Основы расчетов на прочность и жесткость элементов конструкций

Лекция 2 4. ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ Основы расчетов на прочность и жесткость элементов конструкций составляют часть науки о сопротивлении материалов. Сопротивление материалов – это наука о надежности и экономичности элементов конструкций, деталей машин, приборов и механизмов. Целью данного раздела является овладение методами анализа и расчета элементов конструкций, сопротивляющихся простейшим видам нагружения, которые обеспечат создание надежных и экономичных конструкций. Задачи раздела: а) экспериментальное изучение поведения материалов при различных силовых воздействиях и обоснование теоретических положений механики деформирования; б) изучение методов расчета, гарантирующих с заданным коэффициентом запаса, прочность и жесткость элементов конструкций при максимально возможной экономии материала. 4.1 Основные понятия и определения Обеспечить надежное сопротивление элемента или конструкции в целом - означает обеспечить их прочность, жесткость, устойчивость и выносливость. Прочность - способность тела сопротивляться внешним нагрузкам. Жесткость - способность тела сопротивляться изменению своих размеров и формы под воздействием внешних нагрузок. (В отличие от теоретической механики в сопротивлении материалов рассматриваются деформируемые тела, то есть тела, которые изменяют свои размеры и форму под нагрузкой). Устойчивость - способность тела под нагрузкой сохранять первоначальную форму устойчивого равновесия. Выносливость - способность материала сопротивляться переменным силовым воздействиям длительное время. Показателем надежности является коэффициент запаса n : n= pкр , (4.1) Pmax где Pкр - критическое (предельное) значение параметра (нагрузка, напряжение). Pmax - наибольшее значение данного параметра в рабочих условиях. Условие надежности имеет вид n ³ [n ] , (4.2) здесь [n] - допускаемое или нормируемое значение коэффициента запаса, которое назначают, исходя из практического опыта создания аналогичных конструкций, уровня техники. Для каждой области техники [n] имеет свои границы значений. Так, например, при проектировании стационарных долговременных сооружений [n] = 2...5, в авиационной технике [n] = 1,5...2. 4.1.1. Моделирование объекта исследования Объектом исследования, как было отмечено выше, является элемент конструкции, который может быть изготовлен из любого материала, отличаться большим многообразием формы, на него могут действовать различные нагрузки, а также, в зависимости от перечисленного, может быть и разным характер разрушения. Для того чтобы охватить отмеченное многообразие материалов, формы, условий нагружения и разрушения, необходимо их модельное представление, которое должно учитывать наиболее значимые и отбрасывать несущественные факторы. Учет всех факторов, конечно, невозможен из-за их неисчерпаемости, поэтому любая модель - это приближенное в той или иной степени представление объекта. Таким образом, моделирование необходимо, чтобы на его основе получить расчетные зависимости, справедливые для достаточно широкого диапазона изменения соответствующих факторов. Модель материала. Материал детали представляют однородной, сплошной изотропной средой. Это позволяет рассматривать тело как непрерывную среду и применять методы математического анализа. Однородность означает, что тело состоит из материала одной природы, при этом результаты исследования элемента объема можно распространить на все тело, и свойства поверхности можно считать тождественными свойствам внутренних объемов тела. Изотропия - независимость свойств материала от направления. Модель материала наделяется такими физическими свойствами, как упругость, пластичность, хрупкость и ползучесть. Упругость - способность тела восстанавливать первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки. Пластичность - способность тела сохранять значительные деформации (остаточные) после разгрузки. Хрупкость - способность тела разрушаться без образования заметных остаточных деформаций. Ползучесть - изменение во времени деформаций и напряжений при действии на тело постоянной внешней нагрузки. Отмеченные