Основы цифровой обработка сигналов

Лекция 3.09.2018. МФТИ Основы цифровой обработка сигналов Предисловие В 6-ом семестре в лекционном курсе «Дискретные преобразования сигналов» были рассмотрены -теорема Котельникова и вопросы дискретизации аналоговых сигналов; -различные виды преобразования Фурье в системах с дискретным временем: -дискретное по времени преобразования Фурье (ДВПФ); -дискретный по времени ряда Фурье (ДВРФ); -дискретное преобразования Фурье (ДПФ). Таким образом, был представлен математический аппарат, необходимый для описания цифровых сигналов и систем. В 9-ом семестре 2018-2019 уч. года в лекционном курсе «Основы цифровой обработки сигналов» предполагается провести практическое наполнение этих преобразований на многочисленных примерах, упражнениях и задачах. Будут введены научно-практические разделы: - Интерфейс ввода-вывода систем ЦОС реального времени. - Дискретизация случайных сигналов. Все это позволит подготовить необходимую базу для освоения фундаментальных направлений цифровой обработки сигналов: -цифровой спектральный анализ (ЦСА); -цифровая фильтрация (ЦФ); -многоскоростная обработка сигналов. Эти разделы будут рассмотрены в 10 семестре в лекционном курсе «Цифровая обработка сигналов (ЦОС)». Программа курса "ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ" Кафедра радиоэлектроники и прикладной информатики IX семестр 2018-2019 уч. года; курс V (магистры), группы 411 – 419, 432, 433. Число часов – 34; магистерский экзамен. Глава 1. Дискретные преобразования сигналов. Повторить самостоятельно разделы лекций VI семестра (лекции 2018г. размещены на сайте http://kprf.mipt.ru/index.php/uchebnye-kursy2/diskretnye-preobrazovaniya-signalov). Дискретизация сигналов. Общий метод дискретизации. Представление ортогональными рядами. Обобщённые ряды Фурье. Примеры ортогональных систем (функции отсчётов, комплексные экспоненциальные функции). [2] стр. 5-22. Спектральная функция периодических сигналов (комплексный гармонический сигнал, Т-периодический сигнал, периодическая последовательность дельта-функций). [2] стр. 65-68. Дискретизация взятием отсчётов. Идеальная дискретизация. Спектр дискретизованного сигнала. Представление сигналов рядами по функциям отсчетов. Теорема Котельникова (финитный и нефинитный спектры). [2] стр. 131-141, Дискретизация в частотной области. Дискретизация энергетического спектра. База сигнала.[2] стр. 167-169. Задачи 1-29 стр. 187-192 +задачи, которые давались на лекциях VI семестра. Дискретное по времени преобразование Фурье (ДВПФ). Оценка спектра сигнала по последовательности его отсчётов. Основные свойства ДВПФ. Сходимость ДВПФ. Абсолютно суммируемые и квадратично суммируемые последовательности. ДВПФ последовательности единичных импульсов, единичного скачка, экспоненциальной последовательности, дискретного гармонического сигнала. Четыре формы записи ДВПФ. Основные теоремы ДВПФ (линейность, теоремы запаздывания и смещения, равенство Парсеваля, ДВПФ свёртки и произведения, дифференцирование по частоте, теорема об изменении масштаба). [3] стр. 5–18, задачи 1–10 стр. 104—105 +задачи, которые давались на лекциях VI семестра. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Дискретный по времени ряд Фурье (ДВРФ). Свойства и теоремы ДПФ. Теорема о циклической свёртке. Матричная форма ДПФ. Соответствие между ДПФ и рядом Фурье. Соответствие между ДПФ и непрерывным преобразованием Фурье (НПФ). Связь ДПФ и ДВПФ. Временная и частотная оси ДПФ. Задачи, данные на лекциях, задачи на консультациях. 