Основные понятия финансовой математики

1 Основные понятия финансовой математики Проценты(процентные деньги) – это абсолютная величина дохода от предоставления капитала в долг в любой ее форме(выдача ссуды, покупка облигации, учет векселя, продажа товара в кредит и т.д.) Проценты обозначаются букваой I. Величина полученного дохода определяется исходя из: 1. величины вкладываемого капитала P; 2. срока n, на который вкладывается капитал; 3. размера и вида процентной ставки (обозначения i, d, j, f, δ); Наращение основной суммы S происходит за счет присоединения процентных денег к основному капиталу: S = P + I. Коэффициентом наращения называется безразмерная величина, которая показывает, во сколько раз вырос капитал. Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты. Период начисления может быть разбит на интервалы, по прошествии которых происходит начисление процентов. Существует два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из предоставляемого капитала P . Процентная ставка представляет собой отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода(процентов)к сумме имеющегося капитала на начало данного интервала. При антисипативном (предваритальном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала. Сумма процентных денег (дохода) определяется исходя из наращенной суммы. В этом случае процентная ставка представляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемой за определенный интервал, к величине наращенной суммы. Такая процентная ставка называется учетной (в широком смысле). При обоих способах начисления проценты могут быть либо простыми, либо сложными. 1.1 Простые проценты Величина процентной ставки определяется как i = Ii /P , где Ii - сумма процентов за год; P - сумма капитала, предоставляемого в кредит, i - процентная ставка, выраженная десятичной дробью. Для простых процентов доход (interest) за n лет составит I = n · Ir . Формула определения наращенной суммы S = P + I = P + P · i · n = P (1 + n · i), здесь kn · (1 + n · i) коэффициент наращения. Когда срок финансовойсделки не равен целому числу лет, период начисления равен отношению числа дней ∂ функционирования сделки к числу дней в году K, то есть n= ∂ K В этом случае формула наращенной суммы имеет вид   ∂ S =P · 1+ ·i . K На практике применяются три варианта расчета процентов с ипользованием временной базы K. 1. Точные проценты с точным число дней ссуды (“английская практика”). Продолжительность года (временная база) равна 365 (366) дням. Точнoе число дней ссуды ∂ определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. Для подсчета числа дней можно воспользоваться табл.1 Приложения “Порядковые номера дней в году”. 2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (“французская практика”); величина ∂ рассчитывается как в предыдущем случае, а веменная база принимается равной K = 365 дням. 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (“германская практика”). В этом случае год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом и временная база K = 360 дням. При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и деньпогашения ссуды принимают за 1 день. Пример. Банк выдал кредит 50 тыс. руб. 15 января. Срок возврата кредита 12 сентября. Прооцентная ставка установлена в размере 10% годовых. Год невисокосный. Определить сумму, подлежащую возврату. Решение. Наращенную сумму долга S, подлежащую возврату, рассчитаем тремя методами. 1 1. По формуле точных процентов с точным числом дней ссуды. Точное число дней ссуды определим по табл. 1. Порядковый номер 15 января – 15, порядковый номер 12 сентября – 225. Точное число дней ссуды ∂ = 255 − 15 = 240дней.   240 S = 50 · 1 + · 0, 1 ≈ 53, 288 тыс. руб. 365 2. По формуле обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды.   240 S = 50 · 1 + · 0, 1 ≈ 53, 333 тыс. руб. 360 3. По формуле обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды. Приближенное число дней ссуды: январь – 16 дней, февраль, март, апрель, май, июнь, июль 30·7 дней, август – 12 дней. ∂ = 16 + 30 · 7 + 12 − 1 = 237 дней   237 · 0, 1 ≈ 53, 292 тыс. руб. S = 50 · 1 + 360 Рассмотрим случай, когда на различных интервалах начисления процентов применяются различные простые процентные ставки. Наращенная сумма на конец срока определяется следующим образом: ! m X S = P (1 + n1 i1 + n2 i2 + . . . + nm im ) = P 1 + nt it , t=1 где it – ставка прстых процентов в периоде t, nt – продолжительность периода; t = 1,m ; n = m X nt . t=1 Пример. Котракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – ставка 10%, в каждом последующем полугодовая ставка повышается на 1%. Необходимо определить коэффициент наращения