Оценка эффективности систем массового обслуживания с отказами и неограниченным временем ожидания

Лекция ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ И НЕОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ На прошлой лекции были рассмотрены примеры систем массового обслуживания (СМО), основные понятия теории массового обслуживания (ТМО), классификация СМО и их характеристики, а также изложена методика анализа СМО. Реальные технические устройства и системы чаще всего представляются системами массового обслуживания с ограниченным временем ожидания или их совокупностью. Кроме того, СМО этого типа являются промежуточными между СМО с отказами и СМО с ожиданием и могут рассматриваться как их обобщение. На прошлой лекции был проведён анализ СМО с ограниченным временем ожидания, а предельным переходом можно получить - необходимые аналитические соотношения как для СМО с отказами (), так и для СМО с ожиданием (). Поэтому настоящая лекция преследует следующие цели: применить изложенную ранее методику к анализу СМО с неограниченным временем ожидания и отказами; рассмотреть военно-экономические показатели эффективности СМО различных типов. Контрольные вопросы для проверки усвоения знаний полученных на предыдущей лекции 1. Вопрос: Классификация СМО. Ответ: Лекция №10, рис.4. 2. Основные характеристики СМО. Ответ: ◦ характер входящего потока заявок и его плотность; ◦ количество каналов обслуживания; ◦ среднее время обслуживания; ◦ среднее время ожидания. 3. Методика анализа СМО (потоки простейшие). Ответ: 1. Определить класс СМО. 2. По заданным характеристикам СМО рассчитать вспомогательные параметры, необходимые для входа в таблицу. 3. По таблице определить финальные вероятности состояний системы (или сразу основной показатель эффективности СМО). 4. Используя известные аналитические выражения, рассчитать требуемые показатели, характеризующие СМО. 4. Вопрос: По каким формулам производится расчет финальных вероятностей СМО с ограниченным временем ожидания; Ответ: 1. Финальные вероятности для СМО с отказами и СМО с неограниченным временем ожидания Финальные вероятности для СМО с отказами и СМО с неограниченным временем ожидания можно найти аналогично, т.е. построить граф состояний, записать систему алгебраических уравнений Колмогорова и решить ее. Более удобным и быстрым будет использования формул (16), (17) лекции №10. Тогда предельным переходом легко получаются нужные формулы. 1. СМО с отказами. При (т.е. ) формулы (16) принимают вид (1) Получили финальные вероятности состояний СМО с отказами. 2. СМО с неограниченным временем ожидания. При (т.е. ) формулы (16), (17) принимают вид (2) (3) 3. показатели эффективности и анализ СМО основных типов Рассмотрению перечня показателей эффективности СМО трех основных классов (с ограниченным временем ожидания, с отказами и с ожиданием) и посвящен третий вопрос лекции. Рассмотрим сначала показатели эффективности СМО с ограниченным временем ожидания. Основным показателем эффективности СМО с ограниченным временем ожидания является вероятность обслуживания заявки Pобс, которая называется также относительной пропускной способностью q и определяется через вероятность необслуживания заявки Pн (4) По физическому смыслу это есть доля обслуживаемых заявок от общего их числа. Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной PН, в установившемся режиме есть отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди необслуженными в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в систему в единицу времени. Так как на каждую стоящую в очереди заявку приходится поток заявок, уходящих из СМО необслуженными, с плотностью , то при наличии в очереди в среднем ms заявок получим (5) где (6) Подставив в (19) выражение для Pn+s (16), можно рассчитать ms, а затем по формулам (18) и (17) вероятности Pн и Pобс. Однако формулы получаются очень громоздкими, поэтому для практических расчетов пользуются таблицами функции - т а б л и ц а 31. Тогда вероятность обслуживания заявки можно определить по формуле (7) Эффективность функционирования СМО с ограниченным временем ожидания часто характеризуется и таким показателем, как абсолютная пропускная способность - среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени (8) Другими словами, это средняя плотность выходящего потока обслуженных заявок. В тех случаях, когда необходимо оценить степень загруженности системы (каналов), применяют следующие показатели: математическое ожидание числа занятых каналов (среднее число занятых каналов) или проще (9) коэффициент загрузки системы (каналов) - доля занятых каналов от общего их числа (10) коэффициент простоя системы (каналов) - доля простаивающих каналов от общего их числа (11) Поскольку в рассматриваемой системе заявки некоторое время могут ожидать обслуживания в очереди, то в качестве показателей эффективности СМО используют и такие показатели, как: МОЖ длины очереди (средняя длина очереди), определяемое из выражения (18) (12) МОЖ времени (среднее время) пребывания заявки в очереди (13) Все показатели эффективности СМО с ограниченным временем ожидания удобно свести в таблицу (рис. 3). В нее же сведем соответствующие показатели СМО с отказами и с ожиданием. Поскольку в СМО с отказами очереди быть не может, то в качестве ее показателей эффективности используются только первые пять показателей из числа перечисленных выше. При этом заявка будет обслужена, если в момент ее поступления в СМО свободен хотя бы один из каналов обслуживания, то есть (14) где вероятности Pк вычисляются или по таблице 27 как функции (вероятность Pn = Pотк по таблице 28 как функция ) или по формулам Эрланга (15) Формулы (28) получены предельным переходом из формул (16) для СМО с ограниченным временем ожидания. В СМО с ожиданием при дополнительном условии существования установившегося режима работы ( < n) все поступившие заявки рано или поздно будут обслужены, то есть Pобс = 1.Поэтому основным показателем эффективности СМО с ожиданием является вероятность немедленного обслуживания Pно. Заявка будет немедленно обслужена, если в момент ее поступления есть хотя бы один свободный канал, то есть (16) где вероятности Pк и Pn+s рассчитываются или с помощью таблицы 32 или по формулам (17) Формулы (30) получены предельным переходом из формул (16) для СМО с ограниченным временем ожидания при условии 