Основные понятия теории теплообмена

РАЗДЕЛ 2 ТЕПЛОПЕРЕДАЧА Лекция №2.1 Тема: Основные понятия теории теплообмена План лекции 1 Закон сохранения энергии 2 Условия однозначности 3 Понятие о температурном поле. Изотермические поверхности. 4 Градиент температур. 5 Тепловой поток Вопрос 1 Теплообмен – это явление переноса тепловой энергии из одной области пространства с более высокой температурой в другую область пространства, с более низкой температурой. Теплообмен является необратимым самопроизвольным процессом. Для всех областей пространства, участвующих в теплообмене, так же как и для каждой отдельной области, справедлив закон сохранения энергии: U = Q F + Qi , (2.1) где U - изменение внутренней энергии области (при неизменном ее объеме); Q F - тепловая энергия, проходящая через границы области; Q i - энергия, выделенная внутри области (джоулево тепло, химический экзо- или эндотермический процесс, энергия радиоактивных явлений и др.). Вопрос 2 Рассматривая область или систему тел, нагретых неравномерно, теория теплообмена в начале формулирует общие законы, по которым происходит теплообмен внутри этой области (системы тел) или на ее границе, а затем, в качестве конечной цели, устанавливает частные соотношения между температурами, скоростями и тепловыми потоками в разных точках системы. Знание температурного поля позволяет практически всегда определить теплообмен в заданной области или системе твердых тел. В качестве заданных или известных условий в теории теплообмена принимаются: 1. Форма и геометрические размеры области тел системы, а так же их относительные скорости (при теплообмене с потоком жидкости). 2. Теплофизические параметры тел и их поверхностей. 3. Граничные условия, то есть условия, которые характеризуют температуру или теплообмен, а в некоторых случаях и скорости потока, на границах области в течении рассматриваемого времени. 4. Начальные условия, то есть известное предварительное распределение температур в системе, а так же относительных скоростей тем системы. Условие 4 позволяет решать нестационарные задачи теплообмена, то есть задачи по определению процесса изменения температур в заданной области в течение рассматриваемого отрезка времени. Вопрос 3 Задача теплопередачи состоит в изучении распределения температур тепловых потоков в теле. В тех случаях, когда теория теплообмена не способна определить температурное поле вследствие трудности его аналитического описания путем решения системы уравнений, температурное поле может быть определено экспериментально, путем измерения, например, термопары температур в определенных точках тела или системы тел. При этом температурное поле может быть выражено таблично, графически или аналитически. Пример графического изображения дает рисунок 2.1, изображающий температурное поле воздуха вблизи нагретой трубы. а) зависимость температуры от расстояния до центра трубы; / // б) та же зависимость представлена в виде изотерм t , t , t где - t // = t − t , t / /// /// и т.д., = t − 2t и т.д. / Рисунок 2.1 - Температурное поле вокруг нагретой вертикальной трубы: На верхней проекции изображено изменение температуры воздуха по мере удаления от трубы. Эта зависимость может быть найдена в виде, какой либо определенной аналитической функции, связывающей температуру и радиус. t = f (r ) (2.2) На нижней проекции (б) рисунок 1.1 представлен иной способ изображения температурного поля в виде линий, соединяющих точки с одинаковой температурой. Эти линии называются изотермами. На рисунке 1.1б изотермы показывают, на каком расстоянии от / // /// трубы воздушная среда имеет температуры t , t , t и т.д. Следует отметить некоторые особенности графического изображения поля в виде изотерм. Прежде всего, точки с равной температурой образуют изотермические поверхности. Изотермические поверхности в общем случае криволинейны. Они проходят через все точки в объеме данного пространства, имеющие одну и ту же температуру. Соседние изотермиче- ские поверхности ни когда не пересекаются, поскольку в одной точке тела не может быть двух различных температур. Изотермические поверхности образуют внутри тела оболочки, частично замкнутые, расположенные слоями. Таким образом, расположения изотермических поверхностей характеризует температурное поле тела. При этом стационарное температурное поле зависит в общем случае не от одной координаты, а от трех. t = f ( x , y, z) - для декартовой системы координат, или t = f (r, , z) - для цилиндрической системы координат. Кроме того, в случае, если какие либо точки поля меняют свою температуру со временем, то говорят о нестационарном температурном поле. В последнем случае в уравнение, связывающее температуру с координатами, входит также, в качестве независимого параметра время τ : t = f ( x, y, z , τ) t = f (r , , z , ) В случае нестационарных полей изотермы со временем перемещаются, и графически можно представить изотермы только для данного момента времени, полагая при этом, что следующий момент изотермы изменяют свое положение. При этом, графически удается представить изотермы только в виде линий пересечения изотермической поверхности с какой либо интересующей вас плоскостью («след» изотермы на плоскости). В частном случае, для некоторых простых полей изотермические линии представляют собой проекции изотермических поверхностей (плоских, цилиндрических). Существенная особенность изображения температурного поля в виде изотермы состоит в том, что обычно интервал температур между изображаемыми на чертеже изотермами (температурный шаг изотермы) одинаков (рисунок 1.1) t ст − t / = t / − t // = t // − t /// = ... = t . (2.3) Это дает возможность по графику судить о том, насколько резко изменяется температура в тех или иных участках объема тела. На участке вблизи трубы (рисунок 2.1б) изотермы располагаются ближе друг к другу. Это следствие того, что вблизи трубы температурное поле имеет большую крутизну. Вопрос 4 Интенсивность, крутизна изменения температурного поля играют решающую роль в процессах теплообмена. Интенсивность изменения температуры в каждой точке температурного поля определяется градиентом температуры. Градиент температуры – это вектор, нормальный к изотермической поверхности и направленный в сторону увеличения температуры поля. Численно градиент температуры равен приращению температуры поля на единицу длины в направлении, нормальном к изотермической поверхности: grad t = lim t n →0 n = t n . (2.5) На рисунке 2.2 изображены проекции трех изотерм: t 1 − t , t 1 , t 1 + t , а так же градиенты температур в трех произвольных точках. Векторы градиента нормальны к изотермической поверхности t 1 в точках А, В и С и направлены в сторону возрастания температуры. Величина градиента непосредственно измерена быть не может. Но она может быть определена расчетным (графическим или аналитическим) путем. В последнем случае необходимо выразить температурное поле в виде уравнения t = f ( x, y, z ) , связывающего температуру с координатами (в данном случае декартовыми). Далее, пользуясь формулами векторного анализа, можно вычислить градиент температуры grad t  t t t i+ j+ k x y z , (2.6) где i, j, k , - единичные векторы, соответствующие прямоугольным осям координат. Рисунок 2.2 - Проекции изотермических поверхностей t 1 − t , t 1 , t 1 + t и изображение градиентов температуры точек А, В и С, находящихся при температуре t 1 Абсолютная величина градиента в каждой точке поля находится из известного выражения 2  t   t   t  grad t    +   +    x   z   y  2 2 (2.7) Если температурное поле является функцией трех координат, говорят о трехмерном поле. Анализ трехмерного поля приводится в курсах математической физики или описан в специальной литературе. Наряду с прямоугольной (декартовой) системой координат x, y, z часто пользуются цилиндрическими или сферическими координатами. В этих случаях выражение градиента температуры принимает вид: для цилиндрических координат ( r , , z ) grad t  t 1 t t er + e + ez r r  z , (2.8) где  x ,   ,  z - взаимно перпендикулярные единичные векторы цилиндрических координат; для сферической системы координат ( r , , z ) grad t  где - t 1 t 1 t er + e + e r r sin   r  , x ,  ,  (2.9) единичные векторы сферических координат. Наиболее простым является одномерное температурное поле, в котором температура зависит только от одной координаты. В этом случае аналитические выкладки существенно упрощаются. Одномерное поле характерно, прежде всего, для тел простой формы, однако очень многие расчеты в практической теплопередаче могут быть сведены к системе одномерного поля. Основными типами одномерного поля являются плоское поле, цилиндрическое и сферическое; а) Плоское температурное поле состоит из изотермических поверхностей, плоских и параллельных друг другу. Плоское температурное поле легко сделать одномерным. Для этого расположим оси координат x, y, z так, чтобы ось Х была перпендикулярна изотермическим плоскостям, а оси Y и Z им параллельны (рисунок 1.3). Рисунок 2.3 - Одномерное плоское температурное поле. Изображение изотерм / Тогда все точки поля с одинаковой температурой t располагаются при одном значении координаты Х. Иными словами, температура любой точки поля зависит только от координаты Х, то есть поле становится одномерным: t = f ( x ) Частные производные по другим осям равны нулю: t t = =0 y z Следовательно (из 1.1) градиент температуры одномерного плоского поля grad t = dt и направлен вдоль оси Х. dx Плоские температурные поля обычно встречаются на практике в случае теплообмена через тонкие плоские стенки или вдоль тонких стержней (проволок). б) Цилиндрическое температурное поле состоит из изотермических поверхностей, цилиндрических по форме и концентрических друг другу. Цилиндрическое поле становится одномерным, если цилиндрические координаты ( r , , z ) расположить так, чтобы ось z совпала с осью симметрии поля (рисунок 2.4). / Тогда все точки поля с одинаковой температурой t располагаются на одном значе/ нии координаты r , то есть поле становится одномерным. Для него t = f ( r ) t t = =0  z grad t = dt dr Цилиндрические температурные поля обычно встречаются на практике в случае теплообмена через цилиндрические стенки труб и стержней. Рисунок 2.4 - Одномерное цилиндрическое температурное поле. Изображение изотерм в) Сферическое температурное поле состоит из изотермических поверхностей в виде сфер, концентрических друг другу. Сферическое поле приводится к одномерному, если в центре сферы расположить начало сферических координат ( r , ,  ) (рисунок 2.5). Рисунок 2.5 - Одномерное сферическое температурное поле В одномерном сферическом поле t = f ( r ) t t = =0   grad t = dt dr Сферическое температурное поле обычно встречается при теплообмене через поверхности сферы или шара. Для приведенных трех видов одномерных полей градиент температуры может быть определен графически, если известен график зависимости температуры от определяющей координаты (рисунок 2.6). Рисунок 2.6 - Графический способ определения градиента температурного поля Проводится касательная в точке ( r1 , t 1 ), ее угол наклона равен  . В соответствии с определением градиента температуры в одномерном поле tg  = dt = grad t dr (2.10) Следовательно, tg  1 равен градиенту температуры в точке ( r1 , t 1 ). Аналогично, найдя значения градиентов в других точках поля, можно построить график изменения градиента температуры от координаты поля. Вопрос 5 В любом теле при отсутствии полного температурного равновесия возникают тепловые потоки. Тепловой поток характеризуется мощностью, проходящей через фиксированную поверхность, и измеряется в ваттах (СИ). Для измерения интенсивности теплового потока и его направления в каждой точке тела пользуются понятием плотности теплового потока. Плотность теплового потока характе- ризуется вектором, направленным в сторону распространения энергии, проходящему через единицу площади. Ее величина зависит только от температурного поля и физических свойств поля. Плотность теплового потока обозначается буквой q и измеряется в ваттах/м2 (СИ). Зная плотность теплового потока в каждой точке тела (рисунок 2.7), можно определить тепловой поток через любую поверхность F тела: Q F =  qd F =  q cos dF F (2.10) F Рисунок 2.7- Иллюстрация к соотношению между элементом − − поверхности (вектор ds ) и плотностью потока q через эту поверхность Скалярное произведение векторов под знаком интеграла существенно упрощается, если по всей поверхности F плотность потока направлена по нормали к поверхности, то есть q− || d F , Q F =  qdF тогда F Если при этом величина потока одинакова по всей поверхности q = const, что имеет место на изотермических поверхностях одномерных полей, то Q = qF (2.11) Задача 1 Определить плотность q теплового потока, проходящего через поверхность провода диаметром 2 мм из нихрома (  = 1 ом. мм / м. ), нагретого током в 5А. Определить также линейную плотность потока ql, то есть мощность, выделенную поверхностью на участке в один погонный метр длины провода. Принять q = const. 2 Решение: Тепловой поток Q, проходящий через поверхность провода, равен общей мощности электрического тока Q = I 2 R = I 2  l/S = I 2  l / 2. Площадь поверхности провода, м2  2 l 25 d = 52 1 2 = l, 4 2 /4  F =  dl =  2  10 −3 l 3. Плотность потока через поверхность провода q= Q 25 1 вт квт вт = l  1300 = 1 , 3 = , 13 F  2 10 −3 l м2 м2 см 2 4. Линейная плотность потока через поверхность провода ql = Q 25 1 = l = 8,0 Вт/м l  l Лекция №2.2 Тема: Физическая природа основных законов теплообмена План лекции 1 Основные законы теплообмена 2 Виды сложного теплообмена. Эффективный тепловой поток Вопрос 1 Движущей силой, под действием которой происходит перенос тепла, является разность температур, а в жидкости так же и скорость ее перемещения. Перенос тепла осуществляется при этом тремя совершенно, различными по своей природе путями: а) теплопроводностью, б) конвекцией, в) излучением. Каждый из этих трех элементарных видов теплообмена обусловлен своими специфическими законами. Эти законы теплообмена определяют связь между плотностью теплового потока и температурным полем. Теплопроводность – это процесс передачи тепла внутри среды путем взаимного соприкосновения частиц (молекул, атомов, электронов). Основной закон, который определяет зависимость между плотностью теплового потока и температурным полем, сформулирован Фурье. Закон Фурье: плотность теплового потока пропорциональна градиенту температур и противоположна ему по знаку: q = − grad t (2.12) Или в случае одномерного температурного поля dt dt q = − dx или dr Коэффициент пропорциональности  называется коэффициентом теплопроводности. q = − Его единица измерения вт/(м.град) (СИ) или ккал/(м.час.град) (МКГСС). Величина коэффициента теплопроводности является одной из главных теплофизических характеристик каждого вещества. Эта величина в принципе может быть определена расчетным путем по данным атомно-молекулярной структуре вещества. Однако сведения, которыми располагает в этой области физика твердого тела, также как и физика газового и жидкого состояния вещества, пока, в большинстве случаев, не дают возможности рассчитать достаточно точно величины коэффициентов теплопроводности. Поэтому коэффициент теплопроводности материалов определяется, экспериментально и включаются в таблицы свойств веществ. Теплоотдача или конвективный теплообмен – процесс передачи тепла между поверхностью твердого тела и омывающей ее жидкой или газовой средой путем теплопроводности среды и ее перемещения конвекции относительно поверхности тела. Основной закон, который здесь определяет зависимость между плотностью теплового потока и температурным полем, сформулирован Ньютоном и Рихманом. Закон Ньютона-Рихмана: плотность теплового потока на границе между твердым телом и омывающей его средой пропорциональна разнице температур стенки и среды: q =  (t c − t ж ) (2.13) Коэффициент пропорциональности  называется коэффициентом теплоотдачи. Его единица измерения Вт/(м2.град) (СИ), а t c и t ж -температура на поверхности стенки и температура жидкости вдали от стенки. В отличие от коэффициента теплопроводности, коэффициент теплоотдачи не является характеристикой веществ. Его величина в большей мере зависит от конкретных условий теплообмена на границе стенка – среда, в частности, от скорости омывания стенки, от разности температур стенки и среды и др. Поэтому коэффициент теплоотдачи не может быть взят из таблиц, а определяется экспериментальным и расчетным путем. Для этой цели была разработана теория подобия, которая смогла качественно определить влияние всех частных условий на коэффициент теплоотдачи. Необходимые для расчета величины  недостающие количественные соотношения были определены экспериментально. Тепловое излучение – процесс распространения внутренней энергии тела в окружающее пространство путем излучения, нагретым теплом электромагнитных колебаний (в диапазоне тепловых частот). Основной закон, который здесь определяет зависимость между плотностью теплового потока и температурным полем, был сформулирован Стефаном и Больцманом. Закон Стефана-Больцмана: плотность теплового потока, излучаемого нагретым теплом, пропорциональна его абсолютной температуре в 4-ой степени q =   T4 , (2.14) где постоянная Стефана-Больцмана δ=5,67*10-8вт/(м2.