Основные теоремы дифференциального исчисления

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма. Пусть функция в 𝑦 = 𝑓(𝑥) интервале (𝑎; 𝑏) дифференцируема, и в точке 𝑥0 этого интервала принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда производная функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в этой точке равняется нулю. Теорема Ролля. Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎; 𝑏], дифференцируема на интервале (𝑎; 𝑏), и 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), то внутри отрезка [𝑎; 𝑏] существует хотя бы одна точка 𝑥0 , в которой производная 𝑦 = 𝑓(𝑥) равняется нулю. Теорема Коши. Если функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑔(𝑥) непрерывны на [𝑎; 𝑏], дифференцируемы на интервале (𝑎; 𝑏), и 𝑔′ (𝑥) ≠ 0 для всех 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), тогда внутри отрезка [𝑎; 𝑏] существует хотя бы одна точка 𝑐, такая, что Теорема Лагранжа. Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎) = 𝑓′ (𝑐) 𝑔′ (𝑐) . непрерывна на [𝑎; 𝑏], дифференцируема на интервале (𝑎; 𝑏), то внутри отрезка [𝑎; 𝑏] существует хотя бы одна точка 𝑐, такая, что 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 = 𝑓 ′ (𝑐). Необходимое и достаточное условие постоянства функции. Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎; 𝑏] и дифференцируема в (𝑎; 𝑏), то для того, чтобы 𝑦 = 𝑓(𝑥) была постоянна на [𝑎; 𝑏], необходимо и достаточно, чтобы её производная равнялась нулю для всех 𝑥 из (𝑎; 𝑏). Необходимость. Дано: 1. 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎; 𝑏]; 2. 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎; 𝑏); 3. 𝑓(𝑥) ≡ С для всех 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]. Доказать, что 𝑓 ′ (𝑥) = 0 для всех 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏). Доказательство. Так как производная постоянной равна нулю, то 𝑓 ′ (𝑥) = 0 для всех 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏). Достаточность. Дано: 1. 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎; 𝑏]; 2. 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎; 𝑏); 3. 𝑓 ′ (𝑥) = 0 для всех 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏). Доказать, что 𝑓(𝑥) ≡ С на [𝑎; 𝑏]. Доказательство. Возьмём произвольную точку 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥0 ≠ 𝑎. На [𝑎, 𝑥0 ] выполняются все условия теоремы Лагранжа (функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎; 𝑥0 ], так как она непрерывна на [𝑎; 𝑏], дифференцируема на интервале (𝑎, 𝑥0 ), так как она дифференцируема в (𝑎; 𝑏)). Тогда по теореме Лагранжа внутри отрезка [𝑎, 𝑥0 ] найдётся точка с, такая, что 𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑎) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑥0 − 𝑎). (1) Так как 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑥0 ), то 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Тогда 𝑓 ′ (𝑐) = 0, так как 𝑓 ′ (𝑥) = 0 для всех 𝑥 ∈ 1 (𝑎; 𝑏). Получили, что правая часть (1) обращается в ноль, поэтому 𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑎) = 0. В любой точке 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏] функция принимает одно и то же значение 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(𝑎), следовательно, функция 𝑓(𝑥) постоянна на [𝑎; 𝑏]. Правила Лопиталя Теорема 1. Пусть функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑔(𝑥) определены в некоторой окрестности точки 𝑎, за исключением, может быть, самой точки 𝑎, и удовлетворяют условиям: 1) 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 0, 𝑙𝑖𝑚𝑔(𝑥) = 0, то есть 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑔(𝑥) – бесконечно малые 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 функции при 𝑥 → 𝑎; 2) в указанной окрестности существуют конечные производные 𝑓 ′ (𝑥) и 𝑔′ (𝑥), 𝑔′ (𝑥) ≠ 0; 3) существует 𝑙𝑖𝑚 Тогда 𝑙𝑖𝑚 𝑓′ (𝑥) = 𝑘. 𝑥→𝑎 𝑔′ (𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓′ (𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑔′ (𝑥) = 𝑘 (предел отношения функций при 𝑥 → 𝑎 равен пределу отношения их производных при 𝑥 → 𝑎). Теорема 2. Пусть функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑔(𝑥) определены в некоторой окрестности точки 𝑎, за исключением, может быть, самой точки 𝑎, и удовлетворяют условиям: 1) 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = ∞, 𝑙𝑖𝑚𝑔(𝑥) = ∞, то есть 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑔(𝑥) – бесконечно 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 большие функции при 𝑥 → 𝑎; 2) в указанной окрестности существуют конечные производные 𝑓 ′ (𝑥) и 𝑔′ (𝑥), 𝑔′ (𝑥) ≠ 0; 3) существует 𝑙𝑖𝑚 Тогда 𝑙𝑖𝑚 𝑓′ (𝑥) = 𝑘. 