Основы численных методов расчёта конструкций

В.Н. Иванов Конспект лекций по курсу Основы численных методов расчета конструкций Москва 2007 В.Н.Иванов Конспект лекций по курсу Основы численных методов расчёта конструкций Для студентов бакалавриата, обучающихся по специальности “Строительство” Москва Издательство Российского университета дружбы народов 2007 Утверждено Редакционно-издательским советом Российского университета дружбы народов Иванов В.Н. Конспект лекций по курсу “Основы численных методов расчёта конструкций”. Для студентов, обучающихся по специальности "Строительство". -М.: Изд-во РУДН, 2007. - 64 с. Излагаются теоретическое основы численных методов расчёта конструкций методом конечных разностей, методом коллокаций. Приводится примеры расчета балок и пластин рассматриваемыми методами. Показывается сходимость расчётов приближенными методами к точному решению, если оно известно, или уточнение решение при сгущении сетки или увеличении числа членов ряда. Приводятся примеры использования разностного метода для расчета балок переменного сечения на изгиб и стержней переменного сечения на устойчивость. Предназначены для студентов 4-го курса бакалавриата при изучении курса “Основы численных методов расчёта конструкций”. Подготовлен на кафедре сопротивления материалов РУДН.  В.Н. Иванов, 2007 г.  Издательство Российского университета дружбы народов, 2007 г. Лекция 1 Задачи теории упругости и методы их решения В курсах сопротивления материалов и строительной механики стержневых систем излагаются инженерные методы расчёта отдельных стержней и стержневых систем. Основной рабочей гипотезой сопротивления материалов является гипотеза плоских сечений. Именно эта гипотеза позволяет построить достаточно простые и удобные методы расчёта стержневых конструкций. Однако в строительстве и машиностроении используются и более сложные – пластинчатые, оболочечные и массивные конструкции. Теория и методы расчета таких конструкций рассматриваются в курсах теории упругости, теории пластичности, теории оболочек. Однако и при расчете стержней встречаются задачи, которые не решаются методами сопротивления материалов. Например, задача о кручении стержней не круглого поперечного сечения. При кручении стержней некруглого сечения не выполняется гипотеза плоских сечений. Поперечные сечения при кручении искривляются, происходит депланация сечений. Для тонкостенных стержней была разработана в рамках сопротивления материалов теория расчёта, учитывающая депланацию поперечных сечений. При расчёте напряжённого состояния стержней прямоугольного сечения в сопротивлении материалов используются таблицы коэффициентов, которые получены при решении задачи кручения брусьев методами теории упругости. В теории упругости, рассматривая равновесие и деформирование малого элемента, вырезанного из массивного тела, получают сложную систему 9 дифференциальных уравнений в частных производных (уравнения равновесия и геометрические уравнения) и 6 алгебраических (Закон Гука) уравнений с 15 неизвестными. Эта система приводится к системе трёх дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка в перемещениях или к системе 6 уравнений в напряжениях. Напряжённо деформированное состояние оболочек описывается системой уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Сложность системы уравнений общей теории упругости привела к необходимости выделения класса конструкций, напряженно-деформированное состояние которых, путем введения дополнительных рабочих гипотез, описывается упрошенной системой уравнений. К таким классам конструкций относятся: а. Теория расчёта стержней и стержневых систем – сопротивление материалов и строительная механика стержневых систем. б. Тонкие пластинки с постоянными по толщине пластинки нагрузками, параллельными срединной плоскости (плоское напряжённое состояние), и длинные призматические тела, загруженные не изменяющимися по длине тела нагрузками, действующими перпендикулярно оси тела (плоская деформация) – плоская задача теории упругости. в. Тонкие пластинки с нагрузкой, действующей перпендикулярно срединной плоскости – изгиб пластин. Плоская задача теории упругости описывается системой 8 уравнений с 8-ю неизвестными. Из них 2 уравнения равновесия и 3 геометрические уравнения деформаций – дифференциальные уравнения в частных производных и 3 уравнения закона Гука. Общая система уравнений приводится к двум дифференциальным уравнениям в частных производных в перемещениях. При решении задачи в напряжениях к двум уравнениям равновесия добавляется уравнение неразрывности деформаций. Эта система введением функции напряжений приводится к одному разрешающему уравнению. При ограничении типа объёмных сил, действующих в плоскости пластинки, разрешающее уравнение для функции напряжений является однородным бигармоническим уравнением в частных производных. Задача изгиба пластин приводится к неоднородному бигармоническому уравнения относительно функции прогиба срединной поверхности пластинки. Для того, чтобы получить решение задачи теории упругости необходимо удовлетворить системе уравнений, описывающих напряжённо-деформированное состояние твёрдого деформируемого тела, и граничные условия заданной конструкции. Точное решение объёмной задачи теории упругости получено для довольно узкого класса задач. К ним относятся задачи центрального растяжения-сжатия стержней, чистого изгиба бруса, задачи кручения стержней различного поперечного сечения. Решена задача о действии сосредоточенной силы на бесконечное твердое тело. На основе этого решения разработаны методы точного или приближенного решения напряжённо-деформированного состояния тел канонической формы методом интегральных граничных уравнений, методом потенциала. Для плоской задачи теории упругости и задач изгиба пластин, число точных решений более широко, но и здесь их число ограничено. Точное решение может быть получено в виде конечной формулы или в виде ряда, для которого доказана сходимость и решение может быть получено с любой заданной точностью. Однако для большинства задач точное решение получить не удается, особенно для тел сложной конфигурации и при сложных граничных условиях закрепления и нагружения тела на границе. Для решения таких задач используются приближенные аналитические, численно-аналитические и численные методы их решения. Численно-аналитические приближенные решения представляются в виде конечных формул или рядов, удовлетворяющих уравнениям задачи и граничным условиям с некоторым приближением. При решении в рядах, обычно, расчёт проводят с конечным числом членов ряда, получая приближённое решение. Для уточнения решения число членов ряда увеличивают и практически заново решают задачу. Оценка точности решения в этом случае является сложной задачей. В инженерной практике часто проводят расчёт с различным числом членов ряда, и, если невязка при этом незначительная, считают , что получено удовлетворительное решение. Однако, близость результатов расчёта, проведенных с различным числом членов ряда, не гарантирует сходимости вычислительного процесса. К численно-аналитическим методам расчета относятся: метод коллокаций, метод Бубнова-Галеркина, метод квадратичных отклонений, методы, основанные на вариационных принципах строительной механики – метод Ритца-Тимошенко, Метод Канторовича-Власова и др. В численных методах расчёта используются различные дискретные методы: метод конечных разностей, метод сеток, вариационно-разностный метод, метод конечных элементов, метод граничных элементов. Численно-аналитические методы позволяют получать напряжения и деформация в любой точке тела и проводить аналитический анализ полученного решения, используя приемы математического анализа. Численные методы позволяют получить результаты расчёта в конечном числе точек. В других точках тела напряженно деформированное состояние может быть определено аппроксимацией решения в опорных точках, вновь используя численные методы. Для уточнения решения необходимо увеличить число опорных точек и заново провести процедуру расчёта. Аналитически и численно-аналитические методы расчёта предпочтительнее численных методов. В то же время численные методы более легко адаптируются к изменению условий задачи, позволяют решать задачи со сложными граничными условиями и разнообразными вариантами нагружениями. Развитие вычислительной технике во второй половине ХХ-го века привело к широкому использованию численных методов расчёта конструкций. Отметим, что и некоторые типы задач сопротивления материалов и строительной механики стержневых систем также требуют использования численных методов расчёта, например расчёт перемещений в стержнях переменного сечения, и, следовательно, расчёт статически неопределимых стержней и стержневых систем переменного сечения. В настоящем курсе рассматриваются метод конечных разностей (расчёт стержней) и метод сеток (расчёт пластин), метод коллокаций. Эти методы используют математический аппарат, известный из курса математического анализа. Методы, основанные на вариационных принципах механики, требуют дополнительных сведений из вариационного исчисления и рассматриваются в курсе «Аналитические и численные методы расчёта конструкций», читаемого студентам магистратуры. Разностные производные первого порядка В первом приближении производную функции в точке представленной числовыми значениями в заданных узлах определяют как отношение приращения функции (разность значений функции в соседних узлах) к приращению аргумента (шагу – расстоянию между узлами) (рис. 1.1). Полученные значения называют разностными отношениями. Различают правые и левые разностные отношения, или разностные производные шагом вперёд и шагом назад. Правые и левые разностные отношения определяются формулами: ; , (1.1) где , - правое и левое разностное отношение (разностные производные шагом вперёд и шагом назад) в i-ой точке соответственно; - значение функции в i-м узле; - шаги (приращение аргумента) слева и справа от i-того узла соответственно. Формулы разностных отношений (1.1) определяют разностные производные в i-м узле. Но, очевидно, эти значения, определяемые направлением секущих линий (хорд) между узловыми значениями функций, более близки к значениям производных (определяемых направлениями касательных функции в точке) в середине узловых точек и соответственно. Для i-го узла можно использовать среднее значение левых и правых разностных производных. Более точная формула разностной производной в i-том узле будет получена ниже при выводе разностных производных 2-го порядка. Лекция 2 Разностные производные второго порядка Для получения более точных значений производных функций заданных числовыми значениями в узлах используют аппроксимирующие функции, проходящие через заданные узловые значения функции. В качестве аппроксимирующих функций чаще всего используются алгебраические полиномы n-ой степени. Для задания полинома n-ой степени используются значение заданной функции в точке. Для вывода разностных производных второго порядка используют аппроксимацию полиномом 2-й степени – параболой, проходящей через 3 узловые точки (рис. 2.1). Проведем через три заданные значения функции параболу . Коэффициенты а, b, c определим из условия прохождения её через узловые точки. Для удобства, используем местную систему координат, совместив начало местной системы координат с i-1 -й точкой. Тогда получим ; ; , ; ; Откуда получаем систему уравнений для определения коэффициентов b, c, которую запишем в матричной форме, относительно и , (2.1) Для решения системы методом Крамара, вычислим определители: ; ; . (2.2) На основе формул (2.2) получим: ; . (2.3) Тогда коэффициенты b, c определяются по формулам: ; . (2.4) Уравнение аппроксимирующей параболы, проходящие через 3 точки в окрестности i-ой точки, получаем в виде , (2.5) Индекс i показывает, что функция аппроксимируется я в окрестности i-ой точки. Дифференцируя уравнение (2,5) по х, получим: ; (2.6) . (2,7) Формулы (2.5), (2.6) позволяют вычислять значение функции и её первой производной между опорными точками при любом значении производной. Вторая производная при аппроксимации функции квадратной параболой является константой и ее обычно относят к i-ой точке. Получим значения первой производной в опорных точках, учитывая формулы (2.2), (2,3): ; ; . (2.8) Если шаг опорных точек постоянный , тогда ; ; ; ; ; ; ; . (2.9) Лекция 3 Вывод разностных производных второго порядка методом последовательного численного дифференцирования Рассмотрим функцию, задаваемую численными значениями в узловых точках. Выше были получены разностные отношения первого порядка (1.1), определяющие левую и правую производную функции в i-той точке. В тоже время отмечалось, что эти значения разностных отношений ближе к значениям производных в серединах отрезков слева и справа от i-той точки. Принимаем далее, что производная линейно изменяется между этими значениями (рис. 3.1). Введем обозначения: ; ; ; Тогда левое и правое разностные отношения получим в виде: ; . (3.1) Приращение разностной производной на отрезке между серединами шагов слева и справа от i-ой токи определяется по формуле: . . (3.2) Принимая линейный закон изменения первой производной целочисленной функции в рассматриваемом диапазоне, получим формулу первой производной для произвольной точки . (3.3) При выводе формулы (3.3) использовались соотношения (2.2), (2.3). Дифференцируя соотношение (3.3) по х, получим вторую разностную производную: . (3.4) Сравнивая формулы первой и второй разностной производной (3.3), (3.4), полученные методом последовательного разностного дифференцирования, с соответствующими формулами разностных производных (2.6), (2.7), полученных на основе квадратичной аппроксимации целочисленной функции, видим их полную идентичность. Положив