Основы математического моделирования. Понятие эксперимента в строительстве.

1. Основы математического моделирования. Понятие эксперимента в строительстве Лекции Исторический обзор В практической деятельности человека математика используется очень давно. На протяжении многих веков применялись геометрия и алгебра для разнообразных хозяйственных вычислений и измерений. Хотя развитие математики долгое время определялось в основном потребностями естественных наук и внутренней логикой самой математики, применение математических методов в экономике имеет также богатое прошлое. Родоначальник классической политической экономии В.Петти (1623-1687) писал в предисловии к своей "Политической арифметике": "...вместо того, чтобы употреблять слова только в сравнительной и превосходной степени и прибегать к умозрительным аргументам, я вступил на путь выражения своих мнений на языке чисел, весов и мер..." (Петти В. Экономические и статистические работы. М., Соцэкгиз, 1940, с. 156). Первая в мире модель народного хозяйства была создана французским ученым Ф.Кенэ (1694-1774). В 1758 г. он опубликовал первый вариант своей знаменитой "Экономической таблицы", получившей название "зигзаг"; второй вариант - "арифметическая формула" - был опубликован в 1766 году. "Эта попытка, - писал К.Маркс о таблице Ф.Кенэ, - сделанная во второй трети XVIII века, в период детства политической экономии, была в высшей степени гениальной идеей, бесспорно самой гениальной из всех, какие только выдвинула до сего времени политическая экономия". (Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е, т.26, ч.1, с.345). "Экономическая таблица" Ф.Кенэ представляет собой схему (гра-фико-числовую модель) процесса общественного воспроизводства, из которой он делает вывод, что нормальный ход общественного воспроизводства может осуществляться только при соблюдении определенных оптимальных материальновещественных пропорций. Значительное влияние на развитие методологии экономико-математических исследований оказали труды К.Маркса. Его "Капитал" содержит немало примеров использования математических методов: обстоятельный параметрический анализ формулы средней прибыли; уравнения, связывающие абсолютную, дифференциальную и суммарную ренту; математическая формулировка соотношения стоимости и производительности труда (стоимость прямо пропорциональна производительной силе труда), законы массы прибавочной стоимости и денежного обращения, условия формирования цены производства и т.д. П.Лафарг в воспоминаниях о К.Марксе писал: "В высшей математике он находил диалектическое движение в его наиболее логичной и в то же время простейшей форме. Он считал также, что наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой". (Воспоминания о Марксе и Энгельсе. М., Госполитиздат, 1956, с.66). В рамках буржуазной экономической науки XIX XX исков можно выделить три основных этапа развития экономико- математических исследований: математическая школа в политэкономии, статистическое направление, эконометрика. Представители математической школы считали, что обосновать положения экономической теории можно только математически, а все выводы, полученные иными способами, могут приниматься и лучшем случае в качестве научных гипотез. Родоначальником математической школы является французский ученый, выдающийся математик, философ, историк и эко- номист О.Курно (1801-1877), выпустивший в 1838 г. книгу "Исследование математических принципов теории богатства". Виднейшими представителями математической школы были: Г.Госсен (1810-1858), Л.Вальрас (1834-1910), У.Джевонс (1835- 1882), Ф.Эджворт (18451926), В.Парето (1848-1923), В.Дмитриев (1868-1913). В целом эта школа относится к субъекти- вистскому направлению буржуазной политэкономии, идеологические и методологические принципы которого неоднократно подвергались критике со стороны ученых-марксистов. Вместе с тем, математическая школа показала большие возможности применения математического моделирования. Представители математической школы выдвинули и пытались раз-вить ряд важных теоретических подходов и принципов: понятие экономического оптимума; применение показателей затрат и предельных эффектов в рациональном хозяйствовании; взаимосвязанность проблем ценообразования и общей пропорциональности народного хозяйства. И современную экономическую науку вошли и широко в ней используются понятия кривых безразличия и ядра экономической системы Ф.Эджворта, понятие многоцелевого оптимума В.Парето, модель общего экономического равновесия Л.Вальраса, формула исчисления полных затрат труда и других ресурсов В.Дмитриева. Статистическое направление (статистическая экономика), возникшее на пороге XX века, представляли собой, с точки зрения методологии исследования, прямую противоположность математической школе. Стремление использовать эмпирический материал, конкретные экономические факты было несомненно прогрессивным явлением. Идеологи статистической экономики, провозгласив тезис: "наука есть измерение", впадали в другую крайность, пренебрегая теоретическим анализом. В рамках статистического направления было разработано большое количество "математико-статистических моделей" экономических явлений, используемых в основном для краткосрочного прогнозирования. Гарвардская и другие подобные модели, построенные во многих капстранах, носили экстраполяционный характер и не вскрывали глубинных факторов экономики. Поэтому на протяжении ряда лет после первой мировой войны, в период экономической стабилизации, они хотя и хорошо предсказывали "экономическую погоду", но "не заметили" приближения крупнейшего в истории капитализма экономического кризиса 1929-1932 гг. Крах на Нью-Йоркской бирже осенью 1929 г. означал одновременно и закат статистического направления в экономико-математических исследованиях. Заслугой статистического направления является разработка методических вопросов обработки экономических данных, статистических обобщений и статистического анализа (выравнивание динамических рядов и их экстраполяция, выделение сезонных и циклических колебаний, факторный анализ, корреляционный и регрессионный анализ, проверка статис- тических гипотез и т.д.). На смену статистического направления пришла эконометрика, которая пытается соединить достоинства математической школы и статистической экономики. Термин эконометрика (или эконометрия) для обозначения нового направления в экономической науке ввел норвежский ученый Р.Фриш (1895-1973), провозгласивший, что экономика есть синтез экономической теории, математики и статистики. Эконометрика является наиболее быстро развивающейся областью буржуазной экономической науки. Трудно указать такие теоретические и практические проблемы капиталистической экономики, в решении которых в настоящее время не применялись бы математические методы и модели. Математическое моделирование стало наиболее престижным направлением в экономической науке Запада. Не случайно с момента учреждения Нобелевских премий по экономике (1969 г.) они присуждаются, как правило, за экономикоматематические исследования. Среди Нобелевских лауреатов виднейшие эконометрики: Р.Фриш, Я.Тинберген, П.Самуэльсон, Д.Хис, В.Леонтьев, Т.Купманс, К.Эрроу. Развитие моделирования в России Значителен вклад ученых России в развитие экономико-математических исследований. В 1867 году в журнале "Отечественные записки" была опубликована заметка об эффективности применения математических методов к изучению экономических явлений. В русских изданиях критически анализировались работы Курно, Вальраса, Парето и других западных экономистов-математиков. С конца XIX века появляются оригинальные экономико-математические исследования русских ученых: В.К.Дмитриева, В.И.Борткевича, В.С. Войтинского, М.Оржнецкого, В.В.Самсонова, Н.А.Столярова, Н.Н.Шапошникова. Интересные работы по применению методов математической статистики, в частности по корреляционному анализу экономических явлений, выполнял А.А.Чупров (1874-1926). Наиболее крупным экономистом-математиком дореволюционной России был В.К.Дмитриев (1868-1913). Его первая известная работа "Теория ценности Д.Рикардо. Опыт органического синтеза трудовой ценности и теории предельной полезности" была опубликована в 1898 г. Основной труд В.К.Дмитриева "Экономические очерки" вышел в 1904 году и состоял в разработке модели полных затрат труда и сбалансированных цен в виде системы линейных уравнений с технологическими коэффициентами. "Формула В.К.Дмитриева" спустя несколько десятков лет нашла широкое применение в моделировании межотраслевых связей в СССР и за рубежом. Широко известен своими работами по теории вероятности и математической статистике Е.Е.Слуцкий (1880-1948). В 1915 г. он опубликовал в итальянском журнале "Giornalе degli есоnomisti e rivista di statistica", № 1 статью "К теории сбалансированности бюджета потреби геля", оказавшую большое влияние на экономико-математическую теорию. Спустя 20 лет, эта статья получила мировое признание. Лауреат Нобелевской премии Д.Хикс в книге "Стоимость и капитал" (1939) писал, что Е.Е.Слуцкий был первым экономистом, сделавшим значительный шаг вперед по сравнению с классиками математической школы. Д.Хикс оценивал свою книгу как первое систематическое исследование той теории, которую от- крыл Е.Е.Слуцкий". (Нicks I.R. Vа1uе аnd сар-ital. Охford, 1946, р. 10). Английский экономист-математик Р.Аллен, автор известной книги "Математическая экономия", отмечал в журнале "Эконометрика", что работы Слуцкого оказали "великое и прочное влияние на развитие эконометрики". Е.Е.Слуцкий является одним из родоначальников праксеологии (науки о принципах рациональной деятельности людей) и первым, кто ввел праксеологию в экономическую науку. Большое значение в становлении экономической науки, создании общегосударственной системы учета, планирования и управления имели научные труды и практическая деятельность В.И.Ленина (1870-1924). Работы В.И.Ленина определили главные принципы и проблемы исследований по моделированию социалистической экономики. В 20-е годы экономико-математические исследования в СССР проводились в основном по двум направлениям: моделирование процесса расширенного воспроизводства и применение методов математической статистики в изучении хозяйственной конъюнктуры и в прогнозировании. Одним из первых советских специалистов в области экономико-ма-тематических исследований являлся А.А.Конюс, опубликовавший в1924 году по данной теме статью "Проблема истинного индекса стоимости жизни" ("Экономический бюллетень конъюнктурного института", 1924, № 11-12). Свои основные идеи по моделированию социалистической экономики он изложил в двух статьях, опубликованных в журнале "Плановое хозяйство" в 1928-1929 гг. Статьи Г.А.Фельдмана намного опередили работы западных экономистов по макроэкономическим динамическим моделям и в еще большей степени по двухсекторным моделям экономического роста. За рубежом эти статьи были "открыты" только в 1964 году и вызвали огромный интерес. В 1938-1939 гг. ленинградский математик и экономист Л.В.Канторович в результате анализа ряда проблем организации и планирования производства сформулировал новый класс условно-экстремальных задач с ограничениями в виде неравенств и предложил методы их решения. Эта новая область прикладной математики позже получила название "ли-нейное программирование". Л.В.Канторович (1912-1986) является одним из создателей теории оптимального планирования и управления народным хозяйством, теории оптимального использования сырьевых ресурсов. В 1975 году Л.В.Канторовичу совместно с американским ученым Т.Купмансом была присуждена Нобелевская премия за исследования по оптимальному использованию ресурсов. Большой вклад в использование экономико-математических методов внесли: экономист Новожилов В.В. (1892-1970) - в области соизмерения затрат и результатов в народном хозяйстве; экономист и статистик Немчинов В.С. (1894-1964) - в вопросах экономико-математического моделирования планового хозяйства; экономист Федоренко Н.П. - при решении про- блем оптимального функционирования экономики страны, применении математических методов и ЭВМ в планировании и управлении, а также многие другие видные российские экономисты и математики. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ ПРИ ОРГАНИЗАЦИИ, ПЛАНИРОВАНИИ И УПРАВЛЕНИИ СТРОИТЕЛЬСТВОМ Роль технико-экономических расчетов для анализа и прогнозирования деятельности, планирования и управления строительными системами значительна, причем узловыми среди них являются вопросы выбора оптимальных решений. При этом решение представляет собой выбор параметров, характеризующих организацию определенного мероприятия, причем этот выбор почти полностью зависит от лица, принимающего решение. Решения могут быть удачными или неудачными, обоснованными и неразумными. Практику, как правило, интересуют решения оптимальные, т.е. такие, которые являются по тем или иным причинам предпочтительнее, лучше, чем другие. Выбор оптимальных решений особенно в сложных вероятностных динамических системах, к которым относятся строительные системы, немыслим без широкого применения математических методов решения экстремальных задач и средств вычислительной техники. Сооружение любого строительного объекта происходит путем выполнения в определенной последовательности большого количества разноплановых работ. Для выполнения любого вида работ требуется определенный набор материалов, машин, средств малой механизации, людских ресурсов, организационного обеспечения и т.д. и т.п. Причем зачастую количество и качество выделяемых ресурсов определяет длительность выполнения этих работ. Распределяя правильно (или, как принято говорить, "оптимально") ресурсы, можно влиять на качество, сроки, стоимость строительства, производительность труда. Далее приводится систематизация основных организационных задач, возникающих в практической деятельности инженеров-строителей. Задачи распределения Задачи распределения в общем случае возникают тогда, когда существует ряд работ, подлежащих выполнению, и требуется выбрать наиболее эффективное распределение ресурсов и работ. Задачи этого типа можно разделить на три основных группы. Задачи распределения первой группы характеризуются следующими условиями. 1.Существует ряд операций, которые должны быть выполнены. 2.Имеется достаточное количество ресурсов для выполнения всех операций. 3.Некоторые операции можно выполнять различными способами, с использованием различных ресурсов, их комбинаций, количества. 4.Некоторые способы выполнения операций лучше других (более дешевые, более прибыльные, требующие меньше затрат времени и т.д.). 5.Тем не менее, имеющееся количество ресурсов недостаточно для выполнения каждой операции оптимальным способом. Задача заключается в том, чтобы найти такое распределение ресурсов по операциям, при котором достигается максимальная общая эффективность системы. Например, могут минимизироваться суммарные затраты или максимизироваться общая прибыль. Вторая группа задач возникает, когда наличных ресурсов не хватает для выполнения всех возможных операций. В этих случаях приходится выбирать операции, которые должны быть выполнены, а также определять способ их выполнения. Задачи третьей группы возникают тогда, когда имеется возможность регулировать количество ресурсов, те. определять, какие ресурсы следует добавить, а от каких целесообразно отказаться. Большинство задач такого рода решается в целях оптимизации строительных и технологических процессов. Основное средство их анализа - модели математического программирования, сетевые графики. Задачи замены Задачи замены связаны с прогнозированием замены оборудования в связи с их физическим или моральным износом. Различают два типа задач замены. В задачах первого типа рассматриваются объекты, некоторые характеристики которых ухудшаются в процессе их эксплуатации, но сами они полностью выходят из строя через довольно продолжительное время, выполнив значительный объем работы. Чем дольше эксплуатируется подобного рода объект без профилактики или капитального ремонта, тем менее эффективной становится его работа, повышается стоимость единицы продукции. Для поддержания эффективности работы такого объекта необходимо его обслуживание, ремонт, что сопряжено с определенными затратами. Чем дольше он эксплуатируется, тем выше затраты на поддержание его в работоспособном состоянии. С другой стороны, если часто заменять такие объекты, то возрастает объем капиталовложений. Задача сводится, в этом случае, к определению порядка и сроков замены, при которых достигается минимум общих эксплуатационных затрат и капиталовложений. Наиболее общим методом решения задач такого типа является динамическое программирование. Объектами рассматриваемой группы являются строительно-дорожная техника, оборудование, транспортные средства и т.п. Второй тип объектов характеризуется тем, что они полностью выходят из строя внезапно или через определенный отрезок времени. В этой ситуации задача сводится к определению целесообразных сроков индивидуальной или групповой замены, а также частоты этой операции, при этом стремятся выработать стратегию замены, которая обеспечивает сведение к минимуму затрат, включающих стоимость элементов, потери от отказов и расходы на замену. К объектам второго типа относятся детали, узлы, агрегаты строительно-дорожной техники, оборудования. Для решения задач второго типа используются вероятностные методы и статистическое моделирование. Частным случаем задач замены являются задачи эксплуатации и ремонта. 2.3.Задачи поиска Задачи поиска связаны с определением наилучших способов получения информации с тем, чтобы минимизировать общую сумму двух типов затрат: затрат на получение информации и затрат, вызванных ошибками в принимаемых решениях из-за отсутствия точной и своевременной информации. Эти задачи используются при рассмотрении большого круга вопросов анализа хозяйственной деятельности строительной организации, например, задачи оценки и прогнозирования, построения систем контроля качества, многие бухгалтерские процедуры и т.н. В качестве средств, применяемых при решении таких задач, используются в основном вероятностные и статистические методы. Задачи массового обслуживания или задачи очередей Теория массового обслуживания представляет собой раздел теории вероятности, в котором изучается поведение систем, состоящих, как правило, из 2-х подсистем (см. рис.1). Одна из них является обслуживающей, а другая - источником заявок на обслуживание, которые образуют поток, носящий случайный характер. Заявки, не обслуженные в момент поступления, образуют очередь, поэтому теорию массового обслуживания иногда называют теорией очередей. Теория эта отвечает на вопрос, какой должна быть обслуживающая подсистема, чтобы суммарные экономические потери от простоя обслуживающей подсистемы и от простоя заявок в очереди были минимальными. Многие задачи из области организации и управления в строительстве относятся к задачам, решаемым методами теории очередей. Рис. 1. Система массового обслуживания Так, в задачах массового обслуживания или задачах очередей рассматриваются связи между потоком строительных работ и машинами, используемыми для их механизации. Типичными задачами массового обслуживания являются задачи на определение количества строительных бригад, машинной техники, организации работы автоматических линий и систем комплексной автоматизации производственных процессов, задачи, связанные с организационно-производственной структурой строительных организаций и т.д. Для решения задач массового обслуживания часто применяется метод статистических испытаний, заключающийся в воспроизведении на ЭВМ строительного процесса или, иначе говоря, случайного процесса, описывающего поведение системы, с последующей статистической обработкой результатов ее функционирования. Задачи управления запасами (создание и хранение) Каждая стройка нуждается в строительных конструкция, материалах, полуфабрикатах, сантехоборудовании и т.д. Как правило, поставки и расходование их неравномерны, часто в них вносится элемент случайности. Чтобы строительное производство не задерживалось из-за отсутствия материалов и оборудования, на стройке должен иметься некоторый их запас. Однако этот запас не должен быть велик, так как хранение строительных материалов и различного оборудования связано с расходами на строительство и эксплуатацию складов, а также с замораживанием средств, затраченных на их приобретение и строительство. Различают два вида издержек, связанных с использованными ресурсами / 1/: издержки, возрастающие с ростом запасов; издержки, убывающие с ростом запасов. Возрастающие издержки включают складские расходы; потери, обусловленные старением, порчей; налоги, страховые взносы и т.п. Издержки, убывающие при увеличении запасов, могут быть четырех видов. 1 .Издержки, связанные с отсутствием запасов или несвоевременными поставками. 2.Расходы на подготовительно- заготовительные операции: чем большие объемы продукции закупаются или производятся, тем реже обрабатываются заказы. 3.Продажная цена или прямые издержки производства. Продажа по сниженным ценам, закупка товара большими партиями требует увеличения складских запасов. 4.Издержки, вызываемые наймом, увольнением и обучением работников. Решение задач управления запасами позволяет определить, что заказывать, сколько заказывать и когда, чтобы минимизировать издержки, связанные как с созданием избыточных запасов, так и с их недостаточным уровнем, когда дополнительные издержки возникают из-за нарушения ритма производства. Средствами анализа таких задач являются теория вероятностей, статистические методы, методы линейного и динамического програм-мирования, методы моделирования. Задачи теории расписаний Многие задачи планирования и управления строительным производством требуют упорядочения во времени использования некоторой фиксированной системы ресурсов (сборные конструкции, краны, автотранспорт, трудовые ресурсы и т.