Обучение школьников решению задач на построение циркулем и линейкой

Обучение школьников решению задач на построение циркулем и линейкой План 1. Задачи на построение в курсе планиметрии. 1.1. Этапы решения задачи на построение. Основные (простейшие) построения. 1.2. Методы решения задач на построение. 2. Роль и место задач на построение в курсе школьной математики. 3. Обучение школьников решению задач на построение циркулем и линейкой в школах РБ 1. Задачи на построение в курсе планиметрии. Задачи на построение — это задачи, в которых с помощью циркуля и линейки требуется выполнить то или иное построение, изобразив определенную геометрическую фигуру по ее заданным элементам. 1.1. Этапы решения задачи на построение. Основные (простейшие) построения. Задачи на построение на плоскости с помощью циркуля и линейки решаются с опорой на следующие условия (постулаты построения): 1. Через любые две заданные точки на плоскости можно провести прямую (возможность применения линейки). С помощью линейки нельзя проводить параллельные прямые, т. к. считается, что у линейки только один ровный край, и нельзя измерять отрезки, т. к. предполагается, что у линейки нет делений 2. Из любого центра можно описать окружность радиусом, равным длине любого наперед заданного отрезка (возможность применения циркуля). Решение задачи на построение на плоскости, как правило, состоит из четырех этапов. 1. Анализ задачи. Анализ задачи проводят с целью поиска ее решения. Для проведения анализа предполагают, что данная задача решена, требуемая геометрическая фигура построена и разыскивают между ее элементами зависимости, которые позволяют свести данную задачу к другим, известным ранее. 2. Построение. Точно указывается последовательность построений, которые необходимо выполнить для решения задачи. Этот перечень построений должен сопровождаться и фактическим выполнением чертежа при помощи циркуля и линейки. 1 3. Доказательство. На основании известных теорем производится доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи. 4. Исследование. Необходимо дать ответ на два вопроса: 1) всегда ли задача имеет решение (т. е. надо определить условия, при которых задача имеет решение и при которых — нет); 2) сколько различных решений имеет задача при каждом возможном выборе данных. Чтобы получить ответ на эти вопросы, удобно проводить исследование по ходу построения, это значит, нужно еще раз последовательно рассмотреть те построения, которые были выполнены, и для каждого из них определить, всегда ли это построение можно выполнить, и сколько результатов может дать это построение. Например. Построить геометрическое место точек плоскости, из которых данный отрезок AB виден под углом . Прежде, чем подробно рассмотреть решение данной задачи, вспомним, что геометрическим местом точек (ГМТ), удовлетворяющим некоторым свойствам, называется множество всех точек плоскости, обладающих этими свойствами, т. е. любая точка, принадлежащая ГМТ, обладает этими свойствами и любая точка, не принадлежащая ГМТ, этими свойствами не обладает. Простейшие примеры: – Окружность радиуса R на плоскости — это геометрическое место точек, отстоящих на расстоянии R от заданной точки O. – Серединный перпендикуляр к отрезку AB — это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. – Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. – Две прямые l1 || l2 || l— это геометрическое место точек, удаленных от заданной прямой на данное расстояние h. – Две равные дуги окружностей, симметричных относительно их  общей хорды AB (исключая точки A и B), радиусы которых R  — это 2 sin  геометрическое место точек плоскости, из которых данный отрезок AB виден под данным углом . Рассмотрим построение этого ГМТ. Пусть дан отрезок AB, угол XEY = . 2 Построим множество точек плоскости, из которых отрезок AB виден под углом . Решение. I. Анализ. 1) Для построения данного ГМТ достаточно найти способ построения одной из дуг, а затем построить дугу, ей симметричную относительно AB. 2) Пусть задача решена, и искомая дуга построена, т. е. AB — хорда окружности с центром O, угол AMB равен . 3) Задача свелась к нахождению способа построения центра O окружности: а) заметим, что O находится на серединном перпендикуляре OH (H — середина отрезка AB) к отрезку AB; б) тогда AOB = 2, а AOH = . Значит, OAH = 90°– . Следовательно, HAK = , где AK  AO. II. Построение. 1) Через точку H — середину AB — проведем прямую n, перпендикулярную AB. 2) Построим угол BAK, равный углу XEY, который равен . 