в формулах (3.3), (3.4) при , получим формулы первой и второй разностной производной в i-ой точке, которые называют центральными разностными отношениями, или центральными разностными производными: а) ; б) , (3.5) где ; - центральные разностные операторы первого и второго порядка соответственно. При вычислении разностных производных на границах рассматриваемого отрезка могут использоваться центральные разностные отношения (3.5), при этом возникает необходимость использования законтурных точек, или разностные производные шагом вперёд для левой границы и разностные производные шагом назад для правой границы отрезка (2.8), (2,9). При этом законтурные точки не используются. Лекция 4 Расчёт статически определимых балок методом конечных разностей Рассмотрим использование дифференциально-разностных отношений для расчёта прогибов статически определимых балок постоянного сечения. Для определения прогибов балок в сопротивлениях материалов используются методы интегрирования дифференциального уравнения упругой оси стержня: . (4.1) Методы сопротивления материалов для определения прогибов балок постоянного сечения достаточно просты и удобны и нет необходимости использовать численные методы для этой цели. Однако, для отработки методики решения дифференциальных уравнений методом конечных разностей эта задача удобна, как наиболее простая и позволяющая оценить решения, на основе точного решения сопротивления материалов. В расчётах будем использовать разностную сетку с постоянным шагом . Разностная сетка с постоянным шагом наиболее часто используется в расчетах, как наиболее простая схема. Разностная сетка с переменным шагом обычно используется для расчёта двухмерных и трёхмерных задач, для уточнения решения в зонах ожидаемой концентрации напряжённого состояния конструкции. Введем разностный оператор второго порядка . (4.2) Тогда , и разностный аналог дифференциального уравнения изгиба балки постоянного сечения получим в виде , i = 0, 1,2,…,n, (4.3) где n – число шагов разностной сетки; Мi = М(хi)– значения изгибающего момента балки в узлах разностной сетки. Рассмотрим однопролётную, шарнирно опёртую балку (рис 4.1). Нагрузка на балку в общем случае может быть произвольной. Шаг сетки может быть произвольным, но желательно, чтобы границы нагрузки – начала и концы распределенной нагрузки, точки приложения сосредоточенных сил совпадали с точками разностной сетки. Очевидно, при равномерной сетке , где - пролёт балки; n – число шагов сетки. При составлении разностных уравнений предварительно определяют значения изгибающих моментов в узлах разностной сетки. Составляя разностные уравнения (4.3) для внутренних точек разностной сетки балки и учитывая граничные условия опирания балки , , получим систему алгебраических уравнений: ; ; ……………………………………………… ; ; (4.4) . Решая систему алгебраических уравнений (4.4), получаем прогибы в опорных точках балки. Рассмотрим однопролетную шарнирно опёртую балку загруженную: а) равномерно распределенной нагрузкой ; (4.5,а) ; ; . б) сосредоточенной силой в центре балки: ; ; ; . (4.5,а) 1. Принимаем минимальную сетку , тогда и , и получаем 4 . а/. При равномерно распределенной нагрузке . б/. При сосредоточенной силе: . Оценим относительную точность приближенного решения %. (4.6) Из решения сопротивления материалов для равномерно распределённой нагрузки прогиб в центре однопролетной шарнирно опёртой балки . %; .Для сосредоточенной силы . %. Как и следовало ожидать, точность приближённого решения при минимальном шаге не удовлетворительна, особенно для балки загруженной сосредоточенной силой. Проведём расчёт, удвоив число шагов, приняв . Тогда получаем систему разностных уравнений (4.4), которую запишем для удобства в матричной форме: . Решая систему уравнений, получим: ; . Вычислим и оценим точность приближённого значения прогиба в центре балки. а/. Для равномерно распределённой нагрузки ; ; ; %. б/. Для сосредоточенной силы: ; ; ; %. Таким образом, видно, что при уменьшении шага разностной сетки точность расчета увеличивается. Для равномерно распределённой нагрузки результаты расчета с шагом можно считать удовлетворительными. Для сосредоточенной силы точность расчёта недостаточна. Для увеличения точности проведём расчёт с шагом , . Для шести шагом число шагов возрастает до 5. Однако, учитывая симметрию конструкции и нагрузки, число неизвестных можно уменьшить. Условиями симметрии для прогибов, очевидно, являются соотношения . При этом разностные уравнения составляются для /2 (при n четном). В системе разностных уравнений первые не меняются. При с учетом симметрии получим . (4.7) При имеем , , и, с учетом формулы (4.7), получаем систему уравнений: ; Решая систему уравнений, находим: ; ; . При равномерно распределенной нагрузке получим: ; ; ; ; . При сосредоточенной силе имеем: ; ; ; ; %. Таким образом, при шести шагах разностной сетки мы получаем хорошую точность для прогиба в центре балки при равномерно распределённой нагрузке и удовлетворительную точность при действии сосредоточенной силы в центре пролета шарнирно опертой балки. Лекция 5 Разностные производные произвольного порядка на сетке с постоянным шагом Разностные производные высокого порядка с переменным шагом разностной сетки могут быть получены с помощью интерполяционных полиномов Лагранжа [4, 5, 6]. При постоянном шаге их можно получить методом последовательного разностного дифференцирования, так, как были получены выше разностные отношения первого и второго порядка. Разностные производные четного порядка Считая, что в точках (шаг ) заданы (вычислены) значения вторых производных, вычислим с помощью разностного отношения (3.5,б) четвёртую разностную производную в i-той точке . (5.1) Применяя вновь к соотношению (5.1) формулу (3.5,б), получим, очевидно, формулу шестой разностной производной . (5.2) Анализируя формулы чётных разностных производных (3.5), (5.1), (5.2), заметим, что коэффициенты при узловых точках совпадают с коэффициентами биномов Ньютона разностного двучлена, соответствующей степени: ; ; . Бином к-й степени определяется по формуле , . (5.3) Тогда для разностной производной чётного порядка 2к в i-ой точке , получим по аналогии с биномом Ньютона: , (5.4) (5.5) - разностный оператор порядка 2k. Формула (5.4) может быть строго доказана методом математической индукции: если некоторое свойство справедливо при к =1, 2, то предположив, что оно справедливо при произвольном к, доказываем, что оно справедливо при к +1, то это свойство справедливо при любом к. Для вычисления коэффициентов бинома Ньютона, кроме формулы , может использоваться так называемый треугольник Паскаля, дающий наглядные значения коэффициентов (продолжение) Коэффициенты в треугольнике Паскаля получаются последовательным сложением двух соседних чисел в вышележащей строчке. Нетрудно убедиться, что значениям чисел в треугольнике Паскаля соответствуют