за два года. Решение. Находим коэффициент нарщения kH = 1 + m X nt it = 1 + 1 · 0, 1 + 0, 5 · 0, 11 + 0, 5 · 0, 12 = 1, 215. t=1 Обычно к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок от одного года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. На практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты прибегают к начислению процентов на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, то есть происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием, или капитализацией процентов. В этом случае наращенная сумма определяется по формуле S = P (1 + n1 i1 ) (1 + n2 i2 ) · . . . · (1 + nm im ) . где it – процентная ставка в периоде t, nt – продолжительность периода; t = 1,m ; n = m X nt t=1 Пример. 200 руб. положены 1 марта на месячный депозит под 12% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза? Решение. Если начисляются точные прценты, то     31 28 31 S = 200 1 + · 0, 12 1+ · 0, 12 1+ · 0, 12 ≈ 205, 97 руб. 365 365 365 Начисление обыкновенных процентов (германская практика) дает значение наращенной суммы  30 S = 200 1 + · 0, 12 360 2 3 ≈ 206, 06 руб. 1.2 Простые проценты Простая учетная ставка – антисипативный способ начисления процентов. Суть его сводится к тому, что проценты начисляются в начале расчетного периода, при этом за базу (100%) принимается сумма погашения долга. Введем обозначения: d% - простая годовая учетная ставка; d - относительная величина этой ставки; Dr - сумма прцентных денег за год; D - сумма процентных денег за период, равный n, тогда простая учетная ставка Dr Dr · 100%; d = , d% = S S здесь S - наращенная сумма. Сумма процентных денег за 1 год Dr = d·S, за период n сумма процентныхденкг составит D = n·Dr = n·d·S. Тогда наращенна сумма будет равна S = P + D; S = P + n · d · S; S − n · d · S = P ; P = S (1 − n · d) ; отсюда P – 1 − nd основная формула для простых антисипативных процентов или S= S= P . ∂ 1− ·d K Здесь 1/(1 − nd) – коэффициент наращения. Пример. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что при начислении процентов используется простая учетная ставка и временная база K = 360дням? Решение. Первоначальная сумма долга – это величина P   180 P = 310 1 − · 0, 16 ≈ 285, 54 руб. 360 Дисконт равен: D = S − P = 310 − 285, 54 ≈ 24, 46руб. Задачи для самостоятельного решения Задача1. За срок займа сумма обыкновенных процентов по банковскому векселю составила 15 тыс. руб. Определить сумму точных процентов при условии, что год високосный, используя прямое и обратное соотношение обыкновенных и точных процентов. Задача2. Годовая ставка при начислении обыкновенных процентов по депозитному 30 - дневному сертификату номиналом 100 тыс. руб. равна 10%. Год високосный. Определить: 1. размер годовой ставки при начислении точных процентов , обеспечивающий доход, равный коммерческим процентам(двумя способами - используя прямое и обратное соотношение обыкновенных и точных процентов). 2. сумму обыкновенных и точных процентов, выплаченных при погашении сертификата. Задача3. Переводный вексель выдан на сумму 500 тыс. руб. с уплатой 19.12. Векселедержатель учел вексель в банке 25.10 по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную веквеледержателем, и размер дисконта в пользу банка. Задача4. Сберегательный сертификат выдан на 180 дней под 60% годовых с погашением по 50 тыс. руб. Год не високосный. Определить доход держателя сертификата. Задача5. На какой срок должен быть выпущен сберегательный сертификат номиналом 10 тыс. руб., если сумма погашения при 8% годовых составляет 10,5 тыс. руб? Год не високосный. Задача6. Сберегательный сертификат номиналом 10 тыс.руб. выдан на 120 дней с погашением в сумме 12 тыс. руб. Определить: 3 1. учетную ставку 2. процентную ставку За временную базу принять 360 дней. 1.3 Сложные проценты Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов довавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Механизм наращения первоначального капитала по схеме сложных процентов называется капитализацией. Как и в случае простых процентов, существует два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный. Опишем декурсивный способ расчета сложных процентов. В этом случае начисление проценов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения. В конце первого периода (года) наращенная сумму равна: S1 = P + P i = P (1 + i) . В конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму 2 S2 = P (1 + i) + P (1 + i) i = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i) и так далее, то есть в конце n-го периода (года) наращенная сумма будет равна n Sn = P (1 + i) . n Величина (1 + i) является коэффициентом наращения сложных процентов. Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно нацти смешанным методом S = P (1 + i) [n] (1 + {n}i) , где [n] – целая часть числа n; {n} – дробная часть числа n. В крнтрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. В этом случае указывается годовая ставка j (номинальная). Тогда для начисления процентов m раз в году используется формула mn  j . S =P 1+ m Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов призводится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена по смешанному методу  ml   j j S =P 1+ · 1+a· , m m где ml – число полных периодов начисления процентов, a – дробная часть одного периода начисления процентов. Пример. На сумму 600 руб. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определите величину наращенной суммы двумя методами. Решение. Общее число периодов начисления процентов составит: ml = 4, a = 0.667. По формуле S = mn P (1 + j/m) наращенная сумма будет равна 4,667  0, 12 = 688, 75 руб. S = 600 1 + 4 Используя смешанный метод начисления, наращенная сумма составит:  4   0, 12 0, 12 S = 600 1 + · 1 + 0, 667 · = 688, 81 руб. 4 4 Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле: S = P (1 + i1 ) n1 (1 + i2 ) n2 · . . . · (1 + im ) nm =P · m Y t=1 4 nt (1 + it ) , Pm где it – процентная ставка в периоде t, nt – продолжительность периода; t = 1,m ; n = t=1 nt . Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу при использовании простых антисипативных процентов. В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле S=P · 1 , 1−d во втором периоде она будет равна S=P · 1 1 1 , · =P · 1−d 1−d (1 − d)2 и так далее, в n-ом периоде S=P · 1 , (1 − d)n где 1/(1 − d)n – коэффициент наращения при вычислении сложных антисипативных процентов; d – учетная ставка сложных процентов; n – число лет. При наращении сложных процентов по учетноц ставке несколоко раз в году (m раз) наращенная сумма определяется по формуле 1 mn , S=P · f 1− m где f – номинальная учетная ставка, m – число период начисления процентов в течение года, n – число лет. Пример. Срочный вклад в размере 800 руб. положен в банк на 2,5 года. По условиям договора начисления процентов производяится 1 раз в году по сложной ставке d = 15% годовых. Определить наращенную сумму. Решение. Наращенная сумма составит: 800 S= 5 = 1181, 36 руб. 0, 15 1− 2 1.4 Непрерывные проценты Начисление процентов на первоначальный капитал может производиться столь часто, что этот прцесс можно рассматривть ка непрерывный. При дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как  mn j S =P 1+ . m Рассмотрим предел S при m, стремящемся к бесконечности. Тогда наращенная сумма равна  jn  mn  m j j j   jn S = lim P 1 + = P · lim  1 +  = Pe m→∞ m→∞ m m Величина ejn – коэффициент наращения при непрерывной капитализации процентов. Если ставку непрерывных процентов j (силу роста) обозначить через σ, то величину наращенной суммы запишем в следующем виде: S = P eσn Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости между собой. Из равенства коэффициентов наращения n (1 + i) = eσn следует, что σ = ln (1 + i) ; i = eσ − 1. Пример. На первоначальный капитал в сумме 500 руб. начисляются сложные проценты – 8% годовых в течение 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно. 5 Решение. Найдем сначала силу прироста σ, а потом наращенную сумму S σ = ln (1 + i) = ln 1, 08 = 0, 0769611 ; S = P eσn = 500 · e0,0769611 ≈ 680, 25 руб. В практических финансово-кредитных операциях непрерывные проценты применяются крацне редко. Они имеют теоретическое значение, используются в анализе сложных финансовых проблем при обосновании и выборе инвестиционных проектов. 2 Дисконтирование и его сущность. В финансовой практикечасто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P . В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется. Величину P , найденную дисконтированием наращенной суммы S, называют современной стоимостью. С помощью дисконтирования в финансовых операциях учитывается фактор времени. Разность S − P можно рассматривать на только ка проценты, начисленные на P , но и как дисконт D с суммы S. D = S − P . Математическое дисконтирование Запишем формулу наращения по простой ставке следующим образом P = S , 1 + ni Дробь kd = 1/(1 + ni) –коэффициент дисконтированиф по простым процентам. Пример. Владелец векселя номинальной стоимости 400 руб. и сроком обращения один год предъявил его банку – эмитенту для учета за 90 дней до даты погашения. Банк учел его по ставке 12% годовых (проценты простые). Определить дисконтированную величину и величину дисконта, временная база K = 360. Решение. 400 = 388, 35 руб.