Операции над нечёткими множествами и отношениями

Нечёткие множества Операции над нечёткими множествами и отношениями Пусть, во-первых, задано некоторое «обычное» множество X , которое мы будем называть универсальным множеством. Во-вторых, задана скалярная функция  A ( x ) : X →  0,1 , отображающая универсальное множество X на единичный отрезок  0,1 . Определение 1.1. Нечётким множеством A универсального множества X называется совокупность пар вида ( x  A ( x ) ) , где x  X . Функция  A ( x ) : X →  0,1 называется функцией принадлежности нечёткого множества A . Значение  A ( x ) на конкретном элементе x  X называется степенью (или мерой) принадлежности этого элемента нечёткому множеству A . Пример 1.1. Понятия «множество молодых людей» или «множество трудоспособных людей» носят расплывчатый характер. Формализуем их в виде нечётких множеств A={множество молодых людей}, B={множество трудоспособных людей}. Считаем, что свойство быть молодым или трудоспособным определяется только возрастом человека. Поэтому в качестве универсального множества возьмём множество всех положительных чисел, которое обозначим X . Считаем, что до 25 лет человек заведомо является молодым, а после 35 лет заведомо таким не является. Поэтому функция принадлежности  A ( x ) = 1 при 0  x  25 и  A ( x ) = 0 при x  35 . От 25 до 35 будем считать функцию  A ( x ) линейной. Таким образом, при 0  x  25, 1,   A ( x ) = 3,5 − 0,1x, при 25  x  35, 0, при x  35.  Считаем, что до 14 лет и после 80 лет человек заведомо не является трудоспособным, а от 16 до 70 лет он заведомо является трудоспособным. Тогда в качестве функции принадлежности нечёткого множества B можно взять при 0  x  14, 0, 0,5x − 7, при 14  x  16,   B ( x ) = 1, при 16  x  70, 8 − 0,1x, при 70  x  80,  при x  80. 0, Подмножество supp A значений x из универсального множества X , для которых  А ( х )  0, называется носителем нечёткого множества A . Если количество элементов, принадлежащих носителю нечёткого множества A конечно, то такое дискретное нечёткое множество можно представить в виде совокупности пар ( )( ) ( ) A =  A ( x1 ) x1 ,  A ( x2 ) x2 ,...,  A ( xn ) xn . (1.1) Наравне с обозначением (1.1), часто используется запись дискретного нечёткого множества A в виде суммы дробей A=  A ( x1 ) x1 +  A ( x2 ) x2  A ( xn ) n  A ( xk ) + ... + = , xn xk k =1 (1.2) где в знаменателе дробей записаны элементы xk , входящие в supp A , а в числителе – соответствующие им значения функции принадлежности  А ( хk ) элементов xk к нечёткому множеству A . Заметим, что приведённая в (1.2) запись означает, что множество A представляет собой объединение (а не арифметическую сумму) пар вида  A ( x ) x . ( ) Пример 1.2. Пусть нечёткое множество A описывает понятие «прекрасная оценка за экзамен». Считаем, что оценка «5» заведомо «прекрасная», поэтому  A ( 5) = 1 . Предположим, что для оценки «4» значение функции принадлежности  A ( 4 ) = 0,7 , а  A ( 3) = 0,1 , ведь и «удовлетворительно» для некоторых является желанным результатом. Оценку же «2» никто заведомо не считает прекрасной, поэтому  A ( 2 ) = 0 . Нечёткое множество может быть   записано как в виде (1.1) A = (1 5 ) , ( 0,7 4 ) , ( 0,1 3) , так и в виде (1.2) A = 1 0,7 0,1 + + . 