коэффициентам бинома Ньютона. Например, число в треугольнике Паскаля при , равно 210; . Значения совпали. Получим разностный оператор 8-го, используя формулу (5.5) и коэффициенты треугольника Паскаля: . Разностный оператор нечетного порядка Разностный оператор нечетного порядка 2к + 1 определим, применяя разносный оператор первого порядка (3.5,а) к разностному оператору четного порядка 2к . (5.5) Разностная производная нечетного порядка определяется по формуле . (5.6) Используя формулу разностного оператора 8-го порядка, получим разностный оператор 9-го порядка . Лекция 6 Расчёт статически неопределимых балок разностным методом Дифференциальное уравнение изгиба балок (4.1) приводится ук дифференциальному уравнению 4-го порядка с учетом формул Журавского : , , (6.1,а) , . (6.1,б) Разностное уравнение изгиба балки постоянного сечения получим в виде: . (6.2) Рассмотрим однопролетную балку, жестко защемленную с обоих концов (рис. 6.1) При использовании разностного оператора 4-го порядка вводятся законтурные точки: -1 и . Перемещения в этих точках обычно определяются из граничных условий опирания балки. Для балки с жёстким защемлением опор имеем: ; ; (6.2) Таким образом, для жёстко защемлённых концов балки перемещения в законтурных точках равны перемещениям в предконтурных точках. Составляя систему разностных уравнений для балки с защемлёнными краями с учетом граничных условий, получим: , ; , ; , ; , ; , . (6.3) При симметричной нагрузке . Положив (n – четное), условие симметрии условие симметрии получим в виде . Для балки с симметричными граничными условиями и симметричной нагрузке разностные уравнения составляются для . Для балки с защемленными концами при симметричной нагрузке для система (6.3) остается неизменной. При получим: , ; , . (6.3,а) Значение момента в точках разностной сетки получаем, используя формулу второй разностной производной. . (6.4) Опорные моменты с учётом граничных условий определяется по формулам: ; . (6.5) При симметричной нагрузке с учетом условий симметрии момент в середине пролета определяем по формуле . Проведем расчет балок с жёстко защемлёнными концами на действие равномерно распределенной нагрузки q и центрально приложенной силы Р при . В соответствии с уравнениями (6,3), (6.3,а) получаем систему двух уравнений: . Решая систему, получаем: ; . Значение моментов в середине пролёта и на опоре: ; . а/. Равномерно распределенная нагрузка: ; ; ; ; ; Согласно решения сопротивления материалов для однопролётной балки с жёстко защемлёнными концами от равномерно распределённой нагрузки имеем: , ; . %; %; %. б/. Сосредоточенная сила в центре пролета: Так как в уравнениях (6.3) участвует распределённая нагрузка, то сосредоточенные силы в узлах разностной сетки заменяются эквивалентной распределённой нагрузкой . Тогда, при , получим , . ; ; ; . Решение сопротивления материалов: ; ; . %; %. Результаты расчёта по прогибам при неудовлетворительны. Принимая , получим систему уравнений: . Решая систему, находим: ; ; ; а/. Равномерно распределённая нагрузка: ; ; ; ; ; . %; %; %. а/. Сосредоточенная сила в середине пролёта: ; ; ; ; . ; . %. Лекция 7 Расчёт балок переменного сечения разностным методом Если для расчёта прогибов балок постоянного сечения и расчёта статически неопределимых стержней постоянного сечения разработаны достаточно простые инженерные методы расчёта, то в случае стержней переменного сечения задача значительно усложняется. Даже в случае простого нагружения статически определимых балок интегрирование дифференциального уравнения в большинстве случаев может быть осуществлено только численным методом. Для сложных прерывистых нагрузок это процедура превращается в сложную задачу. В этом случае применение конечных разностей становится наиболее удобным подходом к решению задачи. Использование дифференциального уравнения 4-го порядка (6.1,а) также не очень удобно, так как требует использования не только функции момента инерции, но и 1-й и второй производных этой функции. Более удобным оказывается уравнение 2-го порядка (4.1) в сочетании методом сил расчёта статически неопределимых балок. Рассмотрим однопролётную балку переменного сечения ( ), жёстко защемлённую по концам, и загруженную произвольной нагрузкой (рис. 7.1,а). Для решения задачи рассмотрим основную систему, отбросив защемление и левую опору и заменив их неизвестными реакциями и (рис. 7.1,б). Дифференциальное уравнение изгиба балки запишем в виде , (7.1) где - функция моментов в основной системе (консольной балке) от заданной нагрузки. Заменяя производную в равенстве (7.1) разностным отношением с постоянным шагом (4.2) ( - число шагов разностной сетки), получим разностное уравнение балки переменной жесткости . (7.2) Умножая равенство (7.2) на , вводя обозначения: ; ; , и перенося неизвестные реакции в левую часть, получаем разностное уравнение (7.2) в виде , . (7.3) Кроме основных точек разностной сетки в пролете вводим дополнительные законтурные точки и с прогибами и . Задаваясь последовательно значениями и учитывая условия опирания балки , , , имеем: ; ; ; …………………………………………………….. ; ………………………………………………………. . (7.4) Таким образом мы получили систему разностных уравнений с неизвестными . Решая систему, определяем прогибы и реакции , . Поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях балки определяются методом сечений от заданной нагрузки и опорных реакций . Для точек разностной сетки для определения изгибающих моментов получаем формулу: . (7.5) Если момент инерции балки не задан , то для его определения необходимо его найти самое слабое сечение балки из условий прочности . В отличие от балки постоянного сечения, наиболее напряженное сечение может не соответствовать сечению с наибольшим значением изгибающего момента. Ограничиваясь сечениями разностной сетки, имеем ; . (7.6) Если левый конец балки шарнирно оперт, то М0 = 0. Тогда и первое уравнение системы (7.4) удовлетворяется тождественно. Следовательно, в системе отбрасывается первое уравнение и слагаемые с неизвестным М0 = 0 . Если шарнирно оперт правый конец балки, то Мn = 0, , и последнее уравнение системы (7.4) получаем в виде , или . (7.6) Пример расчёта Рассмотрим балку с жёстко защемлёнными концами (рис. 7.2). Исходные данные: кН/м; кН/м; кН; кН; м; ; В первом приближении принимаем n = 4; м. Вычисляем функцию изменения момента инерции f и моменты от нагрузки в узлах разностной сетки: ; ; ; ; ; кНм; кНм; кНм; Получаем систему разностных уравнений, которую запишем в матричной форме: . Решая систему уравнений, определяем: ; ; ;; . Умножая значения на , получаем значения приведенных прогибов и реакцию : ; ; ; кН; По формуле (7.5) вычисляем значения изгибающих моментов в узловых точках: ; ; ; ; ( кНм). Для выявления точности расчёта и сходимости процесса проведем расчёты с различным числом шагов разностной сетки кратной 4. При увеличении числа