Основы сферической тригонометрии

Приложение 1 Основы сферической тригонометрии 1. Сферические треугольники На рис. 1 изображена сфера, пересеченная двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через центр. В пересечении плоскости со сферой образуется окружность; в астрономии такую линию на сфере принято называть кругом. Круги, плоскости которых проходят через центр, называются большими кругами (AKAK), все другие – малыми (akak). Мерой дуги AK большого круга является соответствующий ей центральный угол AOK. Дуга большого круга AK, меньшая 180о, есть кратчайшее расстояние между двумя точками A и K, называемое сферическим расстоянием. Сферическим треугольником называется фигура на шаровой поверхности, образованная тремя дугами больших кругов, не проходящих через одну точку. Элементами сферического треугольника ABC (рис. 2) являются его стороны и углы. Согласно ограничению Эйлера, стороны и углы сферического треугольника должны быть меньше 180о. Если соединить вершины сферического треугольника с центром сферы, то получим трехгранный угол с вершиной в центре сферы. При этом стороны сферического треугольника равны плоским углам трехгранника, а углы – двугранным углам (рис. 2). Отсюда следует, что, как стороны, так и углы сферического треугольника ABC, измеряются в угловой мере. Из свойства трехгранного угла следует, что сумма сторон сферического треугольника всегда меньше 360о, 00 < a + b + c < 3600, (1) а сумма углов находится в пределах 180о < A + B + C < 540о. (2) Превышение суммы углов сферического треугольника величины 180о называется его эксцессом или сферическим избытком и обозначается буквой :  = A + B + C  180о. (3) Любая сторона сферического треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон, то есть A + b > c, b + c > a, c + a > b; (4) B > a – c, a > b – c, c > b – a. (5) Полупериметр сферического треугольника всегда больше любой из его сторон, например, (a + b + c)/2 > a. (6) В сферическом треугольнике сумма двух углов без третьего всегда меньше 180о: A + B – C < 180о, B + C – A < 180о, C + A – B < 180о. (7) Соотношения (1 – 7) представляют собой условия возможного существования сферического треугольника. Сферические треугольники различают по виду углов и сторон. Они могут быть: а) косоугольные, стороны и углы которых имеют различные значения, удовлетворяющие условиям существования сферических треугольников и ограничению Эйлера; б) прямоугольные, у которых могут быть от одного до трех прямых углов. В прямоугольном сферическом треугольнике, как и в плоском, сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие его стороны – катетами. 2. Формулы сферической тригонометрии Формулами сферической тригонометрии называются соотношения, связывающие элементы сферического треугольника. Они дают возможность по заданным элементам определить искомые. Формула косинусов Эта формула была впервые выведена багдадским математиком Аль Батани в X в. н. э. Она связывает три стороны с одним из углов сферического треугольника ABC. Для вывода формулы косинуса стороны рассмотрим трехгранный угол с вершиной O в центре сферы, у которого OA, OB и OC – радиусы сферы, равные единице (рис. 3). Опустим из точки C перпендикуляр на грань OAB, в результате получим точку D. Проведем плоскость через CD перпендикулярно ребрам OA и OB, соответствующие точки пересечения обозначим через E и F. В плоскости грани OAB проведем линии: EG параллельно DF и DH параллельно FG. Из рис. 3 видно, что OF = OG + FG. (8) Используя формулы тригонометрии на плоскости, напишем OF = cosa; (9) OG = OE cosc = cosb cosc; (10) FG = HD = ED sinc = EC sinc cosA = sinb sinc cosA. (11) После подстановки в (8) выражений (9), (10) и (11), получим формулу косинуса стороны cosa = cosb cosc + + sinb sinc cosA. (12) Путем круговой перестановки элементов треугольника ABC можно получить формулы для сторон b и c, а именно cosb = cosa cosc + + sina sinc cos B; (13) cosc = cosb cosa + + sinb sina cosC. (14) Иначе говоря, во всяком сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведению синусов этих же сторон, умноженному на косинус угла между ними. Если применить формулы (12) – (14) к сферическому треугольнику ABC, имеющему стороны a = (180о – A), b = (180о – B), c = (180о – C), то получим формулы косинусов углов: cosA = cosB cosC + sinB sinC cosa; сosB = cosA cosC + sinA sinC cosb; cosC = cosB cosA + sinB sinA cosc. (15) То есть, во всяком сферическом треугольнике косинус угла равен произведению косинусов двух других углов, взятому с обратным знаком, плюс произведению синусов этих углов, умноженному на косинус стороны между ними. Формула синусов Из рис. 3 видно, что в треугольниках CDF и CDE сторона CD общая. Выражая эту сторону из каждого треугольника, получим формулу синусов CD = sinb sinA = sina sinB, (16) которая выражает зависимость между двумя сторонами сферического треугольника и противолежащими им углами. Перестановкой элементов можно окончательно получить выражение sinb/ sinB = sina/ sinA = sinc/ sinC = const, которое читается так: в сферическом треугольнике отношение синусов сторон к синусам противолежащих углов есть величина постоянная. Данное выражение часто используют для контроля решения сферического треугольника. Формула пяти элементов Используя рис. 3, напишем равенство: GH = EG – EH, (17) или GH = DF = CF cosB = sina cosB, (18) EG = OE sinc = cosb sinc, (19) EH = ED cosc = CE cosA cosc = sinb cosA cosc. (20) Подставляя (18) – (20) в равенство (17), получим sina cosB = cosb sinc – sinb cosc cosA. (21) Таких формул будет шесть. Их можно получить путем круговой перестановки элементов сферического треугольника: sinb cosC = cosc sina  sinc cosa cosB; sinc cosA = cosa sinb  sina cosb cosC; sina cosC = cosc sinb  sinC cosb cosA; sinb cosA = cosa sinc  sinA cosc cosB; sinc cosB = cosb sina  sinB cosa cosC. Соотношение (21) называется формулой пяти элементов, оно связывает все элементы треугольника, кроме одного. Читается это соотношение так: произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равно произведению косинуса противолежащей этому углу стороны на синус третьей стороны минус произведение синуса противолежащей стороны на косинус третьей и на косинус угла между ними. Формула котангенсов Разделив формулу (21) почленно на формулу (16), получим ctgB = sinc ctgb/sinA – cosc cosA/sinA или ctgb sinc = cosc cosA + sinA ctgB. (22) Эта формула определяет зависимость между четырьмя элементами, расположенными рядом в круговом порядке, например, b, A, c, B. Если назовем b и B крайними элементами, а A и C – внутренними, то формулу (22) можно прочитать так: произведение котангенса крайней стороны на синус внутренней равно произведению косинусов внутренних элементов плюс произведению синуса внутреннего угла на котангенс крайнего. Общее число формул четырех элементов равно шести. Пять остальных формул можно получить в результате круговой перестановки элементов сферического треугольника в формуле (22), то есть ctga sinc = cosc cosB + sinB ctgA; ctgc sinb = cosb cosA + sinA ctgC; ctgb sina = cosa cosC + sinC ctgB; ctga sinb = cosb cosC + sinC ctgA; ctgc sina = cosa cosB + sinB ctgC. Правило решения прямоугольных сферических треугольников Для решения прямоугольных сферических треугольников применяется формула, выведенная из косоугольных треугольников, в которых один из углов – прямой. В результате получается десять формул, связывающих три элемента прямоугольного сферического треугольника. Для получения этих формул удобно пользоваться мнемоническим правилом Непера – Модюи, согласно которому, косинус любого элемента равен произведению котангенсов смежных с ним элементов или произведению синусов несмежных. Обязательное условие применения этого правила такое: катеты считаются лежащими рядом и берутся в виде дополнений до 90о. Напишем пять переменных элементов сферического прямоугольного треугольника ABC, у которого A = 90о, в круговом порядке, соответствующем их положению в самом треугольнике, и заменим при этом катеты их дополнениями до 90о (рис. 4). Тогда, согласно правилу Непера – Модюи, напишем формулы cosa = sin(90о  c) sin(90о  b) = ctgB ctgC; cosB = sin(90о  b) sinC = ctg(90о  c) ctga; cos(90о c) = sina sinC = ctg(90о  b) ctgB; cosC = sinB sin(90о  c) = ctg(90о  b) ctga; cos(90о  b) = sinB sina = ctg(90о  c) ctgC. (23) Формулы с полупериметром для решения сферического треугольника по трем сторонам Формула косинуса стороны (12) может быть преобразована в следующие формулы: ; (24) ; (25) . (26) Последняя формула и аналогичные формулы для B и C, получаемые из нее перестановкой элементов, можно записать в следующем