Основы и разделы теоретической механики

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирский федеральный университет Т. А. Валькова В.В. Вальков Н. В. Еркаев А.А. Шаронов ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Курс лекций Утверждено Редакционно-издательским советом в качестве учебного пособия Под общей редакцией Т. А. Вальковой Красноярск 2007 УДК 531(07) В В Теоретическая механика. Курс лекций: Учеб. пособие / Т. А. Валькова, В. В. Вальков, Н. В. Еркаев, А. А. Шаронов; Под общ. ред. Т. А. Вальковой. − Красноярск: ИПЦ ПИ СФУ, 2007. − 226 с. ISBN Освещен теоретический материал по всем разделам теоретической механики: кинематике, статике, динамике и основам аналитической механики. Предназначены для студентов направлений подготовки бакалавров 150400.62 Технологические машины и оборудование, 150600.62 Материаловедение и технология новых материалов, 150900.62 Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств, 190100.62 Наземные транспортные системы, 190500.62 Эксплуатация транспортных средств. УДК 531(07) ISBN © СФУ, 2007 © Валькова Т. А., Вальков В. В., Еркаев Н. В., Шаронов А. А. 2007 Технический редактор Гигиенический сертификат № 24.49.04.953.П.000338.05.01 от 25.05.2001. Подп. в печать Формат 6084/16. Бумага тип. № 1. Офсетная печать. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж экз. Заказ С Отпечатано в ИПЦ ПИ СФУ 660074, Красноярск, ул. Киренского, 28 ОГЛАВЛЕНИЕ Модуль 1. Кинематика Лекция 1. Кинематика Кинематика точки Векторный способ Координатный способ Естественный способ Лекция 2. Кинематика твердого тела Поступательное движение твердого тела Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение Скорости и ускорения точек вращающегося тела Выражения скорости точки, касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений Лекция 3. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела Скорости точек плоской фигуры Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры Мгновенный центр скоростей Ускорения точек плоской фигуры Лекция 4. Сложное (составное) движение точки Теорема о сложении скоростей Теорема Кориолиса о сложении ускорений Модуль 2. Статика Лекция 5. Введение в статику 36 Аксиомы статики Связи и их реакции Проекция силы на ось и на плоскость Аналитический способ задания силы Геометрический способ сложения сил Разложение силы Аналитический способ сложения сил Равновесие системы сходящихся сил Теорема о трех силах Лекция 6. Момент силы относительно центра Пара сил. Момент пары Теорема о параллельном переносе силы Теорема Пуансо Условия равновесия Теорема Вариньона Лекция 7. Произвольная плоская система сил Условия равновесия плоской системы сил Распределенные силы 6 6 7 7 8 10 14 14 15 15 19 20 22 23 25 25 28 30 30 33 36 36 38 40 42 42 43 43 44 45 45 47 49 50 51 52 53 54 56 Равновесие системы тел 57 Трение сцепления и скольжения 59 Трение качения 62 Лекция 8. Пространственная система сил 65 Момент силы относительно оси 65 Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил 67 Частные случаи приведения пространственной системы сил 68 Уравнения равновесия для пространственной системы сил 71 Лекция 9. Центр параллельных сил 73 Центр тяжести твердого тела 76 Модуль 3. Динамика 81 Лекция 10. Динамика. Динамика материальной точки 81 Законы классической механики 81 Дифференциальные уравнения движения материальной точки 83 Две задачи динамики 84 Лекция 11. Прямолинейные колебания точки 87 Свободные колебания точки 88 Затухающие колебания точки 95 Лекция 12. Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротивления 99 Вынужденные колебания точки при вязком сопротивления 102 Лекция 13 .Динамика относительного движения точки 107 Относительное равновесие тел вблизи поверхности Земли 110 Относительное движение тел вблизи поверхности Земли 112 Лекция 14. . Введение в динамику механической системы 116 Свойства внутренних сил 117 Центр масс механической системы 118 Моменты инерции 119 Лекция 15. Общие теоремы динамики 124 Дифференциальные уравнения движения механической системы 124 Теорема о движении центра масс 125 Количество движения материальной точки. Теорема об изменении количества движения материальной точки 127 Количество движения механической системы. Теорема об изменении количества движения механической системы 129 Лекция 16. Момент количества движения материальной точки и механической системы 133 Теорема об изменении кинетического момента механической системы Лекция 17. Теоремы об изменении кинетической энергии Работа силы. Мощность Лекция 18. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы Теоремы об изменении кинетической энергии Лекция 19. Динамика твердого тела Дифференциальные уравнения движения твердого тела Физический маятник Лекция 20. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки Принцип Даламбера для механической системы Приведение сил инерции твердого тела Динамические реакции подшипников Лекция 21. Принципы аналитической механики Классификация связей Возможные перемещения. Возможная работа Принцип возможных перемещений Общее уравнение динамики Лекция 22 . Обобщенные координаты и обобщенные силы Принцип возможных перемещений в обобщенных координатах Лекция 23. Уравнения Лагранжа второго рода Принцип Гамильтона-Остроградского Лекция 24. Малые свободные колебания системы около положения устойчивого равновесия Свободные колебания механической системы с одной степенью свободы Лекция 25. Свободные колебания механической системы с двумя степенями свободы Лекция 26. Элементарная теория удара Основное уравнение удара Общие теоремы теории удара Коэффициент восстановления при ударе Удар тела о неподвижную преграду 211 Прямой центральный удар двух тел (удар шаров) Потеря кинетической энергии при неупругом ударе двух тел. Теорема Карно Библиографический список МОДУЛЬ 1. КИНЕМАТИКА 136 139 139 147 149 152 152 155 157 157 158 161 163 167 167 168 172 174 176 179 181 186 192 199 202 207 207 208 210 213 215 217 ЛЕКЦИЯ 1 Современная техника ставит перед инженерами множество задач, решение которых связано с исследованием механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Механическим движением называется происходящее с течением времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве. Механическим взаимодействием называются действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения этих тел или изменение их формы. Примерами механического движения в природе служат движения небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения, а в технике  движение всех видов транспорта, частей механизмов и машин, течение жидкостей и газов и т. д. Наука о механическом движении и взаимодействии материальных тел называется механикой. Круг проблем, рассматриваемых в механике, велик. Поэтому существует целый ряд самостоятельных наук, изучающих те или иные формы механического движения: теории упругости и пластичности, гидромеханика, аэродинамика, сопротивление материалов, теория механизмов и машин и другие. Однако все они, не смотря на специфику, опираются на ряд законов и принципов, используют многие понятия и методы, общие для всех областей механики. Рассмотрение этих общих понятий, законов и методов составляет предмет теоретической механики. В основе механики лежат законы (аксиомы), которые установлены путем обобщения результатов многочисленных опытов и наблюдений и нашли подтверждение в процессе общественно-производственной практики человечества. Это позволяет рассматривать знания, основанные на законах механики, как объективные и достоверные, которые инженер может смело использовать в своей практической деятельности. Теоретическая механика имеет дедуктивный характер. Опираясь на аксиомы, как на проверенный практикой и экспериментом фундамент, она возводит свое здание науки с помощью строгих математических выводов. Теоретическая механика как часть естествознания, использующая математические методы, имеет дело не с реальными материальными объектами, а с их моделями. Такими моделями являются: 1) материальная точка  частица материи, размером которой можно пренебречь при изучении ее движения; 2) система материальных точек  выделенная каким-либо образом совокупность материальных точек, движение которых изучается; 3) абсолютно твердое тело  тело, расстояние между любыми точками которого не изменяется. Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучают геометрические свойства движения тел без учета действующих на них сил. Механическое движение происходит в пространстве и во времени. В теоретической механике в качестве моделей реальных пространства и времени выбраны абсолютное пространство и абсолютное время, существование которых постулируется. Абсолютное пространство представляет собой трехмерное, однородное и изотропное неподвижное евклидово пространство. Абсолютное время считается непрерывно изменяющейся величиной, оно течет из прошлого к будущему. Время однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материальных тел. Абсолютное пространство и абсолютное время считаются независимыми одно от другого. Движение имеет относительный характер, изучается движение одного тела относительно другого неподвижного тела, с которым связывают неподвижную ортогональную систему координат. Такая система отсчета называется абсолютной, а движение тела относительно ее абсолютным движением. Задачи кинематики состоят в разработке способов задания движения и методов определения скорости, ускорения и других кинематических величин как тела в целом, так и каждой его точки в отдельности. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ Для задания движения точки применяется один из следующих способов: векторный, координатный или естественный. Векторный способ Рассмотрим движение точки М относительно заданного неподвижного центра О. Положение точки М в произвольный момент времени t можно  определить, задав ее радиус-вектор r , проведенный из центра О в точку М, как вектор-функцию времени:   r  r t  . (1.1) Уравнение (1.1) называется уравнением движения точки в векторной форме.При движении точки М конец радиус-вектора r описывает кривую, называемую траекторией точки. Скоростью точки М в момент времени t  называется вектор V равный производной от  радиус-вектора r по времени:  dr V . dt r O M dr a V Рис. 1.1 (1.2) Вектор скорости характеризует изменение радиус-вектора точки в  единицу времени по модулю и направлению. Вектор скорости V направлен  так же, как вектор элементарного перемещения dr по касательной к траектории в данной точке М (рис. 1.1). Размерность скорости V   L / T , где L  длина, Т  время. Единицами измерения скорости могут быть м/c, cм/c, км/ч.  Ускорением точки М в момент времени t называется вектор а , равный  V производной от вектора скорости точки, по времени:   dV а . (1.3) dt Вектор ускорения характеризует изменение вектора скорости точки  в единицу времени по модулю и направлению. Вектор ускорения а направлен в точке М в сторону вогнутости траектории (рис. 1.1). Размерность 2 ускорения  а   L / T , поэтому оно измеряется в м/с2 или см/с2. Если угол   между векторами V и а острый, то движение точки ускоренное, а если угол   тупой, то  замедленное. Если угол между векторами V и а равен 90°, то точка равномерно движется по траектории. Координатный способ Z z M( x,y,z) r V a С точкой О свяжем неподвижную ортогональную декартовую систему координат ОXYZ и зададим координаты точки М(x, y, z) как функции времени: x  x (t ), k j O x i X Рис. 1.2 y Y y  y (t ), z  z (t ) . (1.4) Уравнения (1.4) называются уравнениями движения точки в декартовых координатах. Уравнение траектории точки можно определить исключением времени t как параметра из уравнений (1.4). Учитывая связь        r  xi  yj  zk , ( i , j , k  единичные орты декартовых осей OX, OY, OZ на рис. 1.2), определения (1.2) и (1.3), найдем скорость и ускорение точки в декартовых координатах: r V r a dx r dy r dz r i j k dt dt dt  r r r Vx i  V y j  Vz k , r r r d 2x r d 2 y r d 2z r i  j  k  a i  a j  a k x y z . dt 2 dt 2 dt 2 (1.5) (1.6) Из (1.5) и (1.6) следует, что & Vx  x, & Vy  y, & Vz  z; & ax  & x, & ay  & y, az  & z&. (1.7) Проекции вектора скорости точки на декартовые оси равны первым производным, а проекции вектора ускорения  вторым производным соответствующих координат по времени. В (1.7) и далее производная по dA   времени обозначается точкой, стоящей над величиной  А . dt   Скорость и ускорение точки по величине определяется по формулам: V  Vx 2  V у 2  Vz 2 (1.8) a  ax 2  a у 2  az 2   Направление векторов V и а найдем с помощью косинусов направляющих углов с осями OX, OY, OZ:   cos V i   Vx  V ,   r  r  Vy cos V j   ,   V  r  r  Vz cos V k   ;   V  r cos  a i   ax  ,  a  r r  ay cos  a j   a ,    r  r  az cos  a k   a .   Естественный способ Для задания движения точки естественным способом необходимо: 1) знать траекторию движения точки; 2) выбрать на траектории начало отсчета «О»; (1.9) 3) установить положительное и отрицательное направление отсчета криволинейной координаты s   ОМ; 4) задать закон изменения криволинейной координаты s как функции времени: s  s (t ) . Свяжем с точкой М естественный трехгранник, образованный единичными r r r векторами τ, n, b , составляющими правую (_)  r r r s   n  τ b  1 ) (рис. 1.3); вектор тройку ( Касательная  О М направим в точке М по касательной к траектории в сторону положительного отсчета  s   ОМ; вектор n  по главной нормали к b  b центру кривизны траектории; вектор  по бинормали к траектории Рис. 1.3  . Радиус вектор r точки М относительно начала декартовой системы координат будет сложной функцией времени:    r  r s  t  . Поскольку dr  ds , то из дифференциальной геометрии известно, что ] n Главная нормаль (+) но Би ал рм ь r dr r  τ, ds r dτ 1 r  n, ds ρ (1.10) где ρ  радиус кривизны траектории в точке М. Используя (1.2), (1.10) и правило вычисления производной от сложной функции, получаем r r r dr(s(t)) dr ds ds r V   τ dt ds dt dt или r r r V  V τ  s&τ , (1.11) где числовое значение скорости V  s&. (1.12) Числовое значение скорости точки равно первой производной от криволинейной координаты s по времени.  Из (1.11) следует, что вектор скорости точки V направлен по r касательной к траектории вдоль орта τ (в сторону положительного отсчета r s), если s 0 (рис. 1.4), и против орта τ , если s 0 . Дифференцируя (1.11) по времени, найдем ускорение точки при естественном способе задания движения: r r r r dV d ( V τ ) dV r dτ a   τ V  dt dt dt dt r 2 r r dV r dτ ds  & s&τ  Vρ n τ V dt ds dt или r r r a  aτ  an . (1.13) r dV r r aτ  τ& s&τ dt (1.14) Здесь s&, а вектор касательного ускорения точки, его числовое значение aτ  & 2 r r an  Vρ n (1.15) вектор нормального ускорения точки, его числовое значение an  V 2 / ρ  s&2 / ρ . Формула (1.13) выражает теорему Гюйгенса: ускорение точки при криволинейном движении равно геометрической сумме касательного и нормального ускорений. Из (1.13) следует, что проекция ускорения точки на бинормаль всегда равна нулю: ab  0 .  aτ Вектор касательного ускорения a V M τ направлен в точке М по касательной к O s n s& траектории в соответствии со знаком &  ( ) (+)  (аналогично вектору скорости V ).  a V >0 Вектор нормального ускорения an an aτ >0 направлен вдоль главной нормали к центру кривизны траектории (рис. 1.4). Рис. 1.4   Поскольку векторы a и an взаимно  перпендикулярны, то вектор ускорения a точки М изобразим диагональю   прямоугольника, построенного на составляющих a и an как на сторонах. Его модуль и направление определяются по формулам a  aτ2  an2 ; tg β  aτ . an (1.16) (1.17) s& и V  s& в данный момент времени одинаковые (оба Если знаки aτ  & положительные (рис. 1.4) или отрицательные), то точка движется ускоренно, а если знаки противоположные  замедленно. Рассмотрим некоторые частные случаи движения точки. Прямолинейное движение точки. Так как траекторией точки является 2 прямая линия, то ρ   . Тогда an  V / ρ  0 и a  aτ  dV / dt . Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Равномерное криволинейное движение точки. При этом движении величина скорости точки остается постоянной V  const , поэтому r r r  aτ  dV / dt  0 , и a  an  V 2 /ρ n , т. е. вектор ускорения точки a направлен по главной нормали. Нормальное ускорение точки характеризует изменение ее скорости по направлению. Определим закон равномерного криволинейного движения точки, если ds , то ds  V dt , тогда при t  0, s  s0 . Так как V  dt s t s0  ds  V  dt , s  s0  Vt . (1.18) Формула (1.18) определяет закон равномерного движения точки. Равнопеременное криволинейное движение точки. При этом движении aτ  const . Определим скорость точки и закон ее движения по известной кривой. Пусть при t = 0, s = s0, V = V0. Поскольку aτ  dV / dt , то dV  aτ dt ; V t  dV  a  dt . τ V0 Следовательно, V  V0  aτ t или V  V0  aτ t , (1.19) где знак «+» соответствует равноускоренному движению, а знак «»  равнозамедленному движению точки. С учетом (1.12), выражение (1.19) запишем в виде ds  V0  aτ t . dt Отсюда s t  ds  V  dt s0 t  aτ  t dt , aτ t 2 s  s0  V0 t  . 2 (1.20) Формула (1.20) определяет закон равнопеременного криволинейного движения точки. Равномерное прямолинейное движение точки. В этом случае вектор скорости не изменяется ни по величине, ни по направлению: an  aτ  0 r и a  0 . Таким образом, единственным движением, при котором ускорение точки равно нулю, является равномерное прямолинейное движение. Определим касательное и нормальное ускорения точки и значение радиуса кривизны ее траектории, если движение точки задано в координатной форме (1.3): x  x ( t ); y  y ( t ); z  z (t ) . 2 2 2 2 Из (1.8) имеем V  Vx  V y  Vz . Вычислим производную по времени от данного равенства: 2V dV  2VxV&x  2V yV&y  2VzV& z, dt отсюда aτ  dV  (Vx a x  V y a y  Vz a z ) / V . dt (1.21) Из (1.16) находим нормальное ускорение точки an  a 2  a2 . (1.22) Тогда значение радиуса кривизны траектории в точке М определим по формуле V2 ρ . an ЛЕКЦИЯ 2 КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Поступательное движение твердого тела (1.23) Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному положению. При поступательном движении точки тела могут двигаться по любым траекториям. A B Например, кузов автомобиля на прямолинейном r горизонтальном участке дороги движется поступательно: траекториями его точек будут O2 O1 прямые линии. Спарник АВ (рис. 2.1) при вращении кривошипов О1А и О2В (О1А = О2В = r) движется поступательно: траекториями точек Рис. 2.1 спарника являются окружности радиусом r. Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения. Доказательство. Рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение относительно неподвижной системы координат Охуz. Возьмем две произвольные точки А и В, положения которых в момент времени t связаны равенством (рис. 2.2):   rB  rA  AB , (2.1)   где rA и rB  радиус-векторы точек А и В соответственно. Вектор АВ является постоянным по модулю и направлению, так как тело абсолютно твердое и оно движется z поступательно. B Из (2.1) следует, что для любого момента времени положение точки В B1 A можно получить, смещением точки А на rB A1 постоянный вектор АВ . Следовательно, rA y траектория точки В тождественна O траектории точки А, но смещена относительно ее на вектор АВ . x Дифференцируя равенство (2.1) по времени, получим   drB drA d( AB )   dt dt dt или поскольку   VB  V A , d( AB )  0. dt (2.2) I Таким образом, скорости точек А и В в любой момент времени геометрически равны. При дифференцировании равенства (2.2) по Z времени имеем B   dVB dV A  dt dt или   aB  a A , (2.3) т. е. ускорения точек А и В тела также A геометрически равны. II Поскольку изначально точки А и В выбраны O произвольно, то это означает, что траектории всех точек тела при поступательном движении будут Рис. 2.3 одинаковы, а их скорости и ускорения в любой момент времени геометрически равны. Следовательно, изучение поступательного движения твердого тела сводится к задаче кинематики любой одной его точки (см. лекцию 1). ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Угловая скорость и угловое ускорение Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки (А и В). Прямая OZ, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Для определения положения вращающегося тела возьмем две полуплоскости I и II, ограниченные осью вращения OZ (рис. 2.3). Полуплоскость I неподвижная, а полуплоскость II врезана в тело и вращается вместе с ним. Тогда положение тела в произвольный момент времени t определяют заданием линейного угла  двухгранного угла между этими полуплоскостями:   f (t ) . (2.4) Угол  называется углом поворота тела. Уравнение (2.4) определяет закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. За положительное направление отсчета угла  выбрано направление против хода часовой стрелки. В системе СИ угол  измеряется в радианах. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются угловая скорость и угловое ускорение. Пусть за промежуток времени Δ t  t1  t тело повернется вокруг оси OZ на угол   1   . Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется скалярная величина  d   , t  0 t dt ω  lim ω  &. (2.5) Числовое значение угловой скорости равно первой производной от угла поворота тела по времени. Угловая скорость характеризует изменение угла поворота тела в единицу времени. Угловая скорость измеряется в рад/с или c 1 . Знак в (2.5) определяет направление вращения тела. Если ω  0 , то вращение Z Z вокруг оси OZ происходит против хода часовой стрелки (рис. 2.4, а), а если ω  0 , тогда по ходу часовой стрелки (рис. 2.4, б). Угловую скорость можно изобразить в виде вектора, направленного по оси вращения: O O r r r ω   k  &k , (2.6)  r где k  орт оси OZ. Вектор ω направлен вдоль оси OZ, если а б ω  & 0 , и против оси OZ, Рис. 2.4 если ω  & 0 , т. е. с конца r вектора ω вращение вокруг оси всегда видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 2.4). Если за время Δt = t1  t угловая скорость изменилась на величину Δω = ω1  ω, то угловым ускорением тела в данный момент времени t называется величина ε, определяемая выражением ω d ω  t  0  t dt ε  lim или &. &   ω&  (2.7) Числовое значение углового ускорения тела равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени. Угловое ускорение ε характеризует изменение угловой скорости ω тела в единицу времени. В качестве единицы измерения ε обычно используется рад/c2 или с2. r Угловое ускорение тела можно изобразить в виде вектора ε , направленного по оси вращения OZ: r r r r dω &k   & &k .   dt (2.8) Если величина угловой скорости с течением времени возрастает, то r r вращение тела является ускоренным. В этом случае векторы ω и ε направлены в одну сторону, а их числовые значения имеют одинаковые знаки (или ω  0, ε  0 (рис. 2.4, а), или ω  0, ε  0 ). Если величина угловой скорости с течением времени уменьшается, то r r вращение тела является замедленным. Векторы ω и ε направлены по оси вращения в противоположные стороны, а их числовые значения имеют противоположные знаки ( ω  0, ε  0 , или ω  0, ε  0 (рис. 2.4, б)). Равномерное вращение. Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной, то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Пусть при t = 0 (0)  0 , ω(0)  ω0  const . Согласно (2.5) запишем ω в дифференциальной форме d  0 dt или d   0 dt . Возьмем от обеих частей этого равенства определенные интегралы, у которых нижние пределы соответствуют начальным условиям движения, а верхние  произвольному моменту времени t:  t  d     dt . 0 Отсюда следует закон равномерного вращения:   0  0t . (2.9) Равнопеременное вращение. Если угловое ускорение при движении тела остается постоянным по величине (ε = const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения. Пусть при t = 0, φ(0) = φ0, ω(0) = ω0. Согласно (2.7) запишем ε в дифференциальной форме dω ε dt или, разделяя переменные, dω  ε dt . Интегрируя, получим ω t ω0  dω  ε  dt , ω = ω0 + ε t или ω  ω0  ε t . (2.10) Формула (2.10) выражает зависимость угловой скорости от времени при равнопеременном вращении твердого тела. Знак «+» соответствует равноускоренному, а знак «»  равнозамедленному вращениям. Воспользовавшись (2.5), представим (2.10) в виде d  0  ε t , dt или d   ω0 t dt  ε t dt . Интегрируя данное уравнение с учетом начальных условий движения  t t  d   ω  tdt  ε  t dt , 0 получим закон равнопеременного вращения ε t2   0  ω0t  . 2 (2.11) Знак «+» в (2.11) соответствует равноускоренному, а знак «»  равнозамедленному вращениям. Скорости и ускорения точек вращающегося тела Пусть тело вращается вокруг оси OZ и имеет в данный момент времени угловую скорость ω и угловое ускорение ε (ω > 0, ε > 0). Рассмотрим произвольную точку М тела. При вращении тела вокруг оси траекторией точки М является окружность радиусом R, лежащая в перпендикулярной к оси плоскости (рис. 2.5).  V точки М будет Вектор скорости Z направлен по касательной к этой окружности  ( V  R ) по вращению тела, а его величина определяется по формуле (1.12) V C d R V M ds . dt Выразим элементарное перемещение ds точки М через элементарный угол поворота d тела. 2πR ds  . Отсюда Запишем пропорцию 2π d ds  R d  . Тогда ds O Рис. 2.5 V ds d   RωR. dt dt (2.12) Для определения ускорения точки М воспользуемся теоремой Гюйгенса (1.13) r r r a  a τ  an .   C (2.13) Найдем выражения для касательного и нормального ускорений точки через угловую скорость ω и угловое ускорение ε V тела: a an aτ  R M aτ  dV d dω  ω R   R  ε R ; (2.14) dt dt dt V 2  ωR  an    ω2 R . R R 2 Рис. 2.6 (2.15) r Касательное ускорение aτ направлено по касательной к траектории   в точке М (по вектору V при ускоренном вращении и против вектора V при  замедленном вращении). Вектор нормального ускорения a n всегда направлен по радиусу вращения МС = R к оси вращения тела (рис. 2.6). Величина полного ускорения точки вращающегося тела вычисляется по формуле a  an 2  a2  R ε 2  ω4 . (2.16)  Отклонение вектора полного ускорения a от радиуса R описываемого точкой М окружности определяется углом β : tg β  aτ ε  2. an ω (2.17) Поскольку точка М выбрана произвольно, то из (2.16) и (2.17) следует, что ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям до оси вращения и в данный момент времени образуют одинаковые углы β с радиусами описываемых ими окружностей. Выражение скорости точки, касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений Проведем из произвольной точки О на оси вращения в точку М радиусr  r вектор r (рис. 2.7). Также изобразим в точке О векторы ω и ε . r r Рассмотрим вектор ω  r . Вычислив модуль этого вектора r r r r ω  r  ω  r sin α  ω R  V , заметим, что он равен численному значению r r скорости точки М. Направления векторов ω  r  и V также совпадают (оба вектора направлены перпендикулярно плоскости треугольника ОМС, т. е. по касательной к окружности в направлении вращения тела).Следовательно, r r r V  ωr . Z   C аn (2.18) Вектор скорости точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор точки. Формула (2.18) называется формулой Эйлера.  dr V Согласно (1.2), , и при dt R   r  k О Рис. 2.7 М а V   вращательном движении тела радиус-вектор r точки, изменяя своё r направление, остаётся постоянным по модулю r  ОМ  const . Тогда из  (2.18) получим выражение для полной производной по времени от вектора r изменяющегося по направлению с угловой скоростью , но постоянного по модулю: r dr r r  ω r. dt (2.19) Для определения ускорения точки М продифференцируем по времени равенство (2.18): r r r dV dω r r dr  r ω . dt dt dt Отсюда находим выражение полного ускорения точки вращающегося тела r r r r r a  ε  r ω  V , (2.20) где касательное и нормальное ускорения соответственно равны r r r a  ε  r , r r r an  ω  V . (2.21) Действительно, модули этих векторов одинаковы: r r r r r r r ε  r  ε  r sin  ε, r   ε  R  aτ ;   r r r r π r ω  V  ω  V sin  ω2 R  an . 2 r r r Вектор ε  r направлен так же, как вектор aτ , по касательной к траектории r r  точки М, а вектор ω  V так же, как вектор нормального ускорения an , по радиусу МС к оси вращения (см. рис 2.7). ЛЕКЦИЯ 3 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ (ПЛОСКОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Плоскопараллельным (плоским) называется движение твердого тела, все точки которого движутся в плоскостях, параллельных неподвижной плоскости. у Качение цилиндра по плоскости M Охz является плоскопараллельным движением, если плоскости его остаются оснований S и S1 S х О параллельными неподвижной плоскости Оху (рис. 3.1). При этом цилиндра любая образующая ММ1 M1 совершает поступательное движение, то есть кинематические S1 характеристики ее точек в z произвольный времени r r момент r r одинаковы: VM  VM , aM  aM1 и точки Рис. 3.1 М и М1 описывают тождественные траектории. Следовательно, изучение плоскопараллельного движения твердого тела сводится к изучению движения плоского сечения S в его плоскости. Положение плоского сечения S в плоскости Оху (рис. 3.2) определяется положением любого отрезка АМ, проведенного в этом сечении. Для этого необходимо задать координаты хА, уА какой-нибудь точки А, называемой полюсом, и угол  , который отрезок АМ образует с осью Ох. При движении плоской фигуры (сечения S) координаты хА, уА и угол φ будут изменяться во времени: 1 x A  f1  t  , yA  f 2 t  ,   f3 t  . (3.1) у Зависимости (3.1) называются уравнениями плоскопараллельного движения (S) М твердого тела. А  Из (3.1) видно, что изменение только уА и уА приводит к координат хА поступательному движению плоской фигуры вместе с полюсом А, а хА изменение только угла φ  к О х вращательному движению плоской фигуры вокруг оси, проходящей через полюс А Рис. 3.2 и перпендикулярной плоскости движения Оху. Следовательно, движение плоской фигуры (сечения S) в ее плоскости можно представить как совокупность поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Подчеркнем, что угловая скорость ω и угловое ускорение ε при плоскопараллельном движении тела от выбора полюса не зависят. По заданным уравнениям плоского движения тела (3.1) можно найти скорость и ускорение полюса А, а также угловую скорость и угловое ускорение тела по формулам: r r r VA  x&Ai  y&A j ; r r r aA  & x&Ai  & y&A j ;  VA   x&A    y&A  2 ; aA  x&A    & y&A  & 2 ; d  &; dt  2 2 (3.2) d & &.  dt Угловая скорость ω и угловое ускорение ε изображаются дуговыми стрелками (рис. 3.3). Скорости точек плоской фигуры Скорость любой точки тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется по теореме о скоростях точек плоской фигуры: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки во вращательном движении вокруг полюса. Доказательство. Пусть в r произвольный момент времени t скорость точки А плоской фигуры равна VA , а угловая скорость фигуры  ω (рис. 3.3). Приняв точку А за полюс, найдем скорость любой точки М фигуры. Проведем r r из неподвижной точки О в точки А и М радиус-векторы rA , rM и соединим эти uuuur uuuur точки вектором АМ постоянным по модулю ( АМ  const , так как тело абсолютно твердое). Положения точек А и М в любой момент времени t связаны равенством r r uuuur rМ  rA  AМ . у М VМ,А rМ rA О (S) Вычислив от обеих частей равенства (3.3) производную по времени, получим VA uuuur r r d AM drM drA   dt dt dt VA VМ   А  или с учетом (1.2) и (2.18), находим х Рис. 3.3 (3.3) r r r VМ  VA  V МA . (3.4)    drA drM  скорость точки М, VA   скорость точки А, а вектор Здесь VМ  dt dt r r uuuur V MА  ω  AM (3.5)  V  вращательная скорость точки М вокруг полюса А. Вектор MА по модулю равен VMA  ω AM (3.6)  и изображается на рис. 3.3 в точке М перпендикулярно АМ ( V AM  АМ ) в направлении вращения плоской фигуры (в направлении ω ).  точки М определяется диагональю Вектор скорости VМ   V параллелограмма, построенного на векторах VA и MА как на сторонах (рис. 3.3), и его модуль равен VM  V  V 2 A 2 MA r r  2 VAVMA cos(VA VMA ) . (3.7) Когда уравнения (3.1) неизвестны, из формулы (3.4) определяют угло-  вую скорость плоской фигуры по известным величинам скорости V MА и расстояния АМ. ω VMA AM (3.8) Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры Соотношение между величинами скоростей точек А и М плоской фигуры можно найти более простым способом  по теореме о проекциях скоростей двух точек фигуры: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны. Доказательство. Спроецируем VМ векторное равенство (3.4) на ось Ах, проходящую через точки А VМ,А и М (рис. 3.4). Учитывая, что  VA  VA вектор VMA перпендикулярен  АМ, получим А М VMx х VAx (S) Рис. 3.4 VMх  VAх или VM cosβ  VA cosα . (3.9) Теорема (3.9) позволяет находить скорость любой точки М плоской фигуры, если известно ее направление и скорость другой точки А по модулю и направлению. Теорема (3.9) имеет место для любого движения абсолютно твердого тела. Мгновенный центр скоростей Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю ( VP  0 ). Пусть известны скорости двух любых точек А и В плоской фигуры по направлению (рис. 3.5). Докажем, что МЦС находится в точке пересечения   перпендикуляров, восстановленных в этих точках к их скоростям VA и VB .  V Доказательство. Пусть P  0 , тогда по теореме (3.9) проекция   вектора VP на прямую АР равна нулю, и VP  AP . Но по той же теореме   проекция вектора VP на прямую ВР также равна нулю и VP  ВP . Поэтому  вектор VP одновременно должен быть перпендикулярным двум непараллельным прямым АР и ВР, что невозможно. Следовательно,  допущение, что скорость точки Р не равна нулю неверно ( VP  0 ). Примем МЦС, т. е. точку Р за полюс. Тогда по теореме о скоростях (3.4) для любых VА точек А и В плоской фигуры S имеем: A (S) B VВ  r r r r VA  VP  VAP  VAP ; r r r r VB  VP  VBP  VBP ; r VA  AP; r (3.10) VB  BP. Следовательно, скорость любой точки тела, лежащей в сечении S, равна Рис. 3.5 вращательной скорости точки вокруг мгновенного центра скоростей Р. МЦС является центром вращения плоской фигуры (сечения S) в данный момент времени и находится в точке пересечения перпендикуляров АР и ВР, восстановленных в точках А и В   к их скоростям VA и VB . P Согласно (3.10) и с учетом (3.6) модули скоростей точек определяются по формулам: VA  ω AP; VB  ω BP. (3.11) Из равенства (3.11) следует пропорция VA AP  . VB BP (3.12) Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей. Соотношение (3.11) позволяет определить угловую скорость тела при плоском движении VA . (3.13) AP Угловая скорость плоской фигуры в каждый момент времени равна отношению скорости любой точки плоской фигуры к её расстоянию до мгновенного центра скоростей. Для применения формул (3.9) и (3.10) при решении задач необходимо уметь определять положение мгновенного центра скоростей в данный момент времени. Кроме способа нахождения МСЦ, представленного на рис. 3.5, рассмотрим еще некоторые частные случаи: 1. Если известны скорости VА   VА A VA и VB двух точек А и В A плоской фигуры параллельные (S) (S) между собой и VВ P B перпендикулярные прямой АВ, то МЦС находится в точке пересечения прямой АВ с P B прямой, соединяющей концы VВ векторов скоростей точек а б (рис. 3.6).   Рис. 3.6 2. Если скорости VA и VB двух точек А и В плоской фигуры параллельные между собой и не перпендикулярные прямой АВ (рис. 3.7, а), или скорости двух точек фигуры параллельные, равные и перпендикулярные отрезку АВ (рис. 3.7, б), то МЦС находится в бесконечности. Угловая скорость плоской фигуры в данный момент времени равна нулю: ω  0 и тело имеет мгновенно  поступательное ω  распределение скоростей, т. е. в данный момент времени скорости всех точек   VA = VB . плоской фигуры геометрически равны: A (S) VА VА A (S) VВ  B B VВ а б Рис. 3.7 VA A 3. При качении одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного тела (рис. 3.8) точка касания Р катящегося тела о неподвижную поверхность имеет в данный  момент времени скорость равную нулю ( VP  0 ) и является мгновенным центром скоростей.  V 4. Если известен вектор скорости A точки А плоской фигуры и ее угловая скорость ω, то для  определения МЦС  точки Р следует вектор VA (S) P Рис. 3.8 A VА  (S) повернуть вокруг точки А на 90 в направлении ω и на этой полуоси отложить расстояние АР (рис. 3.9), которое определяется согласно (3.13) равенством P Рис. 3.9 АР  VA . ω Ускорения точек плоской фигуры Ускорение любой точки тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется по теореме об ускорениях точек плоской фигуры: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения точки во вращении вокруг полюса. Доказательство. Пусть в произвольный момент времени t ускорение точки А плоской  фигуры равно а A , угловая скорость фигуры  ω, а угловое ускорение  ε (рис. 3.10). Примем точку А за полюс и найдем ускорение любой точки М фигуры. Согласно теореме о скоростях (3.4) у  аМ,А  М  (S) аМn ,А А О аA    VМ  VA V MA х Рис. 3.10 или с учетом (3.5) r r r uuuur VМ  VA  ω  АМ . (3.14) Вычислив производные по времени от левой и правой частей равенства (3.14), получим uuuur r r r d AM uuuu r r dVM dVA dω    АМ  ω  . dt dt dt dt   (3.15)   dVM  dV A   a A  ускорения точек М и А соответственно;  aМ ; Здесь dt dt r uuuur r uuuur r τ dω  АМ  ε  АМ  аМА dt (3.16)  согласно (2.21) касательное ускорение точки М во вращение вокруг полюса А; r ω uuuur d AM  dt   ωr Vr MA rn  aMA (3.17)  нормальное ускорение точки М во вращение вокруг полюса А. Тогда (3.15) принимает вид или   n τ аМ  а А  аМА  аМА (3.18)    а М  а А  а МА , (3.19)  где а МА  полное ускорение точки М во вращении вокруг полюса А:  n τ а МА  а МА  а МА . n Модули а МА формулам: и τ а МА n аМА  ω2 АМ ; а τ МА  ε АМ . (3.20) вычисляются у М аA по (3.21) (S) аМ (3.22) А   а Мn ,А  аМ,А х О n Вектор а МА проведем из М к полюсу А Рис. 3.11 τ по АМ, а вектор а МА приложим в точке М и n r направим перпендикулярно а МА в направлении ε , (рис. 3.10).  