Основные понятия и сущность сетевых методов планирования и управления (СПУ). Решение задачи по Леонарду Эйлеру

Оглавление Тема 1. Основные понятия и сущность сетевых методов планирования и управления (СПУ) 1 1. История появления и развития сетевых методов планирования и управления 1 2. Основные понятия и определения сетевых методов планирования и управления 10 Тема 2. Правила и методики построения сетевых графиков 12 1. Правила построения сетевого графика 12 2. Нумерация сетевого графика 15 3. Методики построения сетевого графика 15 Тема 3. Методы расчета параметров сетевого графика 16 1. Параметры сетевых графиков 16 2. Аналитический метод расчета параметров СГ 16 2. Графический метод расчета параметров СГ 17 4. Табличный метод расчета параметров СГ 19 5. Расчет временных параметров работ с помощью ЭВМ 20 Тема 4. Методы оптимизации сетевого графика 22 1. Оптимизация СГ по критерию время 22 2. Оптимизация СГ по критерию человеческие ресурсы 25 3. Оптимизация СГ по критерию финансовые ресурсы; 28 Тема 1. Основные понятия и сущность сетевых методов планирования и управления (СПУ) 1. История появления и развития сетевых методов планирования и управления В основе методов сетевого планирования и управления лежит теория графов, родоначальником, которой считается Леонард Эйлер (1707-1783 г.г.). Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 г. Леонард Эйлер, рассматривая задачу о кенигсбергских мостах. Сегодня эта задача стала классической. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов. Задача состоит в том, чтобы обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку. Решение задачи по Леонарду Эйлеру На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам: Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин. Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине. Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком. Граф кёнигсбергских мостов имел четыре (синим) нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды 1. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 2). Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Куратовским в 1930 году. рис. 2 2. Задача о четырех красках. Разбиение на плоскости на непересекающиеся области называется картой. Области на карте называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом (рис. 3). С конца позапрошлого века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. В 1976 году Аппель и Хейкен опубликовали решение задачи о четырех красках, которое базировалось на переборе вариантов с помощью компьютера. Решение этой задачи «программным путем» явилось прецедентом, породившим бурную дискуссию, которая отнюдь не закончена. Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Рис. 3 10. 11. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера. Проверить «вручную» полученное решение невозможно – объем перебора выходит далеко за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки… Методы формального доказательства правильности программ не применимы к программам такой сложности, как обсуждаемая. Тестирование не может гарантировать отсутствие ошибок и в данном случае вообще невозможно. Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они сделали все правильно. Появление и развитие теории графов в последствии послужило основой формирования графических элементов сетевых методов планирования и управления. Этап 2. Появление методики применения в планировании диаграмм Ганта. По основной версии, график был задуман американским инженером Генри Л. Гантом (нередко встречается написание Гантт, более близкое к оригиналу). В 1910 году появился первый вариант диаграммы, применённый позднее на судостроительном заводе, где Гант применил график, позволяющий эффективно управлять деятельностью нескольких инженеров при решении ими ограниченных по времени задач. Первоначальный шаблон: включал перечисление всех задач по проекту, назначал персональную ответственность за выполнение задачи, определял период, необходимый для завершения своей части деятельности исполнителем, отображал зависимость одной задачи от другой. Генри Гант К факту достижения поставленных целей была привязана система вознаграждения. Поскольку Гант считал, что предприятие в рамках ответственности перед обществом, должны нести обязательства за использование ими человеческих и других ресурсов, бонусом вознаграждались руководители, которые смогли хорошо научить персонал применению методов повышения производительности труда. Диаграмма была быстро принята «на вооружение» на других производствах и применялась при планировании инженерных сооружений государственного масштаба (например, при строительстве плотины Гувера, начатой в 1931 году, системы скоростных автострад в 1956 году). Изменение в первоначальный пример графика были внесены только почти 80 лет спустя. В 90-х годах для уточнения сложных взаимосвязей между задачами применили линии связи. Классический способ представления сетевого графика – диаграмма Гантта. Работы в ней представлены линиями на временной шкале с указанием времени начала, окончания и степени их завершенности на текущий момент. «Первое правило: любая работа может быть оценена по времени, необходимому для ее выполнения. Второе: пространство, которым представляется на схеме время, должно соответствовать тому объему работ, который должен быть произведен в это время. Использование этих двух принципов позволяет понять всю систему; при этом становится возможным графическое представление любого рода работ, общим мерилом которых является время»,– писал в начале XX века Генри Гантт, американский инженер, создатель теории сетевого планирования. Ученики изложили принципы Гантта в книге «The Gannt Chart: A Working Tool of Management». По мнению современников, именно она способствовала международному признанию практических аспектов концепции Гантта. Она стала основой, на которой разрабатывались советские пятилетние планы, дала миру графическое средство планирования и контроля. Все возникавшие с той поры схемы и графики контроля производства так или иначе восходили к первичной ганттовской методике. 1 Однако по одной из альтернативных, но достоверных версий, впервые привычный пример диаграммы был предложен ещё в 1896 году польским экономистом, инженером и исследователем теории менеджмента Каролем Адамецким. Польский автор изобрёл метод отображения связей между процессами для повышения наглядности графика производства. Несколько статей на эту тему им были опубликованы в польском журнале ещё в 1909 году и на английский не переводились (хотя в России теория была достаточно широко известна с 1903 года). И только в 1931 году вышла статья, более подробно описывающая тот график, который Адамецкий назвал harmonogram (вариант: harmonograf), и который был очень похож на график Ганта. Однако к тому времени диаграмма уже получила известность и распространение в англоязычном мире как график Ганта, поэтому изобретение сохранило имя американского учёного. Этап 3. Появление необходимости планирования сложных многоэтапных и капиталоемких комплексов работ большой продолжительности и зарождение теории Управления проектами Зарождение управления проектами как самостоятельной дисциплины относится к 30-м годам и связывается с разработкой специальных методов координации инжиниринга крупных проектов в США: авиационных в US Air Corporation и нефтегазовых в известной фирме Exxon. В 1937 г. американским ученым Гуликом была осуществлена первая разработка по матричной организации для руководства и осуществления сложных проектов. Впервые современное практическое применение в полном объеме она получила в 1953-54 г.г. в Офисе совместных проектов воздушных сил США и в Офисе специальных проектов по вооружению, и далее в 1955 г.