Основные понятия теории столкновений. Скорость процесса, частота столкновений, средняя длина свободного пробега.

Лекция 2 Основные понятия теории столкновений. Скорость процесса, частота столкновений, средняя длина свободного пробега. В магнитной газовой динамике взаимодействие частиц рассматривается в теории столкновений. Для того чтобы при исследовании взаимодействия частиц в газе можно было пользоваться понятием сечения столкновения, необходимо предположить, что газ достаточно разрежен и длительность одного акта столкновения много меньше времени между двумя столкнове­ниями. Рис.2.1. Частица-мишень в газе. Будем считать, что скорости отно­сительного движения всех частиц газа – тепловая скорость g. Одну частицу газа будем считать частицей мишенью, а остальные частицы можно рассматривать как частицы, налетающие на мишень (рис.1). Плотность таких частиц n1. Примем, что сечение столкновения Q12 , частиц соответствует некоторому конкретному процессу «12», переходу из состояния 1 в состояние 2. Число частиц, взаимодействующих с частицей-мишенью, имеющей столкновение Q12 в единицу времени равно n1gQ8. Если в единице объема находится n2, частиц-мишеней, то полная скорость процесса (т.е. полное число столкновений в единице объема в единицу времени между падающими частицами и частицами-мишенями) дается выражением (2.1а) Если падающие частицы и частицы-мишени идентичны, то в этой формуле каждое столкновение учитывается дважды, и поэтому R11= n12gQ11(g)/2. В таком описании взаимодействия частиц характер конкретного взаимодействия учитывается величиной сечения столкновения. Вводя соответствующие сечения, можно определить скорость отдельных атомных процессов или групп процессов. Например, если плотность частиц на некотором возбужденном уровне l равна п2,, то скорость потери возбуждения частицами сорта 2 с переходом под действием частиц сорта 1 на некоторый более низкий уровень составит или, в более общем виде, для некоторого процесса р . (2.1б) Для процессов, характеризующихся нулевой пороговой энергией, таких, как потеря возбуждении или рекомбинация, упрощенная модель, в которой относительные скорости всех частиц принимаются равными по величине, дает неплохие результаты. Но когда мы переходим к процессам с ненулевой пороговой энергией, таким, как ионизация и возбуждение, недостаточность такой модели становиться очевидной. При определенных условиях лишь у небольшой доли частиц газа относительные энергии будут превышать пороговое значение, и только эти частицы смогут принять участие в процессе. Ясно, что в подобных случаях было бы неправильно характеризовать газ единственным значением относительной скорости, и поэто­му приходится учитывать фактическое распределение частиц по скоростям. В отличие от эффективного сечения, которое можно назвать атомной или микроскопической величиной, скорость процесса есть величина макроскопическая. Под этим подразумевается то, что скорость процесса зависит от параметров, определяющих термоди­намическое состояние газа (температура, давление). Поскольку можно считать, что любой атомный процесс приводит к уменьшению числа частиц мишеней в единице объема со скоростью R12(p) для этого процесса мы можем написать (2.2) Уравнение (2.2) во многих случаях может быть использовано для определения времени релаксации р-го процесса: (2.3) Когда время релаксации процесса τ(р) велико по сравнению со вре­менем, в течение которого частица-мишень находится в данной области потока, говорят, что поток в данной области «заморожен» и не является равновесным. Это обозначает, что можно пренебречь влиянием данного процесса на поток и считать частицы невзаимодействующими. В другом, предельном случае, когда τ(р) очень мало по сравнению с постоянной времени потока, состояние можно считать «равновесным». Число всех столкновений отдельной падающей частицы в единицу времени со всеми частицами-мишенями газа называется полной частотой столкновений (с данными частицами-мишенями) и описывается выражением (2.4) Частоты столкновений для отдельных процессов определяются аналогичным образом: (2.5) Примером может служить частота столкновений с передачей им- пульса . (2.6) Эта величина используется при вычислении коэффициентов переноса. Если в газе имеются частицы-мишени нескольких разных сортов, то полная частота столкновений падающих частиц со всеми частицами-мишенями составит (2.7) (Аналогичное соотношение можно написать для каждого отдельно взятого процесса.) Время между двумя столкновениями определенного вида равно обратной величине соответствующей частоты столкновений. Средняя длина свободного пробега падающей частицы между двумя столкновениями равна произведению относительной скорости частицы на временной интервал между столкновениями, или частному от деления относительной скорости на частоту столкновений (2. 