Общие вопросы работы трубопроводных систем

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» А. А. Ивашкевич ОБЩИЕ ВОПРОСЫ РАБОТЫ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ Курс лекций по дисциплине «Теплогазоснабжение и вентиляция» для студентов специальности 270109.65 Рекомендовано издательско-библиотечным советом университета в качестве курса лекций Хабаровск Издательство ТОГУ 2007 УДК 621.64 (07) ББК Н 76 И 242 Рецензенты: кафедра «Гидравлика и водоснабжение» Дальневосточного государственного университета путей сообщения (заведующий кафедрой д-р техн. наук, проф. Л. Д. Терехов), директор ООО «Энергосбережение» канд. техн. наук В. К. Сыркин Научный редактор канд. техн. наук, доц. Ю. В. Хоничев Ивашкевич А. А. И 242 Общие вопросы работы трубопроводных систем: курс лекций по дисциплине "Теплогазоснабжение и вентиляция»" для студентов cпециальности 270109.65 / А. А. Ивашкевич. – Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2007. – 144 с. ISBN 978-5-7389-0579-7 Изложены основные вопросы работы трубопроводных систем, рассмотрены основные характеристики трубопроводных сетей, методы расчета рабочих режимов систем с нагнетателями, особенности процессов кавитации и помпажа в водяных системах. Издание предназначено для студентов высших учебных заведений специальности ТГВ. УДК 621.64 (07) ББК Н 76 ISBN 978-5-7389-0579-7 © Тихоокеанский государственный университет, 2007 © Ивашкевич А. А., 2007 -3- ВВЕДЕНИЕ При изучении многих дисциплин студентам специальности «Теплогазоснабжение и вентиляция» постоянно приходится сталкиваться с понятием «трубопроводная система», то есть некоторая система, состоящая из трубопроводов и при необходимости механического побудителя движения среды – насоса, вентилятора, компрессора. Действительно, системы отопления, водоснабжения, теплоснабжения, газоснабжения, вентиляции и кондиционирования воздуха – это все трубопроводные системы. Именно трубопроводные системы и их оборудование являются основным предметом изучения специальных дисциплин, поэтому студентам старших курсов постоянно приходится заниматься анализом и расчетом режимов работы трубопроводных систем различного назначения. Несмотря на существенные отличия в конструкции систем различного назначения (особенно это касается оборудования, а не трубопроводов), базовые принципы работы и управления этими системами одинаковы. Поэтому вполне оправдано разобрать их предварительно перед изучением специальных дисциплин, чтобы потом делать упор на особенности конструкций, расчета и эксплуатации систем различного назначения. Таким образом, основной задачей курса «Теплогазоснабжение и вентиляция» (ТГВ) является изучение общих принципов работы трубопроводных систем, общих методик расчета рабочих режимов, а также конструкций устройств для управления трубопроводными системами – трубопроводной арматуры. Обращаем внимание, что в курсе ТГВ основной упор делается на изучение именно трубопроводных сетей, а не побудителей движения – нагнетателей. Конструкции, теоретические основы и работы применения и эксплуатации нагнетателей рассматриваются в последующем курсе «Насосы, вентиляторы и компрессоры» (НВК). Курсы ТГВ и НВК по сути являются подготовительными для изучения последующих специальных дисциплин. В данный курс лекций не включен раздел по трубопроводной арматуре, ввиду достаточно большого его объема и отсутствия прямой связи с рассматриваемым материалом, так как работа систем мало зависит от особенностей конструкции арматуры. Учебный материал по трубопроводной арматуре предполагается издать отдельным курсом лекций. -4- Лекция 1 Основные понятия о трубопроводных системах 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. Некоторые термины и понятия. Конструктивные характеристики трубопроводных систем. Характеристики перемещаемой среды. Режимные параметры трубопроводных систем. Потери давления и напора в трубопроводе. Понятие гидравлической характеристики трубопроводной сети и нагнетателя. 1.1. Некоторые термины и понятия Трубопроводная система предназначена для перемещения на определенное расстояние некоторой транспортируемой среды, которой чаще всего является вода или воздух. В некоторых системах могут применяться и другие среды. Так, в холодильных установках часто перемещаемой средой является фреон, находящийся в жидком или газообразном состояниях. Если перемещение среды используется для переноса некоторого количества теплоты, то говорят о транспортировании теплоносителя, что является типичной ситуацией для систем отопления и теплоснабжения. В системах вентиляции и кондиционирования перемещаемой средой является воздух, в системах газоснабжения – природные или искусственные горючие газы. Сама трубопроводная часть системы называется «трубопроводная сеть», для краткости очень часто ее называют просто словом сеть. Этот термин отражает тот факт, что сеть часто является сложным сооружением и состоит из большого числа отдельных трубопроводов, связанных некоторым образом друг с другом. Трубы изготавливаются обычно круглого сечения. Если сечение отлично от круглого, то говорят о системе «каналов». Например, вентиляционные каналы могут быть изготовлены из кирпича, бетона и других материалов и часто имеют прямоугольное сечение. Проходы для жидкости в конструкции некоторого оборудования тоже чаще всего называют каналами. Это более общий термин, и круглые трубы являются разновидностью каналов. -5- 1.2. Конструктивные характеристики трубопроводных систем Трубопроводная сеть состоит из отдельных трубопроводов, каждый из которых может иметь свои индивидуальные характеристики. Рассмотрим основные характеристики трубопроводов. 1.2.1. Размерные характеристики К размерным характеристикам относятся длина, размеры поперечного сечения и эквивалентная шероховатость. Длина трубопровода обычно измеряется в метрах, а для очень протяженных наружных сетей может измеряться в километрах. Часто параллельно прокладывают несколько трубопроводов, например, подающий и обратный трубопроводы отопления и тепловых сетей. В этом случае следует различать длину трассы, под которой понимается длина одной нитки трубопровода, и суммарную длину труб, которая равна сумме длин каждого трубопровода трассы. Размеры поперечного сечения труб обычно указываются в миллиметрах. Для круглых труб характеристикой поперечного сечения является надиаметр. При этом следует различать внутренний диаметр dвн, ружный диаметр dн, условный диаметр dу и эквивалентный диаметр dэ. Для расчета режима движения среды в трубопроводе важен только внутренний диаметр dвн, который часто обозначается просто как d. От внутреннего диаметра трубы зависит площадь поперечного сечения для прохода потока f, м2, и, как следствие, скорость потока в трубе v, м/с f = π (dвн /1000)2 /4, v = Q /f, (1.1) (1.2) где Q – объемный расход среды в трубе, м3/с. Однако на практике наиболее просто измерить не внутренний, а наружный диаметр трубопровода. Наружный диаметр зависит от толщины стенки трубы δст , которая может быть различной, так как трубы изготавливают на различные давления и температуры, из различных материалов и по различной технологии. Между всеми этими параметрами действует простое соотношение dн = dвн + 2 δст , (1.3) dвн = dн – 2 δст . (1.4) -6- Для многих труб в обозначении указывают наружный диаметр, и через знак умножения – толщину стенки. Так, обозначение 108×3,5 показывает, что наружный диаметр трубы равен 108 мм, а толщина ее стенки равна 3,5 мм. Таким способом обозначают размер медных, пластиковых, металлопластиковых и некоторых стальных труб. Для водогазопроводных стальных труб еще достаточно широко используется условный диаметр, показывающий средний диаметр труб, изготовленных под определенный диаметр наружной трубной резьбы. При этом внутренний диаметр трубы может несколько отличаться от условного. Так, труба с условным диаметром 1 дюйм обозначается как dу = 25. Более подробно об условных диаметрах будет сказано при рассмотрении соединений трубопроводов в разделе «Трубопроводная арматура». Эквивалентный диаметр используют в расчетах каналов, имеющих не круглое поперечное сечение, а прямоугольное или какой-либо другой формы. В общем случае эквивалентный диаметр dэ , мм, определяется по формуле dэ = 1000 × 4 f / П, (1.5) где f – площадь поперечного сечения трубы, м2; П – периметр внутреннего сечения канала, м. Для прямоугольного сечения f = (A × B) × 10-6, (1.6) П = 2 (A + B) / 1000 , (1.7) dэ = 2 A B / (A + B) , (1.8) где А, В – размеры сторон прямоугольного сечения канала, мм. Использование эквивалентного диаметра позволяет рассчитывать гидравлические потери давления для каналов произвольной формы по тем же самым формулам, по которым производятся расчеты для круглых каналов. Наиболее часто это делается для прямоугольных каналов систем вентиляции и кондиционирования и для внутренних каналов технологического оборудования, имеющих овальную, треугольную или другую форму. Эквивалентная шероховатость трубы Кэ характеризует среднюю величину выступов шероховатости на внутренней поверхности трубы или канала и указывается в миллиметрах. Для новых труб значение Кэ мало. Для стальных труб Кэ = 0,2, для медных и пластиковых труб менее 0,1 мм. Однако для труб, бывших в эксплуатации, шероховатость может быть значительно больше в связи с загрязнением внутренней поверхности. Для -7- трубопроводов наружных тепловых сетей шероховатость может быть более 10 мм. Для стальных вентиляционных каналов Кэ = 0,2, а для каналов из кирпича и бетона может достигать 5-10 мм, а иногда и больше. Рекомендуемые значения эквивалентной шероховатости каналов приводятся в специальной литературе. 1.2.2. Характеристики материала трубопровода К характеристикам материала относятся прочность, температурный диапазон и допускаемое рабочие давление среды. Очевидно, что все эти параметры зависят от материала, из которого изготовлен трубопровод. Сегодня трубы изготавливают из черной и нержавеющей стали, меди, пластика и металлопластика. Наиболее термостойкими являются стальные трубы – они могут работать до температур 200-400°С, а специальные трубы до 800 °С. Медные трубы работоспособны до температур около 200°С, а пластиковые и металлопластиковые – примерно до 100°С. Допускаемое рабочее давление зависит от вида материала трубы и от толщины стенки. Чем толще стенка, тем большее давление может выдержать труба. Однако увеличение толщины стенки приводит к увеличению массы трубы и ее стоимости, поэтому применять без необходимости толстостенные трубы нежелательно. На гидравлические режимы эти характеристики труб не влияют. 1.3. Характеристики перемещаемой среды Характеристики перемещаемой среды имеют важное значение для расчета гидравлического режима системы. К ним относятся плотность и вязкость. Плотность среды зависит от вида (вода, воздух или что-нибудь еще). Для воды плотность при 0°С равна 1000 кг/м3 и незначительно уменьшается при повышении температуры, составляя 960 кг/ м3 при 100°С. Плотность воздуха при 20°С равна 1,2 кг/м3. Она уменьшается с ростом температуры весьма значительно и при атмосферном давлении приближенно может быть определена по простой формуле ρ = 353 / (t + 273). (1.9) Следует отметить, что вода, как капельная жидкость, является практически несжимаемой, то есть плотность мало зависит от давления. Для воздуха, как и для любого газа, с увеличением давления плотность тоже увеличивается, что следует учитывать в системах, находящихся под значительным давлением. -8- Кинематическая вязкость для воды при 20°С равна 1×10-6 м2/с и с увеличением температуры уменьшается. Для воздуха кинематическая вязкость для воды при 20°С равна 15×10-6 м2/с и с увеличением температуры увеличивается. Данные по кинематической вязкости и плотности различных сред можно найти в специальной литературе. При проектировании трубопроводных сетей также учитывают и другие характеристики перемещаемой среды: коррозионную активность, степень загрязнения, температуру кипения и другие. 1.4. Режимные параметры трубопроводных систем Основными параметрами работы любой трубопроводной системы или ее отдельного элемента являются расход, скорость среды, давление или напор, потери напора, потребляемая мощность. Объемный расход среды Q, м3/с, часто называемый подачей, есть величина, численно равная объему жидкости, проходящей через поперечное сечение трубопровода за единицу времени Q = V / Δτ . (1.10) Часто используют и другие единицы расхода (м3/ч, л/мин, л/с), что следует учитывать при расчетах. Особенно часто в отечественной технической литературе по вентиляции используется единица м3/ч. Следует отметить, что обозначение объемного расхода буквой Q, является неудачным, так как в большинстве специальных дисциплин по кафедре ТТГВ этой буквой обозначают расход теплоты или тепловую мощность, которая измеряется в Вт. Однако во всех учебниках по курсу «Насосы и вентиляторы» принято именное такое устоявшееся обозначение, и чтобы не вносить путаницу, мы далее в нашем изложении будем также придерживаться такого обозначения. Кроме объемного расхода, используется понятие «массовый расход» G, который численно равен массе жидкости, проходящей через поперечное сечение трубопровода за единицу времени G = М / Δτ . (1.11) В международной системе единиц СИ массовый расход измеряется в кг/с, однако в отечественной технической литературе часто используются единицы кг/ч и т/ч. Между массовым и объемным расходами имеется простое соотношение: G=ρQ. (1.12) -9- При движении жидкости в трубопроводе расход может быть определен по скорости потока по формуле Q = w f, (1.13) где w– скорость движения жидкости, м/с; f – площадь внутреннего поперечного сечения трубы, м2. Соответственно, скорость потока в трубе определяется по формуле w=Q /f. (1.14) Давление Р, Па, в большинстве технических дисциплин понимают как силу, действующую на единицу площади: Р=F/S. (1.15) Однако в гидравлике, аэродинамике и дисциплинах, связанных с гидравлическими расчетами, давление понимается как энергетическая характеристика потока и измеряется в Дж/м3. Действительно, единицу измерения давления Па можно представить следующим образом: Па = Н/м2 = (Н м) / (м м2) = Дж/м3 Таким образом, давление следует понимать как энергию, приходящуюся на единицу объема жидкости или газа Р=Е/V. (1.16) Когда говорят, что давление среды равно 1000 Па, это означает, что каждый кубометр потока обладает механической энергией 1000 Дж. Механическая энергия бывает потенциальной и кинетической, поэтому давление тоже бывает двух видов: статическое Рст и динамическое Рд. Сумма статического и динамического давлений называется полным давлением Рп = Рст + Рд . (1.17) Статическое давление Рст есть скалярная величина. Оно действует равномерно во все стороны и характеризует потенциальную энергию сжатия жидкости или газа. Динамическое давление Рд (правильнее было бы называть его кинетическим) есть векторная величина. Оно действует только в направлении скорости потока и характеризует кинетическую энергию жидкости или га- - 10 - за. Формулу динамического давления легко вывести из формулы для кинетической энергии Рд = Ек / V = Мw2/2V = (М/V) w2/2 = ρw2/2 . Итак, Рд = ρw2/2 . (1.18) (1.19) Эту формулу следует хорошо запомнить, так как она исключительно часто используется в расчетах. При мере движения среды по трубопроводу происходит изменение давления – полного, статического и динамического. Причинами изменения динамического давления является изменение скорости потока, вызванное изменением поперечного сечения трубопровода, разделением потока по нескольким участкам, слиянием потоков, выпуском части среды из системы, изменением плотности среды. Как кинетическая и потенциальная энергия объекта, динамическое и статическое давления могут переходить одно в другое. При увеличении сечения трубопровода происходит торможение потока, при этом уменьшается скорость и динамическое давление, но возрастает статическое. Поэтому наиболее важной характеристикой потока является полное давление, которое никогда не может возрасти без воздействия некого внешнего источника энергии (нагнетателя). При простом движении жидкости по трубопроводу полное давление может только уменьшаться, так как энергия потока тратится на преодоление трения о стенки трубы, вихреобразование и перестройку потока при преодолении местных сопротивлений. Вместо понятия давления применительно к гидравлическим системам в расчетах часто используют понятие напор Н. Напор измеряется в метрах столба перемещаемой среды и показывает высоту столба жидкости, создающего определенное значение давления. Напор – это та высота, на которую может быть поднята жидкость под действием данного давления. Связь между напором и давлением очень простая: Р = ρ g Н, (1.20) где ρ – плотность жидкости, кг/м3; g – ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2. Как и в случае давления, различают полный, статический и динамический напор. Полный напор равен сумме статического и динамического напоров. Особенно часто понятием напора оперируют при расчете гидравлических (водяных) систем водоснабжения и теплоснабжения. В этом случае напор измеряется в метрах водяного столба (м.вод.ст.). Преимуществом - 11 - напора является то, что легко производить пересчеты, связанные с перепадами отметок трубопровода, так как геодезические и строительные отметки, как и напор, тоже измеряются в метрах. В некоторых случаях условный полный напор может вычисляться с учетом геодезических отметок местности h, м, отсчитываемых относительно некого условного нулевого уровня Нпу = Нст + Нд + h . (1.21) При таком подходе условный напор изменяется только за счет работы нагнетателя или наличия потерь в трубопроводе. Если нет потерь (при отсутствии расхода жидкости), то энергия жидкости остается постоянной независимо от геодезической отметки. На рис.1.1,а приведено распределение напоров по системе для случая отсутствия расхода. а Нст2 Нст1 2 Нст3 Нпу 1 3 Уровень условного нуля Закрыт б Нст2 Нст1 Ну 2 Нст3 1 Уровень условного нуля 3 Рис. 1.1. К понятию условного и действительного напоров: а – распределение напоров для случая отсутствия расхода б – распределение напоров для случая наличия расхода - 12 - Уровень воды в пьезометрических трубках показывает значение статического напора на каждом участке, который зависит от геодезической отметки участка. Условный напор Нпу при этом остается постоянным для всех сечений трубопровода, а фактические значения напоров в отдельных сечениях, которым соответствует высота столба в пьезометрических трубках, изменяются в зависимости от отметки трубопровода. При наличии расхода имеются потери напора (рис. 1.1,б), и напоры по длине трубопровода изменяются. Для некоторого потока можно вычислить его мощность N, Вт, которая характеризует общую энергию потока, проходящего через некоторое сечение в единицу времени N =РQ, (1.22) N =ρgНQ. (1.23) Если побудителем движения потока является насос или вентилятор, то главный интерес представляет не мощность самого потока, а мощность, потребляемая нагнетателем Nпотр = Р Q / η (1.24) Nпотр = ρ g Н Q /η, (1.25) где η – коэффициент полезного действия нагнетателя в долях едини цы. 1.5. Потери давления и напора в трубопроводе Как указывалось выше, при движении жидкости по трубопроводу энергия потока, то есть его давление или напор, уменьшается, в итоге потерянная механическая энергия потока переходит в теплоту, и жидкость нагревается. Так, при движении среды по участку 1 от точки А до точки Б (рис. 1.2) происходит изменение давления ΔР1 . ΔР1 = РБ – РА А РА w Участок 1 Б РБ Рис. 1.2. К понятию потерь давления в трубопроводе - 13 - Учитывая, что РА > РБ , ΔР1 получается отрицательной величиной. Математически это абсолютно правильно – в данном случае знак «минус» отражает именно тот факт, что в направлении движения потока полное давление уменьшается и снижение давления отражает затраты энергии на перемещение среды по участку. Однако расчетом затрат энергии в трубопроводных системах приходится заниматься очень часто и оперировать все время отрицательными величинами крайне неудобно. Поэтому принято величину снижения полного давления называть термином «потери давления», и в расчетах вычислять ее без знака «минус». Фактически, слово «потери» и заменяет нам знак «минус», означая по смыслу, что давление изменяется в сторону уменьшения. При этом повышение давления, создаваемое нагнетателями (приток энергии в систему), тоже вычисляют с положительным знаком. Подобный прием часто используется и в других дисциплинах и областях деятельности: в отоплении говорят о тепловых потерях и теплопоступлениях в помещения, в бухгалтерии есть дебет и кредит, в электротехнике есть ЭДС источника и падение напряжения на сопротивлениях цепи. Во всех случаях используемый термин однозначно говорит, идет речь о приросте некоторого параметра системы, или о его снижении. Кроме того, следует отметить, что при расчете трубопроводных систем чаще всего приходится производить расчет именно потерь давления на участках сети. Специалистам понятно, что потери давления – это разница давлений в начале и конце участка. Непрерывное использование знака «Δ» перед буквой давления или напора только усложняет написание формул и расчетов. Поэтому традиционно выражение «ΔР1», означающее потери на участке 1, записывается просто как Р1 , то есть знак «Δ» не пишется. При этом следует понимать, что запись РА , означает давление в точке А трубопровода, не являющееся разностью давлений. Для простоты изложения мы далее тоже не будем использовать знак «Δ» , придерживаясь следующей системы обозначений: – участки трубопроводов нумеруются арабскими цифрами, и потери давления и напора на участках обозначаются c соответствующим цифровым индексом без знака «Δ» (например, Р2, Н4,); – отдельные точки сети обозначаются заглавными буквами русского или латинского алфавита, давление и напор в этих точках обозначаются с соответствующим буквенным индексом (например, РБ, НY,); – нагнетатели в схемах систем обозначаются строчными буквами русского или латинского алфавита, и давление или напор нагнетателей обозначаются c соответствующим буквенным индексом без знака «Δ» (например, Ра, Нв,). На рис. 1.3,а приведена схема простой трубопроводной системы, состоящей из вентилятора и участков воздуховодов – всасывающего 1 и напорных 2 и 4. Между участками 2 и 4 установлена поворотная заслонка, - 14 - являющаяся местным сопротивлением на пути движения потока. На рис. 1.3,б показано распределение полных давлений в контрольных точках системы. Расчетные соотношения для вычисления давлений в точках системы также приведены на рисунке. а Рбар 1 а 2 В А Г3 4 Е Рбар Д Б б РВ Р2 Ра Р3 РД РА РГ РдЕ Р4 РЕ Р1 РБ РА = 0 РБ = РА – Р1 РВ = РБ + Ра РГ = РВ – Р2 РД = РГ – Р3 РЕ = РД – Р4 = 0 Рис. 1.3. Распределение давлений в вентиляционной системе: а – схема системы б – эпюра напоров в системе В точке А (забор воздуха из атмосферы) поток имеет нулевое давление (нулевой запас энергии), так как атмосферное давление принимается за условный ноль. При движении по участку 1 поток постепенно теряет энер- - 15 - гию на трение о стенки воздуховода, поэтому давление потока уменьшается. Затем поток поступает в вентилятор, где за счет воздействия рабочего колеса потоку сообщается механическая энергия, в результате чего давление потока возрастает от РБ до РВ. При движении по участку 2 давление потока снова постепенно снижается за счет трения. При прохождении заслонки 3 происходят потери давления в местном сопротивлении, связанные с перестройкой потока. На графике давлений эти потери отображаются скачкообразным понижением давления в рассматриваемом сечении. После заслонки поток движется по участку 4, снова теряя давление на трение о стенки. Из участка 4 поток в точке Е выходит в атмосферу, поэтому его давление в этой точке равно атмосферному, то есть нулю. Скачек давления на выходе из воздуховода характеризует потери в местном сопротивлении при выходе из воздуховода – при выходе просто из отверстия теряется динамическое давление, то ест КМС=1. Таким образом, полное давление потока на краю воздуховода перед выходом в атмосферу равно динамическому давлению, а за воздуховодом оно принимается равным 0, так как воздух вышел из системы и его кинетическая энергия (динамическое давление) для системы потеряно. Таким образом, в системе есть зона, где давления воздуха ниже атмосферного, и зона, где они выше (на рисунке они помечены знаками «–» и «+»). На рис. 1.4 приведена схема простой трубопроводной системы и распределение напоров в ней. Расчетные соотношения для вычисления напоров приведены на этом же рисунке. На поверхности водоема действует барометрическое давление, принимаемое обычно за условный ноль, поэтому напор в точке А тоже равен нулю. На участке 1 вода поднимается по трубопроводу, но так как никаких источников энергии нет, то работа подъема совершается за счет энергии, запасенной в потоке, то есть напора самого потока. Поэтому напор потока уменьшается. Кроме того, напор уменьшается на величину Н1 из-за наличия потерь на трение и местные сопротивления. На участке 2 трубопровод горизонтальный, поэтому напор уменьшается только на величину потерь Н1. При прохождении воды через насос а напор потока увеличивается на величину На , так как энергия от двигателя через рабочий орган насоса передается потоку. Далее на горизонтальном участке 3 напор снижается на величину потерь Н3, а на участке 4 напор снижается на величину потерь Н4 и на величину геометрического перепада отметок между точками Д и Е. Из трубопровода в точке Е поток выходит в атмосферу, поэтому напор потока равен нулю. - 16 - а Е Насос а Б В 1 hБ = hВ= hВ = hД 4 Г 2 Д НЕ 3 Уровень условного нуля А б НГ НД Н3 НЕ НА НБ Н2 НВ НА = 0 НБ = НА – hБ – Н1 НВ = НБ – Н2 НГ = НВ + На НД = НГ – Н3 НЕ = НД – Н4 – (НЕ – НД) Рис. 1.4. Распределение напоров в трубопроводной системе: а – схема системы; б – эпюра напоров в системе Расчетные зависимости для потерь давления зависят от режима движения жидкости (ламинарный или турбулентный). Тип режима определяется по критерию Рейнольдса Re, который численно равен отношению сил инерции и вязкости в потоке: - 17 - Re = w d / v , (1.26) где w – скорость движения жидкости в трубопроводе, м/с; d – внутренний диаметр трубопровода, м; v – кинематическая вязкость среды, м2/с. Чем больше значение критерия Рейнольдса, тем меньше влияние сил вязкости, препятствующих вихреобразованию в потоке, то есть турбулентного пермешивания. При Re < 2200 режим движения потока ламинарный, при 2200 < Re < 10 000 режим движения переходный, а при Re > 50 000 режим движения чисто турбулентный. В системах ТГВ в подавляющем большинстве случаев наблюдается ярко выраженный турбулентный режим — для всех воздуховодов и водяных систем с диаметрами труб более 100 мм (наружные тепловые сети, трубопроводы котельных, магистрали теплоснабжения и отопления внутренних систем). Переходный режим наблюдается в водяных системах с небольшим диаметром труб (стояки и приборные узлы систем отопления, горячего водоснабжения). Однако большое количество местных сопротивлений дополнительно турбулизирует поток, и режим течения близок к турбулентному. Поэтому в расчетах систем ТГВ обычно используются зависимости для турбулентного режима, что дает приемлемую точность расчетов. Излагаемый ниже материал также ориентирован только на зависимости турбулентного режима. Различают два вида потерь: потери на трение о стенки трубопроводов и местные потери, то есть потери в местных сопротивлениях (МС) (поворотах, сужениях, тройниках, трубопроводной арматуре и так далее), вызванные перестройкой потока при преодолении МС и возникающим при этом вихреобразованием. Потери на трение пропорциональны длине трубопровода l Ртр = R l = (λ l /d) Рд , (1.27) где R – удельные потери на трение, то есть потери на трение, приходящиеся на единицу длины трубопровода, Па/м; λ – коэффициент гидравлического трения. Коэффициент гидравлического трения λ чаще всего определяется по формуле Альтшуля λ = 0,11 (68 / Re + Кэ /d)0,25 , (1.28) где Кэ – эквивалентная шероховатость стенок трубопровода, мм; d – внутренний диаметр трубопровода, мм. - 18 - При больших значениях Rе значение λ в основном определяется шероховатостью трубопровода и очень мало зависит от Rе, а следовательно, и от скорости жидкости в трубопроводе. Значение Rе пропорционально скорости, которая, в свою