- в Офисе специальных проектов морского флота США. Это были первые и наиболее организованные механизмы для достижения интеграции при управлении 93 сложными и крупными проектами. Как следствие интеграции сложилась определенная практика управления проектами: определение требуемых результатов; тщательное предварительное планирование во избежание будущих изменений плана; назначение главного контрактора, ответственного за разработку и выполнение проекта. Системы, основанные на использовании се­тевых графиков или моделей и электронно-вычислительной тех­ники, впервые появились в США в период 1956-1957 гг. Это были система CPM (Critical Path Method) – метод критического пути и система PERT (Program Evolution and Review Technique) – техника обзора оценки программ. В 1956 г. компания "Дюпон де Немур" (Du Pont de Nemours Co.) образовала группу для разработки методов и средств управления проектами. В 1957 г. к этим работам присоединились исследовательский центр UNIVAC и фирма Remington Rand. К концу 1957 г. этим коллективом, возглавляемым Kelly и Walker, был разработан метод критического пути (СРМ) с программной реализацией на ЭВМ UNIVAC. СРМ с успехом был опробован на разработке плана строительства завода химического волокна в г. Луисвилле, штат Кентукки. В результате этой работы появились первые публикации по управлению проектом [43]-[45]. Вслед за СРМ для программы "Поларис" (US Navy) в течение 1957-58 г.г. была разработана и опробована система сетевого планирования PERT [46]-[48]. Система PERT была впервые применена при создании баллистических ракет «Поларис», предназначенных для оснащения атомных подводных лодок американ­ского военно-морского флота. Программа "Поларис" включала 250 фирм-контракторов и более 9000 - фирм-субконтракторов. Некоторое время система PERT держалась в секрете, но впоследствии метод решено было опубликовать. После этого первыми его применили ремонт­но-строительные организации при капитальном ремонте круп­ного завода. В настоящее время эта система применяется в боль­шинстве стран мира. Именно в ней впервые были подробно сформулированы основные понятия сетевого метода планирова­ния и управления, получившие в нашей стране название СПУ. [5] Разработанные в 1956-58 г.г. методы и техника сетевого планирования дали мощный толчок развитию теории Управления проектами. Уже с 1958 г. PERT и СРМ используются для планирования работ, оценки риска, контроля стоимости и управления ресурсами на ряде крупных военных и гражданских проектов в США. В 1959 году комитетом Андерсона (NASA) был сформулирован системный подход к управлению проектом по стадиям его жизненного цикла, в котором особое внимание уделялось предпроектному анализу. Развитие УП в 50-е годы завершилось публикацией Gaddis в Harvard Business Review первой обобщающей статьи по управлению проектами [49]. Успешное применение метода PERT и его модификаций в планировании различных разработок способствовало его распространению по многим странам. Этот метод нашел широкое применение в планировании технической подготовки производства, научно-исследователь­ских и опытно-конструкторских работ, строительстве крупных сооружений, капитальном ремонте зданий, сооружений, обору­дования и т.д. В бывшем Советском Союзе сетевые методы планирования и управления впервые нашли применение в строительстве Бурштынской ГРЭС и Черкасского завода искусственного волокна, сооружении второй очереди блока цехов тяжелой химаппаратуры Уралхиммашзавода, строительстве комплекса Лисичанского химкомбината, монтаже блюминга-автомата на Урале, ремонте двух мартеновских печей на металлургическом заводе им. Ф. Дзержин­ского в Приднепровье, капитальном ремонте технологического оборудования на Кировградском медеплавильном комбинате и Среднеуральском медеплавильном заводе. [5] Этап наиболее бурного развития систем для управления проектами, в том числе с использованием методов СПУ начался с появлением персональных компьютеров, когда компьютер стал рабочим инструментом для широкого круга руководителей. Значительное расширение круга пользователей управленческих систем породило потребность создания систем для управления проектами нового типа, одним из важнейших показателей таких систем являлась простота использования. Управленческие системы нового поколения разрабатывались как средство управления проектом, понятное любому менеджеру, не требующее специальной подготовки и обеспечивающее лёгкое и быстрое включение в работу. Time Line принадлежит именно к этому классу систем. Разработчики новых версий систем этого класса, стараясь сохранить внешнюю простоту систем, неизменно расширяли их функциональные возможности и мощность, и при этом сохраняли низкие цены, делавшие системы доступными фирмам практически любого уровня. 2. Основные понятия и определения сетевых методов планирования и управления Основной задачей процесса организации производства является рациональное сочетание и соединение во времени и в пространстве всех элементов производственной системы для достижения заданных целей с наименьшими материальными, трудовыми и финансовыми затратами. Данная задача определяет важность изучения сетевого планирования и управления (СПУ) как одного из наиболее эффективных методов организации производства как экономической науки. Сетевые методы планирования и управления включают в себя сравнительно простые инструменты руководства сложными многоэтапными комплексами работ, позволяющие в любых, даже самых критических ситуациях, принимать наиболее оптимальные решения. В основе сетевого планирования и управления лежит построение упрощенных графических моделей (сетевых графов). С помощью таких графиков с достаточной степенью адекватности можно четко и наглядно описать любой комплекс взаимосвязанных работ. Эффект, достигаемый за счет использования систем сетевого планирования и управления, обусловлен в первую очередь внесением строгих логических элементов в процессы разработки планов, что позволяет привлечь для их анализа и синтеза современный математический аппарат и средства вычислительной техники. В общем случае под сетевыми методами планирования и управления понимают совокупность расчётных методов, а также организационных и управленческих приёмов, обеспечивающих моделирование, анализ и динамическую перестройку планов выполнения сложных комплексов работ и разработок с помощью сетевого графика (сетевой модели). При этом под сетевым графиком (СГ) подразумевают графическое изображение определенного комплекса работ, отражающее их логическую последовательность, взаимосвязь и длительность. График – это модель процесса, на которой можно проводить эксперименты и выяснять к каким изменениям результирующего показателя приведет то или иное изменение исходных параметров модели. Пример сетевого графика изображен на Рис. 1. Рис. 1. Пример сетевого графика Сетевой график состоит из направленных стрелок (обозначений работ) и кружков (обозначений событий). Термин «работа» в СПУ имеет несколько значений: 1) действительная работа – процесс выполнения каких-либо действий, приводящий к достижению определенного результата, протяжённый во времени и требующий затрат трудовых, материальных и финансовых ресурсов. Действительные работы на СГ отображаются сплошными стрелками. На Рис. 1 такими работами являются работы, представленные в исходных данных: а, б, в, …, л. 2) ожидание – процесс, не требующий затрат труда, но обладающий определенной протяжённостью во времени (например, процесс сушки после покраски, твердения бетона и т.п.). На сетевом графике работы «ожидание» как и действительные работы, обозначаются сплошными стрелками. 