3) К лучу AK в точке A восстановим перпендикуляр AP. 4) Найдем точку O пересечения прямых n и AP. 5) Построим окружность с центром в точке O и радиусом OA. Из любой точки дуги ACB отрезок AB виден под углом . III. Доказательство. 1) Угол HAO равен 90°– , т. к. угол KAO равен 90°(по построению) и HAK равен  (по построению). 2) Значит, угол AOH равен , т. к. OH  AB (O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB), и угол AOB равен 2. 3) Тогда для любой точки M дуги ACB угол AMB равен , т. е. выполняется условие, что отрезок AB виден из каждой точки дуги ACB под углом . IV. Исследование. Задача всегда (0° <  < 180°) имеет решение (два симметричных относительно отрезка AB дуги). Если  = 90°, то построения упрощаются. Любая точка окружности, исключая точки A и B, с центром O в середине отрезка AB и радиусом, равным OA, принадлежит искомому множеству. 3 Основные (простейшие) построения К основным (простейшим) построениям отнесем задачи, которые служат основой для выполнения других, более сложных. 1. Построить отрезок, равный данному. 2. Построить угол, равный данному. 3. Разделить данный отрезок пополам. 4. Построить биссектрису данного угла. 5. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой. 6. Из данной точки, не принадлежащей данной прямой, опустить перпендикуляр на эту прямую. 7. Из данной точки, лежащей на прямой, восстановить перпендикуляр к прямой. 8. Построить треугольник по трем сторонам (т. е. построить треугольник, стороны которого были бы равны трем заданным отрезкам). 9. Построить треугольник по трем сторонам и заключенному между ними углу (т. е. построить треугольник, две стороны которого и угол, заключенный между ними, были равны двум заданным отрезкам и заданному углу соответственно). 10. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам (т. е. построить треугольник, сторона которого и два прилежащих к ней угла были бы равны отрезку и двум заданным углам соответственно). 11. Разделить данный отрезок в данном отношении. (В 8 классе есть) а) Пусть дан отрезок AB и отрезки a и b. Нужно построить на отрезке AB такую точку X, чтобы AX : XB = a : b. Построение. 1) Из точки A проведем луч AM так, чтобы точка M не лежала на прямой AB. 2) На луче AM отложим отрезки AC и CD, соответственно равные a и b. 3) Соединим точки B и D. 4) Через точку C проведем прямую CX, параллельную BD. X = CX  AB. X — искомая. б) Если отрезок AB нужно разделить на отрезки, пропорциональные данным величинам a, b, c, …, то задача решается так же, как и предыдущая, 4 только от точки A на луче AM откладываются отрезки, пропорциональные данным величинам. Решение этих задач приведено в школьных учебниках и не вызывает, как правило, трудностей. Следующие задачи также часто являются составной частью более сложных задач, но их решения иногда вызывают затруднения учащихся, поэтому приведем алгоритмы построения, чтобы в дальнейшем можно было использовать их как основные построения. bc 12. Даны отрезки a, b, c. Построить отрезок x  (иногда говорят, a построить четвертый отрезок, пропорциональный трем данным). Построение. 1) На стороне OM произвольного угла MON от его вершины последовательно отложим отрезки OA и AC соответственно равные a и c. 2) На стороне ON угла MON отложим отрезок OB, равный b. 3) Соединим точки A и B. Через точку C проведем прямую CD, параллельную прямой AB. D = CD  ON. bc Отрезок BD — искомый, т. е. BD = x  . a 13. Даны отрезки a и b. Построить отрезок x  ab (иногда говорят, построить среднее геометрическое двух данных отрезков). Построение. 1) На произвольной прямой l отложим отрезки AB и BC так, чтобы точка B была единственной их общей точкой, соответственно равные a и b. 2) Разделим отрезок AC пополам (точка O) и радиусом, равным половине отрезка AC (отрезок OA), построим окружность с центром в точке O. 3) Из точки B восстановим перпендикуляр p к отрезку AC. Пусть D — точка пересечения прямой p с окружностью. BD — искомый отрезок, т. е. BD = x  ab . 14. Даны отрезки a и b. Построить отрезок x  a 2  b 2 . Построение. Построим прямоугольный треугольник с катетами a и b. Тогда гипотенузой построенного треугольника и будет отрезок x  a 2  b 2 . 5 15. Через данную точку A окружности провести касательную к ней. Построение. 1) Провести диаметр OA. 2) Через точку A, проведем прямую m, перпендикулярную радиусу OA. Прямая m — искомая касательная. 16. Через точку A, расположенную вне круга, ограниченного данной окружностью, провести касательную к этой окружности. Построение. 1) Соединим точку A с центром O данной окружности. 