гарм онический анализ Н овейш ая теория управления орит алг ро Теория систем нн ые Н ей М етод про странства со стоян и й мы С труктурн о е м од ели рован и е нн е се ио ы В е кто р н о -м ат р и ч н о е и сч и сл ен и е ц ти о Эв Fuzz y лю -л о г и ка Рис. В.2. Развитие содержания и методологии теории управления В настоящее время ТАУ наряду с новейшими разделами общей теории управления (исследование операций, системотехника, теория игр, теория массового обслуживания) играет важнейшую роль в совершенствовании и автоматизации управления технологическими процессами и производствами. 10 1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 1.1. Основные понятия, определения и термины теории управления Одним из базовых понятий теории управления является «система». Система – это множество связанных друг с другом элементов, образующее определённую целостность. Целостность определяется тем, что связи элементов системы между собой проявляются сильнее, чем их связи с другими элементами и с окружающей средой. Все системы можно разделить на абстрактные и материальные. Абстрактные системы являются продуктом человеческого мышления. К ним относятся, например, различные научные теории, гипотезы, методы. Материальные системы, представляющие собой целостные совокупности материальных объектов, делятся на неживые и живые системы. В инженерной теории управления наибольший интерес представляют неживые материальные объекты в виде различных технических систем. Техническая система (ТС) – совокупность машин и аппаратов, осуществляющих преобразование, транспортирование и накопление энергии, вещества или информации. Примерами ТС являются генератор электрической энергии, химический реактор, компьютер. Всякая ТС взаимодействует с внешней средой, которая всегда оказывает на ТС мешающее влияние, т. е. воздействие, нарушающее нормальное функционирование ТС. Факторы влияния внешней среды на ТС называются возмущающими воздействиями или возмущениями. Для названных выше примеров ТС возмущениями могут быть соответственно мощность (кВт), расходуемая потребителями электроэнергии, содержание (%) полезного компонента в исходном сырье, поступающем в реактор, и температура (оС), при которой эксплуатируется компьютер. Из-за постоянного воздействия на ТС различных возмущений приходится предпринимать специальные воздействия, направленные на компенсацию 11 нежелательного влияния среды. Процесс осуществления целенаправленных воздействий на ТС, обеспечивающих её нормальное функционирование, называют управлением. А саму ТС, нуждающуюся в специально организованных воздействиях, называют объектом управления (ОУ). Целенаправленные воздействия на ОУ являются управляющими. Их обычно обозначают символом y, а возмущение – z. Для рассматриваемых трёх примеров ТС управляющими воздействиями соответственно могут служить, например, частота вращения (об/с) ротора электрогенератора, расход катализатора (кг/с), подаваемого в реактор, и команды ввода данных («enter», «input» и т. п.). Выходной сигнал x(t) ОУ, который с помощью управляющего воздействия y(t) поддерживается на заданном уровне или изменяется по какомулибо закону, называется управляемой величиной. Устройство, осуществляющее целенаправленные управляющие воздействия на ОУ, называют управляющим устройством (УУ).Совокупность ОУ и УУ, взаимодействующих между собой, называют системой управления (СУ). В обобщённом виде структура СУ показана на рис. 1.1. z оz(ot(t) ) z д(t) x з( t ) y (t) x (t) УУ ОУ х к( t ) Рис.1.1. Обобщённая структура системы управления (СУ) Если выход (состояние) ОУ характеризуется несколькими величинами x1(t), x2(t), … xn(t), то такой объект называют многомерным. 12 Кроме основного возмущения, действующего на ОУ, на функционирование системы может влиять дополнительное возмущение zд(t), приложенное к УУ. Зависимость управляемой величины x(t) от входных воздействий для одномерного объекта можно выразить при помощи математического оператора Ао, характеризующего объект, как преобразователь сигналов: x(t)=Ao[y(t),z(t)]. (1.1) Символом Ао в выражении (1.1) обозначена некоторая совокупность математических операций, которые необходимо выполнить, чтобы по функциям времени y(t) и z(t) найти функцию x(t). Зависимость (1.1) вместе с требованиями, предъявляемыми к управляемой величине (и в некоторых случаях – к управляющему воздействию), составляют алгоритм функционирования объекта. Управляющее воздействие вырабатывается в УУ в соответствии с алгоритмом (законом) управления и в зависимости от истинного и предписанного значений управляемой величины. Информация об истинном значении управляемой величины поступает в УУ в виде контрольного воздействия xк(t) или сигнала обратной связи, а информация о предписанном значении – в виде задающего воздействия xз(t). Иногда управляющее воздействие вырабатывается с учётом изменений возмущающих воздействий zо(t) и zд(t) (см. рис. 1.1). Алгоритм управления (алгоритм функционирования УУ) в самом общем случае выражает зависимость управляющего воздействия от задающего воздействия, управляемой величины и возмущающих воздействий. Для одномерной СУ он запишется так: y(t)=Ay[xз(t),x(t), zо(t),zд(t)]. (1.2) Алгоритм функционирования ОУ (1.1) и алгоритм управления УУ (1.2) в совокупности образуют алгоритм функционирования СУ. Перечислим наиболее общие, лежащие в основе всей терминологии ТАУ, понятия: алгоритм, алгоритм функционирования, управление, алго13 ритм управления, система управления, объект управления, управляющее устройство, задающее и возмущающее воздействия, контрольное воздействие (сигнал обратной связи), управляемая величина, управляющее воздействие, сигнал рассогласования. Проиллюстрируем введённые понятия на примере конкретной системы управления. На рис. 1.2 изображена структура СУ режимом работы горнодобычной машины (например, роторного экскаватора). Назначение СУ – поддержание постоянной нагрузки основного привода рабочего органа (роторного колеса) путём изменения скорости перемещения органа. Управляемой Э л ек т ро эн ергия ЭС y = v П , м /с П ривод пода чи uP uЗ РН ДП УП О сновной пр иво д Э л ек т ро эн ерги я П ДН ДО n O  co n st x = Р Н, кВт ux, B z = M Н , Н .м Рис. 1.2. Система управления горнодобычной машиной величиной x в системе является электрическая мощность Рн, потребляемая преобразователем П и передаваемая через основной двигатель До рабочему органу. Сигнал их, пропорциональный мощности Рн, вырабатывается датчиком нагрузки ДН и передаётся в элемент сравнения ЭС, где он сравнивается с заданием изРн.з. В зависимости от знака и величины сигнала рассогласования ир, регулятор нагрузки РН формирует сигнал на увеличение или уменьшение частоты вращения привода подачи. Этот сигнал через управляемый преобразователь УП, двигатель Дп и механизм подачи преобразуется в управляющее воздействие – линейную скорость подачи п=у (полагаем, что мощность привода подачи достаточно большая и поэтому сопротивление перемещению рабочего органа может не учитываться). Основным возмущающим 14 воздействием zо является момент сопротивления или нагрузки Мн на основной привод, зависящий от крепости разрушаемого горного массива. В качестве объекта управления в данной системе можно рассматривать весь основной привод (рабочий орган, двигатель До, преобразователь П). К управляющему устройству относятся привод подачи и регулятор нагрузки РН. 1.2. Функциональная и алгоритмическая структуры системы управления (СУ) Изучение и математический анализ системы управления существенно облегчаются, если её предварительно условно расчленить на типовые элементы, выявить физические взаимосвязи между элементами и отобразить их в какой-либо условной форме на схеме. Процесс формализации физических явлений, происходящих в системе управления весьма трудоёмок, ответственен и требует хорошего знания конструкции и принципа действия системы и её элементов. СУ может быть разделена на части по различным признакам: по назначению частей, алгоритмам преобразования информации и конструктивной обособленности. Соответственно различают функциональные, алгоритмические и конструктивные структуры. Функциональная структура отображает функции, выполняемые отдельными частями системы. Такими функциями могут быть: получение информации о состоянии объекта, преобразование сигнала, сравнение сигналов и т. п. Части функциональной структуры называют частями и блоками. Названия элементов и блоков указывают на выполняемые функции, например, задающий элемент, управляющий блок, исполнительный блок. Алгоритмическая структура характеризует алгоритмы преобразования информации в системе, и состоит из элементарных алгоритмических звеньев и связей между ними. 15 Элементарное алгоритмическое звено – часть алгоритмической структуры СУ, соответствующая элементарному алгоритму преобразования сигнала. Каждое элементарное звено выполняет одну простейшую математическую или логическую операцию. На схемах элементарные звенья изображают прямоугольниками, внутри которых записывают соответствующие операторы преобразования сигналов. Иногда вместо операторов в формульном виде приводят графически зависимости выходной величины от входной или графики переходных функций. Различают следующие виды элементарных звеньев: статические, динамические, арифметические и логические. У статического звена мгновенное значение выходного сигнала зависит только от значения входного сигнала в данный момент и не зависит от характера изменения входного сигнала во времени. Связь между входным и выходным сигналами статического звена описывается обычно алгебраической функцией. К статическим звеньям относятся различные безынерционные (нелинейные и линейные) преобразователи. Статическим звеном является, например, двухпозиционное реле (рис. 1.3,а). На рисунке показаны также условное изображение реле на схемах и графики изменения входного и выходного сигналов. Динамическое звено преобразует входной сигнал в соответствии с операциями интегрирования и дифференцирования во времени. Значение выходного сигнала динамического звена зависит не только от текущего значения входного сигнала, но и от его предыдущих значений, т. е. от характера изменения входного сигнала. Большинство динамических звеньев описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. К классу динамических звеньев относятся конструктивные элементы, обладающие способностью накапливать какой-либо вид энергии или вещества, например, дифференцирующая rC-цепь (рис. 1.3,б). 16 Арифметическое звено осуществляет одну из арифметических операций: суммирование, вычитание, умножение, деление. Наиболее часто встречающееся в автоматике арифметическое звено – звено, выполняющее алгебраическое суммирование сигналов, называют сумматором (рис. 1.3,в). На рисунке приведены также два примера суммирования сигналов – электрического (гальванического) и магнитного. Логическое звено выполняет какую-либо логическую операцию: логическое умножение («И»), сложение («ИЛИ») и т. д. Входной и выходной сигналы логического звена являются обычно дискретными и рассматриваются как логические переменные. а в б г x1 y x x d dt y y y = y 0 s ig n x x3 x x t x x2 y = x 1− x 2+ x 3 x 1 t e1 ф1 y y 1 e2 y0 y eP ф2 фP t t e3 -y 0 ф3 i= x R u 1= x u 2= y u 1= x u= y + Рис. 1.3. Элементарные алгебраические звенья: а – статическое; б – динамическое; в – арифметическое 17 Графическое изображение любой структуры СУ, содержащее условное изображение её частей, называют структурной схемой. В соответствии с классификацией структур различают три типа структурных схем: функциональные, алгоритмические и конструктивные. К конструктивным схемам относятся кинематические схемы различных устройств, принципиальные и монтажные схемы электрических соединений и т. п. Функциональные алгоритмические схемы состоят из условных изображений элементов и звеньев (обычно в виде прямоугольников) и различных связей, изображаемых в виде линий со стрелками. Стрелки показывают направление передачи воздействия. Каждая линия соответствует обычно одному сигналу или одному воздействию. Иногда применяют жирные или сдвоенные линии: на функциональных схемах – для обозначения материальных и энергетических потоков, на алгоритмических схемах – для обозначения векторных величин. Около каждой линии указывают физическую величину, характеризующую данное воздействие. Обычно вначале составляют функциональную схему системы, затем – алгоритмическую. Структурные схемы могут быть составлены с большей или меньшей степенью детализации. Схемы, на которых показаны лишь главные или укрупнённые части СУ, называются обобщёнными (см. рис. 1.1). На рис. 1.4,а в качестве примера изображена функциональная структура СУ, в состав которой входят наиболее распространённые функциональные элементы: задающий элемент (ЗЭ), сравнивающий элемент (СЭ), датчики управляемой величины x (Дx) управляющего воздействия у (Ду), регулирующее устройство (РУ), усилитель мощности (УМ), исполнительный механизм (ИМ), исполнительный (регулирующий) орган (ИО). В качестве исполнительных механизмов используют электрические, гидравлические и пневматические двигатели, электромагниты. Регулирующими органами обычно служат заслонки, вентили, различные дозирующие 18 устройства (питатели). Они передают управляющее воздействие непосредственно на объект, изменяя количество поступающих в объект вещества или энергии (сырья, воды, воздуха, топлива, реагентов и т. д.). а zд У пр авляю щ ее у ст рой ст во x u З ЗЭ СЭ uЗ uP РУ uy ux uM УМ zо yM ИМ x y ИО УО м В ну т ренняя обр ат н ая связь ДУ ux Дx Г ла вн ая о брат на я связь б xЗ uЗ k u uM uP yZ yM xZ x dt kP t y uy м kД yМ ux kД x Рис. 1.4. Функциональная (а) и алгоритмическая (б) структуры системы управления На функциональных схемах конкретных СУ указывают не общее назначение блоков, а их конкретное наименование, например: двигатель (Д), тиристорный преобразователь (ТП), тахогенератор (ТГ), шибер (Ш), весоизмеритель (В) и т. д. На рис. 1.4,б приведена алгоритмическая схема системы, функциональная структура которой была рассмотрена выше. Легко заметить, что в данном примере каждому элементу функциональной структуры соответствует определённое алгоритмическое звено. В общем случае такое совпадение необязательно. 19 1.3. Принципы построения и классификация СУ Классификация может быть осуществлена по различным принципам и признакам, характеризующим назначение и конструкцию системы, вид применяемой энергии, используемые алгоритмы управления и функционирования и т. д. Классификация систем по различным основаниям показана на рис. 1.5. Рассмотрим вначале классификацию систем по наиболее важным для теории управления признакам, которые характеризуют алгоритмы функционирования и управления системы. Этими признаками являются: цель управления и связанный с ней характер изменения задающего воздействия (и соответственно управляемой величины), конфигурация цепи воздействий и принцип выработки управляющих воздействий. В з а в и с и м о с т и от х а р а к т е р а и з м е н е н и я з а д а ю щ его в о з д е й с т в и я в о в р е м е н и СУ делят на три класса: стабили- зирующие, программные и следящие системы. Стабилизирующая СУ (система стабилизации) – это система, алгоритм функционирования которой содержит предписание поддерживать значение управляемой величины постоянным: x(t)xз=const. (1.3) Знак  означает, что управляемая величина поддерживается на заданном уровне с некоторой ошибкой. Стабилизирующие системы применяют для стабилизации физических величин, характеризующих состояние технологических объектов. Примером стабилизирующей системы является система управления режимом работы горнодобычной машины (см. рис. 1.2). Алгоритм функционирования программной СУ содержит предписание изменять управляемую величину в соответствии с заранее заданной функцией времени fп(t) x(t)xз(t)= fп(t). 20 (1.4) 21 Следящая система управления предназначена для изменения управляемой величины в соответствии с изменениями другой величины, которая действует на входе системы и закон изменения которой заранее неизвестен: x(t)xз(t)= fс(t), (1.5) где fс(t) – произвольная функция времени. Следящие системы, называемые также системами позиционирования, используются обычно для дистанционного управления перемещением механических объектов в пространстве. В стабилизирующих, программных и следящих системах цель управления заключается в обеспечении равенства или близости управляемой величины x(t) к её заданному значению xз(t). Такое управление, осуществляемое с целью поддержания равенства x(t)xз(t), (1.6) называется регулированием. Управляющее устройство, осуществляющее регулирование, называют регулятором, а саму систему – системой регулирования. В з а в и с и м о с т и от к о н ф и г у р а ц и и ц е п и в о з д е й с т в и й различают три вида СУ: с разомкнутой цепью воздействий, с замкнутой цепью и комбинированные. В СУ с разомкнутой цепью воздействий входными воздействиями УУ являются только внешние (задающие и возмущающие) воздействия. Разомкнутые системы можно разделить на системы, осуществляющие управление в соответствии с изменением только задающего воздействия (рис. 1.6,а) и системы, управляющие при изменении возмущения (рис. 1.6,б). Алгоритм управления разомкнутой системой первого типа имеет вид: y(t)=Ay[xз(t)]. 22 (1.7) Системы первого типа работают эффективно лишь при условии, если влияние возмущений на управляемую величину невелико. Примерами таких систем являются системы управления пуском электродвигателей, включением в работу конвейерных линий и т. д. z ( t) z ( t) а x З ( t) x З ( t) y (t) УУ в x (t) y (t) УУ x (t) ОУ ОУ г б z ( t) y (t) x З ( t) УУ z ( t) x (t) ОУ x З ( t) x (t) y (t) УУ ОУ Рис. 1.6. Функциональные структуры систем управления с разомкнутой (а, б), замкнутой (в) и комбинированной (г) цепью воздействий В системах управления по возмущению (см. рис. 1.6,б) управляющее воздействие зависит от возмущающего и задающего воздействий: y(t)=Ay[xз(t),z(t)]. (1.8) В большинстве случаев разомкнутые СУ по возмущению выполняют функции стабилизации управляемой величины. Необходимым условием функционирования таких систем является наличие датчиков возмущений. Преимущество разомкнутых СУ по возмущению – их быстродействие: они компенсируют влияние возмущения ещё до того, как оно проявится на выходе ОУ. На рис. 1.6,в представлена обобщённая функциональная структура СУ с замкнутой цепью воздействий (кратко – замкнутая система, или система с обратной связью). В такой системе на вход УУ поступают как внутреннее (контрольное) воздействие, так и внешнее (задающее). 23 Управляющее воздействие в замкнутой СУ формируется в большинстве случаев в зависимости от величины и знака отклонения истинного значения управляемой величины от её заданного значения по алгоритму y(t)=Ay[(t)], (1.9) где (t)=xз(t)x(t) – сигнал ошибки (сигнал рассогласования). Замкнутые системы называют часто системами управления по отклонению. Преимуществом замкнутых систем является то, что в них контролируется непосредственно управляемая величина, и тем самым при выработке управляющих воздействий учитывается действие всех возмущений. Но из-за наличия замкнутой цепи воздействий в этих системах могут возникать колебания, которые в некоторых случаях делают систему неработоспособной. В комбинированных системах (рис. 1.6,г) создают две цепи воздействий – по отклонению и по возмущению, и управляющее воздействие формируется согласно оператору y(t)=Ay[(t)]+Ав[z(t)]. (1.10) Эффективность работы комбинированной СУ всегда больше, чем у порознь функционирующих замкнутой или разомкнутой систем. В зависимости от принципа выработки управляю щ и х в о з д е й с т в и й замкнутые системы делятся на беспоисковые и поисковые. В беспоисковых системах управляющие воздействия вырабатываются в результате сравнения истинного значения управляемой величины с её заданным значением. В поисковой системе основные управляющие воздействия формируются с помощью пробных управляющих воздействий и путём анализа этих воздействий. Такую процедуру поиска управляющих воздействий приходится применять в тех случаях, когда характеристики объекта меняются или известны не полностью. 24 Особый класс СУ образуют системы, которые способны автоматически приспосабливаться к изменению внешних условий и свойств объекта, обеспечивая при этом необходимое качество управления путём изменения структуры и параметров УУ. Такие системы называют адаптивными (самоприспособляющимися). Рассмотрим кратко классификацию СУ по некоторым дополнительным (неалгоритмическим) признакам. В зависимости от принадлежности источника э н е р г и и, при помощи которого создаётся управляющее воздействие, системы могут быть прямого и непрямого действия. В системах прямого действия используется энергия управляемого объекта. В системах непрямого действия управляющее воздействие создаётся за счёт энергии дополнительного источника. П о в и д у с и г н а л о в, действующих в системах, СУ делят на непрерывные и дискретные. Дискретные системы, в свою очередь, делят на импульсные, релейные и цифровые. СУ, у которых управляемая величина режиме в установившемся зависит от величины возмущающего воздействия, называются статическими, а системы, у которых не зависит, - астатическими. П о в и д у д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й, описывающих элементы систем, последние делят на линейные и нелинейные. В линейной системе все элементы описываются линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями, в нелинейной – всегда есть элемент, имеющий нелинейную зависимость выходной величины от входной. 1.4. Примеры СУ Проиллюстрируем изложенные в разделах 1.1–1.3 общие понятия и принципы управления на конкретных примерах. Ниже описаны системы 25 управления некоторыми техническими объектами. Описание систем дано применительно к упрощённым принципиальным схемам. На рис. 1.7 приведена принципиальная схема автоматической системы стабилизации расхода сыпучего материала, поступающего на переработку в технологическую установку. Объектом управления в данной системе является шнековый питатель П. Питатель приводится в движение двигателем постоянного тока Д, который питается от силового магнитного усилителя СМУ. СМ У П Р uД nД nП М Q С Д uС В М Д uУ uP ЭУ uВ f uЗ Рис. 1.7. Автоматическая система стабилизации подачи сыпучего материала Количество материала Q, проходящего через питатель в единицу времени, измеряется при помощи весоизмерителя В, который состоит из короткого ленточного конвейера и магнитоупругого датчика МД. Количество материала, находящегося на конвейере, пропорционально массовому расходу материала Q. Следовательно, сила тяжести f будет также пропорциональна расходу Q. Электрическое напряжение uв на выходе магнитоупругого датчика, в свою очередь, пропорциональна силе f. Напряжение uв, являющееся сигналом текущего расхода Q, сравнивается с задающим напряжением uз. Сигнал разности этих двух напряжений усиливается в усилителе ЭУ и поступает на обмотку управления магнитного усилителя. При изменении удельного веса и сыпучести материала массовый расход Q будет отклоняться от заданного значения Qз. При этом будет возникать сигнал рассогласования uр и, в зависимости от знака сигнала рассогласова26 ния, будет увеличиваться или уменьшаться частота вращения шнека. Положительное или отрицательное приращение скорости компенсирует возникшее ранее отклонение расхода Q от значения Qз. На рис. 1.8,а приведена упрощённая принципиальная схема а в т о м а тической системы управления шахтной подъём- н о й у с т а н о в к о й. Назначение системы – изменение скорости v подъёмных сосудов в зависимости от их положения h в шахтном стволе. Р2 К а Р1 П СД uЗ uP ТП uВ Г О ВД Д n u ТГ ТГ ОВГ h б v v h Рис. 1.8. Автоматическая система управления шахтной подъёмной установкой Другими словами, задача системы – управление подъёмной установкой по определённой программе (рис. 1.8,б), заданной в параметрической форме. Подъёмная машина приводится в движение двигателем постоянного тока Д, который питается от генератора Г. Энергия, необходимая для подъёма сосудов, подводится к генератору от сетевого двигателя СД. Скорость подъёмного двигателя Д пропорциональна напряжению на его якорных зажимах, которое, в свою очередь, пропорционально напряжению на обмотке возбуждения генератора ОВГ. Напряжение возбуждения uв создаётся тиристорным 27 преобразователем ТП, который играет в данной системе роль возбудителя. Напряжение uв пропорционально напряжению uр, которое равно разности между напряжением uз и uтг. Напряжение uтг на зажимах тахогенератора ТГ, выполняющего в системе роль датчика частоты вращения, пропорционально в каждый момент времени линейной скорости v. Напряжение uз является задающим воздействием. Оно снимается с потенциометра П, движок которого перемещается специальным профилированным кулачком К. Этот кулачок выполняет функцию задающего элемента. Профиль кулачка соответствует требуемой программе изменения скорости (см. рис. 1.8,б). При перемещении подъёмных сосудов по стволу кулачок К, связанный с подъёмной машиной и с главным редуктором Р1 через вспомогательный редуктор Р2, поворачивается и изменяет заданное значение скорости. Согласно изложенным в 1.3 принципам классификации, система управления подъёмной установкой является замкнутой программной системой регулирования непрямого действия. Для дистанционного управления перемещением различных объектов в пространстве применяются следящие автоматические системы. На рис. 1.9 показана принципиальная с х е м а с л е д я щ е й системы у п р а в- л е н и я п о л о ж е н и е м ш и б е р а. Перемещение шибера осуществляется при помощи исполнительного двигателя ИД, который связан с шибером Р2 Р1 uУ= uД uP ИД У x3 ВП М Д1 x М еха н и ч ес ка я свя зь Д2 Ш П ульт В ц ехе оп ер ат о ра Рис. 1.9. Следящая система управления положением шибера 28 через редукторы Р1 и Р2 и винтовую передачу ВП. Элементом сравнения заданного и действительного положений шибера является электрический мост М, движки которого механически связаны с рукояткой оператора и с шибером. Для перемещения шибера оператор, находящийся на удалении от шибера, небольшим усилием ставит движок Д1 в новое положение. При этом мост разбалансируется, возникнет напряжение uр, пропорциональное разности перемещений xз-x. Это напряжение усилится в усилителе У, и на якорных зажимах двигателя ИД возникает напряжение uд=uу. Двигатель начнёт перемещать шибер со скоростью, пропорциональной рассогласованию xз-x. Это перемещение будет происходить до тех пор, пока шибер не займёт новое положение x, соответствующее положению рукоятки оператора xз. Контрольные задания и вопросы 1. Проиллюстрируйте основные понятия теории управления на примере системы стабилизации расхода сыпучего материала (см. рис. 1.7). 2. Какие признаки элементов системы управления отражаются на её функцио- нальной схеме? 3. Назовите наиболее распространённые, типичные функциональные элементы систем управления. 4. Составьте функциональную схему системы управления шахтной подъёмной установкой (см. рис. 1.8). 5. Что отражает алгоритмическая схема системы управления? 6. Приведите примеры элементарных алгоритмических звеньев. 7. На какие три класса делятся системы управления в зависимости от характера изменения задающего воздействия и управляемой величины? 8. Назовите три класса систем, отличающихся конфигурацией цепи воздействий. 9. Какие достоинства и недостатки имеют разомкнутые системы управления? 10. Какие достоинства и недостатки имеют замкнутые системы управления? 11. В чём различие между статическими и астатическими системами управления? 29 2. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 2.1. Общие понятия о передаточных свойствах элементов и систем Любая СУ представляет собой совокупность нескольких устройств, в которых происходят явления различной физической породы. Одна и та же система может включать в себя, например, механические, электрические и гидравлические элементы. Эти части СУ взаимодействуют между собой по сложным законам механики, электротехники, гидравлики. Взаимодействие частей системы между собой так же, как и функционирование самого объекта управления, заключается в преобразовании, хранении и передаче энергии, вещества или информации. Но эти процессы в системе управления, в отличие от многих других физических систем, строго ориентированы, т. е. воздействия передаются только в определенном направлении. Направленность передачи воздействий в СУ обеспечивается благодаря наличию у одного или нескольких конструктивных элементов системы так называемого детектирующего свойства. Это свойство заключается в том, что рассматриваемый элемент не оказывает обратного действия на предыдущий элемент, а его выходная величина не влияет на свою входную. Например, электрический четырехполюсник обладает однонаправленностью передачи воздействий, если он не нагружает предшествующий четырехполюсник, т. е. если выходное сопротивление предшествующего элемента существенно меньше входного сопротивления рассматриваемого четырехполюсника. Обычно свойством однонаправленности обладают те элементы системы, которые передают информационные воздействия. К таким элементам относятся в первую очередь измерители и преобразователи сигналов. Конструктивные части системы, через которые передаются энергетические и материальные воздействия, этим свойством, как правило, не обладают. Только благодаря наличию элементов направленного действия в СУ создается замкнутый контур передачи воздействий, при помощи которого и осуществляется целенаправ30 ленный процесс управления. Без таких элементов системы управления были бы неработоспособны или малоэффективны. М ат ериал Э нер гия Q СМ У Д Р П uу В ЭУ uр uв ЭС f МД Задание Рис. 2.1. Функциональная структура автоматической системы стабилизации подачи сыпучего материала Рассмотрим, как происходит передача воздействий в конкретной системе управления. На рис. 2.1 показана функциональная структура автоматической системы стабилизации подачи сыпучего материала, описанной в 1.4. В этой системе электрическая энергия, поступающая из сети, преобразуется при помощи двигателя в механическую, которая через редуктор Р передается на вал шнекового питателя П. Питатель перемещает материал из бункера на весоизмеритель В и далее в технологический аппарат, перерабатывающий данный материал. Количество энергии, передаваемой двигателем питателю, изменяется в зависимости от величины управляющего сигнала uy и от величины момента сопротивления, действующего на вал шнека. Момент сопротивления зависит от физических свойств материала (удельный вес, крупность, вязкость) и от частоты вращения шнека. Это означает, что в электромеханической части системы, состоящей из силового магнитного усилителя СМУ, приводного двигателя Д, редуктора Р и питателя П, действует внутренняя обратная связь (см. пунктирную линию), т. е. что рассматриваемая часть системы не обладает свойством однонаправленности. Свойством однонаправленности передачи воздействия в данной автоматической системе обладает ленточный весоизмеритель, магнитоупругий дат31 чик МД и электронный усилитель ЭУ. Действительно, никакие искусственные изменения выходных величин этих элементов не могут привести к изменению их входных величин. Например, сила f не может изменить количество руды, проходящей через весоизмеритель, а напряжение на выходе датчика не может повлиять на силу f. Анализ процессов, происходящих в системах управления, и эффективное решение задач расчета и проектирования систем возможно лишь с применением языка и методов математики. Причем, первым этапом при исследовании или конструировании СУ является составление математического описания (математической модели) ее элементов и системы в целом. Составление математического описания конструктивного элемента СУ состоит из следующих последовательных процедур: принятие исходных допущений, выбор входных и выходных переменных, выбор систем отсчета для каждой переменной, применение физического принципа, отражающего в математической форме закономерности преобразования энергии или вещества. Сформулируем ряд положений, определяющих методологию формализованного представления и математического описания элементов и систем управления. 