На рис. 3.11 вектор полного ускорения аМ точки М определяется  построением многоугольника ускорений (3.18): начало вектора аМ совпадает  с началом вектора ускорения полюса а А , а его конец  с концом вектора τ а МА . ЛЕКЦИЯ 4 СЛОЖНОЕ (СОСТАВНОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ Теорема о сложении скоростей Сложное (составное) движение точки  это такое движение, при котором она одновременно участвует в двух или более движениях. Для характеристики сложного z Z движения точки введем две системы отсчета: ОХYZ  неподвижную и Ахуz  M подвижную, связанную с D движущимся телом D, у относительно которого перемещается точка М (рис. 4.1). A Движение точки М по Y O х отношению к подвижной системе отсчета Ахуz называется относительным движением. Х Скорость и ускорение точки М в Рис. 4.1  этом движении называются относительной скоростью Vr и относительным  ускорением a r . Движение тела D и связанного с ним подвижного трехгранника Ахуz относительно неподвижного трехгранника ОХYZ называется переносным движением. Скорость и ускорение точки подвижного тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М, являются для нее переносной   скоростью Vе и переносным ускорением aе . Движение точки М относительно неподвижной системы координат ОХYZ называется абсолютным движением. Скорость и ускорение точки М относительно неподвижного трехгранника ОХYZ называются абсолютной  r скоростью Vа и абсолютным ускорением aа . Основная задача сложного движения точки заключается в установлении связей между основными кинематическими характеристиками относительного, переносного и абсолютного движений точки. Связь между относительной, переносной и абсолютной скоростями точки выражается теоремой о сложении скоростей: абсолютная скорость точки при сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.  Доказательство. Пусть скорость точки А тела D равна V A , а его r угловая скорость в данный момент времени ωe . Найдем абсолютную  скорость Va точки М, движущейся относительно тела D. Положения точек А и М относительно неподвижной системы отсчета ОХУZ определяются   радиус-векторами r A и rМ соответственно. Положение точки М относительно подвижной системы отсчета Ахуz (тела D) задано радиусr uuuur вектором ρ  АМ (рис. 4.2). В каждый момент движения положения точек А и М связаны равенством    rM  r A   . Здесь       xi  yj  zk ,    где i , j , k системы Ахуz, а в точки М Дифференцируя получим (4.1) M rM (4.2) D A O rA Х Рис. 4.2 (4.3) у  – орты подвижной х, у, z – координаты этой системе отсчета. (4.1) по времени,    drM drA d   . dt dt dt z Z х Y Здесь r drM r  VM , dt r drA r  VA , dt     di dj dk d dx  dy  dz   y z i  j kx , dt dt dt dt dt dt dt (4.4) (4.5) где  dx  dy  dz  Vr  i  j k dt dt dt (4.6) – относительная скорость точки М в подвижной системы отсчета Ахуz.       i Поскольку векторы i , j , k постоянные по модулю (  j  k  1 ), но r меняющие свое направление с угловой скоростью ωe , то согласно (2.18) получим формулы Пуассона: r r r r r di r r dj r dk r  ωe  i ;  ωe  j ;  ωe  k . dt dt dt (4.7) Тогда с учетом (4.6), (4.7) и (4.2) выражение (4.5) принимает вид r r r r dρ r r r r  Vr  ωе  ix  ωе  jy  ωе  kz  dt r r r r r r r r  Vr  ωе  xi  yj  zk  Vr  ωе  ρ.   (4.8) Подставляя (4.4) и (4.8) в (4.3) получаем r r r r r Va  VА  Vr  ω е  ρ. (4.9) r V Мысленно остановим относительное движение ( r  0 ), тогда точка М участвует только в переносном движении вместе телом D, и ее абсолютная   скорость равна переносной скорости Va  Vе . Подставляя эти условия в (4.9) получаем выражение для переносной скорости точки М: r r r r Ve  VА  ω е  ρ. (4.10) Следовательно, переносная скорость равна скорости точки свободного твердого тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М. С учетом (4.10) выражение (4.9) принимает вид Vr r r r Va  Vе  Vr , Va M  Ve Рис. 4.3 (4.11)  где вектор абсолютной скорости Va определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах переносной и относительной скоростей как на сторонах (рис. 4.3). Модуль абсолютной скорости определяется по теореме косинусов: Va  Ve2  Vr2  2 Ve Vr cos α ,  (4.12)  где   угол между векторами Ve и Vr . Из (4.12) следуют частные случаи: 1) если  = 0, Va  Ve  Vr ; (4.13) 2) если  = π, Va  Ve  Vr ; (4.14) 2 2 3) если  = π/2, Va  Ve  Vr . (4.15) Следовательно, для определения абсолютной скорости необходимо знать модули и направления переносной и относительной скоростей. Теорема Кориолиса о сложении ускорений Абсолютное ускорение точки при сложном движении определяется при помощи теоремы Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного ускорений и ускорения Кориолиса.  Доказательство. Пусть ускорение точки А тела D равно а A , а его угловая скорость и угловое ускорение в данный момент времени r  r соответственно – ωe и εe . Найдем абсолютное ускорение аа точки М, движущейся относительно тела D. Вычислим производную по времени от равенства (4.9): r r r r r dVa dVA dω е r r dρ dVr    ρ  ωе   . dt dt dt dt dt Поскольку r r dVa aa  , dt r r dV A aA  , dt r r dω e εe  , dt то с учетом (4.6) и (4.8) имеем r r r r r r r r d  dx r dy r dz r  aa  a A  εe  ρ  ωe  Vr  ωe  ρ   i  j k dt  dt dt dt  r d 2x r d 2 y r d 2z r r r r r r r r  a A  εe  ρ  ωe  ωe  ρ  ωe  Vr  2 i  2 j  2 k  dt dt dt r r r dx di dy dj dz dk    . dt dt dt dt dt dt   (4.16) Так как относительное ускорение точки М в подвижной системе координат Ахуz r d 2x r d 2 y r d 2z r ar  2 i  2 j  2 k , dt dt dt (4.17) то, подставляя (4.17), (4.7) в (4.16), получаем r r dx r r dy r r dz r v r r r r r r r r aa  aA  e   e  e   e  Vr  ar  e  i  e  j  e  k  dt dt dt (4.18) r r r  dx r dy r dz r  r r r r r r r  aA  e   e  e   e  Vr  ar  e   i  j  k . dt dt   dt Поскольку  dx  dy  dz  Vr  i  j k, dt dt dt то (4.18) принимает вид r r r r r r r r r r aa  a A  εe  ρ  ωe  ωe  ρ  ar  2 ωe  Vr . (4.19) r Если остановить относительное движение ( Vr  0, r ar  0 ), тогда абсолютное   ускорение точки М равно ее переносному ускорению aa  aе . Подставляя эти условия в (4.19), получаем выражение для переносного ускорения точки М: r r r r r r r ae  a A  εe  ρ  ωe  ωe  ρ . (4.20) Последнее слагаемое в (4.19) является ускорением Кориолиса: r r r aС  2 ω e  Vr . (4.21) Следовательно, с учетом (4.20) и (4.21) теорема Кориолиса (4.19) принимает вид r r r r aa  aе  ar  aC , (4.22) что и требовалось доказать. Модуль ускорения Кориолиса (4.21) вычисляется по формуле r r aС  2 ωe Vr sin α . (4.23) Из (4.23) следуют частные случаи, когда ускорение Кориолиса равно r r r нулю, и абсолютное ускорение точки вычисляется по формуле aa  aе  ar : r 1) aС  0, если ωe  0 , т. е. переносное движение поступательное; r 2) aС  0, если Vr  0 , т. е. в точках остановки относительного движения; r  3) aС  0, если sin α  0 , т. е. векторы ωе и Vr  коллинеарные. Появление ускорения Кориолиса связано с изменением абсолютной скорости, обусловленным двумя причинами: 1) влиянием переносного движения на относительную скорость (при  r ωе  0 вектор Vr поворачивается относительно абсолютной системы координат за счет вращения подвижной системы – тела D); 2) влиянием относительного движения на переносную скорость (при r Vr  0 положение точки в подвижной системе координат изменяется и, следовательно, изменяется переносная скорость). Согласно определению (4.21) вектор ускорения Кориолиса aС  r направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы ωе и Vr в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение первого вектора с вторым видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 4.4). Направление вектора ускорения Кориолиса можно также найти по правилу Жуковского. Для этого следует (см. рис. 4.4): 1) спроецировать вектор  Vr Vr относительной скорости на плоскость Q, перпендикулярную r aC вектору ωе ; M  o 2) повернуть эту проекцию Vr  90 в плоскости Q на 90 в направлении Q Vr переносного вращения ωе . В случае, когда вектор  Рис. 4.4 относительной скорости Vr лежит в r плоскости Q ( = 90), для определения направления вектора aC  в сторону достаточно повернуть вектор Vr в плоскости Q на 90 переносного вращения (по направлению ωе ). Модуль абсолютного ускорения точки при сложном движении определяется аналитически. Для этого сначала находят модули и r r r направления векторов aе , ar и aC . Затем проецируют теорему Кориолиса (4.22) на оси неподвиж-ного трехгранника ОХYZ и по найденным проекциям абсолютного ускорения aaX , aaY и aaZ на эти оси вычисляют модуль абсолютного ускорения точки aa  2 2 2 aaX  aaY  aaZ . (4.24) МОДУЛЬ 2. СТАТИКА ЛЕКЦИЯ 5. ВВЕДЕНИЕ В СТАТИКУ Статикой называется раздел механики, в котором излагается учение о силах и исследуются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил. Под равновесием понимают состояние покоя тела по отношению к инерциальной системе отсчета, связанной обычно с неподвижным телом. В качестве модели реального материального тела в статике рассматривается абсолютно твердое тело  тело, расстояние между любыми точками которого не изменяется. Мерой механического взаимодействия материальных тел является  сила. Сила F  векторная величина, действие которой на тело определяется модулем, направлением и точкой приложения  . Прямая линия, вдоль которой направлен вектор F , называется линией действия силы. Совокупность сил, действующих на тело, называется системой сил. Если линии действия сил лежат в одной плоскости, то система сил называется плоской. Если линии действия сил не лежат в одной плоскости, то система сил является пространственной. Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся. Две системы сил, оказывающие на тело одинаковое действие, называются эквивалентными. Система сил, под действием которой свободное твердое тело находится в покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю. Аксиомы статики В основе статики лежат аксиомы  экспериментально установленные законы, справедливость которых проверена F1 практической деятельностью. Аксиома 1. Если на свободное абсолютно B твердое тело действуют две силы, то тело A может находиться в равновесии только тогда, когда эти силы равны по модулю, и направлены F2 Рис. 5.1 вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 5.1): r r F1   F2 . r r Силы F1 и F2 являются уравновешенными. Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое B B тело не изменится, если к ней F A добавить или отнять A уравновешенную систему сил. F Следствие. Не нарушая состоя-ния твердого тела, силу можно переносить по линии ее Рис. 5.2 действия в любую точку тела, т. е. сила  вектор скользящий (рис. 5.2). Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, можно заме-нить одной силой, приложенной в той же точке и изображаемой диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах (рис. 5.3):    R  F1  F2 . (5.1) r  r Сила R эквивалентная системе сил F1 и F2 r r F2 r называется равнодействующей: R  ~  F1 , F2  . Модуль ее вычисляется по формуле R  F12  F2 2  2 F1F2 cos α , r r F F где  угол между силами 1 и 2 . Аксиома 4. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 5.4): r r FА   FВ . R A F1 (5.2) Рис. 5.3 A FA FB B r r FA FB Силы и не образуют Рис. 5.4 уравновешенную систему сил, так как они приложены к разным телам. Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если его считать отвердевшим (абсолютно твердым). Две основные задачи статики. В статике решаются две задачи: 1) задача о приведении системы сил заключается в замене данной системы сил другой, более простой, ей эквивалентной; 2) задача о равновесии состоит в определении условий, при которых система сил, приложенная к телу, будет уравновешенной системой. Связи и их реакции Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какиенибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Все, что ограничивает перемещение данного тела в пространстве, называется связью. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям, называется реакцией связи. Реакция связи направлена в сторону противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Одним из основных положений теоретической механики является принцип освобождаемости от связей: несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие реакциями связей. В статике этот принцип позволяет рассматривать равновесие несвободного твердого тела как свободного, находящегося под действием активных (заданных) сил и реакций связей. N C B NA A C TA TB A B A N A Рис. 5.5 N B Рис. 5.6 Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей и направления их реакций.  1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Реакция N гладкой плоскости (поверхности) или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке (рис. 5.5).  2. Гибкая нить (провода, канаты, цепи, ремни). Реакция Т нити направлена от тела вдоль нити к точке подвеса (рис. 5.6).  N шарнира направлена 3. Невесомый стержень с шарнирами. Реакция  вдоль невесомого стержня. Обычно реакция N изображается от тела по стержню в предположении, что в равновесии стержень растянут (рис. 5.7).  4. Неподвижный цилиндрический шарнир (подшипник). Реакция RA цилиндрического шарнира лежит в плоскости Аху перпендикулярной оси  шарнира и может иметь любое направление. Обычно RA раскладывают в   Х точке А на две взаимно перпендикулярные составляющие A и YA (рис. 5.8). y N A R A Y A A B x A N X B A Рис. 5.7 Рис. 5.8 RB RB B R Y B A A mA A Рис. 5.9 X A Рис. 5.10 1 2 z z 3 ZA y A x XA 2 ZA YA y A YA x Рис.5.11 1 XA 3 Рис. 5.12  5. Шарнирно-подвижная опора (опора на катках). Реакция RВ проходит через ось шарнира В и направлена перпендикулярно к опорной поверхности (рис. 5.9). 6. Жесткая заделка. Нахождение реакции жесткой заделки сводится   к определению составляющих Х A и YA препятствующих линейному перемещению точки А балки в плоскости действия активных сил и алгебраической величины реактивного момента mA, препятствующего вращению балки под действием заданных сил (рис. 5.10). 7. Сферический шарнир. Сферическим шарниром называется устройство (рис. 5.11), которое допускает сферическое движение тела 3 вокруг неподвижной точки А  центр внутренней сферы 1, с которой жестко скреплено рассматриваемое тело 3. При условии, что сферическая  R поверхность идеально гладкая, реакция А направлена в точке А по нормали  к этой поверхности. Обычно на схемах реакцию R А сферического шарнира   r раскладывают на три взаимно перпендикулярные составляющие Х A , YA , Z A , неизвестные по величине. 8. Подпятник. Подпятник (рис. 5.12) представляет собой соединение цилиндрического шарнира 2 с опорной плоскостью 3, на которую опирается вал 1. Реакция подпятника складывается из реакции цилиндрического подшипника, которая раскладывается в плоскости перпендикулярной его оси на две взаимно  N R  перпендикулярные составляющие Х A и YA , и r нормальной реакции Z A опорной плоскости 3. 9. Шероховатая неподвижная поверхность. Реакция шероховатой поверхности представляет  Fтр собой равнодействующую R силы нормальной  r реакции N и силы трения Fтр (рис. 5.13). Рис. 5.13 Проекция силы на ось и на плоскость С математической точки зрения описание сил в статике эквивалентно описанию векторов в векторной алгебре. Рассмотрим основные положения.  Проекцией силы F на ось называется алгебраическая величина равная произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси: Fx  F cos α , (5.3) r r где F  модуль силы F ; α  угол между вектором F и положительным направлением оси х. F F F 2 x Fx 0 2 а Fx 0 x Fx x 2 б в Рис. 5.14 Проекция силы является: 1) положительной ( Fx  0 ), если угол α  острый (рис. 5.14, а); 2) отрицательной ( Fx  0 ), если угол α  тупой (рис. 5.14, б), так как Fx  F cos α  F cos 180о  β    F cosβ ; π 3) равняется нулю ( Fx  0 ), если угол α  (рис. 5.14, в). 2 r Проекцией силы F на плоскость uuur r z B F  ОВ Оху называется вектор F ху 1 , заключенный между проекциями  A начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 5.15), где Fху  F cos θ . B3 y Fy В случае произвольной O ориентации силы в пространстве ее Fx Fxy проекцию на координатные оси обычно B2 определяют методом двойного x B1 проецирования. Сначала силу проецируют на одну из координатных Рис. 5.15 осей (например ось z) и на координатную плоскость двух других  осей (на Оху), проекция силы на плоскость Fху является вектором, который затем проецируют на оси координат Ох и Оу, расположенные в плоскости (рис. 5.15): Fх  ОВ2  Fху cos   F cosθ cos  , Fy  ОВ3  Fху sin   F cosθ sin  , Fz  F sin θ . Аналитический способ задания силы  При решении задач механики силу F удобно задавать, зная координаты точки ее приложения и проекции силы Fх , Fy , Fz на декартовые оси.  Вектор силы F , ее модуль и углы, которые сила образует с координатными осями, определяются по формулам Fz (рис. 5.16): F O k Fy y r r r r F  Fх i  Fy j  Fz k ; (5.4) F  Fx 2  Fy 2  Fz 2 ; (5.5) j i Fx x Рис. 5.16    Fx cos F i   , F      Fy cos F j   , F      Fz cos F k   . F   (5.6) Геометрический способ сложения сил наr абсолютно твердое тело действует система сходящихся сил r r Пусть r F1 , F2, , F3 , ..., Fn , у которых линии действия пересекаются в точке О.  Найдем их равнодействующую R . Для этого перенесем все силы вдоль линий их действия в точку сходимости О. r Тогда, правило r r используя r сложения векторов, геометрическая сумма сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn определяется  построением силового многоугольника (рис. 5.17): в точке О вектор  R , соединяющий начало первого вектора F1 с  F концом последнего вектора F n , изображает 1 F геометрическую сумму слагаемых сил 2 r r r r O F1 , F2, , F3 , ..., Fn : R F n Рис. 5.17 F 3 n r r r r r r R  F1  F2,  F3  .....  Fn   Fк ; к 1 т. е.  r r r r F1 , F2, , F3 ,....., Fn Разложение силы r ~ R    . (5.7) Силу можно разложить по выбранным направлениям на составляющие. Например,  силу R на рис. 5.3 можно  заменить двумя  силами F1 и F2 ( R  F1  F2 ), разложив вектор F 3  R в точке А в направлении действия  A F F 2 F1 и F2 по правилу F  1 параллелограмма. Силу F в пространстве    можно заменить тремя силами F1 , F2 , F3 : r r r r Рис. 5.18 ( F  F1  F2  F3 ) и разложить ее по трем  направлениям. Для этого представляем F  диагональю параллелепипеда, сторонами которого являются составляющие F1 ,   F2 , F3 . Обычно для простоты аналитических формул выбирают в точке А три  ортогональных направления. Тогда сила F направлена по пространственной диагонали параллеле-пипеда (рис. 5.18), построенного на  прямоугольного  силах F1 , F2 , F3 как на сторонах. составляющих сил Аналитический способ сложения сил Воспользуемся теоремой: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.  n  Проецируя равенство R   Fк на оси декартовой системы координат к 1 Охуz, получим n n Rх   Fкx , R y   Fкy , к 1 к 1 n Rz   Fкz , к 1 (5.8)  где Fкx , Fкy , Fкz  проекции силы Fк на оси Ох, Оу, Оz соответственно. Тогда  согласно (5.4)(5.6) вектор R , его модуль и направление определяются по формулам: r r r r R  R х i  R y j  Rz k ; R  Rx 2  Ry 2  Rz 2 ;    Rx cos R i   ,   R    Rz    R y cos R j   , cos R k   .   R   R Равновесие системы сходящихся сил (5.9) (5.10) (5.11) Если абсолютно твердое в равновесии под действием r r тело r находится r системы сходящихся сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn , то их равнодействующая r n r R   Fк = 0 . (5.12)     F1  F2,  F3  .....  Fn  0 . (5.13) к 1 Тогда получаем Следовательно, силовой многоугольник, построенный на силах  r r r r F1 , F2, , F3 , ..., Fn , является замкнутым, т. е. конец силы Fn совпадает с  началом силы F1 . Условие (5.13) называется геометрическим условием равновесия для системы сходящихся сил: необходимым и достаточным условием равновесия твердого тела под действием системы сходящихся сил является замкнутость силового многоугольника, построенного на этих силах. Аналитически условие (5.12) с учетом (5.9) означает, что Rх  0, R y  0, Rz  0 или согласно (5.8) n F к 1 кx 0, n F к 1 кy 0 , n F к 1 кz 0 . (5.14) Уравнения (5.14) называются аналитическими условиями равновесия системы сходящихся сил: для равновесия абсолютно твердого тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю. Если на тело действует плоская система сходящихся сил, то в (5.14) остается только два уравнения равновесия. Например, для системы сил, лежащих в плоскости Оху, аналитические условия равновесия принимают вид n F к 1 кx 0, n F к 1 кy 0 . Теорема о трех силах (5.15) Если на абсолютно твердое тело, находящееся в равновесии, действуют три силы, лежащие в одной плоскости, то линии их действия пересекаются в одной точке. Доказательство. Пусть на абсолютно твердое тело действует три силы      F1 , F2 , F3 , лежащие в одной плоскости, (рис. 5.19). Перенесем силы F1 и F2 в точку С пересечения линий их действия и сложим. Тогда тело будет находиться в равновесии под действием двух сил: равнодействующей     R12  F1  F2 и силы F3 . Но согласно аксиоме 1   статики силы R1 2 и F3 должны быть направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, и поэтому линия  действия силы F3 пересечет F2 F3 А R1- 2 С F1 точку С. Следовательно, линии    Рис. 5.19 действия всех сил F1 , F2 , F3 пересекаются в одной точке С, т. е. плоская система трех сил всегда является системой сходящихся сил. Теорема доказана. ЛЕКЦИЯ 6 МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА r Моментом силы F относительно центра О называется вектор r r r mO ( F ) , равный векторному произведению радиус-вектора r , проведенного r из центра О в точку А приложения силы, на вектор силы F : r r r r mO ( F )  r  F . (6.1) r r Вектор mO ( F ) приложен в точке О и направлен перпендикулярно плоскости, r проходящей через центр О и силу F , в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рис. 6.1). r r Модуль вектора mO ( F ) равен произведению модуля F силы на плечо h: mO( F ) r mO ( F )  F h . O F r h A Рис. 6.1 (6.2) Здесь плечо h  перпендикуляр, опущенный из rцентра О на линию действия силы F . r r mO ( F ) Момент характеризует r вращательный эффект силы F относительно центра (точки) О. Свойства: 1. Момент силы относительно центра не изменяется при переносе силы вдоль линии ее действия в любую точку. 2. Если линия действия силы пересекает центр О (h = 0), то момент силы относительно центра О равен нулю. Для плоской системы сил при вычислении моментов сил относительно точки (центра), лежащей в той же плоскости, пользуются понятием алгебраического момента силы относительно точки. r Алгебраический момент силы F относительно точки О равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее плечо: r mO ( F )   F h . (6.3) Момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, и отрицательным  по ходу часовой стрелки. Следовательно, r дляr rплоской r y F1 , F2, , F3 , ..., Fn системы сил r r F1 направление векторов m ( F ) (к = 1, 2, O h1 h 2 F2 B A1 A2 x O Рис. 6.2 к …, n) перпендикулярных плоскости, в которой лежат силы и точка О, можно характеризовать знаком. Например, для r r сил F1 , F2, , находящихся в плоскости Оху (рис. 6.2), их алгебраические моменты относительно точки В равны: r r m B ( F1 )  F1 h1 , m B ( F2 )   F2 h2 . Пара сил. Момент пары Система двух равных по модулю, параллельных иr направленных в r противоположные стороны сил называется парой сил F   F  (рис. 6.3). r r Плоскость, в которой лежат силы F и F  , называется плоскостью пары, а кратчайшее расстояние d между линиями действия сил  плечом пары. Пара сил не имеет m равнодействующей, так как r r r R  F  F  0 .  r F Действие пары сил F , F  на A B абсолютно твердое тело сводится к d F вращательному эффекту, который характеризуется моментом пары. Моментом пары называется вектор Рис. 6.3 r r r m d F , (6.4) модуль, которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо: m  d F . (6.5)  Вектор m направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда пара видна, стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки (рис. 6.3). Свойства пар. 1. Момент пары равен сумме моментов сил пары относительно произвольного  центра (точки) О. Действительно, вычислим сумму моментов сил пары F , F  относительно произвольного центра О (рис. 6.4). Согласно (6.1) r r r r r r r r mO ( F )  mO ( F )  r  F  r   F   r r r r   r  F  r  ( F )  r r r r r r  ( r  r )  F  d  F  m .  F d A r F B r m O Следовательно, момент пары m  вектор свободный, т. е. его можно Рис. 6.4 прикладывать в любой точке тела. 2. Момент пары равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары: r r r m  mA ( F ) . Приведем (без доказательства) следующие теоремы. (6.7) Теорема 1. Пары сил с геометрически равными моментами эквивалентны. Следствия: 1. Пару сил, приложенную к твердому телу, можно заменить другой парой в той же плоскости, если при этом не изменяется величина момента и его направление: r r r r r r m1  d1  F1  m 2  d 2  F2 или r r r r d1  F1  d 2  F2 . 2. Пару сил можно переносить в плоскость, параллельную плоскости пары.    Теорема 2. Совокупность нескольких пар с моментами m1 , m2 , ..., mn r эквивалентна одной паре, момент М которой равен геометрической сумме моментов данных пар: n r r r r r М  m1  m 2  ....  m n   m к . (6.8) к 1 Для пар, лежащих в одной плоскости, можно не прибегать к векторной символике, а пользоваться понятием алгебраического момента пары. Алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары: m  F d . F1 F2 d1 Рис. 6.5 d2 F2 F1 Знак «+» соответствует повороту тела в плоскости под действием пары против хода часовой стрелки, «»  по ходу часовой стрелки. Например, для пар, лежащих в одной пло-скости, изображенных на рис. 6.5, алгебраичес-кие моменты пар равны: m1  F1 d1 , m2 m1 Рис. 6.6 (6.9) m 2   F2 d 2 . Поскольку такие пары сил характеризуются только величиной момента, то пары сил, лежащие в плоскости, часто изображаются дуговыми стрелками, показывающими направление поворота тела при действии пары (рис. 6.6). Системой пар на плоскости называется совокупность нескольких пар, действующих на тело. Систему пар сил на плоскости с моментами m1, m2 , ..., mn можно заменить одной парой, момент М которой, согласно теореме 2 о сложении пар (6.8) равен алгебраической сумме моментов данных пар: n М  m1  m 2  ....  mn   m к . (6.10) к 1 Теорема о параллельном переносе силы r Теорема. Силу F , не изменяя ее действия на абсолютно твердое тело, можно переносить из данной точки тела в любую другую, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда она переносится, т. е. r F r r ~ F, m .     (6.11) Доказательство. Пусть в точке А твердого тела на него действует сила  если в любой точке F . Согласно аксиоме 2 действие этой силы не rизменится, r О тела приложить две уравновешенные силы F и  F (рис. r 6.7, а). Данная система трех сил r r представляет собой силу F , но приложенную в точке О, и пару сил F ,  F с моментом r uuur r r r m  OA  F  mO ( F ) . F F O (6.12) m F A F O а A б Рис. 6.7 r Следовательно, F б), теорема доказана. r r ~ F , m , но приложенной в точке О (рис. 6.7,    Теорема Пуансо r r r r Задача о приведении системы сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn к произвольному центру (точке) О, т. е. о замене данной системы сил другой эквивалентной более r r простой, r rрешается применением теоремы Пуансо: любая система сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn действующих на абсолютно твердое тело, при приведении r к произвольному центру О заменяется одной силой R , равной главному вектору системы сил, приложенной в точке О, и парой сил с моментом r М О , равным главному моменту системы сил относительно центра (точки) О: r r r r F2, , F3 , ..., Fn F , 1 r  ~  R, r MO .  (6.13) Доказательство. в точках А1, А2, …, Аn твердого тела на него r r Пусть r r действуют силы F1 , F2, , F3 , ..., Fn соответственно (рис. 6.8, а). Выберем произвольную точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой (6.11), параллельно перенесем все силы в центр О, присоединяя пары с моментами r r r m1 , m 2 ,..., m n (рис. 6.8, б), которые согласно (7.12) равны: r r r r r r r r r m1  mO ( F1 ), m 2  mO ( F2 ),..., m n  mO ( Fn ). Fn F1 An An A1 O mn A3 A2 F3 Fn m1 m2 (6.14) A1 F1 O A3 F3 F2 а F2 m3 A2 б Рис. 6.8 r r r r Геометрически складываем в точке О силы F1 , F2, , F3 , ..., Fn и заменяем их действие одной силой n r r r r r r R  F1  F2,  F3  .....  Fn   Fк , к 1 (6.15) приложенной в точке О (рис. 6.9). Используя теорему (6.8), совокупность пар r r r с моментами m1 , m 2 ,..., m n заменим одной эквивалентной парой с моментом n r r r r r r МО  m1  m 2  ....  m n   mО ( Fк ). к 1 (6.16) r Вектор R , равный геометрической r сумме всех сил, называется главным вектором системы сил, а вектор М О , равный геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О  главным моментом системы сил относительно этого центра. r r r r Следовательно, действие исходной системы сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn на r твердое тело rэквивалентно действию на него одной силы R и одной пары с моментом М О (рис. 6.9), т. е.  r r r r F1 , F2, , F3 , ..., Fn r r ~ R, M O .   Теорема доказана. Из r(6.15) и (6.16) следует, что вектор R от выбора центра О не r зависит, а вектор М О при изменении положения центра О может изменяться по модулю и направлению вследствие изменения величин и направлений моментов отдельных сил. Отметим так же, что здесь сила r R не является равнодействующей, так как заменяет данную систему сил не одна, а вместе с парой сил.  MO An O A3 A1 R A2 Рис. 6.9 Следствие. Две системы сил, имеющие геометрически равные главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ Для равновесия абсолютного твердого тела, находящегося под действием произвольной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и её главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. r R  0, r МО  0 . (6.17) Условия (6.17) являются необходимыми, а если какое-нибудь из них не выполняется, то исходная система сил не является уравновешенной, и при ее действии тело будет двигаться. Одновременно условия (6.17) являются и достаточными, поскольку при r r R  0 система сил может приводиться только к паре с моментом М О , а так r как М О  0 , то имеет место равновесие тела. Теорема Вариньона Теорема Вариньона. Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того же центра. r Доказательство r r r . Пусть на абсолютно твердое тело действует система сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn , у которых линии действия пересекаются в точке С. Такая  R, система сил при приведении ее к точке С заменяется равнодействующей r приложенной в этой точке (рис. 6.10), так как М С  0 . Приложим в точке С r r r r r r F , F , F , ..., F  R   R . Тогда система сил 1 2, 3 уравновешивающую силу n будет r r r r r r уравновешенной F1 , F2, , F3 ,..., Fn , R, ~ 0, и для нее, согласно (6.17) М О  0 или с учетом (6.16) n r r r r F1  m ( F ) m  (6.18)  О к O (R )  0 . F   3 к 1 O A3 A1 R C R r r Но поскольку R   R , т. е. эти силы направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, то A2 An r r r r mO ( R)   mO ( R ) . F2 Fn (6.19) Подставляя (6.19) в (6.18), получаем n r r r r m ( F )  m  О к O ( R)  0 или Рис 6 10 к 1 n r r r r mO ( R )   mО ( Fк ) . (6.20) к 1 Теорема доказана. Теоремой вычислении моментов сил. Вариньона удобно пользоваться при ЛЕКЦИЯ 7 ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ r r r r F , F , F , ..., F Задача о приведении плоской системы сил 1 2, 3 n к точке (центру) О решается применением теоремы Пуансо (6.13). r r Согласно этой теореме плоская произвольная системы сил F1 , F2 , r r F3 , ..., Fn (рис. 7.1, а) при приведении к точке О, лежащей в плоскости их действия, заменяется одной силой n r r r r r r R  F1  F2  F3  .....  Fn   Fк , (7.1) к 1 приложенной в точке О, и парой сил с моментом n r r r r М О  mO ( F1 )  mO ( F2 )  ...+ mO ( Fn )   mO ( Fк ) . (7.2) к 1 y An A3 Fn An F2 O A2 A1 F1 O A3 MO A2 x R A1 F3 а б Рис. 7.1  Вектор R , равный геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы сил, а момент М О пары, равный сумме алгебраических моментов r r rвсех сил r относительно точки О,  главным моментом системы сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn относительно этой точки (рис. 7.1, б). r r r r Следовательно, действие данной системы сил F1 , F2, , F3 ,..., Fn на  R твердое тело эквивалентно действию на него одной силы , приложенной в точке О, и одной пары, лежащей в плоскости действия исходной системы сил, с алгебраическим моментом М О (рис. 7.1).  Из (7.1) и (7.2) вытекает, что вектор R от выбора центра О не зависит, а момент М О пары при изменении положения точки О может изменяться вследствие изменения величин и знаков моментов отдельных сил.  Отметим, что модуль и направление главного вектора R вычисляются по формулам (5.9) – (5.11). Однако эта сила r rне является r r равнодействующей, так как заменяет данную систему сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn не одна, а вместе с парой сил. Рассмотрим частные случаи приведения плоской системы сил. r 1. Если R  0 , а М О  0 , то плоская система сил приводится к равнодействующей, приложенной в точке О.  2. Если R  0 , а М О  0 , то плоская система сил приводится к паре сил. r 3. Если R  0 и М О  0 , то плоская система сил приводится к равнодействующей, приложенной в точке О1, отстоящей от точки О на расстояние OO1  h  М О / R .  4. Если R  0 , и М О  0 , то плоская система сил является уравновешенной. Условия равновесия для плоской системы Для равновесия абсолютного твердого тела, находящегося под действием плоской произвольной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любой точки на плоскости были равны нулю, т. е.  R 0, МО  0. (7.3) Условия (7.3) являются необходимыми достаточными условиями равновесия тела под действием плоской произвольной системы сил. Если тело находится под действием произвольной r r в r равновесии r плоской системы сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn (рис. 7.2), то из (7.3) с учетом (5.8), (5.9) и (7.2) следуют три уравнения равновесия: y B n  Fкx  0, Fn F2 O C F3 D F1 Рис. 7.2 x A к 1 n  Fкy  0, к 1 r m ( F  О к )  0. n к 1 (7.4) Для равновесия твердого тела под действием произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на каждую из двух координатных осей и сумма моментов относительно любой точки, лежащей на плоскости действия сил, были равны нулю. первой (основной) формой Уравнения (7.4) называются аналитических условий равновесия для плоской произвольной системы сил. Отметим, что в математическом отношении система уравнений равновесия (7.4) будет проще, если в ней в качестве точки О, относительно которой составляется третье уравнение моментов, выбрать точку пересечения линий действия двух искомых сил. Вторая форма уравнений равновесия эквивалентная системе (7.4) имеет вид r m ( F  А к) , n r m ( F  В к )  0. n  Fкx  0 , к 1 n к 1 к 1 (7.5) При этом ось Ох не перпендикулярна прямой АВ, проходящей через точки плоскости Оху, относительно которых составляются уравнения моментов. Третья форма уравнений равновесия для плоской произвольной системы сил не содержит уравнений проекций сил на оси: r m ( F  А к) , r m ( F  В к )  0, n r m ( F  С к )  0. n к 1 n к 1 к 1 (7.6) При этом предполагается, что точки А, В, и С плоскости Оху, относительно которых составляются уравнения моментов, не rлежат r наr однойr прямой. В случае системы параллельных сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn , лежащих в плоскости Оху, выберем ось Ох параллельно силам (рис. 7.3). Тогда в (7.4) останется два уравнения равновесия: n  Fкx  0 , к 1 r m ( F  О к)  0 . n к 1 (7.7) Уравнения (7.7) являются первой формой y аналитических условий равновесия для Fn D плоской системы параллельных сил. F2 Для равновесия твердого тела под O B C действием плоской системы параллельных сил x необходимо и достаточно, чтобы сумма A F3 F1 проекций сил на ось, параллельную силам, и сумма моментов относительно любой точки, лежащей на плоскости действия сил, были Рис. 7.3 равны нулю. Вторая форма уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил не содержит уравнения проекций сил на ось: r m ( F  А к) , n к 1 r m ( F  В к )  0. n к 1 (7.8) При этом предполагается, что точки А, В, плоскости Оху, относительно которых составляются уравнения моментов, не лежат на прямой параллельной данным силам, например, прямая АВ должна быть не параллельна оси Ох для сил, изображенных на рис. 7.3. Теперь рассмотрим равновесия тела под действием системы пар сил, лежащих в плоскости Оху, с моментами m1, m2 , ..., mn (рис. 7.4). Согласно теоремы (6.9) ее можно заменить одной парой, момент М которой равен алгебраической сумме моментов данных пар. При равновесии М = 0, и, следовательно, y m2 m1 O mn m3 x Рис. 7.4 n  m =0 . к к1 Это уравнение выражает условие равновесия твердого тела, находящегося под действием системы пар. Распределенные силы При расчетах иногда встречаются нагрузки, распределенные вдоль поверхности твердого тела по определенному закону. 