Основы гидростатики

Лекция №2 ТЕМ А: ОСНОВ Ы ГИДР ОСТАТИКИ План лекции: 1 Силы, действующие в жидкости. Гидростатическое давление............................................ 1 2 Дифференциальные уравнения равновесия жидкости ......................................................... 2 3 Основное уравнение гидростатики ....................................................................................... 4 4 Манометрическое и вакуумметрическое давление .............................................................. 6 5 Поверхности равного давления ............................................................................................. 6 6 Контрольные вопросы к лекции .......................................................................................... 10 1 Силы, действующие в жидкости. Гидростатическое давление Силы, действующие в жидкости, подразделяются на два вида, поверхностные и массовые. Поверхностные силы действуют на поверхностях, отделяющих рассматриваемый объем от окружающей среды. К этой категории сил относятся силы давления, являющиеся нормальными к поверхностям их действия, и силы внутреннего трения, являющиеся касательными к поверхностям действия. Массовые силы действуют на каждую частицу рассматриваемого объема жидкости и поэтому пропорциональны его массе. К категории этих сил относятся силы тяжести и силы инерции. Массовые силы характеризуются ускорениями, которые они сообщают единице массы жидкости (согласно второму закона Ньютона). Гидростатическим давлением называется сила, действующая на единицу площади поверхности по нормали, ограничивающей бесконечно малый объем внутри покоящейся жидкости (первая производная силы по поверхности) p dP , d (2.1) где p – гидростатическое давление; dP – элементарная сила, действующая перпендикулярно элементарной площадке dω. В связи с тем, что касательные напряжения в покоящейся жидкости отсутствуют, гидростатическое давление является результатом действия нормальных сжимающих сил (поверхностных и массовых). Гидростатическое давление, это нормальные сжимающие напряжения в жидкости. Давление в точке покоящейся жидкости обладает двумя основными свойствами: 1 Давление в точке покоящейся жидкости, в соответствии с его определением, всегда нормально к поверхности, воспринимающей это давление. 2 Давление в точке покоящейся жидкости во всех направлениях одинаково по значению, т. е. в отличие от силы давления является скалярной величиной. Это объясняется тем, что через точку в покоящейся жидкости можно провести бесконечное множество плоскостей, для каждой из которых давление будет действовать по нормали к поверхности. 2 Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Рассмотрим некоторый бесконечно малый объем покоящейся жидкости в виде параллелепипеда с ребрами dx,dy,dz,параллельными произвольно выбранным в пространстве осями координат. Форма элементарного объема может быть любой, выбор параллелепипеда обусловлен только простотой дальнейших рассуждений. Отбросим мысленно окружающую параллелепипед жидкость, чтобы не нарушить равновесие жидкости. Заменим действие жидкости на грани параллелепипеда соответствующими поверхностными силами гидростатического давления (рисунок 2.1). Рисунок 2.1 – Иллюстрация к выводу уравнения Эйлера Допустим, что в точке, находящейся в центре тяжести выделенного объема, гидростатическое давление равно p , тогда давление на вертикальные грани площадью dydz будет определяться как: - на левую грань параллелепипеда pл = p - 1 p dx; 2 x (2.2) 1 p dx. 2 x (2.3) - на правую грань параллелепипеда pп = p + В пределах малости выделенного рассматриваемого объема покоящейся жидкости приемлемо допущение о линейном законе изменения давления вдоль координатных осей. Частная производная p показывает x изменение давления на единице длины вдоль координаты x. Тогда элементарные силы гидростатического давления на вертикальные грани левую и правую, площадью dydz каждая, будут равны 1 2 1 dPп =( p + 2 dPл =( p - (2.4) p dx) dydz x p dx) dydz x (2.5) Аналогичным образом можно найти элементарные силы, действующие на остальные четыре грани параллелепипеда. Кроме поверхностных сил, на выделенный элементарный параллелепипед действуют также массовые силы, результирующая которых в общем случае равна dF  j  dm  j    dx  dy  dz где j – результирующее ускорение массовых сил. Спроецируем результирующее ускорение массовых соответствующие оси и запишем выражение для j в виде (2.6) сил j2  X 2 Y 2  Z 2 j на (2.7) где X –проекция ускорения массовой силы на ось x; Y - проекция ускорения массовой силы на ось y; Z - проекция ускорения массовой силы на ось z. Так как выделенный элементарный объем