1. Система рассматривается как цепь взаимодействующих (физически и информационно) элементов, которая обладает способностью передавать физические воздействия и информационные сигналы в одном определенном направлении. 2. Каждый конструктивный элемент системы рассматривается как преобразователь входного воздействия в выходную реакцию. 3. На основании априорных сведений о физической природе каждого элемента и закономерностях его функционирования составляется математическая модель, которая на языке соответствующей научной дисциплины отражает существенные для данной цепи взаимосвязи между входными и выходными переменными элемента. 32 4. При составлении математического описания отдельных элементов и системы в целом всегда приходится прибегать к некоторой идеализации реальных физических процессов, происходящих в элементах, к определенным упрощениям физических закономерностей, отбрасыванию второстепенных факторов. 2.2. Временные характеристики сигналов и типовых воздействий Большое разнообразие конструкций и условий работы СУ определяет многообразие сигналов и воздействий, наблюдаемых в системах. Изучение и математический анализ конкретных систем существенно упрощаются, если пользоваться принятой в теории управления типизацией сигналов и воздействий. Рассмотрим основные разновидности сигналов и воздействий. В зависимости от характера изменения сигнала во времени и от формы его математического представления, различают регулярные и нерегулярные сигналы. Регулярный (детерминированный) сигнал изменяется по определенному закону и может быть описан конкретной математической функцией времени. К классу регулярных сигналов относятся различные периодические сигналы и непериодические импульсы конечной длительности. На рис. 2.2,а в качестве примера регулярного сигнала показан импульс, описываемый экспонентой. Нерегулярный (случайный) сигнал изменяется во времени случайным образом и не может быть представлен в виде конкретной математической функции. Характер изменения случайного сигнала во времени показан на рис. 2.2,б. Свойства случайных сигналов можно описать только при помощи понятий и методов теории вероятностей и математической статистики. Если значение регулярного или случайного сигнала определено в каждый момент времени (рис. 2.2,в), то сигнал называют непрерывным, или аналоговым. Если же значения сигнала заданы лишь в некоторые моменты времени (рис. 2.2,г), то его называют дискретным. 33 а в б x ( t) x (t) t x ( t) t ж x (t) t з x ( t) x (t) T a0  и→ 0 a0 и x (t) t е д г x ( t) t и a1 xm t t 1 t Рис. 2.2. Виды сигналов (а, б, в, г) и типовых воздействий (д, е, ж, з) При экспериментальном и теоретическом исследовании СУ и их элементов используют ряд стандартных сигналов, называемых типовыми воздействиями. Эти воздействия описываются простыми математическими функциями и легко воспроизводятся при испытании систем. Использование типовых воздействий позволяет унифицировать расчеты различных систем и облегчает сравнение передаточных свойств систем. Наибольшее применение в теории и практике автоматического управления находят следующие четыре типовые воздействия: ступенчатое, импульсное, гармоническое и линейное. Ступенчатое воздействие – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (рис. 2.2,д). Ступенчатому воздействию соответствует функция  0 при t  0 ; x с (t ) =   a 0 при t  0 . (2.1) При анализе и расчете систем удобно использовать ступенчатое воздействие, у которого величина a0 = 1. Его называют единичным ступенчатым воздействием (единичным скачком) и обозначают 1(t) или σ(t). Математическое выражение, описывающее единичный скачок, имеет вид 34  0 при t  0 ; 1( t ) =  1 при t  0 . (2.2) Любое неединичное ступенчатое воздействие можно обозначить a01(t). Единичное ступенчатое воздействие, возникающее в момент времени t = t1, обозначают 1(t – t1). Ступенчатые воздействия чаще всего используют при испытаниях и расчетах систем стабилизации, так как эти воздействия наиболее близки к реальным входным (задающим и возмущающим) воздействиям систем стабилизации. Импульсное воздействие представляет собой одиночный импульс прямоугольной формы (рис. 2.2,е), имеющий достаточно большую высоту α0/τи и весьма малую (по сравнению с инерционностью испытываемой системы) продолжительность τи → 0. Очевидно, что площадь такого импульса всегда равна a 0. При математическом анализе систем управления используют единичное импульсное воздействие, которое описывается так называемой дельтафункцией, или функцией Дирака  0 при t  0 ;  (t ) =    при t = 0 , (2.3) причем    ( t ) dt = 1. (2.4) − Согласно выражениям (2.3) и (2.4), дельта-функцию можно рассматривать как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь. Дельта-функцию можно определить как производную единичного скачка:  (t ) = d 1( t ) dt 35 . (2.5) В качестве стандартного гармонического воздействия используют обычно сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией x ( t ) = x m sin  t , ( −  t   ), (2.6) где xm – амплитуда сигнала; ω = 2π/Т – круговая частота, рад/с; Т – период сигнала, с. Гармонический сигнал, начинающий действовать в момент времени t = 0 (рис. 2.2,ж), описывают при помощи единичной ступенчатой функции x ( t ) = 1 ( t ) x m sin  t , ( 0  t   ). (2.7) Гармонические воздействия (2.6) и (2.7) широко используются при исследовании точности и устойчивости как стабилизирующих, так и следящих, и программных СУ. Это объясняется двумя обстоятельствами: во-первых, тем, что реальные возмущения часто имеют периодический характер и поэтому могут быть представлены в виде суммы гармонических составляющих и, вовторых, тем, что математический аппарат анализа автоматических систем хорошо разработан именно для случая гармонических воздействий. Для следящих и программных систем типовым является линейное воздействие, начинающееся в момент t = 0 (рис.2.2,з), x ( t ) = 1 ( t ) a 1 t , ( 0  t   ). (2.8) где коэффициент a1 характеризует скорость нарастания воздействия х(t). Рассмотрим теперь возможные состояния и возможные режимы перехода СУ от одного состояния к другому. Состояние системы будем характеризовать изменением управляемой величины во времени. Очевидно, что состояние системы и режимы перехода зависят как от формы задающего или возмущающего воздействия, так и от свойств самой системы. Различают два режима работы СУ и их элементов: статический и динамический. Статическим режимом называют состояние системы (элемента), при котором управляемая (выходная) величина y не изменяется во времени, т. е. у(t)=const. 36 Очевидно, что статический режим (или состояние равновесия) может иметь место лишь тогда, когда входные воздействия постоянны во времени. Связь между входными и выходными величинами в статическом режиме описывают алгебраическими выражениями. В динамическом режиме работы системы (элемента) управляемая (выходная) величина непрерывно изменяется во времени: у(t)=var. Динамические режимы имеют место, когда в системе после нанесения внешних воздействий происходят процессы установления заданного изменения выходной величины. Эти процессы называют процессами управления. Они описываются в общем случае дифференциальными уравнениями. а в б x (t) x (t) y (t) x (t) y (t) y (t) y x x x y t y t t Рис. 2.3. Переходные и установившиеся режимы при типовых воздействиях Динамические режимы делят на: неустановившиеся и установившиеся. Неустановившиеся или переходные режимы имеют место сразу после изменения внешних воздействий. Конкретный вид функции у(t) в переходном режиме зависит от типа воздействия и от собственных динамических свойств системы. Установившийся режим работы наступает после окончания переходного процесса, когда выходная величина элемента или системы изменяется во времени по такому же закону, что и входное воздействие. При этом говорят, что элемент (система) совершает вынужденное движение. Нетрудно заметить, что статический режим является частным случаем установившегося (вынужденного) режима при x(t)=const. 37 Понятия «переходный режим» и «установившийся режим» иллюстрируются графиками изменения выходной величины у(t) при трех типовых воздействиях (рис. 2.3). Граница между переходным и установившимся режимами показана вертикальной пунктирной линией. 2.3. Статические характеристики элементов Передаточные свойства элементов и систем в статическом режиме описывают при помощи статических характеристик. Статической характеристикой элемента называют зависимость его выходной величины y от входной величины x y = f (x) = y(x) (2.9) в установившемся статическом режиме. Статическая характеристика конкретного элемента может быть задана в формульном виде (например, в виде алгебраической функции y = cx2) или в виде графика (рис. 2.4,а). а в б y y y x 2= x 20= 0 x 2= x 21 x 2= x 22 x 2= x 23 x1 x x1 x2 Рис. 2.4. Статические характеристики элементов с одной (а) и двумя (б, в) входными величинами В общем случае, когда состояние элемента или системы зависит от нескольких входных воздействий x1, x2, …, xm, то статическая характеристика представляет собой функцию нескольких независимых переменных y = f ( x 1 , x 2 ,..., x m ). 38 (2.10) Функция двух переменных x1 и x2 может быть изображена в виде поверхности в трехмерном пространстве с декартовыми координатами y, x1, x2 (рис. 2.4,б) или в виде семейства линий сечений этой поверхности, соответствующих нескольким фиксированным значениям одного из аргументов (рис. 2.4,в). Так как статический режим является частной формой динамического режима, то соответствующая статическая характеристика может быть получена как частный вид дифференциального уравнения. Для этого необходимо в дифференциальном уравнении элемента приравнять все производные по времени нулю (что соответствует определению понятия статический режим) и тогда получим уравнение статики элемента. Большинство конструктивных элементов систем в статическом режиме характеризуется строгими однозначными соотношениями между значениями входной и выходной величин (рис. 2.5,а, б, в). Эти элементы называют статическими, или позиционными. в б а y y y y2 y1 x x г x1 x д y y x x Рис. 2.5. Виды статических характеристик Но некоторые элементы систем не обладают определенными передаточными свойствами в статическом режиме: при различных значениях входной величины x выходная величина y может принимать одно и то же значение (рис. 2.5,г), или, наоборот, при одном и том же значении x величина y может 39 принимать любые значения (рис. 2.5,д). Такие элементы называют астатическими. К ним относятся, например, интегрирующие звенья, которые будут описаны в главе 3. По виду статических характеристик элементы делят на линейные и нелинейные. Статическая характеристика линейного элемента (см. рис. 2.5,б) описывается линейной функцией y = b + ах. У нелинейных элементов связь между входной и выходной величинами выражается обычно в виде степенных функций, степенных полиномов, дробных рациональных и более сложных функций. На рис. 2.6 показаны примеры линейного элемента – двигателя постоянного тока с независимым постоянным возбуждением (а) и нелинейного – генератора постоянного тока с неменяющейся частотой вращения якоря (в) и их статические характеристики – соответственно по каналу «uя – n» (б) и по каналу «iв-eг» (г). Рис. 2.6. Примеры линейного (а, б) и нелинейного (в, г) элементов Нелинейные элементы, в свою очередь, подразделяют на элементы с существенно нелинейной статической характеристикой и элементы с несущественно нелинейной (линеаризуемой) характеристикой. Статическая характеристика является несущественно нелинейной, если она описывается непрерывной дифференцируемой функцией. Практически это 40 математическое условие означает, что график функции y = f(x) должен иметь гладкую форму (см. рис. 2.4,a). В ограниченном диапазоне изменения входной величины x такая характеристика может быть приближенно заменена (аппроксимирована) линейной функцией. Приближенная замена нелинейной функции линейной называется линеаризацией. Линеаризация нелинейной характеристики правомерна, если в процессе работы элемента его входная величина меняется в небольшом диапазоне вокруг некоторого значения x = x0. Статическая характеристика считается существенно нелинейной, если она имеет изломы или разрывы. На рис. 2.5,в в качестве примера приведена характеристика реле, которое при достижении входного сигнала x (ток в обмотке реле) некоторого значения x1 изменит выходной сигнал y (напряжение в коммутируемой цепи) с уровня y1 до уровня y2. Замена такой характеристики прямой линией с постоянным углом наклона привела бы к существенному несоответствию между математическим описанием элемента и реальным физическим процессом, происходящим в элементе. Линеаризацию гладких статических характеристик можно осуществлять либо по методу касательной, либо по методу секущей. Линеаризация по методу касательной заключается в разложении функции y(x) в интервале вокруг некоторой точки x0 в ряд Тейлора и в последующем учете первых двух членов этого ряда: y ( x )  y ( x 0 ) + y  ( x 0 )( x − x 0 ), (2.11) где y′(x0)=f(x0) - значение производной функции f(x) в заданной рабочей точке А с координатами x0 и y0. Геометрический смысл такой линеаризации заключается в замене кривой f(x) касательной ВС, проведенной к кривой в точке (рис. 2.7,а). При расчете систем управления удобно линеаризованные статические характеристики вида (2.11) рассматривать в отклонениях переменных y и x от значений y0 и x0: y − y 0 = y  ( x 0 )( x − x 0 ) 41 (2.12) или  y = k x, (2.13) где Δx = x - x0, Δy = y - y0, k = y′(x0). Следовательно, переход от записи (2.12) к записи (2.13) уравнения статики соответствует переходу от исходной системы координат x0y к системе ΔxAΔy. а б y y  y= y− y0 C C f(x ) f( x ) C' y0 A A y  x= x− x0 B' B B  x0 x x x Рис. 2.7. Линеаризация статических характеристик проведением касательной (а) и секущей (б) Коэффициент пропорциональности k между отклонениями входной и выходной величин в статическом режиме называют передаточным коэффициентом. Передаточный коэффициент является основным параметром линейных и линеаризованных элементов статического типа: его числовое значение полностью характеризует передаточные свойства элемента в статике. Размерность передаточного коэффициента равна отношению размерности выходной величины к размерности входной величины k  =  y   x . (2.14) Например, у электрического двигателя передаточный коэффициент по каналу «напряжение - частота вращения» имеет размерность (об/с)/В. Если исходная статическая характеристика задана в формульном виде, то передаточный коэффициент находят как значение производной в рабочей точке k = f ( x 0 ) = (  y /  x ) x = x , 42 (2.15) а если характеристика задана графически, то передаточный коэффициент может быть определен как тангенс угла α наклона касательной (см. рис. 2.7,а) k = ( m y / m x ) tg  , (2.16) где my, mx – масштабные коэффициенты величин y и x. Линеаризация может быть выполнена и в том случае, если выходная величина является гладкой функцией нескольких переменных. Линеаризованная статическая характеристика в отклонениях будет иметь вид  y = k 1  x 1 + k 2  x 2 + ... + k m  x m , (2.17) где k1, k2, …, km – передаточные коэффициенты, равные значениям частных производных вида (2.15) функции (2.10) в рабочей точке (y0, x10, x20, …, xm0). Линеаризацию по методу секущей осуществляют непосредственно на графике – проведением прямой линии (на рис. 2.7,б линия BC) таким образом, чтобы в некотором заданном диапазоне изменения аргумента x спрямленная характеристика была в среднем как можно ближе к исходной линеаризуемой характеристике f(x). При этом передаточный коэффициент линеаризованной характеристики определяют как отношение соответствующих друг другу приращений: k =  y /  x. (2.18) Формулой (2.18) для определения коэффициента k можно пользоваться и при применении метода касательной. Метод секущей можно использовать и при аналитическом решении задачи линеаризации. При этом указанное выше нестрогое условие близости линеаризованной характеристики к исходной формализуется в виде критерия минимума суммы квадратов отклонений. В заключение отметим, что линеаризация по методу касательной дает хорошее совпадение вблизи рабочей точки и худшее у границ рабочей зоны, а аппроксимирующая прямая, полученная по методу секущей (наименьших квадратов), имеет меньшее среднее расхождение с исходной характеристикой, хотя ее наклон может и не совпадать с наклоном кривой в рабочей точке. 43 Пример. Линеаризуем нелинейную статическую характеристику p = f(q) (рис. 2.8,б) расходомера газа (рис. 2.8,а), состоящего из шайбы Ш в трубопроводе и дифференциального манометра ДМ. Из аэромеханики известно, что перепад давлений р = р1 - р2 (Н/м2) на шайбе, сужающей площадь сечения трубопровода, связан с расходом q (м3/с) квадратичной зависимостью p = cq 2 (2.19) , где c – постоянный коэффициент; в дальнейшем принято с=100 (Н/м2)/(м3/с). Рис. 2.8. Пример линеаризации нелинейного элемента Линеаризацию осуществим в заданной точке q0 = 7 м3/с и p0 = 4,9∙103 Н/м2. Передаточный коэффициент определим по формуле (2.15) как производную функции (2.19) в заданной точке k = (p / q ) q = q =7 = 2 cq = 1400 Н/м м 3 2 . (2.20) /с Теперь можно записать линеаризованные уравнения статики расходомера в абсолютных значениях p = p 0 + k ( q − q 0 ) = 4 , 9  10 3 + 1400 ( q − 7 ) (2.21) или в отклонениях  p = k  q = 1400  q , (2.22) справедливы в заданной точке. Передаточный коэффициент k можно определить по графику на рис. 2.8,б – проведением касательной к точке A. 44 2.4. Линейные дифференциальные уравнения как динамические характеристики Наиболее полной формой математического описания СУ и их элементов является дифференциальное уравнение. Для большинства элементов дифференциальное уравнение, составленное строго в соответствии с законами физики, оказывается нелинейным. Это обстоятельство сильно осложняет все последующие процедуры анализа. Поэтому всегда стремятся перейти от трудно разрешимого нелинейного уравнения к обыкновенному линейному неоднородному дифференциальному уравнению вида a0 d n y (t ) dt = b0 d n m dt + a1 x (t ) m d + b1 n −1 dt d y (t ) n −1 m −1 dt + ... + a n y ( t ) = (2.23) x (t ) m −1 + ... + b m x ( t ), где x(t) и y(t) – входная и выходная величины элемента или системы; ai, bi – коэффициенты уравнения. Уравнение (2.23) устанавливает связь между входной и выходной величинами как в переходных, так и в установившихся режимах. Приравнивая все производные в уравнении динамики (2.23) нулю, можно получить уравнение статики элемента (системы) в следующем общем виде: a n y = b m x или y = bm x = kx . (2.24) an Коэффициенты дифференциального уравнения называются его параметрами. Они зависят от различных физических констант, характеризующих скорость протекания процессов в элементах. Такими константами являются, например, массы движущихся частей, индуктивности и емкости электрических цепей, теплоемкости нагреваемых элементов. Иногда параметры некоторых элементов систем изменяются во времени, причем скорость их изменения соизмерима со скоростью процессов управления в системе. Тогда систему называют нестационарной или системой с переменными параметрами. В большинстве же практических случаев коэффи45 циенты уравнения существенно не изменяются и системы являются системами с постоянными параметрами. В дальнейшем будут рассматриваться только такие системы. Для систем управления, описываемых линейным уравнением (2.23), справедлив принцип наложения или суперпозиции, согласно которому изменение выходной величины y(t), возникающее при действии на систему нескольких входных сигналов xi(t), равно сумме изменений yi(t) величины y(t), вызываемых каждым сигналом в отдельности. Это свойство линейных систем имеет большое практическое значение, так как благодаря ему значительно облегчаются все расчеты. Дифференциальное уравнение (2.23) можно представить в символической (операторной) форме. Переход к этой форме записи осуществляют введением сокращенного условного обозначения операции дифференцирования: d…./dt=p. Соответственно i-ю производную переменной y обозначают i d y (t ) dt i i = p y ( t ), (2.25) тогда уравнение (2.23) в символической форме будет иметь вид: (a0 p n + a1 p n −1 + ... + a n ) y ( t ) = ( b 0 p m + b1 p m −1 + ... + b m ) x ( t ). (2.26) Многочлены от p степени n и m, находящиеся в левой и правой частях уравнения (2.26), называют дифференциальными операторами. Каждый такой оператор устанавливает соответствие между функцией времени и определенной совокупностью производных этой функции. Многочлен a0 p n + a1 p n −1 + ... + a n = D ( p ) (2.27) называют собственным или характеристическим оператором, а многочлен b0 p m + b1 p m −1 + ... + b m = K ( p ) (2.28) – входным оператором, или оператором воздействия. Название «собственный» обусловлено тем, что многочлен D(p) характеризует собственное движение элемента, т. е. движение при отсутствии внешних воздействий. 46 Дифференциальное уравнение, записанное в символической форме (2.26), называют операторным уравнением динамики элемента (системы). У всех реальных элементов и систем порядок наивысшей производной во входном операторе не может быть больше порядка наивысшей производной в собственном операторе, т. е. обычно m ≤ n. Если в процессе каких-либо формальных выкладок образуется уравнение, у которого m > n, то говорят, что это уравнение соответствует физически нереализуемой системе. Уравнения элементов невысокого порядка (n < 3) в теории управления принято записывать в так называемой стандартной форме. При стандартной форме записи уравнение преобразовывают таким образом, чтобы коэффициент при выходной величине был равен единице. При этом коэффициент перед входной величиной в правой части уравнения становится равным передаточному коэффициенту, а коэффициенты при производных выходной величины будут иметь размерность времени в степени, равной порядку соответствующей производной. Например, уравнение второго порядка a0 p 2 + a 1 p + a 2 ) y ( t ) = ( b 0 p + b1 ) x ( t ) (2.29) путем деления всех членов на коэффициент a2 может быть приведено к стандартной форме (T где 2 2 p 2 ) + T 1 p + 1 y ( t ) = k ( Tp + 1 ) x ( t ), (2.30) 2 k = b1 / a 2 ; T = b 0 / b1 ; T 1 = a 1 / a 2 ; T 2 = a 0 / a 2 . Коэффициенты Т, Т1, Т2 принято называть постоянными времени. Они характеризуют динамические свойства элемента или системы. Пример. Составим дифференциальное уравнение механического колебательного устройства (рис. 2.9), состоящего из подвижной части с массой m (кг) и упругого элемента с коэффициентом упругости kуп. В качестве входной переменной x будем рассматривать силу f (Н), а выходной y - перемещение l (м) центра массы. Согласно известному закону механики – принципу д'Аламбера – активная (внешняя) сила f уравновешивается суммой сил инерции fин, трения fтр и упругой реакции fуп f ин ( t ) + f тр ( t ) + f уп ( t ) = f ( t ). 47 (2.31) x ( t) = f( t) k уп m k тр Y ( t) = l( t) s Рис. 2.9. Схема механического колебательного устройства Сила инерции пропорциональна ускорению и массе 2 f ин ( t ) = md l ( t ) dt 2 (2.32) . Силу трения будем считать пропорциональной скорости движения: f тр ( t ) = k тр dl ( t ) dt . (2.33) Сила упругой реакции пропорциональна перемещению F уп ( t ) = k уп l ( t ) . (2.34) Подставляя выражения (2.32), (2.33) и (2.34) в уравнение сил (2.31), получим линейное дифференциальное уравнение общего вида 2 m d l (t ) dt 2 + k тр dl ( t ) dt + k уп l ( t ) = f ( t ) (2.35) + l ( t ) = kf ( t ), (2.36) и после деления на kуп – в стандартной форме 2 2 T2 d l (t ) dt 2 + T1 dl ( t ) dt где k = 1 k уп – ПК устройства, Нм; T 1 = k тр k уп , T 2 = + m k уп – постоянные времени, с. 2.5. Временные (переходные) характеристики Дифференциальное уравнение является самой общей формой описания элемента и не дает наглядного представления о передаточных свойствах элемента. Наглядное представление об этих свойствах дает функция y(t), являющаяся решением дифференциального уравнения. Но одно и то же дифференциальное уравнение может иметь, как известно, много решений, конкретный вид которых зависит от начальных условий и от характера функции x(t), т. е. от начального состояния элемента и от вида внешнего воздействия. Поэтому 48 принято динамические свойства элементов и систем характеризовать решением, соответствующим нулевым начальным условиям и одному из типовых воздействий. В качестве типовых воздействий принимают единичное ступенчатое, дельта-функцию или гармоническое. Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дают его переходные функции или переходные характеристики. Переходной функцией (характеристикой) h(t) называют изменение выходной величины y(t) во времени, возникающее после подачи на вход единичного ступенчатого воздействия, при нулевых начальных условиях. Переходная функция может быть задана в виде графика (рис. 2.10,а) или в формульном виде. Формульное выражение функции h(t) для конкретного элемента можно найти, решая его дифференциальное уравнение при x(t)=1(t) и при y(-0)=y(1) (-0)=…=y(n-1)(-0)=0. Второе условие означает, что выходная величина у и ее производные до (n-1)го порядка непосредственно перед подачей ступенчатого воздействия равны нулю. а б x (t) x ( t) 1 (t)  ( t) 1 t y ( t) y (t) h (t) t w (t) t t Рис. 2.10. Переходная (а) и импульсная переходная (б) характеристики Переходная функция h(t), как и любое решение неоднородного дифференциального уравнения вида (2.23), имеет две составляющие: вынужденную hв(t) и свободную hс(t): h ( t ) = h в ( t ) + h с ( t ). 49 (2.37) Вынужденная составляющая hв(t) переходного процесса представляет собой, как известно, частное решение исходного уравнения. При единичном ступенчатом воздействии 1(t) вынужденная составляющая равна установившемуся значению выходной величины, которое для статических элементов может быть определено непосредственно из дифференциального уравнения (при нулевых производных) h в ( t ) = ( b m a n )  1( t ) . (2.38) Свободная составляющая hс(t) может быть найдена как общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения в следующем виде (при отсутствии одинаковых корней): n hс (t ) =  Cke kt (2.39) , k =1 где k – корни характеристического уравнения; С k – постоянные интегриро- вания, зависящие от начальных условии. Характеристическое уравнение, соответствующее определенному дифференциальному уравнению, представляет собой алгебраическое уравнение, степень и коэффициенты которого совпадают с порядком и коэффициентами левой части этого дифференциального уравнения. Для дифференциального уравнения, записанного в форме (2.23), характеристическое уравнение имеет вид n a 0  + a1 n −1 + ... + a n = 0 . (2.40) Структура характеристического уравнения (2.40) совпадает со структурой левой части дифференциального уравнения, записанного в символической форме (2.26), и со структурой собственного (характеристического) оператора D(p) (см. (2.27)). Поэтому при записи характеристического уравнения часто вместо символа λ, обозначающего неизвестную переменную алгебраического уравнения, используют тот же символ р. Но при этом р означает уже не операцию дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения. 50 Для линейных элементов и систем, кроме принципа суперпозиции, справедливо еще одно общее правило: реакция y(t) на неединичное ступенчатое воздействие a01(t) равна произведению переходной функции h(t) на величину множителя a0, т. е. y(t)= a0h(t). Это свойство широко используется при исследовании и расчете линейных систем. Импульсной переходной функцией w(t) называют изменение выходной величины y(t), возникающее после подачи на вход дельта-функции, при нулевых начальных условиях (рис. 2.10,б). Если входное воздействие представляет собой неединичный импульс a0δ(t), ординаты функции выходной величины y(t) будут в a0 раз больше ординат функции w(t), т. е. y(t)=a0w(t). Импульсная переходная функция w(t) равна производной от переходной функции h(t) w ( t ) = dh ( t ) dt . (2.41) При помощи импульсной переходной функции элемента можно определить его реакцию на входное воздействие произвольного вида. Связь между изменениями входной и выходной величин во времени устанавливается интегралом свертки (интегралом Дюамеля) t y (t ) = t  x (  )w ( t − ) =  x (t −  )w (  ) d  . (2.42) Пример. Найдем переходную функцию h(t) элемента, описываемого уравнением ( a о p + a 1 ) y ( t ) = b1 x ( t ). (2.43) Переходная функция имеет две составляющие: (2.44) h ( t ) = h в ( t ) + h с ( t ). Вынужденная составляющая согласно (2.38) в данном случае h в ( t ) = ( b1 a 1 )  1 ( t ). (2.45) Свободную составляющую будем искать в виде − a1t a 0 hc (t ) = C 1e Учитывая начальное условие y(0)=0, получим Тогда h (t ) = b1 a1 (1 − e − a1t a 0 51 (2.46) . C 1 = ( − b1 a 1 )1 ( t ). )  1 ( t ). (2.47) 2.6. Операторный метод и передаточная функция Наиболее распространенным методом описания и анализа элементов и систем управления является операторный метод (метод операционного исчисления). В основе метода лежит преобразование Лапласа  X ( p) = x ( t ) =  x ( t )e − pt (2.48) dt , которое устанавливает соответствие между функциями действительной переменной t и функциями комплексной переменной р. Функцию времени x(t), входящую в интеграл Лапласа (2.48), называют оригиналом, а результат интегрирования – функцию Х(р) – изображением функции x(t) по Лапласу. В табл. 2.1 приведены изображения некоторых простейших фун кций времени, наиболее часто используемых в расчетах СУ. Таблица 2.1 Изображения простейших функций времени по Лапласу Наименование функций Дельта-функция Ступенчатая Линейная Степенная Экспонента x (t ) X ( p)  (t ) 1 a 0 1( t ) a1t  1( t ) q a q t 1( t ) e −t 1( t ) a0 a1 p p 2 a q  q! p q +1 1 (p + ) Преобразование Лапласа выполнимо лишь для таких функций времени, которые равны нулю при t<0. Это условие обеспечивается обычно умножением функции x(t) на единичную ступенчатую функцию 1(t). С математической и физической точек зрения такой искусственный прием вполне корректен, так как функции x(t) описывают процессы в СУ, начинающиеся с некоторого момента времени, а этот момент времени всегда может быть принят за начало отсчета. Некоторые свойства преобразования Лапласа, используемые при анализе автоматических систем, указаны в табл. 2.2. 