Основы расчетов на прочность и жесткость

Основы расчетов на прочность и жесткость Решение задач по определению прочностной надёжности деталей и конструкций основаны на методах сопротивления материалов. Основные понятия. Различные конструкции и детали машин в числе различных качеств должны обладать способностью сопротивляться разрушению под действием приложенных к ним внешних сил. Способность деталей и конструкций выдерживать заданные нагрузки без разрушения называется прочностью Изложение методов расчётов на прочность составляет первую задачу сопротивления материалов. При решении многих инженерных задач приходится определять деформации, т.е. изменение формы и размеров элементов конструкций, которые возникают при воздействии нагрузок. В природе нет абсолютно твердых, т.е. недеформируемых тел. Небольшие деформации не оказывают заметного влияния на работоспособность машин. Поэтому в некоторых курсах, таких как теоретическая механика, ТММ деформациями пренебрегают. Но при решении прикладных задач без учёта деформаций невозможно определить при каких условиях произойдёт разрушение той или иной конструкции. Кроме того, в некоторых случаях величину деформации ограничивают, т.к. в противном случае нормальная эксплуатация конструкций может оказаться невозможной. Способность элементов конструкции сопротивляться деформации при воздействии на неё внешних сил называется жёсткостью. Изложение методов расчётов конструкций на жёсткость является второй задачей курса сопротивления материалов. Третья задача связана с изучением устойчивости форм равновесия деформирующихся тел. Под устойчивостью понимается способность элемента конструкции сопротивляться возникновению больших отклонений от невозмущённого равновесия при небольших изменениях нагрузки. И наоборот, равновесие буде неустойчиво, если небольшое увеличение нагрузки сопровождается неограниченным ростом деформаций. 3.1 Допущения (модели), принимаемые в расчетах на прочность и жесткость. Модели формы Геометрическая форма конструкций может быть весьма сложной. Учёт всех геометрических особенностей конструкции бывает невозможным или просто нецелесообразным. На практике для оценки прочности вводят упрощенные геометрические формы и представляют деталь в виде стержня, пластины, оболочки и массива. Стержнем или брусом называется тело, поперечные размеры которого малы по сравнению с его длиной. Стержни могут 1 быть постоянного и переменного сечения. В дальнейшем будем рассматривать стержни в основном с прямолинейной осью. Пластиной называют тело, ограниченное двумя плоскостями, имеющее малую толщину по сравнению с радиусом или длиной. Оболочкой называют тело, ограниченное двумя неплоскими поверхностями, имеющее малую толщину по сравнению с радиусом кривизны или длиной. Например тонкостенный цилиндр. Массивом называют модель, три размера которых соизмеримы, например зуб зубчатого колеса. Модели материала Материал имеет сплошное (непрерывное) строение. Это допущение приемлемо для большинства машиностроительных материалов, т.к. они имеют настолько мелкозернистую структуру, что можно считать их строение сплошным. Материал детали однороден, т.е. обладает во всех точках одинаковыми свойствами. Все металлы и сплавы обладают высокой однородностью. Менее однородны дерево, бетон, пластические массы с наполнителем. Материал считается изотропным, т.е. обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях. У материалов с мелкозернистой структурой кристаллы расположены хаотично, т.е. их структурные решётки не ориентированы в одном направлении, что вызывает выравнивание свойств во всех направлениях. Материал конструкции обладает идеальной упругостью, т.е способностью полностью восстанавливать свои форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию. Эта предпосылка справедлива при напряжениях не превышающих для данного материала определённой постоянной величины, называемой пределом упругости. Модели нагружения Если элемент конструкции (деталь )рассматривается отдельноот сопряженных деталей, то действие последних заменяется силами, которые называются внешними. Силы взаимодействия между частями детали или между деталями в сопряжении называются внутренними. В теле до приложения внешних нагрузок отсутствуют внутренние усилия. В дальнейшем под внутренними силами будем понимать внутренние силы упругости, которые сопротивляются разрушению и деформации, не принимая во внимание молекулярные силы, которые имеются в ненагруженном теле. При схематизации условий работы силы условно подразделяются на сосредоточенные (действующие на небольшую часть поверхности детали) и распределенные (действующие на участках поверхности, соизмеримой с общей поверхность детали). 2 По характеру изменения во времени силы подразделяют на статические – медленно возрастающие от нуля до номинального значения и далее остающиеся постоянными и переменные – периодически меняющиеся во времени. Модели разрушения В зависимости от условий нагружения рассматриваются модели разрушения: статического, малоциклового и многоциклового – усталостного. 3.2 Внутренние силы В точках тела, достаточно удалённых от мест приложения нагрузок, внутренние силы весьма мало зависят от способа приложения этих нагрузок (Принцип Сен-Венана). Этот принцип позволяет заменять одну силу другой, ей эквивалентной. В частности сосредоточенную нагрузку мы будем заменять одной сосредоточенной силой, модуль которой равен равнодействующей распределённой нагрузки. В теле до приложения внешних сил внутренние отсутствуют (точнее ими как правило пренебрегают). Внутренние силы по сечению тела распределены непрерывно сложным образом. Однако если предположить, что можно определить главный вектор и главный момент и точку их приложения (условно считается точкой приложения центр тяжести сечения), то можно говорить о сосредоточенных внутренних силах. Для их определения применяется метод сечений (РОЗУ). Метод состоит в следующем. Р - исследуемое тело мысленно разрезаем в интересующем нас месте (рис 3.1). О – отбрасываем одну из частей. З – заменяем действие отброшенной части внутренними силами (на отброшенной части внутренние силы направлены в противоположные стороны). У – уравновешиваем оставленную часть, т.е. используя уравнения статики определяем величину и направление внутренних сил. Для этого разложим главный вектор и главный момент на составляющие по координатным осям: N, Qy,,Qz, My,Mz, Mx. Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами. N – нормальная или продольная сила, Qy,,Qz,- поперечные силы; My,Mz – изгибающие моменты; Mx – крутящий момент (Mx = Mкр) Для вычисления указанных силовых факторов, необходимо решить шесть уравнений равновесия: сумма проекций внешних сил на три координатные оси должны равняться нулю и сумма моментов внешних сил относительно координатных осей также должны равняться нулю (рис.3.1). ∑Fx = 0; ∑Fу = 0; ∑Fz = 0; ∑mx = 0; ∑my = 0; ∑mz = 0. Частный случай – плоская задача представлена на рис 3.2. В этом случае для определения внутренних сил достаточно трех уравнений. 3 ∑Fx = 0; ∑Fу = 0; ∑mк = 0; Рис.3.1 4 Рис.3.2 Основные виды деформаций Каждому из внутренних усилий N, Q, МК и МИ соответствует свой вид деформации. Основными видами деформации являются: продольной силе соответствует растяжение (1) и сжатие (2); поперечной силе - сдвиг (срез) (3); крутящему моменту – F F F F М F М Т F Т Рис.3.3 кручение (4), изгибающему моменту - изгиб (5). Примером сложной деформации могут служить одновременные изгиб и кручение, или и другие комбинации указанных выше случаев. 