Однофакторные производственные функции

Лекция 1. Однофакторные производственные функции Возможности любого производства отражаются характером зависимости между объемом выпускаемой продукции и соответствующими ему затратами сырья, полуфабрикатов, энергии, капиталовложений, труда и т.д. Всевозможные виды затрат называются факторами производства или ресурсами. Факторы производства имеют различные измерения (тонны, метры, киловатт-часы и др.). Общей единицей измерения всех ресурсов может служить рубль или другая денежная единица. Поэтому удобно иметь дело со стоимостным выражением как факторов производства, так и выпускаемой в результате их использования продукции. Определение. Функцию, выражающую зависимость между стоимостью выпускаемой продукции и стоимостью суммарных затрат на ее производство, называют однофакторной производственной функцией. Функция, в которой роль независимой переменной играют затраты, а зависимая переменна определяет уровень выпуска, называется функцией выпуска. В функции затрат, наоборот, независимая переменная- выпуск, а зависимая- затраты. Пример 1. Если затраты прямо пропорциональны объему выпуска , то функция затрат имеет вид . С помощью однофакторных производственных функций описывается также зависимость объема выпускаемой продукции от затрат некоторого специфического вида ресурса (трудовые ресурсы, основные производственные фонды, объем капиталовложений, различные виды сырья и др.). При этом затраты всех других участвующих в производстве ресурсов считаются постоянными. Пример 2. С помощью функции вида можно охарактеризовать зависимость урожайности некоторой сельскохозяйственной культуры от количества внесенных удобрений. При отсутствии удобрений урожайность составляет единиц. С увеличением объема используемых удобрений урожай сначала возрастает и при достигает наибольшего значения. Дальнейшее наращивание затрат удобрений оказывается неразумным, так как приводит к снижению урожая и даже полной его потере при (рис.1). Пример 3. Гиперболическая зависимость применяется, например, для моделирования зависимости затрат на единицу выпускаемой продукции от объема производства (рис.2). Величина уменьшается с увеличением , это означает, что с увеличением объема производства доля затрат неограниченно убывает. При большом объеме производства () удельные затраты лишь незначительно отличаются от (). Пример 4. Экспоненциальная производственная функция используется, например, для исследования динамики изменения объема производств с течением времени (рис.3). В начальный момент времени объем производства . Крутизна кривой на рис. 3 зависит от коэффициентов . Зависимость имеет место ив следующей ситуации. Если на банковский счет кладется сумма , то через лет на счете будет сумма , если банк выплачивает % годовых. Пример 5. Показательная функция может моделировать влияние затрат переменного ресурса на выпуск продукции, если уровень выпуска не может быть больше некоторой предельной величины . Так как , то с ростом неограниченно убывает, а возрастает. Если , то . При выпуск равен (рис.4). Пример 6. Степенная производственная функция обычно описывает ситуации, в которых рост затрат некоторого ресурса ведет к неограниченному увеличению выпуска . Насколько быстро растет зависит от величины параметров (рис. 5). ЛЕКЦИЯ 2. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ И НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Пусть функция выражает количество произведенной продукции за время . Необходимо найти производительность труда в момент времени . За период времени от до количество произведенной продукции изменится от значения до значения . Тогда средняя производительность труда за этот период времени равна . Очевидно, что производительность труда в момент времени можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при , т.е. равна . Экономический смысл производной: производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени. Производная логарифмической функции называется логарифмической производной, а так же относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции. Пример 7. Объем продукции , произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением , , где - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания. Производительность труда выражается производной , а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной и логарифмической производной В заданные моменты времени соответственно имеем: Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака и логарифмической производной с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы. Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной. Обозначим через объем производства некоторой продукции, через - суммарные затраты или издержки производства. Производственная функция (функция затрат) описывает зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции: . Если объем производства увеличится на единиц, то затраты возрастут на единиц. Среднее приращение издержек выражается отношением . Под предельными издержками производства понимают предел среднего приращения издержек при безграничном уменьшении , т.