Основы квантовой и атомной физики

Лекция №4 Основы квантовой и атомной физики Цели: В результате изучения данной темы вы будете знать: • основные характеристики теплового излучения; • понятие абсолютно черного тела и законы его излучения; • квантовая гипотеза Планка; • законы фотоэффекта; • уравнение Эйнштейна для фотоэффекта; • модели атомов Томсона и Резерфорда; • физический смысл постулатов Бора; • универсальное свойство материи - корпускулярно-волновой дуализм; • соотношение неопределенностей; • физический смысл волновой функции и условия, которым она должна удовлетворять; • роль уравнения Шредингера в рамках квантовой механики и вид этого уравнения для различных квантово-механических объектов. Перечень основной литературы, необходимой при изучении раздела: 1. Трофимова Т.И. «Курс физики», учебное пособие, 2008 г. 2. Трофимова Т.И. 500 основных законов и формул. Справочник, 2003 г. 3. Воробьев А.П., Шибкова JI.B. Янцер JI.B. «Основы квантовой и атомной физики», учебное пособие, изд. ВТУ, 2011г. Дополнительная литература: 1. Дмитриева Е.И., Иевлева JI.Д., Костюченко JI.C. физика в примерах и задачах, учебное пособие - М: Форум, ИНФРА, 2008 г. 2. Иевлева А.Д. Физика. Учебное пособие, 2-е издание исправленное - Лань, СПб. 2009 г. С данным разделом связаны: Раздел: 1 Физические основы механики Раздел: 4 Электричество и магнетизм. Учебные вопросы 1. Квантовая оптика. 2. Атомная физика. 3. Квантовая механика. 1. Квантовая оптика. Особенности и характеристики теплового излучения Излучение электромагнитных волн веществом согласно волновой теории обусловлено колебаниями электрических зарядов, входящих в состав вещества. Но излучение сопровождается потерей энергии. Чтобы обеспечить длительное излучение энергии, необходимо пополнять её убыль. В зависимости от того, каким способом подводится энергия к излучающему телу, будет различен и характер свечения. Процессы излучения, сопровождающиеся химическими превращениями внутри тела, называются хемилюминесценцией. Излучение вещества за счет поглощаемого телом электромагнитного излучения называется фотолюминесценцией. Возбуждение свечения при воздействии электрического поля (газовый разряд) называется электролюминесценцией. Но из всего многообразия электромагнитных излучений можно выделить одно, которое присуще всем телам. Испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тела называется тепловым излучением. Тепловое излучение свойственно всем телам, имеющим температуру выше абсолютного нуля. При высоких температурах излучаются видимые и ультрафиолетовые электромагнитные волны, при низких - преимущественно инфракрасные волны. Особенностью теплового излучения является то, что оно является равновесным, т.е. это единственный вид излучения, которое может находиться в равновесии с излучающими телами. Для количественной оценки теплового излучения вводятся следующие характеристики. Интегральная лучеиспускательная способность (энергетическая светимость) Mj численно равна энергии, излучаемой в единицу времени с единицы поверхности: dW МТ = • (\) dSdt ’ ’ Дж _ Вт м1 •с м1 Опыт показывает, что различные тела при данной температуре излучают в разных диапазонах длин волн. Поэтому возникает необходимость охарактеризовать испускаемое излучение по спектру. Спектральная лучеиспускательная способность тела (спектральная плотность энергетической светимости) M'L;i численно равна энергии, излучаемой с единицы поверхности в единицу времени в единичном интервале длин волн вблизи данной длины волны X: Энергетическая светимость связана со спектральной лучеиспускательной способностью следующим образом: ии М т = J’ М лт dX Способность тела поглощать падающее на него излучение характеризуется поглощательной способностью, а>_ г тела, показывающей, какая доля энергии, падающей за единицу времени на единицу поверхности в интервале длин волн от Я до Л + dA поглощается телом. W поглощ. °iJ = ~w ' пад. Абсолютно черное тело Особый интерес представляют тела, способные поглощать полностью при любой температуре все падающее на них излучение любой длины волны. Такие тела называются абсолютно черными. Следовательно, поглощательная способность абсолютно черных тел равна единице для всех длин волн и температур. аАГ Абсолютно черных тел в природе нет, однако такие тела, как сажа, платиновая чернь, черный бархат и некоторые другие в определенном интервале длин волн по своим свойствам близки к ним. Однако возможно более остроумное решение. Представим себе полость с небольшим отверстием. Луч, попавший в полость через отверстие, способен выйти наружу только после многократных отражений. Но при каждом отражении теряется некоторая доля энергии. Поэтому при малом отверстии в большой полости луч не сумеет выйти, т.