3) зависимость или фиктивная работа – логическая связь между двумя или несколькими работами, не требующая затрат труда, материальных ресурсов или времени. Она указывает, что начало одной работы требует результатов другой. Продолжительность фиктивной работы принимается равной нулю. Обозначается такая работа пунктирной линией. На Рис. 1 к таким работам относятся: работа, соединяющая кружки 2 и 5, и работа, соединяющая кружки 3 и 7. Событие – это факт или момент завершения какого-либо процесса, отражающий отдельный этап выполнения комплекса. При этом оно может являться либо частным результатом отдельной работы, либо совокупным результатом нескольких работ. На сетевом графике можно выделить три вида событий: • исходное событие – это событие означающее начало выполнения комплекса и не имеющее предшествующих работ (чаще всего нумеруется цифрой 0 – см. Рис. 1); • завершающее событие – событие, означающее завершение комплекса работ и достижение его конечной цели. Такое событие не имеет следующих за ним работ (на Рис.1 это событие №9); • промежуточное событие, или просто событие – результат одной или нескольких работ, предоставляющий возможность начать работы, которые для своего начала требуют этого результата. Любое промежуточное событие имеет двойственный характер: для всех непосредственно предшествующих ему работ оно является конечным, а для всех непосредственно следующих за ним – начальным. Событие не имеет продолжительности и свершается как бы мгновенно. Каждое событие, включаемое в сетевую модель, должно быть полно, точно и всесторонне определено. Его формулировка должна включать в себя результаты выполнения всех непосредственно предшествующих ему работ. Любая работа сетевого графика соединяет между собой два события (кружка): непосредственно предшествующее данной работе (являющееся для нее начальным событием) и непосредственно следующее за ней (являющееся для нее конечным событием). Код работы состоит из кодов ее начального и конечного событий, например, работа «ж» на графике, изображенном на рис. 1 кодируется цифрами (5, 6). Наименование работы, ее номер, продолжительность и другие параметры, на графике располагаются рядом или над стрелкой, обозначающей данную работу. На графике на рис.1 возле каждой стрелки, приведено ее обозначение (определенная буква) и продолжительность (число, представленное в скобках). Продолжительность работы – это время, необходимое для ее выполнения. Чаще всего продолжительность определяется делением трудоемкости работы (объем работы в человеко-часах, человеко-днях или пр.) на численность, задействованного на ней персонала. Трудоемкость работ устанавливается на основании действующих нормативов или по экспертным оценкам специалистов. Путь – это непрерывная последовательность работ и событий на сетевом графике. Длина пути определяется суммой продолжительности составляющих его работ. Можно выделить несколько видов путей: • полные пути – это пути, ведущие от исходного события к завершающему. Таких путей может быть несколько (обозначаются буквой L). Продолжительность полного пути (t L) определяется как сумма продолжительностей работ, лежащих на этом пути; • предшествующие пути – ведут от исходного события к рассматриваемому событию, их обозначают L1,j; • последующие пути – ведут от конечного события данной работы к завершающему событию. Такие пути обозначаются Lj,k; Критический путь (Lкр) – это полный путь, имеющий наибольшую продолжительность (t Lкр) из всех полных путей. Продолжительность такого пути определяет продолжительность всего комплекса работ. Для сетевого графика на рис.1 критический путь проходит через работы а, в, ж, к, л и составляет 16 ед. (3+5+2+4+2). На сетевом графике может быть несколько критических путей. Работы, составляющие критический путь, называются критическими. На графике их обычно выделяются жирной линией. Тема 2. Правила и методики построения сетевых графиков 1. Правила построения сетевого графика Построение сетевого графика заключается в правильном соединении между собой работ-стрелок с помощью событий-кружков. При этом правильность соединения стрелок заключается в следующем. - каждая работа в сетевом графике должна выходить из события, которое означает окончание всех работ, результат которых необходим для ее начала. - событие, означающее начало определенной работы не должно включать в себя результаты работ, завершение которых не требуется для начала этой работы. График строится слева направо, и каждое событие с большим порядковым номером должно быть расположено правее предыдущего. Стрелки, изображающие работы, должны располагаться слева направо. Построение графика начинается с изображения работ, не требующих для своего начала результатов выполнения других работ. Такие работы можно назвать исходными, так как все остальные работы комплекса будут выполняться только после их полного выполнения. В зависимости от специфики планируемого комплекса, исходных работ может быть несколько, а может быть только одна. При размещении исходных работ необходимо учитывать, что на сетевом графике, должно быть только одно исходное событие. На рис.2 представлены примеры построения начала сетевого графика: рис.2 (А) – для варианта с одной исходной работой (работа а), рис.2 (Б) – для варианта с тремя исходными работами (а,б,в). Рис. 2. Пример построения начала сетевого графика В процессе дальнейшего построения сетевого графика необходимо придерживаться следующих правил. 1. Если работа «г» должна выполняться только после выполнения работы «а», то на графике это изображается в виде последовательной цепочки работ и событий (рис. 3). Рис. 3. Изображение последовательно выполняемых работ 2. Если для выполнения работ «г» и «е» необходим результат одной и той же работы, например «в», то график должен иметь следующий вид (рис. 4). Рис. 4. Изображение работ выполняемых после одной и той же работы 3. Если для выполнения одной или нескольких работ (например – «е») необходим результат двух или нескольких работ (например «в» и «г»), то график будет иметь следующий вид (рис. 5). Рис. 5. Изображение работы выполняемой после нескольких работ 4. Если для выполнения одной или нескольких работ (например «г» и «е») необходим результат лишь некоторой части другой работы (например «а»), то эта работа разбивается на час­ти таким образом чтобы первая ее часть (например, «a1») выполнялась до получе­ния результата, необходимого для начала первой работы («г»), а вторая и последующие части («a2», «a3» и т.д. – оставшаяся часть работы «a»), выполнялись параллельно со второй работой («е») и последующими (рис. 6). Рис. 6. Изображение работ выполняемых после частичного выполнения работы 5. Два соседних события могут объединяться лишь одной работой. Для изображения параллельных работ вводятся промежуточное событие и фиктивная работа (рис. 7). Рис. 7. Изображение работ имеющих одно начальное и конечное событие 6. Если выполнение какой-либо работы (например, «е») возможно только после получения совокупного результата двух или более параллельно выполняемых работ (например, «в» и «г»), а выполнение другой работы (например, «д») – после получения результата только одной из них (например, «в»), то в сетевом графике необходимо ввести дополнительное событие и фиктивную работу (рис. 8). Рис. 8. Использование фиктивной работы 7. В сети не должно быть «тупиков», т.е. промежуточных событий, из которых не выходит ни одна работа (например, событие №7 на рис. 9). Также не должно быть «хвостов», т.е. промежуточных событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (например, событие №2 рис. 9). Рис. 9. «Хвосты» и «тупики» на сетевом графике 8. В сети не должно быть замкнутых контуров, состоящих из взаимосвязанных работ, создающих замкнутую цепь (например, цепочка работ «д», «г» на рис. 10 (А)). Данная ситуация скорее всего свидетельствует об ошибке при составлении перечня работ и определении их взаимосвязей. В таком случае необходимо проанализировать исходные данные и в зависимости от сделанных по итогам анализа выводов, либо перенаправить работу создающую цикл в другое событие (если работам, начинающимся в этом событии требуется ее результат, или если она является частью общего результата), либо совсем исключить ее из комплекса (если выявлено, что ее результат не требуется). На рис. 10 (Б) представлена ситуация когда работа «г» является частью общего результата. Рис. 10 (А). Пример цикла на сетевом графике Рис. 10 (Б). Устранение цикла на сетевом графике 1. Каждая работа в сетевом графике должна определяться однозначно, только ей присущей парой событий – не должно быть событий с одинаковыми номерами. 