Определение перемещений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 1. Понятие о перемещениях При воздействии нагрузки, температуры и других факторов сооружения меняют свою форму, а его точки получают перемещения. Перемещение – векторная величина. Перемещение любой точки на плоскости можно задать через его модуль и направление. Например, вектор перемещения AA Δ A точки А рамы в точку А (рис. 1 а) определяется через его модуль A и угол (направление) A (рис. 1 б). А эти величины можно определять через горизонтальную и вертикальную составляющие xA и yA вектора перемещения Δ A : ΔyA . ΔxA Поступательные перемещения A, xA, yA будем называть линейными перемещениями, а A – угловым перемещением. A= (ΔxA )2 (Δ y A )2 , A=arc tg Рис. 1 Методы определения перемещений основаны на определении работ внешних и внутренних сил. В механике рассматриваются два вида таких работ – действительные и возможные работы. 2. Действительные работы внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия Действительным перемещением называется перемещение, вызванное силой по направлению ее действия (рис. 2 а). В упругих системах перемещение прямо пропорционально действующей силе и поэтому выполняется закон Гука = P, где коэффициент называется податливостью. Эту зависимость можно представить в виде диаграммы –P (рис. 2 б). Рис. 2 Действительной работой называется работа силы на ее действительном перемещении. Действительную работу силы P можно найти по рис. 2 б: P 1 W= dW P . 2 Эта формула определяет теорему Клапейрона: сила, действующая на упругую систему, совершает работу, равную половине произведения силы на перемещение. Если воспользоваться законом Гука, то 1 P 2 0. W= 2 Отсюда следует, что внешняя сила совершает положительную работу. Когда на систему действуют несколько сил, то по принципу суперпозиции 1 n W= P ΔPk . 2k 1 k В идеально-упругой системе предполагается, что работа внешних сил W полностью переходит в потенциальную энергию деформации U: W =U. Если убрать внешние силы, упругая система возвратится в исходное положение. Эту работу совершают внутренние силы. Так как работа внешних сил W всегда положительна, то работа внутренних сил V будет отрицательной: W=–V. Определим работу внутренних сил плоской стержневой системы. а) Работа продольной силы N Пара продольных сил N, действующих на элемент dx, приводят к его чистому растяжению (рис. 3 а). Рис. 3 По теореме Клапейрона эти силы на общей деформации элемента (действительном перемещении) N совершают действительную работу –dVN= 1 N· N . 2 С учетом закона Гука при растяжении N= Ndx получим EF 2 −dVN= N dx, 2EF где E – модуль Юнга, F – площадь сечения, EF – жесткость на растяжение. б) Работа изгибающего момента М Пара изгибающих моментов M, действующих на элемент dx, приводят к его чистому изгибу (рис. 3 б). На общей деформации M эти моменты совершают работу –dVM= 1 M· M . 2 Mdx По закону Гука M= . Поэтому EI 2 –dVM= M dx , 2EI где I – момент инерции сечения, EI – жесткость на изгиб. в) Работа поперечной силы Q Действие пары поперечных сил Q приводит к чистому сдвигу элемента dx (рис. 3 в). На общей деформации Q они совершают работу: –dVQ= 1 Q· Q . 2 Q dx По закону Гука, Q= . Поэтому GF Q2 –dVQ= dx, 2GF где – коэффициент формы сечения, GF – жесткость на сдвиг. Теперь воспользуемся принципом суперпозиции: 2 Q2 N 2 μ –dV=–(dVM+dVQ+dVN)= 1 M dx. 2 ΕΙ GF EF Если проинтегрировать это выражение по всей длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим выражение потенциальной энергии всей стержневой системы: U= –V= 1 2 n lk k 10 M2 ΕΙ μ Q2 GF N2 dx . EF 3. Возможные перемещения. Возможные работы внешних и внутренних сил Малое перемещение, допускаемое связями системы, называется возможным перемещением. Причиной возможного перемещения могут быть другие силы, изменение температуры, осадки опор и др. Работа силы на ее возможном перемещении называется возможной работой. Возможное перемещение обозначим ij, а возможную работу Wij (здесь i означает направление, а j – причину). Например, если в некоторой точке