5 4 3 По аналогии с (1.2), непрерывное нечёткое множество может быть записано в виде интеграла: A ( x) . x X A=  Приведённая запись означает, что нечёткое множество A представляет собой объединение континуума пар  A ( x ) x . ( ) Обычное подмножество A  X можно представить в виде нечёткого множества, если в качестве функции принадлежности взять её характеристическую функцию 1, если x  A, A ( x) =  0, если x  A. (1.3) Определение 1.2. Нечёткое множество  универсального множества X называется пустым, если  ( x ) = 0 для всех x  X . Пусть A и B являются нечёткими множествами универсального множества X с функциями принадлежности  A ( x ) и  B ( x ) соответственно. Считаем, что нечёткое множество A совпадает с нечётким множеством B , если  A ( x ) =  B ( x ) для каждого x  X . Таким образом, A = B   A ( x ) =  B ( x ) для всех x  X. Определение 1.3. Нечёткое множество A содержит нечёткое множество B если  A ( x )   B ( x ) для любого x  X . То есть, BA   A ( x )   B ( x ) для всех x  X. Заметим, что, во-первых, A = B тогда и только тогда, когда BA и AB . Во-вторых, определение принадлежности нечётких множеств для обычных подмножеств переходит в обычное определение принадлежности. Определение 1.4. Объединением нечётких множеств A и B универсального множества X с функциями принадлежности  A ( x ) и  B ( x ) называется нечёткое множество AVB универсального множества X , функция принадлежности которого задаётся формулой  AB ( x ) = max ( A ( x ) ;  B ( x ) ) . Определение 1.5. Пересечением нечётких множеств A и B универсального множества X с функциями принадлежности  A ( x ) и  B ( x ) называется нечёткое множество AB универсального множества X, функция принадлежности которого задаётся формулой  AB ( x ) = min ( A ( x ) ;  B ( x ) ) . Рассмотрим графическую интерпретацию операций объединения и пересечения. На рис. 1.1 графиком  A ( x ) является ломанная abc , а графиком  B ( x ) служит ломанная klmn . Графиком функции  A B ( x ) является ломаная abdlmec , а ломаная kden задаёт график функции  AB ( x ) . Следовательно, при объединении нечётких множеств фигуры, образованные графиками функций принадлежности и осью x, объединяются, а при пересечении нечётких множеств – пересекаются. Рис. 1.1. Графическая интерпретация операций объединения и пересечения Определение 1.6. Дополнением нечёткого множества A универсаль-ного множества Х с функцией принадлежности  A ( x ) называется нечёткое множество A универсального множества X , функция принадлежности которого задаётся формулой  A ( x ) = 1 −  A ( x ). Графическая интерпретация операции дополнения заключается в следующем: график функции  A ( x ) симметричен к графику функции  A ( x ) относительно прямой  ( x ) = (рис. 1.2). Рис. 1.2. Графическая интерпретация операции дополнения 1 2 Определение 1.7. Разностью нечётких множеств A и B одного универсального множества X с функциями принадлежности  A ( x ) и  B ( x ) называется нечёткое множество A \ B универсального множества X, которое задаётся формулой A \ B = A  B. Функция принадлежности разности имеет вид  A\ B ( x ) = min ( A ( x ) ;1 −  B ( x ) ) . Определение 1.8. Дизъюнктивной суммой нечётких множеств A и B одного универсального множества X с функциями принадлежности  A ( x ) и  B ( x ) называется нечёткое множество универсального множества X , которое задаётся формулой ( A \ B )  ( B \ A) = ( A  B ) V ( A  B ). Функция принадлежности дизъюнктивной суммы равна ( ) ( A\ B )( B \ A) = max min ( A ( x ) ;1 −  B ( x ) ) ;min ( B ( x ) ;1 −  A ( x ) ) . Cвойства операций с нечёткими множествами Теорема 1.1. Введённые операции с нечёткими множествами удовлетворяют следующим свойствам: 1) A  B = B  A ; A  B = B  A (коммутативность); 2) ( A  B )  C = A  ( B  C ) ; ( A  B )  C = A  ( B  C ) (ассоциативность); 3) A  A = A ; A  A = A (идемпотентность); 4) ( A  B )  C = ( A  C )  ( B  C )  (дистрибутивность); A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) ( ) 5) A = A (инволютивность); 6) A  B = A  B ; A  B = A  B (законы де Моргана); 7) A  X = X; 8) AA1 , A  X = A; A   = A; A   = ; X = ;  = X; BB1  ( A  B )  ( A1  B1 ) , ( A  B )  ( A1  B1 ) . Здесь посредством X обозначено нечёткое множество такое, что его функция принадлежности  X ( x ) = 1 для любого x  X . Отметим, что для нечётких