52 Таблица 2.2 Некоторые свойства преобразования Лапласа Наименование Линейность Оригинал Изображение ax ( t ) aX ( p ) x1 ( t )  x 2 ( t ) Правило дифференцирования (при нулевых начальных условия) i d x ( t ) dt t Правило интегрирования (при нулевых начальных условия) i ( p) 2 X ( p) p i t  ...  x (  ) d  Смещение аргумента оригинала (теорема запаздывания) Теорема о начальном значении оригинала Теорема о конечном значении оригинала X 1( p)  X i X ( p) p i − p x (t −  ) X ( p )e lim x ( t ) lim pX ( p ) t→ 0 p→  lim x ( t ) lim pX ( p ) t→  p→ 0 Широкое распространение операторного метода в теории управления обусловлено тем, что с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является компактной формой описания динамических свойств элементов и систем. Применим преобразование Лапласа к линейному дифференциальному уравнению (2.23), полагая, что до приложения внешнего воздействия система находилась в покое и что все начальные условия равны нулю. Используя свойство линейности и правило дифференцирования (см. табл. 2.2), можно получить алгебраическое уравнение в изображениях D ( p ) Y ( p ) = K ( p ) X ( p ), где D ( p) = a0 p n K ( p ) = b0 p + a1 p m n −1 + b1 p (2.49) + ... + a n ; m −1 + ... + b m . Сравнивая уравнение (2.49) с уравнением в символической форме (2.26), можно заметить полную аналогию их структур. Различие уравнений лишь в значении символа p: в первом уравнении он обозначает операцию дифференцирования, во втором – комплексную переменную. 53 Введем теперь понятие передаточной функции (сокращенно – ПФ). Передаточной функцией W(р) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях W ( p) = Y ( p) X ( p). (2.50) Для системы, описываемой уравнением (2.23), ПФ равна отношению входного оператора K(р) к собственному оператору D(р) W ( p) = K ( p) = D ( p) b0 p a0 p m + b1 p m −1 + ... + b m n + a1 p n −1 + ... + a n (2.51) . Как следует из определений (2.50) и (2.51), ПФ представляет собой некоторый динамический оператор, характеризующий прохождение сигналов через линейный элемент (рис. 2.11,а). а Y (p ) X (p ) б W (p ) в Z 1(p ) Z 2(p ) u 1(p ) r L Z (p )= r Z (p )= p L u 2(p ) C Z (p )= 1 /p C Рис. 2.11. Схемы для определения передаточной функции электрического четырехполюсника Передаточную функцию формально можно получить из дифференциального уравнения заменой в нем символа кратного дифференцирования на соответствующую степень р и делением образованного таким образом многочлена правой части уравнения на многочлен левой части. Передаточную функцию электрических четырехполюсн иков удобно получить, пользуясь понятием операторного сопротивления. Для этого четырехполюсник необходимо представить в виде схемы делителя напряжения (рис. 2.11,б), состоящей из двух операторных сопротивлений Z1(р) и Z2(р). Тогда ПФ между напряжениями u1 и u2 может быть определена как отношение выходного сопротивления W ( p) = Z вых ( p ) = Z 2 ( p ) u2( p) u1 ( p ) = Z вых ( p ) Z вх ( p ) 54 = к входному Z вх ( p ) = Z 1 ( p ) + Z 2 ( p ) : Z2( p) Z1( p) + Z 2 ( p) , (2.52) где Z1(р) и Z2(р) найдены как эквивалентные операторные сопротивления входного и выходного участков, состоящих из типовых элементов электрических цепей (рис. 2.11,в). Рассмотрим теперь основные свойства и особенности передато чных функций систем управления и их элементов. Передаточная функция элемента связана с его импульсной переходной функцией преобразованием Лапласа  W ( p) = w ( t )  =  w ( t )e − pt dt , (2.53) соответственно наоборот w (t ) = -1 W ( p ) . (2.54) Получим в соответствии с теоремами Лапласа о начальном и конечном значениях оригинала (см. табл. 2.2) соотношения, позволяющие по передаточной функции вычислить значения переходной функции h(t) в моменты времени t=0 и t=∞ W ( 0 ) = h (  ) и W (  ) = h ( 0 ). (2.55) У реальных элементов систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями вида (2.23), ПФ представляет собой правильную рациональную дробь, у которой степень многочлена числителя меньше или равна степени многочлена знаменателя, т. е. m≤n. Все коэффициенты ПФ – действительные числа, характеризующие параметры элемента (системы). ПФ является функцией комплексной переменной р=α±jβ, которая может при некоторых значениях переменной р обращаться в нуль или бесконечность. Значение переменной р, при котором функция W(р) обращается в нуль, называют нулем, а значение, при котором обращается в бесконечность, – полюсом передаточной функции. Очевидно, что нулями передаточной функции являются корни полинома К(р), а полюсами – корни полинома D(р). Корни полиномов числителя и знаменателя могут быть комплексными, мнимыми и веще- 55 ственными числами (в том числе и нулевыми). Если эти корни известны, то ПФ может быть представлена в следующем виде: W ( p) = где i- b 0 ( p −  1 )( p −  2 )...( p −  m ) a 0 ( p −  1 )( p −  2 )...( p −  n ) корни многочлена К(р) (нули ПФ); i (2.56) , - корни многочлена D(р) (полюсы ПФ). Таким образом, каждой конкретной ПФ с заданными коэффициентами соответствует вполне определенное сочетание нулей и полюсов. По распределению нулей и полюсов ПФ на комплексной плоскости с координатами α и jβ можно судить о свойствах элемента или системы. Если полиномы D(р) и К(р) имеют один или несколько нулевых корней, то ПФ удобно записывать в такой форме, чтобы полюсы и нули были выделены в явном виде. Так, если ПФ имеет в точке р=0 полюс кратности ν, то её удобно записать в виде W ( p ) = kW где W * ( p) *  ( p) (2.57) p , при p→0 стремится к единице. Передаточная функция (2.56) имеет полюсы в точке p=0, когда один или несколько младших коэффициентов многочлена равны D(p) нулю: Такую передаточную функцию можно a n = a n − 1 = ... a n −  + 1 = 0 (  = 0 ; 1; 2;...). представить в виде W ( p) = k p где  W * ( p) = k p  m + B1 p m −1 n− + A1 p n −  −1 B0 p  A0 p + ... + 1 + ... + 1 , (2.58) B i = b i b m при i = 0 ; 1; 2; ...; m ; A i = a i a n −  при i = 0 ; 1; 2; ...; n −  ; k = b m a n −  . Величину ν называют порядком астатизма. Коэффициент k имеет размерность  k  =  y   x t   (2.59) и с некоторой условностью может быть назван передаточным коэффициентом. Условность заключается в том, что понятие «передаточный коэффициент» бы56 ло введено в качестве характеристики статического режима, а у элементов с ν≠0 статический режим работы не существует. Если ν =0, то элемент называется статическим, а его передаточная функция при р=0 равна передаточному коэффициенту W ( 0 ) = kW * (0 ) = bm a n = k . (2.60) Пример 1. Найдем ПФ электрического колебательного контура, который представлен в виде четырехполюсника (рис. 2.11, б), причем входной участок образован последовательным соединением резистора r и индуктивности L, а выходной – из емкости С. Операторные сопротивления участков: Z1(p)=r +pL, Z2(p)=1/pC. Согласно (2.52) ПФ равна W ( p) = u ( p) 2 = u ( p) 1 где T2 = LC ; T 1 = rC 1 / pС = r + pL + 1 / pC 1 T p +T p +1 2 2 2 , (2.61) 1 . Пример 2. Определим ПК системы, описываемой ПФ вида 2 W ( p) = 6p + 4p + 2 3 2 24 p + 16 p + 4 p (2.62) . Запишем формулу (2.62) согласно (2.58) 2 W Откуда ПК ( p) = 2 ( 3 p + 2 p + 1) 2 4 p ( 6 p + 4 p + 1) . (2.63) −1 k = 2 / 4 = 0, 5c . 2.7. Частотные характеристики Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и систем в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Зная частотную характеристику элемента, можно определить реакцию элемента на гармоническое воздействие любой частоты, а также на сумму гармонических воздействий различной частоты. 57 Рассмотрим физическую сущность и разновидности частотных характеристик. Пусть на вход линейного элемента (рис. 2.12,а) в момент времени t=0 подано гармоническое воздействие определенной частоты ω x ( t ) = x m sin  t . (2.64) б а x ( t) 0  x ( t) = x m s in  t X (j ) y ( t) ym W (j ) y ( t) xm y ( t) = y m s in (  t +  ) x ( t) Y (j ) t −+  t 2 T=  Рис. 2.12. Схема для определения понятий частотного метода Через некоторое время, необходимое для протекания переходного процесса (т. е. для исчезновения свободной составляющей), элемент войдет в режим установившихся вынужденных колебаний, а выходная величина y(t) будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой ω, но с отличающейся амплитудой ym и со сдвигом Δtφ по оси времени (рис. 2.12,б): y ( t ) = y m sin(  t +  ), (2.65) где φ=(Δtφ/T)360° – фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами, градус. Повторяя такой эксперимент при фиксированном xm для различных значений частоты (от 0 до ∞), можно установить, что амплитуда ym и фазовый сдвиг φ выходного сигнала конкретного элемента зависят от частоты воздействия. Подавая гармоническое воздействие на вход различных элементов, можно убедиться, что величины ym и φ зависят также от типа параметров элемента. Следовательно, зависимость амплитуды ym и сдвига φ от значений частоты ω могут служить характеристиками динамических свойств элементов. Так как амплитуда выходного сигнала ym зависит еще и от амплитуды входного сигнала xm, то целесообразно при описании передаточных свойств элементов рассматривать отношение амплитуд 58 ym xm . Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты называют амплитудной частотной характеристикой (сокращенно – АЧХ). Она обозначается А(ω). Зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) φ(ω). Возможный вид этих характеристик показан на рис. 2.13,а и б. Аналитические выражения А(ω) и φ(ω) называют соответственно амплитудной и фазовой частотными функциями. а г L ( ), д Б A ( ) k A (  i) 2 0 lg k 60 10 i  L 20 -1 -1 La 40 10 10  c1 1 10 2 10  c2 2 1 3 в б  рад с lg   декада jQ ( )  ( ) =  (  i) 3   (  i) W (j A ( i -2 7 0 ° ) k =0 1  i P ( ) 2 ) i Рис. 2.13. Частотные характеристики: а – амплитудная; б – фазовая; в – амплитудно-фазовая; г – логарифмическая АЧХ показывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Оценка пропускания производится по отношению амплитуд ym xm . АЧХ име- ет размерность, равную отношению размерности выходной величины к размерности входной. ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах. Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ или АФХ). Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(jω) представляет собой функцию комплексного переменного jω, модуль которой равен A(ω), а аргумент равен φ(ω). Каждому фиксированному значению частоты ωi соответ59 ствует комплексное число W(jωi), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину A(ωi) и угол поворота φ(ωi) (рис. 2.13,в). Отрицательные значения φ(ω), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси. При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(jω) будет поворачиваться вокруг начала координат, одновременно будет увеличиваться или уменьшаться длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты. Проекции вектора W(jω) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной частотной характеристикой и мнимой частотной характеристикой. Обозначают их так: P (  ) = Re W ( j  ), Q (  ) = Im W ( j  ) . От- метим, что действительная частотная характеристика P(ω) – всегда четная функция частоты, а мнимая Q(ω) – всегда нечетная функция. Аналитическое выражение для АФХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции – путем подстановки p=jω W ( j ) = W ( p ) (2.66) p = j поэтому АФЧХ иногда называют частотной передаточной функцией. АФХ W(jω), как и любая комплексная величина, может быть представлена в показательной форме W ( j  ) = A (  ) e j (  ) (2.67) W ( j  ) = P (  ) + jQ (  ) (2.68) или алгебраической Связь между различными частотными функциями следующая: A ( ) = W ( j ) = 2 2 P ( ) + Q ( ) ;  (  ) = arg W ( j  ) = arctg ( Q (  ) P (  ) ). 60 (2.69) (2.70) Поскольку АФХ W(jω) так же, как и ПФ, представляет собой обычно дробь, то ее модуль может быть найден по известному правилу – как отношение модуля числителя к модулю знаменателя: A (  ) = W ( j ) = K ( j ) D ( j ) , (2.71) а аргумент функции W(jω) - как разность аргументов числителя и знаменателя  (  ) = arg W ( j  ) = arg K ( j  ) − arg D ( j  ). (2.72) При практических расчетах СУ удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причем эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений, при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик. За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением ωi, и его десятикратным значением 10ωi. Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1. Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) L (  ) = 20 lg A (  ), (2.73) ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах или децибелах (сокращенно дБ). Бел – единица измерения отношения мощностей двух сигналов. Если мощность одного сигнала больше (меньше) мощности другого сигнала в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 бел (lg10=1). Так как мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то при приме61 нении этой единицы для измерения отношения амплитуд перед логарифмом появляется множитель 2. Например, если на некоторой частоте A(ω)=100, то это означает, что мощности входного и выходного сигналов отличаются в 1002 раз, т. е. на 2lg100=4 бела или на 40 дБ, соответственно и L(ω)=20lgА(ω)=40 дБ. При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяют только для оси абсцисс. На рис. 2.13,г показаны ЛАЧХ L(ω) (жирная линия) и соответствующая ей приближенная (асимптотическая) характеристика La(ω) в виде прямолинейных отрезков (тонкая линия). Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называются сопрягающими и обозначаются ωс. АФХ элемента связана с его импульсной переходной функцией преобразованием Фурье  W ( j  ) = F { w ( t )} =  w (t )e − j t (2.74) dt . Пример. Найдем аналитические выражения для частотных характеристик элемента, ПФ которого имеет вид W ( p ) = ( b 0 p + b1 ) ( a 0 p + a 1 ). (2.75) Амплитудно-фазовая функция элемента W ( j  ) = ( b 0 j  + b1 ) ( a 0 j  + a 1 ). (2.76) Выражение для амплитудной частотной характеристики найдем как отношение модулей числителя и знаменателя A ( ) = b 0 j  + b1 a 0 j + a1 = 2 2 b1 + b 0  2 2 2 2 a1 + a 0  . , (2.77) а для фазовой – как разность аргументов числителя и знаменателя  (  ) = arg( b1 + jb 0  ) − arg( a 1 + ja 0  ) = arctg (b 0  b1 ) − arctg (a 0  a 1 ). (2.78) 2.8. Статические и динамические характеристики типовых соединений элементов Алгоритмическая структура любой СУ представляет собой комбинацию трех типовых соединений элементов: последовательного, параллельного и 62 встречно-параллельного (охват обратной связью). Если эти соединения состоят из элементов направленного действия (см. раздел 2.1), то каждое соединение может быть по простым правилам заменено одним элементом, статические и динамические свойства которого эквивалентны свойствам всего соединения. При последовательном соединении (рис. 2.14,а) выходная величина каждого предыдущего элемента является входным воздействием для последующего элемента. Если элементы линейны и в статике характеризуются передаточными коэффициентами k1, k2,…, ki,…, kn, то, согласно определению передаточного коэффициента, можно записать n kэ = y x = k 1 k 2 ... k i ... k п =  (2.79) ki . i =1 Таким образом, общий передаточный коэффициент последовательно соединенных элементов равен произведению передаточных коэффициентов этих элементов. Размерность общего передаточного коэффициента равна произведению размерности коэффициентов. а x= x1 k1 x1 x x2 xn y 1= x 2 k1 k2 kn k2 y2 xi y1 ki yi xn xп x  y2 kn y n= y y п= y kп y yос k ос x ос yn Рис. 2.14. Типовые соединения линейных элементов: а – последовательное; б – параллельное; в – встречно-параллельное (с обратной связью) Так как при последовательном соединении выход каждого предыдущего элемента является входом последующего, то передаточные коэффициенты всех элементов должны определяться путем линеаризации статических характеристик в точках, соответствующих одному и тому же режиму. 63 Параллельным соединением называют такое соединение, при котором на вход всех элементов поступает одно и то же воздействие, а их выходные величины (с соответствующими знаками) суммируются (рис. 2.14,б). Согласно этому определению, получим y = ( k 1 + k 2 + ... + k i + ... + k п ) x . (2.80) Отсюда следует, что эквивалентный ПК параллельно соединенных линейных элементов равен сумме передаточных коэффициентов элементов: n kэ =  ki. (2.81) i =1 Отметим, что суммирование сигналов yi в одной точке возможно лишь в том случае, если они имеют одинаковую размерность. Поэтому коэффициенты всех параллельно соединенных элементов и их общий коэффициент kэ всегда имеют одну и ту же размерность. Встречно-параллельным соединением двух элементов (соединением с обратной связью) называют такое соединение, при котором выходной сигнал первого элемента поступает на вход второго, а выходной сигнал второго элемента с соответствующим знаком суммируется с общим входным сигналом (рис. 2.14,в). Первый элемент, в котором направление передачи сигнала совпадает с направлением передачи общего сигнала, называют элементом прямой цепи. Второй элемент, у которого направление передачи сигнала противоположно направлению передачи общего сигнала, называют элементом обратной связи. В зависимости от знака сигнала обратной связи различают положительные и отрицательные обратные связи. Если сигнал обратной связи yос суммируется (на схеме знак «+») с общим входным сигналом х, то обратная связь является положительной. Если сигнал обратной связи вычитается из общего сигнала (на схеме знак «-»), то обратная связь является отрицательной. Рассмотрим статические свойства соединения с обратной связью. Пусть элементы прямой и обратной связи линейны и характеризуются коэффициен64 тами kп и kос. Тогда, согласно определению понятия «обратная связь», можно записать уравнения: прямой цепи y = kп xп ; (2.82) y ос = k ос y ; (2.83) x п = x  y ос . (2.84) обратной цепи и узла суммирования Подставляя выражение (2.83) в (2.84), а затем выражение (2.84) в (2.82), получим уравнение статики всего соединения с обратной связью y = xk п (1  k п k ос ). (2.85) Отсюда эквивалентный ПК kэ = kп (1  k п k ос ) . (2.86) где знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «-» положительной. Формула (2.86) выражает одно из фундаментальных правил теории управления: эквивалентный ПК элемента, охваченного отрицательной обратной связью, равен коэффициенту прямой цепи, разделенному на единицу плюс произведение коэффициентов прямой и обратной связи. Размерность эквивалентного ПК равна размерности коэффициента kп. Произведение коэффициентов kпkос всегда безразмерно. Из выражения (2.86) следует, что отрицательная обратная связь уменьшает эквивалентный коэффициент, а положительная – увеличивает. Если при положительной обратной связи произведение коэффициентов kпkос равно единице, то коэффициент kэ возрастает до бесконечности. А если kпkос>1, то положительная обратная связь превращает соединение в инвертор (элемент, изменяющий знак входного сигнала) с эквивалентным коэффициентом kэ. Анализируя формулу (2.86), можно показать, что отрицательная обратная связь уменьшает отклонения выходной величины, возникающие в исходной 65 прямой цепи из-за нестабильности коэффициента kп, в (1+ kпkос) раз. Нестабильность самого коэффициента kос обратной связью не компенсируется. Соединение с отрицательной обратной связью обладает еще одним замечательным свойством: при достаточно большом значении произведения kпkос эквивалентный ПК практически не зависит от коэффициента kп. Действительно при kпkос>>1 k э  k п k п k ос = 1 k ос . (2.87) Это свойство широко используется при конструировании высоко стабильных устройств из элементов с меняющимися коэффициентами. Таким образом, отрицательная обратная связь всегда уменьшает проявление нестабильности параметров охватываемого элемента и оказывает стабилизирующее действие на передаточные свойства прямой цепи. Заметим, что в случаях, когда статические характеристики отдельных элементов нелинейны, то нельзя применять формулы (2.79), (2.81), (2.86) и эквивалентные характеристики соединений можно определить только графическими построениями. Рассмотрим теперь правила нахождения эквивалентных динамических характеристик типовых соединений. Выражения для эквивалентных ПФ типовых соединений можно получить так же, как и выражения (2.79), (2.81) и (2.86) для ПК. Эквивалентная ПФ последовательного соединения из n элементов равна произведению п ПФ элементов n Wэ( p) = Y ( p) X ( p) =  W i ( p ). (2.88) i =1 Соответственно эквивалентная АФЧХ последовательного соединения также равна произведению 66 n W э ( j ) =  n W i ( j ) = i =1  Ai (  ) e j i (  ) . (2.89) i =1 Эквивалентная АЧХ этого соединения может быть получена как модуль произведения (2.89) и равна произведению отдельных АЧХ n Aэ ( j ) = W i ( j ) =  Ai (  ) , (2.90) i =1 а эквивалентная ФЧХ – как аргумент произведения и равна сумме ФЧХ n  э (  ) = arg W i ( j  ) =   i (  ). (2.91) i =1 В соответствии с (2.90) эквивалентная ЛАЧХ может быть получена как сумма ЛАЧХ отдельных элементов, соединенных последовательно n Lэ ( ) =  L i (  ). (2.92) i =1 Эта возможность широко используется в практических расчетах. При параллельном соединении n элементов эквивалентная ПФ равна сумме n ПФ элементов n Wэ( p) =  W i ( p ). (2.93) i =1 Как сумма могут быть найдены и такие эквивалентные характеристики параллельного соединения, как Wэ(jω), hэ(t) и wэ(t). Наконец, для соединения с обратной связью эквивалентная ПФ аналогично (2.86) Wэ( p) = Wп( p) (1  W п ( p )W ос ( p ) ). (2.94) где знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «-» положительной. Нетрудно убедиться, что при больших значениях ПК прямой цепи эквивалентная ПФ встречно-параллельного соединения с отрицательной обратной связью, аналогично (2.87), принимает вид W э ( p )  1 W ос ( p ). 67 (2.95) Соотношение (2.95) выражает свойство так называемой предельной системы, динамические свойства которой определяются только свойствами звена обратной связи. 2.9. Элементарные операции машинного математического моделирования Для экспериментального исследования динамических свойств СУ широко применяется машинное моделирование, осуществляемое на различных видах ЭВМ. Используются два основных метода машинного моделирования: метод аналогового моделирования, реализуемый на АВМ, и метод цифрового моделирования, реализуемый на ЦВМ. При аналоговом моделировании решение динамической задачи воспроизводится в виде электрического переходного процесса, адекватного свойствам исследуемой СУ. Результат решения наблюдают на экране осциллографа или регистрируют с помощью записывающих приборов. Цифровое моделирование заключается в выполнении определенной последовательности вычислительных процедур, соответствующих решению дифференциальных уравнений системы. Результат решения получается на экране дисплея или выводится на печатающее устройство. При аналоговом и цифровом моделировании систем управления наиболее широко применяется методика структурного моделирования, согласно которой в машинной модели воспроизводится физическая структура исследуемой системы, расчлененная на элементарные математические операции (интегрирование, умножение на постоянный коэффициент, суммирование и др.). Эти элементарные операции реализуются при аналоговом моделировании на операционных усилителях, а при цифровом – соответствующими программами вычислений. Ниже описаны основные операционные элементы, используемые при аналоговом моделировании линейных систем. 68 а в д uy ux r1 r1 c r2 r1 − ux r2 −uy + − ux + −uy u y(0 ) г б ux   = r2/r1 uy −uy ux k вх= r 2/r 1 е ux −uy k в х = 1 /r 1 C Рис. 2.15. Операционные элементы аналоговых моделей: а – потенциометр; в – операционный усилитель; д – операционный усилитель интегрирующий; б, г, е – соответствующие условные обозначения элементов Простейшим элементом аналоговой модели является потенциометр (рис. 2.15,а), умножающий входное напряжение ux на постоянный коэффициент α: uy = ux, где  = r2 r1 – (2.96) коэффициент, который можно изменять от 0 до 1. На схемах модели потенциометр изображается в виде кружочка (рис. 2.15,б). Основным элементом при аналоговом моделировании служит операционный (решающий) усилитель – электронный усилитель постоянного тока с большим коэффициентом усиления (k=104...106), охваченный отрицательной обратной связью. Характер математических операций, выполняемых таким усилителем, зависит от операторных сопротивлений Zвх(p) и Zо.с(p), включенных на входе и в обратную связь усилителя. Передаточная функция операционного усилителя, связывающая входное и выходное напряжения, W ( p ) = − u y ( p ) u x ( p ) = − Z ос ( p ) Z вх , (2.97) где знак минус указывает, что одновременно с математическим преобразованием входного сигнала усилитель меняет его полярность на противоположную. 69 Так, если на входе и в обратную связь включены активные сопротивления r1 и r2 (рис. 2.15,в), то операционный усилитель выполняет функции масштабного блока – умножает входной сигнал ux на постоянный коэффициент k ос = − r2 r1 , (2.98) который можно изменять в широких пределах. Условное обозначение масштабного усилителя показано на рис. 2.15,г. В частном случае, когда r1= r2 и kвх = -1, масштабный усилитель используется как инвертор только для изменения полярности входного сигнала. Если на входе стоит резистор r1, а обратная связь образована емкостью С с операторным сопротивлением Z ос ( p ) = 1 pC (рис. 2.15,д), то операционный усилитель является интегратором с передаточной функцией W ( p ) = − Z ос ( p ) Z вх ( p ) = − (1 pC ) r1 = − 1 r1 Cp . (2.99) Условное обозначение интегратора показано на рис. 2.15,е. Коэффициент k вх = 1 r1 C характеризует скорость интегрирования входного сигнала. Масштабный и интегрирующий усилители могут одновременно выполнять суммирование нескольких входных сигналов. При таком совмещении основной функции усилителя и функции суммирования операторное сопротивление обратной связи для всех суммируемых сигналов всегда одинаково, а входные сопротивления для отдельных сигналов могут быть различными. Поэтому коэффициенты kвх для отдельных масштабируемых или интегрируемых слагаемых также могут быть разными. Контрольные задания и вопросы 1. В чем заключается свойство однонаправленности передачи воздействий отдельным элементом (например, электрическим четырехполюсником)? 2. Какие типовые воздействия используются при изучении динамики элементов и систем? 3. Поясните понятие переходного и установившегося режима на графике процесса y(t), возникшего на выходе статического элемента после ступенчатого воздействия на его вход. 4. Как классифицируются элементы систем управления по виду статических характеристик? 70 5. Как из дифференциального уравнения элемента получить его уравнение статики? Найдите из дифференциального уравнения общего вида (2.23) выражение для ПК. 6. Как получить в общем случае переходную функцию из дифференциального уравнения? 7. Как связаны друг с другом переходная и весовая функции? 8. Дайте определение ПФ и запишите соответствующее выражение. 9. Как из дифференциального уравнения элемента получить его ПФ? 10. Продемонстрируйте на простейшем электрическом четырехполюснике типа r-С или r-L методику получения ПФ, основанную на понятии операторного сопротивления. 11. Как от передаточной функции элемента перейти к его уравнению динамики в изображениях, а затем – в оригиналах? 12. Как из ПФ получить выражение для АФХ? 13. Постройте график W(jω) произвольного вида и укажите на нем величины A(ω) и φ(ω). 14. Приведите основные формулы, связывающие АФХ, АЧХ и ФЧХ между собой. 15. Какой физический смысл имеют ординаты АЧХ элемента? Как по ним оценить условия пропускания элементом гармонического сигнала? 16. По каким правилам определяются эквивалентные ПК для последовательного, параллельного и встречно-параллельного соединений линейных элементов? Запишите соответствующие формулы эквивалентных ПК для случая двух соединенных элементов. 71 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ И МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 3.1 Классификация звеньев Функциональные элементы, используемые в СУ, могут иметь самое различное конструктивное выполнение и самые различные принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых алгоритмических звеньев. Каждому типовому алгоритмическому звену соответствует определённое математическое соотношение между входной и выходной величинами. Если это соотношение является элементарным (например, дифференцирование, умножение на постоянный коэффициент), то и звено называется элементарным. Алгоритмические звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, получили название типовых динамических звеньев. Типовые динамические звенья являются основными составными частями алгоритмических структур непрерывных систем управления, и поэтому знание их характеристик существенно облегчает анализ таких систем. Классификацию типовых звеньев удобно осуществить, рассматривая различные частные формы дифференциального уравнения второго порядка a0 d 2 y (t ) dt 2 + a1 dy ( t ) dt + a 2 y (t ) = b 0 dx ( t ) dt + b 1 x ( t ). (3.1) В табл. 3.1 приведены значения коэффициентов уравнения (3.1) и названия для наиболее часто встречающихся звеньев. Отметим ряд общих закономерностей. Звенья, у которых коэффициенты а20 и b10, обладают статизмом, т. е. однозначной связью между входом и выходом в статическом режиме. Поэтому к названиям звеньев часто добавляют слова статическое или позиционное. К этим звеньям относятся номера 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12. 72 Звенья, у которых а00, а10 и а20, обладают инерционностью (замедлением). К ним относятся звенья 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12. Таблица 3.1 Значения коэффициентов уравнения (3.1) типовых звеньев Номер звена Наименование звена 5 Безынерционное (пропорциональное) Инерционное 1-го порядка (апериодическое) Инерционное 2-го порядка (апериодическое) Инерционное 2-го порядка (колебательное) Идеальное интегрирующее 6 Реальное рующее 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 интегри- Идеальное дифференцирующее Реальное дифференцирующее Изодромное (пропорциональноинтегрирующее) Форсирующее (пропорциональнодифференцирующее) Интегродифференцирующее с преобладанием интегрирующих свойств Интегродифференцирующее с преобладанием дифференцирующих свойств а0 а1 а2 b0 b1 Передаточная функция Примечания 1 k k - T 1 k T22 T1 1 k T22 T1 1 k 1 k T 1 k 1 k1 T 1 k1 1 k1 k 1 k1 k T 1 k1 k k k 2 2 2 2 T2 p + T1 p + 1 k T 1 k1 k - Tp + 1 T2 p + T1 p + 1 T1  2T 2 T1  2T 2 k - p k - p ( Tp + 1 ) - k1 p k1 p - Tp + 1 k1 p + k - p k1 p + k - k1 p + k k1 Tp + 1 k k1 p + k k1 Tp + 1 k  T  T У звеньев номер 1, 5 и 7 только два коэффициента не равны нулю. Они являются простейшими или элементарными. Все остальные типовые звенья 73 могут быть образованы из элементарных путём последовательного, параллельного и встречно-параллельного соединений. Ниже в разделах 3.2-3.6 рассмотрены характеристики, модели и примеры звеньев под номерами 1-8. Характеристики звеньев 9-12 могут быть получены как характеристики соединений звеньев при помощи формул (2.88)-(2.94). 