Оригинал и изображение. Основные свойства преобразования Лапласа

§1. Оригинал и изображение. Основные свойства преобразования Лапласа. Основными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения. Рассмотрим функцию f (t ) действительной переменной t , определенную при t 0 . Определение 1. Оригиналом (начальной функцией) называется функция f (t ) , которая удовлетворяет следующим условиям: 1. f (t ) 0 при t 0 2. на любом конечном отрезке [0;T] функция f (t ) – кусочно-непрерывна, т.е. имеет конечное число точек разрыва первого рода. 3. существуют такие положительные выполняется условие постоянные Me S0t , где величина f (t ) и M S0 S0 , что называется показателем роста функции f (t ) . Определение 2. Пусть f (t ) – оригинал. Изображением (преобразованием Лапласа) для функции f (t ) называется функция комплексной переменной, определяемая равенством x g ( p) e pt f (t )dt lim e x pt f (t )dt (1), где p C , p s ir (s 0) (предполагается, что интеграл (1) сходится). Обозначения: g ( p) L f (t ) ; g ( p) f (t ) ; g ( p ) Теорема 1 (теорема существования). изображение g ( p) определено и f (t ) . Для любого оригинала f (t ) его является аналитической функцией переменной p в полуплоскости Re p S S0 , где S0 - показатель роста g ( p) функции f (t ) , при этом выполняется равенство Relim p 0. Теорема 2 (теорема единственности). Если две непрерывные функции f1 (t ) и f 2 (t ) имеют одно и то же L - изображение g ( p) в полуплоскости Re p они тождественно равны. S0 , то Пример 1. Пользуясь определением, найти изображение функции f (t ) t . Решение. По формуле (1) можем записать u x g ( p) e pt tdt lim e x 1 lim xe px px pt tdt 1 lim e p2 x px dv e t du pt dt v dt 1 e p t e p lim pt x x pt 1 e p2 x pt 1 p2 1 1 . p2 Таким образом, L (t ) Простейшей функцией-оригиналом является единичная функция Хевисайда. Определение 3. Единичной функцией Хевисайда называется функция 1, t 0 0, t 0 u(t ) (2). Очевидно, что для любой функции f (t ) u(t ) f (t ) f (t ), t 0 . 0, t 0 Основные свойства преобразования Лапласа. 1. Свойство линейности. Если L( f1 (t )) g1 ( p) и L( f 2 (t )) g 2 ( p) , то L[ f (t ) 1 1 f (t )] 2 2 1 L[ f1 (t )] 2 L[ f 2 (t )] g ( p) 1 1 2 g 2 ( p) . 2. Свойство подобия. Если L( f (t )) g ( p) , то для L( f ( t )) 1 g p . 3. Дифференцирование оригинала. Если f (t ), f (t ), f (t ),..., f ( n ) (t ) – оригиналы и L( f (t )) g ( p) для Re p S0 , то L( f ( n ) (t )) p n g ( p) p n 1 f (0) p n 2 f (0) ... pf ( n 2) (0) В частности, при n 1 : L( f '(t )) pg ( p) 4. Дифференцирование изображения. Если L( f (t )) g ( p) , то f (0) . f ( n 1) (0) . ( 1)n g ( n ) ( p ) для Re p L(t n f (t )) S0 . В частности, при n 1 : L(tf (t )) ( 1) g ( p ) . 5. Интегрирование оригинала. Если L( f (t )) g ( p) , то t L g ( p) для Re p p f ( )d S0 . 6. Интегрирование изображения. f (t ) t Если L( f (t )) g ( p) , то L для Re p S0 (справедливо при g (q)dq p условии, что интеграл сходится). 7. Теорема запаздывания. Если L( f (t )) g ( p) и b 0 , то L( f (t b)) e pb g ( p) для Re p S0 . 8. Теорема смещения. Если L( f (t )) g ( p) и C , то L (e t f (t )) g( p ). 9. Теорема об изображении периодической функции. Пусть функция f (t ) периодическая, т.е. f (t ) f (t T ) , тогда L( f (t )) g ( p) , 1 e Tp где T - период. ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ. Оригинал Изображение Оригинал Изображение f (t ) g ( p) f (t ) g ( p) 1 1 p cos at n! pn 1 shat tn, n Z p p 2 p 2 a2 a a2 e at chat 1 p p p a sin at a p2 2 a2 sin at a ( p b)2 a 2 e bt co s at p b ( p b)2 a 2 bt e a2 Пример 2. Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу изображений и оригиналов, найти изображения следующих функций: 1) f (t ) sin 2 t ; 2) f (t ) t 2e5t ; 3) f (t ) e 2t sin t cos 2t . Решение. 1 cos 2t , то на основании свойства линейности можем 2 1) Так как sin 2 t записать 1 L(1 cos 2t ) 2 L(sin 2 t ) g ( p) p2 4 2 p( p 2 p2 4) 1 L(1) 2 1 L(cos 2t ) 2 1 2p p 2( p 2 4) 2 p( p 2 . 4) 2 , то по теореме смещения p3 2) Так как L(t 2 ) g ( p) 2 L(t 2e5t ) L( f (t )) ( p 5)3 . 3) Преобразуем выражение для функции f (t ) e 2t sin t cos 2t следующим образом: f (t ) e 2t Так как L(sin t ) sin 2t cos t 1 p 2 1 1 2t e (sin 3t sin t ) 2 и L(sin 3t ) смещения можем записать: 3 p 2 9 1 e 2 2t sin 3t 1 e 2 2t sin t . , то по свойству линейности и теореме g ( p) L( f (t )) 1 3 2 ( p 2)2 L( e 2t 1 L( e 2 sin 2t cos t ) 2t 1 L( e 2 sin 3t ) 2t sin t ) 1 . ( p 2)2 1 9 Замечание. Если g ( p) – рациональная функция, то для нахождения оригинала такую функцию часто бывает удобно представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, используя свойства преобразования Лапласа и таблицу изображений и оригиналов, найти соответствующий оригинал f (t ) . Пример 3. Найти оригиналы для заданных функций: 1) g ( p) p 2 p ; 4p 5 1 2) g ( p) p 3 p . Решение. 