град4); ε-степень черноты тела. Строго говоря, закон Стефана-Больцмана справедлив только для абсолютно черного тела, имеющего ε=1. Для реальных же тел степень черноты изменяется в пределах 0<ε<1, в зависимости от вещества и обработки поверхности. Степени черноты различных материалов с полированной поверхностью являются теплофизической характеристикой вещества. Они определяются экспериментально и приводятся в таблицах свойств веществ. Формула закона Стефана-Больцмана фиксирует только плотность теплового электромагнитного потока, покидающего нагретое тело. Однако, если тело окружено нагретыми телами, то на тело попадает встречный тепловой электромагнитный поток, который зависит, в свою очередь, от температуры, степени черноты, размеров и расположения окружающих тел. Разность излучаемого и поглощаемого потоков дает результирующий тепловой поток, который, собственно, и определяет лучистый тепловой баланс тела. Для определения лучистого результирующего потока данного тела используются еще два закона лучистого теплообмена – закон Кирхгофа и закон Ламберта. В большинстве случаев расчет лучистого результирующего потока насыщен чрезвычайно сложными математическими выкладками и даже не всегда возможен. Часто проще пользоваться экспериментальным изучением результирующего потока путем специальных опытов на соответствующих моделях. Для некоторых наиболее простых случаев теплообмена между двумя телами применяется приближенная формула Стефана-больцмана q рез  T1  4  T2  4   вт  =  пр  5,67   −    1−2  2  м   100   100   (2.14) где  пр - приведенная степень черноты, учитывающая степень черноты обоих тел; 1− 2 - коэффициент облученности, учитывающий взаимное расположение обоих тел. Для ряда конкретных случаев значение 1− 2 приводится в справочных пособиях по лучистому теплообмену. Вопрос 2 Элементарные процессы теплообмена – теплопроводность, конвективная теплоотдача и излучение – в реальных процесса могут проявляться как в отдельности, так и сосуществуя друг с другом. Например, теплообмен между двумя стенками, разделенными зазорам, может осуществляться с помощью следующих элементарных процессов: 1. В случае вакуумированного зазора процессы теплопроводности и конвекции отсутствуют, и существует только процесс лучистого теплообмена. 2. В случае если этот зазор заполнить воздухом, то сохраняется лучистый теплообмен и дополнительно появляется теплообмен теплопроводности путем передачи кинетической энергии при столкновениях хаотически движущихся молекул воздуха в зазоре: процессы излучения и теплопроводности протекают параллельно. 3. Если при этом создаются условия для перемещения масс воздуха в зазоре относительно стенок, то развивается конвективный теплообмен, более интенсивный, чем теплопроводность, то есть параллельно протекают процессы излучения и конвективного теплообмена. 4. Если зазор заполнить не прозрачной для тепловых лучей жидкостью, например, ртутью, то лучистый теплообмен исключается и имеет место или чистая теплопроводность или конвективный теплообмен. Теплообмен внутри твердого тела осуществляется обычно чистой теплопроводностью. Однако, если материал деаметричен (прозрачен для тепловых лучей), то дополнительно внутри тела имеет место лучистый теплообмен, то есть процессы теплопроводности и излучения протекаю параллельно. В тех случаях, когда элементарные процессы теплообмена могут протекать в одном слое параллельно (одновременно и независимо друг от друга), следует определять общий (эффективный) тепловой поток. Общий или эффективный тепловой поток равен сумме элементарных его составляющих. Таблица 2.1- Сравнительная таблица элементарных процессов теплообмена Теплопроводность Теплоотдача /конвективный т/о Лучистый теплообмен Опреде- Процесс распроление странения тепловой энергии путем взаимного соприкосновения молекули электронов Процесс передачи тепла между стенкой и жидкостью, омывающей стенку, путем перемещения жидкости относительно поверхности стенки Процесс распространения тепловой энергии от поверхности нагретого тела путем излучения телом энергии в виде электромагнитных волн в тепловом интервале спектра Основной закон распространения Закон Ньютона-Рихмана: Закон СтефанаБольцмана Закон Фурье: q = − grad t [λ]= вт/(м град)коэффициент теплопроводности, определяется из таблиц свойств тел 2 определяются зако ном сохранения энергии, который совместно с законом Фурье дает дифференциальное уравнение теплопроводности t = a 2t  решаемое при заданных условиях однозначности q =  (t c − t ж ) [  ]=13р/(м2.град) коэф- фициент теплоотдачи, определяяется из 13рите13ииальных уравнений теории подобия типа Nu = f (Re, Gr , Pr) Для определения 13ритериев необходимо знать фи зические свойства жидкости  ,  , a ,  Критерии подобия в уравнениях определяются из условий однозначности. q =   T4 δ=5,67*10-8вт/(м2.град4)– постоянная СтефанаБольцмана. Ε-степень черноты 0<ε<1, величина безразмерная, определяется из таблиц свойств тел. Результирующий поток q рез  Т 14  − =  пр C o   100   4  Т2      1− 2  100    пр = f (1 ,  2 , F1 , F2 ) -приведенная степень черноты; 1− 2 = f (F1 , F2 , r1− 2 ) -коэффициент облученности Лекция №2.3 Тема: Теплопроводность План лекции 1 Теплопроводность. Уравнение Фурье. 2 Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье. 3 Обсуждение сущности дифференциального уравнения теплопроводности. Вопрос 1 По определению теплопроводности есть один из элементарных процессов теплообмена, состоящий в передачи энергии путем взаимного соприкосновения частиц тела. В твердых телах такими частицами являются молекулы или ионы, составляющие кристаллическую решетку тела, и свободные электроны (рисунок 2.8). Рисунок 2.8 - Простейшая кристаллическая решетка твердого тела Нагревание одной области (а) выражается в усилении колебаний узлов решетки в этой области тела. Колебания передаются соседним узлам и так далее, приводят к распространению тепла по всему телу. Если кристаллический остов тела заполнен свободными электронами (электронным газом), то основными переносчиками тепла становятся именно свободные электроны, сталкиваясь при своем хаотическом тепловом движении с колеблющимися узлами кристаллической решетки и обмениваясь с ними кинетической энергией. В частности, высокая теплопроводность металла объясняется именно электронной составляющей теплопроводности, значительно превышающей долю решеточной теплопроводности. В диэлектриках свободные электроны отсутствуют, поэтому теплопроводность диэлектриков существенно ниже металлической, так как она определяется только величиной решеточной теплопроводности. Теплопроводность в газах и жидкостях при отсутствии их перемешивания, осуществляется путем передачи кинетической энергии при соударении молекул в процессе их теплового хаотического движения. В электропроводных жидкостях и газах (плазме), так же как и в металле имеются свободные электроны, за счет которых теплопроводность повышается. Значения коэффициентов теплопроводности веществ приведены на рисунке 3.2. При анализе теплопроводности жидкостей и газов следует учитывать два обстоятельства. Первое обстоятельство связано с тем, что газы и неэлектропроводные жидкости полностью или частично прозрачны для теплового излучения. Поэтому теплообмен между твердыми стенками, разделенными газовой или жидкой прослойкой, осуществляется параллельно идущими процессами – теплопроводностью ( q  ) и излучением ( q п ). В большинстве слу- чаев эти элементарные процессы независимы и, следовательно, эффективная теплопроводность равна их сумме: q эфф = q  + q л . Рисунок 2.9 - Порядок величин коэффициента теплопроводности для различных веществ Вторая особенность теплообмена в жидкостях и газах состоит в том, что кроме теплового, хаотического движения молекулы жидкости и газа, возможна также конвекция, то есть перемещение масс жидкости и газа относительно стенок, ограничивающих объем. Конвекция может приводить к перемещению холодных, и нагреты слоев жидкости, то есть к интенсификации теплообмена. а)верхняя нагрета больше нижней (элементарный процесс теплопроводности) б) нижняя нагрета больше верхней (процесс конвективного теплообмена). Рисунок 2.10 - Температурные поля в зазоре между горизонтальными стенками При отсутствии конвекции теплопроводность газа и жидкости и температурное поле в них определяются только законом Фурье и условиями однозначности (рисунок 2.10а). Появление конвекции искажает температурное поле (рисунок 2.10б), которое теперь определяется совокупностью закона Фурье и законов конвекции. В настоящей главе рассматривается только теплообмен теплопроводностью, характерный для твердых тел, а также тел жидких и газообразных в условиях отсутствия конвекции. Вопрос 2 Изучение теплообмена теплопроводностью направлено на решение двух задач: 1) каково температурное поле в объекте; 2) каков тепловой поток, проходящий через объект. Для решения этих задач теория теплопроводности привлекает закон сохранения энергии и закон Фурье. В совокупности эти законы полностью определяют температурное поле и тепловые потоки в теле, если дополнительно заданы условия однозначности. Уравнение, связывающее закон Фурье и закон сохранения энергии, названо уравнением теплопроводности Фурье. Сущность его вывода состоит в следующем. Рассмотрим неравномерно нагретое тело с произвольным расположением изотермических поверхностей в данный момент времени  . По телу распространяются тепловые потоки плотностью q. Выберем внутри этого тела произвольный объем V, ограниченный поверхностью F. Рисунок 2.11 - К выводу дифференциального уравнения теплопроводности Фурье В общем случае суммарный тепловой поток, проникающий внутрь объема через часть поверхности F, частично здесь поглощается или увеличивается и не равен тепловому потоку, выходящему изнутри объема через другую часть поверхности F. Величина этого небаланса Q может быть получена интегрированием плотности потока по всей замкнутой поверхности F: Q = −  qdF , (2.15) F где q и dF - скалярно перемноженные векторы плотности и элемента поверхности. Знак «минус» является следствием того, что для потока положительным считается направление внутрь тела, а для вектора элемента поверхности это направление отрицательно. Изменение потока Q внутри объема V приводит к нагреванию или охлаждению объема. Скорость изменения внутренней энергии элемента объема dV внутри объема V составит величину dU = c t dV ,  где с и  - удельная массовая теплоемкость и плотность тела; (2.16) t - скорость изменения температуры элемента объема dV.  Для всего объема V скорость изменения внутренней энергии может быть получена интегрированием по объему, ограниченному поверхностью U =  (c V t )dV .  (2.17) Соотношение между U и  Q определяются законом сохранения энергии, в соответствии с которым изменение внутренней энергии объема должно равняться количеству энергии, подведенной извне к этому объему. Для единичного отрезка времени этот закон выражается равенством: U − Q =0. (2.18) Подставляя в равенство (2.18) полученные в (2.16) и (2.17) соотношения, выразим закон сохранения энергии в виде связи между скоростью изменения температуры t внутри объема и плотностью потока q на границах объема t  c  dV +  qdF = 0 V F В полученном выражении плотность тепловых потоков q определяется законом Фурье q = − grad t Тогда закон сохранения (2.3) выразит соотношение между скоростью t изменения  температуры внутри объема V и градиентами температуры на границе F этого объема: t  c  dV −   grad V t  dF = 0 (2.19) F Чтобы получить окончательное выражение для уравнения теплопроводности Фурье, достаточно второй член равенства (3.4) преобразовать с помощью теоремы ОстроградскогоГаусса, которая в векторной форме записывается в виде:  pds =  div p dV F V В соответствии с этой теоремой, подставляя вместо вектора р вектор grad t, получим  grad t  dS =  div grad t dV . F V (2.20) div grad t представляет собой известное в векторном анализе выражение, называемое оператором Лапласа 2t 2t 2t div grad t   t = 2 + 2 + 2 . x y z 2 (2.21) Подставляя выражения (3.5) и (3.6) в закон сохранения (3.4), получаем t  c  dV −    V 2 t dV = 0 V или, поскольку пределы интегрирования по V одинаковы, t  (c  −   2 t )dV = 0 V . В связи с тем, что объем, по которому ведется интегрирование, произволен, это выражение справедливо и для каждого элементарного объема, то есть подынтегральное выражение также равно нулю: c t dV −   2 t =0 .  (2.22) Полученное выражение называется дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье. Обычно его записывают в виде: t = а 2t ,  где коэффициент - а =  с (2.23)  м2    называется коэффициентом температуропроводности. сек   Вопрос 3 В соответствии с выражением (3.8) дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье связывает скорость нагрева t 2 любой точки тела с кривизной  t температурного  поля в этой точке, иными словами, дает связь между временными и пространственными характеристиками температурного поля. Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье представляет собой уравнение второго порядка, так как входящий в него оператор Лапласа  t (3.6) содержит производные второго порядка от температуры по пространственным координатам. При его интегрировании появляются константы интегрирования, для определения которых должны быть заданы условия однозначности. Решение стационарных задач связано с заданием только граничных условий. 2 Следует сделать несколько дополнительных замечаний, относящихся к полученному дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье: 1. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье в виде (3.7) и (3.8) справедливо для тел, коэффициент теплопроводности которых постоянен  =const. При решении многочисленных практических задач это условие вполне допускается. В случае, когда  существенно изменяется, решение имеет вид, представленный в справочной литературе. 2. При выводе получен новый теплофизический параметр – коэффициент температуропроводности а. С его помощью определяется скорость изменения температуры в различных точках неравномерно нагретого тела. Коэффициент температуропроводности измеряется в м2/сек и приводится в таблицах свойств веществ, наряду с коэффициентом теплопроводности или удельной теплоемкостью. 3. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье принимает более сложную форму, если рассматриваемое тело имеет внутренние источники тепла, в частности, химические или электрические. Если эти источники характеризовать плотностью источника или мощностью, выделяемой в единице объема qV, то дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, выражающее закон сохранения энергии, должно учитывать и эти внутренние источники энергии. В этом случае оно приобретает вид q t = а 2t + V ,  c (2.24) где с и  - удельная теплоемкость и плотность тела. В частности, если по телу пропускается электрический ток и происходит выделение джоулевой энергии, плотность (мощность в единице объема) источника представляется в виде I2 2 ) j2 S qV =  ,   ( (2.25) где j – плотность тока, а/м2; δ- удельная электропроводность, 19м-1 м-1; I- сила тока, а; S- сечение, м2. 4. Полученное в (3.7) и (3.8) дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье характеризует нестационарные процессы, при протекании которых температурное поле с течением времени изменяется. В отличие от этого, практику интересуют также многочисленные случаи стационарных процессов, при протекании которых температурное поле с течением времени не меняются. Стационарные процессы и температурные поля характеризуются нулевой скоростью изменения температуры: t = 0 , а дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье (3.8) для  стационарного температурного поля характеризует только кривизну поля и принимает вид  2 t =0 . (2.26) Уравнение (3.9) известно в математике под названием «Уравнение Лапласа». 