д.) для выполнения заранее определенной совокупности работ в оптимальный промежуток времени. Круг вопросов, связанных с построением оптимальных (по тому или иному критерию) календарных планов, с разработкой математических методов получения решений, на базе использования соответствующих моделей, изучается в теории расписаний. Задачи теории расписаний возникают повсюду, где существует необходимость выбора того или иного порядка выполнения работ, т.е. изучаемые в теории расписаний модели отражают специфические ситуации, возникающие при организации любого производства, при календарном планировании строительства, во всех случаях целенаправленной человеческой деятельности. Практические цели требуют, чтобы модель строительного производства полнее отражала реальные процессы и вместе с тем была настолько простой, чтобы искомые результаты можно было получать за приемлемое время. Анализируемые в рамках теории расписаний модели являются разумным компромиссом между этими естественными, но противоречивыми тенденциями. МОДЕЛИРОВАНИЕ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ Основные положения Практически для любой задачи организации, планирования и управления строительством характерна множественность ее возможных решений, зачастую большая неопределенность и динамичность осуществляемых процессов. В процессе разработки плана работы строительной организации, плана возведения объекта строительства приходится сравнивать между собой огромное количество вариантов и выбирать из них оптимальный в соответствии с выбранным критерием. Критерий - это тот показатель, который является мерилом эффективности плана (пути) достижения цели. Для предварительного анализа и поиска эффективных форм организации, а также планирования и управления строительством используется моделирование. Моделирование - это создание модели, сохраняющей существенные свойства оригинала, процесс построения, изучения и применения модели. Моделирование является основным инструментом анализа, оптимизации и синтеза строительных систем. Модель - это упрощенное представление некоторого объекта (системы), процесса, более доступное для изучения, чем сам объект. Моделирование дает возможность проводить эксперименты, анализировать конечные результаты не на реальной системе, а на ее абстрактной модели и упрощенном представлении-образе, привлекая, как правило, для этой цели ЭВМ. При этом необходимо иметь в виду, что модель является лишь орудием исследования, а не средством получения обязательных решений. Вместе с тем она дает возможность выделить наиболее существенные, характерные черты реальной системы. К модели, как и к любой научной абстракции, относятся слова В.И.Ленина: "Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит.. .от истины, а подходит к ней.. .все научные (правильные, серьезные, невздорные) абстракции отражают природу глубже, важнее, полнее" (В.И.Ленин. Полн.собр.соч. Изд. 5-е, т.29, с. 152). Современное строительство как системный объект характеризуется высокой степенью сложности, динамичностью, вероятностным характером поведения, большим числом составляющих элементов со сложными функциональными связями и другими особенностями. Для эффективного анализа и управления такими сложными системными объектами необходимо иметь достаточно мощный аппарат моделирования. В на- стоящее время интенсивно ведутся исследования в области совершенствования моделирования строительства, однако практика пока еще располагает моделями с довольно ограниченными возможностями полного адекватного отображения реальных процессов строительного производства. Разработать универсальную модель и единый метод ее реализации в настоящее время практически невозможно. Одним из путей решения данной проблемы является построение локальных экономико-математических моделей и методов их машинной реализации. В общем случае модели подразделяются на физические и знаковые. Физические модели, как правило, сохраняют физическую природу оригинала. Для построения знаковых моделей может использоваться, в принципе, любой язык - естественный, алгоритмический, графический, математический. Наибольшее значение и распространение имеют математические модели в силу универсальности, строгости, точности математического языка. Математическая модель представляет собой совокупность уравнений, неравенств, функционалов, логических условий и других соотношений, отражающих взаимосвязи и взаимозависимости основных характеристик моделируемой системы. Проблема выбора оптимальных решений имеет, применительно к каждой конкретной задаче, свои специфические особенности, а круг таких задач весьма широк. Тем не менее возможно и полезно выделить некоторые характерные черты и вытекающие из них общие подходы к постановке задач оптимизации и поиску наивыгоднейших решений. Оптимальные решения в технико-экономических задачах должны отбираться не путем использования интуитивных представлений, а, как правило), на основе строгого расчета. Для этого исходную техникоэкономическую задачу необходимо соответствующим образом формализовать, т.е. описать с помощью математических выражений характерные для нее связи, зависимости между параметрами. Совокупность всех этих математических выражений и составляет, имеете с экономической характеристикой входящих в них величин, экономико-математическую модель задачи (объекта исследования, системы). Таким образом, экономико-математическая модель - это математическое описание экономического процесса (объекта, системы). Теоретические основы экономико-математических методов были разработаны российскими учеными В.С.Немчиновым, Л.В.Канторовичем, В.В.Новожиловым, Н.П.Бусленко. Им же принадлежит заслуга в разработке методологии экономико-математического моделирования и методов количественного подхода к социально-экономическим процессам. Корректно составленная и предназначенная для практического использования модель должна удовлетворять двум условиям: адекватно отражать наиболее существенные черты анализируемого явления, процесса, системы; должна быть разрешима, т.е. в описывающей ее системе условий должны отсутствовать математические, экономические, технологические противоречия и иметься эффективные вычислительные алгоритмы для поиска решений. Так как экономико-математическая модель - это всего лишь постановка экономической задачи на математическом языке, то для ее решения необходимо разработать или подобрать из существующих метод решения (алгоритм). Экономико-математические модели подразделяются на описательные (не содержащие управляемых переменных) и конструктивные, главным образом, оптимизационные (бывают статистическими и динамическими, открытыми, учитывающими внешние воздействия на моделируемый объект, и закрытыми, содержащими управляемые переменные), а по форме представления аналитическими, графоаналитическими, графическими и т.д. Экономико-математические модели являются основой применения математических методов и электронно-вычислительной техники в экономике. Экономико-математические методы (термин введен В.С.Немчиновым) представляют собой комплекс экономических и математических дисциплин, таких как: экономико-статистические методы (экономическая статистика, математическая статистика); эконометрия - наука, изучающая конкретные количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов (с помощью математических и статистических методов и моделей); исследование операций (методы принятия оптимальных решений); экономическая кибернетика - отрасль науки, занимающаяся приложением идей и методов кибернетики к экономическим системам. Использование экономико-математических методов и ЭВМ в целях оптимального планирования и управления строительным производством требует последовательного выполнения ряда ниже перечисленных работ математического, технического, информационного и экономического порядка, таких как: разработка экономико-математических моделей; подготовка соответствующих алгоритмов и вычислительных схем; программирование для электронных вычислительных машин; формирование необходимой информации или исходных данных, требующихся для соответствующих расчетов; классификация и кодирование объектов для расчетов на ЭВМ; анализ полученных результатов и их использование в практичес кой деятельности. Виды экономико-математических моделей в области организации, планирования и управления строительством Модели, используемые при решении задач организации, планирования и управления строительным производством, условно можно разделить на модели линейного программирования, нелинейные модели, модели динамического программирования, оптимизационные модели, модели управления запасами, целочисленные модели, цифровое моделирование, имитационные модели, вероятностно-статистические модели, модели теории игр, модели итеративного агрегирования, организационно-технологические модели, графические модели, сетевые модели. Рассмотрим каждую из них в отдельности. Модели линейного программирования Понятие линейности связано с понятиями пропорциональности и аддитивности (аддитивность - возможность суммирования результатов). Методами математического программирования решаются задачи на экстремум (максимум, минимум) функций многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. Из методов математического про-граммирования наибольшее распространение получил метод линейного программирования. Слово программирование показывает, что они применяются для планирования, т.е. для составления плана (программы), который обеспечивал бы оптимальное использование материальных и трудовых ресурсов. Слово линейное определяет математическую природу этих моделей. ()па состоит в том, что условия задач выражаются системой линейных уравнений или неравенств, содержащих неизвестные только первой степени. Для любых задач линейного программирования характерны три следующих условия (по академику В.С.Немчинову): наличие системы взаимосвязанных факторов; строгое определение критерия оценки оптимальности; точная формулировка условий, ограничивающих использование наличных ресурсов. С учетом этих условий экономическим содержанием задач линейною программирования является отыскание наилучших способов использо-вания имеющихся ресурсов, например, определение оптимального плана закрепления потребителей однородного груза за поставщиками. Такого рода задачи получили название транспортных задач линейного программирования. Если нужно использовать разнородные ресурсы, например, различные машины, материалы и т.д. для выполнения какой-либо работы, то применяется общий метод линейного программирования, который получил в соответствии со своей математической основой название симплекс-метода, предложенного американскм ученым Дж.Данцигом. Рассмотрим существо модели линейного программирования на простейшем примере. Пример. Пусть фирма специализируется на строительстве двух типов складских помещений. Известны производственные и ресурсные возможности фирмы, стоимость 1кв.м каждого из складских помещений. Требуется определить, сколько нужно строить складских помещений каждого типа, чтобы выручка от их продажи была максимальной (см. табл.1). Введем следующие обозначения: Хj - количество изготавливаемых складских помещений j-ого типа; Cj - рыночная стоимость складского помещения; Aij - затраты i-ого вида ресурсов на одно складское помещение j-ого типа; bi - общий объем имеющихся ресурсов i-ого вида. Исходные данные, помещенные в табл.1, представим в буквенном выражении (см табл.2). Составим математическую модель. Показатель эффективности, который необходимо максимизировать, выручка от реализации складских помещений (обозначим ее С), линейно зависит от элементов решения x1 и х2: Эти линейные неравенства представляют собой ограничения, накладываемые на элементы решения х1, и х2. Постановка задачи сводится к следующему: найти такие неотрицательпые значения переменных х1, и х2, чтобы они удовлетворяли ограничениям - неравенствам (1) и одновременно обращали в максимум целевую функцию этих переменных: модели Слово нелинейные показывает, что соответствующие задачи описываются нелинейными уравнениями. Свойство нелинейности состоит в том, что результат взаимодействия нескольких факторов не равен простой алгебраической сумме их действий. Например, если планировать одновременную работу двух рабочих, то их производительность будет одна, если четырех - она может быть и меньше из-за недостаточности фронта работ, несогласованности действий рабочих и т.д. Нелинейная зависимость между переменными характерна и для задач размещения, в которых неизвестными являются не только пункты производства, но и объемы производства в каждом из них. Затраты на выпуск единицы строительной продукции обычно уменьшаются с ростом объема производства нелинейно. Поэтому в критерии оптимальности задачи размещения производства, представляющем собой приведенные затраты на производство и транспортировку продукции, будут содержаться нелинейные члены. Покажем на примере различия в линейной и нелинейной постановках задач. Пусть задача связана с определением оптимального распределения m однотипных строительных бригад для строительства n однотипных объ-ектов Задан требуемый темп выполнения работ и норма их выполнения для каждой бригады - qi . Требуется найти такое распределение бригад, при котором темп вы-иомнеиия всего объема работ будет максимальным. Введем обозначения: V ТР - требуемый темп выполнения работ на i-ом объекте; qi, - норма по выполнению работ на i-ом объекI те; хi, - количество бригад, назначаемых на выполнение работ на i-ом объекте. Рассмотрим функцию Vi = Vi (xi ,qi), характеризующую темп выполнения работ на i-ом объекте при выделении на этот объект хi бригад. В линейной постановке этой задачи целевая функция и ограничеНИИ должны быть линейными. В частности, функция Vi = Vi (xi ,qi), запишется в виде: Vi = qi xi Графически эта зависимость представлена на рис.3. Рис. 3. Зависимость темпа выполнения работ на объекте от количества выделенных бригад В качестве критерия выберем средний темп выполнения работ на n объектах. Таким образом, постановка задачи имеет следующий вид: найти такое количество бригад хi, выделяемых на каждый объект, при котором достигает максимума функция На практике функцию Vi(хi) вряд ли правильно считать при значениях хi > 3 линейной. Учитывая тенденцию так называемого "насыщения", она скорее всего будет иметь вид, показанный на рис.4. Рис. 4. Характер изменения общей производительности бригад в зависимости от их количества Рассмотрим нелинейную постановку задачи, сняв требование ли-нейности с функции Vi(хi) и целевой функции F (х1, х2, ..., х„), т.е. будем считать их произвольного вида. Покажем важнейший недостаток приведенной ранее линейной по- становки задачи, а именно: критерий средний темп выполнения работ Он не учитывает возможности выполнения работ на отдельном объекте. Например, для следующих 2-х вариантов распределения бригад В рассмотренном примере показана разница в линейной и нелинейной постановке аналогичной задачи. Пример взят из /2/. В некоторых задачах из области организации и управления строи-тельством в качестве "дефицита" может быть использовано отклонение требуемого времени продолжительности строительства от расчетного, т.е. При этом целевая функция будет иметь вид: Алгоритмом для поиска решений в случае нелинейных моделей является математический аппарат нелинейного программирования. Если целевая функция отыскивается в условиях неопределенности, то такая задача относится к стохастическому программированию. Применительно к экономико-технологическим явлениям и процессам нелинейное программирование относится к наиболее неизученному математическому направлению. Модели динамического программирования Их применение связано в первую очередь с анализом так называемых многошаговых процессов принятия решений. Процесс является одно-шаговым, если, например, разработана схема оптимального пути из пункта А в пункт В. Если же вначале известно, как проехать из А в первый промежуточный пункт, а там станет известно, как добраться до второго промежу- точного пункта и т.д., то весь путь будет известен только по достижении пункта В и процесс принятия решений по поводу оптимального пути из А в В станет уже многошаговым. Таким образом, динамическое программирование - это метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решений может быть разбит на отдельные этапы (шаги). Как раздел математического программирования динамическое программирование начало развиваться в 50-х годах XX века благодаря работам Р.Беллмана и его сотрудников. Впервые этим методом решались задачи оптимального управления запасами, затем класс задач значительно расширился (многошаговые детерминированные модели задач оптимального распределения ресурсов; расчет развития на перспективу производственной базы стройин-дустрии; установление оптимальных режимов замены изношенного оборудования, производства и хранения продукции во времени, при меняющемся спросе на нее, рациональная загрузка транспортных средств, оптимальное распределение капиталовложений и др.). Большую и практически важную группу моделей динамического программирования составляют задачи календарного планирования строительного производства, оптимизации сроков выполнения этапов работ для минимизации себестоимости их выполнения и т.д. Как практический метод оптимизации, метод динамического программирования стал возможен лишь при использовании современной вычислительной техники. В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности, который может быть сформулирован следующим образом: чтобы получить оптимальное решение, надо руководствоваться правилом -каков бы ни был путь достижения исследуемой системой некоторого состояния, последующие решения должны принадлежать оптимальной стратегии для остающейся части пути, начинающейся с данного состояния. Сущность метода динамического программирования описывается так называемым динамическим рекурентным соотношением из состояния s до конечного состояния системы, если остаток пути состоит из n шагов; jn(s)- решение, позволяющее достичь fn(s); сsj - стоимость перевода исследуемой системы из состояния s в состояние j. Пример. Необходимо организовать перевозку строительных грузов из пункта 1 в пункт 7, используя дорожную сеть, показанную на рис.6. Перевозка будет осуществляться большегрузным транспортом, в связи с чем участки дорог между узловыми пунктами потребуют дооборудования. Время в днях, которое потребуется для дооборудования, показано на схеме. Необходимо определить маршрут для перевозки грузов, время дооборудования которого будет наименьшим. Исходные данные и вычислительный процесс удобно представить в виде таблиц 3 и 4. Из табл.4 видно, что процесс решения начинается с конечного пункта и заканчивается в начальном, а ответ формируется, начиная с исходного пункта. В рассматриваемом примере ответ имеет вид: при этом время оборудования этого маршрута составит 12 дней. Рис. 6. Дорожная сеть, используемая при перевозке строительных грузов из пункта 1 в пункт 7 Динамическое программирование, позволяя на каждом промежуточном этапе разрабатывать схему дальнейшей реализации программы, является весьма универсальным методом. Однако его применение чаще всего эффективно в задачах с небольшим числом переменных. Оптимизационные модели (постановка задачи оптимизации) Оптимизационные модели представляют собой обширный класс экономико-математических моделей, позволяющих выбрать из всех возможных решений самый лучший, оптимальный вариант. В математическом смысле оптимальность понимается как достижение экстремума (максимума или минимума) критерия оптимальности, именуемого также нулевой или целевой функцией. Оптимизационные модели решаются с помощью методов матема-тического программирования с использованием электронно-вычислительной техники и формируются в общем виде следующим образом: "Надо отыскать значения показателей X1,, Х2,...,Хn, характеризующие экономический объект или процесс, придающие максимальное или минимальное значение нулевой (целевой) функции F(Х1,, Х2,...,Хn), при соблюдении ограничении, накладываемых на область изменения показателей X1, Х2,...,Хn, и связей между ними в виде fj(Х1,, Х2,...,Хn)≤ajj=1,m Если решение Х1, Х2,...,Хn не противоречит ограничениям, принятым в задаче, то его называют допустимым. Допустимое решение, при котором нулевая функция принимает экстремальное (максимальное или минимальное решение) считается оптимальным. Иначе говоря, полученные таким образом значения неизвестных Х1, Х2,...Хn будут искомыми величина- ми и рассматриваемой задаче. Если целевая функция, ограничения, связи между искомыми пока-зателями выражены в виде линейных зависимостей, то оптимизационная модель сводится к задаче линейного программирования. На практике часто целевую функцию выразить в виде линейных зависимостей не удается. Это приводит к необходимости рассмотрения задач нелинейного программирования. Оптимизационные модели в строительстве чаще всего встречаются и задачах отыскания лучшего способа использования экономических и материальных ресурсов, размещения производственных мощностей предприятий по производству строительных изделий, парка строительных машин и т.