е. практически полностью поглотится. Опыт показывает, что при размере отверстия меньше 0,1 диаметра полости попадающее в полость излучение всех длин волн практически полностью поглощается. Глубокая нора, раскрытое окно, не освещенной изнутри комнаты, колодец - примеры абсолютно черных тел. Топочные устройства с «глазком» в плавильных печах, муфельные печи с отверстием, зрачок глаза, Солнце, огненный шар, возникший при атомном взрыве - примеры тел, близких по своим свойствам к абсолютно черным. Закон Кирхгофа Опыт показывает, что излучательная и поглощательная способности тел связаны между собой. В состоянии теплового равновесия температура всех тел в замкнутой теплонепроницаемой оболочке одинакова. Следовательно, тело, обладающее большой испускательной способностью, должно иметь и большую поглощательную способность, иначе температура этого тела изменится. Кирхгоф, анализируя условия равновесного излучения в такой изолированной системе тел, установил количественную связь между льной и поглощательной способностями тел: Отношение спектральной лучеиспускательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела и есть величина постоянная для данной длины волны и температуры. Ц -J Для абсолютно черного тела &л,т = 1, поэтому согласно закону Кирхгофа получаем М.. = М' а Отношение спектральной лучеиспускательной и поглощательной способностей любого тела равно спектральной лучеиспускательной способности абсолютно черного тела при той же температуре и длине волны. Так как ослт для любого тела всегда меньше единицы, то из закона Кирхгофа следует, что тепловое излучение любого тела в любой области спектра всегда меньше, чем тепловое излучение абсолютно черного тела (при тех же значениях ХиТ). Законы излучения абсолютно черного тела (закон Стефана- Больцмана и закон смещения Вина) Закон Кирхгофа ставит в центр внимания теории теплового излучения определение спектральной лучеиспускательной способности абсолютно черного тела. Определение вида этой функции явилось основной задачей учения о тепловом излучении. Однако её решение было получено не сразу. На рисунке ниже представлена экспериментально полученная зависимость ^л,т от /I Попытки же теоретически определить вид функции М^ т (Д) долгое время не давали общего решения задачи. Австрийский физик И. Стефан, анализируя экспериментальные данные в 1879 г., и JI. Больцман, применяя термодинамический метод в 1884 г., решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости абсолютно черного тела от температуры: М'т=а-Т\ (8) Это выражение представляет собой закон Стефана-Больцмана. Интегральная излучательная способность абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его температуры, где П-*,(Л 1П-8 ДЖ ' Аи 2 гг 4 - постоянная Стефана-Больцмана. м • с ■ К Согласно закону смещения Вина длина волны ><ь на которую приходится максимум спектральной лучеиспускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре Т: Я0-Т = в, где в = 2,9-10 3м- К - постоянная Вина. Этот закон называется законом смещения, потому что по мере возрастания температуры тела максимум функции не только увеличивается по величине, но и положение его смещается в область более коротких длин волн. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре всё сильнее преобладает длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла). Квантовая гипотеза и формула Планка Несмотря на то, что законы Стефана-Больцмана и Вина играют в теории теплового излучения очень важную роль, они являются частными законами, т.