8) Траектория падающей частицы имеет вид ломаной линии, длина отдельных участков которой равна l1. Поэтому в данном случае нельзя просто говорить о средней длине свободного пробега для одного из нескольких атомных процессов, как это делалось в отно­шении частоты столкновений. Статистические расчеты, проведенные методом случайных блуждании [48], дают для длины свободного пробега относительно процесса р следующее выражение: (2.9) Отношение ν1/ν1(р) равно числу всех столкновений, испытываемых падающей частицей между двумя столкновениями р-типа. Произведение корня квадратного из этой величины на длину сегмента ломаной линии является характерной комбинацией, которая фигурирует в теории многих диффузионных процессов. В случае частично ионизованных газов из всех скоростей процесса наиболее важной является скорость электронной рекомбинации. Макроскопический коэффициент рекомбинации α определяется следующим соотношением (в отсутствие процессов ионизации) (2.10) где ni, плотность ионов, с которыми рекомбинируют электроны. Коэффициенты рекомбинации обычно не очень трудно измерить и для α имеется значительное количество экспериментальных данных. Во многих приложениях α- единственная величина, которую необходимо знать для описания процессов в частично ионизованной плазме. Коэффициенты рекомбинации выражаются в единицах см3с-1 Известны несколько разных механизмов рекомбинации. Если энергия, высвобождаемая при рекомбинации электрона е и иона А+, уносится фотоном φ, то рекомбинацию называют излучательной. Такой процесс может быть представлен уравнением e + A+ → A + φ (2.11) Если энергия, высвободившаяся при рекомбинации, уносится третьей частицей, добавляясь к её кинетической энергии, то реком­бинацию называют трехчастичной. Поскольку масса электрона, значительно меньше массы ионов и атомов, различают два типа трех частичной рекомбинации — когда третьим телом является электрон: е + A+ + e → A + e (2.12) и когда третьим телом является какая-нибудь тяжелая частица X: e + A+ +X→ A + X (2.13) В том случае, когда электрон рекомбинирует с молекулярным ионом (АВ+), особенно эффективным является процесс, при котором энергия рекомбинации идет на диссоциацию молекулы и на увели­чение кинетической энергии продуктов реакции. Такой процесс диссоциативной рекомбинации представляется уравнением е + (AB) + → A + B (2.14) Избыток энергии, высвобожденной при рекомбинации, может быть затрачен также на образование нейтрального атома, в котором одновременно возбуждены два электрона. Энергия получившегося дважды возбужденного атома лежит выше границы серии, и такое состояние неустойчиво. Но атом может быть стабилизирован, если электрон перейдет на более низкий связанный уровень, излучив фотон соответствующей энергии. Такой процесс рекомбинации условно записывается следующим образом: е + A + → A" → A ' +φ (2.15) Фактические значения коэффициентов рекомбинации зависят от типа другой компоненты, участвующей в процессе, но можно указать приблизительно порядок величины коэффициента α для всех процессов, перечисленных выше. Типичные значения коэффициента α при комнатной температуре приведены в таблице 1. Таблица 1 Типичные коэффициенты рекомбинации Тип рекомбинации α, смЗ∙с-1 при T= 300 К излучательная 10-12 трехчастичная с электроном ne,= 1012 см 9∙10-8 ne,= 1014 см 9∙10-6 ne,= 1016 см 9∙10-4 Трехчастичная с тяжелой частицей Не (р= 100 Па) 7∙10-9 Аг (р = 100 Па) 7∙10-11 Воздух (р= 100 Па) 2∙10-7 Н2 (р= 100 Па) 2∙10-7 Диссоциативная 10-7 Двухэлектронная 10-12 Определение вязкости, теплопроводности, электропроводности через столкновения частиц. Теория столкновений позволяет определить транспортные коэффициенты в газе и, в частности, в плазменных потоках. Определение вязкости Коэффициент вязкости определяется передачей импульса от одного слоя движущейся среды к другому. Рассмотрим плоскость, вдоль которой течет газ, когда средняя массовая скорость жидкости (газа) направлена вдоль оси и меняется только по . Среднее число актов передачи импульса в единицу времени частицами сорта s равно ν1s(1) = ns . y x Рис. 2.2. Профиль скорости. Плотность потока - компоненты импульса, переносимого частицей сорта вверх, составит . Плотность потока - компоненты импульса, переносимого частицей сорта вниз, составит . Сила трения определяется изменением среднего импульса при перемещении частиц сорта s по направлению y . Разлагая скорость в ряд Тейлора в окрестности точки y0 получим . Суммируя по всем сортам