д. Модели управления запасами Модели управления запасами используются при необходимости определения в строительстве объема запаса строительных материалов, конструкций и изделий, характера изменения его в процессе возведения объекта, обновления запаса в связи с поступлением и расходованием ресурсов, с цепью обеспечения бесперебойности и надежности строительного процесса при минимальных затратах, связанных с хранением, пополнением, расходованием запаса. Так как уровень спроса неожиданно возникающих потребностей в ресурсах носит чаще всего случайный характер, то модели управления запасами должны быть стохастическими, вероятностными, в упрощенной постановке возможно использование детерминированных моделей. В строительстве чаще всего применяются модели управления Складскими запасами. В общем виде экономико-математическая модель управления запасами может быть представлена: З(t) = Знач + Р(t) -R(t) где З(t) - текущий уровень запаса стройматериалов на складе в момент времени t; Знач - начальный запас материалов на складе в момент t = 0; Р(t) - поступление материалов на склад за время t; R(t) - расходование материалов со склада за время t; Очевидно, что в любой момент запас материалов на складе не может быть отрицательным, то есть: З(t)≥0 Поступление и расходование материалов со склада обычно производится партиями. Обозначив объем поставки через Рi, а объем расходуемой партии Rj преобразуем исходное соотношение к виду: где n - количество поставляемых партий стройматериалов; m - количество расходуемых партий стройматериалов. Это равенство является базисным в модели управления запасами. В зависимости от того, какие величины (показатели) в нем заданы, а какие являются искомыми, различают разные виды моделей. Часто в модель включают показатели, характеризующие затраты на поставку, хранение, отправку товаров со склада. Критерием оптимальности моделей управления запасами, как правило, является объем затрат, их минимум (минимум исследуемой функции). В процессе определения экономического содержания затрат учитываются затраты, связанные с заказом каждой новой партии материальных ресурсов; транспортные расходы; расходы на содержание складов и хранение ма- териалов; затраты на складские операции, штрафы и т.д. Ограничения в задачах управления запасами могут быть самого различного характера. Как правило, они используются для описания предельной величины тех или иных параметров системы (модели). Например, ограничения могут устанавливаться по максимальному объему запасов; максимальной площади, занимаемой складируемыми материалами и конструкциями; максимальной стоимости; средней стоимости числу поставок в заданном интервале времени, максимальному объему и т.д. Многообразие реальных практических ситуаций предопределяет рассмотрение большого числа вариантов задач управления запасами. Методом теории запасов можно решать очень широкий круг задач оптимального планирования таких ресурсов, как финансы, парк строительных машин и транспортных средств, трудовые ресурсы и т.д Целочисленные модели Результаты решений многих задач, стоящих перед строителями, должны быть выражены в целых числах (например, определение оптимальною количества заводов, являющихся поставщиками строительных конструкций или числа монтажных кранов и т.д.). Но если даже в простую задачу линейного программирования внести дополнительное требование целочисленности неизвестных (х = 1,2,3 и т.д.), то решать ее обычными методами уже нельзя. На первый взгляд кажется, что можно легко выйти из положения, округлив полученное каким-либо методом решение. Но что может означать, к примеру 2, 3 дома? Надо строить 3 дома? Это решение невозможно, либо возможно осуществить за счет уменьшения других показателей пла- на. Найти целочисленный оптимальный план - задача непростая. Для решения ее требуется применение довольно тонких специальных математических методов (например, метод "Гомори", основанный на идеях симплексметода) Одним из примеров целочисленного программирования является задача о назначениях. Покажем на примере сущность этой задачи и алгоритм ее решения, в основе которого лежит так называемый венгерский метод. Пример. Пусть имеется необходимость перебросить пять строительных бригад к месту строительства пяти различных объектов. Под назначением понимается факт приписки бригады к одному из объектов. Задача состоит в том, чтобы найти такое назначение, при котором общее время доставки бригад к месту работы было минимальным. Представим время tij доставки i-ой бригады в j-ый пункт назначении в виде табл.5 Основной принцип задачи о назначениях состоит в следующем: оп- тимальность. решения не нарушается при уменьшении (увеличении) эле- ментов tij строки (или столбца) таблицы (матрицы) на одну и ту же величину t. Алгоритм решения может быть представлен в виде этапов. Этап 1. Образование нулей Среди элементов каждого столбца табл. 1 выбирается наименьший элемент (в таблице эти элементы обведены кружочками) и вычитается из всех элементов этого столбца. В результате этих действий получаем таблицу 6, в которой элементами являются разности Этап 2. Поиск возможного оптимального решения Оптимальное решение в данной постановке означает, что все затраты имеют нулевое значение. Если такое решение найти не удалось, то следует перейти к третьему этапу. Последовательность действий при поиске оптимального решения состоит в следующем. Анализ табл.6 начинается с выявления строк, содержащих минимальное число нулей, при этом один из нулей такой строки обводится квадратиком. Затем вычеркиваются все остальные нули, находящиеся в этой строке. Процесс продолжается до тех пор, пока в таблице все нули будут либо обведены квадратиками, либо вычеркнутыми. На данном этапе оптимального решения получить не удалось, так как во второй строке таблицы нет нулевого элемента. Возьмем, например, элемент t22 = 5, тогда решение будет иметь вид: а это решение не оптимально (см. табл.6). Этап 3. Образование набора строк и столбцов, содержащих все нули, имеющиеся в таблице (см. табл.7) Последовательность действий: 1.Пометим крестиком (х) строки, не содержащие ни одного обведенного квадратиком нуля. В нашем случае строка 2. Отметим каждый столбец, содержащий зачеркнутый нуль хотя бы в одной из помеченных строк. В нашем случае 5-ый столбец. Пометим каждую строку, в которой содержится обведенный ква-дратиком нуль хотя бы в одном из помеченных столбцов. В нашем случае строка 1. Далее повторяем перечисленные действия 2 и 3 пока не останется строк и столбцов, которые еще можно пометить. Переходим к этапу 4. Этап 4. Завершение этапа 3 Прочеркнем каждую непомеченную строку и каждый помеченный столбец ( см.табл.7). Прочеркнем строки 3, 4, 5 и 5-ый столбец. Переходим к этапу 5. Этап 5. Добавление нулей В части таблицы, состоящей из неперечеркнутых элементов, выберем наименьший элемент (см.табл.7). Это будет элемент 1- ой строки, равный 1. Вычтем этот элемент из всех элементов столбцов 1, 2, 3, 4, 5 и прибавим его затем ко всем элементам перечеркнутых строк, т.е. строк 3, 4, 5. В результате получаем табл.8. Этап 6. Получение оптимального решения или переход к этапу 3 Оптимальное решение определяется в последовательности, описанной в этапе 2. Повторив этап 2, получим таблицу 8. В табл. 8 нули, обве- денные квадратиками, образуют оптимальное решение: Цифровое моделирование (метод перебора) Методы линейного и динамического программирования дают возможность заменить простой перебор возможных вариантов решений упоря-доченным и экономным поиском оптимального результата. Однако существует много технико- экономических задач, важных в практическом отношении, для решения которых нужны иные методы. К таким задачам относятся различные вероятностные задачи, где оптимальное решение (поведение, стратегию) надо выбирать в условиях неопределенности исходных данных, когда поведение системы случайно и может быть описано лишь в терминах математической статистики (среднее значение, математическое ожидание, дисперсия, спектр, функция корреляции, законы распределения и т.п.). В этих случаях обычно нельзя указать рациональные аналитические методы решения. и поэтому такие задачи решаются методом перебора. Одним из простейших и, пожалуй, наиболее распространенных методов оптимизации является метод перебора (сканирования). Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть в процессе моделирования производственной ситуации, по которой необходимо принять решение, получена символьная модель вида: W=f(ci, vj) где W - общий критерий функционирования; сi, - множество управляемых переменных; vj - множество неуправляемых переменных; f - соотношение, связывающее управляемые и неуправляемые переменные. Чтобы получить желаемое решение, нужно определить значения управляемых переменных, максимизирующие или минимизирующие критерии функционирования системы W. Обычно для получения решения задачи поступают таким образом. Сначала устанавливают диапазон возможных изменений управляемых переменных Сi. Затем для дальнейших исследований используются те из управляемых переменных Ci, которые удовлетворяют системе определенных ограничений. Для этих значений вычисляются значения целевой функции W. _* В качестве решения задачи принимаются значения С,, при которых целевая функция принимает экстремальные значения. Достоинством метода является не только простота его реализации на ЭВМ, но и принципиальная применимость к решению многих практических задач, возможность получения глобального экстремума. Основной недостаток - большие затраты времени, особенно в связи с возрастанием размерности задачи. Имитационные модели Имитационное моделирование является частным случаем цифрового моделирования. Аналитические методы описания и анализа функционирования сложных систем обычно не позволяют учесть особенности организационно-экономических систем, связанные с непрерывностью и дискретностью их элементов, с нелинейностью связи между характеристиками системы, с воздействием многочисленных внешних и внутренних случайных факторов. Для количественного анализа и решения задач, не имеющих строгого аналитического описания, используется имитационное моделирование. Имитационная модель не ставит целью получение точного решения задачи, но она и не связывает себя слишком жесткими математическими предписа- ниями. Она не решается в аналитическом смысле, а осуществляется именно "проигрывание", "прогон" модели. Мощные электронно-вычислительные комплексы дают возможность проводить эксперименты, в которых экспериментатор со своей интуицией и "здравым смыслом" может постоянно контролировать процесс принятия решений, изменять исходные предпосылки и логику решения, уточнять требования к выходным данным и т.д. Имитационное моделирование имеет ряд преимуществ по сравнению с аналитическим: это возможность применять модели, адекватные реальным системам, неограниченно экспериментировать с моделью, внося различные допущения, фактор неопределенности и т.д. (напомним, что аналитическая оптимизация динамических вероятностных процессов наталкивается на очень большие трудности). В то же время разработка и программирование для ЭВМ имитационных моделей сопряжены обычно с весьма большими затратами труда и времени. Ведь каждая имитационная модель по-своему уникальна, тогда как аналитические модели носят типовой характер, и для их решения на ЭВМ почти всегда можно воспользоваться готовыми прикладными про- граммами, Поэтому, если реальная задача хорошо вписывается в аналитическую модель, то потребность в разработке имитационной модели отпадает. Имитационные модели могут применяться в самых различных областях управленческой деятельности: для исследования, принятия и проверки решений, полученных другими методами; построения и оценки альтернатив; расчета широкого диапазона прогнозов и оценок будущего состояния производственной системы; оценки долгосрочных последствий от принятого решения; формирования календарного расписания производственной деятельности с вероятностными сроками начала и окончания работ или этапов и т.д. Имитационные модели часто используются в "деловых играх". В этом случае модель, состоящая из большого числа математических уравнений, связывающих причины и следствия, позволяют определить последствия решений, принимаемых участниками игры. 2 Вероятностно - статистические модели Это модели, учитывающие влияние случайных факторов в процессе функционирования строительных систем, основаны на статистической, т.е. количественной оценке массовых явлений, позволяющей учитывать их нелинейность, динамику, случайные возмущения, описанные разными законами распределения. Вообще в любой производственной задаче всегда присутствуют вероятностные элементы. Если принимаются решения по таким моделям, то они должны содержать информацию о вероятности наступления определенных событий и о том, какое влияние эта вероятность может оказать на результаты данной системы. Например, при организации планового профи- лактического ремонта строительных кранов необходимо знать не только, какие узлы и детали их могут выйти из строя, но и вероятность наступления этого события, а также точно оценить последствия. Вероятностно-статистические модели изучаются как с привлечением традиционного арсенала средств и методов теории вероятности и математической статистики (теория массового обслуживания, факторный анализ, стохастическое программирование и т.д.), так и путем статистического моделирования, представляющего собой числовую имитацию с помощью ЭВМ функционирования модели. Возможности в изучении вероятностных моделей, открываемые методом статистического моделирования, настолько велики, что сегодня уже приходится обосновывать необходимость традиционного аналитического подхода к построению моделей и изучению их свойств. Статистическое моделирование является лучшим методом в том случае, если целью задачи является просто получение ответа в конкретном случае. Если же целью является получение общего решения и проникновение в глубь изучаемого феномена, то статистическое моделирование - менее удовлетворительный путь. Модели теории игр На практике не редко возникают ситуации, когда интересы различных подразделений в строительстве не совпадают. Такие ситуации называются конфликтными, а модели, с помощью которых эти ситуации анализируются - игровыми. Теория игр - это математическая теория разрешения таких ситуаций, в которых сталкиваются интересы сторон, преследующих различные цели. Игра представляет собой математическую модель конфликтной ситуации, с помощью которой участвующие в ней стороны, действуя по определенным правилам, пытаются найти стратегию поведения, гарантирующую, в результате разрешения конфликта, достижение желаемой цели. Результат действий одной из сторон зависит не только от ее действий, но и от действий, выбранных противниками. Таким образом, задачей теории игр является установление таких способов действий, которые обеспечивают наибольшую выгоду каждого из участников игры. Наибольшее развитие в теории игр получило изучение так называемых парных игр с нулевой суммой. Иначе говоря, использование таких моделей конфликтных ситуаций, в которых имеются две враждующие стороны и выигрыши, получаемые одной стороной в ходе развития конфликта и в результате выбора обеими сторонами определенных стратегий, в точности равны проигрышам другой. При этом стратегия - это совокупность правил и рекомендаций по ведению игры от начала до конца. Условия игры задаются так называемой матрицей игры или платежной матрицей. Она показывает плату играющих сторон в случае, когда одна сторона выбирает стратегию Аi , а другая - стратегию Вj. Если сторона А имеет n стратегий, то такая игра называется игрой размерности n х m. Приведем пример платежной матрицы, заимствованной из /2/. 3 Она отражает ситуацию, в которой сторона А для достижения цели может выбрать одну из трех стратегий А1, А2, А3. В то же время сторона В может ответить любой из четырех стратегий В1, В2, В3, В4. Цифрами в платежной матрице показаны выигрыши и проигрыши. Из табл. 9 следует, что сторона В проигрывает столько, сколько выигрывает сторона А. Цель игры для стороны А - найти стратегию, обеспечивающую максимальный гарантированный выигрыш, а цель стороны В - выбрать стратегию, обеспечивающую минимальный проигрыш. Очевидно, сторона А выберет стратегию А1; гарантирующую получение максимального среди минимальных выигрышей, равный 18 единицам. При этом сторона В ответит стратегией В3, которая гарантирует ей минимальный из максимальных проигрышей, также равный 18 единицам. Любые другие ситуации могут либо только уменьшить выигрыш стороны А, либо увеличить проигрыш стороны В. Такое понятие теории игр как компромиссное (равновесное или эффективное) решение помогает более глубокому выяснению принципов оптимальности в процессах принятия решений. Следует отметить, что теория игр в том виде, как она сейчас сложилась, представляет собой скорее раздел "чистой", а не прикладной математики. Впервые основные положения этой науки были изложены в 1944 году в книге Неймана и Моргенштейна "Теория игр и экономическое поведение". Теория игр представляет собой пример того, как можно математизировать задачи, которые обычно решались чисто экспериментальным путем, без использования количественных измерителей. Модели итеративного агрегирования Итерация (от лат. iteratio- повторение) - повторное применение каких-либо математических операций. При использовании математических моделей на различных уровнях иерархии управления приходится иметь дело с агрегированием (укрупнением) информации. Очевидно, что для моделей более высоких уровней управления характерна большая степень агрегирования показателей, чем для моделей низких уровней, система показателей которых может быть весьма детализированной. Поэтому при согласовании решений "по вертикали" приходится иметь дело с проблемой, связанной с неодинаковой степенью детализации показателей моделей разных уровней. Для решения этой проблемы разрабатываются модели и методы итеративного агрегирования. Организационно-технологические модели Организационные, организационно-технологические и технологические модели представляют графическое или формализованное описание процессов возведения зданий, сооружений, структуру управления этими процессами, строительной организацией и т.д. В любой организационно-технологической модели должны быть описаны перечень строительно-монтажных 4 работ, порядок их выполнения, характер взаимосвязей между работами, отражающих специфику технологии строительства, строительные нормы и правила, необходимость рационального использования ресурсов и т.д. Технологические модели строительного производства являются основным элементом современных автоматизированных систем управления строительством (АСУС). Центральное ядро оперативного управления и тесно связанных с ним задач подготовки строительного производства, технико-экономического управления, управления материально-техническим обеспечением и многих других задач базируется именно на таких моделях. Моделирование задач строительного производства требует значительной исходной информации, в первую очередь нормативной. Организационная модель наглядно и просто отображает структуру управления строительно-монтажной организацией, в то время как экономико-математическая модель строительной организации чрезвычайно сложна ввиду ее многозвенности и динамичности. Различают дискриптивный и нормативный (прескриптивный) методы разработки организационных моделей. При дискриптивном методе анализируется существующая органи-за-ционная система, разрабатываются и внедряются экономико-математические методы и ЭВМ для решения задач управления и совершенствования организационной структуры. При нормативном методе разрабатываются оптимальная организационная структура строительно-монтажной организации и соответствующая ей оптимальная система управления. Организационные, организационно-технологические и технологические модели являются одним из инструментов организации, планирования и управления производственнохозяйственной деятельностью строительно-монтажных организаций и строительным производством. Поэтому приобретение навыков в их формировании и применении является обязательным условием подготовки инженеров-строителей. Графические модели Для анализа структуры, связей, процессов и отношений в производственных системах используются графические модели, обладающие определенной наглядностью и универсальностью, позволяющей рассматривать их в любых направлениях, по частям или в целом. Графические модели нашли широкое применение в строительстве для отображения взаимосвязи работ подразделений, распределения обязанностей, полномочий и т.д. Графически можно интерпретировать (т.е. изобразить в виде планов, схем, диаграмм или графиков) многие модели линейного и динамического программирования, организационнотехнологические и др. На практике графические методы моделирования классифицируются по содержанию и форме на три основные группы: оргограммы, т.е. графики, отражающие организационные отношения в производственных системах. К ним относятся классификационные схемы, оргасхемы, оперограммы, органиграммы и т.д. Оргограммы используются для моделирования организационных структур и процессов; хронограммы (пооперационные, контрольные, сборочные и другие графики); и топограммы (схемы обслуживания рабочих мест, маршрутные схемы, циклограммы и т.д.). Хронограммы и топограммы, графически отображающие расположение предметов, ресурсов и явлений во времени и пространстве, нашли наибольшее применение при построении моделей строительного производства (линейные графики Ганта, циклограммы, сете- вые графики и др.); диаграммы и номограммы - это графики количественных отношений (ссоотношений) различных величин. Номограммы дают также возможность определить некоторые величины без специальных вычислений. 