Основные статистические характеристики теории надежности

§1.4 Основные статистические характеристики теории надежности Обилие факторов, влияющих на надежность, а также множественность не поддающихся учету технологических причин, приводящих к отказу, не позволяют найти сколько-нибудь достоверные зависимости, связывающие характеристики надежности изделия с параметрами внешних воздействий. Время безотказной работы = 𝑓(𝑡 0 , 𝑃атм , 𝐴вибр , 𝑓вибр , … ) (таких формул нет). Иными словами, не представляется возможным построить детерминированную математическую модель, описывающую надежность изделия (системы). Поэтому в современной теории надежности используются статистические модели и методы, основанные на теории вероятности и математической статистики. Рассмотрим основные статистические характеристики, с которыми оперирует теория надежности и поясним их математический смысл. 1) Вероятность безотказной работы – Р(t), показывает вероятность того, что в течение времени t отказ изделий не произойдет. Численно равно 0÷1 с обязательным указанием промежутка времени, к которому она относится. Если Р(t) = 0,98 (1000 ч.): если взять 1000 изделий и включить на 1000 час., то к концу этого времени 980 изделий будут работать, а 20 выйдут из строя. Свойства функции P(t): a) P(0) = 1 – в ТН принимаются к рассмотрению с самого начала исправное изделие, b) P(∞) = 0 – любое изделие всегда выйдет из строя, c) P(t) – убывающая функция. 2) Вероятность отказа изделия – q(t) – вероятность того, что в течение времени t произойдет отказ. Всегда указывается рассматриваемый промежуток времени. Если q(t) = 0,4 за 100 часов, то из 1000 изделий через 100 часов 400 откажут. Свойства q(t): a) q(0) = 1 – изделие исправно, b) q (∞) = 0 – отказ изделия, c) q (t) – возрастающая функция. Так как P(t) и q(t) – противоположные события, то их сумма равна: P(t) + q(t) = 1; 𝑑𝑃(𝑡) 𝑑𝑞(𝑡) = − ; 𝑑𝑡 𝑑𝑡 q(t) = 1 – P(t); P(t) = 1 – q(t). 𝑑𝑞(𝑡) 𝑑𝑃(𝑡) = − ; 𝑑𝑡 𝑑𝑡 3) Плотность распределения времени безотказной работы – f(t) – отношение вероятности того, что отказ изделия произойдет в промежутке времени от t до t+t, ко времени t (статистическое определение). 𝑟 𝑓(𝑡) = , где 𝑁t r – число изделий вышедших из строя за промежуток времени t, N – начальное число изделий, участвующих в эксперименте. Пусть в эксперименте участвовало N изделий. Проведены наблюдения в 3 момента времени. Момент Время Количество изделий исправно работающих к концу 1 N 2 t P(t)N 3 t+t P(t+t)N r – число вышедших из строя за t. r = P(t)N – P(t+t)N; 𝑓(𝑡) = P(t)N – P(t + t)N P(t) − P(t + t) = , 𝑁t t при t0. P(t) − P(t + t) 𝑑𝑃(𝑡) 𝑑𝑞(𝑡) = − = ; t0 t 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑓(𝑡) = lim 𝑡 𝑞(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡̃)𝑑𝑡̃ ; 𝑡 𝑃(𝑡) = 1 − ∫ 𝑓(𝑡̃)𝑑𝑡̃ . 