– P = 90 1+ · 0, 12 360 сумма, полученная влыдельцем векселя в результате его учета. Разность S − P = 400 − 388, 35 = 11, 65руб. является дисконтом. Банковское дисконтирование Банковское дисконтирование основано на использовании учетной ставки d, то есть проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды. При банковском дисконтировании современная стоимость P величины S определяется по формуле: P = S (1 − n · d) ; D = S · n · d . Рассмотрим предыдущий пример. По условию S = 400, ∂ = 90, K = 360, возьмем учетную ставку d = 12%. Тогда дисконтированная величина   90 P = 400 1 − · 0, 12 = 388 руб. 360 Величина дисконта D = S − P = 400 − 388 = 12 руб. В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещают начисление процентов по ставке i и дисконтирование по ставке d. В этом случае наращенная величина ссуды будет определяться по формуле S = P (1 + n · i) (1 − n0 · d) , где n – общий срок платежного обязательства.; n0 – срок от момента учета обязательства до даты погашения долга, то есть n0 < n. Пример Долговое обязательство в сумме 2 000 руб. должно быть погашено через 90 дней с процентами 10% годовых. Владелец обязательства учел его в банке за 30 дней до наступления срока по учетной ставке 12% годовых. Найти полученную после учета векселя сумму и величину дисконта.    30 90 · 0, 10 1− · 0, 12 = 2029, 50 руб. S = 2000 1 + 360 360 6 Дисконтирование по сложной процентной ставке и по сложной учетной ставке Современная стоимость величины S величина P находится в случае сложной процентной ставки P = P −n = S · ki, n , n = S (1 + i) (1 + i) −n где ki, n = (1 + i) –дисконтный коэффициент. Значения этого коэффициента табулированы (см. Приложение 3). Величина дисконта   −n D = S − P = S 1 − (1 + i) . При начислении процентов m раз в году получим P =S· −mn kj/m, mn = (1 + j/m) Величина дисконта  −mn j 1 mn = S · 1 + = S · k j , mn . m m j 1+ m – дисконтный коэффициент. Его значение можно найти, используя Приложение №3.   −mn j . D =S−P =S 1− 1+ m Пример. Определить современную стоимость 20 тыс. руб., которые должны быть выплачены через 4 года. В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по 8% годовых а) ежегодно; б) ежеквартально. Решение. Если начисление процентов производилось 1 раз в конце года, то современная величина 20 тысяч составляет P = 20(1 + 0, 08)−4 = 20 · 0, 7350 = 14, 70 тыс.руб. Если же начисление процентов производилось ежеквартально, то  0, 08 P = 20 1 + 4 −4·4 = 20 · 0, 7284 = 14, 57 тыс. руб. В учетных операциях широко применяется сложная учетная ставка. В этом случае дисконтирование осуществляется по формуле P = S(1 − d)n . Дисконт начисляется как разность n D = S − P = S (1 − (1 − d) ) . При дисконтировании m раз в году используется номинальна учетна ставка. Расчет дисконтированной величины производится по формуле  mn f P =S 1− . m Дисконт равен   f D =S 1− 1− m mn  . Пример. Долговое обязательство на сумму 6 тыс. руб. со сроком погашения через 2 года было передано в банк для учета. Дисконтирование призводилось по ставке f = 9% при m = 4. Определить величину дисконта. Решение. На руки владелец обязательства получит сумму  2·4 0, 09 P =6· 1− = 5, 0013 тыс. руб. 4 Величина дисконта D = S − P = 0, 9987 тыс. руб. Задачи для самостоятельного решения. 7 Задача8 По муниципальной облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: первый год – 60%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5%. Требуется: 1. определить наращенную стоимость облигации по простой и учетной ставкам; 2. составить план наращения первоначальной стоимости по простым ставкам; 3. рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам; 4. составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам; 5. построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам на базе процентной и учетной ставкам; 6. проанализировать доходность вариантов наращения стоимости с позиций кредитора (держателя облигаций) и заемщика (эмитента облигаций). Задача9 Вексель, выданный на 120 дней, с обязательством уплатить 50 тыс. руб., учитывается по ставке 8% Определить приведенную величину наращенной стоимости и размер дисконта при математическом дисконтировании и коммерческом учете. Задача10 Вексель на 100 тыс. руб., с обязательством уплатить через 180 дней с 8 простыми процентами годовых учтен банком за 60 дней до наступления срока платежа по учетной ставке 6%. Определить сумму, полученную векселедержателем, и размер дисконта в пользу банка Задача11 Сберегательный сертификат номиналом 30 тыс. ркб. под 60% годовых выдан на 180 дней и учтен за 120 дней до даты погашения по учетной ставке 75%. Определить: 1. сумму, полученную держателем сертификата, при досрочном учете сертификата банком; 2. доходы держателя сертификата и банка; 3. выполнить проверку расчетом. Задача12 Сберегательныйсертификат номиналом 100 тыс. руб. выдан на два года и 90 дней под процентную ставку 60% Определить сумму, полученную держателем сертификата при погашении займа. Задача13 Ставка по облигации номиналом 5 тыс. руб. – 6%. Определить число лет,необходимое для удвоения стоимости облигации, применив простые и сложные проценты: А) по процентной ставке, Б) по учетной ставке. Задача14 За какой срок наращенная стоимость облигации номиналом 100 тыс. руб. достигает 140 тыс. руб. при условии, что на нее начисляются сложные проценты по ставке 10% в году ежеквартально? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам. 8 3 Эффективная ставка при начислении сложных процентов m раз в году Эффективная ставка j – это годовая ставка сложных процентов, которую необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m разовом начислении процентов в году по ставке j/m. Наращенные суммы на один и тот же капитал равны:  mn  n j P 1 + iэф = P 1 + , m откуда  iэф = j 1+ m m − 1. Пример. Определить эффективную ставку сложных процентов стем, чтобы полусить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки 8% при ежеквартальном начислении процентов (m = 4). Решение. Эффективная ставка сложных процентов равна 4  0, 08 − 1 ≈ 0, 0824 (8, 24%) iэф = 1 + 4 Рассмотрим наращение на основе сложной учетной ставки. Здесь также возникает понятие эффективной ставки, под которой будем понимать сложную годовую учетную ставку, эквивалентную номинальной учетной ставке при заданном значении m. Наращенные суммы на один и тот же капитал равны P· 1 1 mn . n = P ·  f 1 − dэф 1− m Следовательно, эффективная учетная ставка равна m  f . dэф = 1 − 1 − m 4 Эквивалентность процентных ставок Ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий операций, называются эквивалентными. Рассмотрим эквивалентность простой ставки процентов и учетной стоаки. Формулы наращенных сумм по простой ставке процентов и учетной ставке:   1 S1 = P1 (1 + ni) ; S2 = P2 · . 1 − nd Наращенные суммы и капиталы равны, то есть S1 = S2 и P1 = P2 . Тогда равны будут и коэффициенты наращения 1 1 + ni = . 1 − nd Отсюда следует, что d i i= ; d= . 1 − nd 1 + ni последние две формулы верны, когда временные базы (K) равны. Если же начисление процентов по ставке i производится при K = 365 дней, по ставке d при K = 360 дней, то легко доказать, что формулы эквивалентности принимают вид: i= 365d ; 360 − td d= 360i , 365 + ti где t = ∂. Пример. Вексель учтен в банке по учетной ставке 8% в день окончания срока его обращения, равного 200 дням (K = 360). Определить доходность этой операции по ставке простых процентов 9% (K = 365) Решение. Эквивалентная ставка простых процентов, которая даст тот же финансовый результат, что и учетная ставка, составит: i= 365d 365 · 0, 08 = = 0, 08488 360 − td 360 − 200 · 0, 08 9 (8, 488%). При расчете эквивалентности ставок следует иметь в виду, что для каждого периода наращения необходимо расчитать свою эквивалентную ставку. Рассмотрим эквивалентность простой и сложных процентных ставок при начислении процентов один раз в год. Приравниваем коэффициенты наращения n (1 + nin ) = (1 + ic ) . Отсюда следует, что n 1 (1 + ic ) − 1 ; ic = (1 + nin ) n − 1. n Самостоятельно разобрать эквивалентность простой процентной ставки и сложной ставки при начислении процентов m раз в году, эквивалентность номинальной ставки сложных процентов при начислении процентов m раз в году и простой учетной ставки, эквивалентность сложных ставок и т. д. in = 5 Средние процентные ставки Проблема эквивалентности ставок в некоторых случаях может быть решена с помощью равенства средних значений ставок. Начнем с простой ставки. Пусть за периоды i1 , i2 , . . . , im на один и тот же капитал P , тогда на основе равенства коэффициентов наращения: X nt i t , 1+n·i=1+ t получим искомую среднюю P i= здесь n = P nt i t t n nt - общий срок наращения.