к. не дают общей картины распределения энергии по спектру при различных температурах. Классические термодинамика и электродинамика, хорошо справившиеся с описанием сложнейших природных процессов, позволяющие описывать работу всех известных машин, оказались бессильными перед этой, казалось бы, простой задачей. Избавил физику от катастрофы немецкий ученый Макс Планк в 1900 году. «После нескольких недель напряженной работы в моей жизни тьма, в которой я барахтался, озарилась молнией и предо мной открылись неожиданные перспективы» - говорил впоследствии Планк в своем нобелевском докладе. Молния, о которой он говорил, озарила целую область знаний о природе вещества. Рассматривая процесс обмена энергией между нагретым телом и окружающим пространством, Планк предположил, что этот обмен совершается не непрерывно, а в виде небольших порций. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе атомы и молекулы вещества излучают энергию определенными порциями энергии - квантами, энергия которых пропорциональна частоте v излучения: E=hv , где h = 6,625 • 10 Дж • с - постоянная Планка. Так в науку вошло представление о минимальной порции энергии - кванте, которое совершило настоящую революцию в физике. Эта идея оказалась столь плодотворной, что дальнейшее развитие её охватило почти все области физики. Используя свою гипотезу, Планк пришел к формуле, которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектре излучения абсолютно черного тела во всем интервале длин волн от 0 до со и при различных температурах: С 1 е*-\ ’ где С] и Сг - постоянные величины. Эта формула была названа в честь Планка, который изложил её теоретический вывод на заседании немецкого физического общества 14 декабря 1900 года. Этот день стал днем рождения квантовой физики. Из формулы Планка следуют, как частные случаи, законы Стефана- Больцмана и Вина. 00 м; = } М\,с1Л = аТ*. закон Стефана-Больцмана. О Закон смещения Вина можно получить, если найти максимум функции МI j 5 для чего надо найти производную этой функции по X и провести исследование на максимум. Следовательно, формула Планка дает исчерпывающее описание теплового излучения, которое стало возможно благодаря революционной гипотезе Планка. Фотоэлектрический эффект. Виды фотоэффекта Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового излучения абсолютно чёрного тела, долгое время не вызывала резонанс в научной среде. Считалось, что эта гипотеза рабочая, созданная только для объяснения механизма обмена тепловой энергией между излучением и веществом. Продемонстрировал поразительные возможности кванта А. Эйнштейн при объяснении закономерностей фотоэффекта. Рассмотрим это явление именно с этой стороны, т.к. открытие и исследование фотоэффекта сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Явление фотоэффекта было открыто в 1887 г. Г.Герцем, наблюдавшим усиление процесса разряда при облучении искрового промежутка ультрафиолетовыми лучами. Фундаментальные и систематические исследования фотоэффекта были проведены русским учёным А.Г. Столетовым. Фотоэффектом называется явление освобождения электронов вещества под действием электромагнитного излучения. Различают фотоэффект внешний, внутренний и вентильный: а) внешним фотоэффектом называется явление испускания электронов веществом под действием электромагнитного излучения; б) внутренний фотоэффект - увеличение числа свободных электронов внутри вещества, что приводит к повышению электропроводности вещества; в) вентильный фотоэффект - возникновение ЭДС при освещении контакта двух полупроводников с разным типом проводимости или полупроводника и металла. Основные закономерности внешнего фотоэффекта Облучая катод светом различных длин волн и измеряя ток включенным в цепь амперметром, Столетов установил следующие закономерности: • наиболее эффективное действие оказывают ультрафиолетовые лучи; • под действием света вещество теряет только отрицательные заряды; сила тока, возникающего под действием света, прямо пропорциональна его интенсивности. Дальнейшие многочисленные исследования позволили получить всесторонние данные о вольт-амперной характеристике фотоэффекта, т.е. о зависимости фототока I от напряжения U между электродами. Анализ графиков показывает, что фототок постепенно возрастает и при некотором значении напряжения достигает максимального значения, которое называется током насыщения /„. При таком значении напряжения все электроны, испускаемые катодом, достигают анода. Из вольтамперной характеристики следует, что при U= 0 фототок не исчезает, т.