множеств, вообще говоря, не выполнены следующие равенства: A  A = ; A  A = X. В самом деле, равенства min ( a,1 − a ) = 0 и max ( a,1 − a ) = 1 выполнены только при a = 0 или a = 1 . Пример (анализ сетей нечётких элементов). Введённые операции объединения, пересечения нечётких множеств и их свойства позволяют проводить анализ сетей, работа каждого элемента которых носит нечёткий характер. Группа экспертов оценивает качество работы каждого элемента. Требуется оценить качество работы всей сети. Универсальным X =  x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , где множеством может, например, служить множество x1 = ( работает отлично ) , x2 = ( работает очень хорошо ) , x3 = ( работает довольно хорошо ) , x4 = ( работает довольно плохо ) , x5 = ( не работает ) . После опроса экспертов с каждым элементом Ai сети свяжем нечёткое множество Ai = ( pi1 x1 ) , ( pi 2 x2 ) , ( pi3 x3 ) , ( pi 4 x4 ) , ( pi5 x5 ). (1.5) Под объединением двух элементов сети будем понимать сеть, полученную в результате параллельного соединения звеньев (рис. 1.3). Эта сеть работает с показателем качества xi в том случае, если с этим показателем работает хотя бы один из элементов A или B. Рис. 1.4. Последовательное соединение звеньев A  B Рис. 1.3. Параллельное соединение звеньев A  B Под пересечением двух элементов сети будем понимать сеть, полученную в результате последовательного соединения звеньев (рис. 1.4). Эта сеть работает с показателем xi в том случае, если с этим показателем работают оба элемента A и B. Рассмотрим конкретную сеть К, изображённую на рис. 1.5. Рис. 1.5. Пример сети Символ Е означает вход, символ S – выход сети. Как видно из схемы, нечёткое множество K, определяемое всей сетью К, задаётся формулой 𝐾 = ((𝐴1 ∧ 𝐴2 ∧ 𝐴3 ) ∨ (𝐴1 ∧ 𝐴3 ) ∨ 𝐴2 ) ∧ 𝐴1 . Допустим, что группа экспертов оценила качество работы каждого элемента Ai . Пусть нечёткие множества (1.5) имеют вид, представленный в табл. 1.1. Таблица 1.1 Экспертная оценка качества работы элементов сети Элемент A1 A2 A3 Универсальное множество x1 x2 x3 x4 x5 0,1 0,3 0,4 0,8 0,9 0,2 0,7 0,3 0,4 0,6 0,6 0,8 0,5 0,2 0,1 Используя свойства операций объединения и пересечения нечётких множеств, получим 𝐾 = (𝐴1 ∧ 𝐴2 ∧ 𝐴3 ) ∨ ((𝐴1 ∧ 𝐴3 ) ∧ 𝐴1 ) ∨ (𝐴2 ∧ 𝐴1 ) = = (𝐴1 ∧ 𝐴2 ∧ 𝐴3 ) ∨ (𝐴1 ∧ 𝐴3 ∧ 𝐴1 ) ∨ (𝐴2 ∧ 𝐴1 ) = = (𝐴1 ∧ 𝐴2 ∧ 𝐴3 ) ∨ (𝐴1 ∧ 𝐴3 ) ∨ (𝐴2 ∧ 𝐴1 ) = (𝐴1 ∧ 𝐴3 ) ∨ (𝐴2 ∧ 𝐴1 ). Отсюда, используя свойство дистрибутивности, получим K = A1  ( A2  A3 ) . (1.6) Результаты вычисления функции принадлежности приведены в табл. 1.2. Таблица 1.2 Функции принадлежности Элемент A2  A3 A1 K Универсальное множество x1 x2 x3 x4 x5 0,6 0,8 0,5 0,4 0,6 0,1 0,1 0,3 0,3 0,4 0,4 0,8 0,4 0,9 0,6 Теперь, по формуле (1.6) восстановим новую сеть, эквивалентную исходной в смысле качества работы. Эта сеть представлена на рис. 1.6. Рис. 1.6. Эквивалентная сеть Определение 1.9. Алгебраической суммой нечётких множеств A и B одного универсального множества X с функциями принадлежности  A ( x ) и  B ( x ) называется нечёткое множество A  B универсального множества X , функция принадлежности которого задаётся формулой  AB ( x ) =  A ( x ) +  B ( x ) −  A ( x )  B ( x ) . Определение 1.10. Алгебраическим произведением нечётких множеств A и B одного универсального множества X с функциями принадлежности  A ( x ) и  B ( x ) называется нечёткое множество A B универсального множества X , функция принадлежности которого задаётся формулой  A B ( x ) =  A ( x )B ( x ). Свойства алгебраического произведения и алгебраической суммы: 1) A  B = B  A, A B = B A (коммутативность); 2) ( A  B )  C = A  ( B  C ) , ( A B ) C = A (B C ) , (ассоциативность); 3) A  B = A B , A B = A  B (законы де Моргана); 4) A  X = X, A   = A, A X = A, A  = ; 5) AA1 , BB1  A  BA1  B1 , A BA1 B1.