Основные типы моделей в математической экономике

Лекция 3. Основные типы моделей в математической экономике Изучение принципиально значимых типов моделей, о структуре и элементах которых шла речь на предыдущих лекциях, всегда комплементарно исходным наборам базовых теоретических сведений, составляющих фундамент всей математической экономики – то есть основным законам так называемой «математической грамматики». На этом этапе возникает принципиально значимый импульс, отрегулированный дающий современному инструментарий, при экономисту помощи которого четкий и решаются экономические задачи на уровне построения вышеобозначенных процессов моделирования. Такое положение вещей не означает, что специалист в области экономики (разных профилей и направлений специализации) должен владеть в полном объеме полным спектром сведений и фактов, составляющих все современное «здание» математической науки. От этого «здания» экономисту необходимы лишь вполне конкретные, как правило, прикладные вопросы и сведения, без понимания которых он не смог бы ориентироваться во всем многообразии количественных сторон описания и анализа функционирования объектов экономической природы. Поэтому, возникает объективная необходимость содержательно ознакомить будущего экономиста именно с тем арсеналом математических сведений, без которых он не сможет обойтись в своей аналитической работе. В этой связи, начинающему специалисту полезно ознакомиться в первом приближении с литературными источниками, которые рекомендуются здесь ко всему изучаемому модулю «Теория анализа и статистика». Как уже отмечалось ранее, математическое моделирование означает формулировку реальной задачи на математическом языке. Образно говоря, морфология этого языка направлена на обозначение реальных величин (в нашем случае экономических) специальными символами, а синтаксис – на формальное описание взаимосвязей между этими величинами. Здесь мы напомним исходные понятия этого языка. 1 Для вывода общих закономерностей удобно работать не с конкретными числами, а с их буквенными обозначениями. Например, говорят "число a", имея в виду, что a есть какое-то конкретное число (отрицательное, положительное или нуль). Как правило, известные числа обозначают начальными буквами латинского алфавита – a, b, c,… или греческого алфавита – , , ,… , а неизвестные величины – латинскими буквами x, y, z или греческими буквами , , . Так как для обозначения разных величин всех букв не хватает, то часто пользуются индексами: , , . Например, набор продуктов, состоящий из 25 видов, количество которых известно, удобнее обозначить ( , если их количество не известно, то ( , ,…, ,…, ), а ) . Здесь каждый индекс = 1,2, … ,25 заменяет название определенного продукта. Для удобства совокупность чисел обозначается одной буквой: ( ,…, ); x называют вектором, числа , = = 1, … , , – компонентами этого вектора, а число n всех компонент – размерностью этого вектора. Вектор размерности n называют еще точкой n-мерного пространства и пишут Таким образом, ∈ . обозначает множество всех векторов размерности n. Множество векторов, удовлетворяющих тем или иным условиям (свойствам, ограничениям), обозначают заглавными буквами. Например, множество всевозможных наборов продуктов n видов, которые можно приобрести за определенную сумму денег, обозначим через B. В этом случае пишут говорят, что B есть подмножество n-мерного пространства общей записи ∈ ). ∈ можно записать более конкретно: ∈ ⊂ и . Теперь вместо ⊂ (или просто Не все экономические величины можно задавать числами или векторами. Например, нам нужно составить план перевозок некоторого материала с трех складов на пять объектов строительства. Обозначим через – количество перевозимого материала с i-го склада ( = 1,2,3) на j-й объект строительства (" = 1, … ,5). Тогда весь план перевозок можно представить в виде: # # # # ## $ $ #$ 23333333433333335 1 2 3 4 5 # Номера объектов строительства 1 2% Номера складов 3 Для удобства совокупность таких чисел обозначают одной буквой … … ;=< … … … … > … = = = называются элементами матрицы. Число и называют матрицей. Числа строк m и число столбцов n называют размерностью матрицы. Сокращенно матрицу размерности ? × записывают как ; = A A=× . Матрицу можно рассматривать как совокупность векторов-столбцов или векторов-строк. Рассмотрим теперь математические способы описания взаимосвязей между экономическими величинами. В основе многих математических исследований лежит выяснение зависимостей между различными экономическими величинами. Здесь недостаточно констатировать, что одна величина зависит от другой или ряда других. Нужно выяснить природу или закономерности этой взаимосвязи, иначе говоря, описать математически эту взаимосвязь. Например, нас интересует рыночная стоимость какого-то товара. Обозначим ее буквой p. В числе основных факторов, от которых зависит эта величина, мы можем назвать ) и вложенные в производство этого товара материальные (обозначим трудовые (обозначим ) затраты, а также спрос (обозначим # ). В математике зависимую величину p называют функцией, а независимые величины аргументами и пишут B = B( , конкретным числовым , значениям #) . определенное числовое значение B( , , , # – Эта запись означает, что каждым аргументов , #) , , # соответствует функции p. Остается выяснить конкретный вид функции p, отражающий природу этой зависимости. В математике изучают различные виды функций, отличающиеся друг от друга как по числу аргументов, по внешнему (аналитическому) виду, так и по свойствам. Наиболее простыми являются функции, зависящие от одного аргумента: C = C( ), ∈ . Часто указывают область ⊂ допустимых значений аргумента (открытый или замкнутый интервал или множество дискретных (отдельных) точек на числовой оси). Так что функция f определена (имеет смысл) только для ∈ . На практике функции одного аргумента применяют при сравнительно неглубоких исследованиях. Например, известно, что спрос, как платежеспособная потребность, является функцией от цены товара и бюджета потребителя. То есть спрос – это функция двух аргументов: C = C( , ). Но если нас интересует зависимость спроса только от цены товара, то с некоторой натяжкой можно считать, что спрос есть функция одного аргумента (цены): C = C( ) . Поэтому мы напомним необходимые в дальнейшем определения как для функции одного аргумента, так и для функции многих аргументов. Функция C = C( ), ∈ представить в виде C( ) = ⋅ называется линейной функцией, если ее можно + F , где a, b – const (постоянные числа). Графиком линейной функции является прямая линия, причем при F = 0 она проходит через начало координат. Наклон этой линии относительно положительного направления оси Ox зависит от величины коэффициента a. Пусть F = 0 и = ∆C/∆ , ∈ . Обозначим − = ∆ , C( ) − C( ) = ∆C. Тогда (отношение "противолежащего катета" к "прилежащему катету" относительно угла K (рис. 1)). Поэтому = LMK называется угловым коэффициентом – чем больше a, тем больше угол наклона K, и наоборот. Рис. 1. График линейной функции Функция многих переменных C = C( , … , , ,…, , ∈ называется линейной функцией, если ее можно представить в виде C E⋯E ⋅ E F, где ,…, , F – const. Графическое изображение такой функции можно представить только при плоскость в пространстве координат; при # ⋅ 2 , и им является двумерная , которое при F 0 проходит через начало O 2 функцию нельзя изобразить графически. Линейные функции отражают прямо пропорциональную зависимость между экономическими показателями и факторами. Строго говоря, в экономике нет линейных зависимостей в чистом виде. Поэтому линейные функции весьма приближенно описывают существующие взаимосвязи. В то же время они находят широкое применение как в теории, так и в практике. Для описания сложных экономических взаимосвязей применяют нелинейные функции. Из этого класса функций в математической экономике чаще других применяют степенные функции (содержащие элементы вида где a – const), показательные функции (содержащие элементы вида Q P , , где a – const), логарифмические функции (содержащие элементы вида log P , где a – const). Примеры графиков таких функций на плоскости показаны на рис. 2. а б в Рис. 2. Графики нелинейных функций: а – степенной; б – показательной; в – логарифмической Множество всех точек, для которых C( ) = U, где c – const, называется линией уровня функции f. Каждому числу c соответствует своя линия уровня функции f. Поэтому у любой функции существует бесконечное множество линий уровня. На рис. 3 показано расположение линий уровня функции C= + в пространстве переменных уравнениями E , . Это параболы, описываемые U для различных c. Можно показать, что такие кривые заполняют всю плоскость . Иначе говоря, для любой точки ̅ ∈ такое число U̅ , что точка ̅ удовлетворяет уравнению ̅ E ̅ ̅ E ̅ U̅ проходит через точку ̅ найдется U̅ , т.е. кривая ̅ , ̅ . Для построения функций, описывающих взаимосвязи экономических величин, важную роль играют статистические данные, которые при их достаточном количестве указывают на закономерность взаимосвязей этих величин. Функции могут быть построены исходя из логических соображений, вытекающих из условия реальной задачи, а также с использованием известных закономерностей и формул из области естествознания. Рис. 3. Линии уровня Пример 1. Наблюдение за рынком показало, что в течение шести месяцев спрос, предложение и цена на говядину в некотором регионе изменилось следующим образом: Экономические величины Месяцы 1 2 3 4 5 6 Спрос, т 55 47,5 40 32,5 25 17,5 Предложение, т 4,9 14,05 23,2 32,35 41,5 50,65 Цена, руб. 30 35 40 45 50 55 Показать в виде функции следующие зависимости: 1) спроса от цены; 2) предложения от цены; 3) цены от спроса и предложения. Для этого введем следующие обозначения: p – цена. Построим сначала функцию спроса – спрос, – предложение, от цены p. Построив по точкам (цена, спрос), видим, что функция спроса (B) на плоскости изображается прямой линией. Для первых двух месяцев имеем WB ∆ 55 − 47,5 = = −1,5. ∆B 30 − 35 Можно показать, что для остальных пар месяцев отношение же самое значение. Линия спроса пересекает ось W ∆QZ ∆[ имеет то в точке (0,100). Таким = −1,5 ∙ B + 100. Рассуждая аналогично, получим образом, мы получаем = 1,83 ∙ B − 50. Для аналитический вид функции предложения от цены определения вида функции цены от спроса и предложения из полученных уравнений выразим цену: B = 3,03 ∙ ( ) − 151,5. + В примере 1 мы показали, как можно построить функции с помощью статистических данных. Пример 2. Известно расположение n пунктов (рынков), торгующих разными товарами. Для снабжения рынков планируется построить m складов. Для минимизации затрат при перевозках желательно, чтобы суммарное расстояние от складов до рынков было как можно меньше. Надо определить места сооружения складов. Эту задачу нельзя решить, не построив функцию суммарного расстояния. Обозначим через ^ , = 1, … , ; через ^ , _ известные географические координаты i-го рынка, _ – неизвестные координаты j-го склада, " = 1, … , ?. Из геометрии известно, что расстояние между двумя точками ( , плоскости можно задать как a( функция f от 2m переменных C( , ,…, = , , =) − ) +( − = b b c^ d d − ) на ) . Поэтому искомая , " = 1, … , ?, имеет вид = )и( , _ +^ − _ . В примере 2 мы показали, как можно построить искомую функцию с помощью известной формулы. В завершение параграфа определим еще один класс функций, имеющих применение функции. в экономико-математических моделях. Это многозначные Функция f, заданная на некотором множестве соответствие каждой точке eC( )f ⊂ ∈ не одно число C( ) ∈ , называется многозначной функцией. ⊂ и ставящая в , а множество чисел