4) Интенсивность отказов изделия - (t) – плотность распределения отказов, определяемая при условии, что до момента t отказ не произошел. Интенсивность отказов показывает, какая доля от участвующих в работе изделий отказывает в единицу времени, после выбранного момента. Статистическое определение (t) – отношение условной вероятности отказа изделия в промежутке времени от t до t+t, относительно исправно работающих до начала промежутка t, ко времени t. (t) = 𝑟 𝑧 = , где 𝑅t  r – число изделий, вышедших из строя, за промежуток t, R – число изделий, исправно работающих до начала промежутка t, z – условная вероятность отказа изделия в промежутке времени от t до t+t относительно исправно работающих до начала промежутка t. Определим выражение для (t). Рассмотрим работу какого-либо изделия на двух участках: На втором участке – изделие вышло из строя. На первом участке – изделие работает. Так как изделие вышло из строя на втором участке, это значит, что функция q(t) – вероятность отказа получила приращение dq(t). Но изделие могло выйти из строя на втором участке только при условии, если оно нормально проработало на первом участке. Используя принцип умножение вероятностей: вероятность совместного появления двух событий равно вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого относительно первого: P(AB) = P(A)P(B|A), где P(B|A) – условная вероятность события В относительно А. Можно записать: −𝑑𝑝(𝑡) = 𝑑𝑞(𝑡) = 𝑃(𝑡)𝑧, где P(t) – вероятность исправной работы на первом участке, z – условная вероятность выхода из строя изделия на втором участке, при условии, что оно нормально проработало на первом участке (t) = 𝑧 = (t)𝑑𝑡 , 𝑧 𝑑𝑡 ; тогда −𝑑𝑃(𝑡) = 𝑃(𝑡)(t)𝑑𝑡; (t) = − (t) = 1 𝑑𝑃(𝑡) ; 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑞(𝑡) 1 ; 𝑑𝑡 1 − 𝑞(𝑡) Мы рассмотрели функциональные характеристики, иногда пользуются и числовыми характеристиками. 5) Среднее время наработки изделия до отказа – Tср. (время безотказной работы) – это среднее арифметическое времени наработки до отказа отдельных изделий. t1 ; t2 ; … tn Но такое определение  не 𝑇ср = связывает 𝑡1 +𝑡2 +⋯𝑡𝑛 𝑛 Tср с ; вероятностными характеристиками. В теории надежности под Tср понимается математическое ожидание плотности распределения времени безотказной работы f(t) ∞ 𝑇ср = ∫ 𝑡 ∗ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 . Выразим 𝑇ср через P(t): ∞ 𝑇ср = ∫ 𝑡 (− 𝑑𝑃(𝑡) ) 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 ∞ = − ∫ 𝑡𝑑𝑃(𝑡) = 〈∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢〉 = ∞ ∞ ∞ = −𝑡𝑃(𝑡) | + ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 , так как: 𝑡 = 0  0 ∗ 𝑃(0) = 0 ∗ 1 = 0 ; 𝑡 = ∞  𝑙𝑖𝑚∞ ∗ 𝑃(∞) = 0, так как P(t) при t  ∞ убывает быстрее, чем 1/t (это доказано в мат. статистике). ∞ 𝑇ср = ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 ; ∞ 𝑇ср = ∫ [1 − 𝑞(𝑡)]𝑑𝑡. §1.5 Взаимосвязь между статистическими характеристиками Аналитическая связь между статистическими характеристиками надежности приведена в таблице 1. Зависимости помещенных в первых трех столбцах таблицы ниже либо получены ранее, либо следуют из очевидных соотношений. Поясним каким образом получены зависимости четвертого столбца. Выпишем равенство: 𝑑𝑃(𝑡) (𝑡) = − 𝑑𝑡 . 