Основные законы электромагнитного поля

Глава 2. Основные законы электромагнитного поля. Основные законы, связывающие характеристики полей (, ) с токами ( источниками ) и зарядами, составляют систему уравнений, называемую системой уравнений электродинамики или системой уравнений Максвелла. Эти законы являются постулатами теории, не подлежащим выводу ( доказательству ). Они получены обобщением экспериментальных данных, которыми располагает современная физика. Все остальные положения теории электромагнетизма являются следствиями этих уравнений. Основных уравнений, образующих систему, - четыре. К настоящему времени сложилась традиция записывать основные уравнения Максвелла в определенной последовательности. Они пронумерованы: первое, второе и т.д. Начнем рассмотрение уравнений электродинамики с четвертого уравнения. 2.1. Четвертое уравнение электродинамики - закон Гаусса ( или теория о потоке вектора электрической индукции ). Пусть имеется некоторый объем υ, ограниченный замкнутой поверхностью S. Если внутри объема заключенном суммарный заряд Q, то существует следственная связь этого заряда с порождаемым им электрическим полем ( интегральная форма ). υ = Q - это означает, что поток векторной электрической индукции через любую замкнутую поверхность S численно равен полному электрическому заряду, заключенному внутри этой поверхности. Если суммарный заряд - положительный, то поток вектора через поверхность S также будет положительным. S Если заряд Q отрицательный, ему соответствует отрицательный поток вектора S Если Q = 0, то и поток равен нулю. Если имеется заряд Q вне объекта υ, силовые линии поля пронизывают объем υ насквозь, т.е. число силовых линий, входящих и выходящих из объема одинаково и поток равен нулю. S При непрерывном (объёмном) распределении заряда с плотность ρ Q = Тогда = Пользуясь известной теоремой векторного анализа - теоремой Остроградского-Гаусса, получим дифференциальную форму закона Гаусса: по теореме Остроградского-Гаусса = соответственно = Так как в объем υ - произволен, то следует, что = - закон Гаусса в дифференциальной форме. Так как дивергенция характеризует наличие источников или стоков поля, она отлична от нуля в тех точках, где начинаются или заканчиваются силовые линии поля. Из закона Гаусса следует, что силовые линии могут начинаться или заканчиваться в тех точках пространства, где ≠ 0 ( есть источники ). При > 0 - положительна. При < 0 - отрицательна, следовательно источниками электрического поля служат положительные заряды, а стоками - отрицательные заряды. Следствием закона Гаусса является закон Кулона, экспериментально найденный раньше. Действительно, для поля точечного заряда q1, окружив его сферой радиуса r получим = q1 ; т.к. на S , и направляем по радиусу, то = D ⋅ 4= q1 D = ; = ⋅ ; = D ⋅ = ⋅ Поле проявляется по его силовому действию на пробный заряд qi . По определению напряженности сила = ⋅ q2 = ⋅ 2.2. Третье уравнение электродинамики - закон непрерывности магнитного поля (или теорема о потоке вектора магнитной индукции). Из результатов экспериментов следует вывод, что силовые линии вектора , независимо от того, создается ли поле постоянными магнитами или катушками с током, образуют в пространстве замкнутые линии. Расположим в магнитном поле вектора произвольный объем υ, ограниченный поверхностью S. Из замкнутости линий поля следует, что поток вектора индукции через поверхность S равен нулю ( число силовых линий, входящих в объем, равно числу линий, выходящих из объема ). I υ Таким образом, каким бы ни был объем, ограниченный поверхностью S, всегда выполняется соотношение: = 0 - интегральная форма Так как объем υ произволен, то применяя теорему Остроградского-Гаусса, = = 0 получим дифференциальную форму закона непрерывности магнитного поля = 0 . Равенство нулю означает, что магнитные силовые линии нигде не начинаются и не кончаются: они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. Источники поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют. 2.3. Второе уравнение электродинамики - обобщенный закон электромагнитной индукции Фарадея. Пусть в некоторой области пространства существует переменное во времени магнитное поле. Рассмотрим в этой области произвольный замкнутый контур L и произвольную поверхность S, опирающуюся на этот контур. Выделим на поверхности S элемент поверхности dS и зададим направление нормали к элементу dS. Выберем направление обхода dS так, чтобы ( если смотреть навстречу вектору dS, с конца вектора = ) направление обхода наблюдалось против часовой стрелки. Таким же выберем направление обхода контура L. Для этого мы должны элемент dS плотную приблизить к контуру L и в общей точке обход должен совершаться в одном направлении. S L При указанных условиях закон электромагнитной индукции имеет следующий вид в интегральной форме: = Циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения ( производной по времени ) потока вектора магнитной индукции через любую поверхность, опирающуюся на этот контур. В этом выражении - вектор, численно равный длине элементарного отрезка и направленный в каждой точке по касательной к контуру против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора нормали к поверхности . (В соответствии с выбранным ранее положительным направлением обхода контура ). dL Используя теорему Стокса ( или Остроградского-Стокса ), имеем: = Внесем оператор дифференцирования по времени под знак интеграла. Получим = Т.