Основы интегрального исчисления,дифференциальные уравнения,ряды

Министерство образования и науки Российской Федерации Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет Октябрьский филиал П.А. Ларин Основы интегрального исчисления, дифференциальные уравнения, ряды 2021 Основы интегрального исчисления Предисловие Интегральное исчисление – раздел математики, в котором даётся понятие интеграла, рассматриваются его свойства и методы вычислений. Интегралы помогают находить длину линии, площадь, объём различных фигур. С помощью интегралов можно определять массу фигуры, вычислять работу, совершаемую переменной силой, и многое другое. Интегральное исчисление широко применяется в физике, при решении технических задач. Дифференциальное и интегральное исчисления созданы И. Ньютоном и Г. Лейбницем0 в конце 17-го века. В тексте используются следующие обозначения: □ – начало решения;  – начало доказательства; ■ – конец решения или доказательства; (б) означает: к применяем выражение (б) и получаем (5.1) – ссылка на формулу (5.1) текущей главы; (5.1-1) – ссылка на формулу (5.1) главы 1. В а ж н о е п р и м е ч а н и е. Если материал кажется запутанным, и вы не можете его понять, не спешите двигаться дальше. 1) Вернитесь к тому месту, откуда начались трудности. 2) Выше этого места найдите непонятое слово или символ, значение которого вы не знаете или знаете его неверное определение. 3) Узнайте, что оно означает. Значение, смысл слова вы можете найти в толковом словаре. Глава 1 ИНТЕГРАЛ 1. Понятие интеграла Когда дана функция вы можете найти её производную – новую функцию Например, если дано то будет И наоборот, если известна функция то можно попытаться найти функцию З а д а ч а 1. Дана функция Найти функцию □ Равенство есть уравнение, так как содержит неизвестную функцию Сравнение выражений и приводит к мысли, что ответом, или решением уравнения, является функция . Вместе с тем решениями являются функции и вообще где С – произвольная константа. В самом деле, . Поэтому общее решение (общий интеграл) уравнения есть функция . ■ Данный раздел посвящён способам решения уравнений вида ( y )' = u. Неизвестная Заданная функция функция ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть дана функция зависящая от Выражение читается: «интеграл0 от у дэ икс» или «интегрирование у дэ икс». Здесь знак интегрирования0 (или знак интеграла), – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, – переменная интегрирования. Если функция удовлетворяет уравнению то этому же уравнению удовлетворяет и функция ( В самом деле, если то Поэтому общим решением уравнения является функция (которую мы назвали интегралом), содержащая произвольную константу Чтобы явно указывать на этот факт, вместо будем писать Константу называют постоянной интегрирования. 2. Противоположность действий интегрирования и дифференцирования Из определения интеграла вытекает равносильность (2.1) (2.2) Правильность ответа, найденного по формуле (2.1), вы можете проверить, применив формулу (2.2): В (2.1) производная правой части должна быть равна подынтегральной функции. З а д а ч а 2. Проверьте правильность равенства □ Находим производную правой части: Ответ совпал с подынтегральной функцией. Значит, исходное равенство написано верно. ■ Если в (2.1) заменить каким-либо числом (скажем, нулём), то правая часть будет называться первообразной функцией для Пример. Дано верное равенство Заменим нулём. В правой части получится первообразная функция для функции Напомним, что дифференциал функции определяется по формуле . (2.3) Из равенств (2.1) – (2.3) вытекают следующие формулы: Производная устраняет знак интеграла и оставляет подынтегральную функцию (2.4) Дифференциал устраняет знак интеграла (2.5) Интеграл устраняет знак производной (2.6) Интеграл устраняет знак дифференциала (2.7) Эти формулы утверждают, что интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции. П р и м е р ы. ♦ , ♦ , ♦ , ♦ . 