5. Дифференциальный оператор Лапласа  t , так же как и оператор grad t в различных системах координат принимает различный вид: 2 в декартовых координатах X, Y, Z 2t 2t 2t  t 2 + 2 + 2 , x y z 2 в цилиндрических координатах r,  t 2 1 (2.27) ,z 2t r 2  (ln r )2 + 1 2t r 2  2 + 2t z 2 , (2.28) в сферических координатах  t= 2 где 1 2t r 4  ( 1r ) 2 +  t 1 r 2 sin 2   2 + 1 2t r 2  2 + 1 r2 ctg t  , (2.29)  - долгота,  - полюсное расстояние. 6. В случае одномерных температурных полей оператор Лапласа  t , а следовательно и дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье существенно упрощается: 2 а) для прямоугольной системы координат t = f ( x ), t t = =0 y z оператор Лапласа  t= 2 d2t dx 2 , уравнение Фурье d2t dx 2 =0. б) для цилиндрической системы 1 d2t d2t t t 2 , =0 t = f (r ), = = 0,  t = 2  z r d (ln r ) 2 d (ln r ) 2 в) для сферической системы координат 1 d2t d2t t t 2 t = f (r ), = = 0,  t = 4 , =0   r 12 12 d  d   r r 7. дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, являясь выражением закона сохранения энергии и закона распространения энергии (закон Фурье), дает в дифференциальной форме распределение температур в теле, а именно, кривизну температурного поля в каждой точке. Путем интегрирования уравнения Фурье можно получить общий вид температурного поля в виде формулы: , (2.30) t = f ( x, y, z , c1 , c2 ) где с1 и с2 – константы интегрирования. Эти константы могут быть определены, если заданы граничные условия, например, известны температуры на поверхностях, ограничивающих тело. Лекция №2.4 Тема: Теплопроводность тел простой формы План лекции 1 Плоская стенка 2 Цилиндрическая стенка 3 Сферическая стенка 4 Особенности расчета теплопроводности цилиндрической стенки Формулы для температурных полей получают наиболее простой вид при условии, что тело ограничено двумя эквидистантными поверхностями – плоскими, цилиндрическими или сферическими, а каждая из поверхностей, ограничивающих тело, поддерживается при одной определенной температуре (совпадает с изотермой). Вопрос 1 Рассмотрим плоскую стенку из материала с постоянным коэффициентом теплопроводности  . Одна поверхность тела поддерживается при температуре t1, другая (противоположная) – при температуре t2 (рисунок 4.1). Остальные поверхности стенки адиабатически изолированы. Требуется определить температурное поле внутри стенки и плотность теплового потока. t = t1 при х = х1 t = t2 при х = х2 Рисунок 2.12 - Одномерное температурное поле плоской стенки с постоянным коэффициентом теплопроводности и граничными условиями Остальные поверхности стенки адиаботически изолированы.Чтобы получить одномерную задачу, следует выбирать прямоугольную систему координат и расположить ось Х перпендикулярно изотермическим поверхностям стенки, тогда производные вдоль у и z обращаются в нуль: t t = =0 y z Кроме того, температуры и потоки стационарны, то есть t =0  При этих условиях температурное поле стенки описывается дифференциальным уравнением Фурье в виде (смотреть 3.9а). (2.31) d 2t =0 dx2 и граничными условиями t = t1 при х = х1 t = t2 при х = х2 Интегрируя (4.1), получаем dt = c1 , t = c 2 + c1 x . dx (2.32) Подставляем граничные условия: t1 = c2 + c1x1; t2 = c2 + c1x2. Определяем константы интегрирования с1 и с2 через х1, х2, t1, t2: c 2 = t1 − t1 − t 2 t −t x 1 , c1 = 1 2 , x1 − x 2 x1 − x 2 после чего решение (4.2) представляется в виде: t = t1 − t1 − t2 ( x − x1 ), x1 − x2 (2.33) то есть в виде прямой пропорциональности между температурой t и координатой х. На графике (рисунок 4.1) зависимость t = f ( x ) - прямая линия (если, как было принято, коэффициент теплопроводности  постоянен). Для определения плотности потока q = − Продифференцируем (2.34) dt . dx (2.34) dt = − t1 − t 2 dx , x1 − x 2 q= t1 − t 2 t . = x1 − x 2 x И подставив (2.34), найдем (2.35) Наконец решая совместно (2.35) и (2.33) и исключая t2, выразим изменение температуры в стенке через плотность потока q t = t1 − q (x − x 1 ) .  (2.36) Полученные выражения позволяют рассчитать, при заданных граничных условиях, плотность теплового потока q и температуру t = f ( x ) в стенке. Вопрос 2 Одномерное температурное поле в цилиндрической стенке возникает в случае, когда оно задано следующими граничными условиями (рисунок 2.13) Рисунок 2.13 - Одномерное температурное поле в цилиндрической стенке с граничными условиями: t = t1 при r = r1, t = t2 при r = r2, t = t1 при r = r, t = t2 при r = r2. Торцевые поверхности адиабатично изолированы. 1. На внутренней поверхности радиусом r1 стенки температуры равна t1, а на внешней поверхности радиусом r2 температура стенки равна t2: t = t1 при r = r1 (2.37) t = t2 при r = r2 Это граничные условия первого рода. 2. Второй случай задания граничных условий предусматривает известную величину температуры на одной из поверхностей стенки и, кроме того, известное значение тепловой энергии, проходящей через цилиндрическую стенку, например, t = t1 при r = r1 (2.38) qe = const где qe – так называемая линейная плотность теплового потока или поток энергии, проходящий через единицу длины цилиндра. Линейная плотность теплового потока qe связана с плотностью потока q. Последняя в цилиндрической стенке измеряется в зависимости от радиуса r кривизны поверхности: q = qe 1 . 2 r (2.39) В частности, если на внутренней поверхности r1 стенки плотность потока равна q1, то qe = 2п r1 q1. Если длина цилиндра L, а общий тепловой поток, выделенный на его поверхности, известен и равен Q, то линейная плотность qe = Q/L. Единица измерения линейного потока – вт/м. Линейная плотность теплового потока чрезвычайно упрощает расчеты, связанные с тепловым режимом цилиндрических объектов. Линейная плотность потока qe одинакова на внешней и внутренней цилиндрических поверхностях, что следует из закона сохранения энергии, тогда как плотность q этого потока падает по мере удаления от оси цилиндрических поверхностей, так как при этом растет периметр р = 2п r и, следовательно, сечение через которое проходит поток. Отсюда следует, в частности, что в соответствии с законом Фурье градиент температур в цилиндрической стенке падает по абсолютному значению по мере удаления от оси поверхности, так же как и плотность потока q. Соответствующие формулы, связывающие тепловой поток, температуру и координату цилиндрической поверхности, так же как и в случае плоской стенки, наиболее просто выводятся из общего закона – дифференциального уравнения теплопроводности Фурье (стационарного)  t = 0 . 2 d2t = 0. d(ln r ) 2 (2.40) То есть по сравнению с одномерным плоским полем координата Х заменена на ln r. Эта замена повторяется во всех остальных формулах. Следую порядку, принятому при выводе расчетных формул плоской стенки, имеем dt = c 1 t = c2 + c1 lnr. d(ln r ) Определяем c1 и c2 из граничных условий первого рода (4.7), получая, t = t1 − t1 − t 2 (ln r − ln r1 ) . ln r2 − ln r1 (2.41) Дифференцирую (2.41) dt = t 1 − t 2 dr . ln r2 − ln r1 r Находим плотность потока, определяемую законом Фурье: q = − dt 1  = (t 1 − t 2 ) , dr r ln r2 − ln r1 а затем и линейную плотность потока через цилиндр поверхностью 2пr: q  = 2 rq = 2  (t 1 − t 2 ) . ln r2 − ln r1 (2.42) Линейную плотность теплового потока можно рассматривать, как произведение числа 2п радиан в окружности на величину потока qрад в пределах одного радиана q  = 2 rq рад где q рад  (t 1 − t 2 ) . ln r2 − ln r1 Выражение для q рад по форме аналогично плотности потока q в плоской стенке (2.35). Если же вместо температуры t2 задана линейная плотность qe (граничные условия 2.38), то, подставляя (2.41) в (2.42), находим t = t1 − qe (ln r − ln r1 ) . 2 Аналогия между формулами для цилиндрической и плоской стенок очевидна. Эта аналогия распространяется и на формулы для сферической стенки. Вопрос 3 Сферическая стенка из однородного материала с постоянной теплопроводностью ограничена двумя поверхностями радиуса r1, r2 (рисунок 2.14). Рисунок 2.14 - Одномерное температурное поле сферической стенки с граничными условиями: t = t1 при r = r1; t = t2 при r = r2 Граничные условия заданы соотношением t = t1 при r = r1; (2.39) t = t2 при r = r2 Располагая начало сферических координат в центре сферы, имеем одномерное температурное поле с кривизной d 2t 1 d  r 2 =0 (2.40) В этом уравнении Фурье для сферы величина (1/r) является аналогом координаты в случае плоскости. Эта аналогия повторяется во всех остальных формулах. При интегрировании (2.40) получаем dt 1 = с1 , t = c 2 + c1 . r 1 d  r Определяя с1 и с2 из граничных условий (2.39), находим Дифференцируя (2.41) t −t t = t1 − 1 2 1 1 − r1 r2 dt = 1 1   −   r r1  (2.41) t 1 − t 2 dr . 1 1 r2 − r2 r1 находим плотность потока, определяемую законом Фурье: q = − dt 1  =− 2 (t 1 − t 2 ) , dr r 1 −1 r2 r1 а затем и общий поток через сферу поверхностью F = 2 п r2 Q = 4 r 2 = −4  1 1 − r1 r2 (t 1 − t 2 ) . (2.42) Общий тепловой поток Q можно рассматривать как произведение числа 4п в сфере на величину потока qстер в пределах одного стерадиана Q = 4q стер , qстер = −  1 1 − r2 r1 (t1 − t2 ) Выражение для qстер по форме аналогично плотности потока q в плоской стенке (2.35). Если же вместо температуры t2 задан общий поток Q через сферу, то, подставляя (2.42) в (2.41), находим Q 1 1 t = t1 − ( − ) 4 r1 r . . Получаем Q=  d 1d 2 (t 1 − t 2 ) ,  (2.43) где  - толщина сферической стенки. Таким образом, формула для сферической стенки, так же как и формулы для цилиндрической стенки, являются аналогами формул для плоской стенки, только вместо Х в них входит (1/r). Сводка основных формул теплопроводности для стенок простой формы представлена в таблице 2.1. Задача 2 Труба с наружным диаметром 160 мм и внутренним диаметром 60 мм выполнена из материала с коэффициентом теплопроводности 0,1 вт/м.град. Температура внутренней поверхности 200 0C, наружной 100 0С. Определить: Линейную плотность потока q e . Плотность потока q1 вт/м2 на внутренней поверхности; Плотность потока q2 вт/м2 на наружной поверхности; Плотность потока qср вт/м2 в среднем сечении стенки; Плотность потока q0 вт/м2 для плоской стенки, толщина которой равна толщине стенки трубы и находится при тех же граничных условиях; температуру в среднем сечении цилиндрической стенки, сравнив ее с температурой в среднем сечении плоской стенки. Решение: r1 = 3 10-2 м; r2 = 8 10-2м; rср = 5,5 10-2 м;  = r2 – r1 = 5 10-2 м; t1 = 200 0C; t2 = 100 0C;  = 0,1 вт/м.град. 1) q e = qe = 2 (t 1 − t 2 ) ln r2 − ln r1 2 0,1 2,3 lg 8  10 − 2 3  10 − 2 (200 − 100) = 62,8 2) q 1 = q1 = qe 2 r1 62,8 = 333 2 3  10 − 2 3) q 2 = qe 2 r2 62,8 = 125 2 8  10 − 2 q2 = 4) q ср = q ср = 62,8 = 182 2 5,5  10 − 2 5) q 0 = q0 = qe 2 rср  (t 1 − t 2 )  0,1 5  10 − 2 6) t cр = t 1 − t cр = 200 − (200 − 100) = 200 t1 − t 2 (ln rср − ln r1 ) ln r2 − ln r1 200 − 100 2,3 lg ( t ср ) плоск = 8  10 − 2 2,3 lg 5,5  10 −2 3  10 − 2 3  10 − 2 t 1 + t 2 200 + 100 = = 150 0 C 2 2 Обсуждение результатов решения: 1. Плотности потока q1, q2, qср в цилиндрической стенке резко падают по мере удаления от внутренней поверхности. Рисунок 2.15 - Сравнение температурных полей и плотности потоков энергии в цилиндрической и плоской стенках 2. Плотность потока в среднем сечении цилиндрической стенки (qср = 128 вт/м2) сравнительна близка к плотности потока в плоской стенке (q0 = 200 вт/м2). Несмотря на большое различие внешнего и внутреннего диаметров трубы (d1/d2 = 2.7), различие между qср и q0 составляет q ср − q 0 q ср 182 − 200 = −10 182 3. Несмотря на большое различие внешнего и внутреннего диаметров трубы, температурное поле в стенке трубы также незначительно отклоняется от температурного поля в плоской стенке t ср − ( t ср ) плоск t ср 148 − 150 = −1,3 148 Вывод: для оценки потоков и температурных полей в цилиндрических стенках с отношением диаметров d1/d2 < 2,7 можно пользоваться формулами плоской стенки, несколько занижая поток (до 10%) и температуру (до 1,3%). Вопрос 4 Расчет линейной плотности qe через стенки трубы по формуле (2.42) qe = 2 (t 1 − t 2 ) ,  r2  ln   r1  неудобен тем, что в нее входит логарифм. С целью упрощения и ускорения расчетов, вместо этой формулы может быть рекомендована следующая: qe =  2 rср (t 1 − t 2 )   (2.44) или Q = qe  L =  Fm (t 1 − t 2 ) ,   аналогичная формула для плоской стенки. где rср = r1 + r2 - средний диаметр трубы; 2  = r2 − r1 - толщина стенки трубы; Fm = 2пrсрL – площадь среднего сечения цилиндрической стенки. Влияние кривизны стенки учитывается коэффициентом  , который называется коэффициентом кривизны. Величина  зависит от отношения диаметров d /d 2 1 Это видно из сопоставления между собой формул (2.42) и (2.44): r2 +1 2rср r2 r  d r1 + r2 r2 1 r1 r = ln = ln = ln 2 = f  2  = f  2 2 r1 2(r2 − r1 ) r1 2 r2 r1  r1   d 1 −1 r1    Численные значения коэффициентов кривизны  для различных отношений d2/d1 приведены на рисунке 2.16. Рисунок 2.16 - Коэффициент кривизны в зависимости от отношения наружного и внутреннего диаметров d2/d1 трубы, используемый для расчетов цилиндрических стенок по формуле qe =   d ср (t 1 − t 2 )   , где dср =0,5(d1+d2). Пользуясь приведенными на рисунке значениями  , можно упростить и ускорить расчет тепловых потоков через стенку трубы даже с большим отношением диаметров (d2/d1=1÷6), пользуясь, вместо формулы (2.42) формулой (2.44). Полезно также обратить внимание на то, что при близких к 1 значениях d2/d1, величина  также близка к единице. Следовательно, при оценочных расчетах тепловых потоков через стенки труб вообще можно принимать  = 1, то есть рассматривать цилиндрическую стенку как плоскую, площадь сечения которой определяется по среднему сечению трубы. В этом случае, даже при больших отношениях d2/d1, порядка 3/1, ошибка такого расчета не превышает 10%, что вполне допустимо при оценочных расчетах. Вопрос 5 Каждый из рассматриваемых видов простых стенок – плоской, цилиндрической и сферической – имеют свои характерные формулы для расчета теплопроводности. Однако расчет теплопроводности всех этих тел можно охватить одной формулой, имеющей следующий вид: Q= где λ - коэффициент теплопроводности;  - толщина стенки;  F - температурный напор;  Fx t  , Fx - расчетная поверхность тела. Различие формы стенок выражается лишь в способе определенияFx. Если F1 и F2 – площадь поверхностей, ограничивающих стенку, то: в случае плоской стенки площадь расчетной поверхности равна среднеарифметическому из F1 и F2: Fx = F1 + F2 . 2 В случае цилиндрической стенки Fx равна среднеарифметическому значению F1 и F2. Fx = F2 − F1 F ln 2  F1    . В случае шаровой стенки Fx равна среднеарифметическому значению их F1 и F2 Fx = F1  F2 . Большинство криволинейных стенок, толщина которых  меньше среднего радиуса кривизны стенки, могут рассчитываться по этим формулам. С целью расчета теплопроводности тел сложной формы, иногда удается расчленить их мысленно на простые элементы – плоские, цилиндрические и сферические стенки. Однако даже оценочные расчеты такого рода чрезвычайно сложны, и в некоторых случаях проще построить модель данной конструкции и экспериментально определить температурное поле в ней. Одной из особенностей приведенных выше расчетных формул является то, что они выведены при идеализированных граничных условиях., согласно которых температура поверхности тела должна быть постоянной. На практике это условие далеко не всегда удовлетворяется. Поэтому пользуются следующим приемом. Определяется средняя температура по поверхности tср = t1F1 + t2F2 + t3F3 + … + tnFn F1 + F2 + F3 + … +Fn, F1 + F2 + F3 + … +Fn где F1, F2, F3,… Fn – участки поверхности с постоянной температурой, t1, t2, …..tn – температуры этих участков. Эта средняя температура tср подставляется в расчетные формулы для определения среднего по стенке температурного напора. Приведенные выше формулы выведены в предположении, что коэффициент теплопроводности тела – величина постоянная. Однако на практике коэффициент теплопроводности всех тел зависит от температуры, влажности и других факторов. При пользовании приведенными формулами следует подставить средние значения коэффициентов теплопроводности в данном интервале температур, имеющемся на стенке. Более точные формулы, учитывающие линейный характер изменения коэффициента теплопроводности от температуры, приведены в справочной литературе. Вид уравнения Лапласа и его решение плоское d2t =0 dx 2 dt = c1 , t = c2 + c1x dx Плотность вт/м2 Сферическое d2t 2 =0 1 d  r dt 1 = с1 , t = c 2 + c1 r 1 d  r t −t t −t t = t1 − 1 2 ( x − x1 ) t = t1 − 1 2 (ln r − ln r1 ) t = t 1 − t 1 − t 2  1 − 1  ln r2 − ln r1 x1 − x 2 1 1  r r1  − r1 r2 q q Q  1 1 t = t1 − ( x − x1 ) t = t1 − e (ln r − ln r1 )  −  t = t1 − 2  4  r1 r  Температурное 1-го рода поле при граничных условиях 2-го рода Поток энергии цилиндрическое d2t dt = = c1 d (ln r ) 2 d(ln r ) t=c2 + c1 ln r. q, Линейная плотность qе, вт/м q=  (t 1 − t 2 ) x 2 − x1 - - q e = 2  (t 1 − t 2 ) ln r2 − ln r1 - Общий поток Q,   t1 − t 