𝑃(𝑡) Из него получим линейное дифференциальное уравнение 𝑑𝑃(𝑡) + (𝑡)𝑃(𝑡) = 0. 𝑑𝑡 Решаем это уравнение при начальном условии P(0) = 1. Разделим переменные 𝑑𝑃 = −(𝑡)𝑑𝑡 . 𝑃 Проинтегрируем левую и правую части уравнения 𝑡 𝑡 𝑑𝑃 ∫ = − ∫ (𝑡̃)𝑑𝑡̃ ; 𝑃 𝑡 𝑡 ln 𝑃 | = − ∫ (𝑡̃)𝑑𝑡̃ ; 𝑡 ln 𝑃 (𝑡) − ln 𝑃 (0) = − ∫ (𝑡̃)𝑑𝑡̃ ; Таблица 1 – Связь между статистическими характеристиками надежности P(t) P(t) q(t) _____________ P(t) = 1 – q(t) (t) f(t) 𝑡 𝑃(𝑡) = 1 − ∫ 𝑓(𝑡̃)𝑑𝑡̃ 𝑡 𝑃(𝑡) = 𝑒 − ∫0 (𝑡)𝑑𝑡 ̃ ̃ q(t) q(t) = 1 – P(t) _____________ 𝑡 𝑞(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡̃)𝑑𝑡̃ 𝑡 𝑞(𝑡) = 1 − 𝑒− ∫0 (𝑡)𝑑𝑡 ̃ ̃ f(t) (t) Тср 𝑑𝑃(𝑡) 𝑓(𝑡) = − 𝑑𝑡 (t) = − 1 𝑑𝑃(𝑡) 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 ∞ 𝑇ср = ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑞(𝑡) 𝑓(𝑡) = 𝑑𝑡 (t) = 𝑑𝑞(𝑡) 1 𝑑𝑡 1 − 𝑞(𝑡) ∞ 𝑇ср = ∫ [1 − 𝑞(𝑡)]𝑑𝑡 _____________ (t) = 𝑓(𝑡) 𝑡 𝑓(𝑡) = (𝑡)𝑒 − ∫0 (𝑡)𝑑𝑡 ̃ _____________ 𝑡 1 − ∫0 𝑓(𝑡̃)𝑑𝑡̃ ∞ 𝑇ср = ∫ 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∞ 𝑡 𝑇ср = ∫ 𝑒− ∫0 (𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑡 ̃ ̃ ̃ Отсюда находим: 𝑡 𝑃(𝑡) = 𝑒 − ∫0 (𝑡)𝑑𝑡 ; 𝑓 (𝑡) = − 𝑑𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 =− 𝑑 𝑑𝑡 [𝑒 𝑡 − ∫0 (𝑡̃)𝑑𝑡̃ 𝑡 ̃ ] = −𝑒 ̃ 𝑡 − ∫0 (𝑡̃)𝑑𝑡̃ ∗ 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 [− ∫ (𝑡̃)𝑑𝑡̃] = = −𝑒 − ∫0 (𝑡)𝑑𝑡 [−(𝑡)] . ̃ ̃ Откуда: 𝑓(𝑡) = (𝑡)𝑒 𝑡 − ∫0 (𝑡̃)𝑑𝑡̃ . В частном и важном в дальнейшем случае (t) = const = . 𝑃(𝑡) = 𝑒 −𝑡 ; ∞ ∞ 1 1 1 1 ∞ 𝑇ср = ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑒 −𝑡 | = − 𝑒 −∞ + 𝑒 −0 = .     𝑇ср = 1  §1.7 Типичные статистические характеристики отказов Для подавляющего большинства элементов и узлов интенсивность отказов (t) имеют: На характеристике можно выделить три участка. На первом участке [0, t] – интенсивность отказов велика, т. е. надежность мала, носит название периода приработки. Это связано с выявлением скрытых технических дефектов, допущенных при производстве (плохая пайка, монтаж). После окончания первого участка все дефекты производства выявлены. На втором участке [t1 , t2] – интенсивность отказов (t) сравнительно постоянна ((t)  const), выход из строя изделий здесь обусловлен не свойствами изделия, а влиянием внешних факторов. Этот участок считается периодом нормальной работы. Третий участок [t2 , ∞] называют периодом интенсивного старения, когда наступают изменения свойств и разрушение материалов, из который изготовлены элементы. Надежность падает, (t) – возрастает. Для различных элементов соотношения между t1 и t2 может существенно отличаться. Так, например, у электровакуумных приборов t1 велико, тогда как у полупроводниковых приборов этот участок практически отсутствует. Продолжительность I участка – косвенно характеризует культуру