частиц, получим . В динамике сплошной среды тангенциальная сила трения определяется формулой . Сравнивая эти два выражения, получим формулу, определяющую коэффициент динамической вязкости через столкновения частиц . (3.1) Определение теплопроводности Аналогично можно определить коэффициент теплопроводности, если считать, что в каждом столкновении на расстоянии происходит передача энергии. Энергия частицы сорте s может быть определена как kTs. Поток энергии в направлении y от частиц сорта s равен . Суммируя по частицам всех сортов, получим поток тепла в направлении y . В теории сплошной среды тепловой поток в газе определяется формулой . Сравнивая последние два выражения, получим определение коэффициента теплопроводности . (3.2) Определение электропроводности Электропроводность газа проявляется в электрическом и магнитном полях. Предположим, что однородный частично ионизованный газ находится в постоянном электрическом поле. Под действием электрического поля заряженные частицы в промежутке между столкновениями будут ускоряться. Но из-за потери импульса в каждом столкновении средняя скорость частиц не будет возрастать бесконечно. Влияние электрического поля сводится к тому, что частицы дрейфуют в направлении поля. Положительно заряженные частицы дрейфуют в направлении вектора электрического поля, а отрицательные частицы в направлении противоположном этому вектору. Скорость дрейфа может быть определена из уравнения движения заряженной частицы, учитывающего увеличение импульса частиц при ускорении в электрическом поле и уменьшение импульса при столкновениях. Рассмотрим движение заряженной частицы в системе координат, движущейся с потоком газа. Обозначим электрическое поле в этой системе координат через E’. Так как масса ионов много больше массы электрона, то в электрическом поле электроны будут ускоряться до больших скоростей и передавать импульс при каждом столкновении с нейтральными частицами и ионами. Если Се компонента скорости электрона в направлении вектора поля, то . (3.3) Здесь через Fe(t) обозначена сила, действующая на электрон при его столкновениях с другими частицами. Это сложная функция времени, которая почти всегда равна нулю и лишь при столкновениях резко нарастает или убывает. Запишем среднее значение силы для газа, состоящего из электронов, ионов и атомов. (3.4) Здесь – средняя частота столкновения с передачей импульса электрона со всеми тяжелыми частицами, τ – время усреднения, которое много большее времени между столкновениями, но меньше характерного времени макроскопического движения. Здесь учтено, что столкновения электронов с электронами практически не приводят к изменению их импульса. Так как скорость электронов много больше скорости тяжелых частиц, то в уравнении 3.4 второй и третий члены в правой части можно не учитывать по сравнению с первым, поэтому с хорошей точностью можно принять, что . (3.5) Уравнение (3.3) может быть записано для среднего значения скорости электронов в виде . (3.6) Стационарная, макроскопическая скорость дрейфа электронов определяется уравнением (3.6), в котором среднее ускорение электронов равно нулю , Это равенство определяет среднюю скорость дрейфа электронов , (3.7) где величина (3.8) называется подвижностью электронов. Плотность электрического тока, т.е. перенос заряда, определяется формулой , (3.9) где величина (3.10.1) называется удельной электропроводностью электронов. Учитывая, что величину электропроводности можно записать с использованием средней длины свободного пробега электронов в виде , (3.10.2) где g – тепловая скорость электронов. Для газа, состоящего из нескольких сортов тяжелых частиц, имеем . (3.11) Так как частоты столкновений электронов с частицами разного сорта суммируются, то имеем правило определения проводимости смеси газов. . (3.14) Из приведенного выше анализа транспортных коэффициентов частично ионизованного газа с привлечением теории столкновений, видно, что в описании состояния газа большое значение имеет величина , называемая средней длиной свободного пробега частиц сорта s, которая зависит от распределения частиц по скоростям и величин сечений столкновения всех процессов, участвующих в переносе импульса, энергии, электричества. Строгое определение этой величины учитывает время хаотизации импульса частиц сорта s в результате столкновения с частицами сорта h. Без вывода запишем , (3.15) где приведенная масса частиц. Средняя частота столкновений электронов определяется тепловой скоростью и средней длиной свободного пробега электронов , , , где - сечение столкновения электрона с ионами сорта i, если только он ионизуется, - сечение столкновения электрона