Основные статистические распределения

3. Основные статистические распределения 3.1. Гипотезы в статистике На разных стадиях статистического исследования и моделирования возникает необходимость в формулировке и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез) относительно природы неизвестных параметров анализируемых случайных величин. Например, исследователь высказывает предположение: «исследуемые наблюдения извлечены из равномерно распределенной генеральной совокупности» или «среднее значение анализируемой генеральной совокупности равно нулю». Будем обозначать в дальнейшем высказанное нами предположение (гипотезу) с помощью буквы H. Наша цель – проверить, не противоречит ли высказанная нами гипотеза H имеющимся выборочным данным. Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися в нашем распоряжении выборочными данными x1, x2, … xn, сопровождаемая количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез. Результат подобного сопоставления может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе, а потому от этой гипотезы следует отказаться), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, а потому ее можно принять в качестве одного из естественных и допустимых решений). При этом неотрицательный результат статистической проверки гипотезы не означает, что высказанное нами предположительное утверждение является наилучшим, единственно подходящим: просто она не противоречит имеющимся у нас выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с H обладать и другие гипотезы. Так что даже статистически проверенное предположение H следует расценивать не как раз и навсегда установленный абсолютно верный факт, а лишь как достаточно правдоподобное непротиворечащее опыту утверждение. При обработке выборочных данных, в силу случайной природы процесса получения выборки, важно знать, каким вероятностным законам подчиняются выборочные значения исследуемого экономического показателя. Существует целый ряд распределений вероятности, которые играют роль эталона в статистических выводах. Это, прежде всего, равномерное распределение, нормальное распределение (распределение Гаусса) и распределение Стьюдента (t-распределение), распределение Фишера и хи-квадрат. 3.2. Равномерное распределение Равномерное распределение - это такое распределение вероятности, плотность которого постоянна в заданном интервале изменения случайной величины X: а Х b. Равномерно распределенная случайная величина обозначается R(а,b). Там, где встречается R без указания параметров, подразумевается стандартное равномерное распределение на интервале 0 Х 1: R(0,1). Плотность вероятности равномерного распределения на интервале [а, b] постоянна на этом интервале: 2  1  ,a xb   fu   b  a , 0, при x  a, x  b а функция распределения:  0, x  a  xa   FU ( x )  ,a  x  b ba  1, x  b    Для равномерного распределения E[X]=(a+b)/2, V[X]=(b-a)2/12 Соответствующие этим функциям графики приведены на рисунке 3.1 На примере равномерного распределения проще всего показать как графически и аналитически рассчитывать вероятность попадания в заданный интервал, т.е. Prob(x1  X < x2) используя соотношение между плотностью распределения и функцией распределения. Рис. 3.1 Плотность вероятности и функция распределения равномерного распределения. Подобно тому, как масса физического тела, равномерно распределенная по объему, находится как произведение плотности (массы в единице объема) на объем, так и вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в заданный интервал равна произведению плотности вероятности на длину интервала, и, таким образом, величина вероятности линейно растет с увеличением длины интервала (внутри области определения [a,b]). 