5 Сетевые модели Традиционные линейные графики горизонтальные и циклограммы, вообще говоря, не дают указаний о нахождении способов наилучшего использования ресурсов. Сетевые модели позволяют найти оптимальные или близкие к оптимальным последовательности работ и использования ресурсов. Опираясь на современную вычислительную технику, сетевое моделирование, наряду с эффективным использованием времени и других ресурсов, обеспечивает также возможность четкого оперативного руководства при реализации весьма сложных строительных программ. Сетевая модель, помимо графической интерпретации, может быть представлена, например, в виде таблицы или массива исходных данных для ЭВМ. Термин сетевая модель (сетевой график, логическая сеть) основывается на понятии ориентированного графа. Ориентированным графом называется совокупность множества точек и множества ориентированных дуг, соединяющих эти точки. Область графа, ограниченная несколькими точками (вершинами), некоторые из них не имеют входящих или выходящих дуг, носит название сети. Сеть, моделирующая определенный строительный процесс (программу), называется сетевой моделью данного процесса (программы). При этом ориентация дуг графа осуществляется в соответствии с логикой (технологией) этого процесса. Упорядоченная группа дуг, в которой каждая вершина (исключая первую и последнюю), является общей точкой для двух дуг в группе, называется путем. Один или несколько из множества путей, который на строительном графике имеет наибольшую продолжительность, называется критическим. Переоценка времени реализации всего проекта связана с пе- реоценкой времени выполнения работ, лежащих на этом пути. Критический путь находится с помощью ЭВМ и различных математических методов (например, можно использовать динамическое программирование). Сетевые модели ознаменовали собой значительный шаг вперед в области моделирования и календарного планирования дискретных технологических процессов. В отличие от линейных, сетевые модели могут описать взаимосвязи между работами и определенный класс организационно-технологических схем строительных процессов. Математические методы сетевого планирования достаточно хорошо разработаны. Имеются многочисленные программы анализа сетевых моделей и решения задач календарного планирования на их основе. На базе сетевых моделей созданы так называемые системы сетевого планирования и управления, которые широко применяются в различных отраслях экономики России и особенно в строительстве. Системы сетевого планирования и управления, являясь предшественником автоматизированных систем управления строительством, прочно вошли в них в виде одной из основных частей. Сетевые методы нельзя отнести к оптимизационным, хотя и существуют способы нахождения на их основе наилучших вариантов. В большей степени они связаны с анализом всего комплекса работ, осуществляемых для реализации определенной программы. При этом соблюдается основной принцип использования сетевых методов - выделение ведущего звена (кри- тического пути), определяющего выполнение всей программы. В соответствии с этим принципом во всей совокупности работ выделяют те, которые в случае невыполнения их в срок, задержат, например, ввод в строй какого-либо объекта. Значительным достижением, в настоящее время, является разработка способов построения стохастических сетевых моделей, в которых анализируемые параметры имеют вероятностный характер. Это сразу же поставило сетевое моделирование в ряд наиболее эффективных способов нахождения тех или иных рациональных методов планирования и поиска управленческих решений. Некоторые успехи достигнуты и в области оптимизации параметров сетевых графиков. Это стало возможным благодаря использованию методов теории графов. 6 ОРГАНИЗАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ СТРОИТЕЛЬСТВОМ Основные направления моделирования систем управления строительством Организационные модели используются на всех стадиях проектирования систем управления строительством для поиска, обоснования и выбора оптимальной структуры управления, но особую роль они играют при определении количественных характеристик аппарата управления, разработке процедур управленческой деятельности, при анализе и совершенствовании информационных потоков. Обычно применяемые в экономических моделях методы теории организации и управления непосредственно заимствованы из технических дисциплин. Эти методы объясняют, как надо управлять физической системой, воздействуя на соответствующие свободные параметры при ограничениях, характеризующих законы функционирования системы, но недостаточно учитывают социально-психологические факторы. На содержательном уровне задача управления экономическими системами формулируется в тех же терминах, но они обладают более организованной внутренней структурой, вызывающей значительные затруднения при ее описании. На практике можно выделить следующие основные направления моделирования систем: математико-кибернетическое моделирование, включающее в себя математические многоуровневые системы принятия решений, имитацию процессов организационного управления, формальное описание информационных и административно-управленческих связей и другие модели; моделирование организационного поведения на реальных строительных объектах с целью изучения степени управленческой специализации, различий в стилях управления, опробования вариантов организационных структур и др.; использование статистических методов и моделей для анализа организационных параметров на базе выборочных обследований работы реальных строительных организаций. Аспекты организационно-управленческих систем (моделей) Каждое из указанных выше направлений, несмотря на различие в используемом методическом аппарате, изучает аналогичные проблемы, которые должны: отражать характер управления производственными процессами. Элементами модели являются производственные процессы и связи между ними; показывать взаимосвязь источников и потребителей информации. Элементы модели - источники и потребители информации, а также связи между ними; анализировать процессы сбора, систематизации, обработки информации и выработки управленческих решений. Элементы модели - процессы обработки информации и связи между ними; отражать специализацию аппарата управления, элементы модели функции аппарата управления, его работы и операции; анализировать состав органов и объектов управления, их административной подчиненности. Элементами модели являются подразделения строительной организации, должности, характеристики подчиненности; отражать взаимоотношения индивидуумов и групп людей. Элементами модели являются конкретные индивиды и группы людей, их взаимосвязи. Указанные проблемы моделирования систем управления в значительной степени связаны между собой, каждой из них соответствует своя структура. Деление организационно-управленческих моделей на группы Модели организационных систем и процессов управления условно можно разделить на две группы: 7 Модели первой группы. К ней относятся модели принятия решений и информационных потоков - модели принятия решений (одно или многоуровневых), информационные модели коммуникационной сети, компактные информационные модели, интегрированные информационно-функциональные модели. Для моделей первой группы характерно формальное моделирование одного или нескольких аспектов организационной системы с использованием экономико-математических методов. Результаты такого моделирования используются лишь как дополнительный аргумент при оптимизации организационной структуры системы управления. Модели второй группы в основном отражают связи и отношения между элементами организационной структуры. Ко второй группе организационно-управленческих моделей относятся: модель организационно-технологических связей, модель организационно-управленческих связей, модель факторного статистического анализа управленческих связей, детерминированная функциональная модель, организационная модель массового обслуживания, организационно-информационная модель. Для второй группы организационно-управленческих моделей характерно использование, полно или частично, формализованной структуры управления. Результаты моделирования могут быть непосредственно использованы, помимо совершенствования информационной системы управления, при оптимизации организационной структуры строительной организации. 4.4. Виды моделей первой группы Модели принятия решений (одно или многоуровневых) от ражают информационный (коммуникационный) и информационно-технологический аспекты системы управления. В качестве математического аппарата используются методы математического программирования, сетевые модели, теории игр и т.д., т.е. широкий арсенал методов исследования операций. Информационные модели коммуникационной сети строительной организации отражают производственно- технологический и социально-психологический аспекты, формируются по принципу минимизации суммарной стоимости передачи информации при условии доведения ее до всех получателей. В этом случае информационная структура отождествляется с организационной структурой управления. Эти модели целесообразно использовать для решения бухгалтерских, учетных, оперативно-диспетчерских и т.п. процессов, когда качество управления строительной организацией в значительной мере определяется затратами на передачу информации. Компактные информационные модели отражают производственно-технологический, информационно- технологический и организационно-административный аспект управления и формируются с использованием принципа минимизации коммуникационных связей. Предполагается, что наилучшие условия для этого создаются при максимальной близости элементов системы. Интегрированные информационно-функциональные модели Интегрированная информационно-функциональная модель отражает производственнотехнологический, функциональный и социально-психологический аспекты, используется для разработки и внедрения интегрированной системы обработки данных с одновременной оптимизацией организационной структуры строительной организации. 4.5. Виды моделей второй группы Модели организационно-технологических связей отражают производственнотехнологический, информационный, информационно-технологический аспекты управления и основываются на предположении, что на низовых уровнях управления решающим фактором, определяющим организационную структуру, является характер технологии строительного производства. 8 Связи между производственно-технологическими процессами и занятыми в них работниками различаются по типам (общие, последовательные, многосторонние) и интенсивности (сильные, средние, слабые). Наиболее тесно связанные элементы системы строительной организации объединяются в группу с последующим выделением руководителей-мастеров, прорабов, начальников участков. Модель организационно-управленческих связей отражает производственно-технический, функциональный, информационно-технологический и организационноадминистративный аспекты, дает возможность оценить интенсивность информационных (организационных) связей в диапазоне от "очень сильная связь" до "связь между функциями нежелательна". Анализируются варианты закрепления функций за подразделениями, выделяются функции, имеющие наиболее тесную связь, контроль за исполнением которых будет выполнять один руководитель. Модель организационно-управленческих связей применяется для анализа сложных управленческих связей и оптимизации структуры на среднем уровне. Модель факторного статистического анализа управленческих связей Модель факторного статистического анализа управленческих связей отражает производственно- технологический, информационно-технологический, функциональный и организационно-административный аспекты, базируется на анализе целей строительных организаций, рассматриваемых на определенный, продолжительный период времени. На основе этого устанавливается перечень функций и задач в системе управления. Осуществляется анализ значимости отдельных задач, их связей и взаимозависимостей, оценивается целесообразность укрупнения задач и обязаннос- тей руководителей, ответственных за их реализацию. Полученные данные обрабатываются методами факторного анализа. Модель применима в случае, когда известен круг задач и состав исполнителей, а также в случае необходимости перераспределения функций и задач подразделений внутри действующей строительной организации. Детерминированные функциональные модели Детерминированная функциональная модель отражает производственно-технологический, функциональный и организационно-административный аспекты; создается путем деления функций управления на элементарные функции (работы, операции), каждая из которых могла бы выполняться одним исполнителем и при этом его загрузка была бы нор- мальной. Проводится балансировка загрузки работников за счет регулирования числа подчиненных у одного руководителя, передачи, при необходимости, части загрузки другому руководителю и т.п. Разрабатываются права и обязанности каждого руководителя, положения о функциях подразделений в системе управления строительной организации. Модель применяется для анализа на среднем уровне системы управления при условии его стабильного функционирования в течение длительного времени. Организационные модели массового обслуживания Организационная модель массового обслуживания отражает производственно-технологический, социально-психологический и организационноадминистративный аспекты управления. В основу ее положено математическое описание процесса функционирования системы управления с учетом регулярного выполнения регламентированных задач управления и случайного, незапланированного взаимодействия в процессе функционирования системы управления из-за отклонений при реализации ранее принятых решений. Подсистема оперативного управления описывается в виде линейно-стохастической сети массового обслуживания с неоднородными потоками требований по перераспределению ресурсов и оптимизируется по критерию минимума суммы потерь, возникающих вследствие естественного запаздывания управляющих решений (регулярная составляющая), а также непредвиденных задержек в принятии и согласовании решений (случайная составляющая). 9 Модель дает возможность оказать помощь в создании организационной структуры строительной организации и информационных связей функциональных служб, принимающих согласованные решения. Организационно-информационные модели Организационно-информационная модель отражает производственно-технологический, функциональный, социально-психологический и организационно-административный аспекты управления и имеет вид орга-ниграммы распределения ролей в процессе принятия решений. Во Франции, например, существует нормативное описание органи-граммы (см. АFNOR. Аssociation franciase dе normalization - французская ассоциация технических норм и стандартов), где дается следующее определение ее цели: "Цель органиграммы структуры управления заключается в схематическом представлении всего предприятия, его части или отдельного органа". Обычно выделяют два типа связей в органиграмме: связи по линии иерархии управления, изображаемые сплошными линиями, и связи совещательного (консультативного) характера, изображаемые пунктирными линиями, хотя при желании показать другие связи можно использовать и другие условные обозначения. Те же французские специалисты выделяют следующие соображения, определяющие практическое значение разработки и использования организационно- информационной модели в виде оргограммы: - все приобретает определенный порядок, представляющий собой важнейший фактор эффективности работы предприятия, структуру его организации; - руководитель предприятия и каждый работник получают четкое представление о всем предприятии в целом и об области своей деятельности; - устраняется возможность ослабления ответственности, представляющая собой серьезную опасность для предприятия; - создается возможность систематического выявления перегрузок, дублирования и необходимости создания новых должностей; - устраняются конфликты между званиями (должностями) и полномочиями (ответственностью); - при отсутствии руководителя распределение работ на предприятии может быть произведено автоматически; - создается возможность для быстрого формирования новых элементов. На рис. 7 показан пример органиграммы одной из фирм, занимающейся экспортом своей продукции, и указаны линии прямого подчинения, связей информационного и совещательного (консультативного) характера, линии передачи специализированных полномочий. Мы видим, что главный администратор по сбыту имеет штабные функции (совещательную власть) по отношению к другим директорам по сбыту и имеет функциональные, или специализированные, полномочия (полученные от генерального администратора в части, относящейся к сбыту) по отношению к региональному директору. Диаграмма наглядно показывает, с одной стороны, что эти связи представляют собой нечто большее, чем информационные и совещательные (консультативные) связи, а с другой -что региональный директор имеет право апеллировать непосредственно к генеральному администратору по поводу распоряжений, отдаваемых, например, генеральным администратором по сбыту. В данном случае речь идет о линейной и совещательной структуре (так называемой функциональной структуре) с добавлением связей, возникающих в результате передачи некоторых специализированных полномочий. 10 Наконец, в этой же самой структуре мы видим связь, обозначенную пунктиром. Эта связь информационного и совещательного (консультативного) характера имеет нисходящее направление, но она предполагает наличие постоянных взаимоотношений. Это функциональная служба, отнесенная к определенному уровню системы управления, в которой специалист, находящийся на нижней ступени, подчиняется линейному начальнику. Органиграмма, понимаемая в широком смысле, содержит, как правило, структуры управления и перечень функций, осуществляемых каждым руководителем. Основные этапы и принципы моделирования На первом этапе создания модели должны быть определены: конечные цели моделирования, набор факторов и показателей, взаимосвязи между которыми нас интересуют; какие из этих факторов, в рамках исследуемой системы, можно считать "входными" (т.е. полностью или частично регулируемыми или хотя бы легко поддающимися регистрации и прогнозу; подобные факторы несут смысловую нагрузку "объясняющих"), а какие "выходными" (главный объект исследования). Эти факторы обычно трудно поддаются непосредственной регистрации или прогнозу и несут смысловую нагрузку "объясняемых"). Если исходная статистическая информация еще не собрана, то сбор необходимых статистических данных тоже является содержанием первого этапа. На втором этапе занимаются математической формализацией и, если возможно, экспериментальной проверкой исходных положений, относящихся к природе и качественному характеру исследуемого явления (этап формирования априорной информации). Нахождение количест- 11 венного выражения качественному содержанию того или иного процесса является наиболее трудным делом. Если принимаемые допущения (положения) не могут быть подтверждены экспериментальной проверкой, то их следует подкрепить теоретическими обоснованиями или ссылками на мнения авторитетных экспертов и специалистов. Третий этап является этапом создания модели, так как он включает в себя непосредственный вывод общего вида модельных соотношений, связывающих между собой интересующие нас входные и выходные показатели, создание электронной модели (ввод числовых данных в ЭВМ) на основании этих количественных показателей и ее алгоритма. Общий вид модели на данном этапе определяет лишь структуру модели, ее символическую запись, в которой наряду с известными числовыми значениями присутствуют величины, физический смысл которых определен, а числовые значения пока неизвестны - они подлежат определению в четвертом этапе. Четвертый этап - этап статистического анализа параметров исследуемого процесса (объекта), подсчета и сопоставления полученных оценок, анализа их свойств и соответствия желаемому результату. Решение задач четвертого этапа решается полностью методами статистической обработки данных. На пятом этапе осуществляется оценка адекватности модели с использованием различных процедур сопоставления модельных заключений, оценок, следствий и выводов с реально наблюдаемой действительностью. Шестой этап - планируются, при необходимости, и проводятся исследования, направленные на уточнение модели, дальнейшее развитие и углубление положений второго этапа. Взаимосвязь этапов Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели и, следовательно, необходимо возвратиться к первому этапу и произвести корректировку исходной постановки. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на четвертом этапе - при подготовке исходной информации, в случае, если затраты на ее подготовку слишком велики или она вообще отсутствует. В случае, если известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначально поставленном виде, а времени на разработку новых алгоритмов и программ не хватает, то в этом случае упрощают исходную постановку задачи и модель - снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д. Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. В заключение можно заметить, что трудности создания эффективных моделей объясняются сложностью сбора и обработки информации о системе, отсутствием нормативной базы и соответствующей системы процедур для выработки целей и критериев. ГЛАВА 5. МЕТОДЫ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИВНОГО АНАЛИЗА ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ФАКТОРАМИ, ВКЛЮЧАЕМЫМИ В ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Виды корреляционно-регрессивного анализа При моделировании обычно исследуют функциональную зависимость (при которой каждому значению переменной величины - аргумента соответствует определенное значение другой переменной функции) и корреляционную зависимость, характеризуемую тем, что каждому аргументу соответствует несколько значений переменной величины. Корреляционный анализ устанавливает наличие и количественную меру тесноты связей между факторами, характеризующими изучаемый процесс. 