с нейтральными частицами сорта j. Длина свободного пробега электрона при соударениях с сортом частиц S, включая ионы и тяжелые частицы . Молекулярная структура газа. Газ – совокупность атомов и молекул, находящихся на столь больших расстояниях друг от друга, что они большую часть времени не взаимодействуют или слабо взаимодействуют друг с другом. Их взаимодействие рассматривается как столкновения, упругие или неупругие. Частицы в газе постоянно движутся, имея некоторую кинетическую энергию Wi = miVi2/2, кроме этого они имеют внутреннюю структуру и соответствующую ей внутреннюю энергию Ii, а также потенциальную энергию взаимодействия Ui. Газ считается идеальным, если средняя кинетическая энергия частиц много больше средней потенциальной энергии. . Если , то газ считается не идеальным. Такой газ называется газом Ван-дер-Ваальса. При нормальной температуре газ нейтральных частиц идеален. В идеальном газе столкновения являются упругими и действуют законы Ньютона. Квантовые эффекты проявляются только при очень низких температурах у гелия и водорода. При неупругих столкновениях, которые наблюдаются при высоких температурах, проявляются квантовые эффекты. Релятивистские эффекты существенны только при очень высоких температурах, например, в водороде при Т > 105К. Тепловая скорость частиц при такой температуре g ≈ 0.0001с, с – скорость света. Таким образом, в идеальном газе действуют только законы Ньютона. Для идеального газа, состоящего из одного сорта частиц с массой m, и имеющего тепловую скорость частиц g справедливо соотношение , где к – постоянная Больцмана, к = 1.38∙10-23 Дж /К, Т- температура, g – тепловая скорость частиц. Это определяет связь температуры и скорости частиц . При взаимодействии частиц тип столкновениях определяется потенциалом взаимодействия. В физике для описания процесса столкновения, в основном, используются пять видов потенциалов взаимодействия. 1. Упругое взаимодействие. Взаимодействие упругих шаров с диаметрами d1 и d2. U(r)= ∞ при r < и U(r)= 0 при r > . r – расстояние между центрами частиц. d=. Рис. 2.3. Потенциал упругих взаимодействий. 2. Притяжение с потенциалом U(r)= -  , определяющим силы Ван-дер-Ваальса. Рис. 2.3. Потенциал притяжения. 3. Отталкивание с потенциалом U(r)=, показатель степени s-1 является показателем отталкивания. При s = 5 газ называется Максвелловским. Рис. 2.5. Потенциал отталкивания. 3. При описании взаимодействия частиц в плазме используются потенциалы, учитывающие притяжение на малых расстояниях между центрами частиц и притяжение на больших расстояниях. , где d и e – константы. Рис. 2.6. Потенциал Леннарда-Джонса, учитывающий притяжение и отталкивание К таким потенциалам относится потенциал Леннарда – Джонса , где ε – глубина потенциальной ямы притягивания. 5. Потенциал Морзе также учитывает притяжение и отталкивание. , где β и ε – константы. Рис. 2.7. Потенциал Морзе. В зависимости от потенциала взаимодействия меняется состояние газа. В идеальном газе взаимодействие упругое и уравнение состояния газа это уравнение Клапейрона – Менделеева  PV = RT. В реальном газе, в котором учитывается влияние реального размера частиц (константа b) и проявляются силы взаимного притяжения частиц ( a/V2), действует уравнение состояния Ван-дер-Ваальса (P + a/V2)(V – b)= RT. Используя конкретный потенциал взаимодействия можно описать состояние газа и, в частности, определить транспортные коэффициенты, вязкость, теплопроводность, электропроводность, коэффициент диффузии. Равновесное состояние газа. Так как в слабоионизованном газе имеются электроны, ионы и нейтральные частицы, то для описания состояния газа необходимо учитывать обмен энергией между ними. Ионы и нейтральные частицы имеют внутреннюю структуру и могут находиться в различных энергетических состояниях. Распределение энергии между этими состояниями может быть равновесным и неравновесным. В равновесном состоянии концентрацию частиц каждого сорта можно выразить через термодинамические параметры и ввести функции распределения частиц по состояниям. Прежде всего Это функция распределения частиц с массой m по скоростям W в покоящейся среде. Функция Максвелла (3.16) Распределение частиц по возбужденным состояниям. Распределение Больцмана , (3.17) где nl- плотность частиц на верхнем l уровне, nk– плотность частиц на более низком уровне, , gl и gk – кратность вырождения l и k уровней. Количество ионизованных частиц определяется уравнением Саха. Уравнение Саха , (3.18) где Zi и Zn – статистические суммы ионов и нейтралов. , gl - кратность вырождения уровня l. Равновесное распределение излучения в газе по частоте. Формула Планка . (3.19)