очередь, пропорциональна расходу, поэтому λ в этом случае практически не зависит от расхода Q. Часто в расчетах принимают постоянное значение коэффициента трения, что значительно упрощает методику расчета. Местные потери определяются по формуле Z = (Σ ζ ) Рд , (1.29) где Σ ζ – сумма коэффициентов местных сопротивлений на рассматриваемом участке трубопровода. Коэффициенты местного сопротивления ζ для различных элементов трубопроводных систем (обозначаемые часто сокращением КМС) определяются, как правило, опытным путем. В справочниках приводятся или готовые значения КМС, или формулы и таблицы для их расчета. В практических расчетах чаще всего принимается, что КМС для какого-либо элемента трубопроводной системы не зависит от скорости или расхода среды в трубопроводе. С учетом вышеизложенного выведем общую формулу для расчета потерь на участке трубопровода: Р = R l + Z; Р = (λ l /d + Σ ζ) Рд; Р = (λ l /d + Σ ζ) ρw2/2; Р = (λ l /d + Σ ζ) ρ (4Q / (π d 2))2 / 2; (1.30) Р = [8 (λ l /d + Σ ζ) ρ / (π2 d 4)] Q2. Если местные потери равны 0, то в трубопроводе существуют только потери давления на трение, и они могут быть определены по формуле Ртр = [8 λ l ρ / (π2 d 5)] Q 2 (1.31) Таким образом, в приближенных расчетах можно принимать, что потери на трение обратно пропорциональны пятой степени диаметра трубопровода. Если считать, что коэффициент гидравлического трения λ не зависит от расхода и плотность перемещаемой среды постоянна, то выражение в квадратных скобках в формуле (1.30) является константой, не зависящей от расхода, так как все остальные параметры в нем есть постоянные величины. Обозначим эту константу A и будем называть ее коэффициентом сопротивления трубопровода. Окончательно получим - 19 - Р = А Q2. (1.32) Полученное выражение есть уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат. Коэффициент А является обобщенным показателем свойств трубопровода с учетом свойств перемещаемой среды. Мы как бы отвлекаемся от отдельных физических факторов, и вводим единственный параметр, характеризующий трубопровод как некое препятствие на пути движения потока. Физический смысл коэффициента А легко понять, если записать формулу (1.32) в несколько ином виде: А=Р/Q2 (1.32а) Если принять Q = 1, то А = Р, то есть: Коэффициент сопротивления трубопровода А численно равен потерям давления при единичном расходе перемещаемой среды. Особо обращаем внимание на то, что значение коэффициента А зависит от того, в каких единицах подставляются в формулу расход и давление. Так, если при расходе 1 м3/с потери составляют 2000 Па, то А = 2000. А если расход подставлять в л/с, то так как 1 м3/с =1000 л/с, значение А будет равно 0,002. Зная коэффициент А, легко вычислить расход через трубопровод при известном значении потерь давления в нем Q = Р/А . (1.33) Выражение для напора обычно записывают в такой же форме, подразумевая, что значение коэффициента A будет выражено в соответствующих единицах Н = А Q2 . (1.34) Из формул для потерь давления и напора следует, что если нет расхода в трубопроводе, то нет и потерь, то есть при Q = 0 имеем Р = 0. Свойства трубопровода можно выражать и другим способом. Запишем выражение (1.31) в другом виде Q = Кv Р , (1.35) Кv = Q / (1.35а) Р, где Кv — коэффициент пропускной способности, или просто пропу скная способность арматуры или некого устройства (в том числе и трубопровода). - 20 - Если принять Р = 1, то Кv = Q, то есть: Пропускная способность трубопровода Кv численно равна расходу перемещаемой среды в трубопроводе при единичном перепаде давления. При указании свойств арматуры обычно расход указывается в м3/ч, а давление в барах. Из сравнения уравнений (1.33) и (1.35) следует Кv =1/ А . (1.36) Учитывая, что потери давления на трение и на местные сопротивления пропорциональны динамическому давлению потока, можно общие потери считать потерями в неком условном местном сопротивлении. Таким образом, трубопровод или некое устройство можно считать неким препятствием на пути движения потока, обладающим только местными потерями. Тогда некий условный коэффициент местного сопротивления отражает свойства трубопровода. С другой стороны, можно считать, что все потери – это потери по длине. В этом случае считают, что трубопровод имеет некую условную длину, с учетом которой и вычисляются потери на трение L = l + lэкв . (1.37) Эквивалентная длина lэкв – это длина такого отрезка трубопровода, в котором потери давления на трение такие же, как и в местных сопротивлениях рассматриваемого трубопровода: lэкв = Σ ζ /(λ /d) . (1.38) В каждом случае выбирают наиболее удобный способ записи cвойств трубопровода. 1.6. Понятие характеристик трубопровода и нагнетателя Как ясно из изложенного выше, потери давления в неком участке трубопровода зависят от расхода, характеристик трубопровода и перемещаемой среды. Зависимость потерь давления от расхода называется гидравлической характеристикой трубопровода. Обращаем внимание, что расход и потери давления – это режимные параметры работы трубопровода, а зависимость – это их взаимосвязь. Любая зависимость двух параметров на графике отображается линией. - 21 - Из уравнения (1.32) следует, что при турбулентном режиме движения среды в трубопроводе зависимость давления от расхода в координатах Р–Q выражается параболой, которая является графическим отображением характеристики трубопровода, или короче графической характеристикой. Линия есть бесконечное множество точек, каждая из которых в данном случае определяет некий режим работы трубопровода, характеризуемый сочетанием двух параметров: расхода и давления. Таким образом, графическая характеристика трубопровода отражает бесконечное множество возможных рабочих режимов трубопровода при неких постоянных значениях констант (плотности и вязкости перемещаемой среды, длины, диаметра и шероховатости трубы). Общий вид графической характеристики трубопровода приведен на рис. 1.5. Р Рф Математическая парабола Ф Рк Характеристика при ламинарном режиме К -Q Q Qк Qф Характеристика трубопровода -Р Рис. 1.5. Графическая характеристика трубопровода Обращаем внимание, что по оси ординат на графике откладываются потери давления, которые являются разницей давлений в начале и в конце участка. Знак «Δ», как оговаривалось выше, не пишется просто для краткости изложения. При отсутствии расхода нет и потерь давления в трубопроводе, то есть парабола проходит через начало координат. При увеличении расхода потери давления тоже возрастают. - 22 - Положительным значениям расхода соответствует некоторое вполне определенное направление движения среды по трубопроводу, которое условно принято за положительное (от начала к концу трубы). Отрицательные значения расхода означают изменение направления движения на противоположное. Так принято понимать знак «минус» во всех дисциплинах, где производится расчет некого потокораспределения. В электротехнике это ток, в теплотехнике – потоки теплоты. Тепло и ток те же самые, просто изменяется направление их передачи. Учитывая, что слово «потери» само означает уменьшение давления при движении по участку, положительным значениям расхода соответствуют положительные значения потерь давления, поэтому график располагается в первом квадранте. При этом характеристика трубопровода имеет существенное отличие от математической параболы: ее левая ветвь развернута вниз. Так происходит потому, что при изменении направления расхода через трубопровод (изменении знака), меняется знак давления на концах трубопровода (поток всегда движется от большего давления к меньшему). Отрицательным значениям расхода всегда соответствуют отрицательные значения потерь давления, а положительным – положительные. Таким образом, линия графической характеристики трубопровода всегда имеет общий положительный наклон и идет из левого нижнего угла системы координат в правый верхний угол. С учетом вышесказанного, общее уравнения (1.32) и (1.34), традиционно применяемые для математического описания характеристики трубопровода при положительных расходах, при решении задач в области отрицательных расходов целесообразно несколько модифицировать Р = А Q |Q| , (1.39) Н = А Q |Q| , (1.39а) Q=Р/ А |Р| , (1.40) Q=Н/ А |Н| . (1.40а) При такой записи удается сохранить правильные знаки расхода и потерь давления, которые всегда должны быть одинаковыми, что позволяет использовать эти уравнения при компьютерных вычислениях, когда направление расхода может быть заранее не известно. В этом случае знак ответа однозначно указывает полученное в решении направление потока. В некоторых, очень редких случаях, в трубопроводе или каком-либо устройстве может иметь место ламинарный или переходный режим течения (при малых скоростях потока и малых диаметрах трубопровода). В - 23 - этом случае показатель степени в уравнениях (1.32) и (1.34) может быть меньше 2 (при ламинарном режиме 1), а графическая характеристика сети отлична от параболы (при ламинарном режиме – прямая линия). Данная ситуация в настоящем курсе не рассматривается. Аналогично понятию характеристики трубопровода используется понятие характеристики нагнетателя, которая тоже может быть представлена в графической форме. Отличие заключается в том, что вместо потерь давления по оси ординат откладываются внешние перепады давления, создаваемые нагнетателем при различных значениях расхода. Пример характеристики нагнетателя приведен на рис.1.6. Р Рф Ф Рк К -Q Q Qф Qк -Р Рис. 1.6. Графическая характеристика нагнетателя Рабочий орган нагнетателя (например, рабочее колесо с лопатками) развивает некоторое давление, часть из которого неизбежно теряется во внутренних каналах самого нагнетателя. То давление, которое остается за вычетом этих внутренних потерь, и называется внешним давлением нагнетателя (в разговорной речи просто давлением нагнетателя). Это внешнее давление может быть потрачено во внешней трубопроводной сети, подсоединенной к нагнетателю. При увеличении расхода через нагнетатель увеличиваются потери во внутренних каналах нагнетателя и ухудшается работа рабочего органа нагнетателя (рабочего колеса). Из-за этого внешний перепад давления, создаваемый нагнетателем, уменьшается, и при некотором значении расхода он становится равным нулю. При дальнейшем увеличении расхода внешний перепад давления становится отрицательным. - 24 - При изменении направления движения через нагнетатель и увеличении расхода перепад давления увеличивается. Чем больше значение обратного расхода через нагнетатель, тем больший перепад давления нужен для преодоления действия рабочего органа и внутренних потерь давления. Однако следует понимать, что этот перепад давления создается не нагнетателем, а некоторым внешним источником энергии, действующим навстречу нагнетателю и преодолевающим его давление. Таким образом, линия графической характеристики нагнетателя всегда имеет общий отрицательный наклон и идет из левого верхнего угла системы координат в правый нижний угол. Форма линии характеристики зависит от типа нагнетателя и его конструктивных параметров. В каталогах и справочниках характеристики нагнетателей чаще всего приводятся в графической форме, при этом готовое математическое уравнение для нее не приводится. При необходимости такая характеристика может быть аппроксимирована некоторым уравнением вида Р = f (Q), где вид функции выбирается произвольно. Проще всего и надежнее использовать степенной полином, для которого коэффициенты легко находятся с использованием метода наименьших квадратов. Для поиска коэффициентов можно использовать любое программное обеспечение для аппроксимации набора данных, например программу EXCEL. - 25 - Лекция 2 Энергетические и массовые балансы в системе. Метод наложения характеристик 2.1. Источники и потребители энергии в системе. Разбиение системы на нагнетатель и сеть. 2.2. Уравнения балансов среды и энергии в системе. 2.3. Графический метод наложения характеристик. 2.1. Источники и потребители энергии в системе. Разбиение системы на нагнетатель и сеть Реальная трубопроводная система может состоять из большого числа отдельных элементов, однако при расчетах и анализах ее работы часто удобнее представить ее состоящей всего из двух условных элементов: нагнетательной установки (НУ) и трубопроводной сети (ТС). Такой подход несет в себе вполне понятный принцип: нагнетательная установка выступает в роли источника энергии в системе, а трубопроводная сеть – в роли потребителя энергии. В технике системы типа «источник-потребитель» встречаются крайне часто: электрические цепи, теплоиспользующее оборудование, гидравлические системы, конвейер и его привод. Любое гидравлическое, механическое, тепловое и электрическое оборудование можно представить именно таким образом. Отметим, что выделить отдельно один источник энергии в системе бывает затруднительно, так как система может иметь несколько отдельных источников, расположенных в различных ее частях. Система является единым комплексом, и выделение в ней источника достаточно условно. В некоторых случаях система может не иметь потребителя, то есть сети. В электротехнике это случай короткого замыкания. При этом потребителем энергии является сам источник энергии, так как он обладает неким внутренним сопротивлением (рис. 2.1). Абсолютно аналогично любой нагнетатель имеет рабочий орган (чаще всего это рабочее колесо) и внутренние каналы, являющиеся внутренним сопротивлением движению потока. Если включить нагнетатель без внешней сети, то это внутреннее сопротивление начнет выполнять ее роль и ограничит величину расхода через нагнетатель. - 26 - а б Rвн R1 Е Rвн Е Источник энергии Потребитель энергии Источник энергии Потребитель энергии Рис. 2.1. Электрическая цепь как источник и потребитель энергии: а) обычный режим; б) режим короткого замыкания Поэтому следует помнить, что разбиение системы на источник энергии и потребитель условно, и делается исключительно ради удобства выполнения расчетов, анализа работы системы или отображения свойств ее элементов. Если нет необходимости такого подхода, систему можно описать целиком, считая ее одним единым комплексом с определенными свойствами. При этом мы все равно должны отнести ее к вполне определенному типу и считать ее или источником энергии, или потребителем. Фактически, понятия «источник» и «потребитель» опять-таки указывают на знак изменения энергии, или направление ее передачи – наличие источника увеличивает энергию системы (источник передает ей энергию), а наличие потребителя ее уменьшает (энергия теряется). Используя эти понятия мы можем не указывать знак «плюс» или «минус», оперируя в разговоре, а часто и в расчетах, только положительными величинами. На рис. 2.2 приведен пример самой простой трубопроводной системы, состоящей из вентилятора а и участка воздуховода 1. Запишем для данной системы изменения давления на каждом элементе, начиная от входа потока в систему и кончая выходом: Рбар + Ра – Р1 = Рбар . (2.1) Атмосферное (барометрическое давление) Рбар в обеих частях уравнения сокращается, и, следовательно, не влияет на энергетический баланс в системе. Именно поэтому оно обычно принимается за условный ноль. После сокращения получим Ра – Р1 = 0 . (2.1а) - 27 - а НУ а Рбар С 1 Рбар 1 Рбар б НУ а С Рбар в НУ Рбар а С 1 Рбар Рис. 2.2. Деление трубопроводной системы на нагнетательную установку и сеть: а – 1-й вариант; б – 2-й вариант; в– 3-й вариант Уравнение (2.1) отражает фактические изменения давлений в системе с учетом их знаков при прохождении нагнетателя давление потока увеличивается (Ра записано со знаком «+»), а при прохождении трубопровода оно уменьшается (Р1 записано со знаком «–»). Уравнение (2.1а) является просто сокращенным видом уравнения (2.1), но оно ясно показывает, что все элементы, составляющие систему, отражены в левой части уравнения. Так как в этой части с положительным знаком учитываются положительные давления нагнетателя, то левая часть отражает свойства нагнетательной установки. Знак «минус» перед потерями с сети Р1 означает отрицание, противоположность и равносилен частице «не». Действительно, потери – это «не полезное давление вентилятора», «не запас энергии». При этом линия деления системы на нагнетатель и сеть проходит справа от системы (вариант 1), то есть все, что есть в системе, относится к нагнетательной установке. Ни один из элементов не принадлежит сети – ее как бы нет. Раз сети нет, то нет и потерь в ней, поэтому в правой части уравнения (2.1а), отражающей потери в сети, закономерно стоит ноль. Таким обра- - 28 - зом, линии деления системы на рис. 2.2,а в уравнении (2.1а) соответствует знак равенства – именно он делит уравнение на две части. Перепишем уравнение (2.1а) другим образом, перенеся все из левой части в правую: 0 = – Ра + Р1 . (2.1б) Теперь все перепады давления в элементах нагнетательной установки сосредоточены в правой части уравнения, причем с положительными знаками подсчитываются потери в сети, а давление нагнетателя стоит с отрицательным знаком. Знак «минус» перед давлением вентилятора Ра ясно означает, что полезное давление вентилятора – это «не потери». Теперь условная линия деления системы на нагнетатель и сеть проходит слева от системы (вариант 2), то есть все, что есть в системе, относится к сети. Ни один из элементов не принадлежит нагнетательной установке – ее как бы нет. Раз ее нет, то нет и положительных запасов давления, создаваемых ею, поэтому в левой части уравнения (2.1б), отражающей давления нагнетательной установки, закономерно стоит ноль. Уравнение (2.1а) можно записать еще одним способом, оставив в левой части давление Ра и перенеся в правую часть потери давления в сети Р1 Ра = Р1 . (2.1в) Данный вариант записи является самым естественным: в левой части записано то, что относится к нагнетательной установке, а в правой – то, что относится к сети. Замечательным свойством такого подхода является то, что теперь и давление нагнетателя, и потери в сети оказываются с положительным знаком. Это означает, что все графическое решение будет расположено в первом квадранте системы координат. Кроме того, решение уравнения получается на один шаг короче. Условная линия деления системы на нагнетатель и сеть теперь проходит посредине системы (вариант 3). Очевидно, что как бы мы не переносили слагаемые в уравнении, это не может изменить его – меняется просто форма записи. Если в уравнении больше слагаемых, то количество возможных вариантов записи увеличивается, однако никакие перестановки слагаемых не меняют уравнение. После того, как исходное уравнение записано в соответствии с физическими особенностями системы и соединением ее элементов, физика заканчивается, и в дело вступают законы математики, которые позволяют переносить любые слагаемые в левую или правую часть уравнения, относя их тем самым к условной нагнетательной установке или сети. При этом меняется положение условной линии деления системы. Но как бы мы ни выбирали положение линии деления, система как таковая остается прежней. Значит, по любому из вариантов получится один и тот же ответ. Просто есть варианты более предпочтительные (вариант 3) и менее предпочтительные с - 29 - точки зрения простоты и понятности решения задачи. В простой системе, приведенной на рис. 2.2, принципиально неправильного варианта деления просто нет. В более сложных системах есть принципиально неприемлемые варианты деления, поэтому там данному вопросу следует уделять более пристальное внимание. Столь длинные рассуждения по поводу такого простого уравнения нами предприняты для того, чтобы дать ясно понять, что деление системы на нагнетательную установку и сеть достаточно условно и произвольно, и часто не может изменить окончательного ответа решения. В системах с одним нагнетателем (а это самый частый вариант) следует без колебаний принимать деление системы по варианту 3, хотя базовым вариантом уравнения следует считать (2.1в). При этом естественном подходе нагнетательная установка является источником энергии в системе, а сеть – потребителем. 2.2. Уравнения балансов среды и энергии в системе Многие технические задачи решаются на основе составления балансных уравнений. Слово «баланс» означает «равенство», «равновесие» неких движущих сил или параметров процесса и сил и параметров, действующих в противоположном направлении, тормозящих процесс и снижающих его интенсивность. Наличие баланса движущих сил в некоторой системе означает, что она находится в неком стационарном режиме, при котором ее рабочий режим не изменяется во времени. Так, при отсутствии внешних сил, действующих на материальное тело, оно находится в покое или сохраняет состояние прямолинейного равномерного движения. Равенство притока теплоты в помещение от нагревательных приборов и тепловых потерь через наружные ограждения означает, что внутренняя температура будет постоянной. Если приток воды в бассейн равен сливу из него, то уровень воды остается постоянным. Если падение напряжения на некотором потребителе электроэнергии равняется напряжению в электросети, то ток в цепи не будет изменяться. Большинство систем ТГВ при расчете рассматриваются как системы, работающие в стационарном режиме, поэтому понятие баланса к расчетам таких систем вполне применимо. Отметим попутно, что реальные рабочие режимы систем ТГВ могут быть нестационарными из-за изменений параметров наружного климата, меняющихся теплопоступлений от солнца и технологического оборудования, изменяющегося количества людей в помещении и многих других факторов. Однако в процессе проектирования режим системы часто считается стационарным. Рассмотрим систему, в которой насос а работает на трубопровод 1 с регулирующим вентилем В, являющимся сетью (рис. 2.3.). - 30 - а Х В 1 Рис. 2.3. Насосная система с регулировочным вентилем Запишем для данной системы изменения давления на каждом элементе, начиная от точки Х (всасывающий патрубок насоса) и кончая той же точкой Х. При этом предполагаем, что в точке Х имеется некое значение давления РХ : РХ + Ра – Р1 = РХ . (2.3) После сокращения РХ получим Ра – Р1 = 0 , (2.3а) Ра = Р1 . (2.3б) Уравнение (2.3) полностью аналогично (2.1), а (2.3а) аналогично (2.1а). Смысл всех уравнений в том, что весь полезный внешний перепад давления, создаваемый нагнетателем, должен быть затрачен на преодоление затрат в сети. В системе в целом должен наблюдаться нулевой баланс энергии. Уравнения (2.1) и (2.3) могут быть записано в наиболее общем виде: ΣР = 0 . (2.3в) Уравнения (2.3) являются частным случаем всеобщего закона сохранения энергии. В сети не может быть потрачено больше энергии, чем передает в систему нагнетатель, так как не может волшебным образом появиться дополнительная энергия, но и не может быть потрачено меньше, так как не может остаться «лишняя» энергия. В системе всегда самопроизвольно установится некоторый расход, при котором обязательно будет выполняться баланс энергии, передаваемой в систему источником, и энергии, затрачиваемой в потребителе. Уравнение баланса энергии может быть записано и через напоры, а не давления, поскольку напор тоже является энергетической характеристикой потока - 31 - ΣН = 0 . (2.3г) Все приведенные уравнения по балансу давлений будут справедливы, если в них обозначение давления Р заменить на обозначение напора Н. Кроме баланса энергии, в системе обязательно действует баланс массовых расходов: сколько жидкости прокачивает нагнетатель, столько жидкости и проходит по сети. Жидкость не может исчезнуть, и не может появиться дополнительное количество. Это частный случай закона сохранения вещества: ΣG =0, (2.4) Gа = G1 . (2.4а) Для гидравлических систем, в которых перемещаются несжимаемые жидкости (например, вода) при одной и той же температуре, плотность среды во всех точках системы одинакова, и вместо баланса массовых расходов можно успешно пользоваться балансом объемных расходов ΣQ ≈0. (2.4б) Для систем вытяжной вентиляции, где перепады давления, а температура среды практически одинакова по всей системе, тоже можно успешно пользоваться уравнением (2.4б). Если в системе в какой-то момент происходит нарушение баланса давлений, то автоматически расход изменяется так, что баланс давлений снова восстанавливается. Рассмотрим это на примере системы с регулировочным вентилем (рис. 2.3). Предположим, что в системе имеется некоторое значение фактического расхода Qф, и при этом нагнетатель развивает давление Рф, равное потерям в сети. Если прикрыть вентиль В, то сопротивление сети возрастет, и на перемещение расхода Qф потребуется давление Р'ф , больше, чем развивает насос. Разность давлений, действуя по площади сечения трубопровода, создает силу, направленную навстречу потоку Σ F = (Р'ф – Рф) S . (2.5) Под действием возникшей силы, поток, как любое материальное тело, по закону Ньютона испытывает ускорение, направленное в данном случае навстречу его движению: ΣF=Ma. (2.6) Таким образом, недостаток энергии приведет к тому, что поток начнет тормозиться, замедляя свою скорость, и расход в системе начнет - 32 - уменьшаться. Процесс будет происходить до тех пор, пока не восстановится баланс при неком новом значении расхода Q'ф , меньшем, чем Qф . На самом деле ситуация несколько более сложная, так как при изменении расхода в системе одновременно изменяется и давление Рф , развиваемое нагнетателем. Однако это не меняет принципиальной картины процесса. 2.3. Графический метод наложения характеристик Наличие балансов среды и энергии в системе позволяют получить систему из двух уравнений, которую можно решить относительно расхода в системе ΣР =0 ΣG =0 (2.7а) или Рн = Рс Gн = Gс . (2.7б) Для систем, в которых перемещается жидкость с постоянной плотностью, можно заменить массовый расход на объемный Рн = Рс Qн = Qс . (2.7в) Учитывая, что имеются определенные зависимости давлений нагнетателя и сети от расхода, получим fн(Qн) = fc(Qc) Qн = Qс . (2.7г) Если зависимости Рн = fн(Qн) и Рс= fc(Qc) известны, то система может быть решена алгебраическим или численным способом, так как имеются два уравнения и два неизвестных – расходы Qн и Qс .Фактически, зная что эти расходы одинаковы, получаем одно уравнение с неизвестным расходом fн(Q) = fc(Q) . (2.8) Зависимость Рс= fc(Q) для гидравлической характеристики сети хорошо изучена – в самом простом случае это уравнение квадратичной параболы Р = А Q 2 и его модификации. Однако уравнение Рн = fн(Q) для гидравлической характеристики нагнетателя обычно не известно, так как она чаще всего приводится в графической форме. - 33 - Поэтому, хотя система (2.7) или уравнение (2.8) могут быть решены любым способом, графический метод решения используется наиболее часто. Кроме того, он является очень наглядным, что важно на начальном этапе изучения материала. В дальнейшем мы будем ориентироваться именно на графический способ решения, а различные вычислительные методы рассматриваются в специальных дисциплинах и используется для достаточно сложных систем. Графическое решение уравнения (2.8) показано на рис. 2.4. Сама идея метода проста: надо в системе координат Р–Q построить графическую характеристику нагнетателя Рн = fн(Q) и графическую характеристику сети Рс = fс(Q), после чего найти точку их пересечения Ф. Эта точка и является решением. Она отображает тот режим, который установится в системе. Данный метод решения получил название метод наложения характеристик. Р Рф= Рн= Рс Ф = Ф н= Ф с -Q Q Qф= Qн= Qс -Р Рис. 2.4. Иллюстрация метода наложения характеристик Отметим ряд важных обстоятельств: а) Решение в виде точки пересечения Ф будет существовать всегда, так как графическая характеристика нагнетателя и сети не параллельны – первая имеет отрицательный общий наклон, а вторая – положительный. б) Точка Ф, как точка пересечения, одновременно принадлежит двум линиям – характеристике нагнетателя и характеристике сети. Таким образом, она одновременно отображает фактический режим работы нагнетателя и фактический рабочий режим сети. - 34 - в) На рисунке точка Ф является единственной точкой, параметры которой удовлетворяют условию (2.7б), то есть в данном случае она является единственным решением. Учитывая, что графические характеристики нагнетателя и сети могут иметь перегибы, может получаться несколько точек пересечения. В этом случае выбор точки, соответствующей действительному режиму системы, производится с учетом дополнительных обстоятельств. г) В большинстве случаев, при правильном выборе плана решения задачи, нет необходимости строить характеристики нагнетателя и сети в области отрицательных координат (II – IV квадранты). Вполне достаточно ограничиться построениями в пределах I квадранта. Если же все-таки точка пересечения получается в пределах отрицательных расходов, то это просто означает, что принятое при решении направление движения потока в сети неверно, и поток движется в обратном направлении. - 35 - Лекция 3 Понятие параллельного и последовательного соединений. Сложение характеристик 3.1. Причины необходимости сложения характеристик. 