Основные результаты теории вероятностей.

Лекция №6. Основные результаты теории вероятностей. План: §1. Неравенства Чебышева. §2. Теорема Чебышева (закон больших чисел). §3. Понятие о центральной предельной теореме. §1). Теорема 1 (1-е неравенство Чебышёва). Для любой случайной величины ξ, имеющей дисперсию , и для любого (сколь угодно малого) числа ε > 0, имеет место неравенство: (1) , (неравенство (1) даёт оценку вероятности того, что абсолютная величина отклонения ξ от достаточно велика, но не превышает ). Теорема 2 (2-е неравенство Чебышёва). Для любой случайной величины ξ, имеющей дисперсию , и для любого (сколь угодно малого) числа ε > 0, имеет место неравенство: . (2) §2). Теорема 3 (теорема Чебышёва – закон больших чисел). Пусть 1 ,  2 ,...,  n последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих дисперсии, ограниченные одним и тем же числом С, т.е. i=1, 2, …, n. Тогда имеет место предельное соотношение: (3) (то есть для достаточно больших n с вероятностью, близкой к 1, абсолютная величина отклонений среднего арифметического n случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий сколь угодно мала). Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы Чебышёва и , тогда предельное соотношение (3) примет вид: (4) Определение 1. Случайные величины 1 ,  2 ,...,  n – называются независимыми, если события – независимы в совокупности. Замечание: События независимыми. – являются и попарно Определение Случайные 2. величины бесконечной – называются независимыми, если последовательности события – независимы. Следствие 2 (теорема Бернулли). Если – число появлений события А в n независимых испытаниях и р – вероятность появления события А в каждом испытании (0 < p < 1), то выполняется предельное соотношение: (5) (смысл соотношения (5): – это частота события А в n испытаниях, тогда при достаточно больших n с вероятностью, близкой к 1, абсолютная величина отклонения частоты события А от вероятности этого события сколь угодно мала). §3). Поведение среднего арифметического нескольких случайных величин при неограниченном возрастании их количества описывается (в разных условиях), с помощью группы теорем, носящих общее название «Центральная предельная теорема». Рассмотрим формулировку этой теоремы для одинаково распределенных случайных величин. Теорема 4 (центральная предельная теорема). Если 1 ,  2 ,...,  n - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием M [ i ]  a и дисперсией D[ i ]   2 (i=1, 2, …, n), то по мере неограниченного увеличения n функция распределения случайной величины 1 (1   2  ...   n )  a ( (n)  a ) n * n  ( n)    / n (6) стремится к функции распределения стандартного нормального закона при любом заданном значении их аргументов, т. е. x  R F * ( n ) ( x )  F ( x;0,1) при n   , где F ( x;0,1)  1 2 x e  t2 2 (7) dt - это функция стандартного нормального распределения.  Без д-ва. Следствие 1 (Теорема Линдеберга-Леви). Если 1 ,  2 ,...,  n - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих математические ожидания, дисперсии и абсолютные центральные моменты 3-го порядка, то среднее арифметическое указанных случайных величин распределено приближенно нормально при n   . (Без д-ва).