12 Регрессивный анализ используется для установления характера зависимости (связи) между факторами. Корреляционный и регрессивный анализы обычно дополняют друг друга и используются одновременно. Метод исследования в этом случае называется корреляционнорегрессивным. В соответствии с целью исследования используют парный или множественный корреляционно-регрессивный анализ. При помощи первого изучают связи пары факторов - независимого (аргумента) и зависимого (функции). Многофакторный анализ применяют при изучении силы и характера совокупного воздействия нескольких факторов- аргументов на показатель процесса. Требования к факторам, включаемым в модель Факторы - это организационные, технические, технологические, природные, климатические, социально- демографические и другие процессы и явления, оказывающие влияние на какойлибо экономико-производственный показатель: прибыль, себестоимость, продолжительность строительства, производительность труда и т.д. Факторы, включаемые в модель, должны соответствовать следующим условиям: должны иметь логическую связь и количественное выражение своего действия на рассматриваемый показатель; не должны быть тесно взаимосвязаны (в противном случае нет нужды включать в модель оба фактора). Очень важно поэтому определить допустимую тесноту связи между факторами, включаемыми в экономико-математическую модель; не обязательно должны иметь нормальное распределение, тем более, что экономические показатели, как правило, не подчиняютсянормальному закону распределения. Вместе с тем, корреляционно-регрессивные модели, использующие такие показатели, имеютнеплохие возможности для оценки качества и достаточно высокую предсказательную силу; - факторы, используемые в моделях, теоретически должны быть независимы. В строительном производстве, представляемом в виде многофакторной модели, нет независимых факторов, поэтому на практике рекомендуется использовать факторы, коэффициент корреляции которых не является значимым при вероятности 0,9; - внутренние факторы, включаемые в модель (хотя бы один из них), должны поддаваться регулированию и управлению. Парный корреляционно-регрессивный анализ В парной корреляции одному значению независимого аргумента может быть несколько конкретных значений независимого переменного функции, поэтому корреляционные зависимости могут быть установлены только при большом количестве наблюдений. При данном анализе рассматриваются следующие задачи: устанавливается наличие корреляции (связи) между величинами; устанавливается форма линии связи (линии регрессии); выясняются параметры линии регрессии; определяется достоверность установленной зависимости и достоверность отдельных параметров. Наличие корреляции может быть приближенно определено визуальным анализом поля корреляции, на котором нанесены точки, соответствующие одновременным значениям двух величин. Между этими точками проводится линия и на основании ее положения делается вывод о наличии корреляционной зависимости. Также визуально может определяться тесно- та связи между двумя величинами по соотношению короткой и продольной осей эллипса рассеяния наблюдений, нанесенных на поле корреляции. Чем больше отношение продольной стороны к короткой, тем теснее связь. В общем случае коэффициент корреляции "г" лежит в пределах от нуля до единицы. Если г = 0, то линейной связи нет, если г = 1, то между двумя вели- чинами существует функциональная связь. При положительном г наблюдается прямая связь - с увеличением независимого переменного увеличивается зависимое, при отрицатель- 13 ном наоборот - с увеличением независимого переменного уменьшается зависимое переменное. Коэффициент корреляции определяется по формуле: где х и у - текущие значения наблюдаемых величин; N - число наблюдений. Между указанными переменными возможны следующие зависимости - степенная, логарифмическая, параболическая, корреляционная периодического типа и др. Для численного определения параметров линии регрессии, выражающих связь между двумя величинами, наиболее часто используется метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов Сущность его состоит в том, что выбирается линия, при которой сумма квадратов разностей между фактическими наблюдениями зависимой переменной и расчетными значениями, по- лученными по регрессивной формуле, минимальна где у - расчетное значение зависимого переменного по регрессивной формуле. Степенная зависимость у = а • хь Для определения параметров степенной зависимости, проведя предварительно спрямление кривой, пользуются методом наименьших квадратов. Для этого левую и правую части формулы степенной зависимости необходимо прологарифмировать, в результате получим формулу: Оценка точности осуществляется определения параметров криволинейной при помощи корреляционного отношения: зависимостью Корреляционное отношение всегда 0 ≤η ≤ 1 и всегда положительно. При η = r кривая точнее определяет зависимость, чем прямая при r=η/ Дополнительной оценкой точности определения параметров, применяемой при оценке нелинейной корреляции, является средняя относительная ошибка аппроксимации Ε , определяемая по формуле: Логарифмическая зависимость выражается формулой: у = а + b•lgx Для получения параметров логарифмической кривой нужно прологарифмировать наблюдения по X и, рассматривая их как независимые переменные, определить параметры а и Ь по методу наименьших квадратов. Параболическая зависимость или многочлен n-ой степени В виде параболы второго порядка выражается формулой: у = а + bх + сх2 52 Определение параметров параболической кривой осуществляется методом наименьших квадратов. В целевую функцию метода наименьших квадратов расчетных значений у подставляется правая часть параболической кривой: вместо 14 Оценка точности определения параметров параболы производится по корреляционному отношению л и ошибке аппроксимации Ё Корреляционные зависимости периодического типа находят широкое применение при определении, например, характера материально-технического обеспечения строительного производства на весь период строительства, влияния сезонных факторов и т.д. Если в течение года проводить ежемесячные наблюдения какого-либо показателя (экономического, технологического, энергетического и т.д.), то время, как аргумент, может быть записано в виде: Мы получим 12 показателей аргумента у1, у2, y3,…,y12 Тогда зависимость величины от времени получим: где К =1,2, 3,..., m - заданное число этого многочлена; а0, ак, Ьк - коэффициенты линии регрессии, число которых равно 2m+1. Если N > 2m +1 , то коэффициенты ак и bк находятся по методу наименьших квадратов. Целевая функция имеет вид: Для определения неизвестных параметров а0, ак, bк необходимо продифференцировать это выражение по а0, ак, bк, приравнять полученные производные нулю, составить систему линейных уравнений и решить ее относительно а0, ак, bк. В результате получим: 53 Методы оценки Оценку полученных результатов осуществляют с использованием методов генеральной и выборочной совокупности, значимости коэффициента корреляции, коэффициентов регрессии, значимости уравнения регрессии и доверительных интервалов к уравнению регрессии, критериев согласия сия Множественный корреляционный анализ В процессе осуществления строительства на результирующий показатель часто влияет не один, а несколько взаимозависимых факторов. Для учета их совокупного влияния необходимо использовать методы множественной корреляции. Количественно тесноту связи при множественной корреляции можно оценить с помощью множественного коэффициента корреляции К. Для этого необходимо определить парные коэффициенты корреляции го! между всеми факторами гы , входящими в модель, результирующим показателем у и все парные коэффициенты корреляции между факторами. Все коэффициенты корреляции записываются в квадратную симметричную матрицу: 15 Множественный коэффициент корреляции определяется по формуле: где D - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции; Dli - определитель той же матрицы с вычеркнутыми первой строкой и первым столбцом, т.е. определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Для случая зависимости от двух факторов: где ρ - истинный коэффициент корреляции. Для определения влияния только одного i-ого фактора на результирующий показатель с исключением влияния других факторов используется частный коэффициент корреляции где Dli, Dii соответственно определители матрицы с вычеркнутой первой строкой и i-м столбцом и с вычеркнутой i-й строкой и i-м столбцом. При множественной корреляции от двух факторов коэффициент частной корреляции первого фактора равен: а коэффициент частной корреляции для второго фактора: Частный коэффициент корреляции отражает "чистое" влияние фактора на результирующий показатель и отличается от коэффициента парной корреляции гух. При линейной форме связи множественный коэффициент корреляции является оценкой точности аппроксимации (определения) и равен корреляционному отношению; при нелинейных формах связи для оценки точности аппроксимации (оценки адекватности модели) применя- 16 ются корреляционное отношение и ошибка аппроксимации, определяемые так же, как и при парной корреляции. Существуют следующие формы зависимости при множественной корреляции - линейная, является частным случаем параболической зависимости; степенная и показательная, частным случаем последней является экспоненциальная зависимость. Методы определения многофакторных зависимостей излагаются в прикладной математике МОДЕЛИРОВАНИЕ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ 3.1. Основные положения Практически для любой задачи организации, планирования и управления строительством характерна множественность ее возможных решений, зачастую большая неопределенность и динамичность осуществляемых процессов. В процессе разработки плана работы строительной организации, плана возведения объекта строительства приходится сравнивать между собой огромное количество вариантов и выбирать из них оптимальный в соответствии с выбранным критерием. Критерий - это тот показатель, который является мерилом эффективности плана (пути) достижения цели. Для предварительного анализа и поиска эффективных форм организации, а также планирования и управления строительством используется моделирование. Моделирование - это создание модели, сохраняющей существенные свойства оригинала, процесс построения, изучения и применения модели. Моделирование является основным инструментом анализа, оптимизации и синтеза строительных систем. Модель - это упрощенное представление некоторого объекта (системы), процесса, более доступное для изучения, чем сам объект. Моделирование дает возможность проводить эксперименты, анализировать конечные результаты не на реальной системе, а на ее абстрактной модели и упрощенном представленииобразе, привлекая, как правило, для этой цели ЭВМ. При этом необходимо иметь в виду, что модель является лишь орудием исследования, а не средством получения обязательных решений. Вместе с тем она дает возможность выделить наиболее существенные, характерные черты реальной системы. К модели, как и к любой научной абстракции, относятся слова В.И.Ленина: "Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит.. .от истины, а подходит к ней.. .все научные (правильные, серьезные, невздорные) абстракции отражают природу глубже, важнее, полнее" (В.И.Ленин. Поли.собр.соч. Изд. 5-е, т.29, с. 152). Современное строительство как системный объект характеризуется высокой степенью сложности, динамичностью, вероятностным характером поведения, большим числом составляющих элементов со сложными функциональными связями и другими особенностями. Для эффективного анализа и управления такими сложными системными объектами необходимо иметь достаточно мощный аппарат моделирования. В настоящее время интенсивно ведутся исследования в области совершенствования моделирования строительства, однако практика пока еще располагает моделями с довольно ограниченными возможностями полного адекватного отображения реальных процессов строительного производства. Разработать универсальную модель и единый метод ее реализации в настоящее время практически невозможно. Одним из путей решения данной проблемы является построение локальных экономикоматематических моделей и методов их машинной реализации. В общем случае модели подразделяются на физические и знаковые. Физические модели, как правило, сохраняют физическую природу оригинала. Для построения знаковых моделей может использоваться, в принципе, любой язык - естественный, алгоритмический, графический, математический. Наибольшее значение и распространение имеют математические модели в силу универсальности, строгости, точности математического языка. Математическая модель представляет собой совокупность уравнений, неравенств, функционалов, логических условий и других соотношений, отражающих взаимосвязи и взаимозависимости основных характеристик моделируемой системы. 17 Проблема выбора оптимальных решений имеет, применительно к каждой конкретной задаче, свои специфические особенности, а круг таких задач весьма широк. Тем не менее возможно и полезно выделить некоторые характерные черты и вытекающие из них общие подходы к постановке задач оптимизации и поиску наивыгоднейших решений. Оптимальные решения в технико-экономических задачах должны отбираться не путем использования интуитивных представлений, а, как правило, на основе строгого расчета. Для этого исходную технико-экономическую задачу необходимо соответствующим образом формализовать, т.е. описать с помощью математических выражений характерные для нее связи, зависимости между параметрами. Совокупность всех этих математических выражений и составляет, вместе с экономической характеристикой входящих в них величин, экономико-математическую модель задачи (объекта исследования, системы). Таким образом, экономико-математическая модель - это математическое описание экономического процесса (объекта, системы). Теоретические основы экономико-математических методов были разработаны российскими учеными В.С.Немчиновым, Л.В.Канторовичем, В.В.Новожиловым, Н.П.Бусленко. Им же принадлежит заслуга в разработке методологии экономико-математического моделирования и методов количественного подхода к социально-экономическим процессам. Корректно составленная и предназначенная для практического использования модель должна удовлетворять двум условиям: - адекватно отражать наиболее существенные черты анализируемого явления, процесса, системы; - должна быть разрешима, т.е. в описывающей ее системе условий должны отсутствовать математические, экономические, технологические противоречия и иметься эффективные вычислительные алгоритмы для поиска решений. Так как экономико-математическая модель это всего лишь постановка экономической задачи на математическом языке, то для ее решения необходимо разработать или подобрать из существующих метод решения (алгоритм). Экономико-математические модели подразделяются на описательные (не содержащие управляемых переменных) и конструктивные, главным образом, оптимизационные (бывают статистическими и динамическими, открытыми, учитывающими внешние воздействия на моделируемый объект, и закрытыми, содержащими управляемые переменные), а по форме представления аналитическими, графоаналитическими, графическими и т.д. Экономико-математические модели являются основой применения математических методов и электронно-вычислительной техники в экономике. Экономико-математические методы (термин введен В.С.Немчиновым) представляют собой комплекс экономических и математических дисциплин, таких как: - экономико-статистические методы (экономическая статистика, математическая статистика); - эконометрия - наука, изучающая конкретные количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов (с помощью математических и статистических методов и моделей); - исследование операций (методы принятия оптимальных решений); - экономическая кибернетика - отрасль науки, занимающаяся приложением идей и методов кибернетики к экономическим системам. Использование экономико-математических методов и ЭВМ в целях оптимального планирования и управления строительным производством требует последовательного выполнения ряда ниже перечисленных работ математического, технического, информационного и экономического порядка, таких как: - разработка экономико-математических моделей; - подготовка соответствующих алгоритмов и вычислительных схем; - программирование для электронных вычислительных машин; - формирование необходимой информации или исходных данных, требующихся для соответствующих расчетов; - классификация и кодирование объектов для расчетов на ЭВМ; 18 - анализ полученных результатов и их использование в практической деятельности. 3.2. Виды экономико-математических моделей в области организации, планирования и управления строительством Модели, используемые при решении задач организации, планирования и управления строительным производством, условно можно разделить на модели линейного программирования, нелинейные модели, модели динамического программирования, оптимизационные модели, модели управления запасами, целочисленные модели, цифровое моделирование, имитационные модели, вероятностно-статистические модели, модели теории игр, модели итеративного агрегирования, организационно-технологические модели, графические модели, сетевые модели. Рассмотрим каждую из них в отдельности. 3.2.1. Модели линейного программирования Понятие линейности связано с понятиями пропорциональности и аддитивности (аддитивность - возможность суммирования результатов). Методами математического программирования решаются задачи на экстремум (максимум, минимум) функций многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. Из методов математического программирования наибольшее распространение получил метод линейного программирования. Слово программирование показывает, что они применяются для планирования, т.е. для составления плана (программы), который обеспечивал бы оптимальное использование материальных и трудовых ресурсов. Слово линейное определяет математическую природу этих моделей. Она состоит в том, что условия задач выражаются системой линейных уравнений или неравенств, содержащих неизвестные только первой степени. Для любых задач линейного программирования характерны три следующих условия (по академику В.С.Немчинову): - наличие системы взаимосвязанных факторов; - строгое определение критерия оценки оптимальности; - точная формулировка условий, ограничивающих использование наличных ресурсов. С учетом этих условий экономическим содержанием задач линейного программирования является отыскание наилучших способов использования имеющихся ресурсов, например, определение оптимального плана закрепления потребителей однородного груза за поставщиками. Такого рода задачи получили название транспортных задач линейного программирования. Если нужно использовать разнородные ресурсы, например, различные машины, материалы и т.д. для выполнения какой-либо работы, то применяется общий метод линейного программирования, который получил в соответствии со своей математической основой название симплекс-метода, предложенного американским ученым Дж.Данцигом. Рассмотрим существо модели линейного программирования на простейшем примере. Задача поиска экстремума линейной функции при линейных ограничениях параметров называется линейным программированием (ЛП). В задачах ЛП требуется найти минимум некоторой линейной функции, вида (1): n с1 x1  c2 x2  ...  cn xn   ci xi  min 1 (1) при линейных ограничениях на параметры (2): T T Ax  b ; x  x1 , x 2 ,..., xn  b  b1 , b2 ,..., bn   a11 ...  A   ... ... a ...  m1 a1n   ...  a mn  (2) 19 Методами дифференциального исчисления эта задача не решается, т.к. производные от линейных функций - постоянные величины, которые не приравняешь нулю для нахождения экстремума, как это выполняется в методах решения задач оптимизации с помощью производной. Для решения задач ЛП используют специальные методы. В частности, так называемый симплекс метод. Если размерность задачи не велика, то она хорошо иллюстрируется графическими методами. Воспользуемся известным положением ЛП о том, что экстремум линейной функции находится в одной из вершин многогранника в пространстве или многоугольника на плоскости, образованных ограничениями, которые могут быть представлены в виде плоскостей в пространстве или прямыми линиями на плоскости соответственно, поскольку ограничения есть линейные функции (рис.2). Рис.2. Плоскости в пространстве Общий вид задачи на плоскости можно представить в виде выражений (3) и (4): с1 x1  c2 x2  min Ax  b ; x  x1 , x 2  T a A   11 a 21 b  b1 , b2  a12  ; x1  0, x 2  0 a 22  T (3) (4) Пример 1. Цех производит два вида изделий А и В. Их производство ограничено наличием сырья и временем машинной обработки. На изготовление изделия А требуется сырья - 3 кг, а изделия В 4 кг. Всего сырья в неделю отпускается 1700 кг. Машинного времени требуется на изготовление изделия А - 12 мин., а изделия В - 30 мин. Всего машинного времени в неделю - 160 часов. При этом прибыль от продажи, допустим, изделия А - 2 у.е., изделия В - 4 у.