Основы механики подвижного состава

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА Часть 1 ОМСК 2013 Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Омский государственный университет путей сообщения ________________________________________ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА Учебное пособие Часть 1 Омск 2013 УДК 629.4. 027 ББК 39.22-04 Г15 Галиев И. И. Основы механики подвижного состава: Учебное пособие. Часть 1 / И. И. Галиев, В. А. Нехаев, В. А. Николаев, В. Н. Ушак; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2013. 202 с. Изложены основы теории колебаний механических систем и методика формирования математических моделей, описывающих колебания подвижного состава. Дана классификация динамических систем и внешних возмущающих воздействий. Указаны показатели качества системы обрессоривания защищаемого объекта. Приведены сведения из теории операционного исчисления, с помощью которого изучается прохождение случайного внешнего возмущения через одностепенную механическую систему, а также из теории случайных процессов. Отражены основные характеристики динамических систем из теории автоматического управления. Предназначено для студентов очного и заочного обучения, обучающихся по специальности 190300 – «Подвижной состав железных дорог» специализаций «Локомотивы» (ЛТ), «Вагоны» (В), «Электрический транспорт железных дорог» (ЭПС, ЛЭ), «Технология производства и ремонта подвижного состава» (ТРПС, Т). Библиогр.: 92 назв. Табл. 9. Рис. 73. Рецензенты: доктор техн. наук, профессор С. В. Елисеев; доктор техн. наук, профессор П. Д. Балакин; доктор техн. наук, профессор Е. И. Сковородников. ISBN 978-594941070-7 ________________________ © Омский гос. университет путей сообщения, 2013 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение в курс .................................................................................................. 1. Подвижной состав и железнодорожный путь как механическая система, требования к ней. .............................................................................................. 1.1. Проблема повышения эффективности железнодорожного транспорта и факторы, влияющие на ее решение. Некоторые статистические данные по отказам и бракам в перевозочном процессе ............................................... 1.2. Технико-экономические требования, предъявляемые к подвижному составу как к механической системе ................................................................. 1.3. Типовые динамические характеристики упругих и диссипативных связей экипажа ................................................................................................... 1.4. Типы подвижного состава, эксплуатируемого в настоящее время на российских железных дорогах ...................................................................... 1.5. Основные допущения и упрощения, используемые в динамике подвижного состава................................................................................................ 1.6. Динамические характеристики верхнего строения железнодорожного пути ...................................................................................................................... 1.7. Мировые тенденции развития железнодорожного пути .......................... 1.7.1. Классическая конструкция пути, ее преимущества и недостатки .......... 1.7.2. Снижение нагрузки на балласт за счет увеличения размеров шпал ..... 1.7.3. Увеличение общей упругости пути .......................................................... 1.7.4. Колебания верхнего строения балластного пути .................................... 1.7.5. Безбалластный путь .................................................................................. 1.7.6. Опыт эксплуатации безбалластного пути ................................................ 2. Уравнения Лагранжа второго рода. Три способа вычисления обобщенной силы .............................................................................................................. 2.1. Методика формирования уравнения Лагранжа второго рода.................. 2.2. Потенциальная энергия поля силы тяжести ............................................... 2.3. Потенциальная энергия упругодеформированного тела .......................... 2.4. Потенциальная энергия системы тяготеющих масс ................................... 2.5. Вычисление обобщенной силы (три способа ее нахождения) ................. 2.5.1. Графоаналитический способ вычисления обобщенной силы ................ 2.5.2. Аналитический способ вычисления обобщенной силы......................... 2.5.3.Способ вычисления обобщенной силы через определение потенциальной энергии .................................................................................................. 3 5 13 13 20 22 28 33 47 57 57 60 65 68 69 73 79 79 85 86 88 89 90 92 93 3. Классификация внешнего возмущения. Вывод математической модели колебаний одностепенной механической системы ......................................... 3.1. Колебания машин и виброзащита объектов .............................................. 3.2. Классификация внешнего воздействия ...................................................... 3.3. Вывод математической модели одностепенной механической системы 3.4. Составляющие вынужденного колебания .................................................. 3.5. Время установления стационарного режима в механической системе и развитие резонанса в ней .................................................................................. 4. Коэффициенты динамичности системы, характеризующие эффективность рессорного подвешивания экипажа ........................................................ 4.1. Понятие коэффициента динамичности ...................................................... 4.2. Коэффициент динамичности по перемещению ......................................... 4.3. Коэффициент динамичности по скорости .................................................. 4.4. Коэффициент динамичности по ускорению ............................................... 4.5. Коэффициент динамичности по силе ......................................................... 4.6. Коэффициент эффективности рессорного подвешивания ........................ 5. Операционное исчисление. Передаточная функция и другие характеристики системы ................................................................................................. 5.1. Операционный метод как способ перехода от дифференциальных уравнений к алгебраическим ............................................................................. 5.2. Изображения некоторых часто встречающихся функций и действия над ними ............................................................................................................. 5.3. Передаточная функция одностепенной механической системы .............. 5.4. Нахождение передаточной функции многостепенной механической системы ............................................................................................................... 6. Случайное внешнее возмущение и его математическое описание ............ 6.1. Вероятностные характеристики случайных величин ................................. 6.2. Вероятностные характеристики случайных функций................................. 6.3. Классификация случайных процессов ........................................................ 6.4. Основные статистические характеристики стационарных случайных процессов ............................................................................................................ 6.5.. Математическое описание вертикальных неровностей на поверхности катания рельсов .................................................................................................. 6.6. Математическая модель импульсного воздействия при прохождении колесной парой стыка ........................................................................................ Заключение ......................................................................................................... Библиографический список................................................................................ 4 94 94 97 98 101 106 111 111 111 113 115 116 119 123 123 125 130 134 137 137 141 150 168 171 188 193 193 ВВЕДЕНИЕ В КУРС Механика – это наука, занимающаяся изучением движения в пространстве и во времени материальных точек, отдельных тел и систем этих тел. Круг проблем, рассматриваемых в механике, очень велик, и с развитием этой науки в ней появился ряд самостоятельных областей, связанных с механикой твердых и деформируемых тел, жидкостей и газов. К этим областям относятся теории упругости и пластичности, гидромеханика, аэромеханика, аэродинамика, газовая динамика и ряд разделов прикладной механики, в частности, механика железнодорожного подвижного состава. Изучение процессов взаимодействия пути и подвижного состава, как известно, началось вместе с зарождением железнодорожной техники, поскольку результаты такого рода исследований были необходимы при создании подвижного состава и пути, установлении норм их устройств и правил ремонта и содержания. Практические потребности обусловили необходимость изучения и решения взаимосвязанных задач: о величинах и характеристиках колебаний подвижного состава и пути при движении поездов; о величинах и направлениях действия сил, возникающих между колесами экипажей и рельсами, между отдельными конструктивными элементами пути, а также у экипажей при их движении; о величинах деформации и необходимых конструктивных размерах элементов пути и подвижного состава, а также о требованиях к применяемым для их изготовления материалам, обеспечивающих достаточные прочность, долговечность, надежность и безопасность движения железнодорожных экипажей. На первом этапе развития исследования динамических процессов в подвижном составе и пути шли разобщенно. Между тем, первопричина всех этих процессов и имеющих место в настоящее время проблем заключается именно во взаимодействии подвижного состава и пути, следовательно, в их поведении как единой механической системы [1]. 5 В связи с постоянным и неизбежным повышением скоростей движения поездов специалисты, занимающиеся созданием новых и модернизацией существующих вагонов и локомотивов, а также эксплуатацией подвижного состава, обязаны обладать глубокими знаниями динамики подвижного состава во взаимодействии его с путем. Подготовке таких специалистов и служит настоящий курс, в котором излагаются основы теоретических и экспериментальных методов определения условий безопасного и плавного движения подвижного состава по железнодорожным путям, а также величин динамических сил взаимодействия, необходимых для расчета вагонов и элементов пути на прочность и надежность, установления критериев оценки динамических качеств вагонов. Известно, что эксплуатируемый подвижной состав железных дорог по техническим условиям должен удовлетворять следующим основным требованиям [2]: 1) все узлы конструкции экипажа должны работать в предусмотренных при проектировании условиях и иметь достаточную прочность; 2) ходовая часть подвижного состава должна обеспечивать в полной мере безопасность движения поезда по рельсовым путям с допускаемыми скоростями как в прямых, так и в кривых участках пути; 3) любой железнодорожный экипаж должен иметь плавный ход; 4) при своем движении подвижной состав ни в груженом, ни в порожнем состоянии не должен выступать за пределы габарита приближения строений. Подвижной состав железных дорог и отдельные его узлы в процессе эксплуатации подвергаются воздействию сил как имеющих определенные величину и характер изменения, так и переменных во времени и по величине. Проверка прочности подвижного состава сводится к расчету усилий, которым подвергается узел или деталь в эксплуатации, к определению вызываемых этими усилиями напряжений и к оценке запаса прочности деталей в процессе рабочего периода. Безопасность движения и плавность хода экипажа оцениваются на основании аналитического исследования динамических качеств эксплуатируемого и проектируемого подвижного состава, зависящих в основном от конструкции и механических параметров его экипажной части, принятых при проектировании 6 и выборе параметров рессорного подвешивания. Рессорное подвешивание предназначено для равномерного распределения весовых нагрузок от кузова на рамы тележек и от них на колесные пары, а также для уменьшения динамических сил, передаваемых колесными парами на надрессорное строение, при прохождении экипажем неровностей пути. Следовательно, проверка динамических качеств подвижного состава сводится к исследованию поведения экипажа при движении в кривых различных радиусов при различных скоростях движения, а также при входе в кривую, к проверке достаточной эффективности демпфирующих амортизирующих средств на основе формирования и исследования дифференциальных уравнений вертикальных и горизонтальных колебаний экипажа. Часто в этих случаях приходится иметь дело с нелинейными математическими моделями подвижного состава, и в этом случае с большим эффектом может быть использована вычислительная техника. Определимся с термином «колебания». Колебания – это повторяющееся ограниченное движение относительно некоего среднего состояния, которое в частном случае может быть состоянием равновесия. Такое определение объединяет весьма широкий круг явлений, встречающихся в природе, изучаемых физиками и находящих применение в технике. Колебательные процессы в линейных системах с постоянными параметрами давно изучены, и их математическая теория хорошо развита. Изучение же общих закономерностей колебаний в нелинейных системах началось значительно позднее, и долгое время рассматривались лишь отдельные частные задачи без обобщения полученных результатов на широкие классы динамических колебательных систем и протекающие в них процессы. Общий подход к изучению колебательных процессов впервые был сформулирован в трудах профессора Л. И. Мандельштама, который в 1931 г. создал в Московском университете кафедру колебаний и тогда же начал читать курс теории колебаний. В теории колебаний изучаются колебательные процессы с целью выяснения общих особенностей и закономерностей протекания этих процессов в динамических системах и условий их существования, т. е. проводится рассмотре- 7 ние специфического типа движений, присущего определенному классу систем. Подобные динамические системы, в которых могут существовать колебательные процессы, принято называть колебательными системами. Современная теория колебаний, естественно, в большей степени основывается на тех работах, в которых был развит соответствующий подход к колебательным процессам и разработаны методы их рассмотрения, поэтому представляется необходимым упомянуть ряд имен ученых, внесших наиболее фундаментальный вклад в учение о колебаниях. Дж. В. Стрэтт (лорд Релей, 1842 – 1919) в своем труде «Теория звука» впервые изложил расчеты ряда колебательных процессов с последовательным учетом нелинейных свойств колебательных систем. В современной теории колебаний используются также математические методы, развитые А. Пуанкаре (1854 – 1912) в его работах по небесной механике. Нашли применение и исследования А. М. Ляпунова (1857 – 1918) по устойчивости движений и методы расчета колебательных явлений, развитые А. Н. Крыловым (1863 – 1945). Очень большое значение для формирования теории колебаний имели основополагающие работы Ван-дер-Поля (1889 – 1959) по колебаниям в некоторых нелинейных системах и общие исследования колебательных процессов в нелинейных системах, проведенные А. А. Андроновым (1901 – 1952), развившим учение о самоподдерживающихся колебательных процессах, названных им автоколебаниями, и этот термин в настоящее время является общепринятым. При развитии теории колебаний значительное внимание уделялось разработке эффективных методов анализа и расчета различных колебательных процессов, в результате чего в настоящее время накоплен богатый арсенал приемов и путей рассмотрения широкого круга задач. Однако следует иметь в виду, что для физиков и специалистов технических направлений теория колебаний – это не совокупность методов анализа и расчета, а изучение закономерностей протекания колебательных процессов в реальных системах с использованием в каждом случае наиболее адекватных методов рассмотрения. При этом чрезвычайное многообразие коле- 8 бательных систем и их свойств при изучении протекающих в них колебательных процессов требует нахождения общих черт у различных колебательных систем и объединения их по наиболее характерным признакам в определенные классы и типы. Однако последовательная классификация различных колебательных систем при их изучении возможна лишь при условии замены конкретных реальных систем с их неизбежным чрезвычайным многообразием свойств моделями, в которых отражается только ограниченное число основных черт, существенных для изучаемых колебательных процессов. Выбор модели, передающей наиболее важные, основные и определяющие свойства изучаемой реальной системы и вместе с тем достаточно простой для применения известных методов анализа и расчета – первый и очень важный этап всякой теории и в том числе теории колебаний. Такой выбор – первое упрощение рассматриваемой задачи, и от его правильности решающим образом зависят реальность и достоверность результатов последующего исследования, а также оправданность выбора метода дальнейшего анализа. Избыточно точный расчет чрезмерно грубой модели лишен смысла, так же как и использование очень сложной и учитывающей весьма многие детали реальной системы модели при ее дальнейшем грубом и упрощенном анализе. Во всех случаях весьма важно правильно выбирать соответствие между степенью идеализации при переходе к модели, точностью аналитической аппроксимации реальных физических зависимостей и точностью применяемых математических методов. Заменяя реальные динамические системы их моделями, можно провести последовательную классификацию систем и протекающих в них колебательных процессов по различным признакам. Кинематические признаки – основа классификации колебательных движений, совершаемых системами, а основа классификации колебательных систем – их динамические свойства. Кинематическими признаками колебательного движения являются его периодичность и форма (амплитуда). Для строго периодических процессов выполняется соотношение F(t) – F(t + T) ≡ 0, справедливое для любого момента времени t, где T – период данного колебательного движения; ν = 1/T – число 9 периодов в единицу времени, или частота. Широко используется так называемая угловая, или круговая, частота ω = 2πν. Особое значение имеет простейший вид колебательного процесса – гармоническое колебание: F(t) = a cos(2πνt + ϕ0 ) = a cos(ωt + ϕ0 ), здесь a – амплитуда колебания; ϕ0 – начальная фаза колебания; ωt + ϕ0 – фаза, соответствующая данному моменту времени. Гармонические колебания представляют особый интерес не только в силу простоты их аналитического представления, но в первую очередь потому, что эта форма движения наиболее обычна для колебательных процессов в системах с постоянными параметрами и чрезвычайно часто встречается в реальных процессах, изучаемых в физике и в технических дисциплинах. В зависимости от природы изучаемых колебательных движений встречаются периоды, имеющие самые различные значения. Так, например, периоды обращения планет Солнечной системы составляют величины порядка 108 с, период вращения Земли, периоды приливных процессов – величины порядка 105 с, периоды колебаний маятников в часах – порядка 100 с. Периоды колебаний, изучаемых в акустике, – от 10-1 до 10-4 с; в радиотехнике имеют дело с колебаниями с периодами от 10-4 до 1012 с. Колебания молекул, связанные с инфракрасным излучением, имеют периоды порядка 10-12 – 10-14 с. Оптический диапазон соответствует периодам колебаний 10-14 – 10-15 с, связанных с атомными процессами, а периоды колебаний, соответствующих рентгеновскому излучению, составляют 10-17 – 10-19 с. Из приведенных примеров видно, насколько различаются величины периодов колебательных процессов, изучаемых в астрономии, физике и технике, с которыми приходится сталкиваться исследователям. Однако у всех этих процессов, имеющих различную природу, есть ряд общих свойств и особенностей, которыми и занимается теория колебаний. Следует отметить, что строгой периодичности реальных процессов в природе нет и строгая периодичность – это тоже идеализация. В реальных колебательных системах всегда существуют возмущающие силы, случайные сме- 10 щения (например, флуктуационные) и нестабильность параметров, исключающие возможность идеальной периодичности. Поэтому более последовательным было бы изучение колебательных процессов, в которых условие периодичности выполняется приближенно, т. е. положить в основу рассмотрения почти периодические колебания, для которых |F(t) – F(t + T(ε))|<< ε, где ε – любая наперед заданная малая величина и T(ε) – почти период. Примером такого процесса может служить процесс затухающих колебаний F (t ) = ae− nt cos(ωt + ϕ0 ) при достаточно малом коэффициенте демпфирования n. Здесь T = 2π/ω – почти период. Процесс, представляющий собой сумму двух периодических колебаний с несоизмеримыми частотами, также служит примером почти периодического движения: F(t) = a1 cosω1t + a2 cosω2t. Если, кроме того, можно указать такие числа m и n, что |mT1 – nT2| << μ, то mT1 или nT2 также являются периодами этого процесса при достаточно малом значении μ. Однако теория почти периодических процессов сложна и во многих случаях мало разработана. Поэтому в основу рассмотрения большинства колебательных задач можно положить допущение о периодичности наряду с существованием заведомо непериодических колебательных процессов. Помимо периодичности колебательные движения характеризуются формой и амплитудой, и эти кинематические признаки позволяют определенным образом классифицировать разнообразные процессы колебаний. В теории колебаний (а динамика подвижного состава базируется именно на ней), как уже упоминалось, главной задачей является изучение колебательных процессов в определенных динамических системах – в колебательных системах. Поэтому необходима классификация колебательных систем по их динамическим свойствам. Подобная классификация, естественно, будет полно11 стью последовательной лишь для соответствующих моделей с ограниченным числом свойств. Классификацию колебательных систем можно провести по ряду признаков: во-первых, по числу степеней свободы, во-вторых, по энергетическим признакам, разделяя системы на активные (с внутренним источником энергии) и пассивные, в-третьих, по свойствам параметров системы, выделяя системы с параметрами, не зависящими от состояния (линейные системы), и с параметрами, зависящими от состояния системы (нелинейные системы), в-четвертых, по условиям действия, разделяя системы на автономные и неавтономные. Очевидно, что простейшими колебательными системами являются системы с одной степенью свободы, с которых и начинается рассмотрение колебательных процессов в идеализированных динамических системах. Кроме того, следует иметь в виду, что системы с одной степенью свободы представляют собой объект, наиболее доступный для исследования возможных колебательных движений при самых разных их нелинейных свойствах. Нелинейные же системы с двумя и большим числом степеней свободы и распределенные системы поддаются последовательному анализу лишь в отдельных частных случаях. Их рассмотрение даже в линейном приближении значительно более сложно, громоздко и не допускает ряда качественных и наглядных приемов, которые возможны для систем с одной степенью свободы. В данной части учебного пособия, являющейся теоретической основой курса «Механика подвижного состава», приведены технико-экономические требования, предъявляемые к подвижному составу как к механической системе, отмечено, что подвижной состав и путь представляют собой единую механическую систему. Показаны основные типы подвижного состава, эксплуатируемого в настоящее время на российских железных дорогах, Представлены мировые тенденции развития железнодорожного пути, что имеет большое значение для организации высокоскоростного движения поездов. Изложены основы теории колебаний механических систем. Приведена методика формирования математических моделей, описывающих колебания подвижного состава и отдельных его узлов. Дана классификация динамических систем и внешних воз- 12 мущающих воздействий. Изложены показатели качества системы обрессоривания защищаемого объекта. Приведены сведения из теории случайных процессов. Изложены основы операционного исчисления, с помощью которого изучается прохождение случайного внешнего возмущения через одностепенную механическую систему, в терминах теории автоматического управления. В терминах классической теории автоматического управления дано описание основных характеристик динамических колебательных систем 1. ПОДВИЖНОЙ СОСТАВ И ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫЙ ПУТЬ КАК МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, ТРЕБОВАНИЯ К НЕЙ 1.1. Проблема повышения эффективности железнодорожного транспорта и факторы, влияющие на ее решение. Некоторые статистические данные по отказам и бракам в перевозочном процессе В современных условиях жесткой рыночной экономики конкурентоспособность и эффективность функционирования железных дорог в решающей мере зависят от их пропускной и провозной способностей. Известно, что основную прибыль при этом доставляют грузовые перевозки. В настоящее время железные дороги несут значительные издержки, обусловленные многочисленными ограничениями скорости, влияющими на эффективность высокоскоростных поездов, а также сходами вагонов с рельсов, отцепками вагонов из-за неисправностей и другими последствиями. Из-за этих причин и ряда других факторов уровень контейнерных перевозок по транспортному коридору «Восток – Запад» остается незначительным по сравнению с мировым грузооборотом (всего 1 %). Президент ОАО «РЖД» В. И. Якунин в числе многих задач Компании отметил необходимость роста конкурентоспособности железнодорожного транспорта в контейнерных перевозках и подчеркнул острую необходимость повышения безопасности перевозок, в том числе за счет предотвращения изломов боковых рам. 13 Безопасность движения, плавность хода, габаритная безопасность, прочность, надежность и другие эксплуатационные качества вагона в значительной мере определяются динамическими силами, действующими на вагон вследствие возникающих колебательных процессов и ударного взаимодействия между составляющими конструкцию вагона частями (кузовом и тележками), а также между ходовыми частями и рельсовым путем. Согласно статистическим данным в 2010 г. на пунктах технического осмотра Западно-Сибирской железной дороги в тележках грузовых вагонов было выявлено 2336 трещин, что на 73 % больше, чем в 2009 г. [84]. В 2011 г. на российских железных дорогах произошло 25 случаев излома боковых рам, а также других узлов подвижного состава (рис. 1.1 – 1.6). Рис. 1.1. Излом диска колесной пары 14 Рис. 1.2. Излом надрессорной балки Рис. 1.3. Обрыв хвостовика автосцепки 15 Рис. 1.4. Результат схода одного из вагонов поезда Рис. 1.5. Последствия брака в перевозочном процессе 16 а б Рис. 1.6. Крушение грузового поезда на мосту через реку Иртыш 17 Известно, что основой ходовой части грузовых вагонов российских железных дорог является тележка модели 18–100 – ухудшенный, как в свое время отмечал профессор М. Ф. Вериго [89], аналог американской тележки Барбера, патент на которую получен в 1928 г. – почти 100 лет тому назад! Простые по конструкции и в обслуживании трехэлементные тележки имеют ряд характерных недостатков [5, 30, 89]: значительная необрессоренная масса и высокая частота собственных колебаний в вертикальной плоскости симметрии, что обусловливает большое силовое воздействие на раму тележки и на путь, накопление его расстройств; интенсивный износ элементов системы «клин – фрикционная планка», обусловливающий нестабильность и несоответствие диссипативных характеристик рессорного подвешивания в порожнем и груженом состояниях вагона; недостаточные конструктивный зазор и сила трения между узлами надрессорной балки и боковой рамой тележки в поперечном направлении, приводящий к ударному взаимодействию их элементов, а последней – с элементами буксового узла, что также является причиной повреждения торцов роликов, торцового крепления и нагрева буксовых узлов, что в свою очередь является причиной большого количества отцепок вагонов по подтвержденному нагреву; интенсивный износ опорных поверхностей сопрягаемых узлов тележки и пятникового узла; увеличенные, по сравнению с тележкой Барбера, продольные и поперечные зазоры между буксами и боковыми рамами, приводящие к параллелограммированию тележки в кривых участках пути и вследствие этого –к увеличению сопротивления движению поезда в кривых, остроконечному накату и подрезу гребня, а также к повышенному износу боковой грани головки наружного рельса; недостаточный вследствие отмеченных факторов межремонтный пробег, не превышающий 160 тыс. км; недостаточная надежность боковых рам и надрессорной балки, обусловленная наличием дефектов литья, приводящая к излому боковых рам в эксплуатации с вытекающими отсюда известными тяжелыми последствиями. 18 Вследствие отмеченных недостатков конструкции, обусловливающих не в полной мере отвечающие современным требованиям динамические свойства тележки модели 18–100 и ее модификаций, несмотря на принимаемые меры по модернизации тележек и оснащению их колесами повышенной твердости, по сравнению с 2009 г. в 2010 г. возросло количество отцепок по неисправностям колесных пар и тележек в целом. Так, например, количество неисправностей буксового узла составило 62971 (в 2009 г. – 61169 [84]), число неисправностей, обусловленных износом гребня, – свыше 150 тыс. случаев даже в условиях достаточно широкого применения лубрикации. Несмотря на то, что на российские железные дороги поставлено около 5 млн колес повышенной твердости, количество неисправностей поверхности катания колес в 2011 г. составило свыше 180 тыс. случаев. Повышенное по сравнению с обычными колесами содержание углерода и марганца, способствующее повышению их износостойкости, вместе с тем создало проблемы повышения вероятности образования выщербин, затруднения и удорожания процессов обрабатываемости таких колес. Большое количество неисправностей в грузовых вагонах из-за вынужденных остановок грузовых поездов послужило причиной многочисленных задержек пассажирских и пригородных поездов. Задержки пассажирских и пригородных поездов значительно снижают привлекательность пассажирских перевозок федеральной пассажирской компании и негативно влияют на формирование имиджа и конкурентоспособности «ОАО «РЖД» в целом. Такие основные недостатки, как большая необрессоренная масса, значительная жесткость рессорного комплекта, недостаточный уровень диссипативных сил в рессорном подвешивании в порожнем режиме движения вагона и его избыток в груженом режиме, различные несовершенства колесных пар в совокупности с увеличенным модулем упругости пути, являются причиной накопления неисправностей узлов ходовой части вагона и дефектов верхнего строения пути, снижающих их технический ресурс. Согласно данным Управления статистики Главного вычислительного центра ОАО «РЖД», несмотря на принимаемые меры, количество дефектных рельсов, ежегодно снимаемых с пути на сети дорог, составляет свыше 50 тыс. штук. Доминирующим дефектом является дефект № 17 – выкрашивание металла го- 19 ловки рельса, обусловленное ударными силами взаимодействия элементов системы «колесо – рельс». При стоимости одного рельса свыше 28 тыс. р. затраты на их замену, с учетом выделения «окон» и других расходов, превышают сумму порядка 1,5 млрд р. Заметим также, что в условиях железных дорог Сибирского региона вынужденные затраты на реконструкцию одного километра пути, обусловленную накоплением расстройств его верхнего строения, в настоящее время составляют свыше 15 млн р. 1.2. Технико-экономические требования, предъявляемые к подвижному составу как к механической системе Локомотивы в целом, и в частности их механическая часть, должны удовлетворять определенным требованиям эксплуатации, которые представляются как совокупность показателей качества. Расшифруем указанное выше технико-экономическое понятие «качество», охватывающее свойства объекта, которые обусловливают его пригодность удовлетворять определенным требованиям в соответствии с назначением объектов. Количественную характеристику такой пригодности объектов описывают с помощью показателей качества, выбор которых зависит от назначения объекта. Для объектов многоцелевого назначения, таких, например, как электроподвижной состав, может быть значительное количество показателей как безразмерных, так и выражаемых в различных единицах, например, километрах в час, часах и т. п. Показатели качества любой технической системы подразделяют на 11 основных групп: – назначения; – безопасности; – экономичного использования сырья, материалов, топлива и энергии; – надежности; – эргономичности; – эстетические; – технологические; 20 – транспортабельности; – стандартизации и унификации; – патентно-правовые; – экологические. Каждая из этих групп, в свою очередь, делится на подгруппы: например, показатели назначения – на показатели классификационные, функциональные и технической эффективности, конструктивные, состава и структуры; показатели безопасности – на физические, химические, биологические, психофизиологические; показатели надежности – на показатели безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости; показатели эргономические – на показатели гигиенические, физиологические, психофизиологические и психологические. Если говорить о механической части локомотива, то показатели качества делятся на два больших класса: общие для механической части и локомотива в целом как единого технического средства; специфические для механической части, учитывающие ее основные особенности, отличающие механическую часть от других составных частей локомотива. К специфическим показателям относятся показатели, которые характеризуют поведение локомотива как механической системы при движении по рельсовому пути. Поскольку определяющую роль при этом играют колебательные процессы, показатели принято называть показателями динамических качеств (ПДК), к которым относятся следующие показатели: виброзащиты, определяющие степень защиты оборудования локомотива, а также пути от вибраций, возникающие при движении локомотива по нему; безопасности движения, характеризующие степень обеспечения безаварийности движения по рельсовой колее; плавности хода, относящиеся к подгруппе гигиенических показателей и характеризующие степень воздействия вибрации локомотива на организм человека. 21 Все специфические показатели качества механической части связаны с колебаниями движущегося подвижного состава, поэтому совершенствование механической части (особенно рессорного подвешивания) в значительной мере сводится к обеспечению ее требуемых динамических качеств в заранее заданных условиях движения. Во многих современных железнодорожных экипажах (локомотивах, пассажирских вагонах) рессорное подвешивание кузова выполнено по системе «Flexicoil» (гибкий стержень – англ.), т. е. упругие элементы кузовной ступени обрессоривания воспринимают не только вертикальную, но и горизонтальные (поперек и вдоль пути) нагрузки. Гасители колебаний работают отдельно в вертикальной и горизонтальной плоскостях симметрии экипажа. Именно это диктует необходимость достаточно подробного рассмотрения характеристик элементов систем рессорного подвешивания железнодорожных экипажей. 1.3. Типовые динамические характеристики упругих и диссипативных связей экипажа Упругие элементы бывают торсионные, листовые, с винтовыми пружинами, пневматические, гидропневматические, резиновые, гидравлические и др. По типу кинематических связей между элементами — независимые, сбалансированные, частично связанные и смешанного типа. По виду характеристик различают упругие элементы с линейной и нелинейной характеристиками (рис.1.7). Упругие элементы с нелинейными характеристиками имеют ряд преимуществ и поэтому широко применяются в настоящее время в реальных конструкциях. Для адекватного описания процессов, протекающих в динамических системах, необходимо правильно описывать упругие и диссипативные свойства связей между элементами и узлами железнодорожных экипажей. Силовые характеристики могут также задаваться аналитически в однозначных и неоднозначных функциях (рис.1.7, б – е). В большинстве случаев зависимость между силой F и упругой деформацией х в соответствии с законом Гука для металлов принимается линейной (прямая 1 на рис. 1.7, а), означающей, что коэффициент жесткости является постоянной величиной. 