е. вылетающие из катода электроны обладают начальной скоростью, достаточной для того, чтобы долететь до анода «самостоятельно», без ускоряющего поля. Для того чтобы фототок стал равен нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение U3. При таком напряжении ни одному из электронов, даже обладающему максимальной цпах скоростью при вылете из анода, не удастся преодолеть задерживающее поле и достигнуть анода. eU„ где w-масса электрона; е - заряд электрона, равный 1,6-10'19Кл. Это соотношение позволяет определить максимальную скорость вылетающих фотоэлектронов по измеренному напряжению U3. В результате проведенных экспериментов было получено огромное количество вольт-амперных характеристик разнообразных материалов при различных частотах и световых потоках падающего на катод излучения. Обобщение этих экспериментальных данных позволило установить закономерности внешнего фотоэффекта: 1) фототок насыщения прямо пропорционален световому потоку при неизменном спектральном составе света I л ~ Ф 2) максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно возрастает с частотой падающего света и не зависит от его интенсивности. Для каждого вещества существует минимальная частота И) света (зависящая от рода вещества и состояния его поверхности), при которой свет любой интенсивности фотоэффекта не вызывает. С • «красная граница» фотоэффекта. У г» 3) фотоэффект безинерционен. Надо отметить, что к этому времени общепризнанной в науке была волновая теория света, в которой свет есть электромагнитная волна. Однако установленные экспериментально зависимости не укладывались в рамки волновой теории света. Решил задачу Эйнштейн в 1905 г. на основе предложенной им квантовой теории фотоэффекта. Он пришел к выводу, что свет частотой v не только испускается, как это предполагал Планк, но и распространяется в пространстве, и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых Е — Н- V. Таким образом, распространение света надо рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в Эйнштейн пространстве дискретных световых квантов, которые получили название фотонов. С помощью теории Эйнштейна законы фотоэффекта получаются сами собой. Надо только сделать естественное предположение, что фотон взаимодействует с электроном один на один. Энергия каждого фотона зависит от частоты световых колебаний, т.е. от его «цвета». Красному цвету соответствует почти вдвое меньшая частота, чем фиолетовому, значит, энергия «красных» фотонов почти вдвое меньше энергии «фиолетовых» фотонов. Так как электроны удерживаются в твердом теле определенными для каждого вещества силами, то энергии красного фотона может не хватить для преодоления этих сил и освобождения электрона, а фиолетовый фотон легко это сделает. Так возникает красная граница, характерная для каждого вещества. Также объясняется и независимость энергии вылетевшего из вещества электрона от интенсивности вырвавших его лучей. Ведь энергия электрона - это остаток, разность между энергией фотона и той энергией, которая необходима для вырывания электрона. Интенсивность света, т.е. число фотонов, падающих в 1 с на 1 м площади поверхности, здесь ни при чем. Фотоны падают независимо друг от друга, и каждый поодиночке выбивает (или не выбивает) электрон. Они не могут дожидаться друг друга, чтобы совместными усилиями выбить электрон, поэтому фотоэффект не зависит ни от яркости света, ни от времени освещения. Обобщая сказанное выше, можно сказать, что энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А и на сообщение вылетевшему электрону кинетической энергии ^ ■ По закону сохранения энергии hv = A+mUmax 2 Это уравнение называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. hv> А - фотоэффект будет наблюдаться, hv0 = А - это соотношение определяет минимальную частоту у0, при которой возможен фотоэффект. 1 _ С _ /zc о — — л - красная граница фотоэффекта. У0 л Следовательно, квантовая теория фотоэффекта, созданная Эйнштейном, исчерпывающим образом объясняет все закономерности фотоэффекта. 