е. Вопрос: Сколько цеху производить деталей вида А и В, чтобы прибыль была максимальной? Решение: Разработаем математическую модель. Пусть х1 - количество изделий А, выпускаемых в неделю; х2 - количество изделий В, выпускаемых в неделю. Тогда еженедельная прибыль находится по уравнению (5): С  2 x1  4 x2  max x1  0; x2  0 (5) Наша задача обеспечить ее максимум. Ограничение на сырье и ограничение на машинное время определим уравнениями (6) и (7): 20 3x1  4 x 2  1700 (6) 0,2 x1  0,5 x2  160 или 2 x1  5 x2  1600 (7) Задача двухмерная, поэтому она может быть легко решена графически. Нарисуем область определения параметров x1 и x2. Она определяется тремя линиями на плоскости в системе декартовых координат (рис. 3). Линия № 1 (8) Определяет огранич. на сырье: 3x1  4 x 2  1700 (8) Линия № 2 (9) Огранич. на машинное время: 2 x1  5 x2  1600 (9) Линия № 3 (10) Целевая функция: C  2 x1  4 x2 (10) Рис. 3. Область определения параметров Определим ориентацию градиента целевой функции: С  2 x1  4 x2 Градиент – это вектор n  2,4  . Нарисуем вектор параллельный градиенту из начала координат и, используя информацию о том, что экстремум будет в одной из вершин многоугольника определим его. Он будет в точке В (300, 200). Заметим, что координату точки экстремума можно определить как точку пересечения двух прямых: 2 x1  5 x2  1600 3x1  4 x 2  1700 Решая систему, найдем, что x1 = 300 и x2 = 200. 21 По формуле (10.10) находим, что максимальная прибыль составит 1400 у. е. 3.2.2. Нелинейные модели Слово нелинейные показывает, что соответствующие задачи описываются нелинейными уравнениями. Свойство нелинейности состоит в том, что о результат взаимодействия нескольких факторов не равен простой алгебраической сумме их действий. Например, если планировать одновременную работу двух рабочих, то их производительность будет одна, если четырех - она может быть и меньше из-за недостаточности фронта работ, несогласованности действий рабочих и т.д. Нелинейная зависимость между переменными характерна и для задач размещения, в которых неизвестными являются не только пункты производства, но и объемы производства в каждом из них. Затраты на выпуск единицы строительной продукции обычно уменьшаются с ростом объема производства нелинейно. Поэтому в критерии оптимальности задачи размещения производства, представляющем собой приведенные затраты на производство и транспортировку продукции, будут содержаться нелинейные члены. Покажем на примере различия в линейной и нелинейной постановках задач. Пусть задача связана с определением оптимального распределения m однотипных строительных бригад для строительства n однотипных объектов. Задан требуемый темп выполнения работ и норма их выполнения дли каждой бригады – qi. Требуется найти такое распределение бригад, при котором темп выполнения всего объема работ будет максимальным. Введем обозначения: - требуемый темп выполнения работ на i-ом объекте; - норма по выполнению работ на i-ом объекте; - количество бригад, назначаемых на выполнение работ на i-ом объекте. Рассмотрим функцию, характеризующую темп выполнения работ на i-ом объекте при выделении на этот объект бригад. В линейной постановке этой задачи целевая функция и ограничения должны быть линейными. В частности, функция запишется в виде: Графически эта зависимость представлена на рис.4. Рис. 4. Зависимость темпа выполнения работ на объекте от количества выделенных бригад 22 В качестве критерия выберем средний темп выполнения работ на n объектах. Если обозначить величину через С1, то целевая функция будет иметь вид: Систему ограничений можно построить следующим образом: - целые числа Таким образом, постановка задачи имеет следующий вид: найти такое количество бригад выделяемых на каждый объект, при котором достигает максимума функция , и выполняются ограничения: ----------------------------------------- На практике функцию Уi( ) вряд ли правильно считать при значениях 3 линейной. Учитывая тенденцию так называемого "насыщения", она скорее всего будет иметь вид, показанный на рис.5. Рис. 5. Характер изменения общей производительности бригад в зависимости от их количества 23 V x  Рассмотрим нелинейную постановку задачи, сняв требование линейности с функции i i и целевой функции. т.е. будем считать их произвольного вида. Покажем важнейший недостаток приведенной ранее линейной постановки задачи, а именно: критерий - средний темп выполнения работ Он не учитывает возможности выполнения работ на отдельном объекте. Например, для следующих 2-х вариантов распределения бригад может оказаться средний темп выполнения работ одинаковым (30 + 60 + 0)= 30 ед.объема работ/сут. (30 + 30 + 30)= 30 ед.объема работ/сут. Более полным будет обобщенный критерий, если его построить на принципе учета расстояния или "дефицита" показателей эффективности по отдельным объектам, в частности, "дефицита" по темпам возведения отдельных объектов: Обычно "дефицит" выражают в относительных величинах Целевая функция с учетом приведенных ранее соображений может быть записана в виде: V mp  V  xi qi   F  x1 , x 2 ,..., x n   max  i   min Vi mp   Иначе говоря, чем меньше значения максимального "дефицита", т.е. функции F( х2,..., хп), тем в целом успех выполнения работ будет выше. При этом ограничения будут иметь вид: Если в линейной постановке зависимость темпа строительства от количества выделенных на объект бригад описывалась формулой то в нелинейной постановке она может иметь следующий вид: , 24 где - коэффициент, учитывающий условия выполнения работ (например, зима) график функции V = 2 При показан на рис.6 Рис.6. Характер изменения возможностей бригад от их количества В рассмотренном примере показана разница в линейной и нелинейной постановке аналогичной задачи. Пример взят из /2/. В некоторых задачах из области организации и управления строительством в качестве "дефицита" может быть использовано отклонение требуемого времени продолжительности строительства от расчетного, т.е. При этом целевая функция будет иметь вид: F = max(⧍ ) l≤i≤n Алгоритмом для поиска решений в случае нелинейных моделей является математический аппарат нелинейного программирования. Если целевая функция отыскивается в условиях неопределенности, то такая задачи относится к стохастическому программированию. Применительно к экономико-технологическим явлениям и процессам нелинейное программирование относится к наиболее неизученному математическому направлению. 3.2.3. Модели динамического программирования Динамическое программирование - метод оптимизации решений, разработанный для многошаговых или многоэтапных операций. Существуют операции, имеющие многоходовой характер. В частности, можно представить в виде многоэтапных операции развитие экономической ситуации в течение некоторого периода времени, обучение студентов в вузе от сессии до сессии, некоторые военные операции и многие другие. В некоторых случаях этапы вводят искусственно. Итак, рассмотрим операцию, состоящую из m шагов. Эффективность (выигрыш) операции характеризуется показателем W. Выигрыш за всю операцию складывается из отдельных выигрышей i на каждом этапе. m W   i i 1 (11) 25 Если критерий W обладает таким свойством, то его называют аддитивным критерием. Допустим, операция является управляемой, то есть выигрыш зависит от решений на каждом шаге. Т.е. мы имеем дело с “шаговым управлением”. Управление операцией x складывается из отдельных шаговых управлений xi (12): X   x1 , x2 , ..., xm  (12) В общем виде величины xi могут быть и не числа, а векторы, функции и т.д. Требуется найти такое управление Х, при котором выигрыш W обращается в максимум (13): m W    i  Wmax  W * (13) То управление, при котором достигается максимум эффективности называется оптимальным управлением. Оно состоит из оптимальных пошаговых управлений (14): i 1 X *   x1 *, x2 *,..., xm * (14) Примеры постановки задач многошаговой операции. Пример 1. Планируется деятельность группы промышленных предприятий П1,П2, ..., Пk на m - лет. В начале периода выделены некоторые средства М, которые должны быть распределены между предприятиями. 1 Вопрос: Какое количество средств необходимо выделять каждому предприятию в начале каждого года, чтобы суммарный доход за эти m - лет был максимальным. Суммарный доход представляет собой сумму доходов на отдельных этапах (15), то есть обладает свойством аддитивности: m W   i i 1 (15) Годовое управление состоит в распределении средств между предприятиями: X i  xi1 , xi 2 , ..., xim  где первый индекс i = 1, 2, ... , m - год работы предприятия, а второй индекс – номер предприятия. Совокупное управление состоит из суммы шаговых управлений: X   x1 , x2 , ..., xm  Требуется найти распределение средств по предприятиям и по годам, при котором величина W обращается в максимум и, таким образом, найти путь оптимального управления. Пример 2. Прокладка наивыгоднейшего пути между двумя пунктами. Для постановки задачи допустим, что путь от одного пункта, до другого можно разбить на отрезки, при этом движение может быть в строго перпендикулярных друг к другу направлениях на восток или север (рис.7) 26 Рис. 7. Схема задачи В задаче требуется проложить такой путь, чтобы суммарные затраты на перемещение были минимальными. Перебор всех вариантов может быть затруднителен. Проведем оптимизацию на каждом шаге с помощью динамического программирования. Рассмотрим конкретный пример решения в упрошенном виде (рис. 8). Разделим путь в восточном и северном направлении части, так чтобы любой путь из пункта А в пункт В состоял из четырех шагов. Поставим на каждом из отрезков число, выражающее стоимость движения на каждом из отрезков. А в узлах сетки минимальную стоимость на перемещение. Поскольку последний шаг всегда оптимален, так как выбор для последнего шага, вообще говоря, или отсутствует, или очевиден, то процедуру оптимизации будем разворачивать в обратном направлении - от конца к началу, т.е. от точки В к точке А. Рис. 8. Решение в упрощенном виде Так из точки С1 возможен путь только на восток и он стоимостью - 3 руб., из точки С2 только на север стоимостью 2 руб. Поэтому в узлах условной сетки пути, в точке С1 ставим цифру - 3, а в точке С2 - цифру 2 и стрелки, однозначно указывающие направление движения из данных узлов. Оптимальным из двух возможных шагов является путь - С2В. Рассмотрим стоимости предпоследних шагов из точек: D1, D2, D3, и их влияние на общий выигрыш. Из D1 можно двигаться только в точку С1, общая стоимость пути - 5 руб. Из D3 27 также путь однозначно определен - в точку С2. Общая стоимость пути из D3 - 4 руб. В то же время из D2 существует два варианта движения: на север или на восток. Причем, если мы пойдем на север, то затратим 2руб. и в сумме до конца пути 5 руб., а если на восток, - то на предпоследнем шаге затратим также 2 руб., но до конца пути только 4 руб. Поэтому в пункте D2 ставим число 4 р. как меньшее и укажем стрелкой направление оптимального движения. Аналогично рассматриваются все оставшиеся отрезки и пункты к началу движения. В каждом пункте находим условное оптимальное управление, которое обозначаем стрелкой и условный оптимальный выигрыш, который записан в кружечке. Последний вычисляется путем сложения оптимизированного расхода на отрезке с предыдущим оптимизированным расходом до конца пути. Таким образом выполняется условная оптимизация. Из любой точки мы знаем куда идти (стрелка) и во что нам обойдется путь до конца (число в кружочке). В точке А записан оптимальный выигрыш за весь путь: W* = 7р. Остается построить безусловное оптимальное управление - траекторию, ведущую из А в В самым дешевым способом. Для этого нужно только “слушаться стрелок”, т.е. двигаться их начального пункта в направлении по стрелкам. Такую оптимальную траекторию отметим стрелками. Соответствующее безусловное оптимальное управление выполняется по формуле (16): X *  B, B, C , C  (16) Если в дороге встречается пункт, из которого то и другое направления оптимальны, то можно придумать дополнительный, второстепенный критерий для облегчения выбора. Если ничего не придумывать, то оба пути равнозначны. Решим задачу наивным способом, выбирая с первого шага тот путь, который дешевле. Например по точкам: А-Е1-D2-C1-B. И путь в лучшем случае окажется на одну единицу дороже. Основные этапы задач динамического программирования. Первый этап: Выбор параметров характеризующих управляемую систему. От выполнения этого первого шага зависит принципиальная возможность решения задачи. Если учитывать множество параметров, то над нами повисает, по меткому выражению Белмана “проклятие многомерности” - бич не только метода ДП, но и всех других методов оптимизации. Второй этап: Расчленение операции на шаги. Т.е. выбор отрезка или шага, на котором мы способны оценить изменение в системе. Переход ее в новое качество. Третий этап: Определение шаговых управлений. То есть, определение набора инструментария для управления. Четвёртый этап: Определение величины выигрыша на каждом шаге управления при переходе в новое состояние, которое определим в виде (17): Wi  f i S , xi  (17) Пятый этап: Определение степени изменения состояния системы, под влиянием управления в виде (18): S    i S , xi  (18) Шестой этап: Нахождение основного рекуррентного уравнения ДП, выражающего условный оптимальный выигрыш в виде (19): Wi S   max f i S , xi   Wi 1 S  (19) 28 Седьмой этап: Произвести условную оптимизацию, начиная с последнего до первого шага. Выполнить подготовку рекомендаций управления на каждом шаге. Восьмой этап: Произвести безусловную оптимизацию, читая рекомендации на каждом шаге от первого до последнего. Пример 3. Задача: Необходимо распределить 4 бригады по 10 человек на строительство новых четырех объектов, чтобы выполнить максимальный объем строительно-монтажных работ, если известно, что объем СМР на объектах с 1 по 17 в зависимости от количества рабочих, направляемых на эти объекты, различен и записан в виде следующей матрицы: Таблица 1 Количество рабочих 10 20 30 40 Номера объектов I II Объем СМР, тыс.руб. 10 8 23 18 27 25 29 32 III IV 12 20 31 35 11 19 28 36 Решение: В качестве этапов вычисления будем рассматривать направление рабочих сначала на один объект, затем на два, на три и, наконец, на четыре объекта. Таблица 2 Количество F1(x) F2(x) q2(x) F3(x) q3(x) F4(x) q4(x) рабочих 10 10 8 10 12 12 12 11 20 18 20 23 19 23 23 23 30 27 25 31 31 28 35 35 40 29 32 41 35 43 36 46 Функции объемов СМР в зависимости от количества рабочих на каждом объекте: F1  x  - по первому объекту; F2(x) - по второму; Fз(х) - по третьему; F4(x) - по четвертому; где х - количество рабочих. Функции оптимального распределения объемов СМР: q1(x) - по первому объекту; q2(x) - по двум; q3(x) - по трем; q4(x) - по четырем объектам. Нахождение оптимума на каждом этапе производится методом простого перебора всех возможных вариантов. 1.В первом столбце F1  x  записаны объемы СМР, получаемые при направлении рабочих на I объект. F1  x   q1 x  , так как при направлении всех рабочих на первый объект размер СМР F1  x  для него и будет оптимальным. 29 2.Во втором столбце F2(x) записаны объемы СМР, получаемые при направлении всех рабочих на второй объект. 3.Третий столбец формируется как результат выполнения объемов СМР по двум объектам (первому и второму). 3.1. При составлении бригады 10 человек их можно направить только в один из двух рассматриваемых объектов. Так как объем СМР при распределении 10 человек на I объект (10 тыс. руб.) больше, чем на II (8 тыс. руб.), то этих рабочих выгоднее направить на I-й объект. В столбце q2 (10) записываем 10 тыс. руб. q2(10)= max 10 + 0 = 10 = 10 0+8=8 3.2. Если количество рабочих равно 20 чел., то могут быть три варианта их распределения: 3.2.1. Всех рабочих (20 чел.) направить на I объект, что даст объем СМР 23 тыс. руб.; 3.2.2. Всех рабочих направить на II объект, при этом объем СМР составит 18 тыс. руб. 3.2.3. 10 человек направить на I объект, 10 человек - на II объект, что даст суммарный объем СМР 18 тыс. руб. Максимальный объем СМР при распределении 20 человек по трем вариантам составит 23 тыс. руб. 23 + 0 = 23 q2(20)= max 0 + 18 = 18 = 23 10 + 8 = 18 3.3. Если количество рабочих равно 30 человек, то могут быть четыре варианта распределения: 3.3.1. Всех рабочих (30 чел.) направить на I объект, что даст объем СМР 27 тыс. руб.; 3.3.2. Всех рабочих направить на II объект, при этом объем СМР составит 25 тыс. руб.; 3.3.3. 20 человек направить на I объект, 10 человек - на II объект, что даст суммарный объем СМР 31 тыс. руб.; 3.3.4. 10 человек направить на I объект, 20 человек - на II объект, что даст суммарный объем СМР - 28 тыс. руб. Максимальный объем СМР при распределении 30 человек на I и II объектах составит q2(30)= max 27 + 0 = 27 0 + 25 = 25 = 31 23 + 8 = 31 10 + 18 = 28 3.4. Если количество рабочих равно 40 человек, то могут быть пять вариантов их распределения: 3.4.1. Всех рабочих (40 чел.) направить на I объект, что даст объем СМР - 29 тыс. руб.; 3.4.2. Всех рабочих (40 чел.) направить на II объект, при этом объем СМР составит 32 тыс. руб.; 3.4.3. 20 человек направить на I объект и 20 человек направить на II объект, что даст суммарный объем СМР - 41 тыс. руб.; 3.4.4. 30 человек направить на I объект, 10 человек - на II объект, что даст суммарный объём СМР - 35 тыс. руб.; 3.4.5. 10 человек - на I объект, 30 человек - на II объект, что даст суммарный объем СМР - 35 тыс. руб. Максимальный объем СМР при распределении 40 человек на I и II объектах составит 41 тыс, руб. 30 q2(40)= max 4. Далее 29 + 0 = 29 0 + 32 = 32 = 41 23 + 18 = 41 27+8=35 10 + 25 = 25 находим, пользуясь вышеизложенной методикой, оптимальное распределение рабочих по трем объектам, рассматривая оптимальные распределения q 2  x  , найденные на предыдущей итерации, в качестве исходных данных q3(10)= max 10 + 0 = 10 = 12 0 + 12 = 12 q3(20)= max q3(30)= max 23 + 0 = 23 0 + 20 = 20 = 23 10 + 12 = 22 31 + 0 = 31 0 + 31 = 31 = 35 23 + 12 = 35 10 + 20 = 30 41 + 0 = 41 0 + 35 = 35 q3(40)= max 23 + 20 = 43 = 43 31 + 12 = 43 10 + 31 = 41 5.Найдем оптимальное распределение рабочих по четырем объектам. Составляем оптимальный вариант q4(x) на следующей итерации, перебирая варианты по паре, образованной оптимизированным вариантом q3(x) = и четвертым (исходным) вариантом F4(x). q4(10)= max 12 + 0 = 12 = 12 0 + 11 = 11 23 + 0 = 23 q4 (20)= max 0 + 19 = 19 = 23 12 + 11 = 23 35 + 0 = 35 q4 (30)= max 0 + 25 = 25 23 + 11 = 34 12+ 19 = 31 = 35 43 + 0 = 43 0 + 36 = 36 q4 (40)= max 23 + 19 = 42 = 46 35+ 11 = 46 12 + 25 = 37 31 Полученные числа 12, 23, 35,46 заносят в столбец q4(x) новой матрицы (таблица 2). Обратным порядком определяем оптимальный вариант. На основании полученной матрицы (табл. 2) сделаем следующий вывод: максимальный объем СМР будет выполнен, если на I объект направить 20 человек, на III объект направить 10 человек, на IV объект - 10 человек. Объем строительно-монтажных работ при этом составит 46 тыс. рублей. Из примера видно, что благодаря применению метода динамического программирования задача с четырьмя пара метрами превратилась в три задачи с одним параметром, что позволило легко и просто решить задачу. 3.2.4. Оптимизационные модели (постановка задачи оптимизации) Оптимизационные модели представляют собой обширный класс экономико-математических моделей, позволяющих выбрать из всех возможных решений самый лучший, оптимальный вариант. В математическом смысле оптимальность понимается как достижение экстремума (максимума или минимума) критерия оптимальности, именуемого также нулевой или целевой функцией. Оптимизационные модели решаются с помощью методов математического программирования с использованием электронно - вычислительной техники и формируются в общем виде следующим образом: "Надо отыскать значения показателей Х2,...,Хn, характеризующие экономический объект или процесс, придающие максимальное или минимальное значение нулевой (целевой) функции F(Х1, Х2,...,Хn), при соблюдении ограничений, накладываемых на область изменения показателей , Х2,...,Хn, и связей между ними в виде Если решение Х1 , Х2,...,Хn не противоречит ограничениям, принятым в задаче, то его называют допустимым. Допустимое решение, при котором нулевая функция принимает экстремальное (максимальное или минимальное решение) считается оптимальным. Иначе говоря, полученные таким обратом значения неизвестных Х1, Х2,.. .Хn будут искомыми величинами в рассматриваемой задаче. Если целевая функция, ограничения, связи между искомыми показателями выражены в виде линейных зависимостей, то оптимизационная мидель сводится к задаче линейного программирования. На практике часто целевую функцию выразить в виде линейных зависимостей не удается. Это приводит к необходимости рассмотрения задач нелинейного программирования. Оптимизационные модели в строительстве чаще всего встречаются в задачах отыскания лучшего способа использования экономических и материальных ресурсов, размещения производственных мощностей предприятий по производству строительных изделий, парка строительных машин и т.д. 3.2.5. Модели управления запасами Модели управления запасами используются при необходимости определения в строительстве объема запаса строительных материалов, конструкций и изделий, характера изменения его в процессе возведения объекта, обновления запаса в связи с поступлением и расходованием ресурсов, с целью обеспечения бесперебойности и надежности строительного процесса при минимальных затратах, связанных с хранением, пополнением, расходованием запаса. Так как уровень спроса неожиданно возникающих потребностей в ресурсах носит чаще всего случайный характер, то модели управления запасами должны быть стохастическими, вероятностными, в упрощенной постановке возможно использование детерминированных моделей. В строительстве чаще всего применяются модели управления складскими запасами. 