𝑥→𝑎 𝑔′ (𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓′ (𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑔′ (𝑥) = 𝑘 (предел отношения функций при 𝑥 → 𝑎 равен пределу отношения их производных при 𝑥 → 𝑎). Достаточное условие монотонности функции. Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎, 𝑏] и дифференцируема на (𝑎; 𝑏), и, если 𝑓 ′ (𝑥) > 0 в (𝑎; 𝑏), то функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) строго возрастает на [𝑎, 𝑏]; если 𝑓 ′ (𝑥) < 0 для всех 𝑥 из (𝑎; 𝑏), то 𝑦 = 𝑓(𝑥) строго убывает на [𝑎, 𝑏]. Доказательство. Дано: 1. 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎; 𝑏]; 2. 𝑓(𝑥) дифференцируема в (𝑎; 𝑏); 3. 𝑓 ′ (𝑥) > 0 для всех 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏). Доказать, что 𝑓(𝑥) строго возрастает на [𝑎; 𝑏]. 2 Для этого возьмём произвольные точки 𝑥1 , 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏]: 𝑥1 < 𝑥2 и покажем, что 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ). Так как [𝑥1 , 𝑥2 ] ⊂ [𝑎, 𝑏], то на [𝑥1 , 𝑥2 ], как и на [𝑎, 𝑏] выполняются условия теоремы Лагранжа, по которой, внутри [𝑥1 , 𝑥2 ] найдётся точка 𝑐, такая, что 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓 ′ (𝑐)(𝑥2 − 𝑥1 ). (1) Так как 𝑐 ∈ (𝑥1 , 𝑥2 ), то 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Тогда в силу условия теоремы 𝑓 ′ (𝑐) > 0, так как 𝑓 ′ (𝑥) > 0 для всех 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏). Получили, что правая часть (1) положительна, поэтому 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) > 0. Следовательно, 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ), что по определению возрастающей функции означает, что 𝑓(𝑥) строго возрастает на [𝑎; 𝑏]. Для случая, когда 𝑓 ′ (𝑥) < 0 доказательство аналогичное. Замечания: 1. Если непрерывность функции нарушается хотя бы на одном из концов [𝑎, 𝑏], то этот конец из промежутка монотонности исключается. 2. Если производная неотрицательна (неположительна) на (𝑎; 𝑏), причём обращается в нуль лишь в конечном числе точек этого интервала, то функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) строго возрастает (строго убывает) на (𝑎, 𝑏). Экстремумы функции Определение. Пусть в точке 𝑥0 функция непрерывна. Точка 𝑥0 называется точкой максимума (минимума) функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), если в некоторой проколотой окрестности точки 𝑥0 выполняется неравенство 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ) (𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0 )). Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами. Необходимое условие существования экстремума. Если в точке 𝑥0 функция имеет экстремум, и если в этой точке существует производная функции, то её производная в этой точке равна нулю. Доказательство. Пусть для определённости в точке 𝑥0 функция имеет максимум. Тогда, по определению, существует окрестность точки 𝑥0 , такая, что для всех 𝑥 из проколотой окрестности этой точки выполняется неравенство 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ) (1) Дадим точке 𝑥0 приращение 𝛥𝑥, такое, что 𝑥 + 𝛥𝑥 принадлежит рассматриваемой окрестности. Тогда функция получит приращение 3 𝛥𝑓 = 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) < 0 (2) (следует из (1)). Так как в точке 𝑥0 существует производная, то, по определению производной, 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝛥𝑓 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 , причём этот предел будет одним и тем же, не зависимо от того, как стремится приращение аргумента к нулю – слева или справа. Рассмотрим два случая: 1. 𝛥𝑥 > 0, тогда неравенстве 𝑙𝑖𝑚 𝛥𝑓 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝛥𝑓 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝛥𝑥 < 0 (в силу (2)). По теореме о переходе к пределу в ≤ 𝑙𝑖𝑚 0, что равносильно 𝑓 ′ (𝑥0 ) ≤ 0. (3) 𝛥𝑥→0 2. 𝛥𝑥 < 0, тогда неравенстве 𝑙𝑖𝑚 𝛥𝑓 𝛥𝑓 𝛥𝑥 > 0 (в силу (2)). По теореме о переходе к пределу в ≥ 𝑙𝑖𝑚 0, что равносильно 𝑓 ′ (𝑥0 ) ≥ 0. (4). 