Основной метод современной строительной механики — метод конечных элементов (МКЭ)

Основные понятия и определения. Общая схема метода. Метод конечных элементов (МКЭ) - основной метод современной строительной механики, лежащий в основе подавляющего большинства современных программных комплексов, предназначенных для выполнения расчетов строительных конструкций на ЭВМ. МКЭ также используется для решения других разнообразных задач как в области прочностных расчетов, так и во многих других сферах, например задачах гидродинамики, электромагнетизма, теплопроводности и многих других. Метод конечных элементов позволяет практически полностью автоматизировать расчет стержневых систем, хотя, как правило, требует выполнения значительно большего числа вычислительных операций по сравнению с классическими методами строительной механики. Однако, в современных условиях большой объем вычислений не является серьезной проблемой, и, в связи с этим, при внедрении ЭВМ в инженерную практику МКЭ получил широчайшее распространение1. Поэтому, знание основ метода конечных элементов и современных программных средств, позволяющих на его основе решать разнообразные задачи, в наше время для инженера является абсолютно необходимым. В МКЭ стержневая система мысленно разбивается на отдельные части - конечные элементы, соединяющиеся между собой в узлах (рис.1). Узлы могут быть жесткими и шарнирными. Совокупность соединенных между собой и прикрепленных к основанию конечных элементов образует расчетную схему метода, называемую конечно-элементной схемой или конечно-элементной моделью или просто системой элементов. Элементы и узлы конечно-элементной схемы нумеруются. Внешняя нагрузка считается приложенной только в узлах конечно-элементной схемы. В общем случае переход от заданной нагрузки к узловой осуществляется следующим образом. На основании принципа суперпозиций рассматриваемое состояние стержневой системы может быть представлено как сумма двух состояний (рис.2). В первом состоянии (задача1) вводятся связи, препятствующие всем возможным смещениям узлов системы, аналогично тому, как образуется основная система в методе перемещений. При этом, однако, продольными деформациями стержней не пренебрегают. От действия заданных нагрузок во введенных связях возникают реакции. Во втором состоянии (задача 2) узлы конечно-элементной схемы не закреплены от смещений, но к ним прикладываются усилия равные по модулю реакциям в связях, определенным в первом состоянии, но противоположные им по направлению (рис.2). Расчет системы в первом состоянии не представляет труда. В частности, если конечно-элементная схема создается таким образом, чтобы элементы представляли собой отдельные стержни (элементы 1, 2 и 3 на рис.2), то для каждого из таких элементов имеется табличное решение (таблица 11.1), позволяющее определить реакции в связях и построить эпюры внутренних усилий по их длине. Для расчета же системы во втором состоянии, т.е. для решения задачи 2, и применяется метод конечных элементов. Окончательное решение задачи будет представлять собой сумму решений этих двух задач. В задаче 2 усилия, действующие на любой элемент приложены исключительно в узлах. В этом случае перемещения узлов любого элемента, взятого в отдельности (рис.3), однозначно определяют усилия и перемещения в любой точке этого элемента. Как известно, для стержневых систем решение такой задачи может быть найдено точно. Каждый, взятый отдельно от системы, конечный элемент должен быть достаточно простым, чтобы имелась возможность легко определить перемещения и усилия в любом сечении стержней элемента по заданным перемещениям его узлов. Связь между перемещениями узлов элемента и усилиями в них задается при помощи матрицы жесткости элемента. Количество перемещений узлов элемента, которые однозначно определяют состояние данного элемента называют числом степеней свободы элемента. Оно определяется по формуле: , (1) где -число шарнирных узлов в элементе, а - число жестких узлов в элементе. Действительно, если узел представляет собой шарнир, то его положение на плоскости можно охарактеризовать двумя линейными перемещениями, например в вертикальном и горизонтальном направлениях. В случае жесткого узла необходимо еще дополнительно к линейным смещениям задать его поворот. На рис.4 первый элемент имеет характеризуется четырьмя степенями свободы, т.к. он содержит два шарнирных узла. При отсутствии нагрузки, кроме приложенной в самих узлах, положение на плоскости любой точки этого элемента определяется четырьмя параметрами - двумя вертикальными и двумя горизонтальными перемещениями узлов элемента. У второго элемента на рис.4 - пять степеней свободы - к четырем линейным смещениям добавляется поворот в одном из узлов. У третьего элемента - шесть степеней свободы, которым соответствуют четыре линейных и два угловых перемещения. Аналогично, для всей конечно-элементной схемы вводятся матрица жесткости системы или глобальная матрица жесткости, устанавливающая связь между перемещениями узлов системы и усилиями в них, а также число степеней свободы системы или глобальное число степеней свободы - количество перемещений узлов системы, которые достаточно знать, чтобы однозначно определить состояние всей системы. Оно также определяется по формуле (1), в которой -число шарнирных узлов, а - число жестких узлов во всей конечно-элементной схеме. Например, при расчете методом конечных элементов висячей системы, приведенной на рис.