2. На графике не должно быть фиктивных работ, которые дублируют информацию других работ. Например, работа, соединяющая события №5 и 6 на рис. 11 (А) дублирует работу «ж», работа, соединяющая события №2 и 4 дублирует работу, соединяющую события №2 и 3. Рис. 11. Неправильное использование фиктивных работ 3. Форма графика должна быть простой, без лишних пересечений. Большинство работ следует изображать горизонтальными линиями. Чаще всего графики строят от исходного события к завершающему. Сначала сетевой график строят в черновом варианте, при этом главное – не внешний вид сети, а логическая последовательность выполнения работ. Затем проводится графическое упорядочение сети для уменьшения числа взаимно пересекающихся работ. 2. Нумерация сетевого графика Для правильной нумерации событий поступают следующим образом: нумерация событий начинается с исходного события, которому дается номер 0. Из исходного события (0) вычеркивают все исходящие из него работы, на оставшейся сети вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа. Этому событию дается номер 1. Затем вычеркивают работы, выходящие из события 1, и вновь находят на оставшейся части сети событие, в которое не входит ни одна работа, ему присваивается номер 2, и так продолжается до завершающего события. Пример нумерации сетевого графика показан на рис. 11. Рис. 12. Порядок нумерации сетевого графика Тема 3. Методы расчета параметров сетевого графика 1. Параметры сетевых графиков При расчете параметров сетевого графика используется следующее кодирование элементов i – код начального события данной работы; j – код конечного события дан­ной работы; i-j – код данной работы; h-i – код работы, предшествующей работе i-j; h – код события, предшествующего работе i-j; k – код события, последующего данной работе; j-k – код работы, последующей рабо­те i-j. Y, С – коды соответственно начального и конечного событий. На сетевом графике рассчитывают следующие параметры: tpi – ранний срок свершения события i; tпi – поздний срок свершения события i; Pi – резерв времени события i; tрн ij – раннее начало работы i,j; tро ij – раннее окончание работы i,j; tпн ij – позднее начало работы i,j; tпо ij – позднее окончание работы i,j; Рп ij – полный резерв времени рабо­ты i,j; Рс ij – свободный резерв времени работы i,j; t L – продолжительность пути. Указанные параметры могут быть рассчитаны тремя методами: аналитическим, графическим или табличным. Более подробно рассмотрим аналитический и графический методы. 2. Аналитический метод расчета параметров СГ Расчет параметров осуществляется по следующим формулам: 1) Ранний срок свершения события tpj – время, необходимое для выполнения всех предшествующих этому событию работ. Так как предшествующие работы лежат на предшествующих путях, то tpj – это длительность максимального предшествующего пути. tpj = t L(Y ÷ j)max, или по другому: tpj = (tpi + tij)max (1) Наиболее ранний срок свершения исходного события принимается равным нулю. 2) Поздний срок свершения события tпi – срок, превышение которого вызовет аналогичную задержку завершающего события. Следовательно, после свершения события должно оставаться достаточно времени для выполнения всех работ последующих за этим событием. Так как, время необходимое для выполнения всех последующих работ равно продолжительности максимального последующего за этим событием пути, то поздний срок свершения события – это разность между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального последующего пути. tпi = t Lкр - t L(i ÷ C)max или tni = (tnj - tij)min (2) 3) Резерв события – максимальное время, на которое можно задержать событие, не вызывая задержки наступления завершающего события – определяется как разность между ранним и поздним сроками свершения данного события: Pi = tпi – tрi (3) События критического пути не располагают резервами времени. 4) Ранний срок начала работы tрнij наибольшая суммарная продолжительность работ от исходного события до определяемой работы – совпадает с ранним сроком свершения предшествующего события. tpнij = tpi (4) 5) Ранний срок окончания работы tроij равен сумме раннего срока свершения предшествующего события и продолжительности работы. tpoij = tpi + tij (5) 6) Поздний срок начала работы tпнij это наиболее поздний из допустимых моментов начала данной работы, при котором еще возможно выполнение всех последующих работ в установленный срок, определяется как разность ее позднего окончания и продолжительности: tпнij = tnj - tij (6) 7) Поздний срок окончания работы tпoij – равен позднему началу последующей работы j,k, и позднему сроку последующего события. tnoij = tnj (7) 8) Полный резерв времени работы – это максимальное время, на которое можно задержать начало работы или увеличить ее продолжительность, не вызывая задержки наступления завершающего события. Определяется как разность между поздним сроком свершения конечного события данной работы и суммой продолжительности работы и раннего срока свершения начального для данной работы события: Рп ij = t Lкр - t L(Y ÷ C)ijmax = tпj - (tpi + t ij) (8) Если на работе использовать ее полный резерв, то у других работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через эту работу, резервы исчезнут. У работ, не лежащих на максимальном пути, проходящем через эту работу, резерв уменьшится на величину полного резерва. 9) Свободный резерв времени работы – это максимальное количество времени, на которое можно перенести окончание работы без изменения раннего начала последующих работ. Он определяется как разность ранних сроков последующего и предшествующего событий и продолжительности работы: Рс ij = tрj - tpi - t ij (9) Работы критического пути не располагают резервами. Резерв пути – это разница между продолжительностью критического пути и продолжительностью любого другого пути: Р L = t Lкр - t L (10) Чем короче путь по сравнению с критическим, тем больше у него полный резерв времени, который показывает, насколько в сумме может быть увеличена продолжительность всех работ, принадлежащих данному пути, без существенного изменения общего срока выполнения всего комплекса работ. Критический путь резервами не располагает. 2. Графический метод расчета параметров СГ Данный метод предусматривает расчет параметров непосред­ственно на сетевом графике. Для этого все кружки (события) делятся на 4 сектора (рис. 17). В нижних секторах проставляются коды событий; в левых секторах в процессе расчета записывают­ся ранние сроки свершения событий (tpi); в правых – поздние сроки свершения событий (tпi); в верхних секто­рах – резервы сверше­ния событий (Pi). Рис. 17. Пример расчета сети графическим способом Расчет ранних сроков свершения событий ведется сле­ва направо, начиная с исходного события, и заканчивается за­вершающим событием. При этом ранний срок свершения исходного события принимается равным нулю (tpi = 0). Ранний срок свершения j-го события определяется по формуле (1). Если в j-е событие входит одна работа, то tpj = tpi + tij (например, для события №2 tp2 = 0 + 2 = 2). Если j-му событию предшествует несколько работ, то tpj = max(tpi + tij). Например, для события №5 максимальное значе­ние равно 8 (tp5 = макс (tp3 + t3-5 ; tp2 + t2-5; tp4 + t4-5) = (8 + 0; 4 + 2; 2 + 3 = 8). Таким образом, расчет ведется до завершающего события. Ранний срок свершения последнего события определяет продолжительность критического пути и срок выполнения всего комплекса работ. Расчет поздних сроков свершения событий ведется справа налево, начиная с завершающего события и заканчивает­ся исходным. Поздний срок свершения завершающего события совпадает с ранним сроком