компактном виде: (27) где P = ½(a + b + c) – полупериметр; . Для контроля вычислений по формулам (27) применяется выражение . (28) 3. Дифференциальные формулы сферической тригонометрии При решении сферических треугольников по данным, полученным в результате измерений, бывает необходимо учитывать влияние ошибок измерений на значения искомых величин, например, при определении выгоднейших условий астрономических определений. Формулы, связывающие между собой бесконечно малые приращения элементов сферического треугольника, получаются путем дифференцирования уравнений сферической тригонометрии по всем входящим в них величинам. Так, дифференцирование формулы (12) по a, b, c и A дает sina da = (sinb cosc + cosb sinc cosA) db + (cosb sinc + sinb cosc cosA)dc – sinb sinc sinA dA. В силу выражения (21) коэффициенты при db и dc равны соответственно –sinacosС и –sina cosB, а коэффициент при dA равен sinb sinC sina. Сделав эти замены и сократив все члены на sina, получим следующие дифференциальные формулы: da – cosC db – cosB dc – sinb sinC dA = 0; db – cosA dc – cosC da – sinc sinA dB = 0; dc – cosB da – cosA db – sina sinB dC = 0. (29) Логарифмирование и дифференцирование формулы синусов, например, уравнения (16), дает ctga da + ctgB dB = ctgb db + ctgA dA; ctgb db + ctgC dC = ctgc dc + ctgB dB; ctgc dc + ctgA dA = ctga da + ctgC dC. (30) Продифференцировав формулу котангенсов, получим coses2AsinC dA + (ctgA cosC – cosb sinC)dC + cosec2a sinb da –  (ctga cosb + sinb cosC)db = 0. Применяя формулы синусов, косинуса стороны и формулы (15), получим шесть дифференциальных уравнений вида sinB da – sinc dA – sinA cosc db – sina cosB dC = 0; sinC da – sinb dA – sinA cosb dc – sina cosC dB = 0; sinC db – sina dB – sinB cosa dc – sinb cosC dA = 0; sinA db – sinc dB – sinB cosc da – sinb cosA dC = 0; sinA dc – sinb dC – sinC cosb da – sinc cosA dB = 0; sinB dc – sina dC – sinC cosa db – sinc cosB dA = 0. (31) Приложение 2 Звездное время в полночь на Гринвиче S0 2004 Дата h m s Дата h m s Дата h m s Дата h m s Янв. 0 6 36 02.3661 Февр. 15 9 37 23.9914 Апр. 1 12 38 45.4871 Май 17 15 40 07.0031 1 6 39 58.9192 16 9 41 20.5549 2 12 42 42.0394 18 15 44 03.5573 2 6 43 55.4741 17 9 45 17.1189 3 12 46 38.5889 19 15 48 00.1141 3 6 47 52.0314 18 9 49 13.6813 4 12 50 35.1362 20 15 51 56.6734 4 6 51 48.5911 19 9 53 10.2405 5 12 54 31.6826 21 15 55 53.2345 5 6 55 45.1528 20 9 57 06.7955 6 12 58 28.2299 22 15 59 49.7968 6 6 59 41.7161 21 10 01 03.3467 7 13 02 24.7801 23 16 03 46.3592 7 7 03 38.2801 22 10 04 59.8951 8 13 06 21.3345 24 16 07 42.9209 8 7 07 34.8436 23 10 08 56.4424 9 13 10 17.8932 25 16 11 39.4810 9 7 11 31.4057 24 10 12 52.9900 10 13 14 14.4551 26 16 15 36.0389 10 7 15 27.9655 25 10 16 49.5391 11 13 18 11.0183 27 16 19 32.5942 11 7 19 24.5226 26 10 20 46.0903 12 13 22 07.5807 28 16 23 29.1471 12 7 23 21.0768 27 10 24 42.6440 13 13 26 04.1405 29 16 27 25.6983 13 7 27 17.6289 28 10 28 39.2000 14 13 30 00.6968 30 16 31 22.2489 14 7 31 14.1799 29 10 32 35.7578 15 13 33 57.2495 31 16 35 18.8008 15 7 35 10.7314 Март 1 10 36 32.3167 16 13 37 53.7991 Июнь 1 16 39 15.3557 16 7 39 07.2852 2 10 40 28.8760 17 13 41 50.3468 2 16 43 11.9152 17 7 43 03.8424 3 10 44 25.4345 18 13 45 46.8941 3 16 47 08.4794 18 7 47 00.4039 4 10 48 21.9913 19 13 49 43.4422 4 16 51 05.0472 19 7 50 56.9691 5 10 52 18.5456 20 13 53 39.9923 5 16 55 01.6160 20 7 54 53.5364 6 10 56 15.0969 21 13 57 36.5449 6 16 58 58.1831 21 7 58 50.1034 7 11 00 11.6454 22 14 01 33.1001 7 17 02 54.7466 22 8 02 46.6679 8 11 04 08.1920 23 14 05 29.6577 8 17 06 51.3058 23 8 06 43.2284 9 11 08 04.7384 24 14 09 26.2170 9 17 10 47.8610 24 8 10 39.7846 10 11 12 01.2863 25 14 13 22.7772 10 17 14 44.4135 25 8 14 36.3372 11 11 15 57.8373 26 14 17 19.3373 11 17 18 40.9648 26 8 18 32.8877 12 11 19 54.3922 27 14 21 15.8965 12 17 22 37.5163 27 8 22 29.4376 13 11 23 50.9509 28 14 25 12.4539 13 17 26 34.0692 28 8 26 25.9883 14 11 27 47.5123 29 14 29 09.0089 14 17 30 30.6243 29 8 30 22.5406 15 11 31 44.0744 30 14 33 05.5613 15 17 34 27.1819 30 8 34 19.0952 16 11 35 40.6354 Май 1 14 37 02.1114 16 17 38 23.7419 31 8 38 15.6521 17 11 39 37.1937 2 14 40 58.6599 17 17 42 20.3039 Февр. 1 8 42 12.2112 18 11 43 33.7483 3 14 44 55.2087 18 17 46 16.8671 2 8 46 08.7719 19 11 47 30.2992 4 14 48 51.7595 19 17 50 13.4307 3 8 50 05.3335 20 11 51 26.8472 5 14 52 48.3143 20 17 54 09.9937 4 8 54 01.8950 21 11 55 23.3935 6 14 56 44.8739 21 17 58 06.5552 5 8 57 58.4554 22 11 59 19.9397 7 15 00 41.4376 22 18 02 03.1144 6 9 01 55.0136 23 12 03 16.4871 8 15 04 38.0036 23 18 05 59.6711 7 9 05 51.5691 24 12 07 13.0366 9 15 08 34.5695 24 18 09 56.2254 8 9 09 48.1215 25 12 11 09.5886 10 15 12 31.1330 25 18 13 52.7776 9 9 13 44.6715 26 12 15 06.1432 11 15 16 27.6928 26 18 17 49.3289 10 9 17 41.2200 27 12 19 02.6998 12 15 20 24.2486 27 18 21 45.8808 11 9 21 37.7687 28 12 22 59.2579 13 15 24 20.8012 28 18 25 42.4348 12 9 25 34.3191 29 12 26 55.8166 14 15 28 17.3515 29 18 29 38.9926 13 9 29 30.8728 30 12 30 52.3750 15 15 32 13.9011 30 18 33 35.5549 14 9 33 27.4303 31 12 34 48.9321 16 15 36 10.4513 Июль 1 18 37 32.1214 15 9 37 23.9914 Апр. 1 12 38 45.4871 17 15 40 07.0031 2 18 41 28.6903 Продолжение прил. 2 Дата h m s Дата h m s Дата h m s Дата h m s Июль 1 18 37 32.1214 Авг. 16 21 38 53.7681 Окт. 1 0 40 15.2265 Нояб. 16 3 41 36.7767 2 18 41 28.6903 17 21 42 50.3201 2 0 44 11.7789 17 3 45 33.3423 3 18 45 25.2589 18 21 46 46.8697 3 0 48 08.3340 18 3 49 29.9046 4 18 49 21.8246 19 21 50 43.4177 4 0 52 04.8912 19 3 53 26.4628 5 18 53 18.3858 20 21 54 39.9655 5 0 56 01.4497 20 3 57 23.0172 6 18 57 14.9425 21 21 58 36.5145 6 0 59 58.0087 21 4 01 19.5688 7 19 01 11.4957 22 22 02 33.0663 7 1 03 54.5671 22 4 05 16.1192 8 19 05 08.0469 23 22 06 29.6217 8 1 07 51.1241 23 4 09 12.6700 9 19 09 04.5979 24 22 10 26.1810 9 1 11 47.6791 24 4 13 09.2225 10 19 13 01.1500 25 22 14 22.7434 10 1 15 44.2315 25 4 17 05.7774 11 19 16 57.7041 26 22 18 19.3073 11 1 19 40.7814 26 4 21 02.3351 12 19 20 54.2606 27 22 22 15.8706 12 1 23 37.3292 27 4 24 58.8955 13 19 24 50.8195 28 22 26 12.4310 13 1 27 33.8760 28 4 28 55.4578 14 19 28 47.3805 29 22 30 08.9873 14 1 31 30.4232 29 4 32 52.0211 15 19 32 43.9428 30 22 34 05.5392 15 1 35 26.9726 30 4 36 48.5845 16 19 36 40.5056 31 22 38 02.0878 16 1 39 23.5257 Дек. 1 4 40 45.1471 17 19 40 37.0680 Сент. 1 22 41 58.6347 17 1 43 20.0831 2 4 44 41.7079 18 19 44 33.6289 2 22 45 55.1817 18 1 47 16.6443 3 4 48 38.2665 19 19 48 30.1878 3 22 49 51.7303 19 1 51 13.2077 4 4 52 34.8226 20 19 52 26.7440 4 22 53 48.2813 20 1 55 09.7713 5 4 56 31.3765 21 19 56 23.2975 5 22 57 44.8350 21 1 59 06.3330 6 5 00 27.9287 22 20 00 19.8489 6 23 01 41.3910 22 2 03 02.8914 7 5 04 24.4802 23 20 04 16.3991 7 23 05 37.9488 23 2 06 59.4459 8 5 08 21.0325 24 20 08 12.9493 8 23 09 34.5076 24 2 10 55.9969 9 5 12 17.5871 25 20 12 09.5011 9 23 13 31.0664 25 2 14 52.5454 10 5 16 14.1457 26 20 16 06.0560 10 23 17 27.6244 26 2 18 49.0931 11 5 20 10.7089 27 20 20 02.6149 11 23 21 24.1807 27 2 22 45.6415 12 5 24 07.2763 28 20 23 59.1779 12 23 25 20.7346 28 2 26 42.1920 13 5 28 03.8459 29 20 27 55.7439 13 23 29 17.2858 29 2 30 38.7451 14 5 32 00.4151 30 20 31 52.3108 14 23 33 13.8344 30 2 34 35.3011 15 5 35 56.9813 31 20 35 48.8761 15 23 37 10.3812 31 2 38 31.8596 16 5 39 53.5431 Авг. 1 20 39 45.4376 16 23 41 06.9273 Нояб. 1 2 42 28.4198 17 5 43 50.1004 2 20 43 41.9944 17 23 45 03.4745 2 2 46 24.9807 18 5 47 46.6543 3 20 47 38.5470 18 23 49 00.0241 3 2 50 21.5415 19 5 51 43.2064 4 20 51 35.0969 19 23 52 56.5774 4 2 54 18.1011 20 5 55 39.7584 5 20 55 31.6458 20 23 56 53.1347 5 2 58 14.6589 21 5 59 36.3118 6 20 59 28.1955 21 0 00 49.6952 6 3 02 11.2144 22 6 03 32.8675 7 21 03 24.7470 22 0 04 46.2575 7 3 06 07.7675 23 6 07 29.4257 8 21 07 21.3008 23 0 08 42.8195 8 3 10 04.3183 24 6 11 25.9865 9 21 11 17.8571 24 0 12 39.3795 9 3 14 00.8678 25 6 15 22.5493 10 21 15 14.4156 25 0 16 35.9358 10 3 17 57.4170 26 6 19 19.1134 11 21 19 10.9756 26 0 20 32.4881 11 3 21 53.9678 27 6 23 15.6777 12 21 23 07.5363 27 0 24 29.0369 12 3 25 50.5219 28 6 27 12.2412 13 21 27 04.0968 28 0 28 25.5835 13 3 29 47.0804 29 6 31 08.8032 14 21 31 00.6561 29 0 32 22.1296 14 3 33 43.6434 30 6 35 05.3629 15 21 34 57.2134 30 0 36 18.6769 15 3 37 40.2096 31 6 39 01.9200 16 21 38 53.7681 Окт. 1 0 40 15.2265 16 3 41 36.7767 32 6 42 58.4748 Приложение 3 Практические задания Задание 1 Системы небесных координат 1. На чертеже небесной сферы показать основные линии, точки и круги горизонтальной, первой и второй экваториальной систем небесных сферических координат. 