шагов решение системы становится трудоёмким, поэтому их целесообразно проводить на ЭВМ. В частности можно использовать систему MathCad. Ниже приведены результаты расчета с числом шагов . В табл. 7.1 приведены значения опорных реакций для различного числа шагов, в табл. 7.2 и 7.3. - значения прогибов и изгибающих моментов. Для сравнения результаты приводятся только в точках совпадающих с точками сетки при . Опорные реакции (кН), (кНм) таблица 7.1 n 4 8 12 16 20 92,2 90,45 90,3 90,2 90,1 -133,7 -132,6 -132,1 -131,9 -131,8 Как видно из табл. 7.1 опорные реакции лишь незначительно изменяются с увеличением числа шагов. Приведенные прогибы таблица 7.2 n х 4 8 12 16 20 ¼ l -133,7 -94,0 -86,6 -84,0 -82,8 ½ l -243,1 -175,4 -162,5 -158,0 -155,9 ¾ l -152,5 -103.5 -93,8 -90,4 -88,8 l Изгибающие моменты (кНм) таблица 7.3 n х 4 8 12 16 20 -133,7 -132,6 -132,1 -131,9 -131,8 ¼ l 10,6 8,7 8,5 8,4 8,4 ½ l 75,0 70,0 69,1 68,8 68,6 ¾ l 19,4 11,3 9,7 9,1 8,8 l -76,3 -87,4 -89,7 -90,6 -91,0 Из результатов расчета видно, что разностный метод в сочетании с методом сил дает неплохие результаты расчёта для изгибающих моментов. Даже при n = 4 относительная невязка на правой опоре не превышает 20 % по сравнению с сеткой при n = 20. Значительным различием изгибающего момента в сечении можно пренебречь, так как величина момента в этом сечении незначительна по сравнению с наибольшим по модулю изгибающим моментом на левой опоре. При n = 8 невязки изгибающих моментов по сравнению с их значениями на более мелкой сетке при не превышают 8 %. Более медленная сходимость наблюдается для значений прогибов. При n = 4 результаты расчета неудовлетворительны. Здесь невязки превышают 50 % по сравнению с сеткой при n = 20. Невязка по прогибу в центре пролета при n = 8 составляет 12,5 %. Однако при n = 12 невязки прогибов не превышают 5 % по сравнению с результатами при сетке n = 20. Лекция 8 Расчёт стержней переменного сечения на устойчивость Определение сжимающей силы, при которой стержень переменного сечения теряет устойчивость, аналитическими методами представляет собой весьма сложную задачу. Метод конечных разностей, так же как и в случае расчета балок переменного сечения на изгиб, позволяет решить эту задачу. Рассмотрим стержень переменной жёсткости , на который действует продольная сжимающая сила. Концы стержня предполагаем жёстко защемлёнными (рис. 8.1,а). Для решения задачи применяем метод сил, отбрасывая верхнюю заделку и опору и заменяя их неизвестными реакциями и . Дифференциальное уравнение изгиба стержня в момент потери устойчивости получаем в виде . (8.1) На стержень наносим разностную сетку с постоянным шагом . Заменяя производную разностным отношением второго порядка с постоянным шагом, получим: . (8.2) Умножая равенство (8.2) на , имеем , , (8.3) где ;; . Чтобы вычислить значение критической силы, очевидно, необходимо определить значение параметра , удовлетворяющего системе (8.3). Тогда, критическая сила определяется по формуле . (8.4) Раскрывая разностный оператор , уравнение (8.3) запишем в виде , . (8.5) На основе соотношений (8.5) получаем систему однородных алгебраических уравнений относительно прогибов и опорных реакций . Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, определитель системы должен быть равным нулю. Задаваясь значениями , получаем определитель системы уравнений: (8.6) При составлении системы (8.5) использовались законтурные точки и учитывались условия закрепления стержня , . Последние два условия определяют равенства , . Точками в определителе показаны повторяющиеся по диагонали компоненты , либо нули справа и слева. Число строк определителя для стержня с жёстко защемлёнными концами равно . При раскрытии определителя получаем полином степени относительно параметра . Минимальное значение корня полинома определяет значение критической силы (по формуле (8.4)), при которой происходит потеря устойчивости стержня. В случае других условий закрепления в определитель (8.6) вносятся изменения. Рассмотрим стандартные закрепления концов стержня: а. Верхний конец стержня шарнирно опёрт, нижний жёстко защемлён. В этом случае и в определителе (8.6) отбрасываются верхняя строчка и последний столбец (столбец единиц). б. Оба конца стержня шарнирно опёрты. Тогда обе опорные реакции и равны нулю. В определителе отбрасывается первая и последняя строки и последние два столбца. в. Верхний конец свободен, нижний – защемлён – консольный стержень. В этом случае условно рассматривается шарнирно опёртый стержень двойной длины (аналогично рассматривается в сопротивлении материалов консольный стержень постоянной жёсткости) с симметричным распределением момента инерции относительно середины стержня двойной длины. Начало координат совмещается с верхним концом изогнутого (потерявшего устойчивость стержня) а перемещение среднего сечения считается неравным нулю. Деформации условного стержня симметричны относительно середины (защемлённого конца заданного стержня) стержня двойной длины. Так как опорные реакции в этом случае равны нулю, то первая строка и два крайних столбца в определителе (8.5) отбрасываются, а последние две строки строка заменяется на . (8.7) Если условия закрепления концов стержня симметричные и функция изменения момента инерции также симметрична, в разностных уравнениях можно использовать условия симметрии . В этом случае разностные уравнения составляются для ( для шарнирно опёртого стержня), . При этом, в определителе, составляемом для соответствующих условий опирания заменяются две последние строки при и на строки, определяемые формулой (8.7), если заменить на . Пример расчёта стержня переменной жёсткости на устойчивость Рассмотрим стержень, жёстко защемлённый на нижнем конце и шарнирно опёртый на верхнем конце (рис. 8.2). Дано: м; см4; МПа; . Принимаем . Вычисляем значение функции изменения момента инерции в узлах разностной сетки: ; ; ; ; ; Вычисляем компоненты определителя системы разностных уравнений . Значение параметра , при котором определитель обращается в ноль, можно определить: 1. Раскрыв определитель, получить полином и найти его корни. 2. Вычисляя определитель при различных значения , найти точки изменения знака определителя, и далее уточняя значение , найти точку, где определитель равен нулю (близок нулю с заданной точностью). При втором методе, желательно знать интервал значений параметра , в котором нужно искать решение. Очевидно, предельными можно считать значения параметра, соответствующие критической силе стержня постоянного сечения для максимального и минимального значений момента инерции: ; . Для стержня постоянного сечения критическая сила определяется по формуле Эйлера: , (8.8) где  — коэффициент приведенной длины, зависящий от условий опирания стержня. Для стержня с защемленным и шарнирно опертым концами . Сравнивая формулу критической силы по Эйлеру с формулой критической силы переменного сечения (8.4), находим . (8.9) Максимальное (минимальное) значение функции f либо соответствует максимуму (минимуму) функции (в точке ), либо значениям функции на концах стержня. Для рассчитываемого стержня , . Тогда . ; . Задаваясь шагом, равным 1/8 интервала , вычисляем на компьютере в системе MathCad значение определителя:  1.259 1.385 1.511 1.637 1.762 1.888 2.014 2.14 2.266 d -13.884 -8.088 -3.124 1.055 4.497 7.25 9.362 10.88 11.85 Из результатов расчёта видно, что знак определяется между значениями  = 1,511 и  = 1,637. Принимая эти значения за и соответственно, повторяем вычисление определителя с шагом 1/8.  