его свершения. Например, tп6 = tр6 = 12 (рис. 17). Это значение записывается в правом секторе завер­шающего события. Поздний срок свершения i-го события определяется по формуле (2) . Это значение записывается в правом секторе i-го события. Если из i-го события выходит не­сколько работ, то выбирается минимальное значение. Например, для события №3минимальное значе­ние равно 8 (tp3 = мин (tp6 - t3-6; tp5 + t3-5) = (12 – 4; 10 – 0 = 8)) (рис. 17). Таким образом, расчет ведется до исходного события. Резервы времени на свершение событий определяются по формуле (3) и записываются в верхний сектор события (кружка). После расчета ранних и поздних сроков свершения событий по формулам (8) и (9) рассчитываются полные и свободные резервы работ. Полученные значения записываются в квадратных скобках возле обозначения и продолжительности работы (см. рис. 17). Все события, которые не имеют резер­вов времени (Pi = 0), лежат на критическом пути. Однако если работа соединяет два события не имеющих резервов это не обязательно свидетельствует о том, что она относится к критическому пути. Однозначным свидетельством принадлежности работы к критическому пути является отсутствие у нее полного резерва. В рассматриваемом примере (рис. 17) критический путь проходит через работы «а» - «в» - «з». Его длительность составляет 12 (3 +5 +4), что совпадает с ранним сроком последнего события. 4. Табличный метод расчета параметров СГ Для расчета параметров сетевого графика этим методом составляется таблица, число строк в которой соответствует числу работ. Таблица включает в себя следующие столбцы: 1. Обозначение работы; 2. Обозначения непосредственно предшествующих работ; 3. Обозначения непосредственно следующих работ; 4. Продолжительность выполнения работы; 5. Раннее время начала выполнения работы; 6. Позднее время начала выполнения работы; 7. Раннее время окончания выполнения работы; 8. Позднее время окончания выполнения работы; 9. Полный резерв времени работы; 10. Свободный резерв времени работы; 11. Независимый резерв времени работы. Таблица 9 Расчет параметров сетевого графика табличным методом Работа непосредственно предшествующие работы непосредственно следующие работы tij tрн ij tпн ij tро ij tпн ij Рп ij Рс ij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A – D, E 4 4 4 B – H, I, J 7 7 7 14 7 7 C – F, G 2 20 2 22 20 D A M 8 4 18 12 26 14 14 E A H, I, J 10 4 4 14 14 F C K, L 7 2 22 9 29 20 8 G C N 6 2 25 8 31 23 11 H B, E M 12 14 14 26 26 I B, E – 6 14 30 20 36 16 16 J B, E K, L 3 14 26 17 29 12 K F, J – 4 17 32 21 36 15 15 L F, J N 2 17 29 19 31 12 M D, H – 10 26 26 36 36 N G, L – 5 19 31 24 36 12 12 Исходная информация, связанная с описанием топологии сетевой модели, содержится в столбцах (1), (2) и (4). Суть табличного метода расчета временных параметров сетевой модели состоит в последовательном заполнении остальных столбцов данной таблицы. Алгоритм табличного метода предусматривает выполнение следующих последовательных шагов. [1] ШАГ 1. Определение индексов непосредственно следующих работ. Рассматриваем работу с индексом [i]. Непосредственно следующие за ней работы – это те работы, для которых работа [i] является непосредственно предшествующей. Следовательно, индексы непосредственно следующих работ – это индексы тех работ, у которых в столбце (2) содержится индекс работы [i]. ШАГ 2. Определение раннего времени начала и раннего времени окончания работ. Определение раннего времени начала и раннего окончания работ, т.е. заполнение столбцов (5) и (7) таблицы должно осуществляться одновременно, т.к. время начала одних работ зависит от времени окончания других. Заполнение указанных столбцов осуществляется последовательно от начала сетевой модели к ее концу, т.е. сверху вниз. При этом действуют следующие правила: • Раннее время окончания рассматриваемой работы равно раннему времени ее начала (из столбца (5)) плюс продолжительность работы (из столбца (4)). • Раннее время начала выполнения работы равно 0, если данной работе непосредственно не предшествует ни одна из работ сетевой модели, • Раннее время начала работы равно максимальному раннему времени окончания среди всех непосредственно предшествующих ей работ (из столбца (7)). Продолжительность критического пути равна максимальному значению в столбце (7). ШАГ 3. Определение позднего времени окончания и позднего времени начала работ. Определение позднего времени окончания и позднего начала работ, т.е. заполнение столбцов (6) и (8) таблицы должно осуществляться также одновременно, т.к. время начала одних работ зависит от времени окончания других. Заполнение указанных столбцов осуществляется последовательно от конца сетевой модели к ее началу, т.е. снизу вверх. При этом действуют следующие правила: • Позднее время начала рассматриваемой работы равно позднему времени ее окончания (из столбца (8)) минус продолжительность работы (из столбца (4)). • Позднее время окончания выполнения работы равно продолжительности критического пути, если за данной работой нет ни одной непосредственно следующей работы (из столбца (3)) сетевой модели, • Позднее время окончания равно минимальному позднему времени начала среди всех непосредственно следующих за данной работой работ (из столбца (6)). Шаг 4. Определение полного резерва времени выполнения работы. Полный резерв времени работы [i] находится как разность значений ее позднего и раннего времени окончания (соответственно, столбцы (8) и (7)), либо как разность значений ее позднего и раннего начала выполнения (соответственно, столбцы (6) и (5)). Шаг 5. Определение свободного резерва времени выполнения работы. Свободный резерв времени работы [i] определяется как разность между значением раннего времени начала любой из непосредственно следующих за ней работ и суммой раннего времени начала работы [i] и ее продолжительности. 5. Расчет временных параметров работ с помощью ЭВМ Методология применения СПУ достаточно хорошо проработана и широко освещена в научной литературе. Однако применение данных методов для комплексов, состоящих более чем из пятидесяти работ, является трудоемким и требует использования ЭВМ и специальных прикладных программ (ПП). Количество же таких программных продуктов, в настоящее время, является ограниченным. Большинство из них реализованы как дополнительные модули в рамках корпоративных информационных систем крупных компаний и не распространяются на свободном рынке как самостоятельный продукт. Наиболее доступными и универсальными ПП, позволяющими эффективно решать задачи календарного планирования и управления ресурсами, являются Microsoft Project и Spider Project. Однако данные ПП имеют высокую стоимость, требуют навыков работы с ними и больше подходят для крупных организаций, осуществляющих одновременно несколько проектов, включающих несколько сотен этапов. По нашему мнению, при планировании комплексов работ в несколько десятков операций вполне можно ограничиться использованием средств широко распространенного редактора электронных таблиц MS Excel. Нами предлагается несколько модифицированная методика, описанного выше табличного метода расчета параметров, которую достаточно легко можно реализовать в среде электронных таблиц MS Excel. Особенностью данной методики является то, что при ее использовании нет необходимости строить сетевой график комплекса работ, достаточно знать последовательность их выполнения. Представленную методику рассмотрим на условном примере (фрагмент исходных данных – Рис. 18). Для лучшего понимания данной методики рекомендуется самостоятельно провести все указанные ниже действия. Рис. 18. Исходные данные для планирования (фрагмент) Прежде всего, необходимо рассчитать сроки свершения работ комплекса. Как уже было сказано ранее, у каждой работы комплекса может быть ранний срок начала, ранний срок окончания, поздний срок начала и поздний срок окончания. С помощью MS Excel указанные параметры