22 Рис. 1.7. Типовые силовые характеристики систем обрессоривания узлов железнодорожных экипажей Однако для некоторых упругих элементов, например, винтовых пружин, образующая которых выполнена в виде конуса, а также для резины коэффициент жесткости возрастает с увеличением приложенной силы, и тогда характе- 23 ристика является жесткой (кривая 2 на рис. 1.7, а). Жесткая силовая характеристика, представленная на рис. 1.7, а кривой 2 и описываемая, как правило, кубической нелинейностью (или тангенсоидой), предпочтительна для плавного ограничения динамического хода системы обрессоривания и получения, во многих случаях, наилучших показателей динамических качеств. Мягкую силовую характеристику (см. рис. 1.7, а, кривая 3) имеют поглощающие аппараты автосцепных устройств, выполненные из эластомерных материалов. В некоторых случаях деформации связей сопровождаются заметной диссипацией (рассеянием) энергии, связанной с учетом сил неупругого сопротивления (внутреннего трения в материале). Тогда график, представленный на рис. 1.7, б имеет две ветви, причем верхняя часть соответствует нагрузке, а нижняя – разгрузке. Контур, образованный этими ветвями, называют петлей гистерезиса. Площадь, расположенная внутри петли гистерезиса, пропорциональна работе, затраченной за один цикл на преодоление сил неупругого сопротивления. Отношение этой работы к работе, затраченной на деформацию упругого элемента, называют коэффициентом рассеяния. В некоторых случаях нагрев упругого элемента, обусловленный внутренним трением, может привести к потере его устойчивости, например, в тяжелонагруженных высокоэластичных муфтах, применяемых для передачи вращающего момента от тягового электродвигателя колесной паре электропоезда. Нелинейными считаются также характеристики, которые имеют точки разрыва или излома. Например, на рис. 1.7, в показана нелинейная характеристика типа «сухое трение», реализуемая фрикционными гасителями колебаний с постоянной силой нажатия, устанавливаемыми в буксовой ступени подвешивания тепловоза 2ТЭ116, а также в зоне контакта скользунов кузова и тележки модели 18-100 грузового вагона при их относительном перемещении в горизонтальной плоскости. Эта нелинейность имеет важную особенность, состоящую в том, что при x& = 0 сила трения может принимать любое значение в пределах ± F0, равное в каждый момент времени сумме всех действующих сил, вклю- чая силу инерции. Поэтому движение защищаемого объекта, оснащенного 24 таким гасителем колебаний, относительно колеблющегося источника возмущений (колесной пары локомотива) будет отсутствовать, когда x& = 0 и Fтр < F0. Это означает, что система виброизоляции заблокирована силой сухого трения и виброзащита объекта полностью отсутствует. Если же в процессе движения системы всегда оказывается, что при x& = 0 Fтр > F0., то застоев не будет и характеристика силы трения подобна характеристике релейного типа. Уравнение свободных затухающих колебаний одномассовой динамической системы в данном случае, при наличии линейной восстанавливающей силы и силы сухого трения, будет иметь вид: mx&& + kx + F0signx& = 0 (1.1) в случае, если mx& + kx ≥ F0 при x& = 0 . (1.2) В противном случае будет иметь место отсутствие колебаний защищаемого объекта относительно источника возмущений. На рис. 1.7, г представлена нелинейность типа «зазор». При перемещении контактирующих элементов относительно друг друга в пределах зазора на величину ± ∆ упругая сила F(x) равна нулю, а затем она изменяется по линейному или нелинейному закону. Характеристики сил с точками разрыва или излома называют существенно нелинейными, так как в этих точках нельзя определить производную функции F(x) и использовать обычный прием линеаризации посредством разложения в ряд Тейлора. На этом основании характеристика силы трения при сухом или граничном трении считается нелинейной даже в случае, если коэффициент трения скольжения имеет постоянную величину. На рис. 1.7, д представлена нелинейность типа «преднатяг». Устройства, обеспечивающие сочетание преднатяга с зазором и разделение масс кузова и тележки в горизонтальной плоскости, применяются для повышения динамических качеств железнодорожных экипажей при движении их по 25 стрелочным переводам и при вписывании в кривые (например, на тепловозе ТЭП 60 и электровозе ВЛ 60). Для гашения колебаний в конструкциях рессорного подвешивания основных типов магистральных и маневровых локомотивов применяются листовые рессоры, гасители колебаний фрикционного типа и гидравлические гасители колебаний (гидродемферы). Силовая характеристика рессоры представлена на рис. 1.7, е. При отсутствии трения характеристика рессоры определяется прямой ОЕ. Из-за действия сил трения линия нагрузки ОВ и линия разгрузки ОС не совпадают. Сила трения, формируемая рессорой F = φтр P , где φтр – коэффициент относительного трения, определяемый, в свою очередь, по формуле [3]: φтр = 2µ(n + m − 1)h / L . (1.3) Здесь µ – коэффициент трения между листами рессоры, зависящий от наличия смазки; n и m – количество наборных и коренных листов соответственно; h и L– соответственно толщина и длина листа рессоры. При колебаниях обрессоренной массы с амплитудой ± ∆x рессора работает в пределах части диаграммы, расположенной внутри четырехугольника ABCD. При дополнительном нагружении рессоры, обусловленном наездом колеса на неровности пути, сила, формируемая в ней, Pн = жх + F = жх(1+ φтр ), (1.4) Pр= жх – F = ж х(1– φтр ). (1.5) а при разгрузке Площадь четырехугольника ABCD характеризует работу сил трения при колебаниях обрессоренной массы с амплитудой ∆x или рассеиваемую механическую энергию за один период колебаний. 26 Анализ формул (1.1) – (1.5) показывает, что при повышенных нагрузках на листовую рессору и большом количестве листов, что характерно, например, для магистральных электровозов ВЛ10 и ВЛ80 и ВЛ85, выполняющих основную грузовую работу, рессора может быть заблокирована силой сухого трения, что значительно повышает динамическую нагруженность узлов локомотивов. Именно по этой причине листовые рессоры отсутствуют в ходовой части современных железнодорожных экипажей. К основным преимуществам фрикционных гасителей следует отнести простоту конструкции и их обслуживания в эксплуатации, а также надежность в работе. Несмотря на это, у таких гасителей есть и недостатки, к которым относятся: независимость силы трения от частоты колебаний, что негативно влияет на качество виброзащиты в зарезонансной области; неустойчивый режим демпфирования колебаний; сравнительно быстрая изнашиваемость фрикционной пары; низкая чувствительность к малым амплитудам возмущений, что приводит к повышению жесткости системы рессорного подвешивания, т. е. к появлению зон нечувствительности виброизолятора к возмущениям и ухудшению вследствие этого качества виброзащиты объекта. К преимуществам гидравлических гасителей относятся – зависимость силы сопротивления от амплитуды и частоты колебаний; – обеспечение устойчивого режима демпфирования; – меньший, по сравнению с фрикционными гасителями, износ в эксплуатации. Основными недостатками названных гасителей являются – высокая стоимость; – сложность в изготовлении и их обслуживании в эксплуатации и возможность утечки рабочей жидкости; – изменение вязкости масла в зависимости от температуры; – блокирование системы рессорного подвешивания при высокочастотном характере возмущающего воздействия; – жесткая передача ударных импульсов. 27 Последние два недостатка могут быть устранены путем введения упругого элемента между гасителем колебаний и источником возмущений. Одним из направлений решения задачи создания гасителей колебаний, сочетающих все преимущества и исключающих недостатки типовых гидродемпферов, могут стать управляемые гидравлические гасители вязкого трения ротационного типа. В этих гасителях механическая энергия превращается в тепловую за счет возникновения сил вязкого трения в жидкости, заполняющей зазоры между поверхностями, совершающими относительные угловые колебания. 1.4. Типы подвижного состава, эксплуатируемого в настоящее время на российских железных дорогах Отметим некоторые специфические проблемы тягового подвижного состава. Так, наземному тяговому транспортному средству присуще выполнение ряда функций, среди которых по важности выделяются три: функция опирания – восприятие и передача веса транспортного средства на поверхность опирания, функция приведения в движение – создание силы тяги, преодолевающей сопротивление движению, и функции направления движения – восприятие направляющего усилия со стороны рельсовой колеи, достаточного для поворота экипажей в кривых участках пути. Известно, что при использовании колеса сопротивление качению тем меньше, чем меньше контактная площадка, очевидно, что наиболее низкие, экономически приемлемые сопротивления движению получаются при наличии металлических колес и рельсов, но с ровными, идеальными поверхностями катания, т. е. без геометрических неровностей и других неидеальностях как на рельсах, так и на колесах, чего в действительности не бывает. Применение же колеса в качестве движителя создало массу дополнительных проблем: сила тяги реализуется с помощью трения в месте контакта колеса и рельса, следовательно, она ограничена фрикционными свойствами соприкасающихся поверхностей. Для ее увеличения необходимо повысить давление колеса на рельс, т. е. увеличить массу локомотива, а это противоречит главному требованию к транспортным средствам – снижению их собствен28 ной массы. Повышение массы механической части ведет к снижению полезной массы поезда и обусловливает необходимость применять более тяжелые узлы ходовой части железнодорожного экипажа, что ведет к увеличению воздействия локомотива на путь, а высокие напряжения в зоне контакта, имеющей малую площадь, ведут к интенсивному износу рабочих поверхностей катания колеса и рельса. Эти напряжения можно, конечно, снизить, увеличив диаметр колеса, но тогда еще больше возрастают массы элементов, непосредственно взаимодействующих с путем, что еще больше усугубляет их разрушающее воздействие. Таким образом, система, использующая колесо в качестве и опорного, и направляющего элементов и движителя, несомненно, противоречива, и эти противоречия не могут быть полностью разрешены, а возможны лишь компромиссные решения. Сильная сторона системы, а это низкое сопротивление движению при высоких нагрузках на ось, обусловлена в основном выполнением колесом опорных функций, слабые стороны, а это ограничение силы тяги по сцеплению, необходимость повышения массы локомотива, – функцией движителя. Следует заметить, что первый подвижной состав железных дорог был бестележечным, т. е. колесные пары крепились непосредственно к кузову. Дальнейшее развитие железнодорожной техники привело к тому, что в настоящее время на железных дорогах России и других стран обращаются в основном тележечные конструкции, которые делятся на следующие виды: – «Локомотивы» (электровозы и тепловозы различных типов); – «Вагоны» (грузовые разных типов и пассажирские разных серий); – «Электропоезда»; – «Дизель-поезда»; – специальный подвижной состав (например, шлифовальные поезда, автомотрисы и др.). Их внешний вид представлен на рис. 1.8 – 1.14. 29 Рис. 1.8. Электровоз ЭП20 (Новочеркасск) Рис. 1.9. Тепловоз 2ТЭ25А «Витязь» с роликовым опорно-осевым подвешиванием тягового двигателя и с радиальной установкой колесных пар в кривых участках пути (Коломна) 30 Рис. 1.10. Специализированный грузовой вагон для перевозки сыпучих грузов Рис. 1.11. Пассажирский вагон Рис. 1.12. Электропоезд «Аллегро» 31 а б Рис. 1.13. Современные электропоезда «Сапсан» (а) «Ласточка» (б) Рис. 1.14. Дизель-поезд 32 Кроме этих основных экипажей есть специализированные: специальные «измерительные» вагоны (путеизмерительные, тормозные, динамометрические, контактной сети и др.): железнодорожные краны; дрезины; автомотрисы разного назначения и т. д. Последние экипажи, как правило, имеют возможность двигаться самостоятельно, т. е. являются мобильными экипажами. Для перевозки грузов и пассажиров составляются поезда, т. е. локомотив и вагоны, поэтому различают пассажирские и грузовые поезда. Последние состоят из локомотива и многих десятков вагонов, поэтому поезд как объект исследования его динамических свойств представляет собой очень сложную механическую систему. 1.5. Основные допущения и упрощения, используемые в динамике подвижного состава Общий метод исследований состоит в том, что при рассмотрении того или иного явления в нем выделяют главное, определяющее, а от всего остального, сопутствующего данному явлению, абстрагируются. В результате вместо реального явления или объекта (тела, системы тел) рассматривается некоторая его модель и при этом вводится ряд абстрактных понятий, отражающих соответствующие свойства этого явления или объекта (принимаемые при абстрагировании допущения ). При изучении механики железнодорожного подвижного состава (мы будем опираться на три дисциплины – на математику, теорию колебаний и теоретическую механику) каждую единицу подвижного состава можно назвать экипажем, который как конструкция состоит из основных узлов, элементов, включая отдельные детали, которые соединены между собой связями того или иного вида. Поэтому железнодорожный экипаж как единица подвижного состава представляет соответствующую механическую систему для различных его видов. Для любой рассматриваемой при исследовании механической системы необходимо знать конструкцию всех элементов экипажа, связи между элементами, с достаточной точностью все физические характеристики (массу и моменты инерции всех элементов, жесткость упругих связей, их соединение, разме33 ры, необходимые для расчетов, и т. д.), включая и «путь» как составляющий единую механическую систему «экипаж – путь» или «поезд – путь». Практически любой железнодорожный экипаж (электровоз, тепловоз, электропоезд, дизель-поезд, вагон, как грузовой, так и пассажирский) с точки зрения исследования механического движения представляет собой систему твердых тел и состоит в основном из следующих элементов: – для вагонов: кузов, рамы тележек и колесные пары; – для локомотивов: к названным элементам нужно добавить тяговые двигатели. Следует заметить, что в электропоездах и дизель-поездах не все вагоны являются моторными, поэтому задачи динамики могут рассматриваться отдельно как для моторных вагонов, так и для немоторных. Во всех экипажах между их элементами имеются связи, которые разделяются на жесткие, упругие и упруго-диссипативные. Жесткие связи используются в соединениях некоторых тепловозов (ТЭ3, ТЭМ2, ТЭ109 и др.), грузовых вагонов и в некоторых типах устаревших электровозов (ВЛ8, ВЛ22, ВЛ23). Таким образом, когда не требуется оценивать механические напряжения в конструкциях элементов (из которых состоит подвижной состав), связанных с их деформацией под действием сил, то основные элементы и узлы экипажа рассматриваются как твердые тела, как правило, с равномерно распределенной массой. Порядок получения исследовательского результата обычно сводится к следующему: 1) ставится цель (в самом общем смысле она указана во введении), из которой вытекают задачи исследования; 2) составляется расчетная схема (модель объекта); 3) по разработанной расчетной схеме выводится система дифференциальных уравнений, называемая математической моделью, которая описывает ее динамическое состояние в любой момент времени; 4) выполняется интегрирование системы дифференциальных уравнений (часто с использованием вычислительной техники, т. е. с применением численных методов) и определение законов колебаний всех элементов и узлов механической системы; 34 5) анализируется полученное решение и формулируются соответствующие выводы по результатам проведенных расчетов. Если в механической системе исследуются какие-либо конструктивные или другие изменения, то задача динамики решается дважды – без учета изменений и с учетом принятых изменений в механической системе. При этом анализ и выводы выполняются как сравнительные. Итак, расчетной схемой при исследовании динамики подвижного состава называется схематический чертеж, отображающий исследуемый объект с указанием и обозначением всех его элементов, связей, физических величин и введением обобщенных координат в соответствии с числом степеней свободы и с достаточной точностью принимаемых допущений (для голономных механических систем). Для неголономных систем (к таким системам относятся практически все механические системы с качением колес по опорным поверхностям без проскальзывания по ним) учитываются особенности составления дифференциальных уравнений (в этом случае нельзя применять уравнения Лагранжа второго рода, а следует обратиться либо к уравнениям Маджи, либо к уравнениям Аппеля, либо к другим методам составления уравнений движения системы). После составления расчетной схемы нужно назначить соответствующее количество обобщенных координат, однозначно представляющих положение экипажа в пространстве, что связано в первую очередь с числом степеней свободы механической системы (если изучаемая система является голономной, то здесь все очевидно и понятно – 6N –-m, где N – количество твердых тел в механической системе, а m – количество голономных связей, наложенных на нее), и ввести правую декартову систему отсчета, начало которой совмещается с центром масс каждого элемента экипажа. Оси координат располагаются следующим образом: ось X направляется вдоль оси пути в сторону движения экипажа; ось Y – перпендикулярно оси X в горизонтальной плоскости (уходит от нас); ось Z – вверх (по правилу правой системы координат) перпендикулярно плоскости OXY (рис. 1.15). Следовательно, твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы, так как может перемещаться вдоль осей координат и вращаться относительно этих же осей. 35 Каждому из указанных перемещений в динамике подвижного состава присвоены общепринятые обозначения: перемещение вдоль оси X называют термином «подергивание»; перемещение вдоль Y – относ (боковой относ); перемещение вдоль оси Z – подпрыгивание; вращательные движения: поворот относительно оси X – боковая качка; поворот относительно оси Y – галопирование; поворот относительно оси Z – виляние. Так как современный экипаж состоит из кузова, двух- или трехосных тележек, то существует подпрыгивание кузова, всех тележек и всех колесных пар (т. е. они перемещаются вдоль оси Z), более того, нужно понимать, что кузов, все тележки и все колесные пары совершают относ (т. е. они движутся вдоль оси Y). Можно говорить также о боковой качке кузова, всех тележек и всех колесных пар (они поворачиваются относительно оси X). Рис. 1.15. Правая система декартовых координат твердого тела, принятая в динамике подвижного состав Будем полагать далее, что все перемещения элементов экипажа малые, а это для углов поворота означает приближенную замену sinϕ ≈ ϕ и cosϕ ≈ 1, но данное утверждение справедливо, если угол ϕ ≤ 7°. В результате пространство, в котором реально происходит движение экипажа, разделяется тремя плоскостями, являющимися центральными (так как они проходят через центр масс каждого элемента), для которых осевые моменты инерции твердого тела будут постоянными величинами, и носящими названия: OXZ – вертикальная продольная плоскость; OYZ – вертикальная поперечная плоскость; OXY – горизонтальная плоскость. Отсюда следуют такие понятия, как вертикальная динамика (в ней обычно рассматриваются колебания подпрыгивания и галопирования кузова и те- 36 лежек, а также подпрыгивания колесных пар); вертикальная поперечная динамика (сюда обычно включают колебания боковой качки и относа кузова и тележек, относа колесных пар) и горизонтальная динамика (обычно это колебания подергивания, относа и виляния кузова, тележек и колесных пар). При этом совершенно бездоказательно полагается, что между «обобщенными» координатами, отнесенными к различным плоскостям симметрии, не существует инерционных и каких-либо других связей. В настоящее время можно указать несколько работ [3 – 5, 7, 10, 13, 29], в которых находятся достаточно точные дифференциальные уравнения движения механических систем в пространстве без введения упрощающего допущения о том, что обобщенные координаты не обладают взаимными нелинейными инерционными связями. Итак, при решении многих прикладных задач часто в качестве динамической модели используется твердое тело, находящееся под действием определенной системы сил, вызывающей его движение (часто такая расчетная схема называется «обобщенным экипажем»). Это движение обычно изучается на основе анализа линейных или линеаризованных дифференциальных уравнений, полученных путем введения допущений и упрощений из точной нелинейной математической модели. Из линейной теории колебаний твердого тела известно, что при выполнении определенных условий движения в направлении некоторых его обобщенных координат могут происходить независимо друг от друга. Таким же образом, при выполнении некоторых условий симметрии относительно инерционных свойств и внешних силовых факторов колебания твердого тела в любом поле сил могут быть либо частично, либо полностью разделены. Характерными в этом отношении являются случаи раздельного изучения движений железнодорожного подвижного состава в вертикальной, горизонтальной, поперечной и продольной плоскостях симметрии. В большинстве случаев такое положение, основанное на линейной теории колебаний, обычно кладется в основу выбора числа степеней свободы твердого тела и, следовательно, в основу идеализации движения тела в одной плоскости, раздельного рассмотрения его поступательного и углового движе- 37 ний, наконец, – в основу исследования движения твердого тела как системы с одной степенью свободы и при других ограничительных предположениях. При этом необходимо иметь в виду, что предполагаемый характер движения тела лишь в направлении некоторых из его обобщенных координат, основанный на линейных представлениях, может не соответствовать реальной действительности, поскольку движение твердого тела характеризуется одновременными изменениями всех его шести координат, которые связаны между собой нелинейными соотношениями в точных уравнениях движения. Из-за того, что обобщенные координаты твердого тела, как указывалось выше, связаны нелинейными соотношениями в его уравнениях движения, колебания тела в направлении одной из главных, часто квазинормальных, координат почти всегда приводят к возбуждению его колебаний в направлении других главных координат. Однако в большинстве случаев последние малы по сравнению с первыми и обычно интереса не представляют, но вполне возможны случаи, когда в системе осуществляется такое радикальное перераспределение энергии колебаний между координатами, что колебания твердого тела, возбудившиеся в направлении некоторых его координат за счет нелинейных связей между ними, могут стать весьма интенсивными. Тогда колебания твердого тела оказываются взаимосвязанными в направлении его нескольких главных координат, следовательно, твердое тело в общем случае будет совершать сложное пространственное нелинейное колебательное движение. Чтобы указанное движение твердого тела существовало, необходимо выполнение некоторых резонансных соотношений между собственными частотами колебательной системы и частотами внешних возмущающих сил. Однако наличие резонансных соотношений является лишь необходимым условием, но недостаточным для возбуждения нелинейных пространственных колебаний твердого тела. Условия возникновения последних также определяются соотношениями между некоторыми параметрами системы, которые характеризуют взаимодействие между факторами, способствующими возбуждению этих колебаний, и факторами, препятствующими этому [6 – 20]. Качественные и количественные характеристики резонансных колебаний твердого тела будут совершенно 38 разными в зависимости от того, имеется ли перераспределение энергии колебаний или существенного перераспределения нет [12, 13, 22 – 25]. Несмотря на важность такого рода резонансных явлений при нелинейных колебаниях твердых тел, им вплоть до 60-х гг. прошлого века было посвящено малое число оригинальных работ, хотя некоторые факты о возможностях возбуждения нелинейных колебаний, обусловленных явлением «перекачки энергии» колебаний, были отмечены для простейших механических систем с двумя степенями свободы [21 – 29]. Л. И. Мандельштам, А. А. Витт и Г. А. Горелик, анализируя нелинейные колебания пружинного маятника как системы с двумя степенями свободы, установили возможность возбуждения угловых колебаний маятника его вертикальными колебаниями при соотношениях парциальных частот системы 1:2. Л. И. Мандельштам отмечает, что такое явление «перекачки энергии», которое наблюдается в пружинном маятнике, должно существовать при отношении парциальных частот системы x и системы y, близком к 1:2 во всех системах, в которых разложение лагранжевой функции в ряд по степеням x, x& , y , y& содержит члены, пропорциональные xy 2 , xy& 2 [21, 26, 27]. Впервые в работе В. О. Кононенко [12] при исследовании колебаний твердого тела относительно центра масс экспериментальным путем была обнаружена возможность возбуждения нелинейных колебаний, обусловленных также «перекачкой энергии» колебаний твердого тела между его обобщенными координатами в области субгармонического резонанса порядка ½. Этот же автор в статье [13], анализируя колебания твердого тела на упругих опорах относительно центра масс, получил условия возбуждения такого рода субгармонических колебаний твердого тела. Затем В. В. Болотиным в работе [26] на примере простейшей механической модели указано на возможность взаимодействия параметрических и вынужденных колебаний. В статье [27] выполнен анализ свободных колебаний твердого тела на упругих опорах, являющегося динамической моделью конкретного объекта. В этой работе показано также, что движения твердого тела в направлении нормальных координат не всегда могут рассматриваться как независимые. Определению условий возбуждения колебаний указанного выше 39 вида в области субгармонического резонанса посвящена также работа М. Я. Кушуля и Г. И. Аникеева [28]. В обосновании линейного подхода в курсе «Основы механики подвижного состава», как правило, лежит совокупность инженерных и математических допущений, например, отсутствие скольжения или подъема колеса над рельсом, замена сухого или позиционного трения эквивалентным, в некотором смысле вязким, малость отклонений и возмущений, и других, что позволяет свести нелинейную задачу к решению линеаризованных дифференциальных уравнений. При описании извилистого движения, весьма тесно связанного с проблемой вписывания железнодорожных экипажей в криволинейных участках пути, такой подход не обеспечивает достаточной полноты и адекватности соответствующих математических моделей. Далее, при исследовании динамической нагруженности вагона, дифференциальные уравнения которого имеют переменную структуру и динамически связаны в основном за счет «неустранимых» нелинейностей, присущих природе самой системы, таких, например, как силы сухого или позиционного трения, нелинейные силовые характеристики рессорных комплектов и др., ограничиваются рассмотрением малых движений, предполагая малость возмущений и перемещений системы около базовых режимов. Многие задачи подвижного состава железных дорог, связанные с исследованием динамических процессов взаимодействия колеса с рельсом, вписывания экипажа в кривые, устойчивости движения в целом (устойчивость в большом), а также с моделированием критических и аварийных ситуаций, не допускают чрезмерного упрощения основных дифференциальных уравнений и должны базироваться на точных нелинейных уравнениях, учитывающих всю совокупность геометрических и кинематических связей без упрощения. Здесь недопустимы, в частности, предположения о безотрывности движения колеса по рельсу и малости перемещений, как линейных, так и угловых. В этом смысле известна лишь одна работа [29], в которой на примере вагона излагаются основы нелинейной механики рельсовых экипажей, но в которой все же не учитывались нелинейные инерционные связи между «обобщен- 40 ными» координатами, ибо и кинетическая, и потенциальная энергия были сразу записаны в линеаризованном виде, т. е. априори предполагалась малость всех перемещений, в том числе и угловых. Учет определенных физических соображений при постановке задач о нелинейных движениях твердых тел и особенностей используемых при этом математических методов позволяют разделить исследование пространственных колебаний тел на два этапа, которым соответствуют две основные постановки задачи. На первом этапе выясняются условия возникновения пространственных колебаний рассматриваемых систем, например, подвижного состава. При этом определяются возможные резонансные соотношения и те обобщенные координаты, которые могут стать резонирующими; устанавливаются критерии, при выполнении которых будут иметь место возникновение и дальнейшее развитие резонансных колебаний. В ряде случаев определение критериев возбуждения пространственных колебаний твердого тела можно свести к исследованию устойчивости некоторых периодических, почти периодических и случайных режимов колебаний тел в условиях многократных резонансов [10, 12, 13, 16, 18, 21 – 24]. Такую задачу устойчивости в дальнейшем будем называть пространственной устойчивостью движения твердого тела или системы твердых тел. Второй этап исследований целесообразно посвятить определению возможных режимов пространственных колебаний твердых тел в условиях резонансов и изучению устойчивости их движения. Если условия перераспределения энергии колебаний благоприятны, то тело будет совершать сложные пространственные периодические, почти периодические и случайные колебания. Известно [10], что наиболее интересные явления возникают после перераспределения подводимой к системе энергии колебаний, которое осуществляется механизмом нелинейных инерционных связей между обобщенными координатами твердого тела. В действительности на подвижной состав железных дорог одновременно действуют случайные возмущения как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскостях его симметрии. При неблагоприятном соотношении между соб- 41 ственными частотами системы и частотным спектром внешних воздействий возможна перекачка энергии из одной подсистемы в другую, что может приводить к «наведению» геометрических неровностей в указанных плоскостях, т. е. объективная оценка технического состояния железнодорожного пути получится только при одновременном учете его как вертикальных (волнообразный износ, зазоры в стыках рельсов), так и горизонтальных неровностей рельсового пути, а также неравноупругости пути по его протяженности. Задачей второго этапа является изучение закономерностей развития нестационарных и стационарных нелинейных пространственных колебаний твердого тела в областях пространственной неустойчивости. Этот этап в математическом отношении более труден, и здесь нужно обращаться к построению периодических, почти периодических и случайных решений нелинейных систем, описывающих колебательное движение в целом, и анализировать устойчивость этих колебаний в случаях многократных резонансов. В механике подвижного состава на расчетных схемах железнодорожных экипажей упругие и диссипативные свойства рессорного подвешивания реализуются пружинами и демпферами в связях, соединяющих между собой узлы экипажа. Здесь принято, что кузов, рама тележки и колесные пары, а также путь являются абсолютно твердыми телами, соединенными между собой винтовыми рессорами и гасителями вязкого трения. Совокупность упругих (винтовые рессоры – пружины) и диссипативных (гасители колебаний – демпферы) связей между кузовом и рамами тележек, а также между рамой тележек и колесными парами, предназначенных для передачи вертикальных нагрузок на узлы экипажа и снижения динамических воздействий при его движении по неровностям пути, называют рессорным подвешиванием. В зависимости от количества упругих и диссипативных связей между кузовом, рамами тележек и колесными парами различают одну или две ступени подвешивания. Первую (буксовую) ступень подвешивания составляют, как правило, винтовые цилиндрические рессоры, установленные непосредственно на буксе или на приливах букс, и гидравлические или фрикционные гасители колебаний. На эти упругие и диссипативные элементы опираются рамы тележек. Вторая ступень связывает рамы тележек и кузов, поэтому вторую 42 ступень подвешивания часто называют кузовным или центральным подвешиванием. В некоторых конструкциях подвижного состава для повышения суммарной гибкости системы обрессоривания железнодорожного экипажа используют пневматические упругие элементы или три ступени подвешивания. Более подробные сведения о предназначении рессорного подвешивания железнодорожных экипажей приведены в разд. 3. Далее будем следовать традиции, общепринятой в механике подвижного состава, т. е. будем считать в дальнейшем возможным использование плоских расчётных схем. Типичная расчетная схема «обобщенного» экипажа (современного локомотива или пассажирского вагона) показана на рис. 1.16. Рис. 1.16. Плоская расчетная схема механической обобщенной системы «экипаж – путь» с гидравлическими гасителями колебаний 43 Расчетная схема вертикальных колебаний системы «грузовой вагон – путь» приведена на рис. 1.17. Рис. 1.17. Расчетная схема системы «грузовой вагон – путь» с фрикционными гасителями колебаний В табл. 1.1 приведены некоторые принятые в динамике подвижного состава условные общепринятые обозначения элементов, входящих в структуру плоских расчетных схем, рассматриваемых в динамике подвижного состава. При решении некоторых задач динамики, как правило, частных, не требуется составление полной расчетной схемы, тогда пользуются упрощенной расчетной схемой. Если необходимо исследовать только подпрыгивание кузова, то вполне возможно перейти к упрощенной схеме, показанной на рис. 1.18 и представляющей собой условный одноосный экипаж, имеющий одну ступень обрессоривания (подвешивания) с учетом его движения по жесткому пути с неровностями. 44 Рис. 1.18. Расчетная схема колебаний подпрыгивания условного одноосного экипажа Т а б л и ц а 1.1 Условные обозначения элементов механической системы Тип элемента Обозначение элемента в схеме Твердое тело, которое может представлять кузов или раму тележки (электровоза, тепловоза, вагона) массой M, кг Упругие элементы (винтовые рессоры, торсионы, пневматические рессоры) в подвешивании экипажа С, кН/м Гасители колебаний, вязкое трение β, кН⋅с /м реализующие Гасители колебаний с переменной силой трения βу, кН⋅с/м Фрикционные гасители колебаний Здесь колебания подпрыгивания обрессоренной массы М оцениваются обобщенной координатой Z, жесткость подвешивания – СР, коэффициент вязкого трения гидравлического гасителя – β, амплитуда неровности – ɳ0 и ее длина – Lн. Если в качестве объекта исследований рассматривается экипаж с одной ступенью подвешивания, совершающий колебания подпрыгивания, обуслов- 45 ленные импульсным воздействием стыков, то расчетную схему можно представить в виде, показанном на рис. 1.19, а. Для исследования вертикальных колебаний узлов железнодорожного экипажа можно применить расчетную схему, приведенную на рис. 1.19, б, строгое математическое обоснование применения которой приведено в разд. 9 (2-я часть данного учебного пособия). а б Рис. 1.19. Расчетная схема условных одноступенчатого (а) и двухступенчатого (б) экипажей Пространственная механическая система – расчетная схема железнодорожного экипажа (рис. 1.20) – будет обладать многими степенями свободы, ее математическая модель будет иметь большой порядок размерности. При этом всегда следует помнить об обоснованности тех или иных допущений и о тех замечаниях, которые были высказаны выше, если по каким-либо причинам необходимо будет получить более точные результаты. При движении поезда возникают динамические силы, которые являются следствием взаимодействия отдельных экипажей поезда, включая локомотив. Эти силы в конечном счете не только вызывают и поддерживают колебания всех элементов этой сложной механической системы, но и приводят к износу 46 и даже к излому отдельных элементов ходовой части вагонов (в первую очередь – боковых рам тележек) и локомотивов. Рис. 1.20. Расчетная схема для исследования пространственных колебаний узлов железнодорожного экипажа Чтобы рассчитывать динамические силы взаимодействия всех элементов такой сложной механической системы, как железнодорожный экипаж (локомотив, вагон, сцеп вагонов или, что наиболее сложно, – «поезд – путь»), необходимо сформировать математическую модель рассматриваемой системы и исследовать ее, используя современные методы анализа, в том числе с применением ПЭВМ. В результате можно достаточно полно представить происходящие в этой системе процессы, оценить влияние конструктивных параметров экипажа и пути на показатели динамических качеств этой системы (перемещения, ускорения и силы), воздействие на путь и на износ колес и рельсов, а также на другие параметры, которые могут быть использованы не только для изменения каких-либо конструктивных элементов экипажа, но и при ремонте железнодорожного подвижного состава. 