х.10, может использоваться конечно-элементная схема, изображенная на рис.5. Она содержит в себе 28 шарнирных узлов, следовательно характеризуется 56 степенями свободы. В конечно-элементной схеме балки (рис.6) используется один жесткий и три шарнирных узла. Следовательно, в соответствии с (1) эта схема характеризуется 32+13=9 степенями свободы. Для всех элементов, из которых состоит конечно-элементная схема, должны быть построены матрицы жесткости элементов. В программных комплексах, реализующих алгоритм метода конечных элементов, хранятся готовые матрицы жесткости для элементов различных типов. На практике, при расчете плоских стержневых систем используют готовые матрицы жесткости для элементов только трех типов: простых стержней с двумя жесткими узлами, двумя шарнирными узлами, одним жестким и одним шарнирным узлом (рис.4). В этом случае при разбивке стержневой системы на элементы узлы вводятся в местах соединения и изломов стержней, в опорах, шарнирах и на свободных концах консольных стержней. В принципе узел может быть введен и в любых других точках, например, в точках приложения сосредоточенных сил.. В учебных целях могут использоваться и элементы других типов (рис.7), в том числе и включающие в себя опорные закрепления. Из построенных матриц жесткости элементов формируется матрица жесткости системы. Для этого все матрицы жесткости элементов и матрица жесткости системы должны быть сформированы в единой системе осей координат, называемой глобальной системой осей координат. При расчете плоских стержневых систем традиционно используется следующая глобальная система осей координат (рис.8): ось1 направлена вправо, ось 2 - вверх, ось 3 - против часовой стрелки. Матрицы жесткости элементов могут формироваться и храниться в памяти ЭВМ в своих, локальных системах осей координат, в общем случае отличных от глобальной системы осей координат. В данной ситуации при помощи специальной процедуры эти матрицы должны быть перестроены для глобальной системы осей координат. Так как матрица жесткости системы устанавливает связь между усилиями, приложенными к ее узлам и перемещениями ее узлов, то имея построенную матрицу жесткости системы и зная внешнюю узловую нагрузку, можно найти перемещения всех узлов конечно-элементной схемы. Для этого требуется решить систему линейных алгебраических уравнений. Порядок этой системы равен числу ее степеней свободы. По известным перемещениям узлов системы для каждого элемента при помощи имеющихся матриц жесткости элементов можно найти внутренние усилия в элементах от действия нагрузки, приложенной в узлах (задача 2). Окончательное решение задачи, как уже упоминалось, ищется как сумма решений задачи 1 и задачи 2. Таким образом, метод конечных элементов в данном виде аналогичен методу перемещений, так как сначала определяются перемещения узлов системы, а затем по ним - деформации и усилия в стержнях. Возможна реализация метода конечных элементов и в форме метода сил, однако она имеет ряд существенных недостатков и поэтому представляет большей частью чисто научный, но не практический интерес. Итак, расчет стержневой системы методом конечных элементов в форме метода перемещений состоит из следующих этапов: 1. Создание конечно-элементной схемы (разбивка системы на элементы и их нумерация). 2. Сведение заданной внешней нагрузки к узловой. 3. Формирование матриц жесткости всех элементов системы в локальных системах координат и их преобразование в глобальную систему координат. 4. Формирование глобальной матрицы жесткости, системы уравнений метода конечных элементов и ее решение. 5. Определение усилий в элементах от действия узловой нагрузки. 6. Определение окончательных значений усилий в элементах путем сложения решений задач 1 и 2. Далее подробно рассмотрим все эти этапы. Конечный элемент. Матрица жесткости конечного элемента. Рассмотрим произвольный конечный элемент с числом степеней свободы nст. Вектором узловых перемещений конечного элемента называется вектор, складывающийся из значений перемещений его узлов по направлению всех его степеней свободы. Очевидно, размерность вектора узловых перемещений равна числу степеней свободы элемента nст. Например, для двухузлового элемента, имеющего в конечно-элементной схеме номер 7, характеризующегося тремя степенями свободы (рис.9), вектор узловых перемещений будет иметь следующий вид: . Здесь введены следующие обозначения: - перемещение узла k по направлению j, -вектор узловых перемещений узла е. Понятно, что если узел k шарнирный, то j может быть равно 1 или 2. Если же узел k жесткий, то j может быть равно 1, 2 или 3. Аналогично вводится вектор узловых усилий, действующих на элемент. Его компонентами являются усилия, приложенные к элементу в узлах и действующие по направлению всех его степеней свободы. Для приведенного на рис.9 элемента этот вектор будет иметь вид (рис.10): . Здесь вводятся обозначения: - усилие, действующее на узел k элемента е по направлению j, - вектор узловых сил, дейсвующих на элемент е. Вектора R(e) и U(e) являются блочными, т.