3.2. Безынерционное звено Безынерционное звено является простейшим среди всех типовых звеньев. Оно передаёт сигнал со входа на выход мгновенно, без искажений его формы. В звене может происходить только усиление или ослабление мгновенных значений входной величины. Связь между мгновенными значениями входной величины x(t) и выходной величины y(t) описывается алгебраическим уравнением y ( t ) = kx ( t ). (3.2) Передаточные свойства звена определяются лишь одним параметром – передаточным коэффициентом k. При единичном ступенчатом воздействии x(t)=1(t), приложенном в момент t=0, выходная величина мгновенно изменяется и принимает значение k (рис. 3.1, а). Переходная функция звена имеет вид h ( t ) = k 1 ( t ), (3.3) а импульсная переходная (рис. 3.1, б) w ( t ) = k δ( t ). (3.4.) Уравнение звена в операторной форме Y ( p ) = kX ( p ), (3.5) отсюда ПФ W(p)=Y(p)/X(p)=k. 74 (3.6) а д в k k  ( t) 2 0 lg k k1(t)  t г б w (t) е jQ ( )  ( ) k k  (t) lg   ( )= 0   =    k L ( ) A ( ) h ( t) P ( ) t Рис. 3.1. Характеристики безынерционного звена Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) звена описывается функцией W(j)=k, (3.7) которой на комплексной плоскости соответствует одна точка на действительной оси (рис. 3.1,е). Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) А ( ) = W ( j ) = k (3.8) представляет собой прямую, параллельную оси частот (рис. 3.1,в). Это означает, что сигналы любой частоты (от нуля до бесконечности) проходят через безынерционное звено с одинаковым отношением амплитуд входной и выходной величин, равным k. Выражение для фазовой частотной характеристики (ФЧХ) (рис. 3.1,г)  (  ) = arg W ( j  ) = arctg ( 0 / k ) = 0 (3.9) показывает, что безынерционное звено не создаёт фазовых сдвигов между входной и выходной величинами. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) безынерционного звена L (  ) = 20 lg A (  ) = 20 lg k (3.10) так же, как и его АЧХ, является прямой линией, параллельной оси абсцисс (рис. 3 1,д). 75 На алгоритмических схемах безынерционное звено изображают в виде прямоугольника, внутри которого указывают буквенное обозначение или числовое значение передаточного коэффициента k (рис. 3.2,а). аа вв бб xx kk yy xx((t)t) вгг yy = = nn22 kkВ ХВ Х  y (yt) ( t) дгд yi yi x ix i k k еде NN y y==u u xx== S x= n x = n 11 y =y u= u S x= n x= n Рис. 3.2. Модели и примеры безынерционного звена Аналоговой моделью безынерционного звена служит операционный усилитель (рис. 3.2,б), используемый в режиме масштабного усиления. Распространёнными примерами безынерционного звена являются редуктор (рис. 3.2,в), потенциометрический датчик углового перемещения  (рис. 3.2,г), тахогенератор, используемый в качестве датчика частоты вращения n (рис. 3.2,д). Передаточный коэффициент редуктора зависит от соотношения диаметров или чисел зубьев ведомой и ведущей шестерён k p = d 1 / d 2 = z1 / z 2 . (3.11) Передаточный коэффициент потенциометрического датчика зависит от величины напряжения u0, подводимого от внешнего источника к зажимам потенциометра, и от величины полного хода движка 0: k п = u 0 /  0 , В/ о . (3.12) Передаточный коэффициент тахогенератора зависит от числа пар полюсов р, числа проводников в пазах якоря N, числа пар параллельных ветвей обмотки якоря а и магнитного потока возбуждения Ф (Вб) k т г = с е Ф = рNФ / а , В/(об/с). 76 (3.13) У серийных тахогенераторов коэффициент kтг находится в пределах от 0 до 10. Следует заметить, что понятие безынерционного звена является продуктом математической идеализации. На самом деле все реальные конструктивные элементы СУ обладают некоторой инерционностью, так как передача энергии со входа на выход элемента не может осуществляться мгновенно. Однако, если инерционность того или иного элемента на 2-3 порядка меньше, чем у остальных элементов рассматриваемой системы, то его считают безынерционным звеном. Так, например, при описании и анализе системы управления тепловым объектом, инерционность которого характеризуется, как правило, постоянной времени от нескольких десятков до тысяч секунд, датчик температуры (термопару, термосопротивление) можно рассматривать как безынерционное звено. 3.3. Инерционное звено первого порядка Дифференциальное уравнение звена имеет вид T dy ( t ) + y ( t ) = kx ( t ), dt (3.14) где k – передаточный коэффициент, характеризующий свойства звена в статическом режиме; Т – постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Переходную функцию звена можно найти как сумму общего и частного решений уравнения (3.14). Применяя методику, изложенную в разделе 2.5, получим следующее выражение для переходной функции h ( t ) = k (1 − e −t /T )1 ( t ). (3.15) График переходной функции изображён на рис. 3.3,а. Методами аналитической геометрии нетрудно убедиться в том, что касательная к кривой h(t) в точке t=0 отсекает на горизонтальной прямой h=k отрезок, равный постоянной времени Т. Переходная функция при t=T равна 0,632k, а при t=3T функция h(t) 77 достигает значения 0,95k. В приближённых расчётах обычно считают, что при t=3T переходный процесс практически закончился. д в L ( ) A ( ) k k T k 2 0 lg k h ( t) 2 t б 1 0  = с г w (t)  ( ) k T  Т lg  е jQ ( ) с  -4 5  t k 0 = k 2 -9 0  lg  с  с= P ( ) =0  а 1 Т T Рис. 3.3. Характеристики инерционного звена первого порядка Импульсная переходная функция звена может быть получена путём дифференцирования функции h(t). Для инерционного звена первого порядка импульсная функция имеет вид (рис. 3.3,б) w (t ) = k e −t /T 1 ( t ). T (3.16) Применяя к левой и правой частям уравнения (3.14) преобразование Лапласа, получим уравнение динамики звена в операторной форме Tp + 1 Y ( p ) = kX ( p ). (3.17) Из уравнения (3.17) находим передаточную функцию звена W ( p ) = Y ( p ) / X ( p ) = k ( Tp + 1 ) . (3.18) Подставляя в передаточную функцию p=j, получим АФХ W ( j  ) = k ( Tj ω + 1 ) . 78 (3.19) Умножая числитель и знаменатель функции (3.19) на выражение (1-jT), сопряжённое со знаменателем, можно избавиться от величины j в знаменателе и представить АФХ в виде суммы действительной и мнимой частей: W ( j  ) = P (  ) + Q (  ), где 2 (3.20) 2 P (  ) = Re W ( j  ) = k /( 1 + T  ); (3.21) Q (  ) = Im W ( j  ) = − kT  (1 + T 2 2  ). Выражения (3.21) можно рассматривать как уравнение АФХ W(j), заданное в параметрической форме в системе координат P() и Q(). Роль третьей переменной (параметра) играет частота . Если выразить мнимую составляющую Q() через действительную Р(), то можно убедиться, что АФХ представляет собой полуокружность с центром в точке (k/2, j0) и с диаметром, равным k (рис. 3.3,е). Распределение точек, соответствующих различным значениям  вдоль кривой W(j), зависит от величины постоянной времени Т. На графике показаны характерные точки =0, = и с=1/Т. Выражение для АЧХ можно получить как модуль функции W(j) A ( ω ) = W ( jω ) = k Tj ω + 1 = k 1+T ω 2 2 . (3.22) График функции А() изображен на рис. 3.3,в. По графику видно, что гармонические сигналы малой частоты (<с) пропускаются звеном хорошо – с отношением амплитуд выходной и входной величин, близким к передаточному коэффициенту k. Сигналы большой частоты (>с) плохо пропускаются звеном: отношение амплитуд существенно меньше коэффициента k. Чем больше постоянная времени Т, т. е. чем больше инерционность звена, тем меньше АЧХ вытянута вдоль оси частот, или, как принято говорить в автоматике, тем уже полоса пропускания частот. Таким образом, инерционное звено первого порядка по своим частотным свойствам является фильтром низкой частоты. 79 В практических расчётах ширину полосы пропускания п звеньев и систем определяют по ординате А(п), равной (0,05…0,10)k. Для инерционного звена первого порядка п=(20…10)с. ФЧХ инерционного звена первого порядка имеет вид  ( ω ) = arctg Q ( ω ) P ( ω )  = − arctg ω T . (3.23) График функции (3.23) показан на рис. 3.3,г. Чем больше частота входного сигнала, тем больше отставание по фазе выходной величины от входной. Максимально возможное отставание равно 90о. При частоте с=1/Т сдвиг фаз равен -45о. Рассматриваемое звено является минимально-фазовым. Фазовый сдвиг, создаваемый этим звеном, меньше, чем у любого другого звена с такой же амплитудной характеристикой. Например, у неустойчивого инерционного звена первого порядка W ( j ω ) = k ( Tj ω − 1 ) (3.24) АЧХ не отличается от характеристики (3.22), а фазовая составляет  (  ) = − 180 о + arctg  T . (3.25) При изменении частоты  от 0 до  фазовый сдвиг (3.25) изменяется от –180о до –90о. Рассмотрим теперь ЛАЧХ звена. Точная ЛАЧХ описывается выражением L ( ω ) = 20 lg A ( ω ) = 20 lg k − 20 lg 2 2 1+T ω . (3.26) В практических расчётах используют приближённую или асимптотическую характеристику L(), представляющую собой ломаную в виде двух асимптот (рис. 3.3,д). Первая асимптота (низкочастотная) получается при малых частотах, когда величиной Т22 в выражении (3.26) можно пренебречь и принять L (  )  L н.ч. (  ) = 20 lg k . (3.27) Низкочастотная асимптота от частоты не зависит и представляет собой прямую, параллельную оси частот и отстоящую от неё на расстоянии 20lgk. 80 Вторая асимптота (высокочастотная) заменяет точную характеристику при больших частотах, когда Т22>>1, и единицу под корнем в формуле (3.26) можно не учитывать. Выражение для этой асимптоты L (  )  L в.ч. (  ) = 20 lg k − 20 lg T  . . (3.28) Эта асимптота зависит от частоты. В логарифмической системе координат она представляет собой прямую, имеющую отрицательный наклон и проходящую через точку с координатами =1/Т, L()=20lgk. Подставляя в формулу (3.28) два значения частоты 1 и 2=101, можно убедиться, что приращение высокочастотной асимптоты, приходящееся на одну декаду, равно -20 дБ. Значение сопрягающей частоты с, при которой пересекаются обе асимптоты, найдём из условия Lн.ч(с)=Lв.ч(с): 20 lg k = 20 lg k − 20 lg T  c , (3.29) отсюда c = 1/T . (3.30) Можно показать, что наибольшая ошибка, получающаяся от приближённой замены точной характеристики (3.26) двумя асимптотами, равна 3дБ (при частоте с). Алгоритмическая схема и аналоговая модель рассматриваемого звена представлены на рис. 3.4. Коэффициенты аналоговой модели (при единичном масштабе времени) α1 = k /T , α 2 = 1/T . бв а x k Tp+ 1 (3.31) x ( t) y  1  1 -y (t) 1 y ( t) Рис. 3.4. Алгоритмическая схема (а) и модель (б) инерционного звена первого порядка г б x k T y' 1 p y Инерционными звеньями первого xi k T порядка являются y i' t yi конструктивные эле- менты, которые могут накапливать и передавать энергию или вещество. В 1 1 T 81 T электрических элементах накопителем энергии электрического поля служит конденсатор, а магнитного – индуктивность. В механических элементах потенциальная энергия накапливается в пружинах и других упругих элементах, а кинетическая – в движущихся массах. Простейшим примером такого элемента служит электрический пассивный четырёхполюсник (рис. 3.5,а), состоящий из резистора с сопротивлением r (Ом), и конденсатора с емкостью С (Ф). Выходная величина четырёхполюсника (напряжение u2) после подачи на его вход постоянного напряжения u1 изменяется пропорционально величине накапливаемого в ёмкости заряда. В первые моменты времени заряд растёт быстро (см. рис. 3.3,а), а затем, по мере приближения напряжения u2 на обкладках конденсатора к входному напряжению u1, ток заряда становится всё меньше, и скорость возрастания напряжения u2 постепенно падает до нуля. а б L r x= u1 в C y= u2 x= u1 r y= u2 x= uB y= eГ n= const Рис. 3.5. Инерционные звенья первого порядка Параметры передаточной функции (3.18) применительно к рассматриваемому четырёхполюснику: k=1; T=rC (c). Свойствами инерционного звена первого порядка обладают также электрические элементы с индуктивностью L (Гн), у которых выходной сигнал пропорционален току через индуктивность. Простейшим примером такого элемента является цепь, изображённая на рис. 3.5,б. Передаточный коэффициент цепи k=1, а постоянная времени T=L/r, c. Более сложным примером звена такого рода является широко применяемый в СУ электрический генератор постоянного тока (рис. 3.5,в), у которого в качестве входной переменной рассматривается напряжение возбуждения uв, а 82 выходной – ЭДС eг, наводимая в обмотке якоря генератора. Передаточный коэффициент генератора по указанному каналу k г = с е nk н w в / rв , В/В, (3.32) где се – константа, зависящая от конструктивных параметров генератора, В/Вб (об/с); n – частота вращения якоря, 1/с; kн – коэффициент наклона линеаризованной характеристики намагничивания генератора, Вб/А; wв – число витков обмотки возбуждения, приходящееся на один полюс; rв – сопротивление обмотки возбуждения, Ом. Постоянная времени генератора Т = L в / r в , с, г (3.33) где Lв – индуктивность обмотки возбуждения, Гн. 3.4. Инерционные звенья второго порядка Дифференциальное уравнение звена T2 d 2 2 y (t ) dt 2 + T1 dy ( t ) + y ( t ) = kx ( t ), dt (3.34) ему соответствуют уравнение динамики в изображениях по Лапласу T 2 2 p 2  + T 1 p + 1 Y ( p ) = kX ( p ) (3.35) и передаточная функция 2 W ( p ) = Y ( p ) X ( p ) = k (T 2 p 2 + T1 p + 1) . (3.36) Характеристическое уравнение звена 2 T2 p 2 + T1 p + 1 = 0 (3.37) имеет два корня p 1 , 2 =  − T 1   2 2 T 1 − 4 T 2   2 2T 2 . (3.38) Общее решение дифференциального уравнения, определяющее свободное движение звена, имеет вид y (t ) = C 1e p1t 83 + C 2e p 2t . (3.39) Характер переходного процесса звена зависит от вида корней (3.38), которые могут быть действительными или комплексными. Если Т1>2Т2, то оба корня действительные. Обозначим их p1 = − 1 T3 ; p 2 = − 1 T4 , (3.40) где Т3 и Т4 – некоторые условные постоянные времени, причём Т3>Т4. Ниже будет показано, что при Т1>2Т2 переходная функция звена имеет монотонный, апериодический характер. Поэтому звено в этом случае называют апериодическим второго порядка. При Т1>2Т2 знаменатель передаточной функции (3.36) можно разложить на два множителя и представить её в следующей форме: W ( p ) = k ( T 3 p + 1 )( T 4 p + 1 ), (3.41) согласно которой инерционное звено второго порядка (рис. 3.6,а) можно предв ставить как последовательное (рис. 3.6,б) соединение двух k T инерционных зве3 ньев первого порядка. а x 2 y а2а k T 2 p + T 1 p+ 1 x T 3-T 4 в T 3p + 1 x y k 2 б kT3 y T 3-T 4 − T 3p + 1 T 3-T 4 2 T 2 p + T 1 p+ 1 б kT4 x + kT4 T 4p + 1 г б k T 3 p+ 1 x y k T 4 p+ 1 x k T 4 p+ 1 2 T p + 2Tp+ 1 y x k 2 2 T p + 2Tp+ 1 Рис. 3.6. Алгоритмические схемы инерционных звеньев второго порядка Если Т1<2Т2, то корни уравнения (3.37) комплексные p 1, 2 = − α  j β , где α = T1 2 2T 2 ; β = 2 4 T 2 − T1 2 (3.42) 2 2T 2 . Решение (3.39) в этом случае содержит гармонические составляющие, и звено называют колебательным. 84 − T 4p + 1 y k г 2 k T 3 p+ 1 y T 3-T 4 в x + y Наконец, возможен случай, когда Т1=0. При этом оба корня будут мнимыми, а переходная функция будет представлять собой незатухающую синусоиду. Инерционное звено второго порядка с Т1=0 называется идеальным колебательным или консервативным. Наряду с общими признаками (статизм, инерционность) апериодическое и колебательное звенья имеют и существенные различия. Рассмотрим в отдельности характеристики этих звеньев. Переходная характеристика апериодического звена второго порядка может быть получена сложением общего решения (3.39) с частным решением, соответствующим вынужденной составляющей при x(t)=1(t). Переходная функция имеет вид h (t ) = C 1e − t / T3 + C 2e − t / T4 + k 1 ( t ). (3.43) Временные характеристики h(t) и w(t) апериодического звена показаны на рис. 3.7, а и б. В соответствии с представлением апериодического звена второго порядка в виде последовательного соединения двух инерционных звеньев первого порядка (см. рис. 3.6,б) все его частотные характеристики (рис. 3.7,в, г, д, е) могут быть получены по аналогичным характеристикам звеньев первого порядка, приведённым в разделе 3.3 правилам умножения комплексных величин. По графику функции А() (рис. 3.7,в) видно, что апериодическое звено второго порядка так же, как и звено первого порядка, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты. Дифференциальное уравнение к о л е б а т е л ь н о г о з в е н а записывают обычно в следующем виде: T 2 d 2 y (t ) dt 2 + 2Т dy ( t ) dt + y ( t ) = kx ( t ), (3.44) где Т=Т2 – постоянная времени, характеризующая инерционность звена; =Т1/2Т2 – относительный коэффициент демпфирования, характеризующий колебательность звена (01). 85 д в T 3+ T 4 L ( ) A ( ) k k -2 k T 3T 4 б w (t) T 3T 4 T 3-T 4 ln t T3 T4  с= г 1 lg  е с  = -1 8 0  P ( ) k -9 0  t lg  с3 lg  с4 jQ ( )  ( )  Т2 T 3+ T 4 -4 2 0 lg k h ( t) =0  а  с= 1 Т2 = 1 / T 3 T 4 Рис. 3.7. Характеристики апериодического звена второго порядка Передаточная функция колебательного звена W ( p ) = Y ( p ) / X ( p ) = k /( T 2 p 2 + 2  Tp + 1 ). (3.45) Корни соответствующего характеристического уравнения p 1, 2 = − α  j β = ( ξ Т )  j 1 − ξ где α = ξ Т – коэффициент затухания;  = 1−  2 Т 2 T , (3.46) – круговая частота зату- хающих колебаний, рад/с. Подставляя в общее решение (3.39) значения комплексных корней (3.46) и складывая его с частным решением k1(t), получим переходную функцию колебательного звена h (t ) = C 1e ( α + jβ ) t + C 2e ( − α − jβ ) t + k 1 ( t ). (3.47) Свободная составляющая переходной функции (рис. 3.8,а) представляет собой синусоиду, амплитуда которой убывает по экспоненциальной огибающей (пунктирная линия). Период затухающих колебаний Т 3 = 2  = 2Т 86 2 1−  . (3.48) а h ( t) в д L ( ) A ( ) Aм 2k  м<  <  0 A3 k -4 k 2 0 lg k A1 lg  lg  0 е м 0 jQ ( )  б г w (t)  ( ) P ( ) k =  t = 0  -9 0  t -1 8 0   0= 1 Т м Рис. 3.8. Характеристики колебательного звена второго порядка Чем больше коэффициент  и чем меньше постоянная времени Т, тем быстрее затухают колебания. Если коэффициент демпфирования =0 (что соответствует Т1=0), то на выходе звена после подачи единичного ступенчатого воздействия возникают незатухающие колебания с частотой 0=1/Т. Скорость затухания колебательных переходных процессов принято оценивать степенью затухания  = ( А1 − А 3 ) А1 = 1 − А 3 А1 , (3.49) представляющей собой отношение разности двух соседних амплитуд (рис. 3.8,а) к первой из них. Чем ближе величина  к единице, тем быстрее затухают колебания. АФХ колебательного звена (рис. 3.8,е) описывается функцией W ( j ) = k T 2  2 ( j  ) + 2  Tj  + 1 , (3.50) ей соответствует АЧХ (рис. 3.8,в) A ( ) = k 2 2 (1 − T  ) и ФЧХ (рис. 3.8,г) 87 2 2 2 + 4 T  2 (3.51) 2  T   (  ) = − arctg 2 2  (1 − T  ) . (3.52) АЧХ при частоте м = 0 1 − 2 2 (3.53) имеет максимум (резонансный пик), равный 2 Aм = A ( м ) = k 2  1 −  . Максимум существует, если 1 − 2 2  0, (3.54) т. е. если <0,707. Из выражений (3.53) и (3.54) следует: чем меньше коэффициент , тем ближе резонансная частота р=м к собственной частоте незатухающих колебаний о=1/Т и тем больше резонансный пик. Таким образом, по графику АЧХ (см. рис. 3.8,в) видно, что колебательное звено, как и все инерционные звенья, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты; если частота гармонического входного сигнала близка к частоте собственных колебаний звена, то отношение амплитудыа выходного сигнала к амплитуде входного больше передаточx k. ного коэффициента y '' k y' 1 y 1 2 Аналоговая модельT инерционного pзвена второгоp порядка представлена на 2 рис. 3.9. Коэффициенты аналоговой модели T 1 /T  1 = k T2 2 = k T 2 2 2 ;  3 = T1 T 2 2 = 2  T ; 1/ T2 2= 1 T 2 2 2 =1 T 2 . (3.55) б x ( t)  1  1  в − y' +y 1 y ( t) 1 1 Рис. 3.9. Модель инерционного звена второго порядка xi k /T 2 y i '' y i' t 2 yi t Инерционными звеньями второго порядка являются обычно такие конT /T структивные элементы СУ, которые содержат два накопителя энергии или ве2 1 2 1 /T щества. Если в одном из них накапливается потенциальная энергия, а в другом 2 2 – кинетическая, то элемент системы может обладать колебательными свой88 ствами. Колебательность элемента зависит от условий обмена энергии между указанными накопителями: если канал передачи энергии обладает существенным сопротивлением (электрическим или механическим), то в нём происходит заметное поглощение или рассеивание энергии, и элемент близок по своим свойствам к апериодическому звену второго порядка; если же потери энергии при обмене незначительны, то процесс обмена будет иметь колебательный характер. Мерой потерь энергии в канале передачи служит коэффициент демпфирования : чем меньше потери, тем меньше ; в пределе, когда сопротивление канала равно нулю и потерь нет, коэффициент =0. При этом элемент сохраняет в себе неизменным первоначальный запас энергии, и колебательный процесс обмена энергией между накопителями не затухает. Классическим примером инерционного звена второго порядка служит четырёхполюсник, состоящий из резистора r, индуктивности L и конденсатора C (см. рис. 3.10,а). Коэффициенты дифференциальных уравнений (3.34) и (3.44) для этого четырёхполюсника k = 1; T2 = T = LC ; T 1 = 2 ξ T = rC ; ξ = r C L (3.56) . 2 При r=0 параметры T1=0 и =0 и четырёхполюсник становится идеальным колебательным контуром. а б r x= u1 uB= const в kУПР L C y= u2 x= eИ y= n x=M Рис. 3.10. Инерционные звенья второго порядка Другим распространённым примером инерционного звена второго порядка является электрический двигатель постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 3.10,б). Если в качестве входной переменной рассматривать 89 k ТР J ЭДС eи, подводимую от источника регулируемого напряжения, а в качестве выходной – частоту вращения вала n (об/с), то двигатель по этому каналу описывается передаточной функцией W ( p) = n( p) eи ( p ) = kд (T м Т э р 2 +Т м р + 1) (3.57) , где kд – ПК двигателя по управляющему воздействию, (об/с)/В; Тэ – электромагнитная постоянная времени, с; Т м – электромеханическая постоянная времени, с. Инерционность двигателя обусловлена процессами накопления электромагнитной энергии в индуктивности якорной цепи и кинетической – во вращающихся массах. Потери энергии происходят в активном сопротивлении якорной цепи. Параметры передаточной функции (3.57) для серийных двигателей постоянного тока находятся в пределах: kд=(0,01…0,03) (об/с)/В; Тэ=(0,01…0,1) с; Тм=(0,01…0,1) с. Причём у двигателей средней и большой мощности всегда Т м  4Т э и коэффициент демпфирования  = Тм Т э 2  1, т. е. двигатель эк- вивалентен апериодическому звену второго порядка. В заключение отметим о б щ и е с в о й с т в а с т а т и ч е с к и х (п оз и ц и о н н ы х) з в е н ь е в, рассмотренных в разделах 3.2, 3.3 и 3.4. 1. В установившемся режиме выходная переменная у звена однозначно связана с входной x уравнением статики y = kx . (3.58) 2. ПК звена связан с ПФ отношением k = W ( p) p=0 . (3.59) 3. Звенья являются фильтрами низкой частоты (кроме безынерционного), т. е. хорошо пропускают низкочастотные сигналы и плохо – высокочастотные; в режиме гармонических колебаний они создают отрицательные фазовые сдвиги. 90 3.5. Интегрирующие звенья Различают два вида интегрирующих звеньев: идеальные и реальные. Общей особенностью интегрирующих звеньев является пропорциональность производной выходной величины мгновенному значению входной величины. Причём у идеального интегрирующего звена пропорциональность существует в любой момент времени после подачи ступенчатого воздействия, а у реального – только после завершения переходного процесса в звене. Дифференциальное уравнение и д е а л ь н о г о и н т е г р и р у ю щ е г о звена dy ( t ) = kx ( t ). (3.60) dt Коэффициент пропорциональности k зависит от конструктивных параметров звена и имеет размерность  k  =  y   x t . (3.61) Уравнению (3.60) равносильно интегральное соотношение t y (t ) = k  x ( )d  + y ( 0 ), (3.62) которое в явной форме выражает зависимость выходной величины от входной и объясняет название звена: звено интегрирует входной сигнал. Подставляя в соотношение (3.62) x (  ) = 1 ( t ), можно получить переходную функцию h ( t ) = kt 1 ( t ). (3.63) График функции h(t) показан на рис. 3.11,а (линия 1). Импульсная переходная функция звена (рис. 3.11,б) w ( t ) = k 1 ( t ). (3.64) ПФ идеального интегрирующего звена W ( p ) = k p. АФХ звена 91 (3.65) W ( jω ) = k j ω = − jk ω (3.66) на комплексной плоскости изображается в виде прямой, совпадающей с мнимой осью (рис. 3.11,е – линия 1). вв дд L( ) A( ) h(t) 1 -20 2 2 1 0 T б 1  t г б г w (t) T lgk lg1 ее  ( ) lg -90 t  1 1 T 2 -4 lg jQ ( ) -kT 1 2 1 20lgk k 2 =  аа P(  ) 1 2 -180 Рис. 3.11. Характеристики идеального (1) и реального (2) интегрирующих звеньев Амплитудно-частотная характеристика А ( ) = W ( j ) = k  (3.67) представляет собой гиперболу (рис. 3.11,в – линия 1), которая при =0 стремится к бесконечности. Эту особенность можно условно (по аналогии со статическими звеньями) объяснить наличием ПК, равного бесконечности. При увеличении частоты значения A() стремятся к нулю. Это свойство сближает интегрирующие звенья с инерционными. ФЧХ идеального интегрирующего звена  ( ω ) = arctg − k ω = − 90 o (3.68) показывает, что сдвиг фаз, создаваемый звеном, на всех частотах одинаков и равен –90о (рис. 3.11,г – линия 1). ЛАЧХ L ( ω ) = 20 lg A ( ω ) = 20 lg k − 20 lg ω 92 (3.69) представляет собой прямую с наклоном -20 дБ/декаду, проходящую через точку с координатами ω = 1 , L ( ω ) = 20 lg k (рис. 3.11,д). Рассмотрим теперь характеристики реального интегрирующего звена. Его дифференциальное уравнение Т d 2 y (t ) dt 2 + dy ( t ) = kx ( t ), dt (3.70) а передаточная функция W ( p ) = k p ( Tp + 1 ). (3.71) Нетрудно заметить, что звено с передаточной функцией (3.71) может рассматриваться как последовательное соединение двух элементарных звеньев (рис. 3.12,а): идеального интегрирующего с передаточной функцией 1/р и статического инерционного звена первого порядка с постоянной времени Т и передаточным коэффициентом k. Поэтому все частотные характеристики реального интегрирующего звена могут быть получены по характеристикам этих простых звеньев, по соответствующим правилам перемножения комплексных величин. Аналоговая модель реального интегрирующего звена представлена на рис. 3.12,б. Коэффициенты модели α1 = k T ; α2 =1 T. (3.72) Интегрирующие свойства присущи всем объектам управления, в которых происходит накопление вещества или энергии без её одновременной отдачи в окружающую среду. Классическим примером объекта с интегрирующими свойствами служит резервуар с жидкостью (рис. 3.13,а), где в качестве входной переменной рассматривать подачу жидкости Q (м3/с), а выходной – уровень жидкости h (м). Действительно, уравнение баланса жидкости Sdh ( t ) = Q ( t ) dt , (3.73) где S – площадь поверхности жидкости, м2, легко приводится к уравнению вида (3.74) или (3.76). При этом коэффициент k = 1 S, 93 м −2 . (3.74) в а x k y' y 1 p Tp+ 1 y '' x k 1 T p y' 1 p 1 T б x ( t) г   1 - y '( t ) y ( t) 1 xi 1 y i '' k T 1 /T Рис. 3.12. Модели реального интегрирующего звена в б а t uC= const x= Q x= Q y= l x= uУ y=  y= h Рис. 3.13. Интегрирующие звенья Интегрирующими звеньями являются также различные исполнительные двигатели и механизмы – устройства, которые перемещают регулирующие органы (шиберы, заслонки, вентили и т. п.). Входной величиной этих устройств служит обычно количество энергии или вещества, поступающих в устройство, а выходной – линейное или угловое перемещение какого-либо элемента. Степень идеальности (безынерционности) таких интегрирующих звеньев зависит от величины масс перемещающихся (вращающихся) частей исполнительного устройства и приводимого им в движение регулирующего органа. Идеальным интегрирующим звеном можно считать (с некоторыми допущениями) гидравлический исполнительный механизм (рис. 3.13,б), у которого входной величиной является количество жидкости Q (м3/с), поступающей в единицу времени в полость цилиндра, а выходной – перемещение l (м), порш94 y i' ня со штоком. Действительно, если масса перемещающихся частей пренебрежимо мала и если усилие, создаваемое давлением гидронасоса, существенно больше сил сопротивления, то перемещение поршня определяется уравнением баланса жидкости вида (3.73), а коэффициент k – выражением (3.74). Свойствами идеального интегрирующего звена обладает, при некоторых условиях, инерционное звено первого порядка. Например, апериодическая rCцепь (см. рис. 3.5,а) при частотах входного воздействия >>с=1/Т может приближенно рассматриваться как интегрирующее звено. Реальными интегрирующими звеньями являются электрические исполнительные двигатели постоянного и переменного токов. На рис. 3.13,в изображён двухфазный асинхронный двигатель. Его входная величина – напряжение переменного тока uу (В), приложенное к обмотке управления, выходная – угол поворота вала  (град). Действующее значение напряжения uс на обмотке возбуждения считается неизменным. При некоторых допущениях (инерционность обмотки управления пренебрежимо мала, статические механические характеристики двигателя предварительно линеаризованы, диапазон изменения напряжений uу ограничен) двигатель может быть описан передаточной функцией (3.71). Передаточный коэффициент двигателя (о/Вс) приближённо может быть рассчитан через номинальные значения частоты вращения nн, (об/с), и управляющего напряжения uу.н k  360 n н n у.н , о ( В  с ). (3.75) Постоянная времени Т (с) зависит от приведённого на вал двигателя момента инерции вращающихся частей J (кгм2) Т = 2  Jn н M п , с, (3.76) где Мn – номинальное значение пускового объекта, Нм. В случаях, когда исполнительный двигатель используется для управления объектом с большой инерционностью, можно постоянную времени Т не учитывать и считать двигатель идеальным интегрирующим звеном. 95 Общие свойства и особенности интегрирующих з в е н ь е в. 1. После подачи ступенчатого входного воздействия x(t)=x01(t) выходная переменная y(t) неограниченно возрастает и по окончании переходного процесса изменяется по линейному закону y ( t ) = kx 0 t , t  0. (3.77) При снятии входного воздействия выходная переменная сохраняет достигнутое значение, поэтому интегрирующие звенья можно использовать в качестве запоминающих элементов (элементов с памятью). 2. В передаточную функцию обязательно входит сомножитель 1/p, поэтому W ( p) p=0  k, W (0 ) =  . а (3.78) 3. Интегрирующие звенья, как и инерционные статические, являются фильтрами низкой частоты; в режиме гармонических колебания они вносят отрицательные фазовые сдвиги. 