1. Простейшим примером распределенных сил, лежащих в одной плоскости, является равномерно-распределенная нагрузка (рис. 7.4, а). Такая система распределенных сил характеризуется постоянной по величине интенсивностью q − значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного участка АВ. Размерность интенсивности нагрузки [q] = Н/м. При статических расчетах эту систему параллельных сил можно  заменить равнодействующей Q , приложенной в середине отрезка АВ (рис. 7.4, а), модуль которой равен Q  qd . d (7.9) d q A B m A d3 Q Q а б Рис. 7.4 C q B 2. Силы, распределенные вдоль отрезка АВ по линейному закону. Для этих сил интенсивность q является переменной величиной, изменяющейся от нуля до максимального значения qm (рис. 7.4, б). r Равнодействующая Q таких сил равна по модулю площади треугольника АВС Q 1 qm  d . 2 (7.10) Линия действия этой силы проходит через центр тяжести треугольника, т. е. на расстоянии, d/3 от основания ВС треугольника АВС (рис. 7.4, б). Равновесие системы тел Статический расчет системы тел сводится к рассмотрению условий равновесия конструкций, состоящих из тел, соединенных какими-либо связями. Связи, соединяющие части конструкции, называются внутренними. Связи, скрепляющие конструкцию с другими не входящими в нее телами, являются внешними. При решении задач статики реакции связей входят в число неизвестных, которые необходимо определить из уравнений равновесия. Системы тел, для которых число неизвестных реакций связей равно числу уравнений равновесия, называются статически определимыми. Системы тел, для которых число неизвестных реакций связей больше количества уравнений равновесия, называются статически неопределимыми. Если при отбрасывании внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задача о равновесии решается как для абсолютно твердого тела (при действии произвольной плоской системы сил число неизвестных реакций, согласно (7.4), не должно быть больше трех). Если при отбрасывании внешних связей конструкция не остается жесткой, то наиболее рациональным способом решения подобных задач является расчленение на отдельные тела и составление уравнений равновесия для каждого из тел в отдельности. Для конструкции, состоящей из n тел, на каждое из которых действует произвольная плоская система сил, получим 3n уравнений равновесия, позволяющих найти 3n неизвестных. F1 y C F2 m F3 A YA YB XA B O Рис. 7.5 XB x Например, если отбросить опоры А и В трехшарнирной арки (рис. 7.5), то она не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг соединительного шарнира С. На основании принципа отвердивания (аксиома 5) система сил, действующая на арку, должна удовлетворять условиям равновесия для твердого тела. y F1 XC F3 A YC C C XC YC YA F2 m YB XA B O XB x Рис. 7.6 Для трехшарнирной арки АВС, находящейся под действием три уравнения равновесия (7.4) произвольной плоской системы сил, r получим r r с четырьмя неизвестными X A , YA , X B , YB . Условия (7.4), являясь необходимыми, не будут для деформируемого тела достаточными, так как из них нельзя найти все неизвестные реакции. r r r Поэтому для определения реакций внешних связей X A , YA , X B , YB расчленим конструкцию по соединительному шарниру С на две части и рассмотрим равновесие каждой из частей в отдельности (рис. 7.6). При действии на трехшарнирную арку произвольной плоской системы сил для каждой части можно записать три уравнений равновесия (7.4): n для АС  Fкx  0; к 1 n для СВ  Fкx  0; к 1 n  Fку  0; к 1 n  Fку  0; к 1 r m ( F  А к )  0; n к 1 r m ( F  B к )  0. (7.11) n к 1 Добавляя к уравнениям (7.11) согласно аксиоме 4 статики условие равенства модулей реакций в соединительном шарнире С ( X С  X С , YС  YС ), получим систему шести уравнений (7.11) с шестью неизвестными X A , YA , X B , YB , X С , YС . Следовательно, трехшарнирная арка АВС является статически определимой системой, для которой после решения системы уравнений (7.11) можно найти как реакции внешних связей X A , YA , X B , YB , так и реакции внутренних связей X С , YС . Трение сцепления и скольжения При стремлении сдвинуть тяжелое тело по поверхности другого тела  под действием горизонтальной силы Q в плоскости их соприкосновения  возникает сила сцепления Fсц (сила трения покоя), препятствующая движению тел друг относительно друга (рис. 7.7). Возникновение трения обусловлено, прежде всего, шероховатостью поверхностей, создающей сопротивление перемещению, и наличием сцепления у прижатых друг к другу тел.  F Приложенная к телу сила сцепления сц направлена в сторону, противоположную той, куда действующие на тело силы стремятся его сдвинуть. Причем в положении равновесия   Q   Fсц . (7.12) N Q Fсц P Рис. 7.7  Тело останется в покое при увеличении силы Q от нуля до некоторого  максимального значения Qпр , при котором тело еще не движется. При этом согласно (7.12) сила трения покоя будет принимать значения от нуля до  максимального значения Fпр , называемого предельной силой трения, т. е.   0  Fсц  Fпр (7.13)  Экспериментально было установлено, что предельная сила трения Fпр численно равна произведению коэффициента сцепления (статического коэффициента трения) на величину нормального давления, или нормальную  реакцию N поверхности: Fпр  f cц N . (7.14) Коэффициент сцепления f cц  величина безразмерная, зависящая от материала соприкасающихся тел, состояний поверхностей контакта, температуры, влажности и т. п. Значение коэффициента сцепления f cц определяется опытным путем и для используемых в технике материалов его величина, как правило, меньше единицы (например, f cц = 0,40,7 для пары дерево по дереву; 0,150,25 для пары метал по металлу; 0,027 для пары сталь по льду.  Значение предельной силы трения Fпр не зависит от размеров соприкасающихся при трении тел. Равновесие, при котором сила сцепления достигает максимального  F значения пр , называется состоянием предельного равновесия, при котором величина сдвигающей силы Q  Fпр  f сц N . При дальнейшем увеличении модуля N Q  Fпр силы тело начнет двигаться V (скользить) по поверхности. Q При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения Fтр  P F скольжения тр (рис. 7.8). Направление этой силы противоположно направлению скорости  Рис. 7.8 V тела, модуль силы трения скольжения определяется произведением коэффициента трения на величину нормальной реакции: Fтр  f N . (7.15) Здесь f  коэффициент трения скольжения также является величиной безразмерной, определяемой опытным путем. Значение коэффициента f зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, удельного давления, а также в некоторой степени от скорости движения одного тела по отношению к другому. Обычно с увеличением относительной скорости взаимодействующих тел коэффициент f сначала убывает от значения f cц , а затем сохраняет постоянное значение, т. е. f  f cц .  Реакция R шероховатой поверхности имеет две составляющие:   нормальную реакцию N и перпендикулярную ей силу сцепления Fсц при равновесии (рис. 7.9, а) (или силу трения скольжения при движении (рис. 7.9,  в)). Поэтому реакция R будет всегда отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол . Согласно (7.13) при равновесии тела угол  может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения сц ( 0    сц ), которое соответствует положению предельного равновесия (рис. 7.9, б). R N  Fсц Rmax сц Q P Fпр N R P а тр Qпр б Fтр N V P в Рис. 7.9 Это максимальное значение сц называется углом сцепления (углом трения покоя). На рис. 7.9, б видно, что tgсц  Fпр N  f сц , (7.16) или сц  aretg f сц . (7.17)  При движении тела реакция R будет всегда составлять с нормалью к поверхности угол, называемый углом трения тр. (рис. 7.9, в), причем tgтр  Fтр N  f, (7.18) или тр  aretg f . (7.19) Конус с вершиной в точке касания тел, образующая которого составляет угол сцепления сц с нормалью к поверхностям тел, называется конусом сцепления (рис. 7.9, б). Конус с вершиной в точке касания тел, образующая которого составляет с нормалью к поверхностям тел угол трения тр, называется конусом трения (рис. 7.9, в). Если коэффициенты f cц и f по всем направлениям поверхности контактирующих тел одинаковы, то соответствующие конусы сцепления и трения будут круговыми (см. рис. 7.9). Если же коэффициенты f cц и f в различных направлениях поверхности контактирующих тел изменяются по величине, то соответствующие конусы будут иметь сложную форму. Поверхность конуса сцепления представляет собой геометрическое  место максимальных реакций Rmax опорной плоскости. Пространство внутри конуса сцепления соответствует совокупности возможных положений реакции опорной плоскости в положении равновесия тела. Следовательно, тело будет  находиться в равновесии, если реакция R сц опорной плоскости проходит внутри или R  лежит на поверхности конуса сцепления. Поэтому, если результирующая активных  сил Q (рис. 7.10) образует с нормалью к шероховатой поверхности угол  меньший  Q угла сцепления сц, то никакой сколь угодно  Q большой силой нельзя сдвинуть тело Рис. 7.10 вдоль данной поверхности. Этим объясняются явления заклинивания и самоторможения. Трение качения Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.  Рассмотрим круглый цилиндрический каток весом Р радиусом R, лежащий на шероховатой горизонтальной плоскости (рис. 7.11, а).   Приложим к оси катка горизонтальную силу Q меньшую Fпр . Тогда в точке А контакта катка с неподвижной плоскостью возникнет нормальная реакция   N и сила сцепления Fсц , которая будет препятствовать скольжению катка по плоскости. При такой схеме качение должно начинаться под действием    любой малой силы Q , поскольку пара сил Q , Fсц ничем не уравновешивается. Однако опыт показывает, что этого не происходит. В действительности вследствие деформаций тел касание катка с плоскостью происходит по некоторой площадке АВ (рис. 7.11, б). При  действии сдвигающей силы Q интенсивность давления у края В больше чем  у края А. В результате нормальная реакция N (равнодействующая этих давлений) оказывается смещенной на расстояние h в сторону действия силы  Q . Следовательно, в положении равновесия на каток кроме пары сил     Q , Fсц с моментом Q  R будет действовать уравновешивающая пара N , Р с моментом      Мс  N  h .  (7.20) Этот момент М с называется моментом трения качения. h Q С P Fсц N M С P Fсц А N а Q С P А В Fсц А Q С N б в Рис 7.11 Считая деформацию малой можно заменить систему сил на рис. 7.11, б системой сил, изображенной на рис. 6.6, в, где в отличие от первой схемы (рис. 7.11, а) к цилиндру приложен момент трения качения М с . Составим уравнения равновесия для цилиндра (рис. 7.11, в), находящегося под действием плоской произвольной системы сил: n  Fкx  0 , к 1 n  Fку  0 , к 1  m ( F  А к )0 ; n к 1 или  Q  Fсц  0 ,   N  P  0,  Q R  M  0. C  Отсюда Q  Fсц , N  P , и с учетом (7.20) MC  Q R  N h . (7.21) Из (7.21) находим h QR . N (7.22)  Из (7.22) видно, что с увеличением силы Q растет расстояние h, однако оно связано с размером площадки контакта АВ, и не может неограниченно увеличиваться. Поэтому наступит такое состояние, когда  увеличение силы Q приведет к нарушению равновесия и цилиндрический каток покатится. Следовательно, каток находится в равновесии при h  . (7.23) Линейная величина  называется коэффициентом трения качения и измеряется обычно в сантиметрах. Значение  зависит от материала и определяется опытным путем. Например,  = 0,050,08 см при качении дерева по дереву;  = 0,005 см при качении мягкой стали по стали (колесо по  = 0,001 см при качении закаленной стали по стали (шаровой рельсу); подшипник). Условие равновесия (7.22) для катка можно записать в виде MC  N  . или с учетом (7.21) Q (7.24)  N . R Следовательно, при равновесии катка отсутствие скольжения и качения будет при одновременном выполнении двух условий: Q  f сц N ; Q    N. R (7.25) Однако отношение  / R для большинства материалов меньше коэффициента сцепления f cц . Поэтому по мере увеличения сдвигающей силы  Q сначала преодолевается второе условие (7.25), и для  / R  Q  f сц N каток катится без скольжения. При Q  f сц N кроме качения катка происходит еще и его скольжение. Следовательно, для большинства материалов преодолеть сопротивление качению легче, чем преодолеть сопротивление скольжению. Поэтому в технике, когда возможно, стремятся скольжение заменить качением (колеса, катки, шариковые и роликовые подшипники). ЛЕКЦИЯ 8 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ Момент силы относительно оси    Проекция момента m O ( F ) силы F относительно центра (точки) О, на  ось z, проходящую через этот центр, называется моментом силы F относительно оси z, т. е. r r r m Z ( F )  mO ( F ) cos γ (8.1) r r где γ  угол между вектором mO ( F ) и осью z (рис. 8.1). Из (8.1) имеем, что момент силы z r r mz( F ) относительно оси z m Z ( F ) является mO( F ) алгебраической величиной, знак F которой определяется знаком cos γ : r r h 1) если 0  γ  90o , то m Z ( F )  0 ; r r 2) если 90o  γ  180o , то m Z ( F )  0 ; O r z m z(F ) mO(F ) O ) (F i k my(F ) y j mx r r y Рис. 8.1 3) если   90o , т. е. сила r коллинеарная оси z, то m Z ( F )  0 . Пусть точка О  начало координат декартовой rсистемы. Тогда, проецируя r вектор mO ( F ) на оси, разложим его по трем взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 8.2): r r r r r r r r mO ( F )  mx ( F ) i  my ( F ) j  mz ( F ) k , (8.5) r A r x  F где m x ( F ), m y ( F ), m z ( F )  моменты  x силы F относительно осей Ох, Оу, Оz Рис. 8.2 соответственно. Для получения аналитических формул для определения моментов силы относительно декартовых осей распишем формулу (6.4) в декартовой системе координат: r i r r r r mO ( F )  r  F  x Fx r j y Fy r k z  Fz r r r   yFz  zFy  i   zFx  xFz  j   xFy  yFx  k . (8.6) Сопоставляя (8.6)  с (8.5), находим аналитические формулы для вычисления моментов силы F относительно осей Ох, Оу, Оz: r m x ( F )  yFz  zFy , r m y ( F )  zFx  xFz , r m z ( F )  xFy  yFx . (8.7)  Теперь получим простое правило вычисления момента силы F r F относительно оси z. Для этого определим алгебраический момент ху   проекции силы F на плоскость Оху, перпендикулярную оси z, относительно точки О, лежащей в этой плоскости (рис. 8.3). z F k O x, A( j y,z) y Fy y i x h Fx F1 x A1 F2 Fxy Рис. 8.3  Воспользуемся теоремой Вариньона и разложим силу Fху в точке   F А1(х,у,0) на составляющие 1 и F2 , где F1  Fx и F2  Fy . Тогда согласно (6.3) и (6.20) r r mO Fху   Fху  h   F1 y  F2  xFy  yFx . (8.8)   Сравнивая (8.8) с (8.7), получаем r r r m z ( F )  mO Fху   Fху  h ,   (8.9)  где h − плечо силы Fху относительно точки О. Формула (8.9) дает простое правило вычисления момента силы относительно оси: для вычисления момента силы относительно оси следует спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси, и затем определить алгебраический момент полученной проекции силы относительно точки пересечения данной оси с этой плоскостью.  r В (8.9) m Z ( F ) будет иметь знак «+», если с конца оси z сила Fху видна, стремящейся повернуть тело вокруг оси против хода часовой стрелки, и знак «»  по ходу часовой стрелки. Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект силы вокруг оси. Из (8.9) следуют два важных для практики частных случая: 1) если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен r нулю ( Fху  0 ); 2) если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно данной оси также равен нулю (h = 0). При вычислении момента силы относительно оси обычно пользуются теоремой Вариньона для моментов силы относительно оси. Проецируя векторное выражение (6.20) на ось z, получим n r r m z ( R )   m z ( Fк ) . (8.10) к 1 Момент равнодействующей относительно выбранной оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этой оси. Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил  r r r Главный вектор R , равный геометрической сумме сил F1 , F2, , F3 , ..., r Fn , в декартовых координатах определяется по модулю и направлению применением полученных выше формул (5.8) r – (5.11). r r r r Для вычисления главного момента M O системы сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn относительно центра (точки) О: n n r r r r r М О   mО ( Fк )   rк  Fк , к 1 к 1 (8.11) следует начало декартовой системы координат Охуz поместить в центре О, r и затем разложить вектор M O по трем взаимно перпендикулярным направлениям аналогично (8.5): r r r r r MO ( F )  M x i  M y j  M z k . (8.12) r r r r Здесь M x , M y , M z − главные моменты системы сил F1 , F2, , F3 , ..., Fn относительно осей rОх, Оу, Оz соответственно, определяются как проекции главного момента M O на эти координатные оси: r M x   m x ( Fк ), n к 1 r M y   m y ( Fк ), n к 1 r M z   m z ( Fк ). n к 1 (8.13) Модуль и направление главного момента вычисляются по формулам: MO  M x 2  M y 2  M z 2 , r cos  M O  r M i x ,  MO r cos  M O  r  My j , M  O  r  r  Mz cos  M O k   . M O   (8.14) (8.15) Частные случаи приведения пространственной системы сил Согласно теореме Пуансо любую систему сил, действующую на  n  абсолютно твердое тело, можно заменить главным вектором R   Fк , к 1 приложенным в центре приведения, и парой сил с моментом n    М О   m О ( Fк ) , равным главному моменту системы сил относительно к 1 центра приведения. Рассмотрим частные случаи приведения системы сил к произвольному центру О.   1) R  0, М О  0. Если главный вектор системы сил не равен нулю, а её главный момент относительно этого центра равен нулю, то система сил приводится к  равнодействующей R равной главному вектору, линия действия которой проходит через центр приведения О.   2) R  0, М О  0. Если главный вектор системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения О не равен гулю, то система сил  приводится к паре с моментом равным главному моменту М О системы сил относительно центра приведения О. Поскольку момент пары  вектор свободный, то в этом случае главные моменты системы сил относительно любых центров приведения геометрически равны.     R  , М  , М  R 3) (рис. 8.4, а). О О   парой сил R, R , лежащей в        перпендикулярной ему плоскости, такой, что R  R , R   R , а плечо пары  Представим главный вектор М О d  М О / R (рис. 8.4, б).   Так как силы R и R образуют уравновешенную систему сил, то согласно аксиоме 2 она может быть отброшена. Тогда получаем, что   исходная система сил приводится к равнодействующей R  R , линия действия которой проходит через точку О1, находящуюся в  перпендикулярной вектору М О плоскости и отстоящую от центра приведения О на расстоянии ОО1  d  МО / R . MО R R O R O d 90 О R =R О1 а б   Рис. 8.4 Так как силы R и R образуют уравновешенную систему сил, то согласно аксиоме 2 она может быть отброшена. Тогда получаем, что   исходная система сил приводится к равнодействующей R  R , линия действия которой проходит через точку О1, находящуюся в  перпендикулярной вектору М О плоскости и отстоящую от центра приведения О на расстоянии ОО1  d  МО / R .     R  , М  , М  R (рис. 8.5, а). 4) О О    Представим главный вектор М О парой сил F , F  , лежащей в перпендикулярной ему плоскости (рис. 8.5, б).  Совокупность главного вектора R   и пары сил F , F  с моментом   М О , лежащей в плоскости перпендикулярной линии действия силы R , называется силовым винтом, или динамой. Прямая, по которой направлены   векторы R и М О , называется осью динамы. Следует отметить, что динама не допускает дальнейшего упрощения.      Действительно, сложив в точке О силы R и F  , найдем вектор Q  R  F  ,    Q F F и который лежит в плоскости перпендикулярной силе . Поскольку силы направлены по скрещивающимся прямым, то их нельзя сложить (рис. 8.5, в). R R Q R O F O MО F O а F б F в Рис. 8.5 r r 5) R  0, М О  0, r  r (М О , R)   (см. рис. 8.6, а).    Разложим главный момент МО в точке О на два вектора МО и МО       ( М О  MO  MO ), где МО перпендикулярен главному вектору R , а МО направлен по нему (рис. 8.6, а). Определим модули этих векторов: МО  M O sin  , МО  M O cos  .  О парой сил М Согласно частному случаю 3) представим вектор   R, R , лежащей в перпендикулярной ему плоскости, такой, что     R  R, R   R , а плечо этой пары d  МО / R (рис. 8.6, б). В точке О   силы R и R образуют уравновешенную систему сил, которая может быть отброшена. MО MО R  O R MО O R O d MО d O1 а O1 R б MО R в Рис 8.6  Поскольку момент МО пары сил есть вектор свободный, то его можно из центра О перенести в центр О1. Тогда получаем, что исходная система сил приводится к главному   вектору R  R , линия действия которого проходит через точку О1, и к паре r  сил с моментом МО параллельным вектору R . Согласно случаю 4) такая система сил приводится к динаме, ось которой проходит через точку О1 на М sin  расстоянии ОО1  d  О от центра приведения О (рис. 8.6, в). R   6). R  0, М О  0. В этом случае на абсолютно твердое тело действует уравновешенная система сил. Следовательно, тело будет находиться в равновесии. Уравнения равновесия для пространственной системы сил В (7.17) было установлено, что для равновесия твердого тела, находящегося под действием произвольной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно любого центра для этой системы сил были равны нулю: r R  0, r МО  0 . (8.16) Найдем вытекающие из (8.16) аналитические условия равновесия для пространственной системы сил. 1. Произвольная пространственная система сил. Пусть абсолютное твердое тело находится в равновесии под действием произвольной пространственной системы сил (рис. 8.7). rУсловия (8.16) означают, что при r равновесии проекции векторов R и М О на оси декартовой системы координат Охуz должны быть равны нулю, т. е. Rх  0, Ry  0, Rz  0, M x  0, M y  0, M z  0. (8.17) С учетом (5.8) и (8.13) уравнения (8.17) запишем в виде шести скалярных уравнений равновесия: z n 1) Fn F к 1 кx  0; n F1 y O 2)  Fкy = 0; к 1 n 3) F3 x Рис. 8.7 к 1 r 5)  m y ( Fк )  0;  Fкz  0; 6) к 1 F2 r 4)  m x ( Fк )  0; n Уравнения n к 1 ( 8.18) r m ( F  z к )  0. n к 1 (8.18) называются аналитическими условиями равновесия для произвольной пространственной системы сил. Для равновесия твердого тела под действием произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю. Пространственная система 2. z параллельных сил. Для определенности Fn выберем систему координат так, чтобы ось Оz была направлена параллельно силам F1 (рис. 8.8). В этом случае уравнения 1, 2 и 6 y в (8.18) отсутствуют, так как обращаются в O тождества, и аналитические условия равновесия принимают вид F3 x F2 Рис. 8.8 n  Fкz  0; к 1 r m ( F  x к )  0; n к 1 r m ( F  y к )  0. n к 1 (8.19) Для равновесия твердого тела под действием пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на ось, параллельную силам, и суммы их моментов относительно двух других координатных осей были равны нулю. 3. Пространственная система сходящихся сил (рис. 8.9). В этом случае за центр приведения выберем точку О, в которой пересекаются линий действия сил. Тогда уравнения 4, 5 и 6 системы (8.18) отсутствуют, и аналитические условия равновесия для пространственной системы сходящихся сил имеют вид n F z к 1 кx n Fn F F1 y O x F3 Рис. 8.9 F2 к 1 кy n F к 1 кz  0;  0; (8.20)  0. Для равновесия твердого тела под действием пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю. ЛЕКЦИЯ 9 ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ Пусть на абсолютное твердое тело Fn F2 действует пространственная система A n r r r r A2 F1 , F2 , F3 , ..., Fn , параллельных сил Fк F1 е r2 направленных в одну сторону (рис. 9.1). rn Aк A1 Упростим эту систему сил, приведя ее rк r1 к произвольному центру О, причем точка О  приложения к-й силы Fк определяется относительно неподвижного центра О  радиус-вектором rк (к = 1, 2, …, n). Рис. 9.1 Согласноr теореме Пуансо данная r r r система сил F1 , F2 , F3 , ..., Fn эквивалентна  n  R одной силе   Fк , приложенной в центре О, и паре сил с моментом (рис. к 1 9.2) n n r r r r r М О   m О ( Fк )   rк  Fк . к 1 MO R (9.1) к 1 r r r r Так как все силы F1 , F2 , F3 , ..., Fn параллельны друг другу и направлены в  одну сторону, то главный вектор R  параллелен любой силе Fк , а его модуль равен сумме модулей действующих сил О n R   Fк , к 1 Рис. 9.2 где Fк r Главный момент М О системы  перпендикулярен главному вектору R сумме коллинеарных векторов (9.2)  модуль к-й силы. сил относительно центра О будет , поскольку он равен геометрической r r mО ( Fк ) , каждый из которых  перпендикулярен вектору соответствующей силы Fк , т. е. перпендикулярен  вектору R (рис. 9.2). r   Заменим главный момент М О парой сил R  , R  , лежащих в     перпендикулярной ему плоскости, такой, что R   R , а R   R (рис. 9.3). При этом uuur r r М О  ОС  R, или MO n  R R О 90 О R =R     rк  Fк  rC  R , к 1 (9.3)  rC  где радиус-вектор точки С. C Фактически формула (9.3) выражает теорему Вариньона для системы сил r r r r    F , F , F , ..., F R R . Но силы и 1 2 3 n Рис. 9.3 образуют уравновешенную систему сил, которая согласно аксиоме 2 статики может быть отброшена. r r r r Следовательно, любая система параллельных сил F1 , F2 , F3 , ..., Fn   эквивалентна одной силе ( R   R ) их равнодействующей, приложенной r r r rв точке С. Очевидно, что если повернуть параллельные силы F1 , F2 , F3 , ..., Fn около точек их приложения А1 , А2 , ..., Аn в одну и ту же сторону на один и  тот же угол, то их равнодействующая R повернется в точке С в ту же сторону на тот же угол. Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около точек их приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.  Для определения положения точки С введем единичный вектор е    ( е  1 ) по направлению к-й силы Fк  Fк е . Тогда rC n r r r  R  R   Fк e ; к 1 n n r r r r r М О   rк  Fк   rк  Fк e . к 1 к 1 С учетом (9.4) формула (9.3) принимает вид n n r r r r r  F e  r  F e к к С  к к 1 к 1 (9.4) или n r r n r r  Fк rк  e   Fк rС  e  0. к 1 к 1 Отсюда получаем n r r  r  n F r  F r   к к  к С   e  0. к 1  к 1  (9.5) Поскольку векторное произведение в (9.5) равно нулю при произвольном направлении единичного вектора е , то формула (9.5) имеет место, если вектор n n r r  Fк rк   Fк rС  0. к 1 к 1  Отсюда определяем радиус-вектор rC центра С параллельных сил: n r rС  r  Fк rк к 1 n F к 1 n  F к 1 к r rк . R (9.6) к Отметим, что все полученные выше формулы будут справедливы для системы параллельных сил, направленных в противоположные стороны, если  Fк считать алгебраическими величинами ( Fк >0, если сила Fк параллельна   единичному вектору е , и Fк < 0, если вектор Fк направлен противоположно n  е и R   Fк  0 . z к 1 Центр тяжести твердого тела Вблизи поверхности Земли на каждую материальную частицу тела действует сила тяжести (сила притяжения), направленная по вертикали вниз. Так как размеры тела малы по сравнению с радиусом то r r Земли, r r силы тяжести частиц тела Р1 , Р2 , Р3 , ..., Рn можно считать параллельными друг другу и Pn P2 C P P1 О x Рис. 9.4 y постоянными по модулю для каждой частицы тела при любых его поворотах (рис. 9.4). r r r r Равнодействующая сил тяжести Р1 , Р2 , Р3 , ..., Рn частиц тела  называется весом тела Р , модуль которой определяется согласно (9.2): n P   Pк . (9.7) к 1 Центром тяжести твердого тела называется геометрическая r r r точка r С, являющаяся центром параллельных сил тяжести Р1 , Р2 , Р3 , ..., Рn , действующих на частицы тела при любых поворотах тела в пространстве. Согласно (9.6) положение центра тяжести С тела определяется радиусвектором  rк n  rС  P к к 1 . P (9.8) Тогда декартовые координаты точки С находится по формулам: n xС  P к 1 к P n xк ; P yС  к 1 к n yк ; P zС  P к 1 к P zк , (9.9) где xк , y к , z к  декартовые координаты точек приложения сил тяжести Pк , действующих на частицы тела. Для однородного тела объемом V вес Pк любой его части объема Vк составляет Рк  γ Vк , (9.10) где γ  вес единицы объема, а вес всего тела n n к 1 к 1 P   Pк  γ  Vк  γ V . (9.11) Подставив (9.10) и (9.11) в (9.9), получим координаты центра тяжести однородного тела: n xС  n γ V xк к к 1 γV  n γ  Vк xк  к 1 γV n yС  Vк yк к 1 V V xк к к 1 ; V (9.12) n zС  ; Vк zк к 1 V . Поскольку положение центра тяжести С однородного тела не зависит от объемной плотности вещества , а определяется только геометрической формой тела, то точка С называется центром тяжести объема V. Проводя аналогичные рассуждения для однородной плоской пластины n площади S   S к , получим ее координаты центра тяжести: к 1 n xС   S к xк к 1 S n yС  ; S к 1 к S yк , (9.13) где xк , yк  координаты к-й части пластины площади S к . Формулы (9.13) определяют координаты центра тяжести площади S. Точно так же можно найти координаты центра тяжести линии длиной L: n xС   lк xк к 1 L n ; yС   lк yк к 1 L n ; zС  l к 1 к L zк . (9.14) Рассмотрим некоторые способы определения координат центров тяжести однородных тел. 1. Способ симметрии. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести С лежит соответственно в плоскости, на оси или центре симметрии тела. 2. Способ разбиения. Если однородное тело можно разбить на конечное число частей, положения центров тяжести которых известны, то координаты центра тяжести всего тела можно определить по формулам (9.12) – (9.14), где n соответствует числу частей, на которые разбивается тело. 3. Способ дополнения. Этот способ применяется к телам, имеющим вырезы, когда объем (площадь) данного тела можно представить как разность объемов (площадей) тел. Причем положения центра тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. В этом случае объем (площадь) тела без выреза считается положительным, а объем (площадь) вырезанной части – отрицательным. 4. Способ интегрирования. Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положения центров тяжести которых известны, то его разбивают на бесконечное число элементарных объемов (площадей, линий). Тогда координаты центров тяжести тел можно получить с помощью формул (9.12) – (9.14), в которых суммы переходят в соответствующие интегралы. Приведем без доказательств координаты центров тяжести некоторых однородных тел. 1. Центр тяжести С площади треугольника (рис. 9.5, а) лежит в точке пересечения его медиан, причем тока С делит каждую медиану в отношении 2 : 1, т. е. CE  1 BE . 3 (9.15) 2. Центр тяжести С дуги окружности радиусом R с центральным углом 2α (рис. 9.5, б) лежит на оси ее симметрии на расстоянии от центра О равном xC  OC  R sin α . α (9.16) 3. Центр тяжести С площади кругового сектора радиусом R с центральным углом 2α (рис. 9.5, в) лежит на оси его симметрии на расстоянии от центра О равном xC  OC  B 2 R sin α . 3α B B R R C A E O D а (9.17) α C α x O α Рис. 9.5 x α A б C A в 4. Центр тяжести С объема конуса (рис. 9.6, а) или призмы лежит на отрезке прямой ЕС1, соединяющей вершину Е конуса с центром тяжести С1 его основания, причем E z R C C C O 1 б a Рис. 9.6 CС1  1 EС1 . 4 (9.18) 5. Центр тяжести С объема полусферы радиусом R (рис. 9.6, б) лежит на оси симметрии Оz с координатой zC = OC = 3R/8. МОДУЛЬ 3. ДИНАМИКА ЛЕКЦИЯ 10 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Законы классической механики Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил. Первоначально при изучении динамики, для того чтобы отвлечься от учета влияния формы тела на его движение, рассмотрим динамику материальной точки. В ее основе лежат законы (аксиомы динамики), впервые наиболее полно сформулированные Исааком Ньютоном в его сочинении «Математические начала натуральной философии» в 1687 году. I закон (принцип инерции): изолированная от внешнего воздействия материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения. При изучении движения материальных тел важным обстоятельством является выбор системы отсчета. Согласно принципу инерции существует система отсчета, в которой материальная точка находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют силы. Система отсчета, в которой выполняется принцип инерции, называется инерциальной (иногда ее условно называют неподвижной). II закон (основной закон динамики): сила, действующая на свободную материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы (рис. 10.1): r r maF, (10.1) M  где F  вектор силы, действующей на точку;  V m  ее масса; a  ускорение точки. O Уравнение (10.1) называется основным F урав-нением динамики точки. Масса m является, ме-рой ее инертности, т. е. способности точки Рис. 10.1 «сопро-тивляться» изменению ее скорости. Масса пред-ставляет собой основную динамическую характеристику материальной точки. Согласно закону (10.1) устанавливается соотношение между массой тела m и его весом P: mg  P , где g  ускорение свободного падения. (10.2) III закон (закон равенства действия и противодействия): две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны. IV закон (закон независимости действия сил): если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение точки складывается из тех ускорений, которые имела бы точка под действием каждой из этих сил в отдельности:     a  a1  a2  ...  an , (10.3)     где a  полное ускорение точки; a1 , a2 ,..., an  ускорения, сообщаемые r r r точке соответственно силами F1 , F2 , ... , Fn . На основании II и IV законов можно сделать вывод о том, что если F1 на материальную точку действует n сил, то точка получает ускорение, пропорциональное геометрической a1 F2 сумме этих сил и направленное так  R же, как и их равнодействующая a2 (рис. 10.2): m a3 a R F3  n   ma   Fк  R . к 1 (10.4) Движение материальной точки под r r r действием сил F1 , F2 , ... , Fn будет Рис. 10.2 таким же, как и при действии на нее  их равнодействующей R . Если рассматривается движение несвободной материальной точки, то, применяя принцип освобождаемости от связей, ее можно рассматривать как свободную, включив в состав действующих на нее активных (заданных) сил и силы реакций связей. В этом случае для точки справедливы указанные выше законы      динамики. В частности (10.4) принимает вид m a  F  N , где F , N  соответственно равнодействующие активных сил и реакций связей, действующих на точку. Дифференциальные уравнения движения материальной точки Пусть положение материальной точки  массой m в инерциальной r (рис. 10.1). В общем случае системе отсчета задано радиус-вектором  равнодействующая сил R , действующих на точку, может зависеть от положения точки, ее скорости и времени, т. е.    dr R  R ( r, , t ). dt По определению (10.5)   d 2r a 2 . dt (10.6) С учетом (10.5) и (10.6) основное уравнение динамики (10.1) можно записать в виде   d 2 r   dr m 2  R ( r, , t ). dt dt (10.7) Уравнение (10.7) называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме. При решении задач обычно от векторного уравнения (10.7) переходят к скалярным дифференциальным уравнениям движения материальной точки. Для этого проецируют векторное уравнение (10.7) на оси выбранной системы координат. В проекциях на декартовые оси уравнение (10.7) имеет вид & Rx ; mx& & R y ; my& & Rz , mz& (10.8) x& , & y&, & z& и Rx , R y , Rz  проекции ускорения точки и равнодействующей где & сил, действующих на точку, соответственно на оси х, у, z. С учетом (10.4) возможна другая запись уравнений (10.8): n &  Fкх ; mx& к 1 n &  Fку ; my& к 1 n &  Fкz . mz& к 1 (10.9) Уравнения (10.8), (10.9) называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах. При криволинейном движении материальной точки удобно пользоваться системой осей естественного трехгранника: касательной τ , главной нормалью n и бинормалью b . Проецируя уравнение (10.4) на эти оси, получим n maτ   Fк ; к 1 n n man   Fкn ; mab   Fкb , к 1 к 1 (10.10) где aτ , an , ab  соответственно касательное, нормальное и бинормальное ускорения точки; Fкτ , Fкn , Fкb  проекции к-й силы, действующей на точку, на касательную, главную нормаль и бинормаль. Из кинематики известно, что dV aτ  , dt V2 an  , ρ ab  0 , (10.11) где V  s& величина скорости точки; s  криволинейная координата; ρ  радиус кривизны траектории точки в данный момент времени. Подставив (10.11) в (10.10), получим n dV   Fк ; m dt к 1 n V2   Fкn ; m ρ к 1 n 0   Fкb . к 1 (10.12) Уравнения (10.12) являются дифференциальными уравнениями движения точки в системе естественных осей и называются естественными уравнениями движения. Ими удобно пользоваться для определения неизвестных реакций связей в случае криволинейного движения точки. Две задачи динамики точки Рассматривая движение материальной точки под действием сил, динамика ставит целью решение двух основных задач. Первая задача динамики заключается в определении силы по известному закону движения точки.  