3. Таблица интегрирования В этой таблице: – переменная величина, – константы, – постоянная интегрирования. (3.1) (3.2) Если , примените (3.3) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) Здесь (3.13) Здесь (3.14) (3.15) (3.16) (3.17) (3.18) Эти основные интегралы желательно знать, как вы знаете таблицу умножения. Левая часть каждой формулы называется табличным интегралом. В правильности формул вы можете убедиться, найдя производную или дифференциал правой части. З а д а ч а 1. Докажите формулу (3.2). □ Находим производную правой части: получилась подынтегральная функция формулы (3.2). ■ З а д а ч а 2. Найдите интеграл □ ■ З а д а ч а 3. Докажите формулу (3.3). □ Если то Если же то Видим, что в обоих случаях при получается ■ (3.21) З а д а ч а 4. Найдите □ ■ З а д а ч а 5. Докажите формулу (3.14). □ │Логарифм дроби равен разности логарифмов│= = (3.21) ■ Желательно, чтобы, взяв пособие или задачник, вы самостоятельно упражнялись в нахождении интегралов от различных функций. Таким путём приобретёте умение и уверенность в обращении с интегралами. 4. Правила интегрирования 1. Постоянный множитель можно переносить за знак интеграла 2. Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов Эти правила упрощают вычисление интегралов.  Докажем первое правило, найдя производную правой части: Получилась подынтегральная функция левой части первого правила, значит, это правило верно. Аналогично доказывается второе правило: (2.4) ■ З а д а ч а 1. Используя правила интегрирования, найдите □ (Здесь ). ■ З а д а ч а 2. Найдите □ = = ■ Как видите, для нахождения интеграла применяются правила интегрирования и таблица интегрирования. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. 5. Интегрирование с помощью замены переменной Метод замены (или метод подстановки) – распространённый метод вычисления интегралов. Идею применения метода покажем в решении следующей задачи. З а д а ч а 1. Найдите □ Наличие корня доставляет неудобство. Можно применить такой способ: = =│Выполним обратную замену│= ■ Цель замены – чтобы новый интеграл стал табличным или проще исходного. Когда интеграл найден, выполняем обратную замену, возвращаясь к переменной З а д а ч а 2. Найдите □ ■ 6. Частичное интегрирование Частично интегрировать (или интегрировать по частям) – применять формулу (6.1) в которой З а д а ч а 1. Найдите □ ■ В следующей задаче формулу (6.1) приходится применять дважды. З а д а ч а 2. Найдите □ ■ Вот типичные интегралы, определяемые по формуле (6.1): Для вычисления интегралов сначала можно в первом выражении сделать замену (тогда во втором выражении (тогда затем использовать частичное интегрирование. В этих выражениях N (т.е. n – натуральное число). Посмотрите, как вычисляется интеграл Получилось отсюда или Аналогично можно получить 7. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратичный многочлен Нахождение интегралов содержащих многочлен можно начать так: ♦ если в числителе имеется то в числителе выделяем производную квадратичного многочлена; ♦ в остальных случаях в многочлене выделяем полный квадрат. З а д а ч а 1. Найдите □ =│По формуле (3.12)│ ■ З а д а ч а 2. Найдите □ = ■ З а д а ч а 3. Найдите □ =│По формуле (3.11)│ ■ З а д а ч а 4. Найдите □ Вычислим каждый интеграл отдельно. =│Найден ранее│ Следовательно, ■ З а д а ч а 5. Найдите □ = =│По формуле (3.18)│= ■ 8. Вычисление интеграла Чтобы найти интеграл (8.1) в котором сначала вычисляем по формуле (3.12) или (3.13). Найдя можно найти последующие интегралы при помощи выражения (8.2)  Прежде чем доказать равенство (8.2), преобразуем его правую часть и заменим по формуле (8.1): Упростим это выражение: Это равенство равносильно выражению (8.2). Проверим его правильность, найдя производную правой части: = ■ Приведём формулы, вытекающие из (8.2) при и : (8.3) (8.4) З а д а ч а 1. Найдите □ Сначала находим отсюда ■ 9. Интегрирование элементарных дробей Выражения , (где ) называются элементарными дробями. Посмотрите, как они интегрируются. Если , то = При получаем = Вычисление интеграла можно начать, как указано в разделе 7, затем можно применить формулы раздела 8. З а д а ч а 1. Найдите . □ = = = +С = = . ■ 10. Рациональная дробь, её интегрирование Выражение в котором числа, называется многочленом (или полиномом) степени n относительно переменной x. Пример: выражение есть многочлен степени 5 (5 – наибольшая степень у переменной поэтому его можно обозначить . Пусть – многочлен степени , – многочлен степени . Отношение многочленов называется рациональной дробью. Если , дробь называется правильной. В остальных случаях рациональная дробь называется неправильной. Пример: – правильная рациональная дробь вида Если интегрируется неправильная рациональная дробь, сначала её нужно записать в виде суммы: Неправильная рациональная дробь = = многочлен + правильная рациональная дробь З а д а ч а 1. Неправильную рациональную дробь запишите в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. □ Разделим числитель на знаменатель: _ (остаток) Отсюда ■ Чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь, её тоже сначала нужно разложить: Правильная рациональная дробь = сумма элементарных дробей З а д а ч а 2. Какой вид имеет разложение правильной рациональной функции на сумму элементарных дробей? □ Внимательно посмотрите на метод разложения: = + ■ Очевидно, вы заметили: в знаменателях правой части показатели степеней постепенно убывают. Буквы A, B, C, D, E, F, G обозначают числа, способ определения которых показан в задаче 3. З а д а ч а 3. Правильную рациональную функцию разложите на сумму элементарных дробей. □ 1-й шаг: разложим знаменатель на множители: 2-й шаг: дробь разложим на сумму элементарных дробей (как это демонстрировалось в задаче 2): (а) 3-й шаг: определим значения Сначала обе части умножим на общий знаменатель и раскроем скобки: Теперь приравняем члены с одинаковыми степенями: Упростим систему: Находим 4-й шаг: подставим эти числа в (а) и получим результат ■ З а д а ч а 4. Найдите интеграл □ │Сначала выполним все шаги, указанные в решении задачи 3│ ■ 11. Интегрирование некоторых типов тригонометрических выражений Рассмотрим способы вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции. 1.1. З а д а ч а 1. Найдите □ = ■ 11.2. З а д а ч а 2. Найдите . □ [ Замена ] ■ З а д а ч а 3. Найдите . □ [ Замена ] ■ 11.3. а) Если m – нечётное число, делаем замену u = cos x, если n – нечётное число, делаем замену u = sin x б) Если m и n – чётные числа, применяем формулы в) Если (), делаем замену тогда З а д а ч а 4. Найдите . □ Случай а. = [Сделаем замену ] . ■ З а д а ч а 5. Найдите . □ == = = =. ■ 11.4. Пусть символ обозначает рациональную функцию от своих аргументов. Интегрировать функцию можно с помощью следующей замены: Делаем замену тогда Замена называется универсальной тригонометрической подстановкой. Она может приводить к громоздким выкладкам, поэтому к ней прибегают, когда ни один из предыдущих методов не подходит. З а д а ч а 6. Найдите . □ = = = = ==. ■ 12. Интегрирование некоторых типов иррациональных функций Функция, состоящая из действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения переменной величины в дробную рациональную степень, называется иррациональной. Посмотрите, как интегрируются два вида иррациональных функций. 12.1. Вычисление интеграла Делаем замену Такая замена делает подынтегральную функцию рациональной. З а д а ч а 1. Найдите . □ = тогда == = = = ■ 12.2. Вычисление интеграла Выражение в котором m, n, p – рациональные дроби, называется дифференциальным биномом. Существуют лишь три случая, когда интеграл от дифференциального бинома является элементарной функцией. Числа m, n, p должны удовлетворять одному из условий: а) Если p – целое число, делаем замену x = uN, где N – общий знаменатель дробей m, n. (12.1) б) Если – целое число, делаем замену где N – знаменатель дроби p. (12.2) в) Если – целое число, делаем замену где N – знаменатель дроби p. (12.3) З а д а ч а 2. Найдите . □ == (а) Так как то выполнен случай (12.3). Сделаем замену (б) Умножив обе части на получим (в) Из (в) следует (г) а также (д) (е) (ё) Подставив (е), (ё) в (а), будем иметь интеграл от переменной u] = = = = = │Выполним обратную замену (г)│= = ■ 13. Не берущиеся интегралы Интегралы, которые не являются элементарными функциями, называются не берущимися, или неэлементарными интегралами. Так, не берущимся является интеграл потому что для него ни один из случаев (12.1) – (12.3) не выполняется. Укажем некоторые не берущиеся интегралы: не берутся, когда N; эллиптический интеграл 1-го рода; эллиптический интеграл 2-го рода. В эллиптических