Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Лекция №7 Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка (2 часа) Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) n-го порядка относительно функции у = у(х) называется уравнение, которое связывает между собой эту функцию и ее производные вплоть до n-го порядка при каждом конкретном значении х. Такое уравнение можно представить в виде (1) где F — заданная функция своих аргументов. Переменная х называется независимой переменной или аргументом искомого решения, а у — искомой функцией или зависимой переменной. Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения. Производные могут записываться как y’, y’’, y’’’ и т.д., так и , что означает одно и то же. Функция у = у(х), а < х < b, называется решением уравнения (1) на интервале (а, b), если она, будучи подставленной в левую часть этого уравнения, обратит его в тождество на интервале (а, b). Пример 1: Доказать, что функция уравнения является решением дифференциального (С1, С2 – постоянные величины). Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем виде могужет быть записано: F(x, y, y’) = 0 или . Основные типы и формы записи дифференциальных уравнений 1-го порядка: График решения называется интегральной кривой, а процесс нахождения решений нтегрированием ДУ. Следует отметить, что методы решения ДУ достаточно многообразны - они существенно зависят от его вида, порядка (первого, второго, ), типа (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, ) и т д. При отыскании решения ДУ используют операцию интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной, обычно обозначаемой С. Если действие повторяется п раз, то, очевидно, и в решении будет содержаться п произвольных постоянных. Общим решением ДУ называется функция вида: y =  (x, C1, C2,…, Cn). Например, подстановкой можно проверить, что общим решением уравнения y’’ – 3y’ + 2y = 0 является функция: y = C1ex + C2e2x. Здесь С1 и С2 – произвольные постоянные. Если произвольным постоянным придать некоторые конкретные значения, то полученная функция называется частным решением ДУ. Задача нахождения частного решения ДУ, удовлетворяющего начальному условию у = у0 при х = х0, называется задачей Коши (по имени французского математика). Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными Уравнения этого типа могут быть приведены к виду: где P и Q – функции от переменных x и y, разлагающиеся на множители, зависящие или только от x, или только от y, то есть Разделив оба члена уравнения на произведение (y)f1(x), получим: Проинтегрировав это уравнение, получим общий интеграл уравнения: которого можно получить общее решение, выразив предварительно переменную y. , из Пример 2: Найти общее решение дифференциального уравнения: Решение: Сначала применим формулу: и подставим в уравнение: Теперь можно видеть, что переменные можно «разделить», домножив его почленно на xey: Почленно интегрируем: . Первый интеграл берем «по частям», второй – табличный. Поэтому общий интеграл: Логарифмируя обе части равенства, получаем общее решение дифференциального уравнения: Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка Дифференциальное уравнение вида: называется однородным, если P и Q – функции от переменных x и y одинакового измерения, то есть это функции одной и той же суммарной степени от x и от y. Еще одно определение однородной функции: Для решения такого уравнения необходимо привести его к виду: , после чего выполняется подстановка = или y = zx , а производная: y’ = z’x + z, так как z – это функция от переменной x. Полученное после подстановки уравнение уже сводится к уравнению с разделяющимися переменными! Пример 3: Решить дифференциальное уравнение: . Решение: Замечаем, что функции, на которые умножаются дифференциалы – однородны (и xy, и x2 и y2 - имеют суммарно 2-ю степень переменных). Поэтому это ДУ решается методом, применимым для однородных уравнений. А значит выполняем подстановку = или y = zx , а производная в этом случае: y’ = z’x + z. Подставляем в уравнение: Выполним почленное интегрирование: Теперь нужно перейти к «старым» переменным, то есть заменить . = . После чего получим: Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка Дифференциальное уравнение, приводящееся к виду: Первый способ решения – метод вариации произвольной постоянной: общее решение неоднородного уравнения находится в 2 этапа: сначала находится общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем, приняв произвольную постоянную за функцию от х, находится функция С(х). Второй способ заключается в представлении у(х) произведением двух неизвестных функций u(x) и v(x) и сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Итак, пусть у(х) = u(x) v(x), тогда по правилу дифференцирования произведения функций: . Подставив это выражение в исходное уравнение (2), получим: , которое, после преобразования, примет вид: (4) Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль: (5) то есть в качестве функции v(х) берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении (5) переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдем функцию v(x). Так как это решение частное, то при его интегрировании произвольную постоянную прибавлять необязательно! Так как функция v(x) является решением уравнения, то ее подстановка в уравнение зависящее только от u(x): (4) дает следующее уравнение, и являющееся также уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя это уравнение, прибавлять произвольную постоянную уже обязательно! Общее решение уравнения (2) находится как произведение найденных функций u(x) и v(x) Пример 4: Решить дифференциальное уравнение: . Решение: Замечаем, что вид этого уравнения полностью соответствует уравнению (2), то есть это уравнение является линейным неоднородным ДУ 1-го порядка. Представим у(х) = u(x) v(x) и ее производная . Подставим эти выражения в уравнение: Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство: После разделения интегрирование дает: переменных  это (6) или уравнение принимает вид:  . . Почленное его Константу мы не прибавляем! Подставив найденную функцию v(x) в уравнение (6), получим: . Это уравнение с разделяющимися переменными. Для нахождения функции u(x) разделяем переменные и, интегрируя, находим:   Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения как произведение найденных функций: Рекомендую посмотреть большое многообразие решенных примеров на сайте: https://function-x.ru/differential_equations3.html