Основы регрессионного анализа

Раздел 1. Основы регрессионного анализа 1.1. Предмет и цель исследований эконометрики. Основные понятия 1.1.1. Сущность и история возникновения эконометрики Эконометрика – это отрасль экономической науки, целью которой является количественное описание экономических отношений. Таким образом, эконометрика дополняет имеющуюся теорию, используя реальные данные для проверки и уточнения постулируемых отношений. Если априорно выведен какой-то экономический закон, то с помощью эконометрических методов его можно эмпирически проанализировать и доказать. Эконометрика возникла на стыке трех дисциплин: экономической теории, методов математического анализа и математической статистики. Задача эконометрики состоит в том, чтобы с помощью статистики найти выражения тех закономерностей, которые экономическая теория и математическая экономика определяют в общем. В эконометрике оперируют конкретными экономическими данными и количественно описывают конкретные взаимосвязи, т.е. коэффициенты, представленные в общем виде в этих взаимосвязях, заменяют конкретными численными значениями. Если обратиться к истории, то можно увидеть, что от зарождения до выделения в самостоятельную область знания эконометрика прошла длинный путь. Одним из первых количественных законов стал закон Кинга (Г.Кинг, 1648-1712), в котором выяснялись закономерности спроса на основе соотношений между урожаем зерновых и ценами на зерно. Впервые парную корреляцию начали применять на рубеже XIX и XX веков (Дж.Юл, 1895, 1896; Г.Хукер, 1901) при изучении показателей благосостояния. Первой книгой, которую можно назвать эконометрической, была книга американского ученого Г.Мура «Законы заработной платы: эссе по статистической экономике» (1911). В конце 1930 года в США было создано первое международное эконометрическое общество. С 1933 года начал издаваться журнал «Econometrica». В 1941 году появился первый учебник по эконометрике, автором которого был Я.Тинберген. 1.1.2. Основные понятия эконометрики Эконометрическая модель, как правило; основана на теоретическом предположении о круге взаимосвязанных переменных и характере связи между ними. При стремлении к «наилучшему» описанию связей приоритет отдается качественному анализу. В связи с этим можно выделить следующие этапы эконометрического исследования: 1) постановка задачи; 2) получение данных, анализ их качества; 3) разработка теоретической модели, спецификация модели; 4) оценка параметров; 5) апробация и интерпретация результатов; 6) сопровождение модели. Основной базой данных для эконометрических исследований служат данные официальной статистики либо бухгалтерского учета. Таким образом, проблемы экономического измерения - это проблемы статистики и учета. Используя экономическую теорию, можно определить связь между признаками и показателями, а применяя статистику и учет, можно ответить на вопросы, связанные с конкретными значениями экономических показателей. При моделировании экономических процессов используются два типа данных: 1) пространственные; 2) временные. Пространственными данными является набор сведений по разным объектам, взятым за один и тот же период или момент времени (статическая взаимосвязь). Примерами таких данных могут служить набор сведений по разным фирмам (объем производства, численнocть работников, размер основных производственных фондов, доход за определенный период и т.д.), данные об объеме, ценах потребления некоторого товара по потребителям. Временными данными является набор сведений, характеризующих один и тот же объект, но в разные периоды или моменты времени (динамическая взаимосвязь). Примером таких данных могут служить ежемесячные или ежеквартальные данные о средней заработной плате, индексе потребительских цен, объеме выпуска либо ежедневном курсе доллара или евро на бирже. Отличительная особенность временных данных заключается в том, что они естественным образом упорядочены по времени, кроме того, наблюдения в близкие моменты времени могут быть зависимы. Набор сведений представляет собой множество признаков, характеризующих объект исследования. Признаки являются взаимосвязанными, причем в этой взаимосвязи они могут выступать в одной из двух ролей: 1) в качестве результативного признака (аналог зависимой переменной у в математике); 2) факторного признака, значения которого определяют значения признака-результата (аналог независимой переменной x в математике). В эконометрической модели результативный признак называют объясняемой переменной, а факторный признак - объясняющей переменной. Переменные, участвующие в эконометрической модели любого типа, разделяются на следующие виды: • экзогенные или независимые (x), значения которых задаются извне, т.е. автономно, в определенной степени они являются управляемыми (планируемыми); • эндогенные или зависимые (у), значения которых определяются внутри модели, или взаимозависимые; • лаговые - экзогенные или эндогенные переменные эконометрической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Так, yt - .текущая эндогенная переменная, a yt-1 , yt-2 - лаговые эндогенные переменные; • предопределенные переменные. К ним относятся текущие (xt) и лаговые экзогенные·переменные (xt , xt-1), а также лаговые эндогенные переменные (yt-1 , yt-2.). 