1. Выделим в знаменателе функции g ( p) p 2 p полный 4p 5 квадрат суммы, тогда изображение можно представить в p ( p 2)2 1 виде g ( p) ( p 2) 2 ( p 2)2 1 p 2 2 . 2 ( p 2) 1 ( p 2)2 1 Используя свойство линейности, теорему смещения и таблицу изображений, запишем оригинал f (t ) 2. Представим e 2t cos t 2e заданное 2t sin t . изображение в виде суммы простейших рациональных дробей 1 p 3 p 1 p( p 1)( p 1) A p B p 1 C . p 1 Методом неопределенных коэффициентов найдем A, B, C , тогда: 1 p 3 p Пользуясь 1 p 1 2( p 1) 1 . 2( p 1) свойством линейности изображений, находим оригинал f (t ) 1 1 t e 2 1 e 2 t 1 cht . и таблицей §2. Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом. Операционное исчисление используется также для решения дифференциальных уравнений и их систем. Метод решения различных классов уравнений и других задач с помощью преобразования Лапласа называется операционным методом. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: n x (t ) a1 x n 1 (t ) ... an x (t ) an x(t ) 1 f (t ) (3). Поставим задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям x(0) x0 , x (0) x1 , ..., x ( n 1) (0) xn 1 (4), где xi – заданные константы, i 0, n 1 . Если функция x(t ) является решением дифференциального уравнения (4), то оно обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения и функция f (t ) имеют (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа: n L k По dkx ak k dt L( f (t )) . теореме о дифференцировании оригинала dkx можем записать L k dt Тогда ak L dkx dt k Обозначим p k L( x ) p k 1x(o) pF ( p) f (0) f '(t ) p k 2 x1 ... xn 1 . ... an L[ x(t )] L[ f (t )] . L[ x(t )] x( p), L[ f (t )] g ( p) . По свойству линейности, переходя в уравнении (4) к изображениям, получим уравнение для неизвестного изображения x( p) (операторное уравнение): x( p) p n где a1 p n 1 ... an 1 p an B( p) g ( p) , B( p) x0 p n 1 a1 p n 2 .. an x1 p n 1 2 a1 p n 3 ... an ... xn 2 p a1 2 xn 1 Решив операторное уравнение относительно x( p) : x( p ) p g ( p ) B( p ) a1 p n 1 ... an 1 p an n и восстановив оригинал x(t ) по его изображению x( p) , получим искомое решение x(t ) . Пример 4. Решить уравнение при заданных начальных условиях y '' 4 y 2; y(0) y (0) 0. Решение. Применим к обеим частям уравнения преобразование Лапласа: L(2) . L( y '' 4 y) По свойству линейности можем записать: L( y '') 4 L( y) 2 L(1) . Пусть L( y(t )) y ( p) , тогда по теореме дифференцирования оригинала (с учетом начальных условий) L( y (t )) p y ( p ) y (0) Так как L (1) p y ( p) , L( y (t )) p 2 y ( p) py (0) y (0) p 2 y ( p) . 1 , то операторное уравнение будет иметь вид: p 2 . p p 2 y ( p) 4 y ( p) Выражая y( p) , получим y( p) 2 . p( p2 4) Для отыскания оригинала представим функцию простейших дробей, т.е. 2 p( p 2 4) A p коэффициентов найдем A, B, C , тогда: y( p) в виде суммы y ( p) Bp C . Методом неопределенных p2 4 2 p( p 2 4) 1 1 2 p p p 2 4 . Пользуясь таблицей изображений, находим оригинал, т.е. искомую функцию: y (t ) Ответ: y (t ) 1 (1 cos 2t ) . 2 1 (1 cos 2t ) . 2 Совершенно аналогично применяется операционный метод к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отличие будет лишь в том, что вместо одного операторного уравнения мы получим систему таких уравнений, которые будут линейными относительно изображений искомых функций. Решив полученную систему методом Гаусса или по формулам Крамера, получим выражения для изображений. Восстановив оригиналы, получим решение системы дифференциальных уравнений. Пример 5. Найти решение системы дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях: x y 0 ; x(0) 1, y(0) x y 0 1. Решение. Перейдем к изображениям по Лапласу: L( x ) L ( y ) L( x ) L ( y ) L(0) . L(0) Пусть L( x(t )) x( p), L( y(t )) y( p) , тогда L( x (t )) px( p) x(0) px( p) 1, L( y (t )) p y ( p) y (0) p y ( p) 1 и операторная система будет иметь вид: px( p) 1 y ( p) 0 x( p ) или p y ( p) 1 0 px( p) y ( p) 1 x( p ) p y ( p) , где x( p) , y( p) - неизвестные. 1 Решая систему методом Крамера, найдем: x( p ) y ( p) p 1 p2 1 p 1 p2 1 1 p 1 1 p 1 . Соответствующие оригиналы будут иметь вид x(t ) et , y (t ) Ответ: x(t ) et , y (t ) et . et .