3) На отрезке OA как на диаметре построим окружность: а) разделим отрезок OA пополам (B — середина OA); б) построим окружность с центром в точке B и радиусом BA. 4) Найдем точки пересечения M и N данной окружности с центром O и построенной окружности с центром B. Прямые AM и AN — искомые касательные. 17. Построить геометрическое место точек плоскости, из которых данный отрезок AB виден под углом . Таким образом, мы выделили 17 задач на основные построения, которые наиболее часто используются при решении других более сложных задач. В дальнейшем при решении задач на построение делают ссылку на основные построения, не приводя описания их решений, а только выполняя необходимые построения циркулем и линейкой. Следует помнить, что при необходимости нужно уметь привести решение каждой из этих задач. 1.2. Методы решения задач на построение. Рассмотрим несколько наиболее распространенных методов решения задач на построение. Мы полагаем, что владение ими поможет поиску решения сложных задач. 1. Метод геометрических мест точек Сущность метода в следующем. Пусть при поиске решения задачи мы пришли к выводу, что задача будет решена, если будет построена фигура, удовлетворяющая некоторым двум условиям. Тогда: 1) устанавливается множество точек плоскости, удовлетворяющих только одному из условий; 2) строится множество точек, удовлетворяющих только второму условию задачи. Пересечение этих точечных множеств определяет искомую фигуру. 6 Рассмотрим пример задачи, для решения которой основным методом будет метод геометрических мест точек. Задача 1.1. Построить треугольник по стороне а, противолежащему этой стороне углу  и высоте ha , проведенной к этой стороне. І.Анализ задачи. 1). Пусть искомый треугольник АВС построен (рис.1.01). Угол ВАС равен  , сторона ВС равна а, высота АН, проведенная из вершины А к стороне ВС, равна ha . 2). Тогда из вершины А отрезок ВС виден под углом  , значит, точка А принадлежит геометрическому месту точек, из которых данный отрезок ВС виден под углом  . 3). С другой стороны, поскольку вершина А удалена от стороны ВС на расстояние ha , то она должна принадлежать геометрическому месту точек, удаленных от данной прямой (ВС) на данное расстояние ha . 4). Таким образом, вершина А может быть построена как пересечение этих геометрических мест точек. ІІ. Построение. 1). На произвольной прямой l откладываем отрезок ВС длины а (рис. 1.02). 2). Строим геометрическое место точек, из которых данный отрезок ВС виден под углом  (ОП 17). 3). Строим геометрическое место точек, удаленных на расстояние ha от прямой ВС, - две прямые, параллельные прямой ВС и отстоящие от нее на расстояние ha . 4). Находим точки А, A1 , A2 , A3 пересечения двух построенных геометрических мест точек. Эти точки определяют возможное положение третьей вершины (А) искомого треугольника АВС. ІІІ. Доказательство. Любой из полученных треугольников АВС, A1 ВС, A2 ВС, A3 ВС является искомым, так как для каждого из них сторона ВС равна а, угол противолежащий этой стороне – угол ВАС (В A1 С, В A2 С, В A3 С) - равен  , вершина А ( A1 , A2 , A3 ) удалена от стороны ВС на расстояние ha , т.е. высота каждого из треугольников, проведенная к стороне ВС равна ha . ІУ. Исследование. 1). Всегда единственным образом можно построить геометрическое место точек, из которых данный отрезок ВС виден под углом  (ОП 17). 2) Всегда единственным образом можно построить геометрическое место точек, удаленных на расстояние ha от прямой ВС. 3). Возникает вопрос, всегда ли эти геометрические места пересекаются. 7 Если АТ= ha  НР, где АТ  ВС, Т  ВС, Н – середина ВС, Р –точка пересечения ОН с дугой ВАС окружности с центром О и радиусом ОА (рис. 1.02), то задача имеет решение. a a . ОН = R cos = cos (из 2 sin  2 sin  a треугольника ВОН). Тогда , НР = (1+ cos ). 2 sin  a Таким образом, задача имеет решение, если ha  (1+ cos ). 2 sin  НР = ОР + ОН. ОР = R = Причем, если выполняется равенство, то искомых треугольников будет два, a (1+ cos ), то таких треугольников будет четыре. 2 sin  a Если ha > (1+ cos ), задача не имеет решений. 2 sin  если ha < 2. Метод спрямления. Сущность метода спрямления в том, что с целью открытия зависимости для решения данной задачи на построение на чертеже некоторые отрезки перекладывают так, чтобы вместо ломаной линии получился отрезок, равный сумме ли разности ее звеньев, и вместе с тем образовалась фигура, которая конструктивно связана с данной и легко может быть построена. Метод спрямления применяется при решении таких задач на построение, в которых даны сумма или разность определенных отрезков, являющихся сторонами искомой фигуры или тесно связанных с ней (диагональ, высота, радиус вписанной окружности и др.). 