физические свойства зависят от условий окружающей среды (температуры, химического свойства, уровня радиации и др.). Модель формы. Для оценки прочности и жесткости элементов конструкций с целью упрощения расчетов вводят три типа формы тела: стержень; пластину (оболочку); массив. Стержень - тело, имеющее поперечные размеры, несоизмеримо малые с его длиной. Стержень может иметь прямолинейную или криволинейную ось, постоянные или переменные по длине размеры и форму сечения. Пластина (оболочка) - тело, имеющее размеры в двух направлениях, несоизмеримо большие, чем в третьем, и ограничивающиеся двумя плоскими (криволинейными) поверхностями. Массив - тело, имеющее размеры, соизмеримые в трех направлениях. Модели нагружения. Сила - это мера механического взаимодействия между телами. Силы подразделяются на внешние и внутренние. Внешние силы - нагрузки, действующие на тело при его взаимодействии с другими телами. Внутренние силы - силы взаимодействия между частями отдельного тела, оказывающие противодействие внешним силам, так как под влиянием внешних сил тело деформируется. Внутренние силы распределены в одних случаях по всей площади поперечного сечения тела равномерно, а в других - неравномерно. Если тело внешними силами не нагружено, то принимается, что внутренние силы отсутствуют. Модели разрушения. В зависимости от условий нагружения выделяют статическое и усталостное разрушение. 4.1.2. Внутренние силовые факторы. Метод сечений Внутренние силы определяют нагруженность элемента конструкции (детали), поэтому их необходимо уметь определять. Для этого используют метод сечений, который заключается в следующем. Рассмотрим тело произвольной формы, находящееся в равновесии под действием внешних сил F1, F2 ,..., Fn (рис. 4.1,а). Мысленно рассечем тело плоскостью на две части. Поскольку все тело находится в состоянии равновесия, то в равновесии будет находиться и каждая отсеченная часть. Рассмотрим, например, левую часть (рис. 4.1,б). Внешние силы, действующие на отсеченную часть, будут уравновешиваться внутренними, определяющими ее взаимодействие с отброшенной правой частью тела. (Внутренние силы между отсеченными частями также друг друга уравновешивают). По сечению внутренние силы распределены сложным образом, поэтому их приводят в центре тяжести сечения (точка О) к главному вектору сил Rв и к главному моменту M в (рис. 4.1,б). Внешние силы, действующие на рассматриваемую часть, тоже можно привести в той же точке О к главному вектору сил Rе и к главному моменту M е . Так как мысленно отсеченная часть тела находится в равновесии, то Rв = Rе , M в = M е . Также должны быть равны и их проекции на оси системы координат Оxyz, помещенной своим началом в точке О и ориентированной таким образом, что оси y и z лежат в плоскости сечения, а ось x направлена по нормали и сечению. Разложим в выбранной системе координат Оxyz главный вектор внутренних сил на проекции: N x , Qy , Qz , а главный момент внутренних сил – на M x , M y , M z (см. рис. 4.1,б). Эти составляющие называют внут- ренними силовыми факторами, причем, N x называют нормальной, или продольной, силой, Qy , Qz - поперечными силами, M x - крутящим моментом, а M z , M y - изгибающими моментами. Данные силовые факторы могут быть определены из условий равновесия рассматриваемой части тела: å X = 0 , åY = 0, å Z = 0; å mx = 0 , å m y = 0 , å mz = 0 . Так, например, N x будет равна сумме проекций внешних сил на ось х, а M x - сумме моментов внешних сил относительно оси х, действующих на рассматриваемую часть тела. 4.1.3. Напряжение Напряжение - это количественная мера интенсивности распределения внутренних сил по сечению, определяющая взаимодействие материальных частиц тела. Поэтому степень нагруженности детали определяют не внутренние силы, а напряжения. При достижении ими определенного уровня внутренние связи материальных частиц тела разрушаются. Однако для определения напряжений необходимо знать внутренние силовые факторы. Рассмотрим это подробнее. Пусть тело (рис. 4.2,а) нагружено произвольным образом. Мысленно рассечем его на две части. Выделим в окрестности произвольной точки сечения элементарную площадку с площадью