𝛥𝑥→0 Из (3) и (4) следует, что 0 ≤ 𝑓 ′ (𝑥0 ) ≤ 0. Отсюда 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0. Для случая минимума доказательство аналогичное. Замечания: 1. Обращение в нуль производной в точке 𝑥0 является лишь необходимым условием существования экстремума, но не достаточным: из того, что производная равна нулю в точке 𝑥0 , не следует, что в этой точке есть экстремум. 2. В точке экстремума производная функции может не существовать. Обобщённая формулировка необходимого условия существования экстремума. Если в точке 𝑥0 функция имеет экстремум, то её производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками. Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Первое достаточное условие существования экстремума функции. Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна в окрестности точки 𝑥0 и дифференцируема в проколотой окрестности точки 𝑥0 . Если при переходе 𝑥 через точку 𝑥0 производная функции меняет знак с «+» на «–», то точка 𝑥0 – точка максимума функции, если – с «–» на «+», то 𝑥0 – точка минимума функции. Если при переходе 𝑥 через точку 𝑥0 производная функции не меняет знак, то 𝑥0 не является точкой экстремума функции. 4 Доказательство. Дано: 1. 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна в окрестности точки 𝑥0 ; 2. существует 𝑓 ′ (𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑈(𝑥0 , 𝛿); 3. 𝑓 ′ (𝑥) при переходе 𝑥 через точку 𝑥0 меняет знак с «+» на «–». Это надо понимать так: для всех 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 ) 𝑓 ′ (𝑥) > 0, для всех 𝑥 ∈ (𝑥0 , 𝑥0 + 𝛿) 𝑓 ′ (𝑥) < 0. Докажем, что в точке 𝑥0 максимум. Функция непрерывна в окрестности точки 𝑥0 . Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) в левой половине этой окрестности. На (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 ] функция непрерывна и 𝑓 ′ (𝑥) > 0, тогда по замечанию к достаточному условию монотонности получаем, что 𝑓(𝑥) строго возрастает на (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 ]. Поэтому по определению возрастающей функции из неравенства 𝑥 < 𝑥0 следует 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ) (1). Аналогично на [𝑥0 , 𝑥0 + 𝛿) доказывается, что 𝑓(𝑥) строго убывает. По определению убывающей функции получаем, что из неравенства 𝑥 > 𝑥0 следует 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ) (2). Получили, что в 𝑈(𝑥0 , 𝛿) слева и справа от точки 𝑥0 в силу неравенств (1) и (2) выполняется одно и то же неравенство 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ). Поэтому в точке 𝑥0 максимум. Для минимума – доказательство аналогичное. Второе достаточное условие существования экстремума функции. Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дважды дифференцируема в окрестности точки 𝑥0 . Если первая производная функции в этой точке равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то точка 𝑥0 – точка экстремума функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), причём если вторая производная положительна в этой точке, то 𝑥0 – точка минимума функции, а если вторая производная отрицательна, то 𝑥0 – точка максимума функции. Правило исследования функции на возрастание, убывание и экстремум. 1. Найти область определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). 2. Найти первую производную функции 𝑓 ′ (𝑥). 3. Найти точки, подозрительные на экстремум, – критические точки. 4. Определить знак производной на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения функции. 5. Используя достаточное условие монотонности функции, сделать вывод о возрастании или убывании функции на каждом из полученных интервалов. 5 6. Используя достаточное условие существования экстремума, сделать вывод о наличии экстремума в каждой критической точке. 7. Найти экстремумы функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции Определение. Кривая 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется вогнутой (выпуклой) в точке 𝑥0 , если существует проколотая окрестность точки 𝑥0 , в которой кривая расположена выше (ниже) касательной, проведённой к этой кривой в точке с абсциссой 𝑥0 . Определение. Кривая 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется вогнутой (выпуклой) на (𝑎, 𝑏), если она вогнута (выпукла) в каждой точке этого интервала. Достаточное условие вогнутости (выпуклости) кривой. Если в точке 𝑥0 функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет производную второго порядка и 𝑓 ″ (𝑥0 ) > 0 (𝑓 ″ (𝑥0 ) < 0), то кривая 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 