3.3 Напряжения 5 Рис. 3.4 Внешних сосредоточенных нагрузок реально не существует. Они представляют собой статический эквивалент распределённой нагрузки. То же самое касается и внутренних сил и моментов, которые являются статическим эквивалентом внутренних сил, распределённых по площади сечения и характеризуется их интенсивностью lim p = À →0 R , À где ΔR – равнодействующая внутренних сил на бесконечно малой площадке ΔА рассматриваемого сечения Если разложить равнодействующую ΔR на касательную ΔQ и нормальную ΔN, из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая перпендикулярна ему. Интенсивность касательных сил в рассматриваемой точке называется касательным напряжениям и обозначаются τ, а интенсивность нормальных сил – нормальным напряжениям и называются σ: lim τ = À →0 Q ; À σ = À lim →0 N . À Напряжения есть мера интенсивности внутренних сил. Напряжения измеряются в Н/м2 = Па. Нормальные и касательные напряжения являются составляющим полного напряжения р =  2 + 2 . Связь напряжений и внутренних силовых факторов 6 Рис. 3.5 В поперечном сечении тела выделена бесконечно малая площадка dA. На этой площадке действуют бесконечно малые силы σ dA, τ y dA, τ z dA (рис. 3.5). Просуммировав по всему поперечному сечению эти силы и моменты относительно координатных осей получим уравнения связи напряжений и внутренних силовых факторов: N =  dA; Q y =   y dA; A M y =  zdA; A A Qz =   z dA; A M x = M êð =  ( z y −  y z )dA; M z =  ydA; A A 3.4 Деформации 7 Рис. 3.5 Для определения деформаций рассмотрим малый отрезок длиной l и угол АОВ (рис. 3.5 а). После приложения сил F тело деформируется отрезок увеличивает свою длину на величину Δl, а угол изменится и станет А’О’В’. Отношение Δl/ l = ε ср называется средним удлинением на длине l. Линейная деформация в точке в направлении l имеет вид:  = lim l l l→0 Разность углов в пределе называется угловой деформацией сдвига в данной точке в плоскости γ АОВ = lim(∟АОВ - ∟ А’О’В); АО→0; ОВ→0 3.5 Принципы расчета деталей и элементов конструкций. Закон Гука –деформации материала элемента в каждой его точке прямопропорциональны напряжениям в этой же точке как в процессе нагружения, так и при разгрузке. Принцип независимости действия сил – результат воздействия на тело системы равен сумме результатов воздействия тех же сил, прикладываемых к телу последовательно и в любом порядке (справедлив в пределах закона Гука). 8 3.6 Геометрические характеристики плоских сечений При изучении вопросов прочности, жёсткости и устойчивости необходимо уметь определять некоторые геометрические характеристики плоских сечений к которым относятся статические моменты, моменты инерции и моменты сопротивления. Статические моменты сечений Рис. 3.6 Статическим моментом площади сечения относительно оси х, лежащей в этой же плоскости, называется сумма произведений элементарных площадок dА сечения на их расстояние до этой оси (рис. 3.6). Sx =  ydA , Sу =  хdA . A A Рассматривая элементарную площадку как силу, а расстояние её от оси как плечо силы, на основании теоремы Вариньона (сумма моментов составляющих равна моменту равнодействующей), запишем Sx = Аус Sу = Ахс, где хс и ус – координаты центра тяжести всего сечения. Следовательно, статический момент всего сечения А относительно какой либо оси равен произведению всей площади сечения на расстояние его центра тяжести до этой оси. Если оси х и у проходят через центр тяжести сечения, то статический момент относительно этих осей равен нулю. 9 Размерность статического момента – м3 (мм3). Он может быть величиной как положительной, так и отрицательной. Для определения статического момента сложной фигуры относительно какой либо оси, необходимо разбить её на ряд простых, площади и центры тяжести которых легко определить, а затем вычислить статический момент фигуры как сумму статических моментов простых фигур относительно этой же оси: Sx = S1x + S2x + … + Snx, где Sx - статический момент всей фигуры; S1x, S2x, …, Snx статические моменты отдельных частей фигуры. Обозначив площади отдельных частей фигуры как А1, А2, …, Аn, а их ординаты центра тяжести как у1с, у2с, …, уnс последнее выражение: (А1 + А2 + … + Аn) ус = А1у1с + А2у2с + … + Аnуnс, отсюда расстояние центра тяжести всей фигуры до оси х будет: ус = A1 y1ñ + A2 y 2 ñ + ... + An y nñ . A1 + A2 + ... + An Аналогично определяем вторую координату центра тяжести: хс = A1 õñ1 + A2 õ2 ñ + ... + An õnñ . A1 + A2 + ... + An Моменты инерции плоских сечений Полярным моментом инерции сечения JР относительно какой либо точки (полюса) называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний ρ2 до этой точки. JР =   2 dA . A Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей её площади А сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой оси: JУ =  х 2 dA ; JХ =  у 2 dA . A A Из рисунка видно, что ρ = х + у . Подставляя это выражение в формулу по которой определяется полярный момент инерции получим: JР =  ( х 2 + у 2 )dA =  х 2 dA +  у 2 dA = JХ + JУ. 2 2 2 A A A Т.е. сумма осевых моментов плоского сечения относительно двух перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно полюса, представляющего точку пересечения этих осей. Осевые и полярные моменты инерции выражаются в м4 (мм4). Они всегда положительны и не могут быть равными нулю. Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей. JХУ =  хуdA . A 10 Моменты инерции простых фигур Прямоугольник. Вычислим момент инерции прямоугольника относительно оси y dy y h x х, проходящей через его центр тяжести параллельно основанию. Выделим на расстоянии у от оси х бесконечно малую площадку высотой dy, тогда dA = b dy. JХ =  у 2dA = A h/2 by3 3 2  y bdy = −h / 2 = bh3/24 + bh3/24 = bh3/12; h/2 −h / 2 Аналогично: b JУ = hb3/12. Для квадрата JХ = JУ = а4/12 где а – сторона квадрата. Круг. Вначале определим полярный момент инерции относительно центра круга. За dA примем площадь бесконечно тонкого кольца радиусом ρ и толщиной Δρ. Радиус круга равен r. Тогда dA = 2πρdρ. r r JР =   2d = 2π   d = 3 2 r 4 2 = d 4 32 = 0,1 d4. Далее определим осевые моменты инерции. В соответствии с формулой определения моментов инерции плоских фигур JР = JХ + JУ. Отсюда, для круглого сечения JР = 2JХ = 2JУ. Следовательно, JХ = JУ = 0,5JР = r 4 4 = d 4 64 = 0,05 d4. 11 y Кольцо. d=2r 2R D= x Для определения полярного момента инерции воспользуемся формулой полученной в предыдущем случае, приняв пределы интегрирования от R до r:  D4 d 4   R4 r 4  D4  d 4  1 − 4  .    −  = −  = 2π  32 64 4 64 4  D      R JР = 2π   3d = 2π  r Обозначим отношение d/D = α. Тогда JР = D 4 32 (1 −  ) ≈ 0,1D4(1 – α4). 4 Аналогично сплошному сечению определим осевой момент инерции кольца: JХ = JУ = 0,5 JР = d 4 64 (1 – α4) ≈ 0,05D4(1 – α4). Изменение моментов инерции и статических моментов сечений при параллельном переносе осей (рис.3.7) Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов её составных частей: JХ = J1Х + J2Х + … + JnХ, где J1Х, J2Х, …, JnХ – моменты инерции частей сложной фигуры относительно оси х. На основании свойств определенного интеграла мы можем записать: 2 2 2 2  y dA =  y dA +  y dA + … +  y dA A A1 A2 An где А – площадь всей фигуры; А1, А2, …, Аn – площади каждой части фигуры. Т.е. для вычисления моментов инерции сложного сечения его необходимо разбить на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции каждой фигуры относительно данной оси, а затем просуммировать полученные моменты инерции. Для определения момента инерции сложного сечения необходимо знать формулу перехода для определении момента инерции при параллельном переносе оси. 12 Предположим, что ось х – центральная ось момент инерции которой JХ нам dA y x A A a A y1 C известен. Определим момент инерции JХ1, фигуры относительно х1, параллельной центральной и отстоящей от неё на расстоянии а: JХ =  y 2 dA ; JХ1 =  y12 dA . x1 Расстояния всех элементарных площадок dA от оси х1 будет больше на постоянную величину, т.е. у1 = у + а. Рис.3.7 JХ1 =  ( y + а) 2 dA =  y 2 dA + 2а  ydA + а2  dA . A A A A Первый интеграл представляет собой центральный момент инерции. Второй интеграл равен нулю как статический момент площади фигуры относительно оси, проходящей через центр тяжести С. Третий интеграл равен а2А, т.