1.511 1.526 1.542 1.558 1.574 1.589 1.605 1.621 1.637 d -3.124 -2.56 -2.008 -1.467 -0.939 -0.423 0.081 0.574 1.055 Теперь знак определителя меняется при значениях  = 1.589 и  = 1.605. При этом значение определителя при  = 1.605 приближается к нулю. Поэтому это значение принимаем за искомое значение параметра . При необходимости процесс уточнения параметра  можно продолжить, пока разница между значениями параметра , при которых меняется знак определителя, не будет превышать заданного значения, например, различие параметров  в третьем или четвёртом знаке. Вычисляем значение критической силы мН. Чтобы уточнить значение критической силы и оценить сходимость, проведём аналогичные вычисления с числом шагов разностной сетки и . В результате расчета получаем: При ; мН. При ; мН. Определим относительную ошибку значения критической силы при числе шагов разностной сетке n = 4 и n = 6, относительно расчёта с числом шагов n = 8 - : ; . Таким образом, мы видим, что при числе шагов разностной сетки n = 4 точность значения критической силы не удовлетворительна, то различие критической силы при и около 3%, т.е. в пределах требуемой точности инженерных расчетов. Если при заданной разностной сетке, определитель в диапазоне заданных изменений не меняет знак, значит разностная сетка не позволяет провести расчёт с необходимой точностью. Следовательно, надо уменьшить шаг разностной сетки и повторить расчёт. Лекция 9 Метод сеток. Бигармонический разностный оператор При решении двухмерных задач теории упругости - плоская задача теории упругости, изгиб пластин, вычисляются производные по двум координатам, в том числе и смешанные производные. При этом плоская задача теории упругости в функции напряжений и уравнение равновесия изгиба пластин описываются бигармоническим оператором . (9.1) При решении задачи методом сеток на область пластинки наносится сетка с равномерным или переменным шагом в направлении каждой из координат (рис. 9.1). Нумерация узлов сетки с двумя индексами: - в направлении оси х, - в направлении оси у;: , - шаги сетки, - число шагов в направлении координат х, у соответственно. Далее будем рассматривать равномерную сетку в каждом из направлений ; . Для определённости далее будем использовать функцию прогиба W. В двухмерных задачах кроме основной сетки, используется один (или два) ряда законтурных точек. Так как производные в двухмерных задачах вычисляются по двум направлениям, то при переходе к разностным операторам необходимо указывать направление дифференцирования. Для этого при символе разностного оператора указывается индекс ( или ) направления дифференцирования. Для чётных производных имеем: ; , (9.2,а) для нечётных производных: ; . (9.2,б) Таким образом, индекс при разностном операторе указывает индекс разностной функции, который должен меняться при применении оператора, другой индекс не меняется. Например, ; . Для смешанной производной последовательно применяются разностные операторы по обоим направлениям, причём результат не зависит от прядка применения операторов. . (9.3) Например: . (9.4) Нетрудно убедиться, что применение разностных операторов в другом порядке не изменит результат. Получим разностный аналог бигармонического оператора (9.1): . (9.5) ; ; . Умножая на и суммируя операторы, получаем бигармонический разностный оператор: , (9.6) где Результат представим в форме таблицы коэффициентов при узловых функциях (табл. 9.1) Коэффициенты бигармонического разностного оператора Таблица 9.1. i-2 i-1 i I+1 I+2 j+2 4 j+1 22 4(1+2) 2 22 j 1 4(1+2) 6+82+64 4(1+2) 1 j-1 22 4(1+2) 2 22 j-2 4 Коэффициенты таблицы являются множителями при узловых функциях с индексами (верхняя строка и левый столбец), указанных в столбце и строке расположения коэффициента. Лекция 10 Расчёт пластин на изгиб метом сеток При действии поперечной нагрузки q внутренние усилия определяются через функцию прогибов срединной поверхности w, которая удовлетворяет бигармоническому уравнению , (10.1) где - изгибная жёсткость пластинки; h – толщина пластинки; Е,  – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластинки. Внутренние усилия определяются через функцию прогибов по формулам: ; ; ; ; . (10.2) Мх, уу, - изгибающие моменты; Н - крутящий момент; Qх, Qу, - поперечные силы. Применяя для решения задачи изгиба пластин метод сеток с постоянным шагом разностной сетки по каждой из координат, получим разностное уравнение: . (10.3) Внутренние усилия в узлах сетки определяются по формулам: ; ; ; ; ; . (10.4) Рассмотрим два типа граничных условий опирания сторон пластинки - шарнирное опирание и жесткое защемление. В случае шарнирного опирания края ( или х = а): , . Из 2-го условия следует . Тогда, при имеем: i = 0, , , или . При : , , . Аналогично, при шарнирном опирании края получим: , , , при : , , . Таким образом, при шарнирном опирания края прямоугольной пластинки перемещение в законтурной точке равно перемещению в соответствующей предконтурной точке с противоположным знаком. В случае жёсткого защемления края : и . Тогда при : , , , или . При : , , . При жёстком защемлении края , , , ; при : , , . В случае жёсткого защемления, перемещение в законтурной точке равно перемещению в соответствующей предконтурной точке. Таким образом при шарнирном опирании или жёстком защемлении краёв прямоугольной пластинки используется ряд законтурных точек с каждой стороны пластинки, однако в число неизвестных узловых перемещений входят только внутриконтурные точки, для которых и составляются разностные уравнения. Для свободных краёв пластинки вводят два ряда законтурных точек и граничные условия равенства нулю изгибающих моментов и обобщённых поперечных сил описываются более сложными разностными операторами. С реализацией граничных условий свободного края можно ознакомится, например, в работе [7]. Изгибающий момент в прямоугольной пластинке в случае жёстко защемлённого края в сечении : . Изгибающие моменты в центре прямоугольной пластинки , : в случае двух осей симметрии пластинки по граничным условиям и нагрузке ; .; (10.5) Лекция 11 Примеры расчета пластин методом сеток Рассмотрим квадратную пластинку, жёстко защемлённую по контуру. На пластинку нанесем сетку с шагом , принимая в первом приближении . Кроме основной сетки