Основы гидростатики.Закон Паскаля и Архимеда.

Лекция №3 ТЕМ А: ОСНОВ Ы ГИДР ОСТАТИКИ План лекции: 1 Закон Паскаля......................................................................................................................... 1 2 Эпюры гидростатического давления..................................................................................... 2 3 Сила давления жидкости на плоские поверхности. Центр давления................................... 3 4 Сила гидростатического давления жидкости на криволинейные поверхности. Тело давления .................................................................................................................................... 6 5 Закон Архимеда..................................................................................................................... 8 6 Контрольные вопросы к лекции .......................................................................................... 10 1 Закон Паскаля Выделим внутри покоящейся капельной жидкости, находящейся в равновесии в цилиндрическом резервуаре, несколько произвольных точек A; B; и C, расположенных на различных расстояниях от свободной поверхности hA; hB и hC. Поместим на свободную поверхность жидкости плотно притертый поршень и приложим к нему сверху силу Р (рисунок 3.1). Рисунок 3.1 – Иллюстрация к закону Паскаля В соответствии с основным уравнением гидростатики абсолютное давление в выделенных произвольных точках A; B и C; будет определяться p A  p0    hA p B  p0    hB pC  p0    hC Из приведенных зависимостей нетрудно заметить, что абсолютное давление в точках A; B и C будет различным, а внешнее давление (поверхностное, вызванное силой Р) будет одинаково p0  P , F (3.1) где F- площадь поверхности поршня. Из этого следует, что внешнее (поверхностное) давление, производимое на жидкость, заключенную в замкнутом сосуде, передается жидкостью во все точки без изменения. В этом и заключается смысл закона Паскаля, на котором основана работа целого ряда гидравлических устройств (гидравлических прессов и домкратов, насосов и гидромоторов объемного действия и т.д.) 2 Эпюры гидростатического давления Эпюрой гидростатического давления называется графическое изображение распределения давления вдоль какого-либо контура или поверхности (рисунок 3.2). Построение эпюры осуществляется с использованием основного уравнения гидростатики. Рисунок 3.2 – Эпюры абсолютного гидростатического давления Гидростатическое давление изменяется пропорционально глубине (в первой степени) погружения точки, т.е. по закону прямой. Поэтому для построения эпюры достаточно определить величину давления в двух точках (А и В), из этих точек провести нормали к смоченной поверхности (так как давление направлено перпендикулярно к площадке действия), на которых в масштабе отложить отрезки равные гидростатическим давлениям в этих точках. Соединив концы отрезков прямой линией, получим эпюру гидростатического давления. Если p0 = pат, то внешнее (поверхностное) давление в расчетах воздействия жидкости на твердые стенки не учитывают, так как оно с одинаковой силой воздействует на обе стороны стенки сосуда, в котором находится жидкость, и расчет ведут только по избыточному давлению (рисунок 3.3). A h gh B Рисунок 3.3 – Эпюры избыточного гидростатического давления 3 Сила давления жидкости на плоские поверхности. Центр давления Выделим на плоской боковой стенке резервуара (рисунок 3.4), наклоненной к горизонту под углом  , на некоторой глубине h элементарную площадку dω и определим действующую на нее элементарную силу dp. Рисунок 3.4 – Схема к определению силы давления жидкости на плоские стенки Для этой площадки допустимо считать, что избыточное давление во всех точках ее одинаково (ввиду малости площадки) и равно p  gh    g  y  sin  (3.2) где y - координата, направленная вдоль боковой плоской стенки. Сила давления на элементарную площадку dω будет равна dP  p  d    g  y  sin   d . (3.3) Для нахождения полной силы, действующей на всю площадь боковой стенки ω, просуммируем элементарные силы dP по всей площади  , т.