е. . (1) Предел (1) выражает дополнительные затраты на производство продукции при увеличении объема производства на малую единицу, если исходный объем производства составляет единиц. Экономический смысл производной в данной точке: производная выражает предельные издержки производства при данном объеме и характеризует приблизительно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Пример 8. Допустим, функция затрат имеет вид: . Определим предельные издержки производства при данном объеме выпуска . Решение. , тогда . Видим, что и, вообще, , если . То есть с увеличением объема производства предельные издержки (дополнительные затраты на следующую за -овой малую единицу выпуска) убывают. Увеличение выпуска на малую единицу требует все меньших дополнительных затрат. Пример 9. Пусть зависимость спроса на товар от цены на него выражается формулой . Определим скорость изменения спроса, когда цена на товар составляет 1 ден.ед., 4 ден. ед. Решение. Скорость изменения любой функции равна ее производной. В данном случае . Отсюда . Знак “минус” показывает, что с увеличением цены спрос на товар падает. Экономический смысл теоремы Ферма Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. Один из базовых законов теории производства звучит так: оптимальный для производства уровень пуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода. Обозначим функцию прибыли за . Тогда , где - функция дохода, - функция издержек. Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т.е. такое значение выпуска , при котором функция имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке . Но , поэтому , т.е. предельные издержки и предельный доход равны при оптимальном выпуске . Другое важное понятие теории производства- это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек. Получим это условие как следствие теоремы Ферма. Средние издержки определяются как , т.е. издержки по производству товара, деленные на произведенное количество товара. Минимум этой величины достигается в критической точке функции , т.е. при условии , откуда , т.е. . Что и требовалось доказать. Экономический смысл теоремы Лагранжа Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на промежутке и дифференцируема в , то существует по крайней мере одна точка , такая, что справедливо неравенство: . Экономический смысл теоремы Лагранжа. Пусть описывает зависимость выпуска от затрат некоторого специфического ресурса. Если объем затрат увеличили с до единиц, то разность выражает соответствующее изменение выпуска. Отношение (2) показывает на сколько единиц в среднем изменяется выпуск продукции, если затраты возросли на одну единицу. Другими словами, (4)- средняя производительность ресурса на промежутке . Предельная производительность ресурса равна значению производной функции выпуска при данном уровне затрат. Если затраты ресурса составляют единиц, то - соответствующая им предельная производительность . На основании теоремы Лагранжа можно утверждать, что для процесса производства описываемого функцией выпуска , которая непрерывна на и дифференцируема в , существует, по крайней мере, один уровень затрат , при котором предельная производительность соответствующего ресурса совпадает с его средней производительностью на . Экономический смысл выпуклости функции Закон убывающей доходности: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает. Иными словами, величина , где - приращение ресурса, а - приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении . Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция , выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией выпуклой вверх. Закон убывающей полезности: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Функция полезности , где - товар, - полезность, есть величина субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Очевидно, закон убывающей полезности можно переформулировать так: функция полезности является функцией выпуклой вверх. Лекция 3. Исследование функций в экономике. Предельные производительность, спрос, предложения На основании экономического смысла производной и аппарата дифференциального исчисления возникает множество экономических задач, связанных с исследованием функций. В частности, представляют интерес экономические понятия и задачи на предельную производительность ресурса, предельный спрос продукции от цены и т.д. Приведем определение и примеры таких задач. Пример 10. Предприятие производит единиц некоторой однородной продукции в месяц. Исследовать финансовые накопления, если зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой . 1. Из экономического смысла независимой переменной следует, что она неотрицательна. Итак, . 2. . при и . На промежутке производная положительна, на - отрицательна. В точке функция достигает максимума: . Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при они достигают максимума, равного 39000 ден.ед., дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений. Пример 11. Цементный завод производит тонн цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производительные мощности завода таковы. Что выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: . Удельные затраты это средние затраты на единицу продукции, в данном случае на 1 т цемента. При объеме производства в т удельные затраты составят: . Задача сводится к отысканию наибольшего, наименьшего значения функции на промежутке . Ответ: Пример 12. Требуется оградить забором прямоугольный участок земли площадью 294 кв. м. и затем разделить его на две равные части перегородкой. Каковы должны быть размеры участка, чтобы на постройку забора и перегородки было истрачено наименьшее количество материала? Указание. Обозначим ширину прямоугольного участка через х, а длину через у. Из условий задачи следует, что х  (0, + ). Поскольку площадь участка равна 294 кв. м., то