производства. Чем он короче, тем выше культура производства. У контактных элементов, электровакуумных приборов и коллекторных машин время t2 сравнительно невелико, а нарастание (t) после t2 происходит довольно круто. У резисторов, конденсаторов и полупроводниковых приборов время t2 велико, и обычно изделие в котором оно установлены, устаревают морально раньше, чем наступает t2. Очевидно, потребителю наиболее целесообразно поставлять все изделия после того, как они на заводе изготовителя отработали I участок, на специальных заводских стендах. Если I участок [0 - t1] не велик, то завод изготовитель проводит приработку (тренировку) изделий, и потребителю поставляется изделие с типичной характеристикой. В выходных паспортных данных указываются: характеристики надёжности именно для II участка, на котором (t) = норм и участок интенсивного износа, как правило, не рассматривается. Для элементов и систем, у которых t1 составляет десятки и сотни часов завод изготовитель не имеет возможности полностью выработать это срок, да это и нерентабельно. Тогда вводится гарантийный ремонт, в течение которого дефекты устраняются безвозмездно. Потребитель в течение этого времени играет в известной мере роль испытателя на надежность. Иногда завод делает «широкий» жест – срок гарантии увеличивает вдвое, но т.к. за год уже выходим на участок малой интенсивности, то завод по существу ничего не теряет. Таким образом увеличение гарантийного срока носит рекламный характер. §1.8 Важнейшие теоретические распределения отказов Как уже отмечалось на основании испытаний изделий на надежность могут быть получены экспериментальные статистические гистограммы 𝑓 ∗ (𝑡), ∗ (𝑡), 𝑃 ∗ (𝑡), 𝑞 ∗ (𝑡). Чтобы определенные математические необходимо их можно было операции аппроксимировать производить (вести над ними расчет надежности) аналитическим функциями 𝑓(𝑡), (𝑡), 𝑃(𝑡), 𝑞(𝑡). Эти функции должны быть простыми и удобными. В настоящее время теория вероятностей располагает достаточно большим количеством таких аналитических распределений. 1) Показательное (экспоненциальное) распределение Это распределение используется для аппроксимации вероятностных характеристик надежности изделия, у которых период приработки уже закончился, а период интенсивного старения весьма далек. Свойства изделия определяются лишь внешними условиями эксплуатации. Иными словами, аппроксимация осуществляется на участке нормальной работы, т. е. ∗ (𝑡) аппроксимируется на участке [t1 , t2] константой . Выше было показано: 𝑡 𝑓(𝑡) = (𝑡)𝑒 − ∫0 (𝑡)𝑑𝑡 , ̃ ̃ если  = const, то 𝑓(𝑡) = 𝑒 −𝑡 , 0≤𝑡≤∞ ; 𝑡 𝑡 ̃ 𝑃(𝑡) = 1 − 𝑞(𝑡) = 1 − ∫ 𝑓(𝑡̃)𝑑𝑡̃ = 1 − ∫ 𝑒−𝑡 𝑑𝑡̃ = 𝑡 1 ̃ ̃ 𝑡 = 1 −  ∫ 𝑒−𝑡 𝑑𝑡̃ = 1 + ∗  𝑒−𝑡 | = 1 + 𝑒−𝑡 − 1 = 𝑒−𝑡 ;  Раньше было показано: 𝑃(𝑡) = 𝑒 𝑡 − ∫0 (𝑡̃)𝑑𝑡̃ , при  = const, тогда 𝑃(𝑡) = 𝑒−𝑡 ; 𝑞(𝑡) = 1 − 𝑒−𝑡 . ∞ ∞ 𝑇ср = ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑡 𝑑𝑡 = (𝑡) = 1  ; 𝑓(𝑡) =  = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑃(𝑡) Функции f(t), (t), P(t) показательного распределения имеют вид: t Таким образом, при такой математической модели, мы заменяем реальную (t) константой. 