е.: JХ1 = JХ + а2А. Эта зависимость формулируется следующим образом: момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси ей параллельной и произведения площади всего сечения на квадрат расстояния между осями. Для статических моментов сечений зависимость при параллельно переносе осей имеет вид: Sх1= Sх + аА Изменение моментов при повороте осей (рис.3.8) Рис. 3.8 При повороте осей моменты инерции сечений вычисляются по 13 следующим зависимостям: J x1 = J x cos 2 α + J у sin 2 α - J уx sin2α J y1 = J y cos 2 α + J x sin 2 α + J уx sin2α J x1 + J y1 = J x +J y Из последнего выражения следует, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей сохраняет постоянную величину при повороте осей на любой угол. Главные моменты инерции и главные оси инерции При изменении угла α J x, , J y , J yх изменяются. Можно найти значение угла α при котором J x, , J y имеют экстремальное значение: tg 2 0 = 2 J yx Jy − Jx . Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из них момент инерции максимален, а относительно другой минимален. Такие оси называются главными, моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Значение главных моментов инерции вычисляют по формуле: J max = min Jx + Jy 2  ( J x − J y ) 2 + 4 J yx2 . Зависимость между центробежными моментами инерции относительно двух систем параллельных осей (рис.3.9) Jy 1 x 1 = Jyx + Aab 14 Рис. 3.9 3.7 Осевое растяжение – сжатие Построение эпюр продольных сил Рассмотрим случай растяжения или сжатия при котором внешние силы действуют по оси стрежня. Для определения внутренних усилий (продольных осевых сил) применим метод сечений. Вначале определим реакцию связи RА. RА – 7F + 2F = 0, откуда RА = 7F - 2F =  Fiy = 0; 5F. RA=5F y n "N" n 5F 7F 7F m N1 m 2F 2F 2F Проводим сечение n – n, отбрасываем верхнюю часть и рассматриваем равновесие оставшейся части. Воздействие отброшенной части заменяем внутренним усилием N1. Под воздействием внешних сил 7F и 2F и внутреннего усилия N1 оставшаяся часть будет находиться в равновесии. Составляем уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось и находим N1. Рис. 3.10 F = 0; N1 - 7F + 2F = 0; N1 = 7F - 2F = 5F. Таким образом, в сечении n – n действует растягивающее усилие, величина которого равна 5F. Очевидно, что такой же результат получится, если сечение перенести в любом месте на участке приложения силы 7F до точки А. Рассуждая аналогичным образом, определим внутреннее усилие в сечении m – m. В этом сечении действует сжимающее усилие, равное 2F. Принято растягивающие усилия считать положительными, а сжимающие отрицательными. Построим график изменения продольных сил по оси стержня. Базовую ось графика проводим параллельно оси стрежня, а значения продольных сил откладываем перпендикулярно оси в выбранном масштабе. Положительные значения откладываем вправо или вверх, отрицательные - влево, либо вниз. Такой график называется эпюрой продольных сил. Этими же правилами будем пользоваться при построении эпюр напряжений, крутящих моментов, перемещений и т.д. iy 15 Напряжённое и деформированное состояние при осевом нагружении (сжатии). Определение нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня Рис.3.11 Нанесём на поверхность призматического стержня линии продольные и перпендикулярные оси и приложим к нему растягивающую силу F. Можно заметить, что после деформации линии, нанесённой на стержень сетки останутся параллельными, а расстояние между ними изменится. При этом они останутся прямыми. Т.к. горизонтальные линии представляют собой след секущей плоскости, то можно сделать вывод о том, что поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, остались таковыми и после её. Это очень важная гипотеза сопротивления материалов, которая носит название гипотезы плоских сечений или гипотезы Бернулли. На основании гипотезы Бернулли можно сделать вывод о том, что в поперечных сечениях стерня действуют только нормальные напряжения равномерно распределённые по сечению. В противном случае горизонтальные линии не сохранили бы прямолинейность и не были бы нормальными к оси. Касательные напряжения в этих сечениях отсутствуют, т.к. углы сетки сохранились прямыми, что свидетельствует о об отсутствии сдвига слоёв материала стержня. Продольная сила N является равнодействующей нормальных напряжений в сечении стержня: N =  dA . A Поскольку σ = const, N = σА, откуда σ= N . A Та же формула применяется при сжатии стержня с той лишь разницей, что сжимающие напряжения считаются отрицательными. 16 Напряжения на наклонных к оси сечениях бруса () Проведём дополнительную секущую плоскость, которая образует с плоскостью, перпендикулярной оси бруса угол α (>0). Равнодействующая внутренних сил на этой плоскости Ra=F, что просто найти из уравнения равновесия. Разложив Ra на составляющие, находим Nα = Fcosα; Qα = Fsinα. Площадь наклонного сечения равна Aα = A/cosα. Напряжения в наклонных сечениях будут иметь вид:  = N  F cos2  = =  cos2  ; A A  = Q F sin  cos  1 = =  sin 2 ; A A 2 Рис. 3.12 Нормальные напряжения считаются обычно положительными при растяжении и отрицательными при сжатии. Касательное напряжение положительно, если его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению против часовой стрелки. Из полученных формул можно сказать, что наибольшие по абсолютной величине значения нормальных напряжений σα будут при α = 0, поэтому расчёт прочности растянутого бруса проводится по нормальным напряжениям. Из второго выражения следует, что касательные напряжения лежат в пределах от  F F  = при α = 45º до - = при α = - 45º. 2A 2A 2 2 17 Таким образом, значения τα = 0 при α равным 0º и 90º, т.е. в площадках с наибольшими и наименьшими касательными нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю. Продольные и поперечные деформации Рассмотрим брус постоянного сечения, заделанный одним концом и приложим к его другому концу растягивающую или сжимающую силу (рис.3.11). Под действием силы F брус удлинится на некоторую величину Δl, которая называется полным или абсолютным удлинением (полной продольной деформацией). В любых рассматриваемых точках бруса имеется одинаковое напряжённое состояние, а, следовательно, и линейные деформации εу для всех его точек одинаковы. Поэтому значение εу можно определить как εу = l . Линейную l деформацию εу при растяжении или сжатии брусьев называют относительным удлинением или относительной продольной деформацией и обозначают ε. ε= l . l Относительная деформация величина безразмерная. Брусья из различных материалов при нагружении силой одинаковой величины удлиняются различно. Экспериментальным образом установлено, что ε= N EA где N – продольная сила в поперечных сечениях бруса; А – площадь поперечного сечения бруса; Е – к-т, зависящий от физических свойств материала. Учитывая, что σ = N , получаем: A ε=  , Е или σ = ε Е. Тогда абсолютное удлинение бруса определяется формулой Δl = εl = Nl , EA деформация прямо пропорциональна продольной силе. Последние четыре формулы выражают закон Р. Гука, сформулированный им в 1660г. Эти формулы являются математическим выражением закона Гука при растяжении и сжатии бруса. Закон Гука формулируется следующим образом: относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. Величина Е называется модулем упругости первого рода или модулем упругости. Это физическая постоянная материала, характеризующая его жёсткость. 18 Для углеродистых сталей Е = 2,0…2,1∙105 МПа, для легированных сталей Е = 2,1…2,2∙105 МПа. Произведение ЕА называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии. Этой формулой можно пользоваться только при том условии, что сечение бруса в пределах рассматриваемого участка постоянно и действующая сила постоянна. Если это условие не соблюдается, то полное изменение длины определяется как алгебраическая сумма деформаций отдельных его частей в пределах которых величины А, Е и N постоянны Δl = n  li = i =1 n N ili i =1 i EA . i Если А или (и) N,Е на участке стержня (или по всей длине стержня) не постоянны, т.