х  у=S=294. Откуда получаем, что у=294/х, а общая длина Р всего загона равна: Р(х)=3х+2у=3х+2  294/х Таким образом, общая длина ограды представляет собой функцию от одной переменной х, и наша задача свелась к нахождению наименьшего значения этой функции в интервале (0, + ). Ответ: . Изменение предельной производительности ресурса Напомним основные определения и понятия. Пусть в производстве продукции используется несколько видов сырья. Однако затраты всех ресурсов строго регламентированы технологией производства. Только один ресурс (например, затраты труда) может изменяться, оказывая влияние на объем производства. Зависимость выпуска продукции от затрат этого специфического ресурса описывается формулой . Скорость изменения этой функции выражается ее производной и называется предельной производительностью ресурса. Если речь идет о затратах труда, то - предельная производительность труда. Значение меняется в зависимости от , т.е. речь идет о новой функции аргумента , а именно о . Естественно, возникает вопрос: какова скорость изменения ? Скорость изменения любой функции описывается ее производной. Если функция дифференцируема, то существует . Скорость изменения предельной производительности ресурса называется темпом изменения выпуска при изменении затрат этого ресурса. Аналогично определяется темп изменения спроса от цены d"(p), где d – спрос на продукцию, р – цена продукции. Пример 13. Если формула выражает зависимость спроса на товар от цены на него, то - скорость изменения спроса, или предельный спрос. Спрос является убывающей функцией цены, т.к. при любом значении . Темп изменения спроса . Другими словами, спрос убывает с нарастающей скоростью. Чем больше цена, тем быстрее уменьшается спрос на товар. Если , то . Определение. Монотонная функция возрастает (убывает) на все быстрее, если скорость ее изменения является возрастающей функцией. Если же скорость изменения функции убывает на , то говорят, что функция возрастает (убывает) на все медленнее. Очевидна, справедлива следующая Теорема. Для того, чтобы функция , имеющая на промежутке первую и вторую производные, возрастала (убывала) на нем все быстрее, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия для всех . Пример 14. Предположим, что на предприятии издержки производства вычисляются по формуле . Предельные издержки положительны при любом объеме производства . Это следует из того, что дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а старший коэффициент 1 положителен. Такой трехчлен может принимать только положительные значения. Вычислим . Легко установить, что , если , и при . Следовательно, если выпуск продукции не превышает 5усл.ед., то издержки производства возрастают все медленнее. Если же , то издержки растут все быстрее. Принцип акселератора Предположим, что технология процесса производства не меняется, а основные производственные фонды используются полностью. Введем следующие обозначения: - размеры основных производственных фондов в момент времени , - объем производства предметов потребления с помощью основных производственных фондов . Предположим, что масса основных фондов пропорциональна объему производства: , где - постоянный коэффициент пропорциональности (). Следовательно, . Это означает, что прирост основных производственных фондов в единицу времени пропорционален приросту выпуска предметов потребления в единицу времени. Прирост основных фондов в единицу времени есть результат капиталовложений . Можно, следовательно, записать, что в момент времени , т.е. капиталовложения пропорциональны приросту объема производства. Пример 15. Объем производства предметов потребления в период времени возрастает все быстрее, а с момента до возрастает все медленнее. Дать характеристику зависимости капиталовложений от спроса на предметы потребления. Кривая производства предметов потребления имеет вид, показанный на рисунке 6. Для , а для . Это означает, что функция возрастает в промежутке и убывает для . Из (3) и условия следует, что имеет такой же характер изменения, что и . Поэтому функцию можно изобразить кривой, приведенной на рисунке 7. Поведение графиков функций позволяет сделать следующие выводы. 1. Если спрос на предметы потребления (или, что то же самое, на производство) возрастает в каком-либо периоде все быстрее (промежуток ), то возрастают и капиталовложения. Следовательно, растет спрос на предметы производства, необходимые для увеличения выпуска предметов потребления. 2. Если спрос на предметы потребления (или их производство) с какого-то момента начинает расти все медленнее (промежуток ), это вызовет уменьшение размеров капиталовложений, т.е. падение спроса на средства производства. 3. Удержание капиталовложений на уровне, достигнутом в момент времени , возможно лишь в случае, если спрос на предметы потребления возрастает постоянным темпом, достигнутым в момент времени . Приведенное положение называют принципом ускорения или принципом акселератора. Пример 16. Зависимость спроса от цены описывается функцией . Исследовать функции спроса и выручки от цены, построить их графики. Спрос убывает с возрастанием цены, так как . Темп изменения функции отрицателен, если , и положителен, когда цена больше . График изображен на рис.8. Выручка от реализации товара по цене составляет: ден.