3.2. Графическое сложение характеристик элементов системы при последовательном соединении. 3.3. Графическое сложение характеристик элементов системы при параллельном соединении. 3.4. Аналитическое сложение характеристик трубопроводов. 3.1. Причины необходимости сложения характеристик Как ясно из предыдущего раздела, для нахождения рабочего режима системы по методу наложения характеристик требуется рассматривать систему как состоящую только из двух элементов — нагнетательной установки и сети. Реальная же трубопроводная система может состоять из большого числа отдельных участков и нескольких нагнетателей, соединенных определенным образом друг с другом. Даже если известны характеристики каждого отдельного элемента, применить метод наложения характеристик невозможно. Для того чтобы применение этого метода стало возможным, требуется предварительно упростить расчетную схему системы, приведя несколько элементов к одному условному эквиваленту, называемому нагнетательной установкой, а остальные элементы – к условному эквиваленту, называемому сетью. Лишь для этих обобщенных эквивалентов можно использовать метод наложения характеристик. Сама процедура приведения нескольких элементов системы к одному эквиваленту называется сложением характеристик. Она может выполняться вычислительным способом, когда складываются коэффициенты в уравнениях, описывающих характеристики элементов, и графически, когда по точкам складываются непосредственно линии графических характеристик элементов. Вычислительный метод чаще применяется для элементов сети, так как для нагнетателей уравнения характеристик отсутствуют. Графический метод универсален и нагляден, хотя иногда и достаточно трудоемок, так как приходится строить кривые линии по точкам. Окончательный выбор метода сложения осуществляет исполнитель расчета. Мы в основном будем ориентироваться на графический метод. - 36 - Соединение элементов в гидравлической системе, как и в электрической цепи бывает последовательным, параллельным и смешанным. Понятия «последовательно» и «параллельно» являются общетехническими и применяются во многих дисциплинах: в электротехнике, в организации работ, в программировании, в организации грузоперевозок, движении транспорта, организации обучения и других областях. Слово "последовательно" означает "по очереди", «один за другим», а слово "параллельно" означает "одновременно", «все вместе». Ступени на лестнице расположены последовательно, и мы проходим их по очереди, одну за другой. Несколько окон в помещении являются примером параллельного соединения, и солнечный свет проходит через них одновременно. Если же в окне установлены несколько стекол, то они стоят последовательно, так как солнечный луч проходит их по очереди. Конструктивные слои в наружной стене являются последовательным соединением по отношению к проходящему тепловому потоку. Зубья пилы являются примером последовательно установленных рабочих органов, а турбины плотины установлены параллельно. Работы по сооружению здания должны выполняться по очереди, последовательно (нельзя построить крышу раньше фундамента), а отделка нескольких помещений может вестись параллельно, то есть одновременно. В процессе обучения студент последовательно, то есть по очереди, проходит учебные семестры, но в пределах семестра различные дисциплины изучаются одновременно, то есть параллельно. Смешанное соединение может быть последовательнопараллельным, когда можно выделить отдельные группы элементов, соединенных последовательно или параллельно. Однако встречаются кольцевые сети, когда соединение в принципе невозможно представить как набор последовательных или параллельных соединений. Очень часто в кольцевых сетях невозможно точно указать направление расхода потока на отдельных участках. Для последовательного и параллельного соединения имеются достаточно простые зависимости, позволяющие произвести сложение элементов. Для последовательно-параллельного соединения можно свести сеть к одному эквиваленту, применяя по очереди правила сложения для последовательного и параллельного соединения. Для кольцевых сетей не имеется простых соотношений, и такие сети не могут быть сведены к одному условному эквиваленту. В этом случае задача нахождения рабочего режима системы решается методами последовательных приближений. Большинство систем ТГВ является относительно простыми тупиковыми системами, в которых используются параллельное и последовательное соединение. Смешанное соединение характерно для крупных закольцованных систем теплоснабжения, водоснабжения, газоснабжения. Особенности расчета таких систем детально рассматриваются в специальных дисциплинах. - 37 - 3.2. Графическое сложение характеристик элементов системы при последовательном соединении Последовательное соединение — это такое соединение, при кото- ром два элемента имеют одну общую точку, причем конец первого элемента соединен с началом второго, а расход из одного элемента полностью поступает во второй (рис. 3.1). Вначале рассмотрим принципы выполнения сложения характеристик для наиболее простого варианта: последовательного соединения двух элементов сети трубопроводов. а б 1 Q1+2 Х Q1 , Р1 2 Q2 , Р2 Q1+2 Q1+2 = Q1 = Q2 Р1+2 = Р1 + Р2 (3.1) Р1+2 в Р 1+2 1 Р1+2 2 Р2 Р1 Р1+2 Р2 Р1 Р2 -Q Q -Р Q1+2 = Q1 = Q2 Рис. 3.1. Сложение характеристик двух элементов трубопроводной сети при последовательном соединении: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик - 38 - Из условия неразрывности потока в точке соединения участков Х следует, что расходы через оба участка одинаковы и равны общему расходу через эквивалент соединения. Общие потери давления равны сумме потерь давления на каждом из участков, равенства (3.1). Как следует из (3.1), для сложения характеристик последовательно соединенных участков необходимо при некотором постоянном расходе сложить потери давления на участках. Графическая иллюстрация сложения характеристик при последовательном соединении приведена на рисунке 3.1,в. Для выполнения сложения следует произвольно задаться некоторым значением расхода и провести вспомогательную вертикальную линию, соответствующую этому значению расхода. Точки пересечения этой линией характеристик участков 1 и 2 показывают рабочие режимы участков при выбранном расходе, а отрезки от оси абсцисс до рабочих точек – значения потерь давления в каждом из участков. На вспомогательной вертикальной линии следует сложить полученные значения отрезков и поставить новую точку, которая и будет принадлежать искомой линии 1+2. Данную процедуру следует выполнить несколько раз, построив несколько точек (4–5 точек), а затем через построенные точки провести плавную кривую – это и будет графическая характеристика эквивалента последовательно соединенных участков 1 и 2. Следует отметить, что наиболее удобно выполнять графическое сложение на разлинованной бумаге тетрадей или миллиметровке – тогда не требуется проводить вспомогательную линию расходов. Складывать отрезки наиболее быстро и удобно при помощи циркуля или измерителя, чтобы не отсчитывать длины отрезков по линейке и не считать клетки в тетради. Порядок сложения отрезков не имеет значения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), однако мы рекомендуем к большему давлению прибавлять меньшее, чтобы не запутаться. Если одна из линий пересекает ось абсцисс, то при этом значении расхода потери давления равны 0 и сложение производить не требуется – достаточно просто поставить точку на линии другого участка при том же значении расхода. Такие «контрольные точки» строятся очень быстро, и рекомендуется вначале строить именно их, чтобы определиться с общим направление итоговой линии и избежать грубых ошибок при построении остальных точек. Для участков трубопровода парабола характеристики проходит через 0, поэтому и итоговая парабола тоже пройдет через 0. Обращаем внимание, что не имеет значения, какие по форме линии складывать – сама технология сложения остается той же самой. Точно так же не имеет значения количество участков – просто увеличивается количество слагаемых. При этом несколько участков можно сложить за одно действие, а можно последовательно к предыдущему результату прибавлять очередной участок. - 39 - Все соображения, изложенные выше, с полным правом можно отнести к сложению характеристик в системе координат Н–Q, которая чаще всего применяется при расчете режимов насосных систем. Рассмотрим участок гидравлической системы с перепадом отметок (рис. 3.2,а), причем конец участка расположен выше, чем его начало. Требуется графически построить эквивалент такого соединения. а б Q1+h = Q1 Н1+h = H1 + h Н1+h = А Q2 + h h=4м 1 в (3.2) 1+h Н 1 Н1+h H1 h=4м h H1+h h h h H1 -Q Q -H h Q1+h = Q1 Рис. 3.2. Сложение характеристик трубопровода и гидростатического напора при последовательном соединении: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик В данном случае гидростатический напор действует навстречу движению потока, поэтому он, как и потери в трубопроводе, препятствует движению. Смысл преодоления его заключается в том, что внешнему источнику энергии придется дополнительно поднять жидкость на высоту h. - 40 - Насосу придется преодолевать потери в трубопроводе и дополнительно затрачивать энергию на подъем жидкости. Даже при бесконечно малом расходе нагнетателю придется развивать напор, не меньше чем h, чтобы жидкость смогла подняться до верха трубы, в противном случае жидкость не сможет выливаться из трубы и расход в системе будет равен 0, Таким образом, мы имеем последовательное соединение участка трубопровода и гидростатического напора при положительном знаке гидростатического напора. Технически сложение характеристики участка и линии гидростатического напора принципиально ничем не отличается от рассмотренного ранее сложения характеристик участков, просто вместо одной из парабол складываем горизонтальную линию постоянного статического напора. При этом построении каждая точка характеристики участка 1 поднимается вверх на одно и тоже расстояние, соответствующее длине отрезка гидростатического напора h. Если конец участка 1 будет ниже, чем его начало, то перепад отметок будет, наоборот, помогать движению воды (рис. 3.3,а). Все расчетные соотношения остаются справедливыми и в этом случае, просто следует учитывать отрицательный знак действия гидростатического напора. В этом случае гидростатический напор действует в направлении движения потока и поэтому помогает, а не препятствует движению. Жидкость, опускаясь вниз, отдает системе запасенную ранее потенциальную энергию, поэтому внешнему источнику энергии (насосу) потребуется развивать напор меньше, чем потери в трубопроводе Н1, на величину перепада отметок h. И в этом случае мы имеем последовательное соединение участка трубопровода и гидростатического напора, однако теперь следует производить вычитание напора h из характеристики трубопровода Н1. Учитывая, что в математике сложение и вычитание в общем случае называются алгебраическим сложением, мы также далее не будем выделять вычитание характеристик в отдельное действие, а будем говорить о сложении характеристик с учетом знака. Технически процедура вычитания производится точно так же, как рассмотренные выше операции сложения, просто вычитаемый отрезок откладывается на графике вниз, в сторону отрицательных напоров (или давлений). Когда для трубопроводной сети подсчитываются затраты напора, смысл отрицательного знака перед каким-либо слагаемым означает отрицание – это «не затраты». Если гидростатический напор помогает движению жидкости, то итоговые затраты энергии в насосе уменьшаются. - 41 - а б) 1 Q1+h = Q1 Н1+h = H1 – h Н1+h = А Q2 – h h=4м (3.3) в Н 1 h=4м h 1-h H1 h H1 h Q -Q H1-h Н1-h Q1-h = Q1 h h h -H Рис. 3.3. Вычитание гидростатического напора из характеристики трубопровода при последовательном соединении: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик Правильный выбор знака гидростатического напора очень важен, так как ошибка в этом вопросе является грубым промахом и не позволяет получить правильный ответ. Если речь идет о сложении характеристик элементов трубопроводной сети, для которой подсчитываются затраты энергии, то подъем трубопровода по ходу движения жидкости всегда учитывается со знаком «плюс», так как при подъеме энергия затрачивается, как и в самом трубопроводе. Опуск трубопровода, соответственно, учитывается со знаком «минус». - 42 - В нагнетательной установке, для которой подсчитываются запасы энергии в системе, все наоборот: подъем трубопровода по ходу движения жидкости всегда учитывается со знаком «минус», а опуск трубопровода – со знаком «плюс». Теперь разберем случай, кода последовательно включены два нагнетателя, например, два вентилятора (рис. 3.4). а б б а Qа+б = Qа = Qб Ра+б = Ра + Рб (3.4) в Р а+б Р1+2 Ра а Р1 Ра+б б Р2 Рб Ра -Q Q -Р Qа+б = Qа = Qб QХ Рис. 3.4. Сложение характеристик двух вентиляторов при последовательном соединении: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик - 43 - Процедура сложения выполняется точно так же, как и для двух участков трубопроводов, различие заключается только в форме складываемых характеристик. Чаще всего достаточно сложить характеристики в пределах первого квадранта, при положительных значениях расходов и давлений. При необходимости складывать в области других квадрантов следует обращать внимание на знаки давлений при принятом значении расхода. Так, при расходе QХ давление вентилятора а равно нулю, поэтому суммарное давление равно давлению вентилятора б. При больших расходах давления вентиляторов становятся отрицательными, и линия суммарной характеристики уходит в IV квадрант в зону отрицательных давлений. Форма характеристик нагнетателей не принципиальна, однако желательно, чтобы оба вентилятора (или насоса) были рассчитаны на работу в одном диапазоне расходов, в противном случае вентилятор с большим расчетным расходом может передавливать вентилятор с меньшим расходом, который превращается в дополнительное сопротивление движению потока. Ясно, что такой режим не является нормальным. Кроме того, характеристика нагнетателей в зоне IV квадранта при отрицательных давлениях обычно неизвестна, поэтому точно построить итоговую характеристику не представляется возможным. Наконец, разберем случай, кода последовательно включены вентилятор и участок воздуховода (рис. 3.5) Если все соединение относить к нагнетательной установке, то давления вентилятора следует учитывать с положительным знаком, а потери давления в воздуховоде – с отрицательным. Таким образом, следует вычитать из характеристики вентилятора характеристику воздуховода. Процедура вычитания осуществляется откладыванием потерь давления в воздуховоде вниз от характеристики вентилятора. В точке пересечения характеристик давление вентилятора равно потерям давления в воздуховоде, поэтому результирующее суммарное давление равно нулю. В зоне больших расходов потери давления в воздуховоде превышают давление вентилятора, поэтому линия суммарной характеристики уходит в IV квадрант в зону отрицательных давлений. В зоне II квадранта потери давления в воздуховоде имеют отрицательное значение, поэтому в результате вычитания с учетом знака линия итоговой характеристики соединения в зоне II квадранта располагается выше характеристики вентилятора. - 44 - а б а Qа-1 = Qа = Q1 Ра-1 = Ра – Р1 1 (3.5) в Р а 1 Ра Р1 Ра-1 Ра Р1 Р1 -Q Q Qа-1 = Qа = Qб QХ -Р Рис. 3.5. Вычитание характеристики воздуховода из характеристики вентилятора при последовательном соединении: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик - 45 - 3.3. Сложение характеристик элементов системы при параллельном соединении Параллельное соединение — это такое соединение, при котором со- единяемые элементы имеют две общих точки, при этом начало первого элемента соединено с началом второго, конец первого элемента соединен с концом второго, а расход одного элемента никогда не проходит через другой (рис. 3.6,а). Вначале рассмотрим принципы выполнения сложения характеристик для наиболее простого варианта: параллельного соединения двух элементов сети трубопроводов, приведенного на рис. 3.6,а. Из условия нулевого баланса расходов в точке разделения участков Н или их соединения К следует, что общий расход через эквивалент двух участков равен сумме расходов через участки 1 и 2. Поток, проходящий по участку 1, начинает движение из точки Н и заканчивает его в точке К. Поток, проходящий по участку 2, также начинает движение из точки Н и заканчивает его в точке К. Таким образом, потери на каждом из участков 1 и 2 одинаковы и равны потерям давления на эквиваленте параллельного соединения (равенства 3.6). Как следует из (3.6), для сложения характеристик параллельно соединенных участков необходимо при некотором постоянном давлении сложить расходы на участках. Графическая иллюстрация сложения характеристик при параллельном соединении приведена на рис.3.6,в. Для выполнения сложения следует произвольно задаться некоторым значением потерь давления и провести вспомогательную горизонтальную линию, соответствующую этому значению давления. Точки пересечения этой линией характеристик участков 1 и 2 показывают рабочие режимы участков при выбранном давлении, а отрезки от оси ординат до рабочих точек – значения расходов в каждом из участков. На вспомогательной горизонтальной линии следует сложить полученные значения отрезков и поставить новую точку, которая и будет принадлежать искомой линии эквивалента параллельного соединения. Данную процедуру следует выполнить несколько раз, построив несколько точек (4 – 5 точек), а затем через построенные точки провести плавную кривую – это и будет графическая характеристика эквивалента параллельного соединения. Для того чтобы отличить запись параллельного сложения двух участков 1 и 2 от последовательного сложения, в дальнейшем изложении действие параллельного сложения будем обозначать с двумя косыми чертами: (1+2)//. - 46 - а б 1 Q1 , Р1 Н Q1+2 К 2 Q2 , Р2 Q(1+2)// = Q1 + Q2 Р(1+2)// = Р1 = Р2 Q1+2 (3.6) Р1+2 в 1 Р 2 (1+2)// Q1 Q1 P1+2 = P1 = P2 Q2 P1+2 = P1 = P2 -Q Q Q1 Q2 Q(+2)// -Р Рис. 3.6. Сложение характеристик двух участков трубопроводов при параллельном соединении: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик Измерение отрезков можно производить линейкой, откладывать длины циркулем или измерителем или снимать числовые значения со шкал координатных осей и складывать их численно — сам метод сложения не принципиален и выбирается непосредственно исполнителем расчета. Таким образом, сложение характеристик параллельных участков производится в принципе точно так же, как и последовательных, но в горизонтальном направлении, по оси расходов. - 47 - Все, что было сказано выше относительно технологии сложения при последовательном соединении, справедливо и при параллельном соединении: – наиболее удобно выполнять на разлинованной бумаге с использованием циркуля или измерителя; – строить рекомендуется 4–5 точек; – порядок сложения отрезков не имеет значения; – форма складываемых линий не имеет значения; – количество складываемых участков не имеет принципиального значения; – в первую очередь рекомендуется строить «контрольные точки», чтобы сразу определить общее направление итоговой линии; – сложение характеристик в координатах Н–Q выполняется аналогично сложению в координатах Р–Q. Для обычных участков трубопровода парабола характеристики проходит через 0, поэтому и итоговая парабола тоже пройдет через 0. Рассмотрим параллельное соединение двух участков гидравлической системы, в котором один из рассматриваемых участков проложен с перепадом отметок (рис. 3.7,а). Требуется графически построить эквивалент такого соединения. В данном случае гидростатический напор на участке 1 действует навстречу движению потока, поэтому он, как и потери в трубопроводе, препятствует движению. Характеристика верхней ветви параллельного соединения вначале построена путем последовательного сложения с учетом гидростатического напора, причем напор учтен со знаком «плюс», то есть парабола поднята вверх. Само последовательное сложение характеристики участка 1 и линии гидростатического напора h выполняется, как рассмотрено в предыдущем разделе. Дальнейшее параллельное сложение характеристики верхней ветви 1+h и участка 2 выполняется обычным способом с учетом знаков расходов на участках при различных значениях перепадов давления (рис. 3.7,в) Если конец участка 1 будет ниже, чем его начало (рис. 3.8,а), то гидростатический напор верхней ветки должен учитываться со знаком «минус». Тогда предварительно перед параллельным сложением характеристик веток потребуется опустить параболу участка 1 вниз на величину перепада отметок h (рис. 3.8,в). В остальных моментах технология построения эквивалента такого соединения выполняется аналогично рассмотренному выше варианту. - 48 - а б 1 Q1 , Р1 QΣ = Q1+h + Q2 НΣ = H1+h = Н2 h=4м (3.7) Q2 , Р2 2 Q1+2 в Н 1+h 2 Q2 1 Σ НΣ = H1+h = Н2 Q1+h h h=4м h НΣ h h h -Q h Q -H Q1+h = Q1 Рис. 3.7. Параллельное сложение характеристик трубопровода и трубопровода с гидростатическим напором: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик - 49 - а Q1+2 б 2 Q1 , Р1 QΣ = Q1-h + Q2 НΣ = H1-h = Н2 h=4м 1 (3.8) Q2 , Р2 в Н 1-h 2 Σ 1 h=4м h Q2 Q2 НΣ = H1-h = Н2 h Q1-h -Q Q Q2 h Q1-h = Q1 QΣ h h -H Рис. 3.8. Параллельное сложение характеристик трубопровода и трубопровода с отрицательным гидростатическим напором: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик Теперь разберем случай, когда последовательно включены два нагнетателя, например, два вентилятора (рис. 3.9). - 50 - а б Qа , Ра а Qа+б Q(а+б)// = Qа + Qб Р(а+б)// = Ра = Рб Qа+б б (3.9) Qб , Рб в Р а б (а+б)// Qа Qа Р(а+б)// = Ра = Рб Р(а+б)// Qб -Q Q -Р Qа Qб Q(а+б)// = Qа = Qб Рис. 3.9. Сложение характеристик двух вентиляторов при параллельном соединении: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик Процедура сложения выполняется точно так же, как и для двух участков трубопроводов, различие заключается только в форме складываемых характеристик. Чаще всего достаточно складывать характеристики в пределах первого квадранта, при положительных значениях расходов и давлений. Если возникает необходимость складывать в области других квадрантов, следует обращать внимание на знаки расходов при принятом значении давления. Форма характеристик нагнетателей не принципиальна, однако желательно, чтобы оба вентилятора (или насоса) были рассчитаны на работу в - 51 - одном диапазоне давлений, иначе вентилятор с большим расчетным давлением может передавливать вентилятор с меньшим расходом, перемещая расход через него в обратном направлении. Ясно, что такой режим не является нормальным. Кроме того, характеристика нагнетателей в зоне II квадранта при отрицательных расходах обычно неизвестна, поэтому точно построить итоговую характеристику не представляется возможным. Наконец, разберем случай, когда параллельно включены вентилятор и участок воздуховода (рис. 3.10) а Q(а-1)// б а Qа Qа Q(а-1)// Q(а-1)// = Qа – Q1 Р(а-1)// = Ра = Р1 1 (3.10) Q1 в Р 1 а (а-1)// Х Q1 Q1 Ра Р1 -Q Р(а-1)// = Ра = Р1 Q -Р Q(а-1)// = Qа – Q1 Q1 Qа (а-1)// Рис. 3.10. Вычитание характеристики воздуховода из характеристики вентилятора при параллельном соединении: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик - 52 - Особенностью данного соединения является то, что обычно расход через воздуховод имеет противоположное направление (на рисунке указано стрелкой), чем расход через вентилятор, Это происходит потому, что давление на нагнетательном патрубке вентилятора (после вентилятора) обычно больше, чем на всасывающем (перед вентилятором), а в воздуховоде поток всегда идет от большего давления к меньшему. Если все соединение рассматривать как нагнетательную установку, то ее суммарный расход при некотором давлении равен разнице расходов вентилятора и воздуховода. Например, если вентилятор подает 5000 м3/ч, а воздуховод уходит 1500 м3/ч, то все соединение можно рассматривать как некий условный вентилятор с расходом 3500 м3/ч. Противоположное направление расхода в воздуховоде указывает на то, что если все параллельное соединение относить к нагнетательной установке, то расход вентилятора следует учитывать с положительным знаком, а расход в воздуховоде – с отрицательным. Таким образом, следует вычитать из характеристики вентилятора характеристику воздуховода. Процедура вычитания осуществляется откладыванием значений расходов в воздуховоде влево от характеристики вентилятора. В точке пересечения характеристик расход вентилятора равен расходу в воздуховоде, поэтому результирующей суммарный расход равен нулю. В зоне больших давлений расход в воздуховоде превышает расход вентилятора, поэтому линия суммарной характеристики уходит во II квадрант в зону отрицательных расходов. Следует отметить, что соединение вентилятора и участка воздуховода можно относить и к сети. Тогда за положительное направление расхода следует принимать расход в воздуховоде, а за отрицательное – направление расхода через вентилятор. В этом случае следует из характеристики воздуховода вычитать характеристику вентилятора (рис. 3.11). Если все соединение рассматривать как сеть, то ее суммарный расход при некотором давлении равен разнице расходов воздуховода и вентилятора. Например, если через воздуховод идет расход 5000 м3/ч, а вентилятор прокачивает 1500 м3/ч, то все соединение можно рассматривать как некий условный «воздуховод» с расходом 4500 м3/ч. - 53 - а б а Qа Q(а-1)// = Qа – Q1 Р(а-1)// = Ра = Р1 1 Q(1-а)// Q1 (3.11) Q(1-а)// в 1 Р (1-а)// Q1 Q(1-а)// Qа Qа (1-а)// -Q а Р(1-а)// = Ра = Р1 Q -Р Q(1-а)// = Q1 – Qа Qа Q1 Рис. 3.11. Вычитание характеристики вентилятора из характеристики воздуховода при параллельном соединении: а – схема соединения; б – расчетные соотношения; в – графическое сложение характеристик 3.4. Графическое сложение характеристик трубопроводов в логарифмической системе координат Логарифмическая система координат очень часто используется для отображения гидравлических характеристик вентиляторов и элементов вентиляционных сетей – решеток, воздухораспределителей, клапанов, шу- - 54 - моглушителей, фильтров, воздухонагревателей. Преимуществом при использовании такой системы координат являются следующие моменты: – графические характеристики трубопроводов и воздуховодов отображаются прямыми линиями; – достигается одинаковая относительная точность отображения параметров по всему полю графика; – возможно на одном графике отображение очень широкого диапазона параметров. Пример сложения характеристик для двух последовательных отрезков приведен на рис. 3.12. 1+2 Р, Па 1 2 (1+2)// 1600 800 Q1 Р1+2 =500 Q1=200 Р(1+2)// = 400 Q2 200 Р2 =100 Q, м3/час 100 200 400 800 1600 Q(+2)//=60 Рис. 3.12. Сложение характеристик двух участков воздуховодов в логарифмической системе координат В логарифмической системе координат общие принципы сложения характеристик и базовые уравнения те же самые, что и для линейной системы. Однако имеется ряд важных моментов, обусловливающих некоторое отличие самой процедуры графического сложения. Во-первых, в логарифмической системе графические характеристики трубопроводов и воздуховодов отображаются прямыми линиями с коэф- - 55 - фициентом наклона 2. Если прологарифмировать уравнение потерь давления в воздуховоде, то получится уравнение прямой линии lg(Р) = lg(А) + 2 lg(Q) . (3.12) В связи с тем, что для построения прямой линии с заданным наклоном достаточно иметь только одну точку, отпадает необходимость производить расчеты и строить несколько точек. Достаточно иметь один известный режим (чаще всего расчетный или полученный из обследования существующей сети), и можно легко сразу построить всю характеристику сети. Во-вторых, в логарифмической сетке координат значение параметра (расхода или давления) не может быть выражено длиной отрезка – длина отрезка отображает, во сколько раз увеличивается расход или давление в конце отрезка по отношению к расходу или давлению в начале отрезка. Поэтому в логарифмической системе координат складывать отрезки принципиально нельзя, а складывать можно только численные значения расхода или давления, считываемые со шкал. Особо отметим, что если в сети имеется гидростатический напор, то есть рассматриваемый участок трубопровода проложен с перепадом отметок, то эквивалентная характеристика такого соединения не может быть представлена в логарифмической системе координат прямой линией: lg(Р) = lg(АQ2 + h) . (3.13) Таким образом, применение логарифмической сетки координат к сетям с гидростатическим напором не имеет самого главного преимущества – простоты построения характеристики сети. Именно поэтому такую систему координат принято использовать только для систем, в которых гарантированно отсутствует гидростатический напор или он пренебрежимо мал по сравнению с напором нагнетателя: системы вентиляции, кондиционирования воздуха, замкнутые гидравлические системы (отопления, теплоснабжения). 