1.1.3. Эконометрические модели Любая эконометрическая модель предназначена для объяснения значений текущих эндогенных переменных (одной или нескольких) в зависимости от значений предопределенных переменных. Как отмечалось ранее, основным инструментом эконометрических исследований является эконометрическая модель. Математические модели широко применяются в бизнесе, экономике, общественных науках и даже в политике. Их удобно использовать для более полного понимания сущности происходящих процессов, анализа данных, прогнозирования и т.д. Можно выделить три класса моделей, используемых в эконометрике. 1. Регрессионная модель с одним уравнением. В таких моделях результативный признак (зависимая, или объясняемая переменная) представляется в виде функции факторных признаков (независимых, или объясняющих переменных): f(x, β) = f(x1 ,…, xk , β1 ,…, βp), где x1 ,…, xk – факторные признаки; β1 ,…, βp -параметры при этих факторах. В зависимости от количества факторных признаков различают парную и множественную регрессию, кроме того, в зависимости от вида функции, объясняющей связь переменных, модели подразделяются на линейные и нелинейные. 2. Модель временных рядов. В таких моделях результативный признак является функцией переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени. К моделям, представляющим собой зависимость результативного признака от времени, относятся следующие: а) модель тренда (тренд представляет собой устойчивое изменение уровня показателя результативного признака в течение длительного времени) Y(t) == T(t) + Et , где T(t) - временной тренд заданного параметрического вида (например, линейный T(t) = а + bt); Et - случайная компонента; б) модель сезонности (ее характеризуют устойчивые внутригодовые колебания уровня показателя результативного признака) Y(t) = S(t) + Et , где S(t) - периодическая (сезонная) компонента; в) модель тренда и сезонности: аддитивная Y(t) = T(t) + S(t) + Et ; мультипликативная Y(t) = T(t)·S(t)·Et . К моделям временных данных, представляющих собой зависимость результативного признака от переменных, датированных другими моментами времени, относятся модели, объясняющие поведение этого признака в зависимости от: а) предыдущих значений факторных признаков (модели с распределенным лагом); б) предыдущих значений результативных признаков (модели авторегрессии); в) от будущих значений факторных или результативных признаков (модели ожидания). Общей чертой для всех моделей этого класса является то, что они объясняют поведение временного ряда только с помощью его предыдущих и будущих значений. Модели временных данных подразделяются также на модели, построенные по стационарным и нестационарным временным рядам. Стационарные временные ряды - это ряды, которые имеют постоянное среднее значение и колеблются вокруг него с постоянной дисперсией. Распределение показателей уровня ряда в них не зависит от времени, т.е. такой временной ряд не содержит трендовой или сезонной компоненты. В нестационарных временных рядах распределение уровня ряда зависит от переменной времени, т.е. ряд имеет трендовую или сезонную компоненту. 3. Системы одновременных уравнений. Модели такого вида описываются системами взаимосвязанных уравнений. Подобные системы обычно состоят из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может включать в себя не только объясняющие, но и объясняемые переменные из других уравнений системы. Таким образом, имеется набор объясняемых переменных, связанных через уравнения системы, которые могут быть либо тождествами, либо поведенческими. 1.1.4. Парная линейная регрессия Регрессионный анализ - это один из наиболее распространенных инструментов эконометрического анализа, который позволяет оценить связи между зависимой (объясняемой) и независимыми (объясняющими) переменными. Зависимую переменную иногда называют результативным признаком, а объясняющие переменные предикторами, регрессорами или факторами. Обозначим зависимую (объясняемую) переменную как y, а независимые (объясняющие) переменные как x1, x2, …….. , xk . Если k = 1 и есть только одна независимая переменная x1 (которую обозначим x ), то регрессия называется простой или парной. Если k = 2, 3, ….., то регрессия называется множественной. Определение вида модели, исходя из соответствующей теории связи между переменными, называется спецификацией модели. При изучении зависимости между двумя переменными достаточно наглядным является графический метод. Он основан на поле корреляции. Полем корреляции называется графическое изображение взаимосвязи между двумя переменными на координатной плоскости. Если пары переменных (xi, yi), (i=1,…,n) изображать в виде точек на плоскости, то можно получить представление о функциональной зависимости между ними. Начнем с построения простейшей модели парной регрессии y = a + bx + ε , (1.1) где y – зависимая переменная, состоящая из двух слагаемых: 1) неслучайной составляющей yx = a + bx (x – независимая переменная, a и b – постоянные числа – параметры уравнения); 2) и случайной составляющей ε. Существование отклонений от прямой регрессии, т.е. случайных составляющих ε, объясняется рядом причин, например: 1. Ошибки измерения. 2. Невключение объясняющих переменных. 3. Неправильный выбор вида зависимости в уравнении. 4. Отражение уравнением регрессии связи между агрегированными переменными.