F Для нахождения модуля и направления силы (равнодействующей  R ), действующей на материальную точку, необходимо определить проекции этой силы на оси декартовой системы координат или на оси естественного трехгранника (в зависимости от способа задания движения точки). Согласно уравнениям (10.8) и (10.12), эта задача сводится к нахождению проекций ускорения точки, которые определяются дифференцированием по времени соответствующих функций. Пусть движение точки массой m задано координатным способом, т. е. известны зависимости координат точки от времени: x  x (t ) ; y  y (t ) ; z  z (t ) . (10.13)  Для определения силы F , под действием которой происходит движение, следует: 1) найти проекции ускорения точки на декартовые оси, продифференцировав дважды по времени уравнения движения (10.13): & ax  & x, & ay  & y, az  & z&; (10.14)  2) вычислить по формулам (10.8) проекции силы F на оси координат: &, Fx  mx& &, Fy  my& &; Fz  mz& (10.15)  3) найти модуль силы F : F  Fx2  Fy2  Fz2  m & x&2  & y&2  & z&2 . (10.16)  Направление силы F определяется с помощью направляющих косинусов: r r F cos F ˆ i  x ; F   r r F cos F ˆ k  z . F r r F cos F ˆ j  y ; F     При естественном способе задания движения, когда известна траектория точки и зависимость криволинейной координаты от времени, s  s (t ) , (10.17)  для определения силы F , под действием которой происходит движение, следует 1) найти по формулам (10.11) касательное и нормальное ускорения точки, вычислив соответствующие производные по времени от закона движения (10.17): V2 s&2 an   ; ρ ρ  2) согласно (10.12) определить проекции силы F на оси естественного dV aτ  & s&, dt трехгранника: Fτ  m & s&, s&2 , Fn  m ρ  Fb  0 ; 3) вычислить модуль силы F по формуле (10.18) s&4 F  F  F  m & s&  2 . ρ 2 2 n 2 (10.19) Вторая (основная) задача динамики заключается в определении уравнений движения точки, если известны действующие на нее силы. Рассмотрим движение точки относительно декартовой системы координат. Согласно (10.8), дифференциальные уравнения движения точки имеют вид mx& & Rx ( x, y, z ,  & Ry ( x, y , z , my&  & mz& Rz ( x, y, z , x&, y&, z&, t ); x&, y&, z&, t ); (10.20) x&, y&, z&, t ). Для определения уравнений движения точки x  x (t ), y  y (t ), z  z (t ) необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (10.20), применив методы высшей математики. Если удается это сделать, то получаем общее решение системы (10.20): x  x  t , C1 , C2 , ..., C6  ; y  y  t , C1 , C2 , ..., C6  ; (10.21) z  z  t , C1 , C2 , ..., C6  , где С1, С2, …, С6  произвольные постоянные интегрирования. Дифференцированием по времени решения (10.21) можно также определить проекции скорости точки на декартовые оси: x& x& t , C1 , C2 , ..., C6  ; y& y& t , C1 , C2 , ..., C6  ; (10.22) z& z& t , C1 , C2 , ..., C6  . Для того чтобы из многообразия решений системы (10.21) выбрать то, которое соответствует данной задаче, необходимо задать начальные условия движения, т. е. в начальный момент времени зафиксировать положение точки и проекции ее скорости на декартовые оси: t  0; x  0  x0 ; y  0  y0 ; z  0  z0 ; x& 0  x&0 ; y&  0  y&0 ; z& 0  z&0 . (10.23) Совокупность данных (10.23) называется начальными условиями движения. Нахождение значений постоянных интегрирования С1, С2, …, С6 проводится подстановкой начальных условий движения (10.23) в совокупность выражений (10.21) и (10.22)  x0  x  0,   y0  y  0,  z  z  0,  0   x&0  x& 0,  y&  y& 0,  0  z&0  z& 0, C1 , C2 , ..., C6  C1 , C2 , ..., C6  C1 , C2 , ..., C6  C1 , C2 , ..., C6  C1 , C2 , ..., C6  C1 , C2 , ..., C6  и решения полученной системы шести алгебраических относительно шести неизвестных С1, С2, …, С6. уравнений ЛЕКЦИЯ 11 ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ Колебательные движения материальных тел и механических систем имеют место в различных областях техники. Они сопровождают вибрации машин и их деталей, вибрации инженерных сооружений и их отдельных элементов, движения самолетов и автомобилей, и т. д. Первоначально для установления основных параметров, влияющих на характер колебательного движения, ограничимся рассмотрением только прямолинейных колебаний тела, приняв его за материальную точку. В зависимости от действующих на материальную точку сил различают три вида колебательных движений: 1) свободные (гармонические) колебания, происходящие под действием линейной восстанавливающей силы, т. е. силы стремящейся вернуть точку в положение равновесия и пропорциональной её отклонению от этого положения равновесия. 2) затухающие колебания, происходящие под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления среды, 3) вынужденные колебания, когда кроме восстанавливающей силы и силы сопротивления среды действует сила, периодически зависящая от времени. Свободные колебания точки Рассмотрим материальную точку М массой m, движущуюся прямолинейно вдоль неподвижной оси Ох под действием линейной восстанавr ливающей силы F , всегда направленной к неподвижному центру О и по закону Гука пропорциональной расстоянию от точки М до этого центра (рис. 11.1), т. е. Fx   cx , (11.1) O x F M V x где c  коэффициент пропорциональности. В дальнейшем rв качестве линейной восстаРис. 11.1 навливающей силы F будет рассматриваться сила упругости пружины. В этом случае c является коэффициентом жесткости пружины. В системе СИ c равен величине силы, которую надо приложить к пружине для изменения ее длины на один метр. Запишем основное уравнение динамики точки в проекции на ось Ох: ma x  Fx или & cx . mx& (11.2) 2 Разделив (11.2) на m и введя обозначение k  c , представляем уравнение m в виде & x& k 2 x  0 , (11.3) Уравнение (11.3) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Будем искать решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (11.3) в виде x  e t . Подставляя это решение в (11.3), получаем характеристическое уравнение σ2  k 2  0 , которое имеет мнимые корни σ1,2   ki . Тогда общее решение дифференциального уравнения (11.3) принимает вид x  C1*eikt  C2*e ikt  C1 cos kt  C2 sin kt . (11.4)   Здесь C1  (C1  C2 ) / 2 , C1  (C1  C2 ) / 2  постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения материальной точки: t0 x (0)  x0 , x&(0)  x&0  V0 . (11.5) Для удобства исследования движения (11.4) обычно постоянные интегрирования C1 и C2 заменяют другими постоянными A и α . Полагая, что C1  A sin α, C2  A cos α (11.6) и подставляя (11.6) в (11.4), получаем x  A sin( kt  α), (11.7) Колебания, совершаемые точкой по закону (7), являются гармоническими колебаниями. Здесь величина k  c/m (11.8) называется круговой частотой (собственной частотой) свободных колебаний, которая равна числу колебаний точки за время 2π секунд. Величина А является амплитудой, kt  α  фазой,   начальной фазой колебаний. Вычислим скорость точки М: x& Ak cos(kt  α) . (11.9) Для определения постоянных интегрирования А и  подставляем начальные условия движения (11.5) в (11.7) и (11.9) и получаем систему алгебраических уравнений:  x0 =A sin α  V0  Ak cos α (11.10) Решая (11.10) относительно A и α , найдем A  x02  V02 / k 2 , tgα  kx0 / V0 . (11.11) Из (11.11) следует, что значение амплитуды А и начальной фазы α свободных колебаний точки зависят от её начальных условий движения. Промежуток времени Т, за который точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. Согласно этому определению Т из (7) и (9) следует, что A sin  k (t  T )  α   A sin  kt  α  , Ak cos k (t  T )  α   Ak cos  kt  α . Одновременное выполнение этих условий возможно только, если kT  2π . Откуда находим T 2π m  2π . k c (11.12) Вид выражений (11.8) и (11.12) означает, что частота k и период Т свободных колебаний точки от начальных условий движения не зависит. Это свойство называется изохронностью, а свободные колебания точки  изохронными. График гармонических колебаний (11.7) приведен на рис. 11.2, а. Согласно (11.7) координата х материальной точки изменяется от  A до А, т. е. ее максимальное отклонение от центра О равно амплитуде А свободных центром колебаний: колебаний. Положение равновесия  точка О является r в этой точке при х = 0 восстанавливающая сила F обращается в ноль. x Ak x A x0 О T t -A A x О -A -Ak а б Рис. 11.2 Для наглядного представления о характере прямолинейных колебаний точки удобно применять следующую геометрическую интерпретацию. Будем рассматривать координату x точки М и ее скорость x& как декартовые координаты точки плоскости, называемой фазовой плоскостью (рис. 11.2, б). Каждая точка этой фазовой плоскости соответствующая определенному состоянию материальной точки, называется изображающей точкой, а ее координаты x и x&  координатами состояния. При движении материальной точки М соответствующая ей изображающая точка описывает на фазовой плоскости траекторию, называемую фазовой траекторией. В случае свободных колебаний материальной точки, исключая время t из зависимостей (11.7) и (11.9), получаем уравнение фазовой траектории изображающей точки x2 x&2  2 2 1 A2 Ak в виде эллипса, изображенного на рис. 11.2, б. (11.13) l0 ст c x M Рис. 11.3 O1 O F m P x Рассмотрим влияние постоянной силы на характер свободных колебаний на примере задачи о свободных колебаниях тела М на пружине жесткости с (рис. 11.3). В этом случае на материальную точку массой m, кроме r восстанавливающей силы упругости пружины F , действует сила тяжести r r P  mg постоянная по модулю и направлению ( g  ускорение свободного падения). Для упрощения математического решения задачи начало отсчета неподвижной оси Ох выберем в положении статического равновесия тела на пружине (рис. 11.3). В произвольном положении материальной точки с координатой х величина полной деформации пружины (ее удлинение) δ  δ ст  x , где δст  величина деформации пружины в положении статического равновесия О (на рис. 11.3 положение точки O1 соответствует нижнему концу недеформированной пружины длиной l0 ). Тогда значение проекции силы упругости пружины на ось Ох Fx  c(δст  x ) . (11.14) В положении статического равновесия О ( x  0 ) величина восстанавливающей силы равна Fст  cδст и на материальную точку действует уравновешенная сходящаяся система сил, для которой уравнение равновесия (11.15)  Fкx  0 принимает вид: P  Fст  0 . Отсюда получаем P  cδст , (11.16) т. е. в положении статического равновесия сила тяжести уравновешивает силу упругости пружины. Теперь запишем основное уравнение динамики точки в проекции на ось Ох ma x  Fx  P или &  c(δст  x )  P . mx& (11.17) С учетом (11.16) уравнение (11.17) приведем к уравнению (11.2), а затем представим в форме (11.3): & x& k 2 x  0 , решение (7) которого не изменяется. Следовательно, при рассмотрении движения тела М на пружине положение статического равновесия О является центром колебаний для материальной точки. Обобщая эти результаты на случай действия на материальную точку кроме восстанавливающей силы дополнительной произвольной постоянной силы, приходим к следующему выводу: «Любая постоянная сила не изменяет характера колебаний, совершаемых материальной точкой под действием восстанавливающей силы, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия этой постоянной силы на величину статической деформа- ции δст ». Величина δст определяется из формулы аналогичной (11.16). Подставляя (11.16) в (11.12), найдем период свободных колебаниях для тела М на пружине T  2π  δст . g (11.18) Рассмотрим случаи, когда тело М подвешено к системе пружин. 1. Если тело подвешено к двум параллельно соединенным пружинам c1 c1 c2 жесткости c1 и c2 (рис. 11.4, а l и рис. 11.4, б), то эту систему F2 ст пружин заменим одной ст F1 ст эквивалентной пружиной с M M O m жесткостью c (рис. 11.3). В P положении статического равновесия x c2 О ( x  0 ) для системы параллельно соединенных пружин (рис. 11.4, в) уравнение равновесия (11.15) принимает вид а б в Рис. 11.4 P  F1ст  F2ст  0 или P  c1δст  c2δст  0 . Отсюда P  ( c1  c2 )δст . (11.19) Приравнивая правые части (11.19) и (11.16), находим коэффициент жесткости с эквивалентной пружины c  c1  c2 . (11.20) Обобщая (11.20) на случай n параллельно соединенных пружин, коэффициент жесткости с эквивалентной пружины можно вычислить по формуле n c   cк . (11.21) к 1 2. Если тело М подвешено к двум последовательно соединенным пружинам жесткости c1 и c2 (рис. 11.5, а), то эту систему пружин заменяем одной эквивалентной пружиной с жесткостью c (рис. 11.3). В положении статического равновесия О ( x  0 на рис. 11.5, б) для системы последовательно соединенных пружин величину ее полной статической деформации δст вычислим по формуле c1 l0 c2 M c1 c2  ст M 1ст F1ст 2ст F2ст O m P x а б Рис. 11.5 δст  δ1ст  δ 2ст , (11.22) где δ1ст , δ 2ст  величины статических деформаций (удлинений) данных пружин жесткостью c1 и c2 соответственно. Согласно (11.16) величины статических деформаций (удлинений или сжатий) пружин под действием r силы P равны: δст  P , c δ1ст  P , c1 δ 2ст  P . c2 (11.23) Подставляя (11.23) в (11.22) и сокращая найденное равенство на величину P , находим 1 1 1   . c c1 c2 (11.24) Величины, обратные коэффициентам жесткости, называются коэффициентами податливости. Следовательно, при последовательном соединении пружин податливость эквивалентной пружины равна сумме податливостей данных пружин. Из (11.24) найдем коэффициент жесткости с эквивалентной пружины: c c1c2 . c1  c2 (11.25) Если обобщить формулу (11.24) на случай n последовательно соединенных пружин с коэффициентами жесткости c1 , c2 , ..., cn , то коэффициент жесткости с эквивалентной пружины можно вычислить, используя формулу 1 n 1  . c к 1 cк (11.26) В дальнейшем при решении задач о колебании тела М на произвольной системе параллельно и последовательно соединенных пружин заменяем их одной эквивалентной пружиной с коэффициентом жесткости с, который определяем применением формул (11.21), (11.26) в зависимости от вида их соединения. Затухающие колебания точки Рассмотрим материальную точку М массой m, движущуюся прямолинейно вдоль неподвижной оси Ох под действием восстанавливающей силы r r r F и силы вязкого сопротивления среды R  μV , которая направлена r V точки М (рис. 11.6). противоположно вектору скорости Тогда O FRM V x Rx  μVx  μx&, (11.27) x Рис. 11.6 где μ  коэффициент пропорциональности, характеризующий вязкость среды. Запишем основное уравнение динамики точки в проекции на ось Ох: ma x  Fx  Rx или &  cx  μx&. mx& Разделив (11.28) на m и введя обозначение (11.28) k2  c μ , 2b  , m m (11.29) представляем уравнение (11.28) в виде & x& 2bx& k 2 x  0 , (11.30) где параметр b характеризует влияние сопротивления среды на движение материальной точки. Уравнение (11.30) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний при линейно-вязком сопротивлении. Будем искать решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (11.30) в виде x  e t . Подставляя это решение в (11.30) и разделив найденное уравнение на e t  0 , получаем характеристическое уравнение  2  2b  k 2  0 , корни которого вычисляем по формуле  1,2  b  b2  k 2 . (11.31) Из (11.31) следует, что в зависимости от соотношений между k и b общее решение уравнения (11.30) имеет разный характер. bk 1. Если (сопротивление мало), то корни (11.31) характеристического уравнения различные и комплексные  1,2  b  i k 2  b2 . В этом случае общее решение дифференциального уравнения (11.30) имеет вид x  C1e (  bi k 2 b 2 ) t  C2e (  bi k 2 b 2 ) t (11.32) * * Перейдем в (11.32) от постоянных интегрирования C1 и C2 к новым постоянным C1 и C2 по формулам: C1  C2 , 2 Подставляя (11.33) в (11.32), получаем C1*  x  e  bt C1 cos    C2*  k 2  b 2 t  C2 sin  C1  C2 . 2 (11.33)  k 2  b2 t  .  (11.34) Для наглядности в решении (11.34) перейдем от C1 и C2 к другим постоянным A и α по формулам C2  A cosα . C1 =A sinα, (11.35) Тогда подставляя (11.39) в (11.38), получаем общее решение уравнения (11.30) в виде x  Ae  bt sin   k 2  b2 t  α . (11.36) Колебания, происходящие по закону (11.36), называются затухающими. Постоянные интегрирования A и α можно определить, используя начальные условия движения точки (11.5). В (11.36) величина k *  k 2  b2 (11.37) называется циклической частотой затухающих колебаний.  bt Наличие в решении (11.36) множителя e приводит к тому, что с  bt этих колебаний убывает, стремясь к течением времени амплитуда Ae нулю. Период Т затухающих колебаний вычисляем по формуле: T  2π 2π  . k* k 2  b2 (11.38) Для моментов времени 0, T , 2T , 3T и т. д. амплитуда колебаний (11.36)  bT 2 bT 3bT , Ae и т. д. принимает соответствующие значения A , Ae , Ae Следовательно, размахи колебаний (11.36) будут убывать по закону  bT называется геометрической прогрессии, знаменатель которой e  bT декрементом колебаний, а величина ln e  bT  логарифмическим декрементом. Сравнивая значения частот (11.8), (11.37), и периодов (11.12), (11.38), можно сделать вывод, что наличие линейно-вязкого сопротивления, приводит к уменьшению частоты и увеличению периода свободных колебаний точки. График затухающих колебаний (11.36) материальной точки приведен на рис. 11.7, а, а график ее фазовой траектории  на рис. 11.7, б. На рис. 11.7, б видно, что при затухающих колебания изображающая точка с течением времени стремится к началу координат О на фазовой плоскости. x x0 x * x = Ae  b T t О О x0 x x = Ae b T а б Рис. 11.7 2. Если b  k (сопротивление велико), то корни (11.31) вещественные и различные. В этом случае общее решение уравнения (11.30) запишем в виде  x  C1*e1t  C2*e 2t  e  bt C1*e b2  k 2 t  C2*e  b2  k 2 t . (11.39) или, используя (11.33), находим x  e  bt C1ch    b2  k 2 t  C2sh   b2  k 2 t  .  (11.40) Перейдем от C1 и C2 к постоянным интегрирования A и α , полагая, что C2  A chα . C1 =A shα, (11.41) Подставляя (11.41) в (11.40), находим вид общего решения (11.39) для рассматриваемого случая x  Ae  bt sh   b2  k 2 t  α . (11.42) Из вида зависимости (11.42) координаты х от времени t следует, что движение материальной точки в случае большого сопротивления среды ( b  k ) не носит колебательного характера, и точка M под действием восстанавливающей силы будет постепенно (асимптотически) приближаться к положению равновесия О. Следовательно, в случае большого сопротивления движение точки является апериодическим движением. Очевидно, что при известных начальных условиях движения точки t  0 x (0)  x0  0, x&(0)  x&0  V0 возможные графики апериодического движения (11.42), приведенные на рис. 11.8, x зависят отr величины и направления начальной скорости V0 точки: 1 x0 2 кривая 1 соответствует V0  0 ; t O кривая 2 отражает случай V0  0 и величина 3 начальной скорости не велика; кривая 3 соответствует V0  0 , но величина Рис. 11.8 начальной скорости велика. 2. Если b  k , то корни (11.31) характеристического уравнения вещественные и кратные  1,2  b . Тогда общее решение уравнения (11.30) имеет вид уравнения апериодического движения x  e  bt  C1*  C2*t  . (11.43) r Для различных величин и направлений начальной скорости V0 точки М возможные графики апериодического движения (11.43) будут качественно аналогичны графикам, изображенным на рис. 11.8. ЛЕКЦИЯ 12 Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротивления Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки М масссой r m вдоль неподвижной оси Ох rпод действием восстанавливающей силы F (11.1) и возмущающей силы H (рис. 12.1), изменяющейся по гармоническому закону H x  H 0 sin ωt , (12.1) где H 0  амплитуда, а ω  частота возмущающей силы. Запишем основное уравнение динамики точки в проекции на ось Ох: O x ma x  Fx  H x F M V H x Рис. 12.1 или с учетом (1) и (43) &  cx  H 0 sin ωt . mx& (12.2) Разделим (12.2) на m и оставим в правой части только слагаемое, зависящее от времени t, введя обозначения k2  c , m h0  H0 . m (12.3) Тогда исходное уравнение (44) принимает вид & x& k 2 x  h0 sin ωt , (12.4) Уравнение (12.4) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний при отсутствии сопротивления. Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (12.4) можно записать в виде суммы общего решения x1 однородного дифференциального уравнения (11.3) и частного решения x2 исходного неоднородного уравнения (12.4), т. е. x  x1  x2 . (12.5) Согласно (11.7) запишем общее решение однородного дифференциального уравнения (11.3) x1  A sin( kt  α) . (12.6) Частное решение x2 неоднородного уравнения (12.4) зависит от вида правой части этого дифференциального уравнения. r 1. Если частота возмущающей силы H не равна собственной частоте свободных колебаний ( ω  k ), то частное решение уравнения (12.4) будем искать в виде x2  B sin ωt , (12.7) где постоянную интегрирования B можно определить подстановкой решения (12.7) в исходное уравнение (12.4). Для этого дважды дифференцируя по времени (12.7) 2 & x& 2   Bp sin ωt (12.8) и подставляя (12.7) и (12.8) в (12.4), получаем  Bp 2 sin ωt  k 2 B sin ωt  h0 sin ωt или (k 2  p 2 ) B sin ωt  h0 sin ωt . (12.9) Приравнивая коэффициенты, стоящие при функции sin ωt в левой и правой частях равенства (12.9), имеем (k 2  ω2 ) B  h0 , откуда находим B h0 . k 2  ω2 (12.10) С учетом (12.10) частное решение (12.7), соответствующее вынужденным колебаниям точки, принимает вид x2  h0 sin ωt . k 2  ω2 (12.11) Подставляя (12.7) и (12.11) в (12.5), получаем общее решение дифференциального уравнения (12.4) вынужденных колебаний при отсутствии сопротивления: x  A sin(kt  α)  h0 sin ωt , k 2  ω2 (12.12) где постоянные интегрирования A и α определяем по начальным условиям движения точки (11.5). Из (12.12) следует, что колебания точки являются сложными, которые складываются из собственных колебаний с амплитудой А и частотой k и вынужденных колебаний с амплитудой В и частотой ω , совпадающей с r частотой возмущающей силы H . r 2. Если частота возмущающей силы H равна собственной частоте колебаний ( ω = k ), то имеет место явление резонанса  неограниченного возрастания амплитуды вынужденных колебаний. В этом случае частное решение x2 дифференциального уравнения (12.4) следует искать в виде x2  Bt cosωt . (12.13) Определим величину постоянной В. Для этого вычислим 2 & x& 2  2 Bω sin ωt  Btω cos ωt . Подставляя решение (12.13), выражение (12.14) и дифференциальное уравнение (12.4), получаем 2 Bω sin ωt  ω2 Bt cos ωt  ω2 Bt cos ωt  h0 sin ωt . (12.14) k  ω в исходное (12.15) Приведя подобные слагаемые в (12.15) и приравнивая коэффициенты при sin ωt в левой и правой частях этого равенства, определяем коэффициент h0 . 2ω (12.16) x2 Подставляя (12.16) в (12.13), находим закон вынужденных колебаний при резонансе при отсутствии сопротивления: O B x2   h0t cosωt . 2ω h0t 2 t x2= - h0t 2 Используя формулы приведения, окончательно получаем x2  x2= Рис. 12.2 h0t π  sin  ωt   . 2ω 2  (12.17) Из (59) следует, что при резонансе амплитуда вынужденных колебаний возрастает пропорционально времени (рис. 12.2), а сдвиг r фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы H равен π/2. Вынужденные колебания точки при вязком сопротивлении Рассмотрим прямолинейное движение точки М массой m вдоль неподвижной оси Ох (рис. 12.3). Пусть на r r нее действуют восстанавливающая r сила F (11.1), сила сопротивления R (11.27) и возмущающая сила H , изменяющаяся по гармоническому закону O x FR M V H H x  H 0 sin(ωt  δ) , x (12.18) H 0  амплитуда, ω  частота, где δ  начальная фаза возмущающей силы. Запишем основное уравнение динамики точки в проекции на ось Ох: Рис. 12.3 ma x  Fx  Rx  H x или с учетом зависимостей (11.1), (11.27) и (12.18) &  x& cx  H 0 sin(ωt  δ) . mx& (12.19) Разделив (12.19) на m и введя обозначения k2  c , m 2b  μ , m h0  H0 , m (12.20) запишем дифференциальное уравнение (12.19) в виде & x& 2bx& k 2 x  h0 sin(ωt  δ) . (12.21) Уравнение (12.21) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний при линейно-вязком сопротивлении. Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (12.21) следует записать в виде суммы общего решения x1 однородного дифференциального уравнения (11.30) и частного решения x2 исходного неоднородного уравнения (12.21), т. е. x  x1  x2 . (12.22) Ограничимся рассмотрением случая малого сопротивления среды ( b  k ). Тогда согласно (11.36) x1  Ae  bt sin   k 2  b2 t  α . (12.23) Частное решение x2 будем искать, исходя из вида правой части уравнения (12.21): x2  B sin(ωt  δ  β) , (12.24) где B и β  постоянные интегрирования. Для их определения вычислим x&2 и & x& 2: x&2  ωB cos(ωt  δ  β), 2 & x& 2  ω B sin(ωt  δ  β). Подставляя найденные выражения уравнение (12.21), получаем x&2 , & x& и решение (12.24) в 2 ω 2 B sin(ωt  δ  β)  2bωB cos(ωt  δ  β)   k 2 B sin(ωt  δ  β)  h0 sin(ωt  δ). Полагая ωt  δ  β  γ и используя соотношение sin(ωt  δ)  sin(γ  β)  sin γ  cosβ  cos γ  sinβ , запишем (12.25) в виде (12.25)  p 2 B sin γ  2bpB cos γ  k 2 B sin γ  h0 sin γ  cosβ  cos γ  sinβ . (12.26) Приравнивая коэффициенты при sin γ и cos γ в левой и правой частях уравнения (12.26), получаем систему алгебраических уравнений относительно постоянных В и β : (k 2  ω2 ) B  h0 cosβ,  2bωB  h0 sinβ. Отсюда находим B h0 ( k 2  ω 2 ) 2  4b 2 ω 2 tgβ  , (12.27) 2bω . k 2  ω2 (12.28) Подставляя (12.27) и (12.28) в (12.24) получим частное решение неоднородного уравнения (12.21), x2  h ( k  ω )  4b ω 2 2 2 2 2 sin(ωt  δ  β) (12.29) Следовательно, общее решение (12.22) дифференциального уравнения (12.21) имеет вид x  Ae  bt sin   k 2  b2 t  α  h0 ( k  ω )  4b ω 2 2 2 2 2 sin(ωt  δ  β) . (12.30) Постоянные интегрирования A и α , входящие в первое слагаемое (12.30), можно определить подстановкой в (12.30) и в выражение для соответствующей скорости x& начальных условий движения материальной точки (11.5). Согласно (12.30) прямолинейные колебания точки являются сложными и складываются из собственных затухающих колебаний (первое слагаемое) и вынужденных колебаний (второе слагаемое). Собственные колебания по истечении некоторого промежутка времени tу , называемого временем установления, довольно быстро затухают, и характер колебаний системы будут определять только вынужденные колебания. x T1 B x0 t О Например, если собственными колебаниями (12.23) можно пренебречь, начиная с момента времени, когда их амплитуда станет 0,01 B , то время меньше установления tу можно определить из равенства Ae  btу  0,01B , откуда 1 100 A tу  ln . b B tу (12.31) Рис. 12.4 Одна из возможных картин установления колебаний точки, происходящих по закону (12.30), показана на рис. 12.4. Очевидно, что при других начальных условиях движения и иных соотношениях между * 2 2 частотами ω и k  k  b 0  t  tу может быть другим. характер колебаний в интервале времени Однако во всех случаях при t  tу точка будет совершать только вынужденные колебания по закону (12.29) x  B sin(ωt  δ  β) . (12.32) Следовательно, вынужденные колебания точки представляют собой гармонические колебания с амплитудой В, определяемой формулой (12.27), r и частотой ω , равной частоте возмущающей силы H . При наличии сопротивления вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно возмущающей силы на величину β (12.28). Период установившихся колебаний будет равен периоду вынужденных колебаний T1  2π . ω (12.33) Рассмотрим частные случаи вынужденных колебаний точки. Для этого введем безразмерные параметры: λ ω , k η b , k δст  h0 H 0  . k2 c (12.34) Тогда с учетом (12.33) формулы (12.27) и (12.28) для амплитуды В и сдвига фаз β принимают вид B δст (1  λ )  4η λ 2 2 tgβ  2 2 , (12.35) 2η λ . 1 λ2 (12.36) r H 1. Если частота возмущающей силы много меньше собственной частоты ( ω < k ), то, раскладывая (12.35) и (12.36) в ряд Тейлора по степеням безразмерного параметра малости λ << 1 и ограничиваясь квадратичными слагаемыми, получаем B  δст , (12.37) tgβ  0. Здесь δст  величина статического отклонения точки М от положения равновесия О под действием постоянной силы, равной по величине H 0 . Колебания в этом случае происходят с амплитудой равной статическому отклонению δст и сдвигом фаз β  0 , т. е. фазы вынужденных колебаний и r возмущающей силы H все время совпадают. r 2. Если частота возмущающей силы H много больше собственной 1 частоты ( ω  k ), то  0 . Из (12.35) следует, что величина амплитуды В λ вынужденных колебаний становится малой. Если считать сопротивление η малым (  0 ), то для оценки В можно получить приближенную формулу λ B δст h0  . λ 2 ω2 (12.38) Этот случай представляет наибольший интерес для проблем виброзащиты сооружений, механизмов, машин, и т. п. r H совпадает с собственной 3. Если частота возмущающей силы частотой ( ω  k ), то величина амплитуды В вынужденных колебаний точки достигает максимального значения Bрез , и имеет место явление, называемое резонансом. Действительно, представим в (12.35) амплитуду В как функцию безразмерного параметра ξ  λ 2 B (ξ)  δст (1  ξ) 2  4 2 η2ξ . (12.39) Из (12.39) видно, что амплитуда В вынужденных колебаний будет достигать 2 2 максимального значения Bрез , если величина f (ξ)  (1  ξ)  4η ξ , стоящая в знаменателе, имеет минимум. Решая уравнение f (ξ)  2(1  ξ  2η2 )  0 и проверяя условие на минимум функции f (ξ) f (ξ)  2  0 , 2 находим, ξ min  1  2η . Отсюда получаем, что при частоте возмущающей силы равной ωрез  k 2  2b2 (12.40) амплитуда В вынужденных колебаний достигает максимального значения. Если сопротивление мало ( η  1 , k  2b ), то, раскладывая (12.40) в ряд b2 2 по малому параметру η  2 , получаем, что резонанс имеет место, если k ω рез b2  k (1  2 )  k . k В этом случае при резонансе амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз можно оценить по формулам: Bрез  δст H0  , 2η 2bω рез π β рез  . 2 (12.41) Из (12.41) следует, что при малом сопротивлении амплитуда Bрез вынужденных колебаний может достигать довольно больших значений. Из (12.40) имеем, что при достаточно большом сопротивлении среды ( k  2b ) резонанс выражен слабо (амплитуда Bрез невелика), а при k  2b резонанс вообще не возникает. Проведенные исследования вынужденных колебаний приводят к следующим выводам: 1) амплитуда В вынужденных колебаний и сдвиг фазы β от начальных условий движения материальной точки не зависят; 2) вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают; 3) частота и период r вынужденных колебаний равны частоте и периоду возмущающей силы H ; r 4) даже при больших значениях возмущающей силы H вынужденные колебания точки около положения равновесия будут малыми, если частота k этих колебаний ω будет много больше собственной r частоты ; 5) даже при малой возмущающей силе H вынужденные колебания точки перестают быть малыми, если сопротивление среды мало, а частота вынужденных колебаний ω близка к собственной частоте k (резонанс). ЛЕКЦИЯ 13 ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Рассмотрим материальную точку массой m, движущуюся под r r r действием сил взаимодействия с другими телами F1 , F2 ,..., Fn относительно подвижных осей Охуz, которые произвольно перемещаются относительно инерциальной (неподвижной) системы отсчета O1 XYZ (на рис. 13.1 r n r R   Fк ). Найдем зависимость между относительным ускорением точки и к 1 действующими на нее силами. В инерциальной системе отсчета O1 XYZ основной закон динамики для абсолютного движения точки (10.4) имеет вид n r r maa   Fк . (13.1) к 1 По теореме Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки (4.22) имеем     aa  aе  ar  aC . (13.2) z Z m R у Подставляя (13.2) в (13.1) и введя обозначение для относительного r r ускорения ar  a , получаем n r r r r maе  ma  maC   Fк O O1 Х к 1 х Y или r n r r r ma   Fк  maе  maC к 1 (13.3) Так как второе и третье слагаемые правой части (13.3) имеют размерность силы, введем следующие обозначения. Вектор Рис. 13.1 r r Фе  maе (13.4) назовем переносной силой инерции, а r r r r ФС  maС  2m ωe Vr (13.5)  кориолисовой силой инерции. r r Согласно (13.4) и (13.5) векторы Фе и ФС направляются противоположно r r переносному ускорению aе и ускорению Кориолиса aC соответственно. Тогда с учетом (13.4) и (13.5) выражение (13.3) принимает вид r r n r r ma   Fк Фе  ФC . к 1 (13.6) Уравнение (13.6) называется основным законом динамики относительного движения точки. Сопоставляя (13.1) и (13.6), приходим к выводу: «Все уравнения механики относительного движения точки составляются также как уравнения абсолютного движения, если к действующим на точку силам r r r r r F1, F2 ,..., Fn прибавить переносную Фе и кориолисову ФС силы инерции». Согласно (13.6) в неинерциальной системе отсчета Охуz материальная r r r F , F ,..., F точка получает ускорение, как за счет действующих сил 1 2 n , так и в результате ускоренного движения самой системы отсчета, т. е. появление r r переносной Фе и кориолисовой ФС сил инерции имеет кинематическую причину. Частные случаи. 1. Если подвижная система координат Охуz движется поступательно, то угловая скорость переносного движения точки е  0 и согласно (13.5) r ФС  0 . Тогда закон относительного движения точки имеет вид: r n r r ma   Fк Фе . к 1 (13.7) 2. Если подвижные оси координат Охуz перемещаются поступательно равномерно и прямолинейно, то переносная и кориолисова силы инерции r r равны нулю ( Фe  0 , ФС  0 ), и закон относительного движения точки имеет тот же вид, как и закон относительно неподвижных осей (13.1). Поэтому такая подвижная система отсчета Охуz будет инерциальной. Отсюда следует принцип относительности классической механики, установленный Галилеем: «Никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное и прямолинейное движение». 3. Если материальная точка по отношению к подвижной системе r r отсчета Охуz находится в покое, т. е. для нее a  0 и Vr  0 , и поэтому r ФС  0 . Тогда формула (13.6) принимает вид: r r  Fк  Фе  0 n (13.8) к 1 Уравнение (13.8) называется уравнением относительного равновесия (покоя) точки. Сравнивая (13.8) с уравнением равновесия в инерциальной системе отсчета (5.12) приходим к выводу, что уравнения относительного равновесия составляются так же, как уравнения равновесия в неподвижных осях, если к действующим на точку силам взаимодействия с другими телами добавить переносную силу инерции. Относительное равновесие тел вблизи поверхности Земли Рассмотрим материальную точку В массой m, находящуюся в покое на поверхности Земли (радиус R  6370 км ). Связанная с Землей подвижная система отсчета не является инерциальной, поскольку она совершает один оборот вокруг своей оси за 24 ч с угловой скоростью y N е N B Фn e r  Fт C   S Рис. 13.2 P x e  2  0,000073 c-1 . 24  60  60 Изучим вопрос о влиянии такого довольно медленного вращения Земли на равновесие тела (материальной точки) на ее поверхности. В состоянии покоя на точку В r Fт действуют: сила тяготения g 0  9,82 м/c 2  ( Fт  mg 0 , где гравитационное ускорение); переносная rn rn Ф сила инерции e   ma B , обусловленная равномерным вращением Земли ( Фen  me2r   me2 R cos  , где угол  r геоцентрическая широта); и реакция опоры N (рис. 13.2). Тогда в этом случае уравнение относительного равновесия (13.8) принимает вид r r r Fт  Фne  N  0 . (13.9) Из рис. 13.2 следует, что действие тела В на опору выражается силой r r r P   N , называемой силой тяжести. Таким образом, сила тяжести P r является результирующей силы тяготения Fт и переносной силы инерции r Фne , обусловленной вращением Земли, т. е. r r r P  Fт  Фne . (13.10) r Направление вектора P определяет линию отвеса (вертикали) в данной точке земной поверхности, составляющей с плоскостью экватора угол , называемый географической широтой ( =  + ). Плоскость r перпендикулярная силе P является горизонтальной плоскостью. Модуль силы тяжести P  mg называется весом, где g  ускорение свободного падения. Спроецируем (13.10) на оси декартовой системы координат Сху (рис.13.2):  P cos    F cos   Фne ,  P sin    F sin , или, подставляя значения модулей сил, после не сложных преобразований получим g cos   g0 (1  e2 R / g 0 ) cos , g sin   g 0 sin . (13.11) Из (13.11) находим tg  1 tg , 1  e2 R 1   1 . Поэтому при решении инженерных задач обычно где   g0 289 r полагают, что    ,   0 и силу тяжести P направляют по радиусу R Земли к ее центру С. Из (13.10) следует, что вес Р и значение ускорение свободного падения g зависят от широты  . Действительно, из (13.11) находим g  g0 sin 2   (1  ) 2 cos2   g0 1  ( 2  2 )cos2  =  1  =g0 1    2    cos2   ... ,  2  или, ограничиваясь в разложении первой степенью малости по , получим g  g0 1    cos2  . (13.12) Отсюда вытекает, что наименьшее значение вес тела P  mg имеет на экваторе ( = 0, переносная сила инерции достигает максимальной величины Фne max  0,0034 % Fт ), так как g min  g 0 1     g 0  2 R  9,78 м/c 2 , а наибольшее  на полюсе ( = /2, переносная сила инерции обращается в n нуль Фe  0 ), поскольку g m ax  g 0  9,82 м/c 2 . В случае равновесия тела на поверхности Земли под действием r r' r системы сил, выделяя из их числа силу тяготения  Fк   Fк  Fт , уравнение относительного покоя (13.8) принимает вид r' r r n  Fк  Fт +Фe  0 или с учетом (13.10) получим уравнение r' r F  к  P =0 (13.13) такое же, как если бы система отсчета, связанная с Землей считалась неподвижной. Следовательно, при составлении уравнений равновесия тел по отношению к Земле дополнительных поправок на вращение Земли вводить не надо. Относительное движение тел вблизи поверхности Земли Теперь рассмотрим, как влияет вращение Земли при движении материальной точки В по ее поверхности (рис. 13.3). Выделяя из числа r r' r действующих на нее сил силу тяготения (  Fк   Fк  Fт ), запишем основной закон динамики относительного движения (13.6) r r r r r ma   Fк'  Fт +Фne  ФC или с учетом (13.10) r r r r ma   Fк'  P  ФC . (13.14) Из сравнения (13.14) с (13.1) следует, что когда при составлении уравнений движения, оси, связанные с Землей, считают неподвижными, то пренебрегают учетом только кориолисовой силы инерции, модуль которой согласно (13.5) равен r r r r ФС  2m ωe  Vr  sin(ωe $Vr ) . -1 Поскольку угловая скорость Земли ω e  0,000073 c очень мала, то при малой r величине относительной скорости Vr , кориолисовой силой инерции ФC в (13.14) можно пренебречь, (например, для артиллерийского снаряда r r Vr  700 м/c и при (ω e $Vr )  90o модуль кориолисовой силой инерции ФC  1 % Р). Поэтому в большинстве инженерных расчетах при исследовании движения тел с Землей связывают инерциальную (неподвижную) систему отсчета. Учет вращения Земли приобретает значение при больших относительных скоростях (при расчете движения баллистических ракет) или для продолжительных по времени движениях (течение рек, воздушные и морские течения). е N е N Vr r B ФC r ФC aC C  B Vr aC  C S S а б Рис. 13.3 Рассмотрим материальную точку В, равномерно движущуюся в северном полушарии по меридиану с юга на север (рис. 13.3, а). В этом случае r ускорение Кориолиса aC направлено по касательной к параллели на запад, r Тогда кориолисова сила инерции ФC согласно определению (13.5) направлена в противоположную сторону, и под действием этой силы точка В будет отклонятся на восток. Если же точка В движется в северном полушарии с севера на юг r (рис. 13.3, б), то под действием кориолисовой силы инерции ФC точка отклонится на запад. В обоих случаях в северном полушарии вследствие вращения Земли тело, движущееся по земной поверхности, будет откланяться вправо от направления его движения. В южном полушарии отклонение будет r происходить влево от направления вектора его относительной скорости Vr . Это обстоятельство является причиной размытия правых берегов рек, текущих с юга на север в северном полушарии и левых берегов в южном полушарии. В этом же состоит причина отклонения ветров постоянного направлении (пассаты) и морских течений, а также циркуляции воздушных масс. Если точка движется по параллели на восток, то вектор ускорения r Кориолиса aC будет направлен по радиусу параллели r к оси вращения r Земли, а кориолисова сила инерции ФC  в противоположную сторону (от оси). Вертикальная составляющая этой силы, параллельная радиусу ВС, вызовет незначительное уменьшение веса точки. Рассмотрим падение материальной точки В без начальной скорости r P , с высоты h вблизи поверхности Земли под действием силы тяжести которую будем считать постоянной (рис. 13.4); сопротивлением воздуха пренебрегаем. Запишем основной закон динамики относительного движения (13.14) для нашей задачи е N z y Vr P B r r r ma  P  ФC . (13.15) ФC x Введем декартовую систему координат Охуz, связанную с Землей: O ось Oz направим на широте  по вертикали, ось Ох направим на восток, а C  ось Оу  на север. В произвольном положении свободно падающей точки В вектор относительнойr скорости r r r &  yj &  zk & по направлению близок Vr  xi к вертикали данного места. Поэтому S r ФC кориолисова сила инерции Рис. 13.4 направлена почти по оси Ох. Проецируя (13.15) на выбранные координатные оси, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки: r & 2m e ( z&cos   y&sin );  mx&  & 2m e y&sin ;  my&  mz&  &  mg  2m e x&cos . (13.16) r r r Здесь проекции кориолисовой силы инерции ФС  2m ωe Vr вычислены в декартовой системы координат Охуz. Проинтегрируем систему (13.16), воспользовавшись методом послевательных приближений. -1 Так как угловая скорость Земли ω e  0,000073 c очень мала, то сначала интегрирование проведем, полагая ω e  0 (для свободно падающего тела r величина кориолисовой силы инерции ФС будет много меньше веса mg ) x  x1 , y  y1 , z  z1 . Тогда система (13.15) принимает вид & mx& 1  0; & my& 1  0; (13.17) & mz& 1   mg . Интегрируя (13.17) при начальных условиях движения x1 (0)  0, x&1 (0)  0, y1 (0)  0, y&1 (0)  0, z1 (0)  h, z&1 (0)  0, (13.18) получим x&1  0, y&1  0, z&1   gt , x1  0, y1  0, z1  h  gt 2 / 2. (13.19) Теперь найдем поправки к этому приближению, полагая x  x1  x2 , y  y1  y2 , z  z1  z2 . (13.20) Подставляя (13.20) в (13.16) с учетом (13.19) получим систему дифференциальных уравнений относительно x2 , y2 , z2 : & x& 2  2e gt cos , & y&2  0, & z& 2  0. Интегрируя (13.21) при нулевых начальных условиях, находим (13.21) x&2  e gt 2 cos , y&2  0, z&2  0, e gt 3 x1  cos , 3 y2  0, z2  0. (13.22) Подставляя (13.19) и (13.22) в (13.20), получим уравнения движения свободно падающей точки В: e gt 3 cos , x 3 gt 2 . z  h 2 y  0, (13.23) Определяя из третьего уравнения (13.23) время свободном падении материальной точки В с высоты h на Землю ( z  0 ) t 2h g и подставляя его в первое уравнение (13.23), найдем формулу для вычисления полного отклонения точки к востоку 3  2h  2 g x  e cos t   . 