Определение и свойства числового ряда

Лекция 14. Определение и свойства числового ряда Пусть задана бесконечная последовательность чисел an  n 1 , a n R. Бесконечным числовым a1  a2  a3    an , рядом называется обозначаемое выражение   an . как Числа n 1 вида a1 , a2 , a3 , ... называются членами (элементами) числового ряда. (все члены ряда являются числами). Примеры числовых рядов:  1) 2) 1  2  4  8  ...   2 n1 n 1 1 1 1 1 1     ...   ... 3 5 7 2n  1 Ряд считается заданным, если известен его общий член n  1, 2, ... , т. е. задана функция f (n) an  f (n) натурального аргумента. 1  Пример 1. Ряд с общим членом an  2 n  n  1 имеет вид n 1  1 1 1 1    ...   ... . 2 2 2 2 1  2 2 3 3  4 n  n  1 n 1 Более сложной является задача: по нескольким первым членам ряда составить общий член ряда. Пример 2. Найти общий член ряда: 2 4 6    .... 5 9 13 Решение. Заметим закономерности для числителей и знаменателей дробей. Числа 2, 4, 6, … отличаются друг от друга на величину 1 d  2 , т. е. эти числа образуют арифметическую прогрессию с an определим как общий a1  2, d  2 . Тогда величину член арифметической прогрессии an  a1  d (n  1) . Получим a n  2  2(n  1)  2n . Аналогично, числа 5, 9, 13, … образуют арифметическую прогрессию со значениями a1  5, d  4 . Получим a n  5  4(n  1)  4n  1 . 2n 2 4 6 a     ... В результате для ряда общий член ряда n . 4n  1 5 9 13 Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда: S n  a1  a2  a3    an . Тогда S1  a1, S 2  a1  a2 , S3  a1  a2  a3 , ... и т.д. Получаем последовательность частичных сумм S1 , S 2 , S3 , ... : Sn . Таким образом, каждому числовому ряду   an можно поставить в n 1 n соответствие последовательность частичных сумм Sn : S n   ak . k 1 Если существует конечный или бесконечный предел S последовательности частичных сумм Sn , то он называется суммой ряда    an , т.е. lim S n  S  a1  a2  a3     an . n 1 n n 1 Если S конечно (S < ), то ряд называется сходящимся; если S =  или S не существует, то ряд называется расходящимся и суммы ряд не имеет. Итак, если дан ряд, то всегда можно поставить вопрос, сходится ли он (иными словами, существует ли конечный предел Sn ) или расходится? 2 Фактически с понятием суммы ряда встречаются уже в школе при выводе суммы всех членов бесконечно убывающей прогрессии. Напомним, что бесконечная геометрическая прогрессия, т.е. Ряд, значениями составленный b1 и q: из членов геометрической b  bq  bq  bq  ...  bq 2 3 n 1 прогрессии со   ...   bq n 1 называется n 1 геометрическим рядом, где q  0, q  1. Геометрический ряд сходится при величине q  1 и расходится при величине q  1 . Числовой ряд вида  1  np называется рядом Дирихле с показателем р, n 1 p R. Заметим, что при p  1 получаем ряд  1  n, который называется n 1 гармоническим. Ряд Дирихле  1  np сходится, если p  1 , и расходится, если n 1 p  1. Рассмотрим пример исследования ряда на сходимость и нахождения его суммы. Пример 3. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму  1 1 1 1 1  n(n  1)  2  6  12  20  .... n 1 1  an − общий член ряда. Тогда частичная n(n  1) 1 1 1 сумма ряда S n  a1  a2  ...  an    ... . 2 6 n(n  1) 1 1 1   Так как , n(n  1) n n  1 Решение. Обозначим 1  1  1  1 1 1 то S n  1            .  1 n 1  2   2 3  n n  1 1   Тогда lim Sn  lim 1   1  , n  n   n  1 т.е. ряд сходится и его сумма S = 1. 3 Свойства сходящихся рядов: 1. Если ряд и ряд a1  a2  ...  an  ... сходится и имеет сумму S , то a1  a2  ...  an  ... (полученный умножением данного ряда на число  ) также сходится и имеет сумму  S . 2. Если ряды a1  a2  ...  an  ... и b1  b2  ...  bn  ... сходятся и имеют суммы соответственно a 1 Sa и S b , то ряды:  b1   a2  b2   ...  an  bn   ... и ряд  a1  b1    a2  b2   ...   an  bn   ... также сходятся, а их сумма и разность равна соответственно S a  Sb и Sa  Sb . 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов. 4. Если ряд a1  a2  ...  an  ... сходится, то сходится и ряд an1  an2  ..., полученный отбрасыванием n первых членов ряда. Верно и обратное. Определение. Ряд rn  an1  an2  ... называется n -м остатком ряда a1  a2  ...  an  .... 5. Если ряд a1  a2  ...  an  ... сходится, то lim rn  0. n  6. Над сходящимися рядами можно выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Они выполняются как действия над многочленами. 4