е изменяются по какому либо закону, то l Δl =  Ndx . AE Кроме продольной деформации при действии растягивающей или сжимающей силы наблюдается и поперечная деформация. При сжатии поперечные размеры бруса увеличиваются, а при растяжении уменьшаются. Если до приложения этих сил поперечный размер бруса обозначить как b, то после приложения сил он будет b + Δb. В данном случае величина Δb будет выражать абсолютную поперечную деформацию бруса. Отношение ε′ = a является относительной поперечной деформацией. a Опытным путём установлено, что если при деформациях не превышается некоторая величина, называемая пределом упругости, то относительная поперечная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации, но имеет обратный знак: ε′ = - μ ε. Коэффициент пропорциональности μ зависит от атериала. Он называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона и представляет собой отношение поперечной деформации к продольной, взятой по абсолютной величине μ= 1 .  Коэффициент Пуассона наряду с модулем упругости характеризует упругие свойства материала. Он определяется экспериментально и для различных материалов колеблется от 0 до 0,5. Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25…0,30. 19 3.8 Механические характеристики конструкционных материалов . При выборе материалов для элементов конструкции и расчетов на прочность необходимо знать механические характеристики. Иметь представление о предельных, допускаемых напряжениях и коэффициенте запаса прочности. Необходимые сведения получают экспериментально при испытаниях на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб. Механические испытания. Статические испытания на растяжение и сжатие Это стандартные испытания: оборудование — стандартная разрывная машина, стандартный образец (круглый или плоский), стандартная методика расчета. Рис.3.13 На рис. 3.13 представлена схема испытаний (do — начальный диаметр поперечного сечения; l 0 — начальная длина). На рис. 3.14 изображена схема образца до (рис.3.14а) и после (рис. 3/146) испытаний (d u , — диаметр шейки, сужения перед разрывом). Образец закрепляется в зажимах разрывной машины и растягивается до разрыва. Машина снабжена прибором для автоматической записи диаграммы растяжения — зависимости между нагрузкой и абсолютным удлинением (рис. 3.15 — диаграмма растяжения для малоуглеродистой стали). 20 а б Рис. 3.14 Рис.3.15 Полученная диаграмма пересчитывается и перестраивается в координатах σΔl(3.15— приведенная диаграмма растяжения первого типа). Особые точки диаграммы растяжения обозначены точками 1, 2, 3, 4, 5: • точка 1 соответствует пределу пропорциональности: после нее прямая линия (прямая пропорциональность) заканчивается и переходит в кривую; • участок 01 — удлинение Δl растет пропорционально нагрузке; подтверждается закон Гука; • точка 2 соответствует пределу упругости материала: материал теряет упругие свойства — способность вернуться к исходным размерам; • точка 3 является концом участка, на котором образец сильно деформируется без увеличения нагрузки. Это явление называют текучестью; текучесть — удлинение при постоянной нагрузке; • точка 4 соответствует максимальной нагрузке, в этот момент на образце образуется «шейка» — резкое уменьшение площади поперечного сечения. Напряжение в этой точке называют временным сопротивлением разрыву, или условным пределом прочности. Зона 3-4 называется зоной упрочнения. 21 Механические характеристики При построении приведенной диаграммы рассчитываются величины, имеющие условный характер, усилия в каждой из точек делят на величину начальной площади поперечного сечения, хотя в каждый момент идет деформация и площадь образца уменьшается. Приведенная диаграмма растяжения не зависит от абсолютных размеров образца (рис. 3.15). Рис. 3.15 Основные характеристики прочности: 1. предел пропорциональности σ пц = Fi/A 0 ; 2. предел упругости σ у = F 2 /A 0 ; 3. предел текучести σ Т = F 3 /A 0 ; 4. предел прочности, или временное сопротивление разрыву, σ в — F max /Ao, где Ао — πd 02 /4 — начальная площадь сечения. Характеристики пластичности материала δ — максимальное удлинение в момент разрыва = lmax 100% l0 где Δl max — максимальное остаточное удлинение (рис. 3.14); Ψ — максимальное сужение при разрыве = À0 − Àø 100% À0 где А ш — площадь образца в месте разрыва. Характеристики пластичности определяют способность материала к деформированию, чем выше значения δ и Ψ, тем материал пластичнее. 22 Виды диаграмм растяжения Различные материалы по-разному ведут себя под нагрузкой, характер деформаций и разрушения зависит от типа материалов. Принято делить материалы по типу их диаграмм растяжения на три группы. К первой группе относят пластичные материалы, эти материалы имеют на диаграмме растяжения площадку текучести (диаграммы первого типа) (рис. 3.16а). Ко второй группе относятся хрупкие материалы, эти материалы мало деформируются, разрушаются по хрупкому типу. На диаграмме нет площадки текучести (рис.3.1б). К третьей группе относят материалы, не имеющие площадку текучести, но значительно деформирующиеся под нагрузкой, их называют пластично-хрупкими (рис. 3.16в). а б в Рис. 3.16 Таким образом, хрупкий и пластично-хрупкий материалы не имеют площадки текучести, а в справочниках отсутствует характеристика «предел текучести». По этой особенности их можно узнать. Пластично-хрупкие материалы значительно деформируются, этого нельзя допустить в работающей конструкции. Поэтому их деформацию обычно ограничивают. Максимально возможная относительная деформация ε = 0,2 %. По величине максимально возможной деформации определяется соответствующее нормальное напряжение σ 0,2 которое принимают за предельное. Предельные и допустимые напряжения Предельным напряжением считают напряжение, при котором в материале возникает опасное состояние (разрушение или опасная дефомация). Для пластичных материалов предельным напряжением считают предел текучести, т. к. возникающие пластические деформации не исчезают после снятия нагрузки: σ пред =σ т Для хрупких материалов, где пластические деформации отсутствуют, а разрушение возникает по хрупкому типу (шейки не образуется), за 23 предельное напряжение принимают предел прочности: σ пред =σ в Для пластично-хрупких материалов предельным напряжением считают напряжение, соответствующее максимальной деформации 2% (σ 0,2 ): σ пред =σ 0,2 Допускаемое напряжение — максимальное напряжение, при котором материал должен нормально работать. Допускаемые напряжения получают по предельным с учетом запаса прочности:  [ ] = ïðåä [s] , где [σ] — допускаемое напряжение; s — коэффициент запаса прочности; [s] — допускаемый коэффициент запаса прочности. Примечание. В квадратных скобках принято обозначать допускаемое значение величины. Допускаемый коэффициент запаса прочности зависит от качества материала, условий работы детали, назначения детали, точности обработки и расчета и т.д. Он может колебаться от 1,25 для простых деталей до 12,5 для сложных деталей, работающих при переменных нагрузках в условиях ударов и вибраций. Особенности поведения материалов при испытаниях на сжатие Пластичные материалы практически одинаково работают при растяжении и сжатии. Механические характеристики при растяжении и сжатии одинаковы. 2. Хрупкие материалы обычно обладают большей прочностью при сжатии, чем при растяжении. 1. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии Расчеты на прочность ведутся по условиям прочности — неравенствам, выполнение которых гарантирует прочность детали при данных условиях. Для обеспечения прочности расчетное напряжение не должно превышать допускаемого напряжения: σ≤[σ], где σ=N/A; [σ]=σ пред /[s]. Расчетное напряжение о зависит от нагрузки и размеров поперечного сечения, допускаемое только от материала детали и условий работы. Существуют три вида расчета на прочность. 