3  g  (13.24) Поскольку модуль кориолисовой силы инерции много меньше веса тела mg, то величины этих отклонений малы и заметны при свободном падении только с достаточно большой высоты. Например, на широте Москвы o (   56 ) при падении с высоты h = 100 м величина отклонения к востоку х = 1,2 см. ЛЕКЦИЯ 14 ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Механической системой называется совокупность материальных точек (тел), движение которых рассматривается. Системы материальных точек бывают неизменяемые и изменяемые. Система называется неизменяемой, если расстояние между любыми двумя ее точками остается постоянным при движении (например, абсолютно твердое тело). Если расстояние между двумя точками системы изменяется при ее движении, то система называется изменяемой. Для механической системы, состоящей из n материальных точек, силы а  активные Fк (к = 1, 2, …, n) и реакции связей N к , действующие на систему,  разделяются на внутренние и внешние силы. Внутренними силами Fкi назы- ваются силы е взаимодействия между точками (телами) системы. Внешними силами Fк называются силы, действующие на точки системы со стороны точек (тел), не входящих в состав рассматриваемой системы. Такое деление является условным и зависит от того, какая механическая система изучается. Свойства внутренних сил 1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю. Действительно, согласно закону равенства действия и противодействия ri ri любые две точки В1 и В2 системы действуют друг на друга силами F12   F21 (рис. 14.1) так, что r r F12i  F21i  0 . (14.1) Поскольку результат (14.1) имеет место для любой пары точек системы, то, следовательно, ri n ri F   Fк  0 . (14.2) i F21 B2 i к 1 B1 F12 h O 2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно произвольного центра или оси равняется Рис. 14.1 нулю. На рис. r14.1 видно, что если взять произвольный центр О, то r ri r i mO (F 21)   mO (F 12 ) , поэтому r ri r ri mO (F 21)  mO (F 12 )  0 . (14.3)   Аналогичный результат можно получить для сил F12i и F 21i при вычислении суммы их моментов относительно любой оси. Следовательно, для всех внутренних сил системы n ri r r MO   mO ( Fкi )  0 к 1 и r M   m z ( Fкi )  0 . i z n к 1 (14.4) Отметим, что согласно (14.2) и (14.4) внутренние силы образуют уравновешенную систему сил только для неизменяемой системы (абсолютно твердое тело). Для изменяемой системы внутренние силы, приложенные к разным материальным точкам (телам), могут привести к их взаимным перемещениям, и в этом случае система внутренних сил не будет уравновешенной. Центр масс механической системы Движение механической системы зависит от ее суммарной массы и распределения масс точек системы в пространстве. Масса системы М равна сумме масс всех точек (тел), входящих в систему: n M   mк . (14.7) к 1 Геометрическая точка С, положение которой определяется радиусвектором: n r rC  m к к 1 r rк , M (14.8) называется центром масс (центром инерции) механической системы. Проецируя (14.8) на декартовые оси, получим n xC   mк x к к 1 M n yC  ,  mк yк к 1 M n zC  , m z к к к 1 M . (14.9)  В (14.8) и (14.9) rк и хк, ук, zк  соответственно радиус-вектор и декартовые координаты к-й материальной точки системы. При непрерывном распределении массы суммы в формулах (14.8) и (14.9) переходят в соответствующие интегралы. В однородном поле сил тяжести, когда размеры частиц твердого тела много меньше радиуса Земли, центр масс тела совпадает с его центром тяжести. Действительно, если умножить числитель и знаменатель правой части (14.8) на величину ускорения силы тяжести g , то получим формулу n r rC  r  mк g rк к 1 Mg n  p к 1 к P r rк , (14.10) которая согласно (9.8) определяет положение центра тяжести твердого тела. Здесь pк  mк g и P  M g  вес к-й точки и вес всего тела соответственно. Следовательно, вблизи Земной поверхности центр масс твердого тела совпадает с его центром тяжести, способы определения которого были изложены выше (см. лекция 9). В отличие от центра тяжести понятие о центре масс сохраняет свой смысл для тела, находящегося в произвольном силовом поле. Следовательно, центр масс как характеристика распределения массы в пространстве имеет смысл для любой механической системы. Моменты инерции Кроме координат центра масс (14.9) суммарными характеристиками распределения масс в пространстве являются моменты инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно полюса О (полярным моментом инерции) называется положительная величина, равная сумме произведений масс точек системы (тела) на квадрат их расстояний до этого полюса (рис. 14.2): n I O   mк rк2 , к 1 (14.11) r где rк  модуль радиус-вектора rк к-й точки, проведенного из точки О. Моментом инерции системы (тела) относительно оси z (осевым моментом инерции) называется положительная величина, равная сумме произведений масс точек системы (тела) на квадрат их расстояний до этой оси: n I z   mк hкz2 . к 1 (14.12) Здесь hкz  длина перпендикуляра, опущенного из к-й точки на ось z. В системе СИ единицей измерения осевого момента инерции является 1 кг м2. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, I z  m h 2 . Для тел сложной формы момент инерции I z можно представить в виде z I z  M ρ2z , (14.13) zк hкz mк где ρ z  положительная величина, rк называемая радиусом инерции тела hкy y y к относительно оси z; М  масса тела. O hкx При вычислении осевых моментов xк инерции тела (системы) относительно x декартовых осей Охуz следует квадраты рас-стояний от точек до осей выразить Рис. 14.2 через их координаты: для к-й точки системы массой mк с координатами хк, ук, zк hкx2  y к2  z к2 , hкy2  хк2  z к2 , hкz2  хк2  ук2 (рис. 14.2). Тогда согласно (14.11) получим n n I x   m h   mк  yк2  zк2  ; к 1 n 2 к кx к 1 n I y   m h   mк  xк2  zк2  ; к 1 n 2 к кy к 1 (14.14) n I z   m h   mк  xк2  yк2  . к 1 2 к кz к 1 2 2 2 2 Учитывая, что rк  xк  yк  zк из (14.11) и (14.14) следует зависимость 2 IO  I x  I y  I z . (14.15) В случае сплошного твердого тела объема V, разбивая его на элементарные объемы с массой mк и устремляя их к нулю, находим I z : n I z  lim  mк  xк2  yк2    mк  0 к 1  (V) ( x 2  y 2 ) dm   γ( x 2  y 2 ) dV , (14.16) (V) где dm  γ dV ; а γ  объемная плотность вещества. Для однородных тел, так как γ = const , то формула (14.16) принимает более простой вид  x Iz  γ 2  y 2  dV . (14.17) (V) Выражения аналогичные (14.17) можно легко найти для I x и I y : Ix  γ  y 2  z 2  dV ; Iy  γ  x 2  z 2  dV . (V) (14.18) ( V) Вычислим моменты инерции некоторых однородных тел. 1. Для тонкого круглого однородного кольца массой М радиусом R момент инерции относительно оси Сz , перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 14.3, а) определим по формуле (14.12) ( hкz  R  const ): n I z   mк R 2  M R 2 . к 1 (14.19) Такой же результат можно получить для момента инерции тонкой однородной цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее центральной оси симметрии. z z C C r R R а dr C б Рис. 14.3 R в 2. Для круглой однородной пластины массой М и радиусом R вычислим момент инерции относительно центральной оси Сz, перпендикулярной пластине (рис. 14.3, б). Выделим элементарное кольцо радиусом r и толщиной dr (рис. 14.3, в). Масса этого кольца площадью dS  2πr dr равна 2M M M  dm  σ dS   σ2πr dr  2 r dr , где σ   масса единицы R S π R2 площади пластины. Так как расстояние от выделенного элементарного кольца до оси Сz равно r, то находим R I Cz 2M 3 M R2   r dm  2  r dr  . 2 R 0 2 (14.20) Аналогичный результат можно получить при вычислении момента инерции однородного цилиндра массой М и радиусом R относительно центральной оси симметрии. z 3. Для однородного прямоугольного параллелепипеда массой М со сторонами l, a, b определим момент инерции y относительно осей Сx, Cy Cz, проходящих C через центр масс С и параллельных его b ребрам (рис. 14.4). l Воспользуемся формулами (14.17) и a (14.18). Для этого разобьем x параллелепипед на элементарные объемы Рис. 14.4 в форме прямоугольных параллелепипедов со сторонами dx, dy и dz. Тогда dV  dx  dy  dz , а объемная плотность γ  M M  . Согласно (14.17) V lab I Cz  M  l a b (V) x 2  y 2  dV  M lab b 2 a 2 l 2     b 2  a 2  a  2l  2 M   M 2 2  ba  x dx  bl  y dy   l a b l a  12   2 2   ( x 2  y 2 ) dx dy dz  l 2 l 2 a 2  (14.21) Проведя аналогичные вычисления по формулам (14.18), получим M 12 M  12 I Cx  a I Cy l 2 2 b b 2 2 ; . Чтобы найти момент инерции тонкого однородного стержня длиной l относительно оси Сz, перпендикулярную стержню и проходящую через его середину, следует в формуле (14.21) положить a = 0: I Cz  M l2 . 12 (14.22) Иногда для определения моментов инерции твердых однородных тел удобно пользоваться теоремой Гюйгенса: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями, т. е. z d z B(xк , yк , zк) A C x x Рис. 14.5 y I z  I Cz  M d 2 , (14.23) где d  расстояние между осями (рис. 14.5). Доказательство. Поместим начало координат в центре масс С тела, направив ось Cz по оси, относительно которой момент инерции I Cz известен, а ось Cy так, чтобы она пересекала ось Cz  , параллельную оси Cz (рис. 14.5). Тогда согласно (14.12) n n 2 I z   mк ( xк )  ( yк )   mк  xк  ( yк  d ) 2   2 2 к 1 к 1 n n n к 1 к 1   mк ( xк  yк )  2d  mк yк  ( mк ) d 2  I Cz  M d 2 . 2 2 к 1 Так как с учетом (14.12) первая сумма в полученном выражении есть I Cz . Из n (14.9) m y к 1 к к  M yC  0 , поскольку центр масс С находится в начале n координат; m к 1 к M  масса тела. Справедливость теоремы (14.23) доказана. Следовательно, из всех осей данного направления наименьший момент инерции будет относительно оси, проходящей через центр масс. Из (14.23) следует соотношение между моментами инерции относительно любых параллельных осей z1 и z2: I z1  I z2  M (d12  d 2 2 ) , (14.24) где d1 и d2  расстояние от центра масс С до осей z1 и z2 соответственно. Величины I xy , I yz , I zx , определяемые равенствами n I xy   mк xк yк , к 1 n I yz  mк yк zк , к 1 n I zx   mк zк xк к 1 (14.25) называются центробежными моментами инерции. Согласно (14.25) они могут иметь любой знак и обращаться в нуль. Ось Оz, для которой I xz  0 и I yz  0 , является главной осью инерции относительно полюса О. Главной центральной осью инерции называется главная ось инерции, проходящая через центр масс С тела. Отметим два частных случая, когда характер оси отражает симметрию тела. 1. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то для всех её точек ось, перпендикулярная к плоскости симметрии является главной осью инерции. 2. Если тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции. ЛЕКЦИЯ 15 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ Дифференциальные уравнения движения механической системы Рассмотрим несвободную систему, состоящую из n материальных точек. Воспользуемся принципом  освобождаемости от связей и заменим их действие реакциями связей N к (к = 1, 2, …, n). Для произвольной к-й точки  е системы с массой mк обозначим через Fк равнодействующую всех внешних r r r сил (активных и реакций связей), действующих на точку: Fке  Fкa  N к ; i а через Fк  равнодействующую приложенных к ней внутренних сил. Запишем для каждой точки системы основной закон динамики в форме (10.7): r rе ri m1 & r& 1  F1  F1 ;  & r& r е r i m r  2 2  F2  F2 ;  ......................... r& r e r i m & r  n n  Fn  Fn . (15.1) Уравнения (15.1) называются дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат уравнения (15.1) принимают вид е i  mк & x& к  Fкх  Fкх , rе ri  & & у F m   к к ку  Fку , re ri  & & m z  F кz  Fкz .  к к (к = 1, 2, …, n) (15.2) В общем случае входящие в скалярные уравнения (15.2) силы могут быть функциями времени, координат и скоростей точек системы. Основная задача динамики системы заключается в определении закона движения каждой точки системы и нахождении реакций наложенных на нее связей. Для ее решения требуется проинтегрировать систему 3n дифференциальных уравнений (15.2) и найти 6n постоянных интегрирования по начальным условиям движения (задача Коши). Основными недостатками такого метода изучения движения механической системы являются: 1. Число уравнений системы (15.2) зависит от количества n материальных точек, входящих в механическую систему. Найти общее решение уравнений (15.2) в аналитическом виде удается лишь в частных случаях, когда число точек системы мало. Если n велико, то для решения задачи приходится использовать численные методы. 2. Правые части уравнений (15.2) содержат внутренние силы и реакции связей, аналитические выражения для которых, как правило, не известны. Однако при практическом исследовании движения часто нет необходимости решать уравнения (15.1) и (15.2), а достаточно знать изменение со временем некоторых величин, общих для всей механической системы. Такие величины, являющиеся в общем случае функциями координат, скоростей, времени и остающиеся постоянными при движении системы, называются первыми интегралами уравнений движения (15.1). Знание первых интегралов позволяет получить существенные сведения относительно физической картины изучаемого движения, и эти сведения в ряде случаев могут иметь больший интерес, нежели точное решение системы (15.1). Первые интегралы можно найти из так называемых общих теорем динамики, когда выполняются дополнительные условия для действующих сил. Кроме того, общие теоремы динамики, являющиеся следствиями уравнений (12.1), дают сведения о движении механической системы в целом. Перейдем теперь к рассмотрению этих теорем. Теорема о движении центра масс Если система состоит из перемещающихся друг относительно друга материальных точек (тел), то положение центра масс С системы может изменяться. Найдем закон движения центра масс. Складывая, левые и правые части уравнений (15.1), получим v& n r е n r i &  mк rк   Fк   Fк n к 1 к 1 . к 1 (15.3) Из (14.8) имеем n v m r к 1 к к r  M rC . Дважды вычисляя от обеих частей данного равенства производную по времени и пользуясь свойством, что производная от суммы равна сумме производных, находим n v r r &  Ma r& Mr& m & к 1 к к C C , (15.4)  где aC  ускорение центра масс системы. По свойству внутренних сил (14.1) n ri F к 1 к  0 . Тогда с учетом (14.1) и (15.4) уравнение (15.3) принимает вид n r r M aC   Fке . к 1 (15.5) Уравнение (15.5) выражает теорему о движении центра масс системы: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, под действием внешних сил системы. Проецируя (15.5) на координатные оси, получим n е M & x& C   Fкх ; к 1 n е M & y& C   Fкy ; к 1 (15.6) n е M& z& C   Fкz . к 1 Уравнения (15.6) называются дифференциальными уравнениями движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат. Следствия: 1. Одними внутренними силами нельзя изменить характер движения центра масс системы. Внутренние силы могут оказать влияние на движение центра масс лишь опосредованно через внешние силы. 2. Если геометрическая сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс механической системы движется равномерно и прямолинейно или находится в покое. n r е Действительно, если  Fк  0 , то к 1 r r d 2 rC d VC M M  0. d t2 d t Отсюда r r VC  VC0  const , (15.7) r где VC0  начальная скорость центра масс. 3. Если сумма проекций всех внешних сил на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось есть величина постоянная. n Пусть F к 1 е кх  0 , из первого уравнения (15.6) имеем M & x& C  0 . Отсюда x&C  VCx  const . (15.8) Выражения (15.7) и (15.8) являются законами сохранения движения центра масс и представляют собой первые интегралы соответственно уравнений (15.1) и (15.2). 4. Пара сил, приложенная к твердому телу, не может изменить движение его центра масс (она может вызвать только вращение тела). Теорема о движении центра масс системы дает обоснование методам динамики материальной точки. Принимая тело за материальную точку, и изучая ее движение, мы фактически определяем движение центра масс этого тела. Если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс. В других случаях тело можно принять за материальную точку, если при решении задачи можно пренебречь вращательной частью движения твердого тела. Количество движения материальной точки. Теорема об изменении количества движения материальной точки Одной из мер механического движения материальной точки является ее количество движения. Количеством движения материальной точки называется векторная  величина mV , равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Век-тор mV направлен так же, как вектор скорости точки, по касательной к ее траектории. В системе СИ единицей измерения количества движения является 1 кг м /c =1 H c. Запишем основной закон динамики (10.4): n r r ma   Fк . к 1 r r Так как масса точки постоянна, а ее ускорение a  dV / dt , то (10.4) можно представить в виде r d mV   dt r F  к n к 1 (15.9) Уравнение (15.9) представляет теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме действующих на нее сил. Умножив (15.9) на dt, получим n r n r r d mV   Fк dt   dSк .   к 1 (15.10) к 1   Здесь векторная величина dS к  Fк dt называется элементарным импульсом  силы, который характеризует действие силы Fк на материальную точку за  время dt . Полный импульс силы Fк за время t1 определяется по формуле t1 r r S к   Fк dt. (15.11)  В частном случае, если сила Fк постоянна по модулю и направлению r Fк  const , то r r Sк  Fк  t1 . (15.12)  В общем случае модуль импульса силы Fк за время t1 может быть вычислен по его проекциям на декартовые оси: t1 S кх   Fкх dt; t1 Sкy   Fкy dt; t1 Sкz   Fкz dt ; Sк  Sкx2  Sкy2  Sкz2 . Импульс силы является мерой такого ее действия, который характеризует передачу материальной точке механического движения со стороны действующих на нее тел за определенный промежуток времени. Действительно, пусть движущаяся точка имеет в момент времени t = 0  r скорость V0 , а в момент t1  скорость V1 . Вычислив от обеих частей равенства (15.10) определенные интегралы, получим n t1 r r r mV1  mV0    Fк dt , к 1 0 или n r r r mV1  mV0   Sк . к 1 (15.13) Уравнение (15.13) выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной форме: изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени. Проецируя равенство (15.13) на декартовые оси, получаем n mV1 x  mV0 x   S кx ; к 1 mV1 y  mV0 y  n S к 1 кy ; (15.14) n mV1 z  mV0 z   S кz . к 1 В случае прямолинейного движения точки, происходящего вдоль оси х, теорема выражается первым из этих уравнений. Количество движения механической системы. Теорема об изменении количества движения механической системы Одной из динамических величин, характеризующих движение механической системы, является ее количество движения.  Количеством движения механической системы называется вектор Q , равный геометрической сумме (главному вектору) количества движения точек системы:  n  Q   mкVк . (15.15) к 1 Поскольку   n    d  drC drк d n m V  m  m r   M r   M  M V    к к dt C к к к C, dt dt к 1 dt к 1 к 1 n n так как из (14.8)  m r к к   M rC . Тогда к 1 r r Q  M VC , (15.16) т. е. количество движения механической системы равно массе системы, умноженной на вектор скорости ее центра масс. Из (15.16) следует, что если при движении тела (системы) центр масс остается неподвижным, то количество движения тела (системы) равно нулю. Например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс С, будет равно нулю. Следовательно, количество движения является характеристикой поступательного движения системы (твердого тела), а при сложном движении  характеристикой поступательной части движения вместе с центром масс. Проецируя (15.16) на координатные оси, получаем Qx  M VCx  M x&C ; Q y  M VCy  M y&C ; (15.17) Qz  M VCz  M z&C . Проекция количества движения механической системы на каждую координатную ось определяется произведением массы системы на проекцию скорости центра масс на эту ось.  В отличие от вектора количества движения материальной точки mV , который приложен к самой  движущейся точке, вектор количества движения механической системы Q является свободным вектором. Продифференцируем (15.16) по времени: r r dQ dVC r M  M aC . dt dt (15.18) n r r е Согласно теореме о движении центра масс (15.5) M aC   Fк , тогда (15.18) к 1 принимает вид  dQ n е e   Fк  F . (15.19) dt к 1  Здесь F e  главный вектор внешних сил системы. Уравнение (14.19) выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил. Фактически формула (15.19) представляет собой еще одну форму теоремы (15.5). Уравнение (15.19) в проекциях на декартовые оси имеет вид n dQx   Fкxе  Fx e ; dt к 1 n dQ y   Fкyе  Fy e ; dt к 1 (15.20) n dQz   Fкzе  Fz e . dt к 1 Следствия. 1. Если главный вектор внешних сил равен нулю, то количество движения механической системы остается постоянным. Из уравнения r r dQ  0 , т. е. (15.19) следует, что если F e  0 , то dt r r uuuuur Q  M VC  const . (15.21) 2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения механической системы на e эту ось постоянна. Например, если Fx  0 , то из первого уравнения (15.20) dQx  0, dt тогда Q x  M VCx  const . (15.22) Следствия (15.21) и (15.22) выражают законы сохранения количества движения механической системы, которые представляют собой первые интегралы уравнений движения. Применим этот закон для объяснения принципа реактивного движения. Пусть на систему, состоящую из двух сочлененных тел, находящихся в r uuuuur покое, не действуют внешние силы. Тогда согласно (15.21) Q  const  0 . Если при действии внутренних сил (например, подрыва пиропатрона) r r первому телу массой m1 сообщим скорость V1 , то скорость второго тела V2 массой m2 можно определить из закона сохранения количества движения системы: r r r Q  m1 V1  m2 V2  0 . Отсюда r m r V2   1 V1 , m2 т. е. второе тело будет двигаться в сторону, противоположную первому телу. Если этому движению препятствует какая-нибудь связь, то второе тело будет r давить на эту связь с реактивной силой, направленной по V2 . В реактивных двигателях реактивная сила создается за счет истечения газа с большой скоростью ( V2 ~ 22,5 км/c) из сопла двигателя. Получим еще одну форму теоремы об изменении количества движения  системы. Пусть при t = 0 количество движения системы  Q0 , а в момент r времени t = t1  Q1 . Тогда, умножая (15.19) на dt и интегрируя, получим n t1 r r r Q1  Q0    Fке dt к 1 0 или с учетом (15.11) n r r r Q1  Q0   S ке . (15.23) к 1 Уравнение (15.23) выражает теорему об изменении количества движения системы в конечной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени. В проекциях на координатные оси (15.23) принимает вид n Q1x  Q0 x   S ; к 1 е кx n Q1 у  Q0 у   S ; к 1 е ку n Q1z  Q0 z   S кzе . к 1 (15.24) Внутренние силы явно не входят в теорему об изменении количества движения системы в любой из ее форм и, следовательно, непосредственно не влияют на изменение ее количества движения. Однако в изменяемых системах внутренние силы могут вызвать движение отдельных частей системы и вследствие этого привести к изменению внешних сил  реакций внешних связей, которые могут изменить ее количество движения. ЛЕКЦИЯ 16 Момент количества движения материальной точки и механической системы Важной динамической характеристикой материальной точки является ее момент количества движения. Моментом количества движения материальной точки относительно   произвольного центра О называется вектор m O ( mV ) , определяемый равенством r r r r mO (mV )  r  mV , (16.1)  где r  радиус-вектор материальной точки В, проведенный из неподвижного центра О. z mV m z( mV ) mO(mV ) h r  I O B mV h1 Рис. 16.1   Вектор m O ( mV ) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей  mV и центр О в ту сторону, откуда через вектор количества движения точки  поворот под действием вектора mV вокруг центра О виден происходящим в этой плоскости против хода часовой стрелки (рис. 16.1).   m ( m V ) равен Модуль вектора O r r mO ( mV )  mV  h ,  где h  плечо вектора mV относительно центра О. (16.2) Момент количества движения материальной точки относительно оси   Оz равен проекции вектора mO ( mV ) на эту ось: r r r m Z ( mV )  mO ( mV ) cos γ , (16.3) r r где γ  угол между вектором mO (mV ) и осью Оz (рис. 16.1). Из сравнения формул (16.1)(16.3) с формулами (6.1), (6.2) и (8.1) r r r следует, что моменты mO (mV ) и m Z (mV ) количества движения    материальной точки определяются аналогично моментам силы F mO ( F ) и  m z ( F ) , и значит, обладают такими же свойствами. Например, из (8.9)  получаем простое правило вычисления m Z ( mV ) : r r m z ( mV )  m O ( mV )   mV h1 , (16.4) т. е. момент количества движения точки относительно оси Оz равен  алгебраическому моменту проекции mV вектора количества движения на перпендикулярную оси Оz плоскость I относительно точки О пересечения данной оси с этой плоскостью (рис. 16.1).  В (16.4) h1  плечо вектора mV относительно точки О. Причем  m Z ( mV ) > 0, если с положительного конца оси поворот при действии вектора  mV виден происходящим вокруг точки О против хода часовой стрелки,  m ( m V ) < 0, если поворот  по ходу часовой стрелки. и Z В декартовой системе координат         m O ( mV )  m х ( mV )  i  m y ( mV )  j  m z ( mV )  k , (16.5)    m ( m V ), m ( m V ), m ( m V )  моменты количества движения точки где х y z относительно осей х, у, z соответственно. Тогда модуль момента количества движения точки относительно центра О равен r r m O ( mV )  r  m х ( mV )  2 r   m y ( mV )  2 r   m z ( mV )  2 . (16.6) Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Главным моментом количеств движения (кинетическиммоментом) системы относительно центра О называется вектор K O , равный геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра: n n      K O   m O ( miVi )   ri  miVi . i 1 i 1 (16.7)   r m V Здесь i  радиус вектор i-й точки системы, проведенный из центра О, i i  вектор ее количества движения.  В декартовой системе координат кинетический момент системы K O r r r r K  K i  K j  K k может быть разложен по трем ортогональным осям O x y z , где его проекции K x , K y , K z определяются как моменты количества движения точек системы относительно соответствующих координатных осей: n Kx   i 1 r m x ( mV i i ), r K y   m y ( mV i i ), n i 1 r K z   m z ( mV i i ). n i 1 (16.8) Ниже будет показано, что главный момент количества движения (кинетический момент) системы является характеристикой ее вращательного движения. Вычислим кинетический момент твердого тела относительно оси вращения Оz, если угловая скорость тела в данный момент времени равна ω (рис. 16.2). Любая i-я точка тела при его движении будет описывать окружность радиусом hzi в перпендикулярной оси Оz плоскости. Вектор ее  количества движения miVi будет лежать в этой z плоскости перпендикулярно радиусу hzi , причем его модуль mV i i  mi hzi ω . Тогда из (16.8) имеем  r K z   m z ( mV i i)   n 2 mV  i i hzi    mi hzi  ω. i 1  i 1  n n i 1 Так как согласно (14.12)  n 2   mi hzi   I z ,  i 1  hz i mi Vi то окончательно получаем O Kz  Iz ω . Рис.16.2 (16.9) Следовательно, кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела. Если система состоит из n тел, вращающихся вокруг оси Оz с угловыми скоростями ω1 , ω2 ,...,ωn соответственно, то K z  I1 z ω1  I 2 z ω 2  ...  I nz ω n . ё (16.10) Теорема об изменении кинетического момента механической системы Вычислим производную по времени от кинетического момента системы относительно неподвижного центра О: r r n d r r dK O d  n r    ri  mV   r mV  i i i i i  dt dt  i 1 dt  i 1 r r n n n r r r d ( miVi ) n r r r dr   i  miVi   ri    Vi  miVi   ri  mi & r& i . (16.11) dt dt i 1 i 1 i 1 i 1   r r r  r miVi   sin 0o  0 . Здесь Vi  mV i i  0 , так как sin  Vi i 1   С учетом (15.1) вторая сумма в (16.11) принимает вид n rr rr n n r r& r r rr e e i &  ri  mi ri   ri  Fi  Fi   ri  Fi  n i 1 i 1 n  i 1   i 1 n r rr e r rr i m O ( Fi )   m O ( Fi ) . n  i 1 r rr i ri  Fi  (16.12) i 1 По второму свойству внутренних сил (14.4) сумма моментов всех внутренних сил системы относительно произвольного центра О равна нулю, поэтому ri r m ( F  O i )  0. n i 1 (16.13) Тогда с учетом (16.12) и (16.13) выражение (16.11) принимает вид r n r r r dKO   mO ( Fi e )  M Oe , dt i 1 (16.14) r e где M O  главный момент внешних сил относительно центра О. Уравнение (16.14) выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы: производная по времени от кинетического момента механической системы относительно какого-либо центра равна геометрической сумме моментов внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра. Проецируя (16.14) на неподвижные декартовые оси Охуz, получим теорему моментов относительно этих осей: n r dK x   m x ( Fi e )  M ex ; dt i 1 n r dK y   m y ( Fi e )  M ey ; dt i 1 n r dK z   m z ( Fi e )  M ez . dt i 1 (16.15) Теоремами (16.14) и (16.15) удобно пользоваться при изучении вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси или точки. Следствия: 1. Если геометрическая сумма моментов внешних сил системы относительно данного центра равна нулю, то кинетический момент системы относительно того же центра постоянен по модулю и направлению. n re r r re Действительно, если  m O ( Fi )  M O  0 , то dK O / dt  0 и i 1 uuuuur r K O  const . (16.16) Этот результат имеет место в случае движения материальной точки под действием центральной силы, линия действия которой все время проходит через данный центр О (например, движение Земли под действием гравитационной силы притяжения к Солнцу). 2. Кинетический момент системы относительно какой-либо координатной оси постоянен, если сумма моментов внешних сил системы относительно этой оси равна нулю. n re e Если  m z ( Fi )  M z  0 , то dK z / dt  0 , а, следовательно, i 1 K z  const . (16.17) В частности это имеет место, когда внешние силы системы параллельны оси или ее пересекают. Следствия (16.16) и (16.17) выражают законы сохранения кинетического момента для механической системы и представляют собой первые интегралы уравнений движения. Согласно (16.14) и (16.15) внутренние силы непосредственно не могут изменить кинетический момент системы. Отметим (без доказательства), что для осей, движущихся поступательно с центром масс С системы, теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра О, т. е.  n   dK С   mС ( Fi e ) . dt i 1 (16.18) Для одной материальной точки с учетом (10.4) теорема (16.14) принимает вид: r r r r d mO (mV )  mO ( R) . dt (16.19) Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо центра равна момент равнодействующей сил, приложенных к точке, относительно того же центра. В декартовой системе координат векторное уравнение (16.19) эквивалентно трем скалярным равенствам. Принимая центр О за начало декартовой системы координат Охуz, получим r d s d s r ( r  mV )  ( r  R) dt dt или в виде определителей третьего порядка r i d x dt mx& r r j k y z  my& mz& r i x Rx r r j k y z . Ry Rz Отсюда  d m dt ( yz& zy&)  yFz  zFy ,   d m ( zx& xz&)  zFx  xFz ,  dt  d m dt ( xy& yx&)  xFy  yFx . (16.20) Отметим, что интегрирование (16.20) возможно, когда известны зависимости координат материальной точки х, у, z от времени, но тогда вообще отпадает надобность в применении равенств (16.20). Однако существует случай движения точки под действием центральной силы, когда имеет место интеграл движения (16.16), и момент количества движения точки относительно центра О является r r uuuuur r r m O ( mV )  r  mV  const . Тогда находим сразу три первых материальной точки: m( yz& zy&)  C1 , постоянной интегралов m( zx& xz&)  C2 , величиной: движения для m( xy& yx&)  C3. ЛЕКЦИЯ 17 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Работа силы. Мощность Рассмотрим материальную точку В, движущуюся относительно  инерциальной системы отсчета Oхуz, под  действием силы F (рис. 17.1). скалярное произведение Элементарной работой силы F называется  силы на вектор элементарного перемещения dr точки ее приложения: или r r dA  F  dr , (17.1) dA  F ds cos α . (17.2) r Здесь F  модуль силы, ds  dr  модуль элементарного перемещения, α    угол между векторами F и dr .   Разложим силу F на касательную F и нормальную Fn составляющие. Поскольку F cosα  Fτ , то (17.2) принимает вид dA  Fτ ds . Fτ r V d B α z r B0 k Fn j O i x Рис. 17.1 B1 F y (17.3) Согласно (17.3) элементарную работу совершает касательная составляющая силы dV Fτ  maτ  m . dt Определение (17.3) соответствует представлению о работе как  мере такого действия силы F , которое приводит к изменению модуля скорости точки, а, следовательно, ее кинетической энергии (см. ниже). Знак элементарной работы определяется знаком cosα : π 1) если 0  α  , Fτ  0, dA  0  сила ускоряет движение точки; 2 π 2) если  α  π, Fτ  0, dA  0  сила замедляет движение точки; 2 π 3) если α  , Fτ  0, dA  0  точка движется равномерно. 2 Следовательно, если сила перпендикулярна элементарному перемещению, то ее элементарная работа равна нулю. В декартовой системе координат поскольку r r r r F  Fx i  Fy j  Fz k , r , r r r d r  d x i  d y j  d z k, и выражение (17.1) принимает вид dA  Fx dx  Fy dy  Fz dz , (17.4)   где Fx, Fy , Fz , d x, d y, d z  проекции векторов F и dr на оси х, у, z. Пусть материальная точка В совершает конечное перемещение из положение Во в положение В1, описывая дугу  B0 B1 (рис. 17.1). Работа силы  F на конечном перемещении  B0 B1 равна криволинейному интегралу, взятому от элементарной работы вдоль этого перемещения: А B0 B1 r r B1   dA   F  dr   F ds B1 B1 B0 B0 , (17.5) B0 или в декартовых координатах А B0 B1  B1   F dx  F dy  F dz  x y z . (17.6) B0 В системе СИ единицей измерения работы является 1 джоуль (1Дж = 1 Н м). Мощностью N называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени: N dA Fτ ds   Fτ V . dt dt (17.7) Мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость. Если работа совершается равномерно, то мощность N A , t1 (17.8) где t1  время в течение которого, совершена работа А. Единицей измерения мощности в СИ является ватт (1 Вт = 1 Дж/c). В технике за единицу мощности иногда принимается лошадиная сила (1 л.