2 t Q = 4  (t − t 2 ) = Q = 2  L ( t − t ) q =  =  1 2 Вт 1 1 1 ln r2 − ln r1 x1 − x 2 x − r1 r2  d 1d 2 = (t 1 − t 2 )  Лекция №2.5 Тема: Теплопроводность и термическое сопротивление многослойных стенок План лекции 1 Плоская многослойная стенка 2 Криволинейные (цилиндрические и сферические) многослойные стенки 3 Эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной стенки 4 Теплопроводность на внешней поверхности стенок 5 Коэффициент теплообмена(теплоотдачи) 6 Критический диаметр изоляции Стенки, состоящие из нескольких слоев разного материала, называются многослойными. Так, стенка здания, состоит из слоя кирпича, покрытого изнутри и снаружи слоем штукатурки, является примером трехслойной стенки. Кроме плоских, имеют место также многослойные цилиндрические и сферические стенки. Способность каждого из слоев многослойной стенки проводить тепло определяется толщиной стенки  и коэффициентом теплопроводности  , а также, в случае цилиндрической и сферической стенок, некоторым влиянием радиуса кривизны слоя. Вывод расчетных формул по теплопроводности многослойных стенок, как плоских, так и кривых аналогичен, однако в написании расчетных формул появляются различия, связанные с зависимостью теплопроводности криволинейного слоя от радиуса кривизны. Вопрос 1 Плоская многослойная стенка. Рассмотрим плоскую многослойную стенку, состоящую, например, из трех слоев плотно прилегающих друг к другу (рисунок 2.17). Рисунок 2.17 - Многослойная плоская стенка с температурами t1 и t3 на внешних поверхностях: толщина 1-го слоя 1 = x1− 2 − x1 ; 2-го слоя  2 = x 2 − 3 − x1− 2 ; 3-го слоя 3 = x 3 − x 2 − 3 Коэффициенты теплопроводности слоев равны соответственно  1,  2,  3. Толщина первого слоя  1, его коэффициент теплопроводности  1. Толщина и коэффициент теплопроводности второго и третьего слоя соответственно равны  2,  2 и  3 и  3. Температура наружных поверхностей первого и третьего слоев соответственно равны t1 и t3. Требуется определить, как влияют толщина и коэффициент теплопроводности каждого слоя на плотность теплового потока через многослойную стенку и на распределение температуры по слоям стенки, если процесс теплопроводности стационарный. Для стационарного процесса плотность потока через каждый из последовательных слоев стенки равны q1 = q2 = q3 = q , (2.45) что следует из закона сохранения энергии. Подставляя в (2.45) плотность потока q, выраженные через толщину  и коэффициент теплопроводности  каждого слоя, определяем соотношение между перепадами температур в каждом слое 1   ( t1 − t1− 2 ) = 2 ( t1− 2 − t 2 −3 ) = 3 ( t 2 −3 − t 3 ) = q 1 2 3 . Отсюда очевидно, что перепад температуры в слое тем больше, чем больше его толщина и меньше коэффициент теплопроводности t 1 − t 1− 2 = q 1 1 , t 1− 2 − t 2−3 = q t 2 −3 − t 3 = q 2 2 , 3 3 Сумма перепадов температур в каждом слое составляет полный перепад температур на стенке. Иными словами, складывая правые и левые части система уравнений, получаем     t 1 − t 3 = q 1 + 2 + 3  .  1  2  3  Величина  называется частным термическим сопротивлением  (2.46) Ri = i I (2.47) и измеряется в м2град/вт. Частное термическое сопротивление устанавливает связь между плотностью теплового потока q и падением температуры t i в слое i: Ri = t i . q (2.47а) Сумма частных термических сопротивлений называется общим термическим сопротивлением многослойной стенки: R  = R1 + R 2 + R 3 = 1  2  3 + +  1  21  3 . (2.48) В соответствии с (2.47) и (2.48) плотность теплового потока трехслойной стенки определяется из выражения: q= t1 − t 3 t − t3 = 1 1  2  3 R + + 1  2  3 . По аналогии можно записать расчетную формулу для n-слойной стенки q= t1 − t n t1 − t n = . n i R   i =1 i (2.49) Зная толщину  i и коэффициент теплопроводности  i каждого слоя i, можно рассчитать по (2.47) термическое сопротивление каждого слоя Ri, по (2.47а) – общее термическое сопротивление R  многослойной стенки, и далее, по (2.49), определить плотность потока энергии q через многослойную стенку. Определим теперь, зная плотность энергии q, перепады температур t i в пределах каждого слоя. Перепишем (2.47а) с учетом (2.47): t 1 − t 1− 2 t 1− 2 − t 2−3 t 2−3 − t 3 = = =q . R1 R2 R3 (2.48) Отсюда следует, что чем больше термическое соприкосновения слоя i, тем больше в нем перепад температур t i = qRi . Температуры в месте сопротивления слоев определяется из выражения t1-2 = t1 – qR1, или t1-2 = t3 + q(R2 + R3), соответственно t2-3 = t1 + q(R2 + R1) или t2-3 = t3 + qR3 В случае n-слойной стенки температура в месте соприкосновения i-го и (i+1)-го слоев равна: t 1 − q (R 1 + R 2 + ... + R i ) t i − (i +1) =  t n + q (R n + R n +1 + ... + R i +1 ) . (2.49) Задача 3 Определить общее термическое сопротивление и температуры в местах соприкосновения слоев плоской стенки, состоящей из трех слоев: первый слой – войлок  1 = 12мм,  1 = 0,06 вт/м.град; второй слой – бетон  2 = 60мм,  2 = 1,2 вт/м.град; третий слой – земля влажная  3 = 240мм,  3 = 0,12 вт/м.град; Температура поверхности войлока 18 0С; температура поверхности влажного земляного слоя 0 0С. Построить график изменения температур по толщине слоев. Определяем частные термические сопротивления Ri: R1 = 1 , 1 12  10 −3 R1 = = 0,2 0,06 R2 = 2 2 60  10 −3 R2 = = 0,05 1,2 R3 = 3 3 240  10 −3 R3 = = 2,0 0,12 Определяем общее термическое сопротивление R  = R1 + R 2 + R 3 . R  = 0,2 + 0,05 + 2,0 = 2,25 Определяем плотность теплового потока через трехслойную стенку q= t1 − t 3 R q= 18 − 0 = 8,0 2,25 4. Определяем температуры в местах соприкосновения слоев t1 = 18 0C (по условию) первый способ t1-2=t1–qR1=18-8 0,2=16,4 0С t2-3=t3+qR3=0+8 2=16 0С. t3 = 0 0C (по условию) второй способ t1-2= t3+q(R2+R3)=0+8(2+0,05)=16,4 0С t2-3=t1+q(R2+R1)=18-8(0,2+0,05)=16 0С. третий способ графический, рисунок 2.18. Рисунок 2.18 - Графический способ определения промежуточных температур t1-2 и t2-3. По оси абсцисс откладываем последовательно отрезки (1, 2, 3), соответствующие термическим сопротивлениям R1, R2, R3. По оси ординат откладываем температуры t1 = 18*C и t3 = 0 0C, соответствующие температурам начала первого и конца третего отрезка. В соответствии с выражением (5.7) зависимость между температурой t и термическим сопротивлением R линейна и на графике с координатами (R, t) выражается прямой линией, соединяющей точки (t = 18 0C и R = 0) и (t = 0 0C, R = 2,25), с углом наклона, тангенс которого (t 1 − t 2 ) =q R Тогда температуры t1-2 и t2-3 определяются по прямой при значениях R = R1 и R = R1+R3. Вопрос 2 Термическое сопротивление цилиндрических и многослойных сферических стенок, в отличие от плоских стенок, зависит от кривизны слоев. Рассмотрим многослойные стенки, цилиндрическую и сферическую, состоящие каждая из трех слоев 1, 2, 3 (рисунок 2.19), плотно прилегающих друг к другу. Радиусы кривизны поверхностей, ограничивающих каждый слой, равны: для первого слоя – r1 и r1-2; для второго слоя r1-2 и r2-3; для третьего слоя r2-3 и r3. Рисунок 2.19 - Распределение температуры в многослойных цилиндрической (а) и сферической (б) стенках с температурами t1 и t3 на внутренней и наружной поверхностях. Крайние поверхности поддерживаются при заданных температурах; t1 при r1 и t3 при r3. Коэффициенты теплопроводности слоев равны:  1,  2 и  3. Требуется определить тепловые потоки через данные (цилиндрическую и сферическую) стенки, а также распределение температуры по слоям, если процесс теплопроводности стационарный. В случае криволинейных оболочек изменится форма, в которой выражен закон сохранения энергии, а именно: вместо q = const для плоской стенки, имеем постоянство линейной плотности qe для цилиндрической стенки и общего потока Q для сферической q = q = q = q ; 1 2 Q1 = Q2 = Q3 = Q . 3 для цилиндрической стенки для сферической стенки (2.50) Выразив линейную плотность потока qe и общий поток Q в слое через соответствующие радиусы кривизны и коэффициенты теплопроводности каждого слоя получаем: 4 1 4 2 ( t 1 − t 1− 2 ) = ( t 1− 2 − t 2 1 1 1 1 − − r1 r1− 2 r1− 2 r2 −3 2 1 2 2 ( t 1 − t 1− 2 ) = ( t − t 2 −3 ) = r1− 2 r2 −3 1− 2 ln ln r1 r1− 2 = 2 3 ( t 2 −3 − t 3 ) = q e r3 ln r2 − 3 = Для цилиндрической стенки 4 3 (t − t ) = Q 1 1 2 −3 3 − r2 −3 r3 Для сферической стенки Отсюда перепад температур в каждом слое, t 1 − t 1− 2 = q e ( ln r )1 2  1 t 1− 2 − t 2 −3 q ( ln r ) 2 = e 2  2 t 2 −3 − t 3 = q e ( ln r ) 3 2  3 t 1 − t 1− 2  1   Q  r 1 = 4  1 t 1− 2 − t 2 − 3 t 2−3  1   Q  r 2 = 4  2  1   Q  r 3 − t3 = 4  3 а общее падение температур (t1 – t3) в трехслойной криволинейной стенке определяется, как сумма температурных напоров t i в каждом слое: t1 − t 3 = q e  ( ln r )1 ( ln r ) 2 ( ln r ) 3  + +   2   1 2 3  величины ( ln r ) i  i ri + 1 ri  R ei i  ln  1  1     Q  r 1  r  2 t1 − t 3 = ( + + 4  1 2  1    r 3 + ) (5 − 10) 3 1 1  1 −    r  i ri ri + 1 величины   R cфф(5 − 11) i i Для цилиндрической стенки Для сферической стенки называются частными термическими сопротивлениями соответствующего криволинейного слоя. Соотношение между частными термическими сопротивлениями выражает распределение температурных напоров между слоями стенки. Для плоской стенки общее термическое сопротивление криволинейной поверхности равно сумме частных термических сопротивлений:  ln r  ln r  1  1 R e1−3 = ( )1 + ( )2 +       R сф1−3 =  r  +  r  +       3  ln r     +( ) 3 =  R ei  1  2  1  1   3 +  r  =  R сфi    1    3 Для цилиндрической трехслойной Для сферической трехслойной стенки стенки Зная общее термическое сопротивление трехслойной стенки и общий температурный напор, можно определить Линейную плотность 2 qe = (t 1 − t 3 ) R e1−3 Общий поток 4 Q= (t 1 − t 3 ) R сф1−3 Через цилиндрическую стенку Через сферическую стенку Определим теперь, зная тепловые потоки через криволинейные стенки, температурные перепады по толщине каждого слоя: t 1 − t 1− 2 t 1− 2 − t 2−3 t 2−3 − t 3 q e = = = R e1 R e2 R e3 2 t 1 − t 1− 2 t 1− 2 − t 2 −3 t 2 −3 − t 3 Q = = = R сф1 R сф 2 R сф3 4 Для цилиндрической стенки Для сферической стенки Отсюда можно определить перепады температур в каждом слое: qe Q t i = R сфi R ei 4 2 и температуру в местах соприкосновения криволинейных слоев: t i = Q  t − R1 1  4 t 1− 2 =  t + Q (R + R ) 3  3 4 2 Q  t 1 − 4 (R 1 + R 2 ) t 2 −3 =  t + Q R  3 4 3 qe  t −  1 2 R 1 t 1− 2 =  t + q e (R + R ) 3  3 2 2 qe  t − (R 1 + R 2 ) 1  2 t 2 −3 =  t + q e R  3 2 3 Вопрос 3 Наряду с суммарным термическим сопротивлением, многослойные стенки часто характеризуются величиной, называемой эквивалентным коэффициентом теплопроводности  экв многослойной стенки. При этом отвлекаются от многослойной структуры стенки и рассматривают ее как бы состоящей из однородного материала. Коэффициент теплопроводности материала должен быть таким, чтобы термическое сопротивление R  многослойной  однородной стенки толщиной  экв   с эквивалентным коэффициентом теплопроводности  экв были равны: стенки толщиной   и термическое сопротивление R = откуда следует, что величина   , экв  экв многослойной стенки определяется выражением:  экв =  . R По величине  экв судят о тепловой эффективности различных многослойных стенок. Плотность теплового потока через многослойную стенку толщиной  с известным эквивалентным коэффициентом теплопроводности  q=  экв  экв . (t 1 − t 2 ) , где t 1 − t 2 - температуры на граничных поверхностях стенки. Вопрос 4 Расчет термического сопротивление одиночной или многослойной стенки в некоторых случаях следует дополнять учетом условий теплообмена на краевых поверхностях стенки. Рассмотренные выше формулы применимы в том только случае, если известны температуры краевых поверхностей стенки. Однако гораздо чаще в практике встречаются задачи, когда стенки разделяют два объема жидкости или газа, отличающихся температурой. В этом случае к каждой из поверхностей стенки примыкает жидкий или газовый слой, подвижный или частично перемешивающийся. Эти слои покрывают поверхности стенки как бы дополнительным теплоизоляционным слоем (рисунок 2.20), который называется пограничным слоем. Через него тепловой поток от более нагретой жидкости переходит в стенку, а от стенки через аналогичный пограничный слой с противоположной стороны переходит в более холодную жидкость. Рисунок 2.20 - Распределение температуры в стенке и в пограничных слоях жидкости Толщина пограничного слоя и изменение температуры в его пределах изучается теорией конвективного теплообмена. Здесь же нас интересует только термическое сопротивление пограничного слоя жидкости Rж. Разность между температурой жидкости tж за пределами пограничного слоя, то есть вдали от стенки, и температурой на поверхности стенки tс связана с плотностью теплового потока выражением (2.49), согласно которому tж − tc =q , Rж (2.52) где q - плотность потока; Rж – частное термическое сопротивление пограничного слоя, которое и предстоит определить. Чтобы определить тепловой поток q между двумя объемами жидкости с температурами tж1 и tж2, разделенными стенкой с термическим сопротивлением Rс следует определить частные термические сопротивления обоих пограничных слоев. Причем, жидкие и газообразные прослойки принципиально отличаются по характеру термического сопротивления от твердых слоев вследствие возможности конвекции. Поэтому термическое сопротивление пограничных слоев определяется с помощью закона Ньютона Рихмана (2.2) q =  (t ж − t c ) , где  - коэффициент теплоотдачи. Сравнивая аналитическое выражение закона Ньютона – Рихмана с аналитическим выражением (2.52), включающим частное термическое сопротивление пограничного слоя Rж, находим, что tж − tc 1 = Rж = , q  откуда R ж1 = 1 ; 1 Rж2 = 1 , 2 то есть термическое сопротивление пограничного слоя обратно пропорционально коэффициенту теплоотдачи. Тогда общее термическое сопротивление между двумя жидкими (газообразными) средами с температурой tж1 и tж2, разделенными стенками, определяется формулой: R ж1, 2 = R ж1 + R с + R ж 2 = а плотность теплового потока 1 с 1 + + , 1  с  2 q= где R c = t ж t ж1 − t ж 2 = , 1 с 1 R ж1 + R с + R ж 2 + + 1  с  2 c - термическое сопротивление стенки. c В случае многослойной стенки общее термическое сопротивление между жидкими стенками  R ж1, 2 = R ж1 + (R i ) ст + R ж 2 =  1 1 , + i + 1 i 2 Плотность теплового потока q= t ж t ж1 − t ж 2 = 1  1 R ж1 +  R i + R ж 2 + i + 1 i  2 а температура поверхности стенок t c1 = t ж1 − R ж1  q = t ж1 − q , 1 t c2 = t ж 2 + R ж 2  q = t ж 2 + q . 2 Определим термическое сопротивление между жидкими средами с температурой tж1 и tж2, разделенными криволинейной стенкой с собственным термическим сопротивлением Rс. Общая связь между тепловым потоком, термическим сопротивлением и температурным перепадом в слое, в частности, и в пограничном слое, Примыкающем к цилинд- Примыкающем к сферической стенке рической стенки t ж − t с qe = ( R e ) ж 2 tж − tс Q = ( R сф ) ж 4 где где q e = 2rq Q = 4 r 2q Определяя плотность теплового потока q из закона Ньютона, q =  (t ж − t c ) производя необходимые сокращения, получаем (R e ) ж = 1 r (R сф ) ж = то есть частное термическое сопротивление пограничного слоя, примыкающего к цилиндрической поверхности, обратно пропорционально коэффициенту теплоотдачи и радиусу кривизны поверхности. 1  r2 то есть частное термическое сопротивление пограничного слоя, примыкающего к сферической поверхности, обратно пропорционально коэффициенту теплоотдачи и квадрату радиуса кривизны поверхности. Тогда общее термическое сопротивление между двумя жидкими (газообразными) средами, разделенными криволинейной стенкой с собственным термическим сопротивлением Rс определяется выражением (R e ) ж1, 2 = (R e ) ж1 + (R e ) с + (R e ) ж 2 = (R сф ) ж1, 2 = (R сф ) ж1 + (R сф ) с + (R сф ) ж 2 = r ln 2 1  r1 = +  1 r1 c =    + 1 1  1 r 21 + 1 1 1 1 ( − )+  c r1 r2  2r 22  2 r2 - для цилиндрической стенки, - для сферической стенки, а поток энергии при этом определяется из соотношения qe = 2( t ж1 − t ж 2 ) 1  1 r1 + 1  r1  1 ln  +  c  r2   2 r2 Q= 1  1 r 21 4( t ж1 − t ж 2 ) 1 1 1 1 + ( − )+  c r1 r2  2r 22 в случае однослойной твердой стенки или, в случае многослойной стенки, qe = 2( t ж1 − t ж 2 ) 1 1 r +1 1 +  ln i +  1 r1 i ri  2 r2 Q= 1  1 r 21 4( t ж1 − t ж 2 ) 1 1 1 1 + ( − )+  i ri ri +1  2r 22 а температура поверхности стенок t c1 = t ж1 − qe q 1 R ж1 = t ж1 − e 2 2  1 r1 t c1 = t ж1 − Q Q 1 R ж1 = t ж1 − 4 4  1 r 2 1 t c2 = t ж 2 + qe q 1 R ж2 = t ж2 + e 2 2  2 r2 t c2 = t ж 2 + Q Q 1 R ж2 = t ж2 + 4 4  2 r 2 2 Для цилиндрической стенки Для сферической стенки. Вопрос 5 Для обобщения оценки теплового потока, переданного от одной жидкой среды с температурой t1 к другой, с температурой t2, введено понятие коэффициента теплоотдачи К: Q = K(t 1 − t 2 )F -для плоской стенки, Q = 2K e (t 1 − t 2 )L -для цилиндрической стенки, Q = 4K cф (t 1 − t 2 ) -для сферической стенки, где К = 1 1 1 , Кe = , К сф = R Re  R сф или К = Кe = 1 , х i 1 1 + + 1 i 2 1 1 1 r +1 1 +  ln i + 1r1 i ri  2 r2 , К сф = 1  1 r 21 1 1 1 1 1 + ( − )+  i ri ri +1  2 r 2 2 Задача 4 Теплообменник выполнен из стальных труб (  с = 50 вт/м.