интегралах Интегрирование – дело довольно кропотливое. Помощниками в нахождении интегралов служат справочники, книги, в которых собраны различные типы интегралов, например, справочник [3]. Системы компьютерной математики Mathcad, Mathematica, Maple V, а также Интернет, предоставляют широкие возможности в интегрировании различных функций. Заслуживает внимания сходная с Маткадом бесплатная система SMath Studio, разработанная А. Ивашовым. Однако воспользоваться данными ресурсами человек сможет в том случае, когда понимает существо дела и владеет основными приёмами интегрирования. Глава 2 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1. Площадь криволинейной трапеции. Понятие определённого интеграла Пусть вы имеете: 1) отрезок на оси 2) функцию однозначную, неотрицательную и непрерывную на . По этим данным строим фигуру называемую криволинейной трапецией, прилегающей сверху к оси (рис. 1.1). Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3 Мысленно разобьём на бесконечно узкие вертикальные кусочки (рис. 1.2). Сложив их площади, получим площадь всей фигуры. Рассмотрим произвольный кусочек (рис. 1.3). Из-за малости высота кусочка не успевает заметно измениться, поэтому можно считать прямоугольником высотой Его площадь или просто Площадь всей фигуры равна сумме (интегралу) площадей таких прямоугольников и обозначается так: (1.1) Далее будем рассматривать произвольную функцию которая может быть как положительной, так и отрицательной. Числа называются нижним и верхним пределами интегрирования0; отрезок – областью (отрезком) интегрирования; подынтегральной функцией; подынтегральным выражением; переменной интегрирования, изменяющейся от до Посмотрите на рис. 1.1. Если точку приближать к то площадь будет уменьшаться, и при станет Поэтому (1.2) Если на интервале (рис. 1.4), то будем иметь прямоугольник, площадь которого равна и по формуле (1.1) получим (1.3) Пример: Рис. 1.4 Если то фигура будет прилегать снизу к оси (рис. 1.5). Рис. 1.5 Рис. 1.6 В этом случае поэтому Следовательно, (1.4) Итак, каков знак у подынтегральной функции, таков знак и у интеграла. Если функция попеременно меняет знак (рис. 1.6), то Всякий ли определённый интеграл существует, т. е. равен какому-то числу? Оказывается, что если область интегрирования и подынтегральная функция конечны, то определённый интеграл всегда существует. 2. Знак двойной подстановки Далее будем применять символ – знак двойной подстановки. Этот знак используется следующим образом: или коротко (2.1) Примеры: Из (2.1) получаются следующие свойства знака двойной подстановки: Аргумент можно обозначать любой буквой (2.2) = (2.3) = (2.4) Здесь (2.5) (2.6)  Доказательство этих равенств элементарно. Чтобы убедиться в этом, покажем доказательство формул (2.2) и (2.6). Имеем Правая часть совпала с правой частью в (2.1). Значит, формула (2.2) верна. Доказательство равенства (2.6): ■ 4. Связь определённого интеграла с общим интегралом Определённый интеграл связан с общим по формуле (4.1) З а д а ч а 1. Вычислите . □ = (4.1) == . ■ 5. Свойства определённого интеграла При вычислении, исследовании определённого интеграла могут пригодиться следующие свойства определённого интеграла: Переменную интегрирования можно обозначать любой буквой (5.1) Если переставить пределы интегрирования, интеграл умножится на (5.2) Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов (5.3) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла (5.4) Свойство аддитивности, или сложения (5.5) (5.6) 6. Вычисление определённого интеграла с помощью замены переменной З а д а ч а 1. Найдите □ == ■ 7. Частичное интегрирование в определённом интеграле Частичное интегрирование (интегрирование по частям) ведётся по формуле (7.1) которую можно записать в виде З а д а ч а 1. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией осью и прямыми . □ Нарисуем фигуру (рис. 7.1) и вычислим её площадь: = ■ Рис. 7.1 Глава 3 ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 1. Принцип составления определённого интеграла При нахождении физической или геометрической аддитивной величины (удовлетворяющей правилу сложения) определённый интеграл появляется естественным путём: вы находите бесконечно малое значение величины и интегрированием получаете всю эту величину. Как раз таким путём получилась формула вычисления площади (1.1-2). Посмотрите, как применяется этот принцип при решении следующей физической задачи. Тело движется вдоль оси под действием силы , направленной также вдоль оси Определите работу, совершаемую силой на отрезке □ Внутри около произвольной точки выделим бесконечно малый участок длины (рис. 1.1). Из-за малости сила на этом участке не успевает измениться. Поэтому полагаем силу постоянной и работа на участке будет равна Проинтегрировав, получим формулу вычисления работы на отрезке : Рис. 1.1 ■ (1.1) З а д а ч а 1. Найдите работу, совершаемую силой на отрезке [2, 4] оси □ ■ Работа отрицательна, ибо направления силы и перемещения противоположны. 2. Площадь плоской фигуры Фигура называется плоской, если всю её, не деформируя, можно расположить на плоскости. Площади фигур указанных на рис. 2.1 – 2.5, вы можете найти по следующим формулам: Площадь фигуры, прилегающей к оси сверху (2.1) Площадь фигуры, прилегающей к оси справа (2.2) Площадь фигуры, ограниченной линиями (2.3) З а д а ч а 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой □ Составим систему уравнений и получим Фигура между линиями показана на рис. 2.7. Её площадь ■ Рис. 2.7 Глава 4 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Интеграл от неограниченной функции или с неограниченной областью интегрирования называется несобственным. Если несобственный интеграл равен какому-либо числу, он на­зывается сходящимся; в остальных случаях несобственный инте­грал называется расходящимся. 1. Интегралы с неограниченной областью интегрирования Интегралы с неограниченной областью интегрирования (иначе, несобственные интегралы 1-го рода) определяются формулами Геометрический смысл равенств (1.1) – (1.3) показан на рис. 1.1 – 1.3. Если формула (1.1) даёт площадь криволинейной трапе­ции, бесконечно растянувшейся вдоль оси в положительном на­правлении (рис. 1.1). Рис. 1.1 Рис. 1.2 Аналогично, формула (1.2) даёт площадь криволинейной трапе­ции, бесконечно растянувшейся вдоль оси в отрицательном на­правлении (рис. 1.2). Наконец, формула (1.3) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль оси в обоих направлениях (рис. 1.3). В этой формуле число можно взять любым (часто бе­рут ). Рис. 1.3 При вычислении несобственного ин- теграла часто можно обойтись без знака предела. З а д а ч а 1. Найдите несобственный интеграл 1-го рода □ Получилось число, следовательно, данный не­собственный интеграл сходится. ■ З а д а ч а 2. Выясните, сходится ли несобственный интеграл □ Определённого значения не существует, поэтому этот инте­грал расходится. ■ З а д а ч а 3. Найдите потенциал электрического поля, создаваемого зарядом на расстоянии от этого заряда. □ Потенциалом в точке (обозначим его ) называется работа, совершаемая внешней силой при переносе заряда (+1) из бесконечности в точку (рис. 1.4). Пусть заряд положителен. По закону Кулона внешняя сила равна Знак минус написан потому, что внешняя сила направлена противоположно оси чтобы преодолеть отталкивание одноимённых зарядов (рис. 1.4). В этом случае Рис. 1.4 ■ 2. Интегралы от неограниченной функции Интегралы от неограниченных функций (иначе, несобственные интегралы 2-го рода) на интервале определяются форму­лами: В этих формулах: Когда говорят, что точка является особой точкой, или особенностью для функции Геометрический смысл формул (2.1) – (2.3) показан на рис. 2.1 – 2.3. Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3 При формулы (2.1) – (2.3) имеют следующий смысл: – формула (2.1) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль вертикали (рис. 2.1); – формула (2.2) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль вертикали (рис. 2.2); – формула (2.3) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль вертикали (рис. 2.3). З а д а ч а 1. Выясните, сходится ли несобственный интеграл 2-го рода □ не существует. Следовательно, данный интеграл расходится (значение не существует, по­этому выражение не имеет смысла: вычитать можно только числа). ■ Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода можно записать одним символом в котором, например, при получается интеграл (1.1), а при интеграл (2.1). 