1.6. Динамические характеристики верхнего строения железнодорожного пути Движение любого транспортного экипажа невозможно без железнодорожного пути, представляющего собой достаточно сложную механическую си47 стему, которую можно охарактеризовать значениями механических и геометрических параметров элементов, составляющих структуру этого пути. К механическим параметрам пути относятся величины пространственной жесткости, распределенных и сосредоточенных масс, участвующих в колебаниях, а также параметры, определяющие рассеяние энергии в пути в ходе этих колебаний. К геометрическим характеристикам относятся номинальные конструктивные размеры и фактические отступления от них в ходе эксплуатации. Почти все из указанных параметров переменчивы в пространстве и во времени, и вследствие этого было бы целесообразно представлять их в большинстве случаев в виде вероятностных функций. Однако получаемые при этом математические модели «обобщенных» экипажей описывались бы дифференциальными уравнениями со случайными коэффициентами, что потребовало бы от студентов (и не только от них) фундаментальных знаний по высшей математике (точнее – по теории дифференциальных уравнений). При этом трудно было бы ввести понятие устойчивости движения такого «обобщённого» экипажа (авторам монографии сейчас известно 16 определений указанного понятия). Совместные колебания объединенной системы «экипаж – путь» вызываются рядом разнообразных по природе и характеру возмущающих факторов: непостоянством по длине пути его инерционных, диссипативных и упругих характеристик, наличием люфтов, просадок, стыков, неравномерного износа рельсов, ползунов, дисбаланса и других несовершенств колес подвижного состава, воздействием воздушной среды и т. д. Большинство из них носит случайный характер. Для удобства анализа динамических процессов, а также математических решений задач взаимодействия пути и подвижного состава принято механические параметры пути относить к той или иной координате перемещений, скоростей или ускорений элементов пути (вертикальные, перпендикулярные плоскости пути, горизонтальные поперечные или горизонтальные продольные по отношению к оси пути, угловые повороты рельсов и шпал и т. п.). Рассмотрим несколько подробнее железнодорожный путь как составляющую подсистему единой механической системы «экипаж – путь». Характер вертикальных колебаний экипажа (локомотива или вагона) в большей мере 48 определяется процессом взаимодействия пути и подвижного состава. В общем случае динамические свойства пути описывают с помощью моделей, которые учитывают его упругие, диссипативные и инерционные свойства (о чем было сказано выше). Очевидно, что для различных конструкций и типов верхнего строения пути величины механических параметров могут существенно отличаться друг от друга. В динамике подвижного состава известно несколько моделей пути (далее в основном речь пойдет о вертикальных колебаниях «обобщенного» экипажа, поэтому рассматриваются только расчетные схемы пути в вертикальной плоскости). Пожалуй, первой моделью была модель в виде абсолютно жесткого пути, который характеризовался только длиной и амплитудой неровности (рис. 1.21). Рис. 1.21. Абсолютно жесткий путь с геометрической неровностью длиной LН,(м) и амплитудой ɳ0 (м) Следующей моделью была, видимо, дискретная безынерционная модель, учитывающая вертикальную жёсткость пути, его демпфирующую способность и характеристики вертикальных неровностей пути. Затем была добавлена «приведенная» масса пути, участвующая вместе с подвижным составом в колебаниях, и она получила название дискретной инерционной модели пути, показанной на рис. 1.22. Рис. 1.22. Инерционная дискретная модель железнодорожного пути 49 Третьей моделью является континуальная расчетная схема, представляющая собой бесконечную балку, лежащую на упругом основании, подчиняющемся гипотезе Винклера или Власова – Винклера (в качестве модели упругого основания принимается модель сжимаемого слоя, которая, по В. З. Власову, приводится к двухпараметрической (квазидвумерной) модели). И эта модель также совершенствовалась – в качестве основания иногда принималось упругое пространство или оно моделировалось в виде упругих мембран и т. п. Эта модель описывается системами дифференциальных уравнений в частных производных и достаточно сложна при выполнении исследований динамики подвижного состава. При выборе расчетной схемы объединенной системы «экипаж – путь» будем принимать во внимание, что конечной целью данного исследования является анализ динамических процессов, протекающих в экипаже, а следовательно, то, что происходит в элементах железнодорожного пути, можно подробно не рассматривать. Тогда необходимо выбрать достаточно подробную расчетную схему экипажа и ограничиться учетом лишь приближенных интегральных характеристик пути. Использование той или иной принятой расчетной схемы вызывает определенные погрешности в результатах расчетов, поэтому обоснование принятых допущений имеет важное значение. Сложность математической модели выбирается таким образом, как уже указывалось выше, чтобы при установлении главных закономерностей того или иного динамического процесса ошибка расчета была минимальной. Оценить влияние параметров выбранной модели пути на динамические характеристика подвижного состава можно по результатам работ [34, 36], где была изучена расчетная схема «обобщенного» экипажа с 40 степенями свободы, которая состояла из пяти подсистем и содержала четыре различных по типу или уровню неупругих сопротивления. Для упрощения исследования распространения сигнала в такой системе полагалось, чтобы все возмущающие факторы, кроме первого, были равны нулю, а первый – изменялся бы по синусоидальному закону. В результате расчетов были найдены 40 частотных характеристик, связывающих первый вход с выходами. Численные значения 50 параметров системы приняты близкими к реальным значениям параметров четырехосного полувагона, который движется в летних условиях по находящемуся в удовлетворительном состоянии пути с рельсами Р65, деревянными шпалами и щебеночным балластом [1, 30, 33]: жр = 4000 и жп = 28000 – вертикальная жесткость рессорного комплекта и железнодорожного пути, кН/м; βр = 57,5 и βп = 400 – коэффициенты вязкого трения в рессорном подвешива- нии и пути, кН⋅с/м. Внутреннее неупругое сопротивление в кузове с грузом и боковинах тележек учитывалось по гипотезе комплексной жесткости и принято таким: γк = 0,140 и γт = 0,025. Таким образом, результаты расчета, полученные в работах [44, 45, 49, 50, 53], позволяют утверждать, что в диапазоне частот 0 – 30 Гц значения амплитуды гармонических составляющих перемещений точек буксового узла данного экипажа при принятых параметрах железнодорожного пути отличаются от соответствующих значений амплитуды обобщенного возмущения не более чем на 13 %. В связи с этим в настоящее время наибольшее распространение в исследованиях получила инерционная дискретная модель пути, погрешность которой находится в пределах инженерной точности. В работе [65] установлено, что, несмотря на очень большой диапазон изменения параметров железнодорожного пути (наибольшая его жесткость больше наименьшей в 140 раз, наибольший коэффициент вязкого трения больше наименьшего в 72 раза), наблюдаются относительно малые искажения АЧХ для точек надрессорного строения. Подобное заключение было сделано профессором В. А. Камаевым в 1980 г. в работе [31]: «На колебания колес практически не влияют колебания надрессорного строения. Если варьировать параметры рессорного подвешивания, уменьшая или увеличивая их в 10 раз, то АЧХ буксового узла изменяются не более чем на 10 %». Следует отметить, что при наибольшем в исследуемом диапазоне значении жесткости пути жп = 700000 кН/м или коэффициента вязкого трения βп = 3600 кНс/м АЧХ буксового узла приближается к идеальной с точки зрения удобства последующих расчетов: в интервале частот 0 – 50 Гц коэффициент передачи близок к единице. 51 При таком жестком основании путь можно считать практически недеформируемым, а траекторию буксового узла – кинематическим возмущением, действующим на движущийся экипаж. Именно такой способ положен в основу метода оценки динамических свойств железнодорожных экипажей, приведенного в работе [86]. Во многих работах показано, что при исследовании сил взаимодействия пути и подвижного состава могут раздельно рассматриваться по крайней мере две задачи: динамика экипажа в целом с позиций плавности хода, устойчивости, сохранности груза и безопасности движения и динамика неподрессоренных частей подвижного состава при определении сил взаимодействия колес и элементов рельсовых нитей [1, 29, 30, 31, 33 – 46, 48 – 59, 62 – 66]. В связи с этим в настоящее время наибольшее распространение в исследованиях получила инерционная дискретная модель пути, погрешность которой находится в пределах инженерной точности. При решении частных задач, например, при расчете сил взаимодействия непосредственно в месте контакта колеса и рельса, можно иногда пренебречь динамической составляющей колебаний кузова вагона (электровоза, тепловоза), а при исследовании колебаний кузова можно значительно упростить часть схемы, относящуюся к неподрессоренным частям. Например, в работах [31, 33, 36] были рассмотрены различные варианты упрощения расчетной схемы пути для исследования динамики подрессоренных частей вагона и сделан важный вывод о возможности трансформации многомассовой системы к одномассовой. «Приведенные» массы колеса и пути, которые являются условными коэффициентами пропорциональности, имеющими размерность массы, изменялись в широких пределах. Однако изменение «приведенной» массы пути в пределах от 0,5 до 5 т значительно влияет только на силы взаимодействия колеса и рельса, а на колебаниях кузова практически не отражается. Таким образом, можно считать достаточно обоснованным представление расчетной схемы колесной пары, движущейся по железнодорожному пути, в виде одномассовой динамической системы с переменными параметрами. В дискретную модель входят три параметра, поэтому рассмотрим их. Начнем с вертикальной жесткости пути в точке приложения силы. Эксперимен- 52 тально получаемые диаграммы зависимости прогиба пути z р0 от вертикальной сосредоточенной силы Q, приложенной к головке рельса в каком-либо сечении пути, имеют вид, показанный на рис. 1.23. Вполне очевидно, что функция zр0 = f(Q) нелинейна. При возрастании и убывании нагрузки Q кривые прогиба рельса изменяются по разным законам. Между кривыми на графике zр0 = f(Q) образуется петля гистерезиса, площадь внутри которой характеризует рассеяние энергии в пути. Прогиб рельса при небольших нагрузках (до 40 – 50 кН), при котором происходит сжатие зазоров между рельсами и скреплениями, скреплениями и шпаРис. 1.23. Зависимость вертикального прогиба рельса от нагрузки лами, в балласте и т. п., называют первоначальным скачком прогиба рельса. За пределами этого скачка зависимость zр0 = f(Q) практически линейна. Именно поэтому вертикальную жесткость пути обычно определяют для нагрузки на рельс, превышающей 40 кН. Различают статическую и динамическую жесткость пути. В основном известны значения статической жесткости, поскольку методы определения динамической жесткости еще недостаточно изучены и определены (из немногочисленных опытов было установлено, что она является квадратичной функцией скорости движения экипажа). Известен, например, метод определения динамической жесткости пути, предложенный в работе [76]. Существенным образом значения жесткости пути зависят от рода шпал (деревянные или железобетонные) и от жесткости применяемых в скреплениях прокладок. Экспериментально установлено, что изменение жесткости пути по его протяженности носит случайный характер. Общее увеличение жесткости пути, происходящее при его промерзании, увеличивает статистический разброс значений жесткости. 53 Кроме того, на жестком пути начинает прослеживаться различие в жесткости в сечениях над осями шпал и в сечениях над междушпальными пролетами рельса; в середине шпальных пролетов жесткость пути на 30 – 35 % меньше, чем над осью шпал [77, 78]. Попытка учесть этот факт была предпринята в омской школе ученых-механиков профессора М. П. Пахомова [79]. Приведенные в табл. 1.2 значения жесткости пути следует рассматривать как ориентировочные. При худшем состоянии пути, чем это было в опытах, средние значения жесткости будут меньшими, а их среднеквадратические отклонения большими. Введение в конструкцию скреплений на железобетонных шпалах резиновых прокладок повышенной упругой податливости может снизить значения жесткости по сравнению с указанными в табл. 1.2 почти вдвое. Т а б л и ц а 1.2 Ориентировочные значения вертикальной жесткости пути Жесткость, МН/м средние максимальные значения значения Тип рельсов Тип шпал Промежуточные скрепления Р50, Р65 и Р75 Р50 Деревянные 350 – 430 530 – 660 Железобетонные Стандартные смешанные КБ, К2 470 – 580 720 – 945 Железобетонные ЖБР, БП 400 – 490 685 – 845 Р50 В настоящее время в путь уложены в основном рельсы Р65, поэтому приведем значения вертикальной жесткости пути для них (табл. 1.3). Т а б л и ц а 1.3 Ориентировочные значения вертикальной жесткости пути с рельсами Р65 Подрельсовое основание Шпалы деревянные, балласт – щебень Шпалы железобетонные, балласт – щебень Сплошное, из железобетонных блоков Вертикальная жесткость пути с рельсами Р65, МН/м (тс/мм) летом зимой хорошее удовлетворихорошее удовлетворисостояние тельное сосостояние тельное сопути стояние пути пути стояние пути 40 – 50 30 – 40 100 – 120 80 – 100 (4 – 5) (3 – 4) (10 – 12) (8 – 10) 80 – 120 60 – 80 150 – 180 100 – 150 (8 – 12) (6 – 8) (15 – 18) (10 – 15) 100 – 150 80 – 120 150 – 200 140 – 160 (10 – 15) (8 – 12) (15 – 20) (14 – 16) 54 Известно, что в верхнем строении пути при движении по нему подвижного состава неизбежно развиваются силы инерции, которые слагаются из сил инерции в рельсах, шпалах, балластном слое и земляном полотне. Следовательно, «приведенная» масса пути – это некоторая условная величина, представляющая собой коэффициент пропорциональности в расчетных уравнениях. Наиболее точное ее определение возможно лишь экспериментальными методами. Величина «приведенной» массы пути зависит от многих факторов: от типа верхнего строения пути, скорости движения экипажей и особенно сильно от геологического строения земляного полотна. Поскольку в практических расчетах взаимодействия пути и подвижного состава этот фактор обычно неизвестен, то необходимо принимать в расчет ряд предполагаемых величин «приведенной» массы пути. При определении «приведенной» массы пути можно воспользоваться приближенной оценкой участвующей в колебаниях массы грунта по измерениям динамических напряжений в земляном полотне, получаемым экспериментально. Используя основанный на указанной идее математический аппарат и экспериментальные данные, Г. Г. Коншин и А. И. Гасанов в работе [80] вычислили для скорости движения экипажа 100 км/ч значение «приведенной» массы пути с рельсами типа Р50 на деревянных шпалах (1840 шт./км) и щебеночном балласте (h = 45 см) и для такого же пути, но с железобетонными шпалами при толщине балластного слоя 50 см. Было получено в первом случае mп = 1271 кг и во втором – mп = 1438 кг. Для безударных процессов, в которых можно предполагать монотонное изменение сил в контакте колеса с рельсом, представляется, что применимы результаты опытов, приведенные в работе [76], здесь mп найдены для простейшей гармонической динамической стоящей на месте нагрузки в пределах частот ω = 39,3 – 61,5 с-1. Более того, по результатам опытов для определения приведенной массы (в кгс⋅с2/см) было получено корреляционное уравнение: mп = 43,2 ω − 0,06. 55 (1.1) В работе [76] показано, что связь между «приведенной» массой пути для простой гармонической нагрузки и скоростью движения экипажа представляется так: 2 k 0V 2  43, 2  mп =  − 0,06   1 + z 2 ω  ω   ,  (1.2) где V – скорость движения колеса вдоль пути; ω – угловая частота возмущающей силы на колесе; k z0 = 4 U z0 ( 4 EJ ) – вертикальная жёсткость пути; U z0 – модуль упругости пути; ЕJ – изгибная жесткость рельса. Таким образом, для каждой конструкции пути с заданными изгибной жесткостью, модулем упругости, при известной скорости движения экипажа V, задавая предполагаемые границы частот возмущающей силы ωmin и ωmax, можно определить возможные границы «приведенной» массы пути и использовать их в приближенных расчетах по изучению безударного взаимодействия пути и подвижного состава. Для ударного взаимодействия колеса и рельса экспериментально определенное значение «приведенной» массы пути дано в работе [81] ; эту массу в данном случае нужно считать переменной во времени. По этим опытам время соударения колеса и рельса tуд на пути с деревянными шпалами составляет (0,4 – 0,44)⋅10-3 с, а на пути с железобетонными шпалами – (0,32 – 0,38)⋅10-3 с. В первый период соударения (t < 0,5tуд) «приведенная» масса пути на деревянных шпалах близка к массе отрезка рельса длиной 1,5 м, а на пути с железобетонными шпалами – к массе отрезка рельса длиной 1,0 м. Во второй период удара (0,5tуд ≤ t ≤ tуд) «приведенная» масса пути увеличивается и для пути на деревянных шпалах близка к массе отрезка рельса длиной 2,0 – 2,2 м, а на железобетонных шпалах – 1,5 – 1,6 м. «Приведенная» масса крестовины стрелочного перевода при вертикальном ударе колеса по ее сердечнику или усовику в 2 – 4 раза превышает «приведенную» массу пути вне стрелочного перевода [78, 81]. 56 Рассеяние энергии в конструкциях пути разумеется связано с происходящими в нем при движении подвижного состава процессами трения. На основании обобщения всех известных экспериментальных материалов в работах [1, 33, 34, 57] предлагается считать, что в расчетных схемах с сосредоточенными параметрами коэффициент вязкого трения в пути находится в пределах от 200 до 800 кН⋅с/м. В нашем курсе для дискретной инерционной модели пути можно принимать значение ее параметров для летних условий в следующих диапазонах: mп = 0,3 – 0,8, т; Сп = 35 – 85 МН/м; βп = 0,2 – 0,8 МН⋅с /м. Для зимних условий параметры пути можно принимать в 2 – 2,5 раза больше из-за того, что верхнее строение пути и грунт промерзают. 1.7. Мировые тенденции развития железнодорожного пути 1.7.1. Классическая конструкция пути, ее преимущества и недостатки Железнодорожный путь представляет собой сложный комплекс инженерных сооружений и устройств, образующих дорогу с направляющей рельсовой колеей, предназначенный для движения и восприятия продольных и поперечных усилий, передаваемых от колес подвижного состава. В настоящее время существует большое количество различных типов конструкции железнодорожного пути, но в основном их можно разделить на два принципиально разных типа: а) железнодорожный путь на балласте (классическое строение пути); б) безбалластный путь (современное строение пути). Железнодорожный путь на балласте является наиболее распространенной конструкцией пути. Он состоит из следующих основных элементов (рис. 1.24): рельсы 1, соединенные со шпалами 2 посредством промежуточных рельсовых скреплений 3; щебеночно- балластная призма 4, песчаная подушка 5, которая опирается на основную площадку земляного полотна. В современных типах конструкции для предотвращения морозного пучения балластной призмы применяются геотекстиль и пенополистирол. Основными преимуществами данной конструкции железнодорожного пути являются 57 – невысокие капитальные затраты; – простота ремонта, исправления и реконструкции (используются высокопроизводительные путевые машины); – достаточно большой срок службы (до 30 лет); – высокое шумопоглощение (особо актуально для высокоскоростных линий). Рис. 1.24. Элементы верхнего строения пути на балласте С другой стороны, основание из щебеночного балласта, выполненного из частиц размером 22,4 – 63 мм, представляет собой слабое место, так как при сжатии под воздействием подвижного состава возможны разрушение, истирание и смещение частиц щебня, что влечет за собой деформацию верхнего строения пути. В тоннелях и на мостах балластная призма работает в особо тяжелых условиях, так как частицы балласта лежат на твердом бетонном основании. Кроме повышенных сжимающих сил на балласт действует вибрация, усиливающаяся с увеличением скорости движения. В связи с этим из-за неизбежного изменения положения пути необходимы регулярное проведение работ по устранению одиночных неисправностей и периодическое осуществление мероприятий по обслуживанию и ремонту пути, которые несмотря на постоянное совершенствование путевых машин связаны с дополнительными затратами и снижением эксплуатационной готовности пути. 58 Главной задачей при обеспечении стабильности пути на балласте является решение проблемы осадки. На пути старых типов конструкции проведение работ по текущему содержанию требуется после пропуска 30 – 60 млн т груза. Как показал многолетний опыт эксплуатации высокоскоростных линий в Японии и Франции с путем на балласте, интервал между этими работами составляет два года. При заданных свойствах балласта величину осадки определяют климатические условия (влажность, низкая температура) и условия эксплуатации. Последний фактор имеет наибольшее значение, если на линии осуществляется смешанное пассажирско-грузовое движение. Осадка в большей степени обусловлена сжатием балласта. Мировой опыт эксплуатации пути на балласте показал, что изменение положения пути в среднем пропорционально третьей степени силы сжатия балласта. В связи с этим основным направлением по оптимизации работы конструкции «классического» строения пути является повышение срока стабильности уплотненного щебеночного балластного слоя, для чего необходимо обеспечить гашение высокочастотных ударных нагрузок и снижение распределенной нагрузки, действующий на щебеночный слой. Для этого могут использоваться упругие подкладки между рельсом и шпалой и (или) между шпалой и балластом, рельсы усиленного профиля и шпалы с увеличенной поверхностью опирания. Применение упругих подкладок между рельсом и шпалой и (или) между шпалой и балластом позволяет увеличить общую упругость пути. При строительстве и реконструкции высокоскоростных и действующих железнодорожных линий отсыпку земляного полотна, в том числе противоморозного и защитного слоев, выполняют с уплотнением грунта, а при укладке балласта применяют динамические стабилизаторы. Это влечет за собой увеличение давления на балласт на 20 % . Для его снижения на новых линиях применяют рельсовые скрепления с прокладками пониженной упругости. Проведение дальнейших мероприятий по повышению упругости возможно при условии замены старых скреплений на более упругие, используемые в безбалластном пути. Однако в отличие от безбалластного пути здесь жесткость скреплений должна быть повышена. При укладке балластного пути непосредственно на жесткое основание мостового полотна необходимо ис- 59 пользовать подбалластные маты. Их следует укладывать и на прилегающих к мосту участках протяженностью 15 м, чтобы избежать резкого изменения упругости пути. Эксперименты, проводившиеся с укладкой шпал, на нижнюю поверхность которых нанесен упругий материал, показали, что здесь необходим защитный слой, предотвращающий продавливание упругого материала частицами щебня. В лабораторных условиях было установлено, что при наличии упругой облицовки основания шпалы положение частиц верхнего слоя балласта стабилизируется, а смещение частиц имеет место в более глубоких слоях. Благодаря этому достигается равномерное распределение контактного давления под шпалой. С другой стороны, наличие такого упругого слоя в определенных условиях может вызвать резонансные колебания шпалы. Результаты, полученные на экспериментальном участке, пока не позволяют сделать окончательных выводов о величине осадки на пути с такими шпалами. Все более серьезную экологическую проблему представляют химические методы борьбы с растительностью на балластном пути. Попытка удлинить интервалы проведения мероприятий по борьбе с растительностью неожиданно дала положительные результаты. Однако уже через несколько лет растительность укрепилась и распространилась настолько, что гербициды разрешенных для использования видов на нее не действовали. Термическая обработка пути оказалась слишком дорогой, но альтернативы ей не было. В перспективе, возможно, потребуется сокращать интервалы между дорогостоящими работами по очистке балласта. 1.7.2. Снижение нагрузки на балласт за счет увеличения размеров шпал Оптимизировать верхнее строение пути на балласте можно за счет увеличения площади соприкосновения железобетонных шпал с балластом. Увеличение площади опирания железобетонных шпал с балластом достигается при помощи увеличения длины и (или) ширины основания железобетонной шпалы, замены поперечных шпал на продольные (лежни) либо использования шпал рамной конструкции. На рис. 1.25 приведены форма и размеры шпал из пред- 60 напряженного бетона, выпускавшихся в Германии с 1950-х гг., а в табл. 1.4 – их масса и площадь основания. Длина шпалы увеличилась с 2,3 до 2,4 м (B55K), а затем и до 2,6 м. С 1970 г. шпала B70 является стандартной для DBAG (германских железных дорог). а) б) в) г) д) Рис. 1.25. Железобетонные шпалы, применяемые на сети железных дорог Германии В экспериментальной шпале B90 длиной 2,6 м увеличение площади опирания достигалось только за счет увеличения ширины основания, а в шпале B75 — за счет увеличения как ширины до 0,33 м, так и длины до 2,8 м. После многократных испытаний на многих экспериментальных участках шпалы B75 были уложены на отрезке пути длиной 13,65 км южного обхода города Штендаль высокоскоростной линии Ганновер – Берлин, введенной в эксплуатацию осенью 1998 г. Рельсы к шпалам В75 крепились с помощью пружинных рельсовых скреплений высокой упругости. 61 Следует отметить, что тяжелая шпала B75 имеет повышенную сопротивляемость поперечному сдвигу пути. На линиях, где обращаются высокоскоростные поезда с вихретоковым тормозом, дополнительно нагревающим рельсы, это гарантированно исключает выброс пути. Из-за большой ширины основания шпал B75 необходимо увеличивать расстояние между ними с 60 до 63 см, чтобы обеспечить беспрепятственное использование шпалоподбоек. Т а б л и ц а 1.4 Железобетонные шпалы, используемые на сети DBAG Тип шпалы Параметр шпалы Масса, кг Площадь основания, см 2 B55 B70 B90 B75 229 304 330 380 5130 5700 6680 7560 Таким образом, улучшение условий работы щебеночного балласта за счет увеличения площади опирания шпал имеет пределы, особенно на линиях старой постройки. Дальнейшее увеличение площади опирания возможно лишь при условии разработки новых методов подбивки шпал. Благодаря специальной форме верхней части шпалы и эластомерному профилю, закрывающему зазоры между шпалами, существенно облегчается процесс уборки пути на территории станций, а балласт и земляное полотно оказываются защищенными от попадания загрязнителей. При этом полностью отпадает необходимость в борьбе с растительностью. Текущее содержание такого пути выполняется с помощью переоборудованных машин для подбивки переводных брусьев стрелочных переводов. Для оптимального распределения нагрузки от шпалы на балласт применяются рельсовые скрепления с упругими прокладками. При увеличении длины и (или) ширины основания железобетонной шпалы происходит утяжеление ее массы, что повышает сопротивляемость поперечному сдвигу пути (применительно к шпалам тяжелого типа). Использование продольных шпал взамен поперечных улучшает распределение нагрузки на балласт не только за счет увеличения поверхности опирания, но прежде всего благодаря большой изгибной жесткости лежней. Попытки 62 использования лежней, например, в Японии, обнаружили ряд проблем, в частности, связанных с шириной колеи и недостатками самой конструкции, а также с трудностями при образовании отвода возвышения рельса. С учетом этих недостатков в Японии была разработана новая конструкция лежней (рис. 1.26). Рис. 1.26. Лежневая шпала на линии колеи 1067 мм (Япония) Эта конструкция представляет собой раму, образованную двумя продольными балками длиной 12 м с предварительно напряженными в продольном направлении пучками арматуры и соединительными трубами (толщина стенки – 9 мм), установленными с шагом 3 м. Для снижения уровня излучаемого шума трубы покрывают резиной. В кривых малого радиуса для предотвращения перекашивания рамной конструкции ее изготавливают из лежней длиной 6 м с регулируемыми рельсовыми скреплениями. Для зон стыкования лежней необходимо особое техническое решение, повышающее сопротивляемость пути поперечному сдвигу. Высокая жесткость на изгиб в горизонтальной плоскости обеспечивает устойчивость пути против выброса, что особенно актуально для Японии, где высока вероятность землетрясений. Рельсы, уложенные на лежни, имеют по всей длине одинаковые условия опирания. Рельсовые скрепления типа Pandrol располагаются с шагом 0,75 м. Здесь, как и в случае пути на широких шпалах, требуется специальная подбивочная техника, обеспечивающая возможность поворота бойков шпалоподбоек на 90°. Расчет пути, выполненного в виде показанной на рис. 1.25 конструкции, 63 производится по специально разработанной в Японии методике на максимальную осевую нагрузку 160 кН (ширина колеи – 1067 мм). Проведенные в Японии исследования показали, что лежневая конструкция позволяет снизить нагрузку на балласт до 50 % по сравнению со шпальной конструкцией пути. При этом нагрузка распределяется более равномерно, что в сочетании с лучшей способностью продольной шпалы воспринимать неравномерную плотность балласта должно в перспективе существенно повысить надежность пути. В другой конструкции продольные балки имеют ширину 40 см и длину 0,95 м. Балки соединяются бетонными поперечинами длиной 2,6 м. Эта конструкция наряду с большой поверхностью нажатия на балласт обеспечивает точную фиксацию ширины колеи, высокую сопротивляемость поперечному сдвигу пути и более простую эксплуатацию, чем в случае лежневого пути, разработанного в Японии. Согласно данным изготовителя рамных шпал площадь их опирания на балласт в два раза больше, чем железобетонных шпал В70. На нижнюю поверхность шпалы в заводских условиях наносится слой полиуретана толщиной 12 мм. Такая конструкция обеспечивает равномерное распределение давления на балласт и уменьшение момента, стремящегося опрокинуть рамную конструкцию в продольном направлении. Характеристики упругости материала нижней поверхности шпалы и рельсовых скреплений должны быть подобраны таким образом, чтобы исключить опасность резонансных колебаний в результате вторичного прогиба рельса между рамными шпалами, уложенными с шагом около 1 м. Рамные шпалы из железобетона, преднапряженного в продольном и поперечном направлениях, исследовали с 1999 г. на двух испытательных участках в Австрии. Здесь использовались машины для подбивки переводных брусьев и динамический стабилизатор пути. Давление на балласт зависит не только от конструкции пути, но и от подвижного состава. Оптимум этого давления достигается снижением сил воздействия колесной пары на рельс (в Японии разрабатывается высокоскоростной поезд с осевой нагрузкой менее 10 т), уменьшением неподрессоренных масс, улучшением качественных характеристик рессорного подвешивания и своевременной обточкой колесных пар с целью исключения некруглостей. 64 Лучшим предложением вместо широких шпал и лежней являются разработанные в Австрии рамные шпалы RS95 из преднапряженного железобетона (рис. 1.27). В данной конструкции продольные балки имеют ширину 0,4 м и длину 0,95 м. Они соединяются бетонными поперечинами длиной 2,6 м. Эта конструкция наряду с большой поверхностью нажатия на балласт обеспечивает точную фиксацию ширины колеи, высокую сопротивляемость поперечному сдвигу пути и более простую эксплуатацию, чем в случае лежневого пути, разработанного в Японии. а) б) Рис. 1.27. Шпала рамной конструкции RS95 из преднапряженного железобетона 1.7.3. Увеличение общей упругости пути При небольшом расстоянии между шпалами и низком модуле упругости балласта распределяющее нагрузку действие рельса может быть оптимальным. На существующих старых линиях модуль упругости пути определяется упругими свойствами балласта и земляного полотна. На существующих высокоскоростных линиях модуль упругости пути в два раза выше, так как при их строительстве отсыпку земляного полотна, в том числе противоморозного и защитного слоев, выполняли с уплотнением грунта, а 65 при укладке балласта применяли динамический стабилизатор. Это влечет за собой увеличение давления на балласт на 20 %. Для его снижения на новых линиях применяют рельсовые скрепления с прокладками Zw700 пониженной упругости. При этом общая упругость пути не должна превышать некоторого установленного предела. Проведение дальнейших мероприятий по повышению упругости возможно при условии замены скреплений типа W на упругие Ioarv 300, используемые в безбалластном пути. Однако в отличие от безбалластного пути здесь жесткость скреплений должна быть повышена с 20 до 27 кН/мм. С этой же целью планируется ввести в эксплуатацию новые рельсовые скрепления E14 компании Vossloh. При укладке балластного пути непосредственно на жесткое основание мостового полотна необходимо использовать подбалластные маты, которые следует укладывать и на прилегающих к мосту участках протяженностью 15 м, чтобы избежать резкого изменения упругости пути. Эксперименты, проводившиеся с укладкой шпал, на нижнюю поверхность которых нанесен упругий материал, показали, что здесь необходим защитный слой, предотвращающий продавливание упругого материала частицами щебня. В лабораторных условиях было установлено, что при наличии упругой облицовки основания шпалы положение частиц верхнего слоя балласта стабилизируется, а смещение частиц происходит в более глубоких слоях. Благодаря этому достигается равномерное распределение контактного давления под шпалой. С другой стороны, наличие такого упругого слоя в определенных условиях может вызвать резонансные колебания шпалы. Результаты, полученные на экспериментальном участке, пока не позволяют сделать окончательных выводов о величине осадки на пути с такими шпалами. Во Франции после анализа японского опыта была принята конструкция главных путей высокоскоростной магистрали (ВСМ), предусматривающая укладку бесстыкового пути из рельсов массой 60,8 кг/м на шпальнобалластном основании на земляном полотне. При этом учитывались два решающих преимущества балластного варианта по сравнению с плитным: значительно меньшая цена самой конструкции (на участках с преобладанием зем- 66 ляного полотна) и больший запас устойчивости пути против поперечного сдвига от воздействия подвижного состава. Принимались во внимание и недостатки плитного основания на земляном полотне, которые проявились в Японии, в частности, высокая стоимость такой конструкции, трудности устранения геометрических отклонений пути (хотя они и меньше по величине, чем на обычном пути), отсутствие отлаженной технологии укладки пути, неопределенность его поведения на слабых грунтах. Однако конструкции ВСМ во Франции на классическом балластном пути присущи некоторые отличия от конструкции японской ВСМ, поэтому выправка пути на LGV (скоростная линия) должна быть более точной, чем на обычных линиях, и, как следствие, гравийный балласт укладывается на большую глубину, что позволяет повысить нагрузку на рельсы и стабильность пути. Кроме того, на трассах LGV шпалы уложены более часто. На LGV используются только бетонные шпалы (моноблочной или двухблочной конструкции), но в последнее время часто применяются шпалы из двух бетонных блоков, соединенных стальным брусом. На шпалы кладутся рельсы тяжелого типа с большой вертикальной жесткостью. На линиях LGV используется бесстыковой путь, что уменьшает вибрацию и шум. На линиях LGV используется стандартная европейская колея в 1435 мм. К примеру, на скоростных железнодорожных линиях в Японии и Тайване используется та же колея, но она шире обычной для этих стран колеи в 1067 мм, что изолирует скоростные линии от остальной дорожной сети. И, наоборот, в Испании, где стандартная колея составляет 1674 мм, при проектировании скоростных линий было принято решение строить их с более узкой европейской колеей, чтобы имелась возможность соединить свою сеть скоростных поездов с сетью TGV. Многолетний опыт эксплуатации французской ВСМ Париж – Лион подтвердил высокие эксплуатационные качества и надежность пути на балласте. Он уложен и на других ВСМ Франции, предназначенных для движения поездов со скоростью до 350 км/ч. В Германии на первых линиях ВСМ предпочтение отдавалось пути на земляном полотне с балластной призмой. Однако позднее, когда возникла проблема строительства спрямляющих ходов с большим числом тоннелей и 67 других искусственных сооружений, были проведены исследования и испытания пути на жестком основании. В результате было признано целесообразным применение верхнего строения японского типа с некоторыми коррективами немецких специалистов, принятыми в соответствии с местными условиями. На первой испанской ВСМ Мадрид – Севилья применена конструкция пути, близкая к французской. Из-за необходимости обеспечения более прямой трассы и обязательного устройства развязок с другими видами транспорта в разном уровне на высокоскоростных линиях строится большее, чем на обычных линиях, количество искусственных сооружений. 