3.6. Дифференцирующие звенья Дифференцирующие звенья могут быть идеальными (безынерционными) и реальными (инерционными). Мгновенное значение выходной величины и д е а л ь н о г о д и ф ф е р е н ц и р у ю щ е г о з в е н а пропорционально в каждый момент времени мгновенному значению производной входной величины по времени y (t ) = k dx ( t ) dt 96 . (3.79) Коэффициент пропорциональности k зависит от конструктивных параметров звена и имеет размерность  k  =  y  t   x . (3.80) в д A ( ) k T T L ( ) 1 k 1 2 2 1 0 T t г  ( ) б w (t) 1 T k T 2 t 2 2 20 1 k lg  1 lg T jQ ( ) 1 1 + 45 lg е + 90 1 +  1  С= 2 2  c=  1 1 T = 0 =0 T  h (t) 2 0 lg k а k T P ( ) Рис. 3.14. Характеристики идеального (1) и реального (2) дифференцирующих звеньев Переходная функция звена получается непосредственно из уравнения (3.79) подстановкой и дифференцированием единичной ступенчатой функции: h ( t ) = k δ ( t ). (3.81) График переходной функции идеального дифференцирующего звена показан на рис. 3.14,а (линия 1). Импульсная переходная функция (рис. 3.14,б – линия 1) w ( t ) = kd  ( t ) dt . (3.82) Передаточная функция звена W ( p ) = kp . (3.83) W ( j  ) = kj  (3.84) Амплитудно-фазовая функция совпадает с положительной частью мнимой оси (рис. 3.14,е – линия 1) Амплитудно-частотная характеристика звена А ( ) = k 97 (3.85) показывает (рис. 3.14,в – линия 1), что чем больше частота входного сигнала, тем больше амплитуда выходного сигнала. Эта особенность дифференцирующих звеньев вытекает непосредственно из основного уравнения (3.79): чем быстрее изменяется во времени сигнал x(t), тем больше его производная в правой части и тем больше его выходной сигнал y(t). Сдвиг фаз, создаваемый идеальным дифференцирующим звеном, на всех частотах одинаков (рис. 3.14,г – линия 1)  (  ) = arctg k o = + 90 . (3.86) ЛАЧХ звена L ( ω ) = 20 lg k ω (3.87) – прямая линия с наклоном +20 дБ/декаду, проходящая через точку с координатами  = 1 k , L (ω ) = 0 (рис. 3.14,д – линия 1). Р е а л ь н о е д и ф ф е р е н ц и р у ю щ е е з в е н о представляет собой последовательное соединение идеального дифференцирующего звена и инерционного звена первого порядка (рис. 3.15,а). Его уравнение Т dy ( t ) + y (t ) = k dt dx ( t ) , dt (3.88) а передаточная функция W ( p ) = kp ( Tp + 1 ). (3.89) Нетрудно убедиться, что звено с передаточной функцией (3.89) можно представить в виде параллельного соединения безынерционного и инерционного звеньев (рис. 3.15,б). Временные характеристики h(t) и w(t) реального дифференцирующего звена показаны на рис. 3.14,а и б линиями 2. Аналитические выражения для частотных характеристик реального дифференцирующего звена можно получить по соответствующим функциям идеального дифференцирующего и инерционного звеньев первого порядка. Графики этих характеристик показаны линиями 2 на рис. 3.14,б, в, г, д. 98 в а в k /T а x k Tp+ 1 px y k Tp+ 1 x k pT y x y б xk (/T t)  x k T (T p + 1 ) 1  y 1 p y k T 1 2 p 1 /T г  в k /T б x 2 г k y/T x ( t) 1 k Tд ( T p + 1 ) 1 /T  -y (t) 1  1 1  1 -y (t) 1 1 yi yi д xi t k /T дифференцирующего x Рис. 3.15. Модели реального звена i 1 /T t k /T 1 /T Аналоговая модель реального дифференцирующего звена приведена на рис. 3.15,в. Коэффициенты модели α1 = k T 2 ; α 2 =1 T; α3 = k T. (3.90) Большинство конструктивных элементов автоматики, обладающих способностью дифференцировать входной сигнал по времени, описывается уравнениями реального дифференцирующего звена. Исключением являются лишь так называемые кинематические дифференцирующие звенья, у которых дифференцирующая связь между входом и выходом образуется чисто формально. Например, если в качестве входной величины безынерционного редуктора (см. рис. 3.2,в) рассматривать угол поворота ведущего вала 1, а в качестве выходной величины – частоту вращения ведомого вала n2, то свойства редуктора как алгоритмического звена будут, очевидно, описываться уравнением (3.79). Реальными дифференцирующими звеньями являются электрические цепи, изображённые на рис. 3.16,а и б. Можно убедиться, что они описываются ПФ вида (3.89). Причём для цепи с емкостью k=T=rC, а для цепи с индуктивно стью k=T=L/r. Очевидно, что чем меньше постоянная времени Т, тем ближе свойства этих цепей к свойствам идеального дифференцирующего звена. Но при этом абсолютные значения выходного сигнала u2 становятся малыми и их приходится дополнительно усиливать. 99 а б в N x= u1 C r y= u2 r x= u1 L y= u2 S y= u x=  Рис. 3.16. Дифференцирующие звенья Примером идеального дифференцирующего звена служит электрический тахогенератор (рис. 3.16,в), если в качестве входной переменной рассматривать не частоту вращения (как в разделе 3.2), а угол поворота  его вала. В этом случае коэффициент k (Вс/о), входящий в ПФ (3.83), определяется также по формуле (3.13), но с учётом размерности угла поворота k = pN Ф 360 a , В с о . (3.91) О с о б е н н о с т и д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и х з в е н ь е в: 1. При подаче на вход звена ступенчатого воздействия на его выходе возникает большой кратковременный импульс, а затем по окончании переходного процесса выходная переменная становится равной нулю. Если входной сигнал не изменяется во времени, то выходной равен нулю. Если же входной сигнал x(t) растёт по линейному закону x(t)=a1t, то выходной y ( t ) = a 1 = const . (3.92) 2. В передаточную функцию всегда входит сомножитель р, поэтому W ( p) p=0 = 0 (3.93) и дифференцирующие звенья в статике не передают входные сигналы. 3. Дифференцирующие звенья являются фильтрами высокой частоты, т. е. хорошо пропускают высокочастотные сигналы и плохо – низкочастотные. Они вносят положительные фазовые сдвиги. 100 3.7. Звено запаздывания Звено запаздывания так же, как безынерционное статическое звено, передает сигнал со входа на выход без искажения его формы. Однако все мгновенные значения входной величины выходная величина принимает с некоторым отставанием (запаздыванием). Способностью задерживать сигнал во времени, не изменяя его формы, обладают многие элементы промышленных автоматических систем. В первую очередь к таким элементам относятся транспортирующие устройства (конвейеры, ленточные питатели, трубопроводы), при помощи которых подают различные материалы (сырьё, топливо, реагенты) в технологические аппараты. Особенно заметно запаздывание проявляется в аппаратах, которые имеют большие размеры и в которых происходят распределённые в пространстве процессы массообмена (шаровые мельницы, флотомашины, сушильные барабаны). Уравнение звена запаздывания y ( t ) = x ( t − τ ), (3.94) где  - длительность запаздывания. Уравнение (3.94) не является дифференциальным и относится к классу особых уравнений со смещённым (запаздывающим) аргументом. Оно указывает, что выходной сигнал y(t) повторяет все изменения входного сигнала x(t), но с отставанием на время . Подставляя x(t)=1(t), можно сразу получить его переходную функцию h ( t ) = 1 ( t − τ ), (3.95) w ( t ) = δ ( t − τ ). (3.96) а подставляя x(t)=(t) – импульсную Обе эти временные характеристики показаны на рис. 3.17,а и б. Применяя теорему запаздывания (см. табл. 2.2), можно записать уравнение (3.94) в изображениях по Лапласу Y ( p ) = X ( p )e 101 − p , (3.97) отсюда ПФ звена W ( p) = Y ( p) X ( p) = e − pτ (3.98) . АФХ звена W ( jω ) = e − j ωτ = cos ωτ − j sin ωτ (3.99) представляет собой окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным единице (рис. 3.17,е). а в д h( t) A () 1 1 L ( )  (t - )  L ( ) =0 t  г б w ( t) е ( ) lg  jQ (  )  2  ( t- )  t − 1   ( 2n+ 1) =  2 P ( )  = 2n  ( n = 0 ,1 ,2 . . . ) Рис. 3.17. Характеристики звена запаздывания АЧХ звена (рис. 3.17,в) и ФЧХ (рис. 3.17,г) можно получить по формулам: А (ω ) = cos 2 ωτ + sin 2 ωτ = 1;  ( ω ) = arctg ( − sin ωτ cos ωτ ) = − ωτ . (3.100) (3.101) Звенья запаздывания в большинстве случаев ухудшают устойчивость систем и делают их трудно управляемыми. Если звено запаздывания входит в контур системы управления, то характеристическое уравнение системы будет уже не простым алгебраическим, а трансцендентным. Решение и анализ трансцендентных уравнений связаны с большими трудностями. Поэтому часто в практических расчётах трансцендентную ПФ (3.98) раскладывают в ряд Пада и, учитывая только два или три члена ряда, приближенно заменяют её дробной рациональной функцией 102 W ( p) = e − pτ  2 2 2 2 1 − 0 , 5 τ p + 0 , 083 τ p 1 + 0 , 5 τ p + 0 , 083 τ p (3.102) . Наиболее характерным примером звена запаздывания является ленточный питатель (рис. 3.18,а), который транспортирует какой-либо сыпучий материал. Запаздывание между количеством материала Q1 (кг/с), высыпающимся в единицу времени на питатель, и количеством материала Q2 (кг/с), на сходе питателя зависит от длины L (м), и скорости движения v (м/с) τ = L v , c. (3.103) Другим распространённым примером звена запаздывания является трубопровод (рис. 3.18,б), по которому в технологический объект управления подаётся какая-либо жидкая среда в количестве Q2=Q1 (м3/с) и с концентрацией полезного компонента x2(t)=x1(t-τ) (кг/м3). а б x= Q 1 Q1 y= Q 2 v L x= x1 L v y= x2 Q2 Рис. 3.18. Звенья с запаздыванием Отметим, что необходимость рассматривать питатель, трубопровод и другие транспортирующие устройства как звенья запаздывания возникает лишь в тех случаях, когда они являются элементами замкнутых систем управления. Таким образом, з в е н о з а п а з д ы в а н и я о т л и ч а е т с я с л е д у ю щ и м и х а р а к т е р н ы м и о с о б е н н о с т я м и. 1. Оно передаёт любые входные сигналы без искажения их формы, но задерживает сигналы на интервал τ; в установившемся режиме (при t>τ) выходной сигнал y=x. (3.104) 2. Как и у других статических (позиционных) звеньев, передаточная функция 103 α3 α3 W ( p) p=0 = k = 1. (3.105) 3. По свойствам АЧХ звено запаздывания эквивалентно безынерционному: пропускает и высокочастотные, и низкочастотные сигналы с одинаковым отношением амплитуд, равным единице; по свойствам ФЧХ оно эквивалентно инерционным звеньям: создаёт отрицательный фазовый сдвиг, пропорциональный запаздыванию τ и частоте ω. Контрольные задания и вопросы 1. Как будет изменяться выходной сигнал y(t) безынерционного звена, если на его вход подать линейное воздействие? Нарисуйте график y(t). 2. Как влияет безынерционное звено на амплитуду и фазу синусоидального входного сигнала? 3. Напишите передаточную функцию инерционного звена первого порядка. 4. Как проходят через инерционное звено первого порядка гармонические сигналы низкой и высокой частот? 5. Выведите передаточные функции четырёхполюсников, изображённых на рис. 3.5, а и б. 6. При каком соотношении между постоянными времени Т1 и Т2 инерционное звено второго порядка имеет апериодический переходный процесс и при каком – колебательный? 7. Выведите передаточную функцию четырёхполюсника, изображённого на рис. 3.10,а. 8. Назовите характерные свойства, присущие всем инерционным статическим звеньям в установившемся режиме и при гармонических воздействиях. 9. Напишите передаточную функцию идеального интегратора. 10. В чём сходство и в чём отличие частотных свойств у интегрирующих и инерционных статических звеньев? 11. Напишите передаточную функцию идеального дифференциатора. 12. Объясните, почему тахогенератор в одном случае (см. рис. 3.2,е) является безынерционным (пропорциональным) звеном, а в другом (см. рис. 3.16,в) – идеальным дифференцирующим. 13. Почему дифференцирующие звенья плохо пропускают медленно меняющиеся входные сигналы? 14. Напишите передаточную функцию звена запаздывания. 15. В чём сходство и в чём отличие частотных свойств у звена запаздывания и инерционных статических звеньев? 104 4. ТИПОВЫЕ ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ 4.1. Общие понятия об анализе объектов управления Технологические процессы и аппараты, применяемые при добыче и обогащении полезных ископаемых, представляют собой сложные физические системы (рис. 4.1), состояние которых в каждый момент времени характеризуется несколькими входными величинами x1, x2, …, xm. Выходными величинами являются, например, скорость перемещения подъемного сосуда, концентрация различных компонентов в продукте обогащения, температура в сушильном барабане. Как правило, значения выходных величин непосредственно характеризуют качество и эффективность объекта управления. Выходные величины в таких случаях рассматриваются как управляемые величины. Рис. 4.1. Многомерный объект Каждая выходная величина объекта управления зависит обычно от нескольких входных воздействий. Входные воздействия могут быть управляющими (y1, y2, …, yk) и возмущающими (z1, z2, …, zl). Управляющим воздействием обычно служит количество энергии или вещества, подаваемое в объект (расход сырья, топлива, пара, реагентов и т. п.). Возмущающими воздействиями являются признаки внешней среды, с которой взаимодействует управляемый объект (крепость буримой породы, начальная температура подогреваемого в калорифере воздуха), а также качественные признаки энергетических и материальных потоков, поступающих в объект (содержание полезного компо- 105 нента в руде, калорийность топлива, концентрация реагентов, напряжение питающей электросети). Возмущающие воздействия могут быть контролируемыми (поддающимися измерению) и неконтролируемыми. В общем случае каждая выходная величина зависит от всех входных воздействий, и она может рассматриваться как функция (k+l) независимых переменных. Всего для объекта, изображенного на рис. 4.1, существует m уравнений связи выходных величин со входными. Каждая входная величина влияет на выходную величину по так называемому каналу передачи воздействий. На рис. 4.1 пунктирными линиями показаны каналы передачи воздействий от двух входных величин ко всем выходным. Общее же число каналов равно (k+l)m. Входные и выходные величины объекта называют обобщенными координатами. У рассматриваемого объекта количество обобщенных координат i=k+l+m. Часть обобщенных координат всегда являются независимыми координатами. К ним относятся все управляющие и возмущающие воздействия. Количество независимых обобщенных координат, полностью предопределяющих состояние объекта, характеризует число степеней свободы объекта. Число степеней свободы s всегда меньше общего числа обобщенных координат на число уравнений связи, т. е. s = i − m = k + l. (4.1) Например, у двигателя постоянного тока (см. 4.3) в качестве выходных величин могут рассматриваться частота вращения вала и ток якоря (т.е. m = 2 ), возмущающим воздействием является момент нагрузки на вал двига- теля ( l = 1 ), управляющими воздействиями – э.д.с. источника питания якорной цепи и напряжение возбуждения ( k = 2 ). Таким образом, у двигателя пять обобщенных координат и три степени свободы. Чтобы эффективно управлять многомерным объектом с m выходными величинами, к каждой из которых в общем случае могут быть предъявлены неза106 висимые требования, количество управляющих воздействий k должно быть не меньше числа управляемых величин m, т. е. должно выполняться условие k  m. (4.2) Если в упомянутом двигателе необходимо по каким-либо соображениям поддерживать неизменными частоту вращения вала и ток якоря ( m = 2 ), то со- гласно условию (4.2) этого можно добиться, изменяя одновременно минимум два управляющих воздействия, например э.д.с. источника и напряжение возбуждения. Исключение из правила (4.2) может иметь место лишь тогда, когда две выходные величины однозначно связаны между собой и управление одной из них приводит к желаемому изменению и другой величины. Но это не свидетельствует об ограниченности правила. При наличии однозначной связи двух выходных величин одну из них необходимо исключить из числа обобщенных координат и из рассмотрения при анализе объекта. Обратим внимание еще на одно общее соотношение между числами координат: число степеней свободы объекта, удовлетворяющего условию (4.2), не меньше числа выходных величин, т. е. s  m. (4.3) При создании автоматической СУ технологическим процессом или аппаратом необходимо иметь его математическое описание – совокупность алгебраических и дифференциальных уравнений связи между входными и выходными величинами. Эту совокупность уравнений называют математической моделью объекта. 4.2. Генератор постоянного тока Управляемой величиной генератора (рис. 4.2, а) является напряжение u г на зажимах якоря. Основным возмущающим воздействием является ток iн в цепи нагрузки. В качестве управляющих воздействий, компенсирующих влия- 107 ние возмущений, можно использовать напряжение u в , подводимое к обмотке возбуждения, и частоту вращения якоря генератора n . Напряжение u г зависит от электродвижущей силы ег , наводимой в якоре генератора, и от тока нагрузки iн , А: u г = eг − iн rя , В, (4.4) где rя – активное сопротивление цепи якоря генератора. Э. д. с. генератора е r пропорциональна частоте вращения якоря генератора и магнитному потоку обмотки возбуждения eг = се n Ф, В, (4.5) где n – частота вращения якоря, 1/с; Ф - магнитный поток возбуждения, Вб; cе = p N / a – коэффициент, зависящий от числа пар полюсов генератора числа пар параллельных ветвей обмотки якоря ников якоря N a , и от числа активных провод- (равно удвоенному числу витков обмотки якоря wя Рис. 4.2. Генератор постоянного тока как объект управления 108 p ). Магнитный поток связан с током возбуждения силой F = w в iв (с магнитодвижущей , А) нелинейной зависимостью – кривой намагничивания (рис. 4.2, б). Ток возбуждения самоиндукции iв еL iв , в свою очередь, связан с напряжением uв и э. д. с. уравнением Кирхгофа: u в = iв rв − е L . (4.6) Э. д. с. самоиндукции зависит от скорости изменения полного потокосцепления  , Вб между витками обмотки возбуждения и проводниками якоря: еL = − где wв d dt = − 2 p σ wв dФ , В, (4.7) dt – число витков обмотки возбуждения на полюс;  = 1,2 – коэффици- ент, учитывающий рассеяние магнитного потока. Уравнения (4.4) - (4.7), совместно описывающие генератор, могут быть представлены в виде алгоритмической схемы (рис. 4.2, в). В этой модели генератора не учтены влияние реакции якоря и вихревых токов. В приближенных расчетах зависимость Ф ( iв ) линеаризуют на рабочем участке и используют соответствующее значение коэффициента наклона кривой намагничивания kн = Ф  ( iв w в ) . У серийных генераторов коэффициент наклона (4.8) kн находится в пределах 10-4 – 10-5 Вб/А. Линеаризованной характеристике намагничивания соответствует постоянное значение индуктивности обмотки возбуждения Lв =  i = 2 p σ wв Ф iв = 2 p σ w в2 k н , Г н . Тогда при постоянной частоте вращения якоря nо генератор может быть представлен в виде упрощенной алгоритмической схемы (рис. 4.2, г) 109 (4.9) Передаточный коэффициент генератора по управляющему воздействию (напряжению возбуждения) 1 k г = се n о k н w в , В/В, (4.10) rв а передаточный коэффициент по возмущающему воздействию (току нагрузки) k г = − rя , В/А. (4.11) Постоянная времени обмотки возбуждения с. Т в = Lв / rв , (4.12) Ориентировочные значения передаточного коэффициента и постоянной времени можно определить без кривой намагничивания – по номинальным (паспортным) данным генератора: kг = u г .н + iя .н rя .н (4.13) ; 0 , 7 u г .н Tв  0 , 4 3 Pн / nн , с, где Рн - номинальная мощность генератора, кВт; (4.14) nн – номинальная частота вращения якоря генератора, 1/с. Постоянная времени серийных генераторов в зависимости от их мощности может принимать значения от 0,5 до 3 с. С целью упрощения математического описания генератора выше было принято, что ток нагрузки генератора является координатным возмущением. При более глубоком анализе генератора как объекта управления следует учесть, что причиной изменения тока является изменение сопротивления нагрузки. Сопротивление нагрузки в данном случае должно рассматриваться как параметрическое возмущение. Вместо уравнения (4.4) необходимо использовать следующее соотношение между напряжением и э. д. с. генератора: uг = rн rя + rн 110 eг . (4.15) Передаточный коэффициент генератора по возмущающему воздействию – сопротивлению нагрузки rн – можно определить линеаризацией функции (4.15) в точке, соответствующей фиксированным значениям  du  г k г =   d r  н r н = = rн о , eг = eг о rя (r я + rн о ) 2 eг о eг о и , В/Ом. rн о : (4.16) 4.3. Двигатель постоянного тока Составим уравнения динамики и статики электрического двигателя постоянного тока, который приводит в движение рабочий механизм. Будем считать, что двигатель и рабочий механизм соединены жесткой кинематической связью (например, редуктором), и поэтому они могут рассматриваться как единое целое. Питание двигателя электрической энергией осуществляется от источника с регулируемым напряжением. Этот источник выполняет функции исполнительного устройства. В качестве исполнительного устройства может быть использован рассмотренный выше генератор постоянного тока, тиристорный преобразователь, силовой магнитный усилитель. Схема замещения такой электромеханической системы показана на рис. 4.3. Рис. 4.3. Схема замещения двигателя постоянного тока 111 Основной управляемой величиной является частота вращения вала двигателя Д n, 1/с. Частоту вращения можно регулировать изменением э. д. с. еи , создаваемой исполнительным устройством ИУ, и изменением напряжения возбуждения uв . Чаще используется первый способ – изменение напряжения, приложенного к якорю двигателя, при постоянном напряжении uв М . Основное возмущающее воздействие двигателя – момент сопротивления с , возникающий при взаимодействии рабочего механизма РМ с внешней средой. В общем случае этот момент зависит от частоты вращения. Зависимость М с ( n ) может иметь довольно сложный характер. Так как в двигателе происходят и механический, и электрические переходные процессы, то его состояние в каждый момент времени описывается двумя уравнениями равновесия: уравнением моментов М д dn = 2πJ + М dt (4.17) с и уравнением напряжений в цепи якоря еи = rя iя + L я d iя dt + eд . В этих уравнениях приняты следующие обозначения: момент двигателя, Н ∙ м; (4.18) М д – движущий – сумма момента инерции двигателя J = J д + J р .м и приведенного на вал двигателя момента инерции рабочего механизма кг ∙м2; rя = rи + rд L я = Lи + L д – Jд J р .м , – суммарное активное сопротивление цепи якоря, Ом; индуктивность цепи якоря, Гн; iя – ток в цепи якоря, А; ед – про- тиводействующая э. д. с. двигателя, В. Момент М д , создаваемый двигателем, пропорционален току в цепи яко- ря и магнитному потоку возбуждения Ф, Вб: 112 М где см = p N / 2 π a p, N ,и а д = см iя Ф , (4.19) – конструктивная постоянная двигателя, Н∙м/А∙Вб [символы имеют такое же значение, как в формуле (4.5)]. Э. д. с. ед , возникающая в обмотке якоря при вращении, пропорциональ- на частоте вращения и потоку возбуждения: ед = с е n Ф , где се = p N / а (4.20) - конструктивная постоянная, В/Вб (1/с). Магнитный поток возбуждения двигателя, так же как у генератора, является нелинейной функцией тока возбуждения, которую в практических расчетах заменяют линейной. Уравнения (4.17) – (4.20) совместно описывают двигатель как единую физическую систему. Они могут быть представлены в виде алгоритмической схемы двигателя (рис. 4.4, а). В схеме имеется два множительных звена. Это означает, что при изменяющемся потоке возбуждения двигатель является нелинейным объектом. Если напряжение возбуждения uв не используется в качестве управляю- щего воздействия и магнитный поток возбуждения Ф в процессе управления постоянен (Ф=Ф0=const), то алгоритмическая схема (рис. 4.4, а) может быть упрощена (рис. 4.4, б). 113 Рис. 4.4. Алгоритмическая схема двигателя постоянного тока: а – с регулируемым возбуждением; б – с постоянным возбуждением Составим общее уравнение двигателя для наиболее часто применяемого варианта управления – изменением напряжения якорной цепи при постоянном возбуждении. Подставим выражения (4.19) и (4.20) в уравнения (4.17) и (4.18) и объединим последние в одно уравнение. Для этого выразим из уравнения моментов (4.17) ток и его производную: iя = d iя dt 2π см Ф 0 = J 2π cм Ф 0 dn dt J 1 + cм Ф 0 d2n dt 2 + М с; (4.21) dМ 1 cм Ф 0 с (4.22) dt и подставим их в уравнение напряжений (4.18). Тогда получим 2 π Lя cм Ф 0 J d2n dt 2 + 2 π rя cм Ф 0 J dn dt + c e Ф 0 n = eи − 114 rя см Ф 0 М с − Lя d М с см Ф 0 d t . (4.23) Введем следующие обозначения: 2 π rя J / cм се Ф 02 = Т м L я / rя = Tэ – электромеханическая постоянная времени двигателя, с; - электромагнитная постоянная времени, с; k д = 1 / се Ф 0 – передаточный коэффициент двигателя по управляющему воздей- ствию – напряжению, (1/с)/В; k д = rя / см се Ф 02 - передаточный коэффициент двигателя по возмущающему воздействию – моменту, 1/с/(Н∙м) Разделив предварительно левую и правую части уравнения (4.23) на се Ф 0 и используя введенные обозначения, получим уравнение динамики дви- гателя в стандартной форме ТмТэ d2n d t2 + Tм dn dt + n = k д eи − k д М с dM c − k дТ э . (4.24) dt Переходя к изображениям по Лапласу, можно из уравнения (4.24) получить передаточные функции двигателя: по управляющему воздействию – напряжению Wд ( p) = n ( p) eи ( p) = kд (4.25) Т м Т э p 2 + Tм p + 1 и по возмущающему воздействию – моменту сопротивления W д ( p ) = ( p) n М ( p) с = − k д ( Т э p + 1 ) Т м Т э p 2 + Tм p + 1 . (4.26) Приравнивая в уравнении (4.24) производные по времени нулю, получим уравнение статики двигателя: n = k д eи − k д M c . 115 (4.27) Выражение (4.27) представляет собой уравнение механической характеристики двигателя с независимым возбуждением. Первое слагаемое соответствует частоте вращения при идеальном холостом ходе, а второе – снижению частоты под нагрузкой. Конструктивные постоянные и се см , входящие в выражения передаточ- ных коэффициентов, определяют по номинальным данным двигателя: се = 2 π см = u я .н − rя iя .н Ф н nн . (4.28) Так как индуктивность якорной цепи в каталогах обычно не указана, то постоянную времени Тэ определяют экспериментально или вычисляют по приближенной формуле проф. В. Б. Уманского Тэ = β где β u я .н 2 p π nи iя .н rя , с, = 0,25 – для двигателей с компенсационной обмоткой; (4.29) β = 0,6 – без ком- пенсационной обмотки. Постоянная времени якорной цепи двигателей составляет обычно 0,1 – 0,5 с, а электромеханическая постоянная может принимать значения от 0,5 до 5 с. Контрольные задания и вопросы 1. Сколько каналов передачи воздействий имеет ОУ, у которого два управляющих воздействия, два возмущающих воздействия и две управляемые величины? 2. Сколько обобщенных координат у рассмотренного в вопросе 1 ОУ? 3. Какое соотношение должно быть между количеством управляющих воздействий и числом управляемых величин? 4. Запишите ПФ генератора постоянного тока, управляемого со стороны напряжения возбуждения. 116 5. Как вычислить ПК генератора постоянного тока по управляющему воздействию (напряжению возбуждения)? 6. Как ориентировочно определить постоянную времени обмотки возбуждения генератора постоянного тока? 7. Запишите уравнение динамики двигателя постоянного тока. 8. Запишите уравнение статики двигателя постоянного тока. 9. Каким типовым динамическим звеном описывается двигатель постоянного тока по управляющему воздействию – напряжению в цепи якоря? 10. Запишите ПФ двигателя постоянного тока по возмущающему воздействию – моменту сопротивления. 117 5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (СУ) 5.1. Правила преобразования алгоритмических структур Для оценки точности, устойчивости и качества управления замкнутых СУ (см. главы 6, 7, 8) необходимо знать их уравнения динамики и статики. Уравнение динамики замкнутой СУ можно получить на основе совокупности уравнений отдельных элементов, образующих систему, путём последовательного исключения промежуточных переменных. Однако, если СУ состоит из большого количества элементов, этот метод оказывается достаточно трудоёмким. Наиболее удобным для решения этой задачи является метод структурных преобразований, согласно которому по структуре системы находят эквивалентную ПФ, а затем – соответствующие уравнения динамики и статики. Информация о структуре СУ и передаточных свойствах её элементов может быть задана в виде обычной алгоритмической схемы (см. раздел 1.2). Для упрощения сложных алгоритмических схем применяют три г л а в н ы х п р а в и л а п р е о б р а з о в а н и я , с помощью которых определяют эквивалентные ПФ типовых соединений звеньев (см. также раздел 2.8). Эквивалентная ПФ последовательно соединённых звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев, входящих в соединение. Например, для соединения двух звеньев (рис. 5.1,а) W э ( p ) = W 1 ( p )W 2 ( p ). (5.1) Эквивалентная ПФ параллельно соединённых звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций всех звеньев, входящих в соединение. Например, для соединения двух звеньев (см. рис. 5.1,б) W э ( p ) =  W 1 ( p )  W 2 ( p ). (5.2) Эквивалентная ПФ соединения с отрицательной (положительной) обратной связью равна ПФ прямой цепи, делённой на единицу плюс (минус) произведение передаточных функций прямой цепи и цепи обратной связи. Так, для соединения из двух звеньев (см. рис. 5.1,в) W э ( p ) = W п ( p ) (1  W п ( p )W ос ( p )). 118 (5.3) а а x W б б x аy 1 = x x2 W1 xy  yy1 = x 2 W 2W 1 x  Wв  y W = W yx y1 y1 W1 x y 1= x 2 x y Wy= W y x W1 x  y W 2 x yW xWW2 1W y2 y x W1 y 1   W2 y2   y 1 = x 2W 2 y 1= x 2 W x W 1W 2 y2 2 в W1 x W в г y1 W1 y  x  y2 W 2  2 y1 W 1 x x П x  y  y2 W x 1 W Пx y1 W y 1 y    y OC y2 2 г y1 W OC 1 W xП x y 21  W 1  W y  yOC W W y WП xП x А л г о р иyт м и ч е с к и е с х е м ы x 1 xП y W П x 1 xП  звеньев   схемы соединений Рис. 5.1. Алгоритмические  П yOC W OC W OC    П y 1 C O O C W W С помощью изложенных трёх главных правил1 удаётся преобразовать люy y OC OC бую исходную алгоритмическую схему, не содержащую перекрёстных связей, ы и г н а л ь н ы е г рС и гын а л ь н ы е г р а ф ы А л г о р и т м и ч е с кАи ле г сохреимтым и ч е с к и е с х е м С аф к одноконтурной схеме (рис. 5.2,а). Алгоритмическую схему замкнутой СУ (и саму систему) называют одноконтурной, если при её размыкании в какой-либо точке образуется цепь, не содержащая параллельных соединений и внутренних обратных связей. На рис. 5.2,б показана цепь, полученная при размыкании замкнутой СУ (см. рис. 5.2,а) между точками А и В. Она не содержит параллельных соединений и обратных связей. Получаемая при размыкании одноконтурной СУ цепь последовательно соединённых элементов, стоявших внутри замкнутого контура, называется разомкнутым контуром СУ. В соответствии с этим определением ПФ разомкнутого контура Wрк(р) одноконтурной системы равна произведению ПФ всех элементов, стоящих внутри контура системы. ПФ элементов, стоящих вне замкнутого контура, никогда не входят в произведение Wрк(р). Например, для системы на рис. 5.2,а W рк ( p ) = − W 1 ( p )W 2 ( p )W 3 ( p )W 4 ( p ), (5.4) при этом учтён сумматор (перед звеном W3), в котором знак сигнала в контуре меняется на противоположный, т. е. главная ОС в данном случае является отрицательной. ПФ W5(p) и W6(p) не входят в произведение (5.4), так как эти элементы стоят вне замкнутого контура. 