е. в них можно выделить блоки и соответственно, содержащие усилия и перемещения, относящиеся к i-ому узлу элемента. Если узел i - жесткий, то , если шарнирный, то . Аналогично выглядят и блоки вектора R(e). Например, для рассматриваемого элемента (рис.9 и рис.10): , . Понятно, что при деформировании элемента в результате смещения одного из его узлов по направлению одной из степеней свободы на узлы элемента должны действовать внешние силы, препятствующие возвращению элемента в недеформируемое состояние. Подобная ситуация может возникнуть, например, при неравномерных осадках в опорах статически неопределимой стержневой системы (рис.12),- реакции, возникшие в опорах, препятствуют возвращению конструкции в недеформированное состояние. В рамках гипотезы линейного деформирования связь между перемещениями узлов элемента и силами, действующими при этом на него, должна быть линейной. Например, с увеличением смещения  вдвое, все усилия, действующие на узлы элемента также должны увеличиться вдвое. Основной характеристикой конечного элемента является матрица жесткости элемента . Она связывает вектор узловых перемещений и вектор приложенных к элементу узловых усилий соотношением: , (2) выражающим линейный характер связи между действующими на узлы силаи и узловыми перемещениями. Матрица жесткости элемента играет роль, аналогичную коэффициенту жесткости пружины К, связывающего приложенное к ней усилие R, и вызванное этим усилием перемещение U соотношением (рис.12) . Поскольку вектора и имеют размерность , число строк и столбцов в матрице тоже должно быть равным : . Введем обозначение - усилие, действующее на узел m элемента e по направлению i, от единичного перемещения узла k этого же элемента е по направлению j при условии, что перемещения по направлению всех остальных степеней свободы в элементе равны нулю. Например, - усилие, действующее на узел 1 элемента 5 по направлению 1 при единичном перемещении узла 2 этого же элемента 5 по направлению 3, а - усилие, действующее на узел 1 элемента 3 по направлению 1 от единичного смещения этого же узла по этому же направлению. Последнее значение, как и любое значение в соответствии с теоремой Клапейрона всегда положительно, аналогично коэффициентам в уравнениях классического метода перемещений. Важно четко помнить порядок индексов, стоящих при k. Верхний индекс - это номер элемента. Первые два нижних индекса - направления, причем первый из них - номер направления определяемого усилия, а второй - номер направления, в котором произошло единичное перемещение. Вторые два нижних индекса - номера узлов элемента, причем первый из них - номер узла, в котором определяется усилие, второй - в котором задано единичное перемещение. Для рассматриваемого элемента (рис.9 и рис.10) матрица жесткости элемента имеет следующий вид: . Легко увидеть, что каждый столбец этой матрицы состоит из усилий, действующих на узлы элемента при единичном смещении по направлению какой-либо из его степеней свободы при условии, что перемещения по направлению остальных степеней свободы равны нулю. Например, первый столбец представляет собой усилия, действующие на узлы элемента при единичном смещении узла 1 (4-ый индекс при коэффициентах) по направлению 1 (2-ой индекс при коэффициентах) при условии, что перемещения по направлению остальных степеней свободы равны нулю. Второй столбец представляет собой усилия, действующие на узлы элемента при единичном смещении узла 1 (4-ый индекс при коэффициентах) по направлению 2 (2-ой индекс при коэффициентах) при условии, что перемещения по направлению остальных степеней свободы равны нулю (рис.13). И так далее. Докажем, что это действительно так, например, для первого стобца матрицы жесткости. Зададим перемещение узла 1 по направлению 1 элемента равным 1, в то время как все его остальные узловые перемещения будем считать равными нулю. В этом случае вектор узловых перемещений приобретает вид: , и равенство (2) становится следующим: . Отсюда: , т.е. компоненты первого столбца матрицы жесткости на самом деле оказались равными компонентам вектора усилий, действующих на узлы элемента при заданном смещении. Придавая соответствующий вид вектору узловых перемещений, можно выполнить аналогичное доказательство для любого другого столбца матрицы жесткости элемента. Для рассматриваемого элемента (рис.9) запишем матричное равенство (2) в развернутом виде: или: . Физический смысл любого из уравнений данной системы очевиден. Если узел k элемента е получает по направлению j единичное перемещение, то усилие, действующее при этом на узел m по направлению i равно . Если же это перемещение будет равно не единице, а , то в соответствии с линейным законом связи между усилиями и перемещениями, рассматриваемое усилие увеличится также в раз и составит . Пусть теперь все узлы элемента получают смещения по направлению всех имеющихся у элемента степеней свобод. Тогда, в соответствии с принципом суперпозиций, усилие , т.