ед. Производная этой функции положительна, если , и отрицательна для . Это означает, что с ростом цены выручка вначале увеличивается (несмотря на падение спроса) и при достигает максимального значения, равного . Дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, так как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки положительный, если , и отрицательный, пока . На промежутке функция возрастает все медленнее. Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены невыгодно. Для выручка убывает все быстрее т приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция вогнута. В точке график перегибается (см. рис. 9). ЛЕКЦИЯ 4. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЕЕ СВОЙСТВА. Эластичности элементарных функций Изучение различных экономических вопросов, таких, как определение динамики спроса населения на данный товар при изменении его цены или при изменении доходов населения, исследование диапазона взаимозаменяемости ресурсов производства, определение эффективности тех или иных затрат, прогнозирование изменения прибыли предприятия или фирмы под воздействием различных факторов и решение многих других проблем, приводит к необходимости выяснения на сколько процентов изменится одна величина, если другая увеличилась на 1%. Характеристика, дающая ответ на поставленный вопрос, называется эластичностью соответствующей функции. Приступим к построению этого показателя. Пусть аргумент функции получил приращение . Тогда значение функции изменится на величину . Приращения называют абсолютными приращениями аргумента и функции соответственно. Составим относительные приращения переменных и выразим их в процентах. Величина указывает, на сколько процентов изменилось значение аргумента, а дает соответствующее изменение значения функции. Отношение показывает, на сколько процентов в среднем меняется (увеличивается или уменьшается) значение функции, когда значение аргумента возрастает на 1% (увеличивается от до ). Это отношение будет характеризовать поведение функции в данной точке тем точнее, чем меньше . Пусть неограниченно убывает. Вычислим предел указанного отношения при условии . (3) Отношение не зависит от изменения . Оно играет роль постоянной и может быть вынесено за знак предела. Определение. Предел отношения относительного приращения функции к соответствующему относительному приращению аргумента при условии, что абсолютное приращение аргумента стремится к нулю, называется эластичностью функции по переменной и обозначается символом (4) Если функция дифференцируема в точке , то и формула (4) принимает вид или (5) Из (3) следует, что эластичность показывает, на сколько процентов изменится значение функции при увеличении независимой переменной на 1% (с до ). Формулу (5) можно переписать в виде Это означает, что для функции выпуска эластичность равна отношению предельной производительности ресурса к его средней производительности. Пример 17. Эластичность данной функции вычисляется по формуле При показатель эластичности равен 0.6. Это означает, что при увеличении с 2 до 2.02 значение функции возрастает примерно на 0.6%. Если , то . Следовательно, увеличение с 0 до 0.01 практически не меняет значения функции. Пример 18. . Здесь При показатель эластичности равен нулю. При увеличении с 1 до 1.01 значении функции практически не меняется. Если , то . Увеличение значения с 2 до 2.02 приводит к уменьшению значения функции на 4 %. Свойства эластичности 1. Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х. . . 2. Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины: . Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса 3. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей: 4. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей 5. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x) может быть найдена по формуле: Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса 3. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей: 4. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей 5. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x) может быть найдена по формуле: Эластичности элементарных функций 1. Эластичность степенной функции у=х постоянна и равна показателю степени : Ех(х) = . 2. Эластичность показательной функции у=ах пропорциональна х: 3. Эластичность линейной функции Если график линейной функции имеет отрицательный наклон (а<0), то эластичность функции меняется от нуля к точке ym пересечения графиком оси у до минус бесконечности (-) в точке пересечения оси х, проходя через значение (-1) в средней точке. Таким образом, хотя прямая имеет постоянный наклон, её эластичность зависит не только от наклона, но и от того, в какой точке х мы её находим (рис.10). Функция с бесконечной эластичностью во всех точках называется совершенно эластичной, с нулевой эластичностью во всех точках – совершенно неэластичной. ЛЕКЦИЯ 5. ВИДЫ ЭЛАСТИЧНОСТЕЙ В ЭКОНОМИКЕ Рассмотрим основные виды эластичностей. 1.Эластичность спроса по цене (прямая) показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию. Если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине больше единицы, то спрос называют эластичным (совершенно эластичным при бесконечно большой величине эластичного спроса). Если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине меньше единицы, то спрос называют неэластичным (совершенно неэластичным при нулевой эластичности спроса). И, наконец, если ценовая эластичность спроса по абсолютной величине равна единице, то говорят о спросе с единичной эластичностью. 2.