балки действует сила Pi, а затем в другой точке начнет действовать другая сила Pj, то балка в точке действия силы Pi получит возможное перемещение ij (рис. 4 а). Так как в это время сила Pi остается постоянной, совершаемая ею возможная работа определяется площадью прямоугольника (рис. 4 б): Wij=Pi ij . Таким образом, возможная работа равна произведению силы на возможное перемещение. Рис. 4 При определении возможной работы следует рассматривать два состояния системы: в одном из них действуют заданные, а во втором – возможные силы. Теорема Бетти. Возможная работа сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна возможной работе сил j-го состояния на перемещениях i-го состояния. Доказательство. Пусть на систему воздействуют силы Pi и Pj. Приложим их в разной последовательности и рассмотрим два состояния системы: 1) прикладывается сила Pi, затем сила Pj (рис. 5 а); 2) прикладывается сила Pj, затем сила Pi (рис. 5 б). Рис. 5 В этих состояниях силы на действительных перемещениях совершают действительные, а на возможных перемещениях – возможные работы. Выражения работ в обоих состояниях будут: Wij= 1 Pi ii+ 1 Pj jj+Pi ij; 2 2 Wji= 1 Pj jj+ 12 Pi ii+Pj ji. 2 На основании принципа суперпозиции результат воздействия этих сил не зависит от порядка их приложения. Следовательно, обе работы равны: Wij=Wji. Отсюда получаем Pi ij=Pj ji . Теорема доказана. Ее часто называют теоремой о взаимности работ. Теперь определим возможную работу внутренних сил. Для этого рассмотрим два состояния системы: 1) действует сила Pi и вызывает внутренние усилия Mi, Qi, Ni; 2) действует сила Pj, которая в пределах малого элемента dx вызывает возможные деформации Qj M j dx, dx, Nj= N j dx. Mj= Qj= EI EF GF Внутренние усилия первого состояния на деформациях (возможных перемещениях) второго состояния совершат возможную работу QiQ j MiM j Ni N j –dVij=Mi Mj+Qi Qj+Ni Nj= dx+ dx+ dx . EF EI GF Если проинтегрировать это выражение по длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим формулу возможной работы внутренних сил: n lk M M QiQ j Ni N j i j –Vij= dx . μ EI GF EF κ 10 4. Интеграл Мора. Определение перемещений Рассмотрим два состояния стержневой системы: 1) грузовое состояние (рис. 6 а), в котором действующая нагрузка вызывает внутренние усилия MP, QP, NP; 2) единичное состояние (рис. 6 б), в котором действующая единичная сила P=1 вызывает внутренние усилия M , Q, N . Рис. 6 Внутренние силы грузового состояния на деформациях единичного Μ Q N состояния dx , dx , dx совершают возможную работу EI EI EI n lk MP M QP Q NP N –Vij= dx. + + EI EF GF k=1 А единичная сила P=1 единичного состояния на перемещении грузового состояния P совершает возможную работу Wij=1 P= P . По известному из теоретической механики принципу возможных перемещений в упругих системах эти работы должны быть равными, т.е. Wij= –Vij. Значит, должны быть равны и правые части этих выражений: n lk P= k=1 0 MP M QP Q NP N dx . + + EI EF GF Эта формула называется формулой Мора и используется для определения перемещений стержневой системы от внешней нагрузки. Рассмотрим отдельные случаи применения формулы Мора. 1. В балках (рис. 7 а) возможны три случая: − если l 8, в формуле оставляется только член с моментами: h n lk M M P dx ; P= EI k=1 − если 5≤ l ≤8, учитываются и поперечные силы: h n lk M M QP Q P + dx; P= EI GF k=1 − если l 5, формула Мора дает большие погрешности. В этом h случае перемещения следует определять методами теории упругости. Рис. 7 2. В рамах (рис. 7 б) элементы в основном работают только на изгиб. Поэтому в формуле Мора учитываются только моменты. В высоких рамах учитывается и продольная сила: n lk M M N N P + P dx . P= EI EF k=1 3. В арках (рис. 7 в) необходимо учитывать соотношение между основными размерами арки l и f: 1) если l 5 (крутая арка), учитываются только моменты; f 2) если l 5 (пологая арка), учитываются моменты и продольные силы. f 4. В фермах (рис. 7 г) возникают только продольные силы. Поэтому n N N n lk N N n N N lk Pk k l . P P = dx= = dx P EF EF EFk k k=1 k=1 k=1