2) Нормальное распределение Аппроксимация 𝑓 ∗ (𝑡) осуществляется функцией Гаусса. 𝑓(𝑡) = (𝑡−𝑚)2 − 𝑒 22 1  √2 , где m – математическое ожидание, т.е. среднее время наработки до отказа, т.е. Т = m;  – среднеквадратическое отклонение времени безотказной работы, характеризует «размытость» распределения, чем больше, тем «размытость» больше. 𝑡 𝑞(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡̃)𝑑𝑡̃ ; 𝑡 𝑃(𝑡) = 1 − 𝑞(𝑡) = 1 − ∫ 𝑡 1− ∫ −∞  1 √2  1  √2 (𝑡̃−𝑚)2 − 𝑒 22 (𝑡̃−𝑚)2 − 𝑒 22 𝑑𝑡̃ . 𝑑𝑡̃  Нормальное распределение используется для аппроксимации тогда, когда в процессе эксплуатации имеет место явно выраженный период интенсивности старения. Аппроксимация будет точна только тогда, когда m = Tср велико и  мало, и выходом f(t) в отрицательную область можно пренебречь. 3) Усечённое нормальное распределение При m < 3 необходимо производить усечение нормального распределения. Смысл его состоит в том, что часть f(t), лежащая в области t < 0, отбрасывается, а остальная часть нормируется, что обеспечивается делением функции f(t) на константу 𝑐 = 1 − ∫ 𝑓(𝑡̃)𝑑𝑡̃ , −∞ тогда функция 𝑓ус (𝑡) = 1 с √2 𝑒 − (𝑡−𝑚)2 22 обладает всеми свойствами плотности распределения, т.е. ∞ ∫ 𝑓ус (𝑡)𝑑𝑡 = 1 . Оно используется для аппроксимации характеристик изделия, у которых имеется преобладание строго определенного фактора в процессе эксплуатации. 4) Равномерное распределение Используется для аппроксимации распределения, когда отказ обусловлен износом двух и более элементов с близкими сроками службы, т. е. 𝑡2 Тср = ∫ 𝑡 ∗ 𝑓(𝑡̃)𝑑𝑡̃ ; 𝑡1 Функция f(t), (t) и P(t) в данном случае имеют: 0, при 𝑡 < 𝑡1 𝑓(𝑡) = { ℎ, при 𝑡1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡2 0, при 𝑡 > 𝑡2 причем: ℎ= 1 − из условия нормировки. 𝑡2 − 𝑡1 1, при 𝑡 < 𝑡1 𝑃(𝑡) = { 1 − ℎ(𝑡 − 𝑡1 ), при 𝑡1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡2 0, при 𝑡 > 𝑡2 0, при 𝑡 < 𝑡1 (𝑡) = { ℎ/[1 − ℎ(𝑡 − 𝑡1 )], при 𝑡1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡2 0, при 𝑡 > 𝑡2 ∞ Тср 𝑡2 = ∫ 𝑡̃ 𝑓(𝑡̃)𝑑𝑡̃ = ∫ 𝑡̃ 𝑡1 = 1 1 𝑡̃ 2 𝑡2 ̃ 𝑑𝑡 = ∗ | = 𝑡2 − 𝑡1 𝑡2 − 𝑡1 2 𝑡1 (𝑡2 − 𝑡1 )(𝑡2 + 𝑡1 ) 𝑡2 + 𝑡1 1 ∗ = ; (𝑡2 − 𝑡1 ) 2 2 5) Гамма-распределение Это распределение применяется для аппроксимации характеристик изделий, которые работают с резервированием. Пусть изделие имеет показательную плотность распределения: 𝑓1 (𝑡) = 𝑒 −𝑡 . Когда изделие выходит из строя, оно мгновенно заменяется на резервное. При этом режим не нарушается и отказа не происходит. Затем происходит резервирование следующего и т.