2. На чертежах указанных систем координат показать положения точек с координатами, данными в вариантах задания, с точностью до октанта. 3. Определить, чему равны координаты основных точек небесной сферы в пункте с широтой Заполнить таблицу: Точка А h Z  t  Название N S W E Q Q' Z Z' PN PS  Варианты задания № вар. A, o h, o t,h  o  h  o 1 45 70 6 3 45 2 90 -90 15 45 12 -45 3 140 45 2 -55 80 4 135 30 14 60 6 -30 5 -45 21 -70 6 100 30 15 35 8 70 7 200 45 12 -45 18 -80 8 225 20 18 20 12 45 9 45 -70 6 10 9 -45 10 300 -10 3 30 21 10 11 90 9 -90 20 -20 12 270 45 21 6 50 13 130 20 45 12 -80 14 330 -80 12 -60 3 90 Задание 2 Решение параллактического треугольника 1. Для пункта в Новосибирске (широта = 54о5914.6") на момент звездного времени s вычислить астрономический азимут А и зенитное расстояние Z небесного светила. 2. Нарисовать 2 параллактических треугольника со светилами в западной и восточной половинах небесной сферы. Варианты задания № п/п Номера звезд Звездное время h m s Прямое восхождение о   Склонение о   1 462 18 11 19 15 03 27 40 25 54 2 171 10 10 42 5 59 07 37 12 45 3 545 22 13 25 18 38 18 20 18 23 4 391 11 22 35 16 08 27 44 57 44 5 244 5 15 30 9 20 25 34 26 15 6 433 13 41 53 17 55 54 51 29 24 7 521 17 33 55 21 18 20 39 39 55 8 207 3 47 54 7 25 04 8 18 40 9 265 5 32 12 10 21 42 41 33 10 10 169 3 15 12 5 58 40 54 12 05 11 318 15 28 04 12 55 33 38 22 29 12 238 4 39 30 0 95 52 38 29 41 13 259 6 30 16 10 06 49 35 17 47 14 321 9 18 35 13 11 23 27 55 52 15 362 12 29 50 15 03 27 40 25 54 16 356 18 23 25 20 18 43 0 33 16 17 88 2 57 18 3 22 15 -12 30 21 18 100 7 40 12 5 12 38 -32 45 51 19 365 13 53 22 18 30 07 -5 33 40 20 400 19 30 45 6 47 52 67 23 54 21 150 4 32 18 20 43 50 72 56 43 22 256 10 02 50 6 23 45 -10 20 30 23 300 16 33 09 22 19 34 -33 42 18 24 200 20 42 17 12 29 30 -7 22 34 25 276 5 40 20 10 35 12 8 45 21 Пример выполнения работы Дано:  = 54о 59 25 – широта; s = 6 h 15 m 13.2s – звездное время;  = 2h 10m 52s – прямое восхождение;  = 32о 46 55 – склонение. Требуется найти горизонтальные координаты светила на момент звездного времени: A – астрономический азимут, z – зенитное расстояние. Порядок вычислений. Все вычисления выполняются в схемах по образцу, с точностью 10-8. При вычислениях времени и часового угла учесть, что время в любой системе принимает значения от 0h до 24h. Для вычислений тригонометрических функций часовой угол нужно перевести в градусы по формуле tо = 15th. Рабочие формулы: t = s  ; cos z = sin sin + cos cos cos t; сtg A = sin  ctg t  tg  cos  cosec t. Схема вычисления Элементы раб. формул Значения Элементы раб. формул Значения s 6 h 15 m 13.2 s sin  0,81905470  2h 10m 52s tg t 1,81062538 th 4 h 04 m 21.2 s sin   tg t 0,45236011 tо = 15  th 61,08833333 tg  0,64401010 sin 0,81905470 cos 0,57371542 sin 0,5414433 sint 0,87536610 sin sin 0,44347168 tg  cos   sint 0,42208457 cos 0,57371542 сtg A 0,030275541 cos 0,84073727 tg A = 1/ сtg A 33,02996312 cos t 0,48346064 A = |arсtg A| 88,26586899 cos cos cos t 0,23319431 AWE 88о1557,1 cos z 0,67666599 z 47о24 58,8 Азимут звезды может быть от 0о до 360о. Из вычислений определяется румб – острый положительный угол A = |arсtg A|, 0о < A < 90о. Далее определяется четверть кругового азимута AWE по следующему алгоритму. Когда звезда находится в западной половине небесной сферы (0h < t < 12h), то если сtg A > 0, то AWE = A, если сtg A < 0, то AWE = 180о  A. Когда звезда находится в восточной половине небесной сферы (12 < t < 24), то если сtg A > 0, то AWE = 180о + A, если сtg A < 0, то AWE = 360о A. Контроль вычислений по теореме синусов: sinz / sint = cos / sinA. Равенство должно совпадать до 7 значащих цифр. Схема вычисления Элементы раб. формул Значения Элементы раб. формул Значения sinz 0,73629012 cos 0,84073727 sint 0,87536610 sinA 0,99954201 sinz/sint 0,84112249 cos /sinA 0,84112249 Рисунок параллактического треугольника выполняется самостоятельно. Контрольные вопросы 1. Какими большими кругами образован параллактический треугольник? 2. К каким системам координат относятся элементы параллактического треугольника? 3. Для решения сферического треугольника необходимо знать три его элемента. Предложите варианты “троек” известных элементов в параллактическом треугольнике, чтобы найти: а) широту; б) азимут; в) часовой угол. Задание 3 Суточное движение небесной сферы 1. Пользуясь каталогом “Средние места звезд” Астрономического ежегодника СССР, для пункта с географической широтой (о  ) подобрать по одной звезде, отвечающей условиям наблюдения по виду суточного движения: а) незаходящая; б) имеющая восход и заход на горизонте пункта; в) невидимая; г) пересекающая плоскость 1-го вертикала над горизонтом; д) имеющая элонгации в западной и восточной половине неба. 2. Для выбранных звезд вычислить звездное время и горизонтальные координаты в моменты: а) кульминаций в плоскости истинного меридиана; б) восхода и захода на горизонте; в) прохождения плоскости 1-го вертикала; г) в элонгациях. Варианты задания № вар № звезд Геогр. широта № вар № звезд Геогр. широта 1 1-50 3534 45 14 175-225 4534 45 2 51-100 37 12 34 15 225-275 47 12 34 3 101-150 38 43 32 16 275-325 38 10 32 4 151-200 40 56 41 17 325-375 40 02 41 5 201-250 42 05 51 18 375-425 32 05 51 6 251-300 44 41 49 19 425-475 44 41 49 7 301-350 45 10 40 20 475-525 45 50 40 8 351-400 47 08 52 21 1-50 47 08 52 9 401-450 49 26 47 22 51-100 49 26 47 10 451-500 51 36 37 23 101-150 51 36 37 11 501-550 53 05 01 24 151-200 57 05 01 12 25-75 55 45 39 25 201-250 55 25 39 13 125-175 57 09 37 26 251-300 47 09 37 Пример выполнения работы 1. Выбор звезд по виду суточного движения, = 55о0000 Вид суточного движения Условие Номер АЕ , h m s , о Незаходящая  > 350 203 7 14 36 59 39 55 Имеющая восход-заход 350    350 204 7 17 14 16 34 06 Невидимая 350 617 8 22 12 -59 27 39 Пересекающая I вертикал над горизонтом     550 229 8 43 50 18 12 36 Имеющая элонгации   550 355 13 51 02 64 48 06 2. Суточные параллели выбранных звезд 3. Вычисление звездного времени и горизонтальных координат светил в кульминациях. Номер АЕ Верхняя кульминация Нижняя кульминация S, h m s A, о Z, о s, h m s A, о Z, о 203 7 14 36 180 04 39 55 19 14 36 180 65 20 05 204 7 17 14 38 25 54 19 17 14 180 108 25 54 617 8 22 12 114 27 39 20 22 12 180 175 32 21 229 8 43 50 36 47 24 20 43 50 106 47 24 355 13 51 02 180 09 48 06 01 51 02 180 60 11 54 4. Вычисление звездного времени и горизонтальных координат в моменты восхода и захода на горизонте. Дано: = 55о0000 Номер звезды АЕ = 204  = 7h 17 m14s 16о 3406 Найти: s, A, Z в моменты восхода и захода на горизонте Контроль вычисления sin t = sin A/cos  Рабочие формулы: ZE = ZW = 90о; sE =  + tE, sW =  + tW, cos t = -tg tg, cos A = -sin/cos. Если  > 0, то tW = 12h – t1, AW = 180о – A1, tE = 12h + t1, AE = 180о + A1. Если  < 0, то tW = t1, AW = A1, tE = 24h - t1, AE = 360о - A1, где A1, t1 – острые положительные углы Схема вычисления Элементы рабочих формул Значения Элементы рабочих формул Значения tg 0,29751124 sin 0,28515867 tg 1,42814801 cos 0,57357644 cos t -0,42489008 cos A -0,49715896 t1, о 64,85629396 A1 60 11 16 t1, h 4,32375293 AW 119 48 44 tW 7 h 40 m 34 s AE 240 11 16  7h 17 m14s Контроль вычислений sW 14 h 57 m 48s sin t 0,90524495 tЕ 16 h 19 m 25 s sin A 0,86765942  7h 17 m14s cos  0,95848032 sЕ 23 h 36 m 39 s sin A/cos  0,90524490 5. Вычисление звездного времени и горизонтальных координат в моменты прохождения I вертикала. Дано: = 55о0000 Номер звезды АЕ = 229  = 8 43 50 18 12 36 Найти: s, A, Z в моменты прохождения I вертикала Контроль вычислений cos  = sin Z/sin t Рабочие формулы: AE = 270о, AW = 90о; sE =  + tE, sW =  + tW, cos z = sin/sin, cos t = tg/tg. Если  > 0, то tW = t1, tE = 24h - t1. Если  < 0, то tW = 12h – t1, tE = 12h + t1. Схема вычисления Элементы рабочих формул Значения Элементы рабочих формул Значения tg 0,32897668 sin 0,31250071 tg 1,42814801 sin 0,81915204 cos t 0,23035195 cos Z 0,38149293 t1, о 76,68220656 Z 67 34 26 t1, h 5 06 44 tW 5 06 44  8 43 50 Контроль вычислений sW 13 50 34 cos  0,94991752 tЕ 18 53 16 sin Z 0,92437176  8 43 50 sin t 0,97310738 sЕ 3 37 06 sin Z/sin t 0,94991752 6. Вычисление звездного времени и горизонтальных координат в моменты элонгаций. Дано: = 55о0000 Номер звезды АЕ = 355  = 13 51 02 64 48 06 Найти: s, A, Z в моменты элонгаций Контроль вычисления sin Z/sin t = cos /sin A Рабочие формулы: sE =  + tE, sW =  + tW, cost = tg/tg, cosz = sin /sin, sinA = -cos /cos. AW = 180о – A1, tW = t1, AE = 180о + A1, tE = -t1. Схема вычисления Элементы рабочих формул Значения Элементы рабочих формул Значения tg 1,42814801 sin 0,81915204 tg 2,12526864 sin 0,90483944 cos t 0,67198470 cos Z 0,90530100 t1, о 47,77956966 Z 25 08 10 t1, h 3 11 07 cos 0,42575297 tW 3 11 07 cos 0,57357644  13 51 02 sinA 0,74227765 sW 17 02 09 A1 47 55 32 tЕ 20 48 53 AW 132 04 28  13 51 02 AE 227 55 32 sЕ 10 39 55 Контроль вычислений sin Z 0,42477067 cos  0,42575297 sin t 0,74056503 sin A 0,74227765 sin Z/sin t 0,57357646 сos /sin A 0,57357644 Контрольные вопросы 1. Почему происходит видимое суточное движение небесной сферы? 