3. Сходимость несобственного интеграла от степенной функции Интеграл сходится при расходится при (3.1) Интеграл сходится при расходится при (3.2) З а д а ч а 1. Сходится ли несобственный интеграл 1-го рода ? □ Здесь , поэтому, в соответствии с (3.1), данный интеграл сходится. ■ З а д а ч а 2. Сходится ли несобственный интеграл 2-го рода ? □ Здесь , поэтому, согласно (3.2), данный интеграл расходится. ■ П р и м е ч а н и е. Несобственные интегралы , приводятся к выражению (3.2), если выполнить замену или . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Многие процессы, происходящие в природе, описываются дифференциальными уравнениями (коротко – ДУ). Дисциплина «Дифференциальные уравнения» – это раздел математики, рассказывающий о методах решения ДУ. Примеры процессов, описывающихся дифференциальными уравнениями: ♦ остывание или нагревание тела; ♦ колебание груза, подвешенного на пружине. 1. Основные понятия Равенство, содержащее производную неизвестной функции или дифференциал неизвестной функции называется дифференциальным уравнением Примеры дифференциальных уравнений: 1) (а) Его можно записать и так: 2) (б) Почему равенство (а) является ДУ? Потому что оно содержит производную неизвестной функции зависящей от переменной Почему равенство (б) является ДУ? Потому что содержит дифференциал неизвестной функции З а д а ч а 1. Решите ДУ второго порядка  Выполним первое интегрирование. Тогда один штрих исчезнет: После второго интегрирования исчезнет последний штрих: Функция есть решение (или интеграл) исходного уравнения. ■ Функция, удовлетворяющая ДУ, называется решением, или интегралом ДУ. З а д а ч а 2. Проверьте, является ли функция решением ДУ  Подставим функцию в левую часть: Теперь подставим в правую часть: Обе части совпали, значит функция является решением ДУ. ■ Поиск решения ДУ называется интегрированием ДУ. Порядок ДУ – это порядок наивысшей производной, входящей в ДУ. Равенство (а) есть ДУ 2-го порядка, равенство (б) – ДУ 1-го порядка. ДУ 3-го порядка обязательно содержит производную 3-го порядка или иначе . Остальные величины могут отсутствовать. Когда говорят: «рассмотрим ДУ 3-го порядка», пишут полностью: (1.1) Чтобы в уравнении (1.1) найти неизвестную функцию придётся интегрировать три раза. Решение ДУ бывает общим и частным. Общее решение (общий интеграл) ДУ (1.1) имеет вид (1.2) Символы обозначают независимые произвольные постоянные, получающиеся интегрированием ДУ (1.1) три раза. Иногда удаётся найти общее решение ДУ (1.1) в явном виде (1.3) Если в общем решении (1.2) или (1.3) заменить буквенные константы числами, получится частное решение. Вы можете проверить, что уравнение имеет следующее общее решение: Заменив и числами, к примеру, и 5, вы получите частное решение: 2. Понятие о задаче с начальными условиями Если дано ДУ 1-го порядка и дополнительное условие (начальное условие, – числа), то система называется задачей с начальным условием, задачей Коши. П р и м е р 1. Система есть задача с начальным условием. Если дано ДУ 2-го порядка и два дополнительных условия (начальные условия, – числа), то система называется задачей с начальными условиями, задачей Коши. П р и м е р 2. Система есть задача с начальными условиями. Начальные условия нужны для того, чтобы найти частное решение.З а д а ч а 1. Решить ДУ с начальными условиями где  Так как то после первого интегрирования получим Делаем второе интегрирование Значит, функция есть общее решение нашего уравнения. Итак, имеем Подставим начальные условия, в которых Из первого равенства следует Подставив во второе равенство, получим В общее решение подставим найденные и : Получили частное решение нашего ДУ. ■ 3. Методы решения ДУ Общего метода решения любого ДУ не существует. Здесь даны методы решения некоторых видов ДУ. Вид ДУ Метод решения ДУ с отделёнными переменными ДУ с отделяющимися переменными Обе части делим на Получится ДУ с отделёнными переменными Однородное ДУ первого порядка Делаем замену . Тогда и после подстановки получится ДУ с отделяющимися переменными. Линейное ДУ первого порядка Решение имеет вид