32 В общем виде экономико-математическая модель управления запасами может быть представлена: где - текущий уровень запаса стройматериалов на складе в момент времени t; Знач - начальный запас материалов на складе в момент t = 0; - поступление материалов на склад за время t; ) - расходование материалов со склада за время t; Очевидно, что в любой момент запас материалов на складе не может быть отрицательным, то есть: Поступление и расходование материалов со склада обычно производится партиями. Обозначив объем поставки через шение к виду: , а объем расходуемой партии преобразуем исходное соотно- где n - количество поставляемых партий стройматериалов; m - количество расходуемых партий стройматериалов. Это равенство является базисным в модели управления запасами. В зависимости от того, какие величины (показатели) в нем заданы, а какие являются искомыми, различают разные виды моделей. Часто в модель включают показатели, характеризующие затраты на поставку, хранение, отправку товаров со склада. Критерием оптимальности моделей управления запасами, как правило, является объем затрат, их минимум (минимум исследуемой функции). В процессе определения экономического содержания затрат учитываются затраты, связанные с заказом каждой новой партии материальных ресурсов; транспортные расходы; расходы на содержание складов и хранение материалов; затраты на складские операции, штрафы и т.д. Ограничения в задачах управления запасами могут быть самого различного характера. Как правило, они используются для описания предельной величины тех или иных параметров системы (модели). Например, ограничения могут устанавливаться по максимальному объему запасов; максимальной площади, занимаемой складируемыми материалами и конструкциями; максимальной стоимости; средней стоимости числу поставок в заданном интервале времени, максимальному объему и т.д. Многообразие реальных практических ситуаций предопределяет рассмотрение большого числа вариантов задач управления запасами. Методом теории запасов можно решать очень широкий круг задач оптимального планирования таких ресурсов, как финансы, парк строительных машин и транспортных средств, трудовые ресурсы и т.д. 3.2.6. Целочисленные модели Результаты решений многих задач, стоящих перед строителями, должна быть. выражены в целых числах (например, определение оптимального количества заводов, являющихся поставщиками строительных конструкций или числа монтажных кранов и т.д.). Но если даже в простую задачу линейного программирования внести дополнительное требование целочисленности неизвестных (х = 1,2,3 и т.д.), то решать ее обычными методами уже нельзя. На первый взгляд кажется, что можно легко выйти из положения, округлив полученное какимлибо методом решение. Но что может означать к примеру 2, 3 дома? Надо строить 3 дома? 33 Это решение невозможно, либо возможно осуществить за счет уменьшения других показателей плана. Найти целочисленный оптимальный план - задача непростая. Для решения ее требуется применение довольно тонких специальных математических методов (например, метод "Гомори", основанный на идеях симплекс-метода) Одним из примеров целочисленного программирования является задача о назначениях. Покажем на примере сущность этой задачи и алгоритм ее решения, в основе которого лежит так называемый венгерский метод. Пример. Пусть имеется необходимость перебросить пять строительных бригад к месту строительства пяти различных объектов. Под назначением понимается факт приписки бригады к одному из объектов Задача состоит в том, чтобы найти такое назначение, при котором общее время доставки бригад к месту работы было минимальным. доставки i-ой бригады в j-ый пункт назначения и виде табл.3. Представим время Таблица 3 3 4 5 6 6 5 3 4 7 7 3 3 2 3 4 7 1 5 8 9 Таблица 4 1 4 5 1 2 5 5 2 1 3 4 4 2 6 7 3 3 1 8 Основной принцип задачи о назначениях состоит в следующем: оптимальность решения не нарушается при уменьшении (увеличении) элементов строки (или столбца) таблицы (матрицы) на одну и ту же величину t.. Алгоритм решения может быть представлен в виде этапов. Этап 1. Образование нулей. Среди элементов каждого столбца табл.1 выбирается наименьший элемент (в таблице эти элементы обведены кружочками) и вычитается из всех элементов этого столбца. В результате этих действий получаем таблицу 6, в которой элементами являются разности Таблица 5 Таблица 6 34 Этап 2. Поиск возможного оптимального решения Оптимальное решение в данной постановке означает, что все затраты имеют нулевое значение. Если такое решение найти не удалось, то следует перейти к третьему этапу. Последовательность действий при поиске оптимального решения состоит в следующем. Анализ табл.6 начинается с выявления строк, содержащих минимальное число нулей, при этом один из нулей такой строки обводится квадратиком. Затем вычеркиваются все остальные нули, находящиеся в этой строке. Процесс продолжается до тех пор, пока в таблице все нули будут либо обведены квадратиками, либо вычеркнутыми. На данном этапе оптимального решения получить не удалось, так как во второй строке таблицы нет нулевого элемента. Возьмем, например, элемент = 5, тогда решение будет иметь вид: = 5 + 0+0 + 0 + 0 = 5, а это решение не оптимально (см. табл.4). Этап 3. Образование набора строк и столбцов, содержащих все нули, имеющиеся в таблице (см. табл.5) Последовательность действий: 1 .Пометим крестиком (х) строки, не содержащие ни одного обведенного квадратиком нуля. В нашем случае строка 2. 2.Отметим каждый столбец, содержащий зачеркнутый нуль хотя бы одной из помеченных строк. В нашем случае 5-ый столбец. 3. Пометим каждую строку, в которой содержится обведенный квадратиком нуль хотя бы в одном из помеченных столбцов. В нашем случае строка 1 4.Далее повторяем перечисленные действия 2 и 3 пока не останется строк и столбцов, которые еще можно пометить. Переходим к этапу 4. Этап 4. Завершение этапа 3 Прочеркнем каждую непомеченную строку и каждый помеченный столбец (см. табл.5). Прочеркнем строки 3, 4, 5 и 5-ый столбец. Переходим к этапу 5. Этап 5. Добавление нулей В части таблицы, состоящей из неперечеркнутых элементов, выберем наименьший элемент (см.табл.5). Это будет элемент 1-ой строки, равный 1. Вычтем этот элемент из всех элементов столбцов 1, 2, 3, 4, 5 и прибавимего ко всем элементам перечеркнутых строк, т.е. строк 3, 4, 5. В результате получаем табл.6. Этап 6. Получение оптимального решения или переход к этапу 3 Оптимальное решение определяется в последовательности, описанной в этапе 2. Повторив этап 2, получим таблицу 6. В табл. 6 нули, обведенные квадратиками, образуют оптимальное решение: = 3+1+1+2+1=8, 3.2.7. Цифровое моделирование (метод перебора) Методы линейного и динамического программирования дают возможность заменить простой перебор возможных вариантов решений упорядоченным и экономным поиском оптимального результата. Однако существует много технико-экономических задач, важных в практическом отношении, для решения которых нужны иные методы. К таким задачам относятся различные вероятностные задачи, где оптимальное решение (поведение, стратегию) надо выби- 35 рать в условиях неопределенности исходных данных, когда поведение системы случайно и может быть описано лишь в терминах математической статистики (среднее значение, математическое ожидание, дисперсия, спектр, функция корреляции, законы распределения и т.п.). В этих случаях обычно нельзя указать рациональные аналитические методы решения, и поэтому такие задачи решаются методом перебора. Одним из простейших и, пожалуй, наиболее распространенных методов оптимизации является метод перебора (сканирования). Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть в процессе моделирования производственной ситуации, по которой необходимо принять решение, получена символьная модель вида: где W - общий критерий функционирования; - множество управляемых переменных; - множество неуправляемых переменных; - соотношение, связывающее управляемые и неуправляемы переменные. Чтобы получить желаемое решение, нужно определить значения управляемых переменных, максимизирующие или минимизирующие критерии функционирования системы W. Обычно для получения решения задачи поступают таким образом Сначала устанавливают диапазон возможных изменений управляемых переменных . Затем для дальнейших исследований используются те из управляемых переменных , которые удовлетворяют системе определенных ограничений. Для этих значений вычисляются значения целевой функции W. В качестве решения задачи принимаются значения , при которых целевая функция принимает экстремальные значения. Достоинством метода является не только простота его реализации на ЭВМ, но и принципиальная применимость к решению многих практических задач, возможность получения глобального экстремума. Основной недостаток - большие затраты времени, особенно в связи с возрастанием размерности задачи. 3.2.8. Имитационные модели Имитационное моделирование является частным случаем цифрового моделирования. Аналитические методы описания и анализа функционирования сложных систем обычно не позволяют учесть особенности организационно-экономических систем, связанные с непрерывностью и дискретностью их элементов, с нелинейностью связи между характеристиками системы, с воздействием многочисленных внешних и внутренних случайных факторов. Для количественного анализа и решения задач, не имеющих строгого аналитического описания, используется имитационное моделирование. Имитационная модель не ставит целью получение точного решения задачи, но она и не связывает себя слишком жесткими математическими предписаниями. Она не решается в аналитическом смысле, а осуществляется именно "проигрывание", "прогон" модели. Мощные электронно-вычислительные комплексы дают возможность проводить эксперименты, в которых экспериментатор со своей интуицией и "здравым смыслом" может постоянно контролировать процесс принятия решений, изменять исходные предпосылки и логику решения, уточнять требования к выходным данным и т.д. Имитационное моделирование имеет ряд преимуществ по сравнению с аналитическим: это возможность применять модели, адекватные реальным системам, неограниченно экспериментировать с моделью, внося различные допущения, фактор неопределенности и т.д. (напомним, что аналитическая оптимизация динамических вероятностных процессов наталкивается на очень большие трудности). В то же время разработка и программирование для ЭВМ имитационные моделей сопряжены обычно с весьма большими затратами труда и времени Ведь каждая имитационная модель по-своему уникальна, тогда как аналитические модели носят типовой характер, и для их решения на ЭВМ почти всегда можно воспользоваться готовыми прикладными программами. 36 Поэтому, если реальная задача хорошо вписывается в аналитическую модель, то потребность в разработке имитационной модели отпадает. Имитационные модели могут применяться в самых различных областях управленческой деятельности: для исследования, принятия и проверки решений, полученных другими методами; построения и оценки альтернатив, расчета широкого диапазона прогнозов и оценок будущего состояния производсвенной системы; оценки долгосрочных последствий от принято решения; формирования календарного расписания производственной деятельности с вероятностными сроками начала и окончания работ или этапов и.т.д. Имитационные модели часто используются в "деловых играх". В этом случае модель, состоящая из большого числа математических уравнений, связывающих причины и следствия, позволяют определить последствия решений, принимаемых участниками игры. 3.2.9. Вероятностно - статистические модели Это модели, учитывающие влияние случайных факторов в процессе функционирования строительных систем, основаны на статистической, т.е. количественной оценке массовых явлений, позволяющей учитывать их нелинейность, динамику, случайные возмущения, описанные разными законами распределения. Вообще в любой производственной задаче всегда присутствуют вероятностные элементы. Если принимаются решения по таким моделям, то мин должны содержать информацию о вероятности наступления определенных событий и о том, какое влияние эта вероятность может оказать на результаты данной системы. Например, при организации планового профилактического ремонта строительных кранов необходимо знать не только, какие узлы и детали их могут выйти из строя, но и вероятность наступления этого события, а также точно оценить последствия. Вероятностно-статистические модели изучаются как с привлечением традиционного арсенала средств и методов теории вероятности и математической статистики (теория массового обслуживания, факторный анализ, стохастическое программирование и т.д.), так и путем статистического моделирования, представляющего собой числовую имитацию с помощью ЭВМ функционирования модели. Возможности в изучении вероятностных моделей, открываемые методом статистического моделирования, настолько велики, что сегодня уже приходится обосновывать необходимость традиционного аналитического подхода к построению моделей и изучению их свойств. Статистическое моделирование является лучшим методом в том случае, если целью задачи является просто получение ответа в конкретном случае. Если же целью является получение общего решения и проникновение в глубь изучаемого феномена, то статистическое моделирование - менее удовлетворительный путь. 3.2.10. Модели теории игр На практике не редко возникают ситуации, когда интересы различных подразделений в строительстве не совпадают. Такие ситуации называются конфликтными, а модели, с помощью которых эти ситуации анализируются - игровыми. Теория игр - это математическая теория разрешения таких ситуаций, в которых сталкиваются интересы сторон, преследующих различные цели. Игра представляет собой математическую модель конфликтной ситуации, с помощью которой участвующие в ней стороны, действуя по определенным правилам, пытаются найти стратегию поведения, гарантирующую, в результате разрешения конфликта, достижение желаемой цели. Результат действий одной из сторон зависит не только от ее действий, но и от действий, выбранных противниками. Таким образом, задачей теории игр является установление таких способов действий, которые обеспечивают наибольшую выгоду каждого из участников игры. Наибольшее развитие в теории игр получило изучение так называемых парных игр с нулевой суммой. Иначе говоря, использование таких моделей конфликтных ситуаций, в которых 37 имеются две враждующие стороны и выигрыши, получаемые одной стороной в ходе развития конфликта и в результате выбора обеими сторонами определенных стратегий, в точности равны проигрышам другой. При этом стратегия - это совокупность правил и рекомендаций по ведению игры от начала до конца. Условия игры задаются так называемой матрицей игры или платежной матрицей. Она показывает плату играющих сторон в случае, когда одна сторона выбирает стратегию Аi, а другая - стратегию Вj. Если сторона А имеет n стратегий, то такая игра называется игрой размерности n x m. Приведем пример платежной матрицы, заимствованной из /2/. Она отражает ситуацию, в которой сторона А для достижения цели может выбрать одну из трех стратегий Аь А2, А3. В то же время сторона В может ответить любой из четырех стратегий В1, В2, В3,В4. Цифрами в платежной матрице показаны выигрыши и проигрыши. Из табл. 7 следует, что сторона В проигрывает столько, сколько выигрывает сторона А Цель игры для стороны А - найти стратегию, обеспечивающую максимальный гарантированный выигрыш, а цель стороны В - выбрать стратегию, обеспечивающую минимальный проигрыш. Таблица 7. Платежная матрица Очевидно, сторона А выберет стратегию Аъ гарантирующую получение максимального среди минимальных выигрышей, равный 18 единицам. При этом сторона В ответит стратегией В3, которая гарантирует ей минимальный из максимальных проигрышей, также равный 18 единицам. Любые другие ситуации могут либо только уменьшить выигрыш стороны А, либо увеличить проигрыш стороны В. Такое понятие теории игр как компромиссное (равновесное или эффективное) решение помогает более глубокому выяснению принципов оптимальности в процессах принятия решений. Следует отметить, что теория игр в том виде, как она сейчас сложилась, представляет собой скорее раздел "чистой", а не прикладной математики. Впервые основные положения этой науки были изложены в 1944 году в книге Моргенштейна "Теория игр и экономическое поведение". Теория игр представляет собой пример того, как можно математизировать задачи, которые обычно решались чисто экспериментальным путем, без использования количественных измерителей. 3.2.11. Модели итеративного агрегирования Итерация (от лат. iteratio - повторение) - повторное применение каких-либо математических операций. При использовании математических моделей на различных уровнях иерархии управления приходится иметь дело с агрегированием (укреплением) информации. Очевидно, что для моделей более высоких уровней управления характерна большая степень агрегирования показателей, чем для моделей низких уровней, система показателей которых может быть весьма детализированной. Поэтому при согласовании решений "по вертикали" приходится иметь дело с проблемой, связанной с неодинаковой степенью детализации показателей моделей 38 разных уровней. Для решения этой проблемы разрабатываются модели и методы итеративного агрегирования. 3.2.12. Организационно-технологические модели Организационные, организационно-технологические и технологические модели представляют графическое или формализованное описание процессов возведения зданий, сооружений, структуру управления этими процессами, строительной организацией и т.д. В любой организационно-технологической модели должны быть описаны перечень строительно-монтажных работ, порядок их выполнения, характер взаимосвязей между работами, отражающих специфику технологии строительства, строительные нормы и правила, необходимость рационального использования ресурсов и т.д. Технологические модели строительного производства являются основным элементом современных автоматизированных систем управления строительством (АСУС). Центральное ядро оперативного управления и тесно связанных с ним задач подготовки строительного производства, технико-экономического управления, управления материально-техническим обеспечением и многих других задач базируется именно на таких моделях. Моделирование задач строительного производства требует значительной исходной информации, в первую очередь нормативной. Организационная модель наглядно и просто отображает структуру управления строительномонтажной организацией, в то время как экономико-математическая модель строительной организации чрезвычайно сложна ввиду ее многозвенности и динамичности. Различают дискриптивный и нормативный (прескриптивный) методы разработки организационных моделей. При дискриптивном методе анализируется существующая организационная система, разрабатываются и внедряются экономико-математические методы и ЭВМ для решения задач управления и совершенствования организационной структуры. При нормативном методе разрабатываются оптимальная организационная структура строительно-монтажной организации и соответствующая ей оптимальная система управления. Организационные, организационно-технологические и технологические модели являются одним из инструментов организации, планирования и управления производственнохозяйственной деятельностью строительно-монтажных организаций и строительным производством. Поэтому приобретение навыков в их формировании и применении является обязательным условием подготовки инженеров-строителей. 3.2.13. Графические модели Для анализа структуры, связей, процессов и отношений в производных системах используются графические модели, обладающие определенной наглядностью и универсальностью, позволяющей рассматривать их в любых направлениях, по частям или в целом. Графические модели нашли широкое применение в строительстве для отображения взаимосвязи работ подразделений, распределения обязанностей, полномочий и т.д. Графически можно интерпретировать (т.е. изобразить в виде планов, схем, диаграмм или графиков) многие модели линейного и динамического программирования, организационнотехнологические и др. На практике графические методы моделирования классифицируются по содержанию и форме на три основные группы: оргограммы, т.е. графики, отражающие организационные отношеия в производственных системах. К ним относятся классификационные схемы, оргасхемы, оперограммы, органиграммы и т.д. Оргограммы используются для моделирования организационных структур и процессов; хронограммы (пооперационные, контрольные, сборочные и другие графики); и томограммы (схемы обслуживания рабочих мест, маршрутные схемы, циклограммы и т.д.). Хронограммы и топограммы, графически отображающие расположение предметов, ресурсов и явлений во времени и пространстве, нашли наибольшее применение при построе- 39 нии моделей строительного производства (линейные графики Ганта, циклограммы, сетевые графики и др.); диаграммы и номограммы - это графики количественных отношений (ссоотношений) различных величин. Номограммы дают также возможность определить некоторые величины без специальных вычислений. 