можно рассчитывать используя следующий алгоритм. На рабочем листе MS Excel формируется матрица взаимосвязи работ. В заголовках строк и столбцов матрицы приводятся номера работ. На пересечении соответствующих строк и столбцов для каждой работы цифрой «1» обозначаются предшествующие работы (Рис. 19). Рис. 19. Матрица взаимосвязи между работами (фрагмент) Расчет ранних сроков начала и окончания работ производится с помощью матрицы ранних сроков (Рис. 20). Рис. 20. Матрица ранних сроков свершения работ (фрагмент) В ячейку B30 записывается значение «0» (начало отсчета). Для того чтобы определить максимальный из возможных сроков начала работы №2, исходя из ранних окончаний предыдущих работ (E31:AA31), в ячейку B31 вбивается формула «=МАКС(E31:AA31)». Далее эта формула копируется и вставляется во все ячейки области «Ранние начала работ» (B31:B52). В область ячеек «Продолжительность» (С30:С52) вводятся ссылки на соответствующие ячейки исходных данных (Рис. 18 - G2:G24). В ячейку D30 вбивается формула «=C30+B30», которая затем копируется во все ячейки области «Ранние окончания работ» (D30:D52). Полученные в этих ячейках значения необходимо продублировать в области ячеек Е28:АА28. В ячейке D52 будет получен срок окончания самой последней работы, который и будет определять продолжительность всего комплекса. В ячейку E30 вписывается формула «=ЕСЛИ(E4=0;"";E$28)», которая затем копируется во все ячейки области «Ранние окончания предыдущих работ» (E30:АА52). Эта формула определяет ячейки матрицы взаимосвязи между работами (Рис. 19), имеющие значение «1», и вставляет в соответствующие ячейки области «Ранние окончания предыдущих работ» необходимые значения из области ячеек Е28:АА28. Расчет поздних сроков начала и окончания работ производится с помощью матрицы, представленной на Рис. 21. В ячейку D78 записывается ссылка на ячейку D52 (срок свершения всего комплекса – Рис. 20), которая будет началом отсчета. В ячейку Е54 вбивается формула «=МИН(E56:E78)». Далее эта формула копируется и вставляется во все ячейки области «Минимальные поздние начала следующих работ» (Е54:АА54). Данная формула определяет минимальный из всех возможных поздних сроков начала каждой работы. Полученные в этих ячейках значения необходимо продублировать в области ячеек «D56:D78». Значения в области ячеек «Поздние начала работ» (B56:B78) определяются путем вычитания продолжительностей работ из их поздних окончаний (для ячейки B56 «=D56-C56»). Рис. 21. Матрица поздних сроков свершения работ (фрагмент) В E56 вписывается формула «=ЕСЛИ(E4=0;"";$B56)», которая копируется во всю область E56:АА78. В результате соответствующим ячейкам этой области присваиваются необходимые значения из B56:B78. Разность между поздним и ранним сроком начала или окончания работы определяет ее резерв, т.е. время на которое можно задержать ее окончание не вызвав задержку срока выполнения всего комплекса. Тема 4. Методы оптимизации сетевого графика 1. Оптимизация СГ по критерию время Успех выполнения сложных комплексов работ зависит, прежде всего, от четкой координации работ во времени, а также от того, насколько правильно и рационально распределены необходимые для достижения поставленной цели материальные, трудовые и финансовые ресурсы. Приведение параметров сводного сетевого графика в соответствие с заданными ограничениями производится в два этапа. На первом Этапе составленный сетевой график рассматривается и согласовывается со всеми подразделениями — исполнителями и поставщиками. При этом еще раз проверяются технологические и организационные связи, правильность сшивания частных графиков и сводного сетевого графика, который включает в себя весь комплекс работ по данной разработке, выполняемых всеми подразделениями. После расчета всех временных параметров сводного сетевого графика и определения длительности критического пути получается первоначальный вариант исходного сетевого плана комплекса работ. Второй этап сетевого планирования и управления заключается в корректировке сводного сетевого графика, т.е. в приведении его в соответствие с заданными сроками и ограниченными ресурсами подразделений, участвующих в разработке. Процесс корректировки сетевого графика называют его оптимизацией, что подразумевает последовательное улуч­шение сети с целью достижения минимального (директивного) срока выполнения комплекса или распределения всех видов ресурсов, с учетом имеющихся ограничений. Чаще всего сетевые графики сначала оптимизируются по параметру «время», без учета ограничений, а по достижении заданного срока приступают к коррек­тированию распределения ресурсов. Очередность корректировки по отдельным видам ресурсов устанавливается в зависимости от значения каждого из них в конкретных условиях. Чаще всего оптимизация ресурсов проводится по следующим критериям: 1. Время – трудовые ресурсы; 2. Время – мате­риальные ресурсы; 3. Время – денежные затраты. Оптимизация сетевого графика по времени предполагает уменьшение общей длительности выполнения комплекса работ до минимальной величины, или до величины, соответствующей директивно заданному сроку. Так как общая продолжительность комплекса определяется длиной кри­тического пути, то оптимизация по времени предполагает, прежде всего, уменьшение продолжительности критических работ. Существует несколько путей оптимизации сетевых графиков по времени: • Увеличение численности персонала при выполнении работ критиче­ского пути за счет использования ресурсов работ некритической зоны, располагающих резервами времени; • Уменьшение продолжительности работ критического пути за счет привлечения дополнительного количества исполнителей, если есть соответствующие ресурсы и позволяет фронт работ; • Совершенствование применяемой базы временных оценок работ, за счет использования новейших достижений научно-технического прогресса и передового опыта при выполнении подобного вида работ; • Разработка мер по разделению некоторых работ на более мелкие процессы, по которым возможно парал­лельное выполнение; • Выявление возможности изменения технологии выполнения отдельных групп работ для оптимизации топологии сетевого графика. • Пересмотр топологии сетевого графика с целью сокращения общей продолжительности выполнения всего комплекса работ. Все приведенные выше пути оптимизации сетевых графиков, требуют либо привлечения внешних ресурсов, либо внешних директивных воздействий и согласований. Оптимизацию сетевого графика за счет внутренних резервов предполагает только первый путь. Он предполагает сокращение продолжительности за счет изменения продолжительности выполнения работ критической зоны и не связан с изменением топологии сети (сетевой график не вычерчивается заново, изменяются лишь временные оценки, проставляемые под стрелками). Остановимся на нем более подробно. Определение количества персонала, которое можно перевести с работ, имеющих резервы времени на работы критического пути возможно тремя способами: 1. Подбор оптимального количества персонала на критической и некритической работе путем последовательного пересчета параметров сетевого графика для нескольких возможных вариантов. 