1 Лекция 3.09.2018. МФТИ Основы цифровой обработка сигналов Глава 2. Интерфейс ввода-вывода для систем ЦОС реального времени. Введение. Цифровая обработка сигналов (ЦОС) в системах реального времени. Обобщённая функциональная схема ЦОС. Устройство обработки сигналов (УОС). Фильтры нижних частот (ФНЧ) для защиты от наложения. Фильтры Баттерворта и Чебышева. Блок-схема устройства обработки сигналов (УОС) в радиолокации. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Основные характеристики и современное состояние. Шум квантования n-разрядного АЦП. Относительный уровень шума квантования. Пример интерфейса ввода с ФНЧ Баттерворта; расчет уровня наложения. Устройство выборки-хранения (УВХ). Реальные дискретизаторы. Дискретизаторы с конечным временем выборки. Дискретизация с усреднением. Дискретизаторы с устройством выборки хранения и стробированием. Комплексное представление колебаний. Преобразование Гильберта. Комплексная огибающая и ее спектр. Дискретизация полосовых радиосигналов. Дискретизация аналитического сигнала. Квадратурная дискретизация. Формирования отсчетов квадратур из отсчётов узкополосного колебания. Интерпретация в частотной области. Субдискретизация полосовых радиосигналов. Выбор частоты дискретизации. Восстановление сигнала по дискретным отсчетам. Идеальные и реальные фильтры восстановления. Каузальная аппроксимация идеального фильтра нижних частот. Восстановление сигналов путем интерполяции. Кусочно-ступенчатая и кусочно-линейная интерполяция. Цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). ЦАП как ФНЧ. Интерполирующий ЦАП. Спектр выходного сигнала ЦАП. Интерполяционная формула восстановления ДВПФ по коэффициентам ДПФ. Интерполяция за счёт дополнения нулями. Интерполяция функций с ограниченной полосой с помощью ДПФ. Два пути перехода от НПФ к ДПФ. Временная и частотная оси ДПФ. Высокоскоростное преобразование данных. Программные приемник и передатчик с дискретизацией на промежуточной частоте. Блок-схема тракта обработки сигналов в радиолокационных системах (РЛС). Глава 3. Дискретизация случайных сигналов. 1. 2. 3. 4. 5. Случайные процессы (краткое введение). Дискретизация случайных сигналов. Теорема Котельникова. Комплексная огибающая узкополосного радиосигнала. Корреляционная функция узкополосного сигнала. Функция неопределенности. Согласованная фильтрация. Литература. 1. Романюк Ю.А. Основы цифровой обработки сигналов. Учебное пособие. Часть 1. Издание второе, переработанное. М. 2007г. 2. Романюк Ю.А. Дискретное преобразование Фурье в цифровом спектральном анализе. Учебное пособие. М. 2007г. 3. Видеолекции на сайте МФТИ http://lectoriy.mipt.ru Романюк Ю.А. «Основы цифровой обработки сигналов» в 2014г. Романюк Ю.А. «Цифровая обработка сигналов» в 2015г. 4. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. Техносфера. Москва 2012. 5. Материалы на сайте кафедры http://kprf.mipt.ru/index.php/uchebnye-kursy2/osnovy-tsifrovojobrabotki-signalov - программа курса ОЦОС 9-го семестра 2018 г., - лекции ОЦОС 9-го семестра 2018 г., - задачи для самостоятельного решения, - решения типовых задач. 2 Лекция 3.09.2018. МФТИ Основы цифровой обработка сигналов Глава 2. Интерфейс ввода-вывода для систем ЦОС реального времени. Введение. Цифровая обработка сигналов (ЦОС) в системах реального времени. Большинство информационных сигналов, получаемых от различных датчиков являются по своей форме аналоговыми, что означает непрерывное изменение во времени физических величин, например, напряжения, тока и т. д. Сигналы, применяемые в ЦОС, обычно получаются из аналоговых, дискретизованных через равные интервалы времени и преобразованных в цифровой вид. Основные преимущества ЦОС:  Гарантированная точность. Точность определяется только числом задействованных битов в представлении сигналов и характеристик систем.  