с. = 736 Дж). Из (12.8) следует, что A  N t1 , и работу, произведенную машиной, измеряют в киловатт-часах (1кВ ч = 3,6 106 Дж). В ряде случаев для вычисления работы сил удобно использовать готовые формулы. Получим некоторые из них. uuuuur r 1. Работа постоянной силы F  const на прямолинейном перемещении (рис. 17.2) определяется по F формуле (17.5): B1 АB0 B1  Fτ  ds  F cos α s1 , B0 (17.9) α B Fτ B0 B1 s1 Рис. 17.2 где s1  расстояние между точками Во и В1. 2. Работа силы тяжести. Пусть точка  В, на которую действует сила тяжести P (рис. 17.3), перемещается из положения Во(хо, уо, zо) в положение В1(х1, у1, z1). В выбранной системе координат z B0 Px  0, Py  0, Pz   P . Подставляя z0 эти значения в (17.6), вычислим работу B  силы P на перемещении  B0 B1 : h P O x x1 y0 z1 x0 Рис. 17.3 Следовательно, B1 y1 y r z1 А (P)     P  dz  P  z0  z1  . z0 Если точка В0 выше В1, то z0  z1  h , где h  вертикальное перемещение точки В; если точка В0 ниже В1, то z o  z1  z1  z o    h . r А ( P )  P  z0  z1    P h , (17.10) т. е. работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точкиее приложения. Работа положительна, если точка В приложения силы P опускается, и отрицательна, если точка В поднимается над земной поверхностью. 3. Работа силы упругости. Рассмотрим груз В, движущийся по гладкой горизонтальной плоскости из положения В0(х0) в положение В1(х1) (рис. 17.4). К грузу прикреплена пружина жесткости c, длина недеформированной пружины  l0. Поместим начало отсчета оси Ох в конец недеформированной пружины. Тогда в произвольном положении груза В деформация пружины λ  х и на груз действует сила упругости: Fупр  c λ  c x , λ l0 С B проекции, которой на декартовые оси Fупр x O B0 (x0 ) Рис. 17.4 B1(x1) Fx   Fупр   c x, Fy  Fz  0. Вычислим работу, совершаемую силой упругости, на перемещении B0 B1 , используя формулу (11.6): r А ( Fупр )  x1   cx  x0 dx  c 2 x0  x12   2 Здесь x0  λ 0  начальная деформация (удлинение) пружины, а x1  λ1  деформация пружины в конечном положении В1. Следовательно, r c А (Fупр )   λ 20  λ 21  , 2 (12.11) работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начальной и конечной деформаций (удлинений или сжатий) пружины. Работа будет положительной, если λ 0  λ1 , т. е. когда деформация пружины после совершения работы уменьшается, и работа будет отрицательная, если λ 0  λ1 , т. е. когда за счет работы деформация пружины увеличивается. 4. Работа реакции шероховатой поверхности. Рассмотрим точку В, движущуюся по шероховатой поверхности или кривой из положения В0 в В1 (рис. 17.5) . Разложим реакцию шероховатой поверхности на составляющие:   N  нормальную реакцию поверхности и силу трения Fтр , модуль которой Fтр  f N , где f  коэффициент трения.  Работа нормальной реакции N всегда равна нулю, так как из (17.2) dA( N )  N ds cos 90o  0 . (17.12)  Работа силы трения Fтр при движении материальной точки по шероховатой поверхности (рис. 17.5) из положения В0 в положение В1 определяется по формуле (17.5): B1 B1 r А Fтр    Fтр ds    f N ds .   B0 N B0 Если величина силы трения постоянная Fтр  f N  const , то ее работа равна Fтр B0 B1 r А Fтр   f N  ds   f N s1 , (17.13)   B0 ds B V τ B1 Рис. 17.5 где s1  длина дуги кривой В0В1 , по которой перемещается точка В. Следовательно, работа силы трения всегда отрицательна. 5. Работа силы, приложенной к вращающемуся телу. Элементарная работа силы F , приложенной к вращающемуся телу (рис. 17.6), согласно (17.3) равна dA  Fτ ds  Fτ h d  , так как ds  h d  , где d  элементарный угол поворота тела. r Fτ h  m z ( F )  M z  Поскольку вращающий момент, тогда в общем случае получим z  C F V d h B O Рис. 17.6 F ds dA   M z d . (17.14) Элементарная работа (17.14) положительна, если M z  вращающий момент, т. е. M z и d направлены в одну сторону. Работа (17.14) отрицательна, если M z  момент сопротивления вращению, т. е. M z и d направлены в противоположные стороны. Полная работа силы при повороте тела на угол 1 определяется выражением 1 A    M zd  . (17.15) Если момент силы относительно оси вращения является постоянной величиной M z  const , то работа определяется по формуле A   M z 1. Вычислим теперь мощность силы, неподвижной оси. С учетом (12.14) получим N вращающей (17.16) тело вокруг dA M z d    M z ω. dt dt Следовательно, при действии силы на вращающееся тело мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость тела. сил. Если на материальную точку В действует 6. Работа системы r r r система сил F1 , F2 , ..., Fn , то полная работа определяется как алгебраическая сумма работ каждой из сил в отдельности: n n к 1 к 1 А   Aк  B1  F кx dx  Fкy dy  Fкz dz  . (17.17) B0 7. Потенциальные силы. В общем случае при вычислении работы силы по формуле (17.17) необходимо в интеграле перейти к одному переменному, т. е. знать зависимости y  f1 ( x ) и z  f 2 ( x ) , определяющие уравнение траектории точки, которая обычно неизвестна. Однако существуют силы, называемые потенциальными, работа которых не зависит от вида траектории движения точки. Для таких сил введем следующие определения. Силовым полем называется часть пространства, в каждой точке которого на материальную частицу действует определенная сила, зависящая от её положения (координат). если существует функция Силовое поле называется потенциальным,  r П( r , t ) такая, что действующая сила F определяется по формуле r r r F  П/r , где функция П( r , t ) называется потенциальной энергией  материальной точки, а сила F  потенциальной силой. Проекции потенциальной силы на декартовые оси равны взятым с обратным знаком частным производным от потенциальной энергии по соответствующим координатам: Fx   П ; x Fy   П ; y Fz   П . z (17.18) Потенциальное поле может быть нестационарным или стационарным вследствие от того, зависит ли функция П явно от времени t или нет. Для стационарного потенциального поля, подставляя (17.18) в (17.4), находим dA Fx dx  Fy dy  Fz dz   П П П dx  dy  dz  dП (x, y, z) . x y z Следовательно, dA   dП . (17.19) В стационарном потенциальном силовом поле элементарная работа силы равна взятому с противоположным знаком полному дифференциалу от потенциальной энергии материальной точки.  Полная работа потенциальной силы F на перемещении материальной точки из положения В0(х0,у0,z0) в положение В1(х1,у1,z1) АB0 B1  B1  B0 B1 dA    dП  П 0  П1 , (17.20) B0 где П0(х0, у0, z0), и П1(х1, у1, z1)  значения потенциальной энергии П частицы в начальном В и конечном В1 положениях соответственно. Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии материальной точки в начальном и конечном ее положениях и от вида траектории движения не зависит. Из (17.20) следует, что работа потенциальной силы по любому замкнутому контуру равна нулю, так как в этом случае значения потенциальной энергии в начальном и конечном положениях будут одинаковыми. Потенциальными силами являются силы тяжести, упругости, тяготения. Из (17.19) следует, что функция П определена с точностью до аддитивной постоянной, т. е. П    dA  C , (17.21) где С  произвольная постоянная. Это свойство позволяет выбрать нулевую точку 0, для которой П0  0 , исходя из удобства решения конкретной задачи. Тогда из (17.20) с учетом (17.21) имеем O АBO  O  dA    dП  П  П B П. (17.22) B Следовательно, потенциальная энергия П материальной точки в положении В(х, у, z) равна работе, которую произведут силы поля при ее перемещении из положения В в нулевое. Воспользовавшись (17.22) из (17.10) и (17.11) запишем выражения потенциальной энергии: 1) для поля силы тяжести (ось Оz направлена вертикально вверх, нулевая точка  П ( z  0)  0 ) П  P z ; 2) для поля силы упругости (ось Ох проведена из конца ненапряженной пружины П ( х  0)  0 ) П  сх 2 / 2 . ЛЕКЦИЯ 18 Кинетическая энергия материальной точки и механической системы Основной динамической характеристикой материальной точки и механической системы является их кинетическая энергия, как мера механического движения, приводящая к преобразованию механической энергии в другие виды энергий (потенциальную, тепловую, и т. д.). Кинетическая энергия материальной точки равна половине произведения массы точки на квадрат ее скорости: mV 2 T . 2 (18.1) В системе СИ кинетическая энергия измеряется в Дж: 1 Дж = 1 кг м2/с2. Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех материальных точек системы: n 1 T   Tк  2 к 1 n m V к 1 к к 2 . (18.2) Кинетическая энергия положительна, за исключением случая, когда скорости всех точек системы равны нулю. При вычислении кинетической энергии часто пользуются теоремой Кёнига: кинетическая энергия системы в абсолютном движении равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка расположенная в центре масс системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс: M VC 2 Т 2 1 n   mкVкr2 2 к 1 (18.3)   где VC  скорость центра масс системы, Vкr  относительная скорость к-й материальной точки по отношению к центру масс С системы. Вычислим кинетическую энергию твердого тела при различных видах его движения. При поступательном движении твердого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс: Vк  VC . Поэтому из (18.2) получаем 1 n  2 M VC2 Tпост    mк  VС  . (18.4) 2  к 1  2 Следовательно, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс. При вращении тела вокруг неподвижной оси Oz (рис. 18.1) скорость любой его к-й точки Vк  ω hкz , где ω  угловая скорость тела, hкz  кратчайшее расстояние от точки до оси вращения Oz. С учетом этого формула (18.2) принимает вид 1 n I z ω2 2 2 Tвр    mк hкz  ω  , 2  к 1 2  к к к O Рис. 18.1 (18.5) где согласно (15.1) I z  момент инерции тела относительно оси Оz. Следовательно, кинетическая энергия тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения осевого момента инерции на квадрат угловой скорости. При плоскопараллельном движении твердого тела (рис. 17.2) примем центр масс С за полюс и воспользуемся теоремой Кенига (18.3). В этом случае относительное движение является вращением вокруг оси, проходящей через центр масс С с угловой скоростью ω . Тогда второе слагаемое (18.3) имеет вид IC ω2 Tвр  , 2 (18.6) где I С момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости движения. Подставив (18.6) в (18.3), получаем M VC 2 Т 2 IC ω2  . 2 (18.7) При плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии поступательного движения тела с центром масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения. Если механическая система состоит из нескольких твердых тел, то следует вычислить кинетическую энергию каждого тела, а затем полученные значения сложить. Теоремы об изменении кинетической энергии Определение кинематических характеристик точек и тел механической системы удобно проводить с использованием теоремы об изменении кинетической энергии. Согласно (15.1) для любой к-й точки системы основной закон динамики имеет вид r r r mк aк  Fке  Fкi , Здесь (к = 1, 2, …, n). r r r r r dVк dVк drк dVк r aк   r  r Vк . dt drк dt drк (18.8) (18.9) С учетом (18.9) уравнение (18.8) принимает вид r r dVк r е r i mкVк r  Fк  Fк drк или (к = 1, 2, …, n) r r r r r r mк Vк dVк  Fке  drк  Fкi  drк ,  (к = 1, 2, …, n). (18.10) Внося mк Vк в (18.10) под знак дифференциала и воспользовавшись определением элементарной работы (17.1), получаем  mк Vк 2  е i d   dAк  dAк ,  2  (к = 1, 2, …, n), (18.11) где dAке и dAкi  элементарные работы соответственно внешних и внутренних сил, действующих на к-ю точку системы. Складывая n уравнений (18.11), получим n  n mк Vк 2  d    dAке   к 1  к 1 2  n  dA к 1 i к или n n dT   dAке   dA к 1 i к к 1 . (18.12) Равенство (18.12) представляет теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних сил, действующих на систему. Если обе части равенства (18.12) проинтегрировать в пределах, соответствующих перемещению системы из начального положения с кинетической энергией Т0 в конечное положение, в котором кинетическая энергия равна Т1, то получим уравнение n T1  Т 0   Aке  к 1 n A к 1 i к , (18.13) выражающее теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе на этом перемещении. В случае неизменяемой системы (абсолютно твердое тело), вследствие выполнения теоремы (3.9), сумма работ внутренних сил равна нулю: n A к 1 i к  0 . Сумма работ внутренних сил натяжения гибкой нерастяжимой нити, связывающей тела системы, также равна нулю. В этих случаях выражение (18.13) принимает более простой вид n T1  Т 0   Aке . к 1 (18.14) Следовательно, для неизменяемой системы в правую часть (18.14) входит только работа внешних сил, действующих на систему. Данное обстоятельство позволяет исключить из рассмотрения внутренние силы, которые обычно неизвестны, что значительно упрощает решение практических задач. Для одной материальной точки теорему (18.14) можно записать в виде n mV12 mV02    Aк , 2 2 к 1 (18.15) где V0 и V1  величины скорости точки соответственно в начальном и конечном ее положениях. Теоремой об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме удобно пользоваться для определения линейных скоростей точек и угловых скоростей тел по заданному перемещению механической системы. Рассмотрим случай, когда система движется в стационарном потенциальном силовом поле. Согласно (17.22) потенциальная энергия П механической системы в данном ее положении равна работе, которую произведут силы поля при перемещении точек системы из данного положения в нулевое: n П   А BкOк . к 1 (18.16) Если на систему действует несколько полей, то для каждого поля можно выбрать свою «нулевую точку» О отсчета. Пусть все действующие на систему внешние и внутренние силы являются потенциальными. Тогда с учетом (17.20) работа всех сил при перемещении системы из начального в конечное положение определяется выражением: n A к 1 е к  n A к 1 i к  П 0  П1 , (18.17) где П0 и П1  значения потенциальной энергии системы соответственно в начальном и конечном положениях. Подставляя (18.17) в (18.13), получим Т1  Т 0  П 0  П1 или Т1  П1  П 0  Т 0  Е  const , (18.18) где Е  Т  П  полная механическая энергия системы. Равенство (18.18) выражает закон сохранения механической энергии системы: при движении системы под действием потенциальных сил полная механическая энергия системы в каждом ее положении есть величина постоянная. Следовательно, Е является интегралом движения. Механическая система, для которой выполняется закон сохранения механической энергии (18.18) называется консервативной системой. При движении механической системы в реальных условиях наличие сил сопротивления движению приводит к уменьшению полной механической энергии, т. е. движение все время сопровождается рассеиванием (диссипацией) энергии. Силы (сопротивления движению, трения), приводящие к диссипации энергии, называются диссипативными силами, а механическая система, на которую действуют такие силы  диссипативной системой. Потерянная системой за счет работы сил сопротивления часть механической энергии переходит в другие виды энергии. При этом полная энергия всех видов (механическая, тепловая, химическая и т. д.) остается постоянной. ЛЕКЦИЯ 19 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Дифференциальные уравнения движения твердого тела Применим общие теоремы динамики к получению дифференциальных уравнений движения твердого тела. Рассмотрим простейшие случаи движения твердого тела. 1. Поступательное движение твердого тела. Из теоремы о движении центра масс (15.5) имеем n r r M aC   Fке . к 1 Однако при поступательном движении ускорения всех точек тела       x i  y j  z k  ускорение геометрически равны, т. е. aC  a , где a   произвольной точки тела. Тогда (15.5) принимает вид: n r r M a   Fке , к 1 или в проекции на координатные оси получаем n M & x&  F , к 1 е кх n M& y&  F , к 1 е кy n M& z&  Fкzе . к 1 (19.1) Уравнения (19.1) называются дифференциальными уравнениями поступательного движения твердого тела в декартовых координатах. тело, 2. Вращательное движение твердого тела. Рассмотрим твердое rе e e вращающееся вокруг неподвижной оси z, под действием сил F1 , F2 , ..., Fn   (рис. 19.1). Кроме этих сил на тело действуют реакции RA подпятника А и RB подшипника В. Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы относительно оси вращения z тела (16.15): n r dK z   m z ( Fi e ) . dt i 1 (19.2) В правой части  (19.2) отсутствуют моменты  реакций RA и RB , так как они равны нулю   (реакции RA и RB пересекают ось z). Согласно (16.9) для вращающегося тела K z  I z ω , где для z В RB твердого тела I z  const . Подставляя (16.9) в  F1 Fne F2 e e (19.2), находим n r dω Iz   m z ( Fi e ) dt i 1 или, поскольку (19.3) RA dω & &, получаем  dt n r & & I z    m z ( Fi e ) . А (19.4) i 1 Рис. 19.1 Уравнение (19.4) называется дифференциальным уравнением вращательного движения твердого тела. Иногда вводится обозначение n r  m z ( Fi e )  M ez , где величина M ez называется вращающим моментом. i 1 & & ε  угловое ускорение тела, (19.4) принимает вид Тогда, так как  I z ε  M ez , (19.5) т. е. произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающему моменту. Из сравнения (19.5) с основным законом динамики (10.1) можно заключить, что момент инерции тела относительно оси его вращения играет такую же роль, как и масса точки при ее движении. Следовательно, I z является мерой инертности тела при вращательном движении. Из уравнения (19.4) можно: e 1) зная закон вращения   (t ) , найти M z ; e 2) зная вращающий момент M z , определить закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси   (t ) , т. е. решить основную задачу динамики для твердого тела. В частности, e а) если M z  0 , то ω  ω0  const , и тело вращается равномерно по закону   0  ω0 t ; e б) если M z  const , то ε  const 2 , и тело совершает равнопеременное ε t2 . вращение по закону   0  ω0 t  2 3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Пусть свободное тело совершает плоское движение неподвижной плоскости Оху е eотносительно e под действием внешних сил F1 , F2 ,...., Fn и имеет в данный момент времени угловое ускорение ε (рис. 19.2). Примем за полюс центр масс С тела. Тогда его движение можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения вместе с центром масс С и вращательного движения вокруг оси Cz  , перпендикулярной плоскости Оху и движущейся поступательно вместе с подвижной системой отсчета Cxy z  . y y C O Fn y Если хС и уС  координаты центра масс С в неподвижной системе отсчета Оху, то по теореме о движении центра масс (13.14) получим два дифференциальных уравнения, характеризующих поступательное движение тела вместе с центром масс С: e  F2  C xC x F1 n x M & x& C  F , к 1 Рис. 19.2 е кх n е M & y& C   Fкy , к 1 где М  масса тела. Третье дифференциальное уравнение, определяющее вращательное движение вокруг оси Cz  , получаем из (19.4): r & &  m С ( Fi e ) , IС  n i 1 поскольку согласно (16.18) вид теоремы моментов, с помощью которой была получена формула (19.4), не изменится в системе координат Cxy z  , движущейся поступательно с центром масс С тела. дифференциальные уравнения Тогда окончательно находим плоскопараллельного движения твердого тела: n M & x& , C  F к 1 е кх re & & M & y&  F , I   m ( F   С i). C С n к 1 n е кy (19.6) i 1 Физический маятник Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести (рис. 19.3, а). Положение физического маятника в произвольный момент времени будем определять углом поворота , отсчитываемом против хода часовой стрелки от вертикали до прямой ОС, соединяющей точку О подвеса тела и его центр масс С. Заданы: вес Р маятника, расстояние ОС и момент инерции I O маятника относительно горизонтальной оси подвеса О. Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения (19.4), l O a O учитывая, что для маятника r M ez  m O ( P )   Pa sin  (знак момента отрицательный, поскольку он направлен противоположно отсчету угла ) & &  Pa sin  . IO    C P C P K а (19.7) Деля обе части (19.7) и введя обозначение дифференциальное уравнение колебаний маятника & & k 2 sin   0  б Рис. 19.3 k 2  Pa / I O , получим (19.8) Так как это уравнение в элементарных функциях не интегрируется, то ограничимся рассмотрением только малых колебаний маятника, для которых sin    . Тогда уравнение (19.8) принимает вид & & k 2  0 .  (19.9) По структуре уравнение (19.9) совпадает с дифференциальным уравнением свободных прямолинейных колебаний материальной точки (11.3) и поэтому его общее решение имеет вид   C1 cos kt  C2 sin kt . (19.10) Пусть в начальный момент времени t = 0 маятник отклонен на малый угол (0)  0 и отпущен без начальной скорости &(0)  0  0 , тогда постоянные интегрирования равны: C1  0 , C2  0 . При данных начальных условиях движения закон малых колебаний маятника будет   0 cos kt . (19.11) Следовательно, малые колебания маятника являются гармоническими. Период этих колебаний физического маятника определяется по формуле Tф  2 I  2 O . k Pa (19.12) Из (19.12) следует, что период малых колебаний от угла начального отклонения 0 не зависит. Этот результат является приближенным. Если проинтегрировать исходное дифференциальное уравнение (19.8) в специальных функциях, то можно установить приближенную зависимость Tф от угла 0 , которая будет иметь вид I O  02  Tф  2 1   . Pa  16  Отсюда вытекает, что при 0  0, 4 рад (около 23o ) формула (19.12) определяет период физического маятника с точностью до 1 %. Один из экспериментальных методов определения моментов инерции (метод маятниковых колебаний) основан на использовании формулы периода малых колебаний физического маятника (19.12). Зная вес Р тела, расстояние ОС = а и измеряя период малых колебаний Tф тела, можно найти для него момент инерции относительно оси подвеса О по формуле I O  PaTф2 /(4 2 ) . Полученные результаты охватывают и случай так называемого математического маятника  материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной l (рис. 19.3, б). Для него a  OC  l , I O  ml 2   P / g  l 2 . Подставляя эти величины в (19.12) определим период малых колебаний математического маятника Tм  2 l / g . (19.13) Сопоставляя (19.13) с (19.12) находим, что при длине математического маятника lпр  I O g / Pa  I O / ma (19.14) период его колебаний совпадает с периодом колебаний соответствующего физического маятника. Длина lпр математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника, называется приведенной длиной физического маятника. Точка K, отстающая от оси подвеса на расстояние OK  lпр , называется центром качаний физического маятника (рис. 19.3, а). 2 Замечая, что по теореме Гюйгенса-Штейнера I O  I С  ma , запишем (19.14) в виде lпр  a  I C / ma . (19.15) Отсюда следует, что расстояние OK  lпр всегда больше расстояния OC  a , т. е. центр качаний физического маятника  точка K всегда находится ниже его центра масс С. Из формулы (19.15) имеем, что KC  lпр  a  I C / ma . Поэтому, если поместить ось подвеса физического маятника в точке K, то приведенная длина lпр 2 полученного маятника согласно (19.15) равна lпр 2  KC  I C /( m KC )  I C /( m a )  a  lпр . Следовательно, точки K и О являются взаимными, т. е. если ось подвеса будет проходить через точку K, то центром качаний будет точка О, и период колебаний физического маятника не изменится. Это свойство используется оборотном маятнике, служащем для определения ускорения силы тяжести. ЛЕКЦИЯ 20 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА Принцип Даламбера для материальной точки Рассмотрим несвободную материальную точку массой m, движущуюся  относительно инерциальной системы отсчета с ускорением a . Запишем для нее основной закон динамики (10.4): r r r maFN, (20.1)   где F и N  соответственно равнодействующие активных сил и реакций связей, приложенных к точке. Введем силу инерции для материальной точки:   Ф  ma. (20.2)  Ф направляется Отрицательный знак в (20.2) означает, что сила инерции  противоположно вектору ускорения a . С учетом (20.2) основной закон динамики (20.1) запишем в форме равновесия сил:    F N ma 0 или    F  N Ф 0. (20.3) Уравнение (20.3) выражает принцип Даламбера для материальной точки: в каждый момент движения геометрическая сумма всех приложенных к материальной точке активных сил, реакций связей и силы инерции равна нулю. Принцип Даламбера для механической сиcтемы Рассмотрим механическую систему, состоящую из n точек. Для к-й точки системы с массой mк , движущейся под действием равнодействующей е внешних сил Fк i и равнодействующей внутренних сил Fк , так как е i   Fк  Fк  Fк  N к , то уравнение (20.3) принимает вид r r r Fке  Fкi  Фк  0 . (20.4) r r где Фк   mк aк . Таким образом, для каждой материальной точки силы r r r Fке , Fкi и Фк образуют уравновешенную систему сил, и, следовательно, система этих сил, приложенных к рассматриваемой системе n точек, также будет уравновешенной. принцип Даламбера для Уравнение (20.4) представляет механической системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, и к ней можно применять все уравнения статики. Воспользуемся теоремой Пуансо и приведем эту уравновешенную систему сил к произвольному центру О. Из статики известно, что для произвольной системы сил, находящейся в равновесии, ее главный вектор и главный момент относительно любого центра О должны быть равны нулю. Поэтому условия равновесия (6.17) для системы внешних, внутренних сил и сил инерции материальных точек принимают вид  n rе ri r    Fк  Fк  Ф к   0 ,  к 1  n r rе r ri r r  m    ( F ) m ( F ) m  O к O (Ф к )   0 ,  к 1  O к или  n rе n ri n r   Fк   Fк   Ф к  0 ,  к 1 к 1 к 1  n n n r rе r ri r r  m   ( F ) m ( F ) m   O к O к O (Ф к )  0 .   к 1 к 1 к 1 (20.5) По свойству внутренних сил ri F  к  0, ri r m ( F  O к)  0. n n к 1 к 1 (20.6) Введем обозначения: rе rе F  к F n к 1 (20.7)  главный вектор внешних сил системы; r r Ф  Ф  к n (20.8) к1  главный вектор сил инерции системы; re r rе m ( F )  M  O к O n к 1 (20.9)  главный момент внешних сил относительно центра О; rи r r m (Ф )  M  O к O n (20.10) к1  главный момент сил инерции точек системы относительно центра О. Тогда с учетом (20.6)(20.10) система уравнений (20.5) принимает вид r r Fе  Ф  0 , r r M Oe  M Ои  0 . (20.11) В проекциях на оси декартовой системы координат векторные уравнения (20.11) в случае произвольной пространственной системы сил дадут шесть скалярных уравнений равновесия: Fx е  Ф x  0 , M ex  M иx  0 , Fy е  Ф y  0 , M ey  M иy  0 , Fz  Ф z  0 , M M 0. е e z (20.12) и z Для практического применения принципа Даламбера необходимо r rи уметь вычислять главный вектор Ф и главный момент M O сил инерции точек системы. Из первого уравнения системы (20.11) имеем r rе n rе Ф   F   Fк . к 1 rе r F Согласно теореме о движении центра масс системы (15.5)  к  M aC , где к 1  М  масса системы; aC  ускорение ее центра масс С относительно инерциальной системы отсчета. Тогда n r r Ф   M aC . (20.13) Главный вектор сил инерции механической системы (твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.  Поскольку вектор F е приложен в центре приведения О, то изr первого уравнения (20.11) следует, что и главный вектор сил инерции Ф также приложен в центре О. Если центр масс точка С движется по криволинейной траектории, то n  r rn r aС  aС  aC , где aС и aC  соответственно нормальное и касательное ускорения этой точки. r Поэтому главный вектор сил инерции Ф следует в точке О разложить на нормальную и касательную составляющие: r r r Ф  Фn  Фτ , где r r Фn   M aCn , Ф  Фn 2  Ф 2  M r r Ф τ   M aCτ , a   a  . n 2 C τ 2 C (20.14) Главный вектор сил инерции механической системы (твердого тела) от выбора центра приведения не зависит. Из второго уравнения системы (20.11) и шестого уравнения системы (20.12) имеем r r MОи   MOe , M иz   M ez . Согласно теоремам об изменении кинетического момента для механической системы (16.14), (16.15) r r e dK O MO   , dt M ez   dK z , dt  где K O и K z  кинетические моменты механической системы соответственно относительно центра О и оси Oz. Тогда r rи dK O MO   , dt M zи   dK z . dt (19.15) Главный момент сил инерции механической системы (твердого тела) относительно центра О или оси Oz равен взятой с противоположным знаком производной по времени от кинетического момента системы (тела) относительно того же центра или оси. Главный момент сил инерции механической системы (твердого тела) зависит от выбора центра приведения О. Приведение сил инерции твердого тела Воспользовавшись теоремой Пуансо, рассмотрим приведение сил инерции точек твердого тела к центру О при различных видах его движения. 1. Поступательное движение. При поступательном движении силы инерции точек тела образуют систему параллельных сил, которая всегда приводятся к r r y равнодействующей Ф   M aC , приложенной aC в центре масс тела. и Мz 2. Вращательное движение. Если тело C  имеет плоскость материальной симметрии Оху и x О вращается вокруг неподвижной оси Оz, Ф Рис. 20. 1 перпендикулярной этой плоскости, то при приведении сил инерции точек r r тела к центру О они заменяются главным вектором Ф   M aC , приложенным в центре О, и парой сил с моментом M иz , лежащей в плоскости симметрии Оху (на рис. 20.1 изображено сечение тела плоскостью Оху). Поскольку для вращающегося тела согласно (16.9) K z  I z ω , то M иz   dK z dω  Iz  Iz ε . dt dt (20. 16) и Знак «» в (20.16) показывает, что момент сил инерции M z на рис. 20.1 направляется противоположно угловому ускорению ε тела. В случае когда ось вращения z проходит через центра масс С тела перпендикулярно плоскости материальной симметрии ху, поскольку aC  0 , то силы инерции точек тела приводятся только к паре, лежащей в плоскости и симметрии тела с моментом M Сz , определяемом согласно (19.16): и M Сz   I Сz ε . (20.17) 3. Плоскопараллельное движение. При плоскопараллельном движении тела, имеющего плоскость материальной симметрии Оху и движущегося параллельно этой плоскости, силы инерции точек тела  приводятся к результирующей силе Ф , приложенной в центре масс С тела и к  и y паре с моментом M Сz , лежащей в aC плоскости симметрии тела. При этом M Cz Ф r r Ф   M aC , C x О Рис 20 2 и M Сz   I Сz ε . (20.18) Динамические реакции подшипников при вращении тела вокруг оси Рассмотрим твердое тело, равномерно вращающееся с угловой скоростью  вокруг оси, закрепленной в подшипниках А и В (рис. 20.3). Свяжем с телом вращающуюся вместе с ним декартовую систему координат Ахуz, по отношению к которой координаты центра масс и моменты инерции тела будут постоянными величинами. re re re Пусть на тело действуют активные силы F1 , F2 ,..., Fn . Обозначим re е е е F проекции главного вектора этих сил на оси Ахуz через Fx , Fy , Fz , а их e e e главные моменты относительно тех же осей  через M x , M y , M z при этом, e поскольку ω = const , то M z  0 . z YB B XB e F1  e Fn O hC  a Cn C e F2 x' к 1 ZA A YA XA  x и Mx Для определения динамических r r r r r X A , Y A , Z A , X B , YB реакций подшипников, т. е. реакций возникающих при вращении тела, согласно принципу Даламбера присоединим ко всем активным силам и r реакциям связей силы инерции Ф к (к = 1, 2, …, n) всех частиц тела, приведя их к центру А. Тогда силы инерции приводятся  к главному вектору Ф , приложенному в точке А, и к паре сил с моментом n rи r r M A   m A (Фк ) . Проекции этого и My y вектора на оси х и у будут: xC yC Ф r M   m x (Фк ), и x n к 1 r M   m y (Фк ), и y Рис. 20.3 n к 1 M  0. и z так как ω = const . Поскольку в каждый момент движения на тело действует уравновешенная система сил (активных, реакций связей и сил инерции), то запишем систему уравнений равновесия (20.12), полагая АВ = b:  X A  X B  Fx е  Ф x  0,  е YA  YB  Fy  Ф y  0,  е  Z A  Fz  Ф z  0,  e и YBb  M x  M x  0,  X b  M e  M и  0, y y  B  M e  M и  0. z  z (20.19) e и Последние уравнение M z  M z  0 в (20.19) обращается в тождество, и e поскольку M z  0 и M z  0 . r r Согласно (20.13) главный вектор сил инерции Ф   m aC , где m  масса тела. При ω = const центр масс С имеет только нормальное ускорение aС  aСn  2 hC , где hC  расстояние от точки С до оси вращения z. r Следовательно, направление вектора Ф совпадает с направлением ОС. r Вычисляя проекции Ф на координатные оси и учитывая, что hC cos   xC , hC sin   yC , где xC , yC  координаты центра масс, найдем: Ф x  mω 2 hC cos α  mω 2 xC , Ф y  mω 2 hC sin α  mω 2 yC , Ф z  0. и и Чтобы определить M x , M y , рассмотрим какую-нибудь частицу Bк ( xк , yк , zк ) тела с массой mк , отстающую от оси на расстояние hк . Для нее при ω = const сила инерции имеет только нормальную составляющую r Фnк  mк ω 2hк , проекции которой, как и вектора Ф , равны: Фкx  mкω2 xк ; Фкy  mω2 yк ; Фкz  0. Тогда получаем: r m x (Фк )  Фкy zк  mк ω 2 yк zк ; r m y (Фк )  Фкx zк  mк ω 2 xк zк . Составляя такие выражения для всех точек системы, складывая их и вынося общий множитель за скобки, придем к равенствам:   n и M x     mк yк zк  ω 2   I yz ω 2 ;  к 1    n M иy     mк xк zк  ω 2   I xz ω 2 ;  к 1  где I xz , I yz  соответствующие центробежные моменты инерции тела. Подставляя все найденные значения в (20.19), получим  X A  X B   Fx е  mxC ω 2 ;  е 2 YA  YB   Fy  myC ω ;  е  Z A   Fz ;  e 2  X Bb   M y  I xz ω ; Y b  M e  I ω 2 . x yz  B (20.20) Уравнения (20.20) определяют динамические реакции, действующие на ось равномерно вращающегося твердого тела, если осью вращения является ось z. Назовем статическими реакциями те значения реакций, которые дают уравнения (20.20), если в них положить ω = 0 . Как видно, из уравнений (20.20), динамические реакции могут вообще быть значительно больше статических, причем это зависит не только от значения ω , но и от величин xC , yC , I xz , I yz , характеризующим распределение масс тела относительно оси вращения z. Однако из уравнений (20.20) следует, что наличие вращения не будет влиять на значения реакций подшипников А и В, если xC  0, yC  0; (20.21) I xz  0, I yz  0. (20.22) Равенства (20.21) и (20.22) выражают условия динамической уравновешенности тела, вращающегося вокруг оси z, т. е. условия равенства динамических реакций, действующих на ось вращающегося тела, статическим реакциям. Условия (20.21) означают, что центр масс тела должен лежать на оси вращения, а условия (20.22)  что ось вращения должна быть главной осью инерции тела для начала координат А. При одновременном же выполнении условий (20.21) и (20.22) ось Az будет главной центральной осью инерции тела. Следовательно, динамические реакции, действующие на ось вращающего тела, будут равны статическим, если ось вращения является одной из главных центральных осей инерции тела. Этот вывод остается справедливым и в случае, если тело вращается неравномерно. Данная задача позволяет уяснить механический смысл величин I xz и I yz , а именно: центробежные моменты инерции I xz и I yz характеризуют степень динамической неуравновешенности тела при его вращении вокруг оси z. Динамическое уравновешивание вращающихся тел представляет собой важную техническую задачу, которая, как было показано, сводится к определению главных центральных осей инерции тела. Отметим, что любое тело имеет, по крайней мере, три взаимно перпендикулярные главные центральные оси инерции. Докажем важное положение: любую ось, проведенную в теле, можно сделать главной центральной осью инерции прибавлением двух точечных масс. Пусть для тела массой m величины xC , yC , I xz , I yz известны и не равны нулю. Прибавим к телу две массы m1 и m2 в точках B1 ( x1 , y1 , z1 ) и B2 ( x2 , y2 , z2 ) соответственно. Тогда из формул (14.9) и (14.25) следует, что если удовлетворить равенствам mxC  m1 x1  m2 x2  0, myC  m1 y1  m2 y2  0, I xz  m1 x1 z1  m2 x2 z2  0, I yz  m1 y1 z1  m2 y2 z2  0, (20.23) то для полученного тела будет xC   yC   I xz  I yz  0 , т. е. ось z станет главной центральной осью инерции. Подбирая массы m1 , m2 и их положения так, чтобы удовлетворялись уравнения (20.23), можно решить поставленную задачу. Частью величин при этом следует, конечно, задаться изначально (например, можно задать значения m1 , m2 и z1 , z2 , но так чтобы z1  z2 , а x1 , y1 , x2 , y2 найти из уравнений (20.23)). Такой метод уравновешивания вращающихся тел широко используется в технике для уравновешивания коленчатых валов, кривошипов, спарников и т. п. При этом окончательная балансировка производится на специальных стендах. ЛЕКЦИЯ 21 ПРИНЦИПЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Классификация связей В аналитической механике рассматриваются наиболее общие методы изучения равновесия и движения материальных систем. Объектом исследования в аналитической механике является система материальных точек или тел. Система материальных точек называется свободной, если положения отдельных ее точек и их скорости могут принимать произвольные значения. Материальная система называется несвободной, если вследствие какихлибо ограничений (связей) точки системы не могут занять произвольного положения в пространстве и иметь произвольные скорости. Аналитически связи выражаются уравнениями или неравенствами, т. е. соотношениями между радиус-векторами точек системы, их скоростями и временем. Связи, выраженные уравнениями, называются удерживающими, связи выраженные неравенствами  неудерживающими. Для материальной системы, состоящей из n точек, наложенные на нее k удерживающие связи можно в общем случае записать системой уравнений вида f j ( x ν , y ν , z ν , x&ν , y&ν , z&ν , t )  0, (ν  1, 2, ..., n ), ( j  1, 2, ..., k ) , (21.1) где х ν , уν , zν , xν , yν , zν  соответственно проекции радиус-вектора rν r и скорости Vν -й точки на оси декартовой системы координат. Если уравнения связей (19.1) содержат явно время t, то связь называется нестационарной. Например, связь, наложенная на материальную точку, выраженная уравнением ( x  5t ) 2  y 2  z 2  R 2 , является нестационарной. В этом случае точка в процессе движения остается на поверхности сферы радиусом R, центр которой перемещается по оси Ox. Если уравнение связи не содержит явно время t, то связь называется стационарной. Например, связь будет стационарной для двух материальных точек, соединенных невесомым стержнем длиной L: ( x2  x1   ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2  L2. 