к. выбрана произвольно, дифференциальную форму закона электромагнитной индукции : Слева оператор rot содержит пространственные производные, справа производная по времени. Следовательно, характер изменения магнитного поля во времени определяет характер изменения направленности электрического поля в пространстве. Если = 0 или в пространстве не меняется, то 0 и = 0. Значит, в отсутствие электрического поля, магнитное поле может быть только постоянным. Но всякое изменение магнитного поля приводит к появлению электрического поля. Поток вектора через поверхность называется магнитным потоком Ф = ; [ Ф ] = [ B ] [ S ] = Вб ( вебер ) В частном случае, когда контур - проводящий, второе уравнение электродинамики совпадает с законом электромагнитной индукции Фарадея. Действительно; пусть = Ф - магнитный поток, пересекающий плотность витка. = q - ЭДС, наводимая в проводящем контуре. ε = - - закон Фарадея - частный случай второго уравнения Максвелла. Максвелл показал, что наличие проводящего контура не является обязательным и что приведенные соотношения справедливы для произвольного ( математического ) контура. Ток в проводящем контуре возникает в результате силового воздействия электрического поля на свободные заряды проводника. Возникновение электрического поля, толкающего заряды, не связанно с наличием металла ( проводника ), и может иметь место в вакууме, а также в любой другой среде, это следует из второго уравнения электродинамики. 2.4. Первое уравнение электродинамики - закон полного тока. Рассмотрим в пространстве воображаемый замкнутый контур L, ограничивающий поверхность . Зададим направление обхода контура L и направление нормали к так же, как в предыдущем случае. L Пусть в пространстве, окружающем L, существует переменное во времени электрическое поле, а поверхность пронизывается токами. Закон полного тока в интегральной форме записывается так: = ) Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L равна суммарному току, пересекающему поверхность , ограниченную контуром L. Этот суммарный ток состоит из двух слагаемых. Ток проводимости I = и ток, называемый током смещения = = , где j - объемная плотность тока проводимости, - объемная плотность тока. Полный ток = I+ ; = j + Связь между , и в каждой точке пространства дает дифференциальная форма 1-го уравнения электродинамики. Для получения ее воспользуемся теоремой Остроградского-Стокса = , получаем = j + . Если процесс во времени не меняется, = 0 , получаем = j ( j - временная зависимость отсутствует ), что характеризует связь магнитного поля и постоянного тока: При протекании постоянного тока всегда возникает магнитное поле. Но если - отсутствует, то div = 0. Если j=0 , а 0, то = и отсюда следует вывод, что изменяющееся во времени электрическое поле создает магнитное поле. div rot H = div j + div ; div j + div D = 0; div j = - Таким образом, согласно 1-му уравнению электродинамики, магнитное поле существует везде, где изменяется во времени вектор электрической индукции или вектор напряженности электрического поля, а также протекает электрический ток. 2.5. Закон сохранения заряда (8-ое уравнение Максвелла). Одно из основных положений теории электромагнитного поля, согласно которому ни при каких условиях электрические заряды не могут самостоятельно возникать или бесследно исчезать. Например, убывание заряда в некоторой области можно объяснить по этому закону только его вытеканием из области, а возрастание - притоком извне. Закон сохранения заряда является одним из следствий основной системы уравнений Максвелла. Для доказательства возьмем дивергенцию от левой и правой частей 1-го уравнения электродинамики: div rot = div + div Учитывая, что div rot = 0 и вынося оператор дифференцирования по времени за знак div , получим div = - div Согласно четвертому уравнению div = ρ. Следовательно, div = - - дифференциальная форма. Таким образом, закон сохранения заряда является следствием 1 и 4 уравнений. = - ; Теорема Остроградского-Гаусса: = = Поправка Максвелла по 1-ому уравнению . Если ее не учитывать, получаем rot = ; div rot H = div j = 0 В то время как div j = - , с другой