Найденная характеристика представляет собой арифметическую сред- t нюю взвешенную. Аналогичным способом получим среднюю учетную ставку P nt dt t d= . n Рассмотрим сложные ставки. Из равенства коэффициентов наращения n n1 (1 + ī) = (1 + i1 ) · (1 + i2 ) n2 · . . . · (1 + im ) nm · следует v um uY n ī = t (1 + it )nt − 1 i=1 Средняя в этом случае вычисляется как взвешенная средняя геометрическая. Пример. Допустим, что для первых двух лет ссуды применяется ставка 8% для следующих трех лет она составляет 10%. Найди среднюю ставку за весь срок ссуды. Решение. Средняя ставка за 5 лет ссуды составит p p ī = 5 (1 + 0, 88)2 (1 + 0, 1)3 − 1 = 5 1, 5524784 − 1 ≈ 0, 0912 (9, 12%) Рассмотрим случай, когда одновременно идет несколько однородных операций с разными ставками it и разными суммами Pt , все суммы выдаются на один и тотP же срок n под старые проценты. Ответим на вопрос, под какую ставку надо поместить объединенную сумму Pt , чтобы получить тот же результат. Составляем уравнение эквивалентности P P P  X  X 1 Pt (1 + n · it ) 1 Pt (1 + n · it ) − Pt Pt it P P Pt (1 + n · ī) = Pt (1 + n · ·it ) , ī = · −1 = · =P . n n Pt Pt Pt Искомая ставка равна взвешенной средней арифметической, в качестве весов берутся размеры ссуд. Если проценты сложные, то уравнение эквивалентности будет выглядеть так X  X Pt (1 + ī)n = Pt (1 + it )n , отсюда средняя ставка сложных процентов будет равна sP Pt (1 + it ) P ī = n − 1. Pt 10 Пример. Выданы две ссуды P1 = 1 тыс. руб., P2 = 2 тыс. руб. Первая выдана под 10% годовых, вторая под 15%, сроки ссуд одинаковы и равны 2 годам. Найдем среднюю процентную ставку, еслиставки простые 1 · 0, 1 + 2 · 0, 15 ≈ 0, 1333 3 ī = (13, 33%). Средняя процентная ставка для сложных ставок r 2 2 2 1 · 1, 1 + 2 · 1, 15 ī = − 1 ≈ 0, 1336 3 6 (13, 36%). Финансовая эквивалентность обязательств Две суммы денег S1 и S2 , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке на один момент времени, одинаковы. Пример. Имеются два обязательства. Условия первого: выплатить 400 руб. через четыре месяца; условия второго: выплатить 450 руб. через восемь месяцев. Можно ли считать их равноценными? Решение. Применим простую ставку, так как платежи краткосрочные. Возьмем ставку сравнения 12%. Тогда современные величины этих платежей P1 = 400 = 384, 62 руб., 4 1 + 12 · 0, 12 450 = 416, 67 руб. 8 1 + 12 · 0, 12 P2 = Сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и.не могут заменять друг друга. Результат сравнения зависит от некоторой ставки. Существует критическая ставка i0 , при которой P1 = 2 . Отсюда 1 − SS12 S2 S1 = и i0 = S1 . 1 + n1 i0 1 + n2 i 0 S2 · n2 − n1 Для данного примера i0 = 42, 86%. Соотношение P1 < P2 справедливо для i < 42, 86%; P1 > P2 при i > 42, 86%. Найти критическую ставку, если дисконтирование производится по сложной ставке (самостоятельно). 7 Консолидация платежей Пусть платежи P1 , P2 ,. . . , Pm со сроками уплаты n1 , n2 , . . . , nm заменяются одним в сумме P0 и сроком n0 . Решим задачу: задан срок n0 , найти сумму консолидированного платежа S0 . Применим простые процентные ставки. Запишем уравнение эквивалентности P0 = X Pj (1 + (n0 − nj )i) + j X k Pk , 1 + (nk − n0 )i где Pj – размеры объединяемых платежей со сроками nj < n0 ; Pk - размеры платежей со сроками nk > n0 . В частном случае, когда n0 > ni , j = 1, m X P0 = Pj (1 + (n0 − nj )i) j Пример. Два платежа 1 000 руб. и 500 руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Пусть стороны согласились на применение простой ставки, равной 10% годовых. Найдите консолидированную сумму долга. = 365. Решение. Консолидированная сумма долга составит: P0 = 1 000(1 + 200 − 180 200 − 150 · 0, 1) + 500(1 + · 0, 1) = 1 516, 44 руб. 365 365 При объединении обязательств можно применить сложные ставки. В этом случае уравнение эквивалентности имеет вид X X Pk P0 = Pj (1 + i)n0 −nj + (1 + i)nj −n0 j k Пример. Платежи в 1 000 руб. и 2 000 руб. со сроками уплаты два и три года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Найдите сумму консолидированного платежа. 11 Решение. Сумма консолидированного платежа составит: P0 = 1 000 · 1, 20,5 + 2 000 · 1, 20,5 = 2 921, 19 руб. При консолидации векселей в расчетах чаще всего используется учетная ставка. Записать уравнение эквивалентности для этого случая (самостоятельно)! Пример. Имеются два кредитных обязательства - 500 руб. и 600 руб. со cpоками уплаты 1.10 и 1.01 (нового года). По согласованию сторон обязательства были пересмотрены на новые условия: первый платеж в размере 700 руб. должник вносит 1.02, остальной долг он выплачивает 1.04. При расчетах используется простая процентная ставка – 10% годовых. Необходимо определить величину второго платежа - 0 . Решение. За базовую дату, то есть за дату приведения, примем 01.01 (нового года). 01.10 01.01 01.02 01.04 – – – – 274 порядковый день в году; 356 или 1 день в году; 32 день в году; 91 день. Запишем уравнение эквивалентности   P0 700 92
+