град) с наружным диаметром 20 мм и толщиной стенки 5 мм. Трубы омываются с внешней стороны горячим газом с температурой 400*С, с внутренней стороны – водой с температурой 100*С. Коэффициент теплоотдачи при охлаждении воздуха и нагревании воды считать заданными. Определить общее термическое сопротивление, коэффициент теплоотдачи от газов к воде и общую длину труб теплообменника, если заданный тепловой поток от газов к воде составляет 10 кВт. Определить, как изменится длинна труб, если при тех же условиях газ будет омывать трубу изнутри, а вода - снаружи. Решение:1 Радиусы труб r2 = 2.10-2 м; r1 = 1.10-2 м 2 Коэффициент теплоотдачи от газа  r изменяется в пределах 1- 50 вт/м2град. Выбираем  r = 25 вт/м2град. 3 Коэффициент теплоотдачи к воде ем  ж = 5000 вт/м2град.  ж изменяется в пределах 200-10000 вт/м2град. Выбира- 4 Определяем общее термическое сопротивление для случая внешнего омывания газом: ln(r2 / r1 ) 1 1 2,3 20  10 −2 (R e ) r − ж = + + = + lg +  ж r1 c  r r2 25  2  10 − 2 50 10  10 − 2 1 + == 2,000 + 0,014 + 0,020 = 2,034 5  10 −3  1  10 − 2 1 5 Определяем коэффициент теплопередачи Ке = 1 Re Ке = 1 = 0,491 2,034 6 Длина труб определяется из формулы L= Q Re 2 t r − t ж 10 4 2,034 L= = 10,8 2 400 − 100 7 При внешнем омывании труб водой (R e ) \ r − ж r ln 2 1  r1 = +  r r1 c    + 1  ж r2 ln(r2 / r1 ) 1 1 2,3 20  10 −2 1 (R e ) r − ж = + + = + lg + =  r r1 с  ж r2 25  10 − 2 50 10  10 − 2 5  10 −3  2  10 − 2 = 4,000 + 0,014 + 0,010 = 4,024 1 \ 8 Коэффициент теплопередачи К\е = 1 R \e К\е = 1 = 0,249 4,024 9 Длина труб L\ = Q R \e 2 t r − t ж 10 4 4,024 L = = 21,3 2 300 \ Теплопередача между газом и водой при первом способе распределения теплоносителей интенсивнее и дает двукратную экономию в длине труб. Вопрос 6 В случае плоской стенки, омываемой газом или жидкостью, увеличение толщины стенки всегда приводит к возрастанию общего термического сопротивления Rс + Rж и, следовательно, к снижению теплового потока. В случае же криволинейных, в частности, цилиндрических стенок возможен прямо противоположный результат, а именно: в некоторых случаях с ростом толщины стенки общее термическое сопротивление падает и тепловой поток увеличивается (рисунок 2.21). Рисунок 2.21 - К понятию о критическом диаметре изоляции Последнее обстоятельство возможно вследствие того, что при увеличении внешнего радиуса стенки r2, с одной стороны, увеличивается толщина стенки и увеличивается ее термическое сопротивление, (R c ) e = 1 (ln r2 − ln r1 ) c , а, с другой стороны, увеличивается периметр внешнего пограничного слоя и падает его термическое сопротивление, при этом общее термическое сопротивление (R e ) ж 2 = 1 сна r2 чала падает, а затем, пройдя через минимум, возрастает. Радиус r2 внешней поверхности, при котором общее термическое сопротивление  R e минимально, а тепловой поток через стенку максимален, называется критическим радиусом трубы и обозначается rкр. Чтобы определить величину критического радиуса трубы, необходимо исследовать на экстремум зависимость общего термического сопротивления Re =  R e от внешнего радиуса r : 2 1 1 (ln r2 − ln r1 ) + . c  r2 При критическом радиусе производная, dRe = 0, dr2 откуда, дифференцируя (2.53) и приравнивая к нулю, находим (2.53) с 1 1 − = и ( r ) = 2 кр  c r2  r 2 2 2 то есть критический радиус слоя равен отношению коэффициента теплопроводности слоя к коэффициенту теплоотдачи. Если внешний радиус r2 слоя больше критического r2  rкр = с 2 то дальнейшее увеличение толщины изоляции вызовет рост термического сопротивления и снижение теплопотерь. Если внешний радиус r2 слоя меньше критического r2  rкр = с , 2 (2.54) то с увеличением толщины слоя термическое сопротивление падает и теплоотвод увеличивается до тех пор, пока r2 не достигнет величины rкр. Проведенный анализ и полученная формула (2.54) для расчета критического радиуса особенно полезен при анализе эффективности разного рода изоляционных покрытий на объектах цилиндрической формы (трубы, стержни, электрические провода). При этом с точки зрения теплового режима различаются две противоположные постановки задачи: Путем покрытия объекта слоем тепловой изоляции увеличить общее термическое сопротивление, чтобы уменьшить теплоотвод и сохранить разность температур между объектом (теплоносителем) и внешней средой; Путем покрытия объекта теплопроводящим слоем уменьшить общее термическое сопротивление, чтобы увеличить теплоотвод и уменьшить температуру объекта. Первая задача ставится при проектировании теплопроводов с горячими и холодными теплоносителями; вторая задача может возникнуть при необходимости уменьшить температуру электропроводов, нагреваемых электрическим током. Если при этом радиус объекта равен r2, то теплоизоляционное покрытие следует выбирать так, чтобы его коэффициент теплопроводности удовлетворял условию  с   2 r1 . Тогда любое увеличение толщины тепловой изоляции всегда приведет к уменьшению теплопотерь в окружающую среду, так как при этом сохраняется неравенство r2  r1  с = rкр . 2 (2.55) (рисунок 2.21) Для интенсификации теплоотвода следует покрыть объект слоем материала с коэффициентом теплопроводности  с   2 r2 Тогда наружный радиус слоя остается всегда меньше критического r2  rкр = с , 2 (2.55а) а следовательно, (рисунок 2.21), утолщение слоя приводит к усилению теплоотвода. Задача 5 Трубу с холодильным агентом (фреоном) диаметром 20 мм необходимо покрыть тепловой изоляцией, чтобы уменьшить ее теплообмен с воздушной средой. Коэффициент теплоотдачи к воздуху равен 4 Вт/(м.град). Определить необходимую величину коэффициента теплопроводности и по ней выбрать теплоизоляционный материал. Решение: Коэффициент теплопроводности теплоизоляции должен быть таким, чтобы критический радиус был меньше радиуса трубки, как это следует из (2.55)    2 r1 = 4,2  10 −2 = 0,08 Ответ: Для тепловой изоляции трубки могут быть выбраны только такие материалы, у которых коэффициент теплопроводности меньше 0,08 Вт/(м.град). Выбор же материалов со столь низкой теплопроводностью весьма ограничен. СВОДНАЯ ТАБЛИЦА Таблица 2.2 - Формулы для расчета термических сопротивлений и коэффициентов теплопередачи Наименование Частные i-го термиче- слоя ские сопротивления Пограничного слоя Общее nтермиче- слойная ское со- стенка противТоже + ление пограничные слои Поток тепла Через nслойную стенку Плоская n-слойная стенка х i Ri = i Rж = 1  Rc =  Ri R ж1, 2 = R ж1 + + (R i ) ст + R ж 2 t -t Q = Fq = F c1 c 2 Rc размерность Цилиндрическая n-слойная стенка Размерность м2.град/вт (Inri ) R = i м.град /вт “ (R e ) ж = “ (R е ) c =  R е “ Вт 1 r (R е ) ж1, 2 = (R е ) ж1 + +  R е + (R е ) ж 2 Q = Lq e = L2 t c1-t c 2 (R e ) c “ “ Сферическая n-слойная стенка R сф 1    r i = i (R сф )ж = 1  r2 (R сф ) c =  R сф размерность град/вт “ “ (R сф ) ж1, 2 = (R сф ) ж1 + “ Вт + (R сф ) с + (R сф ) ж 2 Q = 4 t c1 -t c 2 (R cф ) c “ Вт Температурный напор Температура Между жидкими средами, разделенными стенками В i-ом слое В пограничном слое На поверхности стен Между слоями Ки (К+1) стенки Коэффициент теплопередачи Поток тепловой энергии Q = Fq = F “ t ж1-t ж 2 R ж1, 2 t i =qRi Q = L 2 С “ t ж1-t ж 2 (R e ) ж1, 2 t ж =qRж “ q t i = e R ei 2 q t ж = e R eж 2 t с =tж-qRж “ t c1 = t ж1 − t ж1 Окончание таблицы 2.2 “ t -t Q = 4 c1 c 2 (R cф ) ж1, 2 С “ Q t i = R сфi 4 Q t ж = R сфж 4 “ t c1 = t ж1 − t ж1 t c 2 = t ж 2 + t ж 2 t к − ( к +1) к  t − q  R1  с1  1 = n t + q R  n  с 2 к +1 К = 1 R Q = K(t1 − t 2 )F “ t к ,к +1 Вт/м2.град вт qe к  t −  с1 2  (R е )i  1 = n t + q e (R е )i  c 2 2  k +1 Кe = 1 Re Q = 2K e (t1 − t 2 )L С “ “ t c 2 = t ж 2 − t ж 2 “ t k , k +1 Вт/м. град вт  Q k t −  c1 4  (R сф )  1 i = k +1 t + Q (R сф )i  c 2 4  k К сф = 1  R сф Q = 4K cф (t1 − t 2 ) “ Вт/ град Вт Лекция 2.6 Тема: Конвективный теплообмен План лекции: 1 Понятие о конвективном теплообмене 2 Гидродинамическая характеристика течения вязкой жидкости 3 Режимы течения. Критерий Рейнольдса 4 Гидродинамический пограничный слой 5 Особенности рапространения тепла в потоке жидкости. Тепловой пограничный слой. Критерий Прандтля 6 Геометрия стенок потока 7 Теплоотдача. Коэффициент теплоотдачи Таблица 2.4 - Ориентировочных численных значений коэффициента теплоотдачи  в промышленных теплообменных устройствах Процесс при нагревании и охлаждении воздуха при нагревании и охлаждении перегретого пара при нагревании и охлаждении масел при нагревании и охлаждении воды при кипении воды при пленочной конденсации водяных паров при копельной конденсации водяных паров при конденсации органических паров вт/(м2град) 1-50 20-100 50-1500 200-10000 500-45000 4000- 15000 40000-120000 500-2000 Вопрос 1 Перенос тепла в жидкости, как и в твердом теле, является следствием неравномерности температурного поля. Тепло переходит от нагретой стенки к более холодному потоку, ее омывающему, от более нагретых объемов жидкости к менее нагретым. Но в отличие от твердого тела, тепло в жидкости распространяется не только теплопроводностью, но и за счет перемешивания неравномерно нагретых объемов. Этот сложный процесс, при котором тепло передается за счет перемешивания неравномерно нагретых объемов среды и одновременно за счет теплопроводности среды, называют конвективным теплообменом. В соответствии с этим определением, интенсивность конвективного теплообмена зависит от интенсивности теплопроводности и от интенсивности перемешивания. Интенсивность теплопроводности, как и в твердом теле, выражается законом Фурье q = − grad t и зависит, следовательно, от температурного поля в жидкости и ее коэффициента теплопроводности. Интенсивность же перемешивания выражается законами движения жидкости (законами гидродинамики). Вопрос 2 В основе гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости лежат три закона: закон сохранения количества движения, закон сохранения массы и закон, вернее гипотеза, внутреннего трения Ньютона. Гипотеза Ньютона характеризует напряжение трения между слоями жидкости при их относительном перемещении. Согласно гипотезе Ньютона, касательное напряжение трения  пропорционально градиенту скорости dw/dn в жидкости =  dw dn Коэффициент пропорциональности  называется динамическим коэффициентом вязкости и измеряется в н.сек/м2 (единица СИ). Однако в курсе теплообмена чаще пользуются для характеристики вязкости кинематическим коэффициентом вязкости =   выражающимся через отношение динамического коэффициента к плотности  кг/м3. Единица измерения кинематического коэффициента вязкости [м2/сек] одна и та же как и в СИ, так и в МКГСС, тогда как динамический коэффициент вязкости в МКГСС измеряется в кг.сек/м2 и для перевода в единицы СИ необходим пересчет 1 кг.сек м 2 = 9,8 н.сек м2 Движение потока описывается в гидродинамике двумя дифференциальными уравнениями: уравнением движения и уравнением сплошности (неразрывности). Уравнение сплошности выводится из закона сохранения массы и означает, что внутри элементарного объема жидкость не исчезает и не возникает, то есть течение свободно от источников и стоков. Уравнение движения в дифференциальной форме представляет собой баланс сил, действующих на элементарный объем жидкости: сил неинерционных, сил гравитационных, сил внешнего давления и сил вязкости. Такое уравнение движения называют «дифференциальным уравнением Навье-Стокса». Дифференциальные уравнения Навье-Стокса и сплошности являются основными в механике вязких жидкостей. Однако на пути интегрирования этих уравнений стоят, в большинстве случаев, непреодолимые математические трудности. Общего решения уравнений движения не имеется, а следовательно, в большинстве случаев конвективного теплообмена искомое поле скоростей в потоке жидкости не может быть найдено аналитическим путем. Основная роль в решении этой задачи отводится эксперименту. Уравнения же Навье-Стокса используются непосредственно в дифференциальной форме в теории подобия конвективных процессов. Обратимся к некоторым, существенным для описания конвективного теплообмена, результатам экспериментальных исследований и сформулируем такие понятия, как сво- бодное и вынужденное движение, ламинарный и турбулентный режимы, пограничный слой. Движение любой жидкости (газа) и в природе, и в технике возникает благодаря наличию разности давлений. В зависимости от происхождения этой разности давлений различают свободное и вынужденное движение. Свободное (естественное) движение возникает при неравномерной плотности жидкости. В неравномерно нагретой жидкости плотность холодных и нагретых участков различна. Под действием сил гравитации более плотные объемы перемещаются в низ, вытесняя более легкие, создавая при этом условия для перемешивания. Интенсивность свободного движения тем больше, чем больше разность температур в объеме и чем больше коэффициент объемного расширения жидкости 1   = ( )p  t Численно значение  обычно находят из таблиц свойств веществ по интерполяционной формуле = 1 1 − 2  t1 − t2 где t1 и t2 – табличные значения температур в окрестности заданной температуры t, 1 ,  2 и  - соответствующие этим температурам удельные объемы при заданном давлении р. Для газов, близких к идеальному, частную производную (  )p можно определить из t уравнения Клапейрона-Менеделеева = RT  R   R  , ( ) p =  ( T ) = = P t  t P  p P T откуда следует, что в этом случае  = 1 . Т Очевидно, что для водяных паров последний способ вычисления неприемлем. В частности (что представляет практический интерес) имеет место резкое увеличение паров реальных веществ вблизи критической точки, где производная (  )k →  , а следовательно и t  →  . Таким образом, пары реальных веществ в состояниях близ критической точки обеспечивают эффективнейший конвективный теплообмен. Вынужденное (принудительное) движение возникает в случае, когда разность давлений в объеме жидкости создается внешними силами, например, насосом, разностью уровней в сообщающихся сосудах и так далее. Характеристики теплообмена при свободной и вынужденной конвекции отличаются друг от друга. Вопрос 3 Как свободное, так и вынужденное движения могут осуществляться в одном из двух режимов течения: ламинарном или турбулентном. Ламинарное течение характеризуется преобладанием сил вязкости (трения); поток движется струйками строго вдоль стенок канала, перемешивание масс жидкости поперек потока не происходит. Турбулентное движение характеризуется преобладанием сил инерции, возмущающих поток и приводящих к завихрениям. Частицы движутся не только вдоль оси потока, как и в ламинарном режиме, но и, в следствие завихрений, перемещаются поперек потока, приводя к интенсивному перемешиванию соседних слоев жидкости. Исследованиями Рейнольдса установлено, что характер течения надежно определяется wl , названным впоследствии числом Рейнольдса.  