1. Проектный расчет— задана расчетная схема и нагрузки; материал или 24 размеры детали подбираются: — определение размеров поперечного сечения: A≥N/[σ]; — подбор материала σпред=N[s]/A по величине σ пред можно подобрать марку материала. 2. Проверочный расчет — известны нагрузки, материал, размеры детали; необходимо проверить, обеспечена ли прочность. Проверяется неравенство = 3. [σ]A. N    A Определение нагрузочной способности (максимальной нагрузки): [N] = 25 Сдвиг Сдвиг – такой вид деформации, когда в поперечных сечениях стержня действует только поперечная (перерезывающая сила), а остальные силовые факторы отсутствуют. Этот вид деформации возникает при действии на стержень двух равных по модулю, бесконечно близко расположенных и противополо жно направленных поперечных сил (рис. 3.17а, б), вызывающих срез по плоскости, расположенной между силами. Рис.3.17 Срезу предшествует искажение прямого угла между двумя взаимно перпендикулярными линиями (рис.3.17г). Такая деформация возможна только в случае, когда на гранях выделенного элемента действуют только касательные напряжения (такое напряженное состояние называется чистым сдвигом). Рассмотрим выделенный элемент: величина а называется абсолютным сдвигом, а/h называется относительным сдвигом. а/h = tgγ, учитывая малость угла можно записать γ = а/h. Для определения величины напряжений рассмотрим равновесие отсеченной расти стержня (рис.3.17в). Спроектировав внешние и внутренние силы на ось y несложно найти, что Q y = F. Используя уравнения связи можно записать Q y =   y dA . A Принимая во внимание, что касательные напряжения равномерно распределены по сечению получаем τ y = Q y /A=F/A. Экспериментально установлено, что величина абсолютного сдвига а 26 пропорциональна сдвигающей силе F, расстоянию на котором происходит сдвиг – h и обратно пропорциональна площади сечения А. Введем коэффициент пропорциональности G, зависящий от упругих свойств материала детали. a= Fh , GA где GA – жесткость сечения при сдвиге. Учитывая последнее выражение можно переписать в виде: τ y = Gγ Эта зависимость называется законом Гука при сдвиге, где G – модуль упругости при сдвиге (модуль сдвига). Между модулем сдвига Е и модулем упругости G существует взаимосвязь G= E  0,4 E . 2(1 +  ) Условие прочности при сдвиге: τ=Q/A≤[τ]. 27 Кручение Кручение такой вид деформации, когда в поперечных сечениях стержня действуют только крутящие моменты, остальные внутренние силовые факторы отсутствуют. Для определения напряжений и деформаций стержня необходимо знать крутящие моменты, действующие на всех участках вала, для чего стоится эпюра крутящих моментов – диаграмма (график), показывающая распределение моментов по длине вала. Правило знаков – крутящий момент в поперечном сечении стержня считается положительным, когда внешний момент вращает отсеченную часть стержня против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть стержня со стороны сечения (в некоторых учебниках принято противоположное определение правила знаков, что принципиально ничего не меняет). Рис. 3.18 28 γ = r((φ+ φ d) - r φ)/dx = rdφ/dx. dφ/dx – угол закручивания на единицу длины стержня (Ө) называется относительным углом закручивания. Запишем γ=r Ө Напряжения и деформации. На основании закона Гука касательные напряжения определяются зависимостью: τ = Gγ = G r Ө. Напряжения в любой точке поперечного сечения τ = G ρ Ө. Рис.3.19 Из последнего соотношения видно, что касательные напряжения в любой точке поперечного сечения прямо пропорционально расстоянию до оси стержня – ρ (рис.3.19). Таким образом максимальные касательные напряжения возникают на расстоянии r от оси – вблизи поверхности. Запишем элементарный момент dM кр = τ ρ dA ρ . Суммируя элементарные моменты по всей площади поперечного сечения получим: M êð =      dA =  G 2 dA = G   2 dA = GJ p . À A A Угол закручивания на единицу длины стержня будет Ө=М кр/(GJp ) Угол закручивания на всю длину стержня: l l  =    dx =  M êð GJ p dx . Если М кр и размеры и характер поперечного сечения по всей длине постоянны, то угол закручивания будет определяться зависимостью 29 Ì = êð l GJ p . Зависимость λ=l/(GJ p ) называется крутильной податливостью. Если стержень состоит из нескольких участков и в пределах каждого участка М кр , размеры и характер сечения постоянны (а значит и J p ), то угол закручивания по всей длине стержня будет равняться сумме углов закручивания отдельных участков: n  = i =1 Ì l êði i GJ pi . Зависимость для расчета напряжения определим следующим образом: τ p = G ρ Ө = G ρМ кр /( GJ p )= М кр ρ/J p . Максимальные напряжения будут определяться зависимостью:  max = M êð r Jp Условие прочности при кручении можно записать в виде:  max = M êð Wp    , Где J p /r = W p – называется полярным моментом сопротивления. 30 y Изгиб Нормальные напряжения при изгибе Для представления о характере деформаций при изгибе проведём следующий опыт. На боковые грани бруса прямоугольного сечения наносится сетка часть линий которой параллельны, а другая часть перпендикулярна оси бруса. Затем к брусу прикладываются моменты Т, действующие в плоскости симметрии бруса. Ось Под действием моментов Т, в бруса результате деформации линии сетки параллельные оси бруса искривляются, сохраняя между собой прежние расстояния. При этом линии находящиеся на выпуклой стороне бруса удлиняются, а те, которые T T располагаются с вогнутой части бруса укорачиваются. Каждую линию сетки, которая располагалась перпендикулярно оси балки можно рассматривать как след плоскости некоторого поперечного сечения бруса. Т.к. эти линии после деформации остаются прямыми, то можно предполагать, что поперечные сечения бруса плоские до деформации, остаются таковыми и после неё. Это предположение носит название гипотезы плоских сечений, или гипотезы Бернулли. Эта гипотеза для чистого изгиба является строгой, а для поперечного изгиба приближённой. dx Рассмотрим прямой брус с симметричным а b сечением относительно вертикальной оси, заделанный одним концом и нагруженный моментом c d T Т. В каждом поперечном сечении бруса возникают b b только изгибающие моменты МХ = Т и действующие а в той же плоскости, что и момент Т. выделим из e f f рассматриваемого бруса элемент длиной dx, n Нейтральный слой ограниченный сечениями ас и bd. В результате m деформации эти сечения останутся плоскими но d d наклонятся друг по отношению к другу на угол dφ. с dx Принимая левое сечение ас как условно неподвижное, получаем в результате поворота на угол dφ правого сечения bd, его новое положение b΄d΄. При этом прямые ас и b΄d΄ пересекутся в точке А, которая является центром кривизны продольных волокон элемента dx. Если при изгибе часть волокон удлиняется, а часть укорачивается, то неизбежно d должен быть слой mn, волокна которого сохранят свою длину. Это слой называется нейтральным слоем. Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя как ρ и рассмотрим некоторый слой ef, расположенный на расстоянии y от нейтрального слоя. Тогда абсолютное удлинение этого слоя равно А ff΄, а относительное ε = ff΄/dx. Рассматривая подобные треугольники nff΄ и Аmn записываем пропорцию: 31 y y ff  y = , dx  ff  ( y /  )dx y y = = , или ε= . dx dx   В теории изгиба предполагается, что волокна не давят друг на друга, т.е. в брусе отсутствуют касательные напряжения и все продольные волокна находятся в условиях одноосного растяжения или сжатия. В таком случае в соответствии с законом Гука σ = Е ε, или на основании предыдущей формулы Ey σ= . ε= отсюда  y y Из формулы следует, что нормальные напряжения в продольных волокнах прямо пропорциональны их расстояниям у от нейтральной оси. В точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю, по одну сторону от нейтральной оси они растягивающие, по другую сжимающие. y Эпюра Можно сказать, что наибольшие напряжения имеют наиболее удалённые от нейтральной оси слои dА балки, но положение нейтральной оси нам неизвестно. Продольная сила в поперечном сечении бруса Растяжение при изгибе равна нулю, т.