3. Метод подобия Сущность метода подобия при решении задач на построение состоит в следующем. Данная задача сводится к задаче на построение фигуры, подобной искомой, т.е. отбрасывается какое-нибудь одно из условий, характеризующих размеры исходной фигуры. Потом построенная вспомогательная фигура подвергается преобразованию подобия так, чтобы полученная в результате фигура удовлетворяла отброшенному условию. 4. Алгебраический метод. Сущность алгебраического метода решения геометрических задач на построение состоит в следующем: 1) неизвестные величины, фигурирующие в условии задачи, обозначают буквами x, y, z…; 2) составляют уравнения, связывающие эти неизвестные с данными в задаче величинами а, b, c…; 3) решают составленные уравнения; 4) исследуют полученные ответы; 5) выполняют требуемые построения. 5. Метод параллельного переноса. 8 Сущность метода в том, что с помощью некоторого вектора отображают какой-нибудь отрезок или другую часть исследуемой фигуры и сводят анализ (построение) данной фигуры к анализу (построению) вспомогательной, более простой фигуры, затем выполняют обратный перенос и переходят к построению фигуры, указанной в задаче. 6. Метод осевой симметрии. Сущность метода осевой симметрии состоит в следующем. Предполагается, что задача решена, при этом фигура F заменяется симметричной ей фигурой F ' относительно некоторой прямой l. После этого фигура F ' подчиняется тем же условиям, которым должна удовлетворять фигура F. В результате получаем новую задачу, которая решается одним из известных способов. Иногда есть необходимость возвращения к первоначальному условию задачи. 7. Метод поворота. Сущность метода состоит в том, что в результате поиска решения задачи замечают, что повернув какую-нибудь фигуру вокруг некоторого центра на некоторый угол, данную задачу можно свести к более простой, которая позволит построить искомую фигуру. Центр и угол поворота обычно выбирают так, чтобы в результате поворота совместились элементы одинаковой величины. 2. Роль и место задач на построение в курсе школьной математики Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков еще в VI-V ст. до нашей эры. Ими занимались почти все греческие геометры: Пифагор (VI ст. до нашей эры) и его ученики Гиппократ (V ст. до нашей эры), Евклид, Архимед, Аполлоний (III ст. до нашей эры). Вся история развития математики тесно связана с развитием геометрических построений. Геометрией треугольника на протяжении веков занимались замечательные ученые: Герон, Менелай, Птоломей, Эйлер, Симпсон, Дезарг, Адамар и др. Именно такая классика и может показать эстетическую привлекательность геометрии, будет способствовать математическому развитию учащихся. Задачи на геометрические построения на плоскости развивают логическое мышление, сообразительность, творчество, смекалку. Для поиска их решения часто необходимо использовать все известные сведения из геометрии, анализировать данные задачи, проводить исследование полученного результата. В этом их огромная ценность. Но и трудности при решении задач соответствующие. Часто умение решать задачи на построение является показателем геометрического развития учащихся. Процесс решения задачи на построение очень многообразен. Задачи на построение обладают ценными образовательными, развивающими, воспитывающими функциями. Они формируют поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным 9 исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной отработке умений и навыков. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение, что, в свою очередь, способствует формированию творческой деятельности учащихся. В школьном курсе математики роль задач на построение менялась от очень значительной (до 1968 г.) до почти полного исчезновения (в период алгебраизации геометрии), снова до существенной (по программе для 12летней школы РБ) и до незначительной в настоящее время. Программа по математике1 предусматривает изучение геометрических построений в следующем объеме. V-VI классы (требования к уровню подготовки учащихся): «Уметь строить угол с помощью транспортира по его градусной мере и перпендикулярные прямые с помощью угольника; уметь строить линейные, столбчатые и круговые диаграммы» (с.12). Содержание образования по классам: в 5 классе – построение прямого угла с помощью угольника. Построение угла с данной градусной мерой с помощью транспортира, линейные и столбчатые диаграммы, в 6 кл. – круговые диаграммы. VII-IX классы (требования к уровню подготовки