3.5. Аналитическое сложение характеристик трубопроводов Во многих случаях при расчетах систем требуется определить итоговую характеристику сети, состоящей из нескольких участков трубопровода или нескольких единиц оборудования. Если известны коэффициенты сопротивления или пропускной способности каждого элемента, то эту задачу можно решить аналитически, не прибегая к графическому решению. Далее - 56 - мы будем говорить о расчете соединения участков трубопроводов, как наиболее часто встречающегося случая, однако все сказанное смело можно относить и к расчету соединений оборудования и трубопроводной арматуры с постоянными гидравлическими характеристиками. Как известно, при последовательном соединении участков трубопроводов общие потери давления РΣ при некотором расходе Q равны сумме потерь давления на каждом участке: РΣ = Р1 + Р2 + Р3 + … + Рn . (3.13) Потери давления в трубопроводе при турбулентном режиме описываются квадратичной зависимостью давления от расхода (1.32), поэтому АΣQ2 = А1Q2 + А2Q2 + А3Q2 + … + Аn Q2 . (3.14) Откуда получим АΣ = А1 + А2 + А3 + … + Аn . (3.15) Таким образом, получаем простое правило для последовательного соединения: Общий коэффициент сопротивления эквивалента последовательно соединенных участков трубопроводов равен сумме коэффициентов сопротивления всех участков, составляющих соединение. При параллельном соединении участков трубопроводов общий расход QΣ при некоторых потерях давления Р равен сумме расходов всех участков: QΣ = Q1 + Q2 + Q3 + … + Q n . (3.16) Расход в трубопроводе при турбулентном режиме пропорционален корню квадратному из потерь давления (1.33), поэтому КvΣ Р1/2 = Кv1 Р1/2 + Кv2 Р1/2+ Кv3 Р1/2 + … + Кvn Р1/2 . (3..17) Откуда получим КvΣ = Кv1 + Кv2 + Кv3 + … + Кvn . (3.18) - 57 - Таким образом, получаем простое правило для параллельного соединения: Общий коэффициент пропускной способности эквивалента параллельно соединенных участков трубопроводов равен сумме коэффициентов пропускной способности всех участков, составляющих соединение. При расчете сетей с достаточно большим количеством участков рекомендуется для каждого участка или эквивалента соединения рассчитывать как коэффициент сопротивления, так и коэффициент пропускной способности и при необходимости использовать нужный коэффициент. Соотношение между коэффициентами очень простое: Кv = 1 / А1/ 2 , (3.19) А = 1 / Кv 2 . (3.20) Для сложных сетей расчеты рекомендуется выполнять на компьютере в программе EXCEL или использовать специализированные программы, адаптированные к конкретным задачам специальных дисциплин. Для трубопроводов расчетные коэффициенты наиболее просто определить, выполнив предварительно расчет потерь давления при некотором среднем значении расхода, а затем рассчитать значения коэффициентов по известным значениям расхода и давления А = Р / Q2 , (3.21) Кv = Q / Р1/2 . (3.22) Для технологического оборудования и трубопроводной арматуры расходы и соответствующие им потери давления принимаются по каталогам или паспортам. Для трубопроводной арматуры в каталогах могут приводиться готовые значения коэффициентов пропускной способности. Следует обращать особое внимание, чтобы коэффициенты для всех элементов сети были определены в одних и тех же единицах измерения. При необходимости следует выполнить пересчет коэффициентов из одной системы единиц в другую. Особо обращаем внимание на то, что при наличии в сети гидростатических напоров на отдельных участках вышеприведенные формулы сложения коэффициентов не могут использоваться. В этом случае для решения задач следует использовать графический метод или метод последовательных приближений. - 58 - Лекция 4 Графическое определение режимов насосной системы методом наложения характеристик 4.1. Общий порядок решения задач методом наложения характеристик. 4.2. Примеры решения задачи с одним нагнетателем. 4.3. Примеры решения задачи с одним нагнетателем и гидростатическим напором в сети. 4.4. Примеры решения задачи с двумя нагнетателями. 4.1. Общий порядок решения задач методом наложения характеристик При нахождении режимов трубопроводных систем рекомендуется придерживаться определенного порядка действий, не стремясь сразу начинать графические построения (может оказаться, что они вовсе не нужны). В первую очередь следует ясно понять схему системы, что требуется определить по условию задачи, обратить внимание на единицы расходов и давлений на графике. После уяснения задания рекомендуется действовать последовательно, выполняя нижеперечисленные этапы, стараясь не перескакивать через этап. Этап 1. На расчетной схеме указать стрелками предполагаемые направления расходов на участках. В принципе, направление стрелок может быть выбрано произвольно, однако настоятельно рекомендуется, чтобы стрелки соответствовали наиболее вероятному направлению потоков. Учитывая, что расходы в этих направления будут соответствовать положительным значениям расхода, появляется определенная гарантия того, что в решении придется задействовать только первый квадрант координатной сетки, где расходы положительны (иногда приходится выполнять построения и в IV квадранте). Простановку направления расходов лучше всего начинать от нагнетателя – поток должен выходить из напорного патрубка и входить во всасывающий патрубок. Если в системе несколько нагнетателей, то наиболее вероятно, что направление общей циркуляции в системе будет определять более мощный из них. - 59 - В некоторых ситуациях направление потока не может быть однозначно определено, в этом случае следует поставить стрелку в наиболее вероятном направлении. Напоминаем, что ошибочный выбор направления потока на участке может и не являться грубой ошибкой – ответ может быть найден и при таком направлении стрелки, просто придется, возможно, выполнить построения в зоне отрицательных координат. Этап 2. Разделить систему на нагнетательную установку и сеть. Этот этап важен, так как неправильное деление означает неправильные графические сложения. Деление системы на две условные части следует производить в строгом соответствии с принятым направлением расходов на участках. Нагнетательная установка должна, естественно, обеспечивать именно такое направление движения потоков, как проставлено стрелками на схеме. Если в системе один насос или вентилятор, лучше не гадать, а именно его одного и принять за нагнетательную установку. Такой подход с большой вероятностью приводит к тому что рабочая точка будет находиться в пределах первого квадранта. Этап 3. Внимательно проанализировать схему системы и уяснить, какие элементы соединены последовательно, а какие параллельно и в каком порядке необходимо производить сложение. Этот этап для многих студентов является наиболее сложным. Обращаем внимание, что термин «параллельно» вовсе не означает геометрическую параллельность, а указывает лишь способ соединения. На рис.4.1 приведены несколько схем систем, в которых участки 1 и 2 соединены последовательно, а участки 3 и 4 – параллельно. План действий отражает последовательность построений на графике, необходимых для построения характеристик нагнетательной установки и сети. Вначале рекомендуется записать действия с элементами системы, входящими в нагнетательную установку. Наиболее часто, когда в сети один нагнетатель, операций сложения производить вообще не требуется. Нужно просто зафиксировать, что принять за НУ, например а →НУ. Затем следует записать действия, необходимые для построения характеристики сети. Чтобы не переписывать содержание предыдущих действий, рекомендуется использовать сокращенную запись: обозначение с номером в круге означает линию, полученную при выполнении действия с указанным номером. Например, обозначение 3 указывает на линию, полученную в 3-м действии. Для указания параллельного сложения характе- - 60 - ристик рекомендуется использовать обозначение из двух параллельных линий. Например, обозначение (а+б)// показывает, что характеристики вентиляторов а и б следует складывать параллельно. а 2 1 3 а а 1 2 а а 1 а а 4 3 4 2 1 4 3 а 2 3 2 а 1 1 3 4 4 Рис. 4.1. Схемы систем с параллельным и последовательным соединением участков Этап 4. Записать по действиям план построений, необходимых для решения задачи. На этом этапе надо просто по-порядку записать все действия сложения (или вычитания), которые необходимо выполнить для построения обобщенных характеристик сети нагнетательной установки. После записи действий сложения рекомендуется зафиксировать построение точки Ф фактического рабочего режима. Этап 5. Выполнить по порядку все действия сложения, предусмотренные планом построения. Выполнение действий по сложению характеристик является типовой, чисто механической процедурой. Рекомендуется начинать построение точек кривых с выполнения сложения в «контрольных точках». Общее количество точек на кривой должно быть 4-5. - 61 - Особое внимание следует обратить на правильность сложения: если планом предусмотрено параллельное сложение по расходам (по горизонтали), то недопустимо в этом действии складывать линии последовательно по давлениям (по вертикали). Без необходимости не рекомендуется строить линии в зоне отрицательных координат. Такие построения следует выполнять только в том случае, если без них получить ответ невозможно. Этап 6. Поставить точку рабочего режима Ф на пересечении характеристики нагнетательной установки и сети. Это первая точка, которая отражает действительный фактический расход, который должен установиться в сети и в нагнетательной установке. При правильном плане решения построение должно дать пересечение в зоне I-го квадранта, где расходы и давления положительны. Если точки пересечения не получается, то, скорее всего, требуется продлить линии построения при сложении характеристик, построив дополнительные точки так, чтобы охватить зону предполагаемого пересечения. Этап 7. Выполнить «обратные построения», чтобы найти те параметры, которые требуется определить по условию задачи. Обратные построения выполняются для нахождения рабочих режимов отдельных конкретных элементов системы – нагнетателей и участков. Этот этап следует выполнять очень внимательно. Начинать обратные построения следует всегда с точки Ф (никогда иначе !!!). Они должны выполняться в соответствии с планом построения – не допускается перескакивать через действие. Из некой точки, поставленной на линии сложения двух характеристик, можно вернуться только на линию одной и из этих характеристик, и ни на какую другую. Перемещения с линии на линию могут производиться только по вертикали или горизонтали в соответствии с тем, как выполнялось сложение. Диагональных перемещений не может быть никогда. Не следует делать лишних построений и находить рабочие параметры элементов, не требующихся для нахождения ответа. Примеры решения задач с использованием описанной методики приведены ниже. 4.2. Пример решения задачи с одним нагнетателем Рассмотрим решение простой задачи для схемы системы, приведенной на рис. 4.2. - 62 - а 2 а 3 1 б 2 Р, Па 3 1000 а 800 600 1 400 200 500 1000 1500 2000 2500 Q, м3/ч Требуется определить: 1) мощность, потребляемую вентилятором а, если его КПД 70% 2) расход на участке 3 3) потери давления на участке 1 Рис. 4.2. Условие задачи с одним нагнетателем: а – схема системы; б – характеристики элементов системы - 63 - Этап 1. Направление расходов уже указано стрелками на схеме. В данной системе другого направления расходов на участках не может быть в принципе. Этап 2. Учитывая, что в системе только один нагнетатель, его и принимаем за насосную установку. Линии деления системы показаны на схеме на рис. 4.3,а. Этап 3. Согласно схеме, сеть состоит из двух последовательно соединенных веток: левая – это воздуховод 1, а правая – параллельное соединение участков 2 и 3. Этап 4. План построения будет выглядеть следующим образом: 1 а →НУ 2 (2+3)// 3 (1+ 2 ) →С Построить т.Ф Выполнить обратные построения Решение задачи в соответствии с приведенным планом показано на рис. 4.3,б. Согласно приведенному решению, расход вентилятора в точке Ф равен 1850 м3/ч, а давление 660 Па. Тогда потребляемая вентилятором мощность N = 1850 × 660 /(3600 × 70 /100) = 339 Вт Согласно выполненным обратным построениям, расход на участке 3 в точке Ф3 равен 1100 м3/ч. В соответствии с выполненным обратным построением потери давления на участке 1 в точке Ф1 равны 185 Па. - 64 - а НУ 2 а 3 1 б 3 2 Р, Па 3 С 2 1000 а=НУ 1 800 Ф= ФНУ=ФС Р1 =660 Р1 600 Ф3 Р1 =500 Q2 Q2 1 400 200 Р1 Р1 =185 Ф1 Р1 500 1000 Q3 =1100 1500 2000 2500 Q, м3/ч Qа =Q1 =1850 Рис. 4.3. Решение задачи с одним нагнетателем: а – схема системы с разбиением на нагнетательную установку и сеть; б – графическое решение задачи - 65 - 4.3. Примеры решения задачи с одним нагнетателем и гидростатическим напором в сети Рассмотрим решение простой задачи для схемы системы, приведенной на рис. 4.4. Этап 1. Предполагаемое направление расходов указано стрелками на схеме. В данной системе при большой высоте уровня в правом баке возможно противоположное направление расхода на участке 2: вода может вытекать из бака, и расход на участке 3 будет равен сумме расходов участка 2 и насоса а. Этап 2. Учитывая, что в системе только один нагнетатель, его и принимаем за насосную установку. Линии деления системы показаны на схеме на рис. 4.5,а. Этап 3. Согласно схеме, сеть состоит из двух последовательно соединенных веток: левая – это трубопровод 1 и левый бак, а правая – участки 2 и 3 вместе с правым баком. Правая ветка состоит, в свою очередь, из двух веток: нижняя – это трубопровод 3, а правая – участок 2 вместе с правым баком. Верхняя и нижняя ветки соединены параллельно. Этап 4. План построения будет выглядеть следующим образом: 1 а →НУ 2 2 + 10 м 3 ( 2 +3)// 4 (1–5 м) 5 ( 3 + 4 ) →С Построить т.Ф Выполнить обратные построения Решение задачи в соответствии с приведенным планом показано на рис. 4.5,б. Согласно приведенному решению, расход насоса в рабочей точке Ф равен 16,5 м3/ч, а напор 13 м. Тогда потребляемая насосом мощность N = 1000 × 9,81 × 13 × 16,5 /(3600 × 55 /100) = 1063 Вт = 1,06 кВт - 66 - а 2 10 м 5м 1 а Х 3 б 2 Н, м а 3 20 15 10 1 5 5 10 15 20 25 Q, м3/ч Требуется определить: 1) мощность, потребляемую насосом а, если его КПД 55% 2) расход на участке 2 3) потери давления на участке 3 3) напор на всасывающем патрубке насоса в точке Х Рис. 4.4. Условие задачи с одним нагнетателем и гидростатическим напором в сети: а – схема системы; б – характеристики элементов системы - 67 - а 3 НУ 5м 10 м а 1 2 Х б Н, м 25 2 1 5 3 2 3 С а=НУ 20 15 Ф3+10м Н2 =15 м Ф2 На =13 м Ф=ФНУ=ФС 10 1 5 Н3 =5 м Ф3 Н1 =3,5 м 4 Ф1 Q2 =9 5 Qа=Q1=16,5 10 15 20 25 Q, м3/ч -5 Рис. 4.5. Решение задачи с одним нагнетателем и гидростатическим напором в сети (вариант 1): а – схема системы с разбиением на нагнетательную установку и сеть; б – графическое решение задачи - 68 - Согласно выполненным обратным построениям расход на участке 2 в точке Ф2 равен 9 м3/ч. Потери напора на участке 3 в точке Ф3 равны 5 м. При этом потери напора на участке 2 в точке Ф2 равны 15 м. Так как в правой части сети верхняя ветка и участок 2 параллельны, то на верхней ветке тратится столько же, сколько на участке 2, то есть 15 м. Из них 10 м тратится на подъем жидкости в бак, а 5 метров – на преодоление потерь на участке 3. Для нахождения напора в точке Х требуется записать уравнение изменения напоров при прохождении элементов системы, из которого можно было бы найти неизвестный напор. Запишем уравнение, начиная с левой части системы с поверхности бака: 0 + 5 м – Н1 = НХ Из обратных построений на графике находим Н1 = 3,5 м. Тогда окончательно получим НХ = 0 + 5 м – 3,5 м = 1,5 м Таким образом, на всасывающем патрубке насоса имеется положительный подпор (за счет наличия бака на отметке 5 м). Рассмотрим ту же систему (рис. 4.4, а), в которой, однако, уровень воды в правом баке расположен на более высокой отметке, например, 25 м. Графическое решение для этой несколько более сложной ситуации представлено на рис.4.6. Теперь на участке 3 расход имеет отрицательно значение, при этом знак «минус» означает изменение направления движения потока на противоположное. Из-за того, что насос не может преодолеть напор бака, вода из правого бака сливается вниз и, соединяясь с расходом насоса, проходит по участку 2. Обращаем внимание, что теперь пришлось достроить часть характеристики участка 3 в области второго квадранта (при отрицательных расходах), чтобы получить ответ. Тот факт, что полученное в решении направление расхода на участке 3 не соответствует направлению стрелки, поставленной при составлении плана решения, не имеет принципиального значения – ответ найден, и он правильный. Если бы изначально направление расхода на участке 3 было принято другим, то потребовалось бы составить другой план решения, и в ответе было бы получено положительное значение расхода, однако численные значения расходов на всех участках были бы точно такими же, как и в решении, представленном на рис. 4.6. - 69 - Н, м 2 2 3 Ф2 С 3 5 30 Ф3+10м 25 Ф 20 На =21 м 15 1 а=НУ 10 1 5 Н1 =1м Н3 = -1м Ф3 3 Q3 =-2,5 Ф1 5 Q1 =8 10 Q2=10,5 15 20 Q, м3/ч 4 -5 Рис.4.6. Решение задачи с одним нагнетателем и гидростатическим напором в сети (вариант 2) Теперь рассмотрим ту же систему (рис. 4.4,а) с напором правого бака 10 м, в которой, однако, установлен насос с меньшим напором. Графическое решение для этой ситуации представлено на рис. 4.7. - 70 - Н, м 15 2 Ф3+10м 3 2 3 10 Ф2 С 1 5 5 а=НУ Ф Q3 =-3,3 -5 Ф3 Н 3 3 =-1,5 м Ф1 5 Qа=Q1=2 4 1 Q2 =7 10 15 20 Q, м3/ч -5 Рис. 4.7. Решение задачи с одним нагнетателем и гидростатическим напором в сети (вариант 3) Полученное решение по смыслу аналогично предыдущему варианту – расход на участке 3 отрицательный, так как насос не может преодолеть напор бака. Отметим важное обстоятельство: если бы на конце участка 3 не было бака (например, там установлен кран или просто открытый конец трубопровода), то никакого расхода в обратном направлении быть не могло. Таким образом, следует различать системы с баками, как источниками воды, и без них, хотя все отметки начала и конца трубопроводов в системах могут быть одинаковыми. На рис. 4.8 приведены две похожие системы, для которых план решения может быть абсолютно одинаковым. Однако в системе по схеме 4.8,а движение воды на участке 2 возможно в обоих направлениях (вверх или вниз – показано стрелками), это зависит от напора насоса и высоты установки правого бака. В второй схеме (рис. 4.8,б) движение воды на участке 2 возможно только вверх (показано стрелкой). Если напор насоса будет недостаточен для поднятия воды на - 71 - необходимую высоту 10 м, то расход на участке 2 будет равен нулю, и весь расход насоса пойдет по участку 3. Верхняя часть трубопровода 2 при этом будет заполнена воздухом, как показано на рис. 4.8. а б 2 1 3 10 м а 5м а 5м 2 10 м 1 3 Рис. 4.8. Различие в схемах систем с гидростатическим напором в сети: а – схема с баком в напорной части; б – схема без бака в напорной части 4.4. Примеры решения задачи с двумя нагнетателями Как было рассмотрено в предыдущем примере, при недостаточном напоре насоса возможно обратное движение воды из высоко расположенного бака. Чтобы этого избежать, можно на верхней ветке правой половины сети установить дополнительный насос б (рис. 4.9,а). Общее понимание такой системы ничем не отличается от предыдущего примера. По-прежнему направление циркуляции в системе в целом определяет насос а, который следует принимать за нагнетательную установку. Насос б требуется только для преодоления повышенных затрат энергии на участке 3. Он берет на себя часть затрат напора, поэтому насосу а на перемещение воды по участку 3 потребуется затратить меньше энергии, что гарантирует правильное направление потоков в системе и избавляет от необходимости ставить высоконапорный насос а, если на участках 1 и 2 не требуется высокого напора. Решение такой задачи тоже практически аналогично ранее рассмотренному примеру. Отличие заключается в том, что при построении характеристики верхней ветки следует дополнительно вычесть характеристику насоса б из ранее построенной характеристики (3+10 м). Условие задачи приведено на рис. 4.9, а решение – на рис. 4.10. - 72 - План решения задачи будет выглядеть следующим образом: 1 а →НУ 2 2 + 10 м 3 2 – б 4 ( 3 +3)// 5 (1–5 м) 6 ( 4 + 5 ) →С Построить т.Ф Выполнить обратные построения Согласно приведенному решению, расход насоса в рабочей точке Ф равен 16,5 м3/ч, а напор 6,8 м. Тогда потребляемая насосом мощность N = 1000 × 9,81 × 11 × 9,5 /(3600 × 60 /100) = 475 Вт = 0,475 кВт Согласно выполненным обратным построениям расход на участке 2 в точке Ф2 равен 6,8 м3/ч. Согласно выполненным обратным построениям потери напора на участке 3 в точке Ф3 равны 9,2 м. При этом потери напора на участке 2 в точке Ф2 равны 8 м, а общие затраты энергии по верхней ветке в точке Ф3+10м равны 19 м. Для нахождения напора в точке Х требуется записать уравнение изменения напоров при прохождении элементов системы, из которого можно было бы найти неизвестный напор. Запишем уравнение, начиная с левой части системы с поверхности бака: 0 + 5 м – Н1 = НХ . (4.1) Из обратных построений на графике находим Н1 = 3,5 м. Тогда окончательно получим НХ = 0 + 5 м – 3,5 м = 1,5 м . Таким образом, на всасывающем патрубке насоса имеется положительный подпор (за счет наличия бака на отметке 5 м). - 73 - а 2 10 м 5м а 1 3 Х б Н, м 20 2 3 б 15 1 10 а 5 5 10 15 20 25 Q, м3/ч Требуется определить: 1) мощность, потребляемую насосом б, если его КПД 60% 2) расход на участке 2 3) потери давления на участке 3 3) напор на всасывающем патрубке насоса в точке Х Рис. 4.9. Условие задачи с двумя нагнетателями и гидростатическим напором в сети: а – схема системы; б – характеристики элементов системы - 74 - а 3 НУ 5м 10 м а 1 2 Х б 6 Н, м25 2 3 4 С 3 20 Ф3+10м 2 15 Фб Нб =11 м 10 Ф3 Н2 =8 м Ф2 а=НУ На =6,8 м 1 Ф=ФНУ=ФС 5 Н1 =3,5 м 5 Q2 =6,8 3 10 Q3 =9,5 15 5 1 Ф1 20 25 Q, м3/ч Ф1-5м 5 Qа=Q1=16,5 -5 Рис. 4.10. Решение задачи с двумя нагнетателями и гидростатическим напором в сети: а – схема системы с разбиением на нагнетательную установку и сеть; б – графическое решение задачи - 75 - Обращаем внимание, что характеристика верхней ветки системы с учетом наличия насоса б ((3+10 м) – б) все равно имеет такой же общий наклон, как и характеристика любого трубопровода – из левого нижнего угла в правый верхний. Этот наклон и показывает, что линия принадлежит сети. Однако она уже не является простой параболой, так как производилось вычитание характеристики насоса, которая не является параболой и может иметь достаточно сложный вид с перегибами. Поэтому и результирующая линия может иметь местные перегибы, не меняющие, однако, ее общего направления. Рассмотрим теперь пример системы с двумя вентиляторами, которые составляют условную нагнетательную установку. Условие задачи приведено на рис. 4.11, а ее решение – на рис. 4.12. Направление расходов указано стрелками на схеме 4.11, а. Вариант, когда поток через один из вентиляторов идет в обратном направлении, весьма маловероятен и явно не является нормальной ситуацией, поэтому его не следует принимать за базовый вариант. За нагнетательную установку следует принять параллельное соединение двух веток с вентиляторами – вентилятор а вместе с примыкающим к нему воздуховодом 1 и вентилятор б. Линия деления системы показана на схеме на рис. 4.12,а. Согласно схеме, сеть состоит только из одного воздуховода 2. С учетом того, что его характеристика уже имеется на графике, никаких построений для сети выполнять не требуется. План построений будет выглядеть следующим образом: 1 а–1 2 ( 1 +б)// →НУ 3 2 →С Построить т.