Эластичность спроса по доходу характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителей этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует нормальные (качественные) товары, а отрицательная величина – малоценные (некачественные) товары Так, высокий положительный коэффициент спроса по доходу в отрасли указывает, что её вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли по доходу имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то её может ожидать застой и перспектива сокращения производства. 3. Перекрестная эластичность спроса по цене характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на одно благо при изменении цены на другое благо (замещающее или дополняющее его в потреблении) на один процент. Положительный знак перекрестной эластичности спроса по цене свидетельствует о замещаемости благ, а отрицательный – о дополняемости. 4.Ценовая эластичность ресурсов характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-нибудь ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один процент. 5.Эластичность замещения одного ресурса другим характеризующая необходимое изменение (в процентах) величины одного ресурса (например, капитала) при изменении количества другого ресурса (например, труда) на один процент с тем, чтобы выпуск при этом не изменился. Рассмотрим подробнее эластичность спроса относительно цены. Изучается зависимость спроса на товар от цены на него. Предположим, что цены на аналогичные товары, доходы потребителей и структура их потребностей – постоянные величины. Тогда зависимость спроса от цены можно описать с помощью функции . Во многих экономических исследованиях необходимо установить не величину спроса при каждом конкретном уровне цены, а характер изменения спроса при определенном изменении цены. В этом случае находят эластичность спроса относительно цены. В наших обозначениях Эластичность спроса относительно цены определяет, на сколько процентов изменится спрос на товар, если цена на него увеличится на 1%. Так как в большинстве случаев спрос является убывающей функцией цены и , то, чтобы избежать отрицательных чисел, в этих случаях при изучении эластичности принимают Знак «-» показывает, что спрос уменьшается при увеличении цены. Пример 19. Если функция спроса линейная: , то При имеем . Это означает, что увеличении цены на 1% спрос падает на %. При , показатель эластичности равен 1. Увеличение цены с 5 до 0.05 приводит к уменьшению спроса на 1%. При спрос уменьшается на 9%. Пример 20. Для (- постоянная, ) показатель эластичности равен 1 при любом уровне цены. Действительно, . Если спрос обратно пропорционален цене, то при любой цене увеличение ее на 1% влечет за собой уменьшение спроса также на 1 %. Определение. Говорят, что спрос эластичен, если повышению цены на 1% соответствует снижение спроса более чем на 1%, т.е. ; спрос нейтрален, если ; спрос неэластичен, если . В примере 19 спрос нейтрален при ; при - неэластичен и для - эластичен. Для функции спрос нейтрален при любой цене. Другими словами, спрос на товар эластичен, если небольшое изменение цены товара вызывает значительные изменения величины спроса на него. В обратной ситуации, когда изменение цены ведет к сравнительно небольшому изменению величины спроса, последний является неэластичным. Примерами товаров с эластичным спросом могут служить, например, яблоки, помидоры, персики и т.п. При росте цен на них покупательский спрос может переключиться на другие виды овощей и фруктов. При определенном уровне цен покупатели могут полностью отказаться, например, от употребления фруктов или заменить их соками и другими консервами. В то же время спрос на товары первой необходимости (лекарства, обувь, электричество, газ, телефон), на вещи, цена которых малоощутима для семейного бюджета (карандаш, зубная паста, крем для обуви) и труднозаменяемые товары (электрические лампочки, хлеб, бензин) является неэластичным. Исследуем динамику выручки при различных видах спроса. Общие расходы населения на данный товар (выручка от его продажи) при цене составляют . Предельная выручка равна , или . а) Если спрос эластичен, т.е. , то и с повышением цены выручка от продажи снижается. б) При нейтральном спросе () , и выручка практически не зависит от цены. В этом случае (- постоянная) и . Следовательно, в случае нейтрального взноса его размер пропорционален цене (см. пример 20). в) При неэластичном спросе () выручка увеличивается с ростом цены, так как в этом случае . Из сказанного видно, что знание эластичности спроса на данный товар позволяет прогнозировать направление изменения суммы выручки под влиянием роста или снижения цены. Очевидно, каждой фирме выгодно, чтобы спрос на ее продукцию был как можно более эластичным, ибо в такой ситуации существует возможность назначать сравнительно высокие цены. Значит, фирма должна прилагать все усилия к поддержанию спроса на ее товар на достаточно высоком уровне. Достижению этой цели способствуют хорошее качество продукции, четко организованное обслуживание потребителей, высокое качество рекламы Пример 21. Известно, что эластичность спроса на товар составляет 0.4. Определим, как изменится доход от реализации товара, если цену на него увеличить на 5%. При эластичности увеличение цены на 1% вызывает уменьшение спроса на 0.4%. Увеличение цены на 5% способствует уменьшению спроса на . Цена выросла на 5% и стала равной 1.05, где - старая цена. Если - спрос, соответствующий цене , то 0.98- величина спроса при цене 1.05. Выручка от реализации товара по цене составляла денежных единиц. После увеличения цены выручка возросла приблизительно на 3%. При