стороны из 4-го уравнения, производная по времени = div = div ( ) ρ = div D Заметив это, Максвелл и предложил внести поправку : rot = + 2.7. Закон непрерывности полного тока (9-ое уравнение Максвелла). Для вывода закона непрерывности полного тока, который является следствием из основной системы уравнений электродинамики, воспользуемся законом полного тока - 1-ым уравнением электродинамики rot = + . Применив к левой и правой частям уравнения операцию дивергенции div rot = div ( + ) С учетом векторного тождества div rot = 0, получим дифференциальную форму div ( + ) = 0 , что и означает непрерывность линий полного тока. Линии тока и проводимости, обрываясь, переходят в линии тока смещения. Возьмем замкнутый объем в пространстве, так чтобы через него проходили линии полного тока, и проинтегрируем по этому объему полученное выражение = 0 Применив теорему Остроградского-Гаусса, получим интегральную форму закона непрерывности линий полного тока: = или = 0 I + = 0 3.7 Система уравнений Максвелла дифференциальная форма интегральная форма Основные уравнения Материальные уравнения ; ; ; ; Следствия 8. 9. Глава 5. Уравнения электродинамики в комплексной форме. В систему уравнений Максвелла входят частные производные по четырём независимым переменным: x, y, z, t (по трём координатам и времени). Если рассматриваемый электромагнитный процесс – монохроматический, то есть изменения полей во времени представляется гармоническими колебаниями с частотой , то одну из указанных переменных можно исключить. Монохроматические колебания имеют широкое применение в радиотехнике. Многие не гармонические процессы при теоретическом анализе могут быть представлены с помощью рядов или интегралов Фурье в виде суперпозиции гармонических процессов. Для анализа гармонических процессов удобно использовать символический метод или метод комплексных амплитуд. По этому методу гармоническая величина: где – амплитуда, - начальная фаза, - круговая частота, заменяется комплексной функцией: где реальный гармонический процесс описывается действительной частью комплексной величины Функция называется текущим или мгновенным комплексом и записывается в виде: где – не зависящая от времени комплексная амплитуда, в которую входит начальная фаза. Дифференцирование текущих комплексов по времени эквивалентно умножению комплексов на Меняющееся во времени по гармоническому закону электрическое поле , записанное в прямоугольной системе координат: где - комплексная векторная амплитуда Может быть представлена комплексными векторными функциями: Полная система уравнений Максвелла в комплексной форме. Для перехода к уравнениям электродинамики в комплексной форме достаточно заменить в них функции поля их комплексными аналогами, а дифференцирование по времени – умножением на Первые два уравнения принимаю вид: Представляя каждую комплексную величину через комплексную амплитуду и множитель и сокращая правые и левые части уравнений на , получим систему уравнений для комплексной амплитуды, из которых исключена временная зависимость Поскольку линейные операции (сложение, вычитание, дифференцирование, интегрирование и т. д.) над вещественной и мнимой частями проводятся раздельно, указанная замена приводит к правильному результату, если вычислить от конечных функций действительную часть. Принцип двойственности Рассматривая уравнение Максвелла для изотропной непроводящей среды, свободной от источников , нетрудно заметить, что замена ; ; сохраняет систему уравнений Максвелла. Можно сделать вывод, что если известно решение однородной краевой задачи с граничным условием для электрического поля, то решение однородной краевой задачи c аналогичным (двойственным) граничным условием для магнитного поля получается заменой , , В первом случае поверхность называется электрической стенкой, во втором – магнитной. 5.2 Комплексная диэлектрическая проницаемость. Здесь вводится понятие комплексной диэлектрической проницаемости среды. Использование этого понятия позволяет упростить уравнение электродинамики. Нужно учесть также, что значение понятия комплексной диэлектрической проницаемости гораздо шире. Запишем первое уравнение с учётом материального уравнения среды и стороннего тока: или где величина – называется комплексной диэлектрической проницаемостью. Используя это понятие, первое уравнение можно записать в виде: при отсутствии сторонних сил уравнение не содержит в явном виде тока проводимости: если в одном случае , а в другом , то это различие проявится лишь в характере : при - - комплексная величина, - - действительная величина. Введение упрощает запись первого уравнения, можно обобщить понятие комплексной диэлектрической проницаемости, а затем и комплексной магнитной проницаемости, чтобы учесть особенности процессов в диэлектриках и магнитиках.