1.7.4. Колебания верхнего строения балластного пути Характер колебаний верхнего строения пути на балласте во многом определяется упругостью пути в разных плоскостях. Чтобы уменьшить возможность резонансов, необходимо при укладке шпал с облицованным основанием тщательно согласовывать упругость рельсовых скреплений и материала облицовочного слоя. Первые испытания на опытном участке в Вагхойзеле показали, что наибольшая амплитуда колебаний наблюдалась в диапазоне низких частот. Источником колебаний при увеличенном расстоянии между шпалами чаще всего является вторичный прогиб рельсов. В пути с более жестким верхним строением при скорости движения поездов более 200 км/ч возникают явно выраженные колебания балласта в диапазоне частот 50 – 120 Гц, на которые накладываются колебания частотой 25 Гц, возникающие под воздействием колесных пар при определенном расстоянии между осями в тележке. Под поездом ICE при увеличении скорости со 160 до 250 км/ч было зафиксировано увеличение скорости колебаний частиц балласта в два раза. Это влечет за собой повышение нагрузки на балласт и, соответственно, увеличение затрат на текущее содержание балластного пути при высокоскоростном движении. Как показали исследования в Японии и Франции, на высокоскоростных линиях по сравнению с обычными срок службы балласта сокращается. В Гер- 68 мании после пяти лет эксплуатации высокоскоростных линий также имеет место преждевременный износ балласта. 1.7.5. Безбалластный путь Конструкция безбалластного пути отличается от железнодорожного пути на балласте тем, что самый слабый элемент классического пути, а именно балласт, заменен равномерно распределяющей нагрузку несущей плитой из бетона или асфальта, на которую упруго укладываются рельсы. Как показали длительные исследования и эксплуатация, проводившиеся в странах, где массово применяется безбалластный путь (Японии и Германии), основными его преимуществами являются – невысокие затраты на текущее содержание; – неизменное качество пути со дня его постройки; – увеличенный диапазон допусков на величины возвышения наружного рельса в кривых, что позволяет прокладывать высокоскоростные линии с радиусом в кривых 3000 м; – исключение возможности выброса пути, что позволяет без ограничений по нагреву рельсов эксплуатировать поезда, оснащенные вихретоковым тормозом; – малая строительная высота, позволяющая сооружать тоннели меньшей высоты; – высокая надежность. К другим преимуществам безбалластного пути относятся малая строительная высота, позволяющая сооружать тоннели меньшей высоты, и отсутствие необходимости уничтожения растительности [85]. Недостатки заключаются в высоких капитальных затратах и расходах на модернизацию или корректировку, а также в необходимости укладки шумопоглощающих покрытий. В последние два десятилетия ведутся активные работы по совершенствованию конструкции безбалластного пути, направленные в основном на снижение капитальных затрат. Разрабатываются конструкции трех основных типов: 69 бетонная плита со сплошным армированием, на которой подготовлены отдельные опоры для рельсов; плита из предварительно напряженных сборных железобетонных элементов, укладываемых на гидравлически связанный несущий слой с добавлением жидкого цементного раствора; путевая решетка, забетонированная в плиту со сплошным армированием, залитая в асфальтовый слой или упруго уложенная на несущую плиту. При использовании системы с отдельными опорными точками необходима высокая точность укладки несущей плиты по горизонтали. Применение установки для изготовления монолитной плиты методом скользящей опалубки возможно лишь при условии принятия специальных мер. На изготавливаемой плите с шагом 2 м предусматриваются линии программируемого разрушения, чтобы трещины не образовывались в точках опирания рельсов. В сборной плите стыки между секциями представляют собой наиболее слабые элементы конструкции. Решение данной проблемы заключается в применении хорошо зарекомендовавших себя на практике стыков с замками. Первый опытный участок пути, уложенного на плитах из сборного железебетона, был сооружен в Хиршайде на линии Нюрнберг – Бамберг в 1970 г. Однако более перспективной оказалась конструкция пути, уложенного в 1972 г. на станции Реда линии Хамм – Билефельд, получившая название Rheda. По состоянию на лето 2000 г. по этому участку пропущена нагрузка 350 млн т. Кроме шлифования рельсов на нем не требовалось проведения каких-либо работ по текущему содержанию. С 1994 г. ведутся работы по совершенствованию конструкции безбалластного пути, направленные в основном на снижение капитальных затрат. Разрабатываются конструкции трех основных типов: бетонная плита со сплошным армированием, на которой подготовлены отдельные опоры для рельсов; плита из преднапряженных сборных железобетонных элементов, укладываемых на гидравлически связанный несущий слой с добавлением жидкого цементного раствора; путевая решетка, забетонированная в плиту со сплошным армированием, залитая в асфальтовый слой или упруго уложенная на несущую плиту. 70 При использовании системы с отдельными опорными точками необходима высокая точность укладки несущей плиты по горизонтали. Применение установки для изготовления монолитной плиты методом скользящей опалубки возможно лишь при условии принятия специальных мер. На изготавливаемой плите с шагом 2 м предусматриваются линии программируемого разрушения, чтобы трещины не образовывались в точках опирания рельсов. В сборной плите стыки между секциями представляют собой наиболее слабые элементы конструкции. Хорошо зарекомендовали себя стыки с замками, использованные на опытных участках в Карлсфельде близ Мюнхена (1977 г.), у станции Рот-Мальш (линия Хайдельберг – Брухзаль), а также у Хатштедта на линии Гамбург – Вестерланд (1999 г.). Наибольший объем исследований реализован в Германии по безбалластному пути типа Rheda. В 1998 г. путь этой конструкции в несколько модифицированном виде (рис. 1.28) уложен на участке длиной около 60 км высокоскоростной линии Берлин – Ганновер. Рис. 1.28. Конструкция безбалластного пути типа Rheda (Зенгеберг) Несущая плита со сквозным армированием выполнена в виде лотка Uобразного сечения. В него укладывается путевая решетка на преднапряженных железобетонных шпалах. После прокладки продольной арматуры, проходящей через имеющиеся в шпалах отверстия, решетка бетонируется. При этом достигается высокая точность в отношении ширины колеи и подуклонки рельсов. Проектное положение путевой решетки в плане и профиле достигается с по- 71 мощью специально предусмотренных горизонтальных и вертикальных регулировочных винтов. Обычно в бетоне, которым заливается путевая решетка, возникают тонкие усадочные трещины, идущие от боковой грани шпалы. Благодаря продольному армированию трещины не развиваются и поэтому не представляют опасности. Если во время бетонирования имеют место резкие изменения температуры воздуха, возникают более значительные трещины. Проблема оптимизации соединения заполняющего бетона с готовыми элементами (шпалами) решена в модификации Rheda 2000 (рис. 1.29). Другая модификация Rheda-Berlin используется на линиях городской железной дороги Берлина. Рис. 1.29. Конструкция и компоненты безбалластного пути типа Rheda 2000 При сооружении пути конструкции Rheda особое внимание следует уделять удалению воды из лотка. В связи с этим рассматривается возможность отказа от использования лотка и возврата к первоначальной конструкции Rheda с некоторыми изменениями. Системы безбалластного пути с путевой решеткой, уложенной на асфальтовый несущий слой, используются в Германии на опытном участке общей протяженностью около 80 км. Вследствие вязкоупругих характеристик асфальта, 72 особенно ярко выраженных при высокой температуре, возможно некоторое вдавливание шпал в поверхность опорной плиты. Если это происходит на новом участке непосредственно после прохода первого поезда, такое вдавливание играет положительную роль, так как при этом компенсируются имеющиеся неровности плиты. Независимо от материала опорной плиты безбалластный путь должен иметь шумопоглощающее покрытие, снижающее уровень излучаемого шума на 3 дБ(A). В Японии на первой в мире высокоскоростной магистрали (ВСМ) Токио – Осака был уложен бесстыковой путь из рельсов 53,3 кг/м (позже замененных на рельсы массой 60 кг/м) на железобетонных шпалах на щебеночном балласте и на земляном полотне. Большие затраты на содержание пути традиционной конструкции при высоких скоростях движения предопределили дальнейший выбор японских специалистов – использование жестких (плитных) оснований вместо балластной призмы и практически полный отказ от земляного полотна на новых линиях ВСМ. Этому решению способствовал тот факт, что на новых ВСМ Японии доля пути на участках с искусственными сооружениями приближалась к 100 %. 1.7.6. Опыт эксплуатации безбалластного пути В последние годы тема безбалластного пути была предметом многочисленных споров и дискуссий. Она обсуждалась только специалистами, которые пытались дать объективную оценку такого пути с технико-экономической точки зрения. Первые опытные участки пути на жестком основании укладывались в основном на станциях, так как в этом случае всегда имелась возможность пропуска подвижного состава в обход их без помех движению в период укладки и при последующих ремонтных работах. Так, уже в 1968 г. на станцию Хиршайд были доставлены готовые для укладки рамные конструкции и плиты. Эта рамноплитная конструкция затем несколько раз изменялась и совершенствовалась. В 1972 г. Мюнхенскому техническому институту была поручена разработка концепции безбалластного пути. Разработчики исходили из того, что в классическом верхнем строении пути необходимо заменить только самое слабое 73 звено, а именно щебеночный балласт, например, на бетон. Шпалы, являющиеся элементом, который служит для распределения нагрузки и связи колеи, решено было оставить. Амортизирующие функции щебеночного балласта будут обеспечиваться соответствующими прокладками или плитами из резины или пластика. Такой путь был впервые уложен на станции Реда, и с тех пор эта конструкция называется Rheda. Необходимо отметить, что точную установку пути в плане и профиле обеспечивали деревянными клиньями, которые устанавливали под шпалами и при бетонировании путевой решетки не удаляли. Тем не менее в течение уже почти 30 лет эксплуатации здесь было обнаружено лишь одно повреждение. Следующим важным этапом в развитии безбалластного пути были экспериментальные участки в Карлсфельде под Мюнхеном в 1977 г. Там на участке протяженностью 1,7 км было уложено пять отрезков пути различной конструкции, две из которых (со шпалами, уложенными на резиновые подошвы, и забетонированными рельсовыми скреплениями) вскоре сняли после многочисленных ремонтов. Остальные три (известные еще по Хиршайду, но усовершенствованные с тех пор рамно-плитные конструкции, а также типа Rheda, которые стали к этому времени регулировать при установке с помощью винтов) после некоторых небольших исправлений находятся в эксплуатации до сих пор. К началу 1980-х гг. железные дороги Германии и строительные компании провели ряд исследований экономической эффективности безбалластного пути. Нужно было выяснить целесообразность укладки пути на жестком основании со сроком службы 60 лет вместо традиционного на щебеночном балласте. В результате экономическая эффективность новой технологии доказана не была за исключением нескольких проектов строительства тоннелей. После этого интерес к безбалластному пути снизился; дальнейшие разработки на некоторое время были практически остановлены. В странах Европы интерес к безбалластному пути проявлялся в основном с точки зрения его укладки в тоннелях. В Японии же все новые высокоскоростные линии почти полностью строили на жестком основании из сборных плит (табл. 1.5). 74 Т а б л и ц а 1.5 Характеристики высокоскоростных линий Японии Линия Характеристика линии Токайдо Санъё I Санъё II Тохоку Дзоэцу Омия – Уэно Год сдачи в эксплуатацию 1964 1973 1974 1982 1982 1985 Протяженность, км 1031 326 782 931 539 54 Доля пути на балласте, % 100 95 32 10 5 47 93 86 94 100 100 5 68 90 95 100 Доля искусственных сооружений, % Доля пути на жестком основании, % Когда в начале 1960-х гг. началось строительство линии Токайдо – Синкансен между Токио и Осакой, считалось, что путь на щебеночном основании с бетонными шпалами длиной 2,4 м и рельсами 50 кг/м удовлетворяет требованиям высокоскоростного движения. В дальнейшем принятие такого решения привело к повышенным затратам на текущее содержание, которые, однако, было решено направить не на усиление балластного слоя и земляного полотна, а на сооружение эстакад сначала для пути на балласте, а затем и для безбалластного. Линия Тохоку северного направления Омия – Мориока почти полностью проходит на искусственных сооружениях. Там в основном укладывали путь на плитном основании, в том числе и на небольших участках, расположенных в уровне земли. Значительный интерес представляет то, что большинство стрелочных переводов уложено на щебеночный балласт. При этом зона стрелочного перевода соединяется с прилегающим путем с помощью переходного участка. В Германии специалисты в области пути пришли к выводу, что затраты на текущее содержание безбалластного пути должны составлять не более 10 % соответствующих затрат на балластный путь. Опыт эксплуатации пути на жестком основании в Японии показал, что в течение года (с 1987 по 1988 г.) на линии Тохоку эти затраты составили 60 %. Здесь причина повышенных затрат со75 стояла в том, что раствор, использовавшийся для скрепления плит (смесь битумной эмульсии с цементом), оказался неморозостойким, поэтому его пришлось менять на протяжении нескольких сотен километров. Подобные результаты были получены также в Карлсфельде. В Германии в одном из тоннелей на линии Мангейм – Штутгарт был уложен безбалластный путь конструкции Züblin (вибропогружение шпал в свежеуложенный бетон несущей плиты), а в трех тоннелях на линии Ганновер – Вюрцбург – конструкции Rheda. Серьезные трудности, возникавшие при установке путевой решетки в заданное положение, в конструкции Rheda были преодолены за счет применения бетонной несущей плиты корытообразного сечения. Борта используются в качестве опоры для боковых домкратов, а также как опалубка при заливке путевой решетки. Все рассмотренные варианты безбалластного пути относятся к так называемым компактным, или монолитным, конструкциям. Это значит, что путем заливки шпал или путевой решетки создается практически неразделимое соединение их с плитой основания. Это делает в дальнейшем невозможным проведение работ по исправлению положения пути в пределах, превышающих возможности регулирования с помощью рельсовых скреплений, не говоря уже о замене верхнего строения пути. Это обстоятельство заставило службу пути Германии искать альтернативные варианты неразъемному соединению путевой решетки с бетонной плитой. Кроме того, были разработаны различные виды стыковочных элементов, обеспечивающих надежное соединение секций плиты основания. В дальнейшем появилось много разнообразных типов конструкций безбалластного пути, которые подвергались длительным испытаниям, а затем укладывались в основном на коротких участках сети DBAG. Следует особо отметить, что наряду с бетоном в качестве материала опорной плиты использовался асфальт. Типичным вариантом такого исполнения безбалластного пути является конструкция ATD (асфальтовое основание с уложенной непосредственно на него путевой решеткой), которая впервые была использована на переходной кривой участка Вюрцбург – Лор. Здесь на практике были подтверждены результаты, полученные при испытаниях и показавшие, 76 что асфальтовое основание можно укладывать с точностью в профиле ±2 мм. Исходя из этого результата можно укладывать путевую решетку непосредственно на основание и отказаться от вертикальных домкратов и необходимых для этого приспособлений. Подобный путь развития прошел и процесс укладки стрелочных переводов непосредственно на жесткое основание. В ФРГ более 20 лет назад компании, специализирующиеся на путевом строительстве, делали попытки убедить руководство железных дорог широко использовать при строительстве новых линий безбалластный путь. Ситуация изменилась, когда в рамках реформы была достигнута договоренность о том, что строительство и реконструкция линий будут финансироваться из федерального бюджета, а их текущее содержание будет проводиться холдингом железных дорог Германии (DBAG). В этой ситуации руководство DBAG пришло к логическому выводу о необходимости строить путь, требующий минимальных средств на текущее содержание. Проблема состояла лишь в том, что федеральное правительство не решалось идти на дополнительные расходы, связанные со строительством безбалластного пути. Имели значение также и результаты сравнительных оценок эксплуатационных затрат на балластный и безбалластный путь, которые в основном были не в пользу пути на жестком основании. На новой линии Ганновер – Берлин безбалластный путь впервые был уложен на участках большой протяженности. В этом проекте принимало участие много компаний. Использовались многие варианты безбалластного пути, в том числе Rheda и ATD. В некоторых местах, где уложен путь типа Rheda, уже сейчас приходится заниматься ремонтом, так как шпалы, залитые бетоном, постепенно расшатываются. Оказалось, что эта конструкция пути чрезвычайно чувствительна к погрешностям, допущенным при изготовлении шпал. Путь Rheda требует высокой точности при укладке, поэтому здесь необходим строгий контроль строительных работ. Отсюда можно заключить, что слишком тонкую технологию укладки и ограниченную ремонтопригодность пути типа Rheda следует рассматривать как существенный недостаток. На качество безбалластного пути значительно влияет грунт основания, который на новой линии Кёльн – 77 Рейн/Майн является наиболее пригодным. Там укладывали только путь типа Rheda в разных вариантах. На основании изложенного выше и опыта эксплуатации участков с безбалластным путем в Германии и других странах можно сделать следующие предварительные выводы о том, что его применение целесообразно при стечении следующих обстоятельств: 1) в тоннелях длиной порядка 500 м, если это позволяют геологические условия. Целесообразна также укладка безбалластного пути в тоннелях уже существующих линий, поскольку проведение подбивочных и выправочных работ на балластном пути в тоннеле связано с образованием больших объемов пыли, которая затрудняет видимость и ухудшает условия работы. К этому нужно добавить повышенную опасность, связанную со стесненным пространством и движением поездов по соседнему пути. При прокладке новых тоннелей благодаря небольшой строительной высоте безбалластного пути можно уменьшить поперечное сечение тоннеля, что значительно удешевит строительные работы; 2) при определенных обстоятельствах на затяжных уклонах перед станциями. На этих уклонах кроме дискового можно также использовать вихретоковый тормоз. Вызываемый им нагрев рельсов может приводить к проблемам с точки зрения стабильности пути на балласте; 3) в кривых, где его можно укладывать с возвышением наружного рельса примерно на 25 % бóльшим, чем в пути на балласте. Это является одним из важнейших преимуществ безбалластного пути. Благодаря этому при движении поездов в том же диапазоне скорости радиус кривой может быть меньше, чем на участке с путем на балласте. Это дает следующие преимущества: трасса линии лучше вписывается в рельеф местности, уменьшается негативное воздействие на окружающий ландшафт, облегчаются прокладка новых и реконструкция существующих линий, уменьшается длина искусственных сооружений (тоннелей и мостов), повышается экономическая эффективность безбалластного пути по сравнению с путем на балласте. Большой интерес это может представлять также для поездов, составленных из вагонов с наклоняемыми кузовами. 78 Необходимыми условиями укладки безбалластного пути на земляном полотне являются максимальная устойчивость и уплотняемость его материала. Эти условия гораздо легче выполнить в горной местности, чем, например, в районе прокладки линии Ганновер – Берлин. Следует отметить, что в Японии до сих пор избегают укладывать безбалластный путь на насыпях. Анализ результатов эксплуатации участков безбалластного пути позволяет предположить, что из всего многообразия типов конструкции на сети германских государственных железных дорог найдут применение только два типа конструкции, а именно Rheda и путь с основанием из сборных плит. Необходимо заметить, что в суровых климатических условиях большинства регионов железных дорог России, особенно на дорогах Урала, Сибири и Дальнего Востока, где возможно морозное пучение грунта, применение безбалластного пути влечет за собой значительные экономические затраты на его текущее содержание в исправном состоянии. 2. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА. ТРИ СПОСОБА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБОБЩЁННОЙ СИЛЫ 2.1. Методика формирования уравнения Лагранжа второго рода Наиболее ясным и простым способом построения математической модели механической системы являются уравнения Лагранжа второго рода. Здесь необходимо отметить, что эти уравнения справедливы только для случаев, когда связи, наложенные на систему, являются удерживающими (двухсторонними), голономными и идеальными. Напомним некоторые моменты, касающиеся метода формирования математической модели на основе энергетического метода Лагранжа. Сначала напишем эти уравнения в следующем виде: d  ∂T  dt  ∂q& j  ∂T ∂Φ ∂Π + + = Q j j ∈ [1, m],  − & ∂ q ∂ q ∂ q j j j  79 (2.1) где m – число степеней свободы механической системы; q& j и qj – j-я обобщенная скорость и j-я обобщенная координата (напомним, что они могут иметь любую физическую природу и размерность и однозначно определяют положение механизма в пространстве); T – кинетическая энергия системы; Φ – диссипативная функция; Π – потенциальная энергия системы; Qj – j-я обобщенная сила, действующая вдоль j-й обобщенной координаты и вычисляемая в случае, когда в механической системе присутствуют непотенциальные силы, иначе она полагается равной нулю. И тогда уравнения Лагранжа принимают привычный вид – с нулем в правой части. Чтобы определить число степеней свободы, нужно следовать такому правилу: в заданном механизме (машине) отыскиваем звено, совершающее простейшее движение, например, поступательное или вращательное, и мысленно останавливаем его; далее смотрим, есть ли звенья, которые могут еще совершать движения, если такие элементы находятся, то переходим к началу алгоритма, в противном случае подсчитываем, сколько раз нам пришлось мысленно останавливать звенья – полученное число и дает нам число степеней свободы механизма (машины). С математической точки зрения число степеней свободы соответствует минимальному числу обобщенных координат, однозначно определяющих положение механизма в пространстве. Заметим, что оба определения справедливы для так называемых голономных динамических систем, т. е. таких, на которые наложены интегрируемые связи. Итак, для того чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода в форме (2.1), нужно уметь вычислять всего четыре величины, а именно: кинетическую и потенциальную энергию, диссипативную функцию и обобщенные силы. Вспомним, как мы это делали в курсе «Теоретическая механика». Кинетическая энергия системы материальных точек находится с помощью выражения: Τ= 1 n mkVk2 , ∑ 2 k =1 80 (2.2) где mk – масса k-й материальной точки, Vk2 – квадрат ее скорости. В динамике подвижного состава или вагонов мы обычно имеем дело с плоскими расчетными схемами и твердыми телами. Поэтому укажем формулы для кинетической энергии при различных видах движения твердых тел: поступательное – 1 Τ = MV 2 , 2 (2.3) здесь M – масса твердого тела; V – скорость любой точки твердого тела, ибо при данном типе движения скорости всех точек равны между собой и направлены в одну сторону; вращательное – 1 Τ = Jω 2 , 2 (2.4) где J – момент инерции твердого тела относительно оси вращения; ω – угловая скорость вращения твердого тела; плоскопараллельное (плоское) – 1 1 Τ = MVC2 + JCω 2 . 2 2 (2.5) Здесь M – масса твердого тела; VC – скорость центра масс твердого тела; JC – момент инерции твердого тела относительно его центра масс; ω – угловая скорость вращения твердого тела вокруг его центра масс. Заметим, что линейные и угловые скорости будут функциями выбранных для каждой конкретной расчетной схемы обобщенных координат и обобщенных скоростей. Как это делать, будет показано в дальнейшем при изучении настоящего курса. Говорить о вычислении диссипативной функции можно лишь тогда, когда в расчетной схеме конкретного механизма или машины есть демпферы вязкого трения. Пусть таких гасителей колебаний m, тогда имеем: 81 1 m &2 Φ = ∑ bk ∆ k , 2 k =1 (2.6) где bk – коэффициент вязкого трения k-го демпфера; ∆& k – скорость деформации k-го гасителя, которая выражается через принятые для конкретной расчетной схемы обобщенные скорости. И это также будет показано в дальнейшем при изучении данного курса. Среди сил разнообразной физической природы, с которыми приходится иметь дело в механике, особое место занимает класс сил, величина и направление которых зависят только от положения точки пространства, в которой находится рассматриваемая материальная точка, или от взаимного расположения взаимодействующих точек. Примером может служить сила тяготения двух точечных масс, обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними и, следовательно, зависящая от их взаимного расположения. Точно так же сила, действующая на электрически заряженную частицу в электростатическом поле, зависит от положения частицы в этом поле и также принадлежит рассматриваемому классу сил. В качестве еще одного примера можно привести упругие силы. Если точка или система точек движется в пространстве под действием сил, однозначно определяемых положением тех точек пространства, в которых в данный момент находятся точка или система, то говорят, что точка или система движутся в силовом поле, которое может быть одинаковым в разные моменты времени, а может с течением времени изменяться. В первом случае поле называется стационарным, во втором – нестационарным. Например, силовое электростатическое поле вокруг заряженного тела будет стационарным, если заряд тела постоянен во времени, и нестационарным в противоположном случае. В дальнейшем будут рассматриваться стационарные поля. Класс сил, зависящих от положения, принципиально отличается от сил, зависящих от скорости, каковыми являются силы сопротивления среды движению в ней тела (точки) или сила, с которой магнитное поле действует на движущийся электрический заряд. Это различие заключается в том, что проекции 82 r силы F , с которой силовое поле действует на движущуюся в ней материальную точку, являются наперед заданными функциями координат  Fx = Fx ( x, y, z );   Fy = Fy ( x, y, z );   Fz = Fz ( x, y, z ) (2.7) независимо от того, какое движение совершает материальная точка в этом поле. Чтобы определить, является ли силовое поле потенциальным, другими словами, зависит ли работа поля от траектории движения точки, достаточно установить, является ли оно безвихревым или нет. Это можно сделать, вычислив ротор («вихрь») силы по формуле: r r r i j k uuur r ∂ ∂ ∂  ∂F ∂Fy  r  ∂F ∂F  r  ∂Fy ∂F  r x rot F = = z − − z  j + − x  k = 0, (2.8) i +  ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂y  Fx Fy Fz rrr где i , j , k – единичные орты декартовой системы координат, тогда имеем:  ∂Fy ∂Fz  ∂z − ∂y = 0;   ∂Fz ∂Fx − = 0;  ∂ x ∂ z   ∂Fx ∂Fy − = 0.  ∂ y ∂ x  (2.9) Другими словами, смешанные частные производные должны быть равными. Если силовое поле создается несколькими силами, то для каждой силы нужно вычислить «вихрь», и все они должны быть равны нулю. Сформулируем полученный результат так: необходимым и достаточным r условием того, чтобы работа силы F не зависела от формы траектории материальной точки в силовом поле, а определялась только начальным и конечным положениями точки в этом поле, является существование однозначной и непрерывной вместе со своими производными до второго порядка 83 включительно функции координат, частные производные которой по x, y, z r равны проекциям силы F на соответствующие оси координат: uuuuur r  ∂Π r ∂Π r ∂Π r  F = − grad Π ( x, y , z ) = −  i + j+ k , ∂y ∂z   ∂x (2.10) здесь функция Π(x,y,z) – называется потенциалом или потенциальной энергией силового поля. Запишем проекции силы на декартовы оси координат:  ∂Π F = − ;  x ∂ x  ∂Π  ;  Fy = − ∂ y   ∂Π .  Fz = − ∂z  (2.11) Итак, потенциальная энергия по своей физической сущности – это работа, и ее вычислять мы умеем. Работа позиционных или потенциальных сил не зависит от пути перемещения из начального положения в конечное положение, т. е. имеем: A0,1 = Π0 − Π1, (2.12) здесь Π0 и Π1 – значения потенциальной энергии системы в ее начальном и конечном положениях. Фиксируя начальное положение точки M0, можно сказать, что работа в рассматриваемом случае является функцией координат x, y, z. Следствием предположения об однозначности потенциальной функции является обращение в нуль работы при совпадении начальной и конечной точек пути интегрирования. Другими словами, работа в потенциальном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю. Этот признак также можно принять за определение потенциального силового поля. Можно сказать и так: циркуляция вектора силы по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю. 84 Потенциальная энергия зависит от координат материальных точек, составляющих систему, т. е. Π = Π ( x1 , y1 , z1 ,..., xn , yn , zn ) = ∑ Π j ( x j , y j , z j ). n (2.13) α =1 Действительно, часто можно найти потенциальную энергию отдельных сил, входящих в систему сил, образующих силовое поле. Иногда полезно разделить потенциальную энергию на энергию внешних Πe и Πi внутренних сил. Общая потенциальная энергия будет равна их сумме: Π = Πe + Πi . (2.14) И, наконец, потенциальная энергия обычно вычисляется с точностью до аддитивной постоянной, поэтому будем исходить из условия, что она равна нулю в начальной точке: Π ( M 0 ) ≡ 0. (2.15) 2.2. Потенциальная энергия поля силы тяжести Выбирая систему координат так, чтобы горизонтальная плоскость на заданном произвольном уровне была плоскостью Oxy, а ось Oz была направлена вертикально вверх, будем иметь в случае одной точки веса G (или массы m) dA = −d Π = −Gdz = −mgdz, (2.16) откуда получаем: z Π = mg ∫ dz = mgz. (2.17) Как указывалось выше, постоянную интегрирования можно было бы выбирать совершенно произвольно, например, просто отбросить, однако в нашем случае она равна нулю. Потенциальную энергию системы материальных точек 85 Mi с весами Gi (массами mi) и координатами zi определим интегрированием равенства: dA = − d Π = n n i =1 i =1 ∑ ( − G i dz i ) = ∑ ( − m i gdz i ), (2.18) тогда n n i =1 i =1 Π = ∑ G i z i = Gz C = g ∑ m i z i = Mgz C , (2.19) где zC – ордината центра масс системы, G – сумма весов отдельных точек системы (M – сумма масс этих точек). Работу силы тяжести при переходе системы материальных точек из положения 1 в положение 2 найдем по формуле: A1,2 = Π 1 − Π 2 = G ( z C 1 − z C 2 ) = Mg ( z C 1 − z C 2 ) . (2.20) Работа силы тяжести системы материальных точек не зависит от траектории их движения; поле тяжести – потенциальное поле. Поверхностями уровня будут, очевидно, являться горизонтальные плоскости, силовыми линиями – вертикали (следует заметить, это верно при принятии допущения, что исследование ведется вблизи поверхности Земли). 2.3. Потенциальная энергия упругодеформированного тела В случае деформации, например, сжатия пружины, удлинение которой из деформированного состояния, равного статическому прогибу и принимаемого за начальное, равно x1, определяя потенциальную энергию как работу, совершаемую упругими силами при деформации пружины в конечное положение х2, будем иметь: х2 х2 1 Π ( x) = ∫ Fx dx = −c ∫ xdx = c( x22 − х12 ), 2 x1 х1 (2.21) здесь с – жесткость пружины. Потенциальная энергия скрученного стержня определяется формулой: 86 1 Π (ϕ ) = cϕϕ 2 , 2 (2.22) где cϕ – жесткость при кручении; ϕ – угол относительного кручения (поворота вдоль продольной оси) между крайними сечениями стержня. Рассмотрим точечную массу, закрепленную в точке некоторой упругой конструкции, которая может состоять из пружин, стержней, плит и т. п. Предположим, что начало координат помещено в этой точке при натуральном состоянии конструкции. При малом отклонении массы из начала координат в точку с координатами x, y, z возникает упругая реакция, проекции которой на оси координат согласно закону Гука будут линейными функциями координат:  Fx = − ( a11x + a12 y + a13 z ) ;   Fy = − ( a21 x + a22 y + a23 z ) ;   Fz = − ( a31 x + a32 y + a33 z ) . (2.23) Коэффициенты aij зависят от размеров элементов конструкции, упругих постоянных их материалов и выбора направления осей взятой системы координат, они характеризуются важным свойством взаимности: a12 = a21;  a23 = a32 ; a = a ,  31 13 (2.24) являющейся следствием потенциальности упругих сил. Чтобы найти выражение потенциальной энергии, проинтегрируем ее полный дифференциал d Π = − ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) = ( a11 x + a12 y + a13 z ) dx + + ( a21 x + a22 y + a23 z ) dy + ( a31 x + a32 y + a33 z ) dz (2.25) и получим: Π= 1 a11x2 + 2a12 xy + 2a13 xz + a22 y2 + 2a23 yz + a33 z 2 ) . ( 2 87 (2.26) Таким образом, потенциальная энергия упругой конструкции, подчиняющейся закону Гука, является однородной квадратичной формой координат точки, отсчитываемых от положения ее при недеформированном состоянии конструкции. Принятое выше физическое допущение о потенциальности упругих сил является выражением свойства идеально упругого тела накапливать при постепенном его нагружении потенциальную энергию и возвращать ее без потерь, когда тело вернется в исходное положение при постепенном разгружении. 2.4. Потенциальная энергия системы тяготеющих масс r Рассмотрим массу m, находящуюся в точке M с радиус-вектором r в поле притяжения, создаваемом системой n масс mi, находящихся в точках Mi с радиr ус-векторами ri ( рис. 2.1). На массу m действует совокупность сил тяготения: r r r r − ri Fi = − fmmi r r 3 (i = 1,2,..., n), r − ri здесь f – постоянная тяготения. Рис. 2.1. К вычислению потенциальной энергии гравитационного поля, образованного n массами mi r Элементарная работа этих сил при перемещении на dr массы m 88 (2.27) r r n r − ri r dA = − fm ∑ mi r r 3 dr = − fm ∑ mi r − ri i =1 i =1 n r r r r r r − ri r r r r 3 d ( r − ri ), r − ri (2.28) r причем имеем: d ( r − ri ) = dr , так как dri ≡ 0. Вычисляя интеграл и приравнивая его к уменьшению –П, находим: n m Π = − fm∑ r i r . i =1 r − ri (2.29) Каждое слагаемое этой суммы представляет собой потенциальную энергию тяготения, создаваемого точкой массы mi в точке M; но таково же выражение потенциальной энергии тяготения, создаваемого массой m в точке Mi. По этим соображениям выражение mm mm Π ij = − f r i rj = − f i j , rij ri − rj (2.30) где r r ri − rj = rij = (x − x ) + ( y − y ) + (z 2 i j 2 i j − zj ) , 2 i (2.31) можно назвать взаимной потенциальной энергией системы двух притягивающихся масс – mi и mj. Взаимная потенциальная энергия системы n точечных масс m1, m2, … , mn поэтому 1 n n 1 n n mi m j Π = ∑∑ Π ij = − f ∑∑ (i ≠ j ). 