D A (рис. 4.2,б). На этой площадке будет действовать равнодействующая внутренDR будет являться средним напряжених сил DR . Тогда отношение DA нием на выделенной площадке. Если размеры площадки уменьшать, то в пределе получим полное напряжение в выбранной точке сечения: DR p = lim . (4.3) DA®0 DA Практически удобнее рассчитывать не полное напряжение, а его составляющие. Поэтому разложим DR на нормальную DN и касательную DQ составляющие к площадке. Тогда DN σ = lim ; DA®0 DA (4.4) DQ τ = lim DA®0 DA будут называться соответственно нормальным и касательным напряжением в точке. При этом полное напряжение в точке может быть определено как p = s2 + t2 . (4.5) Напряжения в точке зависят от положения плоскости сечения, поэтому, говоря о напряжении, необходимо указывать ориентацию сечения, проходящего через рассматриваемую точку. Совокупность напряжений во всех сечениях, проходящих через рассматриваемую точку, определяет напряженное состояние в точке. Напряжение характеризуется знаком (направлением) и модулем. Нормальное напряжение считается положительным, если оно направлено от сечения (рис. 4.3,а). Касательное напряжение считается положительным, если для совмещения нормали к сечению с направлением напряжения ее необходимо повернуть по часовой стрелке (рис. 4.3,б). Размерность напряжения H = Па ( Паскаль) . м2 4.1.4. Перемещение и деформация Перемещение - это изменение положения в пространстве сечения или всего элемента конструкции. Перемещения подразделяются на линейные и угловые. На рис. 4.4 элемент ОА деформируется и перемещается, а AB - только перемещается. Так, для сечения B отрезок BB¢ - линейное перемещение, угол θ - угловое перемещение. Перемещения являются следствием деформации. Деформация - это геометрическое искажение в окрестности материальной точки. Деформация тоже подразделяется на линейную и угловую. Для определения деформации в точке В рассмотрим два малых отрезка АВ и ВС, выделенных в теле до его деформации и после нагружения (рис. 4.5). После приложения нагрузки отрезки изменяют свою длину и взаимный угол расположения. При этом DS ε BC = lim ; BC ®0 S 4.6) γ Ае = lim (< АВС - < А¢В¢С ¢) AB ®0, BC ®0 будут являться соответственно линейной и угловой (сдвиговой) деформацией в точке В. Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям для одной точки определяют деформированное состояние в точке. 4.1.5. Закон Гука Английский ученый Р. Гук в конце XVI века сформулировал закон, согласно которому деформации материала элемента в каж- дой точке (в определенных пределах) прямо пропорциональны напряжениям в этой же точке и в том же направлении (при нагружении и разгружении тела): σ = Eε, , (4.7) τ = Gγ, где Е, G - модуль нормальной упругости и модуль сдвига соответственно. Данный закон является основополагающим в расчетах на прочность и жесткость элементов конструкций. 4.1.6. Принцип независимости действия сил В условиях выполнения закона Гука и малости деформаций (в условиях упругого деформирования они не превышают 1,5 %) в расчетах используется принцип независимости действия нагрузок. Согласно этому принципу результат воздействия системы нагрузок равен сумме результатов воздействия каждой нагрузки в отдельности, то есть производимый эффект не зависит от порядка приложения внешних сил. 4.1.7. Виды нагружения При действии на элемент конструкции внешних сил в его поперечном сечении не всегда возникают все шесть внутренних силовых факторов. В зависимости от вида и количества силовых факторов в сечении выделяют следующие простейшие виды нагружения: растяжение-сжатие (присутствует только Nx ); кручение (Mx ); чистый изгиб (Mz или My); плоский поперечный изгиб (Qy, MZ или Qz, My ). На практике также имеют место и комбинированные виды нагружения (сложное сопротивление): изгиб при действии нагрузок в разных плоскостях; кручение с изгибом; кручение с растяжением (сжатием); изгиб с растяжением (сжатием) и кручением. Аналитические выражения, используемые в расчетах на прочность и жесткость элементов конструкций, зависят от вида нагружения. Поэтому целесообразно перейти к рассмотрению вопросов прочности и жесткости отдельно при каждом простейшем виде нагружения.