Основные свойства преобразования Лапласа

Комментарии к Лекции 10 (17.11.2020 г.) § 6. Преобразование Лапласа. Интегральное преобразование Лапласа образует основу так называемого символического или операционного метода решения некоторых задач математической физики. Английский учёный О. Хе́висайд (Heaviside), по имени которого названа единичная ступенчатая функция Χ(𝑥), эвристически применял метод символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах. Усилиями математиков операционное исчисление получило строгое обоснование посредством интегрального преобразования Лапласа. Прямое преобразование Лапласа ∞ 𝐹(𝑝) = ∫0 𝑓(𝑥)e−𝑝𝑥 d𝑥 , называемое интегралом Лапласа, содержит экспоненциальное ядро e−𝑝𝑥 с комплексным спектральным параметром 𝑝 = σ + iτ . Преобразуемая функция (оригинал) 𝑓(𝑥) является растущей (по абсолютному значению) функцией, поведение которой при 𝑥 → ∞ определяется неравенством |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀eσ0 𝑥 . Положительное число σ0 называется показателем степени роста функции 𝑓(𝑥). Кроме того, функция-оригинал равна нулю на отрицательной полуоси (𝑓(𝑥) ≡ 0 при 𝑥 < 0) и удовлетворяет условиям Дирихле. Так как растущая функция 𝑓(𝑥) не обеспечивает сходимость несобственного интеграла Фурье, вводится вспомогательная функция φ(𝑥) = 𝑓(𝑥)e−σ𝑥 , которая, как оказывается, является абсолютно интегрируемой при условии, что σ > σ0 . Применение интегральной теоремы Фурье к функции φ(𝑥) даёт возможность определить прямое и обратное преобразования Лапласа. Следовательно, интеграл Лапласа существует при условии, что Re𝑝 = σ > σ0. Обратное преобразование Лапласа 𝑓(𝑥) = 1 σ+i∞ ∫ 𝐹(𝑝)e𝑝𝑥 d𝑝 2πi σ−i∞ называют формулой обращения Фурье – Меллина, а вертикальную линию интегрирования, параллельную мнимой оси на комплексной плоскости параметра 𝑝 – контуром Бромвича. Контур Бромвича пересекает действительную ось в точке σ, то есть он всегда расположен правее линии (σ0 − i∞, σ0 + i∞). Функция-изображение 𝐹(𝑝) является аналитической повсюду в области σ > σ0 , а все её особые точки сосредоточены в левой 𝑝-полуплоскости. В случае однозначной функции 𝐹(𝑝) вычисление интеграла по контуру Бромвича производится замыканием его дугой окружности бесконечного радиуса, для которой выполняется модифицированная лемма Жордана, и применением теоремы о вычетах. В лекции даются несколько примеров на вычисление изображения по Лапласу для оригинала 𝑓(𝑥). Для того чтобы функция 𝑓(𝑥) обращалась в нуль для отрицательных значений 𝑥, в качестве сомножителя вводится функция Хевисайда Χ(𝑥). Первым вычисляется изображение показательной функции с постоянным комплексным коэффициентом в показателе ( e𝑎𝑥 ≓ 1⁄(𝑝 − 𝑎) ), после чего этот результат используется при вычислении изображений гиперболических и тригонометрических синуса и косинуса. Следует обратить внимание на условия, при выполнении которых изображение существует. Например, изображение 𝐹(𝑝) = 1⁄(𝑝 − i𝑎) существует, если имеет место неравенство σ + Im𝑎 > 0 . Вычисление оригинала по изображению 𝐹(𝑝) = 1⁄(𝑝 − 𝑎)2 свелось к вычислению контурного интеграла в 𝑝-плоскости по методу вычетов после замыкания контура Бромвича и вычисления вычета в полюсе 2-го порядка. § 7. Основные свойства преобразования Лапласа. В лекции перечисляются 10 основных свойств интегрального преобразования Лапласа. Применение этих свойств позволяет успешно находить изображения достаточно сложных функций- оригиналов, а также решать обратную задачу поиска оригинала по заданному изображению, не прибегая каждый раз к непосредственному вычислению интегралов Лапласа или Фурье –Меллина. Первые три свойства относятся к алгебраическим манипуляциям с оригиналами (сложение оригиналов, умножение независимой переменной или самого оригинала на постоянный коэффициент). Свойства 4 и 5 дают правила дифференцирования оригинала и изображения, тогда как свойства 6 и 7 устанавливают связи между оригиналом и изображением после применения операции интегрирования. Свойства 8 и 9 дают возможность находить результат прямого или обратного преобразования в тех случаях, когда аргумент соответствующей функции смещён на постоянную величину. Применительно к оригиналам операция смещения аргумента называется запаздыванием или опережением. Свойство 10 задаёт правила вычисления при наличии функции-свёртки двух функций, каждая из которых является оригиналом или изображением. Теорема Бореля утверждает, что изображением свёртки функций 𝑓1 (𝑥) и 𝑓2 (𝑥) является произведение их изображений: (𝑓1 ∗ 𝑓2 )(𝑥) ≓ 𝐹1 (𝑝)𝐹2 (𝑝) . Напротив, изображением произведения двух функций-оригиналов 𝑓1 (𝑥)𝑓2 (𝑥) является свёртка их изображений (𝐹1 ∗ 𝐹2 )(𝑝) (с коэффициентом (2πi)−1). Применение теоремы Бореля поясняется на примере отыскания оригинала для функции-изображения 1⁄(𝑝4 − 1).