жидкости в виде параллелепипеда находится в равновесии под действием приложенных к нему сил, спроецируем эти силы на ось x и приравняем сумму проекций нулю 1 p  1 p    dx   dy  dz   p  dx   dy  dz  X    dx  dy  dz  0 p 2 x  2 x    После несложных математических операций получим p dx  X   . x После аналогичного проецирования сил на оси y и z получим (2.8) (2.9) (2.10) p dy  Y   , y p dz  Z   . z (2.11) Из уравнений (2.9 – 2.11) видно, что приращение гидростатического давления в направлении какой-либо координатной оси возможно только при наличии ускорения массовых сил в этом направлении. Эти уравнения представляют собой общие условия равновесия как капельной, так и газообразной жидкости в дифференциальной форме, получены они Л.Эйлером в 1755г. Для приведения уравнений Эйлера к виду удобному для интегрирования, умножим каждое из трех уравнений (2.9 – 2.11) на dx,dy и dz соответственно, и сложим их почленно p p p dx  dy  dz    Xdx  Ydy  Zdz  . x y z (2.12) Левая часть уравнения (2.12) представляет собой полный дифференциал давления dp , в связи с этим, уравнение преобразуется к виду dp    Xdx  Ydy  Zdz  . (2.13) Полученное уравнение выражает функциональную зависимость изменения давления в жидкости с известной плотностью, находящейся в равновесии в поле действия массовых сил, от изменения координат рассматриваемой точки в пространстве. 3 Основное уравнение гидростатики Рассмотрим жидкость, находящуюся в поле сил тяжести и заключенную в неподвижной емкости. Поместим эту емкость с жидкостью в декартову систему координат (рисунок 2.2). z р0 h M z0 z x Рисунок 2.2 – Жидкость, находящаяся в равновесии, в поле сил тяжести Выделим внутри объема жидкости произвольную точку М с некоторой координатой z . Для рассматриваемого случая проекции ускорений массовых сил на соответствующие оси будут равны X=0; Y=0; Z=-g, где g ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести). Подставив проекции ускорений массовых сил в уравнение равновесия покоящейся жидкости (уравнение Эйлера), получим простое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными dp     g  dz . (2.14) После интегрирования его получим p    g  z  C (2.15) где C – константа интегрирования. Для определения константы интегрирования зададимся начальными условиями. Известно давление на свободной поверхности жидкости и координаты ее местонахождения: p=p0; z=z0 , следовательно p0     g  z 0  C (2.16) C  p0    g  z 0 . (2.17) откуда Подставив выражение (2.17) в уравнение (2.15), получим основное уравнение гидростатики (2.18) p     g  z  p0    g  z 0  p0    g  z 0  z   p0    g  h где h– глубина погружения рассматриваемой точки в покоящейся жидкости; p – абсолютное давление в данной точке; p0 – поверхностное давление; ρgh – давление столба жидкости в рассматриваемой точке (весовое давление). Основное уравнение гидростатики (2.18) выражает зависимость давления в рассматриваемой точке покоящейся жидкости, находящейся под действием силы тяжести, от рода жидкости и глубины погружения точки под уровень свободной поверхности. Уравнение (2.18) справедливо при условии неизменяемости плотности жидкости (ρ=const) от давления, которое увеличивается с глубиной погружения рассматриваемой точки, т.е. справедливо для капельной практически несжимаемой жидкости. Для газообразных жидкостей зависимость плотности от давления и температуры характеризуется уравнением Менделеева-Клапейрона (1.8), подставив которое в выражение (2.14), получим дифференциальное уравнение равновесия газообразной жидкости в поле действия силы тяжести dp g  dz . p R0  T (2.19) Абсолютная температура газа, как правило, зависит от координат рассматриваемой точки в пространстве, поэтому для интегрирования выражения (2.19) необходимо дополнительно знать закон изменения температуры газа по высоте. 4 Манометрическое и вакуумметрическое давление В открытых резервуарах, водоемах и т.д. поверхностное давление является атмосферным. В этом случае основное уравнение гидростатики для капельных жидкостей запишется в виде p  p ат    g  h (2.20) где pат – атмосферное давление на поверхности жидкости. В этом случае, если абсолютное давление в данной точке жидкости больше атмосферного (p > pат), то член уравнения (ρgh) называется манометрическим давлением, которое может быть измерено прибором (манометром). Манометрическое давление показываем превышение (избыток) давления в данной точке над атмосферным, поэтому его также называют избыточным p м  p  p ат Пределы изменения манометрического давления: при p=pат , pм=0, при p→  , pм→  , значит 0< pм<  . (2.21) В том случае, если абсолютное давление в данной точке жидкости будет меньше атмосферного давления (p