. · 0, 1 + 600 = 500 1 + 31 90 365 · 0, 1 · 0, 1 1 + 365 1 + 365 Решая уравнение, найдем, что 0 = 428, 82 руб. За базу можно принять и другую дату, например 1.04. Тогда D0 = 428, 41 руб. Отличие результатов, полученных при расчете D0 на различные даты, неизбежно и обусловлено соотношением: 1 + n · i 6= (1 + n1 i)(1 + n2 i), где n = n1 + n2 . 8 Аннуитеты (финансовые ренты) Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют аннуитетом или финансовой рентой. Например, аннуитетом является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, регулярные взносы в пенсионный фонд и так далее. Аннуитет характеризуется следующими параметрами: 1) величиной каждого отдельного платежа; 2) интервалом между платежами; 3) сроком от начала аннуитета до его конца (бывают вечные аннуитеты); 4) процентной ставкой. Ведем обозначения: R – величина годового платежа в аннуитете; i – процентная ставка сложных процентов, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей; Ak – современная стоимость k-ого платежа; A – современная стоимость всего аннуитета; Sk – будущая стоимость k-ого платежа. Обобщающими показателями аннуитета являются: современная стоимость всего аннуитета (A) и будущая стоимость всего аннуитета (S). Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока S= n X Sk . k=1 Современная стоимость - сумма современных стоимостей членов потока платежей A= n X Ak . k=1 Рассмотрим аннуитет постнумерандо, в котором платежи производятся в конце периодов. На вносимые платежи один раз в год начисляются проценты, тогда будущие стоимости членов аннуитета равны S1 = R(1 + i)n−1 ; S2 = R(1 + i)n−2 ; ...; Sn = R. Будущая стоимость аннуитета S= n X Sk = R + R(1 + i) + . . . + R(1 + i)n−2 + R(1 + i)n−1 = R k=1 12 (1 + i)n − 1 . i n Величину Si,n = (1+i)i −1 называют коэффициентом наращения аннуитета, его обозначение FVIFAi,n (Future Value of Interest Factor of Annuity). Значения коэффициента наращения табулированы (см. Приложение 4). Итак, формула наращенной суммы аннуитета постнумерандо: S = R · Si,n Формула наращенной суммы аннуитета пренумерандо: So = n X Sk = R(1 + i) + R(1 + i)2 + . . . + R(1 + i)n = R k=1 (1 + i)n − 1 · (1 + i) = R · Si,n · (1 + i) i Таким образом, S 0 = S(1 + i). Если платежи вносятся в середине периода, то формула наращенной суммы S 00 = S(1 + i)1/2 . Найдем современную стоимость аннуитета постнумерандо A= n X  Ak = R · k=1 1 1 1 + ... + + 2 1 + i (1 + i) (1 + i)n  = n X k=1 1 − (1 + i)−n R = R · . (1 + i)k i −n Величина ai,n = 1−(1+i) называется коэффициентом приведения аннуитета, его обозначение PVIFA(Present i Value of Interest Factor of Annuity). Коэффициенты приведения аннуитета табулированы (см.приложение 5). Итак, формула современной стоимости аннуитета постнумерандо A = R · ai,n Формула современной стоимости аннуитета пренумерандо A = n X k=1  1 1 + ... + Ak = R · 1 + 1 (1 + i) (1 + i)n−1  = R · ai,n · (1 + i) = A(1 + i). Зависимость между наращенной и современной стоимостью аннуитета постнумерандо A(1 + i)n = S. Это означает, что если мы внесем в банк разовый платеж величиной A, то через n лет мы будем иметь наращенную сумму S, то есть аннуитет можно заменить разовым платежом. Если платежи вносятся в середине периода, то формула современной стоймости A00 = A(1 + i)1/2 . Пример. Определить современную стоимость и наращенную сумму аннуитета постнумерандо. Срок ренты 5 лет, разовый платеж 4 000 руб. вносится ежегодно. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной ставке 8% годовых. Решение. Современная стоимость аннуитета равна A = 4 000 · a8%;5 = 4 000 · 3, 99271 = 15 970, 84 руб. Будущая (наращенная) стоимость ренты составит S = 4 000 · S8%;5 = 4 000 · 5, 866601 = 23 466, 40 руб. Зная будущую стоимость аннуитета, ставку i, можно найти срок аннуитета. Так, например, преобразовав выражение (1 + i)n − 1 S=R , i получим S · i + 1 = (1 + i)n . R Прологарифмируем это равенство   S n · ln(1 + i) = ln ·i+1 . R Отсюда найдем срок аннуитета n= ln S R
·i+1 . ln(1 + i) Пример. Фирма предполагает создать специальный фонд в размере 200 тыс. руб., для чего будет вносить в банк 50 тыс. руб. под 15% годовых. Определить срок, необходимый для создания фонда. 13 Решение. Найдем срок аннуитета n= ln 200 50
· 0, 15 + 1 ≈ 3, 363 года. ln(1 + 0, 15) Округляем срок кредита до n = 3. Тогда через три года наращенная сумма составит S = 50 · S15%;3 = 173, 625 тыс. руб. Нарашенная сумма меньше 200 тыс. руб. Если фирме нужно создать фонд не менее 200 тыс. руб. за три года, следует увеличить размер рентного платежа. Из равенства 200 = R · S15%;3 находим величину рентного платежа R = 57, 59539 тыс. руб. Годовой аннуитет. Проценты начисляются m раз в году Рассмотрим годовую ренту постнумерандо. Проценты начисляются m раз в году. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке)   m 2m (n−1)m  j j j ,R 1 + ,...,,R 1 + R, R 1 + m m m где j - номинальная ставка процентов. Мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель (l + j/m)m . Число членов n. Сумма членов этой прогрессии равна наращенной сумме аннуитета.