д. Всего имеется n изделий с аналогичными распределениями. В результате время до наступления отказа представляет собой сумму, состоящую из интервалов времени работы каждого изделия. В теории вероятности доказано, что сумма n слагаемых, каждое из которых имеет показательное распределение, представляет собой случайную величину, имеющую распределение следующего вида: 𝑡 𝑛−1 𝑛 −𝑡 𝑓𝑛 (𝑡) = 𝑒 (𝑛 − 1)! , 𝑡 ≥0, которое получило название гамма-распределение. Можно показать также, что 𝑛−1 𝑃(𝑡) = 𝑒 −𝑡 (𝑡)𝑆 ∑ 𝑆! , 𝑡≥0 , 𝑆=0 𝑡 𝑛−1 𝑛 (𝑡) = (𝑛 − (𝑡) 1)! ∑𝑛−1 𝑆=0 𝑆! Тср = 𝑛  𝑆 , 𝑡≥0; . При больших «n» гамма-распределение сходится к нормальному закону распределения. Из рассмотренных пяти распределений на практике в большинстве случаев используют показательное (экспоненциальное) распределение, для которого  = const (интенсивность отказов). Причины этого: 1) Многие элементы не доживают до периода интенсивного старения и (t) хорошо аппроксимируется  = const. 2) Для систем с большим числом элементов с разнотипными законами распределения отказов суммарная характеристика (t) имеет, как правило, постоянный вид в большом интервале времени. 3) На практике кривую f(t) нередко определяют на основании довольно ограниченного объема статистики, поэтому выявить тонкости распределения f(t) и отнести его к тому или иному виду затруднительно. В этих случаях разумно в первом приближении положить  = const. 4) Формулы для расчета надежности получаются простыми. Таким образом, в случае показательного закона распределения: 1) 𝑃(𝑡) = 𝑒 −𝑡  1 − 𝑡, для 𝑡 ≤ 0.1; 2) 𝑞(𝑡) = 1 − 𝑃(𝑡) = 1 − 𝑒 −𝑡  𝑡; 3) 𝑓(𝑡) = 𝑒 −𝑡  (1-𝑡); 4)  = const; 5) 𝑇ср = 1  . Несмотря на простоту и удобство пользования, математическая модель отказов, построенная с помощью одного лишь показательного закона, оказывается, как показывает практика, слишком примитивной. Применение средств вычислительной техники в значительной мере снимает вычислительные трудности, поэтому в современной инженерной практике широко пользуются самыми сложными законами. §1.9 Идентификация распределения Идентификация распределений — это отнесение, отождествление экспериментально полученных характеристик к какому-либо теоретическому (математическому) распределению: показательному, гамма-распределению, нормальному, равномерному. Удобнее «примерять» не дифференциальный закон распределения f(t) (плотность распределения), так как он слишком изменчив, а интегральный закон – q(t) – он плавнее; 𝑃∗ - дает оценку интегрального закона (только перевернутого). На практике используют два критерия идентификации. 1) Критерий Колмогорова Схема применения критерия Колмогорова следующая: строится статистическая функция распределения, и предлагается теоретическая функция распределения, и определяется максимум модуля D разности между ними. 1 – показательный закон, 2 – равномерный закон, 3 – экспер. снятая характеристика P*(t), D – абсолютная величина отклонения (максимальная). Далее определяется величина: 𝐿 = 𝐷√𝐾 , где K – число отрезков гистограммы. Тот закон, для которого L меньше, и следует принимать. Считают практически согласующимся такое теоретическое распределение, для которого L ≤ 0,8. 