Ф Выполнить обратные построения Решение задачи в соответствии с приведенным планом показано на рис. 4.12,б. Согласно решению, расход в сети (участок 2) равен 2000 м3/ч. Расход вентилятора а в точке Фа равен 850 м3/ч при давлении 840 Па. Тогда потребляемая вентилятором мощность Nа = 850 × 840 /(3600 × 70 /100) = 283 Вт . Расход на участке 1 в точке Ф1 равен расходу вентилятора а и ставляет 850 м3/ч. Потери давления на участке равны 300 Па. - 76 - а а 2 1 б б Р, Па 1000 б 1 а 800 2 600 400 200 500 1000 1500 2000 2500 Q, м3/ч Требуется определить: 1) расход на участке 2 2) мощность, потребляемую вентилятором а, если его КПД 70% 3) потери давления на участке 1 Рис 4.11. Условие задачи с двумя вентиляторами: а – схема системы; б – характеристики элементов системы - 77 - а НУ С а 2 1 б б Р, Па 1000 б 1 а Ра =840 Фа 3 800 1 2 2 НУ 600 Рб=Р2=540 Фб Ф2 Ф= ФНУ=ФС 400 2 Р1 =300 Ф1 200 1 500 1000 Qа=Q1=850 Qб =1150 1500 2000 2500 Q2 =2000 Рис. 4.12. Решение задачи с двумя вентиляторами: а –схема системы с разбиением на нагнетательную установку и сеть; б – графическое решение задачи Q, м3/ч - 78 - Лекция 5 Нахождение давлений и напоров в точках системы Знание напоров или давлений в отдельных точках системы является исключительно важным с точки оценки требуемой прочности трубопровода, анализа возможности развития разрыва потока и кавитационных процессов, оценки достаточности располагаемого давления в точке подключения дополнительных потребителей и других задач. Расчет значения давления или напора в некой точке системы рассмотрим на примере системы из двух насосов и четырех участков, приведенной на рис. 5.1,а. Для простоты расчетов будем считать, что система состоит из двух одинаковых насосов а и б и четырех одинаковых участков трубопроводов 1–4. На поверхности водоема действует барометрическое давление, принимаемое обычно за условный ноль, поэтому напор в точке А тоже равен нулю. В точке Б при входе в трубопровод 1 напор равен высоте уровня в баке hб2 , то есть 5 м. На участке 1 вода движется по трубопроводу и теряет напор за счет потерь на трение и КМС. Так как никаких источников энергии на участке нет, то работа по перемещению жидкости совершается за счет энергии, запасенной в потоке, то есть напора самого потока, при этом напор потока уменьшается. В насосе а напор потока увеличивается на величину На , так как энергия от двигателя через рабочий орган насоса передается потоку. Далее на участке 2 напор снижается на величину потерь Н2, а при прохождении насоса б опять возрастает на величину Нб . При прохождении участка 3 напор снижается из-за подъема жидкости на высоту hб2 , и из-за наличия потерь Н3 на трение и КМС. На участке 4 напор снижается на величину потерь Н4. Из трубопровода 4 в точке И поток выходит в атмосферу, поэтому напор потока в этой точке равен нулю. Напоминаем, что в данном случае под напором в некоторой точке понимается напор, отсчитываемый от уровня оси трубопровода, а не условный напор, отсчитываемый относительно некоторого условного нуля. Запишем для данной системы уравнение изменения напора воды при прохождении по системе, учитывая что напор в атмосфере принимается за ноль: 0 + hб1 – Н1 + На – Н2 + Нб – Н3 – hб2 – Н4 = 0. (5.1) Разделим систему на нагнетательную установку и сеть, приняв за нагнетательную установку два последовательно включенных насоса На + Нб = Н1 + На + Н2 + Н3 + Н4 – hб1 + hб2 (5.2) - 79 - а 4 Ж И 3 А hб1=4 м а 1 2 Г В Б 10 м Д Е б НЕ=22 Н, м Е 20 Нб=15 15 Н3 +10 м =16 Г НГ=13 10 НД=7 НЖ=6 НБ=4 НА=0 НВ=-2 Д 5 Б Н1=6 Ж Н4=6 На=15 0 А И В НА = 0 НБ = 0 + hб1 = 0 + 4=4 НВ = НБ – Н1 = 4 – 6= -2 НГ = НВ + На = –2 + 15 = 13 НЖ=0 НД = НГ – Н2 =13 – 6 = 7 НЕ = НД + Нб = 7 +15 = 22 НЖ = НЕ – Н3 – hб1 = 22 – 6 – 10 = 6 НИ = НЖ – Н4 – hб1 = 6 – 6 = 0 Рис. 5.1. Распределение напоров в трубопроводной системе: а – схема системы; б – эпюра распределения напоров в системе Если потери напора в каждом из четырех трубопроводов составляют 6 м водяного столба, то общие затраты напора в системе, соответствующие напору нагнетательной установки, будут равны На + Нб = НС = 6 + 6 + 6 + 6 – 5 + 10 = 30 м . - 80 - Учитывая, что насосы в системе одинаковы, напор каждого из них должен равняться половине общего напора нагнетательной установки, то есть 15 м. При известных значениях потерь напоров на участках и напоров насоса вычисление напоров в каждой точке системы выполняется легко – расчетные соотношения для вычисления напоров в каждой точке приведены на рис. 5.1. Определение напора в некоторой точке системы, по сути, аналогично методу определения отметок на местности при помощи нивелира – надо начать измерение с некоторой точки с известной отметкой (репер) и, последовательно продвигаясь по местности к конечной точке, записывать с нужным знаком приращение отметок, считываемые по прибору. Конечный результат вычислений и будет соответствовать отметке конечной точки маршрута. Отметками промежуточных точек являются соответственно результаты вычислений в промежуточных точках. Таким образом, общее правило определения давления (или напора) в некоторой точке системы сводится к следующему: Для определения давления в некоторой точке системы надо, начав из точки с известным давлением, последовательно продвигаться по системе к конечной точке, складывая с учетом знака изменения давления потока на каждом пройденном элементе системы. Возможен и несколько другой подход, когда начинают с точки, в которой требуется определить давление, и продвигаются к точке с известным давлением. Для определения давления в некоторой точке системы надо, начав из нее, последовательно продвигаться по системе к точке с известным давлением, складывая с учетом знака изменения давления потока на каждом пройденном элементе системы. Какой из двух вариантов использовать, решает пользователь. При правильном решении ответы по обоим вариантам должны совпасть. Рекомендуется выбирать тот вариант, который дает наиболее короткое решение, то есть двигаться целесообразно по самому короткому пути. Обращаем внимание, что в принципе можно двигаться как по направлению потока, так и против потока. Тем не менее, предпочтительным направлением следует признать вариант движения по потоку: при этом изменения потерь давления в трубопроводах за счет трения и КМС всегда будут учитываться со знаком «минус», как записано в уравнении (5.1), что соответствует обычному пониманию физики процесса. Например, если требуется найти напор в точке Д системы (рис. 5.1), то возможны два варианта: 0 + hб1 – Н1 + На – Н2 = НД , НД = 0 + 4 – 6 + 15 – 6 = 7. (5.3) - 81 - НД + Нб – Н3 – hб2 – Н4 = 0 . (5.4) Решив (5.4) относительно НД, получим НД = – Нб + Н3 + hб2 + Н4 = 0 , (5.5) НД = –15 + 6 +10 + 6 = 7 . В системе обязательно должна фигурировать точка с известным напором, в противном случае определить расчетом давления в точках системы невозможно. Чаще всего точкой с известным давлением выступает атмосфера, то есть точки входа или выхода потока в атмосферу. Давление и напор в этих точках условно принимается за ноль. В закрытых системах, где поток изолирован от атмосферы, все равно следует поддерживать давление в некоторой точке системы на определенном уровне. Это достигается установкой расширительного мембранного бака с известным давлением газа, или некоторого регулятора давления, поддерживающего его на требуемом постоянном уровне. Если таких специальных мер не будет предпринято, то за счет температурного расширения теплоносителя объем его в системе будет непрерывно меняться, и вместе с ним будет изменяться давление: при повышении температуры объем увеличивается и давление растет, при понижении температуры объем уменьшается и давление снижается. В некоторых случаях температурный рост давления может привести к нарушению герметичности системы, разрыву трубопроводов, выходу из строя оборудования, то есть к аварийным ситуациям. На рис. 5.2 приведены различные схемы систем, в которых требуется определить напор в точке Х на всасывающем патрубке насоса. Рассмотрим ситуацию для каждой из систем. Начнем с системы, изображенной на рис. 5.2,а. Запишем уравнение изменения напоров в системе, начиная с точки Х и заканчивая ею же НХ + На – Н1 – Н2 – 5 м – Н3 – Н4 + 5м – Н5 = НХ . чим (5.6) Величина НХ и напор 5 м сокращаются, и после сокращения полуНа – Н1 – Н2 – Н3 – Н4 – Н5 = 0. (5.7) Как следует из уравнения (5.7), напор в точке Х определить невозможно, так как система замкнута и нет отправной точки для отсчета. Из-за теплового расширения напор может принимать любое значение. - 82 - а 2м 3 4 5м Рбар б 2 а 5 5м 1 6 3 4 5 Х 2 а 1 Х в г Рбар 3 2м 5м 3 6 4 5 Х 2 а Рг 5м 4 5 1 6 2 а 1 Х Рис. 5.2. Различие в схемах подключения расширительного бака: а – схема без расширительного бака; б, в – схемы с открытым расширительным баком; г – схема с закрытым расширительным баком В системе, приведенной на рис. 5.2,б, открытый расширительный бак подсоединен к системе при помощи дополнительного трубопровода 6. Расхода через трубопровод нет, следовательно, нет и потерь давления в нем. Уровень в баке стоит на постоянной отметке и смещается только за счет теплового расширения воды в системе (случай утечек из системы здесь не рассматриваем). Для данной системы отправной точкой расчета является поверхность уровня воды в баке, на которую действует барометрическое давление (избыточное давление равно 0). Тогда уравнение для определения давления в точке Х будет 0 + 2м – Н4 + 5 м – Н5 = НХ . (5.8) Обращаем внимание на знак «минус», стоящий в уравнении перед потерями на участках 4 и 5. При достаточно больших потерях суммарные затраты напора на этих участках могут превысить запас гидростатического напора 7 м, и тогда напор перед насосом может стать отрицательным, что, в свою очередь, может привести к возникновению кавитации в насосе. - 83 - Для системы, приведенной на рисунке 5.2в, отправной точкой также является поверхность уровня воды в баке, но бак теперь подсоединен непосредственно к всасывающему патрубку насоса. Как и в предыдущем случае, расхода на участке 6 нет. Уравнение для определения давления в точке Х будет 0 + 2м + 5м = НХ . (5.9) Теперь напор в точке Х перед насосом постоянен и не зависит от потерь напора на отдельных участках системы. Если бак приподнят над уровнем установки насоса, то наличие перепада отметок гарантирует положительный напор перед насосом, что предотвращает возникновение кавитации в насосе. Поэтому именно такой вариант присоединения открытого расширительного бака является наиболее желательным. Недостатками открытого расширительного бака являются два момента: а) непрерывное проникновение кислорода из атмосферы, что увеличивает коррозию стальных труб; б) необходимость установки бака на повышенных отметках, что неудобно с точки зрения эксплуатации и не всегда возможно технически. От обоих недостатков свободен вариант с установкой закрытого расширительного бака, который может устанавливаться непосредственно рядом с насосом в помещении, где располагается все остальное оборудование (тепловой пункт, котельная, насосная и т.п.). Бак представляет из себя герметичную емкость, рассчитанную на определенное давление. Внутри бака находятся резиновая мембрана или мешок, которые делят бак на два отсека. В один отсек закачивается газ (обычно азот), а другой заполнен водой и соединен трубопроводом с системой. Обращаем, что расхода на участке 6 также нет – уровень в баке стоит на некоторой отметке и может медленно смещаться только за счет теплового расширения воды в системе. На баке может быть смонтирована дополнительная предохранительная защитная арматура. При равенстве уровней расположения насоса и мембраны в баке и некотором избыточном давлении газа в баке Рг уравнение для определения давления в точке Х НХ = Рг /ρg . (5.10) Изменяя давление Рг, можно поддерживать в системе необходимый напор, достаточный для гарантированного заполнения системы и предотвращения кавитации в насосе. Более детально расчеты расширительных баков рассматриваются в специальных дисциплинах. - 84 - Лекция 6 Расчет рабочего режима системы методом последовательных приближений 6.1. Общая идея расчета режима системы методом последовательных приближений. 6.2. Решение для системы с одним узлом. 6.3. Методы последовательных приближений. 6.1. Общая идея расчета системы методом последовательных приближений В стационарном режиме в любой гидравлической системе должны соблюдаться массовый и энергетический балансы – приток среды равен расходу среды из системы, сообщаемый системе положительный напор от источников энергии должен полностью тратиться в системе. При этом, в каждом узле должен соблюдаться баланс расходов, а в каждом замкнутом контуре – баланс напоров или давлений. Эти положения позволяют составить для рассматриваемой системы некоторую систему нелинейных уравнений, которую можно решить относительно неизвестных расходов на каждом элементе и неизвестных напоров в узлах системы. Учитывая, что преобразовать систему уравнений к одному алгебраическому уравнению с одним неизвестным чаще всего невозможно, то решение системы уравнений производится обычно методами приближений. Суть метода последовательных приближений (МПП) заключается в том, что вначале произвольно задаются некоторым начальным режимом работы системы (расходами на каждом участке или распределением давлений или напоров в узлах системы). При начальном режиме вышеуказанные балансы обычно не сходятся, то есть начальное распределение параметров не является решением системы и принято с некоторой погрешностью. Однако существуют специальные методы, которые позволяют рассчитать такие поправки к каждому значению параметра, которые обеспечат более правильное соблюдение балансов в системе. Таким образом, рассчитав и введя поправки, на каждом шаге приближаются к некому точному решению. Эта последовательность шагов по вычислению поправок, делающих более точным полученное на каждом очередном шаге решение, и является реализацией метода последовательных приближений. Отметим, что во многих практических задачах не имеет смысла стремиться к абсолютно точному решению набора уравнений, так как заранее известно, что сама задача поставлена и описана уравнениями с неко- - 85 - торой погрешностью. Невозможно точно описать все факторы, влияющие на результат решения. Процесс решения некоторой технической задачи можно представить в виде схемы, приведенной на рис.6.1. Физическое явление Отбрасывание малозначимых факторов Воображаемая физическая модель Составление системы уравнений Математическая модель Выбор метода решения Метод решения Подготовка исходных данных Набор исходных данных Решение системы уравнений Выбранным методом Варианты решений Оценка приемлемости полученного результата Корректировка Оценка приемлемости полученного результата Ответ Рис. 6.1. Общая схема решения прикладной задачи Прикладной технический расчет касается какого-либо оборудования, явления или процесса – в общем понимании некоторого физического явления. Любое физическое явление настолько многогранно, что произвести его полный расчет просто невозможно. Поэтому на начальной стадии анализируется рассматриваемое физическое явление, и выбираются его наи- - 86 - более значимые параметры, факторы и особенности с точки зрения решения поставленной задачи. Малозначимые факторы при этом игнорируются, то есть отбрасываются. Иначе говоря, на этом этапе происходит упрощение физического явления до некоторой воображаемой физической модели. После того как разработана физическая модель, производится ее описание набором некоторых уравнений. Количество, вид и сложность используемых уравнений определяет разработчик метода решения задачи. Для описания взаимного влияния двух параметров можно использовать самые разные уравнения, и это повлияет на точность решения, окончательный вид расчетных зависимостей, сложность процесса решения и многое другое. В любом случае результатом этого процесса является математическая модель явления, то есть набор уравнений, достаточно полно и правильно описывающий разработанную физическую модель (с точки зрения разработчика). Физика на этом этапе временно заканчивается. Для полученной математической модели выбирается один из возможных способов решения системы уравнений. В самом простом случае это может быть последовательный, не разветвляющийся алгоритм. К сожалению, не так уж много серьезных реальных задач можно решить таким способом. При необходимости применяют разветвляющиеся алгоритмы и методы последовательных приближений. Следующим этапом является подготовка исходных данных в соответствии с разработанной математической моделью. Очень важным моментом является структура записи или хранения данных – она должна обеспечивать понятность и простоту корректировки для человека, и при этом одновременно удовлетворять простоте и легкости ввода данных в компьютер в виде, приемлемом для используемого программного обеспечения. Учитывая, что совместить выполнение этих противоречивых требований нелегко, часто используют дополнительные программы для перекодировки или переформатирования данных из одной формы в другую. Когда данные подготовлены, производится решение задачи выбранным методом. Учитывая, что решение может быть не единственным, в итоге получают некоторые наборы параметров – варианты решения задачи. Анализ полученных вариантов решения исключительно важен. Вопервых, требуется отбросить явно нереальные варианты, которые чаще всего возникают при решении степенных уравнений (квадратное уравнение может иметь два корня, кубическое – три). Дальше следует оценить полученные решения с точки зрения корректности составленной физической модели. Не следует забывать, что часть физических факторов была отброшена на этапе составления физической модели, однако полученное решение может вступить в конфликт с ранее отброшенными факторами. Следует проверить корректность математической модели, то есть правильность описания взаимосвязей между параметрами – ошибки могут возникнуть даже из-за простой описки. Далее следует оценить точность полу- - 87 - ченного решения, корректность введенных исходных данных. При необходимости, решение производится повторно. Из рассмотренной модели ясно, что решение реальной задачи сопровождается многими моментами, которые снижают точность полученного ответа. Во многих случаях ориентируются на некоторые средние значения физических параметров, характеристик материалов, климата, условий работы объекта. Многие исходные данные в принципе не могут быть заданы с высокой степенью точности. Кроме того, расчеты систем производятся, как правило, на предельные режимы, а реально они работаю в некоторых промежуточных режимах. Все это говорит о том, что стремление к достижению абсолютно точного ответа в большинстве ситуаций не оправдано. Следует оговорить некоторое допускаемое значение погрешности ответа и стремиться к тому, чтобы весь процесс решения задачи – подготовка данных, подбор уравнений, способ решения – не приводил бы к возникновению погрешностей, превышающих оговоренные значения. При таком подходе использование методов приближения, когда процесс вычисления прекращают по достижении заданной точности, абсолютно естественно и оправдано. Методов последовательных приближений много. Это отдельный раздел математики, который тесно связан с физическими особенностями решаемых задач. Существует много книг, посвященных теории и практической реализации МПП, здесь мы рассмотрим только общие вопросы, касающиеся применения этого метода для относительно простых задач. В настоящем пособии разбираются наиболее простые и легко реализуемые методы. Не существует одного универсального МПП, так как каждый обладает определенными преимуществами и недостатками. В зависимости от решаемой задачи, предъявляемых требований к методу решения, личных взглядов исполнителя расчета и других факторов выбирается тот или другой метод. Оценка качества МПП имеет следующие критерии: – Надежность или сходимость, которая означает, что метод гарантированно приводит к решению при любых заданных начальных исходных данных. Следует отметить, что многие МПП не обладают абсолютной надежностью, так как сходимость решения может быть потеряна на любом шаге. Однако другие их преимущества позволяют эффективно использовать их для решения широкого круга задач при соответствующем построении программ, помогающим избежать «зацикливания» процесса решения. – Скорость, которая означает, что метод быстро приводит к решению. Часто быстрые методы менее надежны, чем медленные, но в тех ситуациях, когда требуется выполнять расчет для большого числа уравнений, особенно в режиме реального времени, часто предпочтение отдается быстрым методам. - 88 - – Сложность программной реализации, которая для специализированных задач в большинстве случаев не принципиальна. Для студентов этот фактор весьма важен, ввиду ограниченности времени, не слишком высокого уровня знания языков программирования и математики, особенно векторной и матричной. – Общее затраченное время, которое складывается из времени на составление программы и ее отладку, времени на подготовку, проверку и набор на клавиатуре исходных данных, и времени собственно на расчет. Отметим, что опыт расчетов на современных высокопроизводительных компьютерах показывает, что время, затрачиваемое на подготовку исходных данных, многократно превышает время, затрачиваемое компьютером на выполнение вычислений. Поэтому при решении относительно небольших студенческих задач скорость счета не имеет принципиального значения, и можно с успехом использовать простые и надежные МПП, хотя и не очень быстрые. Большинство методов требует записи решаемого нелинейного уравнения в виде Y(Х) = 0. Решением данного уравнения является нахождение приближенного значения Х, при котором выполняется уравнение. Отметим, МПП применяются для решения самого широкого круга задач, как стационарных режимов, так и нестационарных. Но в любом случае мы имеем уравнение или систему уравнений, которые требуется решить с определенной точностью. 6.2. Решение для системы с одним узлом Рассмотрим простую задачу, состоящую из двух участков с подключенными к ним емкостями (рис.6.2). H=0 1 h1= 13 м НХ Х H=0 2 Уровень условного нуля h2=5 м Рис. 6.2. Расчетная схема простейшей системы hХ=7 м - 89 - Уровень воды в каждой емкости расположен на своей отметке относительно некоторого условного нуля (например, уровня земли). Участки имеют общую точку Х – единственный узел системы. Направления расходов, указанные на рисунке – это единственно возможный вариант. Расходы в данном направлении будем считать положительными, при этом расход Q1 направлен к узлу Х (приток), а расход Q2 направлен от узла Х (отток). При таком подходе участки рассматриваются как соединенные последовательно. На открытой поверхности воды в баках напор равен 0. Учитывая, что в точке Х имеется некоторый неизвестный напор НХ , можно составить систему из трех уравнений (h1 + 0 ) – (hX+НX) = А1 Q12 , (hX+НX) – (h2 + 0) = А2 Q22 , Q1 – Q2 = 0 . (6.1) (6.2) (6.3) Последнее уравнение системы (6.3) следует из баланса расходов в узле Х. В данной системе из трех уравнений имеется три неизвестных: расходы на участках Q1 и Q2 и напор в узле НX . Таким образом, система решается. Из уравнения (6.3) следует равенство расходов на участках, поэтому обозначим этот расход просто Q . Тогда решение легко получить, сложив уравнения (6.1) и (6.2) (А1 + А2) Q2 = h1 + 0 – hX – НX + hX + НX – h2 – 0 . (6.4) После сокращения hX и НX получим окончательное выражение для расхода Q = (h1 – h2 ) 0,5/ (А1 + А2)0,5. (6.5) Выражение 1/(А1 + А2)0,5 есть суммарная пропускная способность сети, а выражение (h1 – h2 ) есть действующий в системе напор Н. Таким образом, мы получили стандартное выражение для вычисления расхода на эквиваленте последовательно соединенных участков: Q = Кv Н 0,5. Основным недостатком рассмотренного подхода является то, что он применим только при соединении двух участков, когда направление расходов на участках однозначно определено. При большем числе соединенных участков становится неизвестно, на каких участках расход идет к узлу Х, а на каких – от узла. Поэтому в этом случае целесообразно на всех участках считать за положительное направление расхода к узлу (приток), а за отрицательное – от узла. Пример такой системы приведен на рис. 6.3. - 90 - H=0 1 H=0 3 НХ h1= 13 м Х 2 Уровень условного нуля h2=5 м hХ=7 м h3=10 м Рис. 6.3. Расчетная схема системы из трех участков На участке 1 расход гарантированно идет к узлу Х, так как бак 1 расположен наиболее высоко. На участке 2 расход гарантированно идет к узлу Х, так как бак 2 расположен наиболее низко. А вот на участке 3 направление расхода предсказать невозможно, так как оно зависит от напора НХ в узле Х . Так как уровень воды в баке 3 расположен на 3 метра выше уровня узла Х, можно утверждать, что если НХ будет больше 3 м, то он сможет преодолеть противодействующий напор бака, и направление расхода на участке 3 будет от узла Х. В противном случае, при НХ < 3 м, расход будет идти к узлу Х. При НХ = 3 м, расхода на участке 3 вообще не будет (точнее, он будет равен нулю). Представление всех участков, как параллельно соединенных, избавляет нас от неопределенности направления расходов, однако вынуждает использовать более корректные уравнения (1.39) и (1.40), позволяющие вычислять потери давления и расходы на участках с учетом знака. Для системы, приведенной на рис. 6.3, можно составить следующую систему уравнений: А1 Q1 |Q1|= (h1 + 0 ) – (hX+НX) , А2 Q2 |Q2|= (h2 + 0 ) – (hX+НX) , А3 Q3 |Q3|= (h3 + 0 ) – (hX+НX) , Q1 + Q2 + Q3= 0 . (6.6) (6.7) (6.8) (6.9) В данной системе имеется четыре неизвестных: расходы на участках и напор в узле НX . Решить приведенную систему алгебраически не представляется возможным – неизбежно приходится использовать метод последовательных приближений. Если удастся определить напор НX в узле Х, то найти расходы на участках из уравнений (6.6 – 6.8) не представляет труда. Таким образом, требуется найти такое значение напора в узле Х, при котором в этом узле наблюдается баланс расходов. - 91 - Поставленная задача может быть решена графически. При построении на графике характеристики участка с правильным изгибом параболы можно использовать более простое типовое выражение Н = А Q2. Запишем уравнения системы несколько иначе: h1 – А1 Q12 = (hX +НX) , h2 – А2 Q22 = (hX +НX) , h3 – А3 Q32 = (hX +НX) , Q1 + Q2 + Q3= 0 . (6.11) (6.12) (6.13) (6.14) В левой части уравнений (6.11 – 6.13) стоят выражения, означающие вычитание характеристики участка из отметки уровня в соответствующем баке. В правой части этих уравнений стоит одно и то же выражение, означающее полный напор в узле Х. Таким образом, как указывает последнее уравнение (6.14), надо складывать расходы при некотором одинаковом значении напора, то есть следует произвести параллельное сложение. Так как потери в трубопроводах стоят с отрицательным знаком, то эквивалент параллельного сложения следует рассматривать как нагнетательную установку. В этом нет ничего странного – движущей силой являются напоры баков, что ясно видно на примере участка 1. Именно они определяют направление потоков в системе. Сетью при таком подходе является некий противодействующий полный напор в узле Х (правая часть уравнений). Иллюстрация такого графического решения приведена на рис. 6.4. Для простоты решения принято, что характеристики всех трех участков одинаковы (это не меняет принципиальной картины решения). Коэффициент сопротивления А для всех участков одинаков и может быть определен по любой точке параболы участка на графике, например Q =5, Н=5 А = Н/ Q2 = 5/ 52 = 1/5 = 0,2 . Суммарная линия нагнетательной установки после параллельного сложения имеет правильный наклон – из левого верхнего угла в правый нижний. Обращаем внимание на то, что эта линия не является параболой. Более того, на ней имеются точки перегибов – на тех уровнях напора, где имеют перегиб складываемые параболы. Рабочая точка Ф системы определяется из условия нулевого баланса расходов в узле Х, согласно уравнению (6.14). Как следует из решения, полный напор в узле Х равен 9,8 м, и тогда напор в этом узле составляет 9,7 – 7 = 2,7 м, что не позволяет преодолеть противодействующий напор бака 3. Поэтому на участке 3 расход идет к узлу Х, то есть имеет положительное значение, как и показано на графике. Сумма всех трех расходов с учетом знака, действительно, равна 0. - 92 - ΣQ = 4 – 4,7 + 0,7 = 0 Н, м 20 3 2 1 1,2,3 15 НУ hX +НX =9,7м С Ф ΣQ=0 На =6,8 м 5 Н1 =3,5 м -10 Ф1 НУ 0 Ф3 5 Q3 =0,7 Q1 =4,0 -5 Q2 =-4,7 Ф2 -5 10 3 15 Q, м3/час 1 2 Рис. 6.4. Графическое решение задачи с тремя участками и баками Графическое решение, приведенное на рис. 6.4, легко реализуется для одного отдельного узла, однако явно нецелесообразно решать таким графическим способом более сложные системы с несколькими узлами, и уж тем более нереально решение прикладных задач, где количество узлов может исчисляться сотнями и тысячами. В этом случае приемлемыми являются только аналитические, то есть численные методы расчета. Система уравнений (6.6–6.10) может быть решена методом приближения, исходя из общего алгоритма, излагаемого ниже. - 93 - 1) Зададимся ориентировочно некоторым значением полного напора в узле Х (начальное приближение). Можно принять его равным среднему значению отметок всех баков, или среднему значению из максимальной и минимальной отметки. По второму варианту получим hX +НX = (h1 + h2 )/2 = (13 + 5)/2 = 9 м . 2) Вычислим значения действующих перепадов напоров на участках по формуле ΔНi = (hi + 0 ) – (hX+НX) . (6.15) Получим для каждого участка ΔН1 =13 + 0 – 9 = 4 м , ΔН2 = 5 + 0 – 9 = -4 м , ΔН3 =10 + 0 – 9 = 1 м . 3) Вычислим значения расходов на участках по формуле Qi = ΔНi /( А1 |ΔНi|)0,5 . (6.16) Получим для каждого участка: Q1 = 4 / (0,2× | 4 | )0,5 = 4,472 м3/ч , Q2 = -4 / (0,2× | 4 | )0,5 = -4,472 м3/ч , Q3 = 1/ (0,2× | 1 | )0,5 = 2,236 м3/ч . Обращаем внимание, что знаки расходов на участках должны обязательно совпадать со знаками действующих перепадов напора ! 4) Вычислим сумму расходов в узле Х: ΣQ = 4,472 – 4,472 + 2,236 = 2,236 м3/ч . 5) Принимаем решение о том, в каком направлении следует корректировать ранее принятое значение полного напора в узле Х. Если сумма расходов получилась положительной, значит приток в узел больше, чем отток, то есть напор в узле принят недостаточным, чтобы противодействовать более интенсивному притоку воды. Таким образом, в этом случае следует увеличить ранее принятое значение напора в узле. Если же сумма расходов получилась отрицательной, приток в узел меньше, чем отток, то есть напор в узле принят излишне большим, что не - 94 - позволяет достаточному количеству воды притекать в узел. В этом случае следует уменьшить ранее принятое значение напора в узле. Таким образом, действует простое правило: знак поправки к напору в узле всегда соответствует знаку дисбаланса расходов в этом узле. В нашем случае ранее принятое значение напора в узле следует увеличивать. 