Основные уравнения математической физики (уравнение колебаний, уравнение диффузии, уравнения Пуассона и Лапласа).

Лекция 1. Основные уравнения математической физики (уравнение колебаний, уравнение диффузии, уравнения Пуассона и Лапласа). Предмет теории уравнений математической физики составляет изучение дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений, описывающих явления природы. Точные рамки этой дисциплины определить довольно трудно. Кроме того, большое разнообразие вопросов, относящихся к уравнениям математической физики, не позволяет охватить их сколько-нибудь полно в университетском курсе. Наш курс будет посвящен в основном изучению уравнений в частных производных второго порядка с одной неизвестной функцией, в частности волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа, обычно называемых классическими уравнениями математической физики. §1. Уравнение колебаний Многие задачи механики (колебаний струн, стержней, мембран и трехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) приводят к уравнению колебаний вида , (1) где неизвестная функция зависит от пространственных переменных и временная и времени коэффициенты и определяются свойствами среды; плотность внешнего возмущения. В уравнении (1) в соответствии с определением операторов и . Продемонстрируем вывод уравнения (1) на примере малых поперечных колебаний струны. Струной называется упругая нить, не сопротивляющаяся изгибу. Пусть в плоскости струна совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью . Обозначим через величину отклонения струны от положения равновесия в точке в момент времени , так что есть уравнение струны в момент времени . Мы будем пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению с . Так как струна не сопротивляется изгибу, то её натяжение в точке в момент времени направлено по касательной к струне в точке (Рис. 1). Любой участок струны после отклонения от положения равновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины и, следовательно, в соответствии с законом Гука величина натяжения будет оставаться постоянной, не зависящей от и , . Обозначим через плотность внешних сил, действующих на струну в точке в момент времени и направленных перпендикулярно оси . Наконец, пусть обозначает линейную плотность струны в точке , так, что масса элементы струны . Составим теперь уравнение движения струны. На её элемент действует силы натяжения (Рис.1) и внешняя сила, сумма которых, согласно законам Ньютона, должна быть равна произведению массы этого элемента на его ускорение. Проектируя это векторное равенство на ось , получим . (2) Но в рамках нашего приближения , и, следовательно, из имеем , т.е. . (3) Уравнение (3) и есть уравнение малых поперечных колебаний струны. Если плотность постоянна, , то уравнение колебаний струны принимает вид , (4) где обозначено . Уравнение мы будем также называть одномерным волновым уравнением. Уравнение вида (1) описывает также малые продольные колебания упругого стержня , (5) где площадь поперечного сечения стержня и модуль Юнга в точке . Аналогично, выводится уравнение малых поперечных колебаний мембраны . (6) Если плотность постоянна, то уравнение колебаний мембраны принимает вид . (7) Уравнение (7) мы будем называть двумерным волновым уравнением. Трехмерное волновое уравнение , (8) описывает процессы распространения звука в однородной среде и электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому уравнению удовлетворяет плотность газа, его давление и потенциал скоростей, а также составляющие напряженности электрического и магнитного полей и соответствующие потенциалы. Мы будем записывать волновые уравнения (4), (7) и (8) единой формулой: , где оператор Лапласа . §2. Уравнение диффузии Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются следующим общим уравнением диффузии: . (9) Выведем уравнение распространения тепла. Обозначим через температуру среды в точке в момент времени , а через и соответственно её плотность, удельную плотность и коэффициент теплопроводности в точке . Пусть интенсивность источников тепла в точке в момент времени . Подсчитаем баланс тепла в произвольном объеме за промежуток времени . Обозначим через границу , и пусть внешняя нормаль к ней. Согласно закону Фурье, через поверхность в объем поступает количество тепла , равное, в силу формулы Гаусса-Остроградского, . За счет тепловых источников в объеме возникает количество тепла . Так как температура в объеме за промежуток времени выросла на величину , то для этого необходимо затратить количество тепла . С другой стороны и поэтому , откуда, в силу произвольности объема , получаем уравнение распространения тепла . (10) Если среда однородна, т.е. , и постоянные, то уравнение (10) принимает вид , (11) где . Уравнение (11) называется уравнением теплопроводности. §3. Стационарное уравнение Для стационарных процессов и уравнения колебаний (1) и диффузии (9) принимают вид . (12) При уравнение (12) называется уравнением Пуассона ; (13) при уравнение (13) называется уравнением Лапласа . Рассмотрим потенциальное течение жидкости без источников, а именно пусть внутри некоторого объема с границей имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность ), характеризуемое скоростью . Если течение жидкости не вихревое , то скорость является потенциальным вектором, т.е. , (14) где скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Если отсутствуют источники, то . (15) Теперь из формул и получим: или , т.е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа. Задачи 1. Абсолютно гибкая однородная нить закреплена на одном из концов и под действием своего веса находится в вертикальном положении равновесия. Вывести уравнение малых колебаний нити. Ответ: , где смещение точки, длина нити, ускорение силы тяжести. 2. Вывести уравнение поперечных колебаний струны в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости. Ответ: . 3. Тяжелая однородная нить длины , прикреплена верхним концом к вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью . Вывести уравнение малых колебаний нити около своего вертикального положения равновесия. Ответ: . 4. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся со скоростью в направлении оси , если поверхностями равной концентрации в каждый момент времени являются плоскости, перпендикулярные оси . Ответ: . 5. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде для вещества, частицы которого: а) распадаются со скоростью, пропорциональной концентрации; б) размножаются со скоростью, пропорциональной их концентрации. Ответ: а) ; б) . 6. Исходя из Максвелла в вакууме: где напряженность магнитного поля, напряженность электрического поля. Вывести уравнение для потенциала электрического поля постоянного электрического тока, вывести уравнение для потенциала.