Совершенная воспроизводимость. Цифровые записи можно копировать или воспроизводить многократно без ухудшения качества сигнала.  Большая гибкость. Системы ЦОС можно запрограммировать и перепрограммировать на выполнение различных функций без изменения оборудования. Это важнейшая особенность ЦОС.  Превосходная производительность.  Практически отсутствует зависимость характеристик от температуры и старения. В ЦОС есть и свои недостатки:  Скорость и затраты. Системы ЦОС реального времени (например, РЛС - радиолокационные станции) могут быть дорогими, особенно при большой ширине спектра сигнала. В настоящее время скоростные АЦП/ЦАП (аналогоцифровые/цифро-аналоговые преобразователи) либо слишком дороги, либо не обладают достаточным разрешением для большой ширины спектра обрабатываемого сигнала.  Проблемы конечной разрядности.  Время на разработку. Острая нехватка специалистов-разработчиков систем ЦОС. Благодаря новым технологиям значение этих недостатков постоянно уменьшаются. Так, например, развитие технологий цифровой обработки сигналов существенным образом изменило подход разработчиков к проектированию радиолокационных систем. В настоящее время такие системы выполняются в виде программно-аппаратных комплексов, включающих управляющий вычислительный комплекс, систему внутри и межпериодной ЦОС, а также рабочие места операторов и устройства сопряжения с внешними системами. Система внутри и межпериодной ЦОС строится на основе использования быстродействующих аналого-цифровых преобразователей (АЦП), программируемых логических интегральных схем (ПЛИС) и цифровых сигнальных процессоров (ЦСП). Общий прогресс радиолокации последних десятилетий обусловлен увеличением производительности вычислительных средств, осуществляющих цифровую обработку сигналов в режиме реального времени. На рис. 1 представлена типовая блок-схема устройства обработки сигналов (УОС) в радиолокации, цифровой радиосвязи, телекоммуникационных системах. Устройство содержит аналоговую часть и цифровой процессор сигналов. 3 Лекция 3.09.2018. МФТИ Основы цифровой обработка сигналов От высокочастотного приемного устройства Устройство усиления и преобразования сигналов Полосовой фильтр защиты от наложения Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) Программируемый процессор сигналов (ППС) (УОС) На вычислительный комплекс Рис. 1. Блок-схема устройства обработки сигналов (УОС) Аналоговая часть включает в себя каскады управляемого усиления, полосовой фильтр для формирования полосы частот обрабатываемых сигналов и соблюдения условий теоремы Котельникова, а также аналого-цифровой преобразователь (АЦП). АЦП формирует цифровые отсчёты сигналов, т.е. выполняет дискретизацию сигналов по времени и квантование отсчётов по уровню. Благодаря ограничению полосы частот возникающее после АЦП повторение спектра происходит без заметного наложения. Однако «эффект наложения» принципиально неустраним, его можно только ослабить соответствующим выбором аналогового фильтра. Для дальнейшего важно отметить, что «эффект наложения» понижает динамический диапазон. Несмотря на то, что основная обработка производится в ППС, аналоговый блок является весьма ответственным узлом, определяющим многие важные характеристики устройства