2) Критерий Пирсона 𝐾 𝜒02 (𝑟𝑖 − 𝑁𝑞𝑖 )2 = ∑ , 𝑁𝑞𝑖 𝑖=1 где K – число отрезков гистограммы, 𝑟𝑖 − общее число изделий, вышедших из строя внутри i-го участка в результате эксперимента, N – начальное число изделий, участвующих в эксперименте, 𝑞𝑖 − теоретическая вероятность отказа внутри i-го участка (теорет. вер. попасть в i-ящик) 𝑡𝑖 𝑞𝑖 = ∫ 𝑡теор (𝑡)𝑑𝑡. 𝑡𝑖−1 Подсчитывается 𝜒02 , являющейся оценкой отклонения теоретического распределения от гистограммы, чем больше отклонение, тем больше 𝜒02 . Имеется таблица P(𝜒 2 ≥ 𝜒02 ) − по которой можно определить вероятность, что принятое распределение хорошее (или плохое), или вероятность распределения «могла бы быть хуже», т.е. разброс мог бы дать еще большее значение 𝜒02 . Чем больше P(𝜒02 ), тем ближе совпадение теоретическим и экспериментальным распределением. §1.10 Расчет надежности системы. Основная форма оценки надежности По своей природе возникновения все отказы делятся на внезапные и постепенные. Внезапные связаны с воздействием внешней среды, постепенные – со старением элементов, поэтому в первом приближении можно считать их независимыми. Тогда в соответствии с теоремой умножения вероятностей независимых событий для ожидаемой вероятности безотказной работы проектируемого устройства в течение времени t можем записать основную формулу. 𝑃(𝑡) = 𝑃𝑐 (𝑡) ∗ 𝑃д (𝑡), P(t) – общая вероятность безотказной работы, 𝑃𝑐 (𝑡) – вероятность безотказной работы элементов (внезапные отказы), характеризующие структурную вероятность, структурная надежность, 𝑃д (𝑡) – вероятность безотказной работы схемы, постепенные, параметрические отказы, допусковая вероятность. В большинстве случае при расчете надежности 𝑃д (𝑡) не учитывают ввиду следующего: 1) В большинстве изделий имеют место многочисленные регулировки, с помощью которых можно компенсировать старение элементов, то есть сделать 𝑃д (𝑡) = 1. 2) Расчет 𝑃д (𝑡) представляет собой сложную задачу, так как он связан с теорией выбросов случайных процессов (выхода параметров системы из области допустимых значений), которая до настоящего времени не получили приемлемого решения для теории надежности. Обычно 𝑃д (𝑡) определяют по данным эксплуатации однотипных изделий или математическим моделированием. Тогда 𝑃(𝑡) = 𝑃𝑐 (𝑡), то есть 𝑃(𝑡) определяется лишь структурной вероятностью безотказной работы. Под системой понимают совокупность устройств, которые состоят из элементов. Структурная надежность системы определяется надежностью как числом этих элементов, так и их соединением. Различают три способа соединения элементов: 1) системы с последовательным соединением элементов, 2) системы с параллельным соединением элементов, 3) системы со смешанным соединением элементов. Системы с последовательным соединением элементов Необходимым и достаточным условием выхода из строя системы с последовательным соединением является выход любого элемента, входящего в его состав. 