3.2.14. Сетевые модели Традиционные линейные графики горизонтальные и циклограммы, вообще говоря, не дают указаний о нахождении способов наилучшего использования ресурсов. Сетевые модели позволяют найти оптимальные или близкие к оптимальным последовательности работ и использования ресурсов Опираясь на современную вычислительную технику, сетевое моделирование, наряду с эффективным использованием времени и других ресурсов, обеспечивает также возможность четкого оперативного руководства при реализации весьма сложных строительных программ. Сетевая модель, помимо графической интерпретации, может быть представлена, например, и виде таблицы или массива исходных данных для ЭВМ. Термин сетевая модель (сетевой график, логическая сеть) основывается на понятии ориентированного графа. Ориентированным графом называется совокупность множества точек и множества ориентированных дуг, соединяющих эти точки. Область графа, ограниченная несколькими точками (вершинами), некоторые из них не имеют входящих или выходящих дуг, носит название сети. Сеть, моделирующая определенный строительный процесс (программу), называется сетевой моделью данного процесса (программы). При этом ориентация дуг графа осуществляется в соответствии с логикой (технологией) этого процесса. Упорядоченная группа дуг; в которой каждая вершина (исключая первую и последнюю), является общей точкой для двух дуг в группе, называется путем. Один или несколько из множества путей, который на строительном графике имеет наибольшую иродолжтельность, называется критическим. Переоценка времени реализации всего проекта связана с переоценкой времени выполнения работ, лежащих на этом пути. Критический путь находится с помощью ЭВМ и различных математических методов (например, можно использовать динамическое программирование). Сетевые модели ознаменовали собой значительный шаг вперед в области моделирования и календарного планирования дискретных технологических процессов. В отличие от линейных, сетевые модели могут описать взаимосвязи между работами и определенный класс организационно-технологических схем строительных процессов. Математические методы сетевого планирования достаточно хорошо разработаны. Имеются многочисленные программы анализа сетевых моделей и решения задач календарного планирования на их основе. На базе сетевых моделей созданы так называемые систеьы сетевого планирования и управления, которые широко применяются в различных отраслях экономики России и особенно в строительстве. Системы сетевого планирования и управления, являясь предшественником автоматизированных систем управления строительством, прочно вошли в них в виде одной из основных частей. Сетевые методы нельзя отнести к оптимизационным, хотя и существуют способы нахождения на их основе наилучших вариантов. В большой степени они связаны с анализом всего комплекса работ, осуществляемых для реализации определенной программы. При этом соблюдается основной принцип использования сетевых методов - выделение ведущего звена (критического пути), определяющего выполнение всей программы В соответствии с этим принципом во всей совокупности работ выделяют те которые в случае невыполнения их в срок, задержат, например, ввод в строй какого-либо объекта. Значительным достижением, в настоящее время, является разработка способов построения стохастических сетевых моделей, в которых анализируемые параметры имеют вероятностный характер. Это сразу же поставило сетевое моделирование в ряд наиболее эффективных 40 способов нахождения тех или иных рациональных методов планирования и поиска управленческих решений. Некоторые успехи достигнуты и в области оптимизации параметров сетевых графиков. Это стало возможным благодаря использованию методов теории графов. 4. ОРГАНИЗАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ СТРОИТЕЛЬСТВОМ 4.1. Основные направления моделирования систем управления строительством Организационные модели используются на всех стадиях проектирования систем управления строительством для поиска, обоснования и выбора оптимальной структуры управления, но особую роль они играют при определении количественных характеристик аппарата управления, разработке процедур управленческой деятельности, при анализе и совершенствовании информационных потоков. Обычно применяемые в экономических моделях методы теории организации и управления непосредственно заимствованы из технических дисциплин. Эти методы объясняют, как надо управлять физической системой, воздействуя на соответствующие свободные параметры при ограничениях, характеризующих законы функционирования системы, но недостаточно учитывают социально-психологические факторы. На содержательном уровне задача управления экономическими системами формулируется в тех же терминах, но они обладают более организованной внутренней структурой, вызывающей значительные затруднения при ее описании. На практике можно выделить следующие основные направления моделирования систем: - математико-кибернетическое моделирование, включающее в себя математические многоуровневые системы принятия решений, имитацию процессов организационного управления, формальное описание информационных и административно-управленческих связей и другие модели; - моделирование организационного поведения на реальных строительных объектах с целью изучения степени управленческой специализации, различий в стилях управления, опробования вариантов организационных структур и др.; - использование статистических методов и моделей для анализа организационных параметров на базе выборочных обследований работы реальных строительных организаций. 4.2. Аспекты организационно-управленческих систем (моделей) Каждое из указанных выше направлении, несмотря на различие в используемом методическом аппарате, изучает аналогичные проблемы, которые должны: - отражать характер управления производственными процессами. Элементами модели являются производственные процессы и связи между ними; - показывать взаимосвязь источников и потребителей информации. Элементы модели - источники и потребители информации, а также связи между ними; - анализировать процессы сбора, систематизации, обработки информации и выработки управленческий решении. Элементы модели - процессы обработки информации и связи между ними; - отражать специализацию аппарата управлении, элементы модели; - функции аппарата управления, его работы и операции; - анализировать состав органов и объектов управления, их административной подчиненности. Элементами модели являются подразделения строительной организации, должности, характеристики подчиненности; - отражать взаимоотношения индивидуумом и групп людей. Элементами модели являются конкретные индивиды и группы людей, их взаимосвязи. 41 Указанные проблемы моделирования систем управления в значительной степени связаны между собой, каждой из них соответствует своя структура. 4.3. Деление организационно-управленческие моделей на группы Модели организационных систем и процессом управлении условно можно разделить на две группы: 4.3.1. Модели первой группы. К ней относятся модели принятия решений и информационных потоков - модели принятия решении (одно или многоуровневых), информационные модели коммуникационной сети, компактные информационные модели, интегрированные информационно-функциональные модели. Для моделей первой группы характерно формальное- моделирование одного или нескольких аспектов организационной системы с использованием экономико-математических методов. Результаты такого моделирования используются лишь как дополнительный аргумент при оптимизации организационной структуры системы управления. 4.3.2. Модели второй группы в основном отражают связи и отношения между элементами организационной структуры. Ко второй группе организационно-управленческих моделей относятся: модель организационно-технологических связей, модель организационно-управленческих связей, модель факторного статистического анализа управленческих связей, детерминированная функциональная модель, организационная модель массового обслуживания, организационноинформационная модель. Для второй группы организационно-управленческих моделей характерно использование, полно или частично, формализованной структуры управления. Результаты моделирования могут быть непосредственно использованы, помимо совершенствования информационной системы управления, при оптимизации организационной структуры строительной организации. 4.4. Виды моделей первой группы 4.4.1. Модели принятия решений (одно или многоуровневых) отражают информационный (коммуникационный) и информационно-технологический аспекты системы управления. В качестве математического аппарата используются методы математического программирования, сетевые модели, теории игр и т.д., т.е. широкий арсенал методов исследования операций. 4.4.2. Информационные модели коммуникационной сети строительной организации отражают производственно-технологический и социально-психологический аспекты, формируются по принципу минимизации суммарной стоимости передачи информации при условии доведения ее до всех получателей. В этом случае информационная структура отождествляется с организационной структурой управления. Эти модели целесообразно использовать для решения бухгалтерских, учетных, оперативно-диспетчерских и т.п. процессов, когда качество управления строительной организацией в значительной мере определяется затратами на передачу информации. 4.4.3. Компактные информационные модели отражают производственно-технологический, информационно-технологический и организационно-административный аспект управления и формируются с использованием принципа минимизации коммуникационных связей. Предполагается, что наилучшие условия для этого создаются при максимальной близости элементов системы. 4.4.4. Интегрированные информационно-функциональные модели Интегрированная информационно-функциональная модель отражает производственнотехнологический, функциональный и социально-психологический аспекты, используется для разработки и внедрения интегрированной системы обработки данных с одновременной от имитацией организационной структуры строительной организации. 42 4.5. Виды моделей второй группы 4.5.1. Модели организационно-технологических связей отражают производственнотехнологический, информационный, информационно-технологический аспекты управления и основываются на предположении, что на низовых уровнях управления решающим фактором, определяющим организационную структуру, является характер технологии строительного производства. Связи между производственно-технологическими процессами и занятыми в них работниками различаются по типам (общие, последовательные, многосторонние) и интенсивности (сильные, средние, слабые). Наиболее тесно связанные элементы системы строительной организации объединяются в группу с последующим выделением руководителей мастеров, прорабов, начальников участков. 4.5.2. Модель организационно-управленческих связей отражает производственнотехнический, функциональный, информационно-технологический и организационноадминистративный аспекты, дает возможность оценить интенсивность информационных (организационных) связей в диапазоне от "очень сильная связь" до "связь между функциями нежелательна". Анализируются варианты закрепления функций за подразделениями, выделяются функции, имеющие наиболее тесную связь, контроль за исполнением которых будет выполнять один руководитель Модель организационно-управленческих связей применяется для анализа сложных управленческих связей и оптимизации структуры на среднем уровне. 4.5.3. Модель факторного статистического анализа управленческих связей Модель факторного статистического анализа управленческих связей отражает производственно-технологический, информационно-технологический, функциональный и организационно-административный аспекты, базируется на анализе целей строительных организаций, рассматриваемых на определенный, продолжительный период времени. На основе этого устанавливается перечень функций и задач в системе управления. Осуществляется анализ значимости отдельных задач, их связей и взаимозависимостей, оценивается целесообразность укрупнения задач и обязанностей руководителей, ответственных за их реализацию. Полученные данные обрабатываются методами факторного анализа. Модель применима в случае, когда известен круг задач и состав исполнителей, а также в случае необходимости перераспределения функций и задач подразделений внутри действующей строительной организации. 4.5.4. Детерминированные функциональные модели Детерминированная функциональная модель отражает производственно-технологический, функциональный и организационно-административный аспекты; создается путем деления функций управления на элементарные функции (работы, операции), каждая из которых могла бы выполняться одним исполнителем и при этом его загрузка была бы нормальной. Проводится балансировка загрузки работников за счет регулирования числа подчиненных у одного руководителя, передачи, при необходимости, части загрузки другому руководителю и т.п. Разрабатываются права и обязанности каждого руководителя, положения о функциях подразделений в системе управления строительной организации. Модель применяется для анализа на среднем уровне системы управления при условии его стабильного функционирования в течение длительного времени. 4.5.5. Организационные модели массового обслуживания Организационная модель массового обслуживания отражает производственнотехнологический, социально-психологический и организационно-административный аспекты управления. В основу ее положено математическое описание процесса функционирования системы управления с учетом регулярного выполнения регламентированных задач управления и случайного, незапланированного взаимодействия в процессе функционирования системы управления из-за отклонений при реализации ранее принятых решений. 43 Подсистема оперативного управления описывается в виде линейно-стохастической сети массового обслуживания с неоднородными потоками требований по перераспределению ресурсов и оптимизируется по критерию минимума суммы потерь, возникающих вследствие естественного запаздывания управляющих решений (регулярная составляющая), а также непредвиденных задержек в принятии и согласовании решений (случайная составляющая). Модель дает возможность оказать помощь в создании организационной структуры строительной организации и информационных связей функциональных служб, принимающих согласованные решения. 4.5.6. Организационно-информационные модели Организационно-информационная модель отражает производственно-технологический, функциональный, социально-психологический и организационно-административный аспекты управления и имеет вид органиграммы распределения ролей в процессе принятия решений. Во Франции, например, существует нормативное описание органиграммы (см. AFNOR – Association de normalization - французская ассоциация технических норм и стандартов), где дается следующее определение ее цели: "Цель органиграммы структуры управления заключается в схематическом представлении всего предприятии, его или отдельного органа". Обычно выделяют два типа связен в органиграмме: связи по линии иерархии управления, изображаемые сплошными линиями, и связи совещательного (консультативного) характера, изображаемые пунктирными линиями, хотя при желании показать другие связи можно использовать и другие условные обозначения. Те же французские специалисты выделяют следующие соображения, определяющие практическое значение разработки и использования организационно- информационной модели в виде оргограммы: - все приобретает определенный порядок, представляющий собой важнейший фактор эффективности работ предприятия, структуру его организации; - руководитель предприятия и каждый работник получают четкое представление о всем предприятии в целом и об области своей деятельности; - устраняется возможность ослабления ответственности, представляющая собой серьезную опасность для предприятия; - создается возможность систематического выявления перегрузок, дублирования и необходимости создания новых должностей; - устраняются конфликты между званиями (должностями) и полномочиями (ответственностью); - при отсутствии руководителя распределение работ на предприятии может быть произведено автоматически; - создается возможность для быстрого формировании новых элементов. На рис. 9 показан пример органиграммы одной из фирм, занимающейся экспортом своей продукции, и указаны линии прямого подчинения, связей информационного и совещательного (консультативной) характера, линии передачи специализированных полномочий. Мы видим, что главный администратор по сбыту имеет штабные функции (совещательную власть) по отношению к другим директорам по сбыту и имеет функциональные, или специализированные, полномочия (полученные от генерального администратора в части, относящейся к сбыту) по отношению к региональному директору. Диаграмма наглядно показывает, с одной стороны, что эти связи представляют собой нечто большее, чем информационные и совещательные (консультативные) связи, а с другой - что региональный директор имеет право апеллировать непосредственно к генеральному администратору по поводу распоряжений, отдаваемых, например, генеральным администратором по сбыту. В данном случае речь идет о линейной и совещательной структуре (так называемой функциональной структуре) с добавлением связей, возникающих в результате передачи некоторых специализированных полномочий. 44 Рис. 9. Пример функционально-сбытовой органиграммы фирмы Наконец, в этой же самой структуре мы видим связь, обозначенную пунктиром. Эта связь информационного и совещательного (консультативного) характера имеет нисходящее направление, но она предполагает наличие постоянных взаимоотношений. Это функциональная служба, отнесенная к определенному уровню системы управления, в которой специалист, находящийся на нижней ступени, подчиняется линейному начальнику. Органиграмма, понимаемая в широком смысле, содержит, как правило, структуры управления и перечень функций, осуществляемых каждым руководителем. 4.5.7. Основные этапы и принципы моделирования На первом этапе создания модели должны быть определены: конечные цели моделирования, набор факторов и показателей, взаимосвязи между которыми нас интересуют; какие из этих факторов, в рамках исследуемой системы, можно считать "входными" (т.е. полностью или частично регулируемыми или хотя бы легко поддающимися регистрации и прогнозу; подобные факторы несут смысловую нагрузку "объясняющих"), а какие "выходными" (главный объект исследования). Эти факторы обычно трудно поддаются непосредственной регистрации или прогнозу и несут смысловую нагрузку "объясняемых". Если исходная статистическая информация еще не собрана, то сбор необходимых статистических данных тоже является содержанием первого этапа. На втором этапе занимаются математической формализацией и, если возможно, экспериментальной проверкой исходных положений, относящихся к природе и качественному характеру исследуемого явления (этап формирования априорной информации). Нахождение 45 количественного выражения качественному содержанию того или иного процесса является наиболее трудным делом. Если принимаемые допущения (положения) не могут быть подтверждены экспериментальной проверкой, то их следует подкрепить теоретическими обоснованиями или ссылками на мнения авторитетных экспертов и специалистов. Третий этап является этапом создания модели, так как он включает в себя непосредственный вывод общего вида модельных соотношений, связывающих между собой интересующие нас входные и выходные показатели, создание электронной модели (ввод числовых данных в ЭВМ) на основании этих количественных показателей и ее алгоритма. Общий вид модели на данном этапе определяет лишь структуру модели, ее символическую запись, в которой наряду с известными числовыми значениями присутствуют величины, физический смысл которых определен, а числовые значения пока неизвестны - они подлежат определению в четвертом этапе. Четвертый этап - этап статистического анализа параметров исследуемого процесса (объекта), подсчета и сопоставления полученных оценок, анализа их свойств и соответствия желаемому результату. Решение задач четвертого этапа решается полностью методами статистической обработки данных. На пятом этапе осуществляется оценка адекватности модели с использованием различных процедур сопоставления модельных заключений, оценок, следствий и выводов с реально наблюдаемой действительностью. Шестой этап - планируются, при необходимости, и проводятся исследования, направленные на уточнение модели, дальнейшее развитие и углубление положений второго этапа. Взаимосвязь этапов Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели и, следовательно, необходимо возвратиться к первому этапу и произвести корректировку исходной постановки. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на четвертом этапе - при подготовке исходной информации, в случае, если затраты на ее подготовку слишком велики или она вообще отсутствует. В случае, если известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначально поставленном виде, а времени на разработку новых алгоритмов и программ не хватает, то в этом случае упрощают исходную постановку задачи и модель - снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д. Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. В заключение можно заметить, что трудности создания эффективных моделей объясняются сложностью сбора и обработки информации о системе, отсутствием нормативной базы и соответствующей системы процедур для выработки целей и критериев. 46 Перечень контрольных вопросов Вопросы к экзамену по дисциплине «Математическое моделирование» 1. Модель. Математическая модель. Основные понятия. 2. Преимущества объекта-модели перед объектом-оригиналом. 3. Как определяется понятие «моделирование»? 4. Адекватность модели. Моделирование как познавательный процесс. 5. Какие требования предъявляются к математическим моделям? 6. Классификация математических моделей по целям работы. 7. Классификация математических моделей по основаниям на которых построена модель. 8. Статические и динамические математические модели. 9. Дискретные и непрерывные математические модели. 10. Детерминированные, вероятностные и нечеткие математические модели. 11. Линейные и нелинейные математические модели.