Здесь w – скорость потока,  - кинематический коэффициент вязкости, l – какой- соотношением либо линейный размер, характерный для потока, например, диаметр трубы. В частности при течении потока в трубе диаметром d, Рейнольдс определил экспериментально критическую величину числа Рейнольдса, равную 2300. ( wl ) кр = 2300  . При Re>Reкр режим течения турбулентный. Однако в области чисел Рейнольдса даже в два три раза превышающих Reкр, возможен, наряду с турбулентным, так же и ламинарный режим (переходная область). Здесь следует отметить, что величина Reкр различна для потоков различной конфигурации. Поток в трубе, поток, обтекающий трубу, поток, обтекающий пучок труб, поток в щели, поток, обтекающий пластину – все они отличаются друг от друга величиной Reкр. Все же потоки, имеющие стенки геометрически подобной формы, имеют и одинаковую величину Reкр. При этом очевидно, что, поскольку величина числа Рейнольдса обусловлена каким-либо геометрическим размером l, этот размер должен быть одноименным в геометрически подобных потоках. Так, число Рейнольдса, характеризующее потоки в трубах, включает в себя внутренний диаметр трубы; число Рейнольдса, характеризующее обтекание пластин, включает в себя длины пластин. Наш интерес к механике потока вообще и к числу Рейнольдса определяется большим влиянием режима течения на теплообмен в потоке. Турбулентный режим обеспечивает интенсивное перемешивание потока в поперечном направлении, и, следовательно интенсивный теплообмен между стенкой и ядром потока, тем больший, чем больше число Рейнольдса. Наоборот, при ламинарном режиме такого перемешивания нет, и теплообмен между стенкой и потоком относительно мал. Влияние числа Рейнольдса на теплообмен в потоке будет в последствии отражено в соответствующих расчетных формулах. При этом, как и следует ожидать, изменение числа Рейнольдса в области турбулентных режимов в гораздо большей степени будет влиять на теплообмен, чем изменение числа Рейнольдса в ламинарной области. И еще одно свойство потока окажется чрезвычайно важным для понимания механизма теплообмена между стенкой и ядром потока: наличие пограничного слоя вблизи стенки потока. Вопрос 4 Принято считать, что соприкасающиеся со стенкой частицы потока «прилипают» к стенке и имеют нулевую (относительно стенки) скорость. Вследствие сил вязкости между ядром потока и стенкой появляется слой, по толщине которого и осуществляется плавный переход от частиц с нулевой скоростью на поверхности стенки до частиц, движущихся со скоростью ядра потока. Этой толщиной и определяется гидродинамический пограничный слой. Формулирование гидродинамического пограничного слоя при натекании потока на тонкую пластинку представлено на рисунке 6.1. Рисунок 2.22 - Формирование гидродинамического пограничного слоя при омывании потоком пластины На начальном участке пластины возникает ламинарный пограничный слой, толщина которого возрастает от нуля до определенной толщины, называемой кристаллической, после чего пограничный слой турбулируется. Если поток втекает в пространство между двумя пластинами или в трубу, то противоположные пограничные слои на определенном расстоянии от входа в щель (трубу) смыкаются (рисунок 6.2), после чего устанавливается определенный режим течения, турбулентный, как на рисунок 6.2, или ламинарный (в зависимости от величины Re). Однако и в случае турбулизованного ядра потока в пристеночной области существует, так называемый, ламинарный подслой. И именно толщина этого подслоя оказывает большое влияние на теплообмен между твердой стенкой и потоком, поскольку в этом подслое нет перемешивания и его термическое сопротивление велико. Аналогично рассмотренным случаям вынужденной конвекции гидродинамический пограничный слой формируется и при свободной конвекции. Рисунок 2.23 - Формирование гидродинамического пограничного слоя в зазоре или трубе Вопрос 5 Понятие о гидродинамическом пограничном слое, впервые введенное Л. Прандтлем (1904 год), отражает изменение скоростей потока в пристеночной области. При появлении разности температур между стенкой и потоком этот температурный напор приходится, как показали опытные исследования, также на пристеночную область. Этот слой жидкости, в котором температура изменяется от температуры стенки до температуры ядра потока, называется тепловым пограничным слоем. Рисунок 2.24 - Формирование теплового пограничного слоя на пластине и распределение в нем температуры. Формирование теплового пограничного слоя иллюстрируется на рисунок 2.24 В соответствии с условием прилипания, температуры стенки и соприкасающегося слоя потока равны. В пределах толщины слоя температура потока меняется, и тепло переходит от стенки с температурой tст к ядру потока с температурой tж. Для того, чтобы сопоставить толщины теплового и гидродинамического пограничного слоев, важно отметить одно обстоятельство. Если в каждом сечении нагреваемого потока с течением времени установились постоянные температуры, то поток мы называем стационарным. Однако в таком стационарном потоке температура движущихся частиц жидкости растет за время прохождения вдоль стенок.Процессы же, сопровождаемые нагреванием или охлаждением, называются нестационарными, и в них, как известно, распространение тепла определяется не коэффициентом теплопроводности, а коэффициентом температуропроводности а. Именно от коэффициента температуропроводности в большой мере зависит, как показатели исследования, толщина теплового пограничного слоя. Чем больше коэффициент температуропроводности, тем толще тепловой пограничный слой. Толщина же гидродинамического пограничного слоя определяется коэффициентом кинематической вязкости. Чем больше вязкость, тем толще гидродинамический пограничный слой. Следовательно, соотношение между толщинами гидродинамического и теплового пограничных слоев должно определяться соотношением между коэффициентами кинематической вязкости и температуропроводности. Действительно, математический анализ и экспериментальное исследование конвективного теплообмена показали, что поля скоростей и поля температур вблизи стенок потока в большой степени подобны, а толщины пограничных слоев потока - гидроди- Т  намического ( ) и теплового ( r ) - относятся как коэффициенты кинематической вязкости  и температуропроводности а: r  = Т а Кинематический коэффициент вязкости и коэффициент температуропроводности имеют одинаковую размерность и измеряются в м2/сек. Их отношение безразмерно и в честь Л. Прандтля названо числом или критерием Прандтля Pr =  a Численная величина критерия Прандтля, в отличие от критерия Рейнольдса, зависит от свойств не потока (скорости, линейных размеров), а жидкости. Иными словами, критерий Прандтля выражает физические свойства жидкости и может быть определен или рассчитан с помощью таблиц свойств веществ. В зависимости от величины критерия Прандтля можно оценить относительные толщины гидродинамического ( при Pr = 1  r ) и теплового (  Т ) слоев:  r =  Т ; при Pr > 1  r >  Т ; при Pr < 1  r <  Т Численные значения критерия Прандтля различны: например, у воды Pr = 7 (при 200), у воздуха Pr = 0,7 (в широком интервале температур). Вопрос 6 На толщину пограничных слоев (гидродинамического и теплового), а следовательно, и на теплообмен между стенкой и потоком сильно влияют форма, положение и размеры стенки. Например, теплообмен с плоской стенкой может меняться в зависимости от ее расположения, вертикального или горизонтального. Различен теплообмен при протекании потока по трубе и поперек трубы. Различна средняя интенсивность теплообмена при протекании потока по короткой и по длинной трубам. Геометрию стенок потока принято характеризовать размерами (линейными) l0, l1, l2, и так далее, где l0 – основной размер, остальные вспомогательные. Вопрос 7 Теплообмен между стенкой и потоком, ее омывающим, называют теплоотдачей. Интенсивность теплоотдачи (плотность теплового потока между стенкой и потоком) определяется процессами в гидродинамическом и тепловом пограничных слоях и является функцией большого числа величин q = f (t , w , gt , , a , , l 0 , l1 ,...), где t - температурный напор в пограничном слое (разность температур между стенкой и ядром потока); w - скорость потока (например, средняя по сечению потока); g t - произведение ускорения свободного падения g, коэффициента объемного расши- рения  и температурного напора, характеризующее подъемную силу при естественной конвекции; , a ,  - коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и кинематический коэффициент вязкости; l 0 , l1 ,.. - основной и вспомогательные размеры, характеризующие геометрию стенок потока. Интенсивность теплоотдачи, как показали эксперименты, в первом приближении пропорциональна температурному напору. На основе этого приближения был сформулирован закон теплоотдачи Ньютона - Рихмана q =  t Введенный в закон коэффициент пропорциональности  называют коэффициентом теплоотдачи. Его величина законом не обусловлена и подлежит определению. Многочисленные экспериментальные исследования показали, сто  изменяется по абсолютной величине в широких пределах, и является функцией тех же величин, что и плотность теплового потока  = f (t , w, gt ,  , a, , l0 , l1 ,...) Наша цель при изучении конвективного теплообмена сводится к выяснению методов вычисления коэффициента теплоотдачи. При этом аналитический метод, оправдавший себя при расчетах тепловых полей в твердом теле, здесь не дает конечного решения: система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена настолько громоздка, что задача по интегрированию и решению этой системы относительно  в настоящее время чисто математическим путем невыполнима. Разработан другой, полуэмпирический метод определения коэффициента теплоотдачи, основанный на принципах теории подобия. Лекция 2.7 Тема: Понятие о теории теплового подобия План лекции: 1 Определение теплового подобия. Константы подобия. 2 Критерии подобия. Критерий Нуссельта 3 Подобие условий однозначности 4 Формулировка условия подобия 5 Определяющие и не определяющие критерии 6 Критериальные формулы Вопрос 1 В результате экспериментальных и математических исследований установлено, что процессы конвективного теплообмена, так же как и геометрические фигуры, могут быть подобны. Разница только в том, что тепловое подобие понимается шире. Определение теплового подобия: процессы конвективного теплообмена подобны, если подобны по форме стенки потоков, подобны поля температур, подобны поля скоростей и подобны поля тепловых потоков. На рисунке 2.25 сопоставлены два подобных процесса конвективного теплообмена между нисходящим потоком жидкости и холодной трубой. Форма стенок, омываемых потоком, подобна (цилиндры равного диаметра); подобны друг другу поля температур | // t / ( x , y) подобно t // ( x , y) ; подобны поля скоростей W /(x, y) подобно W ( x, y) , подобны, наконец, поля тепловых потоков q ( x , y) подобно q ( x , y) . / // В соответствии с определением, подобие процессов конвективного теплообмена выражается в геометрическом подобии потока, гидродинамическом подобии, подобии температурных полей и подобии полей тепловых потоков. Если в одном из подобных процессов выбрать произвольную точку А/, то в другом подобном процессе ей соответствует аналог – сходственная точка А//. В сходственных точках отношение одноименных координат (х//x//, y//y// z//z//|), отношение скоростей потоков (W//W//), отношение перепадов температур (t/-t/ж)/(t//-t//ж), отношение тепловых потоков (q//q//) выражаются соответствующими константами се, сw, с t , cq. При выборе другой пары сходственных точек константы подобия по своей величине остаются постоянными. Таким образом, константы подобия характеризуются постоянство отношения одноименных величин в сходственных точках как внутри, так и на границе потока х/ y/ z/ d / се = //| = // = // = // = ... x y z d - константа геометрического подобия; W/ W/ сw = ( // ) A = ( // ) B = ... W W - константа гидродинамического подобия; t /c − t / ж t /c − t /ж сt = // = ( // ) A = ... t c − t // ж t c − t // ж - константа подобия температурных напоров; q/c q/ q/ сq = // = ( // ) A = ( // ) B = ... q c q q - константа подобия тепловых потоков; c =  / /  //  - константы подобия кинематической вязкости,  c = / / //  коэффициентовтеплопроводности,  температуропроводности и теплоотдачи. ca = a / / a //   c =  / /  //  Следует различать определение подобия и условие подобия: условие подобия включает в себя только часть пунктов, входящих в определение подобия, однако выполнение этих пунктов должно быть необходимым и достаточным для выполнения всех остальных пунктов, входящих в определение. Иными словами, условие подобия формулируют минимум требований, достаточный для достижения подобия. Прежде чем сформулировать условие подобия, необходимо ввести понятие критериев подобия и сформулировать условия однозначности. Вопрос 2 Вывод условия теплового подобия строится на анализе системы из четырех дифференциальных уравнений конвективного теплообмена: 1 уравнение движения (Навье - Стокса); 2 уравнение неразрывности; 3 уравнение энергии (Фурье – Кирхгофа); 4 уравнение теплоотдачи. С помощью этих уравнений выводится ряд критериев подобия. Для примера рассмотрим вывод одного из критериев подобия с помощью уравнения теплоотдачи  ( t c − t ж ) = −( dt )c dr (2.56) В этом уравнении представлены две формы записи законов теплообмена между потоком и стенкой. В левой части равенства – тепловой поток, выраженный через закон теплоотдачи Ньютона – Рихмана; справа – тот же тепловой поток, выраженный через закон теплопроводности Фурье (закон Фурье вообще не характеризует в полной мере теплообмен в потоке жидкости, однако на границе между потоком и стенкой, в пределах беско- нечно тонкой пленки «прилипшей» жидкости, конвекция отсутствует, и теплообмен здесь подчиняется закону Фурье). Каждый из двух сопоставляемых подобных процессов описывается своим уравнением теплоотдачи  (t 7  (t // / // −t c c −t / // ж) = −( ж) = −(  / dt / dr / // )c dt // dr // )c Поскольку оба процесса подобны, то одноименные физические величины, входящие в каждое из уравнений, связаны константами подобия / = c  //  / = c   // t / c − t / ж = с t ( t // c − t // ж ) . (2.57) d t / = с t dt // d r / = с e dr // Подставляя (2.57) в уравнение теплоотдачи первого процесса, получаем сt  c   (t // // c сt // dt // − t ) = −с ( )c се dr // // ж после чего, произведя сокращения и перенеся константы подобия влево, // c  c // // // // dt  (t c − t ж ) = −( )c c dr // сравним полученное уравнение теплопередачи первого потока с уравнение теплоотдачи второго потока dt //  (t c − t ж ) = −( )c dr // // // // // В этих уравнениях левые части отличаются друг от друга на постоянный множитель, который может быть равен только единице, поскольку правые части этих уравнений тождественны с с =1 с Следовательно, в подобных процессах константы подобия различных физических величин взаимосвязаны, и эта взаимосвязь проявляется с помощью дифференциальных уравнений. с ,с , с Выразив константы подобия    через отношения (2.57), и отделив знаком равенства физические величины первого и второго потоков, получим  / /  // // = / // Безразмерный комплекс  назван критерием Нуссельта по фамилии одного из  основателей теории теплового подобия и обозначается Nu=   где е – характерный (определяющий) линейный размер, например, диаметртрубы (рисунок 2.25). Критерий Нуссельта содержит в себе искомый коэффициент теплоотдачи и поэтому входит в расчетные уравнения в качестве определяемого. Рисунок 2.25 - Сопоставление двух подобных процессов конвективного теплообмена Аналогичные преобразования дифференциальных уравнений движения и энергии приводит к получению уже известных критериев подобия: критерия Рейнольдса: Re  we  и критерия Прандтля: Pr   . a Из этих же уравнений может быть получен критерий Грасгофакоторый решает решающую роль при свободной (естественной) конвекции, где он заменяет критерий Рейнольдса (в состав последнего входит скорость потока, величину которую сложно рассчитать в процессах свободной конвекции). Gr  gte3 2 Кроме критериев подобия Nu, Re, Pr, Gr в теории теплового подобия рассматривается и ряд других критериев (Pe, Fo), на которых мы останавливаться здесь не будем. Анализ дифференциального уравнения теплообмена (2.56) показал нам, что критерий Нуссельта в подобных процессах 1 и 2 оказались численно равными (2.58). Аналогичный анализ других уравнений подтверждает численное равенство и других критериев подобия в подобных процессах. Сформулируем этот результат: в подобных процессах одноименные критерии подобия численно равны Nu1 = Nu2 Re1 = Re2 (2.58) Pr1 = Pr2 Gr1 = Gr2 Этот вывод будет включен в формулировку условия подобия. Вопрос 3 Для вывода критериев подобия конвективного теплообмена были использованы дифференциальные уравнения движения, сплошности, энергии и теплообмена. Эти уравнения описывают бесчисленное множество конкретных процессов. Чтобы из бесчисленного количества выделить данный рассматриваемый процесс, к системе дифференциальных уравнений нужно присоединить условия однозначности, характеризующие данный процесс. Условия однозначности представляют в математической форме все частные особенности рассматриваемого процесса. Они состоят: 1) из геометрических условий, характеризующих форму и размеры стенок, омываемых потоком (например, задается диаметр и длина трубы, в которой протекает жидкость); 2) физических условий, характеризующих физические свойства жидкости или газа (плотность  , кинематический коэффициент вязкости  , коэффициенты температуропроводности а и теплопроводности  ). 