с каждой стороны пластинки наносим по одному ряду законтурных точек (рис. 11.1,б). На рис. 11.1,б в узлах сетки обозначены перемещения с учётом граничных условий. В узлах сетки, где нет обозначения перемещения, перемещения равны нулю. Так как , то . Вычисляем коэффициенты табл. 10.1: 0, 0, 1, 0 0; 0, 2, -8, 2,0; 1, -8, 20, - 8, 1; 0, 2, -8, 2,0; 0, 0, 1, 0 0. (11.1) Строки таблицы разделены точкой с запятой (;). Аналогично составляем таблицу перемещений в соответствии с рис. 11.1,б, совместив центральную клетку таблицы с опорной точкой разностной сетки: 0, 0 , 0, 0; 0, 0, 0, 0, 0; , 0 , 0, ; 0, 0, 0, 0, 0; 0, 0 , 0, 0. Перемножая построчно таблицу коэффициентов с таблицей перемещений и суммируя, получаем разностное уравнение (10.3) . При равномерно распределённой нагрузке , получаем прогиб в центре квадратной пластинки . По формулам (10.4) вычисляем изгибающие моменты в центре пластинки и в середине опорных сторон (): ; . Точное решение для квадратной пластинки, защемлённой по контуру от равномерно распределенной нагрузки [3]; ; ; . Как и можно было ожидать при минимальном числе шагов , точность решения неудовлетворительна: ; ; . Уточним расчёт, приняв (рис. 11.2) Защемлённая на контуре квадратная в плане пластинка при симметричной по обеим координатам нагрузке обладает кроме осевой симметрии относительно центральных осей, также диагональной симметрией. Поэтому при мы имеем только 3 независимых узловых перемещения. На рис 11.2 показана нумерация неизвестных с учетом симметрии и граничных условий. Разностные уравнения (10.3) составляются для трёх положений центральной узловой (опорной) точки уравнения внутри контура в соответствии с неизвестными перемещениями. Для каждой опорной точки составляется таблица неизвестных узловых перемещений от второй сетки ниже опорной до второй сетки выше и от второй сетки слева до второй сетки справа от опорной точки. Для опорных точек: центральной w1, левой от центральной w2, и нижней по диагонали w3, составляем таблицу переменных, объединяя её с таблицей коэффициентов-множителей Множители Опорные точки w1 w2, w2, Узловые перемещения 1 w3 w3 w2 w3 2 -8 2 w3 w2 w3 w3 w3 w2 w3 w2 w2 w1 w2 1 -8 20 -8 1 w2 w1 w2 w2 w2 w1 w2 w3 w3 w2 w3 2 -8 2 w3 w2 w3 w3 w3 w2 w3 1 w3 w2 w3 Умножая переменные опорной точки на соответствующие коэффициенты-множители, складывая и суммируя множители общих переменных, получаем систему разностных уравнений: , где - распределенная нагрузка в опорной точке. Для равномерно распределенной нагрузки . При сосредоточенной силе Р в центре пластинки: , . Решая систему уравнений, находим: ; ; . а/. При равномерно распределенной нагрузке: ; ; . Изгибающие моменты в центре пластинки с учётом симметрии: . Изгибающий момент в середине опорного края . Точность решения при : ; ; . Проводя расчет на ЭВМ при n = 6, получим при равномерно распределенной нагрузке: ; ; ; ; ; . Результаты расчёта квадратной пластинки, жёстко защемлённой на контуре, показывают постепенную сходимость решения метода сеток к известному точному решению. Рассмотрим более общую задачу – прямоугольную пластинку с различными граничными условиями опирания пластинки (рис. 11.3). В случае прямоугольной пластинки с произвольными граничными условиями нумерацию неизвестных обычно принимают последовательно по рядам в поперечном или продольном направлении (в направлении наименьшего числа шагов, если ). Стороны пластинки х = 0 и у = `b шарнирно опёрты , стороны х = а и у = 0 - жёстко защемлены. Перемещения законтурных точек на рис 11.3 (знаки и номер перемещения) приведены с учетом граничных условий. Перемещения законтурных точек без номера не входят в систему разностных уравнений и принимаются равными нулю. Принимаем , ; ; ; . Получаем таблицу коэффициентов бигармонического разностного уравнения (см. табл. 9.1) при . Таблица коэффициентов бигармонического разностного уравнения при  =2 16 32 -80 32 1 -20 134 -20 1 32 -80 32 16 Становясь последовательно на опорные внутренние точки разностной сетки пластинки w1, w2, …, w9, используя таблицу коэффициентов разностного уравнения и учитывая граничные условия, получаем систему алгебраических уравнений. . Здесь интенсивность распределенной нагрузки в -том узле (в узле с перемещением ). На основе этого примера разрабатывается алгоритм формирования системы разностных уравнений прямоугольной пластинки с произвольным опиранием сторон пластинки, который может быть реализован на ЭВМ Отметим, что возможны смешанные условия опирания сторон – частично шарнирное опирание, частично жёсткое защемленное каждого края пластинки. Лекция 12 Метод коллокаций решения дифференциальных уравнений Метод конечных разностей (метод сеток) относится численным приближенным методам решения дифференциальных уравнений. Метод коллокаций является численно-аналитическим приближённым методом решения дифференциального уравнения , (12.1) где - дифференциальный оператор; - функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям на границах интервала (а,b) определения функции. Решение ищется в виде конечного ряда . (12.2) Здесь - функции, удовлетворяющие заданным граничным условиям; - неизвестные коэффициенты; М – число членов ряда. Для определения коэффициентов решение (12.1) подставляется в дифференциальное уравнение (12.1), которое удовлетворяется в точках хi (i =1, 2, …М ) - точках коллокаций, задаваемых в интервале (а,b): . (12.3) В результате получаем систему М алгебраических уравнений, решая которую, определяем неизвестные коэффициенты . После определения коэффициентов вычисляется функция и необходимые производные функции в любой точке интервала , а также за пределами интервала. Точность решения зависит как от выбора функций , так и от выбора точек коллокаций. Метод коллокаций относится к наиболее простым приближенным методам решения дифференциальных уравнений, требующих только дифференцирования, вычисления функций и решения системы уравнений. В отличие от метода сеток численно аналитические методы позволяют после определения неизвестных коэффициентов, пользоваться методами математического анализа, дифференцировать, интегрировать, определять точки максимума-минимума и т.