е. усилие, действующее на какой- либо узел m по какому-либо направлению i, будет представлять собой сумму усилий, вызванных смещениями всех узлов элемента по направлению всех имеющихся степеней свобод (рис.14). Поскольку, как мы только что выяснили, при перемещении какого-либо узла k по направлению j на величину на узел m по направлению i будет действовать усилие , суммарное усилие, действующее на узел m по направлению j, будет представлять собой сумму величин для всех степеней свободы элемента (рис.14). Формально это можно записать следующим образом: , (3) где t- номер узла, входящего в элемент е, запись означает, что суммирование производится по всем узлам, входящим в элемент е, nt - число степеней свободы в узле t. Причем, nt=2, если узел t - шарнирный, и nt=3, если узел t жесткий. Как мы уже выяснили, элементы, стоящие на главной диагонали матрицы жесткости элемента должны быть положительными. Кроме того, матрица жесткости элемента должна быть симметричной. Действительно, в соответствии с теоремой взаимности реакций, усилие, действующее на узел m по направлению i, от единичного перемещения узла k этого же элемента по направлению j должно равняться усилию, действующему на узел k по направлению j, от единичного перемещения узла m этого же элемента по направлению i, т.е. . Аналогично векторам и матрица жесткости элемента K(e) также является блочной. Она состоит из блоков , каждый из которых содержит коэффициенты, связывающие перемещения k-го узла элемента и реакции, возникающие при этом, в m-ом узле данного элемента. Например, для рассматриваемого элемента (рис.9): . Преобразование матрицы жесткости при переходе от одной системы координат к другой. Обычно матрицу жесткости строят в удобной для данного элемента системе координат, которую принято называть локальной или местной. При переходе от отдельных элементов к системе элементов необходимо осуществить переход от локальных систем координат к общей для всех элементов системе координат, которую принято называть глобальной. Пусть известны перемещения какого-либо жесткого узла k элемента в локальной системе координат, оси которой 1` и 2` повернуты на угол  относительно осей 1 и 2 глобальной системы координат. Оси 3 и 3`, очевидно, будут совпадать, т.к. в обоих случаях рассматривается одна и та же плоскость (рис.15). Пусть и - перемещения узла k по направлению 1 в глобальной и локальной системах координат соответственно, а и - перемещения по направлению 2 в глобальной и локальной системах координат соответственно. Из рис.15 следует: , . Очевидно, угловое смещение в обоих системах осей координат будет одинаковым, т.е.. Полученные соотношения, связывающие перемещения узла в локальной и в глобальной системах координат, в матричной форме будут выглядеть следующим образом: . Матрица называется матрицей направляющих косинусов для k-го узла. Легко убедиться, что элемент, стоящий в ее i-ой строке и j-ом столбце равен косинусу угла между i-ой осью в локальной системе координат и j-ой осью в глобальной системе координат. Для шарнирного элемента связь между перемещениями в локальной и глобальной системах осей будет аналогичной: . Для элемента, содержащего несколько узлов, связь между вектором узловых перемещений U в глобальной системе осей координат и вектором узловых перемещений U` в локальной системе осей координат осуществляется при помощи квазидиагональной матрицы направляющих косинусов C(e) элемента, составленной из матриц направляющих косинусов входящих в элемент узлов: . (4) Например, для элемента, изображенного на рис.9, выражение (4) будет выглядеть следующим образом: или . Легко убедиться, что это равенство соответствует уравнениям, связывающим перемещения в локальной и глобальной системах осей координат: , , , , . Повторив те же рассуждения для усилий, действующих на узлы элемента, получим аналогичную (4) зависимость между векторами усилий, действующих на элемент, построенных для глобальной системы координат R(e) и для локальной системы координат R`(e): . (5) Усилия, действующие на узлы элемента и узловые перемещения связаны зависимостью (2). Запишем ее также и для локальной системы осей координат: . (6) Заменим в (6) вектора усилий и перемещений согласно зависимостям (4) и (5): и умножим получившееся равенство слева на матрицу , т.