2 i =1 j =1 2 i =1 j =1 rij (2.32) Множитель 1/2 здесь нужен потому, что, раскрывая двойную сумму, мы каждое слагаемое берем дважды. 2.5. Вычисление обобщенной силы (три способа ее нахождения) Теперь обратимся к вычислению обобщенной силы, действующей по обобщенной координате. Обычно это трудно усваивается студентами из-за понятия «возможное» или «виртуальное перемещение». Выполнить это действие 89 можно тремя способами, что продемонстрируем на примере. Пусть на рычаг действуют вертикальные силы P1 и P2, а его плечи равны OA = a и OB = b. В качестве обобщенной координаты возьмем угол поворота рычага ϕ. Расчетная схема механизма показана на рис. 2.2. 2.5.1. Графоаналитический способ вычисления обобщенной силы Мысленно дадим системе возможное перемещение δϕ, тогда точка приr r ложения силы P1 получит возможное приращение δ s A , а точка приложения сиr r лы P2 – δ sB (рис. 2.3). Вспомним, что возможные перемещения голономной системы со стационарными связями всегда направлены по скоростям, т. е. лежат на касательных к траекториям движения точек A и B, а это окружности соответствующих радиусов a и b. Вычислим возможную работу, которую совершают силы, приложенные к рыРис. 2.2. Расчетная схема механизма чагу: r r r r δ A F = P1 ⋅ δ s A + P2 ⋅ δ s B . (2.33) Раскрывая скалярные произведения в формуле (2.33), получим: δ AF = P1δ sA cosγ1 + P2δ sB cosγ 2 , (2.34) γ 1 = ϕ ;  γ 2 = π − ϕ , а учитывая, что углы равны: γ 1 = ϕ ;  γ 2 = π − ϕ , перепишем последнее (2.35) соотношение формулы (2.34) так: 90 Рис. 2.3. К вычислению возможной работы сил, приложенных к рычагу δ AF = P1δ sA cosϕ + P2δ sB cos (π − ϕ ) = = P1δ sA cosϕ − P2δ sB cosϕ = ( P1δ sA − P2δ sB ) cosϕ. (2.36) Чтобы закончить вычисление возможной работы сил, приложенных к рычагу, нужно найти величины возможных перемещений точек их приложения, а для этого достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники OAA1 и OBB1, откуда следует, что BB1  AA1 = = tgδϕ ; tg δϕ ;  OA OB  δ sA = tgδϕ ≈ δϕ ;  a   δ sB  b = tgδϕ ≈ δϕ ,  (2.37) здесь учтено, что возможное перемещение системы δϕ дается мысленно, оно бесконечно мало и в первом приближении не нарушает наложенных на систему связей. Вторая и третья формулы системы (2.37) дают нужные нам выражения для определения возможных перемещений точек приложения сил, действующих на рычаг: δ s A ≈ aδϕ ;  δ s B ≈ bδϕ . (2.38) Подставив уравнения (2.38) в (2.36), после несложных преобразований получим: δ A F = ( P1 a − P2 b ) cos ϕδϕ , (2.39) следовательно, вспоминая, что обобщенная сила представляет собой коэффициент, стоящий перед вариацией обобщенной координаты, имеем: Qϕ = ( P1 a − P2 b ) cos ϕ . 2.5.2. Аналитический способ вычисления обобщенной силы 91 (2.40) В курсе «Теоретическая механика» было выведено выражение, позволяющее аналитически находить обобщенную силу, которое в нашем случае записывается в виде: Qϕ = P1 x ∂x A ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z + P1 y A + P1 z A + P2 x B + P2 y B + P2 z B . ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (2.41) Чтобы вычислить необходимые нам величины, обратимся к рис. 2.4, на котором их легко можно увидеть. Используя рис. 2.4, найдем проекции сил, действующих на рычаг, на декартовы оси координат и координаты точек их приложения:  P1x ≡ 0; P1 y = − P1; P1z ≡ 0;   P2 x ≡ 0; P2 y = − P2 ; P2 z ≡ 0;   xA = −a cosϕ ; y A = −a sin ϕ ; z A ≡ 0;  x = b cosϕ ; y = b sin ϕ ; z ≡ 0.  B B B (2.42) Учитывая, что в выражениях r r (2.42) проекции сил P1 и P2 на оси координат Ox и Oz равны нулю (поэтому первое, третье, четвертое и шестое слагаемые можно опустить), достаточно найти следующие частные производные:  ∂y A  ∂ϕ = − a cos ϕ ;   ∂yB = b cos ϕ .  ∂ϕ Рис. 2.4. К вычислению обобщенной силы с помощью аналитического выражения (2.43) В результате после несложных преобразований получим: 92 Qϕ = ( P1 a − P2 b ) cos ϕ . (2.44) 2.5.3. Способ вычисления обобщенной силы через определение потенциальной энергии Указанный способ основывается на нашем умении находить потенциальную энергию заданной системы сил, которые образуют потенциальное силовое поле. Итак, элементарная работа сил, приложенных к рычагу, dA = P1 x dx + P1 y dy + P1 z dz + P2 x dx + P2 y dy + P2 z dz . (2.45) Полная работа yA yB A = − P1 ∫ dy − P2 ∫ dy = − P1 y A − P2 yB = (2.46) = − ( − Pa 1 sin ϕ + P2b sin ϕ ) = ( Pa 1 − P2b ) sin ϕ . Далее напишем выражение для вычисления потенциальной энергии: Π = − A = − ( P1a − P2b ) sin ϕ . (2.47) Учитывая, что обобщенная сила определяется по формуле Qϕ = − ∂Π , ∂ϕ (2.48) находим Qϕ = ( P1 a − P2 b ) cos ϕ . (2.49) Конечно, данный способ в некотором смысле вряд ли нужно использовать, поскольку для составления уравнений Лагранжа второго рода достаточно знать потенциальную энергию. Здесь так подробно рассмотрены способы вычисления обобщенной силы с той целью, что в горизонтальной динамике подвижного состава железных дорог необходимо будет находить силы взаи- 93 модействия колесных пар экипажей и железнодорожного пути, которые не носят потенциального характера и обычно вычисляются с помощью рассмотренного аппарата обобщенных сил. 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ. ВЫВОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КОЛЕБАНИЙ ОДНОСТЕПЕННОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 3.1. Колебания машин и виброзащита объектов В реальной обстановке на любую механическую систему (на железнодорожный экипаж, автомобиль, самолет и др.) действуют внешние силы, так как выделенная система почти всегда взаимодействует с другими системами, не вошедшими в нее, ибо избежать идеализаций и допущений при разработке расчетных схем машин, механизмов и железнодорожных экипажей мы не в состоянии. Колебания в машинах могут быть как полезными, когда само действие машины основано на эффекте колебаний, например, вибрационные транспортеры, сита, виброударные машины для забивки свай, так и вредными или нежелательными, ибо снижают надежность машин и механизмов, вызывают шум, оказывают вредное влияние на организм человека и требуют дополнительных затрат энергии, например, на перемещение поезда с одной станции на другую. Характеристики колебательных систем (амплитуды перемещений и их производных по времени – виброскоростей и виброускорений, а также частоты и силы) могут быть уменьшены или ограничены допускаемыми пределами путем оптимального выбора значений параметров соответствующей динамической модели. В тех случаях, когда путем оптимального выбора параметров не удается снизить уровень колебаний, применяются дополнительные способы для снижения негативного действия колебаний на узлы подвижного состава и на человека-оператора (машиниста локомотива, механика рефрижераторной секции и др.) – способы виброзащиты. Существует несколько способов защиты объектов от вибрации, их классификация приведена на рис. 3.1. 94 На железнодорожном транспорте основными методами виброзащиты являются снижение виброактивности источника, виброизоляция и виброгашение. Устройства виброизоляции и гасители колебаний представляют собой пассивную виброзащитную систему (ВЗС). Существуют также активные виброзащитные системы (АВЗС), в которых используются дополнительные устройства подвода энергии для подавления колебаний защищаемого объекта (летчика современного самолета-истребителя, пилота болида автогонок «Формула 1», кузова высокоскоростного поезда и др.). Методы виброзащиты железнодорожных экипажей и других объектов Снижение виброактивности источника возмущений ВЗС Виброгашение Пассивные Устранение кинематических и динамических неровностей пути Шлифовка рельсов, бесстыковой путь на железобетонных шпалах, стабилизация верхнего строения пути Уменьшение эксцентриситета колесных пар, устранение наваров, ползунов, выщербин Динамиче ский гаситель Активные Полуактивные С устройством преобразования движения С компенсирующими устройствами Ударный гаситель направленного действия Комбинированные АВЗС с управлением по отклонению АВЗС с управлением по возму ще нию Адаптивные АВЗС АВЗС с переменной структурой Рис. 3.1. Классификация методов виброзащиты железнодорожных экипажей Под источником возмущений подразумеваются геометрические неровности в системе «колесо – рельс», силовые неровности верхнего строения пути 95 в вертикальной и горизонтальной плоскостях, развивающиеся в системе «экипаж – путь» в процессе длительного взаимодействия колес и рельсов в эксплуатации, а также возмущения, создаваемые неуравновешенными узлами различных работающих агрегатов (компрессоров, вентиляторов и пр,). Виброгашение основано на присоединении к машине дополнительных колебательных систем, называемых виброгасителями, которые создают динамические воздействия, уменьшающие уровень колебаний в машине. Виброизоляция основана на разделении механической системы (например, системы «локомотив – путь») на две части и соединении этих частей посредством виброизоляторов, т. е. на установке рессор между колесными парами, движущимися по неровностям пути и являющимися источником возмущения, и тележками, а также кузовом (защищаемым объектом). Во многих случаях масса одной части существенно превышает массу другой части. Тогда движение «большой» массы может считаться не зависящим от движения тела «малой» массы, хотя если мощность источника возбуждения колебаний ограничена, то возможно их взаимное влияние друг на друга. Тело «большой» массы часто называют основанием независимо от того, является ли оно защищаемым объектом или источником возбуждения (так, в кузове локомотива работающий поршневой компрессор, нагнетающий воздух в главный резервуар, вследствие его дисбаланса оказывает вибровоздействие на раму этого кузова). Еще один способ виброзащиты объекта заключается в снижении активности самого источника возмущения. В приложении к механике подвижного состава это осуществляется путем устранения просадок рельсового пути, рихтовки и шлифования рельсов, устранения дисбаланса, ползунов и наваров колес подвижного состава. Отметим еще раз, что начинать изучение колебательных процессов лучше всего с механической системы с одной степенью свободы, так как уже здесь можно понять все основные закономерности колебательных систем и работу методов их расчета. Расчетные схемы одностепенной механической системы при различных способах действия внешнего возмущения представлена на рис. 3.2. Она представляет собой груз массой m, способный перемещаться только 96 по вертикали, опирающийся на пружину жесткостью С и гаситель колебаний (демпфер) вязкого трения с коэффициентом затухания b. Будем далее считать, что на нашу механическую систему действует внешнее возмущение. а б в Рис. 3.2. Расчетные схемы одностепенной механической системы при силовом (а), кинематическом (б) и инерционном (в) возмущении 3.2. Классификация внешнего воздействия Если внешнее возмущение P(t) непосредственно приложено к грузу (рис. 3.1, а), то такой тип возмущения называется силовым, если же внешнее возмущение передается на груз через пружину и демпфер (рис. 3.1, б), т. е. через упругий и диссипативный элементы системы обрессоривания, то такой тип возмущения называется кинематическим. Если внутри механической системы есть вращающиеся с определенной угловой скоростью части и они имеют некоторый эксцентриситет (рис. 3.1, в), то возникают и развиваются силы инерции, оказывающие влияние на надежность конструкции, и такой тип внешнего воздействия называется инерционным. Кроме того, внешнее воздействие определяется характером поведения, т. е. оно может быть детерминированным и может описываться некоторой гармонической функцией типа либо синуса, либо косинуса, или случайным; в данном случае мы не будем определяться с характером внешнего возмущения. 97 3.3. Вывод математической модели одностепенной механической системы Чтобы получить дифференциальное уравнение, описывающее движение механической системы, показанной на рис. 3.1, а, воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода, тогда нетрудно получить кинетическую энергию твердого тела, совершающего вертикальное поступательное движение: 1 Τ = mV 2 , 2 (3.1) но скорость подпрыгивания груза определяется через обобщенную скорость q& , или 1 Τ = mq& 2. 2 (3.2) Таким образом, мы выразили скорость вертикального перемещения груза V через принятую нами обобщенную скорость q& . Обратимся к вычислению потенциальной энергии нашей механической системы, воспользовавшись приведенной во втором разделе формулой (2.21): 1 Π = c∆2 , 2 (3.3) где ∆ – прогиб пружины, равный обобщенной координате q вследствие того, что ее нижний конец неподвижен. Следовательно, в окончательном виде уравнение для вычисления потенциальной энергии запишется в виде: 1 Π = cq2 . 2 (3.4) Чтобы найти статический прогиб пружины, рассмотрим положение равновесия системы под действием сил тяжести и упругости, которые направлены в противоположные стороны. Сила упругости в статике Fупр = сfcт, 98 (3.5) и она уравновешивается силой тяжести, поэтому составляем уравнение для нахождения статического прогиба пружины fст: сfст = mg , (3.6) fст:=mg/c. (3.7) отсюда Формулы (3.3) и (3.4) были нами использованы потому, что в положении статического равновесия потенциальная энергия должна быть равна нулю, а обобщенная координата q отсчитывается от положения статического равновесия (по этой причине на рис. 3.1 не изображена сила тяжести). Кроме того, в положении равновесия потенциальная энергия должна иметь минимум: ∂Π 1 = c 2 q = cq = 0, ∂q 2 (3.8) отсюда q = 0. (3.9) Определим диссипативную функцию системы согласно формуле (2.6): 1 1 Φ = b∆& 2 = bq& 2 . 2 2 (3.10) Найдем обобщенную силу. Для этого зададим системе возможное пе- r ремещение δ q , направленное вниз, тогда возможная работа внешнего возмущения r r δ AF = P ⋅ δ q = P(t )δ q. (3.11) Из выражения (3.11) обобщенная сила легко определяется как коэффициент, стоящий при вариации обобщенной координаты, следовательно, Q = P(t). 99 (3.12) Чтобы сформировать уравнение Лагранжа (2.1), следует взять соответствующие производные от кинетической и потенциальной энергии и диссипативной функции:  ∂Τ 1  & = m2q& = mq&;  ∂q 2   ∂Φ = 1 b2q& = bq&;  ∂q& 2 ∂Τ d  ∂Τ  d ≡ 0;   = ( mq& ) = mq&&; ∂q dt  ∂q&  dt ∂Π 1 = c 2q = cq. ∂q 2 (3.13) Подставив выражения (3.12) и (3.13) в (2.1), получим математическую модель движения одностепенной механической системы при действии на нее силового внешнего возмущения: mq&& + bq& + cq = P(t). (3.14) Это есть дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью. Иногда говорят, что оно неоднородное или неавтономное, причем возмущение входит в математическую модель аддитивным образом (только в правую часть). Если же обратиться к проблемам динамики подвижного состава, то многочисленные экспериментальные исследования указывают на тот факт, что жесткость железнодорожного пути изменяется по длине рельсового звена. А так как обобщенные координаты железнодорожных экипажей должны отсчитываться от положения статического равновесия, то в правую часть соответствующих дифференциальных уравнений обязательно войдут переносные ускорения. Следовательно, такой возмущающий фактор, как неравноупругость железнодорожного пути, войдет в математическую модель мультипликативным (в левой части дифференциального уравнения как коэффициент при обобщенной координате) и аддитивным (в правой части дифференциального уравнения как переносное ускорение) образом. 100 Разделим левую и правую части уравнения (3.14) на массу груза m и после несложных преобразований найдем: q&& + 2nq& + k02q = 1 P(t ), m (3.15) где 2n = b/m – коэффициент демпфирования системы; k02 = c/m = g/fст – квадрат собственной частоты консервативной системы (система называется консервативной тогда, когда в ней отсутствует рассеяние энергии колебаний; другими словами, в подвеске груза отсутствуют любые демпферы, т. е. b = 0!). Итак, мы, используя уравнения Лагранжа второго рода, сформировали математическую модель колебания одностепенной механической модели, которая представляется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами в его левой части. Так как правая часть уравнения (3.15) не равна нулю, то дифференциальное уравнение называется неоднородным (или неавтономным). 3.4. Составляющие вынужденного колебания Пусть внешнее силовое возмущение описывается простой гармонической функцией: P ( t ) = P0 sin ω t , (3.16) где P0 – амплитуда возмущения, имеющая размерность силы, Н; ω – частота внешнего воздействия, рад/с. В правой части дифференциального уравнения (3.15) возмущение делится на массу груза, поэтому сначала выполним необходимые преобразования с учетом формулы (3.15): 1 1 c P0 P(t ) = P0 sin ωt = sin ωt = k02 qст sin ωt , m m m c 101 (3.17) здесь qст = P0 c – статический прогиб пружины в случае статического приложения внешнего возмущения. Теперь с учетом выражения (3.17) перепишем уравнение (3.15) в виде: q&& + 2 nq& + k 02 q = k 02 qст sin ω t . (3.18) Курс высшей математики указывает на то, что общее решение неоднородного (неавтономного) дифференциального уравнения (3.18) складывается из общего решения однородного дифференциального уравнения, которое в нашем случае имеет вид: qсв = e−δ k0t ( C1 cos k0t + C2 sin k0t ) , (3.19) и частного решения неоднородного дифференциального уравнения (3.18), которое выбирается по виду правой части (в нашем случае это обычная синусоида): q ч = D s in (ω t + ϕ ) . (3.20) Продифференцируем дважды выражение (3.20) и подставим результат в уравнение (3.18), тогда после несложных преобразований получим систему уравнений с неизвестной амплитудой чисто вынужденных колебаний D и сдвигом фазы ϕ: ( k02 − ω 2 ) D sin (ωt + ϕ ) + 2nω D cos (ωt + ϕ ) = k02 qст sin ωt ;   2 2 2 ( k0 − ω ) D cos ϕ − 2nω D sin ϕ = k0 qст ;  2 2 ( k0 − ω ) D sin ϕ + 2nω D cos ϕ = 0. (3.21) Первое соотношение в системе (3.21) должно выполняться в любой момент времени, следовательно, коэффициенты при гармонических функциях sinωt и cosωt должны быть равными, что и дает нам второе и третье соотноше- ния в системе (3.21). Чтобы найти амплитуду чисто вынужденных колебаний, возведем в квадрат левые и правые части второго и третьего соотношений системы (3.21) и сложим их, тогда после несложных, но необходимых преобразований получим: 102 ( k 2 − ω 2 )2 D 2 + 4n 2ω 2 D 2 = k 4 q 2 ; 0 ст  0  k02 qст qст  D , = =  2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( k0 − ω ) + 4n ω (1 − λ ) + 4δ λ  (3.22) здесь λ = ω/k0 – расстройка механической системы по частоте. Для определения угла сдвига фазы чисто вынужденных колебаний по сравнению с возмущающим воздействием воспользуемся третьим уравнением системы (3.21).Так как D ≠ 0, то на эту величину слагаемые в данном уравнении можно сократить, что дает: tgϕ = − 2δλ , 1− λ2 (3.23) отсюда ϕ = −arctg 2δλ . 1− λ2 (3.24) На рис. 3.3 и 3.4 показаны графики изменения отношения D/qст и ϕ в зависимости от безразмерного коэффициента трения δ. Рис. 3.3. Изменение отношения амплитуды чисто вынужденных колебаний D к статическому прогибу пружины qст при статическом действии внешнего возмущения 103 Рис. 3.4. Изменение сдвига фазы чисто вынужденных колебаний по отношению к внешнему возбуждению На графиках рис. 3.3 и 3.4 видно, что резонансные колебания развиваются при условии совпадения собственной частоты колебаний консервативной системы с частотой возмущающей силы, т. е. при условии, что λ = 1. Определим максимальную амплитуду чисто вынужденных колебаний, для этого, очевидно, знаменатель во второй формуле системы (3.22) должен быть минимальным. Продифференцируем этот знаменатель по λ и приравняем результат к нулю, а также проверим знак второй производной:  f (λ ) = (1 − λ 2 ) 2 + 4δ 2λ 2 ; f ′(λ ) = 4λ ( λ 2 − 1 + 2δ 2 ) ;  4λ ( λ 2 − 1 + 2δ 2 ) = 0; λ = 1 − 2δ 2 ;   2 2 2 2 2 2  f (1 − 2δ ) = 4δ (1 − δ ) ; 4δ (1 − δ ) = 2δ 1 − δ ;   f ′′(λ ) = 4 ( 3λ 2 − 1 + 2δ 2 ) ; f ′′(1 − 2δ 2 ) = 8 (1 − 2δ 2 ) > 0. (3.25) Подставляя полученное значение корня во второе соотношение системы (3.22), получим: Dmах = qст 2δ 1 − δ 2 . (3.26) Следовательно, с увеличением трения в системе максимальная амплитуда чисто вынужденных колебаний уменьшается. Отношение величин Dmах/qст показано на рис. 3.5. 104 Рис. 3.5. График зависимости Dmах/qст от безразмерного коэффициента трения δ Из графика на рис. 3.5 нетрудно установить, что при отсутствии в системе трения максимальная амплитуда чисто вынужденных колебаний равна бесконечности, но устанавливается она не мгновенно, а в течение некоторого времени. Запишем общее решение неоднородного (неавтономного) дифференциального уравнения (3.17): q = e−δ k0t ( C1 cos k0t + C2 sin k0t ) + D sin (ωt + ϕ ) . (3.27) Чтобы найти две неизвестных постоянных – C1 и C2 , продифференцируем формулу (3.27): q& = k0e−δ k0t ( C2 − δ C1 ) cos k0t − (δ C2 + C1 ) sin k0t  + Dω cos(ωt + ϕ ). (3.28) Подставим в формулы (3.27) и (3.28) начальные условия: при t = t0 = 0, q(0) = q0 , q& (0) = q&0 , получим: q0 = C1 + D sin ϕ ;  q&0 = k0 ( C2 − δ C1 ) + Dω cosϕ ; (3.29) отсюда C1 = q0 − D sin ϕ ;  q&0  C2 = k + δ q0 − D (δ sin ϕ + λ cos ϕ ).  (3.30) Введем полученные выражения постоянных C1 и C2 в формулу (3.27) и запишем ее в виде: 105 q = Ae−δ k0t cos ( k0t − α ) − Dhe−δ k0t cos ( k0t − θ ) + D sin (ωt + ϕ ) ,  q&  где A = q +  0 + δ q0   k0  (3.31) 2 2 – амплитуда собственных колебаний механической  q&  системы, определяемая только начальными условиями; α = arctg  δ + 0  – k 0 q0   2 сдвиг фазы свободных колебаний; h = sin ϕ + (δ sinϕ + λ cosϕ ) ент, корректирующий амплитуду чисто 2 вынужденных – коэффициколебаний; θ = arctg (δ + λtgϕ ) – сдвиг фазы сопровождающих колебаний. Каждое слагаемое в выражении (3.31) имеет свое название: первое – это свободные колебания системы, происходящие с собственной частотой консервативной системы, а их амплитуда определяется начальными условиями; второе – это сопровождающие колебания системы, происходящие с собственной частотой консервативной системы, но их амплитуда определяется силой внешнего возбуждения; третье – это чисто вынужденные колебания. Следует отметить, что и первое, и второе слагаемые с течением времени затухают, так как экспонента при стремлении времени к бесконечности асимптотически приближается к нулю, и в результате в механической системе устанавливается стационарный режим – это чисто вынужденные колебания. 3.5. Время установления стационарного режима в механической системе и развитие резонанса в ней Время, за которое исчезают свободные и сопровождающие колебания, называется временем переходного процесса и определяется оно ошибкой, которую можно допустить (пусть она равна 5 %), тогда несложно написать:  e −δ k0τ = ∆;   δ k0τ 1 = , e  ∆ 106 (3.32) здесь τ – время переходного процесса; ∆ = 0,05 – величина допустимой ошибки. Логарифмируя второе соотношение системы (3.32), после несложных преобразований получим: 1 T0 ln    ∆ , τ= 2πδ (3.33) здесь T0 – период собственных колебаний. График изменения времени переходного процесса τ от коэффициента безразмерного вязкого трения δ представлен на рис. 3.6. Рис. 3.6. График изменения времени переходного процесса в линейной одностепенной механической системе Итак, из рис. 3.6. со всей очевидностью вытекает, что с увеличением вязкого трения в системе время переходного процесса τ убывает и при стремлении δ→∞ оно асимптотически приближается к нулю. Из графика амплитудно-частотной характеристики, показанного на рис. 3.3, видно, что амплитуда чисто вынужденных колебаний увеличивается по мере приближения частоты внешнего возмущения ω к собственной частоте консервативной системы k0. Вынужденные колебания, соответствующие одному из максимумов амплитудно-частотной характеристики, называются резонансными колебаниями (резонансом). Частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной частотой и определяется по формуле: ωрез = k0 (1 − 2δ 2 ) . 107 (3.34) Анализ формулы (3.34) указывает на то, что резонансная частота в слабой степени зависит от безразмерного коэффициента вязкого трения δ (рис. 3.7). Действительно, с ростом δ резонансная частота несколько снижается. Так, при δ = 0 ωрез/k0 = 1, что вполне естественно, поскольку в консервативной механической системе значения собственной и резонансной частоты должны совпадать, а при δ = 0,4 ωрез/k0 = 0,7. Если в резонансном случае система является консервативной (в ней отсутствует вязкое трение, δ = 0), то максимальная амплитуда чисто вынужденных колебаний (резонансная амплитуда) согласно выражению (3.26) равна бесконечности, но она становится такой не мгновенно. Рис. 3.7. График зависимости отношения ωрез/k0 Проследим развитие резонансных колебаний в консервативной механической системе. Для этого перепишем выражение (3.18) с учетом отсутствия вязкого трения, т. е. n = 0, и с учетом совпадения значений собственной и вынужденной частоты получим: q&& + k02 q = k02 qст sin k0t. (3.35) Общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения складывается из общего решения однородного дифференциального уравнения qсв = C1 cos k0t + C2 sin k0t (3.36) и частного решения неоднородного дифференциального уравнения (3.35), которое в данном случае имеет вид (время здесь появляется потому, что значения собственной и вынуждающей частоты совпадают): 108 qч = Dt cos k0t. (3.37) Именно в такой форме рекомендуется записывать частное решение. Продифференцируем выражение (3.37) дважды по времени: q&&ч = −2Dk0 sin k0t − Dk02t cos k0t. (3.38) Подставляем выражения (3.37) и (3.38) в формулу (3.35) и после необходимых преобразований найдем: 1 D = − k0qст . 2 (3.39) Теперь запишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (3.35): 1 q = C1 cos k0t + C2 sin k0t − k0qстt cos k0t. 2 (3.40) Постоянные интегрирования C1 и C2 вычислим с помощью начальных условий, но для этого продифференцируем уравнение (3.40) один раз по времени: 1 1 q& = −C1k0 sin k0t + C2k0 cos k0t − k0qст cos k0t + k02qстt sin k0t. 2 2 (3.41) Подставим в соотношения (3.40) и (3.41) начальные условия, в результате получим систему алгебраических уравнений относительно C1 и C2 : q0 = C1;   1 & = − q k C k0 qст , 2  2 откуда имеем: 109 (3.42) C1 = q0 ;  q&0 1  C = + qст . 2  k 2  (3.43) Вводя выражения (3.43) в формулу (3.40), запишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (3.35) в окончательном виде:   1 q& 1 q =  q0 cos k0t + 0 sin k0t  + qст sin k0t − k0 qстt cos k0t. k0 2   2 (3.44) Отсюда нетрудно видеть, что резонансная амплитуда с течением времени увеличивается по линейному закону (рис. 3.8). Рис. 3.8. Развитие резонанса в консервативной одностепенной механической системе Анализируя формулу (3.44), можно утверждать, что и при резонансном режиме вынужденные колебания также состоят из трех составляющих, а именно: из свободных колебаний, амплитуда которых определяется начальными условиями и которые происходят с собственной частотой k0 (оно взято в формуле в скобках), сопровождающих колебаний, амплитуда которых зависит от вынуж-дающей силы и равна qст/2 и которые происходят с собственной частотой k0, и чисто вынужденных колебаний, которые не являются периодическими, а представлены «вековым» членом, ибо он содержит время за пределами тригонометрической функции и увеличивается до бесконечности. Итак, еще раз укажем на тот факт, что все колебания происходят с собственной частотой консервативной системы. 110 4. КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИНАМИЧНОСТИ СИСТЕМЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЕССОРНОГО ПОДВЕШИВАНИЯ ЭКИПАЖА 4.1. Понятие коэффициента динамичности Так как опорой кузова является рессорное подвешивание, то необходимо оценить качественные характеристики этого подвешивания. В настоящее время известны следующие критерии качества, носящие название коэффициентов динамичности. Коэффициентом динамичности (иногда в некоторых книгах можно встретить понятие «коэффициент динамического усиления») в общем смысле слова называют отношение какой-либо величины, характеризующей динамику системы, к значению этой величины в статике. Другими словами, коэффициент динамичности показывает, во сколько раз больше или меньше выбранная нами величина в динамике по сравнению со статикой (если бы подвески не было, то вертикальное перемещение кузова было бы равно перемещению колеса при его наезде на неровность пути, следовательно, коэффициент динамичности равнялся бы единице, т. е. выбранная величина и в статике, и в динамике равна одному и тому же значению). Из четырех коэффициентов динамичности, о которых речь пойдет ниже, ни один не является гостированной величиной, т. е. отсутствуют какие-либо регламентированные ограничения или рекомендации относительно значений этих величин. Только коэффициент эффективности характеризуется соответствующими нормативами (ГОСТом), и в результате можно оценить эффективность виброзащиты объекта, т. е. качество работы системы рессорного подвешивания железнодорожного экипажа или иного объекта. 4.2. Коэффициент динамичности по перемещению При гармоническом силовом внешнем возмущении коэффициентом динамичности по перемещению называют отношение амплитуды чисто вынужденных гармонических колебаний к статическому перемещению под действи111 ем статической силы, равной амплитуде силового гармонического возбуждения. Нами эта величина уже была практически найдена ранее, хотя в явном виде она не была записана. Перепишем вторую формулу системы уравнений (3.22) так: K дин = D = qст 1 (1 − λ ) 2 2 + 4δ λ 2 . 2 (4.1) График изменения этой величины (коэффициента динамичности по перемещению) приведен на рис. 4.1, а также на рис. 3.3 в других обозначениях. Укажем на следующий факт: при кинематическом возбуждении системы коэффициент динамичности по перемещению равен отношению амплитуды чисто вынужденных колебаний к амплитуде возмущения, если оно принято гармоническим. Рис. 4.1. Изменение коэффициента динамичности по перемещению как функции от δ В данном разделе исследовано влияние значений параметров рессорного подвешивания в резонансной области колебаний. Заметим, что такой режим колебаний характерен для движения порожнего грузового вагона, у которого значения параметров типового рессорного подвешивания (жесткости и демпфирования) далеки от желаемых. 112 При других видах кинематического возбуждения предпочитают определять коэффициент динамичности по ускорениям, под которым понимается отношение максимального модуля ускорения выходного звена с учетом упругости звеньев рассматриваемого механизма к максимальному модулю ускорения этого же звена без учета упругости звеньев. 4.3. Коэффициент динамичности по скорости Обратимся к нахождению указанного коэффициента. Чтобы вычислить амплитуду скорости колебаний объекта в динамике, достаточно, продифференцировав по времени выражение (3.27) и получив в результате формулу (3.28), рассмотреть стационарный, установившийся режим колебания системы, т. е. отбросить и первое, и второе слагаемые. Следовательно, имеем: q& ≈ Dωcos(ωt + ϕ ). (4.2) Отсюда нетрудно видеть, что модуль амплитуды скорости равен Dω. Теперь нужно найти амплитуду скорости в случае, когда внешнее возмущение к системе прикладывается статически. Математическая модель данного явления описывается таким дифференциальным уравнением: q&& + 2nq& + k02q = k02qст . (4.3) Общее решение неоднородного дифференциального уравнения состоит из общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения, которое определяется видом правой части, и в нашем случае оно таково: q ≈ B = const. (4.4) Дифференцируя соотношение (4.4) дважды по времени и подставляя полученный результат в формулу (4.3), установим, что B = qст. Следовательно, окончательный вид общего решения неоднородного дифференциального уравнения, когда внешнее возмущение действует статически, такой: 113 q = e−δ k0t ( C1 cos k0t + C2 sin k0t ) + qст . (4.5) Скорость подпрыгивания груза q& = −k0qст (1 + δ 2 ) e−δ k0t cos ( k0t − α + θ ) , (4.6) где θ – угол сдвига фазы свободных колебаний. Таким образом, определяем отношение амплитуд скорости подпрыгивания груза в динамическом режиме и в статике: KдинV = Dω = k0 qст (1 + δ 2 ) qстω (1 − λ ) 2 2 + 4δ λ k0 qст (1 + δ 2 2 λ = 2 ) (1 + δ ) (1 − λ ) 2 2 2 + 4δ λ 2 . (4.7) 2 Пренебрегая малой величиной δ2, перепишем соотношение (4.7) так: K динV λ K дин = λ (1 − λ ) 2 2 + 4δ λ 2 . (4.8) 2 График изменения коэффициента динамичности по скорости приведен на рис. 4.2. Рис. 4.2. Изменение коэффициента динамичности по скорости в зависимости от δ Из графика, представленного на рис. 4.2, очевидно, что максимум коэффициента динамичности по скорости возникает только при совпадении собственной частоты консервативной механической системы с частотой вынуждающей силы, т. е. при резонансе (λ = 1). При стремлении коэффициента рас114 стройки системы по частоте к бесконечности коэффициент динамичности по скорости асимптотически приближается к нулю, однако медленее, чем коэффициент динамичности по перемещению. 4.4. Коэффициент динамичности по ускорению Мы не будем находить названный коэффициент, как мы делали в предыдущем случае, а воспользуемся методом математической индукции: K динA = λ 2 K дин = λ K динV = λ2 (1 − λ ) 2 2 + 4δ λ 2 . (4.9) 2 График изменения коэффициента динамичности по ускорению показан на рис. 4.3. Рис. 4.3. Изменение коэффициента динамичности по ускорению в зависимости от δ Коэффициент динамичности по ускорению достигает своего максимального значения при резонансе, т. е. при λ = 1. В зарезонансной зоне, когда λ > 2, коэффициент динамичности по ускорению асимптотически приближа- ется к единице, т. е. с увеличением частоты возмущения трение, реализуемое гасителем колебаний, негативно влияет на динамические свойства защищаемого объекта. Определим значение λ, при котором этот коэффициент равен единице: 115  λ2 = 1;  K динA = 1; 2 2 2 2  (1 − λ ) + 4δ λ   2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 λ = (1 − λ ) + 4δ λ ; λ = (1 − λ ) + 4δ λ ;  1 0 = 1 − 2λ 2 + 4δ 2λ 2 ; λ = . 2  2 (1 − 2δ )   (4.10) График изменения коэффициента расстройки λ в зависимости от коэффициента δ, входящего в подкоренное выражение последней формулы системы уравнений (4.10), приведен на рис. 4.4. Рис. 4.4. Изменение коэффициента расстройки системы по частоте λ как функции безразмерного коэффициента вязкого трения δ, определяемого из условия равенства единице коэффициента динамичности по ускорению Для реальных значений коэффициента δ величина λ находится в пределах от 0,70711 до 0,85749. Следует отметить, что максимальные значения всех коэффициентов динамичности таковы: mаx mаx mаx Kдин = Kдин V = KдинA 1 . 2δ (4.11) 4.5. Коэффициент динамичности по силе Сила, развиваемая в системе рессорного подвешивания, состоящей из упругого элемента и гидравлического гасителя колебаний, определяется по формуле: 116 Q =−bq& − cq. (4.12) Знак минус в формуле (4.12) указывает на тот факт, что указанная сила является восстанавливающей (направлена в сторону, противоположную положительному отклонению координаты q от положения статического равновесия системы). Учитывая, что по окончании переходного процесса в механической системе устанавливаются чисто вынужденные колебания, подставим в эту зависимость найденные выше скорость подпрыгивания и перемещение груза и получим: Q = − bDω sin(ω t + ϕ ) − cD cos(ω t + ϕ ) = − D [bω sin(ω t + ϕ ) + c cos(ω t + ϕ ) ]. (4.13) Вводя в уравнение (4.13), как обычно, амплитуду и сдвиг фазы, после несложных преобразований имеем: b2ω 2 Q = − D c + b ω sin (ωt + ϕ + γ ) = −cD 1 + 2 sin(ωt + ϕ + γ ). c 2 2 2 (4.14) Далее делим в подкоренном выражении второе слагаемое на массу груза в квадрате m2 и подставляем амплитуду чисто вынужденных колебаний в виде D = Kдинqст, тогда найдем: Q = −cK дин b2 2 ω 2 P0 4n 2ω 2 m 1+ sin(ωt + ϕ + γ ) = − K дин P0 1 + sin(ωt + ϕ + γ ) = c2 (4.15) c k02 2 m = − P0 K дин 1 + 4δ 2 λ 2 sin(ωt + ϕ + γ ). При статическом приложении внешнего возмущения к грузу возникающая в пружине сила равна P0. Модуль амплитуды в подвеске в динамике – это коэффициент, стоящий перед гармонической функцией. Следовательно, коэффициент динамичности по силе K динQ = 1 + 4δ 2λ 2 K дин . 