2. Назвать виды суточного движения звезд. 3. Что такое кульминации? 4. На чертеже небесной сферы показать суточные параллели для наблюдателя, находящегося на экваторе и на Северном полюсе Земли. 5. В каком случае высота светила над горизонтом не меняется в течение суток? 6. На сколько отличается высота светила в верхней и нижней кульминациях для наблюдателя на Северном полюсе Земли? Задание 4 Системы измерения времени Задача 1. Вычислить на момент декретного времени Dn (по номеру варианта задания) соответствующие ему моменты: Tn – поясного времени, UT – Всемирного (гринвичского) времени, m – местного среднего солнечного времени. Задача 2. На основе таблицы “Солнце” Астрономического ежегодника СССР (АЕ СССР) вычислить прямое восхождение и склонение Солнца, а также Е – уравнение времени, используя исходные данные по номеру варианта задания. Задача 3. Вычислить момент s – местного звездного времени, соответствующий моментам: m – местного среднего солнечного времени, UT – Всемирного времени, вычисленным при решении задачи 1. Другие исходные данные использовать по номеру варианта задания. Задача 4. Вычислить t – часовой угол истинного Солнца по двум путям решения: а) используя основное уравнение звездного времени; б) используя вычисленное уравнение времени – Е. Задача 5. На основе вычисленного в задаче 3 момента s – местного звездного времени осуществить переход на моменты: UT – Всемирного времени, m – местного среднего солнечного времени, Dn – декретного времени. В задаче использовать исходные данные по варианту задания. Варианты задания № вар. Дата Декретное время Dn Долгота  № вар. Дата Декретное время Dn Долгота  1 10 авг. 13 04 42.6 2 30 40.8 14 29 мая 17 31 53.5 5 11 34.5 2 12 фев. 10 11 50.3 6 22 12.5 15 28 мар. 10 18 26.2 6 41 44.6 3 1 сент. 7 09 03.8 8 25 19.6 16 20 сент. 9 19 32.5 8 41 37.4 4 24 мая 4 44 28.6 5 09 45.8 17 4 мая 4 35 48.5 5 23 45.5 5 30 окт. 20 34 55.6 3 56 34.6 18 13 окт. 23 41 10.6 6 59 38.6 6 8 янв. 15 23 30.7 9 42 45.4 19 18 янв. 14 27 51.6 7 52 49.5 7 23 апр. 12 39 38.6 7 45 34.5 20 2 апр. 23 04 42.6 5 30 40.8 8 19 дек. 17 09 34.5 4 57 34.8 21 1 дек. 15 11 50.3 7 22 12.5 9 14 мар. 9 45 23.9 5 49 28.6 22 24 мар. 17 09 03.8 6 25 19.6 10 28 июн. 19 19 32.5 6 41 37.4 23 8 июн. 14 44 28.6 4 09 45.8 11 28 сент. 14 35 48.5 9 23 45.5 24 18 сент. 22 34 55.6 5 56 34.6 12 13 ноя. 23 41 10.6 4 59 38.6 25 3 ноя. 5 23 30.7 8 42 45.4 13 25 июл. 4 27 51.6 7 52 49.5 26 5 июл. 7 09 34.5 4 07 34.8 Пример выполнения работы Дано: дата наблюдения d = 7 июля; декретное время Dn = 13h 16m 15s;  = 3h 56m 35s – долгота. Задача 1 Рабочие формулы: Схема вычисления Tn = Dn – k, UT = Tn – n, m = UT + , где k = 1h для зимнего времени, k = 2h для летнего времени, n – номер часового пояса (определяется по долготе). Элементы рабочих формул Значения Dn 13h 16m 15s -k 2 Tn 11h 16m 15s -n 4 UT 7h 16m 15s + 3h 56m 35s m 11h 12 m 50 s Задача 2 Исходные данные: координаты Солнца и их часовые изменения, выписанные из таблицы “Солнце” Астрономического ежегодника на дату наблюдения: Координаты Солнца на 0h Земного динамического времени TDT Дата , h m s , о   v, /h E, h m s vE, s/h 7.07 7 05 54.231 22 39 44.30 -15.348 11 55 17.308 -0.4178 8.07 7 10 00.802 22 33 35.95 11 55 07.281 Данные на последующую дату выписываются для контроля. Рабочие формулы: Схема вычисления TDT = UT + T, где T – поправка за неравномерность вращения Земли, для интерполирования с точностью до 1 секунды можно принять TDT = UT, v= 9,856 S - vЕ, vUT)h, vUT)h, EEvEUT)h, где UT)h – Всемирное время, выраженное в часах и долях часа. Контроль: вычисленные координаты должны лежать между табличными значениями. Элементы рабочих формул Значения v 10,2738 UT)h 7,27083333  7 05 54.231 vUT)h 01 14,699  7 07 08.930  22 39 44.30 vUT)h -1 51,59  22 37 52.71 E 11 55 17.308 vEUT)h -3.038 E 11 55 14.270 Задача 3 Рабочие формулы: 1) s = s0 + m + m, s0 = S0  E, 2) s = S + E, S = S0 + UT + UT, S0 – звездное время в полночь на Гринвиче, выписывается на дату наблюдения из таблицы “Звездное время” Астрономического ежегодника,  = 0.0027379093. Схема вычисления Элементы рабочих формул Значения Элементы рабочих формул Значения S0 19h 01m 11.5 s S 0 19h 01m 11.5 s - 38.9 s +UT 7h 16m 15s s0 19h 00m 32.6s +UT 1m11.7 s +m 11h 12 m 50 s S 26 h 18 m 38 .2 s = 2 h 18 m 38 .2 s +m 1m 50.5 s + 3h 56m 35s s 6 h 15 m 13.1 s s 6 h 15 m 13.2 s Задача 4 Рабочие формулы: t = s – , t = m + E Схема вычисления Элементы рабочих формул Значения Элементы рабочих формул Значения s 6 h 15 m 13.2 s m 11h 12 m 50 s - 7 07 08.930 +E 11 55 14.270 t 23 08 04.27 t 23 08 04.27 Задача 5 Рабочие формулы: UT = (S - S0) – (S - S0); m = (s - s0) – (s - s0); Dn = UT + (n + k) ;  = 0.0027304336. Схема вычисления Элементы рабочих формул Значения Элементы рабочих формул Значения S 2 h 18 m 38.2 s s 6 h 15 m 13.1s -S0 19h 01m 11.5 s -s0 19h 00m 32.6s (S - S0) 7h 17m 26.7 s (s - s0) 11h 14m 40.5s -(S - S0) 1m 11.7 s -(s - s0) 1m 50.5 s UT 7h 16m 15s m 11h 12 m 50s +(n + k) 6 Dn 13h 16m 15s Задание 5 Астрономические факторы. Редукционные вычисления Задача 1. Вычислить топоцентрическое зенитное расстояние Солнца, если дано измеренное зенитное расстояние. В момент наблюдения Солнца были измерены: атмосферное давление в мм рт. ст., температура воздуха в градусах по шкале Цельсия. Задача 2. Вычислить геоцентрическое зенитное расстояние Солнца на дату наблюдения. Варианты задания № вар. Дата набл. Зенит. расст., о   Атм. давл., мм рт. ст. Температура, оС 1 12 авг. 38 43 29.6 738.6 +23.6 2 19 февр. 36 41 56.4 749.4 -19.6 3 10 сент. 41 32 49.5 718.5 +14.9 4 28 мая 48 09 52.8 769.4 +26.6 5 22 окт. 56 23 51.5 774.7 -11.8 6 12 янв. 65 43 21.8 793.5 -19.4 7 21 апр. 54 43 38.9 759.5 -12.6 8 14 дек. 68 54 18.3 723.9 -11.5 9 29 мар. 72 19 38.4 771.2 +14.8 10 11 июн. 64 45 22.6 742.7 +28.9 11 30 авг. 65 09 07.3 722.1 +22.8 12 12 нояб. 69 38 27.3 733.6 -17.9 13 27 июл. 77 45 23.8 778.3 +29.6 14 27 мая 71 32 53.6 745.7 +21.9 15 25 февр. 56 33 44.7 728.1 -17.3 16 1 авг. 48 43 29.6 718.6 +21.6 17 9 февр. 56 41 56.4 759.4 -18.6 18 1 сент. 47 32 49.5 728.5 +15.9 19 8 мая 18 09 52.8 779.4 +23.6 20 20 окт. 16 23 51.5 754.7 -15.8 21 1 янв. 68 43 21.8 763.5 -10.4 22 1 апр. 52 43 38.9 749.5 -22.6 23 4 дек. 28 54 18.3 733.9 -1.5 24 9 мар. 12 19 38.4 751.2 +4.8 25 1 июн. 68 45 22.6 732.7 +21.9 26 3 авг. 35 09 07.3 732.1 +12.8 Пример выполнения работы Дано: дата наблюдения d = 7 июля, измеренное зенитное расстояние Z = 54о 47 35.9, атмосферное давление B = 732 мм рт. ст., температура t = 20оС. Задача 1 Вычисление топоцентрического зенитного расстояния 1. Вычисление средней рефракции 0 = 60.2tgZ = 60.2  1,41723878 = 85,3 = 1 25.3, 2. Вычисление истинной рефракции  = 21.63 tgZ  B/(273о + t) = 76.6 = 1 16.6. 3. Использование таблиц рефракции Астрономического ежегодника о табл = f(Z) = 123; t = f(Z, t)= -3; B=f(Z, B) = -3; табл = 0табл + t + B = 117. 