е. на матрицу, обратную матрице направляющих косинусов элемента: . Сопоставляя это выражение с (2), получим зависимость, связывающую матрицы жесткости, построенные в глобальной и локальной системах координатных осей: . Известно, что у матрицы направляющих косинусов С(е) обратная матрица совпадает с транспонированной матрицей. Поэтому, окончательно получаем: . (7) Итак, если матрица жесткости элемента построена в локальной системе осей координат, то по формуле (7) можно получить из нее матрицу жесткости элемента в глобальной системе осей координат. Примеры построения матрицы жесткости элемента. Построим матрицу жесткости элемента на рис. 16. Пусть L - длина элемента, EF - жесткость стержня на растяжение-сжатие, EI - жесткость стержня на изгиб. Рассматриваемый элемент имеет 5 степеней свободы - две степени свободы в узле 1 и три в узле 2. Соответственно, матрица жесткости элемента имеет размер 55 и блочную структуру: . Как известно, каждый столбец матрицы жесткости элемента представляет собой усилия, действующие на элемент в узлах при единичном смещении по направлению какой-либо степени свободы. Поэтому, для построения любого столбца матрицы жесткости элемента следует задать единичное смещение по направлению соответствующей степени свободы элемента и найти усилия, действующие при этом на его узлы. Выполнив последовательно эту операцию для всех степеней свободы элемента, по столбцам построим всю матрицу жесткости элемента. Закрепим от смещения все узлы рассматриваемого элемента (рис.17). Тогда, задавая единичное смещение в одной из опорных связей, наложенных на полученную систему, мы обеспечим отсутствие перемещений по направлению остальных связей. Реакции в опорах при этом будут представлять собой искомые усилия. Первый столбец матрицы жесткости рассматриваемого элемента представляет собой усилия в узлах элемента при единичном смещении узла 1 по направлению 1. При этом на элемент со стороны опорных связей будут действовать только усилия по направлению 1 (рис.18), вызывающие его сжатие, причем усилие в узле 1 совпадает по направлению с осью 1, а в узле 2 оно направлено в обратную сторону. Величина этого усилия будет равна . Действительно, продольное усилие N, возникающее в стержне при его растяжении или сжатии, связано с продольной деформацией (относительным удлинением) посредством закона Гука: . При отсюда имеем . Таким образом, с учетом знака элементы первого столбца матрицы жесткости элемента будут равны: . Для построения второго столбца зададим единичное смещение в узле 1 по направлению 2 (рис.19). Для данной задачи существует известное табличное решение (см.табл.11.1), на основании которого путем рассмотрения равновесия вырезанных из элемента узлов (рис.19) определяются элементы второго столбца матрицы жесткости элемента: . Теперь зададим единичное смещение узла 2 по направлению 1 (рис.20) и построим третий столбец матрицы жесткости элемента. В этом состоянии элемент будет испытывать продольное растяжение. Повторяя рассуждения аналогичные сделанным при построении первого столбца матрицы жесткости, получим: . Для построения четвертого столбца матрицы жесткости зададим единичное смещение узла 2 по направлению 2 (рис.21): . И наконец, для построения пятого столбца матрицы жесткости зададим единичное смещение узла 2 по направлению 3 (рис.22): . Итак, матрица жесткости рассматриваемого элемента принимает вид: . Как и следовало ожидать, построенная матрица оказалась симметричной, а элементы, стоящие на ее главной диагонали, оказались положительными. Проверка выполнения этих условий - одно из средств контроля правильности построения матрицы жесткости. Рассмотрим теперь Г-образный элемент (рис.23). Будем считать, что жесткости обоих стержней элемента равны. Ограничимся построением для него только пятого столбца матрицы жесткости, предоставив построение остальных столбцов читателю. В данном элементе два жестких узла, следовательно, элемент имеет шесть степеней свободы, а матрица жесткости элемента имеет следующую блочную структуру: . Элементы интересующего нас пятого столбца матрицы жесткости представляют собой усилия, действующие на узлы элемента при единичном смещении узла 2 по направлению 2. Для их определения нужно найти опорные реакции в стержневой системе, полученной при наложении связей по напрвлению всех степеней свободы элемента (рис.24), при единичном смещении ее верхней опоры по направлению 2. Данная задача три раза статически неопределима () и один раз кинематически неопределима (), следовательно, для ее решения выгоднее использовать метод перемещений. При этом, как обычно в методе перемещений, будем пренебрегать продольными деформациями стержней по сравнению с их изгибными деформациями. Основную систему метода перемещений образуем введением в жесткий узел связи, препятствующей его повороту. Потребовав, чтобы при повороте этого узла на величину Z реакция R во введенной связи равнялась нулю, получим задачу эквивалентную исходной (рис.25). Далее построим основное и вспомогательное состояния основной системы (рис.26). Из равновесия узла (рис.26) находим реакции во введенной связи в основном и вспомогательном состояниях: , . Из уравнения, выражающего условие отсутствия реакции во введенной связи в эквивалентной задаче , находим: . Найдя лишнее неизвестное, можем построить окончательную эпюру моментов (рис.27), пользуясь формулой . По построенной эпюре моментов путем вырезания узлов легко определить действующие в стержнях продольные и поперечные силы, а по ним и реакции в опорах (рис.27). Таким образом, по реакциям в опорах определяются элементы искомого столбца матрицы жесткости: . Важно иметь в виду, что продольные