Найдём функции из решения системы Получим ответ ДУ не содержит в явном виде: Делаем замену Тогда Получится Зная найдём ДУ не содержит в явном виде: Делаем замену Тогда Получится Зная найдём Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами где Составляем характеристическое уравнение вычисляем дискриминант корни и пишем общее решение З а д а ч а 1. Найдите общее решение ДУ  Здесь переменные и отделены (расположены по разные стороны от знака равенства), поэтому припишем знак неопределённого интеграла к левой и пра­вой части: После вычисления интегралов получим Отсюда Обозначим Тогда или ■ З а д а ч а 2. Найдите общее решение ДУ  Так как то ДУ запишется так: Отсюда обе части делим на и получаем – ДУ с отделёнными переменными. Теперь интегрируем: , Обозначим Тогда ■ З а д а ч а 3. Найдите общее решение ДУ  Правая часть имеет вид поэтому это однородное ДУ 1-го порядка. Делаем замену Исходное ДУ принимает вид или Но поэтому – ДУ с отделяющимися переменными. Отделим переменные, проинтегрируем, Делаем обратную замену и получаем – общее решение ДУ в неявном виде. При отделении переменных пришлось делить на Поэтому возможна потеря решения уравнения Тогда либо либо Но не удовлетворяет исходному ДУ. Случай или даёт особое решение . ■ З а д а ч а 4. Найдите общее решение ДУ  Убеждаемся, что это линейное ДУ: Поэтому решение ДУ представим в виде (а) Для определения функций решим систему уравнений Решаем ДУ (1): (постоянную как договорились, не пишем), Решаем ДУ (2), куда сначала подставим найденное значение Полученные подставим в (а): Ответ: ■ З а д а ч а 5. Найдите частное решение ДУ с начальными условиями  Данное ДУ не содержит в явном виде, поэтому вводим замену Тогда и ДУ принимает вид или Получилось линейное ДУ 1-го порядка относительно Находим его общее решение Делаем обратную замену Найдём воспользовавшись начальным условием: при должно быть Тогда Значит, или Проинтегрировав, получим Найдём воспользовавшись начальным условием: при должно быть Тогда Итак, ■ З а д а ч а 6. Найдите частное решение ДУ если даны следующие начальные условия:  Это ДУ не содержит в явном виде, поэтому вводим замену Тогда и ДУ принимает вид или Проинтегрировав, получим или (а) Подставим в (а) начальные условия Получим Поэтому (а) можно записать в виде Отсюда Подставим начальные условия: Первое равенство даёт значение и решение Второе равенство даёт и решение Решения получились в неявном виде. ■ З а д а ч а 7. Решить ДУ  Составим характеристическое уравнение вычислим дискриминант корни . Пишем ответ: ■ З а д а ч а 8. Решить ДУ  Составим характеристическое уравнение вычислим дискриминант корни Пишем ответ: ■ З а д а ч а 9. Решить ДУ  Составим характеристическое уравнение вычислим дискриминант корни Пишем ответ: ■ РЯДЫ Ряды используются при вычислениях, при решении дифференциальных уравнений. 1. Основные понятия Ряд – это выражение вида или Член называется общим, или энным членом ряда. Чаще всего общий член задаётся формулой В этом случае последний член ряда будет равен З а д а ч а 1. Дан общий член ряда а) Составить сумму ; б) записать ряд.  а) б) или ■ З а д а ч а 2. Дан общий член ряда Записать ряд.  или ■ 2. Сумма ряда. Сходящийся ряд Сумму первых членов ряда называют n-й частичной суммой. Эту сумму можно записать по-другому Сумма ряда – это сумма всех членов ряда или по-другому Если есть число, то ряд называют сходящимся. 3. Исследование сходимости ряда по признаку Даламбера Для выяснения сходимости ряда необязательно вычислять его сумму, что зачастую затруднительно. С этой целью разработаны специальные методы. Познакомимся с одним из них, наиболее распространённым. Дан с неотрицательными членами. Шаг 1. Вычислим предел Шаг 2. Зная L, выберем ответ из таблицы: сходится расходится При признак Даламбера бессилен и нужно применить другой признак. З а д а ч а 1. Дан ряд По признаку Даламбера выяснить, сходится ли ряд.  Здесь поэтому Значит, Вычисляем предел Получилось Из второй колонки таблицы выбираем ответ: ряд расходится. ■ З а д а ч а 2. Дан ряд По признаку Даламбера выяснить, сходится ли ряд.  Здесь поэтому Значит, или Найдём предел Получилось В первой колонке таблицы находим ответ: ряд сходится. ■