в целом, такие, как чувствительность, динамический диапазон, максимальная полоса частот обрабатываемых сигналов. Более того, на сегодняшнем уровне развития элементной базы именно эта часть аппаратуры ограничивает предельно достижимые характеристики УОС. Качество аналого-цифрового преобразования оказывает значительное влияние на алгоритмы, используемые при дальнейшей цифровой обработке. Поэтому аналоговый блок и ППС целесообразно проектировать совместно, оптимизируя характеристики всего УОС. Важным примером являются многофункциональные радиолокационные системы (МРЛС), предъявляющие самые высокие требования к качеству аналого-цифрового преобразования. Тракт обработки сигналов в РЛС Двумерная фазированная антенная решетка Высокочастотное приемное устройство Устройство обработки сигналов ( УОС ) Вычислительный комплекс РЛС Рис. 2. Блок-схема тракта обработки сигналов в РЛС Отражённый от цели сигнал, принятый антенной, поступает на высокочастотное приёмное устройство, где происходит пространственная селекция, усиление сигнала и понижение несущей частоты до величины, удобной для дальнейшей обработки. Число линий на выходе этих устройств соответствует количеству выходных каналов антенной системы 4 Лекция 3.09.2018. МФТИ Основы цифровой обработка сигналов (обычно 3…4). Антенной в МРЛС обычно является двумерная фазированная антенная решётка (ФАР), позволяющая при каждом зондировании направлять луч в необходимую точку пространства. В подобных МРЛС устройство обработки сигналов (УОС) обеспечивает обработку в реальном масштабе времени радиолокационных сигналов, отражённых от целей, реализует все операции по частотно-временной обработке сигналов в одном зондировании [ ]:  оптимальную многоканальную фильтрацию сигналов;  предварительное обнаружение полезных сигналов по результатам одного зондирования;  измерение координат обнаруженных целей;  вычисление сигналов ошибок по угловым координатам, дальности и скорости для сопровождаемых целей. Эти операции определяют первичную обработку сигналов в МРЛС. Результаты обработки передаются в вычислительный комплекс МРЛС, выполняющий завязку трасс, сопровождение целей и управление всеми устройствами МРЛС. Команды управления на все устройства передаются перед каждым зондированием. Несмотря на то, что основная обработка производится в процессоре ППС, аналоговый блок является весьма ответственным узлом, определяющим многие важные характеристики устройства в целом, такие, как чувствительность, динамический диапазон, максимальная полоса частот обрабатываемых сигналов. Более того, на сегодняшнем уровне развития элементной базы именно эта часть аппаратуры ограничивает предельно достижимые характеристики УОС. Качество аналого-цифрового преобразования оказывает значительное влияние на алгоритмы, используемые при дальнейшей цифровой обработке. Поэтому аналоговый блок и ППС целесообразно проектировать совместно, оптимизируя характеристики всего УОС. Функцией цифрового процессора является когерентная обработка сигналов, принимаемых в одном зондировании. Другими словами, процессор выполняет многоканальную согласованную фильтрацию или близкую к ней оптимальную обработку принимаемых сигналов, максимизирующую отношение сигнал/шум. Такая обработка производится для значительного количества приёмных фильтров, перекрывающих необходимую область в координатах дальность-скорость. Задачи к лекции 3 сентября 2018 г. 1. Гармонический сигнал x(t )  cos 2f 0 t , f 0  500 кГц дискретизован с частотой f д  2 MГц. Изобразить как функцию нормированной частоты   f / fд в диапазоне   2  модуль спектра исходного сигнала;  модуль спектра дискретизованного сигнала;  модуль спектра последовательности y(k )  x(k )  (1)k ;  модуль спектра последовательности z (k )  x(k )  2 cos(k  / 2). 