деформации в стержнях при определении этих значений не учитывались, поэтому использование построенной подобным образом матрицы жесткости элемента в расчетах будет приводить к погрешностям в решении. В элементах, представляющих собой один стержень (рис.4), учет продольных деформаций проблем не вызывает. Поэтому использование в конечно-элементной схеме только таких элементов позволит получить точное решение задачи, если не учитывать погрешностей округления. Формирование и решение системы уравнений МКЭ. Определение внутренних усилий в элементах. Обозначим -внешнее усилие, приложенное к узлу m и действующее по направлению i. Введем для каждого из n узлов конечно-элементной схемы вектор внешних узловых усилий, приложенных к узлу m. Если узел m - жесткий, то , если шарнирный, то . Рассмотрим равновесие любого свободного узла (т.е. такого узла, на перемещения которого не наложены связи) конечно-элементной сетки. Пусть это будет узел под номером 2 конечно-элементной сетки, изображенной на рис.28. Будем считать пока, что все узлы этой сетки свободны, т.е. на узлы не наложено связей. Об учете связей речь пойдет далее. На узел действует внешняя узловая нагрузка, характеризующаяся вектором , передаваемая на элементы, которые соединяются в этом узле. Пусть это будут три элемента под номерами 1, 2 и 3 (рис.28). Усилия, передаваемые на элемент е в узле 2, в соответствии с введенным ранее обозначением образуют вектор Соответственно, со стороны элементов на узел передаются равные, но противоположно направленные усилия. Т.е. со стороны элемента е на узел действует система усилий, образующих вектор . Узел элемента должен находиться в равновесии под действием внешних усилий и усилий, приложенных к узлу со стороны элементов. Следовательно можно записать: . (8) Следует помнить, что данное равенство - матричное равенство и соответствует системе равенств, каждое из которых представляет собой уравнение равновесия усилий, действующих на узел по одному из направлений. Так как узел 2- жесткий, это равенство принимает следующий вид (рис.29): . В дальнейшем, для упрощения выкладок будем пользоваться матричной формой записи, не раскладывая равенства покомпонентно. В соответствии с (2) для элемента 1 справедливо соотношение или . Из него вектор усилий, действующих на узел 2 со стороны элемента 1, окажется равным . Аналогично, для элемента 2 будем иметь: или . Из него вектор усилий, действующих на узел 2 со стороны элемента 2 окажется равным . Аналогично, для элемента 3 будем иметь: или . Из него вектор усилий, действующих на узел 2 со стороны элемента 3 окажется равным . Подставив полученные выражения в (8), получим: , откуда: . Отсюда видно, что в уравнение равновесия для узла входят компоненты матриц жесткости только тех элементов, которые примыкают к этому узлу. Кроме того, в это уравнение входят перемещения только тех узлов, которые принадлежат элементам, примыкающим к рассматриваемому узлу. Повторив аналогичные операции для всех узлов конечно-элементной схемы, изображенной на рис.28, получим: Запишем эту систему в матричной форме: . (9) Введем вектор перемещений узлов конечно-элементной сетки U, компонентами которого являются перемещения по направлению всех степеней свободы системы. Очевидно, этот вектор состоит из блоков - векторов перемещений всех узлов системы: . Аналогично, введем вектор внешних узловых усилий P, действующих на конечно-элементную схему. Этот вектор также будет состоять из блоков - векторов усилий Рi, действующих на каждый узел системы: . Тогда полученная выше система уравнений (9) может быть записана в виде: KU=P. (10) Зависимость (10) устанавливает связь между перемещениями узлов конечно-элементной сетки и приложенными к ним узловыми воздействиями. Зависимость (10) аналогична зависимости (2), но она построена не для отдельного элемента, а для всей конечно-элементной схемы. Матрица К, как и матрица жесткости элемента, связывает перемещения узлов и приложенные к ним воздействия, но не для одного элемента, а сразу для всей системы. Поэтому ее называют матрицей жесткости конечно-элементной схемы или глобальной матрицей жесткости. Глобальная матрица жесткости - квадратная матрица, размером равным числу степеней свободы системы, имеющая, как видно из (9) блочную структуру. Из (9) легко заключить, что блок глобальной матрицы жесткости формируется из блоков матриц жесткости элементов е, входящих в конечно-элементную схему, причем представляет собой сумму блоков для тех элементов конечно-элементной схемы, в состав которых входит узел i: , (11) где запись и означает, что элемент е должен принадлежать множеству элементов, в состав которых входит узел i. Действительно, в рассмотренном примере (рис.21) узел 2 входит в состав трех элементов 1, 2 и 3, значит блок формируется из соответствующих блоков матриц жесткости этих трех элементов путем их прямого суммирования. Но ни один элемент не соединяет, например, узлов 1 и 3, следовательно блок глобальной матрицы жесткости представляет собой нулевую матрицу. В системе (10) вектор внешних сил Р задается, глобальная