неэластичном спросе (0.4<1) увеличение цены приводит к возрастанию выручки. Эластичность предложения определяется аналогично эластичности спроса: (6) Для дифференцируемой функции формула (5) принимает вид (7) или . (8) В отличии от формулы (5), выражающей эластичность спроса, в (7) и (8) отсутствует знак «-». Это связано с тем, что с ростом рыночной цены на товар предложение этого товара обычно растет. Каждому предпринимателю выгодно реализовать свою продукцию по более высокой цене. Поэтому - возрастающая функция и . Равенство (8) означает, что эластичность предложения равна отношению предельного предложения к среднему. Предложение также может быть эластичным и неэластичным. Определение. Предложение называется эластичным, если , неэластичным, если , и нейтральным, если . Например, фирма решила пригласить на работу дополнительное количество разнорабочих и квалифицированных наладчиков для скорейшего ввода в строй новой автоматической линии. Чтобы увеличить предложение услуг, руководство фирмы объявило об увеличении заработной платы на 1000 рублей в месяц. Если в городе много безработных, студентов, малооплачиваемых трудящихся, то такая надбавка к семейному бюджету может оказаться для них существенной, и предложение услуг в качестве разнорабочего будет эластичным по цене. Однако едва ли много квалифицированных, а следовательно и высокооплачиваемых наладчиков согласиться сменить место работы из-за такой прибавки к зарплате. Транспортные расходы, моральный ущерб, необходимость хотя бы частичной переквалификации для работы с новым для них оборудованием не окупятся дополнительной суммой в 1000 рублей. Здесь предложение услуг едва ли окажется эластичным по цене. Пример 22. Пусть зависимость предложения от цены описывается формулой . а) , т.е. - возрастающая функция цены. б) - функция вогнутая, темп изменения предложения постоянный. в) Предложение эластично по цене. Зависимость между спросом на товар и его ценой (а значит, и вид соответствующей кривой) в значительной степени определятся полезностью товара. На вид функции предложения в первую очередь оказывают влияние издержки производства. Определение. Цена, при которой величина спроса равняется величине предложения, называется равновесной (или ценой равновесия). В точке М величина спроса равна величине предложения, - цена равновесия (рис.1). Пример 23. - функция спроса, - функция предложения. Из уравнения найдем цену равновесия , отсюда или и . Следовательно, цена равновесия . Задания для самостоятельной работы 1. Спрос и предложение изменяются по следующим законам: 2. Найдите цену, при которой спрос совпадает с предложением (цену равновесия). Рассчитайте эластичность спроса при этой цене. Постройте графики спроса и предложения. 3. Формула выражает зависимость спроса от цены. Определите, при каких значениях спрос эластичен, нейтрален, неэластичен. Как зависит выручка от изменения цены? Сопоставьте с критериями эластичности. 4. Функция спроса имеет вид . Постройте график функции. Определите при каких значениях спрос эластичен, нейтрален, неэластичен. 5. Определите, на сколько процентов приблизительно изменится выручка от реализации товара. Если эластичность спроса равна , а цена на товар увеличена на %: а) %; б) %; в) %. Лекция 6. Многофакторные производственные функции, эластичности Определение. Функция независимых переменных, устанавливающая зависимость между затратами производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции, называется -факторной производственной функцией – ПФ (функцией выпуска) . (9) Если (9) выражает зависимость объема выпускаемой данным предприятием продукции от затрат ресурсов , запасы которых ограничены, то, очевидно, допустимыми можно считать значения , удовлетворяющие следующей системе неравенств: где – запасы i-го ресурса (в стоимостном или натуральном выражении). Не нарушая общности рассуждений, в дальнейшем будем рассматривать лишь функции двух независимых переменных. При моделировании экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда L и объём производственных фондов К. Национальный доход Y выступает в роли результата деятельности экономики: Y=F(K,L). В математических моделях функционирования отдельного предприятия, цеха, участка и т.д. Y обозначает объем выпускаемой данным экономическим объектом продукции. Формальные свойства производственных функций Производственная функция f(x1, x2) определена при х1≥0, х2≥0. ПФ должна удовлетворять ряду (для каждой конкретной ПФ – своему) свойств: 1. ; ; 2. ; 3. ; ; 4. . Свойство 1 означает, что без ресурсов нет выпуска, что при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска. Свойство 2 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет, и что с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет. Свойство 3 означает что с ростом затрат одного (i-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает. Если выполнены условия 3, то график Г ПФ есть поверхность, расположенная в неотрицательном ортанте трехмерного пространства Ох1х2у и выпуклая вверх. Вообще геометрический образ ПФ должен прежде всего ассоциироваться с выпуклой горкой, крутизна которой убывает, если точка (х1, х2) уходит в плоскости Ох1х2 на «северо-восток». Свойство 4 означает, что ПФ является однородной функцией (ОФ) степени p>0. При p>1 с ростом масштаба производства в t раз (число t>1), т.е. с переходом от вектора х к вектору tx, объем выпуска возрастает в tp (>t) раз, т.