является вогнутой (выпуклой). Следствие. Если 𝑓 ″ (𝑥) > 0 в (𝑎, 𝑏), то кривая 𝑦 = 𝑓(𝑥) вогнута на этом интервале; если 𝑓 ″ (𝑥) < 0 в (𝑎, 𝑏), то кривая 𝑦 = 𝑓(𝑥) выпукла на этом интервале; Определение. Точка 𝑀 с абсциссой 𝑥0 называется точкой перегиба кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥), если в этой точке существует касательная к этой кривой, и при переходе 𝑥 через точку 𝑥0 кривая меняет направление вогнутости. Необходимое условие существования точки перегиба. Если точка М(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) является точкой перегиба кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥), то вторая производная 𝑓 ″ (𝑥0 ) в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Доказательство (рассмотрим случай, когда существует непрерывная производная второго порядка в точке 𝑥0 ). Допустим, что 𝑓 ″ (𝑥0 ) ≠ 0, пусть для определённости 𝑓 ″ (𝑥0 ) > 0. Так как 𝑓 ″ (𝑥) непрерывна в точке 𝑥0 , то по свойству непрерывной функции существует окрестность точки 𝑥0 , в которой 𝑓 ″ (𝑥) имеет такой же знак, как и в точке 𝑥0 . По следствию из достаточного условия вогнутости, кривая 𝑦 = 𝑓(𝑥) вогнута, а это противоречит определению точки перегиба. В случае предположения, что 𝑓 ″ (𝑥0 ) < 0 также приходим к противоречию с определением точки перегиба. Остаётся, что 𝑓 ″ (𝑥0 ) = 0. Определение. Точка 𝑥0 , в которой производная второго порядка равна нулю или не существует, называется точкой, подозрительной на перегиб. Достаточное условие существования точки перегиба. Если при переходе 𝑥 6 через точку 𝑥0 вторая производная функции меняет знак, и в точке М(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) существует касательная к кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥), то точка М является точкой перегиба кривой 𝑦 = 𝑓(𝑥). Правило нахождения промежутков выпуклости, вогнутости и точек перегиба кривой 1. Найти область определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). 2. Найти вторую производную функции 𝑓 ″ (𝑥). 3. Найти точки, в которых 𝑓 ″ (𝑥) = 0 или 𝑓 ″ (𝑥) не существует. С помощью этих точек разбить область определения функции на интервалы. 4. Определить знак 𝑓 ″ (𝑥) на каждом из полученных интервалов и сделать вывод о направлении вогнутости кривой, используя достаточное условие вогнутости кривой. 5. Найти точки перегиба, пользуясь достаточным условием их существования. Асимптоты графика функции Определение. Асимптотой графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется такая прямая, что расстояние от переменной точки 𝑀(𝑥, 𝑦), лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при удалении точки 𝑀(𝑥, 𝑦) по кривой в бесконечность. Классификация асимптот: 1. вертикальные; 2. горизонтальные; 3. наклонные. 1. Если хотя бы один из односторонних пределов 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) или 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎−0 𝑥→𝑎+0 является бесконечным, то прямая 𝑥 = 𝑎 является вертикальной асимптотой графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Следовательно, вертикальная асимптота проходит либо через точку разрыва функции с бесконечным скачком, либо через точки, которые являются концами интервала, на котором функция определена, при условии, что при стремлении к концам интервала пределы функции бесконечны. 2. Если 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑏 конечен, то прямая 𝑦 = 𝑏 является горизонтальной 𝑥→+∞ (𝑥→−∞) асимптотой графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) при 𝑥 → +∞ (𝑥 → −∞). Если у графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) существуют горизонтальные асимптоты, то наклонных асимптот у этого графика нет. 7 3. Для того чтобы прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 была наклонной асимптотой графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) при 𝑥 → ±∞, необходимо и достаточно, чтобы 𝑘 = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑥→±∞ 𝑥 , а 𝑏 = 𝑙𝑖𝑚 (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥). 𝑥→±∞ Полное исследование функции и построение графика 1. Найти область существования функции. 2. Исследовать функцию на чётность (нечётность), периодичность. 3. Исследовать функцию на непрерывность, точки разрыва. Сделать вывод о существовании вертикальных асимптот. 4. Найти горизонтальные асимптоты (если они существуют). 