матрица жесткости К, как мы только что выяснили, формируется из матриц жесткости элементов, входящих в конечно-элементную сетку. Неизвестными в этой системе являются перемещения узлов сетки, составляющие компоненты вектора U. Таким образом, после построения вектора внешних нагрузок и формирования глобальной матрицы жесткости конечно-элементной схемы перемещения ее узлов определяются посредством решения системы линейных алгебраических уравнений МКЭ (10). Легко показать, что в силу симметрии матриц жесткости элементов и в соответствии с (11) глобальная матрица жесткости также будет симметричной. Если на перемещения какого-либо из узлов конечно-элементной схемы наложены ограничения (рис.30), то уравнения равновесия для этого узла теряют смысл. Действительно, все приложенные к этому узлу силы, как внешняя нагрузка, так и усилия, действующие со стороны стержней, будут восприниматься опорными связями. Зато, заранее известны перемещения по направлениям закрепленных степеней свободы такого узла. Поэтому, в системе уравнений (10) для тех степеней свободы, на которые наложены ограничения, соответствующие уравнения равновесия заменяются уравнениями, в которых перемещениям присваиваются заданные значения. На практике глобальная матрица жесткости строится в соответствии с вышеописанной процедурой, без учета ограничений на перемещения, что и было проделано выше. И только после этого, в матрицу и систему уравнений (10) вносятся изменения, позволяющие учесть наличие связей. Рассмотрим в качестве примера систему, изображенную на рис.1. Очевидно, она имеет 8 степеней свободы. Предположим, что нам удалось построить матрицы жесткости всех входящих в нее элементов и в соответствии с (11) сформировать из них глобальную матрицу жесткости и систему линейных алгебраических уравнений или . Поскольку узел 1 закреплен от смещений, все три его перемещения равны нулю. Следовательно, уравнения равновесия первого узла в данной системе (они выражаются матричным равенством ) должны быть заменены условиями равенства нулю перемещений по направлению всех степеней свободы узла 1. Эти условия характеризуются матричным равенством . В результате система разрешающих уравнений МКЭ приобретет вид: , где Е - единичная матрица. При перемножении матриц блоки и должны быть умножены на блок , о котором заранее известно, что он является нулевым. Поэтому над данной системой можно выполнить еще одно преобразование: Подобная замена не изменит решение системы уравнений, но сделает матрицу симметричной, что выгодно с точки зрения ее хранения в памяти компьютера и решения системы. В развернутой форме полученная система будет иметь вид: . Таким образом, если перемещение по направлению одной из степеней свободы заранее задано равным нулю, все элементы матрицы системы разрешающих уравнений метода конечных элементов в соответствующей данному перемещению строке и столбце с тем же номером задаются равными нулю, за исключением элемента, стоящего на главной диагонали, который задается равным единице. Кроме того, элемент, стоящий в этой строке в векторе свободных членов также задается равным нулю. В случае, если заданные смещения в узле оказываются равными ненулевым величинам, например, для рассматриваемого случая , , система уравнений метода конечных элементов приобретет следующий вид: . Читателю предлагается убедиться в этом самостоятельно. В результате решения системы уравнений МКЭ определяются все перемещения узлов конечно-элементной схемы. А значит, в формуле (2) для каждого элемента системы становятся известными вектора . Зная их и матрицы жесткости элементов по этой формуле легко определяются усилия, действующие на каждый элемент со стороны узлов (т.е вектора ). Зная их значения, построить эпюры внутренних усилий на элементах не составит труда. При необходимости определить усилия, действующие на элементы, в локальных системах координат, для каждого элемента следует по формуле (4) осуществить переход от найденных векторов к векторам , и затем, найти искомые усилия (т.е. вектора ) по формуле (6). На этом расчет системы на узловые воздействия заканчивается. Для получения окончательных значений внутренних усилий в стержнях системы, как уже упоминалось, необходимо сложить полученные от узловых воздействий внутренние усилия с усилиями, определенными при условии закрепления всех узлов (сложить решения задачи 1 и задачи 2). При решения задачи методом конечных элементов на ЭВМ после задания исходных данных, а именно геометрии стержневой системы, жесткостных характеристик стержней, нагрузок и закреплений, от человека не требуется вмешательства для выполнения каких-либо промежуточных операций, например, создания основной системы или построения вспомогательных состояний. ЭВМ способна автоматически выполнить все вышеописанные процедуры: построение матриц жесткости элементов на основании хранящихся в памяти формул для библиотечных элементов, формирование глобальной матрицы жесткости, решение системы, определение усилий в стержнях элементов. Алгоритм метода универсален, т.