2. Подбор оптимального количества персонала на каждой из работ комплекса с помощью ЭВМ. 3. Использование специальных уравнений, позволяющих приближенно определить количество персонала, которое необходимо перевести с работ, имеющих резервы, на критические работы для формирования на обеих группах работ оптимальной численности. Рассмотрим более подробно 3-й способ. Прежде всего, выбирается пара родственных работ, выполнение которых требует исполнителей одной и той же профессии. Одна из этих работ должна быть критической, другая должна иметь резерв времени. Введем следующие обозначения: Qij – трудоемкость работы i-j (объем работ); Иij – число исполнителей задействованных на работе i-j; tij – продолжительность работы i-j. Тогда: tij = Qij / Иij , Обозначим за х – число исполнителей, которое необходимо перевести с некритической работы на критическую, за у – число дней, на которые сократится критическая работа. Тогда, для того, чтобы задействовать резерв времени, имеющийся у некритической работы (РПi-j) необходимо решить систему уравнений с двумя неизвестными: – для критической работы; – для некритической работы, В результате сокращения длительности одних работ и увеличения длительности других, при сохранении той же топологии, получают новую сеть, требующую пересчета всех временных параметров. По мере оптимизации графика на нем возникают новые критические пути. В перспективе все пути могут стать критическими. Однако следует учитывать, что при лишении резервов у большинства работ, малейшие сбои в установленном календарном плане, могут вызвать задержки сроков выполнения всего комплекса. Поскольку оптимизация сетевого графика осуществляется за счет частных резервов времени работ, каждая последующая корректировка выполняется в пределах оставшихся частных запасов времени. Абсолютная величина первоначальных частных резервов времени работ постепенно уменьшается и в итоге по отдельным работам может быть полностью исчерпана. После каждой оптимизации производится поверочный расчет всех временных параметров сети: наиболее ранних и наиболее поздних сроков начала и окончания работ; резервов времени работ, используемых для последующей корректировки; длительности критического пути и количества критических работ, возрастаю с каждой оптимизацией. Окончательное решение, отвечающее требованиям соблюдения заданного срока, принципа равнопоточности при выполнении работ на разных участках, наиболее целесообразного распределения всех видов ресурсов, принимается на основе многократного просчета сети. Этот процесс весьма трудоемкий, он сопровождается большим количеством вычислений, поэтому его рекомендуется выполнять на компьютере. Также оптимизацию необходимо проводить при поступлении новой информации о ходе выполнения работ, следовательно, выполнять ее надо в самые сжатые сроки. Прочитывание на ЭВМ нескольких вариантов решений и сравнение их между собой позволяет отыскать наилучший в данных условиях. В ходе корректировки рекомендуется сокращать продолжительность не только критических работ, но и работ, лежащих на подкритических путях, так как последние легко могут стать критическими. При значительном сокращении сроков выполнения критических работ могут возникнуть новые критические пути, также превышающие установленный срок окончания разработки. Уменьшение временных оценок по критическим работам обеспечивается в первую очередь за счет переброски соответствующих ресурсов с ненапряженных работ, характеризуемых значительными резервами времени. Однако такой переброской не следует злоупотреблять, так как работы, лишенные всех своих резервов, станут критическими, и поставленная цель не будет достигнута. Если внутренних ресурсов недостаточно, возможно» следует ставить вопрос о привлечении необходимых ресурсов со стороны. Не следует допускать волевого изменения временных оценок руководителем комплекса работ, так как это неизбежно приведет к дискредитации сетевого плана В результате сокращения продолжительности выполнения одних работ и увеличения продолжительности других (тех, с которых снимают ресурсы) получают новую сеть, требующую проверки всех расчетных параметров при сохранении той же топологии. В стохастических сетевых графиках, характеризуемых той или иной степенью неопределенности, временные оценки изменяют в следующем порядке: в первую очередь пересматривают все три оценки времени (tmin, tн.в., tmax) по критическим работам, имеющим наибольшую величину дисперсии, что указывает на недостаточно высокую точность принятой временной оценки. Не обязательно изменять временные оценки по всем критическим работам. Может оказаться вполне достаточным изменение их только у части работ (критических работ, лежащих в начале пути), чтобы в будущем иметь возможность выполнить эту замену по другим работам, если установленный срок вновь окажется под угрозой срыва. Если не удается в полной мере уменьшить срок выполнения разработки за счет форсирования работ, то прибегают к изменению топологии сетевого графика. Это возможно потому, что отдельные работы могут выполняться различными методами. Многовариантная технология позволяет отыскать новую последовательность производства работ и новые взаимосвязи. Ряд работ, которые ранее планировали выполнять последовательно, при измененной технологии будут выполняться параллельно, что и приведет к сокращению длительности критического пути. Параллельное выполнение работ достигается и расчленением работ большой длительности, что дает возможность последующую работу начать еще до полного окончания предшествующей. Если после всех принятых мер по сокращению продолжительности выполнения всего комплекса работ установленный срок не достигнут, ставится вопрос- об изменении этого срока. Метод планирования, и управления большими комплексами работ только по критерию «время» в современных условиях становится недостаточным. Успех выполнения сложных разработок зависит не только от четкой координации работ во времени, но и от того, насколько правильно распределены необходимые для достижения поставленной цели материальные, трудовые, денежные и другие ресурсы подразделений, осуществляющих эти работы. В отдельных случаях решающим для достижения заданного срока могут быть ограничения по какому-либо виду материала, деталям или конструкциям. Сетевой график при этом следует корректировать в первую очередь по критерию «время — материальные ресурсы. Если же ограничения касаются выделяемых ассигнований, то первоначальную корректировку необходимо производить по критерию «время — денежные затраты». Ввиду отсутствия математического аппарата позволяющего оптимизировать сетевой график по нескольким критериям одновременно (есть разработки только для небольших моделей), приходится выполнять эту операцию последовательно, по каждому ресурсу в отдельности. 2. Оптимизация СГ по критерию человеческие ресурсы После расчета временных параметров и оптимизации по критерию «время» сетевой график подвергается оптимизации по критерию «людские ресурсы», которая позволяет более правильно распределить трудовые ресурсы по календарным периодам времени и обеспечить их постоянной и равномерной нагрузкой. Если в разработке будут заняты исполнители по нескольким специальностям, необходимо распределять численность Чk каждой специальности отдельно и вести расчет их потребности ∑Е е=1 Чk  (где е — количество работ, потребляющих данный ресурс и попадающих в данный период времени) раздельно для всех календарных периодов. Основная схема определения уровня потребных ресурсов сводится к следующему: 1) сетевой график строится на шкале времени, при этом работы изображаются сплошными стрелками в масштабе времени их свершения по наиболее ранним или наиболее поздним срокам свершения (  ;  ;  ;  ), а резервы времени работ второго (  ) или первого (  ) вида изображаются волнистыми линиями; 2) определяется суммарная потребность в трудовых ресурсах  т.е. по периодам времени, по каждой специальности отдельно суммируется число исполнителей в графах, построенных по ранним или поздним срокам. Величину  можно определять как для нескольких, так и для одного сетевого графика Для сетевых графиков с количеством работ до 500 (не более одной специальности на каждой работе) указанные процедуры можно выполнять вручную. Однако применение ЭВМ позволяет учитывать объем потребных ресурсов для сетей с большим объемом и количеством сетей, причем возрастает точность и скорость выполнения этой операции. 