117 (4.16) На рис. 4.5 приведен график изменения коэффициента динамичности по силе. При λ > 1,4142 эта величина асимптотически приближается к нулю, однако чем больше по величине безразмерный коэффициент вязкого трения δ, тем выше кривая АЧХ по силе в зарезонансной области, чем эта же кривая в консервативном случае. Это происходит потому, что при высокой частоте внешнего возмущения запирается демпфер вязкого трения. Рис. 4.5. Влияние коэффициента расстройки по частоте λ и безразмерного коэффициента вязкого трения δ на коэффициент динамичности по силе Максимальное значение коэффициента динамичности по силе возникает при резонансе и вычисляется по формуле: mаx K дин Q mаx max 1 + 4δ 2 (1 − 2δ 2 ) 2 K дин ≈ 1 + 4δ 2 K дин . (4.17) График изменения этой максимальной величины показан на рис. 4.6, из анализа которого видно, что максимум рассматриваемого коэффициента динамичности с ростом δ при резонансе уменьшается. Рис. 4.6. График зависимости максимума коэффициента динамичности по силе от безразмерного коэффициента вязкого трения δ 118 Определим значение расстройки по частоте из условия, что коэффициент динамичности по силе равен единице:  2 1 + 4δ 2λ 2 = 1; 1 + 4δ 2λ 2 = (1 − λ 2 ) + 4δ 2λ 2 ;  2  (1 − λ 2 ) + 4δ 2λ 2   2 2 2 2 1 = (1 − λ ) ; 0 = λ ( −2 + λ ) ; λ = 2. (4.18) 4.6. Коэффициент эффективности рессорного подвешивания Этот коэффициент является единственной величиной, которая гостирована. Вычисляется коэффициент эффективности подвешивания по формуле: K эф = 1 KдинQ . (4.19) График зависимости Kэф от расстройки λ при различных значениях безразмерного коэффициента трения δ показан на рис. 4.7. Рис. 4.7. Влияние коэффициента расстройки λ и безразмерного коэффициента трения δ на коэффициент эффективности рессорного подвешивания Чем больше коэффициент Kэф, тем лучше эффективность виброзащиты железнодорожного экипажа. Как видно из графика, приведенного на рис. 4.7, это условие выполняется в зарезонансной области, где λ > 1,41. Напомним еще раз, что коэффициент расстройки λ определяется отношением частоты вынужденных колебаний к собственной частоте колебаний механической системы. Последняя из них, как уже было отмечено, зависит от статического прогиба рессорного подвешивания железнодорожного экипажа. 119 Так же, как на рис. 4.7, на рис. 4.8 наглядно показано, что для снижения ускорений кузова, т. е. для улучшения динамических свойств экипажа необходимо стремиться к увеличению гибкости рессорного подвешивания, что и осуществляется в настоящее время. Если статический прогиб рессорного подвешивания физически и морально устаревшеего электровоза ВЛ8 составлял 96 мм и его скорость не превышала 90 км/ч, то у современного электровоза ЭП2К этот прогиб равен 215 мм, в результате чего его конструкционная скорость равна 160 км/ч. Рис. 4.8. Зависимость вертикальных виброускорений кузова локомотива от статического прогиба рессорного подвешивания и частоты возмущающего воздействия Для скоростного пассажирского движения (максимальная скорость движения равна 200 км/ч) Тверским вагоностроительным заводом разработана безлюлечная тележка модели 68–4071. Суммарный статический прогиб, большая часть которого приходится на центральную ступень, равен 260 мм, гидравлические гасители колебаний установлены как в центральной, так и в буксовой ступенях подвешивания. Для поглощения большой кинетической энергии в режиме торможения поезда эта тележка оснащена дисковым и магниторельсовым тормозами. 120 а б Рис. 4.9. Безлюлечная тележка пассажирского вагона модели 68–4071: 1 – рама; 2 – поводок; 3, 4 – колесная пара; 5 – центральная ступень подвешивания; 6 – надрессорный брус; 7 – поводок; 8 – ручной тормоз; 9 – дисковый тормоз; 10 – магниторельсовый тормоз; 11 – буксовая ступень обрессоривания Отметим еще одно важное обстоятельство. Из формулы (4.14) видно, что модуль силы, развиваемой в системе рессорного подвешивания экипажа при его движении по неровностям пути, кроме жесткости рессорного подвешивания зависит и от трения, создаваемого гасителем колебаний. 121 При резонансе трение играет положительную роль, однако в диапазоне частот, где коэффициент расстройки λ > 1,41, с увеличением коэффициента относительного демпфирования в рессорном подвешивании ухудшаются динамические свойства экипажа – возрастают вертикальные виброускорения кузова (рис. 4.10). Рис. 4.10. Влияние относительного демпфирования в рессорном подвешивании на вертикальные виброускорения кузова локомотива Для снижения этого негативного эффекта в системе рессорного подвешивания современных железнодорожных экипажей применяется упругое подрессоривание гасителя колебаний вязкого (рис. 4.11, а) или сухого (рис. 4.11, б) трения. Такая система имеет полторы степени свободы. В низкочастотной области колебаний гаситель колебаний выполняет свою основную функцию – ограничивает амплитуду колебаний защищаемого объекта при резонансе. В зарезонасном режиме, характеризующемся высокими значениями частоты и малыми величинами амплитуды возмущений, гаситель колебаний благодаря его дополнительной упругой подвеске выключается, чем и достигается повы- 122 шение эффективности виброзащитных свойств системы рессорного подвешивания железнодорожного экипажа. а б Рис. 4.11. Системы обрессоривания экипажей с упругоподрессоренными гасителями вязкого (а) и сухого (б) трения 5. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ 5.1. Операционный метод как способ перехода от дифференциальных уравнений к алгебраическим Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, т. е. уравнения с правой частью, может быть найдено согласно принципу суперпозиции как сумма общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения. В задачах динамики машин, механизмов, автомобилей и подвижного состава частное решение неоднородного дифференциального уравнения зависит от характеристик обобщенных сил, и отыскание его часто представляется затруднительным. Поэтому для решения линейных дифференциальных уравнений с правой частью предпочтительно применять операционное исчисление, основанное на некотором преобразовании исходных дифференциальных уравне123 ний. Это фактически означает переход от реального пространства к некоторому комплексному пространству, в котором не существует ни дифференциальных уравнений, ни интегралов, а есть всего четыре арифметических действия – сложение, вычитание, умножение и деление. Идея этого метода применительно к решению системы дифференциальных уравнений с заданными функциями xi(t) и неизвестными yi(t) состоит в том, что эти функции, называемые оригиналами, по определенному правилу, например, по правилу Карсона или Лапласа, заменяются функциями xi(p) и yi(p) комплексного переменного p =a + jb, которые называются изображения- ми данных функций (или оригиналов). После решения алгебраических уравнений относительно изображений, т. е. после нахождения функций yi(p) по известным функциям xi(p), возвращаемся к оригиналам yi(t) и получаем искомое общее решение неоднородного дифференциального уравнения. Этот метод особенно эффективен тогда, когда правая часть дифференциального уравнения является известной функцией времени или вынуждающие силы носят импульсный характер. Кроме того, операционный метод дает возможность сразу составлять решения, удовлетворяющие начальным условиям, что делает его особо ценным в исследованиях «переходных процессов», т. е. движений системы непосредственно после возмущения, когда начальные условия имеют существенное значение. Изображением функции по Карсону называется интеграл ∞ f ( p ) = p ∫ f (t )e − pt dt , (5.1) где p – комплексный параметр с положительной вещественной частью, достаточно большой для того, чтобы интеграл (5.1) сходился. Относительно начальной функции, или оригинала, f(t) мы будем предполагать, что это кусочнонепрерывная функция, заданная на интервале 0 ≤ t < +∞, равная нулю для t < 0 и удовлетворяющая условию: lim f (t )e− pt → 0. t →+∞ 124 (5.2) Для записи зависимости между оригиналом f(t) и изображением f(p), выражаемой равенством (5.1), будем пользоваться обозначением K[f(t)]: (5.3) f (p) = K [ f (t) ]. Преобразование выражения (5.1) линейно, следовательно, изображение суммы двух функций равно сумме изображений каждой функции в отдельности, а умножение функции на постоянный множитель соответствует умножению на тот же множитель изображения: n n ∑ A f ( p) = ∑ A K [ f (t )]. i =1 i i i =1 i i (5.4) 5.2. Изображения некоторых часто встречающихся функций и действия над ними Изображение единичной функции. Пусть дана функция σ0(t), которая имеет следующее определение: 0 при t < 0; 1 при t ≥ 0. σ 0 (t ) =  (5.5) Вычислим интеграл (5.1) от функции (5.5): ∞ p ∫ σ 0 (t )e − pt dt = 1. (5.6) Это вполне очевидное равенство. Запишем его в учетом уравнения (5.3) следующим образом: K σ ( t )  = 1. (5.7) Изображение производной и дифференцирования. Вычислим с помощью интеграла (5.1) значение производной: 125 ∞ p ∫ pf (t )e − pt dt = p  − f (t )e − pt ∞ ∞ df  + p ∫ e − pt dt . dt (5.8) Выражение в скобках равно нулю в силу соотношения (5.2) и предположения, что начальное значение функции равно нулю, т. е. f(0) = 0. Следовательно, ∞ df − pt e dt . dt pf ( p ) = p ∫ (5.9) Если же f(0) ≠ 0, то имеем:  df (t )  = p [ f ( p ) − f (0) ]. K  dt  (5.10) Используя метод математической индукции, для производной n-го порядка можно записать такое соотношение:  d n f (t )   1 1 n  ( n −1) ′ K = p f ( p ) − f (0) − f (0) − ... − f (0)   . n p p n −1    dt  (5.11) Если же для t = 0 функция f(t) обращается в нуль вместе со своими n – 1 первыми производными, то K  f ( n ) (t )  = p n f ( p). (5.12) Изображение интеграла и интегрирования. Перепишем уравнение (5.1) следующим образом: ∞ 1 f ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt , p (5.13) и, выполнив в правой части выражения (5.13) интегрирование по частям, получим: 126 ∞ ∫ f (t )e − pt ∞ dt = p ∫ e − pt t   ∫ f (τ )dτ  dt. 0  (5.14) Таким образом, ∞ t  1 − pt f ( p ) = p ∫ e  ∫ f (τ )dτ  dt p 0  (5.15) t  1 K  ∫ f (τ )dτ  = f ( p ). 0  p (5.16) или Используя соотношение (5.16), несложно найти изображения: t t  1  ∫1dτ = t , откуда K  ∫1dτ  = ; 0  p 0 t t 2  τ dτ = t , откуда K  τ dτ  = 1 ; ∫  2 ∫ 2 0 0  p  .........................................................  t τ s −1  t s −1  1 ts ∫ dτ = , откуда K  ∫τ dτ  = s . s 1 ! s! − ( ) 0  p  0 (5.17) Изображение разрывных функций. В качестве примера рассмотрим функцию, график которой приведен на рис. 5.1. Математически она описывается так: +1 при 2nτ ≤ t < (2n + 1)τ ,  f (t ) = −1 при (2n + 1)τ ≤ t ≤ 2(n + 1)τ , n ∈ 0,1,2,3,... . ]  [ 127 (5.18) Рис. 5.1. График прямоугольного синуса Показатель степени роста рассмотренной функции c0 = 0. Полагая поэтому Re p > 0, представим изображение в виде: 2τ 3τ  τ − pt  − pt f ( p ) = p ∫ f (t )e dt = p  ∫ e dt − ∫ e dt + ∫ e − pt dt − ...  = τ 2τ 0  ∞ = −e − pt τ +e − pt − pt 2τ τ −e − pt 3τ 2τ (5.19) + ... = −1 + 2 (1 − q + q 2 − q3 + ...) , где положено q = e-pτ. Так как при Rep > 0 будет |e-pτ| < 1, то получим: f ( p ) = −1 + 2 1− q pτ = = th . 1+ q 1+ q 2 (5.20) Ввиду отсутствия достаточного времени не будем далее вдаваться в подробности теории операционного исчисления, а если возникнет такая необходимость, то можно обратиться к соответствующей литературе и справочникам [90 – 92]. Здесь же ограничимся краткой таблицей оригиналов и изображений по Карсону (табл. 5.1). 128 Т а б л и ц а 5.1 Краткая таблица оригиналов и изображений по Карсону Оригинал (t ≥ 0) Изображение A e-αt 1 – e-αt sin ωt cos ωt sh ωt A p/(p + α) α/(p + α) pω/(p2 + ω2) p2/(p2 + ω2) pω/(p2 – ω2) sin (ωt + ϕ) p(p sin ϕ + ω cos ϕ)/(p2 + ω2) cos (ωt + ϕ) e-δt sin ωt e-δt cos ωt tα, где α > 0 tn, где n > 0 p(p cos ϕ – ω sin ϕ)/(p2 + ω2) pω/[(p+δ)2 + ω2] p(p + δ)/ [(p + δ)2 + ω2] Γ(α + 1)/pα, здесь Γ(…) – гамма-функция n!/pn t n− (2n )! 1 π 22 n n ! p n −1 p 1 2 1 t πp t 1 π p 2 t sin ωt t e-δt sin ωt – ωt cos ωt ωt – sin ωt t sin ωt 2ωp2/(p2 + ω2)2 p/(p + δ)2 2ω3p/(p2 + ω2)2 ω3/p(p2 + ω2) 2ωp2/(p2 + ω2)2 λ sin ωt – ω sin λt e-δt sin ωt e-δt cos ωt λω(λ2 – ω2)p/(p2 + ω2)(p2 + λ2) ωp/(p2 + 2δp + δ2 + ω2) p(p + δ)/ (p2 + 2δp + δ2 + ω2) 129 5.3. Передаточная функция одностепенной механической системы Обратимся к дифференциальному уравнению (3.11), преобразуем его по Карсону (p 2 + 2np + k02 ) q( p) = 1 P( p ) m (5.21) и разрешим его формально относительно изображения выходной величины, тогда получим: q( p) = P( p) 1 . 2 m p + 2np + k02 (5.22) В теории операционного исчисления существуют способы возвращения в реальное пространство (обычно это теоремы о разложении), но в нашем случае мы поступим следующим образом. Введем понятие передаточной функции системы, которое представляет собой отношение изображений выходной координаты (в нашем случае это q(p)) к входной координате (в нашем случае это P(p)), устанавливающее, во сколько раз больше или меньше выходная величина по сравнению с входной величиной: W ( p) = q( p) 1 1 = . P( p) m p 2 + 2np + k02 (5.23) Теперь положим, что оператор дифференцирования равен чисто комплексному числу: p = jω. Подставляя его значение в выражение (5.23), после несложных преобразований найдем: 1 1 1 k02 − ω 2 − j 2nω 1 W ( jω ) = = = [U (ω ) + jV (ω ) ] , (5.24) 2 2 2 m k0 − ω + j 2nω m ( k 2 − ω 2 ) + 4n 2ω 2 m здесь 130  k02 − ω 2 ; U (ω ) = 2 2 2 2 2 ( k0 − ω ) + 4n ω   2nω V (ω ) = − . 2 2 2 2 2  ( k0 − ω ) + 4 n ω  (5.25) Введя обозначения λ = ω/k0 (эту переменную назовем расстройкой системы по частоте) и δ = n/k0 (эту переменную назовем безразмерным коэффициентом вязкого трения), перепишем выражение (5.19) так: W ( jλ ) = 1 [U (λ ) + jV (λ )], c (5.26) где  1− λ2 ( ) = ; U λ  2 2 2 2 (1 − λ ) + 4δ λ   2δλ V (λ ) = − . 2 2 2 2  (1 − λ ) + 4δ λ  (5.27) Переменная W(jλ) в теории автоматического управления называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ), график ее изменения показан на рис. 5.2. Рис. 5.2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы 131 Если порядок дифференциального уравнения увеличить до трех, то АФЧХ займет четвертый, третий и второй квадранты (именно в такой последовательности). Если порядок дифференциального уравнения станет равным четырем, то АФЧХ будет последовательно проходить через четвертый, третий, второй и первый квадранты. Причем при λ = 0 АФЧХ, умноженная на жесткость винтовой пружины, c∙W(j0) = 1, а при λ = ∞ – c∙W(j∞) = 0. Заметим, что только устойчивые системы ведут себя аналогичным образом. Найдем модуль передаточной функции с помощью формулы: W ( jλ ) = 1 1 U 2 (λ ) + V 2 (λ ) = c c 1 (1 − λ ) 2 2 + 4δ λ 2 . (5.28) 2 Аргумент передаточной функции вычисляется так: argW ( jλ ) = −arctg 2δλ . 1− λ2 (5.29) В результате комплексная АФЧХ принимает вид: 1 W ( jλ ) = W ( jλ ) e j argW ( jλ ) . c (5.30) Сравнение формул (4.1) и (5.23) указывает на то, что модуль передаточной функции системы и коэффициент динамичности системы по перемещению связаны однозначной зависимостью: c W ( j λ ) = K дин . (5.31) Если выполнить аналогичную операцию относительно соотношений (3.18) и (5.24), то нетрудно убедиться в их абсолютном совпадении. Графики амплитудно-частотной и фазово-частотной (ФЧХ) характеристик системы представлены на рис. 5.3 и 5.4. 132 Рис. 5.3. График АЧХ системы Рис. 5.4. График ФЧХ системы Установим связь полученных величин с установившимся режимом вынужденных колебаний в одностепенной механической системе. Для этого запишем уравнение (3.11) в виде: q = W ( jω ) P0 sin(ω t + ϕ ). (5.32) Подставляя в формулу (5.32) значение модуля передаточной функции (5.28), получим: q= 1 c 1 (1 − λ ) 2 2 + 4δ λ 2 2 P0 sin (ωt + ϕ ) . (5.33) После окончания переходного процесса вынужденные колебания при действии силового гармонического возмущения (см. формулу (3.16)) описываются выражением: q = Dsin(ωt + ϕ), 133 (5.34) откуда следует, что D = W ( j λ k 0 ) P0 . (5.35) Таким образом, не было смысла интегрировать дифференциальное уравнение (3.11), а достаточно было найти передаточную функцию, что выполнить проще, и затем воспользоваться формулой (5.32). 5.4. Нахождение передаточной функции многостепенной механической системы Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, представленную в векторно-матричной форме: r r r r Aq&& + Bq& + Cq = F (t ), (5.36) здесь A, B и C – матрицы размерности n× n (их структура определяется устройr Τ ством ходовой части подвижного состава); q = ( q1 , q2 ,..., qn ) – вектор выбранных для заданной расчетной схемы обобщенных координат (Τ означает трансr Τ понирование вектора); F (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ),..., f n (t ) ) – вектор правых частей, представляющий собой внешнее возмущение, действующее на подвижной состав (как показывает практика, обычно внешнее возмущение оказывает непосредственное действие только на колесные пары экипажа, поэтому в данном векторе часть элементов может быть тождественно равна нулю). Матрица A называется матрицей инерционных коэффициентов, матрица B – матрицей диссипативных коэффициентов, матрица C – матрицей жесткостных коэффициентов. Обычным допущением в динамике подвижного состава считается, что геометрическая неровность от скорости движения экипажа не зависит, поэтому на m колесных пар возмущение поступает со сдвигом во времени относительно первой. Обозначим τ1, τ2, …, τm время сдвига возмущения, и оно может быть определено с помощью формулы: τk = 3,6lk k ∈[1, m], V 134 (5.37) где lk – расстояние от первой колесной пары до k-й (причем очевидно, что l1 = 0), м; V – скорость движения экипажа, км/ч, 3,6 – переводной коэффициент, (км/ч)/(м/с). С помощью операционного исчисления преобразуем выражение (5.31) к виду r r ( p A + pB + C ) q( p) = F ( p) 2 (5.38) и разделим левую и правую части уравнения (5.33) на вектор возмущения, тогда получим: r r ( p A + pB + C)W ( p) = D( p), 2 (5.39) r Τ здесь W ( p ) = (W1 ( p ),W2 ( p ),...,Wn ( p ) ) – вектор передаточных функций механи- ческой системы; Wk(p) = qk(p)/f0(p) – k-й элемент вектора передаточных функ- r r ций; F ( p) = f0 ( p)D( p) , здесь f0(p) – изображение геометрической неровности r − pτ − pτ Τ D на поверхности катания рельсов; ( p) = 0,...,0, e 1 ,..., e m – вектор, описы- ( ) вающий запаздывание в системе. Чтобы найти модули передаточных функций, положим, что оператор дифференцирования равен чисто комплексному числу, т. е. p = jω, и далее учтем, что j-я передаточная функция состоит из действительной и мнимой частей, в результате имеем: ( C − ω A + jωB) (U + jV ) = D 2 r r r r + jD R I, (5.40) r Τ где DR = ( 0,...,0,sin ωτ 1 ,...,sin ωτ m ) – вектор действительных частей запаздываr Τ ния в системе; DI = ( 0,...,0, − cos ωτ 1 ,..., − cos ωτ m ) – вектор мнимых частей за- паздывания в системе. Комплексные числа равны только тогда, когда равны их левые и правые части: r r r (C − ω 2 A)U − ω BV = DR ; r r r  2 ω ω BU + C − V = DI ( )  или 135 (5.41) r r Q(ω) X = H (ω), (5.42)  C − ω2A −ω B  ; Q (ω ) =  2  B C − A ω ω    r r Τ r  X = U ,V ; r r r  H (ω ) = DR , DI .   (5.43) здесь ( ( ) ) Система алгебраических уравнений (5.42) имеет порядок 2n и легко решается, например, средствами математического пакета MathCAD. Тогда модули передаточных функций Wk ( jω ) = X k2 (ω ) + X k2+n (ω ) k ∈[1, n]. (5.44) Аргументы передаточных функций определяются так: arg Wk ( jω ) = arctg X k + n (ω ) k ∈ [1, n ]. X k (ω ) (5.45) Обычно передаточные функции находятся для тривиальных начальных условий, хотя их учет позволяет проводить исследования переходных процессов в динамических системах, что обычно выполнить достаточно сложно. Итак, в данном разделе изложен способ определения передаточных функций, что дает возможность исследовать случайные колебания железнодорожных экипажей, представляющих собой сложные механические системы со многими степенями свободы (а также их узлов) любого типа, например, электровозов, тепловозов и вагонов при различных видах неровностей пути, спектральное описание которых приведено ниже. 136 6. СЛУЧАЙНОЕ ВНЕШНЕЕ ВОЗМУЩЕНИЕ И ЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ 6.1. Вероятностные характеристики случайных величин Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до ее измерения нельзя точно предсказать. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина принимает конечное число значений uk при k∈ [1,s]), или счетное число значений uk при k = 1, 2, …1. Непрерывная случайная величина может принимать любые значения в некотором интервале. Вероятность случайной величины. Пусть проведено N измерений случайной величины U. При достаточно большом числе N значения случайной величины uk, если ее рассматривать как дискретную (k∈ [1,s]), будут повторяться. Число повторений значения uk обозначим через vk. Отношение числа повторений значения uk дискретной случайной величины к общему числу ее значений N назовем вероятностью P(uk) значения uk при данном числе всех значений N: P(uk ) = vk . N (6.1) Из формулы (6.1) следует, что вероятность есть безразмерная величина, лежащая в пределах от 0 до 1. С увеличением числа всех значений дискретной случайной величины вероятность P(uk) для каждого значения uk стремится к своему предельному значению. Иногда только это значение и называют вероятностью, а отношение (6.1) при данном числе N называют частотой события или частотностью. Вероятность того, что дискретная случайная величина U может принять одно из двух значений – u1 и u2, равна сумме вероятностей этих значений: P(u1,u2 ) = P(u1) + P(u2 ). 1 (6.2) Здесь и далее случайные величины обозначены прописными буквами: их реализации (выборочные значения) – соответствующими строчными буквами. 137 Сумма вероятностей всех измеренных значений равна 1, так как сумма чисел повторений vk равна общему числу измерений N: s ∑ P(u ) = 1. k =1 k (6.3) Плотность вероятности. Дискретная случайная величина полностью определяется значениями вероятностей P(uk) при k∈[1,s]. Для непрерывной случайной величины U такой способ ее определения непригоден, так как вероятность того, что она примет заданное значение uk, равна нулю. Это положение следует из формулы (6.1) при условии, что число возможных случаев N бесконечно. Однако вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, заключенное в пределах от u до u + du, уже отличается от нуля и может быть представлена в виде дифференциала, называемого элементом вероятности распределения непрерывной случайной величины: P(u ≤ U ≤ u + du) = f (u)du, (6.4) где f(u) – плотность вероятности, размерность которой равна единице, деленной на размерность случайной величины. Суммирование элементов вероятности на участке от u1 до u2 дает вероятность того, что непрерывная случайная величина U примет какое-либо значение в интервале от u1 до u2: u2 P ( u1 ≤ U ≤ u2 ) = ∫ f (u)du. (6.5) u1 Отсюда следует, что задание плотности вероятности f(u) определяет вероятность появления значений u случайной величины U, т. е. дает распределение всех наблюдаемых или измеряемых значений случайной величины U в зависимости от значений u. Другой возможный путь определения вероятностей случайной величины состоит в задании функции распределения. Функция распределения. Функцией распределения вероятности (функцией распределения) случайной величины U называется вероятность того, что ее значение не превышает u: 138 F(u) = P(U < u). (6.6) Если непрерывная случайная величина U определена на интервале (-∞ < u < +∞), то функция распределения u F (u ) = ∫ (6.7) f (u ) du −∞ с увеличением u может только возрастать от F(-∞) = 0 до F(+∞) = 1. Первое условие следует непосредственно из интеграла (6.7), а второе условие – +∞ ∫ f (u ) du = 1 (6.8) −∞ означает, что любое заданное значение u лежит пределах от -∞ до +∞, следовательно, вероятность его попаданий в этот интервал равна единице. Из формулы (6.7) выводится соотношение между плотностью вероятности и функцией распределения: f (u ) = dF (u ) , du (6.9) т. е. плотность вероятности есть производная от функции распределения по аргументу u. На рис. 6.1, а показан график функции распределения F(u), а на рис. 6.1, б – соответствующий ей график плотности вероятности. а б Рис. 6.1. Функция распределения и соответствующая ей плотность вероятности Математическое ожидание. Для оценки среднего значения случайной величины принимают средневзвешенное значение при весах, равных вероятности каждой из реализации случайной величины. Это среднее значение назы- 139 вают также средневероятностным. Для дискретной случайной величины U с учетом того, что сумма вероятностей (весов) равна единице, средневероятностное значение mu вычисляется по формуле: s mu = ∑ uk P(uk ), (6.10) k =1 где uk – реализация случайной величины U; P(uk) – вероятность этой реализации. Операцию вычисления средневероятностного значения называют вероятностным осреднением и часто обозначают угловыми скобками. Тогда формула (6.10) принимает вид: s 〈U 〉 = ∑ uk P (uk ). (6.11) k =1 Иногда средневероятностное значение какой-либо величины называют математическим ожиданием и, соответственно, оператор математического ожидания обозначают через M (или E). Для непрерывной случайной величины U с плотностью вероятности f(u) средневероятностное значение (математическое ожидание) получается из формулы (6.11) предельным переходом: 〈U 〉 = mu = +∞ ∫ uf (u )du. (6.12) −∞ Дисперсия случайной величины. В качестве меры рассеяния случайной величины (дисперсии) принимается средневероятностное значение квадрата отклонения реализации u от математического ожидания. Для дискретной случайной величины U дисперсия выражается суммой: s σ u2 = ∑ ( uk − mu ) P (uk ). 2 (6.13) k =1 Для непрерывной случайной величины имеем: σ = 2 u +∞ ∫ (u − m ) u −∞ 140 2 f (u ) du. (6.14) Оператор вычисления дисперсии иногда обозначают через D. Тогда, например, σu = Du . Неотрицательное значение квадратного корня из диспер2 сии, обозначаемое через σu, называется стандартным или среднеквадратическим отклонением. Нормальное распределение. В практических задачах теории механизмов и машин, в том числе и в динамике подвижного состава железных дорог, наиболее часто встречающимся распределением случайной величины является нормальное распределение (распределение по Гауссу), при котором плотность вероятности имеет вид: f (u ) = 1 σ u 2π − e (u − mu )2 2σ u2 . (6.15) На рис. 6.2 показаны кривые нормального распределения при mu = 0 и σu = 0,4; 1,0; 2,5. Рис. 6.2. Нормальное распределение случайной величины: 1 – mu = 0 и σu = 0,4; 2 – σu = 1,0; 3 – σu = 2,5 6.2. Вероятностные характеристики случайных функций Случайной функцией U(t) называется функция вещественного параметра t, значения которой являются случайными величинами. Иначе случайную функцию можно определить как совокупность случайных величин, зависящих от одного вещественного параметра t. Случайную функцию U(t) времени t называют также случайным процессом. Например, на рис. 6.3 показаны графики зависи141 мости силы сопротивления от времени, которые записаны для одного и того же режима движения звеньев механизма, но отличаются между собой в зависимости от случайных изменений силы сопротивления. Рис. 6.3. Графики зависимости силы трения от времени для одного и того же режима движения звеньев механизма Эти графики могут рассматриваться как реализации u(t) случайного процесса U(t). Для каждого момента времени t1, t2, …, tn значения случайного процесса U(t), которые обозначим через u1, u2, …, un, можно рассматривать как реализации случайных величин U(t1), U(t2), …, U(tn). Тогда случайный процесс U(t) представится как совокупность случайных величин U(t1), U(t2), …, U(tn). Эта совокупность может быть как дискретной, так и непрерывной. Функция распределения случайных процессов. Для заданного момента времени t1 функция распределения случайного процесса U(t) называется одномерной и определяется так же, как и функция распределения случайной величины, т. е. как вероятность того, что значение U(t1) не превышает u1: F ( u1 , t1 ) = P [U (t1 ) < u1 ] , (6.16) где u1 – любая реализация случайного процесса U(t) при t = t1. Для любого момента времени t одномерная функция распределения случайного процесса U(t) есть функция двух переменных – u и t, удовлетворяющих условию: F ( u , t ) = P [U (t ) < u ]. 142 (6.17) Двумерная функция распределения случайного процесса определяется для двух моментов времени – t1 и t2 – как вероятность того, что значение U(t1) не превышает u1, а значение U(t2) не превышает u2: F (u1, t1; u2 , t2 ) = P[U (t1 ) < u1;U (t2 ) < u2 ]. (6.18) Аналогично составляются n-мерные (или совместные) функции распределения случайного процесса. Плотность вероятности случайного процесса. Одномерная плотность вероятности случайного процесса U(t) определяется как частная производная по аргументу u одномерной функции распределения: f (u, t ) = ∂F (u, t ) . ∂u (6.19) Для заданного момента времени t1 имеем: f ( u1 , t1 ) du1 = P [u1 ≤ U (t1 ) ≤ u1 + du1 ]. (6.20) Связь между одномерными плотностью вероятности и функцией распределения по аналогии с формулой (6.7) имеет вид: u F (u, t ) = ∫ f (u, t )du. (6.21) −∞ Предельное значение одномерной функции распределения случайного процесса при u→ ∞ равно единице, так как в заданных пределах изменения u и t встречается любое значение U(t): +∞ ∫ f (u , t )du = 1. (6.22) −∞ Двумерная плотность вероятности равна смешанной частной производной от двумерной функции распределения по аргументам u1 и u2: 143 ∂2 F (u1, t1; u2 , t2 ) f (u1, t1; u2 , t2 ) = . ∂u1∂u2 (6.23) Для двух заданных моментов времени – t1 и t2 – имеем: f (u1, t1; u2 , t2 ) = P[u1 ≤ U (t1) ≤ u1 + du1; u2 ≤ U (t2 ) ≤ u2 + du2 ]. (6.24) Двумерная функция распределения связана с двумерной плотностью вероятности соотношением: u1 u2 F (u1 , t1; u2 , t2 ) = ∫∫ f (u1 , t1; u2 , t2 )du1du2 . (6.25) −∞ −∞ Предельное значение двумерной функции распределения при u1→ ∞, u2→ ∞, выраженное через двумерную плотность вероятности, также равно единице: +∞ +∞ ∫∫ f (u1 , t1; u2 , t2 )du1du2 = 1. (6.26) −∞ −∞ Аналогично составляются n-мерные (совместные) плотности вероятности случайного процесса. В источнике [82] приведены примеры реализации таких случайных процессов как: гармонический процесс, гармонический процесс плюс случайный шум, узкополосный случайный шум и широкополосный случайный шум, которые заимствованы нами и показаны на рис. 6.4, а на рис. 6.5 приведена плотность вероятности для них. Математическое ожидание случайного процесса. Для вычисления средневероятностного значения (математического ожидания) случайного процесса U(t) в момент времени t1 можно воспользоваться формулой (6.12): mu (t1 ) = +∞ ∫ u f ( u , t ) du , 1 −∞ 144 1 1 1 (6.27) где f(u1,t1) – одномерная плотность вероятности при t = t1. Соотношение для определения математического ожидания случайного процесса U(t) при любом значении t есть функция времени t, если в нем убрать индексы: mu (t ) = +∞ ∫ uf ( u , t ) du , (6.28) −∞ здесь f(u,t) – одномерная плотность вероятности. а б в г Рис. 6.4. Четыре примера реализации случайных процессов: гармонический процесс (а); гармонический процесс плюс случайный шум (б); узкополосный (в) и широкополосный (г) случайный шум Дисперсия случайного процесса. Для вычисления дисперсии случайного процесса U(t), как функции времени t, достаточно воспользоваться формулой, аналогичной формуле (6.14): σ (t ) = 2 u +∞ ∫ (u − m ) u −∞ 145 2 f (u , t )du. (6.29) Если проанализировать формулу (6.29), то становится очевидным факт зависимости дисперсии случайного процесса U(t) от времени t. а) б) в) г) Рис. 6.5. Плотность вероятности: гармонический процесс (а); гармонический процесс плюс случайный шум (б); узкополосный (в) и широкополосный (г) случайный шум Корреляционная функция случайного процесса. Если для статистического описания случайной величины U было достаточно характеристик, представленных в подразд. 6.1, то как оценить случайные процессы, показанные на рис. 6.6? Они имеют одинаковые математические ожидания и среднеквадратические отклонения, а также доверительный интервал, но ведут себя поразному. Следовательно, нужна еще одна характеристика, которая бы оценивала связь между вероятностными характеристиками в моменты времени t и t + τ. Эта связь устанавливается с помощью корреляционной функции: 146 Ku (t1, t2 ) = 〈[U (t1) − mu (t1)][U (t2 ) − mu (t2 )]〉. (6.30) Из формулы (6.30) видно, что корреляционная функция есть средневероятностное значение произведения отклонений случайного процесса от его средневероятностных значений (математических ожиданий) в любые два момента времени. а б Рис. 6.6. Два случайных процесса, имеющие одинаковые статистические характеристики, но различное поведение (пунктирной линией показан доверительный интервал) Для непрерывной случайной величины корреляционная функция выражается через двумерную плотность вероятности: K u (t1 , t2 ) = +∞ +∞ ∫ ∫ [u 1 − mu (t1 ) ][u2 − mu (t2 ) ] f (u1 , t1 ; u2 , t2 ) du1du2 . (6.31) −∞ −∞ При совпадении значений времени, когда t1 = t2 = t, имеем, что u1 = u2 = u, mu(t1) = mu(t2) = mu(t) и f(u1,t1;u2,t2) = f(u,t), следовательно, формула (6.31) при- нимает вид: K u (t ) = +∞ ∫ [ u − m (t ) ] 2 u −∞ 147 f (u , t ) du. (6.32) Если сравнить формулы (6.29) и (6.32), то можно записать: Ku (t ) = σ u2 (t ). (6.33) Таким образом, если при вычислении корреляционной функции брать один и тот же момент времени, то корреляционная функция будет равняться дисперсии случайного процесса U(t). Вводя вспомогательный случайный процесс, удовлетворяющий соотношению U 0 (t ) = U (t ) − 〈U (t )〉, (6.34) и назвав его центрированным случайным процессом, формулы (6.30) и (6.31) можно переписать в более простом виде:  Ku (t1, t2 ) = 〈U 0 (t1 )U 0 (t2 )〉;  +∞ +∞   Ku (t1, t2 ) = ∫ ∫ u1 (t1 )u2 (t2 ) f ( u1 , t1; u2 , t2 ) du1 du2 . −∞ −∞  (6.35) В качестве примера найдем корреляционную функцию гармонического процесса. Пусть x(t) = A sin[2πf0t + θ(t)] – гармоническая случайная функция, причем A и f0 – постоянные величины, называемые амплитудой и частотой колебаний, а θ(t) – случайная величина с равномерной плотностью вероятности p(θ), заданной на отрезке (0,2π). Функция распределения всегда равна единице, поэтому F (θ) = 2π ∫ p ( θ) d θ = 2π ∫ dθ = 1, т. е. p(θ) = 1/(2π) в пределах указанного 2π выше отрезка и равна нулю за его пределами. Следовательно, возьмем моменты времени t и t + τ, причем τ должен изменяться в пределах от 0 до 2π, и воспользуемся формулой (6.32): 148 1 K x (τ ) = 2π A2 = 4π 2π ∫ A sin ( 2π f t + θ ) A sin  2π f ( t + τ ) + θ  dθ = 2π ∫ {cos 2π f τ − cos 2 π f ( 2t + τ ) + θ } dθ = A2 = 4π 2π 2π   cos 2π f 0τ ∫ dθ − ∫ cos 2 [π f 0 (t + τ ) + θ ] dθ  =   A2 = 4π 2π   1 2 1 2 π cos 2 π f τ sin 2 π f ( t τ ) θ − + + [ ]   = A cos 2π f 0τ . 2 0   2  (6.36) Таким образом, корреляционная функция случайного гармонического колебания представляет собой косинусоидальную гармоническую функцию, далее заметим, что информация о случайной фазе теряется. На рис. 6.7 приведены автокорреляционные функции четырех случайных процессов. а) б) в) г) Рис. 6.7. Автокорреляционные функции случайных процессов: гармонический процесс (а); гармонический процесс плюс случайный шум (б); узкополосный (в) и широкополосный (г) случайный шум 149 Эти рисунки заимствованы из монографии [82] известных американских специалистов по теории случайных процессов (функций), которые применяют для обозначения корреляционной функции букву R, а индекс xx указывает на автокорреляционную функцию, следовательно, взяв разные случайные процессы x(t) и y(t), можно вычислить взаимную корреляционную функцию. 6.3. Классификация случайных процессов Процесс, описывающий случайное физическое явление, нельзя задать явной математической зависимостью, поскольку каждое наблюдение этого явления дает невоспроизводимый результат. Другими словами, любое наблюдение дает только один вариант из множества возможных. Конкретная реализация процесса, описывающего случайное явление, называется выборочной функцией (или реализацией, если речь идет о наблюдении конечной длительности, что в действительности имеет место в практике). Совокупность всех возможных выборочных функций, которые может дать случайное явление, называется случайным или стохастическим процессом. Следовательно, под реализацией случайного физического процесса понимается один из возможных исходов случайного процесса. Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. В свою очередь стационарные случайные процессы делятся на эргодические и неэргодические. Дальнейшая классификация нестационарных случайных процессов проводится по особенностям их нестационарностей. Классификация случайных процессов схематически показана на рис. 6.8. Стационарный случайный процесс. Если физическое явление описывается случайным процессом, то свойства этого явления в принципе можно оценить в любой момент времени путем усреднения по совокупности выборочных функций, образующих случайный процесс. 150 Рис. 6.8. Классификация случайных процессов Рассмотрим, например, совокупность выборочных функций (часто называемую ансамблем), определяющую случайный процесс, изображенный на рис. 6.9. Рис. 6.9. Ансамбль реализаций, задающих случайный процесс Среднее значение (иногда говорят – первый момент) этого случайного процесса в момент времени t1 можно вычислить, взяв мгновенные значения всех выборочных функций ансамбля в момент времени t1, сложив эти значения 151 и разделив на число выборочных функций. Аналогичным образом ковариацию (ковариационную функцию или смешанный момент) значений случайного процесса в два различных момента времени вычисляют путем усреднения по ансамблю произведений мгновенных значений в моменты времени t и t + τ. Следовательно, среднее значение и ковариационная функция Rxx (t, t + τ) случайного процесса X(t) определяются формулами: 1 N  xk (t1 ); ∑ 〈 X (t1 )〉 = mx (t1 ) = Nlim →∞ N  k =1  N  R (t , t + τ ) = lim 1 xk (t1 ) xk (t1 + τ ), ∑ N →∞ N  xx 1 1 k =1 (6.37) в которых суммирование производится в предположении равновероятности всех выборочных функций. Случайный процесс называется стационарным, если все его вероятностные характеристики (6.37) инвариантны относительно выбора начала времени t1, т. е. не изменяются при сдвиге времени. Реальный случайный процесс приближенно может считаться стационарным, если его характеристики изменяются во времени достаточно медленно. В дальнейшем будут рассматриваться только те задачи динамики машин и механизмов, а также динамики подвижного состава при случайных воздействиях, для решения которых достаточно знать математическое ожидание случайных функций и корреляционные функции. Поэтому условия стационарности случайного процесса для этих задач могут быть менее строгими, а именно, случайный процесс будем считать стационарным, если его математическое ожидание не зависит от времени, а корреляционная функция зависит только от разности τ = t2 – t1:  mx (t ) = mx = const;   K x (t1 , t2 ) = K x (t2 − t1 ) ≡ K x (τ ). (6.38) Заметим, что ковариационная и корреляционная функции незначительно отличаются друг от друга – корреляционная функция вычисляется для центрированного случайного процесса, а ковариационная – для нецентрированного и центрированного случайного процесса. Более того, термины «кова- 152 риационная функция» и «ковариационная матрица» часто используются в иностранной и переводной литературе. При τ = 0 корреляционная функция переходит в дисперсию: σ x2 = Kx (0) = const, (6.39) отсюда следует, что Kx ≥ 0. Кроме того, согласно определению Kx(τ) = Kx (– τ), т. е. корреляционная функция стационарного случайного процесса есть четная функция от τ. С увеличением τ корреляционная функция стационарного процесса уменьшается: Kx (τ) ≤ Kx (0), так как при достаточно большом τ функции u01(t) и u02(t) могут считаться независимыми и средневероятностное значение их произведения приближается к нулю. Корреляционная функция Kx (τ) характеризует степень статистической связи между значениями процесса в два момента времени, сдвинутые один относительно другого на величину τ, причем Kx (τ)→ 0 при τ→ ± ∞ (заметим, что это требование указывает на то, что случайный стационарный процесс должен быть эргодическим). В прикладных задачах часто вводится понятие о времени корреляции стационарного случайного процесса. Это есть параметр, который имеет размерность времени и характеризует быстроту затухания корреляционной функции; его можно определить, например, как величину: ∞ τ кор = ∫ K (τ ) dτ x σ x2 . (6.40) Как уже отмечалось, корреляционная функция нормального случайного процесса дает (вместе с его математическим ожиданием 〈 X (t)〉 = mx ) полное описание всех свойств этого процесса. Если же процесс не является нормальным, то два первых момента, тем не менее, несут значительную информацию об этом процессе; для некоторых практических приложений такая информация оказывается достаточной. Эргодический случайный процесс. Стационарный случайный процесс X(t) называется эргодическим, если одна его реализация x(t) содержит всю информацию о вероятностных свойствах процесса. Особенность этого процесса со153 стоит в возможности замены осреднения по множеству реализаций осреднением по времени, тогда моменты первого и второго порядка определяются следующим образом: T 2  1 x(t )dt ; 〈 X (t )〉 = mx (t ) ≡ Tlim →∞ T ∫ −T 2   T 2  K (τ ) ≡ lim 1 [ x(t ) − mx (t )][ x(t + τ ) − mx (t )] dt.  x T →∞ T ∫ −T 2  (6.41) Очевидно, что эргодические случайные процессы образуют важный класс случайных процессов, поскольку все свойства эргодических процессов можно определить по единственной выборочной функции. На практике стационарные случайные процессы обычно оказываются эргодическими. Принадлежность стационарного случайного процесса к эргодическим процессам устанавливается обычно путем обработки экспериментальных данных по нескольким реализациям. Математическим условием эргодичности случайного стационарного процесса является следующее условие: T 1 lim ∫ K x (τ ) dτ < ∞. T →∞ T (6.42) Другими словами, должен существовать интеграл (6.42). Более жесткие требования эргодичности состоят в том, что корреляционная функция и ее производные должны быть ограничены на бесконечности, а для корреляционной функции выполняется более сильное, чем (6.42), условие: T 2 1 lim ∫ K x (τ )dτ = 0. T →∞ T −T 2 (6.43) Нормальный случайный процесс. Случайный процесс X(t) называется нормальным или гауссовым, если его n-мерная плотность вероятности при любых значениях t1,t2,…,tn и любом n является нормальным распределением. Од- 154 номерная плотность вероятности нормального распределения по аналогии с (6.15) имеет вид: f ( x, t ) = 1 e σ x (t ) 2π − [ x (t )−mx (t )]2 2σ x2 ( t ) , (6.44) где mx (t) – математическое ожидание; σ2x (t) – дисперсия. Известно, что нормальные процессы полностью определяются их математическими ожиданиями и корреляционными функциями и что нормальный процесс остается таковым после прохождения через линейную систему. Все это делает корреляционное описание весьма удобным аппаратом для анализа случайных колебаний линейных систем. При рассмотрении нелинейных систем, как правило, приходится выходить за рамки корреляционного описания, а часто дополнять его асимптотическими методами интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и другими действиями, упрощающими решение поставленной задачи. Дельта-функция. Для аналитического описания некоторых мгновенных переменных, например, ударного импульса, когда не интересуются его формой, или случайного процесса типа «белого шума», используют единичную импульсную функцию или дельта-функцию δ(t), которая равна нулю всюду, кроме точки t = 0, а в этой точке она обращается в бесконечность, причем +∞ ∫ δ (t )dt = 1. (6.45) −∞ Эти свойства дельта-функции можно наглядно пояснить, если рассматривать ее как предел функции ρ (t , β ) = β π ( β 2t 2 + 1) (6.46) при β→ ∞. При t = 0 функция ρ(t, β) = β/π, т. е. при β→ ∞ функция ρ(t, β) в точке t = 0 стремится к бесконечности. В любой другой точке при β→ ∞ функция ρ(t, β) стремится к нулю. На рис. 6.10 показаны графики функции ρ(t,β) при зна- 155 чениях β = 1, 2 и 10. С увеличением β при β→ ∞ получаем график дельта-функции δ(t). Рис. 6.10. Графики изменения функции ρ(t,β) Площадь, заключенная между осью абсцисс и функцией ρ(t,β) (рис. 6.10), определяется интегралом +∞ +∞ β dt ρ β = ( t , ) dt 2 ∫−∞ ∫ β t 2 + 1. π −∞ (6.47) Интеграл, стоящий в правой части формулы (6.47), является табличным и вычисляется следующим образом: dt ∫β t 2 2 +1 = 1 dx 1 1 = arctg x = arctg(β t ). 2 ∫ β 1+ x β β (6.48) Подставляя значение уравнения (6.48) в правую часть выражения (6.44), получим: +∞ +∞ β dt β1 +∞ ∫−∞ ρ(t , β)dt = π −∞∫ β2t 2 + 1 = π β arctg(βt ) −∞ = 1 1 [arctg(∞) − arctg(−∞)] = [arctg(∞) + arctg(∞)] = π π 2 2π = arctg(∞) = ≡ 1. π π2 = 156 (6.49) Полученный результат совпадает с интегралом (6.45) для дельта-функции δ(t). Следовательно, интеграл (6.47) можно рассматривать также как значение мгновенного импульса ударной силы δ(t), обращающейся в бесконечность в точке t = 0 и равной нулю во всех других точках. Если же требуется получить мгновенный импульс, равный S, то следует рассмотреть предел функции Sρ(t,β) при β→ ∞. Тогда получаем функцию S δ(t), которая также равна нулю всюду, кроме точки t = 0. В этой точке S δ(t) стремится к бесконечности, но мгновенный импульс, равный интегралу +∞ ∫ Sδ (t )dt = S , (6.50) −∞ имеет конечную величину. Иногда удобнее считать, что дельта-функция обращается в нуль не при t = 0, а при t = t0. Тогда она обозначается через δ(t – t0) и определяется как функция, равная нулю при всех значениях t, кроме значения t = t0, при котором она обращается в бесконечность, причем +∞ ∫ δ ( t − t ) dt = 1. (6.51) −∞ Приведем другие (второстепенные) свойства дельта-функции: интегральное представление – 1 δ (t ) = 2π +∞ ∫e iωt dω ; (6.52) −∞ фильтрующие свойства – +∞ ∫ f ( x )δ ( x − x0 ) dx = f ( x0 ); (6.53) −∞ производная от дельта-функции – +∞ ∫ f ( x )δ ′( x − a ) dx = − f ′( a ); −∞ 157 (6.54) δ ′(−x) = −δ ′( x); (6.55) xδ ′(x) = −δ (x); (6.56) преобразование Фурье – 1 F (ω ) = 2π +∞ ∫ δ (t ) e − iωt dt = −∞ 1 , 2π (6.57) из которого следует, что спектр дельта-функции есть просто константа; первообразная – 0, если x < 0; 1  ∫−∞ δ ( x)dx = η ( x) =  2 , если x = 0;  1, если x > 0, x (6.58) здесь η(x) – функция Хевисайда; и другие связанные с ней формулы – δ [ f ( x)] = ∑ k δ ( x − xk ) f ′( xk ) , где xk простые корни f ( x) = 0; 1 1   ∫ δ  x  dx = 0. −1 (6.59) (6.60) Отметим, что во многих физических и математических задачах встречается математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции, которое называется обобщенной функцией (или распределением). Понимание смысла обобщенной функции дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя (пространственную), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника, мгновенный удар и т. д. С другой стороны, в понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точ158 ке, а можно измерять лишь ее средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщенных функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Обобщенные функции были введены впервые в конце 20-х гг. XX в. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие δ-функции и ее производных. Основы математической теории обобщенных функций были заложены в 1930-х гг. С. Л. Соболевым при решении задачи Коши для гиперболических уравнений, а в 50-х гг. Л. Шварц дал систематическое изложение теории обобщенных функций и указал многие случаи их применения. В дальнейшем теория обобщенных функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений. Таким образом, в итоге небольшого экскурса в математику можно констатировать, что дельта-функция Дирака не является обычной функцией, обладающей какими-либо значениями, так как она не имеет римановской нормы (т. е. при t = 0 эта функция обращается в бесконечность и не ограничена определенным модулем), поэтому она считается обобщенной функцией. Белый шум. Случайный стационарный процесс X(t), который характеризуется тем, что в нем отсутствует какая-либо взаимная статистическая связь между предыдущими и последующими значениями x(t), называется абсолютно случайным процессом или белым шумом, для которого корреляционная функция равна нулю при всех значениях τ, кроме τ = 0, когда она стремится к бесконечности. Ее нетрудно записать в математической форме, если воспользоваться введенной ранее дельта-функцией. Отсюда следует, что корреляционную функцию случайного процесса типа белого шума можно представить в виде: K x (τ ) = bδ (τ ) , 159 (6.61) где b – постоянный множитель, характеризующий интенсивность случайного процесса типа белого шума; δ(τ) – дельта-функция, о свойствах которой говорилось ранее. Спектральная плотность случайного процесса. Чрезвычайно важным понятием теории случайных процессов является понятие о спектральной плотности. Чтобы как-то обосновать это понятие, обратимся к курсу высшей математики. Из него следует, что если любая непериодическая функция f(t), удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости на всей числовой оси, т. е. функция не должна иметь разрывов второго рода, но может иметь счетное количество разрывов первого рода (собственно в этом заключаются условия Дирихле), т. е. функция удовлетворяет условию сходимости интеграла: I= +∞ ∫ f (t ) dt < ∞, (6.62) −∞ то эта функция может быть представлена интегралом Фурье: ∞ f (t ) = ∫  a (ω ) cos ωt + b (ω ) sin ωt d ω , (6.63) здесь +∞  1  a (ω ) = ∫ f (t ) cos ω tdt ; π −∞   +∞ b(ω ) = 1 f (t )sin ω tdt. ∫  π −∞  (6.64) После несложных тригонометрических преобразований, уже неоднократно нами использованных, получим вместо формулы (6.63) другое, но эквивалентное выражение: ∞ f (t ) = ∫ S (ω ) cos [ω t − θ (ω ) ] d ω , где 160 (6.65) S (ω ) = a 2 (ω) + b2 (ω);   b(ω ) . θ (ω ) = arctg a ( ) ω  (6.66) В отличие от ряда Фурье, в котором угловые частоты гармонических составляющих ω, 2ω, …, nω, … образуют дискретный спектр, интеграл Фурье характеризуется непрерывным спектром ω от 0 до ∞, причем для каждого значения t интеграл Фурье дает значение функции f(t) в виде «суммы» гармоник с непрерывно изменяющейся угловой частотой ω и амплитудой S(ω). Для четных функций f(–t) = f(t) ряд Фурье содержит лишь слагаемые с коэффициентами an (разложение по косинусам), для нечетных функций f(–t) = –f(t) – слагаемые с коэффициентами bn (разложение по синусам). Соот- ветственно, интеграл Фурье для четных функций имеет вид: ∞ f (t ) = ∫ a (ω ) cos ω td ω . (6.67) Вследствие четности функции f(t) коэффициент a(ω) достаточно вычислить в пределах от 0 до ∞ и затем удвоить: a (ω ) = 2 π ∞ ∫ f (t ) cos ωtdt. (6.68) Для нечетных функций интеграл Фурье ∞ f (t ) = ∫ b(ω )sin ω td ω , (6.69) где b (ω ) = 2 π ∞ ∫ f (t )sin ωtdt. (6.70) На рис. 6.11 для фиксированного значения t = tk показан график изменения подынтегральной функции интеграла Фурье S(ω,tk) в зависимости от угло- 161 вой частоты ω. Площадь, заключенная между этим графиком и осью абсцисс, дает согласно выражению (6.63) значение функции f(t) при t = tk. Выделим из этой площади элементарную площадку шириной ∆ω вблизи текущего значения ω = ωl. Тогда средняя ордината графика S(ω,tk) дает среднюю плотность распределения функции f(tk) по оси абсцисс на участке Δω вблизи ω = ωl. При ∆ω→ 0 получаем, что функция S(ω,tk) дает плотность распределения функции f(t) по частоте ω при значении t = tk. Для того чтобы характеризовать плотность распределения функции f(t) по частоте ω независимо от текущего значения переменной t, условимся называть спектральной плотностью функцию S(ω), определяемую по первой формуле системы (6.66). Для четных функций b(ω) = 0 и S (ω ) ≡ a (ω ) = 2 π ∞ ∫ f (t ) cos ωtdt. (6.71) Рис. 6.11. К определению спектральной плотности случайного процесса В зависимости от физического смысла функции f(t) спектральная плотность S(ω) получает соответствующее название. Например, если f(t) = Fc (t), то S(ω) называется спектральной плотностью силы сопротивления, зависящей от времени; если потенциальная энергия системы пропорциональна f(t) = x2(t), где x – обобщенная координата системы, то S(ω) называют спектральной плотностью потенциальной энергии и т. д. 162 Пусть корреляционная функция Kx(τ) стационарного случайного процесса x(t) интегрируема по модулю на всей полуоси τ > 0 (именно такие случайные процессы представляют наибольший интерес для приложений). Тогда в соответствии с теоремой Винера – Хинчина существует всюду неотрицательная функция Sx (ω) такая, что функция Kx (τ) и Sx (ω) представляют пару преобразований Фурье: +∞ ∞  1 1 K x (τ ) cos ωτ dτ = ∫ K x (τ )cos ωτ dτ ;  S x (ω ) = ∫ 2 π π0  −∞  +∞ ∞  K (τ ) = S (ω )eiωτ = 2 S (ω ) cos ωτ dω. ∫ x ∫0 x  x −∞  (6.72) Вторые равенства в соотношениях (6.72) справедливы в силу четности функций, входящих в них. Еще раз укажем на физический смысл спектральной плотности, вытекающий из такого представления: она характеризует распределение энергии процесса по его компонентам с различными частотами. Из системы уравнений (6.72) следует, что дисперсия σx2 определяется как интеграл от спектральной плотности: σ = K x (0) = 2 x +∞ ∫S −∞ ∞ x (ω ) d ω = 2 ∫ S x (ω ) d ω . (6.73) Рассмотрим два примера. Первый касается так называемого экспоненциально-коррелированного центрированного случайного процесса x(t), который имеет такую корреляционную функцию: K x (τ ) = σ x2e −γ τ , (6.74) где σx – среднеквадратическое значение процесса. Как следует из первого выражения системы (6.72), спектральная плотность случайного процесса x(t) S x (ω ) = 1 π ∞ ∫σ 2 − γτ x e σ x2 γ cos ωτ dτ = 2 π γ + ω2 163 (6.75) и является монотонно убывающей при всех ω > 0. Параметр γ характеризует быстроту затухания степени статистической связи между значениями процесса x(t) в моменты времени t и t + τ. Чем больше величина γ, тем быстрее затухает корреляционная функция (6.74) и тем медленнее убывает спектральная плотность (6.75). Весьма важным для приложений является предельный случай, когда γ→∞. В этом случае спектральная плотность Sx (ω) является постоянной величиной на всех (в том числе и бесконечно больших) частотах. Чтобы эта постоянная оставалась конечной, перейдем в выражениях (6.74) и (6.75) к пределу при γ→ ∞, считая, однако, величину σx2/γ постоянной; в силу соотношений (6.72) последнее условие означает постоянство интеграла от корреляционной функции: σ x2 S x (ω ) = 2 πγ γ σ x2 1 σ x2 = = . 2 2 πγ πγ ω  ω  1+   1+   γ   γ  (6.76) В результате получим:  K x (τ ) = Dδ (τ );  σ x2  ;  S x (ω ) = S0 = S x (0) = πγ   D = 2π S0 . (6.77) Процесс, которому соответствуют предельные зависимости (6.77) для Kx (τ) и Sx (ω), называется дельта-коррелированным или процессом типа бело- го шума (термин, заимствованный из оптики). Параметр D называется коэффициентом интенсивности процесса типа белого шума. Энергия такого процесса равномерно распределена по всем, в том числе сколь угодно высоким частотам, поэтому полная энергия процесса типа белого шума – так же, как и его дисперсия, бесконечно велика. Следовательно, такой процесс, строго говоря, физически нереален и может рассматриваться лишь как некоторая абстрактная модель. На рис. 6.12 и 6.13 приведены графики изменения корреляционной функции и спектральной плотности в зависимости от величины γ. 164 Рис. 6.12. Корреляционная функция дельта-коррелированного случайного процесса Рис. 6.13. Спектральная плотность дельта-коррелированного случайного процесса Эта модель играет в статистической динамике чрезвычайно существенную и важную роль. Все дело в том, что любая реальная инерционная колебательная система может реагировать лишь на ограниченный диапазон частот случайных воздействий; воздействия с очень высокими частотами не будут оказывать практически никакого влияния на поведение системы. Поэтому если спектральная плотность случайного воздействия близка к постоянной в пределах этого диапазона существенных для данной колебательной системы частот (такой случайный процесс называется широкополосным), то система будет реагировать на такое возбуждение так же, как и на возбуждение типа белого шума. Действительно, если на линейную колебательную систему действуют случайные возмущения с корреляционной функцией (6.74), то достаточным усло165 вием, при котором эти возмущения можно считать широкополосными, является условие γ >> Ωmax, где Ωmax – максимальная собственная частота системы. При выполнении этого условия можно считать возмущающее воздействие процессом типа белого шума со спектральной плотностью Sx(0). В качестве другого примера рассмотрим стационарный случайный процесс x(t), у которого  α 2 −α τ   K x (τ ) = σ x e cos Ω1τ + sin Ω1 τ Ω1    2ασ x2 Ω2 ; S x (ω ) = 2 2 2 2 2 π − Ω + 4 ω α ω  ( )  2 2 2 Ω = Ω1 + α .   ;  (6.78) Этот процесс интересен тем, что для него существует отличное от нуля значение частоты, соответствующее максимуму спектральной плотности Sx(ω). Согласно второй формуле системы (6.78) в этом случае знаменатель принимает минимальное значение, а это возможно только при условии, что ω = Ω2 − 2α 2 . Более того, при вполне определенных условиях – а именно, при α << Ω – практически вся энергия процесса сосредоточена в узком (шириной порядка α) диапазоне частот вблизи этой точки максимума спектральной плотности ω = Ω2 − 2α 2 ≈ Ω. В этом нетрудно убедиться, записав аналитическое выраже- ние для интеграла от функции Sx (ω) (см. вторую формулу системы (6.78)) в пределах отрезка [ω1, ω2], где ω1 < Ω, ω2 > Ω: ω  ω2 4ασ x2 Ω 2 2 dω  2 ∫ S x (ω ) dω = ∫ ω 2 − Ω2 2 + 4α 2ω 2 = π ω ω  1 ) 1 (   σ x2 [π + arctg v + O(α Ω)]; = π   2α (ω2 − ω1 )(Ω 2 + ω1ω2 ) . v = 2 2 2 2 ω ω − Ω − Ω ( )( ) 2 1   166 (6.79) Здесь через O(α/Ω) обозначены слагаемые порядка α/Ω, которые нас не интересуют. Первое слагаемое в квадратных скобках в первом уравнении системы (6.79) представляет собой результат интегрирования при ω1 = 0, ω2→ ∞. Разумеется, при ω1 = 0, ω2→ ∞ первая формула системы (6.79) дает, как и следовало ожидать согласно (6.79), значение σx2 дисперсии процесса x(t), причем этот результат является точным – слагаемые порядка O(α/Ω) также обращаются в нуль при ω1 = 0, ω2→ ∞. Обратимся теперь к поправке arctg v, представляющей вклад в дисперсию процесса x(t) компонентов с частотами ω < ω1, ω > ω2. Из первой формулы системы (6.79) видно, что поправка отрицательна; этого следовало ожидать ввиду того, что функция Sx (ω) всюду положительна. Далее, при α→ 0 согласно первой формуле системы (6.79) имеем v→ 0 и, следовательно, arctg v→ 0. Наконец, из первой формулы системы (6.79) видно, что при малых, но конечных значениях α поправка arctgv будет величиной порядка единицы лишь при условии, что разность ω2-ω1 есть величина порядка α. Стационарный случайный процесс, спектральная плотность которого сосредоточена в основном в пределах узкой полосы частот (узкой по сравнению с величиной центральной частоты этой полосы) называется узкополосным (разумеется, здесь речь идет о положительных частотах, поскольку должна существовать еще симметричная узкая полоса в пределах полуоси ω < 0). Процесс со спектральной плотностью (см. вторую формулу системы (6.78)) является узкополосным, как это было показано выше, при условии α << Ω. На рис. 6.14 приведены графики спектральных плотностей для четырех процессов, заимствованных из указанной ранее монографии американских ученых [82] и показанных на рис. 6.4, а их статистические характеристики представлены на рис. 6.5 и 6.7. 167 а б в г Рис. 6.14. Спектральные плотности: гармонический процесс (а); гармонический процесс плюс случайный шум (б); узкополосный (в) и широкополосный (г) случайный шум; Gxx (f) – обозначение автоспектральной плотности, принятое Бендатом и Пирсолом 6.4. Основные статистические характеристики стационарных случайных процессов Основные статистические характеристики, имеющие важное значение для описания свойств отдельных реализаций стационарных случайных процессов: 1) средние значения (математические ожидания); 2) среднеквадратические отклонения; 3) плотность вероятности; 4) корреляционные функции; 5) спектральные плотности. Плотности вероятности и функции распределения обычно применяются, помимо описания вероятностной структуры процесса, с целью: 1) проверки нормальности; 2) выявления нелинейностей; 168 3) анализа экстремальных значений. Основные применения корреляционных функций охватывают: 1) выявление периодичностей; 2) выделение сигналов из шума; 3) измерение запаздываний; 4) локализацию источников помех; 5) идентификацию трактов и скоростей передачи сигналов. В число типичных применений спектральных плотностей входят: 1) определение свойств систем по наблюдениям входных и выходных процессов; 2) предсказание выходных процессов по входным процессам и свойствам системы; 3) идентификация входных процессов по выходным процессам и свойствам системы; 4) задание динамических данных для тестовых программ; 5) идентификация источников энергии и шума; 6) оптимальный линейный прогноз и фильтрация. В заключение укажем на следующие моменты. Существуют еще два соотношения между корреляционными функциями и спектральными плотностями:  K x (τ ) = σ x2e−(τ τ 0 ) ;   σ x2τ 0 − 14 (ωτ 0 )2 e ;  S x (ω ) = 2 π  (6.80) K x (τ ) = σ x2e−α τ cosθ0τ ;  α (ω 2 + θ 2 ) σ x2  . S x (ω) = π 2 2 2 2 2 (ω − θ ) + 4α θ  (6.81) Здесь σ x2 – по-прежнему дисперсия процесса, θ > 0 – характерная частота процесса, α > 0 – параметр корреляции, характеризующий стохастическую связанность значений процесса в различные моменты времени, τ0 = α-1 – время 2 2 2 корреляции, θ = θ0 + α . 169 При α ≈ 0 время корреляции сопоставимо с периодом скрытой периодичности. Если α << 0, то реализации процесса будут представлять собой колеблющиеся функции с медленно изменяющимися случайными амплитудами и фазами. Такие процессы, как указывалось раньше, называются узкополосными. Заметим, что модели (6.78) и (6.81) – это модели стационарных случайных процессов, содержащие скрытую периодичность и имеющие большое значение для приложений. Различают дифференцируемые и недифференцируемые случайные процессы. Условие существования дисперсии у первой производной от стационарного случайного процесса с заданной спектральной плотностью Sx (ω) имеет вид: +∞ ∫ω 2 S x (ω )d ω < ∞. (6.82) −∞ Процессы, спектральные плотности которых даются формулами (6.78) и (6.80), удовлетворяющие условию (6.82), относятся к дифференцируемым стационарным случайным процессам. Процессы со спектральными плотностями (6.74), (6.75) и (6.81) не удовлетворяют неравенству (6.82) и относятся к недифференцируемым стационарным случайным процессам. Условие существования дисперсии у второй производной от стационарного случайного процесса с заданной спектральной плотностью Sx (ω) имеет вид: +∞ 2 ∫ ω S x& (ω ) d ω = −∞ +∞ ∫ω 4 S x (ω ) d ω < ∞. (6.83) −∞ Итак, если для стационарного случайного процесса со спектральной плотностью Sx (ω) выполняются неравенства (6.82) и (6.83), то имеют место следующие простые соотношения:  S x& (ω ) = ω 2 S x (ω );  2 4  S &&x (ω ) = ω S x& (ω ) = ω S x (ω ), 170 (6.84) которыми мы будем пользоваться при решении практических задач в динамике рельсового подвижного состава. 6.5. Математическое описание вертикальных неровностей на поверхности катания рельсов В системы дифференциальных уравнений подвижного состава, описывающих его динамическое поведение при движении по железнодорожному пути, входит кинематическое внешнее воздействие, характер и способы описания которого рассмотрим в данном подразделе достаточно кратко. Теоретическим и экспериментальным изучением возмущений, действующих на рельсовые экипажи со стороны пути, занимались многие авторы [1, 31, 33 – 35, 37 – 46, 48 – 52, 54, 57, 58, 63, 65, 68 – 73]. При этом делались многочисленные попытки описания экспериментальных данных о возмущениях с помощью аналитических выражений. Однако так как эксперименты проводились в разных условиях (например, различное состояние участков железных дорог и подвижного состава, отличающиеся по конструкции экипажи, неодинаковые погодные условия и др.) и с использованием различных методик, то полученные при этом результаты в ряде случаев существенно отличаются друг от друга. Это иногда затрудняет их использование при теоретических исследованиях колебаний рельсовых экипажей. Полагая, что возмущения, действующие на рельсовые экипажи, состоят из достаточно большого ряда некоррелированных между собой составляющих, выражение для спектральной плотности в работах [1, 31, 33] предлагается записывать в виде: m S (ω ) = ∑ S k (ω ), (6.85) k =1 где Sk(ω) – спектральная плотность k-й составляющей возмущения; m – число составляющих, которое у разных авторов выбирается по-разному. Проведенный экспресс-анализ позволяет утверждать, что на сегодняшний день не существует единства в этом вопросе, да, видимо, оно и невозмож- 171 но из-за различного состояния подвижного состава и железнодорожных путей в различных регионах. Профессор И. В. Бирюков [74] для анализа динамических явлений в тяговом приводе локомотива использовал следующие составляющие геометрических неровностей железнодорожного пути: средняя стыковая неровность вида: η ( x ) = A s in π x + B s in 3 π x , (6.86) где x определен на длине рельсового звена, т. е. от 0 до 1 (второй тип по классификации профессора Н. Н. Кудрявцева); широкополосная случайная составляющая со спектральной плотностью вида – Sш (ω ) = α Dш ; π (α 2 + ω 2 ) (6.87) узкополосная случайная составляющая, отражающая волнообразный износ, со спектральной функцией вида – α Dвл Ω2 + ω 2 Sвл (ω ) = , ⋅ π ( Ω 2 + ω 2 )2 + 4α 2ω 2 (6.88) здесь Ω – центральная частота; α – показатель экспоненты в выражении корреляционной функции; Dш, Dвл – дисперсии соответствующих составляющих. Расчетный волнообразный износ рельсов принимался со средней длиной волны, равной 1 м, и дисперсией Dвл = 0,156 мм2 при ширине полосы частот возмущения, равной 5 Гц на скорости движения экипажа 100 км/ч. Профессором В. А. Камаевым [31] для расчетов использовалось такое выражение спектральной плотности: S (ω ) = C V2 ω 2 +  αD  1 1 + 2 ,  2 2 2  π  α + (ω + β ) α + (ω − β )  172 (6.89) здесь C = 1,6∙10-9 (c) – константа случайных геометрических неровностей пути; D = 37,68∙10-6 (м2) – дисперсия случайных геометрических неровностей пути; α и β – коэффициенты, обусловленные наличием стыков, причем a0 и b0, от которых зависят α и β, соответственно равны 0,072 и 0,265 м-1. На железнодорожном пути помимо неровностей, обусловленных рельсовыми звеньями и стыками, присутствуют еще микро- и макронеровности. Считается, что корреляционная связь между амплитудой неровности H и ее длиной L носит линейный характер [46, 47]. Это не противоречит физической сути явления. В результате обработки записей неровностей пути длиной до 100 м в работе [46] получена следующая зависимость: Н = 0,0004L. (6.90) Профессор В. А. Камаев в работе [31] для этого случая предложил такое выражение спектральной плотности: S (ω ,V ) = 1,6 ⋅ 10 −7 V  V2 ,  ≤ ω ≤ ∞ . 2 L2ω  L2  (6.91) Динамическое воздействие на путь от колебаний необрессоренных частей при прохождении колесной парой изолированной неровности пути обычно определяется по упрощенной математической модели: без учета нагрузок от колебаний обрессоренных частей экипажа [68]. Колебания необрессоренных частей вызваны высокочастотными нагрузками (с частотой не менее 20 – 30 Гц), колебания обрессоренных частей – низкочастотными процессами (с частотой 1,5 – 6 Гц). Более точные соотношения можно получить, если учесть тип железнодорожного пути (тип балласта, деревянные или железобетонные шпалы, рельсы Р50, Р65 или Р75 и др.). При определении давления на путь применяют одномассовую колебательную систему «колесная пара – железнодорожный путь», другими словами, рассматривается движение массы колесной пары по упругому пути. Вертикальные колебания подвижного состава при движении обусловлены тремя основными источниками кинематического возмущения: геометрическими неровностями рельсового пути, эксцентриситетом, несовершенством 173 круга катания самих колесных пар, а также неравноупругостью пути по его протяженности. В реальных условиях изменения жесткости и диссипативных характеристик по длине пути являются случайными, они зависят от конструкции пути, системы и качества его обслуживания и ремонта, а также от погодных условий. В средней части звена вертикальная жесткость пути изменяется случайно в пределах от 30 до 130 кН/мм (3 – 13 тс/мм). В соответствии с этим изменения вертикальной жесткости и характеристики диссипации пути по его длине можно рассматривать как случайные функции координаты x. Что касается параметрического возбуждения, то его влияние проявляется в изменении жесткости пути по длине рельсового звена [62]. По мере приближения к стыку вертикальная жесткость пути уменьшается. На рис. 6.15 показаны средние значения жесткости и средняя длина стыковой неровности, равная примерно 2,55 м, полученные профессором М. П. Пахомовым [62] в результате обработки экспериментального материала. Рис. 6.15. Изменение вертикальной жесткости пути вблизи стыка рельсов Вертикальная жесткость пути имеет наименьшее значение у стыка рельсов – точки с и е. Посредине стыка из-за наличия накладки нагрузка передается на оба рельса и жесткость несколько возрастает – точка d. В зимнее время жесткость пути может возрастать, в том числе и в стыковой зоне, в 2,5 – 3 раза. 174 Строго говоря, процесс возникновения колебаний в движущемся экипаже связан с необходимостью исследования нелинейной системы при параметрических возмущениях, поскольку реакции пути и подвешивания являются нелинейными функциями деформаций как пути, так и системы обрессоривания железнодорожного экипажа. Однако результаты многочисленных натурных исследований взаимодействия подвижного состава и пути, как и опыт эксплуатации, не обнаруживают явлений, свойственных параметрическим колебаниям или системам с существенно нелинейными свойствами. Это объясняется преимущественно низким относительным уровнем таких возмущений. Вместе с тем объективно проявляется общее увеличение жесткости пути в случае глубокого промерзания полотна зимой. Экспериментально показано, что в вертикальном направлении рельсовый путь имеет жесткость, меняющуюся по мере роста нагрузки, выбора зазоров и сжатия подрельсовых прокладок; жесткость, вначале низкая, затем значительно возрастает, а затем остается практически постоянной, если отвлечься от ее изменения в пределах шпального ящика, т. е. система приобретает свойства линейной. В связи с этим непостоянство свойств пути по длине практически эквивалентно некоторой случайной геометрической неровности. Все это позволяет в конечном счете в качестве возмущающей функции принять некоторую эквивалентную геометрическую неровность пути ηэ(x), которая приближенно учитывает все причины, вызывающие появление колебаний подвижного состава. Статистические характеристики эквивалентной геометрической неровности получают экспериментально при записи ускорений букс колесных пар или их абсолютных перемещений. В эквивалентную геометрическую неровность входит и волнообразный износ рельсов, представляющий собой почти периодические неровности разной длины. По терминологии Международного союза железных дорог (МСЖД) выделяются три группы таких неровностей: очень короткие (рифли), для которых длина волны Lв = 0,03 – 0,08 м (причины их появления окончательно не установлены); 175 короткие, при которых Lв = 0,08 – 0,3 м (возникают обычно в кривых радиусом менее 600 м, причина их появления – проскальзывание одного из колес колесной пары); длинные, при которых Lв = 0,6 – 2,3 м (связаны с прокаткой и правкой рельсов, а также с движением разнотипного подвижного состава, но с близкими значениями параметров механической части и с устойчивым уровнем скоростей движения). Более подробные сведения по волнообразному износу рельсов можно найти в работе [51]. В настоящее время можно считать общепризнанным, что наиболее эффективной мерой для удаления волнообразного износа является шлифовка рельсов. Часто волнообразный износ сопровождается дефектами контактно-усталостного происхождения ( по классификации – дефекты № 11 и № 21), которые могут привести к излому рельсов. Важной проблемой является установление спектральной плотности неровностей поверхности катания рельсов в высокочастотной области. С этой целью на скоростном полигоне были проведены измерения продольного профиля геометрических неровностей пути с шагом 0,05 м оптической линейкой «ИС38м» [31] : путь в хорошем состоянии по балльной оценке, рельсы – Р50, балласт щебеночный, шпалы деревянные – 1840 шт./км. Функция спектральной плотности S(Ω) достаточно точно описывает состояние поверхности рельсового пути в диапазоне длины волн l = 250 – 0,1 м. Таким образом, функцию спектральной плотности, рекомендованную в работе [70], можно применять для исследования высокочастотных колебательных процессов необрессоренных частей и различных типов тяговых приводов. В реальных условиях в пути наблюдаются одновременно и геометрические, и силовые неровности, поэтому в источнике [87] рекомендована согласно правилу композиции спектральная плотность суммарного воздействия неровностей, которая будет равна сумме спектральных плотностей геометрических и силовых неровностей. К геометрическим неровностям относятся также микронеровности на поверхности катания головки рельса, их измерение – сложный процесс. Впервые 176 исследование этих неровностей было проведено профессором М. Ф. Вериго и представлено в работе [1]. В отдельных точках, отстоящих друг от друга на расстоянии 50 мм, были замерены микронеровности на поверхности катания рельсового звена, имеющего (визуально) идеально ровную поверхность. В результате обработки замеров было установлено, что кривизна оси поверхности катания рельса изменяется от +0,207 до –0,262 м-1. Поэтому профессором М. Ф. Вериго в этой работе был сделан вывод о том, что микронеровности на поверхности катания рельса могут создавать достаточно большой динамический эффект. Известно [32], что динамическое воздействие на рельс существенно возрастает при движении по коротким неровностям. Так, например, если на рельсе имеется неровность h глубиной 0,5 мм и длиной l 1 м, подобная по конфигурации и градиенту неровности, рассмотренной в указанной выше работе, то динамическое воздействие колеса на жесткий рельс возрастает вдвое: Pн.