е. проинтегрируем уравнение (3.3) P   dp    g  sin    yd  (3.4)  Интеграл  yd в уравнении (3.4) представляет собой статический  момент площади  относительно оси ox , который равен  yd    yc (3.5)  где yc - координата центра тяжести плоской фигуры. Таким образом, P    g  sin     y    g  hc    pc   (3.6) где hc - глубина погружения в жидкость центра тяжести плоской стенки; pc - избыточное давление в центре тяжести плоской фигуры. Из уравнения (3.6) следует, что сила давления жидкости на плоскую боковую стенку равна произведению смоченной жидкостью площади стенки на гидростатическое давление в ее центре тяжести. Если на свободную поверхность жидкости действует давление отличное от атмосферного, то сила давления определяется по формулам P  (   g  hc  p M )   P  (   g  hc  p В )   (3.7) где pM –манометрическое давление на свободной поверхности жидкости; pВ – вакуумметрическое давление на свободной поверхности жидкости. Поскольку сила гидростатического давления векторная величина, кроме абсолютной величины силы давления на боковую стенку необходимо знать точку ее приложения – центр давления (рисунок 3.4). Предположим, что сила давления P приложена ниже центра тяжести плоской фигуры и находится на координате yD. Согласно теореме Вариньона о моменте равнодействующей силы, которая гласит – момент равнодействующей силы относительно какой- либо оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. Применительно к оси ox теорема Вариньона будет выглядеть так P  y D   dP  y (3.8) Заменив P и dP их значениями из формул (3.6) (3.3) и, упростив выражение (3.8), получим (3.9) yc    y D   y 2  d Интеграл в уравнении (3.9) представляет собой момент инерции плоской фигуры относительно оси ox , который может быть выражен через момент инерции относительно центральных осей плоской фигуры следующим образом (3.10) yc    y D   y 2  d  J  c  yc2   где JC - момент инерции плоской фигуры относительно центральных осей (берется из справочной литературы). Выразив yD из уравнения (3.10) получим зависимость для координаты точки приложения силы гидростатического давления жидкости на плоскую боковую стенку – центра давления (3.11) J y D  yc  C yc   Соответственно, глубина определяться из уравнения погружения центра давления будет (3.12) J C  sin 2  . hc   Из выражения (3.12) видно, что центр давления силы гидростатического давления жидкости на плоскую поверхность находится всегда ниже центра тяжести плоской фигуры, смоченной жидкостью (при отсутствии разрежения на свободной поверхности жидкости). Горизонтальная координата точки приложения силы гидростатического давления жидкости на плоскую поверхность находится на оси симметрии площади фигуры. В частном случае, когда   0 , то есть для горизонтальной плоской поверхности, расстояние от плоской поверхности до центра тяжести площади hc будет равно высоте жидкости в резервуаре Н, поэтому сила гидростатического давления на дно емкости будет определяться hD  hc  P    g  H  . (3.13) Из этого уравнения видно, что различные по форме сосуды, имеющие одинаковые площади днищ и заполненные одинаковой жидкостью на одну и ту же высоту, будут иметь одну и ту же силу гидростатического давления на дно, независимо от формы сосуда и количества находящейся в нем жидкости. Это явление получило название гидростатический парадокс. Что касается точки приложения силы гидростатического давления (центра давления) на горизонтальные, плоские поверхности, то он совпадает с центром тяжести площади фигуры. 4 Сила гидростатического давления жидкости на криволинейные поверхности. Тело давления В различных технических устройствах чаще встречаются криволинейные поверхности, контактирующие с жидкостью, в основном представляющие собой поверхности вращения (сфера, цилиндр и т.д.). Кроме того, плоские поверхности можно рассматривать как частный случай криволинейных стенок. Поэтому рассмотрение вопроса о силе гидростатического давления на криволинейные стенки представляет собой с практической точки зрения наибольший интерес. Рассмотрим резервуар (рисунок 3.5) с боковой стенкой цилиндрической формы, который заполнен капельной жидкостью, находящейся в равновесии под действием силы тяжести. Рисунок 3.5 – Схема к определению силы давления жидкости на криволинейные поверхности Определим силу гидростатического давления P, действующую на цилиндрическую стенку площадью ω со стороны жидкости. Выделим на стенке на глубине z от свободной поверхности элементарную площадку dω, след которой в плоскости рисунка mn. Элементарную площадку dω вследствие ее малости можно представить в виде плоскости. Сила гидростатического давления жидкости dP на элементарную поверхность dω определится из выражения dP  p  d    g  z  d (3.14) Разложим силу dP на горизонтальную и вертикальную составляющие dPx и dPz dPx  p  d  cos     g  z  d  cos     g  z  d z (3.15) dPz  p  d  sin     g  z  d  sin     g  z  d x (3.16) где ωz- проекция площади ω на вертикальную плоскость; ωx- проекция площади ω на горизонтальную плоскость. Просуммируем раздельно вертикальную Pz и горизонтальную Px составляющую силы P по площадям ωz и ωx Px   dPx    g  z  d z    g  hc z z Pz   dPz    g  z  d x    g  dW    g  W x где  z  d z (3.17) z x (3.18) W =hcωz - статический момент проекции криволинейной стенки на z вертикальную