3) Перераспределение трудовых ресурсов. Рассмотрим процедуру оптимизации сетевого графика по трудовому ресурсу на простом примере (рис. 4.1, а). Над каждой стрелкой (работой) в этом графике проставляются количества исполнителей, которые затем суммируются по календарным периодам и результаты сравниваются с располагаемым, а под стрелками проставляется продолжительность выполнения каждой работы. Под сетевым графиком строится график потребности людских ресурсов по плановым периодам (рис. 4.1, б). Предположим, требуется определить общее число исполнителей по календарным периодам без разбивки по специальностям. В нашем случае располагаемая численность составляет 8 человек. Если расчетные числа превышают располагаемую численность исполнителей в каждом периоде, производится сдвиг начала работ на более ранние или более поздние сроки в пределах имеющихся резервов времени работ с таким расчетом, чтобы суммарная численность людских ресурсов по календарным периодам не превышала наличную. В, нашем случае имеется превышение численности и недоиспользование исполнителей по отдельным плановым периодам (рис, 4-1, б), Следовательно, сетевой график ч план с точки зрения использования исполнителей работ составлен неудовлетворительно и должен быть скорректирован с учетом имеющихся ограничений. Для этого переместим начало выполнения отдельных работ в пределах имеющихся резервов времени при этом приоритет отдадим работам с наибольшими резервами времени. В частности, переместим работу (1—5) на более раннее ее начало с изменением топологии сетевого графика; начало работ (4—5) и (2—7) — соответственно на величину их резервов времени; выполнение работы (5—7) увеличим с 4 до 6 недель с сокращением численности исполнителей; выполнение завершающей работы (8-9) сократим с 3 до 2 недель с увеличением численности исполнителей.,: После проведенной оптимизации сетевой график и график потребности людских ресурсов приобретут следующий вид (рис. 4.2) Учитывая, что сроки наиболее раннего начала и окончания работ изменились, следует снова пересчитать сетевой график (табл. 4.1). Произведенный расчет показывает, что критический путь сократится на 1 неделю и составит 29 недель, а численность исполнителей по всем плановым периодам не превышает 8 человек, но появились три дополнительные критические работы — (1-2), (2-4) и (4-5). Полученное время выполнения разработки можно рассматривать как минимальное, совместимое с данным уровнем ресурсов, т.е. как приближенное решение поставленной задачи.   а) б) Рис 4.1.Сетевой график (а) и график движения людских ресурсов (б) 3. Оптимизация СГ по критерию финансовые ресурсы; Кроме смещения начала работ некритической зоны при оптимизации сетевого графика по критерию «людские ресурсы» возможно увеличение продолжительности выполнения отдельных работ в пределах имеющихся резервов времени. При этом имеется в виду, что увеличение продолжительности работ до некоторых пределов уменьшает затраты на их выполнение. Таким образом, возникает задача: при найденном критическом пути (tкр использовать резервы времени некритических работ  и  и получить сеть с минимальными денежными затратами на весь комплекс разработки. Можно поставить и обратную задачу: за счет увеличения затрат на работы критического пути сократить , сроки выполнения работ этого пути, а значит, и сроки выполнения всего комплекса работ. Иначе говоря, при попытках эффективного улучшения составленного плана-графика работ неизбежным является введение дополнительно к оценкам сроков и численности исполнителей фактора стоимости работ. При определении стоимости учитываются, естественно, все используемые ресурсы. Этот метод получил название «время — затраты». В США для планирования разработок с учетом фактора стоимости созданы системы PERT-cost,SCANS и др., отличающиеся от систем, использующих только временные показатели (PERT-time, СРМ и др.). Метод «время — затраты» заключается в установлении зависимости между производительностью и стоимостью  работ с целью их оптимизации. Процесс определения затрат, необходимых для выполнения каждой (i-j) работы, начинается после того, как разработан сетевой график и определен критический путь tкр В зависимости от поставленной задачи материальные и трудовые ресурсы планируются на основе общей структуры сети, созданной по системе планирования временных оценок. В то же время сами оценки даются ответственными исполнителями с учетом планируемых ими расстановок работников и использования необходимых средств. В результате оптимизации сетевого графика одновременно с изменением оценок времени могут быть изменены и выделяемые на эти работы ресурсы. Для построения графиков «время — затраты» (рис. 4.3) на каждую работу задаются: • минимально возможная величина затрат   СМij на выполнение (i-j) работы (при этих затратах (i-j) работа может быть выполнена за нормальное время  tнij ) • минимально возможное время выполнения (i-j) работы  (этому времени соответствуют повышенные размеры денежных затрат  на выполнение (i-j) работы; за пределами  работа выполняться не может). Таким образом, при определении первой пары оценок упор делается на максимальное сокращение затрат, а при определении второй пары — на максимальное сокращение времени. Минимальное время выполнения работы Повышенные затраты Нормальное время выполнения работы Минимальные затраты     Рис. 4.3. График «время — затраты» График с помощью аппроксимирующей прямой, которая проведена между точками, определяемыми каждой парой оценок, позволяет определить размеры увеличения расходов при необходимости сокращения срока выполнения работы или увеличение времени выполнения работы при уменьшении затрат. Искомая величина затрат  необходимых для выполнения(i-j) работы в сокращенное время равна     (4.1) Для оценки величины дополнительных затрат, связанных с ускорением выполнения той или иной работы, используются либо нормативы, либо данные о выполнении аналогичных работ в прошлом. Для каждого вида (i-j)работы рассчитывается и строится свой график, характеризующийся наклоном аппроксимирующей кривой. Используя линейный закон увеличения затрат при сокращении времени для каждого вида (i-j) работы, можно вычислить коэффициент возрастания затрат   (4.2) Например, если минимальная величина затрат на выполнение единицы (i-j) работы составляет 50 000 руб., повышенные затраты равны 100 000 руб., нормальное время выполнения работы 5 дней, а минимальное время — 3 дня, то т.е. сокращение срока выполнения (i-j) работы на 1 день связано в среднем с увеличением затрат на 25 000 руб. Корректировка плана-графика по критерию «время — затраты» производится на основе увеличения длительности некритических работ с учетом для каждой из них величины  и соответствующего им частного резерва времени. Экономию на каждой отдельной (i-j) работе можно рассчитать, взяв произведение  и приращения длительности работы за счет частного резерва времени. Полная экономия равна сумме средств, сэкономленных на каждой (i-j) работе, а полная стоимость всей разработки будет равна разности между ее первоначальной стоимостью и суммарной экономией, полученной в результате оптимизации. Если поставлена задача снизить затраты в целом на всю разработку при сохранении продолжительности критического пути, то необходимо увеличить продолжительность выполнения (i-j) работ, лежащих на некритических путях в пределах имеющихся частных резервов времени, так как уменьшение резервов времени ведет к возрастанию длительности и, как следствие, к снижению затрат. При этом может случиться, что возникнут новые критические пути. Так может произойти в том случае, если будут аннулированы все частные резервы времени. Поэтому необходимо проявлять осторожность при использовании частных резервов времени работ. Последовательное сокращение работ с учетом изменения выделяемых для них ресурсов и увеличение затрат — процесс весьма трудоемкий. Он не приводит к однозначным и надежным решениям, поэтому применим только к простым (укрупненным) сетевым графикам. Для сложных сетевых графиков необходимо использование математических методов оптимизации (в частности алгоритма Келли) и применение ЭВМ.