е. имеет рост эффективности производства от роста масштаба производства. При p<1 имеем падание эффективности производства от роста масштаба производства. При p=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от масштаба производства – в английской терминологии constant returns to scale). Для ПФКД свойства 1-4 выполняются. Для ЛПФ свойства 1 (при ) и свойство 4 не выполняются. Множество (линия) lq уровня (0 0, что следует из * = А* + * и А  0, * 0, *  0. Уравнение Леонтьева (9.1) можно записать следующим образом: (Е - А) = , (9.4) где Е - единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е - А. Понятно, что если обратная матрица (Е - А)-1 существует, то из (9.4) вытекает (Е - А)-1 (9.5) Следующая теорема дает более эффективное условие продуктивности, чем теорема 9.1 Теорема 9.2 (второй критерий продуктивности). Матрица А  0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А)-1 существует и неотрицательна. Доказательство. Если (Е – А)-1 существует и  0, то из формулы (9.5) следует продуктивность матрицы А. Обратно, пусть матрица А продуктивна, Рассмотрим следующие системы уравнений: (Е – А) , (Е – А) ,..., (Е – А) , где е1, е2,…, еn – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы)  0,   0,...,  0, что (Е – А) = , (Е – А) = ,..., (Е – А) = . (9.6) Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с1,с2,...,сп. Тогда вместо п равенств (9.6) можно написать одно: (Е – А)С = Е. Следовательно, матрица (Е – А) имеет обратную С, причем С  0. Теорема доказана. Пример 32. Исследуем на продуктивность матрицу В данном случае Необходимые вычисления предоставим читателю провести самостоятельно. Получаем матрицу (Е – А)-1, которая существует и равна Мы видим, что эта матрица неотрицательна. Следовательно, А продуктивна. Теорема 3. (третий критерий продуктивности). Матрица А  0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходиться бесконечный ряд. Е + А + А2 + ... (9.7) Полученный нами критерий продуктивности матрицы А (сходимость ряда (9.7)) в ряде случаев может быть использован для проверки матрицы А на продуктивность. Покажем, например, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше 1*, то А продуктивна. Действительно, пусть q - наибольшая из указанных сумм, q <1. Ясно, что тогда все элементы матрицы А не превосходят q. Из правила перемножения матриц легко вывести, что любой элемент матрицы А2 не превосходит q2: (A2)ij = ai1ajl + ai2aj2 +...+ ainanj  q (ai1 +...+ anj) < q2 <1. Точно так же получим, что элементы матрицы А3 не превосходит q3 и т.д. Отсюда следует сходимость ряда (9.7), а значит, и продуктивность матрицы А. Например для матрицы сумма элементов каждого столбца меньше единицы. Следовательно, А продуктивна. Аналогично доказывается, что если в неотрицательной матрице А сумма элементов любой строки меньше 1, то матрица А продуктивна. Впрочем, то же самое можно вывести и из следующего предложения: если продуктивна матрица А, то продуктивна и матрица Ат ,что следует из теоремы 2. Пусть А 0 – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число , что все матрицы , где 1<<1 + , продуктивны, а матрица (1+)А – не продуктивна. Пример 33. Выяснить, какой запас продуктивности имеет матрица А из примера 30. Решение. Будем руководствоваться критерием продуктивности из теоремы 2 (существование неотрицательной матрицы (Е – А)-1). В данном случае Определитель этой матрицы . Обратной матрицей будет . Для продуктивности нужно, чтобы все элементы обратной матрицы были неотрицательны, т.е. , , . Имеем при , . Отсюда матрица продуктивной при , т.е. . Запас продуктивности матрицы А равен 0,015. Задания для самостоятельной работы Задача 1. Отрасль состоит из четырех предприятий: вектор выпуска продукции и матрица коэффициентов прямых затрат имеют вид , . Найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли. Задача 2. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья, характеристики производства указаны в табл. 9.3. Таблица 9.3 Данные по выпуску продукции Вид сырья Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд. Запас сырья, вес. ед. 1 2 3 1 2 3 5 10 9 12 6 11 7 8 4 2350 2060 2270 Найти объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задача 3. В условиях примера 2 из 2.3.3 определить прирост объемов валовых выпусков по каждой отрасли (в процентах), если конечное потребление увеличить по отраслям, соответственно, на 30, 10 и 50 %. Решить задачу методом обратной матрицы и методом Гаусса. Задача 4. Исследовать на продуктивность матрицу . Найти запас продуктивности. Лекция 10. Линейные экономические модели: модель равновесных цен, модель международной торговли Модель равновесных цен Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А - матрица прямых затрат, (xl, x2,...,xn) – вектор валового выпуска. Обозначим через (р1, р2, …рn – вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный p1, х1. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме a11, второй отрасли в объеме а21, n-й отрасли в объеме an1 т. д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная a11 p1 + a21 p2 +...+ anl pn. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму равную x1(a11p1 + a21p2 +...+ an1pn). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим V1 (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции). Таким образом, имеет место следующее равенство: x1 p1 = x1 (a11 p1 +a21 p2 +… +an1 pn) + V1. Разделив это равенство на х1 получаем p1 = (a11 p1 +a21 p2 +… +an1 pn) + v1, где v1 – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей p2 = a12 p1 + a22 p2 + … + an2 pn +v2 …………………………………… pn = a1n p1 + a2n p2 +…+ ann pn +v2 Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом: , (9.8) где - вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что заменен на, – на, А – на Ат. Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей. Пример 34. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей. Назовем их условно: топливно-энергетическая отрасль, промышленность и сельское хозяйство. Пусть • транспонированная матрица прямых затрат, = (4;10;4) • вектор норм добавленной стоимости. Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой (9.8): , где СТ = (Е - АТ)-1 транспонированная матрица полных затрат. После необходимых вычислений имеем Отсюда получаем, что . Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11. Определим равновесные цены в этом случае. Принимая во внимание, что (5,11;10;4), находим, что Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5 %, второй - на 3,5% третьей отрасли - на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызванную этим повышением инфляцию. Модель международной торговли. Собственные векторы и собственные значения матриц Модель международной торговли (кратко: модель обмена) служит для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т.е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран- участниц. Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны. Для простоты изложения рассмотрим три страны-участницы торговли с государственными бюджетами Х1, Х2, Х3, которые условно назовем США, Германия, и Кувейт. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран. Пусть, скажем, США тратят половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, бюджета – на товары из Германии, оставшуюся бюджета – на товары из Кувейта. Кувейт, в свою очередь, тратит бюджета на закупки в Германии и ничего не закупает внутри страны. Введем структурную матрицу торговли: США Германия Кувейт Вообще, пусть аij – часть госбюджета, которую j-я стана тратит на закупки товаров i-й страны. Заметим, что сумма элементов матрицы А в каждом столбце равна единице. После подведения итогов торговля за год страна под номером i получит выручку pi = ai1X1 + ai2X2 + ai3X3. Например, США будут иметь выручку доля США доля Германии доля Кувейта Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны: для всех i Предложение 1. Условием бездефицитной торговли являются равенства p = Xi, i = 1,2,3. В матричной форме утверждение, содержащееся в предложении 1, выглядит следующим образом: АХ = Х, (9.9) где Обобщая равенства (9.9) рассмотрим следующее. Определение 10.1. Ненулевой вектор называется собственным вектором квадратной матрицы А порядка n, если (9.10) где – некоторое число. При этом число называется собственным значением матрицы А. Говорят так: есть собственный вектор матрицы А, принадлежащий ее собственному значению . Пример 35. Найдем собственные векторы и собственные значения следующей матрицы порядка 2: Положим – вектор - столбец. Тогда из соотношения (9.10) следует, что т.е. , или , (9.11) Если вектор – собственный, то это означает, что однородная система уравнений (9.11) имеет ненулевое решение. Согласно последней теореме это условие эквивалентно тому, что определитель системы (9.11) равен нулю. , или . Таким образом, собственными значениями матрицы А будут числа 2 и 3. Найдем соответствующие собственные векторы. Подставим =2 и =3 в систему (9.11) =2 =3 Однородная система уравнений тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда ее определитель равен нулю: Если раскрыть данный определитель, как в рассмотренном примере (9.11), то получится многочлен степени п относительно , называемый характеристическим многочленом матрицы А. Определение 10.2. Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Таким образом, собственные значения матрицы А являются корнями ее характеристического уравнения. Пример 36. Найти собственные значения собственные векторы матрицы. Запишем характеристическое уравнение: или . Следовательно, – единственное собственное значение матрицы А. Система уравнений для отыскания собственных векторов сводиться к единственному уравнению: х1 + х2=0, т.е. собственный вектор х = (–а, а, b) представляется в виде линейной комбинации двух линейно независимых векторов и . Вернемся к отысканию собственного вектора X в модели международной торговли. Система уравнений для нахождения X имеет вид (9.9) т.е. = 0. Нетрудно найти общее решение этой системы: поэтому в качестве собственного вектора можно взять вектор (4; 3; 2) В частности, это означает, что сбалансированность торговли этих трех стран может быть достигнута только в том случае, когда госбюджеты находятся в отношении X1: X2: X3 = 4: 3: 2 Определение. Максимальное по модулю собственное значение неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор - вектором Фробениуса для А. Понятие собственного значения, а также понятие вектора Фробениуса неотрицательной матрицы А позволяют по- новому подойти к вопросу о продуктивности модели Леонтьева. Теорема. Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы. Задания для самостоятельной работы Экономическая система состоит из 3 отраслей: топливно-энергетическая, промышленность, сельское хозяйство. Пусть – – транспонированная матрица прямых затрат, – вектор норм добавленной стоимости. 1. Определить равновесные цены. 2. Определить равновесные цены, если произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,1 в топливно-энергетической отрасли.