2. Атомная физика. Модели атома Томсона и Резерфорда Представления об атомах как неделимых мельчайших частицах вещества возникло еще в античные времена (Демокрит, Эпикур, Лукреций). После того, как в 1897 году Дж. Томсон открыл электрон, он в 1903 году предложил первую научную модель атома. Согласно этой модели, положительно заряженная часть атома представляет собой наэлектризованный Эрнест положительным электричеством шар, внутри шара находятся (Резерфорд электроны. Резерфорд, исследуя прохождение а-частиц через золотую фольгу толщиной 1 мкм, показал, что основная их часть испытывает незначительное отклонение, но некоторые а-частицы (примерно одна из 20000) отклоняются на угол 180° от первоначального направления. Проведенные опыты позволили Резерфорду предположить, что в атоме существует небольшое ядро, в котором сконцентрирована почти вся масса и весь положительный заряд атома. По модели Резерфорда (планетарная модель атома) вокруг ядра по орбитам вращаются электроны. Число электронов должно быть таким, чтобы скомпенсировать заряд ядра, а размер атома - это радиус орбиты его электронов. Согласно классической электродинамике электроны, движущиеся ускоренно, должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и, в конце концов, упадут на него. Таким образом, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой, что противоречит действительности. Попытки построить модели атома в рамках классической физики не привели к успеху. Преодоление возникших трудностей потребовало создания качественно новой - квантовой - теории атома. Постулаты Бора Первая попытка построить качественно новую теорию атома была предпринята в 1913 году Н.Бором. Бор, развивая квантовые представления о процессах в природе, сформулированные в гипотезе Планка, предложил два постулата. Первый постулат Бора: атомная система может находиться в стационарных (или разрешенных) квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определённая энергия Е„; в таком состоянии атом не излучает и не поглощает энергию. Стационарными орбитами является те, для которых момент импульса электрона mevnRn равен целому, h кратному величине —: 7м h mevnRn = п—, где п=1,2,3...- целое число, называемое главным квантовым числом, те — масса электрона, vn — скорость электрона, находящегося в состоянии с квантовым числом 71, Rn — радиус орбиты этого электрона, h — постоянная Планка. Второй постулат Бора: электрон переходит с одной стационарной орбиты на другую, при этом излучается (поглощается) один фотон. Излучение фотонов происходит при переходе из стационарного состояния с большей энергией Ек, в стационарные состояния с меньшей энергией Et. Энергия излученного фотона равна разности энергий стационарных состояний: h^ki ~ Ек Ei> где vki — частота излучения. Постулаты Бора определили принципиальную особенность микромира. Физические величины, характеризующие состояние таких величин как скорости, энергии, моменты импульса частиц и т.д. могут принимать лишь разрешенные для них дискретные значения. Линейчатый спектр атома водорода Постулаты Бора позволили объяснить наблюдаемый экспериментально линейчатый спектр атома водорода, состоящий из отдельных спектральных линий. Анализ этого спектра позволил подобрать эмпирическую формулу, описывающую все известные спектральные линии атома водорода, которая называется обобщенной формулой Бальмера - Ридберга. 7 1 где т= 1,2,3...; n=m+l; R = 1.1 ■ 10 м" - постоянная Ридберга. Все спектральные линии, образующиеся при переходе атома водорода в одно и то же стационарное состояние, объединены в серии, которым присвоены имена ученых, их открывших. Серия Лаймана - переходы на низкий энергетический уровень Ег(п = 1) с вышележащих уровней Е2(п = 2 ),Е3(п = 3) и т.д. (наблюдается в ультрафиолетовом диапазоне). Серия Бальмера- переходы на уровень Ег{п = 2) с вышележащих уровней (наблюдается в оптическом диапазоне). Серия Пашена - переходы на уровень Е3 (п = 3)(эта серия и все последующие, наблюдаются в инфракрасном диапазоне). З.Квантовая механика Корпускулярно-волновой дуализм Французский ученый Луи де Бройль в 1924 г пришел к выводу, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами, т.е. корпускулярно-волновой дуализм-это универсальное свойство материи. Все микрообъекты характеризуются как корпускулярными величинами - энергия Е, импульс р, так и волновыми величинами -частота v и длина волны Л. По аналогии с фотонами, для частиц эти величины связаны Луи (Вгщтор между собой следующими формулами: 9Тъер (Раймон де , h rr ~ Е — hv, р = 1Бройль г Таким образом, любая частица, обладающая импульсом, характеризуется длиной волны, которая рассчитывается по формуле де Бройля: h Я = —. V Гипотеза де Бройля была подтверждена в 1927 году американскими физиками К. Дэвиссоном и Л. Джермером. Они наблюдали дифракцию потока электронов при прохождении через кристаллы никеля. В Москве JI. Биберманом, Н.