5) Принимаем решение о величине поправки, то есть о том, на какую величину следует изменить ранее принятое значение полного напора в узле Х. Этот вопрос является достаточно сложным, так как точное значение поправки невозможно рассчитать, и приходится последовательно вносить на каждом шаге очередную корректировку, постепенно приближаясь к истинному решению (поэтому численные методы таких расчетов и называются методами последовательных приближений). Все МПП как раз и различаются методикой расчета величины поправки. Пока не будем детально вдаваться в технологию расчета поправок, так как этот вопрос будет рассмотрен чуть позже. Принимаем поправку к полному напору в размере 1,0 м. 6) Теперь остается лишь повторять пройденные ранее этапы со 2-го по 5-й, пока не получим ответа с приемлемой точностью hX + НX = 9 + 1 = 10 м ; ΔН1 =13 + 0 – 10 = 3,0 м ; ΔН2 = 5 + 0 – 10 = -5,0 м ; ΔН3 =10 + 0 – 10 = 0,0 м ; Q1 = 3,0 / (0,2× | 3,0 | )0,5 = 3,873 м3/ч ; Q2 = -5,0 / (0,2× | -5,0 | )0,5 = -5,000 м3/ч ; Q3 = 0 м3/ч ; ΣQ = 3,873 – 5,000 + 0 = -1,127 м3/ч . Таким образом, принятое значение поправки оказалось слишком велико, поэтому теперь следует уменьшить значение полного напора в узле Х. Принимаем новую поправку в размере -0,2 м: hX + НX = 10,0 – 0,2 = 9,8 м ; ΔН1 =13 + 0 – 9,8 = 3,2 м ; ΔН2 = 5 + 0 – 9,8 = -4,8 м ; ΔН3 =10 + 0 – 9,8 = 0,2 м ; Q1 = 3,3 / (0,2× | 3,2 | )0,5 = 4,000 м3/ч ; Q2 = -4,8 / (0,2× | -4,8 | )0,5 = -4,899 м3/ч ; Q3 = 0,2 / (0,2× | 0,2 | )0,5 = 1,000 м3/ч ; ΣQ = 4,000 – 4,899 + 1,000 = 0,101 м3/ч . - 95 - Теперь напор в узле следует увеличить. Принимаем новую поправку в размере 0,03 м : hX +НX = 9,8 + 0,03 = 9,83 м; ΔН1 =13 + 0 – 9,83 = 3,17 м ; Q1 = 3,17 / (0,2× | 3,17 | )0,5 = 3,981 м3/ч ; ΔН2 = 5 + 0 – 9,83 = -4,83 м ; Q2 = -4,83 / (0,2× |-4,83|)0,5 =-4,914 м3/ч ; ΔН3 =10 + 0 – 9,83 = 0,17 м ; Q3 = 0,17 / (0,2× | 0,17 | )0,5 = 0,922 м3/ч ; ΣQ = 3,981 – 4,914 + 0,922 = 0,011 м3/ч. Будем считать, что погрешность суммы расходов 0,011 м3/час является приемлемой. Действительно, даже по отношению к минимальному расходу на участке 3 относительная погрешность составит всего 1,2 %. Для практических вычислений точность в пределах 5% вполне достаточна, поэтому расчет можно прекратить. Обращаем внимание, что полученные результаты численного решения несколько расходятся с результатами графического решения. Среднее расхождение результатов составляет около 0,2 м3/ч, что для минимального расхода на третьем участке дает погрешность около 20 %. Для первого и второго участков погрешность составляет около 5 %. Это подчеркивает самый существенный недостаток графического решения – его относительно невысокую точность, которая полностью зависит от аккуратности и добросовестности расчетчика. В показанном решении на каждом шаге величина поправки напора уменьшалась, что является хорошим свойством решения – процесс монотонно стремится к истинному решению. Однако, как мы убедимся позже, не все МПП обладают таким свойством. Учитывая, что подбор значения напора в узле Х сводится к достижению нулевого баланса расходов, для решения этой задачи эффективно использовать готовые встроенные функции прикладных вычислительных программ. Так, программа EXCEL имеет функцию «Подбор параметра», которая и предназначена именно для решения подобных задач. Функция так подбирает значение в некой указанной клетке таблицы (в нашем случае НХ), что в другой указанной клетке достигается требуемое значение (в нашем случае QХ = 0). К сожалению, для задачи с несколькими узлами процедура решения существенно усложняется. Если в рассмотренной системе на участке 1 добавочно установить насос с известной характеристикой (рис. 6.5), то принципиально решение задачи не сильно изменится. - 96 - H=0 1 H=0 а h1= 13 м 3 НY НХ Y Х 2 Уровень условного нуля h2=5 м hХ= hY=7 м h3=10 м Рис. 6.5. Расчетная схема системы из трех участков с насосом В схеме на рис. 6.5 появился дополнительный элемент системы (насос а) и узел Y. Это приводит к тому, что появились дополнительные неизвестные – напор в узле Y, расход насоса Qа и его напор На. Общее количество неизвестных стало равно 7, поэтому потребуется увеличить число уравнений до семи. Для схемы, приведенной на рис.6.5, можно составить следующую систему уравнений А1 Q1 |Q1|= (h1 + 0 ) – (hY+НY) , А2 Q2 |Q2|= (h2 + 0 ) – (hX+НX) , А3 Q3 |Q3|= (h3 + 0 ) – (hX+НX) , НY + На = НX , На = f (Qа) , Qа + Q2 + Q3 = 0 , Q1 – Qа = 0 . (6.17) (6.18) (6.19) (6.20) (6.21) (6.22) (6.23) Решение системы также должно выполняться методом приближений. Задавшись напором в узле Х, можно определить расходы на участках 2 и 3. Их алгебраическая сумма с противоположным знаком равна расходу через насос а. Зная расход Qа , вычисляют напор насоса, а затем напор в узле Y. Зная напор НY, можно вычислить расход на участке 1. Зная расходы Qа и Q1 , можно проверить баланс расходов в узле Y. Возможны и другие последовательности расчетов. Можно вначале задаться расходом через насос или напором в узле Y. В любом случае система решается по принципу: вначале произвольно принимаем значение одного из неизвестных параметров, а затем проверяем корректность принятого значения по условию баланса расходов или равенства напоров. - 97 - Основная проблема заключается в том, что для реальной большой задачи все решение должно быть полностью автоматизировано, начиная от задания начального распределения параметров и кончая принятием решения об остановке расчета. Программа должна сама определять последовательность решения уравнений, и желательно, если и составлять их будет она – это позволит избежать ошибок, связанных с человеческим фактором. Желательно иметь единую форму данных по всем однотипным объектам системы, удобную для редактирования. В соответствии с этими требованиями, исходные данные по участкам системы обычно приводят к матричному виду, то есть таблицам. Количество столбцов и строк в таблице соответствует числу участков или узлов системы. Программирование развитого интерфейса такой программы требует достаточно высокой квалификации и хорошего знания особенностей решаемых задач. - 98 - Лекция 7 Методы последовательных приближений для решения нелинейных уравнений 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. Метод половинного деления. Метод хорд. Метод Ньютона (метод касательной). Метод простых итераций. 7.1. Метод половинного деления При вычислении корня нелинейного уравнения методом половинного деления (метод ПД) решаемое уравнение должно быть приведено к виду Y(Х)= 0 . (7.1) Графическая иллюстрация метода половинного деления приведена на рис. 7.1. Y Y=F(Xл) Y=F(X) Y=F(Xср0) Xср0 Xср3 Xср2 Xср1 Xп X Xл Истинное решение Xист Рис. 7.1. Графическая иллюстрация метода половинного деления Последовательность действий при решении уравнения методом ПД изложена ниже. 1) Задаются требуемой погрешностью вычислений εх по Х. Для большинства прикладных задач этот этап не вызывает затруднений, так как из физического смысла задачи и целей расчета достаточно ясно следуют требования к точности вычисления искомого параметра. Оче- - 99 - видно, что температуру в дымовой трубе котла нет смысла определять с точностью до сотых долей градуса. Весьма практично вначале задаться требуемой относительной точностью определения параметров, а затем перейти к абсолютным величинам погрешностей. Во многих расчетах относительная погрешность в 1-2 % вполне достаточна. 2) Задаются левой Хл и правой Хп границами интервала (отрезка по оси Х), на котором гарантированно находится решение. Решение на заданном отрезке должно быть только одно. Для большинства прикладных задач и этот этап не вызывает затруднений, так как из физического смысла задачи достаточно очевидны минимальное и максимальное значения Х, которые могут наблюдаться в рассматриваемой ситуации. Например, температура некого тела, обменивающегося теплом конвекцией и излучением с другими телами, не может быть больше максимальной температуры окружающих тел, и меньше их минимальной температуры. В задаче, рассмотренной выше (рис. 6.3), напор в точке Х не может быть больше отметки самого высоко расположенного бака и не может быть меньше отметки самого низко расположенного бака. Если все-таки поиск интервала вызывает затруднения, то задаются левой границей Хл, вычисляют значение Y(Хл), а затем с определенным шагом увеличивают Х, вычисляя каждый раз значение Y(Х), пока оно не изменит знак по отношению к Y(Хл). Найденное значение Х принимается за правую границу, а предыдущее значение Х – за левую. Действуя таким образом, можно существенно сузить начальное значение интервала. 3) Вычисляют значение Y(Хл) на левой границе интервала. 4) Вычисляют значение Хср в середине интервала Хср = (Хл + Хп) / 2 . (7.2) 5) Вычисляют значение Y(Хср) в середине интервала. 6) Если Y(Хср) = 0, то Хср есть решение, и расчет закончен. В противном случае расчет продолжается. 7) Определяют совпадение знаков функции на левой границе интервала Y(Хл) и в середине Y(Хср) путем их перемножения (если знаки одинаковы, то произведение будет положительным, а если разные, то отрицательным): В = Y(Хл) × Y(Хср) . (7.3) 8) Если знак произведения В положителен, значит решение находится правее середины интервала, и левую границу следует переместить в се- - 100 - редину, в противном случае в середину перемещается правая граница интервала. Если В>0, тогда Хл = Хср , Y(Хл) = Y(Хср) ; (7.4) если В<0, тогда Хп = Хср . (7.5) Данное правило действует при любом наклоне линии функции Y(Х), как показано на рис. 7.2 а Y Y Истинное решение Xист Xл Xср Xп X Xл Xср Xп X Xп X Истинное решение Xист б Y Y Истинное решение Xист Xл Xср Xп X Xл Xср Истинное решение Xист Рис. 7.2. Иллюстрация правила сдвига границ интервала: а – произведение В меньше 0; б – произведение В больше 0 - 101 - 9) Проверяют достижение требуемая точности расчета. Если требуемая точность достигнута, то расчет прекращают, и за решение принимается середина интервала. если (Хп – Хл )/2 ≤ εх, тогда Х = (Хл + Хп)/2 (7.6) 10) Проводят следующий цикл вычислений, повторяя этапы расчета с п.4. Таким образом, на каждом цикле расчета принятый ранее интервал сужается в два раза. После выполнения N итераций ширина интервала уменьшается в 2N раз. Метод ПД является достаточно медленным, так как на любом шаге следующее приближение может оказаться дальше от истинного решения, чем полученное на предыдущем шаге. Так, в примере на рис. 7.1 середина отрезка на первом шаге Xср1 значительно дальше отстоит от истинного решения, чем начальное приближение Xср0, полученное делением исходного отрезка пополам. Зато данный метод последовательных приближений является очень простым и надежным, гарантирующим нахождение решения независимо от вида функции Y(Х). Сама функция может быть любой и иметь перегибы, максимумы и минимумы. Преимуществом этого МПП является также то, что его реализация не требует вычисления производной от функции. Программная реализация метода ПД очень проста и составляет всего несколько строк на любом языке программирования. 7.2. Метод хорд При вычислении корня нелинейного уравнения методом хорд решаемое уравнение также должно быть приведено к виду (7.1). Метод хорд дает хорошие результаты на плавных кривых, имеющих монотонный наклон. Его преимуществом является более быстрая сходимость, чем метода ПД. Объясняется это тем, что метод имеет монотонную сходимость – каждое последующее приближение находится ближе к истинному решению, чем предыдущее. Как и для метода ПД, не требуется вычисление производной. Графическая иллюстрация метода хорд приведена на рис. 7.3. - 102 - Y Y=F(X0) X0=Xл Y=F(X) Y=F(X1) Истинное решение Xист Y=F(X2) Xп ΔX1 X1 X X2 ΔX2 Рис. 7.3. Графическая иллюстрация метода хорд Последовательность действий при решении уравнения методом хорд изложена ниже. 1) Задаются требуемой погрешностью вычислений εх по Х . 2) Задаются левой Хл и правой Хп границами интервала, на котором гарантированно находится решение. Решение на заданном отрезке должно быть только одно. 3) Вычисляют значение Y(Хп) на данном шаге решения на правой границе интервала. 4) Вычисляют значение Y(Хл) на данном шаге решения на левой границе интервала. 5) Вычисляют значение X в точке пересечения хорды и оси абсцисс Из построений на рис.7.3 можно записать пропорцию (0 – Yл) / (Yп – Yл) = (Х – Хл) / (Хп – Хл) . (7.7) Из (7.7) получим выражение для вычисления положения точки пересечения хорды и оси абсцисс: или X = Хл – Yл /[(Хп – Хл)/(Yп – Yл)] (7.8) X = Хп – Yп /[(Хп – Хл)/(Yп – Yл)] . (7.9) - 103 - При этом выражение в квадратных скобках является тангенсом наклона хорды, соединяющей крайние точки функции. 6) Вычисляют значение Y(Х) на данном шаге решения в точке пересечения хорды и оси абсцисс. 7) Определяют совпадение знаков функции на левой границе интервала Y(Хл) и в середине Y(Х) путем их перемножения (если знаки одинаковы, то произведение будет положительным, а если разные, то отрицательным). В = Y(Хл) × Y(Х) . (7.10) 8) Если знак положителен, решение находится правее точки Х, и тогда левую границу следует переместить в точку Х, в противном случае в точку Х перемещается правая граница интервала. Если В>0, тогда Хл = Х , (7.11) если В<0, тогда Хп = Х . (7.12) 9) Проверяют достижение требуемой точности расчета. Если требуемая точность достигнута, то расчет прекращают, и за решение принимается середина интервала. Проверка точности является наиболее сложной задачей. Обычно оценивают разницу значений, полученных на предыдущем и текущем шаге. Если |(Хi – Хi-1 )| ≤ εх, тогда Х = Хi . (7.13) 10) Проводят следующий цикл вычислений, повторяя этапы расчета с п.3. Таким образом, на каждом цикле расчета принятый ранее интервал сужается. Метод хорд является достаточно быстрым, так как на любом шаге граница интервала неизбежно приближается к истинному решению – уход дальше просто невозможен. Данный метод последовательных приближений является очень простым и надежным, особенно он хорош для «гладких» функций, не имеющих перегибов. Достоинством этого МПП является также то, что его реализация не требует вычисления производной от функции. Программная реализация метода очень проста. - 104 - 7.3. Метод Ньютона (метод касательной) При вычислении корня нелинейного уравнения методом Ньютона решаемое уравнение также должно быть приведено к виду (7.1). Метод Ньютона дает хорошие результаты на плавных кривых, имеющих монотонный наклон. Его преимуществом является более быстрая сходимость, чем у других методов. В начале расчета задается не интервал по оси Х, а начальная точка Х0 (начальное приближение). В данном методе требуется вычисление производной. Графическая иллюстрация метода Ньютона приведена на рис. 7.4. А Y F'(XА) Y=F(XА) Y=F(X) Истинное решение Xист Y=F(X0) X1 X0 Y=F(X1) ΔX1 X X2 F'(X0) Рис. 7.4. Графическая иллюстрация метода Ньютона Последовательность действий при решении уравнения методом Ньютона изложена ниже. 1) Задаются требуемой погрешностью вычислений εх по Х. 2) Задаются значением начального приближения Х = Х0 . В некоторых случаях следует задаться начальной точкой, так как одному и тому же значению Х может соответствовать различное значение Y(Х). Выбор точки начального приближения очень, важен, так как не при всяком начальном приближении процесс решения сходится к истинному решению. 3) Вычисляют значение Y= F(Х) на данном шаге решения. 4) Вычисляют значение производной F'(Х) на данном шаге решения. 5) Вычисляют поправку по Х . - 105 - X = Х – Y(Х) / F'(Х) (7.14) При этом выражение в квадратных скобках является тангенсом наклона хорды, соединяющей крайние точки функции. Обращаем внимание, что если производная функции равна 0 (точка А на графике), то вычисление по формуле (7.14) невозможно. 6) Проверяют достижение требуемой точности расчета. Если требуемая точность достигнута, то расчет прекращают, и за решение принимается значение Х на текущем шаге. Проверка точности является наиболее сложной задачей. Если |(Хi – Хi-1 )| ≤ εх, тогда Х = Хi . (7.15) 7) Проводят следующий цикл вычислений, повторяя этапы расчета с пункта 3. Таким образом, в каждом цикле расчета точка Х все ближе приближается к истинному решению. Метод Ньютона является очень быстрым, так как наклон касательной позволяет наиболее правильно предсказывать положение точки пересечения. Особенно быстро сходится решение на конечном этапе. Данный метод является достаточно критичным к выбору начального приближения и к виду функции F(Х). Не для всех функций возможно применение данного метода, особенно это касается функций с разрывом. На рис. 7.5 изображены две функции – окружность F1 и гипербола F2 . Если принять за начальное приближение для окружности значение Х в точке А, то ответ может быть найден методом Ньютона, а если принять значение в точке Б, то первое же приближение даст ответ за пределами области существования функции (процесс расходится). В точке В производная равна бесконечности, поэтому приращение равно 0, и процесс не может дать новое значение очередного приближения. Для гиперболы значения абсциссы в точках Г и Д могут быть приняты в качестве начального приближения, а в точке Е – нет. Точного математического описания приемлемости выбранной точки в качестве начального приближения нет. Для более корректного поиска точки начального приближения полезно построить график функции, однако для решения практических систем такой подход неприемлем, так как невозможно отобразить конечное выражение функции. Кроме того, при вариантном проектировании параметры системы изменяются пользователем, что приводит к изменению вида функции. В реальной ситуации для поиска начального приближения с приемлемой погрешностью можно использовать какой-либо МПП, обла- - 106 - дающий безусловной сходимостью, например, метод половинного деления. После нахождения начального приближения переходят на продолжение решения по методу Ньютона и быстро достигают ответа с достаточной точностью. Y Г Y=F1(X) Б Y=F2(X) В А X Д Е Рис. 7.5. К вопросу о выборе точки начального приближения В том случае, когда вычисление производной затруднено или требует больших затрат машиннного времени, можно использовать метод секущих, графическая иллюстрация которого показана на рис.7.6. Здесь вместо наклона касательной вычисляется наклон секущей, проходящей через вспомогательные точки А и Б, которые выбираются вблизи текущей точки Х по обе стороны от нее на равном расстоянии. Такой выбор вспомогательных точек позволяет построить секущую с наклоном, близким к наклону касательной к линии функции. Y А Секущая Х Б Касательная Y=F(X) X Рис. 7.6. Графическая иллюстрация метода секущих - 107 - 7.4. Метод простой итерации Казалось бы, это один из самых простых методов решения нелинейных уравнений. В данном методе решаемое уравнение F(Х)= 0 необходимо представит в виде Х = f(Х) . (7.16) Данное уравнение легко получить, если исходную функцию представить в виде F(Х) = f(Х) + Х . (7.17) Если задаться некоторым начальным приближением, то при определенных условиях итерационный процесс вычисления по уравнению (7.14) сходится к истинному решению (рис. 7.7). а б Y=f(X) Y=X Y Y f '(Х) >1 Y=X f '(Х) <1 Y=f(X) Y=X X Х0 Х1 Х2 Хист Хист Х1 Х0 X Хист Рис. 7.7. Графическая иллюстрация метода простых итераций: а – итерационный процесс сходится; б – итерационный процесс расходится Условием сходимости процесса итерации в некоторой точке является выражение f '(Х) < 1 . (7.18) К сожалению, не существует четких однозначных рекомендаций, как преобразовывать решаемое уравнение к виду (7.16), чтобы производная была меньше 1, и поэтому не всякое уравнение может быть решено таким способом. - 108 - Лекция 8 Использование метода Ньютона для расчета режимов трубопроводных систем 8.1. Вывод расчетного уравнения для решения методом узловых давлений. 8.2. Метод контурных расходов. Решение задач потокораспределения в трубопроводных системах основывается на одних и тех же уравнениях, независимо от конкретной модификации метода решения. В принципе все методы делятся на две большие группы: методы узловых давлений и методы контурных расходов. Методы узловых давлений (УД) сводятся к поиску напоров или давлений в узлах системы, при которых соблюдается баланс расходов в узлах, то есть для каждого узла решается уравнение ΣQi,j(Hj) = 0, (8.1) где j – номер расчетного узла системы; i – номер расчетного участка системы, присоединенного к расчетному узлу; Нj – напор в расчетном узле системы. Метод УД проще по программной реализации и по подготовке исходных данных, так как понятно, что к каждому узлу подсоединены конкретные участки, и остается составить набор таблиц, описывающих их характеристики и схему соединения. При этом самым естественным способом нумерации участков является обозначение его двумя цифрами – номерами узлов, к которым он присоединен. Дальнейшие обработка информации и формирование системы расчетных уравнений должны производиться программой. Метод контурных расходов (КР) сводится к поиску таких расходов на участках, составляющих замкнутый контур, при которых наблюдается нулевой баланс напоров или давлений в контуре, то есть для каждого контура решается уравнение ΣНi,j(Qi,j) = 0, (8.2) где j – номер расчетного контура; i – номер расчетного участка, входящего в контур; Нi,j – напор на расчетном участке контура. - 109 - Метод КР сложнее по программной реализации и по подготовке исходных данных, так как необходимо выделить расчетные контуры, при этом в них должны войти все участки, и не должно быть лишних контуров. Формализация и компьютерная реализация этого процесса является достаточно сложной задачей и решается с применением специальных разделов математики (теория графов, матричная алгебра). 8.1. Вывод расчетного уравнения для решения методом узловых давлений Снова рассмотрим систему из трех участков, для которой производилось определение расходов методом приближения (рис. 8.1). H=0 1 H=0 3 НJ h1= 13 м J 2 Уровень условного нуля h2=5 м hХ=7 м h3=10 м Рис. 8.1. Расчетная схема системы из трех участков В данной схеме имеется один узел – точка Х. Рассмотрим, как можно определить напор в данном узле, используя метод Ньютона. Для простоты последующей записи перепад полных напоров, действующих на каждом i-м участке, входящем в узел под номером j, обозначим через Zi,j = (Нi,j + hi,j) – (Нj + hj) . (8.3) При турбулентном режиме течения для каждого участка имеет место квадратичный характер зависимости потерь напора от расхода, то есть выполняется равенство А i.j Q2i.j = Zi,j . (8.4) Из выражения (8.4) расход на каждом участке может быть вычислен по формуле Qi.j = (Zi,j)1/2 / (А i.j) 1/2 . (8.5) - 110 - Итоговый расход в узле равен сумме расходов на всех участках с учетом знака – приток в узел со знаком «плюс», отток из узла со знаком «минус» : Qj = ΣQi.j . (8.6) Если баланс в узле не равен нулю, то требуется изменить напор в узле j, введя поправку ΔНj, чтобы изменение расхода в узле ΔQj привело бы баланс в ноль: Qj + ΔQi.j = 0. (8.7) Из формулы (8.7) с учетом (8.6) получаем простое и важное соотношение ΔQj = – Qj = – ΣQi.j . (8.8) Запишем уравнение (8.2) с учетом изменения напора в узле j А i.j (Qi.j + ΔQi.j)2 = Zi,j – ΔНj . (8.9) Знак «минус» перед приращением напора в узле поставлен потому, что если требуется увеличить расход на участке (приращение расхода ΔQi.j положительно), то для этого требуется уменьшить напор в узле, то есть ΔНj должно быть отрицательно. Возведем в квадрат выражение в скобках в левой части уравнения (8.9) А i.j (Q2i.j + 2 Qi.j ΔQi.j + ΔQ2i.j ) = Zi,j – ΔНj . (8.10) Величину ΔQ2i.j можно отбросить, так как она имеет более высокий порядок малости (нелинейное уравнение заменяется прямой линией – касательной), тогда после группировки членов получим. А i.j Q2i.j + 2 А i.j Qi.j ΔQi.j = Zi,j – ΔНj . (8.11) С учетом (8.4), выражения А i.j Q2i.j и Zi,j сокращаются. Тогда получим 2 А i.j Qi.j ΔQi.j = – ΔНj (8.12) Из (8.12) получим выражение для приращения расхода на участке ΔQi.j = – ΔНj / (2 А i.j Qi.j) . (8.13) Сумма приращений расходов на участках равна приращению расхода в узле ΔQj = Σ ΔQi.j = – ΔНj Σ 1/(2 А i.j Qi.j) . (8.14) - 111 - С учетом (8.8) получим Σ Qi.j = ΔНj Σ 1/(2 А i.j Qi.j ) . (8.15) Из (8.15) окончательно получим выражение для расчета приращения напора в узле ΔНj = Σ Qi.j / | Σ 1/(2 А i.j Qi.j) | . (8.16) Согласно (8.16), знак приращения напора соответствует знаку суммы расходов в узле. Действительно, если сумма расходов имеет положительный знак, то следует уменьшить приток жидкости в узел, а для этого требуется повысить напор в узле. Таким образом, приращение напора в узле тоже должно иметь положительный знак. Учитывая, что знак приращения напора определен знаком суммы расходов, выражение в знаменателе следует брать по абсолютному знаку. При выполнении реальных расчетов следует помнить, что в процессе вычислений могут возникать ситуации, когда расход на одном из участков равен нулю. Тогда вычисление по формуле 1/(2 А i.j Qi.j) невозможно, так как расход стоит в знаменателе. Поэтому следует предварительно проверить значение расхода, и не производить расчет данного выражения для участков с нулевым расходом. Кроме того, рекомендуется для вычисления расхода на участке вместо формулы (8.5) использовать более корректную формулу (1.40), позволяющую получать расход с нужным знаком. Общая последовательность решения задач методом УД заключается в следующем: 1) Заполняют таблицу исходных данных по участкам системы, куда входят гидравлические характеристики участков и номера узлов, к которым они подсоединены (начало и конец участка). Таблица, заполняемая человеком, должна иметь структуру, понятную и удобную для набора исходных данных. Желательно иметь развитую систему редактирования и копирования клеток таблицы и целых ее строк. 2) Заполняют таблицу исходных данных по узлам системы, куда входят номера узлов, геодезические отметки, напоры в узлах и другие характеристики. 3) Заполняют таблицу исходных данных по нагнетательным установкам (насосам или вентиляторам), установленным в системе, куда входят номера узлов, к которым подсоединены нагнетатели, их марки, имеющиеся в базе данных программы, или коэффициенты уравнений для их гидравлических характеристик. 4) Запускают программу, которая из имеющегося набора исходных данных формирует структуру, более удобную для автоматизированного компьютерного расчета. Крайне желательно, чтобы данная программа проверяла исходные данные на наличие грубых ошибок (повторения в нуме- - 112 - рации участков или узлов, нулевые или отрицательные значения коэффициентов сопротивления или проводимости участков, правильность и полноту других данных). 5) Запускают программу, которая осуществляет запись значений начальных приближений напоров в каждом узле системы. В самом простом варианте во все узлы с неизвестным напором можно записать одинаковое значение (некое среднее значение отметок баков). 6) Запускают собственно расчетную часть программы, которая, используя метод узловых давлений, находит на каждом шаге уточненные значения напоров в узлах системы. Невязка балансов расхода в каждом узле должна стремиться к нулю с определенной погрешностью, задаваемой требуемой точностью расчета. Если при очередном шаге расчета узлов системы начальная невязка баланса в некотором узле меньше требуемой точности, то напор в данном узле не изменяют (не выполняют расчет для данного узла). Расчет прекращается, когда ни в одном узле не произошло изменение напора, то есть во всех узлах балансы расходов находятся в пределах требуемой точности. В некоторых случаях для ускорения расчета применяют динамическое изменение точности, когда на начальном этапе расчет ведется с низкой точностью, чтобы быстрее получить более правильное общее распределение напоров по системе, а по мере выполнения расчета точность возрастает (допустимая погрешность невязки баланса расходов уменьшается). 