5. Найти наклонные асимптоты (если они существуют). 6. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы. 7. Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции. 8. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, дополнительные точки графика функции. 9. По результатам исследования построить график. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎; 𝑏], тогда она принимает на этом отрезке свои наименьшее и наибольшее значения (по теореме Вейерштрасса). Причём она может это сделать либо в критических точках, являющихся внутренними точками отрезка [𝑎; 𝑏], либо на концах отрезка. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. 1. Убедиться, что функция непрерывна на рассматриваемом отрезке [𝑎; 𝑏]. 2. Найти первую производную функции 𝑓 ′ (𝑥). 3. Найти критические точки и выбрать из них те точки, которые принадлежат отрезку [𝑎; 𝑏]. 4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка. 5. Выбрать из полученных в пункте 4 значений наибольшее и наименьшее. Если функция непрерывна на (𝑎; 𝑏), то в этом случае нельзя утверждать, что функция имеет наименьшее и наибольшее значение на этом интервале. 8 Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) в единственной точке экстремума 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏) имеет максимум, то в этой же точке функция будет иметь и наибольшее значение в (𝑎; 𝑏). При этом наименьшего значения на этом интервале не будет. Если же в этой точке окажется минимум, то в этой же точке функция будет иметь наименьшее значение, при этом наибольшего значения нет. Если функция, исследуемая на (𝑎; 𝑏), окажется непрерывной и на [𝑎; 𝑏], то можно сначала найти наибольшее и наименьшее значения функции на [𝑎; 𝑏]. Если окажется, что наибольшее значение на этом отрезке функция принимает во внутренней точке отрезка, то в этой же точке функция имеет наибольшее значение и на интервале. Если наибольшее значение достигается лишь на концах отрезка [𝑎; 𝑏], то на интервале (𝑎; 𝑏) нет наибольшего значения. Аналогично – с наименьшим значением. Дифференциал функции Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в интервале (𝑎; 𝑏), тогда её приращение можно представить в виде: 𝛥𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 )𝛥𝑥 + 𝛼(∆𝑥)𝛥𝑥, где 𝑓 ′ (𝑥0 ) ≠ 0, 𝛼(∆𝑥) – бесконечно малая функция при 𝛥𝑥 → 0. 𝑓 ′ (𝑥0 )𝛥𝑥 – главная часть приращения функции. Определение. Дифференциалом функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 называется главная часть приращения функции в точке 𝑥0 , линейная относительно приращения аргумента 𝑑𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 )𝛥𝑥. 𝑑𝑥 = 𝛥𝑥 Для того чтобы найти дифференциал функции, нужно найти производную функции и умножить на дифференциал независимой переменной. Дифференциалы высших порядков Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) дифференцируема в интервале (𝑎; 𝑏), тогда в каждой точке этого интервала можно найти дифференциал функции 𝑑𝑓(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)𝛥𝑥. Будем считать, что 𝑑𝑥 = 𝛥𝑥 – фиксированная бесконечно малая. 𝑑𝑓(𝑥) является функцией от 𝑥, которая может иметь дифференциал. Определение. Дифференциалом второго порядка функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется дифференциал от дифференциала первого порядка. 𝑑 2 𝑓(𝑥) = 𝑑(𝑑𝑓(𝑥)). 9 Определение. Дифференциалом 𝑛-го порядка функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется дифференциал от дифференциала (𝑛 − 1)-го порядка. 𝑑 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑑(𝑑 𝑛−1 𝑓(𝑥)) Дифференциал сложной функции Пусть функция 𝑓(𝑢) дифференцируема в интервале (𝑐, 𝑑), функция 𝑢(𝑥) дифференцируема в интервале (𝑎, 𝑏), при этом каждому 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ставится в соответствие 𝑢(𝑥) ∈ (𝑐, 𝑑). Таким образом, в интервале (𝑎, 𝑏) определена функция 𝑓(𝑢(𝑥)), дифференцируемая в этом интервале ′ 𝑑𝑓(𝑢(𝑥)) = (𝑓(𝑢(𝑥))) 𝑑𝑥 = (𝑓 ′ (𝑢)𝑢𝑥′ (𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑓𝑢′ (𝑢)𝑑𝑢 𝑥 Теорема. Дифференциал сложной функции равен произведению производной промежуточной функции по промежуточному аргументу и дифференциала промежуточного аргумента. 𝑑𝑓(𝑢(𝑥)) = 𝑓𝑢′ (𝑢)𝑑𝑢. Свойство инвариантности: дифференциал первого порядка сложной функции обладает свойством инвариантности формы. Приближённые вычисления с помощью дифференциала 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑑𝑓(𝑥0 ). 10