2. Сигнал x (t ) имеет финитный спектр треугольного вида. Определить коэффициенты ряда Котельникова этого сигнала, полагая, что t  1 . 2 fв 3. Найти и изобразить по модулю ДВПФ для сигнала   2  k  , 0  k  N  8,  A sin  x(k )   N   0, при других k .  5 Лекция 3.09.2018. МФТИ Основы цифровой обработка сигналов Определить обратное ДВПФ для следующих спектральных функций:  N 1  e j 2   N 1 X 1 ()   (  k ); б) X 2 ()  1  2  cos 2 k; ; в) X 3 ()  1  e j 2  k   k 0 4. а) г) X 4 ()  j e j 2  1  e  j 2  2 ,   1. Примеры решения задач на ДВПФ 1. Найти ДВПФ периодической последовательности единичных импульсов   1 k  m  m        j 2k    1 k  m e j 2k   1 k  m  e k   m m k   С учетом теоремы запаздывания ДВПФ имеем X    X     e j 2m m Это есть ряд Фурье для периодической (по частоте) последовательности  - функций с периодом 1. Действительно   m m      n    Cne j 2n , где коэффициенты Фурье 1 Cn  2 j 2n d  1     e 1 2 Таким образом X     e j 2m =      n . m n   m n Для   t  2f t  2 X     e jm =2      2n  . X(ν) x(k) ДВПФ ~ ~ -3 -2 -1 0 1 2 ~ ~ 3 k -3 -2 -1 0 x(k) 1 2 3 ν X(θ) ДВПФ ~ ~ k ~ 6 −2π 0 2π ~ θ Лекция 3.09.2018. МФТИ Основы цифровой обработка сигналов 2. Найти и изобразить по модулю ДВПФ N - точечных последовательностей x k   X    N 1 e m 0 2lk  .  N    1 k  m  и y  k   x  k  cos  N 1 m 0  k 0  m 0   N 1 N 1  m 0  k 0 N 1 N 1      1 k  m  e j 2k      1 k  m  e j 2k    j 2 m  j 2  N 1 sin N 1  e j 2N  e  .  j 2  sin  1 e Модуль этой функции изображен на рис. а.       j 2   l  k  N 1  N 1  j 2   l  k  1  N 1 1 N  N    Y       1 k  m  e  1 k  m  e  m 0 2  k 0  m 0 2  k 0     1 l  1 l        sin      N sin      N  j  l  N 1  j  l  N 1 N N 2 N 2 N   e   e   . l  l    sin      sin      N N   N 1 Модуль этой функции изображен на рис. б. |X(ν)| N а  · 0· −1 · 1  ν |Y(ν)| б N∕2  · −1 3. (1+1∕N) 1/N ·  · · · –l/N l/N · ·1 ν Гармонический сигнал x(t )  cos 2f 0t дискретизуется так, что на периоде образуется 8 отсчетов. 1. Изобразить последовательность x(k ) и ее спектр. 2. Найти и изобразить по модулю ДВПФ и ДПФ последовательности 15 y (k )   x(m)1(k  m) и . m0 Решение 1. x(k )  cos2f 0 k t  cos20 k , 0  f 0 t  f 0 / f д  частота косинусоиды, нормированная к частоте дискретизации (доли частоты дискретизации). Спектр дискрети7 Лекция 3.09.2018. МФТИ Основы цифровой обработка сигналов зованной косинусоиды – две дельта-функции (с весом ½)в точках 0 , повторяющиеся с периодом 1. X(𝜈) x(k) ≈ ≈ ≈ ≈ −𝜈0 ν0 ν Решение 2. Последовательность y(k ) представляет собой отрезок из двух периодов 1 2 1 2 косинусоиды. С учетом того, что cos 20 k  exp( j 20 k )  exp( j 20 k ) можем записать для ДВПФ последовательности y(k ) 1  N 1  j 2  0 k  N 1 1  N 1  j 2  0 k  1 k  m e     1 k  m  e        m 0 2  k 0  m 0 2  k 0 1 1 sin      0  N sin      0  N  j 0  N 1 2  j 0  N 1 2 e  e  . sin      0  sin      0  Y   N 1  Модуль этой функции изображен на рис. б. Здесь N=16. б N∕2 |Y(ν)| ·   +1/N ·−ν·0 · −1· · 0 ν0 · · 0 n0 Коэффициенты ДПФ Y[n]  · 1· ν · · n N−n0 N N 1 y[k ] e j (2/ N ) nk , связаны с отсчетами ДВПФ соотношением  k 0 n n ), n [0, N  1], N  16. Если  0 кратно бину ДПФ 1/N, т. е.  0  0 , то на инN N тервале [0, N 1], N  16 будут всего два отсчета ДПФ Y (n0 ) и Y( N  n0 )  Y  (n0 ). Y ( n )  Y (  Определить эти значения. 8