8.2. Вывод расчетного уравнения для решения методом контурных расходов Рассмотрим элемент трубопроводной системы, состоящий из четырех участков, образующих замкнутый контур (рис. 8.2). Предполагаемые направления потоков на участках показаны на рисунке стрелками. В данный контур входят четыре узла и четыре участка. Рассмотрим, как можно определить режим работы участков, используя метод Ньютона. Если обойти последовательно все участки контура, начиная с узла А и заканчивая им же, то сумма изменений напоров на участках контура теоретически должна равняться нулю: НА – Н1 – Н2 + Н3 – Н4 = НА , + Н1 + Н2 – Н3 + Н4 = 0 , Σ Нi = 0, где i – номер участка. (8.17) (8.17а) (8.17б) - 113 - 1 А 4 Б 2 ΔQj В 3 Г Рис. 8.2. Расчетная схема контура трубопроводной сети При подсчете потерь напоров на участках знак «плюс» принимают для участков, направление расходов на которых совпадает с направлением обхода контура, и знак «минус», если направление расхода противоположное. Таким образом, суммирование следует производить с учетом знака. На самом деле, когда задаются начальным приближением, расходы на участках определены с некоторой погрешностью, и суммирование потерь напоров дает значение, отличное от нуля. При квадратичном режиме течения потери напора для каждого участка определяются по выражению Нi = А i Q2i . Итоговая невязка напоров в контуре j на участках этого контура: ΔНj = ΣА i Q2i . (8.18) равна сумме потерь напора (8.19) Для того чтобы баланс напоров стал равен нулю, требуется изменить расходы на участках. При этом необходимо, чтобы суммарный расход в узлах контура не изменился – тогда расход, проходящий через контур в другие участки системы, останется тоже неизменным. Для обеспечения этого условия к расходу каждого участка надо прибавить с нужным знаком одно и то же значение поправки к расходу. Фактически это означает, что в контур вносится некоторый дополнительный поправочный расход ΔQj в направлении обхода контура или противоположном, в зависимости от знака невязки напоров. После внесения поправки к расходам потери напора на участке тоже изменятся. Тогда выражение (8.18) для отдельного участка запишется следующим образом: Нi + ΔНi = А i (Qi + ΔQj )2 . (8.20) После возведения в квадрат получим Нi + ΔНi = А i (Q2i + 2 Qi ΔQj + ΔQ2j ) . (8.21) - 114 - Пренебрегая значением ΔQ2j ввиду большего порядка малости и раскрывая скобки, получим выражение Нi + ΔНi = А i Q2i + 2 А i Qi ΔQj . (8.22) С учетом (8.18) получим ΔНi = 2 А i Qi ΔQj . (8.23) После внесения поправки к расходам баланс напоров в контуре должен стать нулевым. Для этого сумма изменений потерь напоров на участках должна равняться невязке напоров в контуре: Σ ΔНi = Σ Нi = Σ А i Q2i . (8.24) С учетом (8.23) получим Σ А i Q2i= 2 ΔQj Σ А i Qi j . (8.25) Получим окончательное выражение для поправочного контурного расхода ΔQj = Σ А i Q2i / 2 ΣА i | Qi | (8.26) Здесь излагается только общий вывод расчетной формулы для увязочного расхода. В реальных расчетах ситуация более сложная. Во-первых, расходы в узлах сети не обязательно должны равняться нулю – это условие выполняется только для узла простого разветвления или слияния участков. Для большинства узлов в сетях водоснабжения, теплоснабжения и газоснабжения каждому приписывается некий узловой расход, равный расчетному расходу потребителей, присоединенных к этому узлу. В этом случае сумма расходов на участках узла должна равняться расчетному узловому расходу. Во-вторых, набор уравнений по контурам должен быть дополнен набором уравнений баланса расходов по узлам, чтобы получить систему, в которой количество уравнений равно количеству неизвестных. Поэтому формирование набора данных в методе контурных расходов является более сложным и реализуется в виде наборов таблиц (матриц). Желательно, чтобы окончательное формирование системы контуров выполнялось не вручную, а при помощи самой используемой компьютерной программы. В целом считается, что метод контурных расходов обеспечивает несколько лучшую сходимость, чем метод узловых давлений. Более подробно о реализации данных методов следует читать в литературе, посвященной этому вопросу. - 115 - Лекция 9 Устойчивость режима насосной системы. Помпаж 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. Понятие устойчивости режима системы. Критерии устойчивости. Процессы помпажа в насосных системах. Причины возникновения помпажа. Мероприятия по предотвращению возникновения помпажа. 9.1. Понятие устойчивости режима системы. Критерии устойчивости Понятие устойчивости является общеинженерным и встречается при анализе режимов работы самых различных систем: устойчивость положения механической системы, устойчивость строительных конструкций, устойчивость режима электрической схемы, устойчивость системы автоматического регулирования и так далее. В общем смысле термин «устойчивость» понимается как некоторая стабильность системы, способность ее возвращаться к некоторому состоянию, если по тем или иным причинам параметры ее режима незначительно отклоняются от среднего значения. На рис. 9.1 приведен пример двух вариантов простейшей механической системы – шарик расположен на некоторой поверхности. а) б) в) г) R R R R Rx mg mg mg mg Рис. 9.1. К понятию устойчивости объекта Состояние шарика, находящегося в выемке на поверхности (положение а), является состоянием устойчивого равновесия. Сила тяжести mg и сила реакции поверхности R равны по величине и направлены в противоположные стороны, поэтому взаимно уравновешиваются. Равнодействую- - 116 - щая сил равна нулю. Если к шарику приложить некоторое боковое усилие, то мы выведем шарик из положения а, переведя в положение б. В этом положении за счет наличия уклона сила реакции, действующая всегда перпендикулярно поверхности, отклонится от вертикали. Появится равнодействующая Rх, направленная вбок, в сторону прежнего положения шарика. Если убрать ранее приложенное усилие, которым было вызвано смещение шарика, то эта равнодействующая вызовет смещение шарика вбок, и он вернется к прежнему своему положению а. Таким образом, незначительные усилия и отклонения в принципе не способны перевести систему в другое положение. Если приложенное усилие и вызванное им отклонение будет значительным, то шарик может оказаться на вершине бугра поверхности (положение в), которое является состоянием неустойчивого равновесия. Сила тяжести mg и сила реакции поверхности R в нем тоже взаимно уравновешиваются, и равнодействующая сил равна нулю. Однако даже при незначительном отклонении от положения в появляется горизонтальная составляющая, направленная в сторону от вершины бугра к впадине. Она стремится увести шарик еще дальше от состояния неустойчивого равновесия, и отклонение может только увеличиваться. Таким образом, шарик в принципе не может сам вернуться в состояние в. Состояние шарика, находящегося на горизонтальной части поверхности (положение г), является состоянием безразличного равновесия. Сила тяжести mg и сила реакции поверхности здесь тоже взаимно уравновешиваются, однако при отклонении шарика от этого положения из-за отсутствия наклона поверхности не появляется горизонтальной составляющей, и поэтому шарик остается в новом положении сколь угодно долго. Отметим попутно, что из состояния б в исходное состояние а шарик может вернуться только путем некоторого переходного процесса. Очевидно, что на гладкой поверхности это процесс будет колебательным – шарик многократно будет прокатываться через впадину на поверхности, а затем снова подниматься на противоположный склон. Как и у обычного маятника, в нижней точке скорость шарика и его кинетическая энергия будут максимальны, а в верхних точках траектории скорость и кинетическая энергия равны нулю, но максимальна потенциальная энергия шарика. В процессе своего движения шарик будет терять энергию за счет наличия трения о поверхность, при этом амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться (затухающие колебания), и в конце концов шарик остановится в самой нижней точке впадины – в положении а. Однако если весь процесс происходит в среде с большой вязкостью, то колебательного процесса может и не быть – шарик просто медленно скатится в выемку, так как вязкая среда не позволит шарику развить существенную скорость движения и запасти кинетическую энергию. Таким образом, вид переходного процесса определяется параметрами системы. - 117 - Если в переходном колебательном процессе обеспечить подпитку системы энергией, то можно получить незатухающие колебания. Примером устройств с незатухающими колебаниями являются маятники часов, генераторы электрических колебаний радиопередатчиков. Огромное количество технических устройств используют перевод системы из одного устойчивого состояния в другое. Яркими примерами являются обыкновенный электрический выключатель, устройства хранения информации ЭВМ. В трубопроводных системах, как и любых сложных системах, режим системы определяется большим количеством факторов. Учитывая, что большинство этих факторов являются постоянными, или меняются достаточно медленно, мы вправе ожидать, что режим трубопроводной системы в течение некоторого промежутка времени можно считать неменяющимся во времени, стационарным. При кратковременном изменении одного из параметров и последующего его возврата к прежнему значению рабочий режим системы также вернется к прежнему значению. Таким образом, обычно режим системы является устойчивым. Однако могут быть ситуации, когда режим, получаемый по расчету, не может существовать продолжительный период времени, так как является неустойчивым. Рассмотрим два варианта графического решения для системы из нагнетателя и трубопровода (рис. 9.2). а б Н Нн1 С Фн1 Фн2 НУ Фс2 Ф Нс1 С Н Нс1 Фн2 Фс1 Нн1 Фс1 Ф Фуст Фс2 Фн1 НУ Q Q1 Qф Q2 Q Q1 Qф Q2 Рис. 9.2. Графическое отображение устойчивого и неустойчивого режимов насосной системы: а – устойчивый режим; б – неустойчивый режим Согласно методу наложения характеристик рабочий режим системы должен установиться в точке Ф – точке пересечения характеристик сети и нагнетательной установки. Однако в системе всегда имеются случайные - 118 - пульсации расхода и напора. Сам процесс работы лопаточного рабочего колеса насоса, имеющего конечное число лопаток, приводит к тому, что поток поступает в сеть не абсолютно равномерно, а напор на выходе насоса испытывает периодические колебания. Вихреобразование в местных сопротивлениях сети также приводит к колебаниям расхода и напора. Поэтому правильнее говорить не о расходе и напоре насоса (или системы в целом), а о некотором среднем значении расхода и напора. Мгновенные же значения рабочих параметров могут отклоняться от среднего в ту или другую сторону. Рассмотрим, как будут реагировать на эти отклонения насосные системы, характеристики нагнетательной установки и сети которых изображены на рис. 9.2,а и 9.2,б. Вначале проанализируем рис. 9.2,а. В точке Ф , которая одновременно принадлежит и характеристике сети, и характеристике насосной установки, расходы и напоры насоса и сети одинаковы – имеют место материальный и энергетический балансы. Если в данной системе по какимлибо причинам расход уменьшится от значения Qф до Q1 , то изменятся напоры, развиваемые насосной установкой Нн1 и теряемые в сети Нс1, причем Нн1 > Нс1 . Энергетический баланс системы нарушится. Избыточный напор насоса, который не может быть затрачен в сети при расходе Q1 , будет затрачиваться на ускорение потока, в результате чего расход в системе возрастет, и режим вернется в исходную точку Ф. При отклонении расхода в другую сторону, до значения Q2 , соотношение напоров станет другим: Нн2 < Нс2 . Избыточные затраты напора в сети по сравнению с напором насоса приведут к торможению потока, в результате чего расход в системе уменьшится, и режим также вернется в исходную точку Ф. Таким образом, при таких характеристиках нагнетательной установки и сети режим системы является устойчивым, и при небольших отклонениях его от среднего значения он автоматически сам стремиться вернуться к среднему (точка Ф). Фактически, режим все время колеблется вокруг точки Ф. В системе на рис. 9.2,б ситуация будет складываться совершенно противоположным образом. При уменьшении расхода от значения Qф до Q1 напоры изменятся так, что Нн1 < Нс1 . Избыточные затраты напора в сети по сравнению с напором насоса приведут к торможению потока, в результате чего расход в системе должен еще больше уменьшиться, и режим уже не может вернуться в исходную точку Ф. При отклонении расхода в другую сторону, до значения Q2 , соотношение напоров станет другим: Нн2 > Нс2 . Избыточный напор насоса, который не может быть затрачен в сети при расходе Q2 , будет затрачиваться на ускорение потока, в результате чего расход в системе возрастет, и режим также уже не может вернуться в исходную точку Ф, а перейдет в точку устойчивого режима Фуст. Таким образом, при таких характеристиках нагнетательной установки и сети режим системы является неустойчивым, и при небольших отклонениях его от среднего значения он автоматически сам стремится еще сильнее откло- - 119 - ниться от теоретического значения (точка Ф). Режим не может стоять в точке Ф даже непродолжительное время, так как данная точка находится в зоне переходных режимов. Математическое условие устойчивости режима записывается очень просто: d Нну /d Q < d Нс / d Q . (9.1) Учитывая, что производная отражает наклон касательной к линии характеристики, можно сказать, что для обеспечения устойчивости режима в точке пересечения наклон линии характеристики нагнетательной установки должен быть меньше наклона характеристики сети. Характеристика сети должна идти более круто вверх. Критической точкой является точка, в которой характеристика на сети является касательной к характеристике насосной установки. Здесь касательные к обеим характеристикам имеют одинаковый наклон, поэтому эта точка является точкой неустойчивого равновесия. При определенных условиях вследствие изменения рабочего режима могут возникать ситуации, когда режим более не может быть устойчивым. Тогда могут происходить резкие срывы работы насоса и системы в целом, сопровождающиеся сложными переходными процессами. Это явление получило название помпаж. Ниже рассматриваются процессы помпажа в различных системах. 9.2. Процессы помпажа в насосных системах Рассмотрим работу системы, состоящей из насоса, трубопровода и напорного бака (рис. 9.3,а). Линия характеристики насоса имеет «провал» и «горб» в пределах первого квадранта – такой вид характеристики типичен для диагональных и осевых насосав. Насос закачивает воду в водонапорную башню из водоема, при этом уровень воды в водоеме совпадает с уровнем установки насоса. Всасывающий трубопровод короткий и имеет достаточно большое сечение, поэтому в дальнейшем рассмотрении потерями в нем пренебрегаем. Все сопротивление сети тогда состоит только из напорного трубопровода 1, идущего от насоса к водонапорной башне. В начальный момент времени уровень в башне совпадает с уровнем установки насоса, поэтому гидростатический напор в сети Нг равен нулю. Вначале рассмотрим ситуацию, когда водоразбор из напорной башни отсутствует (Qразб. = 0). В момент включения насоса начальный режим работы системы, согласно методу наложения характеристик, определяется точкой пересечения характеристики нагнетательной установки (насоса а) и характеристики - 120 - сети, то есть трубопровода 1 (точка Ф0). Напор насоса при этом тратится только на преодоление потерь напора в трубопроводе. а а Нг 1 Qразб. б С5 Н С2 Нг5 С7 Ф5 С1 Ф4 Нг4 Ф2 Ф8 Ф3 Нг3 = Нг2 Ф1 Ф6 Нг8 = Нг7 С0 =1 Ф7 Ф0 Нг1 Нг0 =0 НУ Q Q3 Q7 Qразб. Q2 Q8 Q1 Q0 Рис. 9.3. Графическое отображение помпажа в насосной системе: а – схема системы; б – графическое отображение режимов системы Так как этом расход Q0 направлен в сторону башни, она начинает наполняться, и уровень поверхности воды медленно поднимается вверх. В сети появляется гидростатический напор, равный высоте уровня воды в башне. На графике это отображается смещением параболы сети вверх на величину гидростатического напора. Характеристика сети изменяется, и в результате устанавливается некоторый промежуточный режим Ф1, определяемый также по методу наложения характеристик. Напор насоса теперь - 121 - тратится на преодоление потерь напора в трубопроводе и гидростатического напора в сети. Расход в системе, как видно из графика, медленно будет уменьшаться по мере наполнения башни (Q1 < Q0). Никаких негативных явлений в течение этого процесса не происходит. По мере дальнейшего наполнения водонапорной башни происходит постепенное повышение уровня воды в ней, рост гидростатического напора в сети при уменьшении расхода в системе. Рабочая точка Ф, отображающая режим работы системы на графике, медленно смещается по характеристике насоса до тех пор, пока не установится рабочий режим, отображаемый точкой Ф2. Эта точка является критической: характеристика сети в ней является касательной к характеристике насоса, то есть соблюдается условие неустойчивого равновесия (9.1). Расход в системе по-прежнему положителен, то есть водонапорная башня продолжает наполняться. Если гидростатический напор в сети станет хотя бы незначительно больше Н2, то характеристика сети должна на графике подняться еще выше, при этом она должна в окрестности точки Ф2 оторваться от характеристики насоса. Так как пресечения характеристик нагнетателя и сети нет, то не может существовать и рабочий режим в этой зоне – в результате рабочий режим скачком переходит в точку Ф3, где имеется пересечение характеристик, то есть соблюдаются балансы расходов и энергий. Это скачкообразное изменение рабочего режима собственно и называют словом «помпаж». Помпаж является крайне нежелательным явлением, особенно в больших системах. Резкое изменение расхода в системе носит название гидравлического удара. При этом за счет инерции движущегося объема жидкости в отдельных точках возникают большие перепады давления, что для больших систем легко может привести к аварийным ситуациям из-за большой массы движущейся воды. В нашем случае единственным препятствием, которое может затормозить поток, является рабочее колесо насоса – именно на него приходится гидравлический удар. При этом на колесо насоса действуют большие перепады давления, что может привести к прогибу ротора, и его заклиниванию, то есть поломке насоса. Если после скачкообразного перехода режима в точку Ф3 аварии не произошло и насос продолжает работать, то водонапорная башня продолжает наполняться и уровень воды в ней поднимается, что приводит к росту гидростатического напора в сети и медленному смещению рабочего режима из точки Ф3 в точку Ф4 и далее в точку Ф5. В точке Ф5 расход в системе равен нулю, поэтому наполнение водонапорной башни прекращается, и данный режим может стоять сколь угодно долго. При нулевом расходе потери напора в трубопроводе отсутствуют, и напор насоса полностью уравновешивается напором со стороны водонапорной башни. - 122 - Однако водонапорные башни строят не для красоты, а для обеспечения определенного водоразбора. При значении расхода разбора воды из башни в размере Qразб., как показано на графике, процесс после перехода режима в точку Ф3 будет развиваться уже по-другому. Так как водоразбор из башни больше подачи насоса Q3, то теперь водонапорная башня начнет опорожняться, и уровень воды в ней начнет опускаться. Это приведет к снижению гидростатического напора в сети и медленному смещению рабочего режима из точки Ф3 в точку Ф6 и далее в точку Ф7. В точке Ф7 характеристика сети снова становится касательной к характеристике насоса. При этом расход Qразб. меньше, чем Qразб. , поэтому характеристика сети должна опуститься на графике еще ниже и оторваться от характеристики насоса. В результате снова происходит скачкообразное изменение рабочего режима – из точки Ф7 он переходит в точку Ф8. Дальше весь процесс будет повторяться бесконечно по замкнутому циклу Ф8 → Ф2 → Ф3 → Ф7 → Ф8 . При этом за один цикл будет происходить два скачкообразных перехода режима с гидравлическими ударами по колесу насоса. В итоге неизбежно произойдет поломка насоса. . С7 Н Ф2 Н1 С7 Ф3 Ф8 Ф7 Нг НУ С0 =1 На Ф0 Q –Q Q3 Q7 0 Q2 Q8 Q0 Рис. 9.4. Графическое отображение процесса помпажа со сливом воды через насос Помпаж может происходить и при отсутствии водоразбора из водонапорной башни, если характеристика насоса имеет другую форму – провал на характеристике сдвинут в область второго квадранта, а в первом квадранте имеется только «горб». Графическое отображение помпажа в такой системе приведено на рис. 9.4, промежуточные рабочие режимы для простоты картины не показаны. - 123 - При включении насоса рабочий режим устанавливается в точке Ф0. Далее, как и в предыдущем варианте, он медленно смещается в точку Ф2. Напор насоса затрачивается на преодоление потерь напора в трубопроводе и гидростатического напора в сети. Так как расход Q2 положителен, то уровень воды в башне еще повышается, и происходит помпажный скачок расхода, в результате чего рабочий режим переходит в точку Ф3, расположенную во втором квадранте. Теперь расход в системе становится отрицательным, то есть вода через работающий насос стекает из водонапорной башни обратно в водоем. В этом режиме гидростатический напор, запасенный в башне, затрачивается на преодоление противодействующего напора насоса и потерь напора в трубопроводе. Так как расход Q2 отрицателен, водонапорная башня опорожняется. Уровень воды в ней медленно понижается, и рабочий режим медленно переходит из точки Ф3 в точку Ф7 , в которой линия характеристики сети касательна к характеристике насоса. Характеристика сети из-за дальнейшего снижения гидростатического напора опять отрывается от характеристики насоса, и снова происходит помпажный скачок расхода с переходом режима в точку Ф8. Цикл Ф8 → Ф2 → Ф3 → Ф7 → Ф8 , как и в предыдущем примере, может повторяться бесконечно долго. Помпаж может возникать в различных системах – в вентиляторных, компрессорных и насосных системах. Однако в тех системах, где перекачиваются газы, помпаж, даже если он возник, обычно не приводит к аварийной поломке нагнетателя, так как плотность газа или воздуха намного меньше воды, и сила гидравлических ударов существенно меньше. Кроме того, газы являются сжимаемыми жидкостями, поэтому они сами сглаживают скачки давления, возникающие в переходных режимах. В вентиляционных системах, где вентиляторы работают на сеть без гидростатического напора, помпаж также маловероятен, хотя в принципе возникнуть может. Ввиду вышесказанного, помпаж обычно рассматривается применительно к насосным системам, где его возникновение считается недопустимым. 9.3. Причины возникновения помпажа Помпаж в трубопроводных насосных системах возникает из-за сочетания ряда обстоятельств, каждое из которых может способствовать возникновению помпажа, но само по себе не является для этого достаточным условием. Рассмотрим эти обстоятельства. Важнейшим условием возможности возникновения помпажных явлений в системе является вид характеристики насоса – наличие «горба» на характеристике в пределах первого квадранта. При наличии «горба» помпаж может возникнуть, если же его нет, то возникновение помпажа в принципе невозможно. Такую характеристику насоса называют непрерыв- - 124 - но падающей, так как напор насоса монотонно уменьшается при увеличении подачи, и на линии характеристики нет точек перегиба (рис. 9.5). При этом невозможно построение характеристики сети, касательной к характеристике насоса, значит, невозможно создание ситуации, приводящей к срыву работы насоса. При включении насоса устанавливается режим, отображаемый точкой Ф0 , и затем рабочая точка медленно смещается по характеристике насоса до точки Ф3 . В точке Ф3 система находится в устойчивом состоянии при нулевом расходе. Н Н23 С Ф3 Ф2 Нг2 Ф1 Нг1 Ф0 НУ Q Q2 Q1 Q0 Рис. 9.5. Режимы работы системы с непрерывно падающей характеристикой насоса Вторым фактором, способствующим возникновению помпажа, является наличие достаточно большого гидростатического напора в сети, что облегчает возникновение условий, при которых характеристика сети становится касательной к характеристике насоса. Действительно, в рассмотренных выше примерах помпаж происходил не сразу, пока напор водонапорной башни был небольшим, а только при достижении достаточно высокого уровня воды в ней. Третьим фактором, способствующим возникновению помпажа, является малое гидравлическое сопротивление трубопровода сети. В этом случае характеристика сети идет достаточно полого, почти горизонтально, и даже при не очень крутом горбе на характеристике возможно построение касательной при достаточном напоре в водонапорной башне. Четвертым фактором, способствующим возникновению помпажа, является параллельное соединение насосов, если хотя бы один из них имеет горб на характеристике. В этом случае крутизна горба на линии совместной характеристики насосов резко возрастает, что позволяет постро- - 125 - ить характеристику сети, касательную к общей характеристике насосов, при весьма небольшом гидростатическом напоре или даже вовсе без него. На рис. 9.6 показано, как после срыва рабочего режима в точке Ф8 рабочий режим переходит в точку Ф8 , при этом рабочая точка насоса б оказывается во втором квадранте, то есть в зоне отрицательных расходов. Это означает, что помпажный процесс для насоса б развивается по второму из рассмотренных выше вариантов, и часть расхода насоса а перетекает обратно через насос б (показано на рис. 9.6,а стрелками). В результате расход в сети меньше, чем подача насоса а. а а б б б С3 Н С1 а С2 Ф2 (а+б)// Ф(а+б)// Фб Фа Ф3 Р(а+б)// Qб -Q Q -Qб Q(а+б)//=Qа–Qб Qа Рис. 9.6. Помпажные процессы при совместной работе двух различных насосов в параллельном соединении а – схема соединения; б – графическое отображение помпажных процессов - 126 - При такой совместной характеристике насосов легко построить касательную и без наличия гидростатического напора в сети (линия С3 на рис. 9.6). В этом случае помпажные процессы могут возникнуть, если обслуживающим персоналом производятся неквалифицированные действия по управлению системой (пятый фактор), например, производится дросселирование сети при помощи клапана или задвижки. При таком регулировании вполне безобидная ситуация, когда характеристика сети отображается линией С2, может стать аварийной из-за увеличения сопротивления сети. Увеличение общего сопротивления сети может произойти и при отключении одной или нескольких параллельных веток. Шестым фактором, способствующим возникновению помпажа, может стать снижение напряжения в электросети, питающей двигатели насосов. В результате снижения напряжения уменьшается ток двигателя, и он не может развивать на валу требуемую мощность. Поэтому скорость вращения вала с рабочим колесом уменьшается, и, как следствие, уменьшается напор и подача насоса. Графически это отображается тем, что гидравлическая характеристика насоса смещается вниз и влево (пунктирная линия на рис. 9.7). При этом максимальный напор насоса уменьшается и становится недостаточным, чтобы противодействовать запасенному в водонапорной башне запасу энергии в виде гидростатического напора. В результате насос из вполне благополучного режима Ф2 скачком переходит в режим Ф3 во втором квадранте при отрицательном расходе. Н б С Ф2 Ф3 а Qб Q -Q -Q3 Q2 Рис. 9.7. Помпажные процессы при снижении напряжения в питающей электросети. - 127 - 9.4. Мероприятия по предотвращению возникновения помпажа Противопомпажные мероприятия в принципе вытекают из рассмотренных выше причин возникновения помпажа. Все мероприятия можно разделить на три группы: – конструктивные мероприятия при создании нагнетателей; – проектные мероприятия на этапе проектирования системы и подбора оборудования; – эксплуатационные мероприятия на этапе эксплуатации системы. Рассмотрим мероприятия каждой группы. 9.4.1. Конструктивные мероприятия С учетом того, что для насосов с непрерывно падающей характеристикой возникновение помпажа в принципе невозможно, казалось бы очевидным использовать всегда именно такие насосы. Однако наличие горба на характеристике насоса является почти неизбежным явлением, так как вызвано изменением условий обтекания лопаток рабочего колеса при малых подачах. В этих режимах ухудшается угол натекания на лопатку, возрастают потери, в результате чего напор, развиваемый насосом, снижается. На графике характеристик это выражается в появлении завала в области малых подач. Чтобы убрать этот завал, необходимо увеличить напор насоса в этих режимах. Для этих целей иногда осуществляют боковую подрезку рабочего колеса (рис. 9.8). Рис. 9.8. Боковая подрезка рабочего колеса насоса При боковой подрезке при малых подачах скошенная кромка лопатки начинает работать как лопатка вихревого насоса, создавая в рабочем канале насоса вихревой поток. Это позволяет увеличить напор при малых подачах. Однако на больших подачах подобная обточка колеса приводит к ухудшению рабочих параметров, и в первую очередь КПД. Поэтому такой способ выравнивания характеристики может быть рекомендован только для небольших насосов с умеренным потреблением энергии. Большинство же крупных насосов имеют характеристику с горбом в первом квадранте. - 128 - 9.4.2. Проектные мероприятия На этапе выполнения проектных работ необходимо так подобрать оборудование и его размещение, чтобы возможно было впоследствии эксплуатировать насосную установку без возникновения помпажа. Для этого следует предусматривать следующие мероприятия: – высоту установки напорного бака (отметку уровня воды в баке) принимать на минимально-допустимом уровне (это позволяет уменьшить противодавление в системе); – обеспечивать работу насосов при больших значениях расхода, не допуская дросселирования сети с целью снижения подачи; – рекомендуется устанавливать насосы с пологой характеристикой, имеющие небольшое изменение напора в широком диапазоне подач; – если требуется регулирование расхода, вместо дросселирования лучше использовать последовательное включение/отключение насосов (для этого целесообразно компоновать установку из нескольких одинаковых насосов, включаемых параллельно); – предусматривать установку обратных клапанов на напорном патрубке каждого насоса для предотвращения перетекания жидкости в обратном направлении; – предусматривать в проекте антипомпажную автоматику, обеспечивающую невозможность повышения напора до значений, при которых возможен срыв работы насосов; – предусматривать надежное электропитание, без колебаний напряжения, которые могут приводить к снижению напора, развиваемого насосами, из-за снижения скорости вращения рабочего колеса; – предусматривать достаточный запас мощности двигателя насоса, для обеспечения необходимой скорости вращения рабочего колеса при небольших колебаниях напряжения. 