е. Нейтр. z ось N =  dА = 0, Сжатие А где σdА – элементарная сила, действующая на элементарную площадку dА поперечного сечения бруса. Подставим в это уравнение значение σ из предыдущего: Ey E y dА  dА =  ydА = 0.  Т.к.  E  ≠ 0, то Интеграл А z  ydА = 0. y А А ac  ydА представляет собой dА dx x А статический момент поперечного сечения бруса bd МZ относительно нейтральной оси z. Равенство его нулю означает, что нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения, а радиус кривизны нейтрального слоя ρ является и радиусом кривизны изогнутой оси бруса. Изгибающий момент в поперечном сечении бруса можно определить как: МХ =  dА  y , А где σdА∙у – момент элементарной внутренней силы σdА относительно оси z. Ey Подставив последнее выражение в значение σ = , получим:  МХ =  А Ey 2  32 dА = E   y dА , 2 А где  y dА - осевой момент инерции JZ поперечного сечения бруса относительно нейтральной 2 А оси z. Отсюда 1 = МZ . ЕJ Z  Ey 1 Подставим значение в σ= получим:   МZ y. JZ Эта формула позволяет определить нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения если известны изгибающий момент и момент инерции сечения. Нужно отметить, что на балку может действовать не один изгибающий момент, а ряд нагрузок, в т.ч. в виде сосредоточенных сил и распределённых нагрузок. В этом случае уравнение равновесия будет иметь вид ∑МZ =  dFy = 0, которое содержит алгебраическую σ= A сумму изгибающих моментов от всех внешних нагрузок, равную изгибающему моменту в сечении МИ. Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе Согласно последнему уравнению наибольшие напряжения возникают в волокнах, наиболее удалённых от нейтральной оси. Тогда наибольшие напряжения растяжения М h σmaxР = И P , JZ где hР - расстояние от нейтральной оси до наиболее удалённых волокон в растянутой зоне. Наибольшие напряжения растяжения М h σmaxС = И С , JZ где hС расстояние от нейтральной оси до наиболее удалённых сжатых волокон. Тогда, на несимметричном профиле, когда hР ≠ hС или когда материал балки реагирует по разному на растяжение и сжатие, условие прочности будет иметь вид: М h σmaxР = И P ≤ [ σP ] JZ М h σmaxС = И С ≤ [ σC ], JZ где [ σP ] и [ σC ] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии соответственно. В том случае, когда профиль симметричный, т.е. hР = hС или материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то: М h σmax = И max , JZ Если величина изгибающего момента изменяется по длине бруса, то для определения максимальных напряжений необходимо брать то сечение, в котором действует максимальный изгибающий момент. Такое сечение называется опасным. Отношение момента инерции сечения относительно нейтральной оси JZ к расстоянию уmax наиболее удалённого от этой оси волокна называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается WZ или в общем виде WИ. 33 WZ = JZ . y max Т.о. в случае симметричного относительно нейтральной оси сечения балки (hР = hС = h/2) или при одинаковых допускаемых напряжениях на растяжение и сжатие [ σ ] получаем одну формулу выражающую условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе: М σmax= ≤ [ σ ]. WZ Для стандартных профилей, таких как двутавр, швеллер, уголок, значения осевых моментов сопротивления приведены в таблицах сортамента. Для прямоугольного сечения J bh3  2 bh2 WZ = Z = = . y max 12  h 6 Для квадратного сечения со стороной а WZ = a3 . 6 Для круглого сечения WZ = D 4  2 = D3 ≈ 0,1D3. 64  D 32 Для кольцевого сечения в наружным диаметром D и внутренним d D3 WZ = (1 – α4) ≈ 0,1D3(1 – α4), 32 где α = d/D. Для подбора сечений профиля балки из условия прочности по нормальным М напряжениям уравнение σmax= ≤ [ σ ] преобразуем в следующий вид: WZ М WZ ≥ И .   Затем по таблицам стандартных прокатных профилей, или по из формул осевых моментов сопротивления выбираем или рассчитываем сечение. Поперечный изгиб При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки помимо изгибающего момента действуют поперечные силы. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что в той части, которая касается нормальных напряжений, для прямого поперечного изгиба пригодны формулы, выведенные для чистого изгиба. Определение касательных напряжений при изгибе Наличие поперечной силы связано с возникновением касательных напряжений в поперечных сечения балки, а по закону парности касательных напряжений. 34 3.9 Теория напряженного состояния Напряженным состояние в точке называется совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящим через эту точку. Рис 3.18 При расчетах на прочность необходимо устанавливать напряженное состояние в опасных точках деталей. В окрестностях любой точки всегда можно выделить всегда можно выделить элементарный параллелепипед (рис. 3.18). Если на гранях параллелепипеда действуют нормальные или нормальные и касательные напряжения – трехосное напряженное состояние (рис 3.18 а, г), если на двух гранях отсутствуют нормальные и касательные напряжения – плоское напряженное состояние (все напряжения действуют в одной плоскости.) (рис 3.18б, д). Если касательные и нормальные напряжения отсутствуют четырех гранях параллелепипеда – линейное напряженное состояние (рис.3.18 в). 35 Плоское напряженное состояние Выделим из тела в окрестности точки бесконечно малую (элементарную) призму (рис. 3.19). Рис 3.19 Рассмотрим равновесие призмы под действием известных напряженийσ х, σу, τху и неизвестных напряжений σ α, τ α. Положение наклонной площадки определяется углом α. α>0, если в принятой системе координат поворот нормали (n) оси Х к оси У против часовой стрелки. Направление векторов σ α, τ α выбраны таким образом, чтобы при α=0 они совпадали с направлением σ х, τ ху. Учитывая равновесие призмы приравняем сумму моментов элементарных сил относительно точки О нулю. -τ ху dzdx(dy/2) + τ ух dzdy(dx/2) = 0, таким образом легко определить, что τ ух = -τ ху (закон парности касательных напряжений.) Проецируем силы, действующие на призму, последовательно на 36 направление нормали и касательной к наклонной площадке: σ α dzds = σ x dzdycosα + σ y dzdxsinα + τ ху dz(dysinα + dxcosα); τ α dzds = - σ x dzdysinα + σ y dzdxcosα + τ ху dz(dycosα- dxsinα). Учитывая, что dx = ds sinα, dy = ds cosα из этих уравнений найдем: σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α + τ ху sin2α; (а) τ α = 0,5(σ y - σ x ) sin2α + τ ху cos2α. (б) Последние зависимости позволяют вычислить нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке при любом значении угла α. Для определения площадок, на которых касательные напряжения равны 0 (главные площадки) прировняем нулю τ α. tg 2 0 = 2 xy x −y . Несложно определить, что существует два взаимно перпендикулярных направления (главных), образующих с осью Х углы α 0 и углы α 0 +πn/. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными. Главные напряжения уравнения σ0 при α = α 0 : σ α = σ x cos 2 α 0 + σ y sin 2 α 0 + τ хуsin2α 0 = õ +ó 2 + õ −ó 2 ñîs 2 =  xy sin 2 0 . Принимая во внимание, что cos 2 0 =  sin 2 0 =  1 1 = tg 2 2 0 ; tg 2 0 ; 1 + tg 2 2 0 После преобразований: σ α = 0,5(σ х + σ у )±0,5((σ х -σ у ) 2 +4τ 2 ху ) 1/2 , после преобразования  1 =  max = 0,5( x +  y ) + 0,5 ( x −  y ) 2 + 4 xy 2 ; (в)  2 =  min = 0,5( x −  y ) − 0,5 ( x −  y ) 2 + 4 xy 2 . (г) При плоском напряженном состоянии σ 3 = 0. Складывая почленно последнее равенство получим: σ1+ σ2 = σх+ σу, т.е. сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках не зависит от угла α. Определим площадки, по которым касательные напряжения имеют экстремальные значения, такие площадки условно называются площадками сдвига. Продифференцируем по α зависимость б и прировняем производную 0. Откуда найдем: 37 tg2α τ =(σ y - σ x )/ 2τ ху , Подставляя это равенство в зависимость б после преобразования получим:  max = 0,5 ( x −  y ) 2 + 4 xy2 . min Из последнего выражения видно, что противоположны по знаку. τ max , τ min равны по величине и С учетом формул в и г можно установить: τ max =0,5| σ 1 - σ 2 |, Взаимное положение главных площадок и площадок экстремальных касательных напряжений определяются зависимостью: tg2α 0 tg2α τ =1, Из этого условия следует, что α τ = α 0 +π/4 Напряжения на площадке, составляющей угол α=45 0 с главными осями (главными площадками) будут равны σ π/4 =0,5(σ 1 +σ 2 ); τ π/4 =-0,5(σ 1 -σ 2 ); следовательно на площадках, где действуют максимальные касательные напряжения, имеются и нормальные напряжения. 3.10 Обобщенный закон Гука. Потенциальная энергия деформации Определим деформации ε 1 и ε 1 в направлении главных напряжений при плоском напряженном состоянии. Для этого используем закон Гука для линейного напряженного состояния. Напряжение σ 1 вызывает продольную деформацию ε 11 = σ 1 /Е и поперечную деформацию ε 21 = -μσ 1 /Е. Напряжение σ 2 вызывает деформации ε 22 = σ 2 /Е, ε 12 = -μσ 2 /Е. Просуммируем деформации одного направления (плоское напряженное состояние): ε 1 = ε 11 + ε 12 = (σ 1 - μσ 2 )/Е ε 2 = ε 22 + ε 21 = (σ 2 - μσ 1 )/Е Для объемного напряженного состояния: ε 1 = = (σ 1 - μ(σ 2 + σ 3 ))/Е ε 2 = = (σ 2 - μ(σ 3 + σ 1 ))/Е ε 3 = = (σ 3 - μ(σ 1 + σ 2 ))/Е Аналогичные формулы можно получить и для случаев, когда грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками: ε х = = (σ х - μ(σ у + σ z ))/Е ε y = = (σ y - μ(σ z + σ x ))/Е ε z = = (σ z - μ(σ x + σ y ))/Е Приведенные уравнения представляют собой закон Гука для плоского и объемного напряженных состояний. Определим энергию, накопленную единицей объема при упругих деформациях (потенциальную энергию). 38 Простое растяжение-сжатие: Е р1 =0,5σ 1 ε 1. При плоском напряженном состоянии: Е р2 =0,5(σ 1 ε 1 + σ 2 ε2 ). При объемном напряженном состоянии Е р3 =0,5(σ 1 ε 1 + σ 2 ε2 + σ 3 ε 3 ). Используя обобщенный закон Гука можно записать E p2 = E p3 = 1 (  12 +  22 − 2 1 2 ). 2E   1 .  12 +  22 +  32 − 2 ( 1 2 +  2 3 +  3 1 ) . . 2E 39 Теории прочности Оценка прочностной надежности – распространенная инженерная задача, в которой напряженное состояние в «опасной» точке элемента конструкции сопоставляется с предельным состоянием, определяемым пределом текучести, прочности и т.д., которые определяются при одноосном напряженном состоянии. В условиях эксплуатации детали испытывают большое сочетание напряжений σ1, σ2 и σ3. Прочность детали может быть определена экспериментально, что и делается при подготовке массового производства или при проектировании особо ответственных деталей. Однако такие испытания бывают либо трудноосуществимо и экономически нецелесообразны. Возникает вопрос, как в расчетной практике сопоставить механические характеристики с совокупность напряжений в донной точке детали. Для оценки комплексного воздействия нагрузок существуют различные гипотезы прочности. При этом предполагают, что преобладающее влияние оказывает какой-то один фактор. Таким образом удаётся получить определённое соотношение главных напряжений, называемых эквивалентным напряжением и сопоставить его с предельным для данного материала. Первая теория прочности (Теории хрупкого разрушения (теории отрыва)) (теория наибольших нормальных напряжений). По этой теории преобладающим является влияние на прочность максимальных нормальных напряжений. Разрушение происходит при достижении максимальным нормальным напряжением значения предельного для данной величины. При этом условие прочности будет выглядеть следующим образом: σmax = σ1 ≤ σотр, с учётом коэффициента запаса прочности: σmax = σ1 ≤  отр n = [σр ], где [σр ] – допускаемое напряжение на растяжение. Опыты подтверждают теорию при испытаниях таких хрупких материалов как бетон, кирпич, стекло, фарфор и т.д. Эта теория не учитывает других главных напряжения, поэтому при сложном напряжённом состоянии её результаты и результаты опытов часто расходятся. Вторая теория прочности (теория наибольших удлинений). По этой теории разрушение независимо от вида напряжённого состояния наступит если наибольшее упругое относительное удлинение εmax достигнет некоторой постоянной для данного материала величины εразр. В случае объёмного напряжённого состояния: εmax = ε1 = 1 [σ1 – μ(σ2 + σ3)]; Е 40 при линейном напряжённом состоянии ε =   , для нашего случая: εmax = отр , Е Е тогда при сложном напряжённом состоянии разрушение произойдёт тогда, когда: σотр = σ1 – μ(σ2 + σ3). Заменяя σотр допускаемыми напряжениями при растяжении [σр ], получим: – μ(σ2 + σ3) ≤  отр n = [σр ]. Данная теория также не всегда подтверждается опытом. Кроме того, на основании формулы можно сделать вывод, что если бы образец растягивался в двух или трёх направлениях, то он был бы прочнее образца растягиваемого линейно. Третья теория прочности (теория наибольших касательных напряжений) основана на предположении, что разрушение материала происходит в результате среза и поэтому опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения в нём достигают опасного значения. Наибольшие касательные напряжения в общем случае напряжённого состояния определяются из выражения: τmax = 1 −  3 2 . Тогда условие прочности по третьей теории прочности имеет вид: τmax = 1 −  3 2 ≤ 1 [ σ ], 2 или σэкв=σ1 – σ3 ≤ [ σ ]. Для плоского напряженного состояния можно записать  ýêâ = ( õ +  ó ) 2 + 4 õó 2   . На практике часто встречаются случаи, когда σу=0, тогда  ýêâ 3 =  õ 2 + 4 õó2   . Достоинство данной теории заключается в простоте и линейности условия прочности. Она достаточно хорошо подтверждается опытами над пластичными материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию, а также опытами на всестороннее сжатие. Недостатком теории является то, что она совершенно не учитывает среднее по величине главное напряжение. Четвёртая (энергетическая) теория прочности основана на гипотезе о том, что опасное состояние возникает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает опасного значения [ Еф ], определяемого 41 опытным путём для одноосного напряжённого состояния. Данная теория широко используется при расчётах конструкций из пластичных материалов. В общем случае деформации часть энергии деформации Еpv расходуется на изменение объема тела, а другая часть Еpf на изменение формы, т.е. Ер= Еpv+ Еpf Последнее выражение равносильно представлению заданного напряженного состояния в виде двух напряженных состояний. Первое – гидростатическое растяжение (сжатие) σm, т.е на всех гранях кубика действуют одинаковые средние напряжения, под действием которых удлиняются или укорачиваются ребра – меняется объем (форма не меняется). σm= (σ1+σ2+ σ3)/3 Подставив последнее выражение в формулу для Ер3 запишем E pv = 1 − 2 2 1 − 2 3 m = ( 1 +  2 +  3 ) 2 . 2E 6E Второе напряженное состояние с компонентами напряжений на гранях кубика: σ1*=σ1- σm; σ2*=σ2- σm; σ3*=σ3- σm; изменяют только форму тела. Потенциальная энергия изменения формы тела Еpf = Ер- Еpv С учетом выражений Еpv Ер3 последнее равенство запишется в виде: E pf =   1+  ( 1 −  2 )2 + ( 2 −  3 )2 + ( 3 −  1 )2 . 6E При простом растяжении-сжатии σ2= σ3=0, σ1= σэкв получаем E pf = 1+  2 . 