е. не зависит от того, является ли рассматриваемая система статически или кинематически определимой или неопределимой, а также от степени ее статической или кинематической неопределимости. Более того, МКЭ позволяет рассчитывать системы, состоящие не только из стержневых элементов, но и пластинчатых, оболочечных, трехмерных, разнообразных элементов на винклеровском основании и других элементов, матрицы жесткости которых учитываются в глобальной матрице жесткости системы также, как и матрицы жесткости стержневых элементов. Это, в частности, позволяет сразу подвергать расчету весь комплекс “сооружение-фундамент-основание”. Современные программные комплексы2, как правило, содержат мощные графические средства, позволяющие быстро и легко задать все исходные данные для расчета (препроцессор), а также просмотреть и проанализировать полученные результаты, выполнить подбор сечений стержней или арматуры в соответствии с нормативной документацией (постпроцессор). То есть работа с такими программными продуктами практически осуществляется по принципу “нажми на кнопку - получишь результат”. Тем не менее, при всей развитости и разнообразии препроцессорных и постпроцессорных средств в подобных программных комплексах, в основе их ядра (процессора) лежит программная реализация одного и того же алгоритма - алгоритма метода конечных элементов Пример расчета стержневой системы методом конечных элементов. Выполним методом конечных элементов расчет системы, изображенной на рис.31. Как уже отмечалось, МКЭ - метод, ориентированный на использование ЭВМ. Объем вычислений при реализации этого метода, как правило, значительно превышает объем вычислений, который приходится проделывать при расчете систем с использованием классических методов строительной механики. Поэтому использование МКЭ при расчетах вручную имеет смысл только в учебных целях для лучшего усвоения учащимися процедуры метода. Сечения всех стержней системы заданы одинаковыми и характеризуется жесткостью на растяжение - сжатие EF=106 КН и жесткостью на изгиб EI=40106 КНм2. Как известно, при силовых воздействиях распределение усилий в стержневых системах зависит от распределения жесткостей, а не от их абсолютных величин. Поэтому, для удобства расчетов будем задавать EF=1КН и EI=40 КНм2. Полученные в результате расчета усилия от этого не изменятся, а полученные в результате расчета перемещения нужно будет уменьшить в 106 раз. Заменим исходную стержневую систему конечно-элементной моделью, узлы и элементы пронумеруем (рис.32). Перейдем от исходной нагрузки к узловой. Закрепим узлы конечно-элементной схемы от смещений, найдем реакции во введенных связях и построим эпюру изгибающего момента в стержнях системы, т.е. решим задачу 1 (рис.33). Поскольку внешняя нагрузка действует только на элемент 2, достаточно рассмотреть только этот элемент (рис.34). Воспользовавшись табличным решением (табл.11.1), построим эпюру изгибающего момента и определим усилия, действующие со стороны элемента на узел (рис.34). На стержнях остальных элементов эпюра моментов будет отсутствовать. Во введенных связях будет действовать только одна реакция- горизонтальное усилие в узле 1, равное 18,75 КН. Перейдем теперь к решению задачи 2. Узловая нагрузка определяется как реакции во введенных связях в задаче 1, взятые с обратным знаком. В нашем случае в качестве нагрузки будет фигурировать только горизонтальное усилие в узле 1 (рис.35). Следовательно, вектор внешней нагрузки Р будет следующим: . Теперь построим матрицы жесткости всех элементов системы. Вопрос построения матриц жесткости был подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приведем только построенные матрицы жесткости в глобальной системе координат3: , , , . Следующим шагом является формирование глобальной матрицы жесткости в соответствии с формулой (11): . Составим теперь систему разрешающих уравнений (10) метода конечных элементов: . Поскольку на перемещение узла 2 по направлению 2 наложено ограничение, в эту систему внесем необходимые изменения: . Решив полученную систему линейных алгебраических уравнений, получим вектор узловых перемещений: . Напомним, что истинные перемещения в системе будут в 106 раз меньше полученных. Далее, необходимо определить усилия, действующие на каждый элементы системы со стороны узлов, для чего воспользуемся формулой (2): , , Компоненты полученных векторов представляют собой усилия, действующие на узлы элементов. На данном этапе следует выполнить промежуточную проверку равновесия элементов и узлов под действием этих сил и внешней узловой нагрузки (рис.36). Теперь, зная приложенные к узлам элементов усилия (рис.36), построить эпюру изгибающих моментов в стержнях системы не составит труда (рис.37). На этом решение задачи на действие только узловой нагрузки (задачи 2) заканчивается. Для построения окончательной эпюры моментов необходимо сложить решение этой задачи (задачи2) и решение задачи 1 (рис.38). Далее, как обычно, остается построить эпюры поперечного и продольных усилий, а также выполнить статическую и деформационную проверки. Эти операции читателю предлагается проделать самостоятельно.