4. Контроль: |0  0табл|  10; |  табл|  2. Zтоп = Z + 54о 47 35.9 + 1 16.6 = 54о 48 52.5. Задача 2 Вычисление геоцентрического зенитного расстояния Из таблицы “Солнце” АЕ на дату наблюдения выписывается горизонтальный параллакс Солнца: P. Z геоц = Z топ  Psin Z топ  54о 48 52.5 8.65 0,817291 = 54о 48 52.5  7.07; Z геоц = 54о 48 45.43. Задание 6 Рабочая эфемерида Полярной Составить эфемериду Полярной для г. Новосибирска (широта 54о 59, долгота 5h 32m) в течение 1 часа с шагом 20 минут на дату и время варианта задания. Варианты задания № варианта Дата Декретное время № варианта Дата Декретное время 1 10.05.00 22-00 14 14.05.00 01-00 2 14.05.00 22-00 15 18.05.00 01-00 3 18.05.00 22-00 16 22.05.00 01-00 4 22.05.00 22-00 17 10.05.00 02-00 5 10.05.00 23-00 18 14.05.00 02-00 6 14.05.00 23-00 19 18.05.00 02-00 7 18.05.00 23-00 20 22.05.00 02-00 8 22.05.00 23-00 21 10.05.00 03-00 9 10.05.00 00-00 22 14.05.00 03-00 10 14.05.00 00-00 23 18.05.00 03-00 11 18.05.00 00-00 24 22.05.00 03-00 12 22.05.00 00-00 25 10.05.00 04-00 13 10.05.00 01-00 26 14.05.00 04-00 Звездное время в полночь на Гринвиче: h m s 10.05 S0: 15 12 24.5 14.05 S0: 15 28 10.7 18.05 S0: 15 43 56.9 22.05 S0: 15 59 43.1 Координаты Полярной (средние на 2000.0):  2h 31m 48.704s  890 15 50.72 Рабочие формулы для вычислений азимута А и высоты h Полярной см. в п. 1.1.7. Переход от декретного времени Dn к звездному s описан в практическом задании 4. Результатом выполнения задания служит таблица вида: Дата: 10.05.00 Декретное время Dn, h m s Звездное время s, h m s Часовой угол t, h m s Азимут А, о  Высота h, о  02-00 *** *** *** *** 02-20 *** *** *** *** Задание 7 Определение азимута земного предмета и широты по наблюдениям Полярной Дано: долгота пункта  результаты измерений в одном приеме, приведенные в варианте задания, таблица “Видимые места звезд” Астрономического ежегодника, таблица “Звездное время” Астрономического ежегодника. Требуется вычислить: азимут направления на земной предмет Азп, широту пункта . Порядок выполнения работы 1. Обработка журнала наблюдений. В журнале приведены дата наблюдения, поправка часов U, определенная по радиосигналам точного времени, а также результаты наблюдений в одном приеме, при “круге лево” (КЛ) и “круге право” (КП): моменты наблюдения Полярной T, отсчеты по вертикальному (ВК) и горизонтальному (ГК) кругам при наведении на Полярную, отсчеты по горизонтальному кругу направления на земной предмет. Вычисляются следующие величины: - средний момент наблюдения по декретному времени: Dn = Тср + U = (Т1 + Т2 + Т3 + Т4)/4 + U; - средняя высота Полярной в приеме, исправленная за рефракцию: h = h   = h  60.2/tg h, где измеренная высота Полярной h определяется по отсчетам вертикального круга h = [КЛ1 + КЛ2 + (180о – КП1) + (180о – КП2)]/4; - средний горизонтальный угол между направлениями на Полярную и земной предмет Q = (QL + QR)/2, где QL,R = ML,R – (M*1 L,R + M*2 L,R)/2, ML, R – отсчеты по горизонтальному кругу направлений на земной предмет при КЛ и КП; M*1 L,R, M*2 L,R – отсчеты по горизонтальному кругу направлений на Полярную при КЛ и КП. Итак, в результате обработки журнала находятся три величины: Dn – момент наблюдения по Декретному времени; h – средняя высота Полярной в приеме; Q – средний горизонтальный угол между направлениями на Полярную и земной предмет. 2. Вычисление среднего момента наблюдения Полярной по звездному времени. Выполняется по следующей схеме: Dn  UT  S  s.    (n, k) (S0, . Рабочие формулы перехода от декретного времени Dn к местному звездному s приведены в задании 4 “Системы измерения времени”. 3. Получение экваториальных координат () Полярной из Астрономического ежегодника. Координаты публикуются в таблице “Видимые места звезд”, где Полярная обозначена номером N4. В приближенных способах астрономических определений достаточно выписать координаты Полярной   на дату наблюдения. 4. Вычисление широты пункта, азимута Полярной и азимута направления на земной предмет. Часовой угол Полярной в часовой мере есть t = s  . Далее часовой угол следует перевести в градусную меру. Вычисления выполняются по приближенным формулам. Вводится вспомогательная величина f: f = cos t, где = 90о  . Широта пункта  вычисляется по формулам: sin ( + f) = sin h cos f/sin ; = ( + f) – f. Азимут Полярной AN, отсчитываемый от точки севера, вычисляется как AN = sin t / cos( + f). Азимут земного предмета находится как Азп = AN + Q. Варианты заданий Пункт СГГА Дата 17/18 07 02 U = +1m 40s Прием 1 Круг КЛ Т ВК ГК h m s o ' " o ' " Земн. предм. 259 31 24 Полярная 22 51 23 54 24 20 00 43 42 Полярная 22 54 05 54 26 10 00 44 11 Круг КП h m s o ' " o ' " Полярная 23 02 59 125 32 33 180 47 01 Полярная 23 04 53 125 31 50 180 47 12 Земн. предм. 79 30 31 Пункт СГГА Дата 17/18 07 02 U = +1m 40s Прием 2 Круг КП T ВК ГК h m s o ' " o ' " Земн. предм. 79 30 52 Полярная 23 13 53 125 30 40 180 49 02 Полярная 23 15 48 125 30 42 180 49 30 Круг КЛ h m s o ' " o ' " Полярная 23 19 17 54 28 58 00 51 02 Полярная 23 20 44 54 28 40 00 51 11 Земн. предм.     259 30 46 Пункт СГГА Дата 1/2 07 03 U = +10s Прием 3 Круг КЛ Т ВК ГК h m s o ' " o ' " Земн. предм.     337 40 50 Полярная 00 36 47 54 30 56 257 23 03 Полярная 00 38 11 54 31 09 257 23 00 Круг КП h m s o ' " o ' " Полярная 00 41 17 125 29 50 77 21 10 Полярная 00 43 18 125 29 14 77 21 11 Земн. предм.     157 40 02 Пункт СГГА Дата 1/2 07 03 U = +1m 40s Прием 4 Круг КЛ Т ВК ГК h m s о ' " o ' " Земн. предм 32 16 03 Полярная 23 10 33 54 20 40 272 0 39 Полярная 23 12 30 54 22 09 272 10 09 Круг КП h m s o ' " o ' " Полярная 23 36 47 125 38 43 92 05 19 Полярная 23 38 05 125 38 37 92 06 34 Земн. предм.     212 15 54 Пункт СГГА Дата 1/2 07 03 U = -20s Прием 5 Круг КП Т ВК ГК h m s o ' " o ' " Земн. предм. 215 02 37 Полярная 00 40 39 125 10 17 94 48 26 Полярная 00 43 05 125 30 07 94 48 13 Круг КЛ h m s o ' " o ' " Полярная 00 47 07 54 31 30 274 51 50 Полярная 00 48 47 54 11 45 274 52 22 Земн. предм.     35 02 51 Пункт СГГА Дата 1/2 07 03 U = 1m 40s Прием 6 Круг КЛ Т ВК ГК h m s o ' " o ' " Земн. предм. 35 02 51 Полярная 00 54 25 54 33 48 274 52 49 Полярная 00 56 28 54 34 04 274 53 15 Круг КП h m s o ' " o ' " Полярная 01 00 08 125 27 38 94 52 13 Полярная 01 02 13 125 28 09 94 52 43 Земн. предм.     215 02 35 Пункт СГГА Дата 1/2 07 03 U = -20s Прием 7 Круг КП Т ВК ГК h m s o ' " o ' " Земн. предм. 57 17 47 Полярная 01 43 58 125 21 06 297 15 06 Полярная 01 44 20 125 21 02 297 14 56 Круг КЛ h m s o ' " o ' " Полярная 01 49 53 54 42 15 117 17 20 Полярная 01 51 02 54 42 20 117 17 34 Земн. предм.     237 18 21 Пункт СГГА Дата 5/6 07 04 U = +1m Прием 8 Круг КЛ Т ВК ГК h m s o ' " o ' " Земн. предм.     259 31 24 Полярная 22 51 23 54 24 20 00 43 42 Полярная 22 54 05 54 26 10 00 44 11 Круг КП h m s o ' " o ' " Полярная 23 02 59 125 32 33 180 47 01 Полярная 23 04 53 125 31 50 180 47 12 Земн. предм.     79 30 31 Пункт СГГА Дата 1/2 07 05 U = +1m 40s Прием 9 Круг КЛ Т ВК ГК h m s o ' " o ' " Земн. предм. 32 16 03 Полярная 23 10 35 54 20 40 272 0 39 Полярная 23 12 32 54 22 09 272 10 09 Круг КП h m s o ' " o ' " Полярная 23 36 46 125 38 43 92 05 19 Полярная 23 38 04 125 38 37 92 06 34 Земн. предм. 212 15 54 Задание 8 Определение азимута направления на земной предмет и долготы по измеренным зенитным расстояниям Солнца Дано: – широта пункта наблюдения, результаты измерений в одном приеме, приведенные в варианте задания, таблица “Солнце” Астрономического ежегодника. Требуется вычислить: азимут направления на земной предмет Азп, долготу пункта . Порядок выполнения работы 1. Обработка журнала наблюдений. В журнале приведены дата наблюдения, поправка часов U, определенная по радиосигналам точного времени, а также результаты наблюдений в одном приеме, при “круге лево” (КЛ) и “круге право” (КП): моменты наблюдения Солнца T, отсчеты по вертикальному (ВК) и горизонтальному (ГК) кругам при наведении на Солнце, отсчеты по горизонтальному кругу направления на земной предмет. Вычисляются следующие величины: - средний момент наблюдения по декретному времени Dn = Тср + U = (Т1 + Т2 + Т3 + Т4)/4 + U; - момент наблюдения по Всемирному времени UT = Dn – (n + k), где n – номер часового пояса; k – поправка за зимнее/летнее время; - средняя высота Солнца в приеме, исправленная за рефракцию и суточный параллакс P h = h   + Pcosh, где измеренная высота Солнца h определяется по отсчетам вертикального круга h = [КЛ1 + КЛ2 + (180 – КП1) + (180 – КП2)]/4, рефракция вычисляется по формуле 60.2/tg h, значение суточного параллакса Солнца выбирается из таблицы “Солнце” Астрономического ежегодника; для приближенных определений можно принять P = 8.8; - средний горизонтальный угол между направлениями на Солнце и земной предмет Q = (QL + QR)/2, где QL,R = ML,R – (M*1 L,R + M*2 L,R)/2; ML,R – отсчеты по горизонтальному кругу направлений на земной предмет при КЛ и КП; M*1 L,R, M*2 L,R – отсчеты по горизонтальному кругу направлений на Солнце при КЛ и КП. Итак, в результате обработки журнала находятся три величины: UT – момент наблюдения по Всемирному времени, h – средняя высота Солнца в приеме, Q – средний горизонтальный угол между направлениями на Солнце и земной предмет. 2. Интерполирование координат Солнца на момент наблюдения UT. Выполняется в порядке, описанном в практической работе “Системы измерения времени”. В результате на момент наблюдения вычисляются: - склонение Солнца ; - уравнение времени Е. 3. Вычисление азимута и часового угла Солнца. Рабочие формулы: cos A = (sin sin h – sin )/cos  cos h; cos t = (sin h – sin  sin )/cos cos . Для вечерних наблюдений Солнца (после полудня) А = A, t = t; для утренних наблюдений A = 360о – A, t = 360о – t. Контроль вычислений производится по теореме синусов (см. практическую работу “Решение параллактического треугольника”): cos h/sin t = cos /sin A. Равенство должно соблюдаться с точностью 10-7. 