3) из граничных условия, характеризующих особенности протекания процесса на границах жидкой среды (например, задается температура tс стенок трубы и температура tж и скорость потока w0 на входе в трубу; при этом температура и скорость потока на границах со стенкой подчиняется условию прилипания). В случае нестационарного потока в условия однозначности входили бы также начальные, или временные условия, характеризующие распределение температур и скоростей в потоке в начальный момент времени. В соответствии с определением подобия, в подобных процессах условия однозначности подобны. Под подобием условий однозначности понимают следующее: 1) геометрические условия могут отличаться размерами, но сохранять одинаковые (подобные) формы потока и характеризоваться константой геометрического подобия; 2) физические свойства жидкостей могут быть отличными друг от друга, однако в пределах каждого процесса каждая физическая величина должна сохранять численное постоянство; 3) граничные условия могут отличаться по абсолютной величине, но распределение температур и скоростей, заданные на границах потока, должны быть подобными и характеризоваться соответствующими константами подобия с t , с w. Вопрос 4 Исходя из определения подобия, мы установили, что в подобных процессах одноименные критерии подобия численно равны (2.58), а условия однозначности подобны. Теперь предстоит сформулировать условия подобия, т.е. тот минимум требований, который достаточен для достижения теплового подобия. Условия подобия формулируются теоремой Кирпичева-Гухмана. Согласно этой теореме, необходимым и достаточным условием теплового подобия процессов конвективного теплообмена является подобие условий однозначности и равенство определяющих критериев подобия. Вопрос 5 На основе теоремы Кирпичева-Гухмана оказывается необходимым из всех критериев подобия выделить определяющие критерии. Так названы критерии, составленные только из величин, входящих в условия однозначности ( Определяющими критериями являются Re, Pr и Gr. е 0 , е1 , е 2 , w 0 , t c , t ж , ,  , а ). Остальные критерии подобия называются неопределяющими. В составе неопределяющего критерия подобия может входить искомая величина. Например, критерий Нуссельта Nu = e  является неопределяющим критерием подобия. В его состав входит величина  , которая подлежит определению. Если процессы конвективного теплообмена обладают подобием условий однозначности и численным равенством одноименных критериев подобия Re = idem Pr = idem Gr = idem то эти процессы подобны (в соответствии с условиями подобия), и, следовательно (в соответствии с определением подобия), их неопределяющие критерии, в частности, критерий Нуссельта, также должны быть численно равны Nu = idem. Вопрос 6 Изменения Re, Pr и Gr влекут за собой изменения также и величины критерия Nu, то есть критерий Нуссельта является функцией определяющих критериев Nu = A RemPrnGrp, (2.59) где постоянный множитель А и показатели степеней m, n и p определяются в опыте. Эта зависимость называется критериальной формулой. Каждая критериальная формула справедлива для всех процессов, обладающих подобием условий однозначности. Именно благодаря этому обстоятельству удается моделировать процессы конвективного теплообмена, то есть тщательно исследовать опытным путем только один процесс из числа подобных ему процессов, и получить критериальную формулу, справедливую для всех других подобных процессов. В задачах конвективного теплообмена, как правило, искомой величиной является коэффициент теплоотдачи  , входящий в критерий Nu. Критерий Нуссельта, следовательно, является искомым, неопределяющим, зависящим от других критериев, определяющих процессов – Re, Cr, Pr. Например, для эффективной работы узла промышленного теплообменника необходимо определить коэффициент теплоотдачи. Определить его опытным путем непосредственно на теплообменнике в промышленных условиях не всегда удается. Поэтому модель этого узла выполняют в исследовательской лаборатории в другом, более удобном для исследований размере, сохраняя при этом подобие форм модели и «натуры». Жидкость используемая в модели, и скорость потока в модели также могут отличаться от «натуральных». При этом модель и «натура» должны удовлетворять условиям теплового подобия: при различиях в размерах, в скорости и температуре их определяющие критерии (Re, Pr и Gr) должны быть численно равны, а условия однозначности подобны. После измерения на модели коэффициента теплоотдачи строится искомая зависимость вида (2.60). По ней можно вычислить коэффициент теплоотдачи узла промышленного устройства. Более того, полученную зависимость вида (2.60) легко переписать в виде  = A1w t e m (2.60) p q и определить влияние каждого параметра в отдельности (скорости потока, разности температур и линейных размеров) на изменение величины коэффициента теплоотдачи. С учетом этой зависимости можно внести соответствующие коррективы и конструкцию теплообменника или выбрать оптимальный режим его работы, позволяющие повышать эффективность устройства. При этом может оказаться, что показатель степени какого-нибудь параметра обратится в ноль. Это значит, что коэффициент теплоотдачи не зависит от этого параметра, или автомоделен относительно его. С понятием автомодельности мы встретимся впоследствии при изучении отдельных критериальных формул. Лекция №2.8 Тема: Определение теплоотдачи в конкретных процессах конвекции План лекции: 1 Построение критериальных формул. Определяющие значения скорости, линейного размера, температуры 2 Теплоотдача при свободной конвекции 3 Теплоотдача при вынужденном течении жидкости в трубе 4 Теплоотдача при наружном обтекании одиночной трубы 5 Теплоотдача при поперечном обтекании пучка труб Вопрос 1 Общее выражение конвективного теплообмена Q =   Ft может быть использовано для расчетов лишь в том случае, если известно значения коэффициента теплоотдачи  . В соответствии с выводами теории подобия сложная зависимость  от многих величин представляется в виде простой зависимости между критериями подобия: Nu = A RemPrnGrp причем коэффициент теплоотдачи входит в определяемый критерий Nu. Вид этой функции приходится находить из опыта, однако исследование облегчается тем, что нужно знать зависимость Nu только от трех переменных величин: Re, Pr и Gr, причем обычно один из двух гидродинамических критериев, Re или Gr, из рассмотрения исключается: при естественной конвекции исключается Re, при вынужденной – Gr. Коэффициент пропорциональности А и показатели степени m, n, p должны быть одни и те же не только для данного конкретного канала, но и для всех геометрически подобных систем или моделей. Во время опытов на модели необходимо измерить все величины, входящие в критерии. Эти величины можно классифицировать по трем группам: 1) скорость потока w и температурный напор t ; 2) основной геометрический размер е; 3) физические параметры , , a , а также коэффициент теплоотдачи  . Выбор величины, определяемых или непосредственно измеряемых в опыте, связан с некоторым произволом. Действительно, местная скорость потока меняется как по сечению потока (от нуля на стенке до максимума в средней части потока), так и вдоль потока. В качестве основного геометрического размера можно выбрать, например, наружный диаметр трубы внутренний диаметр, высоту стенки, толщину слоя жидкости и т. д. Величины физпараметров зависят от температуры t, а поскольку местная температура в различных частях потока может быть различна, различны и численные значения физпараметров. Чтобы исключить произвол в выборе скорости w, размера l и температуры t, выводятся понятия определяющей скорости w0, определяющего размера l0 и определяющей температуры t0. С помощью выбранных определяющих величин вычисляются критерии подобия, а затем строится критериальная формула. Следовательно, конкретный вид критериальной формы обусловлен не только особенностью процесса, соответствующего формуле, но и выбором определяющих величин w0, l0, t0. В качестве w0 обычно принимают среднюю по сечению потока скорость. Ее проще всего определить, зная расход V [м3/сек] и сечение F[м2]: W0 = V F Определяющий размер l0 выбирается в зависимости от формы стенок потока: при обтекании шара l0 = d (диаметр шара); при обтекании стенки l0 = Н (высота или длина стенки); при внешнем обтекании трубы l0 = D (ее наружный диаметр); при потоке внутри трубы l0 = d (ее внутренний диаметр); при теплообмене в зазоре l0 =  (толщина зазора); при теплообмене в каналах неправильной или более сложной формы l0 = dэкв, где dэкв – эквивалентный диаметр, используемый в гидравлике и определяемый формулой d экв = 4 F  где F (м ) – площадь сечения потока; 2 р - «смоченный периметр» потока (м). Если стенки канала имеют сложную форму, характеризуемую несколькими размерами l0, l1, l2, …, влияющим на теплообмен, то в критериальную формулу могут входить отношения этих размеров – l1/l0, l2/l1 и т.д. Для того чтобы выделить, какой именно определяющий размер вошел в критерий подобия, критерий подобия отмечается соответствующим индексом, например: Red, GrH. При этом критериальная формула сопровождается указанием, к каким формам стенок потока она применима. В качестве определяющей температуры может быть принята или температура стенки tc, или температура ядра потока tж (иногда обозначают ее tf), или температура, средняя арифметическая между стенкой и ядром потока tm = tc + tж 2 В соответствии с выбранной определяющей температурой критерии подобия отмечаются соответствующим индексом, например, Reс, Reж (Ref), Rem. Чтобы зафиксировать обе определяющие характеристики – размер и температуру, критерии подобия часто отмечабтся двумя индексами, например: Nud,ж, Red,m, GrМ,с. Рассмотрим теперь некоторые конкретные случаи конвективного теплообмена и соответствующие им критериальные формулы. Вопрос 2 Различают два основных вида свободной конвекции: в неограниченном пространстве и в ограниченном пространстве (прослойках, щелях, внутри труб и др.). Во всех этих случаях причиной конвекции является неравномерность температуры по объему жидкости. Эта неравномерность характеризуется разностью температур стенки и жидкости на удаление от стенки t = t c − t ж Gr  и входит в критерий Грасгофа g tl03 2 Именно величиной критерия Грасгофа (а также Pr) определяется как скорость перемешивания, так и интенсивность теплообмена. Величина же скорости перемешивания при этом, остается скрытой, неизвестной. Это отражается на записи критериальных формул для случаев естественной конвекции Nu = c(Gr  Pr) n то есть в формулах, описывающих теплоотдачу при естественной конвекции, критерий отсутствует. 1) Свободная конвекция в неограниченном пространстве. Эффект естественной конвекции в неограниченном пространстве используется при отопления помещений, для отвода тепла от нагревающихся изнутри машин и аппаратов, для нагревания жидкостей в больших сосудах. Характер движения жидкости около нагретых твердых тел различной конфигураций показан на рисунок 2.26. Рисунок 2.26 - Характер движения жидкости при естественной конвекции в неограниченном пространстве: а) вертикальная стенка; б) нагретая сторона горизонтальной плиты обращена книзу; в) нагретая сторона горизонтальной плиты обращена кверху; г) горизонтальный цилиндр. При движении у нагретой вертикальной стенки (смотреть рисунок 2.26) можно различить три характерные зоны: ламинарную, в которой с подъемов вверх, по мере увеличения толщины пограничного слоя, коэффициент теплоотдачи падает; промежуточную зону и, наконец, верхнюю зону развитого турбулентного пограничного слоя. Аналогичные зоны могут возникнуть и при движении жидкости вблизи стенок нагретой трубы, проволоки. Однако если диаметр проволоки очень мал, то имеет место «пленочный режим»: нагретые слои вблизи проволоки практически неподвижны. При пленочном режиме конвекция практически отсутствует, теплоотдача осуществляется чистой теплопроводностью. Многочисленные экспериментальные исследования свободной конвекции вблизи стенок плит, цилиндров и шаров привели к выводу простой критериальной формулы: Num = c(Grm Prm)n (2.60) где с и n – постоянные, найденные экспериментально. Их величины имеются в зависимости от режима течения и приводятся в справочной литературе. В частности для пленочного режима (при значениях GrPr<10-3+1) показатель степени n=0, то есть Nu постоянен и не зависит от изменения величин, входящих в критерии Gr и Pr. В случае же турбулентного обтекания (при значениях GrPr>107) показатель n=1/3. Известно, что при этом коэффициент теплоотдачи  оказывается не зависящим от изменения линейного размера l0. В этом легко убедиться, выразив критерий подобия в критериальном уравнении (2.60) через входящие в них величины:  l0 gtl0 = c3  2 где l0 - сокращается, и, следовательно, величина l0 не оказывает влияния на теплообмен (процесс автомоделен). Индекс m при критериях подобия показывает, что в качестве определяющей температуры следует брать среднюю арифметическую между стенкой и жидкостью. Определяющий размер l0 для шаров и горизонтальных цилиндровравен их диаметру, а для вертикальных стенок – ее высоте Н. При решении задач сначала подсчитывается величина произведения (GrPr). Затем по таблице в справочной литературе выбираются соответствующие значения с и n, подсчитывается величина критерия Нуссельта по уравнению (2.60) и определяется коэффициент теплоотдачи  : = m l Num 2) Свободная конвекция в ограниченном пространстве. Характер движения жидкости при свободном движении в ограниченном пространстве показан на рисунок 2.26. Если в горизонтальной щели более нагретая поверхность расположена внизу (смотреть рисунок 2.26б), то вначале возникает неустойчивое расслоение, которое существует до некоторого значения (GrPr = 1700), после чего начинается конвективное движение, которое и приводит к образованию отдельных циркуляционных зон. Когда щель горизонтальна, размеры стенок на процесс не влияют. Если же щель вертикальна (смотреть рисунок 2.26в), то движение распространяется вдоль всей стенки и на формирование циркуляционных зон сказываются как ширина щели  , так и высота щели. В шаровых и горизонтальных цилиндрических зазорах циркуляция развивается лишь ниже верхней кромки холодной поверхности или выше нижней кромки горячей (смотреть рисунок 2.26г). В остальном объеме циркуляции нет. Для плоских щелей, заполненных жидкостью или газом, расчет ведется по формуле: q= Величину муле эк (t − t )  c1 c 2  экв эквивалентным коэффициентом теплопроводности и вычисляют по фор- эк =  к   где  - Табличный коэффициент теплопроводности в вт/(м.град);  k - коэффициент конвекции, значение которого зависит от произведения критериев GrPr.  = 1 =1, а  экв =  . При GrPr<103 величина k а) горизонтальная прослойка t1>t2; в) вертикальная прослойка; б) горизонтальная прослойка t1104. Поток турбулентен по всему сечению, величина теплоотдачи максимальна. Общая картина изменения теплоотдачи при течении жидкости в гладких трубах представлена на рисунок 2.27 в виде зависимости критерия Nu от критерия Re. I – Вязкостно-гравитационный режим (Re-102) Nuж = 0,15 Reж0,33Prж0,33(GrPr)ж0,1(Prж/Prс)0,25; II – Переходный режим; III – Турбулентный режим (Re>104) Nuж = 0,021 Reж0,8Prж0,43(Prж/Prс)0,25; Рисунок 2.27 - Изменение теплоотдачи при различных режимах течения в гладких трубах Приведенные критериальные формулы справедливы для достаточно длинных прямых труб. Влияние длинны трубы. Если отношение длинны трубы к ее диаметру менее 50, то на значение критерия Nu (а следовательно, и на величине  ) сказывается влияние начального участка трубы, где течение не стабилизировалось, а теплоотдача более интенсивная, чем в среднем по всей длине. В этом случае коэффициент теплоотдачи умножают на поправочный коэффициент, величину которого берут из таблиц в зависимости от значения критерия Рейнольдса и l/d. Влияние изгиба трубы. При повороте потока, связанного с изгибом канала (трубы), в потоке возникает центробежная сила, которая изменяет распределение скорости по поперечному сечению канала. Искажение профиля скорости влияет на теплообмен. Это учитывается в расчете введением поправочного коэффициента так, что для изогнутой трубы  из =  R   где  - коэффициент теплоотдачи, рассчитанный по формуле для прямой трубы. Для труб змеевика  k = 1 + 1,77 d R где d – диаметр трубы; R – радиус змеевика. Влияние формы поперечного сечения канала. При движении жидкости в каналах некруглого сечения (прямоугольных, кольцевых и т. п.) в качестве определяющего размера обычно принимают так называемый эквивалентный диаметр, который подсчитывается по формуле: dэ = 4 F  где d – площадь поперечного сечения канала, по которому течет жидкость; р – периметр поперечного сечения канала. Вопрос 4 Рисунок 2.28 - Изменение коэффициента теплоотдачи по окружности цилиндра,  -угол, отсчитываемый по поверхности цилиндра от его лобовой образующей. На рисунок 2.28 показано изменение коэффициента теплоотдачи по периметру трубы. По вертикали отложено отношение местного значения коэффициента теплоотдачи  к среднему по окружности  ср . Для технических целей наибольший интерес представляет определение среднего коэффициента теплоотдачи по всей окружности трубы, для вычисления которого можно пользоваться формулами типа Nu = f(Re;Pr) Эти формулы приведены в справочной литературе. Они получены для случая, когда угол между осью трубы и направлением потока составлял 90*. Если же этот угол отличен от прямого, то говорят, что труба обтекается под некоторым углом атаки  . В этом случае в расчет вводится поправочный коэффициент   Nu  =   Nu Зависимость   от угла атаки берут из справочных таблиц. Вопрос 5 Теплоотдача при поперечном обтекании пучка труб Пучок – система из параллельно расположенных труб, обтекаемых потоком жидкости. Современная техника широко использует пучки труб в качестве поверхности нагрева для различных теплообменников. Характер обтекания труб в пучках определяется взаимным расположением труб. Наиболее распространены коридорные и шахматные пучки (рисунок 8.5). Характер обтекания первого по ходу потока ряда труб не зависит от типа пучка. Последующие ряды в шахматных и коридорных пучках обтекаются по-разному. В коридорных пучках, начиная со второго ряда, трубы находятся в вихревой зоне впереди стоящих труб. И лобовая, и кормовая части этих труб обтекаются менее интенсивно, чем в первом ряду. В шахматных пучках для каждой трубы, независимо от того, в каком ряду она находится, максимум теплоотдачи сохраняется в любой точке. В этих пучках характер обтекания труб первого ряда мало отличается от характера обтекания последующих рядов. Все трубы обтекаются лучше, чем в коридорном пучке, поэтому коэффициент теплоотдачи в таких пучках выше, компоновка считается в тепловом отношении более рациональной. Рост интенсивности теплообмена в шахматных пучках обусловлен увеличением турбулентности потока при прохождении его через пучок. а) - шахматное; б) - коридорное. Рисунок 2.29 - Схема расположения труб в пучках: Критериальное уравнение при поперечном омывании пучков труб имеют вид Nu = c Re n  Pr q   i   S    и несколько отличаются в случае шахматного и коридорного пучков.  