j mn j mn j R · S j ;mn −1 1+ m −1 1+ m m m · . = R · = S =R·

m j j j m j S 1+ −1 1 + − 1 ;m m m m m Для ренты пренумерандо наращенная сумма аннуитета составит: S 0 = S(1 + j m ) . m Найдем современную стоимость аннуитета постнумерандо A= =R· R R R + + ... + = j m j 2m j nm (1 + m ) (1 + m ) (1 + m ) j −mn m) j m m) − 1 1 − (1 + (1 + = j −mn m) 1 − (1 + j m · 1+ j m j m m) −1 =R· a j ;mn m S j ;n . m Современная стоимость аннуитета пренумерандо: m  j A0 = A 1 + m Зависимость между наращенной и современной стоимостью аннуитета постнумерандо следующая  mn j A 1+ = S. m p - срочная рента Рента называется p-срочной, если рентные платежи вносятся несколько раз (p раз) в году. Найдем наращенную сумму S p-срочной ренты постнумерандо при начислении процентов один раз в году. Общее число членов ренты равно n · p. Ряд членов ренты с начисленными процентами представляют собой геометрическую прогрессию. Первый ее член равен R/p, а знаменатель (l + i)1/p . S= np−1 1 2 R R R (1 + i)n − 1 R R + · (1 + i) p + · (1 + i) p + . . . + · (1 + i) p = · ; p p p p p (1 + i) p1 − 1 S 0 = S(1 + i) Наращенная сумма S аннуитета, когда рентные платежи R/p вносятся p раз в году с начислением процентов m раз в году при условии p 6= m, находится по форуле S= j R (1 + m )mn − 1 · ; j m p (1 + m )p −1 14 m S 0 = S(1 + i) p ; если p = m; то S= R (1 + · p j mn m) j m −1 = R · S j ;mn ; m p S 0 = S(1 + j ); m где R - сумма рентных платежей за год. Современная стоимость A аннуитета постнумерандо составит R A= p(1 + i) 1 p R + p(1 + i) 2 p + ... + R p(1 + i) np p = R 1 − (1 + i)−n · ; p (1 + i) p1 − 1 1 A0 = A(1 + i) p . Расчет современной величины p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году при условии p 6= m находится по формуле
j −mn m R 1− 1+ m · ; A0 = A(1 + i) p , A= m
p 1+ j p −1 m если p = m A= j R R 1 − (1 + m )−mn j = · · a j ;mn ; A0 = A(1 + ). j m p p m m Непрерывное начисление процентов Рентные платежи вносятся один раз в год, в конце года. Перепишем в обратном порядке ряд платежей с начисленными непрерывными процентами. Получим R, Reδ , Re2δ , . . . , Re(n−1)δ Просуммировав члены этой прогрессии, мы найдем наращенную сумму S= R(eδn − 1) eδ − 1 для ренты пренумерандо наращенная сумма равна S 0 = Seδ . Для p-срочной ренты δ R eδn − 1 · δ ; S 0 = Se p . p ep − 1 Найдем современную стоимость ренты постнумерандо, платежи вносятся один раз в год S= A= R R R 1 − e−δn + + . . . + = R · . eδ e2δ enδ eδ − 1 Цля ренты пренумерано современная стоимость равна A0 = Aeδ Для p-срочной ренты A= R 1 − e−δn · δ ; p ep − 1 δ A0 = A · e p . Вечная рента (бессрочный аннуитет) Рассмотрим случай, когда рента не ограничена во времени и имеет неограниченное число членов, то есть она является вечной рентой. Примером вечной ренты является выпуск облигационных займов без ограничения срока погашения. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. A - это долг, который нужно погасить за бесконечное число лет при существующей процентной ставке i. Тогда R 1 − (1 + i)−n A = lim R · = . n→∞ i i Таким образом, величина годового платежа R = A · i. Если вы взяли в долг 10 000 руб. под 10% годовых с условием, что его погашать не будете, а будете выплачивать рентные платежи в течение большого периода времени, то ежегодно вам придется платить 10 000·0,1 = 1 000 руб. Пример. Определить текущую (современную) стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 400 руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 10% годовых. 15 Решение. Текущая стоимость аннуитета составит A= R 400 = = 4 000 руб. i 0, 1 Таким образом, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 4 000 руб., он представляет собой выгодную инвестицию. Для общего случая ренты, когда число рентных платежей p > 1, современная величина будет равна j R 1 − (1 + m )−mn · , j m n→∞ p (1 + m )p −1 A∞ = lim если p = m, то A∞ = R . j Пример. Принято решение о выкупе облигаций государственного бессрочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались доходы в размере 20 руб. дважды в год – в конце каждого полугодия, а доходность облигации составляла 5% годовых. Определить сумму, подлежащую выплате на каждую облиuацию. Решение. Сумма, подлежащая выплате, равна современной стоимости бессрочного займа A∞ = 40  1 2 (1 + 0, 05) 2 − 1 16  = 809, 88 руб.