п max = 1,62 тс. Особенно неблагоприятным с этой точки зрения являются неровности, возникающие при волнообразном износе рельсов. Неровности этого вида имеют длину 0,2 – 0,25 м при глубине 0,1 – 0,2 мм и при большой жесткости рельсового пути вызывают значительные динамические нагрузки. Чтобы оценить влияние колебаний локомотива на реализуемую им силу тяги, необходимо рассматривать его как часть связанной электромеханической системы «локомотив – железнодорожный путь». Отметим, что спектральный состав геометрических неровностей пути должен быть выбран таким образом, чтобы полностью перекрывался диапазон амплитуды и длины неровностей, замеряемых в испытаниях. Необходимо отметить работу профессора А. И. Беляева [22], в которой содержится материал о вероятностных характеристиках стохастических колебаний колесной пары тепловоза 2ТЭ10Л. Записи траекторий и ускорений букс были проведены на участках Московской и Южной железных дорог со скоростями движения до 100 км/ч в зимний и летний периоды года. Характеристика пути: длина рельса – 25 м, тип рельса – Р50 и Р65, шпалы деревянные и железобетонные – 1840 шт. на 1 км, балласт щебеночный – 18 – 25 см, состояние 177 пути хорошее. По найденным при различных скоростях движения тепловоза оценкам спектральной плотности ускорений букс определены зависимости параметров D, α и β от скорости движения V: а) для летнего периода года: рельсы – Р50, деревянные шпалы – D = ( 0,15 + 0,027V + 0,0012V 2 ) ⋅ 96,236; (6.92) β = 130 + 4V ; (6.93) рельсы – Р65, железобетонные шпалы – D = ( 0,16 + 0,035V + 0,0016V 2 ) ⋅ 96,236; (6.94) β = 170 + 5V; (6.95) б) для зимнего периода года: рельсы – Р50, деревянные шпалы – D = (0,30 + 0,054V + 0, 0024V 2 ) ⋅ 96, 236; (6.96) β = 260 + 8V; (6.97) рельсы – Р65, железобетонные шпалы – D = ( 0,36 + 0, 065V + 0,0028V 2 ) ⋅ 96, 236; (6.98) β = 310 + 10V; (6.99) Выражение для определения спектральной плотности имеет вид: αD α 2 + β 2 + ω2 S &&z (ω ,V ) = , π (α 2 + β 2 − ω 2 )2 + 4α 2ω 2 (6.100) где дисперсия ускорения D измеряется в м2/с4, а коэффициенты α и β – в с-1, скорость движения V – в км/ч; 178 при этом α = β /3. (6.101) На рис. 6.16 и 6.17 приведены графики спектральных плотностей ускорения букс тепловоза 2ТЭ10Л для летнего и зимнего периодов года. Параметр α во всех случаях был близок β/3. Для удовлетворительного и плохого состояния пути дисперсия виброускорений букс увеличивается соответственно в 1,7 и 2,8 раза. Абсолютный максимум виброускорений букс при скорости V = 80 км/ч на участках с хорошим состоянием пути достигает 15 g, с удовлетворительным – 20, с плохим – 25 g и более. Параметры экипажа тепловоза практически не оказывают влияния на вероятностные характеристики стохастических колебаний колесной пары в полосе частот 0,5 – 10 Гц и, напротив, существенно зависят от величины необрессоренной массы привода в полосе частот 10 – 100 Гц. Рис. 6.16. Спектральная плотность ускорения буксы тепловоза 2ТЭ10Л для летнего периода года и хорошего состояния пути Профессором А. И. Беляевым установлено, что параметр β равен собственной частоте колебаний необрессоренных масс на упругом рельсовом основании и его увеличение с ростом V свидетельствует о зависимости жесткости пути от скорости движения локомотива. Это утверждение близко к результа- 179 там, полученным профессором В. Ф. Ушкаловым [18] позднее. Кроме того, в работе [23] доказано, что колебание колесной пары в полосе частот 10 – 100 Гц складывается из двух движений – подпрыгивания и боковой качки. Дисперсии ускорения этих движений можно рассчитать по формулам:  L2k = D  &&z L2 + L2 D&&z б ;  k б  1 D = D&&z , && φ 2  Lk + L2б б (6.102) где Lk = 0,72 м, Lб = 1,2 м – половина расстояния между центрами катания бандажей и точками установки акселерометров на буксах. Рис. 6.17. Спектральная плотность ускорения буксы тепловоза 2ТЭ10Л для зимнего периода года и хорошего состояния пути Чтобы иметь возможность учитывать в расчетах состояние железнодорожного пути, введен коэффициент 1, если состояние пути хорошее;  K c = 1,7 – удовлетворительное;  2,8 – плохое.  Тогда выражение (6.100) можно переписать в виде: 180 (6.103) S &&z (ω , V ) = α DK c α 2 + β 2 + ω2 . π (α 2 + β 2 − ω 2 )2 + 4α 2ω 2 (6.104) Полученные зависимости крайне важны для теоретического исследования динамики тяговых приводов, так как позволяют пространственную модель заменить плоской. Рассмотрение представленных выше выражений для определения спектральных плотностей геометрических неровностей убеждает в том, что в настоящее время отсутствуют единые рекомендации для проведения динамических расчетов колебаний подвижного состава. К сожалению, не во всех источниках, использованных в данной работе, приведены значения всех необходимых параметров. При выборе выражения спектральной плотности будем рассчитывать на выполнение ряда условий. Любая динамическая система, на которую действует случайное внешнее возмущение, выделяет собственную частоту. Исходя из этого факта определим диапазон длины неровностей железнодорожного пути, полагая, что собственная частота колебаний колесной пары находится в пределах 15 ≤ f0 ≤ 30 Гц, а скорости движения поездов – 20 ≤ V ≤ 200 км/ч, тогда k0 = ω или f0 = V/3,6 Lн, следовательно, имеем Lн = V/(3,6f0). Вычисления по этой формуле дают: 0,19 ≤ Lн ≤ 3,7 м, что касается частотного спектра, то получим: 94,3 ≤ ω ≤ 1837,2 рад/с (15 ≤ f0 ≤ 30 Гц). Во-первых, спектральные плотности не должны иметь особенностей в начале координат, т. е. при нулевой частоте они не должны обращаться в бесконечность, и при стремлении частоты к бесконечности быть ограниченными. Таким образом, должен существовать несобственный интеграл от спектральной плотности, так как в природе не существует случайных процессов бесконечной мощности. Во-вторых, спектральная плотность должна давать возможность вычислять среднеквадратическое отклонение для динамической добавки давления колесной пары на рельсы в диапазоне частоты от 10 до 100 Гц. В табл. 6.1 представлены практически все известные выражения спектральных плотностей для геометрических неровностей на поверхности катания рельсов и даны краткие комментарии к ним. 181 Т а б л и ц а 6.1 Спектральные плотности, используемые в расчетах динамических качеств подвижного состава железных дорог Значения параметров Автор Примечание 1 2 3 4  αD  1 1 S (ω ) = +  2  2π  α + (ω + ω0 )2 α 2 + (ω − ω0 )2  D = 37,68∙10-6, м2 α = 0,072V, с-1 ω0 = 0,265V, с-1 lр = 12,5, м Профессор Л. О. Грачева [47] Состояние железнодорожного пути неизвестно AΩc2 S (ω ) = 2 (ω + Ω2r )(ω 2 + Ωc2 ) A = 5,9233∙10-7–1,5861∙10-6, рад∙м; Ωс = 0,8246, рад∙м-1; Ωr = 0,0206, рад∙м-1 П. Мейне, А. Микарек [25] 182 Спектральная плотность S (ω ) = 1 ⋅ 4π V ⋅ 108 1 ω    0,011 +  2π V   4 4 lg ω 2π V Профессор В. Ф. Ушкалов [1] Состояние железнодорожного пути неизвестно П р о д о л ж е н и е т а б л. 6.1 1 AF02 F12 S (F ) = 2 F + F02 F 2 + F12 ( )( S(F) = CF 2 ) −N 183  1 1 1 S% (ω ) =  2 +  π  α + (ω + β )2 α 2 + (ω − β )2  S (ω,V ) = C V2 ω2 +  αD  1 1 +   π α 2 + (ω + β )2 α 2 + (ω − β )2  F = ω/2πV = 1/λ 2,5 при F < 0,1 кол./м;  N = 3,0 при 0,1 ≤ F < 1 кол./м; 3,5 при 1 ≤ F < 5 кол./м  Нормированная спектральная плотность силовых неровностей для пути на железобетонных шпалах α = 0,575V, с-1 β = 2,24V, с-1 С = 1,6∙10-9, с α = 0,072V, с-1 β = 0,265V, с-1 D = 37,68∙10-6, м2 3 A. O. Гилхрист [26] 4 Параметры F0, F1 неизвестны З. Вейсхаупт [30] Состояние железнодорожного пути неизвестно. Параметр C неизвестен Дисперсия случайных неровностей неизвестна Профессор Л. О. Грачева [47] Профессор В. А. Камаев [4] Состояние железнодорожного пути неизвестно П р о д о л ж е н и е т а б л. 6.1 1 2 C0 = ( 33,6 + 3,57V )V ⋅10 , −6 S (ω,V ) = C0 ω + 4 C2 ω м2с-3рад-1 2 С2 = 8,9 ⋅10−9 Pст , м2с-1рад-3 3 Профессор В. Ф. Ушкалов [1] 4 Состояние железнодорожного пути неизвестно Профессор А. Н. Савоськин [9] 0 ≤ f ≤ 10 Гц Состояние железнодорожного пути неизвестно Профессор А. Н. Савоськин [9] 10 ≤ f ≤ 100, Гц Состояние железнодорожного пути неизвестно mп = 0 т жп = 366Pст + 131V , кН/м βп = 268,кН∙с/м, Pст,кН V,км/ч 1, если f < f1;  i =  2, если f1 ≤ f < f 2 ; 3, если f ≥ f 2  2 184 γi bV 1 i S ( f ,V ) = γ i + fi 2 π m aj j=1 j ∑α V e  f − l jV −  2α jV      2 f1 = e f2 = e S ( f ,V ) = 6V (1 + 3V ) (10 f ) 4 + 0,23 ⋅ 2 Pст 105 f 2 ln b1 −ln b2 +ln V γ1 −γ 2 ln b2 −ln b3 +ln V γ 2 −γ 3 V, км/ч Pст – нагрузка на ось, кН П р о д о л ж е н и е т а б л. 6.1 1 2 2  ω + βiV    − ω − βiV  8 −  D ai   2αiV  2α V S ( ω ,V ) = e +e  i   ∑  2π i =1 α iV    2 S ( Ω) = 3 ( 0,36 + 100Ω ) S (ω,V ) = 185 (α + β )V + ω α1VD ⋅ 2 π ω − (α12 + β12 )V 2  + 4α12V 2ω 2 2 1  2 1 2  2 2 α1 = 0,0138, м-1 β1 = 0,0285, м-1 3 Профессор А. С. Евстратов [44] Ω = ω/V, см-1 Профессор А. Я. Коган [46] Профессор Л. О. Грачева [47] α1 = 0,0138, м-1 β1 = 0,0285, м-1 4 Состояние железнодорожного пути неизвестно. Дисперсия случайных геометрических неровностей неизвестна П р о д о л ж е н и е т а б л. 6.1 1  ω  σ 1 cos 4π V 2V S ( ω ,V ) = 3  L  2  πV ω −   L  3 2  L 2V  + + 2 2   3π V   2  ω −     L   L 3σ 2 cos 186   ω ω   a cos L 3 b cos L 8π 2V 4  2 V 2 V  + + 2 L4  2  π V  2  3π V   2 ω −   ω −    L   L    ω 2 ∞  ∑ δ  ω − 2n n =0 αD α 2 + β 2 + ω2 S ( ω ,V ) = π (α 2 + β 2 − ω 2 )2 + 4α 2ω 2 2 Коэффициенты a и b даны для различных состояний железнодорожного пути, причем предлагается принять, что σ1 = a/3 и σ2 = b/3 3 Профессор Ю. М. Черкашин [53] 4 Для летнего периода года – D = 96, 236 ( 0,15 + 0,027V + Профессор А. И. Беляев [6] 10 ≤ f ≤ 100, Гц Рельсы – Р50, деревянные шпалы, балласт – щебень, состояние пути хорошее πV   L  +0,0012V 2 ) (м/с 2 ) 2 ; β = 130 + 4V , c-1; α = β / 3, c-1; для зимнего периода года D = ( 0,30 + 0,054V + +0,0024V 2 ) g 2 (м/с2 )2 ; β = 260 + 8V , c-1; α = β / 3, c-1 О к о н ч а н и е т а б л. 6.1 1 S (ω ) = S (ω ) = 2 0,312 ⋅10−6 α π α 2 + ω2 0,156 ⋅ 10 −6 α π 187 (Ω + ω 2 ) + 4α 2ω 2 2 η(t ) = A(ω)sin (ωt + ϕ ) A (ω ) = 2π bп e − ω 500 (1 + 0, 25rk ) − 50 V + V0 e ω ω+a 2  µ ∞ 3  Sξ (ω ) = 2  e f ( e ) de  δ (ω ) + ∫ 24 r −∞   ∞ 4 Профессор И. В. Бирюков [55] Профессор И. В. Бирюков [55] 0 ≤ f ≤ 50 Гц Состояние пути неизвестно Состояние железнодорожного пути неизвестно Параметры bп, rk, V0 и a определяются по формулам (46), (48) Профессор А. И. Беляев [6] Состояние железнодорожного пути задается К сожалению, автор работы [54] не приводит никаких конкретных данных о параметрах данного выражения Профессор А. Я. Коган [54] Состояние железнодорожного пути неизвестно Параметр α неизвестен Ω2 + ω 2 2 3 4 µV 5  e 1 ω + ⋅ 2 4 ∫ − sin π r ω −∞  2V ω 2V 2  e  de  Параметры α и Ω неизвестны 6.6. Математическая модель импульсного воздействия при прохождении колесной парой стыка В подразд. 6.5 рассматривались в качестве возмущающего фактора геометрические неровности на поверхности катания рельсов, при этом указывалось, что действие стыков не учитывается. Однако ускорение колесной пары при прохождении стыка во много раз больше, чем при движении в середине рельсового звена. Поэтому нужно уметь представлять в математической модели «экипаж – железнодорожный путь» рельсовые стыки. Форму стыковых неровностей описывают с помощью различных выражений. Остановимся лишь на некоторых из них, так, например, в работах [31, 45] используется такое выражение d  2 x  1 −  lн η ( x) = η ( x + lp ) =  2   lн  0, x > 2 λ   ,  x ≤ lн ; 2 (6.105) , здесь η(x) – текущая ордината стыковой неровности; λ – целочисленный показатель степени, принимаемый равным единице, двум или трем; x – абсцисса неровности, отсчитываемая от ее середины, во многих работах для описания стыковых неровностей применяют такое соотношение [59, 60]: d  2π x  lн  1 + cos , x ≤ ; 2 lн  2 η ( x) = η ( x + l p ) =   lн  0, x > 2 (6.106) или η ( x ) = de − 4 x 2 ln 2 x02 , (6.107) где x0 определяется из условия η(x0/2) = d/2 [61]. В работах [33, 88] дана спектральная плотность возмущений от периодической последовательности стыковых неровностей одинаковой формы со случайной длиной lн и случайной глубиной d: 188 ∞ 1  2 2π d 2 2π j   2 2 S (ω) = d + R ( ) − d R ( ) + R ( ) σ ω ω ω δ ω − ∑ ( l ) 0  , 1 1 2π T  T T  j =1  (6.108) здесь d и σl – математическое ожидание глубины и среднеквадратическое значение длины неровности; T = Lр/V; Lр – длина рельса; V – скорость движения ∞ ∞ 2 экипажа; R0 (ω ) = ∫ τ 2 H (ω ,τ ) f (τ ) dτ , R1 (ω ) = ∫τ H (ω ,τ ) f (τ )dτ , H(ω,τ) – пре2 образование Фурье возмущения от единичной неровности; f(τ) – закон распределения длительности возмущений от неровности; τ = lн / V. В работе [31] возмущение от стыков представлялось в виде периодически повторяющихся равноотстоящих импульсов одинаковой формы, но разной амплитуды и длительности. Далее было принято во внимание, что временной интервал υ0 между характерными точками соседних стыков велик по сравнению с длительностью τ0 импульса в стыке, а плотность вероятности амплитуды импульсов нормальная, в результате получено выражение спектральной плотности:  F (ω ,τ )  2π mη2 ∞ 2 S (ω ) = ( − n ) + δ ω ω σ  ∑ η , υ0 υ n =−∞  0  2 (6.109) где mη и ση – математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение стыковой неровности η, они зависят от состояния пути. Отметим, что для правильного их выбора необходимы трудоемкие исследования реальных характеристик пути; F (ω ,τ ) = Aτ 0 π 4ln 2 e − ω 2τ 02 16ln 2 – математическое изображение спектра неровности пути на стыке. Следует заметить, что значения mη и ση увеличиваются с уменьшением вертикальной жесткости пути и с ростом осевой нагрузки исследуемого подвижного состава. Возможно, что по мере износа стыков увеличивается mη, однако эта гипотеза требует опытной проверки. Значения τ0 и υ0 выражаются через характерные геометрические расстояния и скорость движения: 189  τ 0 =  υ =  0 L0 ; V Lр . V (6.110) В работе [73] стыковая неровность ξст(t) представляет собой ряд последовательных импульсов одинаковой периодичности и в первом приближении одинаковой формы, высота которых меняется согласно некоторому вероятностному распределению. Этот тип неровностей был исследован Х. Г. Халуповичем и независимо от него профессором А. Я. Коганом (далее будем опираться на результаты, полученные последним автором). Если форма одиночного импульса единичной высоты описывается функцией 0 при z ≤ −c;  2 −  1+ z  при − c ≤ z ≤ 0;   c  ξст ( z ) =  2   z −  1 − c  при 0 ≤ z ≤ c;  0 при c ≤ z , (6.111) то спектральная плотность этого процесса выражается равенством:  ω  16  V  Sст   =    V  π Lр  ωc  4  V ωc   c − sin  V   ω 2 ∞   ω 2π n  2 2 2 2π   < a > − < a > + < a > δ  − .  ∑  L V L n = р р    (6.112) В формуле (6.112) введены следующие обозначения: 2c – протяженность стыковой зоны; Lр – длина рельсового звена; a – высота импульса; – среднее значение величины a; – среднее значение квадрата величины a; δ(x) – дельта-функция Дирака. Представленные выше математические модели возмущения от стыков достаточно сложны и не имеют определенных значений для параметров, в них входящих. Но главное заключается не в этом. Дадим количественные оценки длительности импульса, зависящей от скорости экипажа и вычисляемой согласно методике, изложенной в работе [62], так: 190 τ= 0,54 , V (6.113) и периода собственных колебаний колесной пары на упругом железнодорожном пути: T0 = 2π m + mп = 2π . k0 жб + жп (6.114) Например, для скорости движения экипажа 60 км/ч τ = 0,009 с, а собственная частота k0 , как видно из формулы (4.103), от скорости V не зависит и находится в пределах 13 – 20 Гц, тогда T0 ≈ 0,05 – 0,077 с. Следовательно, выполняется критерий академика А. Н. Крылова (времена отличаются почти на порядок) и импульс, действующий на колесную пару при прохождении экипажем стыка, можно считать мгновенным. Форма импульса в данном случае не имеет значения, и ее можно не принимать во внимание. На основании многолетних экспериментальных исследований, проведенных сотрудниками кафедры «Взаимодействие подвижного состава и железнодорожного пути и динамика локомотивов», руководимой профессором М. П. Пахомовым, выполненных на железных дорогах Сибирского региона, профессором И. И. Галиевым была установлена корреляционная связь вида: (6.115) I = qV, здесь I – импульс, действующий на колесную пару при прохождении ею стыка; V – скорость движения локомотива; q – коэффициент пропорциональности, представленный в табл. 6.2. Т а б л и ц а 6.2 Значение коэффициента пропорциональности q в выражении (1.72) Коэффициент пропорциональности q Период года лето 0,344 зима 0,675 Заметим, что импульсное воздействие со стороны стыка на колесную пару зимой почти в два раза выше, чем летом. 191 В выражении (1.115) коэффициент пропорциональности не зависит от жесткости пути, необрессоренной массы экипажа и диссипативных характеристик системы. Поэтому воспользуемся результатами работы [75], в которой дано развитие идеи, предложенной учениками школы ученых-механиков профессора М. П. Пахомова. Импульс представим так: aq + bq1 3V I= , (1 + δ 2 )ω0 где q = mнg – неподрессоренный вес экипажа, тс; ω0 = (6.116) жб + жп – собственная mкп + mп частота колебаний колесной пары на упругом железнодорожном пути, 1/с; жб – жесткость буксового подвешивания, тс/м; жп – жесткость пути, тс/м; mк.п – масса колесной пары с учетом части массы тягового электродвигателя (ТЭД), тс⋅с2/м; mп – «приведенная» масса железнодорожного пути, тс⋅с2/м (которая является функцией времени); V – скорость движения локомотива, км/ч; δ – приведенный коэффициент относительного демпфирования, вычисляемый по формуβб + βп ле: δ = ; a и b – коэффициенты пропорциональности, их 2 ( жб + жп )( mк. п + mп ) значения приведены в табл. 6.3 для летних и зимних условий эксплуатации. Т а б л и ц а 6.3 Значения коэффициентов a и b регрессионного уравнения (1.116) Коэффициент пропорциональности a b Период года лето 2,21 0,138 зима 11,47 0,56 Размерность импульса при соблюдении единиц измерения всех величин, входящих в регрессионное уравнение (1.116), будет тс⋅с. 192 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Материал, изложенный в данной части учебного пособия, является теоретической базой курса «Механика подвижного состава». Здесь представлены основы теории колебаний механических систем, приведена методика формирования математических моделей, описывающих колебания подвижного состава и отдельных его узлов при различных видах возмущения. Раскрыта роль влияния значений упругих и диссипативных параметров системы рессорного подвешивания на показатели динамических качеств железнодорожного экипажа. Приведены сведения из теории случайных процессов. Изложены основы операционного исчисления, позволяющего существенно упростить решение задачи исследования динамических колебательных процессов при действии случайного внешнего возмущения на механическую систему. Дано описание неровностей пути и приведена их классификация, что позволит в дальнейшем провести исследования динамических свойств железнодорожных экипажей (локомотивов, вагонов) и их отдельных узлов. Библиографический список 1. В е р и г о М. Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава/ М. Ф. В е р и г о, А. Я. К о г а н. М.: Транспорт, 1986. 559 с. 2. М е д е л ь В. Б. Проектирование механической части электроподвижного состава / В. Б. М е д е л ь. М.: Трансжелдориздат, 1963. 414 с. 3. В и т т е н б у р г Й. Динамика систем твердых тел / Й. В и т т е н б у р г. М.: Мир, 1980. 294 с. 4. Г а н и е в Р. Ф. Колебания твердых тел/ Р. Ф. Г а н и е в, В. О. К о н о н е н к о. М.: Наука, 1976. 432 с. 5. Н и к о л а е в В. А. Разработка методов аналитического конструирования квазиинвариантных систем рессорного подвешивания железнодорожных экипажей: Дис… докт. техн. наук. Омск, 2003. 362 с. 193 6. Г а н и е в Р. Ф. Об особенностях пространственной неустойчивости движения твердого тела при почти периодических воздействиях / Р. Ф. Г а н и е в // Труды семинара по динамике / Институт механики АН УССР. Киев 1969. 7. Г а н и е в Р. Ф. Нелинейные пространственные колебания твердых и упругих тел. Дис… докт. физ.-мат. наук. Киев, 1969. 8. Г а н и е в Р. Ф. Резонансные явления при нелинейных колебаниях твердых тел/ Р.Ф. Г а н и е в // Прикладная механика. 1972. Т. VIII. Вып. 12. 9. Г а н и е в Р. Ф. О нелинейных колебаниях твердого тела, несущего вращающий ротор / Р. Ф. Г а н и е в, В. О. К о н о н е н к о // Известия АН СССР. Механика. 1965. № 5. 10. Г а н и е в Р. Ф. Нелинейные пространственные колебания твердого тела на упругих опорах/ Р. Ф. Г а н и е в, В. О. К о н о н е н к о // Труды семинара по динамике / Институт механики АН УССР. Киев, 1967. 11. Г а н и е в Р. Ф. Нелинейные колебания твердого тела, несущего вращающийся ротор/ Р. Ф. Г а н и е в, В. О. К о н о н е н к о // Известия АН СССР. Машиноведение. 1968. № 3. 12. К о н о н е н к о В. О. О колебаниях твердого тела около центра масс/ В. О. К о н о н е н к о // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1954. № 4. 13. К о н о н е н к о В. О. Пространственные нелинейные колебания твердых тел / В. О. К о н о н е н к о // Прикладная механика. 1969. Т. V. Вып. 2. 14. К о н о н е н к о В. О. О влиянии вибрирующего основания на устойчивость колебаний твердого тела / В. О . К о н о н е н к о, Р. Ф. Г а н и е в // Прикладная механика. 1967. Т. III. Вып. 7. 15. К о н о н е н к о В. О. Нелинейные колебания твердых и упругих тел/ В. О. К о н о н е н к о, Р. Ф. Г а н и е в // Тезисы докл. всесоюз. конф. по проблеме колебаний механических систем. Киев: Наукова думка, 1968. 16. К о н о н е н к о В. О. Нелинейные резонансные явления в системах с вращающимися частями/ В. О. К о н о н е н к о , Р. Ф. Г а н и е в // Труды V междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Киев: Наукова думка, 1970. Т. III. 17. Г а н и е в Р. Ф. Определение амплитуд при колебаниях твердого тела около центра масс / Р. Ф. Г а н и е в // Известия АН СССР. Механика. 1965. № 2. 194 18. Г а н и е в Р. Ф. О фазовых портретах при нелинейных пространственных колебаниях твердого тела / Р. Ф. Г а н и е в // Труды семинара по динамике / Институт механики АН УССР. Киев, 1969. 19. Г а н и е в Р. Ф. Определение амплитуд при пространственных колебаниях твердого тела в случае одночастотных резонансов / Р. Ф. Г а н и е в, В. О. К о н о н е н к о // Труды семинара по динамике / Институт механики АН УССР. Киев, 1967. 20. Г а н и е в Р. Ф. О нелинейных резонансах при пространственных колебаниях твердого тела/ Р. Ф. Г а н и е в, В. О. К о н о н е н к о // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1967. № 4. 21. Г о л ь д е н б л а т И. И. Современные проблемы колебаний и устойчивости инженерных сооружений / И. И. Г о л ь д е н б л а т. М.: Стройиздат, 1947. 22. М а н д е л ь ш т а м Л. И. Полное собрание трудов / Л. И. М а н д е л ь ш т а м / АН СССР. М., 1947. Т. II. 23. М а н д е л ь ш т а м Л. И. Полное собрание трудов / Л. И. М а н д е л ь ш т а м / АН СССР. М., 1950. Т. III. 24. М а н д е л ь ш т а м Л. И. Полное собрание трудов / Л. И. М а н д е л ь ш т а м / АН СССР. М., 1955. Т. IV. 25. К о н о н е н к о В. О. Связанные изгибно-крутильные колебания / В. О. К о н о н е н к о // Поперечные колебания и критические скорости / АН СССР. М., 1954. 26. Б о л о т и н В. В. Об одной механической модели, описывающей взаимодействия параметрических и вынужденных колебаний / В. В. Б о л о т и н // Труды / МЭИ. М., 1959. Вып. 32. 27. П у с т Л. Влияние нелинейной характеристики пружин на колебание фундаментов машин / Л. П у с т // Труды II всесоюз. совещания по основным проблемам теории машин и механизмов. М.: Машгиз, 1960. 28. К у ш у л ь М. Я. Об устойчивости вынужденных крутильных колебаний несимметричного твердого тела на упругих связях / М. Я. К у ш у л ь, Г. И. А н и к е е в // Колебания и прочность при переменных напряжениях. М.: Наука, 1965. 195 29. Д о б ы ч и н И. А. Основы нелинейной механики рельсовых экипажей / И. А. Д о б ы ч и н, А. В. С м о л ь я н и н о в, А. Э. П а в л ю к о в / Межотраслевой региональный центр. Екатеринбург, 1999. 265 с. 30. Г а л и е в И. И. Методы и средства виброзащиты железнодорожных экипажей / И. И. Г а л и е в, В. А. Н е х а е в, В. А. Н и к о л а е в / Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте. М., 2010. 340 с. 31. К а м а е в В. А. Оптимизация параметров ходовых частей железнодорожного подвижного состава / В. А. К а м а е в. М.: Машиностроение, 1980. 215 с. 32. Р а б и н о в и ч М. И. Введение в теорию колебаний и волн: Учебное пособие/ М. И. Р а б и н о в и ч, Д. И. Т р у б е ц к о в. М.: Наука, 1984. 432 с. 33. У ш к а л о в В. Ф. Статистическая динамика рельсовых экипажей/ В. Ф. У ш к а л о в, Л. М. Р е з н и к о в, С. Ф. Р е д ь к о; Под ред. В. Ф. У ш к а л о в а. Киев: Наукова думка, 1982. 360 с. 34. В е р ш и н с к и й С. В. Динамика вагонов / С. В. В е р ш и н с к и й, В. Н. Д а н и л о в, И. И. Ч е л н о к о в. М.: Транспорт, 1972. 304 с. 35. У ш к а л о в В. Ф. Случайные колебания колесных экипажей, движущихся по жесткому основанию со случайными неровностями / В. Ф. У ш к а л о в // Вестник ВНИИЖТа. 1971. № 6. С. 5 – 9. 36. Г а л и е в И. И. Метод разделения движения в задачах транспортной механики / И. И. Г а л и е в, В. А. Н е х а е в, В. В. М а р к о в и ч е н к о // Исследование динамики транспортных и строительных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. / МИИТ. М., 1989. Вып. 817. С. 4 – 10. 37. Б е л я е в А. И. Вероятностные характеристики стохастических колебаний колесной пары тепловоза 2ТЭ10Л / А. И. Б е л я е в, В. К. Б е л о в // Вестник ВНИИЖТа. 1971. № 1. С. 36 – 40. 38. Б и р ю к о в И. В. Методика исследования динамики тяговых приводов электроподвижного состава при сложном спектре возмущения / И. В. Б и р ю к о в , Е. К. Р ы б н и к о в // Науч. тр. / МИИТ. М., 1971. Вып. 374. С. 3 – 35. 39. Тяговые передачи электроподвижного состава железных дорог / И. В. Б и р ю к о в , А. И. Б е л я е в и др. М.: Транспорт, 1986. 256 с. 196 40. Механическая часть тягового подвижного состава / Под ред. И. В. Б и р ю к о в а. М.: Транспорт, 1992. 440 с. 41. В е р и г о М. Ф. К вопросу о процессах взаимодействия неподрессоренных масс и пути/ М. Ф. В е р и г о // Вестник ВНИИЖТа. 1969. № 6. С. 22 – 25. 42. Г р а ч е в а Л. О. Взаимодействие вагонов и железнодорожного пути / Л. О. Г р а ч е в а // Науч. тр. / ВНИИЖТ. М., 1968. Вып. 356. 207 с. 43. Исследования динамики и прочности вагонов / Под ред. С. И. Соколова. М.: Машиностроение, 1976. 224 с. 44. К а з е й И. И. Траектория движения колеса по рельсовому пути со стыками / И. И. К а з е й // Техника железных дорог. 1947. № 2. С. 15 – 18. 45. К а м а е в В. А. К вопросу оптимизации параметров подвешивания вагонов на пневморессорах / В. А. К а м а е в // Науч. тр. / БИТМ. М., 1976. Вып. 26. С. 39 –44. 46. Исследования по выбору статического прогиба и демпфирования рессорного подвешивания / Н. И. Гр и г о р ь е в , Л. К. До б р ы н и н и др. // Науч. тр. / ВНИТИ. Коломна, 1968. Вып. 31. С. 3 – 33. 47. М а ц у д а й р а Т. Предел повышения скоростей движения поездов / Т. М а ц у д а й р а // Ежемесячный бюллетень междунар. ассоциации железнодорожных конгрессов. 1967. № 12. С. 19 – 24. 48. К о г а н А. Я. Вертикальные динамические силы, действующие на железнодорожный путь / А. Я. К о г а н // Науч. тр. / ВНИИЖТ. М., 1969. Вып. 402. 206 с. 49. К у д р я в ц е в Н. Н. Исследование динамики необрессоренных масс вагонов / Н. Н. К у д р я в ц е в // Науч. тр. / ВНИИЖТ. М., 1965. Вып. 287. 168 с. 50. К у д р я в ц е в Н. Н. Корреляционно-спектральный анализ вертикальных ускорений, зарегистрированных на буксе пассажирского вагона / Н. Н. К у д р я в ц е в // Вестник ВНИИЖТа. 1972. № 5. С. 16 – 20. 51. К у л а г и н М. И. Волнообразный износ рельсов / М. И. К у л а г и н , Э. И. К а ц, В. Н. Т ю р и к о в. М.: Транспорт, 1970. 144 с. 52. Измерение динамического профиля пути / В. А. Л а з а р я н, М. Л. М а н а ш к и н и др. // Некоторые задачи механики скоростного транспорта. Киев: Наукова думка, 1970. С. 88 – 94. 197 53. Х а р и н Д. А. Некоторые результаты исследований вертикальных траекторий колеса / Д. А. Х а р и н, А. Н. С а в о с ь к и н, Л. В. Г о й х м а н // Науч. тр. / МИИТ. М., 1964. Вып. 296. С. 143 – 157. 54. Я к о в л е в В. Ф. Геометрические неровности рельсовых нитей / В. Ф. Я к о в л е в, И. И. С е м е н о в // Науч. тр. / ЛИИЖТ. Л., 1964. Вып. 222. С. 29 – 67. 55. М е й н е П. Конструирование тележек высокоскоростного рельсового подвижного состава / П. М е й н е, А. М и л к а р е к // Динамика высокоскоростного транспорта. М.: Транспорт, 1988. С. 155 – 173. 56. В е й с х а у п т З. Экспериментальные исследования подвижного состава и пути с помощью спектрального анализа / З. В е й с х а у п т / Центр. науч.-исследоват. ин-т техн.-эконом. исследований. Сер. Локомотивостроение и вагоностроение. М., 1973. № 2. С. 13 – 21. 57. Математическое моделирование колебаний рельсовых транспортных средств / Под ред. В. Ф. У ш к а л о в а. Киев: Наукова думка, 1989. 240 с. 58. К р а ч к о в с к и й В. П. Динамическое воздействие нагрузки на железнодорожный путь / В. П. К р а ч к о в с к и й / / Науч. тр. / МИИТ. М., 1937. Вып. 54. С. 42 – 125. 59. Л а з а р я н В. А. Дифференциальные уравнения движения четырехосного вагона по изолированной неровности пути / В. А. Л а з а р я н // Науч. тр. / Днепропетровский ин-т инж. ж.-д. трансп. Днепропетровск, 1963. Вып. 41. С. 3 – 9. 60. Т и м о ш е н к о С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Т и м о ш е н к о . М.: Наука, 1967. 444 с. 61. Х а р к е в и ч А. А. Спектры и анализ / А. А. Х а р к е в и ч . М.: Физматгиз, 1962. 236 с. 62. Л е в и н Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б. Р. Л е в и н . М.: Советское радио, 1969. Кн. 1. 752 с. 63. П а х о м о в М. П. Оценка уровня импульсного воздействия рельсовых стыков на колесо локомотива / М. П. П а х о м о в, Н. П. Б у й н о в а, И. И. Г а л и е в // Взаимодействие подвижного состава и пути, динамика локомотивов: Науч. тр. / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1971. Т. 128. С. 9 – 16. 198 64. С о к о л о в М. М. Динамическая нагруженность вагона / М. М. С о к о л о в, В. Д. Х у с и д о в, Ю. Г. М и н к и н. М.: Транспорт, 1981. 207 с. 65. Влияние параметров пути и тележки на силы взаимодействия / В. А. Л а з а р я н, Р. С. Л и п о в с к и й и др. // Науч. тр. / Днепропетровский ин-т инж. трансп. Днепропетровск, 1968. Вып. 68. С. 22 – 28. 66. Конструкция и динамика тепловозов / Под ред. В. Н. И в а н о в а. М.: Транспорт, 1974. 336 с. 67. Е в с т р а т о в А. С. Экипажные части тепловозов / А. С. Е в с т р а т о в. М.: Машиностроение, 1987. 136 с. 68. К у д р я в ц е в Н. Н. Определение вертикальных возмущений, вызывающих колебания обрессоренных частей вагона при движении по рельсовому пути / Н. Н. К у д р я в ц е в , В. Н. Б е л о у с о в , Г. П. Б у р ч а к // Вестник ВНИИЖТа. М., 1982. Вып. 5. С. 3 – 9. 69. К о г а н А. Я. Расчеты железнодорожного пути на вертикальную нагрузку / А. Я. К о г а н // Науч. тр. / ВНИИЖТ. М.,1973. Вып. 502. 243 с. 70. Г р а ч е в а Л. О. Взаимодействие вагонов и железнодорожного пути (вынужденные колебания) / Л. О. Г р а ч е в а // Науч. тр. / ВНИИЖТ. М., 1968. Вып. 356. 208 с. 71. В е р и г о М. Ф. Вертикальные силы, действующие на путь при прохождении подвижного состава / М. Ф. В е р и г о // Взаимодействие пути и подвижного состава и вопросы расчетов пути: Науч. тр. / ВНИИЖТ. М.: Трансжелдориздат, 1955. Вып. 97. С. 25 – 28. 72. К о г а н А. Я. Вертикальные динамические силы, действующие на путь: Автореф. дис… доктора техн. наук. Новосибирск, 1972. 40 с. 7 3 . C o r b i n J. C. Classifying track by power spectral density / J. C. C o r b i n , W. M. K a u f m a n / / Mech. Tranportat. Syst. ASME. 1975. Р. 1 – 20. 74. Б и р ю к о в И. В. Прогнозирование динамических свойств тяговых приводов электрического подвижного состава: Автореф. дис… доктора техн. наук. М., 1974. 34 с. 75. Ш е в ч е н к о В. Я. Виброзащита локомотива от случайного ударного воздействия комбинированным подвешиванием с использованием пневматических рессор: Дис… канд. техн. наук. Омск, 1987. 172 с. 199 76. В е р и г о М. Ф. Определение динамической жесткости пути / М. Ф. В е р и г о // Техника железных дорог. 1949. № 2. С. 23, 24. 77. Ф р и ш м а н М. А. Ещё раз об определении модуля упругости подрельсового основания / М. А. Ф р и ш м а н, И. С. Л е в а н к о в // Труды / Днепропетровский ин-т инж. трансп. Днепропетровск, 1965. Вып. 57. С. 4 – 8. 78. Некоторые результаты экспериментального определения жесткости пути / Л. Я. В о р о б е й ч и к, В. П. Г н а т е н к о и др. // Труды / Днепропетровский ин-т инж. трансп. Днепропетровск, 1974. Вып. 148. С. 9 – 16. 79. Н е х а е в В. А. Взаимодействие экипажа с квазиинвариантным подвешиванием и неравноупругого по протяженности железнодорожного пути: Дис… канд. техн. наук. Омск, 1983. 215 с. 80. Динамические исследования пути и корректировка правил расчетов железнодорожного пути на прочность / Под ред. М. Ф. В е р и г о // Труды / ВНИИЖТ. М., 1972. Вып. 466. 192 с. 81. Определение расчетных параметров пути в вертикальной и горизонтальной плоскостях с помощью вибромашины / В. Ф. Я к о в л е в, И. И. С е м е н о в и др. // Труды / ЛИИЖТ. Л., 1971. Вып. 323. С. 66 – 85. 82. Б е н д а т Д ж. Прикладной анализ случайных данных / Д ж. Б е н д а т, А. П и р с о л. М.: Мир, 1989. 540 с. 83. Ш а х у н я н ц Г. М. Железнодорожный путь / Г. М. Ш а х у н я н ц. М.: Трансжелдориздат, 1969. 535 с. 84. Л о с е в Д. Н. Подводя итоги года / Д. Н. Л о с е в // Вагоны и вагонное хозяйство. 2010. №1. С. 2. 85. Виброзащитные конструкции для транспортных тоннелей и метрополитенов / Н. И. К а р п у щ е н к о, А. В. Я к о в л е в и др. Новосибирск: Наука, 2011. 200 с. 86. Руководящий документ РД 32.68-96. Расчетные неровности железнодорожного пути для использования при исследованиях и проектировании пассажирских и грузовых вагонов / МПС России. М., 1996. 17 с. 87. К о б р и н с к и й А. Е. Механизмы с упругими связями / А. Е К о б р и н с к и й. М.: Наука, 1964. 390 с. 88. Л е в и н Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б. Р. Л е в и н. М.: Советское радио, 1969. 752 с. 200 89. В е р и г о М. Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава в кривых малого радиуса и борьба с боковым износом рельсов / М. Ф. В е р и г о / МПС России. М., 1997. 207 с. 90. Д и т к и н В. А. Справочник по операционному исчислению / В. А. Д и т к и н, П. И. К у з н е ц о в. М.: Гостехиздат, 1951. 91. Л у р ь е А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики / А. И. Л у р ь е. М.: Гостехиздат, 1951. 92. Д и т к и н В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Д и т к и н, А. П. П р у д н и к о в. М.: Физматгиз, 1961. 201 Учебное издание ГАЛИЕВ Ильхам Исламович, НЕХАЕВ Виктор Алексеевич, НИКОЛАЕВ Виктор Александрович, УШАК Виктор Николаевич ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА Учебное пособие Часть 1 _____________________________________ Редактор Н. А. Майорова *** Подписано в печать . 02. 2013. Формат 60 × 84⅟16. Офсетная печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 12,5. Уч.-изд. л. 14,0. Тираж 100 экз. Заказ . ** Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа Типография ОмГУПСа * 644046, г. Омск, пр. Маркса, 35