𝑛 𝑃(𝑡) = 𝑃1 (𝑡) ∗ 𝑃2 (𝑡) ∗ 𝑃3 (𝑡) ∗ … ∗ 𝑃𝑛 (𝑡) = ∏ 𝑃𝑖 (𝑡) 𝑖=1 𝑃1 (𝑡) = 𝑒 −1𝑡 𝑃2 (𝑡) = 𝑒 −2𝑡 … {𝑃𝑛 (𝑡) = 𝑒 −𝑛𝑡 из этого следует, что 𝑛 𝑃(𝑡) = 𝑒 −1𝑡 ∗ 𝑒 −2𝑡 . . . 𝑒 −𝑛𝑡 = 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑖𝑡 𝑛 𝑃(𝑡) = 𝑒 − ∑𝑖=1 𝑖 𝑡 Если у всех элементов 𝑖 одинаково, то 𝑃(𝑡) = 𝑒 −𝑛𝑡 . При таком соединении элементов нельзя получить большую надежность системы. Пример: Pc = 0,9 ∗ 0,9 ∗ 0,1 = 0,081 Большинство изделий содержит именно такое соединение элементов. При расчете надежности учитывают те элементы, выход из строя которых приводит к выходу системы из строя. Те элементы, которые к этому не приводят – не учитываются. Системы с параллельным соединением элементов Это система, необходимым и достаточным условием выхода из строя которой является одновременный выход из строя всех элементов. Вероятность отказа: 𝑞1 (𝑡) = 1 − 𝑃1 (𝑡) 𝑞2 (𝑡) = 1 − 𝑃2 (𝑡) … 𝑞𝑛 (𝑡) = 1 − 𝑃𝑛 (𝑡) Система откажет, если откажут все элементы системы. 𝑞𝑐 (𝑡) = 𝑞1 (𝑡)𝑞2 (𝑡) … 𝑞𝑛 (𝑡) , 𝑛 𝑞𝑐 (𝑡) = [1 − 𝑃1 (𝑡)][1 − 𝑃2 (𝑡)] … [1 − 𝑃𝑛 (𝑡)] = ∏[1 − 𝑃𝑖 (𝑡)] , 𝑖=1 𝑛 𝑃𝑐 (𝑡) = 1 − 𝑞𝑐 (𝑡) = 1 − ∏[1 − 𝑃𝑖 (𝑡)]. 𝑖=1 Если в состав изделия входят равнонадежные элементы 𝑃1 (𝑡) = 𝑃2 (𝑡) = = ⋯ = 𝑃𝑛 (𝑡), то 𝑃𝑐 (𝑡) = 1 − [1 − 𝑃𝑖 (𝑡)]𝑛 Пример: 𝑃1 (𝑡) = 0,8 𝑃2 (𝑡) = 1 − (1 − 0,8)2 = 0,96 𝑃3 (𝑡) = 1 − (1 − 0,8)3 = 0,992 При параллельном соединении можно строить высоконадежные системы на ненадежных элементах. Системы со смешанным соединением элементов Различают два способа построения таких систем. 1 способ. В параллельно основной системе включаются несколько дополнительных. Система имеет вид: Если все элементы равнонадежны, то вероятность безотказной работы каждой последовательной ветви 𝑃𝑛 (𝑡), тогда вероятность отказа последовательной ветви будет 𝑞𝑖 (𝑡) = 1 − 𝑃𝑛 (𝑡) , где 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑚; Вероятность отказа системы в целом: 𝑞𝑐 (𝑡) = [1 − 𝑃𝑛 (𝑡)]𝑚 , 𝑃𝑐 (𝑡) = 1 − [1 − 𝑃𝑛 (𝑡)]𝑚 . Подобные функциональные схемы имеют системы, у которых существует «системное» резервирование, т.е. параллельно основной системе включены (m-1) резервных. Рассмотрим, как будет влиять на надежность системы увеличение n и m. Если: n  ∞, 𝑃𝑐  0; m  ∞, 𝑃𝑐  1; n  ∞, m  ∞, 𝑃𝑐  0. 2 способ. Параллельно соединяются не системы, а отдельные элементы. Поэлементное резервирование. Вероятность отказа первого столбца: 𝑞1 (𝑡) = [1 − 𝑃(𝑡)]𝑚 , 𝑃1 (𝑡) = 1 − [1 − 𝑃(𝑡)]𝑚 , 𝑃𝑐 (𝑡) = (1 − [1 − 𝑃(𝑡)]𝑚 )𝑛 . Для второго способа: n  ∞, 𝑃𝑐  0; m  ∞, 𝑃𝑐  1; n  ∞, m  ∞, 𝑃𝑐  1. Вторая схема с увеличением числа элементов имеет большую надежность, чем первая. Первая схема – относится к общему резервированию, когда параллельно основной системе подключаются дополнительные (системный резерв). Вторая схема – относится к раздельному резервированию, когда резервируются отдельные элементы устройства, каскады (блочный резерв). В целях повышения надежности на практике предпочтительнее использовать второй вид резерва.