2 Здесь x1, y1, z1, x2, y2, z2 – декартовые координаты материальных точек. Если связи материальной системы являются стационарными, то система называется склярономной, если связи нестационарные, то система  реономной. Связь, накладывающая ограничение только на координаты точек системы, называется геометрической или голономной. Уравнения связей в этом случае имеют вид: f j ( x ν , y ν , z ν , t )  0, (ν  1, 2, ..., n ), ( j  1, 2, ..., k ) . (21.2.) Во всех приведенных выше примерах связи являлись голономными. Связь называется неголономной (кинематической), если уравнения связи (21.1) содержат неинтегрируемым образом производные от координат по времени или дифференциалы у  координат. Например, при движении конька по поверхности льда для отсутствия у с соскальзывания необходимо, чтобы Vс r скорость VС центра тяжести C конька С х с была бы направлена вдоль его оси (рис. 21.1), т. е. по касательной к траектории в точке C. Тогда  х x&c  Vc cos , y&c  Vc sin , Рис. 21.1 или уравнение неголономной связи имеет вид y&c  x&c tg  0. Материальная система, на которую наложены голономные связи, называется голономной, а материальная система с неголономными связями – неголономной. В дальнейшем будут рассматриваться только голономные системы. Числом степеней свободы голономной материальной системы называется число S независимых параметров (координат), полностью определяющих ее положение совместимое с наложенными на неё связями. Если на материальную систему, состоящую из n точек, наложено k голономных связей, то это значит, что не все декартовые координаты точек системы независимы друг от друга. Действительно, независимыми являются только 3n  k координат, так как k координат можно выразить через остальные 3n  k координат с помощью уравнений связей (20.2). Следовательно, число степеней свободы для рассматриваемой системы равно S  3n  k . (21.3) Возможные перемещения. Возможная работа Введем понятия действительного и возможного перемещений на примере одной материальной точки  ν  1 , подчиненной одной голономной связи ( j  1) : f ( x, y , z , t )  0 . (21.4)  Действительным перемещением dr точки называется бесконечно малое перемещение этой точки под действием активных сил и реакций связи. Действительное перемещение происходит за время dt в соответствии с дифференциальным уравнением движения точки и уравнением связи (21.4). Дифференциальное уравнение в частных производных, которому r r r r подчинено действительное перемещение точки dr  dx i  dy j  dz k , в положении M 0 ( x0 , y0 , z0 ) получим, вычислив дифференциал от левой части уравнения (21.4) и приравняв его к нулю:  f  dfM0    dx   x 0  f   f   f  dу  dz        dt  0 .  x 0  x 0  t 0 (21.5) r Возможным перемещением δr называется воображаемое бесконечно малое перемещение точки, допускаемое связью в фиксированный момент времени. Возможное перемещение не обладает длительностью и не происходит под действием сил. Дифференциальное уравнение в частных производных, которому r r r r подчинены возможные перемещения точки δr  δx i  δy j  δz k в положении M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , получим, вычислив дифференциал левой части уравнения (21.4) при фиксированном времени, т. е. определив изохронную вариацию функции f ( x , y , z , t ), и приравняв ее к нулю:  f   f   f  δf M 0    δx    δу    δz  0 ,  x 0  z 0  y 0 (21.6) Из сравнения (21.6) и (21.5) видно, что возможное перемещение совпадает с действительным перемещением точки только в случае стационарных связей, когда f / t  0 . Вводя вектор-градиент функции (21.4) при фиксированном времени r  f  r  f  r  f  r f    i    j    k,   х 0   y 0   z 0  можно условие (21.6) записать в форме скалярного произведения векторов f r и δr : r r f  δ r  0 .  f z М 0 δr  r f ( x, y, z ) = 0  d r δ r  δr  f z  V  r у О f ( x, y, z, t) = 0   М0 δ r  δr  δr  dr V у О x x а б Рис. 21.2 r Следовательно, виртуальные перемещения δr точки представляют собой векторы, расположенные в касательной плоскости, проведенной в той точки М0 поверхности, определяемой уравнением (21.4), в которой в данный момент времени находится материальная точка. При стационарной связи  действительное перемещение dr совпадает в фиксированный момент r r r времени с одним из виртуальных перемещений δr . Так как dr  V dt , то при r стационарной связи вектор δr направляется также как вектор скорости точки в данный момент времени. При нестационарной связи вектор r действительного перемещения dr точки в положении М0 не совпадает ни r с одном их векторов ее возможных перемещений δr (рис. 21.2, б). Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек, подчиненных голономным связям (21.2). Возможными перемещениями точек системы называется совокупность бесконечно малых векторов: r r r r δrν  δхν i  δу ν j  δz ν k , (ν 1, 2, ..., n) , (21.7) удовлетворяющих системе уравнений r r   ν f j  δrν  0, n ν 1 ( j  1, 2, ..., k ). (21.8) Количество независимых виртуальных перемещений системы равно числу S ее степеней свобод. Пусть в фиксированный момент времени на каждую ν -ю r материальную точку системы действует сила Fν (ν  1, 2, ..., n ). r r r Возможной работой называется элементарная работа сил F1 , F2 , ..., Fn r r r на возможных перемещениях δr1 , δr2 , ..., δrn точек системы: n r r r r r r r r δА  F1  δr1  F2  δr2  ...  Fn  δrn   Fν  δrν . ν 1 (21.9) В декартовой системе координат r r r v Fν  Fνx i  Fνy j  Fνz k и δА  n F ν 1 νx δхν  Fνy δу ν  Fνz δz ν  . (21.10)  N Связи, для которых возможная работа реакций  связей на любом возможном перемещении системы равна нулю: r r N  ν  δrν  0, n ν 1 (21.11) называются идеальными. Для одной материальной точки, движущейся r r по поверхности связи f(x, y, z, t)= 0, условие (21.11) принимает вид N  δ r  0 . Следовательно, при  идеальной связи реакция N перпендикулярна r A = N . r = 0 любому возможному перемещению δr , т. е. направлена по нормали к поверхности связи N (например, на рис. 21.3). Поэтому в случае r  r идеальной связи точка движется по поверхности связи без трения. Условие (21.11) является обобщением для случая системы, Рис. 21.3 состоящей из n точек. Можно убедиться, что примерами идеальной связи являются гладкая поверхность, шарнир без трения, связь при качении без скольжения. Принцип возможных перемещений В основе аналитической статики лежит принцип возможных перемещений: необходимым и достаточным условием равновесия голономной материальной системы, подчиненной идеальным стационарным связям, является равенство нулю элементарной работы всех активных сил на любом возможном перемещении точек системы: δА  r r F  ν  δrν  0 . n (21.12) ν 1 Под равновесием понимается такое состояние системы, при котором все ее точки под действием приложенных активных сил и реакций связей находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета, т. е. r Vν t 0  0 , (ν  1, 2, ..., n ) . Докажем необходимость условия (21.12). Пусть материальная система, состоящая из n точек, на которую наложены k голономных идеальных стационарных связей, находится в положении равновесия. Тогда на каждую точку системы действует уравновешенная система сил: r r Fν  N ν  0 , (ν  1, 2, ..., n ) , (21.13) r r где Fν и N ν – равнодействующие активных сил и реакций связей, действующих на ν -ю точку системы. r r r Сообщим точкам системы возможные перемещения δr1 , δr2 , ..., δrn . Умножим скалярно каждое уравнение (21.13) на соответствующий вектор r возможного перемещения δrν : r r r ( Fν  N ν )  δrν  0 , ν  1, 2, ..., n) . (21.14) Сложив n уравнений (20.14), получим r r r ( F  N  ν ν )  δrν  0 n ν 1 или r r n r r F  δ r  N  δ r  ν ν  ν ν  0. n ν 1 ν 1 (21.15) Так как связи, наложенные на систему, идеальные, то согласно (21.11) вторая сумма в (21.15) равна нулю. Следовательно, δА  r r F  ν  δrν  0 , n ν1 что и требовалось доказать. Докажем достаточность условия (21.12). Допустим обратное, что при выполнении условия (21.12) система начнет движение из состояния покоя, r т. е. ее точки испытают действительные перемещения drν (ν  1, 2, ..., n ) , а действующие на систему активные силы и реакции связей совершат на этих перемещениях работу. По теореме об изменении кинетической энергии имеем r r r dT   dA   Fν  N ν  drν n n ν 1 ν 1   . (21.16) Поскольку система начинает движение из состояния покоя, то dT  0 , поэтому из (21.16) получаем r n r r  N  dr ν ν ν 0 F ν 1  . (21.17) r При стационарных связях действительные перемещения drν точек системы в фиксированный момент времени совпадают с их виртуальными r r r перемещениями δrν т. е. drν  δrν . Тогда (21.17) принимает вид n  ν 1 или r r r Fν  N ν  δrν  0  r r n r r F  δ r  N  δ r  ν ν  ν ν 0 . n ν 1 ν 1 r r N Так как связи идеальные, то  ν  δrν  0. n ν 1 r r F Поэтому  ν  δrν  0 , что противоречит исходному условию (21.12). n ν 1 Следовательно, предположение о движении неверно, и система при выполнении условия (21.12) находится в равновесии, что и требовалось доказать. Пользуясь принципом виртуальных перемещений, можно: 1) определять положения равновесия несвободной материальной системы, 2) находить соотношения между активными силами при равновесии системы, 3) определять реакции связей наложенных на систему в положении ее равновесия. Общее уравнение динамики Рассмотрим голономную систему n материальных точек, подчиненную идеальным стационарным связям. Для получения общего уравнения динамики рассмотрим произвольную ν -ю точку системы и запишем для нее принцип Даламбера (20.3): r r r Fν  N ν  Ф ν  0 (ν  1, 2, ..., n ) . (21.18) В любой момент движения геометрическая сумма всех приложенных к точке активных сил, реакций связей и силы инерции равна нулю. r r В (21.18) сила инерции ν -й точки Ф ν   mν aν (ν  1,2, ..., n ) . Мысленно зафиксируем время t и сообщим точкам системы возможные r r r перемещения δr1 , δr2 , ..., δrn соответственно. Скалярно умножим каждое r уравнение (21.18) на соответствующий вектор возможного перемещения δ r и сложив найденные n уравнений, получим: n  ν 1 или n  ν 1 uuur r r r Fν  Ф ν  N ν  δ rν  0  uuur n r uuur r r Fν  Ф ν  δ r   N ν  δ rν  0 .  ν 1 n По свойству идеальных связей (21.11) r N ν 1 (21.19) uuur  δ rν  0 . Следовательно, ν с учетом (21.11) уравнение (21.19) принимает вид n r r r F  Ф  δ r  0.    ν 1 ν ν ν (21.20) Равенство (21.20) называется общим уравнением динамики: в каждый момент движения голономной системы, подчиненной идеальным стационарным связям, элементарная работа активных сил и сил инерции на возможном перемещении системы равна нулю. В декартовых координатах r r r r Fν  Fνx i  Fνy j  Fνz k , r r r r & & & & Ф ν   mν & x& ν i  mν y ν j  mν z ν k , uur r r r δrν  δx νi  δy ν j  δz ν k ,    i где , j , k – орты соответствующих декартовых осей. Уравнение (21.20) можно записать в виде n   F ν 1 νx  & & & & x&  mν & ν   δx ν   Fνy  mν y ν   δy ν   Fνz  mν z ν   δz ν   0. (21.21) Общее уравнение динамики (21.20) впервые было установлено Лагранжем. Оно содержит в себе всю информацию о движении механической системы под действием заданных активных сил. Соотношение (21.20) на самом деле не является одним уравнением, а содержит в себе количество уравнений, равное числу S степеней свободы системы, которое соответствует числу независимых возможны перемещений. Общее уравнение динамики (21.20) также называется принципом Даламбера–Лагранжа. Он заключается в том, что соотношение (21.20) устанавливает необходимое и достаточное условие действительного движения механической системы: истинное движение из всех кинематически возможных выделяется тем, что для него и только для него в данный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых возможных перемещениях равна нулю. Следует подчеркнуть, что этот принцип можно использовать в качестве основной аксиомы механики, так как из него можно вывести как уравнения равновесия, прировняв модули сил инерции точек системы нулю, так и дифференциальные уравнения движения механической системы. Важным свойством общего уравнения динамики (21.20) является то, что оно не содержит реакций идеальных связей. Это позволяет, решить задачу о движении механической системы, не определяя этих реакций. Отметим, что общее уравнение динамики может быть применено и для неидеальных связей, наложенных на систему. В этом случае с учетом разложения сил реакций на нормальные составляющие и силы трения можно воспользоваться уравнением (21.20), отнеся силы трения к активным силам, действующим в системе. Это, в свою очередь, приводит к необходимости введения экспериментального закона трения, с помощью которого устраняется несоответствие числа уравнений и числа неизвестных в них при не-идеальных связях. ЛЕКЦИЯ 22 Обобщенные координаты и обобщенные силы Для введения понятия обобщенных координат рассмотрим плоский двойной математический маятник, состоящий из двух невесомых стержней длиной l1 и l2 с точечными массами M1 и M2 на концах (рис. 22.1). Система обладает двумя степенями свободы. Действительно стержень ОМ1 может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости движения хОу, а стержень M1M2 – вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку M1, в той же плоскости. Поэтому уравнения связей имеют вид у1 О  1 х1 у2 у z1 = 0, z2 = 0, f1  х12  у12  l12  0. l1 M1  2 f 2   x2  x1    y2  y1   l22  0. 2 l2 2 Так как n =2, а число уравнений связей k = 4, то S = 3n – k. = 2, т. е. лишь две из шести декартовых координат являются независимыми и х должны быть заданы. Остальные же координаты можно выразить из уравнений связей через Рис. 22.1 независимые координаты. На практике координаты х1, у1, z1, х2, у2, z2 выражают через какие-либо независимые переменные другой природы, в нашем случае ими являются углы 1 и 2 отклонения стержней от вертикали: х2 M2 х1 = l1cos1, y1 = l1sin1, z1=0, x2 = l1cos1 + l2cos2, y2 = l1sin1 + l2sin2 , z2=0. (22.1) Здесь углы 1 и 2 играют роль независимых параметров, однозначно определяющих положение рассматриваемой механической системы. Пусть теперь имеется система n материальных точек, на которую наложены k голономных связей, заданных уравнениями (20.2). Поскольку число степеней свободы равно S, то введем независимые переменные q1, q2, ..., qs. Тогда для рассматриваемой системы соотношения (22.1) примут вид или x = x (q1, q2, ..., qs, t); у = у (q1, q2, ..., qs, t); ( = 1, 2, …, n) z = z (q1, q2, ..., qs, t);   rν  rν (q1, q2, ..., qs, t); ( = 1, 2, …, n). (22.2) Отметим, что независимые координаты qm(m = 1, 2, …, s) – это не обязательно набор S переменных из числа декартовых координат x, у, z. Ими могут быть переменные другой природы, так в приведенном выше примере вместо декартовых координат введены угловые координаты. S независимых параметров q1, q2, ..., qs однозначно определяющих положение точек материальной системы, совместимое со связями, называются обобщенными координатами. Производные от обобщенных координат по времени q&1 , q&2 , ..., q&s называются обобщенными скоростями ( q&m  dqm / dt ). Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты: если qm – линейная величина, то qm – линейная скорость; если qm – угол, то qm – угловая скорость; если qm – площадь, то qm – секторная скорость и т. д. Следовательно, понятие обобщенной скорости охватывает все известные нам понятия о скоростях. Для введения понятия обобщенных сил рассмотрим голономную систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют r  r соответственно силы F1 , F2 , ..., Fn . Пусть система имеет S степеней свободы, и ее положение определяется обобщенными координатами q1, q2, ..., qs. Сообщим системе в фиксированный момент времени такое возможное перемещение, при котором обобщенная координата qm приобретает приращение qm  0, а остальные обобщенные r координаты не изменяются. Тогда каждый радиус-вектор rν получит r возможное перемещение ( δrν )m, которое вычисляется как частный дифференциал: r rν r δqm . ( δrν )m = qm (22.3) Согласно (21.9) возможную работу всех активных сил при qm > 0 можно записать в виде r r r r r r δАm  F1  (δr1 )m  F2  (δr2 )m  ...  Fn  (δrn )m  r r rr1 r rr2 r rrn  n r rν   F1  δqm  F2  δqm  ...  F n δqm    Fν   δqm  Qm  δqm , qm qm q&m  q m   ν 1 где r n r δАm rν Qm  .   Fν  δqm ν1 qm (22.4) Величина Qm называются обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате qm. Если всем S обобщенным координатам в данный момент времени сообщить положительные приращения (вариации) q1, q2, ..., qs, то в обобщенных координатах полная возможная работа всех активных сил равна: δA  S  δA m 1 m  S Q m 1 m δ q m  Q 1 δ q1  Q 2 δ q 2  ...  Q S δ q S . (22.5) Из выражения (22.5) следует, что обобщенные силы представляют собой коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы. Проецируя (21.4) на декартовые оси, получим n Qm   ( Fνx ν 1 хν у z  Fνy ν  Fνz ν ) . qm qm qm (22.6) r Если все действующие силы Fν потенциальные, то их проекции Fx, Fy, Fz на декартовые оси могут быть выражены через потенциальную энергию П системы согласно формулам (17.18): Fνx   П ; xν Fνy   П ; уν Fνz   П . zν (22.7) Подставив (22.7) в (22.6), получим: n Qm  ( ν1 П хν П уν П zν П   )  . xν qm уν qm zν qm qm Для механической системы, находящейся в потенциальном силовом поле, обобщенная сила Qm определяется взятой с обратным знаком частной производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате: П(q1 , q2 , ..., qS ) Qm   . (22.8) qm Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты. Принцип возможных перемещений в обобщенных координатах Согласно принципу возможных перемещений (21.12), необходимым и достаточным условием равновесия голономной материальной системы, подчиненной идеальным стационарным связям, является равенство нулю возможной работы действующих активных сил, A = 0. В обобщенных координатах для системы с S степенями свободы это условие с учетом (22.5) принимает вид Q1q1 + Q2q2 +…+ Qsqs = 0. (22.9) Поскольку q1, q2, ..., qs – независимые вариации обобщенных координат, то выражение (22.9) выполняется только тогда, когда все обобщенные силы одновременно равны нулю, т. е. Q1 = 0, Q2 = 0, …, Qs = 0. (22.10) Уравнения (22.10) выражают принцип возможных перемещений в обобщенных координатах: для равновесия материальной системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю. Если обобщенные силы зависят не только от обобщенных координат,  & но и от обобщенных скоростей q& 1 , q2 , ..., qs , то в (22.10) все обобщенные скорости нужно приравнять нулю. Из (22.10) следует, что количество уравнений равновесия равно числу обобщенных координат, т. е. числу S степеней свободы системы. Для консервативной системы условия равновесия (22.10) имеют вид П 0 qm (m = 1, 2, …, s). (22.11) Полный дифференциал потенциальной энергии П(q1, q2, ..., qs) системы определяется выражением П(q1 , q2 ,..., qs ) dqm . qm m 1 S dП(q1, q2, ..., qs) =  Следовательно, с учетом (22.11) dП(q1, q2, ..., qs) = 0. (22.12) Условие (22.12) означает, что в положении равновесия потенциальная энергия консервативной системы принимает экстремальное значение. Следовательно, решения системы уравнений (22.11)–(22.12) определяют обобщенные координаты q1 , q2 , ..., qS , соответствующие положению равновесия системы. Положение равновесия системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Например, физический маятник (рис. 19.3, а) имеет два возможных положения равновесия – это положения, при которых центр масс маятника находится в верхней и нижней точках своей траектории. Очевидно, что верхнее положение равновесия маятника практически нельзя осуществить, оно является неустойчивым; нижнее положение легко реализуемо, это устойчивое положение равновесия. Устойчивость или неустойчивость положения равновесия определяется поведением системы при воздействии на нее малых возмущений. Если при достаточно малых отклонениях от положения равновесия или достаточно малых начальных скоростях система во все время движения не выходит из пределов сколь угодно малой заданной окрестности положения равновесия, имея при этом сколь угодно малые скорости, то это положение равновесия является устойчивым. Существенным признаком устойчивости равновесия является то, что при уменьшении до нуля начальных отклонений системы и их начальных скоростей в последующем движении отклонения и скорости точек системы также уменьшаются, стремясь к нулю. Например, устойчивым будет положение равновесия тяжелого цилиндра А в цилиндрической впадине (рис. 22.2, а) B D A а б в Рис. 22.2 При неустойчивом положении равновесия система при дальнейшем движении все больше отклоняется от него. Такое положение равновесия имеет тяжелый цилиндр В на рис. 22.2, б. Если система при малых отклонениях остается в равновесии и в этом отклоненном положении, то такое равновесие называется безразличным. Примером безразличного равновесия является равновесие тяжелого цилиндра на горизонтальной плоскости (рис. 22.2, в). Достаточные условия устойчивости положения равновесия для консервативной системы устанавливает теорема Лагранжа–Дирихле: если в положении изолированного равновесия консервативной системы с идеальными стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво. По теореме Лагранжа – Дирихле для доказательства устойчивости равновесия консервативной системы достаточно убедиться в том, что потенциальная энергия в рассматриваемом положении минимальна. Для системы с одной степенью свободы минимум определяется просто: достаточно убедиться, что вторая производная от потенциальной энергии по обобщенной координате q, вычисленная в положении равновесия q  q , положительна, т. е.  d 2П   2  dq  q  qo  0. ЛЕКЦИЯ 23 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА Рассмотрим голономную механическую систему с S степенями свободы. Пусть наложенные на систему связи не являются идеальными. Получим дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах q1, q2, ..., qS. Будем исходить из общего уравнения динамики (21.20) n  v 1 r r r Fv   v  δrv  0,  (23.1) r где Fv включает как активные силы, так и силы трения, действующие в системе. Сообщим каждой обобщенной координате положительное приращение δqm  0  m  1, 2, ..., S  , тогда возможное перемещение -й точки вычисляется как сумма частных дифференциалов (22.3): S r r r r  rν = ( rν )1+( rν )2+…+( rν )S =  m 1 r rν δqm . qm (23.2) Подставив (23.2) в (23.1), получим n  v 1 или S r r Fv   v    m 1 r rν  qm  0 qm r n r rrν   n r rν    Fν  q   Ф ν  q  δqm  0 . m 1  ν 1 ν 1 m m S Согласно (22.4) r rrν , Qm   Fν   q ν 1 m (23.3) n (23.4) аналогично введем обобщенную силу инерции r rrv Q   v  . qm v 1 u m n (23.5) Тогда с учетом (23.4) и (23.5) уравнение (23.3) примет вид  Qm  Qmu  δqm  0 . s m 1 (23.6) Поскольку q1, q2, ..., qs – бесконечно малые независимые приращения q1, q2, ..., qS, то (23.6) выполнимо только тогда, когда все коэффициенты при qm равны нулю. Поэтому общее уравнение динамики (23.6) эквивалентно системе S уравнений: Qm  Qmu  0 ( m  1, 2, ..., s ) Qmu  Qm ( m  1, 2, ..., s ) . или (23.7) Уравнения (23.7) выражают общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Прежде чем найти явный вид системы уравнений (23.7), получим два вспомогательных равенства. Для первого равенства вычислим скорость -й r r точки как производную от радиус-вектора rv  rv (q1 , q2 , ..., q s , t ) по времени: r r drrv  q1 , q2 ,...qS , t  S rrv rv  Vv  q&m  . dt q  t m 1 m (23.8) Считая qm независимыми переменными и продифференцировав по ним Равенство (23.8), находим первое вспомогательное соотношение r r Vv rv  . q&m qm (23.9) Чтобы получить второе вспомогательное равенство, возьмем частную производную от левой и правой частей равенства (23.8) по qj: r r r S Vv  2 rv  2 rv  q&m  q j m 1 qm  q j t  q j (23.10) Заметим, что частная производная от радиус-вектора по qj также является функцией от обобщенных координат q1, q2, ..., qS и времени t. Рассмотрим теперь полную производную по времени от частной  rv : производной q j d dt r  rrv  s  2 rrv  2 rv q&m  .           q q q t q 1 m  m j j  j (23.11) Сравнив первые части формул (23.10) и (23.11), видим, что они одинаковы. Следовательно, одинаковы и левые части этих формул, т.е. r r Vv d rv   q j dt q j ( j  1, 2, ..., s ). (23.12) Формула (23.12) является вторым искомым вспомогательным соотношением. Рассмотрим теперь левую часть уравнения (23.7): r r r n n r rrv r rv dVv rv Q     v    mv av   mv     q  q dt  q v 1 v 1 v 1 m m m n u m r r d  rrv    d  r rv      mvVv    mvVv    . dt q dt q   v 1  m m       n Воспользовавшись вспомогательными соотношениями (23.9) и (23.12), получим   mvVv2   r r  ( ) 2 n  n  r Vv     mvVv    d  r Vv  d  u 2 Qm     mvVv         mvVv   . q&m  qm  v 1  dt  q&m  qm  2   v 1   dt        Поменяв порядок суммирования и вычисления производных, находим d Q  dt u m    n m vVv2     n m vVv2   &     ,  2 q v  1    q m  v 1 2   m mvVv2 или, обозначив  через кинетическую энергию системы T, получим 2 v 1 n  Qmu  d  T  T .   dt  q&m  qm (23.13) С учетом (23.13) система уравнений (23.7) принимает вид d  T  T  Qm   dt  q&m  qm (m = 1, 2, …, s). (23.14) Уравнения (23.14) называются уравнениями Лагранжа второго рода. Уравнения Лагранжа (23.14) содержат S + 1 функций, которыми являются кинетическая энергия T системы и обобщенные силы Q1, Q2, ..., Qs. Чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа (23.14), следует выразить эти функции через обобщенные координаты q1, q2, ... , qS и обобщенные скорости q&1 , q&2 , ..., q&s . Основные преимущества уравнений Лагранжа второго рода: 1) по форме уравнения (23.14) записывают одинаково в любой системе координат, и различие в выборе координат сказывается лишь на виде S + 1 функций, входящих в эти уравнения. Следовательно, уравнения Лагранжа второго рода ковариантные относительно любого точечного преобразования координат; 2) число уравнений (23.14) не зависит от количества материальных точек, входящих в систему, и от характера их движения, а определяется только числом S ее степеней свободы; 3) для материальной системы с идеальными связями (20.11) правые части уравнений Лагранжа (23.14) содержат только обобщенные активные силы, тем самым из рассмотрения исключаются реакции связей, которые, как правило, неизвестны. В математическом отношении уравнения (23.14) представляют собой систему S дифференциальных уравнений второго порядка. Нетрудно показать, что эта система может быть представлена в форме Коши, т. е. разрешена относительно старших производных. Для таких систем имеет место теорема о существовании и единственности решения. Из нее следует детерминированность движения материальной системы, как только заданы начальные условия движения, т. е. в начальный момент зафиксированы значения обобщенных координат и обобщенных скоростей: t  0, q1 (0)  q10 , q2 (0)  q20 , ..., qs (0)  qs0 , (23.15) q&1 (0)  q&, q&2 (0)  q&, ..., q&s (0)  q&. 1 2 s Решение основной задачи динамики заключается в интегрировании системы уравнений Лагранжа (23.14), т. е. в нахождении обобщенных координат q1, q2, ..., qS как функций времени t: q1  q1  t , c1 , c2 , ..., c2 s ,  , q2  q2  t , c1 , c2 , ..., c2 s ,  , ..................... qs  qs  t , c1 , c2 , ..., c2 s ,  . (23.16) В (23.16) c1, c2, ..., c2s – постоянные интегрирования, значения которых определяются по начальным условиям движения (23.15). Отметим, что рациональный выбор обобщенных координат q1, q2, ... , qS может существенно упростить конкретный вид уравнений Лагранжа (23.14) и тем самым облегчить процедуру интегрирования этой системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим случай, когда движение системы происходит в потенциальном поле и все действующие силы потенциальные. Для таких систем обобщенные силы являются потенциальными и определяются выражением (22.8) П (m  1, 2, ..., s ) . qm Поэтому уравнения Лагранжа (23.14) принимают вид: Qm   d  T  T П  0   dt  q&m  qm qm (m  1, 2, ..., s ) ,. (23.17) Поскольку потенциальная энергия системы П является функцией только обобщенных координат и времени П  П(q1 , q2 ,..., qS , t ) и не зависит от П  0 . Тогда уравнение обобщенных скоростей q&m (m  1, 2, ..., s ) , то q&m (23.17) можно записать в виде d  T П   T П        0 (m  1, 2, ..., s ) dt  q&m q&m   q q  или d  L  L  0 ( m  1, 2, ..., s ),   dt  q&m  qm (23.18) где L = T – П. (23.19) Функция L, равная разности кинетической и потенциальной энергий системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом системы. Функция Лагранжа является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени: L  L  qm , q&m , t  (m  1, 2, ..., s ) . Таким образом, в случае движения в потенциальных полях, уравнения Лагранжа имеют более простой вид (23.18) и содержат только одну функцию L, вид которой зависит от выбора системы координат. Принцип Гамильтона-Остроградского Часто в теоретической механике изучение движения материальной системы сводится к составлению и исследованию ее дифференциальных уравнений движения. Исходным при выводе уравнений Лагранжа второго рода (23.14) являлось рассмотрение мгновенного состояния системы и небольших возможных изменений этого состояния. То есть формировался подход от «дифференциальных принципов», какими, например, являются принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Такой метод не является единственно возможным при описании движения системы. Уравнение (23.14) можно получить и из других принципов, в которых рассматривается движение системы за конечный промежуток времени и небольшие виртуальные изменения движения в этом промежутке. Принципы такого рода известны как интегральные принципы. К ним, в частности, относится принцип Гамильтона-Остроградского. Для его изложения введем некоторые понятия. Рассмотрим движение голономной материальной системы с s степенями свободы, положение которой определяется обобщенными координата-ми q1, q2, ..., qs. Пространством конфигураций называется S-мерное пространство, каждая точка которого определяется заданием S чисел – обобщенных координат q1, q2, ..., qs. Любому положению системы соответствует точка конфигурационного пространства, называемая изображающей точкой. При движении системы изображающая точка описывает в пространстве конфигураций кривую – траекторию движения. Прямым путем изображающей точки называется геометрическое место ее действительных положений в S-мерном пространстве. Окольным путем называется геометрическое место воображаемых смещений положений прямого пути, причем смещения в начальный и конечный моменты времени должны равняться нулю. Движение системы по окольному пути начинается и оканчивается в те же моменты времени, что и её движение по прямому пути. В соответствии с этими определениями прямой путь изображающей точки параметрически представляется уравнениями qm  qm (t ) (m  1,2,..., S ) . (23.20) Окольные пути получаются из прямого при помощи возможных перемещений δq m и задаются уравнениями: q~m ( t )  q m ( t )  δq m ( m  1, 2 ,..., s ) , (23.21) где δqm  изохронные вариации обобщенных координат qm представляют собой любые бесконечно малые дифференцируемые функции, не нарушающие связей системы и подчиненные условиям δqm t t 0  0, δqm t t1 0 ( m  1, 2,...,s ) . (23.22) Здесь t0 и t1 – фиксированные, но произвольные начальный и конечный моменты времени, в промежутке между которыми рассматривается движение системы. Условия (23.22) называются условиями закрепленности концов окольных путей. Действием по Гамильтону за промежуток времени (t0, t1) называется величина J, определяемая выражением t1 J   Ldt (23.23) t0 где L – функция Лагранжа (23.19). Значение J определяется выбором S функций времени q1, q2, ..., qS, так как функция Лагранжа L системы является в общем случае функцией обобщенных координат qm, обобщенных скоростей qm и времени t. Одним из наиболее широко используемых интегральных вариационных принципов является принцип Гамильтона – Остроградского: действие по Гамильтону в истинном движении достигает стационарного значения в сравнении со значениями на всех близких движениях. Таким образом, из всех возможных движений изображающей точки от ее положения в момент t0 до ее положения в момент t1 истинным будет то движение, при котором функционал (23.23) имеет экстремум (минимум или максимум). Этот принцип применяется для изучения движения голономных систем, подчиненных идеальным, удерживающим стационарным связям и находящимся под действием потенциальных сил (консервативных систем). Согласно принципу Гамильтона–Остроградского, истинное движение материальной системы таково, что вариация действия по Гамильтону при фиксированных значениях t0 и t1 равна нулю, т. е. t1 δJ  δ L( q1 ,..., qS , q&1 ,..., q&S , t )dt  0 . (23.24) t0 При этом сравниваются движения, для которых выполняются условия закрепленности концов окольных путей (23.22). Покажем, что принцип Гамильтона–Остроградского вытекает из уравнения Лагранжа второго рода (23.18)для консервативной системы: d  L  L  0 (m  1, 2, ..., s ),   dt  q&m  qm (23.25) Для этого умножим каждое из уравнений (23.25) на вариацию соответствующей обобщенной координаты δqm , а затем полученные выражения сложим:  d  L  L      δqm  0 .     dt q q m1   m m S (23.26) Преобразуем первое слагаемое, стоящее в квадратных скобках, d воспользовавшись свойством  u  v   u& v  u  v&: dt  L d  L d  L  d  L d  L  δqm =  δqm   δqm   δq&m , (23.27)   δqm   & & & dt  q&m  dt  q&m  q dt dt  q  q m m   m  вследствие коммутативности операций варьирования и дифференцирования, т. е. d dq δqm  δ  δq&m . dt dt (23.28) С учетом (23.27) уравнение (23.26) принимает вид S  S L d  L L  δqm     δq&m    δqm  0.   & & dt q q q    m1 m1  m m  m1 m S (23.29) Поскольку функция Лагранжа является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени L  L( qm , q&m , t ) (m  1, 2, ..., S ) , то вычислив вариацию этой функции, получим S L L δL    δqm    δq&m . &  q  q m1 m1 m m S (23.30) Тогда с учетом (23.30) уравнение (23.29), умноженное на «1», запишем в виде  d  L q  δ  m0 &m m1 dt  q  S δL   или  d  S  L δL     δqm   0. dt  m1  q&m  (23.31) Проинтегрируем (23.31) по времени в пределах от t0 до t1:     d  S  L  δqm    dt  0.  t δL dt t  dt  &  q m  1 m      0  t1 t1 (23.32) Вследствие коммутативности операций интегрирования с постоянными пределами и варьирования, т. е. t1 t1 t0 t0  δL dt  δ L dt, уравнение (23.32) преобразуем к виду  S  L  δ L dt   d    δqm    0,  t0 t0  m1  q&m t1 t1 или t1 S L L  δqm    δqm  0. δ L dt   & &  q  q m m  1  1 m m t0 t t S 1 (23.33) Теперь воспользовавшись условием закрепленности концов окольных путей (23.22), находим t1 δ L dt  0 t0 или с учетом (23.23) δJ  0 , что и требовалось доказать. Можно показать, что механику консервативных систем можно построить исходя из принципа Гамильтона–Остроградского, как основного постулата, заменяющего законы Ньютона. Формулировка законов механики в виде принципа Гамильтона– Остроградского имеет определенные преимущества: этот принцип не зависит от координат, применяемых при составлении функции Лагранжа. Важным является также то, что этот принцип указывает путь, которому нужно следовать при описании с математической строгостью явно немеханических систем (например, в теории поля). При изучении движения материальной системы, находящейся под действием как потенциальных, так и непотенциальных сил, следует пользоваться интегральным принципом Гамильтона–Остроградского: при движении изображающей точки вдоль траектории действительного перемещения интеграл (23.34) равен нулю: t1 n    T  Q  q  dt  0 . m m t    1 m  (23.34) Следует отметить, что это уже не вариационная формулировка. Действительно, выделяя в обобщенных силах консервативные силы Qm   П  QmНП qm (m  1,2,..., n) , где QmНП – непотенциальная обобщенная сила, и учитывая, что П δqm , m1 qm n δП   поскольку П 0 q&m принцип Гамильтона-Остроградского (23.34) для неконсервативной системы можно записать в виде t1  T  П  A dt  0 , НП t0 n НП НП где A   Qm qm – возможная работа непотенциальных сил. Поскольку m1 L = T – П, то получим t1 t1  L dt   A НП t0 dt  0 . t0 Введя величину J * и учитывая определение (23.23), можно записать t1 J  J   AНП dt  0. * (23.35) t0 Выражение (23.35) утверждает только то, что величина J* на прямом пути равна нулю. Самого же функционала J* не существует. Поэтому принцип Гамильтона–Остроградского для неконсервативной системы называют интегральным принципом Гамильтона–Остроградского. Вариационным и интегральным принципами Гамильтона-–Остроградского пользуются при составлении дифференциальных уравнений движения материальных систем с распределенными параметрами, при выводе различных форм уравнений динамики (уравнений Лагранжа второго рода, а также при решении задач динамики приближенными методами). ЛЕКЦИЯ 24 МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ Рассмотрим колебания механической системы с S степенями свободы около положения устойчивого равновесия. Выберем начало отсчета обобщенных координат в положении равновесия, т. е. q1 = q2  ...  