учащихся): «Знать термины и правильно использовать понятия: задача на построение; коэффициент подобия; знать, какие элементарные построения можно выполнить линейкой, какие – циркулем; уметь строить отрезок данной длины и отрезок, равный данному; угол данной величины и угол, равный данному углу; уметь с помощью циркуля и линейки строить: серединный перпендикуляр отрезка; биссектрису угла; уметь разделить данный отрезок на равные части; на части в заданном отношении» (с. 18). Содержание образования по классам (построения с помощью циркуля и линейки): в 7 классе – серединного перпендикуляра к отрезку; угла, равного данному, биссектрисы угла; в 8 классе – деление отрезка на равные части; в 9 классе – построение правильного треугольника, четырехугольника и шестиугольника. В V-VI классах геометрические построения всегда выполнялись с помощью расширенного набора инструментов. На основании 1 Математика V- XI классы /Учебная программа для общеобразовательных учреждений с русским языком обучения. – Минск: НИО, 2009 10 геометрических построений учащиеся знакомятся со многими геометрическими понятиями и фактами. Теоретические сведения при этом усваиваются на основе практических действий, в более конкретной и материализованной форме. В уч. пособиях авторского коллектива под ред. Л.Б.Шнепермана: Математика для 5 класса (Ч. 1, 2009 г.) – вводятся понятия окружности и круга, сопутствующих понятий, даются задания на построение окружности, круга, их элементов (п. 4.4, п.4.5); в (Ч. 2, 2009 г.) – в п. 5.4. «Измерение углов», знакомство с транспортиром, измерением углов, построением углов с помощью транспортира; в п. 5.8. «Перпендикулярные прямые» – построение прямого угла с помощью угольника или транспортира. В п. 10.8. «Столбчатые и линейные диаграммы») вводится понятие столбчатой и линейной диаграмм, сказано, что при изображении столбчатой диаграммы требуется, чтобы столбики были одинаковой ширины и чтобы расстояния между столбиками тоже были одинаковыми. Можно вместо столбиков изображать на диаграмме отрезки определенной высоты. Такие диаграммы называют линейными. Математика для 6 класса (2010 г.) – п. 9.6. «Круговая диаграмма» – понятие круговой диаграммы, построение круговой диаграммы с помощью транспортира. В уч. пособиях Л.А.Латотина, Б.Д.Чеботаревского: Математика для 5 класса (Ч. 1, 2009 г.) – п. 7. «Окружность, круг, угол» – вводятся понятия окружности и круга, сопутствующих понятий; понятие угла, транспортира, градуса; приведен алгоритм измерения угла с помощью транспортира и алгоритм построения угла с помощью транспортира (с. 68); введено понятие прямого угла, показано, что прямой угол можно построить с помощью угольника (уголок без делений (рис.68) или чертежного треугольника (рис.69). В 5 классе (Ч.1, с.47): «Координатный луч используется для наглядного представления числовых сведений диаграммами». Приведен пример представления линейной диаграммой сведений о крупнейших притоках Вилии (с.48). На с. 50 представлены столбчатой диаграммой сведения о населении крупнейших городов Беларуси на конец 2007 г. Математика для 6 класса, 2010 г. – п. 11 «Деление числа на пропорциональные части. Круговые диаграммы». Вводится понятие круговой диаграммы «Круговая диаграмма показывает, как соотносятся части целого с этим целым» (с.155). На примерах подробно разбирается построение 11 круговой диаграммы. Следует отметить, большое количество задач на построение круговых диаграмм. Многие задачи носят компетентностный характер, например, № 531. Постройте круговую диаграмму распределения оценок по математике за первую четверть в нашем классе. № 532. На территории нашей страны выделяются три природнохозяйственных района: Южная Беларусь (67,2 тыс. кв. км); Северная Беларусь (50,3 тыс. кв. км); Центральная Беларусь (90,1 тыс. кв. км). Постройте круговую диаграмму распределения территории Беларуси по этим районам. Решим сейчас № 530. С 56% территории Беларуси вода собирается в Черное море, а с 44% - в Балтийское. Постройте круговую диаграмму распределения территории Беларуси по водосборам этих морей. 3. Обучение школьников решению задач на построение циркулем и линейкой в школах РБ Программой по математике не предусмотрено, по существу, обучение школьников в курсе планиметрии решению задач на построение. Не предполагается рассмотрение этапов решения задачи на построение, основных (простейших) построений, тем более, методов решения задач на построение на плоскости. В 7 классе по учебному пособию М7 Л.А.Латотина, Б.