Сушкиным и В. Фабрикантом в 1949 году были осуществлены опыты по дифракции одиночных, поочередно летящих электронов. Этим было доказано, что волновые свойства присущи не только потоку электронов, но и каждому электрону в отдельности. В дальнейшем проявление волновых свойств было обнаружено для нейтронов, протонов и других микрообъектов. Это окончательно послужило доказательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать их движение в виде волнового процесса, характеризующегося длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля. Соотношения неопределенностей Гейзенберга Трудности, возникающие в понимании природы электронов и других микрочастиц, связаны с тем, что приходится пользоваться представлениями о них то как о частицах, то как о волнах и применять для них законы, как классической физики, так и специфические методы, пригодные для описания только микрообъектов. Возникает необходимость установить границы условий, (Вернер %арл ТейзенБерг при которых по отношению к физическим объектам применяются законы классической или квантовой механики. Например, для описания движения макрочастиц применяется понятие траектория движения, когда в определенный момент времени частица занимает определенное место в пространстве (известны х, у, z- координаты частицы) и частица имеет определенный импульс. Для микрочастиц, характеризующихся длиной волны, понятие «траектория» становится неприемлемым. В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц, пришел в 1927 г к выводу, что объект микромира не может иметь определённых координат (х, у, z) и определенных соответствующих проекций импульса (Px'Py'Pz), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям Ахрх > h, АуАру > h, AzApz > h. Из соотношений неопределенностей Г ейзенберга следует, что невозможно с любой наперед заданной точностью измерять одновременно координату и импульс микрообъекта. Эти ограничения не связаны с инструментальными возможностями эксперимента, а являются объективными законами природы. Воспользуемся соотношениями неопределенности и в качестве примера выясним, имеем ли мы право по отношению к электрону, совершающего движение в атоме водорода, применять закон классической физики. Допустим, что неопределенность координат электрона Ах ~ 10 10 м (размер атома водорода). Тогда h h 6,62-Ю-34 _ __ . A v = — = = — = 7,27 ■ 10 м/с. Ар те Ах 9Д1-10_31-10_1° ' Применение законов классической физики для оценки скорости этого электрона дает результат v ~ 2,3 ■ 106м/с. Оказалось, что неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости, т.е. в данном случае нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории и применять по отношению к нему законы классической физики. В квантовой теории рассматривается также такое соотношение неопределенности для энергии Е и времени t, которое имеет следующий вид: AEAt > h, где АЕ — неопределенность энергии стационарного состояния, At — интервал времени, в течение которого микрообъект живет в этом состоянии. Опираясь на это соотношение, удается оценить время жизни атомов в возбужденном состоянии по ширине спектральных линий. Волновая функция и её статистический смысл Исходя из того, что микрочастицы проявляют волновые свойства, немецким физиком М.Борном в 1926 г было предложено их состояние описывать с помощью волновой функции (или г/) (х, у, z, t) — функцией), которая позволит определить вероятность dW того, что частица находится в элементе объема dV в определенный момент времени. AW = | ip\2dV, где \ф\2 = гргр*, ty* — функция комплексно сопряженная с ip. Физический смысл имеет не сама функция ip, а квадрат ее модуля. 