плоскость; dW- элементарный объем жидкости над элементарной поверхностью dωx; W- воображаемый или реальный объем жидкости над криволинейной стенкой площадью ω до плоскости свободной поверхности жидкости, этот объем называется телом давления. Горизонтальная составляющая силы гидростатического давления на криволинейную поверхность Px равна силе давления жидкости на ее вертикальную проекцию. Вертикальная составляющая силы гидростатического давления на криволинейную стенку Pz равна весу жидкости в объеме W тела давления. Тело давления может быть реальным и воображаемым (фиктивным). Тело давления считается реальным, если его объем, прилегающий к стенке, заполнен жидкостью. Сила Pz в этом случае направлена вниз. Тело давления считается фиктивным, если его объем, прилегающий к стенке, не заполнен жидкостью. Сила Pz в этом случае направлена вверх. На рисунке 3.6 рассмотрена цилиндрическая поверхность с кривизной по координатам ox и oz, вдоль которых присутствуют составляющие результирующей силы Px и Pz . Угол наклона результирующей силы P к горизонту находится из выражения tg  Pz P или   arctg z Px Px (3.19) Рисунок 3.6 – Сила гидростатического давления, действующая на криволинейную поверхность Результирующая сила гидростатического давления на цилиндрическую поверхность P определяется по формуле P  Px2  Pz2 . (3.20) Если кривизна поверхности имеется по направлению всех трех координат, то результирующая сила гидростатического давления P на криволинейную поверхность определяется путем сложения ее составляющих Px , Py , Pz P  Px2  Py2  Pz2 . (3.21) 5 Закон Архимеда Рассмотрим погруженное в жидкость твердое тело произвольной формы, объем которого W (рисунок 3.7). На тело со стороны жидкости будет действовать результирующая сила P  Px2  Py2  Pz2 Нетрудно показать, учитывая зависимость (2.53), что результирующие горизонтальных составляющих сил Px и Py будут равны нулю, так как на каждую из частей поверхности погруженного в жидкость твердого тела будут действовать равные и противоположно направленные горизонтальные силы. Результирующая вертикальная составляющая силы гидростатического давления жидкости на твердое тело Pа, исходя из уравнения (3.18), будет равна Pa    g  W где W – объем тела давления, равный в данном случае объему погруженного в жидкость тела и являющегося фиктивным. Z E D P’’z - + P’’y F P’x P’’x - A C P’y B P’z X Y Рисунок 3.7 – Иллюстрация к закону Архимеда Таким образом, на погруженное в жидкость тело действует архимедова сила Pа, направленная вертикально вверх и равная силе тяжести жидкости в объеме погруженной части тела. В зависимости от соотношения веса твердого тела G, приложенного к его центру тяжести и направленного вниз, и архимедовой силы Pа, приложенной к центру объемного водоизмещения и направленной вверх, тело может находиться в трех характерных состояниях. 1. Если G > Pа, то есть сила тяжести больше архимедовой силы, их результирующая будет направлена вниз, следовательно, тело тонет. 2. Если G = Pа, их результирующая равна нулю, следовательно, тело будет находиться в жидкости в состоянии безразличного равновесия (имитация искусственной невесомости). 3. Если G < Pа, результирующая сил направлена вверх, тело всплывает. В этом случае при выходе части тела из жидкости архимедова сила уменьшается и в определенный момент времени наступит равновесие G = Pа. Уменьшенная архимедова сила Pа' находится по формуле Pа' =ρg Vп (3.22) где Vп – объем твердого тела, погруженный под уровень жидкости. Учитывая равенство силы тяжести G и уменьшенной архимедовой силы Pа, объем погруженной части твердого тела определится из выражения Vп =  тв W ж (3.23) где ρтв и ρж – плотности твердого тела и жидкости, соответственно. Закон Архимеда широко применяется в технике – при расчете всевозможных плавающих средств, различных поплавковых устройств, при расчете гравитационных методов обогащения полезных ископаемых, расчете гравитационных отстойников твердых частиц и т.д. 6 Контрольные вопросы к лекции 1. Сформулируйте закон Паскаля 2. Что такое эпюра гидростатического давления? 3. В чем заключается гидростатический парадокс? 4. Как определить силу давления на плоскую поверхность? 5. Что такое центр давления и как он определяется? 6. В каком случае центр давления совпадает с центром тяжести плоской поверхности? 7. Как определить силу давления на криволинейную поверхность? 8. Что такое тело давления и как определить его объем? 9. В каком случае тело давления является положительным (отрицательным)? 10. Как определить направление вертикальной составляющей (Рz) силы гидростатического давления, действующей на криволинейную поверхность? 11. В чем заключается закон Архимеда?