2 ýêâ 6E Прировняв равенства Еpf для объемного и линейного напряженного состояния получим: Для плоского напряженного состояния выражение для σэквбудет меть вид: В частном случае для плоского напряженного состояния когда σу=0 42 Достоинством данной теории прочности следует считать то, что она учитывает все три главных напряжения. Результаты расчётов, полученные по четвёртой теории прочности либо совпадают с нагрузками, установленными по третье теории прочности, либо превосходят её, но не более чем на 15%. Необходимо отметить, что данные теории неприменимы к анизотропным материалам. Например, наличие в дереве волокон приводит к тому, что необходимо учитывать их направление. Сложное сопротивление Косой изгиб До сих пор рассматривался плоский изгиб – плоскость действия нагрузок совпадает с продольной плоскостью симметрии стержня или вообще с одной из главных плоскостей. Деформация изгиба в этом случае проходит в плоскости действия моментов, а нейтральная ось совпадает с главной осью инерции сечения и перпендикулярна к плоскости действия моментов. Часто встречается случай, когда плоскость действия изгибающих моментов не совпадает ни с одной из главных плоскостей стержня. Такой изгиб называется косым. Пример косого изгиба приведен на рис. 3.20. 43 Рис. 3.20 Рассмотрим косой изгиб на примере консольной балки. Разложим силу F на составляющие Fy, Fz по главным осям. Абсолютные значения составляющих моментов в произвольном сечении на расстоянии Х (длина стержня l) будут равны: Mz = Fy(l-x) = F(l-x) cosα My = Fz(l-x) = F(l-x) sinα 44 Устойчивость сжатых стержней. Формула Эйлера Упругие (деформируемые) тела могут находиться в устойчивом и неустойчивом равновесии. Устойчивость упругой системы зависит F от её размеров, материала, значений и направлений внешних сил. Если тонкий прямой стержень сжимать вдоль геометрической оси, постепенно увеличивая силу, то при превышении некоторой её величины стержень изогнётся. Это явление называется потерей устойчивости. Минимальное значение силы, нагрузки и напряжения при котором первоначальная форма равновесия упругого тела становится неустойчивой, называется, соответственно, критической силой, критической нагрузкой и критическим напряжением. Продольный изгиб Потеря устойчивости центрально сжатым прямым стержнем называется продольным изгибом. x Рассмотрим прямой стержень с шарнирно закреплёнными F концами, нагруженный центрально нагруженной силой F. Приближённое дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид: x y l y М d2y = . 2 dx ЕJ Начало координат считаем у нижнего конца стрежня, а ось х направленной вверх. Изгибающий момент в сечении с абсциссой х равен: М = - Fy. Подставляя в предыдущее выражение, имеем: Fy d2y + = 0, 2 EJ dx или d2y + k2y = 0, dx2 где k2 = F EJ или k = F . EJ Интегрируя дифференциальное уравнение, получаем: y = A cos kx + B sin kx. Постоянные А и В можно определить из граничных условий: При х = 0 у = 0, подставляя в предшествующее выражение, имеем: 0 = А cos 0 + B sin 0 = А ∙ 1 + В ∙ 0 = А, или А = 0. При х = l у = 0, подставляя, имеем: 0 = 0 соs kx + B sin kx, или 45 В sin kx = 0. Последнее условие выполняется при В = 0 и при sin kx = 0. При подстановке в продифференцированное уравнение значения В = 0 и А = 0 получаем у = 0, что не соответствует условию задачи. Остаётся sin kx = 0. Ранее получили k = F , отсюда: EJ  F   = 0, sin  l  EJ   откуда  F  l   EJ  = πn,   где n – любое целое число кроме 0, т.к. в этом случае F = 0, что противоречит условию задачи. Но нас интересует минимальное значение силы F = FКР, которое соответствует значению n = 1, откуда:  F  l   EJ  = π,   или FКР =  2 EJ l2 . FКР = 4l 2 l l l l  2 EJ Точки перегиба изогнутой оси l l l Эта формула была впервые получена Эйлером, поэтому её называют формулой Эйлера, а критическую силу эйлеровой силой. Данная формула даёт значение критической силы для стержня с шарнирно закреплёнными концами. F F Рассмотрим центрально сжатый стержень длиной l, защемленной нижним концом. Для определения критической силы для стержня с данным видом закрепления можно применить предыдущую формулу, для стержня с шарнирно закреплёнными концами, но для этого необходимо удлинить имеющийся стержень, зеркально отобразив его, и подстав в формулу вместо длины l длину 2l. При этом формула примет вид: . Стержень с обоими заделанными концами при потере устойчивости имеет изогнутую ось балки симметричную середине стержня. При этом каждая четверть стержня находится в тех же условиях, что и стержень с одним защемлённым концом, т.е. для определения критической силы для данного стрежня нужно в последнюю формулу вместо l подставить l/4. в итоге имеем: FКР = 46 4 2 EJ . l2 Рис. Формулы Эйлера при различных закреплениях концов стержня можно представить в следующем виде:  2 EJ FКР = , ( l ) 2 где μ – коэффициент приведения длины, а μl – приведённая длина стержня. Для определения применимости формулы Эйлера необходимо определить критическое напряжение, т.е. напряжение возникающее в поперечном сечении при действии критической нагрузки. Критической нагрузке соответствует напряжение сжатия:  2 ЕJ FКР σкр = = . ( l ) 2 A A где А – площадь поперечного сечения стержня. Заменив в этом выражении J на Аi2 и введя обозначение λ= l i где λ – коэффициент, характеризующий приведённую гибкость стержня; i = радиус инерции сечения, получим: σкр =  2Е . 2 Чтобы можно было пользоваться формулой Эйлера необходимо удовлетворить следующее условие: 47 J A  2Å  êð = 2   ïð ,  где σпр-предел пропорциональности материала стержня. Перепишем последнюю формулу относительно гибкости    2 Å /  ïð . Если гибкость стержня (λ) окажется меньше расчетной, то формула Эйлера окажется неприменимой, т.к критические напряжения превзойдут предел пропорциональности и закон Гука не будет выполняться. В этих случаях обычно пользуются эмпирической формулой ТетмайераЯсинского полученной на основании многочисленных экспериментов: σ кр =а-bλ, где а и b коэффициенты, зависящие от материала. Действие динамических нагрузок При действии динамических нагрузок любой элемент конструкции в любой момент времени на основании принципа Доламбера можно рассматривать как находящийся в равновесии под действием внешних сил (в том числе и реакций опор) и сил инерции. Интенсивность р i распределенной инерционной нагрузки выражается зависимостью: pi = A g a, где А-площадь поперечного сечения стержня, γ-объемный вес материала, а- ускорение элемента конструкции, g-ускорение свободного падения. Пример Горизонтальный (прямолинейный) стержень длиной l поднимается действием силы F, которая приложена посередине стержня. вверх под Составим уравнения равновесия как сумму проекций на вертикальную ось Х F x = F − G − pi l = 0 где G вес стержня Прежде всего необходимо определить интенсивность полной погонной (распределенной) нагрузки, которая состоит из собственного веса и инерционной нагрузки q сум =q+p i = G/l+(F-G)/l=F/l. В результате получаем расчетную схему. Решение такой задачи известными методами не представляет труда 48 Удар Удар – совокупность явлений , возникающих при столкновении двух твердых тел, а так же при некоторых видах взаимодействия твердого тела с жидкостью или газом В сопротивлении материалов удар рассматривается как падение груза Р на неподвижно закрепленную упругую с высоты h. При изучении удара предполагаем, что удар является неупругим, т.е. ударяющее тело не отскакивает от конструкции, перемещается вместе с ней. После удара в некоторый момент времени скорость перемещения груза (Р) становится равной 0. В этот момент времени деформация конструкции, а следовательно и напряжения достигают своих наибольших значений. После затухания колебаний устанавливается состояние статического равновесия, при котором деформации конструкции и напряжения равны деформациям и напряжениям при статическом действии силы P . Предполагается, что эпюра перемещений системы от груза Р при ударе подобна эпюре перемещений, возникающих от этого же груза действующего статически. На основании этой гипотезы можно записать: Δ х / Δ хст = Δ/ Δ ст = k д/ k ä =  /  ñò = 1 + 1 + 2h /  cn = 1 + 1 + v 2 /( g cò ) , где v – скорость падающего груза в момент соприкосновения с системой, подвергающейся удару. Тогда σ = σ ст k д 49