1112 dw |i/J| =~— плотность вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z. Из определения волновой функции следует, что она должна удовлетворять условию нормировки вероятностей: \ilj\2dV = 1 Кроме того, исходя из физического смысла, волновая функция должна удовлетворять еще ряду условий. Функция гр должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком). Уравнение Шредингера В рамках классической механики при условии, что известны масса тела и сила, действующая на него, уравнение Ньютона позволяет находить состояние физического тела в любой момент времени. Аналогичным образом уравнение, сформулированное в 1926г. Э. Шредингером, позволяет определить волновую функцию любой микрочастицы. Общее уравнение Шредингера имеет вид: h2 дф --—Аф + U(х, у,z, t)ip = ih—, Zm at д2 д2 д2 где h = h/2n, т —масса частицы, А= —- Ч - ч—- — опрератор Лапласа, i дхL dyL dz2 • мнимая единица, U(x,y,z, t) — потенциальная энергия частицы в силовом поле, ф Сx,y,z, t) — искомая волновая функция частицы. Правильность этого уравнения доказана согласием с экспериментом. Для частиц, находящихся в силовых полях, которые не зависят от времени U= U(x,y,z), применяют уравнение Шредингера для стационарных состояний, имеющее более простой вид д«/-+^(£-ад = о, где ф = ф (х, у, z), Е- полная энергия частицы. С учетом того, что потенциальная энергия взаимодействия электрона с Ze2 ядром в атоме водорода CJ(r) = , а потенциальная энергия ^71£qT гармонического осциллятора U= та)о я:2/2, стационарные уравнения Шредингера для этих физических объектов будут иметь соответственно вид: Ze2 2 „2 аФ + ^(е + -^—)ф = о ^ h2 \ 4ne0rJ ^ та) пХ‘ Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» Рассмотрим электрон, двигающийся в одномерной «потенциальной яме». Потенциальная энергия электрона вне и внутри «ямы» имеет следующие значения: U = О (О < х > I), U= оо (я: < О, х > I). Из-за бесконечно высоких «стенок» вероятность найти электрон вне и на краю «ямы» равна нулю. Тогда наша задача сводится к решению уравнения: d2if> 2т дх2 h2 Обозначим ^-Е = к2 и запишем решение последнего уравнения в виде: гр(х) = A sin кх + В cos кх Так как гр(0) = О, то В=0. Тогда ф(х) = A sin кх. Условие i/j(7) = A sin kl = О выполняется только при kl = rut, где п- n2n2h2 целые числа. Отсюда к = пп/1 или Еп = (п = 1,2,3...). Следовательно, энергия Еп частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Подставляя в формулу для расчета волновой функции к, найдем разрешенные значения функции: П7Г j/inW = А ■ sin — х (п = 1,2,3 ...). Графики этих функций, соответствующие значениям главного квантового числа п = 1,2,3 ... , приведены на рисунке, на котором также изображена плотность вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях от «стенок» ямы. Из рис. видно, что, например, в квантовом состоянии с п = 2, частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может наблюдаться в её левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представление о траектории частицы в квантовой механике несостоятельны. Контрольные вопросы Абсолютно черным телом называется... а. Полностью поглощающее все попадающее на него излучение б. Полностью отражающее всё падающее на него излучение в. Не излучающее тело По какой формуле определяется энергия кванта излучения? г h а. Е = - V б. Е = hv в. Е = - h Чему равна поглощательная способность т абсолютно черного тела? ^Л,т 1 б. аЯ/г = О в. О < аЛт < 1 Какое явление называется внешним фотоэффектом? а. Свечение тела под действием света б. Испускание электронов нагретыми металлами в. Испускания электронов веществом под действием света. Максимальная кинетическая энергия электронов, вырываемых светом с поверхности металла,... а. Прямо пропорциональна интенсивности света б. Зависит от частоты света, но не зависит интенсивности света в. Зависит от частоты и интенсивности света Какая теория света объясняет явление фотоэффекта? а. Волновая теория б. Квантовая теория в. Волновая и квантовая теория Если при фотоэффекте увеличить частоту падающего света, то... а. Уменьшится количество фотоэлектронов б. Увеличится скорость фотоэлектронов в. Увеличится работа выхода электронов из вещества Что означает hv в формуле Эйнштейна для фотоэффекта? а. Энергия вырванного электрона б. Работа выхода электрона из вещества в. Энергия кванта света 9. Для планетарной модели атома Резерфорда справедливым является утверждение: а) размер ядра равен размеру атома; б) заряд ядра равен заряду атома; в) масса ядра приблизительно равна массе атома. 10. Какое высказывание соответствует первому постулату Бора? а) атомы испускают электромагнитную энергию квантами; б) находясь в стационарном состоянии, атом не излучает и не поглощает энергию; в) при переходе с одной орбиты на другую атом излучает (поглощает) фотон.