3.3. Нормальное распределение Если случайная величина формируется под действием большого количества независимых факторов, вклад каждого из которых в значение случайной величины мал, то в силу центральной предельной теоремы эта случайная величина будет иметь нормальное распределение. В роли таких величин могут выступать: объем продаж в конкурентной отрасли или в промышленности в целом, суммарные инвестиции, 3 суммарное потребление домашних хозяйств и тому подобные величины, имеющие аддитивную природу, то есть складывающиеся из многих малых взаимно независимых величин. Основная особенность случайной величины состоит в том, что нельзя предвидеть, какое значение она примет в результате испытания. Однако при достаточно большом числе испытаний поведение суммы независимых случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится почти закономерным. При увеличении числа слагаемых в сумме противоположные случайные колебания отдельных величин сглаживаются и распределение вероятностей суммы становится весьма простым, приближаясь при определенных условиях к нормальному распределению. Нормальное распределение одной случайной величины X однозначно определяется лишь двумя параметрами: средним значением, обычно обозначаемым , и стандартным отклонением, обычно обозначаемым . Это обычно обозначают так: Х~N(,) Свойства нормального распределения Рассмотрим основные свойства нормального распределения. 10. Если ряд случайных величин (X1,X2, …Xn) имеет нормальное распределение, то их сумма (X1+X2+ …+Xn) или любая линейная комбинация (1X1+2X2+ …+nXn) также будет иметь нормальное распределение. 20. Распределение Х  величины n c X k k , представляющей собой k 1 взвешенную сумму п независимых нормально распределенных случайных величин Хk=N(k,k) с параметрами k и k, также будет иметь нормальное распределение с параметрами   n  c k k n и    c k 2 k 2 . k 1 k 1 В частности, если все ck=1/n, все k иk, одинаковы и равны l,l, соответственно, то =l, а  l . Обозначая n _ X  1 n  Xk n k 1 _ , имеем, таким образом, E[ X ] = E[Х], [Х] =[Х]/ n . Отсюда видно, что разброс среднего арифметического независимых нормально распределенных случайных величин стремится к нулю при неограниченном увеличении числа этих величин. Если, например, взята достаточно большая репрезентативная выборка населения, то средний доход в выборке почти наверняка окажется близким к действительному среднему доходу населения. Плотность вероятности и функция нормального распределения Аналитически плотность вероятности нормального распределения на интервале (,+). f N ( x)  1  2  ( x )2 2 2 e , а функция распределения FN ( x )  1  2 x e   ( t  ) 2 2 2 dt 4 E[X]= , V[X]= 2, V[X]=   Плотность вероятности нормального распределения пропорциональна величине  z2   , где z - безразмерная величина, определяемая выражением  2  ехр  x z=  . Поэтому плотность нормального распределения достаточно быстро убывает при удалении х от среднего значения . Случайная величина z имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию; это вытекает из их определений и свойств, учитывая, что z = x  . На рис. 3.2а приведен характерный график плотности вероятности, а на рис. 3.26 - график соответствующей функции распределения. а) б) Рис. 3.1 Используя выведенную нами взаимосвязь плотности вероятности и функции распределения, несложно показать, что наклон графика функции распределения характеризует плотность вероятности (чем больше плотность вероятности, тем быстрее меняется функция распределения) (f(x)=tg()), а площадь под графиком функции плотности вероятности на интервале x1Xt())=, где t реализация исследуемой случайной величины, подчиненной распределению Стьюдента. Распределение Стьюдента используется, например, при проверке гипотез: • о среднем значении нормальной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии; • о линейной независимости двух случайных величин (равенстве нулю коэффициента корреляции) - см. ниже в этой главе; • о статистической значимости коэффициента линейной регрессии. Примеры расчетов вероятности попадания в заданный интервал с помощью таблиц t-распределения Стьюдента В таблице функции распределения Стьюдента приводятся обычно, для различных чисел степеней свободы , критические точки, соответствующие приведенным в верхней строке таблицы вероятностям  попадания в правый «хвост» распределения. Иными словами, в приведенной ниже таблице число  - это вероятность превышения t–статистикой приведенного в таблице критического значения при соответствующем числе степеней свободы  (более подробная таблица приведена в прил.1): Таблица 3.2 \ 1 … 10 … 30  0,005 63,657 … 3,169 … 2,750 2,576 0,01 31,821 … 2,764 … 2,457 2,326 0,025 12,706 … 2,228 … 2,042 1,960 0,05 6,314 … 1,812 … 1,697 1,645 0,1 3,078 … 1,372 … 1,310 1,282 10 Рис. 3.7. Односторонняя критическая область распределения Стьюдента Критическая точка t, (например, t10;0,05) находится на пересечении