i   S    -поправки, учитывающие номер ряда в пучке, влияние относительного шага, угла атаки берутся из справочных таблиц. Задача 4 Определить коэффициент теплоотдачи от стенки трубки конденсатора паротурбинной установки к охлаждающей воде, если средняя по длине температура стенки tс = 280 С, средняя по длине температура жидкости tж = 140 С, внутренний диаметр трубки d = 16мм и средняя скорость воды w = 2 м/сек. Определить также количество передаваемого тепла, если длина трубки l = 1,6м. Решение: 1 Определяем режим течения по величине Рейнольдса. При tж = 140 С кинематический коэффициент вязкости воды (по таблице)  = 1,18  10 Re = Re = −6 м2/сек, wd  2  16  10 −3 1,18  10 −6 = 27,1  10 3 Reж>104, то есть режим течения турбулентный. 2. Выбираем критериальную формулу. Для турбулентного течения в трубе Nuж,d = 0,021 Reж,d0,8Prж0,43(Prж/Prс)0,25  e где «ж» и «с» означают, что физические свойства жидкости выбираются соответственно по температуре tж = 14 0С или tс = 28 0С.  e - поправка на начальный участок; при l/d>50 (l – длина трубки, d – ее диаметр)  e =1. Значение  e при l/d<50 приведены в справочной литературе. При l = 1,6 м и  d = 16.10-3м величина e =1. 3. Вычисляем критерии подобия. При tж = 14 0С для воды Prж = 8,5 (из таблиц). При tс = 28 0С для воды Prс = 5,7. Критерий Reж = 21,1 103 нами вычислен. Необходимо определить из таблиц еще дящий в критерий Nuж: при tж = 14 0С для воды  ж =0,584 вт/м.град. 4. Определяем величину критерия Nuж,d = 0,021(27,1.103)0,8.8,750,43.(8,5/5,7)0,25 = 201 5. Вычисляем коэффициент теплоотдачи = = Nu d ,ж   ж d 201  0,584 16  10 −5 = 7320 6. Вычисляем внутреннюю поверхность трубки F = пdl π16 10-3 1,6 = 0,0805 7. Количество передаваемого тепла, кВт Q =  F(tc – tж) Q = 7320.0,0805(28-14) = 8,2  ж , вхо- Лекция №2.9 Тема: Лучистый теплообмен План лекции: 1 Общие положения. Излучение, поглощение, пропускание 2 Спектр теплового излучения. Законы Планка и Вина 3 Закон Стефана-Больцмана 4 Абсолютно черное тело. Понятие о сером теле 5 Закон Кирхгофа 6 Лучистый теплообмен между двумя телами 7 Защитные экраны 8 Излучение газов и паров 9 Средства интенсификации и средства снижения теплообмена излучением Вопрос 1 Как показывает повседневная практика, подтвержденная точными экспериментальными исследованиями, на поверхности нагретого тела тепловая энергия превращается в лучистую, которая распространяется в виде электромагнитных колебаний с длиной волны 0,4 – 400 мк. Поток лучистой энергии, достигнув поверхности другого тела, частично поглощается, переходя в тепло, частично отражается от поверхности и частично проникает сквозь тело. Тепловой баланс падающей лучистой энергии выражается уравнением Q = QR + QA + QD, где R, A, D – соответственно коэффициенты отражения, поглощения и проницаемости лучевоспринимающнго тела, каждый из которых для различных тел может иметь величину от нуля до единицы (R+A+D=1). Абсолютно белое тело имеет R = 1 и отражает все попадающее на него тепловое излучение. Зеркальная полированная поверхность, отражающая свыше 95% лучистой тепловой энергии, близка к абсолютно белому телу. Абсолютно черное тело имеет А = 1 и поглощает все падающее на него тепловое излучение. Примером практически черного тела является сажа, поглощая около 97 % лучистой тепловой энергии. Тело, пропускающее всю лучистую тепловую энергию, называется диатермичным (для такого тела D = 1). Примером диатермичного тела является воздух. Интенсивность излучения тела q называется количество тепловой энергии, излучаемой в единицу времени с единицы поверхности тела. Интенсивность излучения измеряется в Вт/м2. Интенсивность излучения q изменяется в широких пределах в зависимости от температуры тела и структуры его поверхности. Так, 1м2 поверхности алюминиевого листа излучает при комнатной температуре поток энергии величиной около 0,7 ватта. Такую же величину потока энергии излучает каждый мм2 поверхности светящейся нити в лампочке накаливания. Интенсивность излучения в первом случае составляет величину q = 0,7 Вт/м2 (алюминий, 20 0С), во втором случае q = 0,7 Вт/мм2 = 0,7.106 Вт/м2 (вольфрам, 2200 0С). Интенсивность излучения солнца (6000 0С) составляет величину q – 0,7.108 Вт/м2. Состав (спектр) лучистого потока энергии и изменение его интенсивности определяется законами теплообмена излучением (законами Планка, Стефана-Больцмана, Кирхгофа, Ламберта). Максимум спектральной интенсивности излучения имеет место при длине волны определяемой законом смещения Вина.  max , Вопрос 2 Общее количество энергии qS, излучаемое в единицу времени по всем направлениям с единицы поверхности абсолютно черного тела, весьма неравномерно распределяется по волнам различных длин, из которых состоит черное излучение, имеющее сплошной спектр. На рисунок 9.1 показан спектр излучения абсолютно черного тела для различных температур, полученный вначале экспериментально. Рисунок 2.30 - Спектр излучения абсолютно черного тела Пунктиром показано смещение максимумов излучения (закон смещения Вина). На оси абсцисс отмечен участок сектора (0,45-0,68 микрона), излучение в пределах которого воспринимается глазом как световое излучение Если разделить весь диапазон длин волн излучения на малые интервалы d  , то отдельные элементарные площадки шириной d и высотой q  (q  интенсивность излучения при данной длине волны, или спектральная интенсивность излучения) будут представлять собой доли энергии излучения для отдельных длин волн, dq = q  d . Аналитическая зависимость интенсивности излучения от длины волны и температуры, дающая полное согласование с опытными данными, установлена Планком (закон Планка) −5 (q ) S = c1 c2 e где Т −1 (q  )s - спектральная интенсивность излучения черного тела, вт/м3;  - длина волны, м; Т – абсолютная температура, 0 К; с1 – постоянная, равная 0,5925.10-8 вт м2; с2 – постоянная, равная 0,0144 м 0 К. В упрощенном виде закон Планка представляется формулой Вина (q ) S = c1 e −5 − c2 Т Максимум спектральной интенсивности излучения имеет место при длине волны определяемой законом смещения Вина 0 = 0 , 2900 −6 10 Т согласно которому максимум спектральной интенсивности излучения с повышением температуры смещается в область более коротких волн. В интервале длин волн от 0,45 до 0,68 тепловое излучение воспринимается органами зрения (видимый участок спектра). На рисунке 2.30 видно, что при температурах менее 600 0С спектральная интенсивность (q  )s в видимой части спектра очень мала (за порогом чувствительности глаза): нагретые тела еще не светятся. По мере роста температуры излучение в пределах видимой части спектра растет. Например, спектр излучения солнца имеет максимум именно в видимой части спектра, мк. 0 = 2900 = 0,46 6300 Вопрос 3 Общее количество энергии, излучаемой абсолютно черным телом при данной температуре, пропорционально площади под соответствующей кривой спектральной интенсивности излучения, то есть  qS =  q d Интегрирование дает следующее выражение общего количества энергии излучения абсолютно черного тела (закон Стефана-Больцмана), Вт/м2: qS = 0T 4 где  - постоянная, равная 5,67.10-8 вт/(м2 0К4) или 4,9.10-8 ккал/(м2 0К4.ч). Этот закон был экспериментально установлен Стефаном в 1879 г. и теоретически Больцманом в 1884 г.: поток излучения абсолютно черного тела пропорционален четвертой степени абсолютной температуры. В более удобной для практических расчетов форме закон Стефана-Больцмана имеет вид T 4 qS = c0 ( ) 100 где с0 – коэффициент излучения абсолютно черного тела, равный 5,67 Вт/(м2. 0К4); Т – абсолютная температура, 0К. Вопрос 4 Законы Планка и Стефана-Больцмана характеризуют излучение абсолютно черного тела, коэффициент поглощения которого А=1, то есть максимален. Известной моделью абсолютно черного тела является полый шар с малым отверстием в стенке. Лучистый поток энергии, проникающий извне через это отверстие в шар, поглощается его внутренними стенками при многократном внутреннем отражении. Но наряду с поглощением лучистой энергии, такая модель черного тела и сама излучает энергию. Поток лучистой энергии, выходящий из отверстия модели черного тела, не зависит от материала, из которого сделаны внутренние стенки модели черного тела, а, как это следует из законов Планка и Стефана-Больцмана, зависит только от температуры этих стенок. При этом первый закон устанавливает количественный и спектральный состав излучения абсолютно черного тела, а второй – общую интенсивность во всех участках спектра в зависимости от температуры стенок модели. Таким образом, спектральный состав и плотность излучения qS абсолютно черного тела определяется законами Планка и Стефана-Больцмана. Спектральный и интегральный состав излучения реальных тел определяется экспериментально. Установлено, что спектр излучения многих твердых тел по форме незначительно отличается от спектра излучения черного тела (рисунок 2.31). При этом интенсивность излучения реального тела всегда меньше ( q < (q  )s ). Это снижение интенсивности излучения реальных тел по сравнению с абсолютно черным телом выражается величиной степени черноты. Снижение интенсивности излучения на малом участке спектра с длиной волны  характеризуется спектральной степенью черноты  = q (q ) S а снижение интенсивности полного (интегрального) излучения характеризуются степенью черноты: = q qS где q  и q – спектральная и полная интенсивность излучения реального тела; (q  )s , q s – спектральная и полная интенсивность излучения абсолютно черного тела. Рисунок 2.31 - Сравнение спектров излучения абсолютно черного тела (а.ч.т.) и реального твердого тела при одинаковых температурах В различных участках спектра, то есть при различных длинах волн величина отно-  шения qλ (qλ)S не постоянна, следовательно, спектральная степень черноты  изменяется с изменением длины волны. Однако часто этим изменением можно пренебречь. Такие тела, у которых спектр излучения подобен спектру излучения абсолютно черного тела, называются серыми. Для серых тел черноты  .   постоянно при всех длинах волн и равно степени В соответствии с определением степени черноты, излучение реального серого тела можно представить в виде формулы Стефана-Больцмана:  T  q = q 0 =  0 T = c 0    100  4 4 Степень черноты  реальных тел определяется экспериментально и представлена в таблицах. Она изменяется от значения 0,02 (полированное золото) до 0,98 (сажа). Изменение структуры поверхности тела (шероховатость, окисление) могут существенно влиять на величину степени черноты. Степень черноты тела при разных температурах тоже может отличаться. Соотношение между степенью черноты  и коэффициентом поглощения А устанавливается законом Кирхгофа. Вопрос 5 Рассмотрим (рисунок 2.32) поверхность 1 с температурой Т1, степенью черноты и коэффициентом поглощения А1. Т1 1 Т2 2 1 А1=1-R1 А2=1-R2 Рисунок 2.32 - К выводу закона Кирхгофа Ее излучение в окружающую среду определяется формулой Стефана-Больцмана q 1 = 1  T14 (2.61) Аналогично для поверхности 2 (Т2,  2, А2) q 2 =  2  T24 Если теперь поместить эти поверхности напротив друг друга, то в зазоре между ними устанавливается два встречных потока лучистой энергии. Поток Е12 от поверхности 1 к 2 состоит из собственного излучения поверхности 1 (2.61) и доли встречного потока от 2 к 1, отраженного поверхностью 1. Встречный поток Е21 от поверхности 2 к 1 также состоит из собственного излучения поверхности 2 и доли потока Е12, отраженной поверхностью 2. Е12 = q1 + R1E21; (2.62) Е21 = q2 + R2E12, где Е12 и Е21 – эффективные (встречные) потоки лучистой энергии; R1 и R2 – коэффициенты отражения тел 1 и 2. Поскольку эффективные потоки Е12 и Е21 встречны, то результирующий поток в зазоре равен их разности q12 = E12 − E21 Положим теперь, что Т1=Т2. Из этого следует, что, в соответствии со вторым началом термодинамики, результирующий теплообмен сводится к нулю: q 12 = 0 q 12 и встречные эффективные потоки, следовательно, равны Е12 = Е21 = Еэф В связи с этим переписываем (2.62) в виде Еэф = q1 + R1Eэф Еэф = q2 + R2Eэф или Еэф (1 – R1) = q1 Еэф (1 – R2) = q2 (при Т1 = Т2) Разделив левые и правые части равенства, получаем q1 q2 = 1 − R1 1 − R2 где 1 - R1 = A1 и 1 – R2 = A2 – коэффициенты поглощения первого и второго тел. Выражая плотность лучистого потока в соответствии с формулой Стефана-Больцмана, причем Т1 = Т2, получаем 1 Т 4 и, после сокращений, А1 1 А1 =  2 Т 4 = 2 А2 А2 Нетрудно установить абсолютную величину этого соотношения, если представить, что одна из поверхностей черная (  =1, А=1): для нее отношение равно единице. Следовательно и для любого другого тела  = 1. А Полученное выражение является математической формулировкой закона Кирхгофа. Закон Кирхгофа. Степень черноты серого тела и его коэффициент поглощения всегда равны:  =А. Для реальных тел, отличных от серого, закон Кирхгофа выполняется только при сопоставлении спектральных степени черноты и коэффициента поглощения  = А . Закон Кирхгофа имеет чрезвычайно важное прикладное значение. В соответствии с этим законом способность тела излучать энергию является мерой его способности к поглощения лучистой энергии. В частности, модель черного тела поглощает все излучение извне, и она же излучает максимальное количество энергии по сравнению с реальными телами при той же температуре. Вопрос 6 При теплообмене излучением между двумя телами количество переданной энергии определяется разностью между энергией, излучаемой одним телом, и энергией, поглощаемой им от излучения другого тела. В простейшем случае теплообмена излучением между двумя параллельными пластинами, размеры которых велики по сравнению с расстоянием между ними, количество передаваемой энергии определяется выражени4 4 ем    Т  Т  Q12 =  пр с0 F  1  −  2    100   100   где Q12 – поток энергии излучения, вт; F – поверхность излучения одного из тел (F1=F2=F) м2; Т1 и Т2 – абсолютные температуры первого и второго тел, 0К. Коэффициент  пр = 1 1  1   +   1    2   − 1  носит название приведенного коэффициента излу- чения. Если одна из излучающих пластин представляет собой черное тело (например,  1=1), то приведенный коэффициент излучения равен коэффициенту излучения второй пластины (  пр=  2). Если одна из пластин абсолютно белая, то  пр=0 и лучистый теплообмен невозможен. Во всех остальных случаях приведенный коэффициент излучения меньше, чем меньший из коэффициентов излучения  1 и  2. Для расположенных концентрично двух тел (цилиндров или сфер) количество передаваемого излучения тела определяется внешне таким же выражением, как и для случая параллельных пластин: Q 12  Т 1  4  Т 2  4  =  пр с 0 F1   −    100   100   (2.63) где F1 – излучающая поверхность внутреннего тела, м2;  пр = 1 1 F1 1 + ( − 1) 1 F2  2 (2.64) Как следует из (2.64), приведенная степень черноты совпадает с коэффициентом излучения внутреннего тела, если внешнее тело черное (  2=1) или если F1<