Д. Чеботаревского, 2009 г. – раздел VII «Геометрические построения» содержит сведения, которые несколько выходят за рамки программы, но являются, на наш взгляд, необходимыми для того, чтобы учащиеся поняли хотя бы «простейшие правила игры» при решении задач на построение циркулем и линейкой. Вводится понятие геометрической линейки, представление о возможных построениях с помощью циркуля, об элементарных построениях. «Решить задачу на построение означает свести ее к последовательному выполнению элементарных построений, которые можно выполнить циркулем или геометрической линейкой» (с.338). Рассмотрены основные построения: 1. Построить отрезок, равный данному. 2. Построить угол, равный данному. 3. Построить треугольник, равный данному. 4. Построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам. 5. Построить треугольник, сторона которого равна данному отрезку, а прилежащие к стороне углы – двум данным углам. 12 6. Построить треугольник, две стороны которого равны двум данным отрезкам, а угол между ними – данному углу. 7. Построить середину данного отрезка. 8. Построить биссектрису данного угла. 9. Построить прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярно данной прямой. 10. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой. 11. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. 12. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. Для самостоятельного решения предлагается достаточное количество задач, среди которых есть, например, № 927. Постройте треугольник, две стороны которого равны отрезкам АВ и CD, а высота, проведенная к третьей стороне, - отрезку EF. В 8 классе по учебному пособию М7 Л.А.Латотина, Б.Д. Чеботаревского, 2010 г. – в разделе VI «Подобные треугольники» после изучения теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках приведено решение задач: 1. Разделим данный отрезок на п отрезков-долей. (Решение - на 5 долей); 2. Разделим данный отрезок в данном отношении отношении m . (Решение - в n 3 ); 5 3. Построим отрезок, четвертый пропорциональный трем данным отрезкам. Для решения учащимся предлагаются, например, задачи: № 833. Длина отрезка DE равна 10 см. Постройте окружности с центрами в точках D и E, учитывая, что их радиусы относятся как 2:3 и окружности касаются: а) внешним образом; б) внутренним образом. № 834. Выберите произвольные точки А и В. Постройте окружности с центрами в точках А и В, учитывая, что их радиусы относятся как 1:2 и окружности касаются: а) внешним образом; б) внутренним образом. № 1008. Постройте треугольник, подобный данному треугольнику XYZ, с периметром, равным длине данного отрезка АВ. № 1009. Найти множество точек, расстояния которых до сторон данного угла относятся как: а) 1:2; б) k : l. 13 В 9 классе по учебному пособию М7 Л.А.Латотина, Б.Д. Чеботаревского, 2008 г. в разделе VII «Правильный многоугольник и окружность» сказано: «Напомним, как строить вписанные в окружность правильные четырехугольники, шестиугольники и треугольники. Используем тот факт, что диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому, чтобы построить вписанный в окружность правильный четырехугольник, можно провести два взаимно перпендикулярных ее диаметра и соединить последовательно их концы. …сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу. Поэтому если от произвольной выбранной точки окружности последовательно строить хорды, равные радиусу, то концевые точки этих хорд дадут вершины шестиугольника. Если же концевые точки шести полученных хорд соединить через одну, то получится правильный треугольник. Если построен правильный п-угольник, то разделив дуги описанной окружности, которые стягиваются сторонами-хордами, пополам, получим еще п точек, которые вместе с вершинами п-угольника дадут вершины правильного 2п-угольника» (с. 235-236). Так как учебные пособия В.В.Шлыкова Г8, Г9, Г10 соответствуют программе по математике для 12-летней школы, то в них содержится материал по задачам на построение с помощью циркуля и линейки, который выходит за рамки нынешней программы, в том числе и задачи на построение с использованием преобразований плоскости. Например, постройте циркулем и линейкой трапецию по диагоналям d1 и d2 и основаниям a и b. Литература 1. Учебная программа для общеобразовательных учреждений с русским языком обучения. Математика Y-ХI классы. - Мн.: НИО, 2009. 2. Лисова, М.И. Планиметрия. Итоговое повторение / М.И. Лисова, О.Н. Пирютко. – Мн., 2004. 3. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / А.Я.Блох и др.; Сост. В.Л.Мишин, - М.: Просвещение, 1987. 4. Учебники по математике для средних учебных заведений. 14