строки с числом степеней свободы (в данном случае =10) и столбца с заданной вероятностью (в данном случае =0,05). Из приведенной таблицы находим, что t10,0,05=1,812. Напомним, что критическая точка в данном случае имеет смысл: Prob{t>t,}=. Отметим, что иногда таблицы распределения Стьюдента приводятся для двусторонних критических точек ts,, определяемых их условия Prob{t>ts,}=. Рис. 3.8. Двусторонняя критическая область распределения Стьюдента В силу симметричности распределения Стьюдента эти точки связаны с односторонними критическими точками соотношением ts,= t,/2, так как при заданной вероятности а попадания в оба "хвоста" распределения вероятность попадания в один из "хвостов" распределения будет в два раза меньше и равна /2. Кроме того, в некоторых таблицах распределения Стьюдента вместо малых чисел  (вероятностей попадания в "хвост" распределения) приводятся числа 1- (вероятности попадания в интервал (-, t,) для односторонних критических точек и в интервал [-ts, , ts,) для двусторонних критических точек). 3.5. F-распределение Фишера Это распределение (называемое иногда распределением дисперсионного отношения) имеет случайная величина, равная отношению двух независимых  2 ( k1 ) случайных величин: величины выражающейся через случайную величину, k1 имеющую распределение  2 с k1 степенями свободы и величины  2 (k 2 ) k2 выражающейся через случайную величину, имеющую распределение  с k2 степенями 2 11 свободы (распределение 2, имеет сумма квадратов k1 независимых стандартно нормально распределенных случайных величин).  2 ( k1 )  2 ( k1 ) Вводя новую случайную величину F ( k 1 , k 2 )  , мы получим  k1 k1 для нее распределение Фишера с k1 и k2 степенями свободы с плотностью вероятности: f F ( x , k 1 , k 2 )  Cx E[ X ]  k1 2 1 k    1  1 x  k2    k1 k 2 2 , k2 (k 2  2), V [ X ]  h(k1 , k 2 ) . k2  2 Рис. 3.9. F-распределение Фишера 1о. Критические точки распределения Фишера обладают следующим свойством: 1 F1 ( k 1 , k 2 )  F ( k 2 , k 1 ) о 2 . Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с k2 степенями свободы, имеет распределение Фишера с (1, k2) степенями свободы. Подставляя в определение случайной величины F «выборочное представление случайной величины  :  ( n  1)  2 2 ( n  1) S n**2 2 , можно получить «выборочное представление» случайной величины F:  S 1*,2k 1   S 2*2,k 2  F ( k 1  1, k 2  1)   2    2   1    2      n 1  ( X k  X ) 2 - исправленная выборочная дисперсия  n  1 k 1 n S n*2 n 1 для выборки объема п. Распределение Фишера используется, например, при: • сравнении двух дисперсий; где S n**2  12 • проверке гипотезы об одновременном равенстве нулю всех или части коэффициентов линейной регрессии; • проверке гипотезы о совпадении всех коэффициентов двух уравнений линейной регрессии. Работа с таблицами F-распределения Фишера Таблицы функции F-распределения Фишера на интервале [0,+) обычно приводятся отдельно для различных значений вероятности а попадания в "хвост" функции распределения. Например, для  = 0,05 такая таблица имеет вид: Таблица 3.3 1 1 161 … … 10 242 … … 100 253 00 254 … … … … … … … 10 4,96 … 2,97 … 2,59 2,54 … … … … … … … 100 3,94 … 1,92 … 1,39 1,28  3,84 … 1,83 … 1,24 1,00 k2\k1 Рис. 3.10. Односторонняя критическая область распределения Фишера В этой таблице для различных сочетаний чисел степеней свободы k1 и k2, приведены критические точки функции распределения Фишера, соответствующие вероятности  = 0,05 попадания в "хвост" функции распределения. Пример Критическая точка F(k1,k2)=F0,05(10,100) находится в таблице, соответствующей значению  = 0,05, на пересечении строки k2 (в данном случае k2= 100) и столбца k1 (в данном случае k1= 10). Из приведенной таблицы находим, что F0,05(10,100) = 1,92. Напомним, что критическая точка в данном случае имеет следующий смысл: Prob{F>F(k1,k2)} = . 13 Вопросы для самопроверки 1. Какой вид (аналитический) и графический имеют плотность распределения вероятности и функция распределения стандартного равномерного распределения, определенного на интервале 0x1? 2. Какой вид (аналитический) и графический имеют плотность распределения вероятности и функция распределения стандартного нормального распределения? 3. Что такое распределение Стьюдента? Каковы его характеристики? 4. Что такое распределение Фишера? Каковы его характеристики?