4. Вычисление азимута направления на земной предмет и долготы: Азп = А + Q, = m – UT = (t – E) – UT. Долгота пункта  определяется в часовой мере. Часовой угол Солнца t должен быть переведен из градусной меры в часовую. Варианты задания Вариант 1 Пункт: СГГА Дата: 24.06.2003 Поправка часов: U = +20s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 188 03 45 ┐ 11 09 51 48 36 50 192 00 48 └ 11 12 32 49 33 36 193 52 52 КП ┐ 11 18 45 130 18 28 14 59 40 └ 11 20 03 129 31 29 16 29 19 Земной предмет 8 02 49 Вариант 2 Пункт: СГГА Дата: 24.06.2003 Поправка часов: U = +20s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КП Земной предмет 8 02 49 ┐ 11 27 12 129 14 36 17 01 15 └ 11 32 54 127 48 50 20 04 46 КЛ ┐ 11 38 19 51 48 28 200 35 41 └ 11 41 55 52 18 14 203 20 10 Земной предмет 188 02 46 Вариант 3 Пункт: СГГА Дата: 25.06.2003 Поправка часов: U = +15s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 217 43 44 ┐ 10 00 49 39 54 28 203 35 50 └ 10 01 34 40 41 26 204 43 29 КП ┐ 10 04 47 139 33 36 24 33 46 └ 10 07 35 138 11 50 26 10 17 Земной предмет 37 42 42 Вариант 4 Пункт: СГГА Дата: 25.06.2003 Поправка часов: U = +15s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 216 27 10 ┐ 11 19 58 50 20 04 225 30 52 └ 11 25 04 51 06 29 228 29 17 КП ┐ 11 28 51 129 09 37 48 17 40 └ 11 31 00 128 17 44 48 47 26 Земной предмет 36 27 45 Вариант 5 Пункт: СГГА Дата: 25.06.2003 Поправка часов: U = +15s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КП Земной предмет 271 51 25 ┐ 15 10 03 126 41 55 10 43 05 └ 15 13 47 126 41 28 12 52 45 КЛ ┐ 15 17 29 52 15 39 193 01 04 └ 15 21 32 52 20 28 195 14 40 Земной предмет 91 50 21 Вариант 6 Пункт: СГГА Дата: 25.06.2003 Поправка часов: U = +15s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 91 50 08 ┐ 15 27 29 51 24 28 196 45 38 └ 15 29 39 51 24 36 198 17 32 КП ┐ 15 31 13 128 47 37 17 43 59 └ 15 33 11 128 38 33 19 23 47 Земной предмет 271 50 30 Вариант 7 Пункт: СГГА Дата: 26.06.2003 Поправка часов: U = +47s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 217 42 49 ┐ 10 15 51 42 20 10 208 05 22 └ 10 18 51 42 04 49 207 33 45 КП ┐ 10 21 19 136 39 45 29 37 52 └ 10 23 39 136 55 26 29 03 07 Земной предмет 37 42 10 Вариант 8 Пункт: СГГА Дата: 26.06.2003 Поправка часов: U = +47s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КП Земной предмет 37 43 48 ┐ 10 39 45 134 00 34 34 23 13 └ 10 41 38 134 03 24 34 19 48 КЛ ┐ 10 46 09 46 35 44 215 53 39 └ 10 48 19 46 04 11 215 54 16 Земной предмет 217 42 52 Вариант 9 Пункт: СГГА Дата: 26.06.2003 Поправка часов: U = +47s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 217 42 36 ┐ 10 51 53 47 21 46 218 27 58 └ 10 59 02 47 18 13 219 23 36 КП ┐ 11 04 33 131 32 33 41 45 28 └ 11 06 13 131 45 24 42 00 06 Земной предмет 37 42 28 Вариант 10 Пункт: СГГА Дата: 25.06.2003 Поправка часов: U = +03s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 334 03 28 ┐ 10 42 04 45 24 46 10 12 01 └ 10 45 32 46 22 00 12 04 30 КП ┐ 10 49 07 133 41 49 192 17 50 └ 10 52 31 132 45 02 194 00 20 Земной предмет 154 03 30 Вариант 11 Пункт: СГГА Дата: 25.06.2003 Поправка часов: U = +03s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 334 03 02 ┐ 11 23 51 50 22 01 22 39 07 └ 11 26 26 51 08 54 24 19 01 КП ┐ 11 29 53 128 58 48 204 33 19 └ 11 32 16 128 12 36 206 10 09 Земной предмет 154 02 57 Вариант 12 Пункт: СГГА Дата: 25.06.2003 Поправка часов: U = +03 s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 334 04 34 ┐ 15 10 16 53 10 41 112 32 50 └ 15 12 53 53 27 42 114 20 44 КП ┐ 15 16 08 127 23 19 294 34 02 └ 15 18 41 127 06 16 296 17 49 Земной предмет 154 04 09 Вариант 13 Пункт: СГГА Дата: 25.06.2003 Поправка часов: U = +03s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 334 03 12 ┐ 11 02 42 47 55 41 16 10 59 └ 11 05 39 48 48 40 17 51 01 КП ┐ 11 09 01 131 17 43 198 03 22 └ 11 11 24 130 30 09 199 64 14 Земной предмет 154 02 30 Вариант 14 Пункт: СГГА Дата: 25.06.2003 Поправка часов: U = +03s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 334 03 40 ┐ 11 40 54 52 08 19 28 53 40 └ 11 43 14 53 11 11 29 62 30 КП ┐ 11 46 20 127 18 09 210 03 00 └ 11 48 45 126 43 10 211 43 20 Земной предмет 154 02 40 Вариант 15 Пункт: СГГА Дата: 25.06.2003 Поправка часов: U = +03 s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 334 04 20 ┐ 15 30 46 51 09 58 119 31 01 └ 15 33 44 51 22 52 121 19 23 КП ┐ 15 38 40 129 42 30 302 03 09 └ 15 41 06 129 26 40 303 38 18 Земной предмет 154 03 52 Вариант 16 Пункт: СГГА Дата: 28.06.2004 Поправка часов: U = +05s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КП Земной предмет 212 51 32 ┐ 18 46 30 155 00 05 46 37 05 └ 18 48 05 154 41 25 47 30 49 КЛ ┐ 18 49 49 24 36 19 227 18 15 └ 18 50 33 25 02 00 228 01 50 Земной предмет 32 51 54 Вариант 17 Пункт: СГГА Дата: 28.06.2004 Поправка часов: U = +05s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 32 51 39 ┐ 18 55 34 23 38 40 228 37 35 └ 18 56 25 24 03 13 229 22 20 КП ┐ 18 58 17 156 50 04 49 07 43 └ 18 59 45 156 30 41 50 00 05 Земной предмет 212 51 34 Вариант 18 Пункт: СГГА Дата: 28.06.2004 Поправка часов: U = +05 s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 32 51 53 ┐ 18 06 50 30 44 28 218 33 51 └ 18 08 15 31 05 29 219 28 54 КП ┐ 18 10 44 149 53 50 39 20 12 └ 18 13 00 149 41 23 40 25 20 Земной предмет 212 51 33 Вариант 19 Пункт: СГГА Дата: 28.06.2004 Поправка часов: U = +05s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КП Земной предмет 212 51 00 ┐ 18 29 24 152 34 39 43 11 01 └ 18 30 32 152 12 19 44 21 00 КЛ 43 11 01 18 32 03 27 09 09 223 44 42 44 21 00 18 33 25 27 28 19 224 37 17 Земной предмет 32 51 42 Вариант 20 Пункт: СГГА Дата: 28.06.2004 Поправка часов: U = +05s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 32 51 38 ┐ 18 39 10 26 07 31 225 10 34 └ 18 40 00 26 32 38 225 55 11 КП ┐ 18 41 38 154 19 20 45 39 00 └ 18 42 22 153 53 32 46 22 50 Земной предмет 212 51 30 Вариант 21 Пункт: СГГА Дата: 22.06.2004 Поправка часов: U = +05 s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 219 38 41 ┐ 17 09 07 38 52 28 32 54 25 └ 17 11 59 39 09 01 34 02 08 КП ┐ 17 12 49 141 44 51 213 46 39 └ 17 14 08 141 23 28 214 45 55 Земной предмет 39 38 05 Вариант 22 Пункт: СГГА Дата: 22.06.2004 Поправка часов: U = +05 s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 330 44 12 ┐ 18 06 17 30 48 198 156 42 08 └ 18 07 34 31 09 12 157 34 41 КП ┐ 18 09 02 149 42 00 337 15 18 └ 18 10 26 149 22 32 338 09 35 Земной предмет 150 43 58 Вариант 23 Пункт: СГГА Дата: 22.06.2004 Поправка часов: U = +05 s Объект наблюдений Время Т, h m s Вертикальный круг,    Горизонтальный круг,    КЛ Земной предмет 30 50 06 ┐ 18 17 11 29 06 15 219 16 39 └ 18 19 18 29 18 09 220 06 54 КП ┐ 18 21 22 151 18 00 39 54 10 └ 18 23 46 151 08 52 40 47 41 Земной предмет 210 50 51 Задание 9 Определение широты по измеренным зенитным расстояниям Солнца Дано: долгота пункта , результаты наблюдений Солнца в одном приеме, приведенные в варианте задания, таблица “Солнце” Астрономического ежегодника. Требуется вычислить: широту пункта . Порядок выполнения работы 1. Обработка журнала наблюдений. В журнале приведены дата наблюдения, поправка часов U, определенная по радиосигналам точного времени, а также результаты наблюдений в одном приеме, при “круге лево“ (КЛ) и “круге право“ (КП): моменты наблюдения Солнца T, отсчеты по вертикальному кругу (ВК) при двух наведениях на Солнце. Вычисляются следующие величины: - средний момент наблюдения по декретному времени Dn = Тср + U = (Т1 + Т2 + Т3 + Т4)/4 + U; - момент наблюдения по Всемирному времени UT = Dn – (n + k), где n – номер часового пояса; k – поправка за зимнее/летнее время; - средняя высота Солнца в приеме, исправленная за рефракцию и суточный параллакс P h = h   + Pcosh, где измеренная высота Солнца h определяется по отсчетам вертикального круга h = [КЛ1 + КЛ2 + (180 – КП1) + (180 – КП2)]/4, рефракция вычисляется по формуле 60.2/tg h, значение суточного параллакса Солнца выбирается из таблицы “Солнце” Астрономического ежегодника; для приближенных определений можно принять P = 8.8. 