д. Расчёт балок методом коллокаций Рассмотрим однопролетную шарнирно опёртую балку, загруженную равномерно распределённой нагрузкой q. Граничные условия: ; . Решение принимаем в виде ряда: (12.4) Нетрудно убедится, что каждый член ряда удовлетворяет граничным условиям шарнирного опирания балки. Нечётные множители , обеспечивают симметричность решения при симметричной нагрузке. Решение должно удовлетворять дифференциальному уравнению изгиба балки в задаваемых точках коллокаций. Рассмотрим решение с одним членом ряда (12.4), прияв за точку коллокации. Тогда ; ; ; . Определим изгибающий момент . В середине пролета . Точное решение ; . Относительная точность приближенного решения: . . Проведем расчёт с 2-мя членами ряда: ; . Приняв за точки коллокации и , получим систему уравнений: . Решая систему, получаем ; ; ; . ; . ; . Таким образом, решение с двумя членами ряда для шарнирно опертой балки дает невязки по прогибу и изгибающему моменту в пределах 5%. Лекция 13 Расчёт прямоугольных пластин на изгиб методом коллокаций Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис. 13.1). Задаемся функцией прогиба пластинки , (13.1) где , - функции, удовлетворяющие граничным условиям опирания пластинки на краях х = 0, х = а и у = 0, у = b соответственно; - неизвестные коэффициенты. Задаемся точками коллокаций , ; - количество точек коллокаций равное числу членов ряда. Удовлетворяем уравнение равновесия пластинки в точках коллокаций: , или подставляя решение (13.1) . (13.2) Рассмотрим прямоугольную пластинку, шарнирно опертую на контуре, с размерами в плане , . Граничные условия опирания пластинки: ; ; ; . (13.3) Из условия равенства нулю изгибающих моментов на контуре, имеем ; . (13.3,а) Учитывая граничные условия, принимаем , , и решение получаем в виде двойного ряда: .. (13.4) Очевидно, граничные условия (13.3) удовлетворяются Изгибающие моменты определяется по формулам: ; , . (13.5) Систему уравнений метода коллокаций (13.2) получаем в виде: , ; , или , (13.6) где . Проведём расчёт с одним членом ряда. За точку коллокации принимаем центр пластинки (, ). Тогда получим: ; ; . При равномерно распределенной нагрузке получим прогиб и изгибающий момент в центре квадратной пластинки: , , ; ; . Из результатов расчёта в первом приближении видно, что и прогиб и изгибающие моменты существенно отличаются от точного решения: ; . ; . Для прямоугольной пластинки  = 1,5 получаем: ; ; ; ; Точное решение при  = 1,5 [3]: ; ; . Определяем относительную точность решения с одним членом ряда для прямоугольной пластинки  = 1,5: %; %; %. Точность расчёта методом коллокаций с одним членом ряда не удовлетворительна. Проведём расчёт с 3–я членами ряда: при симметричной нагрузке относительно центральных сечений пластинки: ; ; ; ; . Нечётные члены ряда обеспечивают симметричность решения относительно центра пластинки. За точки коллокаций принимаем: 1) , ; 2) , ; 3) , . Тогда имеем: ; ; ; ; ; ; . Для квадратной пластинки (С11 = 4, С13 = С31 = 100) при равномерно распределенной нагрузке получим систему уравнений, разделив 2-е и 3-е уравнения на : Решая систему уравнений, определяем коэффициенты: ; ; . Вычисляем прогиб в центре пластинки: . % Изгибающие моменты в центре пластинки при: ; %. Для прямоугольной пластинки , принимая за точки коллокации , ; , ; , , получим: ; ; ; ; ; ; . . Решая систему уравнений, находим: ; ; ; Вычисляем прогиб и изгибающий момент в центре пластинки: . % Изгибающие моменты в центре пластинки при: ; ; %; %. Как видно из приведенных примеров точность расчёта зависит не только от числа членов ряда, но и от соотношения сторон пластинки. Для квадратной пластинки точность при расчете 3 членами ряда по сравнению с расчетом с одним членом ряда увеличилась примерно в 3 раза как для прогибов, так и для изгибающих моментов. Для прямоугольной пластинки при  = 1,5 существенно увеличилась точность только для прогибов, для изгибающих моментов точность изменилась незначительно. Покажем, что точность результатов расчета зависит и от выбора точек коллокации. Для трёх членов ряда заменим точки коллокаций: , ; , ; , . Тогда, проводя расчёт методом коллокаций, получим для квадратной пластинки : ; ; %; ; Для прямоугольной пластинки ; ; ; ; %; %; %. Из приведенных результатов видно, что для квадратной пластинки изменение точек коллокаций привело к некоторому увеличению точности по прогибам, и уменьшению точности изгибающих моментов. При этом, значения и прогиба и изгибающих моментов оказались больше точных значений, в то время как в предыдущем расчете их значения были меньше соответствующих точных значений. Для прямоугольной пластинки изменение точек коллокаций привело к некоторому увеличению точности прогиба и к более значительному увеличению точности изгибающих моментов. Метод коллокаций является наиболее простым методом решения дифференциальных уравнений. Однако зависимость точности решения от выбора точек коллокаций делает его недостаточно надёжным. Неправильный выбор точек коллокаций даже при увеличении числа членов ряда может привести к снижению точности расчёта. Это связано с тем, что удовлетворение уравнения в точках коллокаций не гарантирует удовлетворение дифференциального уравнения в промежуточных точках, что в свою очередь может приводить к неверным значениям производных искомой функций. Более надежными являются численно-аналитические методы, основанные на методах функционального анализа, в частности на вариационных принципах теории упругости и строительной механики. Л и т е р а т у р а 1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности.  М.: «Высшая школа», 2004.  380 с. 2. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности.  М.: 1978. - 288 с. 3. ТимошенкоС.П., Войновский-КригерС. Пластинки и оболочки.  М.: Физматиздат, 1966.  636 с. 4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский В.И. Вычислительные методы.  М.: «Наука».  Т. 1.  1974.  304 с.  Т. 2.  1977.  400 с. 5. КанторовичЛ.В., Крылов В.И. Приближенные методы анализа.  М.: Гостехиздат, 1952.  692 с. 6. Фильчаков П.Ф.Численные и графические методы прикладной математики.  М.: «Наукова Думка», 1970. – 800 с. 7. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчёта строительных конструкций.  М.: Строийиздат, 1977. –160 с. 8. Иванов В.Н. Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости. –М.: Изд-во РУДН, 2001. – 176 с. Содержание Лекция 1. Задачи теории упругости и методы их решения……………………………….………………………………. 3 Разностные производные первого порядка …………………... 6 Лекция 2. Разностные производные второго порядка………... 8 Лекция 3. Вывод разностных производных второго порядка методом последовательного численного дифференцирования 11 Лекция 4. Расчёт статически определимых балок методом конечных разностей…………………………………. 14 Лекция 5. Разностные производные произвольного порядка на сетке с постоянным шагом……………………... 20 Разностные производные чётного порядка……………... 20 Разностный оператор нечётного порядка……………… 22 Лекция 6. Расчёт статически неопределимых балок разностным методом 22 Лекция 7. Расчёт балок переменного сечения разностным методом 27 Пример расчёта 31 Лекция 8. Расчёт стержней переменного сечения на устойчивость 34 Пример расчёта стержня переменной жесткости на устойчивость 37 Лекция 9. Метод сеток. Бигармонический разностный оператор 40 Лекция 10. Расчёт пластин на изгиб метом сеток 43 Лекция 11. Примеры расчёта пластин методом сеток 46 Лекция 12. Метод коллокаций решения дифференциальных уравнений 52 Расчёт балок методом коллокаций 53 Лекция 12. Расчёт прямоугольных пластин на изгиб методом коллокаций 55 Литература 63