119 x 1 yOC WП С и гнальны е y 1 W ПW 1W W П W О С П x WП  W 1 W  1 г xП 1 1 x y2 2 1  x ПФ разомкнутого контура является одной из важнейших характеристик замкнутой СУ. От неё зависят устойчивость и показатели качества процесса управления (см. главы 7 и 8). Она обязательно входит в выражение ПФ замкнутой системы. а y1 x2 y2 W x5 W5 В 1 x1 W y4 W А 2 x3 W 4 W6 x6 3 y3 x4 x6 б W W 6 W W2 x2 W W4 3 1 В y1 y4 y3 y2 5 x1 x4 x3 А x5 Рис. 5.2. Алгоритмические схемы одноконтурной СУ (а) и её разомкнутого контура (б) В общем случае на замкнутую СУ могут влиять несколько внешних воздействий (задающих и возмущающих), а при анализе и оценке её свойств часто возникает необходимость рассматривать несколько выходных переменных. Например, в СУ на рис. 5.2,а четыре внешних воздействия (x5, x2, x6, x4) и четыре выходных переменных (у1, у2, у3, у4). Для каждой пары «вход-выход» замкнутой системы может быть записана своя ПФ по следующему правилу: Передаточная функция Фlk(p) одноконтурной СУ между k-м входом xk и l-м выходом уl равна ПФ прямой цепи Wlk(p), делённой на единицу плюс ПФ разомкнутого контура, т. е. Ф lk ( p ) = y l ( p ) x k ( p ) = W lk ( p ) (1 + W 120 р.к . ( p )), (5.5) при этом предполагается, что обратная связь в системе отрицательная. Знак обратной связи в одноконтурной СУ устанавливают с учётом всех перемен знака, происходящих в сумматорах при прохождении сигнала по замкнутому контуру. Например, для системы на рис. 5.2,а ПФ по каналу «x5-y3» Ф 35 ( р) = y3 ( p ) = − W 5 ( p )W 1 ( p )W 2 ( p )W 3 ( p ) 1 + W рк ( p ) x5 ( p ) , (5.6) где Wрк(р)=W1(p)W2(p)W3(p)W4(p). При записи (5.6) учтено, что в схеме на рис. 5.2,а знак внутри контура изменяется только один раз (в сумматоре после звена W3), т. е. что обратная связь отрицательная. Эта перемена знака происходит и с сигналом в прямой цепи и учтена в числителе (5.6) в виде минуса. ПФ по любому из каналов xk-yl записывается по правилу (5.5), независимо от остальных каналов, в предположении, что остальные входные воздействия равны нулю. Если исходная алгоритмическая схема многоконтурная и содержит п ер е к р ё с т н ы е с в я з и, как, например, на рис. 5.3,а, то для её свёртывания к одноконтурной приходится применять, кроме трёх главных правил (5.1), (5.2), (5.3), в с п о м о г а т е л ь н ы е п р а в и л а структурных преобразований, приведённые в табл. 5.1. Действительно, ни для одного из трёх типовых соединений по три элемента (W1-W2-W4, W2-W3-W5, W1-W2-W6), образующих схему на рис. 5.3,а, нельзя применить главные правила, так как начало или конец одного эквивалентного соединения оказались бы при этом внутри другого соединения. Поэтому приходится эти перекрещивающиеся контуры предварительно «развязывать» – устранять перекрёстность. Она всегда может быть устранена несколькими различными путями. Так, пользуясь вспомогательным правилом 3 из табл. 5.1, можно перенести узел разветвления со входа на выход звена W3, добавив одновременно перед звеном W6 обратную 121 функцию W3-1. С помощью правила 5 можно сумматор перенести на выход звена W2, включив последовательно с W5 звено W2, а затем по правилу 2 поменять местами сумматоры А и В. В итоге получится схема без перекрёстных связей (рис. 5.3,б), которую легко свернуть по главным правилам. а x C A B W1 W 2 W4 y W 3 W 5 W6 б x C B W1 W A y W3 2 W4 W2 W6 W3 W 5 -1 Рис. 5.3. Пример структурных преобразований алгоритмической схемы Для двух внутренних соединений схемы (см. рис. 5.3,б) эквивалентные ПФ W 3 , 2 ,5 W 1 , 2 , 4 ( p ) = W 1 ( p ) W 2 ( p ) − W 4 ( p ); (5.7) ( p ) = W 3 ( p ) (1 − W 3 ( p ) W 5 ( p ) W 2 ( p )). (5.8) Теперь схему можно рассматривать как одноконтурную с ПФ разомкнутого контура W рк ( p ) = W 1 , 2 , 4 ( p ) W 3 , 2 , 5 ( p ) W 6 ( p ) W 3 ( p ). (5.9) ПФ замкнутой СУ (см. рис. 5.3,б) по каналу x-y согласно правилу (5.5) Ф yx ( p) = y( p) x( p) = W 1 , 2 , 4 ( p )W 3 , 2 , 5 ( p ) 1+W 122 рк ( p) (5.10) или с учётом выражений (5.7), (5.8), (5.9) Ф yx ( p) = W 1 ( p )W 2 ( p )W 3 ( p ) − W 3 ( p )W 4 ( p ) 1 + W 1 ( p )W 2 ( p )W 6 ( p ) − W 2 ( p )W 3 ( p )W 5 ( p ) − W 4 ( p )W 6 ( p ) . (5.11) Таблица 5.1 Вспомогательные правила структурных преобразований Номер правила 1 2 3 4 5 6 Операция Исходная схема Перестановка узлов разветвления Перестановка сумматоров Перенос узла разветвления через звено вперед Перенос узла разветвления через звено назад Перенос сумматора через звено вперед Перенос сумматора через звено назад 123 Преобразованная схема После определения ПФ между всеми m входами xk и одним из выходов yl можно, с учётом формулы (5.5), на основании принципа суперпозиции записать уравнение динамики замкнутой системы для рассматриваемого выхода yl: m yl ( p) =  x k ( p )Ф lk ( p ). (5.12) k =1 Так как у одноконтурной СУ знаменатели всех ПФ Фlk(p) одинаковы, то уравнение (5.12) для неё можно записать в таком виде: m    y l ( p ) 1 + W рк ( p ) = x k ( p )W lk ( p ), (5.13) k =1 где Wрк(р) – ПФ разомкнутого контура. Выражение в квадратных скобках в левой части уравнения (5.13) представляет собой собственный оператор системы. Если приравнять его к нулю, то получим характеристическое уравнение одноконтурной системы в обобщённом виде 1+W рк ( p) = 0. (5.14) Если ПФ разомкнутого контура предварительно записана в виде отношения полиномов K(p) и D(p), то характеристическое уравнение одноконтурной системы будет иметь вид D ( p) + K ( p) = 0. (5.15) 5.2. Пример составления передаточных функций и уравнений динамики СУ Система стабилизации частоты вращения вала двигателя. Автоматическая система, упрощённая принципиальная схема которой приведена на рис. 5.4,а, широко применяется для регулирования частоты вращения различных машин и механизмов. В качестве исполнительного устройства в системе применён генератор постоянного тока Г. Возбуждение генератора осуществляется от тиристорного преобразователя ТП. Управляющий сигнал uy, действующий на входе преобразователя, формируется в операционном усилителе У в зави124 симости от величины и знака сигнала рассогласования up – разности напряжений uз и uтг. Формирование сигнала uy может происходить по простейшему, пропорциональному закону или по более сложному алгоритму. Кроме главной обратной связи (по частоте вращения вала двигателя), в системах такого рода применяют обычно обратные связи по напряжению или току якорной цепи (см. пунктирную линию на рис. 5.4,а). Ниже будет рассматриваться только главная обратная связь. а uЗ uР uУ У uB ТП Д Г n u ТП ДТ МС ТГ М б uЗ uР W uУ У W ТП uB еГ W u ТГ W W Д' С W Г n Д ТГ Рис. 5.4. Система стабилизации частоты вращения вала двигателя: а – принципиальная схема; б – алгоритмическая схема Алгоритмическая схема СУ частотой вращения вала двигателя показана на рис. 5.4,б. На этой схеме двигатель представлен в виде двух звеньев Wд и Wд, выходные величины которых суммируются. ПФ двигателя по управляющему воздействию – ЭДС генератора (см. раздел 3.4) W д ( p) = n( p) eг ( p) = k д (Т м Т э p 2 + T м p + 1 ), (5.16) по возмущающему воздействию – моменту нагрузки (см. раздел 4.3)  2 W ( p ) = n ( p ) М ( p ) = − k  ( Т p + 1) ( Т Т p + T p + 1) . д с д 125 э м э м (5.17) ПФ генератора (см. раздел 3.3) W г ( p ) = e г ( p ) u в ( p ) = k г ( Т г р + 1 ). (5.18) Тиристорный преобразователь по сравнению с двигателем и генератором может рассматриваться как практически безынерционное звено: W тп ( p ) = u в ( р ) u у ( р )  k тп . (5.19) Будем считать, что операционный усилитель выполняет простейший алгоритм – пропорциональное усиление: W y ( p) = u y ( p) up ( p) = k y. (5.20) Тахогенератор является безынерционным звеном: W тг ( p ) = u тг ( р ) n ( р ) = k тг . (5.21) Согласно правилу (5.5) ПФ замкнутой СУ по задающему воздействию Ф з( р) = n( p) = W y ( p )W тп ( p )W г ( p )W д ( p ) 1 + W рк ( p ) uз( p) , (5.22) а по возмущающему воздействию Ф в ( р) = n( p) М с = ( p)  W д ( p) 1 + W рк ( p ) (5.23) , где Wрк(р) – ПФ разомкнутого контура W рк ( p ) = W у ( p )W тп ( p )W г ( p )W д ( p )W тг ( p ). (5.24) После подстановки в выражения (5.22), (5.23) и (5.24) ПФ отдельных элементов получим Ф з( р) = Ф в( р) = k y k тп k г k д ( Т г р + 1)( Т м Т э р 2 +Т р + 1) + k м  − k д ( Т э р + 1)( Т г р + 1) ( Т г р + 1)( Т м Т э р 2 +Т W рк ( р ) = k ( Т г р + 1)( Т м Т э р где k=kykтпkгkдkтг – ПК разомкнутого контура. 126 2 м ; (5.26) р + 1), (5.27) р + 1) + k +Т м (5.25) ; Согласно принципу суперпозиции уравнение динамики в операторной форме n ( p ) = u з ( p )Ф з ( p ) + M c ( p )Ф в ( р ) (5.28) или в развёрнутом виде ( Т г р + 1)( Т м Т э р 2 +Т м  р + 1) + k n ( p ) =  = k y k тп k г k д u з ( p ) − k д ( Т э р + 1)( Т г р + 1) М с ( р ). (5.29) Характеристическое уравнение системы (Т г р + 1)( Т м Т э р 2 + Т м р + 1) + k = 0 . (5.30) Подставляя в уравнение динамики (5.29) значение р=0, получим уравнение статики n = uз k y k тп k г k д 1+ k − M kд c  1+ k . (5.31) 5.3. Передаточные функции типовой одноконтурной СУ Под типовой одноконтурной системой управления (регулирования) будем понимать систему, которая была описана в разделе 1.2. Её функциональной схеме (см. рис. 1.4,а) соответствует обобщённая алгоритмическая схема на рис. 5.5,а. Объект управления характеризуется одной выходной переменной x, которую требуется стабилизировать на заданном уровне xз. На стабилизируемую переменную x через соответствующие ПФ влияют возмущения z3 и z2, действующие непосредственно на выход объекта и на его вход (через регулирующий орган РО). Отклонения xв и yв, вызываемые этими возмущениями, компенсируются в системе целенаправленными изменениями управляющего воздействия y, которое создаётся регулятором. На входе регулятора с ПФ Wр действует сигнал рассогласования u. Этот сигнал формируется в результате сравнения (алгебраического суммирования) сигналов uз и ux, пропорциональных соответственно задающему воздействию 127 xз и управляемой величине x. Сигнал ux вырабатывается датчиком Wд, а сигнал uз формируется в задающем элементе Wз. Для анализа и расчёта типовой системы (см. рис. 5.5,а) удобно пользоваться преобразованной алгоритмической схемой на рис. 5.5,б. В этой схеме датчик отнесён к регулятору, и условно принято, что во входном сумматоре сравниваются непосредственно физические величины xз и x. Сигнал ошибки  имеет, следовательно, ту же размерность, что и величины xз и x, и поэтому по значению  можно прямо судить о точности системы. Помеха z1 при этом также оказывается выраженной в единицах измерения x – в виде эквивалентного сигнала xп. Обратная связь в схеме, приведённой на рис. 5.5,б, называется единичной. а z1 П ом еха z2 Ре гуля т о р О бъ ект WП W РВ uп xЗ u uЗ WЗ В озм у щ ен и я z3 W ОВ yВ W 'Р y W РО xВ x W О' ux WД yВ xП б xЗ  − WР y xВ WО x Рис. 5.5. Алгоритмические схемы типовой одноконтурной СУ При переходе от исходной схемы (см. рис. 5.5,а) к эквивалентной с единичной обратной связью (см. рис. 5.5,б) использовано правило 6 из табл. 5.1 (о переносе сумматора назад) и учтено, что задающий элемент и датчик – обычно безынерционные звенья с передаточными коэффициентами kз и kд, причём все128 гда kз=1/kд. Очевидно, что при этом задатчик оказывается присоединённым к регулятору с передаточной функцией  W p ( p ) = k з W p ( p ). (5.32) Регулирующий орган с ПФ Wро отнесён на преобразованной схеме к объекту:  W о ( p ) = W ро ( p )W о ( p ). (5.33) Возмущениям z2 и z3 соответствуют эквивалентные внешние воздействия yв и xв на вход и выход объекта, выраженные в единицах измерения управляющего воздействия y и управляемой величины x. Запишем п е р е д а т о ч н ы е ф у н к ц и и и у р а в н е н и я д и н а м и к и т и п о в о й о д н о к о н т у р н ой с и с т е м ы , схема которой изображена на рис. 5.5,б. ПФ системы по задающему воздействию имеет вид Ф ( р) = хз х( р) х з (р) = х( р) = хп ( р ) W p ( p )W o ( p ) 1 + W p ( p )W o ( p ) , (5.34) а по возмущающему воздействию Ф хв ( р) = х( р) ув ( р ) = Wo( p) 1 + W p ( p )W o ( p ) (5.35) . Согласно принципу суперпозиции общее изменение выходной величины x, возникающее при совместном действии входов xз и yв, равно сумме изменений, создаваемых каждым воздействием в отдельности. Отсюда уравнение динамики системы в краткой записи х ( p ) = х з ( p )Ф хз ( p ) + у в ( p )Ф хв ( р) (5.36) или в развёрнутом виде х( p) = хз ( p) W p ( p )W o ( p ) 1 + W p ( p )W o ( p ) 129 + ув ( p) Wo ( p) 1 + W p ( p )W o ( p ) . (5.37) Часто при расчёте систем передаточные функции и уравнение динамики записывают не для управляемой величины x, а для сигнала ошибки . Сигнал ошибки ε = xз − x (5.38) также может рассматриваться как сумма двух составляющих: ε = εз + εв , (5.39) где з – составляющая сигнала ошибки, обусловленная изменениями задающего воздействия; в – составляющая сигнала ошибки, обусловленная изменениями возмущающего воздействия yв. Для каждой составляющей сигнала ошибки можно записать ПФ, связывающие эти составляющие с соответствующими внешними воздействиями. ПФ системы (см. рис. 5.5,б) по задающему воздействию согласно правилу (5.5) Ф з ( р) = εз( р) xз ( р) = 1 1 + W p ( p )W o ( p ) , (5.40) . (5.41) а ПФ по возмущающему воздействию Ф в ( р) = εв ( р) yв ( р) = − Wo ( p) 1 + W p ( p )W o ( p ) Уравнение динамики системы, записанное для сигнала ошибки, будет иметь вид ε ( p ) = ε з ( р ) + ε в ( р ) = х з ( p )Ф з ( p ) + у в ( p )Ф в ( р) (5.42) или ε( p) = хз ( p) 1 1 + W p ( p )W o ( p ) + ув ( p) − Wo ( p) 1 + W p ( p )W o ( p ) . (5.43) Если в системе (см. рис 5.5,а) заданы характеристики возмущения z3 (вместо ув), то в числители ПФ (5.35) и (5.41), входящих в уравнения (5.37) и (5.43), следует подставлять функцию Wов (вместо Wо). 130 Обратим внимание на две характерные связи между ПФ для управляемой величины и для сигнала ошибки. Во-первых, сравнивая выражения (5.34) и (5.40) можно установить, что Ф εз ( p) = 1 − Ф xз ( p ), (5.44) и, во-вторых, легко заметить, что Ф εв ( p) = −Ф хв ( p ). (5.45) Аналогично можно записать ПФ и для других входных воздействий (например, по каналам xп-x, xп-, xв-x, xв-). При их учёте в уравнениях динамики замкнутой системы (5.36) и (5.42) появятся дополнительные слагаемые, соответствующие воздействиям xп и xв. Таким образом, в общем случае сигнал ошибки в системе на рис. 5.5,б может складываться из четырёх составляющих: ε = εз + εв + εп + εх , (5.46) где з – составляющая, обусловленная неточным воспроизведением системой задания xз на выходе объекта; в, п, х – составляющие, обусловленные неполной компенсацией регулятором влияния возмущений yв, xп и помехи xв на управляемую величину x. Причём, каждая составляющая в (5.46) пропорциональна величине воздействия, создавшего её. Контрольные задания и вопросы 1. Как изображается отдельное звено W и его сигналы x и y на алгоритмической схеме? 2. Запишите выражения для эквивалентных ПФ типовых соединений из двух элементов. 3. Что такое разомкнутый контур системы и чему равна его ПФ? 4. По какому общему правилу вычисляется ПФ замкнутой СУ для произвольного канала xk-yl? 5. Как перейти от известной ПФ замкнутой СУ по одному каналу x-y к операторному уравнению динамики этого канала? 6. Как записывается в общем случае характеристическое уравнение замкнутой системы через ПФ разомкнутого контура? 131 7. Нарисуйте обобщённую алгоритмическую схему типовой одноконтурной СУ, состоящей из объекта Wо и регулятора Wр. 8. Какие внешние воздействия обычно рассматриваются при анализе типовой системы? Чему равен сигнал ошибки в системе с единичной обратной связью? 9. Перечислите вспомогательные правила структурных преобразований. 10. Запишите ПФ типовой замкнутой СУ (см. рис. 5.5,б) по основным каналам. 132 6. ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 6.1. Общие понятия о точности управления Назначение любой СУ – изменение выходной величины х(t) в соответствии с изменениями задающего воздействия хз(t). В большинстве случаев эта задача СУ заключается в поддержании равенства x (t ) = x з (t ) (6.1) при любых изменениях задающего и возмущающих воздействий. При анализе точности различают две функции системы: воспроизведение задающего воздействия и подавление (компенсация) возмущений. Из-за инерционности объекта и регулятора обе эти функции выполняются любой реальной системой с погрешностью: в каждый момент времени после внешнего воздействия существует разность  ( t ) = x з ( t ) − x ( t ), (6.2) характеризующая точность системы. Чем меньше мгновенные значения сигнала ошибки ε(t), тем больше (лучше) точность системы. Как было показано в разделе 5.3, сигнал ошибки ε(t) в типовой СУ (см. рис. 5.5,б) содержит составляющую εз(t), которая характеризует точность выполнения системой функции воспроизведения задающего воздействия, и несколько составляющих, которые в сумме характеризуют точность выполнения функции подавления возмущений. Из формул (5.40)–(5.43) следует одно из важнейших правил теории управления: в типовой одноконтурной системе, состоящей из объекта W0(p) и регулятора Wр(p), полная ошибка регулирования ε(t) и ее составляющие и в статике, и в динамике обратно-пропорциональны выражению (1+ Wр(p) W0(p)), т.е. точность регулирования тем лучше, чем больше усилительные свойства регулятора. Вычисление мгновенных значений сигнала ошибки и его составляющих при произвольном законе изменения внешних воздействий представляет собой 133 сложную задачу. Поэтому точность систем принято оценивать по значениям εз и εв в статическом и в установившемся динамическом режиме системы. Соответственно различают статическую точность и динамическую точность. Ниже показано, что в статическом режиме ошибки возникают только в статической системе. 6.2. Точность статических и астатических систем стабилизации Статической системой управления называется система, объект и регулятор которой являются статическими элементами, т. е. W р (0 ) = k р и W 0 (0 ) = k 0 . (6.3) Подставляя в уравнения динамики (5.37) и (5.43) одноконтурной системы (см. рис. 5.5,б) р=0 и учитывая выражения (6.3), получим уравнения статики статической системы: для управляемой величины x = xз kрk0 + yв 1 + kрk0 k0 (6.4) 1 + kрk0 и для сигнала ошибки ε = xз 1 1 + kрk0 + yв − k0 1 + kрk0 . (6.5) Если вместо возмущения ув задано z3 (см. рис. 5.5,а), то в числители вторых слагаемых в (6.4) и (6.5) следует подставлять ПК kов, характеризующий канал zз-х. Первое слагаемое в правой части уравнения (6.5) характеризует так называемую статическую ошибку по задающему воздействию, а второе статическую ошибку по возмущению. Обе эти ошибки тем больше, чем больше внешние воздействия, и тем меньше, чем больше знаменатель (1+kрkо). Следовательно, точность статической системы тем лучше, чем больше ПК разомкнутого контура. 134 Точность статической системы принято оценивать коэффициентом статизма S =  xз  xр , (6.6) где Δxр – отклонение управляемой величины x от заданного значения, создаваемое возмущением ув= ув0 при разомкнутом контуре регулирования; Δxз – отклонение управляемой величины, создаваемое тем же возмущением ув0 в замкнутой системе. Коэффициент статизма показывает, во сколько раз отклонение выходной величины управляемого объекта меньше отклонения этой величины у неуправляемого объекта (при одном и том же значении возмущающего воздействия). Очевидно, что  x р =  y в0 k 0 (6.7) и  x з =  y в0 k 0 (1 + k р k 0 ). (6.8) Отсюда коэффициент статизма S = 1 (1 + k р k 0 ) = 1 (1 + k ), (6.9) где k=kрkо – ПК разомкнутого контура. Точность статической системы считается удовлетворительной, если коэффициент S находится в пределах 0,1 ... 0,01. Следовательно, общий ПК разомкнутого контура статической системы должен находится в диапазоне 10…100. Пример. Оценим статическую точность системы стабилизации частоты вращения вала двигателя (см. в разделе 5.2 рис. 5.4), если известно, что kу=4; kтп=2; kг=4.5: kд=0.1; kтг=2,5; kд'=0,01. Пусть требуется при расчетном моменте нагрузки Мсо=1000 Н∙м поддерживать неизменной частоту n0=10 об/с. Предполагаем, что все элементы системы линейны. По уравнению (5.31), описывающему статику системы, можно рассчитать необходимое значение задающего воздействия из. Оно равно из0≈30 В. 135 Если в процессе работы момент нагрузки будет изменяться от 900 до 1100 Н∙м. т. е. ΔМс=200 Н∙м, то в системе будут возникать статические ошибки, максимальное значение которых nз = в = M где k = k у k тп k г k д k тг = 9 сkд  (1 + k ) = 200  0 , 01 (1 + 9 ) = 0 , 2 об с , (6.10) – ПК разомкнутого контура. В неуправляемом двигателе (т. е. при разомкнутом контуре системы) такие же изменения момента создавали бы отклонения частоты вращения, равные   n р =  M с k д = 200  0 , 01 = 2 об/с. (6.11) Следовательно, коэффициент статизма системы S =  n з  n р = 0 , 2 2 = 0 ,1 . (6.12) Это значение коэффициента S получается и при вычислении его непосредственно по формуле (6.9). Типовая СУ называется астатической ν-го порядка, если ее регулятор обладает астатизмом ν–го порядка, т. е. содержит ν интегрирующих звеньев. В промышленной автоматике обычно используются системы с ν=1 и 2. Рассмотрим точность астатической системы, в которой объект управления является статическим элементом, т. е. W 0 (0 ) = k 0 ; W р (0 )  k р ; W р (0 ) =  . (6.13) Подставляя в уравнения динамики (5.37) и (5.43) p=0 и учитывая выражения (6.13), получим уравнения статики астатической системы: для управляемой величины x = xз (6.14) ε = 0. (6.15) и для сигнала ошибки На основании выражений (6.14) и (6.15) можно сделать вывод, что в астатической системе стабилизации в статическом режиме управляемая величина x не зависит от возмущающего воздействия, а сигнал ошибки ε равен нулю. 136 6.3. Динамическая точность СУ Динамическую точность систем оценивают по величине сигнала ошибки в установившемся динамическом режиме. Установившийся динамический режим наступает, как известно, после окончания переходного процесса. В этом режиме управляемая величина и сигнал ошибки имеют только вынужденную составляющую. В зависимости от свойств системы и от точки приложения внешнего воздействия вынужденная составляющая сигнала ошибки либо равна постоянной величине, либо неограниченно возрастает. Постоянную вынужденную составляющую можно определить при помощи теоремы о конечном значении оригинала. Рассмотрим методику определения постоянных составляющих сигнала ошибки. Определим установившееся значение сигнала ошибки типовой одноконтурной СУ (рис. 5.5,б) при изменении внешних воздействий x(t) или y(t) по закону ступенчатой функции x з ( t ) = a 0 1( t ) (6.16) и по закону степенной функции q x з ( t ) = a q t 1 ( t ), ( q = 1; 2; 3;...). (6.17) Пусть ПФ регулятора имеет вид * W р ( p ) = k рW р ( p ) p  р , (6.18) а объекта * W 0 ( p ) = k 0W 0 ( p ) где множители W р * * ( p ) и W 0 ( p ) при p → 0 p  , (6.19) стремятся к единице. Показатели νр и ν0 характеризуют порядок астатизма регулятора и объекта. Согласно выражениям (6.18) и (6.19) ПФ разомкнутого контура будет иметь вид 137 W ( p ) = kW *  (6.20) ( p) p , где k=kрkо - ПК разомкнутого контура; ν= νр+ν0 - порядок астатизма контура; W * * * ( p ) = W Р ( p )W 0 ( p ) - множитель, который при p → 0 стремится к единице. Подставляя ПФ (6.18) и (6.19) в выражение (5.43), получим изображение сигнала ошибки типовой системы ε( p ) = x з ( p ) p p   + kW * ( p) + yв ( p ) p p   р * k 0W 0 ( p ) + kW * . (6.21) ( p) Из выражения (6.21) следует, что составляющая εз, обусловленная изменением задающего воздействия хз, зависит от общего порядка астатизма ν, а составляющая εв, обусловленная изменением возмущающего воздействия yв, зависит только от порядка астатизма регулятора. Установившееся значение сигнала ошибки определим, используя теорему Лапласа о конечном значении оригинала (см. табл. 2.2), lim ε( t ) = lim p ε( t ). t→  (6.22) t→ 0 Знаменатели обоих слагаемых в выражении (6.21) при p → 0 стремятся к значению 1+k (при ν=0) или к значению k (при ν>0). Предельное значение числителей зависит от вида функций хз(t) и ув(t) и от показателей астатизма ν и νр . Если подставить вместо хз(р) и ув(р) в формуле (6.21) изображения ступенчатой функции xз ( p ) = yв ( p ) = a0 p (6.23) или степенной функции x з ( p ) = y в ( p ) = a q q! p q +1 , ( q = 1; 2;...), (6.24) то можно найти установившиеся значения сигнала ошибки. В табл. 6.1 приведены установившиеся значения составляющих εз и εв для ряда распространенных случаев (q=0; 1; 2 и ν=0; 1; 2). 138 Таблица 6.1 Установившиеся значения ошибки типовой системы (см. рис. 5.5,б) Порядок астатизма ν=0 ν=1 ν=2 νр=0; ν0=0 νр=0; ν0=1 νр=1; ν0=0 νр=1; ν0=1 νр=2; ν0=0 εз εв На основании Вид воздействия а1t1(t) ∞ a1/k ∞ ∞ a1/kр a1/kр а01(t) a0/(1+k) a0k0/(1+k) a0/kр результатов, приведенных в табл. α2t21(t) ∞ ∞ 2a2/k ∞ ∞ ∞ ∞ 2a2/kр 6.1, можно сформулировать следующие общие правила: 1. Если суммарный порядок астатизма ν типовой системы равен показателю q степенного задающего воздействия, то система в установившемся режиме имеет ошибку воспроизведения ε з (t) = a 0 q ! k = const , (6.25) которая тем меньше, чем больше ПК разомкнутого контура системы. 2. Постоянная ошибка подавления εв(∞), возникающая в установившемся режиме при q=νр, обратно пропорциональна ПК регулятора. 3. Если порядок астатизма νр регулятора больше показателя q воздействия, то установившиеся значения ошибок εз(∞)=0 и εв(∞)=0. 4. Если порядок астатизма ν меньше показателя q, то εз(∞)=∞ и εв(∞)=∞. На рис. 6.1 показана серия переходных функций, установившиеся участки которых иллюстрируют сформулированные правила. На рис. 6.1,а показаны переходные функции статической (ν=0) и астатических (ν=1 и ν=2) систем при ступенчатом изменении задающего воздействия, а на рис. 6.1,б – переходные функции тех же систем при линейно нарастающем задающем воздействии. Пример. Определим установившуюся составляющую сигнала ошибки типовой системы (см. рис. 5.5,б) при изменении задающего воздействия по закону 2 x з ( t ) = 20 t 1 ( t ). Пусть ПФ разомкнутого контура имеет вид 139 (6.26) W ( p) = k p 2 (T 1 p + 1 )(T 2 p + 1 ) , (6.27) где k=10; T1=0,1 c; T2=0,2 с. В данном случае показатель воздействия q=2 и порядок астатизма системы ν=2, поэтому, согласно табл. 6.1, установившаяся ошибка воспроизведения.  з (  ) = 2 a 2 k = 2  20 / 10 = 4 . а б x ( t) x ( t) x3 v= 0  ( )= c o n st x3 x  (t)→  x t x ( t) t x ( t)  ( )= 0 x3 x3  ( )= c o n st x v= 1 x t x ( t) x ( t)  ( )= 0 x3 v= 2 t x3  ( )= 0 x x t t Рис. 6.1. Переходные процессы в статической и астатической СУ при ступенчатом (а) и линейном (б) изменении задающего воздействия На основании результатов, приведенных в табл. 6.1, можно сделать вывод, что теорема Лапласа о конечном значении оригинала (см. табл. 2.2) позволяет вычислить постоянную вынужденную составляющую сигнала ошибки ε (в том числе и нулевую ошибку) и факт ее (ошибки) неограниченного возрастания без определения закона изменения ошибки во времени. Возрастающую вынужденную составляющую находят при помощи метода коэффициентов ошибок. 140 6.4. Типовые линейные алгоритмы управления Рассмотрим типовые алгоритмы управления (законы регулирования), применяемые в линейных СУ. Простейший закон регулирования реализуется при помощи безынерционного звена с ПФ W р ( p) = y( p) ( p) = kп = kр. (6.28) Согласно выражению (6.28) управляющее воздействие и в статике, и в динамике пропорционально сигналу ошибки ε. Поэтому такой закон регулирования называется пропорциональным (П). Достоинства П-регулятора – простота и быстродействие, недостатки – ограниченная точность (особенно при управлении объектами с большой инерционностью и запаздыванием). Закон регулирования, которому соответствует ПФ W р ( p) = kи p = k р Tи p , (6.29) называется интегральным (И). При интегральном законе регулирования управляющее воздействие y в каждый момент времени пропорционально интегралу от сигнала ошибки ε. Поэтому И-регулятор реагирует главным образом на длительные отклонения управляемой величины от заданного значения. Кратковременные отклонения сглаживаются таким регулятором. Достоинства интегрального закона – лучшая (по сравнению с пропорциональным законом) точность в установившихся режимах (см. разделы 6.2 и 6.3). Недостатками интегрального закона регулирования являются худшие свойства в переходных режимах: меньшее быстродействие и большая колебательность. Наибольшее распространение в промышленной автоматике получил пропорционально-интегральный (ПИ) закон регулирования W р ( p) = kп + kи p = k р + k р T и p = k р (T и p + 1) T и p . (6.30) Благодаря наличию интегральной составляющей ПИ-закон регулирования обеспечивает высокую точность в 141 установившихся режимах, а при определенном соотношении коэффициентов kп и kи закон обеспечивает хорошие показатели и в переходных режимах. Наилучшее быстродействие достигается при пропорционально- дифференциальном (ПД) законе регулирования W р ( p ) = k п + k д p = k р ( T д p + 1 ). (6.31) ПД-регулятор реагирует не только на величину сигнала ошибки, но и на скорость его изменения. Благодаря этому при управлении достигается эффект упреждения. Недостатком пропорционально-дифференциального закона регулирования является ограниченная точность. Наиболее гибким законом регулирования (в классе линейных законов) является пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) закон W р ( p) = kп + kи p + kд p = kр Tи p + 1 + TиTд p 2 , (6.32) Tи p который сочетает в себе преимущества более простых законов (6.28)-(6.31). Коэффициенты и постоянные времени, входящие в ПФ типовых регуляторов, называются настроечными параметрами и имеют следующие наименования: kп, kи, kд – коэффициенты пропорциональной, интегральной и дифференциальной частей; kр – передаточный коэффициент регулятора; Tи – постоянная времени интегрирования (время изодрома); Tд – постоянная времени дифференцирования. Параметры, входящие в различные записи (6.29-6.32) ПФ регуляторов, связаны между собой соотношениями k п = k р ; k и = k р Tи ; k д = k рT д . 142 (6.33) Контрольные задания и вопросы 1. Как влияет ПК разомкнутого контура на статическую и динамическую точность систем? 2. Укажите характерные признаки ПФ Wр(р) и W0(р) в статической системе регулирования. 3. Какая система называется астатической? От наличия каких типовых звеньев в контуре системы зависит ее астатизм? 4. При каком соотношении между степенным показателем q внешнего воздействия и порядком астатизма ν установившаяся ошибка равна нулю? 5. Как зависит установившаяся ошибка от ПК разомкнутого контура при ν=q? 6. Запишите ПФ ПИ-регулятора. 7. Запишите ПФ ПИД-регулятора. 8. При каком законе регулирования в системе достигается наилучшее быстродействие? 9. Какие недостатки имеет пропорционально-интегральный закон регулирования? 10. Перечислите законы регулирования, при которых в системе стабилизации в установившемся режиме сигнал ошибки (рассогласования) равен нулю. 143 7. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 7.1. Понятие, виды и общее условие устойчивости Одной из важнейших характеристик СУ наряду с точностью является её устойчивость. Причём, если показатели точности определяют степень полезности и эффективности системы, то от устойчивости зависит работоспособность системы. Система, не обладающая устойчивостью, вообще не способна выполнять функции управления и имеет нулевую или даже отрицательную эффективность (т. е. система вредна). Неустойчивая СУ может привести объект в аварийное состояние. Поэтому проблема устойчивости систем является одной из центральных в теории управления. Раскроем физический смысл понятия «устойчивость». Устойчивость СУ – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего её из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него. Неустойчивость замкнутой СУ возникает, как правило, из-за неправильного или очень сильного действия главной обратной связи. Неправильное действие главной обратной связи имеет место, например, в тех случаях, когда изза ошибки, допущенной при монтаже системы, связь оказывается положительной (вместо отрицательной), которая практически при любых параметрах делает систему неустойчивой. Возникающую при этом неустойчивость называют статической. Более сложным и более распространённым видом неустойчивости является динамическая неустойчивость. Она проявляется в системах с отрицательной обратной связью, при достаточно большом значении передаточного коэффициента разомкнутого контура и при количестве инерционных звеньев, не меньшем трёх. Причиной динамической неустойчивости обычно является значительная инерционность элементов замкнутого контура, из-за которой в режиме колебаний системы сигнал главной обратной связи сильно отстаёт от 144 входного сигнала и оказывается с ним в фазе. А это означает, что связь, выполненная конструктивно как отрицательная (в статическом режиме!), в динамике – в режиме гармонических колебаний – проявляется как положительная. Рассмотрим математическую сущность устойчивости и неустойчивости. Согласно данному выше физическому определению, устойчивость зависит только от характера свободного движения системы. Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением n a0 d x (t ) dt n + a1 d n −1 dt x (t ) n −1 + a2 d n−2 dt x (t ) n−2 + ... + a n x ( t ) = 0 , (7.1) где x(t)=xc(t) – свободная составляющая выходной величины системы. Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения (2.23), на устойчивость системы не влияет. Дадим математическое определение понятия «устойчивость». Система является устойчивой, если свободная составляющая xc(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т. е. если lim x c ( t ) = 0 . t→  (7.2) Очевидно, что при этом выходная величина системы будет стремиться к вынужденной составляющей, определяемой внешним воздействием и правой частью уравнения (2.23). Устойчивость, в смысле условия (7.2), принято называть асимптотической. Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т. е. если lim x c ( t ) =  , t→  (7.3) то система неустойчива. Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости. 145 Найдём общее условие, при котором система, описываемая уравнением (7.1), устойчива. Решение уравнения (7.1) при отсутствии у него одинаковых корней равно сумме n x c (t ) =  Cke pkt (7.4) , k =1 где Ck – постоянные, зависящие от начальных условий; рk – корни характеристического уравнения a0 p n + a1 p n −1 + a2 p n−2 + ... + a n = 0 . (7.5) Корни характеристического уравнения могут быть действительными (pk=k), мнимыми (pk=jk) и комплексными p k = α k  jβ k , (7.6) причём комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обязательно существует корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью. Переходная составляющая (7.4) при t→ стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида Cke pkt стремится к нулю. Характер этой функции времени зависит от вида корня pk. Рассмотрим все возможные случаи расположения корней pk на комплексной плоскости (рис. 7.1) и соответствующие им функции xk(t), которые на рис. 7.1 показаны внутри кружочков. 1. Каждому действительному корню pk=k в решении (5.4) соответствует слагаемое вида x (t ) = C k e  kt (7.7) . 2. Каждой паре сопряжённых комплексных корней pk=k+jk и pk-1=k - jk в решении (7.4) соответствуют два слагаемых, которые могут быть объединены в одно слагаемое x ( t ) = 2 C k e  kt sin ( β k t + ψ k ). (7.8) Функция (7.8) представляет собой синусоиду с частотой k и с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Если действительная часть 146 двух комплексных корней k<0 (на рис. 7.1 корни р4 и р5), то колебательная составляющая (7.8) будет затухать. Если k>0 (корни р8 и р9), то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Наконец, если k=0 (корни р6 и р7), т. е. если оба сопряжённых корня – мнимые (pk= + jk, pk+1=- jk), то xk(t) представляет собой незатухающую синусоиду с частотой k. j Гра ниц а уст ой чи вост и p4 p8 p6 p1 p2 p3  p5 p7 О бласт ь уст ойчивост и p9 О бласт ь неуст о йчиво ст и Рис. 7.1. Влияние корней характеристического уравнения СУ на составляющие её свободного движения Если среди корней характеристического уравнения (7.5) имеются l равных между собой корней pl, то в решении (7.4) вместо l слагаемых Cke pkt появится одна составляющая (С + С 1t + C 2 t 2 + ... + C l −1 t l −1 )e pet . (7.9) Учитывая, что функция вида e-bt при любом b убывает быстрее, чем возрастают слагаемые вида tr, можно доказать, что и в случае кратности корней решение (7.4) будет стремиться к нулю лишь при отрицательности действительной части кратных корней pl. На основании приведённого анализа можно сформулировать о б щ е е 147 у с л о в и е у с т о й ч и в о с т и : для устойчивости линейной СУ необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то система будет неустойчивой. Обратим внимание на то, что устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему. Устойчивость есть внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий. Используя геометрическое представление корней на комплексной плоскости (см. рис. 7.1) в виде векторов или точек, можно дать вторую фор- м у л и р о в к у о б щ е г о у с л о в и я у с т о й ч и в о с т и: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, система будет неустойчивой. Мнимая ось j является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней (pk= +jk, pk+1=- jk), а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой =k. В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе устойчивости, а частоту колебаний на границе устойчивости называют критической. Если уравнение имеет более одной пары мнимых корней, то система неустойчива. Точка =0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню. Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корней два, то система неустойчива. 148 Таким образом, для суждения об устойчивости линейной системы достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения. В математике и теории управления разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая характеристическое уравнение и не находя числовые значения самих корней. Эти правила называются критериями устойчивости. Простейшим критерием устойчивости является условие положительности коэффициентов характеристического уравнения. Положительность коэффициентов уравнения (7.4) является необходимым (но недостаточным!) условием устойчивости системы. Это означает, что если все коэффициенты положительны, то система может быть устойчивой, но может быть и неустойчивой. Но если хотя бы один коэффициент уравнения отрицателен или равен нулю, то система наверняка неустойчива. Критерии устойчивости могут быть алгебраическими и частотными. Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности корней в форме ограничений, накладываемых на определённые комбинации коэффициентов характеристического уравнения. Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой частотных характеристик системы. 7.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица Критерий Гурвица можно сформулировать так: линейная СУ, описываемая характеристическим уравнением a0 p n + a1 p n −1 + a2 p n−2 + ... + a n = 0 , (7.10) устойчива, если положительны все n+1 коэффициентов ai, и все n определителей i вида 149 a1 a3 a5 ... a 2 i −1 a0 a2 a4 ... a 2 i-2 a1 a3 ... a 2 i-3 , i = 0 ... ... ... ... ... ... a i-2 i = 1; 2 ;...; n . (7.11) ... ai Если хотя бы один из определителей (7.11), называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Матрицы (7.11), по которым вычисляют определители Гурвица i, составляют следующим образом: на главной диагонали записывают все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до ai (в порядке возрастания индекса), затем в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами; на место коэффициентов с индексами больше n или меньше нуля проставляют нули. При этом каждая i-я матрица получается квадратной размером ii. Всегда главный определитель n  n = an n −1 (7.12) . Если главный определитель n=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. С учётом выражения (7.12) это условие распадается на два an = 0 или  = 0. (7.13) Условию n=0 соответствует один нулевой корень, т. е. апериодическая n −1 граница устойчивости, а условию n-1=0 – пара мнимых корней, т. е. колебательная граница устойчивости. Рассмотрим ч а с т н ы е с л у ч а и к р и т е р и я Г у р в и ц а для n=1; 2; 3; 4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия. 150 1. Для уравнения первого порядка (n=1) a 0 p + a1 = 0 (7.14) условие устойчивости a0  0 и a1  0 , (7.15) т. е. положительность коэффициентов уравнения является в данном случае необходимым и достаточным условием. Действительно, при a 0  0 и a1  0 един- ственный корень уравнения будет отрицательным: р1=-(а1/а0)<0. 2. Для уравнения второго порядка (n=2) a0 p 2 + a1 p + a 2 = 0 (7.16) условие устойчивости a0  0,  1 = a1  0, a 2  0 . (7.17) Таким образом, и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным. 3. Для уравнения третьего порядка (n=3) a0 p 3 + a1 p 2 + a2 p + a3 = 0 (7.18) условие устойчивости a 0  0,  2 = a1 a3 a0 a2  1 = a1  0, a 2  0, a 3  0; (7.19) = a1a 2 − a 0 a 3  0;  3 = a3 2  0. Последнее неравенство при а3>0 эквивалентно неравенству 2>0. Следовательно, для системы третьего порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется, чтобы 2>0. Учитывая выражение для 2, можно сформулировать следующее мнемоническое правило оценки устойчивости систем третьего порядка: произведение средних коэффициентов уравнения должно быть больше произведения крайних. Частота колебаний на границе устойчивости (2=0) 151 ω кр = a 3 a1 = (7.20) a2 a0 . 4. Для уравнения четвёртого порядка (n=4) 4 a0 p 3 + a1 p + a2 p 2 + a3 p + a 4 = 0, (7.21) кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия  2 3 2 = a1a 2 a 3 − a 0 a 3 − a1 a 4  0. (7.22) Нетрудно доказать, что при положительности всех коэффициентов условие (7.22) обеспечивает выполнение и условия 2>0. Таким образом, для устойчивости систем не выше четвёртого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель n-1 были положительны. Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n>5 вычисление определителей становится громоздким. Пример. Определим с помощью критерия Гурвица, устойчива ли система управления частотой вращения вала двигателя (см. раздел 5.2) при следующих значениях параметров: Тм=1 с; Тэ=0,1 с; Тг=0,5 с; k=kуkтпkгkдkтг=14. (7.23) Характеристическое уравнение системы (Т г р + 1 )( Т м Т э р 2 + Т м р + 1) + k = 0 . (7.24) Приводя это уравнение к форме (7.18), получим значения коэффициентов: a 0 = T м T э T г = 1  0 ,1  0 , 5 = 0 , 05 а1 = Т мТ а2 = Т м э + Т мТ +Т г 3 с ; 2 г = 1  0 ,1 + 1  0 , 5 = 0 , 6 с ; (7.25) = 1 + 0 , 5 = 1, 5 с ; а 3 = 1 + k = 15 . Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, т. е. необходимое условие устойчивости выполняется. Проверим, выполняется ли достаточное условие: вычислим определитель  2 = а 1 а 2 − а 0 а 3 = 0 , 6  1 , 5 − 0 , 05  15 = + 0 ,15 , (7.26) он больше нуля, следовательно, система устойчива. Решим теперь обратную задачу: определим, какое максимальное значение общего ПК k допустимо по условию устойчивости. 152 Максимально допустимое значение коэффициента k найдём из условия нахождения системы на колебательной границе устойчивости  n −1 =  2 = а1а 2 − а 0 а 3  0. (7.27) Отсюда a 3  a 1 a 2 a 0 = 0 , 6  1 , 5 0 , 05 = 18 , (7.28) а максимально допустимое значение общего ПК k = a 3 − 1  18 − 1 = 17 . (7.29) Условию нахождения системы на апериодической границе устойчивости (а3=0) соответствует второе предельное значение передаточного коэффициента k  −1. (7.30) Поясним физический смысл этого результата. Знак «минус» соответствует положительной обратной связи в главном контуре системы. Следовательно, рассматриваемая статическая система устойчива и при положительной обратной связи, но если общий передаточный коэффициент по модулю меньше единицы. Отметим, что точность системы в режиме положительной обратной связи совершенно неудовлетворительна. 7.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста В отличие от критерия Гурвица, который основан на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФХ разомкнутого контура. В этом заключается существенное преимущество критерия, так как в тех случаях, когда неизвестно математическое описание одного или нескольких конструктивных элементов системы и оценить их свойства можно только экспериментальным определением частотных характеристик, критерий Найквиста является единственно пригодным. О с н о в н а я ф о р м у л и р о в к а к р и т е р и я Н а й к в и с т а: замкнутая система управления устойчива, если АФХ F(j) разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (-1; j0). 153 а в jQ ( ) Эта формулировка справедлива для систем, которые jвQ разомкнутом состо( ) 1 янии устойчивы. Таковыми являются большинство реальных систем, состояP ( ) k −1 щих из устойчивых элементов.  0 = кр k + 1 P 1(  ) 1 1 =0 =0 W (j ) На рис. 7.2,а изображены АФХ разомкнутого контура, соответствующие 1 W (j ) трём различным случаям: 12 – система устойчива;W2( j – )система находится на ко3 1 лебательной границе устойчивости; 3 – система неустойчива. а в jQ ( ) j Q 1б(  ) k −1  кр 0 = g P ( ) 1 t g 1 =0 x g−x t k + 1 P 1(  ) =0 − t W (j ) x W (j ) − x 3 2 1 W 1(j ) W (j ) t Рис. 7.2. АФХ разомкнутого контура (а) и физическая трактовка критерия Найквиста (б) x g g−x б t t t W ( j ) x Частота, при которой− АЧХ А() (модуль функции W(j)) принимает знаg −x чение 1, называется частотой среза. Обозначение этой частоты ср. Частоту, t при которой фазовый сдвиг () равен -, обозначают . Пользуясь введёнными обозначениями, можно записать следующее условие нахождения системы на границе устойчивости: А ( ω  ) = 1; (7.31)  (ω  ) = − . Очевидно, что при нахождении системы на границе устойчивости ср=. Дадим ф и з и ч е с к у ю т р а к т о в к у основной формулировки к р ит е р и я Н а й к в и с т а . Предположим, что на входе системы (см. рис. 7.2,б) действует гармонический сигнал g(t)=gmsint с малой амплитудой gm. Пусть частота  окажется равной частоте , при которой фазовый сдвиг (), создаваемый звеном W(j), равен -. При этом сигнал отрицательной обратной 154 связи окажется в фазе с сигналом g(t) и мгновенные значения сигналов поэтому будут складываться. Если на частоте  = модуль W(j)окажется равным единице, т. е. если выполняется условие (7.31), то в контуре системы будут поддерживаться незатухающие колебания даже после исчезновения внешнего воздействия g(t), т. е. система будет находиться на границе устойчивости. Характеристика W(jω) при этом будет проходить через точку (-1; j0). Если на частоте  = модуль W(j)<1, то после исчезновения внешнего воздействия колебания в контуре затухнут, т. е. система устойчива. Характеристика не охватывает точку (-1; j0). Если же модуль W(j)>1, то амплитуда сигналов в контуре будет неограниченно возрастать, т. е. система будет неустойчивой. Характеристика W(j) в этом случае охватит точку (-1; j0). Таким образом, особая роль точки (-1; j0) заключается в том, что она, вопервых, соответствует превращению отрицательной обратной связи в положительную, и, во-вторых, является граничной между режимами усиления и ослабления сигналов звеном W(j). Иногда на практике встречаются системы, в контуре которых имеется одно или несколько неустойчивых элементов. Такие с и с т е м ы в р а з о м к н у т о м с о с т о я н и и н е у с т о й ч и в ы. Для суждения об их устойчивости необходимо использовать с л е д у ю щ у ю ф о р м у л и р о в к у к р и терия Н а й к в и с т а: замкнутая система управления устойчива, если АФХ W(j) разомкнутого контура охватывает l/2 раз точку с координатами (-1;j0), где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутого контура. Данная формулировка критерия Найквиста является более общей, чем предыдущая. Действительно, если разомкнутая система устойчива (т. е. если l=0), то для устойчивости замкнутой системы АФХ W(j) должна точку (-1; j0) охватывать нуль раз, т. е. не охватывать. 155 Из обеих формулировок следует, что для суждения об устойчивости системы необходимо предварительно установить, устойчива ли она в разомкнутом состоянии. Обычно эта вспомогательная задача решается сравнительно легко при помощи критерия Гурвица. Для этого приравнивают к нулю знаменатель ПФ W(p) разомкнутого контура и анализируют это характеристическое уравнение. Во многих практических случаях устойчивость разомкнутого контура может быть оценена без каких-либо вычислений, непосредственно по виду входящих в контур звеньев. Пример 1. Определим с помощью критерия Найквиста максимально допустимое значение общего ПК системы, состоящей из трёх инерционных звеньев первого порядка с одинаковыми постоянными времени Т1=Т2=Т3=Т. ПФ разомкнутого контура системы 3 W ( p ) = k ( Tp + 1 ) . (7.32) Амплитудная частотная функция контура 3 2 A ( ω ) = W ( jω ) = k ( T ω 2 + 1) , (7.33) фазовая частотная функция  ( ω ) = arg W ( j ω ) = − 3 arctg ω T . (7.34) Система будет находиться на границе устойчивости, если АФХ разомкнутого контура пройдёт через точку (-1; j0), т. е. если при некоторой частоте ==кр одновременно выполняется условие: А (ω кр ) = 1,  ( ω кр ) = − π. (7.35) Для рассматриваемой системы условия (7.35) имеют вид k ( ) 3 2 T ω − 3 arctg ω 2 кр кр +1 = 1; Т = − π. (7.36) (7.37) Из условия (7.37) имеем ω кр Т = 3. (7.38) Подставляя условие (7.38) в условие (7.36), получим искомое значение передаточного коэффициента k=8. 156 Из приведённого решения следует также, что предельное значение ПК не зависит от абсолютного значения постоянных времени Т. Критерий Найквиста удобно использовать для анализа устойчи- в о с т и с и с т е м, с о д е р ж а щ и х з в е н о з а п а з д ы в а н и я . Если звено запаздывания включено последовательно с остальными звеньями (рис. 7.3,а), то АФХ разомкнутого контура может быть представлена как произведение W ( j ω ) = W ( j ω ) e − j ωτ (7.39) , где W(j) – эквивалентная амплитудно-фазовая функция остальных звеньев. б jQ ( ) а W '( p ) e −1 −p k 1  i P ( ) =0 2 W (j ) 1 i 1 2 Рис. 7.3. Оценка устойчивости СУ с запаздыванием: а – структура СУ; б – АФХ разомкнутого контура Характеристику W(j) строят следующим образом. Вначале строят кривую W(j), а затем каждый вектор, соответствующий частоте i, поворачивают на угол i (рис. 7.3,б). Отметим, что звенья запаздывания, как правило, ухудшают устойчивость систем. Пример 2. Определим, будет ли устойчива статическая система, состоящая из пропорционального управляющего устройства и статического инерционного объекта первого порядка с запаздыванием, при следующих значениях параметров: k = k y k o = 7 ; T o = 100 c ; τ o = 20 c . АФХ разомкнутого контура W ( jω ) = W y ( j ω )W o ( j ω ) = ke − j ωτ (T o j ω + 1) , (7.40) амплитудная функция контура A (ω ) = k 157 2 T ω 2 +1, (7.41) фазовая функция  ( ω ) = − arctg ω T o − ωτ o (7.42) . Найдём вначале частоту , при которой ()=-. Решая методом последовательных приближений трансцендентное уравнение − arctg ω  100 − ω π 20 = − π , (7.43) получим 0,085 с-1. Теперь вычислим значение А() при частоте 0,085 с-1. A (ω ) = 7  = 0 , 085 100 2 (0,085) 2 + 1  0 , 82  1 . (7.44) Следовательно, АФХ не охватит точку (-1; j0). Система устойчива. Если разомкнутый контур системы образован последовательным соединением типовых динамических звеньев, то целесообразно частотную характеристику контура строить в л о г а р и ф м и ч е с к о й с и с т е м е к о о р д и н а т и об устойчивости системы судить по виду этой характеристики. При этом используют следующую р а з н о в и д н о с т ь о с н о в н о й ф о р м улировки к р и т е р и я Н а й к в и с т а: замкнутая система устойчива, если при достижении фазовой частотной характеристикой значения -180о логарифмическая амплитудная характеристика будет отрицательной (рис. 7.4,а, линия 1). L ( ), д Б 2 0 lg k  cp1  cp2 1  ( )  cp3 3 2  1 lg      lg  -1 8 0 ° 3 1 2 Рис. 7.4. Логарифмические частотные характеристики статических систем: 1 – устойчивой; 2 – находящейся на границе устойчивости; 3 – неустойчивой 158 Действительно, если L()<0, то А()<1. Поэтому отрицательность L() при ()=-180о свидетельствует о том, что АФХ разомкнутого контура не охватывает точку (-1; j0). Логарифмические частотные характеристики L() и () разомкнутого контура находят суммированием ординат соответствующих характеристик отдельных звеньев. Фазовые характеристики отдельных звеньев строят либо по нескольким вычисленным точкам, либо при помощи специальных шаблонов. Амплитудные характеристики отдельных звеньев строят приближённо – в виде совокупности прямолинейных отрезков по простым правилам, изложенным в главе 3. Критерий Найквиста, применяемый в логарифмической системе координат, называют часто логарифмическим критерием. Пример 3. Определим по логарифмическим частотным характеристикам устойчивость статической системы, состоящей из трёх инерционных звеньев первого порядка с постоянными времени Т1=0,2 с; Т2=0,1 с; Т3=0,05 с. Передаточный коэффициент разомкнутого контура k=20. Сопрягающие частоты звеньев с1=1/Т1=5 с-1; с2=1/Т2=10 с-1; с3=1/Т3=20 с-1. В соответствии с этими значениями построены приближённая ЛАЧХ L() (рис. 7.5,а) и фазовая характеристика () (рис. 7.5,б) разомкнутого контура, которая получена согласно выражению  ( ω ) = − arctg ω T 1 − arctg ω T 2 − arctg ω T 3 . (7.45) По графику видим, что при ()=-180о функция L()>0. Следовательно, система неустойчива. 159 а L (  ) , дБ 40 20 2 0 lg k  c1= 5  c2= 1 0  c3= 2 0 −2 −4 −6 б ( )  cp 1 lg   1 lg  −90° −180° Рис. 7.5. Пример оценки устойчивости по логарифмическим частотным характеристика 7.4. Влияние структуры и передаточного коэффициента СУ на устойчивость В предыдущих параграфах было показано, что устойчивость системы зависит как от вида характеристического уравнения системы, так и от конкретных числовых значений коэффициентов уравнения. Существуют системы, которые неустойчивы при любых значениях параметров. Такие системы называют структурно неустойчивыми. Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, только изменив её структуру. Рассмотрим в качестве примера одноконтурную систему, содержащую одно инерционное звено и два идеальных интегрирующих. Характеристическое уравнение этой системы имеет вид (Т 1 р + 1) р 2 + k = 0, (7.46) оно не содержит слагаемое с р в первой степени. Очевидно, что в данном случае не выполняется необходимое условие устойчивости – условие положи160 тельности коэффициентов, и никакие вариации параметров k и Т1 не могут привести к появлению слагаемого р в первой степени. Следовательно, эта система структурно неустойчива. У рассматриваемых ниже одноконтурных систем алгоритмическая структура однозначно характеризуется типом и числом элементарных динамических звеньев, образующих контур системы. Существуют звенья, которые, как правило, ухудшают устойчивость системы, и звенья, которые почти всегда улучшают устойчивость. К первой группе звеньев относятся следующие: идеальное интегрирующее W ( p) = k p, (7.47) неустойчивое статическое звено первого порядка W ( p ) = k ( Tp − 1 ), (7.48) консервативное (идеальное колебательное) W ( p ) = k (T 2 p 2 + 1 ). (7.49) Звеньями, улучшающими устойчивость системы, являются форсирующие звенья. Обычно применяют форсирующие звенья первого порядка W ( p ) = 1 + k1 p. (7.50) Отметим, что широко применяемый в промышленной автоматике пропорционально-интегральный закон регулирования соответствует последовательному соединению идеального интегрирующего звена и форсирующего звена первого порядка: W ( p ) = (k п p + k и ) р . (7.51) Поэтому влияние этого закона на устойчивость двоякое: при больших значениях коэффициента интегральной составляющей kи устойчивость хуже, при больших значениях коэффициента kп устойчивость лучше. Рассмотрим о б щ и е у с л о в и я с т р у к т у р н о й у с т о й ч и в о сти о д н о к о н т у н о й с и с т е м ы . Характеристическое уравнение системы в общем случае имеет вид 161 D ( p ) + K ( p ) = 0, (7.52) где D(p)=Пdi(p) – произведение знаменателей ПФ отдельных звеньев, входящих в контур системы; K(р) – произведение числителей этих же функций. Условия структурной устойчивости зависят от общего порядка n характеристического уравнения (7.52) и от вида полиномов D(p) и K(p). В полином D(p) входят знаменатели «плохих» звеньев (7.47)-(7.49), а в полином K(p) числители «хороших» - форсирующих звеньев (7.50). Обозначим q – количество идеальных интегрирующих (7.47), t – количество неустойчивых (7.48), r количество консервативных звеньев (7.49), входящих в систему. Если форсирующих звеньев в контуре нет, т. е. если K(p)=k (где k – общий ПК разомкнутого контура), то условие структурной устойчивости системы выражается в виде двух неравенств: q + t  2; 4 r  n. (7.53) Для более сложных видов полинома K(p) условия структурной устойчивости одноконтурных систем приводятся в специальной литературе. Рассмотрим в л и я н и е одного из основных параметров системы – ПК разомкнутого контура на её устойчивость. Учтём, что у одноконтурных систем коэффициент k входит в выражение АФХ W(jω) как множитель: W ( j  ) = kK  ( j ) D ( j ) , (7.54) где K*(jω)|ω=0=1. Это означает, что длины вектора W(jω) при всех значениях ω пропорциональны коэффициенту k. При увеличении коэффициента k АФХ расширяется (рис. 7.6,а) и приближается к критической точке (-1; j0). Следовательно, увеличение ПК разомкнутого контура приводит к нарушению устойчивости системы. Это правило справедливо для большинства реальных систем, у которых АФХ имеет форму плавной спирали (см. рис. 7.6,а). Однако существуют системы, у которых АФХ имеет клювообразную форму (рис. 7.6,б). В таких си162 стемах к нарушению устойчивости может привести не только увеличение, но и уменьшение ПК. а б jQ ( ) jQ ( ) −1 k −1 k пр k' P ( ) k W (j ) в P ( ) W (j ) jQ ( ) F (j ) Рис. 7.6. Определение предельного ПК a a' a 0 a P (  ) через точку (-1; j0), называют Значение ПК, при котором АФХ проходит 0пр 0пр предельным или критическим. Таким образом, установлена одна из важнейших в ТАУ закономерностей: чем больше общий ПК разомкнутого контура системы регулирования, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости. Предельное значение ПК зависит от соотношения постоянных времени звеньев, образующих контур системы. Рассмотрим, например, статическую систему, состоящую из трёх инерционных звеньев первого порядка с передаточными коэффициентами k1, k2, k3 и постоянными времени Т1, Т2, Т3. Характеристическое уравнение этой системы a0 p 3 + a1 p 2 + a 2 p + a 3 = 0, (7.55) где a0 = T1T2T3; a1 = T1T2+T1T3+T2T3; a2 = T1+T2+T3; a3 = 1+k1k2k3 = 1+k. (7.56) Согласно критерию Гурвица, система третьего порядка будет находиться на границе устойчивости, когда  2 = a1a 2 − a 0 a 3 = 0. Подставив в условие (7.57) коэффициенты (7.56), получим 163 (7.57) ( T 1 T 2 + T 1 T 3 + T 2 T 3 )( T 1 + T 2 + T 3 ) − T 1 T 2 T 3 (1 + k пр ) = 0 . (7.58) Разрешив это равенство относительно kпр и выполнив некоторые дополнительные преобразования (деление на an), получим выражение для предельного коэффициента k пр = 2 + Т1 Т 2 + Т1 Т 3 + Т 2 Т1 + Т Т 2 3 + Т 3 Т1 + Т Т 3 . (7.59) 2 Анализируя зависимость (7.59), можно доказать, что предельный коэффициент тем больше, чем меньше разность между двумя наиболее различающимися постоянными времени (например, Т1 и Т2) и чем ближе третья постоянная времени Т3 к среднеарифметическому значению двух первых. На основании выражения (7.59) можно сформулировать важное практическое правило: предельное значение ПК системы зависит от соотношения постоянных времени и не зависит от их абсолютных значений. Отметим, что приведённое правило справедливо для систем любого порядка. Контрольные задания и вопросы 1. Дайте физическую трактовку понятия «устойчивая СУ». 2. Запишите соответствующее этому физическому определению математическое условие асимптотической устойчивой системы. 3. Сформулируйте общее условие устойчивости линейной системы. Объясните почему действительные корни характеристического уравнения системы должны быть обязательно отрицательными. 4. Покажите (используя необходимое условие устойчивости), что одноконтурная статическая система с положительной обратной связью и ПК |k|>1 всегда неустойчива. 5. Убедитесь (используя критерий Гурвица), что замкнутая система, образованная из двух инерционных статических звеньев первого порядка, устойчива при любых значениях общего ПК. 6. Сформулируйте критерий Найквиста для случая, когда разомкнутый контур системы устойчив. Дайте физическое объяснение особой роли точки (-1; j0). В чём достоинства критерия Найквиста? 164 7. Назовите условия структурной устойчивости замкнутой системы. 8. Какие типовые динамические звенья ухудшают структурную устойчивость одноконтурных систем и какие улучшают её? 9. Как влияет общий ПК разомкнутого контура системы на её устойчивость в замкнутом состоянии? 10. Покажите, что предельное значение ПК разомкнутого контура зависит от соотношения постоянных времени звеньев, а не от их абсолютных значений. 165 8. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ 8.1. Понятие и основные показатели качества Понятие качества управления. Качество СУ определяется совокупностью свойств, обеспечивающих эффективное функционирование как самого ОУ, так и управляющего устройства, т. е. всей СУ в целом. Свойства, составляющие эту совокупность и имеющие количественные измерители, называют показателями качества системы управления. Качество СУ, как и любого технического устройства, может быть оценено такими общепринятыми показателями, как вес системы, ее габариты, стоимость, надежность, долговечность и т. п. Совокупность этих общетехнических показателей характеризует качество СУ в широком смысле. В теории управления и в практике автоматизации термины «качество системы», «качество управления» используют, как правило, в более узком смысле: рассматривают только статические и динамические свойства системы. Эти свойства предопределяют точность поддержания управляемой величины (выходной величины объекта) на заданном уровне в установившихся и переходных режимах, т. е. обеспечивают эффективность процесса управления. Для такого, более узкого, понятия качества СУ, охватывающего только ее статические и динамические свойства, применяют термин «качество управления», а сами свойства системы, выраженные в количественной форме, называют показателями качества управления. Точность системы в установившихся режимах как одна из важнейших характеристик качества управления была рассмотрена отдельно, в главе 6. В настоящей главе будут рассмотрены показатели качества, характеризующие точность системы в переходных режимах. Точность системы в переходных режимах оценивают при помощи прямых и косвенных показателей. Прямые показатели определяют по графику переходного процесса, возникающего в системе при ступенчатом внешнем воздействии. Косвенные показатели качества определяют по распределению 166 корней характеристического уравнения или по частотным характеристикам системы. К особой категории качества относятся так называемые интегральные оценки, которые вычисляют либо непосредственно по переходной функции системы, либо по коэффициентам ПФ системы. Точность системы в переходных режимах определяется величиной отклонений управляемой переменной х(t) от заданного значения хз(t) и длительностью существования этих отклонений. Величина и длительность отклонений зависят от характера переходного процесса в системе. Характер переходного процесса, в свою очередь, зависит как от свойств системы, так и от места приложения внешнего воздействия. При самой общей оценке качества обращают внимание прежде всего на форму переходного процесса. Различают следующие типовые переходные процессы (рис. 8.1,а,б): колебательный (линия 1), монотонный (линия 2) и апериодический (линия 3). а б x ( t) x ( t) 1 2 3 1 2 3 t Рис. 8.1. Типовые переходные процессы по заданию (а) и возмущению (б) Каждый из трех типовых процессов имеет свои преимущества и недостатки, и предпочтение той или иной форме процесса делают с учетом особенностей ОУ. Так, например, в электромеханических объектах со сложными кинематическими передачами (экскаваторы, подъемные установки) нежелательны резкие знакопеременные усилия, и поэтому при выборе 167 t настроек СУ такими объектами стремятся к апериодическим и монотонным процессам. В СУ технологическими процессами и аппаратами большой емкости допустимы колебательные переходные процессы, так как кратковременные отклонения управляемых величин не нарушают, как правило, нормальный режим работы аппарата и не ухудшают существенно показатели процесса. Рассмотрим основные показатели качества управления применительно к типовой одноконтурной системе регулирования, описанной в разделе 5.3 (см. рис. 5.5,б). Прямые показатели. На рис. 8.2 приведены графики переходных процессов, вызванных ступенчатым изменением задающего воздействия хз(t) (а) и возмущения ув, действующего на входе объекта (б). За начало отсчета для выходной величины х(t) принято значение х(-0), которое было до подачи ступенчатого воздействия. Одним из главных прямых показателей качества является коэффициент перерегулирования σ, который равен отношению первого максимального отклонения хм управляемой переменной х(t) от ее установившегося значения х(∞) к этому установившемуся значению (см. рис. 8.2,а):  = xм − x ( ) x ( ) 100 = A1 x ( ) 100 , %. (8.1) Качество процесса управления считается удовлетворительным, если коэффициент перерегулирования не превышает 30-40 %. Для переходных процессов, вызванных возмущающим воздействием yв на входе объекта (см. рис. 8.2,б), коэффициент перерегулирования можно определять как отношение второго (отрицательного) максимального отклонения А2 к первому максимальному отклонению А1:  = A2 xм − x ( ) 100 = A2 100 , %. (8.2) A1 Показатель, вычисляемый по данной формуле для переходных процессов по каналу возмущения, называют также колебательностью. 168 Другой важной характеристикой таких процессов служит динамический коэффициент регулирования Rд, который равен отношению первого максимального отклонения хм к отклонению выходной переменной х(t) нерегулируемого объекта, вызванному тем же возмущением, Rд = xм (8.3) 100 , %. k0 Коэффициент Rд показывает, насколько эффективно компенсирующее действие регулятора на объект. а x з ( t ) ; x ( t) xм h з ( t) A1 1 x ( ) A3 x з ( t ) = 1 ( t) п Tз tн tм  з(  ) tп t б y в ( t) ; x ( t ) kо h о(t) y в ( t ) = 1 ( t) 1 xм h в( t) T з/2 A1 A3 п  в( ) x ( ) A2 tп Рис. 8.2. Прямые показатели качества процесса управления: а – по каналу задания; б – по каналу возмущения 169 t Отметим, что и само первое максимальное отклонение хм, возникающее от возмущения на входе объекта, является показателем качества. При формировании требований к системе указывают допустимое значение максимального отклонения (непосредственно в единицах измерения управляемой величины). Длительность существования динамических отклонений управляемой величины x(t) от ее нового установившегося значения x(∞) принято оценивать с помощью нескольких характерных моментов времени. Самым важным из этой группы показателей является длительность переходного процесса tп интервал времени от момента приложения ступенчатого воздействия до момента, после которого отклонения управляемой величины х(t) от ее нового установившегося значения x(∞) становятся меньше некоторого заданного числа δп, т. е. до момента, после которого выполняется условие x (t ) − x ( )   п . В промышленной автоматике величину δп принимают обычно равной 5 % от установившегося значения x(∞), т. е. δп=0,05 x(∞). При оценке длительности переходных процессов, вызванных единичным возмущающим воздействием ув на входе объекта (см. рис. 8.2,б), величину δп можно принимать равной 5 % от значения ПК объекта k0, т. е. δп=0,05k0, а для процессов, вызванных воздействием хв на выходе объекта, 5 % от начального отклонения х(+0), т. е. δп=0,05х(+0). Дополнительными временными показателями качества являются (см. рис. 8.2,а): время нарастания tн, время достижения первого максимума tм и период затухающих колебаний Тз. Эти показатели вместе с tп характеризуют быстродействие системы регулирования. Прямым показателем качества служит также степень затухания  = ( A1 − A 3 ) A1 = 1 − A 3 A1 , 170 (8.4) где А1 и А2 – соседние максимальные отклонения (амплитуды) одного знака (см. рис. 8.2). Интенсивность затухания колебаний в системе считается удовлетворительной, если  = 0,75-0,95. Колебательность системы можно оценивать, наряду с показателями σ и ψ, числом переходов N величины х(t) через установившееся значение x(∞) на интервале tп. Три главных показателя качества – коэффициент перерегулирования σ, первое максимальное отклонение хм и длительность tп – тесно связаны между собой. Они зависят от всех параметров системы, но наиболее сильно – от ПК разомкнутого контура. Причем с увеличением этого коэффициента максимальное отклонение по каналу возмущения всегда уменьшается, а перерегулирование и длительность переходного процесса, как правило, увеличиваются (рис. 8.3). Отыскание наилучшего компромисса между этими двумя противоречивыми тенденциями является одной из основных задач синтеза систем управления. x ( t) xм1 xм2 1 xм3 2 k 1< k 2< k 3 п 3 t tп1 tп2 tп3 Рис. 8.3. Влияние ПК разомкнутого контура на показатели переходного процесса Рассмотренные прямые показатели качества удобно использовать в тех случаях, когда экспериментально график – в переходного реальной процесса системе 171 х(t) можно регулирования получить или путем моделирования системы на ЭВМ. Если же такой возможности нет или она связана с определенными трудностями решения или моделирования дифференциальных уравнений высокого порядка, то пользуются косвенными показателями качества, которые вычисляются без построения графика переходного процесса, по коэффициентам уравнения или по частотным характеристикам системы. Частотные показатели. Наиболее важными и одновременно удобными косвенными показателями являются частотные показатели, которые определяются по частотным характеристикам замкнутого и разомкнутого контура СУ. A ( )= | (j )| Aм A (0 ) И д е а л ь н ы й ф и л ь т р н .ч . A (0 ) 2 0 ,1 A ( 0 ) p 0  пр  0  Рис. 8.4. Частотные показатели качества По амплитудной частотной характеристике А(ω) замкнутой системы по основному каналу хз - х (рис. 8.4) оценивают частотный показатель колебательности М, равный отношению максимума Ам характеристики к ее начальному значению А(0): M = Aм (8.5) A ( 0 ). Чем больше это отношение, тем сильнее колебательность системы (тем больше перерегулирование σ) и, как следствие, больше длительность переходного процесса tп. Качество системы считается удовлетворительным, если показатель М находится в пределах 1,1-1,5. 172 обычно Косвенными частотными показателями быстродействия системы служат характерные частоты (см. рис. 8.4): резонансная частота ωр, частота незатухающих колебаний ω0≈ωр и частота пропускания ωп≈3ω0. По АФХ W(jω) разомкнутого контура (рис. 8.5,а) определяют запас устойчивости по амплитуде  A = 1 − A (   ), (8.6)   =  −  (  ср ) , (8.7) и запас устойчивости по фазе которые вместе характеризуют удаленность кривой W(jω) от критической точки (-1, j0). При проектировании систем обычно задаются запасом по амплитуде ΔА≥0,5-0,6 и по фазе Δφ≥30-60°. При этом обеспечивается, как правило, и удовлетворительное качество процесса управления. б а L ( ) jQ ( ) A  ср L −1  1  P ( )  ( )  1  ср lg  lg  W (j ) −180°  Рис. 8.5. Запасы устойчивости системы Запасы устойчивости необходимо принимать в связи с тем, что некоторые параметры ОУ могут произвольно изменяться в процессе работы системы. Например, постоянные времени электрических машин экскаваторного привода из-за изменения температуры окружающего воздуха могут существенно отклоняться от своих номинальных (расчетных) значений. Расхождения между фактическими значениями параметров объекта и значениями, при которых 173 выполняется анализ устойчивости системы, могут иметь место и по другим причинам. Так, определенная при математическом идеализация описании отбрасываются – объекта применяется второстепенные факторы. Погрешности возникают также при экспериментальном определении и при линеаризации характеристик объекта. В логарифмической системе координат (рис. 8.5,б) запас устойчивости по амплитуде определяется по выражению  L = 20 lg A (   ) . (8.8) Указанным выше значениям ΔА соответствует ΔL≥6-8 дБ. Корневые показатели. Для косвенной оценки качества управления используют также корневые показатели, определяемые по расположению корней р1, р2, ... , рn характеристического уравнения замкнутой системы a0 p n + a1 p n −1 + ... + a n = 0 (8.9) на комплексной плоскости (рис. 8.6,а). а p4 j j p2 p1 p5 в б j      p3   0 Рис. 8.6. Корневые показатели качества Наиболее общим корневым показателем качества является среднее геометрическое значение модулей корней  = + n p 1 p 2 ... p т . (8.10) Среднегеометрический корень α0 определяет на действительной оси комплексной плоскости α - jβ (рис. 8.6,а) точку, являющуюся геометрическим центром всех корней характеристического уравнения. Величина α0 имеет 174 размерность с-1 и служит обобщенной мерой быстродействия системы: чем меньше показатель α0, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длительность переходного процесса. Основное влияние на характер переходного процесса оказывают корни, расположенные ближе к мнимой оси. Эти корни дают наиболее длительные составляющие переходного процесса и называются доминирующими. Расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости η. Если ближайший корень действительный (на рис. 8.6,а корень р1), то доминирующей составляющей переходного процесса будет экспонента с показателем степени pk=-η x k (t ) = C k e −t (8.11) , если же ближайшими к мнимой оси являются два сопряженных комплексных корня, то доминирующей будет одна колебательная составляющая, которая затухает также по экспоненциальной составляющей (8.11). В обоих случаях длительность переходного процесса (для δп=0,05Ck) определяется приближенной формулой tп  3 / , (8.12) где знак равенства относится к случаю действительного доминирующего корня, а знак неравенства – к случаю комплексных доминирующих корней. При выборе настроечных параметров регулятора всегда стремятся скомпенсировать (исключить из уравнения) доминирующие (наименьшие корни), которым соответствуют наибольшие постоянные времени объекта, и тем самым улучшить быстродействие системы. Колебательные свойства СУ предопределяет та k-я пара комплексных корней p k =  k  j k , у которой наибольшее отношение  k = bk 175  k (8.13) или наибольший угол θ между двумя симметричными лучами (см. рис. 8.6,а). На рис. 8.6,а такой парой, предопределяющей доминирующую колебательную составляющую переходного процесса, являются комплексные корни p1 и p2. Отношение μд мнимой части β к действительной части α доминирующей пары комплексных сопряженных корней называют степенью колебательности. В практических расчетах чаще используют так называемый корневой показатель колебательности mд =  k k = 1/k, (8.14) также определяемый через доминирующую пару комплексных корней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значения mд=0,2-0,5. Специальными математическими исследованиями установлено, что в системе любого порядка наиболее быстрый апериодический переходный процесс имеет место, когда все n корней равны между собой. Определение показателей η и μ по уравнению с известными коэффициентами является в общем случае такой же трудоемкой задачей, как и отыскание самих корней. Легче решается обратная задача – определение коэффициентов уравнения и параметров системы, при которых все корни лежат в области с заданной степенью устойчивости (рис. 8.6,б) или колебательности (рис. 8.6,в). Корневые показатели α0, η, μд и mд важны для понимания проблемы качества и ее связи с проблемой устойчивости, но используются реже других, так как их непосредственное определение для конкретной системы высокого порядка (n>3) представляет собой сложную вычислительную задачу. 8.2. Приближенная оценка качества по параметрам разомкнутого контура Приближенную оценку прямых показателей качества σ и tп (без вычисления и построения переходной характеристики) удобно осуществлять 176 на основе гипотезы об эквивалентности динамических свойств замкнутой СУ свойствам колебательного звена второго порядка (см. раздел 3.4). Рассмотрим подробнее сущность этой гипотезы и методику оценки показателей качества реальной системы через параметры ее упрощенной колебательной модели. Простейшей моделью, пригодной для приближенного описания динамики одноконтурной системы и приближенной оценки показателей качества процесса управления по основному каналу хз-х, может служить инерционное звено второго порядка Wм ( p) = k (T 2 p 2 ) + 2  Tp + 1 , (8.15) обладающее колебательными свойствами (коэффициент демпфирования ξ<0,7) и передаточным коэффициентом k, равным (для астатической системы) или близким (для статической) единице. Приближенная замена реальной СУ, у которой АЧХ Ф с ( j ) имеет, как правило, характерный резонансный пик при частоте ωр (см.рис.8.4,а), заключается в подборе параметров T' и ξ модели (8.15) таким образом, чтобы обеспечить в существенном диапазоне частот 0≤ω≤2ωр наиболее близкое совпадение АЧХ системы и ее модели, т. е. чтобы Ф с ( j )  W м ( j ) . (8.16) При этом обычно достаточно обеспечить совпадение трех параметров АЧХ: начальных значений максимальных значений Ф с ( j0)  Wм ( j0) , резонансных частот ωр.с≈ωр.м и Ф с ( j р )  W м ( j р ) определяющих, как известно, частотный показатель колебательности М (см. формулу (8.5)). Очевидно, что при адекватности (8.16) частотных характеристик будут близки друг другу и переходные характеристики реальной системы и ее приближенной модели: h с ( t )  h м ( t ). (8.17) С помощью модели (8.15) удается реальный контур регулирования, представляющий собой в общем случае сложную динамическую систему 177 высокого порядка, описать достаточно простыми формулами. Так, АЧХ замкнутого контура A с (  ) = Ф с ( j )  A м (  ) = 1 2 2 (1 − T  ) 2 2 + 4T  2 . (8.18) а переходная функция   1 −t h с ( t )  h м ( t ) = 1 − e sin(  t +  )  1 ( t ), T   где  = частота 1−  2 T = 0 1−  незатухающих  = arctg (  /  ) 2 (8.19) – частота затухающих колебаний;  0 = колебаний; α = ξ / T – коэффициент 1 – T затухания; . В выражения (8.18) и (8.19) входят лишь два числовых параметра T и ξ, которые связаны с частотами незатухающих (ω0), затухающих (ωз) и резонансных (ωр) колебаний и с частотным показателем колебательности М известными соотношениями (см. раздел 3.4): 0 = 1 T ;з = 1−  M = A ( р ) 2 T ;р = 1 − 2 2 T ; 2 A (0 ) = 1 2  1 −  . (8.20) (8.21) По модельной переходной характеристике (8.19) можно получить аналитическое выражение для двух главных показателей качества: коэффициента перерегулирования  = e −  1−  2 (8.22) 100 , % и длительности переходного процесса (при 5 %-ной зоне) t п  T ln 20   3 T  . (8.23) В диапазоне реальных (часто используемых на практике) значений 0,25≤ ξ ≤0,55, которым соответствуют показатели колебательности 2,1≥М≥1,1, формулы (8.21)-(8.23) могут быть с точностью, достаточной для практических задач, аппроксимированы следующими простыми выражениями:   10  ; t п  3 T  ; M  0 , 545 178 . (8.24) С помощью приближенных формул (8.24) можно динамические показатели качества замкнутой системы выразить через параметры ее разомкнутого контура. Поэтому для модели (8.15) замкнутой системы желательно найти соответствующую модель разомкнутого контура. Нетрудно убедиться, что простейшим разомкнутым контуром, который при замыкании образует колебательное звено (8.15), является реальное интегрирующее звено W р.к ( p ) = k p (T 01 p + 1 ) . (8.25) Действительно, ПФ замкнутой системы, изображенной на рис. 8.7,а, по основному каналу Ф м ( p) = W р.к ( p ) 1 + W р.к ( p ) k = T 01 p 2 + p + k = 1 T 01 p 2 + k 1 (8.26) , p +1 k где k – ПК разомкнутого контура; Т01 – постоянная времени инерционного звена контура (обычно объекта). Очевидно, что модель (8.26) замкнутой системы по каналу задания будет эквивалентна колебательному звену (8.15), если параметры разомкнутого контура связаны с параметрами этого звена следующими соотношениями: T 01 k = T 2 ;1 k = 2T (8.27) или kT 01 = 1 4  ; T 01 = T 2  . 2 (8.28) Параметры Т и ξ колебательной модели (8.15) замкнутой СУ можно выразить в явном виде через параметры k и Т01 разомкнутого контура системы: T = 1 0 = T 01 k ,  = 1 / 2 kT 01 (8.29) . При выполнении соотношений (8.27), (8.28) и (8.29) ПФ замкнутой системы (рис. 8.7,а) по каналу хв - х имеет вид Ф м.в ( p) = 1 1 + W р.к ( p ) = T 01 p T 01 p 2 соответствующая ей АЧХ 179 2 + p + p + k T = T 2 2 p p 2 2 + 2  Tp + 2  Tp + 1 , (8.30) 4 A м.в ( p ) = T  4 2 2 + 4 T  2 2 2 (1 − T  ) 2 2 2 + 4 T  2 . (8.31) Типичная форма амплитудных характеристик (8.18) и (8.31) по каналам задания и возмущения показана на рис. 8.7,б, в. Обратим внимание на то, что резонансный пик у характеристики Ам.в(ω) всегда больше, чем у Ам(ω), и частота ωр.в > ωр. Объединяя теперь зависимости (8.24) и (8.29), получим следующие простые формулы для приближенной оценки показателей качества системы регулирования по известным (заданным или выбираемым) параметрам ее разомкнутого контура: σ  20 kT а xm x зm p(T o 1 в xm = x пm 1 1 (8.32) . x p+1) T  рв Tэ 1 01 xm m |  в ( j  ) |= x = x вm зm 2 Tp kT k 2 M  1 ,1 xв  − |  з( j  ) | = t п  6 T 01 ; ,%; xп xз б 01 2 T 1 2 T Рис. 8.7. Алгоритмическая структура (а) и частотные характеристики (б, в) приближенной модели колебательной СУ Формулы (8.32) обеспечивают достаточную для инженерных расчетов точность в диапазоне 30° ≤Δφ≤ 60°, который соответствует значениям 0,25≤ ξ ≤0,55. 180 В заключение укажем, как следует определять базовые параметры k и T01 приближенной модели (8.25) в тех случаях, когда разомкнутый контур реальной системы имеет более сложную ПФ, чем (8.25). Например, если реальная система астатическая с ПФ W р.к ( p ) = k 1 k 2 ... k n где T 1  T 2  ...  T n p ( T 1 p + 1 )( T 2 p + 1 )...( T n p + 1 ). (8.33) , то базовые параметры n k = k 1 k 2 ... k n и T 01 =  Ti . (8.34) i =1 Если же реальная система статическая с ПФ W р.к ( p ) = k 1 k 2 ... k n ( T 1 p + 1 )( T 2 p + 1 )...( T n p + 1 ) , (8.35) то n k = k 1 k 2 ... k n T 1 и T 01 =  Ti . (8.36) i= 2 В более сложных случаях, когда числитель Wр.к(р) представляет собой полином от р, то пользоваться моделями (8.25), (8.15) и соответствующими им формулами (8.32) можно лишь с определенной осторожностью. Пример. Оценим приближенно показатели качества статической системы регулирования с передаточной функцией разомкнутого контура W р.к ( p ) = k р.к где ( T1 p + 1 )( T 2 p + 1 )...( T 3 p + 1 ) , (8.37) k р.к = 8 ;T 1 = 10 ; T 2 = 1 , 5 с; T 3 = 0 , 5 с. Определим параметры упрощенной модели (8.25): k = k р.к T1 = 0,8; T 01 = T 2 + T 3 = 2 с. (8.38) В соответствии с (8.29) параметр ξ модели (8.15)  =1 2 kT 01 = 1 2 0 ,8  2 = 0 , 4 . (8.39) он находится в пределах 0,25 ≤ ξ ≤ 0,55, для которых справедливы применяемые ниже приближенные формулы. Согласно (8.32), коэффициент перерегулирования   20 kT 01 = 20 длительность переходного процесса 181 0 ,8  2 = 25 %, (8.40) t п  6 T 01 = 6  2 = 12 с, (8.41) показатель колебательности M  1 ,1 kT 01 = 1,1 0,8  2 = 1 , 375 . (8.42) 8.3. Приближенная оценка качества по ЛАЧХ разомкнутого контура Методика приближенной оценки показателей качества по ЛАЧХ также основана на гипотезе эквивалентности свойств колебательной системы свойствам колебательного звена второго порядка (см. раздел 8.2). Главными параметрами ЛАЧХ разомкнутого контура являются частота среза ωср и наименьшая сопрягающая частота ωс1. Запишем в соответствии с формулой (8.25) выражение для ЛАЧХ разомкнутого контура L р.к (  ) = 20 lg A р.к (  ) = 20 lg k  2 T 01  . 2 (8.43) +1 ЛАЧХ контура состоит из двух прямых с наклонами -20 и -40 дБ/декаду, которые сопрягаются при частоте  с1 = 1 T 01 (рис. 8.8). В зависимости от соотношения параметров k и Т01 возможны три следующих случая: 1. kT01>1, при этом ωc1<ωср13 %; tп>6T01; M>1,1; 2. kT01=1, при этом ωc1=ωср=k; ξ=0,5; σ=13 %; tп=6T01; M=1,1; 3. kT01<1, при этом ωc1>ωср; ξ>0,5; σ<13 %; tп<6T01; M<1,1. Частное значение kТ01=0,5 соответствует ωс1=2ωср и ξ=0,707, т. е. апериодическому переходному процессу. 182 Рис. 8.8. Частотные и переходные функции простейшей колебательной системы при различных соотношениях параметров разомкнутого контура: kT01>1 (а), kT01=1 (б), kT01<1 (в) Из приведенных соотношений и графиков L(ω) и h(t) следуют важные для практических расчетов выводы: 1. Система обладает удовлетворительным затуханием (ξ≥0,5), если ее ЛАЧХ имеет при частоте среза ωср наклон -20 дБ/декаду. 2. Переходный процесс в системе будет апериодическим (ξ≥0,7), если наименьшая сопрягающая частота ωс1 превышает частоту среза ωср в два раза и более; длительность переходного процесса при этом tп≈π/ωср. 3. Переходная функция системы h(t) тем ближе к экспоненте с постоянной времени Tэ=1/ωср=1/k, чем больше отношение ωс1/ωср. Приведенные выводы справедливы, если числитель Wр.к не содержит полином от p. 183 8.4. Интегральные показатели качества Каждый из рассмотренных выше прямых и косвенных показателей качества характеризует лишь одно какое-либо свойство системы, лишь один признак переходного процесса или частотной характеристики. Причем все показатели связаны с настроечными параметрами регулятора сложными зависимостями, имеющими, как правило, противоречивый характер: изменение параметра приводит к улучшению одних показателей качества и к ухудшению других. Это обстоятельство существенно затрудняет выбор параметров регулятора. Поэтому в инженерной практике широко используются интегральные показатели или оценки качества. Интегральные оценки представляют собой определенные интегралы по времени (в пределах от 0 до ∞) от некоторой функции управляемой переменной х(t) (или сигнала ошибки ε(t)):  Q = f 0  x ( t ), t dt .  (8.44) Подынтегральная функция f0 выбирается таким образом, чтобы интеграл (8.44) лучше характеризовал качество системы и проще выражался через коэффициенты передаточной функции замкнутой системы. Чтобы интеграл был сходящимся, в функцию f0 вводят не абсолютные значения х(t) или ε(t), а их отклонения от конечных, установившихся значений. Простейшей интегральной оценкой является линейная интегральная оценка  Qл =  x ( ) − x ( t ) dt , (8.45) которая равна площади, заключенной между прямой х(∞) и кривой переходного процесса х(t) (рис. 8.9,а). Интегральная оценка (8.45) учитывает как величину динамических отклонений, так и длительность их существования. Поэтому чем меньше оценка, тем лучше качество процесса управления. 184 а б x ( t)  (t)  ( ) xз x ( ) x п t в t г   (t)  (t)  (t)   2 1 + t − t  1 Рис. 8.9. Интегральные оценки качества Разность под знаком (8.45) равна динамической или переходной составляющей сигнала ошибки: x (  ) − x ( t ) = x з − ε (  ) − x ( t ) = ε ( t ) − ε (  ) = ε п ( t ), (8.46) поэтому интегральную оценку (8.45) чаще определяют в таком виде:  Qл =   ε п ( t ) dt  ε ( t ) − = Интеграл составляющей (8.47) соответствует сигнала ε (  ) dt . (8.47) ошибки, площади вызванной под кривой переходной изменением задающего воздействия (рис. 8.9,а) или возмущающего воздействия (рис. 8.9,б). Площадь под кривой εп(t) будет тем меньше, чем быстрее заканчивается переходный процесс и чем меньше отклонения сигнала х(t) от хз. Поэтому настроечные параметры регулятора необходимо выбирать таким образом, чтобы интегральная оценка была минимальна. Недостатком линейной интегральной оценки Qл является то, что ее можно применять лишь для заведомо неколебательных, апериодических переходных 185 процессов. Действительно, из рис. 8.9,в ясно, что интеграл (8.47), вычисленный для знакопеременной кривой 1, будет существенно меньше интеграла, вычисленного для апериодической кривой 2 (хотя качество переходного процесса 2 явно лучше). В связи с этим для колебательных переходных процессов применяют такие интегральные оценки, у которых знакопеременность подынтегральной функции тем или иным способом устранена. Такими оценками являются, например, модульная интегральная оценка  Qм = ε п ( t ) dt . (8.48)  t ε п ( t ) dt . (8.49)  и ее модификации  ' Qм = Оценка (8.49) придает больший вес тем значениям сигнала ошибки, которые имеют место в конце переходного процесса. Оценки (8.48) и (8.49) можно использовать только при исследовании систем на моделях, так как их вычисление через коэффициенты ПФ (без нахождения εп(t)) невозможно. При анализе и синтезе систем регулирования с колебательными свойствами наиболее широко используется квадратичная интегральная оценка  Q кв = 2  ε п ( t ) dt , (8.50) которая равна площади под кривой εп2(t) (рис. 8.9,г). Квадратичная оценка (8.50) так же, как и линейная, учитывает и величину, и длительность отклонений. Однако из-за возведения сигнала εп(t) в квадрат первые (большие) отклонения приобретают в конечном значении интеграла существенно больший вес, чем последующие (малые) отклонения. Поэтому 186 минимальные значения оценки (8.50) всегда получаются у колебательных процессов с малым затуханием. С целью устранения этого недостатка применяют так называемую улучшенную квадратичную оценку  Q ' к.в =  2 2 2  п ( t ) + T в  п ( t ) dt , (8.51) которая, кроме самих отклонений, учитывает с весовым коэффициентом Тв2 производную отклонений. Обычно весовой коэффициент Тв выбирают равным желаемому времени нарастания tн или принимают в пределах t п / 6  T в  t п / 3, (8.52) где tп – желаемая длительность переходного процесса. Достоинством квадратичных оценок (8.50) и (8.51) является возможность их вычисления без предварительного отыскания переходного процесса – непосредственно по коэффициентам передаточной функции замкнутой системы. Следует отметить, что абсолютные значения любой интегральной оценки сами по себе не представляют интереса. Они служат лишь для сопоставления различных вариантов настройки одной и той же системы. Все рассмотренные интегральные показатели используют не только для оценки качества, но и для определения настроечных параметров системы. оптимальных Оптимальными значений считают такие значения, которые соответствуют минимуму интегрального показателя Q → min . (8.53) Предположим, что необходимо найти оптимальные значения каких-либо двух параметров (например, ki, Ti), входящих в ПФ конкретной системы. Для этого надо показатель Q выразить как функцию параметров ki, Ti Q = f ( k i , T i ), а затем взять частные производные и приравнять их к нулю 187 (8.54)  Q (k i , Tl )  k i = 0;   Q ( k i , T l )  T l = 0 . (8.55) Решая систему (8,55), можно найти искомые оптимальные значения kiопт, Tiопт. На рис. 8.10 показана зависимость интегральной оценки Q от одного параметра ki. Q Q мин k i опт k i кр ki Рис 8.10. Зависимость интегральной оценки от одного параметра СУ При сложном характере функции (8.54) задачу минимизации решают численными методами. Контрольные задания и вопросы 1. Какие свойства СУ принято рассматривать при оценке ее качества? 2. По какой динамической характеристике системы регулирования оценивают прямые показатели качества? Какие из них характеризуют колебательность системы, а какие - ее быстродействие? 3. Нарисуйте графики переходных процессов по каналам задания и возмущения, соответствующие перерегулированию σ = 20 %. 4. Какие из частотных показателей характеризуют колебательность системы, а какие ее быстродействие? 5. Как связано расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости с устойчивостью и колебательностью системы? 188 6. Как связан ближайший действительный корень характеристического уравнения с длительностью переходного процесса? 7. На каком характерном свойстве замкнутой системы регулирования основана ее приближенная замена эквивалентным колебательным звеном? В чем заключается условие эквивалентности колебательного звена и аппроксимируемой замкнутой системы? 8. Назовите два параметра колебательного звена, характеризующих его динамические свойства. 9. Как влияет коэффициент демпфирования ξ колебательной модели на показатели качества σ и tп? 10. Каким типовым динамическим звеном является разомкнутый контур колебательной модели? Назовите два параметра разомкнутого контура, характеризующих его динамические свойства. 11. Как влияют параметры k и Т01 разомкнутого контура на динамические свойства замкнутой системы? 12. Какие параметры графика переходного процесса учитываются интегральными оценками? 13. Какой из двух переходных процессов лучше – с большой интегральной оценкой или малой? Почему? 14. Для каких переходных процессов можно применять линейную интегральную оценку? 15. Почему для колебательных переходных процессов приходится применять модульные или квадратичные оценки? СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Теория управления: Учеб. для вузов / Авторы: А. А. Алексеев, Д. Х. Имаев, Н. Н. Кузьмин, В. Б. Яковлев. СПб: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ».1999. 2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. 4-е изд., перераб. и доп. СПб: Изд-во «Профессия», 2003. 189