9.4.3. Эксплуатационные мероприятия На этапе эксплуатации насосной установки необходимо обеспечить квалифицированные действия персонала, не допускающие возникновения ситуаций, при которых возможно возникновение помпажа. Для этого следует предусматривать следующие мероприятия: – допускать к эксплуатации оборудования только подготовленный и предварительно проинструктированный персонал; – периодически производить контроль и ревизию защитной автоматики; – не допускать отключения веток сети или их дросселирования, которые могут повлечь за собой увеличение гидравлического сопротивления сети и выход на помпажные режимы из-за снижения подачи насоса. - 129 - Лекция 10 Разрывы потока и кавитация в трубопроводных системах 10.1. Причины разрыва потока в трубопроводных системах. 10.2. Кавитация в насосах. 10.1. Причины разрыва потока в трубопроводных системах При определенных условиях в трубопроводах гидравлических систем могут возникать разрывы сплошности потока, то есть часть или все сечение трубопровода занято не перемещаемой средой, а ее паром или воздухом. В области ТГВ чаще всего применяются водяные системы (отопление, горячее водоснабжение и теплоснабжение), поэтому мы будем дальше говорить именно о водяных системах, однако все сказанное применимо и в том случае, если в системе перемещается другая капельная жидкость. Разрывы потока могут происходить за счет подсасывания воздуха через неплотности в трубопроводах, находящихся под отрицательным давлением, а наиболее часто – за счет вскипания жидкости при снижении статического давления. Рассмотрим простую систему, предназначенную для перекачки воды из резервуара методом перелива через борт (рис. 10.1). Такую схему очень часто используют для слива жидкости из небольших емкостей. Если трубопровод 1 заполнен водой, то система работает под действием напора 4 м, создаваемого за счет разницы отметок уровня воды в баке и точки Г (конец трубопровода 1 – точка выпуска воды из системы). При этом в точках А и Б за счет подъема над уровнем воды в баке наблюдаются отрицательные значения напора. Если трубопровод негерметичен, то в точках с отрицательным напором может происходить подсос воздуха из атмосферы, его скопление в верхней части системы и последующее образование воздушной пробки. Так как пузырьки воздуха всплывают вверх, то может оказаться, что энергии потока недостаточно, чтобы увлечь их вниз – происходит завоздушивание системы. Наличие воздуха в трубопроводе приведет к разрыву потока и прекращению движения воды. Особенно это сильно проявляется в трубопровдах достаточно большого сечения, где скорость потока может оказаться небольшой и имеется достаточное пространство для скапливания и постепенного накопления воздуха. - 130 - а А Б 1м 4м Г 1 В б НВ НГ Натм= 0 НА НБ Рис. 10.1. К вопросу о разрывах потока в гидравлических системах а – схема системы; б – эпюра напоров Следует помнить, что на любых участках трубопроводов, поднимающиеся наверх, могут быть возникать зоны отрицательных давлений и напоров, что может приводить к разрывам потока. На рис. 10.2 изображена система отопления с открытым расширительным баком. На участке 1 установлен водонагреватель, участок 2 является магистралью, а участки 3 являются стояками системы. 1м В Б Д Г 2 Е 1 3м 3 а Б А Рис. 10.2. Схема системы отопления - 131 - Все участки системы соединены последовательно. Для данной системы запишем уравнение изменения напоров, учитывая, что в точке В напор равен высоте установки расширительного бака, то есть 1 м: 1м – Н2 – Н3 + 3м + На – Н1 – 3м = 1м . (10.1) Очевидно, что напор насоса, который тратится в системе, равен потерям на всех участках системы: На = Н1 + Н2 + Н3 . (10.2) Пренебрегая потерями в запорном вентиле между точками Г и Д, получим следующие выражения для напоров в точках НВ = 1м , НГ = НД = 1м – Н2 , НА = 1м – Н2 – Н3 + 3м , НБ = 1м + Н2 – Н3 + 3м + На . (10.3) (10.4) (10.5) (10.6) Примем, что в обычном режиме параметры работы системы следующие: Н1 = 3 м, Н2 = 1 м, Н3 = 3 м. Тогда напор насоса в нормальном режиме, согласно (9.2), будет На = 7 м. Напоры в точках при этом будут: НВ = 1 м , НГ = НД = 1 – 1 = 0 м , НА = 1 – 1 – 3 + 3 = 0 м , НБ = 1 – 1 – 2 + 3 + 7 = 6 м . Таким образом, в нормальном режиме работы во всех точках системы поддерживается нулевой или положительный напор. Из приведенных уравнений (10.3) – (10.6) следует, в точках А, Б и Г знак напора зависит от величины потерь на участках. При достаточно большом значении потерь напор в точках Г и А может стать отрицательным, причем наиболее низкий напор всегда будет в точке Г – именно она в данной системе является наиболее критической точкой. Если расход в системе уменьшится (например, при прикрытии вентиля Е), то потери напора в трубопроводах на всех участках системы тоже уменьшатся (в пределе почти до нуля). При этом, однако, резко возрастет перепад напора на вентиле Е. В результате, произойдет перераспределение напоров, и практически весь напор насоса будет затрачиваться на преодоление сопротивления вентиля, а не трубопроводов. Тогда напоры в точках системы будут: - 132 - НВ = 1 м , НГ = 1 – 0 – 7 = -6 м , НА = 1 – 7 – 0 + 3 = -3 м , НБ = 1 – 7 – 0 + 3 + 7 = 4 м . Таким образом, в этом режиме в точках Г и А наблюдаются отрицательные напоры, то есть разряжение относительно атмосферы. При наличии неплотностей это может приводить к завоздушиванию системы. При повышенных температурах теплоносителя возможно вскипание жидкости, так как значение давлений в этих точках окажется меньше давления насыщенных паров воды. Наличие пара также приводит к разрыву потока и нарушению гидравлического режима системы. Для насоса понижение давления приводит к возникновению явления кавитации. Чтобы избежать возникновения отрицательных давлений в системе, присоединение расширительного бака следует производить перед всасывающим патрубком насоса, как показано на рис.10.3. 1м 3м В Б Д 2 Г 1 3 а Б Е А Рис. 10.3. Правильная схема присоединения расширительного бака Если даже расход в системе уменьшится при прикрытии вентиля Е, то на всасывающем патрубке насоса по-прежнему будет сохраняться положительное значение напора, равное высоте отметки бака. В точке Г может возникнуть отрицательное значение напора. 10.2. Кавитация в насосах Кавитацией называется комплекс явлений, связанных с образованием парогазовых полостей в проточной части какого-либо устройства из-за вскипания жидкости в зоне местного понижения статического давления. - 133 - Кавитация может наблюдаться в любом элементе гидравлической системы, но особенно часто она возникает на рабочих колесах насосов, турбин, винтах кораблей, вращающихся в потоке с большой скоростью. В этом случае кавитация сопровождается последующей конденсацией паровых пузырьков на поверхности рабочих колес, что приводит к эррозионному износу их поверхности. Разберем сущность этого явления чуть подробнее. Над поверхностью воды парциальное давление водяных паров Рп.п равно давлению насыщенных паров при температуре жидкости Рн.п. Давление насыщенных паров Рн.п для любой жидкости является функцией только температуры, причем зависимость сильно нелинейная, как показано на рис. 10.4. Рн.п 5 атм. Рн.п = f(t) 1 атм. 50 100 150 t,оС Рис. 10.4. Зависимость давления насыщенных водяных паров от температуры При нагревании воды, например в чайнике, давление паров над поверхностью жидкости растет по мере повышения температуры. Однако вода еще не кипит, так как давление насыщенных паров меньше статического (атмосферного) давления Рн.п < Ратм. Даже если внутри объема жидкости возникнет случайно разрыв среды и образуется пузырек пара, он будет сжат внешним статическим давлением, и пар сконденсируется. Местного - 134 - разрыва сплошности потока произойти не может. И только когда давление насыщенных паров становится равным статическому давлению, при котором находится жидкость, пузырек пара, образовавшийся внутри объема жидкости, не будет конденсироваться, а будет подниматься на поверхность. Именно этот процесс мы обычно называем кипением. Таким образом, условие возникновения режима кипения очень простое: Рн.п = Рст . (10.7) Обычно режима кипения добиваются именно за счет нагрева жидкости до определенной температуры. При атмосферном давлении вода кипит при 100 оС, так как именно при этой температуре Рн.п = Ратм = 1 атм. Если нагревать воду на высокой горе, где атмосферное давление меньше 1 атм, то она закипит при более низкой температуре. Наоборот, чтобы получить в паровом котле пар с высокой температурой, например 150 оС, давление в котле должно быть значительно больше атмосферного, примерно 5 атм. Однако условия начала кипения (10.7) можно достичь не только путем нагрева жидкости, но и путем понижения статического давления, при котором находится жидкость. На этом принципе, например, работают испарители холодильных машин. Жидкий хладагент (фреон), попадая в зону пониженного давления, кипит и понижает свою температуру. Обращаем внимание, что процесс кипения не является кавитацией, так как нет зон местного понижения давления. Никакого разрушения поверхности в этом процессе не происходит. Пузырьки образовавшегося пара просто отрываются от нагревающей поверхности и всплывают вверх. Для разрыва абсолютно чистой жидкости теоретически необходимо приложить к ней растягивающие напряжения порядка нескольких тысяч мегапаскалей. В специальных экспериментах удавалось нагревать при атмосферном давлении очень чистую воду значительно выше 100 °С. Однако такое перегретое состояние оказывается крайне неустойчивым – достаточно малейшего возмущения, при котором образуются местные зоны пониженного давления (например, легкого встряхивания), и жидкость вскипает. После начала кипения сами пузырьки пара при своем движении создают вихри и зоны местного понижения давления. Для реальных жидкостей растягивающие напряжения значительно меньше, так как дополнительным условием образования пузырька пара, кроме определенного значения статического давления, является наличие центров активации в жидкости, в качестве которых выступают мельчайшие газовые пузырьки и твердые включения, всегда имеющиеся в обычной воде. Именно на них происходят начальные разрывы потока и образование парогазовых полостей. Это явление можно наблюдать, если медленно нагревать воду в стеклянной колбе или мензурке, доведя ее до начала кипения. В колбу предварительно надо насыпать немного песчинок, имеющих - 135 - острые грани. Когда вода будет нагрета почти до кипения, воду в колбе следует привести во вращение, чтобы песчинки немного поднялись над поверхностью дна и кружились вместе с потоком. Будет хорошо видно, что образование пузырьков пара происходит не на гладкой поверхности стеклянного дна, имеющего самую высокую температуру, а на острых гранях летящих в потоке песчинок (рис. 10.5). Песчинки Пузырьки пара Нагревающая поверхность Рис. 10.5. Образование пузырьков пара на гранях песчинок В трубопроводных системах зоны пониженного давления могут создаваться в различных участках трубопроводной системы, однако наиболее вероятно вскипание воды там, где статическое давление наиболее низкое — на входе в рабочее колесо нагнетателя. Причем именно в рабочем колесе создаются условия, когда образовавшиеся пузырьки пара не уносятся потоком, а конденсируются на поверхности лопаточного колеса, подвергая его интенсивному эррозионному износу. Общая схема этого процесса показана на рис. 10.6. При возникновении кавитации в рабочем колесе центробежного нагнетателя образование парового пузырька происходит у входной кромки на задней стороне той лопатки, которая в данный момент находится вверху, так как именно в этой точке наблюдается минимальное статическое давление. Пузырек образуется непосредственно на поверхности лопатки и имеет форму полусферы. При вращении рабочего колеса лопатка перемещается вниз, статическое давление на ее поверхности растет, и условие кипения (10.7) перестает выполняться — паровой пузырек должен сконденсироваться. Его конденсация происходит почти мгновенно (этот процесс называется схлопыванием пузырька), и жидкость устремляется в освободившийся объем по нормалям к внешней поверхности пузырька. Скорость движения фронта жидкости достигает скорости звука в воде. Так как пузырек имел форму полусферы, все нормали направлены в одну точку — к центру полусферы. В результате в этой точке развивается огромное давление (более 1000 МПа), материал лопатки разрушается, и на поверхности - 136 - образуется маленькая выщербинка. Именно она при следующем обороте рабочего колеса, когда лопатка снова перейдет в верхнюю зону, будет являться дополнительным фактором возникновения завихрения при обтекании острой кромки. В глубине выщербинки образуется зона пониженного давления, и именно здесь опять произойдет образование и конденсация парового пузырька. В результате многократного повторения этого процесса все лопатки нагнетателя подвергаются интенсивному эррозионному износу, при этом колесо нагнетателя может прийти в полную негодность в течение несколько суток. Лопатка Образование пузырька ω Точка фокуса Схлопываниие пузырька Рис. 10.6. Схема кавитации в рабочем колесе насоса Главным фактором кавитационной эррозии является механическое усталостное разрушение материала рабочего колеса от воздействия односторонних циклов сжатия. Кроме того, в зоне возникновения парового пузырька имеют место дополнительные химические и электрохимические процессы, что повышает интенсивность разрушения поверхности Жидкость, находящаяся на грани кипения, не может содержать растворенных газов, поэтому при образовании пузырька здесь же происходит выделение кислорода и других газов, что ведет к повышенному окислению материала. Материалов, абсолютно устойчивых против кавитационного износа, не существует. В табл. 10.1 приведена сравнительная характеристика мате- - 137 - риалов по их стойкости к кавитации. Стойкость обычного чугунного колеса принята за единицу. Таблица 10.1 Относительная кавитационная стойкость различных материалов Материал Алюминиевая бронза Коррозионно-стойкая сталь Нейлон Феноловая смола на тканевой основе Резина, нанесенная распылением на стальную поверхность Марганцевая бронза Толстолистовая сталь Литая сталь Алюминий Латунь Чугун Относительная кавитационная стойкость 40 – 70 11 – 40 28 8,6 6,8 2,8 2,3 1,9 1,8 1,4 1 Кроме того, в режиме развитой кавитации большое количество пара начинает перекрывать рабочее сечение лопаточного колеса, и снижает среднюю плотность перемещаемой среды. Это приводит к снижению подачи и напора насоса, то есть насос ухудшает свои рабочие параметры. Гидравлические удары приводят к образованию шума и вибрации насоса. Таким образом, работа насоса в режиме кавитации недопустима. 10.3. Допустимая геометрическая высота всасывания Основной задачей при эксплуатации насосов является недопущение возможности возникновения кавитации в насосе. Достигается это правильным выбором геометрической высоты всасывания насоса Нг.вс, то есть той высоты, на которую может быть поднят насос над уровнем перекачиваемой жидкости в расходной емкости. Расчетная схема для определения Нг.вс приведена на рис. 10.7. - 138 - dвс, lвс а Нг Нг.вс Ратм , t Рис. 10.7. Расчетная схема для определения допустимой геометрической высоты всасывания насоса Предположим, что вода в резервуаре или водоеме находится при температуре t и атмосферном давлении Ратм. Напишем условие начала кипения применительно к рассматриваемой задаче, выражая давления в виде напоров Рн.п /ρg = Ратм /ρg - Нг.вс - hвс - hкр - dвс /2 , (10.8) где hвс – потери напора во всасывающей линии трубопроводов до насоса; hкр – критический кавитационный запас, м; ρ – плотность перемещаемой среды (воды) при расчетной температуре; g – ускорение свободного падения (9,81 м/с2); dвс – входной диметр рабочего колеса, обычно примерно равен диаметру всасывающего патрубка насоса. Критический кавитационный запас насоса – это минимально допустимое превышение напора перед насосом над напором насыщенных водяных паров. Он зависит от конструкции насоса, режима его работы и вычисляется по формуле hкр = 10 (n Q / С)4/3, (10.9) где n – скорость вращения рабочего колеса, об/мин; Q – подача насоса, м3/с; С – коэффициент кавитационной быстроходности, являющийся критерием подобия и зависящий от конструкции насоса. Коэффициент кавитационной быстроходности С для обычных насосов имеет значение 600-800, для специальных конденсатных насосов — до 3 000. - 139 - Различают hкр1, при котором напор первого рабочего колеса насоса падает на 2 %, и hкр2, при котором происходит полный кавитационный срыв работы насоса. С учетом необходимости гарантировать невозможность возникновения кавитации, критический кавитационный запас hкр берут в расчетах с поправочным коэффициентом 1,15 ÷ 1,2. Потери на всасывающей линии могут быть вычислены как для любого трубопровода по любой методике, например, по формуле h = (λ l /d + Σ ζ) ρw2/2 . С учетом этого получим окончательное выражение для расчета допустимой геометрической высоты всасывания: Нг.вс.доп = (Ратм - Рн.п )/ρg - hвс – 1,2 hкр - dвс /2, (10.10) Нг.вс.доп = (Ратм - Рн.п)/ρg – (λвсlвс / dвс + Σ ζвс) w2вс / 2g – – 12 (n Q / С)4/3 - dвс / 2 . (10.11) При высоких температурах воды в результате вычислений по формулам (10.10) и (10.11) можно получить отрицательное значение Нг.вс.доп. Это означает, что насос нельзя не то что поднимать над уровнем жидкости, а его надо, наоборот, заглублять ниже уровня воды в резервуаре. 10.4. Мероприятия, направленные против возникновения кавитации Из (10.11) следует, что для уменьшения возможности возникновения кавитации и увеличения допустимой высоты всасывания необходимо соблюдать следующие рекомендации: а) Перекачивать воду с возможно меньшей температурой (при этом уменьшается давление насыщенных паров жидкости Рн.п). На практике рекомендуется устанавливать циркуляционные насосы систем отопления и теплоснабжения на обратном трубопроводе, где температура ниже, а не на подающем. Кроме того, такая установка насоса облегчает температурный режим его работы. б) На всасывающей линии до насоса следует увеличивать диаметр трубопровода, уменьшать его длину и количество местных сопротивлений (это приводит к уменьшению потерь напора во всасывающей линии hвс). Рекомендуется размещать насосную установку вблизи точки забора воды. Подводящие трубопроводы на всасывающей линии от емкости или водоема до насоса выполняются минимальной длины и достаточного диаметра, с минимальным количеством поворотов. Из арматуры на всасы- - 140 - вающей линии ставят обычно только запорные устройства с малым сопротивлением (задвижки и шаровые краны). Установка фильтра перед насосом ходя и желательна, но в отдельных случаях может приводить к недопустимо высоким потерям, особенно при засорении фильтра, что может приводить к снижению напора перед насосом и возникновению кавитации. в) Использовать при высоких температурах воды специальные насосы с увеличенным значением коэффициента кавитационной быстроходности С, например конденсатные насосы. Конденсатные насосы имеют особенности конструкции, уменьшающие вероятность возникновения кавитации, а также снижающие негативные последствия при ее возникновении. За счет изменений в конструкции увеличивается значение коэффициента кавитационной быстроходности С и уменьшается критический кавитационный запас hкр. Более детально особенности конструкций таких насосов рассматриваются в курсе «Насосы и вентиляторы». г) Обеспечивать достаточный положительный статический подпор перед насосом за счет высоты расположения открытого расширительного бака или давления в закрытом расширительном баке. Подключение бака рекомендуется производить непосредственно перед всасывающим патрубком насоса. - 141 - ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данном курсе лекций рассмотрены лишь наиболее общие вопросы работы трубопроводных систем. Более детальное рассмотрение отдельных вопросов требует знания материала, изучаемого в последующих общетехнических и специальных дисциплинах. Тем не менее, именно понимание общих принципов работы трубопроводных систем позволит в дальнейшем в специальных дисциплинах подойти к изучению конкретного вида системы не как к совершенно новому и самостоятельному материалу, а рассматривать ее как еще одну модификацию со своими частными особенностями конструкции и режима эксплуатации. Понимание того, что в специальных дисциплинах изучаются именно особенности и отличия, а не общие вопросы, является исключительно важным для правильной систематизации знаний и снижения затрат времени и сил на изучение материала. То, что в системах вентиляции и кондиционирования по трубопроводам перемещается воздух, в системах газоснабжения – горючий газ, в системах отопления и теплоснабжения – вода или пар, влияет на предъявляемые к системам требования и величины скоростей и давлений в этих системах. Однако это не должно влиять на общее понимание их как отдельных разновидностей трубопроводных систем со своими специфическими особенностями. Достижение именно такого взгляда на вопрос и является одной из важнейших задач при изучении курса. В итоге необходимо четко осознать, что все трубопроводные системы функционируют на основании одних и тех же принципов и законов и расчет рабочих режимов и параметров систем производится на основе одних и тех же наиболее общих зависимостей. Тогда придется лишь углублять и конкретизировать общие знания, полученные ранее при изучении дисциплины «Теплогазоснабжение и вентиляция». Таким образом, общие знания о системах, полученные при изучении даного курса лекций, являются, по сути, каркасом, который скрепляет и соединяет специальные знания о различных трубопроводных системах. - 142 - БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Поляков В. В. Насосы и вентиляторы: учеб. для вузов/ В. В. Поляков, Л. С. Скворцов. – М.: Стройиздат, 1990.– 336 с. 2. Вахвахов Г. Г. Работа вентиляторов в сети / Г. Г. Вахвахов. – М.: Стройиздат, 1975. – 101 с. 3. Калицун В. И. Основы гидравлики и аэродинамики / В. И. Калицун, Е. В. Дроздов, А. С. Комаров, К. И. Чижик. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ОАО «Издательство «Стройиздат», 2004. – 296 с. 4. Альтшуль А. Д. Гидравлика и аэродинамика: учеб. для вузов / А. Д. Альтшуль, Л. С. Животовский, П. П. Иванов. – М.: Стройиздат, 1987. – 414 с. 5. Альтшуль А. Д. Гидравлические сопротивления – 2-е изд., перераб. и доп. / А. Д. Альтшуль. – М.: Недра, 1982. – 224 с. 6. Альтшуль А. Д. Гидравлические потери на трение в трубопроводах / А. Д. Альтшуль. – М.–Л.: Госэнергоиздат, 1963. – 256 с. 7. Карелин В. Я. Кавитационные явления в центробежных и осевых насосах. – 2-е изд., перераб и доп. / В. Я. Карелин. – М.: Машиностроение, 1975. – 336 с. 8. Хасилев В. Я. Методы и алгоритмы расчета тепловых сетей /В. Я. Хасилев, А. П. Меренков, Б. М. Каганович и др.; под общ. ред. В. Я. Хасилева и А. П. Меренкова. – М.: Энергия, 1978. –– 176 с. 9. Гидравлический расчет трубопроводов систем водяного отопления по программе GIDRAVL: методические указания к выполнению расчетов в курсовом и дипломном проектировании для студентов cпециальности 290700 "Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна" / сост. А. А. Ивашкевич. – Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. унта, 1999. – 34 с. 10. Трубопроводы инженерных систем: каталог / под ред. С. Е. Беликова. – М.: Аква-Терм, 2004. – 248 с. - 143 - ОГЛАВЛЕНИЕ Введение .…………………….................................................................... 3 Лекция 1. Основные понятия о трубопроводных системах …….. 4 1.1. Некоторые термины и понятия .……………………...... 4 5 1.2. Конструктивные характеристики трубопроводных систем …………………...…………………………...... 1.3. Характеристики перемещаемой среды ………….......... 7 1.4. Режимные параметры трубопроводных систем .……... 8 1.5. Потери давления и напора в трубопроводе ..…………. 12 1.6. Понятие гидравлической характеристики трубопроводной сети и нагнетателя .………………….. 20 Лекция 2. Энергетические и массовые балансы в системе. Метод наложения характеристик ………..……………... 2.1. Источники и потребители энергии в системе. Разбиение системы на нагнетатель и сеть ...………….. 2.2. Уравнения балансов среды и энергии в системе …...... 2.3. Графический метод наложения характеристик ..…….. Лекция 3. Понятие параллельного и последовательного соединений. Сложение характеристик ………….……. 3.1. Причины необходимости сложения характеристик …. 3.2. Графическое сложение характеристик элементов системы при последовательном соединении ………… 3.3. Графическое сложение характеристик элементов системы при параллельном соединении .……………... 3.4. Графическое сложение характеристик трубопроводов в логарифмической системе координат ..…………….. 3.5. Аналитическое сложение характеристик трубопровводов ………………………………………………….. Лекция 4. Графическое определение режимов насосной системы методом наложения характеристик ..…………………… 4.1. Общий порядок решения задач методом наложения характеристик ..…………………………………………. 4.2. Пример решения задачи с одним нагнетателем ............ 4.3. Примеры решения задачи с одним нагнетателем и гидростатическим напором в сети ……………………. 4.4. Примеры решения задачи с двумя нагнетателями ....... 25 25 29 32 35 35 37 45 53 55 58 58 61 65 71 - 144 - Лекция 5. Нахождение давлений и напоров в точках системы …. Лекция 6. Расчет рабочего режима системы методом последовательных приближений ..………………………. 6.1. Общая идея расчета системы методом последовательных приближений ……………………............................ 6.2. Решение для системы с одним узлом ..……………….. 78 84 84 88 Лекция 7. Методы последовательных приближений для решения нелинейных уравнений ……………………….. 98 7.1. Метод половинного деления ..…………………………. 98 7.2. Метод хорд ......…………………………………………. 101 7.3. Метод Ньютона (метод касательной) ..……………….. 104 107 7.4. Метод простых итераций .……………………………… Лекция 8. Использование метода Ньютона для расчета режимов трубопроводных систем …………………………………. .. 108 8.1. Вывод расчетного уравнения для решения методом узловых давлений ..…………………………………… 109 8.2. Вывод расчетного уравнения для решения методом контурных расходов ......……………………………... 112 Лекция 9. Устойчивость режима насосной системы. Помпаж ….. 9.1. Понятие устойчивости режима системы. Критерии устойчивости …………………………………………. 9.2. Процессы помпажа в насосных системах ..…………… 9.3. Причины возникновения помпажа …..……………….. 9.4. Мероприятия по предотвращению возникновения помпажа .……………………………………………… Лекция 10. Разрывы потока и кавитация в гидравлических системах ………………..………………………………….. 10.1. Причины разрыва потока в трубопроводных системах ……………………………………………….. 10.2. Кавитация в насосах …………………………….……. 10.3. Допустимая геометрическая высота всасывания ..….. 10.4. Мероприятия, направленные против возникновения кавитации ..…………………………………………….. 115 115 119 123 127 129 129 132 137 139 Учебное издание Ивашкевич Александр Александрович ОБЩИЕ ВОПРОСЫ РАБОТЫ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ Курс лекций по дисциплине «Теплогазоснабжение и вентиляция» для студентов специальности 270109.65 Главный редактор Л. А. Суевалова Редактор Л. А. Суевалова Дизайнер обложки М. В. Привальцева Подписано в печать 30.04.07. Формат 60х84 1/16. Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать цифровая. Усл. печ. л. 8,3. Тираж 100 экз. Заказ Издательство Тихоокеанского государственного университета. 680035. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136. Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета. 680035. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136