2. Интерполирование координат Солнца на момент наблюдения UT. Выполняется в порядке, описанном в практической работе “Системы измерения времени”. В результате на момент наблюдения вычисляются: - склонение Солнца ; - уравнение времени Е. 3. Вычисление широты. Порядок вычислений: среднее солнечное время m = UT + , часовой угол Солнца t = m + E, перевод часового угла в градусную меру, вспомогательные величины M и N tgM = tg /cos t, cosN = sin h sin M/sin , широта пункта = M + N. Варианты задания Вариант 1 Пункт: СГГА Дата: 24.06.2003 Поправка часов: U = +3s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 39 52 58 07 08 II 13 42 06 58 37 39 КП III 13 45 37 121 56 14 IV 13 48 07 121 27 50 Вариант 2 Пункт: СГГА Дата: 24.06.2003 Поправка часов: U = +3s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 14 18 45 56 55 52 II 14 21 10 57 20 21 КП III 14 25 28 123 25 51 IV 14 27 17 123 00 12 Вариант 3 Пункт: СГГА Дата: 24.06.2003 Поправка часов: U = +3s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 14 50 06 55 11 48 II 14 52 14 55 32 47 КП III 14 55 07 125 29 22 IV 14 56 54 125 06 42 Вариант 4 Пункт: СГГА Дата: 24.06.2003 Поправка часов: U = +3s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 54 11 57 52 20 II 13 57 46 58 17 58 КП III 14 05 15 122 45 28 IV 14 09 01 122 22 52 Вариант 5 Пункт: СГГА Дата: 24.06.2003 Поправка часов: U = +3s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 14 31 08 56 13 49 II 14 32 34 56 40 30 КП III 14 35 28 124 19 29 IV 14 38 21 123 59 25 Вариант 6 Пункт: СГГА Дата: 24.06.2003 Поправка часов: U = +3s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 15 02 25 53 52 42 II 15 04 09 54 15 49 КП III 15 11 32 126 55 40 IV 15 12 52 126 32 04 Вариант 7 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +13s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 12 53 19 58 30 30 II 12 55 50 58 50 36 КП III 13 02 35 122 10 22 IV 13 05 04 121 40 53 Вариант 8 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +13s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КП I 13 07 56 122 07 01 II 13 09 18 121 33 11 КЛ III 13 11 40 58 28 03 IV 13 14 00 58 50 44 Вариант 9 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +13s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 16 10 58 02 58 II 13 18 47 58 36 20 КП III 13 21 06 121 51 13 IV 13 22 25 121 19 33 Вариант 10 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +13s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КП I 13 25 00 121 50 04 II 13 26 15 121 16 52 КЛ III 13 27 12 58 11 20 IV 13 30 35 58 42 15 Вариант 11 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +13s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 35 07 58 10 36 II 13 35 56 58 44 40 КП III 13 37 21 121 50 41 IV 13 39 29 121 18 40 Вариант 12 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +13s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КП I 13 40 38 121 51 01 II 13 41 53 121 19 31 КЛ III 13 43 27 58 06 06 IV 13 45 35 58 35 00 Вариант 13 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +13s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 46 08 58 04 02 II 13 47 55 58 33 11 КП III 13 48 13 121 57 25 IV 13 50 46 121 29 00 Вариант 14 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +13s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КП I 13 51 19 122 02 50 II 13 52 12 121 31 22 КЛ III 13 53 50 57 53 20 IV 13 54 40 58 24 10 Вариант 15 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +13s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 55 30 57 52 00 II 13 56 40 58 20 11 КП III 13 58 13 121 54 02 IV 13 59 08 121 41 30 Вариант 16 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +10s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 12 40 58 01 49 II 13 15 21 58 35 21 КП III 13 21 44 121 53 19 IV 13 22 23 121 20 20 Вариант 17 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +10s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 24 57 58 09 55 II 13 25 49 58 41 51 КП III 13 26 15 121 51 20 IV 13 27 35 120 59 08 Вариант 18 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +10s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 29 26 58 10 54 II 13 30 54 58 52 21 КП III 13 32 25 121 50 29 IV 13 33 30 120 19 39 Вариант 19 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +10s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 48 58 58 00 12 II 13 50 59 58 20 25 КП III 13 39 52 121 14 52 IV 13 43 36 120 54 47 Вариант 20 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +10s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КП I 13 53 51 122 08 20 II 13 54 59 121 37 41 КЛ III 13 58 16 57 29 57 IV 13 59 30 57 57 55 Вариант 21 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +10s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КП I 14 01 40 122 04 11 II 14 02 11 121 52 45 КЛ III 14 06 26 57 44 22 IV 14 07 02 57 58 20 Вариант 22 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +3s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 08 38 57 56 20 II 13 09 25 58 29 25 КП III 13 10 59 122 04 39 IV 13 11 33 121 32 20 Вариант 23 Пункт: СГГА Дата: 23.06.2004 Поправка часов: U = +3s Наведение на Солнце Время Т, h m s Вертикальный круг,    КЛ I 13 15 51 58 05 02 II 13 16 20 58 37 36 КП III 13 17 30 121 57 42 IV 13 17 58 121 25 40 Приложение 4 Контрольная работа № 1 для студентов заочного факультета 1. Для заданного пункта на дату наблюдения вычислить горизонтальные координаты звезды на момент декретного времени с контролем вычислений. Выполнить рисунок параллактического треугольника. 2. На чертежах горизонтальной и первой экваториальной систем координат показать положение звезды с координатами, вычисленными в п. 1. На чертеже экваториальной системы координат показать положение точки весеннего равноденствия . 3. Вычислить горизонтальные координаты и декретное время на момент верхней и нижней кульминации звезды. 4. Определить, к какому виду суточного движения относится звезда. Сделать чертеж суточной параллели звезды. Варианты: N K Экваториальные координаты Географические координаты Дата Декретное время     d Dn 1 – 31 N 5h (K)m (20+K)s (20+K)о (K) 25 (10+K)о (10+K) 40 3h (15+K)m (K)s (K) июля 7h (K)m (K)s 32 – 62 N – 31 9h (K)m (10+K)s (-20-K)о (K) 25 (20+K)о (10+K) 40 5h (K)m (K)s (K) декабря 12h (20+K)m (K)s 63 – 92 N –62 14h (K)m (20+K)s (30K)о (K) 25 (30+K)о (10+K) 40 7h (20+K)m (K)s (K) апреля 2h (K)m (K)s 93 – 100 N – 92 20h (K)m (10+K)s (60+K)о (K) 25 (40+K)о (10+K) 40 9h (K)m (K)s (K) февраля 18h (20+K)m (K)s Примечания к вариантам: N – последние две цифры номера зачетной книжки. Пример выбора исходных данных. Если N = 70, то К = N – 62 = 8. Из таблицы получаем:  = 14h (K)m (20 + K)s= 14h 8m 28s;  = (30  K)о (K) 25 = 22о 8 25;  = (30 + K)о (10 + K) 40 = 38о 18 40;  = 7h (20 + K)m (K)s = 7h 28m 8s; d = (K) апреля = 8 апреля; Dn = 2h (K)m (K)s = 2h 8m 8s. Пример выполнения работы Дано: экваториальные координаты звезды:  = 2h 10m 52s – прямое восхождение;  = 32о 46 55 – склонение; географические координаты пункта:  = 3h 56m 35s – долгота;  = 54о 59 25 – широта; дата наблюдения d = 7 июля; декретное время Dn = 13h 16m 15s. Порядок вычислений Все вычисления выполняются в схемах по образцу, с точностью 10-8. При вычислениях времени и часового угла учесть, что время в любой системе принимает значения от 0h до 24h. Для вычислений тригонометрических функций часовой угол нужно перевести в градусы по формуле tо = 15th. Задача 1 1. Переход от декретного времени Dn к местному звездному s. См. раздел 1.2 ”Системы измерения времени”. Всемирное время: UT = Dn – (n + k), где k = 1h для зимнего времени (с 1.11 по 31.03); k = 2h для летнего времени (с 1.04 по 31.10); n – номер часового пояса (определяется по долготе). Для рассматриваемого примера k = 2, n = 4. Звездное время на меридиане Гринвича S = S0 + UT + UT, где S0 – звездное время в полночь на Гринвиче, выписывается на дату наблюдения из таблицы “Звездное время” (см. прил. 1),  = 0.0027379093. На дату рассматриваемого варианта, 7 июля, S0 = 19h 01m 11.4957s. Местное звездное время: s = S + . Схема вычисления Элементы рабочих формул Значения Dn 13h 16m 15s -(n + k) 6 UT 7h 16m 15s +UT 1m11.7 s +S0 19h 01m 11.5 s S 26 h 18 m 38 .2 s =2 h 18 m 38.2 s + 3h 56m 35s s 6 h 15 m 13.2 s 2. Решение параллактического треугольника – вычисление горизонтальных координат звезды (азимута A и зенитного расстояния z) на момент s. См. раздел 1.1.5. Рабочие формулы: t = s – , cos z = sin sin + cos cos cos t, сtg A = sin  ctg t – tg  cos  cosec t. Схема вычисления Элементы раб. формул Значения Элементы раб. формул Значения s 6 h 15 m 13.2 s sin  0,81905470  2h 10m 52s tg t 1,81062538 th 4 h 04 m 21.2 s sin  tg t 0,45236011 tо = 15  th 61,08833333 tg  0,64401010 sin 0,81905470 cos 0,57371542 sin 0,5414433 sint 0,87536610 sin sin 0,44347168 tg  cos  sint 0,42208457 cos 0,57371542 сtg A 0,030275541 cos 0,84073727 tg A = 1/ сtg A 33,02996312 cos t 0,48346064 A = |arсtg A| 88,26586899 cos cos cos t 0,23319431 AWE 88о1557,1 cos z 0,67666599 z 47о24 58,8 Азимут звезды может быть от 0о до 360о. Из вычислений определяется румб – острый положительный угол A = |arсtg A|, 0о < A < 90о. Далее определяется четверть кругового азимута AWE по следующему алгоритму: Если звезда находится в западной половине небесной сферы, то есть 0h < t < 12h: если сtg A > 0, то AWE = A, если сtg A < 0, то AWE = 180о – A. Если звезда находится в восточной половине небесной сферы, то есть 12 < t < 24: если сtg A > 0, то AWE = 180о + A, если сtg A < 0, то AWE = 360о – A. Контроль вычислений по теореме синусов. Равенство должно совпадать до 7 значащих цифр. sinz/sint = cos /sinA. Схема вычисления Элементы раб. формул Значения Элементы раб. формул Значения sinz 0,73629012 cos 0,84073727 sint 0,87536610 sinA 0,99954201 sinz/sint 0,84112249 cos /sinA 0,84112249 3. Рисунок параллактического треугольника выполняется самостоятельно. См. раздел 1.1.5. Задача 2. См. раздел 1.1.3 “Системы сферических кординат” Горизонтальная система координат Экваториальная система координат А  88о16 Z  47о25 t  4 h04 m   32о47 t= s  6 h15 m Задача 3 1. Вычисление горизонтальных координат и местного звездного времени для верхней и нижней кульминации звезды. Раздел 1.1.6. Верхняя кульминация (ВК): s = , a) светило кульминирует к югу от зенита (-90о <  < ), А = 0о, z = ; б) светило кульминирует к северу от зенита (90о >  >  А = 180о, z = . Нижняя кульминация (НК): s =  ± 12h, а) светило кульминирует к северу от надира (90о >  > ), А = 180о, z = 180о – (; б) светило кульминирует к югу от надира, (-90о <  < ), А = 0о, z = 180о + (. Результаты вычислений заносятся в таблицу: Верхняя кульминация Нижняя кульминация s A Z s A Z 2h 10m 52s 0о 22о 12 30 14h 10m 52s 180о 92о 13 40 2. Переход от местного звездного времени к декретному. Раздел 1.2 ”Системы измерения времени”. Звездное время в местную полночь: s0 = S0  , Местное среднее солнечное время: m = (s – s0) – (s – s0), где  = 0.0027304336. Всемирное время: UT = m – . Декретное время: Dn = UT + (n + k). Схема вычисления Верхняя кульминация Нижняя кульминация Элементы рабочих формул Значения Значения S 0 19h 01m 11.5 s  39s s0 19h 00m 32.5 s s 2h 10m 52s +24h 14h 10m 52s +24h s0 19h 00m 32.5 s 19h 00m 32.5 s (s  s0) 7 h 10 m 19.5 s 19 h 10 m 19.5 s (s  s0) 1 m 10,5 s 3 m 08.5 s m 7 h 09m 09.0 s 19 h 07 m 11.0 s  3h 56m 35s 3h 56m 35s UT 3 h 12m 34 s 15 h 10 m 36 s +(n + k) 6 6 Dn 9 h 12m 34 s 21 h 10 m 36 s Задача 4 См. раздел 1.1.6 “Видимое суточное движение небесной сферы”. Для выполнения рисунка суточной параллели отмечается положение оси мира PNPS и небесного экватора QQ с помощью транспортира. Затем отмечается склонение  и проводится суточная параллель параллельно небесному экватору. Вывод: звезда по виду суточного движения является восходящей и заходящей, так как выполняется условие (90  )    (90  ), или, с численными значениями, 35о 00 35  32о 46 55  35о 00 35. Кроме того, звезда пересекает первый вертикал, так как выполняется условие     , или 54о 59 25  32о 46 55  54о 59 25. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Абалакин, В.К. Геодезическая астрономия и астрометрия [Текст]: справ. пособие / В.К. Абалакин, И.И. Краснорылов, Ю.В. Плахов. – М.: Картоцентр – Геодезиздат, 1996. – 435 с. 2. Астрономический ежегодник [Текст]: Наука, 1998. – 692 с. 3. Руководство по астрономическим определениям [Текст]. – М.: Недра, 1984. – 381 c. 4. Плахов, Ю.В. Геодезическая астрономия. Ч. I. Сферическая астрономия [Текст] / Ю.В. Плахов, И.И. Каснорылов. – М.: Картоцентр – Геодезиздат, 2000. – 390 с. 5. Уралов, С.С. Курс геодезической астрономии [Текст] / С.С. Уралов. – М.: Недра, 1980. – 592 c. 6. Халхунов, В.З. Сферическая астрономия [Текст] / В.З. Халхунов. – М.: Недра, 1972. – 304 c. 7. IERS Technical Note N.32.IERS Conventions (2003) / D.D. McCarthy and G. Petit (eds.) – Англ. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: ftp://maia.usno.navy.mil/conv2000/ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 3 1. Сферическая астрономия 5 1.1. Системы координат, используемые в геодезической астрономии 5 1.1.1. Вспомогательная небесная сфера 5 1.1.2. Основные круги, точки и линии вспомогательной небесной сферы 6 1.1.3. Системы сферических координат 8 1.1.4. Географические координаты точек на поверхнсти Земли 11 1.1.5. Связь между различными системами координат 12 1.1.6. Видимое суточное вращение небесной сферы 14 1.1.7. Эфемерида Полярной звезды 18 1.2. Системы измерения времени 20 1.2.1. Общие положения 20 1.2.2. Система звездного времени 21 1.2.3. Системы истинного и среднего солнечного времени. Уравнение времени 21 1.2.4. Юлианские дни JD 23 1.2.5. Местное время на разных меридианах. Всемирное, поясное и декретное время 24 1.2.6. Связь между средним солнечным временем и звездным временем 25 1.2.7. Звездное время в среднюю полночь на различных меридианах 26 1.2.8. Переход от звездного времени к среднему и обратно 27 1.2.9. Неравномерность вращения Земли 27 1.2.10. Атомное время 28 1.2.11. Эфемеридное время 28 1.2.12. Динамическое и координатное время 29 1.2.13. Системы Всемирного времени. Всемирное координированное время 30 1.2.14. Время спутниковых навигационных систем 31 1.2.15. Интерполирование экваториальных координат Солнца из Астрономического ежегодника 31 1.3. Астрономические факторы 33 1.3.1. Общие положения 33 1.3.2. Факторы, связанные с изменением положения светила на небесной сфере 33 1.3.3. Астрономические факторы, связанные с изменением ориентировки координатных систем 44 1.3.4. Совместный учет астрономических факторов 51 1.3.5. Процедура вычисления видимых мест звезд 53 2. Геодезическая астрономия 55 2.1. Предмет и задачи геодезической астрономии 55 2.2. Элементы общей теории способов астрономических определений 57 2.2.1. Общие принципы определения географических координат и азимутов направлений из наблюдений светил 57 2.2.2. Зенитальные способы астрономических определений 59 2.2.3. Выгоднейшие условия определения времени и широты по измеренным зенитным расстояниям светил 60 2.2.4. Азимутальные способы астрономических определений 61 2.2.5. Выгоднейшие условия определения азимута, времени и широты по измеренным горизонтальным направлениям светил 63 2.3. Особенности наблюдения светил в геодезической астрономии 64 2.3.1. Методы визирования светил 64 2.3.2. Особенности измерения зенитных расстояний светил 65 2.3.3. Поправки в измеренные зенитные расстояния 66 2.3.4. Особенности измерения горизонтальных направлений 68 2.4. Понятие о точных способах астрономических определений 71 2.4.1. Определение широты по измеренным малым разностям зенитных расстояний пар звезд в меридиане (способ Талькотта) 71 2.4.2. Определение долготы из наблюдений пар звезд на равных высотах (способ Цингера) 72 2.5. Приближенные способы астрономических определений 72 2.5.1. Приближенные определения азимута земного предмета по наблюдениям Полярной 72 2.5.2. Приближенные определения широты по наблюдениям Полярной 73 2.5.3. Приближенные определения долготы и азимута по измеренным зенитным расстояниям Солнца 74 2.5.4. Приближенные определения широты по измеренным зенитным расстояниям Солнца 76 2.6. Астрономическая ориентировка в полете 76 2.6.1. Определение долготы и широты по высотам светил в произвольных азимутах 76 2.6.2. Элементы авиационной астрономии. Авиасекстант 79 Приложения Приложение 1. Основы сферической тригонометрии 83 Приложение 2. Звездное время в полночь на Гринвиче S0 2004 90 Приложение 3. Практические задания 92 Задание 1. Системы небесных координат 92 Задание 2. Решение параллактического треугольника 93 Задание 3. Суточное движение небесной сферы 96 Задание 4. Системы измерения времени 100 Задание 5. Астрономические факторы. Редукционные вычисления 103 Задание 6. Рабочая эфемерида Полярной 105 Задание 7. Определение азимута земного предмета и широты по наблюдениям Полярной 106 Задание 8. Определение азимута направления на земной предмет и долготы по измеренным зенитным расстояниям Солнца 113 Задание 9. Определение широты по измеренным зенитным расстояниям Солнца 121 Приложение 4. Контрольная работа № 1 для студентов заочного факультета 128 Список литературы 133 Учебное издание Гиенко Елена Геннадьевна Канушин Вадим Федорович Геодезическая астрономия Учебное пособие Редактор Е.К. Деханова Компьютерная верстка Л.Н. Шиловой Изд. лиц. ЛР № 020461 от 04.03.1997. Подписано в печать 20.01.2006. Формат 60  84 1/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 7,96. Уч.-изд. л. 9,45. Тираж 170 экз. Заказ . Цена договорная. Гигиеническое заключение № 54.НК.05.953.П.000147.12.02 от 10.12.2002. Редакционно-издательский отдел СГГА 630108, Новосибирск, ул. Плахотного, 10. Отпечатано в картопечатной лаборатории СГГА 630108, Новосибирск, ул. Плахотного, 8.