qS  0 . Для описания движения системы воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода d  T  T  QmП  QmR  Qm (t )   dt  q&m  qm П где Qm   П  qm ( m  1, 2, ..., s) , (24.1)  обобщенная потенциальная (восстанавливающая) сила, QmR  обобщенная сила сопротивления, Qm (t )  обобщенная возмущающая сила. В большинстве случаев при описании колебаний механических систем уравнения (24.1) являются нелинейными и их интегрирование сопряжено с большими трудностями. При малых колебаниях механических систем около положения устойчивого равновесия, когда отклонения (возмущения) малы, величины обобщенных координат и обобщенных скоростей также малы. Поэтому уравнения (24.1) можно линелизовать, сохранив в них обобщенные координаты и обобщенные скорости только первого порядка малости (в первой степени), и тем самым значительно упростить процедуру интегрирования. Для составления уравнений Лагранжа второго рода получим выражения для кинетической энергии механической системы, состоящей из n материальных точек, как функции обобщенных координат и обобщенных скоростей. В случае стационарных связей радиус-векторы точек системы r r явно от времени не зависят, т. е. rк  rк ( q1 , q2 , ..., qS )  к  1, 2, ..., n  и для кинетической энергии системы получаем r r S S r r 1 n rк rк mкVк Vк   mк  q&i  q&j   2 к 1 i 1 qi к 1 j 1 q j r r rк rк  1 S S  n 1 S S     mк   q&&  aij q&& iq j  iq j , 2 i 1 j 1  к 1 qi q j  2 i 1 j 1 1 T 2 n 1 m V   к к 2 к 1 2 n (24.2) где введено обозначение r r rк rк aij   mк  .  q к 1 i q j n (24.3) Очевидно, что коэффициенты aij , зависящие от обобщенных координат, являются симметричными: aij  a ji . В случае движения абсолютно твердого тела коэффициенты aij соответствуют при поступательном движении массе тела, а при вращательном движении  моменту инерции тела относительно оси вращения. Поэтому коэффициенты aij , характеризующие меру инертности механической системы, называются обобщенными коэффициентами инерции или обобщенными массами. Разложим коэффициенты aij в ряды Маклорена в окрестности положения равновесия по малым отклонениям qk: 2  aij  1 S S   aij  aij   aij      qk ql  ... .  qk    2 k 1 l 1  qk ql 0 k 1  qk  0 S (24.4) Здесь и ниже индексом «0» отмечены значения производных от функций, вычисленные в положении устойчивого равновесия при q1 = 0, q2 = 0, ..., qs = 0. Подставляя (24.4) в (24.2) и учитывая, что рассматриваются малые колебания, для получения линеаризованного уравнения (24.1) ограничимся в выражении кинетической энергии только слагаемыми не выше второго порядка малости (второй степени) по обобщенным координатам и обобщенным скоростям, так как в уравнении (24.1) Т стоит под знаками первых производных по qm и q&m . Тогда получим 1 S S T    aij 0 q&& iq j . 2 i 1 j 1 (24.5) Следовательно, в случае малых колебаний, кинетическая энергия механической системы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей. Здесь обобщенные коэффициенты инерции a  ij 0 являются постоянными числами, которые ниже будем обозначать aij . Отметим, что квадратичная форма (24.5) является невырожденной, т. е. определитель, составленный из коэффициентов aij , отличен от нуля: при любых q1 , q2 , ..., qS det aij S i , j =1  0 . Поэтому квадратичная форма (2.5) является определенно положительной T  0 , причем T  0 , только если все обобщенные скорости одновременно равны нулю. Вычислим производные от кинетической энергии (24.5), входящие в уравнение Лагранжа второго рода (24.1), получим  T  1 S S && a q q    ij i j  = q&m q&m  2 i 1 j 1  S . 1 S S 1 S S =  aij δ mi q&j +  aij δ mj q&i   amj q&j 2 i 1 j 1 2 i 1 j 1 j 1 (24.6) Здесь использовалось свойство симметрии обобщенных коэффициентов инерции aij и символ Кронекера 1, если m  i, δ mi   0, если m  i; (24.7) S d  T  d S &j ;     amj q&j   amj q& dt  q&m  dt j 1 j 1 (24.8) T  0. qm (24.9) Предполагая, что механическая система движется в стационарном потенциальном поле, разложим потенциальную энергию системы П ( q1 , q2 , ..., qS ) в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия q10 = q20  ...  qS0  0 по степеням обобщенных координат (малым отклонениям от этого положения):  П  1 S S   2П  П  П 0, 0, ..., 0     qi q j  ... .  qi    2 i 1 j 1  qi q j  i 1  qi 0 S (24.10) Поскольку потенциальная энергия П определяется с точностью до аддитивной константы, то без ограничения общности можно выбрать начало ее отсчета в положении равновесия, т. е. П(0, 0, ..., 0)  0 . Первая сумма в (24.10) тоже равна нулю, так как в положении равновесия все обобщенные силы равны нулю: Q  П m 0  П     0  q  m 0 ( m  1, 2, ..., s ) . Учитывая, что рассматриваются малые колебания и так как потенциальная энергия системы П входит в уравнение (24.1) под знаками первых производных по qm , то для получения линеаризованного вида уравнения (24.1) ограничимся в (24.10) только слагаемыми не выше второго порядка малости (второй степени) по обобщенным координатам. В этом случае выражение (24.10) принимает вид П  1 S S  cij qi q j , 2 i 1 j 1 (24.11) где постоянные коэффициенты   2П  cij    q q   i j 0 называются обобщенными коэффициентами жесткости. Будем считать, что квадратичная форма (24.11) является определенно положительной, тогда согласно критерию Сильвестера главные диагональные миноры матрицы cij квадратичной формы должны быть положительными, т. е. 1  c11  0, 2  c11c12 c21c22 c11c12 ...c1S c11c12c13  0,  2  c21c22 c23  0, c31c32 c33 2  c21c22 ...c2 S .............. cS 1cS 2 ...cSS  0. В этом случае при q1=0, q2=0, ..., qs=0 потенциальная энергия П будет иметь локальный минимум, и согласно теоремы Лагранжа-Дирихле равновесие консервативной системы будет устойчивым. Следовательно, в случае малых колебаний потенциальная энергия системы является положительно определенной квадратичной формой обобщенных координат. Тогда обобщенная потенциальная сила равна QmП    П  1 S S =   cij qi q j  = qm qm  2 i 1 j 1  S 1 S S 1 S S =   cij δmi q j   cij δ mj qi   cmj q j 2 i 1 j 1 2 i 1 j 1 j 1 где использовалось (24.7) и коэффициентов жесткости cij  c ji . свойство (24.12) ( m  1, 2, ..., s), симметрии обобщенных R Рассмотрим определение обобщенной силы сопротивления Qm . Пусть на точки механической системы действуют силы линейно-вязкого сопротивления, т. е. сопротивления пропорционального первым степеням их скоростей: r r Rк  bкVк (к  1, 2, ..., n) , (24.13) что соответствует малым скоростям. Согласно определению (23.4) для обобщенной силы найдем выражение R для обобщенной силы сопротивления Qm : n r R rrк r rrк Q   Fк    bкVк  =  q  q к 1 к 1 m m R m n Vк2 r  n n r Vк 2 = =   bкVк  =   bк  q&m q&m к 1 к 1 (24.14)  1 n R  bкVк2    = ,   & q q&m  2 к 1   m 1 n bкVк2 .  2 к 1 Для склярономной системы в потенциальном стационарном поле диссипативная функция Рэлея может быть выражена через полную энергию Е = Т + П механической системы в виде равенства где введена диссипативная функция Рэлея R  dE  2 R , dt которое означает, что удвоенная функция Рэлея равна скорости убывания полной энергии в диссипативной системе. По аналогии с кинетической энергией Т системы выразив функцию Рэлея R через обобщенные скорости, разложив ее в ряд в окрестности положения равновесия и отбросив члены выше второго порядка малости, получим 1 S S R    bij  q&& q 0 i j . 2 i 1 j 1 Постоянные коэффициенты b  ij 0 (24.15) называются приведенными коэффициентами сопротивления, которые ниже будем обозначать bij . Подставляя (24.15) в (24.14), получим выражение для обобщенной R силы сопротивления Qm , входящее в линеаризованное уравнение Лагранжа (24.1), аналогичное (24.6) QmR   S R   bmj q&j . q&m j 1 (24.16) Важную категорию образуют возмущающие силы  внешнего происхождения, описываемые заданными функциями времени и не зависящие от движения системы. Обобщенная возмущающая сила Qm (t ) определяется по формуле Qm (t )  δAm (t ) , δqm (24.17) где δAm (t )  возможная работа возмущающих сил системы на возможном перемещении системы при δqm  0 . В этом параграфе при определении обобщенных возмущающих сил Qm (t ) ограничимся случаем, когда на механическую систему действуют только гармонические возмущения. Тогда обобщенные возмущающие силы изменяются во времени по закону Qm (t )  H m sin( pt  δ m ) (m  1, 2, ..., s ) (24.18) т. е. силы Qm (t ) имеют одинаковые частоты р, но различные достаточно малые амплитуды H m и начальные фазы δm . С учетом (24.8), (24.9), (24.12), (24.16) и (24.18) линеаризованное уравнение Лагранжа (24.1) принимает вид S a j 1 mj S S j 1 j 1 &j   cmj q j   bmj q&j  H m sin( pt  δm ) q& ( m  1, 2, ..., s) или S  a j 1 mj &j  bmj q&j  cmj q j   H m sin( pt  δm ) q& (m  1, 2, ..., s) . (24.19) Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (24.19) можно представить в векторно-матричной форме ˆ& ˆ  Hˆ , ˆ & Cq & Bq Aq (24.20) где введены обозначения: q  q j  вектор-столбец обобщенных координат, Aˆ  aij  квадратная матрица обобщенных коэффициентов инерции, Bˆ  b  квадратная матрица приведенных коэффициентов сопротивления, ij Cˆ  cij  квадратная матрица обобщенных коэффициентов жесткости, Hˆ  H m sin( pt  δ m )  вектор-столбец возмущающих сил. В зависимости от действующих на механическую систему сил различают три вида колебательных движений: 1) собственные (гармонические) колебания, происходящие под действием только потенциальных (восстанавливающих) сил, затухающие колебания, происходящие под действием 2) потенциальных сил и сил линейно-вязкого сопротивления среды, 3) вынужденные колебания, когда кроме потенциальных сил и сил сопротивления среды, действуют возмущающие силы, зависящие от времени. Свободные колебания механической системы с одной степенью свободы При изучении данного вида колебаний будем исходить из уравнения Лагранжа второго рода (24.1), которое при S = 1 имеет вид d T T П ( )   QR . dt q& q q (24.21) В этом случае кинетическая энергия Т (24.5) системы определяется зависимостью 1 T  аq&2 , 2 а потенциальная энергия (24.11)  1 П  сq 2 , 2 где а и с  соответственно обобщенная масса системы и обобщенный коэффициент жесткости. Обобщенная сила вязкого трения QR   R ; q& 1 2 где диссипативная функция рассеяния Рэлея R  bq& ; b  обобщенный 2 коэффициент вязкости. Вычислив соответствующие производные, входящие в уравнение (24.1), получим уравнение (24.19) для S = 1 и в отсутствии возмущающих сил: & bq& cq  0 . aq& (24.22) Уравнение (24.22) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний при линейно-вязком сопротивлении. Если на механическую систему не действуют силы линейно-вязкого сопротивления, то уравнение (24.22) соответствует дифференциальному уравнению свободных колебаний системы: & cq  0 aq& (24.23) или & k 2 q  0 , q& где k  c / a  собственная (круговая) частота свободных колебаний системы. Решение уравнения (24.23) при начальных условиях q(0)  q0 ; q&(0)  q&0 имеет вид: q q&0 sin kt  q0 cos kt. k (24.24) После несложных преобразований, решение (24.24) можно записать более наглядной форме: q  A  sin( kt   ). (24.25) Здесь амплитуда свободных колебаний А определяется выражением A  q02  ( q&0 2 ) ; k а начальная фаза колебаний   arctg kq0 . q&0 Зависимости (24.24) и (24.25) описывают свободные гармонические колебания механической системы около положения устойчивого равновесия. Величина Т, определяемая выражением T 2 a  2 , k c является периодом свободных колебаний. Теперь вернемся к уравнению (24.22). Разделим его на коэффициент а, обозначим отношения b / a  2h, c / a  k 2 и запишем уравнение (24.22) в форме & x& 2hx& k 2 x  0 . (24.26) В зависимости от соотношений между k и h общее решение уравнения (24.26) имеет разный характер. Если сопротивление мало (k > h), т. е. значение коэффициента вязкости b будет удовлетворять условию b  2 ac, то механическая система будет совершать затухающие колебания около положения устойчивого равновесия q  0 . В этом случае решение уравнения (24.26) следует искать в виде q  e  ht (c1 sin k1t  c2 cos k1t ), (24.27) где k1  k 2  h 2  круговая частота затухающих колебаний. Постоянные интегрирования с1 и с2 с учетом начальных условий движения q(0)  q0 , q&(0)  q&0 определяются выражениями q&  hq0 c1  0 ; c2  q0 . k1 После преобразования решения (24.27) в форму одночлена, получим q  Be  ht  sin( k1t  ). (24.28) Колебания, происходящие по закону (24.8), называются затухающими колебаниями механической системы. Коэффициент В в (24.28) равен ( q&0  hq0 )2 B  q02 , 2 2 k h а начальная фаза  q k 2  h2   arctg  0 2  q&0  hq0   .   Уравнение (24.28) показывает, что в рассматриваемом случае движение системы имеет гармонический характер с убывающей во времени по экспоненциальному закону величиной отклонения от положения равновесия. Эту величину Be  ht называют амплитудой затухающих колебаний. Количественной мерой быстроты затухания (убывания амплитуды) колебаний механической системы является логарифмический декремент, который определяется выражением   hT  h  2 k h 2 2  b  2 4ac  b 2 . (24.29) Для наглядного представления о характере колебаний механической системы удобно использовать понятие фазовой плоскости. Фазовая плоскость представляет собой плоскость, образованную прямоугольной системой координат, в которой по осям откладываются обобщенная координата и обобщенная скорость. В этом случае любое состояние механической системы определяется точкой фазовой плоскости с координатами (q, q), которая называется изображающей точкой. При движении механической системы эта точка описывает на фазовой плоскости кривую. Геометрическое место положений изображающей точки на фазовой плоскости называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий для всех возможных случаев движения системы называется фазовой диаграммой. Для случая свободных гармонических колебаний системы, ее фазовая траектория имеет форму эллипса; для затухающих колебаний фазовая траектория представляет собой логарифмическую спираль, накручивающуюся на начало координат, которое называется устойчивым фокусом. ЛЕКЦИЯ 25 Свободные колебания механической системы с двумя степенями свободы Уравнения Лагранжа второго рода (24.1) для системы с двумя степенями свободы, находящейся под действием только потенциальных (восстанавливающих) сил, запишутся в виде T П  d T    ( ) ;  dt q& q  q  1 1 1   d ( T )  T   П . q2  dt q&2 q2 (25.1) Согласно (24.5) и (24.11) кинетическая и потенциальная энергии системы являются квадратичными формами обобщенных скоростей и обобщенных координат соответственно и определяются выражениями: T  a11  q&12  2a12  q&1  q&2  a22  q&22 , П  c11  q12  2c12  q1  q2  c22  q22 . Здесь коэффициенты а11, а12, а22 и с11, с12, с22 по-прежнему имеют смысл обобщенных масс и обобщенных коэффициентов жесткости. Вычислим производные от кинетической энергии и потенциальной энергии, входящие в (25.1), и подставим найденные выражения в эти уравнения. После не сложных преобразований получим уравнения (24.19) в отсутствие сопротивления и возмущающих сил: & & & a11  q& 1  a12  q2  c11  q1  c12 q2  0;  & & & a21  q& 1  a22  q2  c21  q1  c22 q2  0. (25.2) Уравнения (25.2) называются дифференциальными уравнениями свободных колебаний механической системы с двумя степенями свободы. В случае малых колебаний механической системы около положения её устойчивого состояния равновесия ( q1  q2  0 ) решение уравнений (25.2) будем искать в виде q1  A sin( kt   ), q2  B sin(kt   ), (25.3) где А, В  амплитуды колебаний, k  круговая частота колебаний, α  начальная фаза колебаний являются неизвестными постоянными величинами. Подставим решение (25.3) в исходные дифференциальные уравнения движения (25.2) и сгруппируем слагаемые: (с11  a11k 2 ) A  (с12  a12k 2 ) B  sin( kt   )  0; (с21  a21k 2 ) A  (с22  a22k 2 ) B  sin( kt   )  0. В общем случае sin( kt  )  0 . Следовательно, должны выполняться равенства: (с11  a11k 2 ) A  (с12  a12k 2 ) B  0;  2 2 (с21  a21k ) A  (c22  a22k ) B  0. (25.4) Эти алгебраические линейные однородные уравнения относительно А и В должны иметь ненулевое решение ( q1  q2  0 соответствует покою, а не движению). Поэтому определитель системы (25.4) должен равняться нулю: c11  a11k 2 c12  a12k 2 c21  a21k 2 c22  a22k 2 0. Раскрывая его, получим (c11  a11k 2 )(c22  a22k 2 )  (c12  a12k 2 )2  0. (25.5) Уравнение (25.5) называется уравнением частот, или вековым уравнением. 2 2 Корни k1 и k 2 этого уравнения вещественные и положительные. Это доказывается математически, но может быть обосновано и тем, что если k1  k12 и k 2  k 22 не будут вещественными, то система дифференциальных уравнений (25.2) не будет иметь решения вида (25.3), что для механической системы, находящейся в положении устойчивого равновесия не возможно, так как после малых возмущений она должна двигаться около положения q1  q2  0 . Каждому корню k1 и k 2 будет отвечать свое частное решение (25.3), причем каждой частоте k1 и k 2 соответствуют свои значения А, В и . Поэтому, определив из (25.5) k1 и k 2 , получим две совокупности частных решений вида (25.3): q1(1)  A1 sin( k1t  1 ), q2(1)  B1 sin( k1t  1 ), q1(2)  A2 sin( k2t   2 ), q2(2)  B2 sin( k2t   2 ). (25.6) Из уравнений (25.4) следует, что для каждой частоты ki амплитуды Ai и Bi ( i  1, 2 ) связаны друг с другом. Для записи этой связи можно воспользоваться любым из уравнений (25.4): B1 c11  a11k12 c21  a21k12    1 , A1 c12  a12k12 c22  a22k12 B2 c a k c a k   11   21  2 . A2 c12  a k c22  a k 2 11 2 2 12 2 2 21 2 2 22 2 (25.7) т. е. B1  1 A1 , а B2   2 A2 . Тогда частные решения (25.6) принимают вид: q1(1)  A1 sin(k1t  1 ), q2(1)  1 A1 sin(k1t  1 ), (25.8) ( 2) 1 q  A2 sin( k2t   2 ), ( 2) 2 q   2 A2 sin(k2t   2 ). Колебания, определяемые уравнениями (25.8), называются главными колебаниями, а их частоты k1 и k 2  собственными частотами системы. Колебание с частотой k1 (всегда меньшей) называют первым главным колебанием, а с частотой k 2  вторым главным колебанием. Числа 1 и 2 , определяющие отношения амплитуд (или обобщенных координат q2 / q1 ) в каждом из этих колебаний, называются коэффициентами формы. Эти коэффициенты показывают во сколько раз амплитуда соответствующего главного колебания одной из обобщенных координат больше (или меньше) амплитуды другой обобщенной координаты. Поскольку частные решения (1.37) являются линейно независимыми, то общее решение системы дифференциальных уравнений (25.2) будет равно их линейной комбинацией: q1  q11  q12  A1 sin(k1t  1 )  A2 sin(k2t   2 ), (25.9) q2  q  q  1 A1 sin(k1t  1 )  2 A2 sin( k2t   2 ). 1 2 2 2 Теперь найдем постоянные интегрирования А1, А2, 1 , и  2 . Для этого в общем виде запишем начальные условия движения системы t  0, q1 (0)  q10 , q&1 (0)  q&10 , ; (25.10) q2 (0)  q20 , q&2 (0)  q&20 . Вычислим обобщенные скорости, соответствующие обобщенным координатам (25.9): q&1  k1 A1 cos( k1t  1 )  k2 A2 cos( k2t   2 ), q&2  k11 A1 cos( k1t  1 )  k2 2 A2 cos( k2t   2 ). (25.11) Подставляя начальные условия (25.10) в (25.9) и (25.11), получаем: q10  A1 sin 1  A2 sin  2 , q20  1 A1 sin 1   2 A2 sin  2 , q&10  k1 A1 cos 1  k2 A2 cos  2 , q&20  k11 A1 cos 1  k2 2 A2 cos  2 . Решая эти уравнения, найдем амплитуды и начальные фазы А1, А2, α1, α2: 1 ( q&20   2 q&10 ) 2 2 ( q20   2 q10 )  , A1  1   2 k12 1 ( q&20  1q&10 ) 2 2 A2  ( q20  1q10 )  ,  2  1 k22 (25.12)  q   2 q10  1  arctg  k1 20 , & & q q   20 2 10    q  q   2  arctg  k 2 20 1 10  .  q&20  1q&10  Проведенный анализ показывает, что движения системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия слагаются из двух независимых колебаний, которые называются собственными формами колебаний с соответствующей собственной частотой (k1 или k2). Коэффициенты форм 1 и  2 в совокупности описывают конфигурацию системы при наибольшем ее отклонении от положения равновесия в процессе свободных колебаний с соответствующей собственной частотой. Из (25.8) видно, что координаты q1 и q2 в каждом главном колебании изменяются по гармоническому закону, имея одинаковые частоты и фазы: т. е. обобщенные координаты одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений; причем обобщенные координаты в каждом главном колебании находятся в постоянном отношении (25.7) не зависящем от начальных условий движения. Собственные частоты k1 и k 2 , а также коэффициенты формы 1 и 2 являются основными параметрами, характеризующими малые колебания данной системы с двумя степенями свободы. Следовательно, конфигурация системы и коэффициенты форм зависят только от параметров рассматриваемой механической системы. Амплитуды и начальные фазы определяются как параметрами данной механической системы, так и начальными условиями ее движения. ЛЕКЦИЯ 26 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА Основное уравнение удара При движении тела под действием обычных сил, рассматривавшихся до сих пор, скорости точек тела изменяются непрерывно, т. е. каждому бесконечно малому промежутку времени соответствует бесконечно малое приращение скорости. Действительно, если импульс любой силы Fk за ср ср промежуток времени  представить в виде Fк  τ , где Fк  среднее значение этой силы за время , то теорема об изменении количества движения точки, r на которую действуют силы Fк , дает r r m(V1 V0 )   Fkсрτ . Отсюда видно, что когда время  бесконечно мало (стремится к нулю), r r r то при обычных силах и приращение скорости V  V1  V0 будет тоже величиной бесконечно малой (стремящейся к нулю). Однако если в числе действующих сил будут очень большие силы (порядка 1/), то приращение скорости за малый промежуток времени  окажется величиной конечной. Явление, при котором скорости точек тела за очень малый (близкий к нулю) промежуток времени  изменяются на конечную величину, называется ударом. Силы, при действии которых происходит удар, будем называть ударными силами Fуд . Промежуток времени , в течение которого происходит удар, назовем временем удара. Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются в значительных пределах, то в теории удара в качестве меры взаимодействия тел рассматривают не сами ударные силы, а их импульсы. Ударный импульс τ r r ср S уд   Fуд dt  Fуд τ r r S  S является величиной конечной (ниже уд ). Импульсы неударных сил за время  будут величинами очень малыми и ими практически можно пренебречь. r V, а Будем в дальнейшем обозначать скорость точки в начале удара r скорость в конце удара u . Тогда теорема об изменении количества движения точки при ударе примет вид r r r m(u  V )   S к . (26.1) т. е. изменение количества движения материальной точки за время удара равно сумме действующих на точку ударных импульсов. Уравнение (26.1) является основным уравнением теории удара и играет в теории удара такую же роль, как основной закон динамики ma  F при изучении движений точки под действием неударных сил. В заключение отметим, что перемещение точки за время удара будет r ср V  , т. е. величине очень малой, которой практически можно равно пренебречь. Итак, из всех полученных результатов вытекает следующее: 1) действием неударных сил (таких, например, как сила тяжести) за время удара можно пренебречь; 2) перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь и считать тело во время удара неподвижным; 3) изменения скоростей точек тела за время удара определяются основным уравнением теории удара (26.1). Общие теоремы теории удара Рассмотрим, какой вид принимают общие теоремы динамики для системы материальных точек при ударе. 1. Теорема об изменении количества движения системы при ударе. Уравнение (15.23), сохраняет свой вид и для случая удара. Но так как импульсами обычных сил при ударе пренебрегают, то в правой части останутся только ударные импульсы. Следовательно, при ударе n r r r Q1  Q0   S ке , (26.2) к 1 т. е. изменение количества движения системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему. В проекциях на любую координатную ось х уравнение (26.2) дает n Q1x  Q0 x   Sкxе . (26.3) к 1 Если геометрическая сумма всех внешних ударных импульсов равна нулю, то, как видно из уравнения (26.2), количество движения системы за время удара не изменяется. Следовательно, внутренние ударные импульсы не могут изменить количества движения всей системы. 2. Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе. Эта теорема принимает для случая удара вид, несколько отличный от (16.14); объясняется это тем, что точки системы за время удара не перемещаются. Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Обозначим равнодействующую внешних ударных импульсов, действующих на точку rе S с массой mk, через к , а равнодействующую действующих на ту же точку r внутренних ударных импульсов  через S кi . Тогда по уравнению (26.1) будет r r r r mк (uк  Vк )  Sке  Sкi или r r r r mк uк  mкVк  Sке  Sкi . Входящие в это равенство векторы приложены к точке, которая, как было указано, за время удара остается неподвижной. Тогда, беря моменты этих векторов относительно какого-нибудь центра О, по теореме Вариньона, справедливой для любых векторных величин, найдем, что r r r r r r r r mO (mк uк )  mO ( mкVк )  mO ( Sке )  mO ( Sкi ) . Составляя такие равенства для всех точек системы и складывая их почленно, получим n n n r r r r rе r ri r m ( m u )  m ( m V )  m ( S )  m  O к к  O к к  O к  O ( Sк ) . n к 1 к 1 к 1 к 1 Суммы, стоящие слева, представляют собой главные моменты количеств движения системы относительно центра О в конце и в начале r r удара, которые обозначим K1 и K0 . Стоящая справа сумма моментов внутренних ударных импульсов по свойству внутренних сил равна нулю. Окончательно находим n r r r rе K1  K 0   mO ( Sк ) . к 1 (26.4) т. е. изменение за время удара главного момента количеств движения системы относительно какого-нибудь центра равно сумме моментов относительно того же центра всех действующих на систему внешних ударных импульсов. В проекциях на любую ось х равенство (26.4) дает r K1x  K 0 x   m x ( Sке ) . n к 1 (26.5) Из полученных уравнений следует, что если сумма моментов внешних ударных импульсов относительно какого-нибудь центра (или оси) равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра (или оси) за время удара не изменяется. Следовательно, внутренние ударные импульсы не могут изменить главный момент количества движения системы. Коэффициент восстановления при ударе Значение ударного импульса, появляющегося при соударении двух тел, зависит не только от их масс и скоростей до удара, но и от упругих свойств соударяющихся тел; эти свойства при ударе характеризуют величиной, называемой коэффициентом восстановления. Рассмотрим шар, падающий вертикально на неподвижную горизонтальную жесткую плиту (рис. 26.1). Для прямого удара, который при этом произойдет, можно различать две стадии. В течение первой стадии скорости частиц шара, равные n в момент начала удара V (движение шара считаем S поступательным), убывают до нуля. Шар при этом u деформируется и вся его начальная кинетическая энергия C mV 2 / 2 переходит во внутреннюю потенциальную энергию деформированного тела. V Во второй стадии удара шар под действием внутренних сил (сил упругости) начинает восстанавливать свою форму; Рис. 26.1 при этом его внутренняя потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию движения частиц шара. В конце удара скорости частиц будут равны u, а кинетическая энергия шара mu 2 / 2 . Однако полностью механическая энергия шара при этом не восстанавливается, так как часть ее уходит на сообщение шару остаточных деформаций и его нагревание. Поэтому величина скорости u будет меньше V. Величина k, равная при прямом ударе тела о неподвижную преграду отношению модуля скорости тела в конце удара к модулю скорости в начале удара, называется коэффициентом восстановления при ударе: k = u/ V. (26.6) Значение коэффициента восстановления для разных тел определяется опытным путем. По данным опыта при изменении скорости V не в очень больших пределах величину k можно считать зависящей только от материала соударяющихся тел. В качестве предельных случаев рассматривают случай абсолютно упругого удара (k = 1), при котором кинетическая энергия тела после удара полностью восстанавливается, и случай абсолютно неупругого удара (k = 0), когда удар заканчивается в первой стадии и вся кинетическая энергия тела теряется на его деформацию и нагревание. Экспериментально величину k можно найти, если рассмотреть шар, свободно падающий на плиту с предварительно измеренной высоты H, и определить с H помощью стоящей рядом вертикальной рейки (рис. 26.2) h высоту его подъема h после удара. Тогда по формуле Галилея V  2 gH , u  2 gh и Рис. 26.2 k  u /V  h / H . Значение коэффициента восстановления для тел из различных материалов дается в соответствующих справочниках. В частности, можно считать при скоростях соударения порядка 3 м/с для удара дерева о дерево k  0,5; стали о сталь k  0,56; стекла о стекло k  0,94. Удар тела о неподвижную преграду Рассмотрим тело (шар) массой М, ударяющееся о неподвижную плиту. Действующей на тело ударной силой будет при этом реакция плиты; импульс этой силы за время удара обозначим S . Пусть нормаль к поверхности тела в точке его касания с плитой проходит через центр масс тела (для шара это r будет всегда). Такой удар тела называется центральным. Если скорость V центра масс тела в начале удара направлена по нормали п к плите, то удар будет прямым, в противном случае  косым. 1. Случай прямого удара. Составляя в этом случае уравнение (26.2) в r r r r проекции на нормаль п (см. рис. 26.1) и учитывая, что Q0  MV , а Q1  Mu получим M (un  Vn )  Sn . Но при прямом ударе un  u, Vn  V , Sn  S . Следовательно, M (u  V )  S . Второе уравнение, необходимое для решения задачи, дает соотношение (26.6), из которого u  kV . Из полученных уравнений, зная M, V, k, найдем неизвестные величины u и S. При этом S = M(1 + k)V. Как видим, ударный импульс будет тем больше, чем больше коэффициент восстановления k. На эту зависимость S от k и было указано в предыдущем параграфе. Чтобы определить среднюю величину ударной силы (реакции), надо дополнительно знать время удара , которое можно найти экспериментально. r 2. Случай косого удара. Пусть в этом случае скорость V центра масс тела в начале удара образует с нормалью к плите угол , а скорость u в конце удара  угол  (рис. 26.3). Тогда уравнение (26.2) в проекциях на касательную  и нормаль п даст: M (u  V )  0, M (un  Vn )  S . n  S  C u  V Рис. 26.3 Коэффициент восстановления в данном случае равен отношению модулей un и Vn , так как удар происходит только по направлению нормали к поверхности (влиянием трения пренебрегаем). Тогда с учетом знаков проекций получим un   kVn . В результате окончательно находим: u  V , un   kVn , S  M Vn (1  k ). Из полученных уравнений можно найти модуль и направление скорости в конце удара и ударный импульс, если величины M, V,  и k известны. В частности, из первого равенства, замечая, что V  Vn tg и u  un tg , получаем un tg  Vn tg , откуда k  un / Vn = tg / tg . Следовательно, при косом ударе отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения равно коэффициенту восстановления. Так как k  1, то   , т. е, угол падения всегда меньше угла отражения. Прямой центральный удар двух тел (удар шаров) При соударении двух тел удар называется прямым и центральным, когда общая нормаль к поверхностям тел в точке касания проходит через их центры масс и когда скорости центров масс в начале удара направлены по этой общей нормали. Таким, в частности, будет удар двух однородных шаров, центры которых до удара движутся вдоль одной и той же прямой. Пусть массы соударяющихся тел равны М1 и М2, скорости их центров масс в начале удара V1 и V2 (рис. 26.3, а), а в конце C1 V1 C2 V2 x удара u1 и u2 (рис. 26.3, б). Проведем через центры масс C1 и C2 координатную ось C1x, 2 направленную всегда от C1 к C2. Тогда, 1 V a чтобы произошел удар, должно быть 1x > V2 x (иначе первое тело не догонит второе); кроме того, u1х ≤ u2х, так как ударившее тело C1 u1 C2 u2 x не может опередить ударяемое. Считая М1, М2, V1x , V2 x и k 2 1 известными, найдем u1х и u2х. Для этого б применим теорему об изменении количества движения, к соударяющимся телам, Рис. 26.3 рассматривая их как одну систему. Тогда rе ударные силы, действующие между телами, будут внутренними и  Sк  0 . В результате из уравнения (26.3) получим Q1х = Q0х или М1u1х + М2u2х = М1 V1x + М2 V2 x . (26.7) Второе уравнение найдем из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения скорости каждого из тел, а от того, насколько скорость ударяющего тела превышает скорость ударяемого, т. е. от разности V1x  V2 x . Поэтому при ударе двух тел, если учесть, что V1x > V2 x , и u1х ≤ u2х, получим: всегда u1x  u2 x u1x  u2 x   k= V1x  V2 x V1x  V2 x или u1x  u2 x   k (V1x  V2 x ) . (26.8) Система уравнений (26.7), (26.8) и позволяет решить поставленную задачу. Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, найдем, составив уравнение (26.3) для какого-нибудь одного из тел, например для первого. Тогда S1х = M1(u1х  V1 x ), S2х = S1х. Рассмотрим два предельных случая. 1. Абсолютно неупругий удар (k = 0). В этом случае из уравнений (26.8) и (26.7) находим u1x  u2 x  М 1V1x  М 2V2 x . М1  М 2 (26.9) Оба тела после удара движутся с одной и той же скоростью. Действующий на тела ударный импульс при этом равен S2 x   S1x  М 1М 2 (V1x  V2 x ). М1  М 2 2. Абсолютно упругий удар (k = 1). В этом случае из уравнений (26.7) и (26.8) получаем 2М 2  u  V  (V1x  V2 x ), 1x  1x М1  М 2   2М 1 u  V  (V1x  V2 x ). 2х  2 х М1  М 2 Действующий на тела ударный импульс при этом равен (26.10) S2 x   S1x  2 М 1М 2 (V1x  V2 x ). М1  М 2 Как видим, при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом. В частном случае, когда M1 = M2, получаем из уравнений (26.10) u1x  V2 x , u2 x  V1x ; таким образом, два тела одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями. Потеря кинетической энергии при неупругом ударе двух тел. Теорема Карно Из приведенных выше рассуждений следует, что при неупругом ударе происходит потеря кинетической энергии соударяющихся тел. Наибольшей эта потеря будет при абсолютно неупругом ударе. Подсчитаем, какую кинетическую энергию теряет система при абсолютно неупругом ударе двух тел. Считая, что соударяющиеся тела движутся поступательно, и обозначая их общую скорость после абсолютно неупругого удара через u, получим для кинетической энергии системы в начале и в конце удара значения: 2T0  М 1V12x  М 2V22x , 2T1  ( M 1  M 2 )ux2 . (26.11) Потерянная при ударе кинетическая энергия равна Т0  Т1. Представим эту разность в виде Т0  Т1 = Т0  2Т1 + Т1. (26.12) Так как из формулы (26.9) следует, что ( М 1  М 2 )ux  М 1V1x  М 2V2 x , то отсюда 2T1  ( M 1  M 2 )ux2  ( M 1v1x  M 2 v2 x )ux . (26.13) Подставляя в правую часть равенства (26.12) вместо Т0 и Т1 их значения из формул (26.11), а вместо 2Т1  правую часть выражения (2613), получим: 1 T0  T1  ( М 1V12x  М 2V22x  2 М 1V1x ux  2 М 2V2 x ux  М 1ux2  М 2ux2 ) 2 или T0  T1  1 1 М 1 (V1x  ux ) 2  М 2 (V2 x  ux ) 2 . 2 2 (26.14) Разности (V1x  ux ) и (V2 x  ux ) показывают, насколько уменьшилась при ударе скорость каждого из соударяющихся тел. Их можно назвать потерянными при ударе скоростями. Тогда из формулы (26.14) вытекает следующая теорема Карно: кинетическая энергия, потерянная системой тел при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями. Если удар не является абсолютно неупругим (k ≠ 0), то аналогичными преобразованиями можно найти, что кинетическая энергия, потерянная при ударе двух тел, определяется равенством T0  T1  1 k  1 1 2 2 М ( V u ) М ( V u )    x x x x 1 1 2 2  . 1  k  2 2 Рассмотрим частный случай абсолютно неупругого первоначально неподвижному телу. В этом случае V2 = 0 и T0  1 М 1V12 , 2 u удара по М 1V1 . М1  М 2 Тогда 1 1 M 12V12 М1 M 12V12 2 T1  ( М 1  M 2 )u    2 2 М1  M 2 М1  M 2 2 или T1  М1 T0 . М1  M 2 (26.15) Формула (26.15) показывает, какая энергия остается у системы после удара. Отметим два интересных предельных случая. 1) Масса ударяющего тела много больше массы ударяемого ( М 1 >> М 2 ). В этом случае можно считать М 1  M 2  М 1 , и формула (26.15) дает T1  T0 . Следовательно, хотя удар и является абсолютно неупругим, потеря кинетической энергии при ударе почти не происходит, и система после удара начнет двигаться почти с той же кинетической энергией, которая у нее была в начале удара. На практике такой результат нужно, очевидно, получать при забивании гвоздей, свай и т. п. Следовательно, в этом случае нужно, чтобы масса молотка была намного больше массы гвоздя. 2. Масса ударяемого тела много больше массы ударяющего ( М 2 >> М 1 ). В этом случае можно считать М 1 /  М 1  M 2   0 , и формула (26.15) дает Т 2  0. Таким образом, здесь при ударе почти вся кинетическая энергия расходуется на деформацию соударяющихся тел; по окончании удара тела можно считать неподвижными. Практически такой результат нужно, очевидно, получать при ковке, клепке и т. п. Следовательно, в этих случаях нужно, чтобы масса поковки вместе с наковальней (или масса заклепки вместе с поддержкой) была много болиде массы молота. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. М.: Наука, 1970. 240 с. Т. 1. 2. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. М.: Наука, 1970. 240 с. Т. 2. 3. Добронравов, В. В. Курс теоретической механики / В. В. Добронравов, Н. Н. Никитин, А. Л. Дворников. М.: Высш. шк., 1974. 528 с. 4. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики / С. М. Тарг. М.: Высш. шк., 1995. 416 с. 5. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. СПб.: Изд-во «Лань», 2004. – 768 с. 6. Валькова Т. А. Основы аналитической механики: Учеб. пособие. Красноярск, КГТУ, 1999. 160 с. 7. Валькова Т. А. Теоретическая механика: Курс лекций. Красноярск, КГТУ, 2005. 223 с.