Общие вопросы изучения алгебраического материала

1.1 ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В методике преподавания математики определен следующий порядок усвоения общих вопросов изучения алгебраического материала: а) алфавит математического языка; б) время введения в курс математики начальной школы алгебраического материала; в) связь алгебраического материала, с другими составляющими частями курса математики; г) цель введения алгебраического материала и основные понятия, изучаемые в начальной школе; д) содержание алгебраического материала; е) основные задачи изучения темы. Основное содержание школьной математики традиционно делят на арифметику, алгебру и геометрию. Исаак Ньютон назвал алгебру «всеобщей арифметикой». Алгебра, действительно возникла как обобщение арифметики. Современная алгебра это обобщение вывела на более высокий уровень обобщения. А вот та ее часть, которая изучается в школе, действительно является обобщением арифметики – науки о числах и действиях с ними. Язык алгебры – это язык математических выражений, равенств и неравенств. Рассмотрим основные темы раздела «Методика изучения алгебраического материала». Алгебраический материал не выделяется в программе для начальных классов в качестве самостоятельного раздела и изучается на протяжении всех четырех лет обучения младших школьников. Рассмотрение элементов алгебры в начальном курсе математики тесно связано с изучением вопросов арифметики и элементов геометрии. Известно, что любое предложение в русском языке, как и любого другого языке, образуется из слов, а слова из букв некоторого алфавита. В математике существует свой алфавит математического языка, алфавит знаков из которого образуются математические предложения. В математическом алфавите используются следующие символы: – для записи чисел в десятичной системе счисления используют 10 знаков – цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; – для обозначения переменных, множеств и их элементов используют буквы латинского алфавита a, b, c, d, … A, B, C, D, …; – для записи действий применяют следующие знаки: +, –, × или ∙ , : , √ и др.; – для записи отношений используют знаки: =, >, ≥, <, ≤, ≠, ∩ и др.; – в символических записях встречаются скобки: круглые (), квадратные [], фигурные {}. Все обозначенные знаки входят в алфавит математического языка, который создан искусственно для точных, сжатых формулировок математических законов, правил, доказательств. На математическом языке многие утверждения выглядят понятнее и нагляднее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Математик переводит высказанное утверждение на математический язык, в котором используя математический алфавит, буквы и знаки арифметических действий: а + b = b + а. Данная запись экономна и удобна для применения. Пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон: a (b + c) = a ∙ b + а ∙ с. Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: «Чтобы умножить число а на сумму чисел b и с, надо число а умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить». Введение алгебраического материала в начальный курс математики позволяет подготовить учащихся к изучению основных понятий современного курса математика, таких как «переменная», «уравнение», «неравенство», «выражение» и др., способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, развитию у детей функционального мышления. Ключевыми алгебраическими понятиями начального курса математики являются понятия «переменная», «выражение» (математическое), «числовое выражение», «буквенное выражение», «числовое равенство» и «числовое неравенство», «уравнение». Рассмотрим характеристики этих понятий, выделим важные для обучения, обеспечения понимания смысла этих понятий. В математике под выражением понимают построенную по определенным правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними. Математическое выражение – это записи вида    a,    b,    2 a,    2,    158,  2 + 3,    2 · 3,    12 : 3,    a + b,    a – b,    a  ·  b ,    a : b,    3 a + 2 и т.д., а также записи, составленные из подобных приведенным с помощью знаков действий и скобок, например,    2 · (a – b),    7 · a ·  (b + 13) : (27 + 3), где буквы обозначают произвольное число. Выражения вида 15 + 3, 45 : 9 – 2, 5, (57 + 3):6 и т. п. называют числовыми выражениями. Число, полученное в результате последовательного выполнения действий, указанных в выражении, называется значением числового выражения. Действия с выражениями: – нахождение значения выражения (для буквенного – при заданных значениях букв); – преобразование выражения (замена данного выражения другим на основе свойств действий, обозначенных в выражении), – составление новых выражений из имеющихся с помощью арифметических действий. Нахождение значений выражений – это основное действие, которое выполняют учащиеся с числовыми и буквенными выражениями в процессе изучения математики. Выражения вида а + b, 13 – с, b, (40 – b) : 2 и т. п. называют буквенными выражениями. Буквенные выражения имеют числовые значения при заданных значениях букв. Если вместо букв в выражении записать их числовые значения, то буквенное выражение превращается в числовое выражение. Буквенные равенства и неравенства – это равенства и неравенства с переменной (переменными), среди которых выделяют тождества, уравнения и неравенства с переменной (переменными). Понятия «числовые равенства» и «числовые неравенства» характеризуют записи, имеющие определенный внешний вид. По внешнему виду определяется, является та или иная запись числовым равенством или числовым неравенством. Два равных числа или два выражения, имеющие равные значения, соединенные знаком «=», образуют верное равенство. Два числа или два выражения, соединенные знаком «<», «>», образуют неравенство. В начальной школе термин «тождество» не используется, хотя сами тождества могут иметь место в учебном процессе, если используется буквенная символика. Записи свойств арифметических действий: a +b = b +a, a + (b + c) = (а + b) + c являются тождествами. В тождестве, как и в понятиях верного и неверного числового равенства, форма отношения равенства в виде знака «=» и его содержание соединены. Уравнения в математике – это равенства с переменной или переменными, относительно которых требуется узнать те значения переменной или наборы значений переменных, при подстановке которых в уравнение оно (уравнение) обращается в истинное числовое равенство. Решить уравнение – значит выполнить названное требование: найти такие значения переменных, при которых уравнениеобращается в верное числовое равенство. Эти значения принято называть корнями уравнения. В некоторых современных учебниках этот термин есть. Уравнение – это истинное равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Корень уравнения – найденное значение неизвестного числа. Решить уравнение – значит найти его корень. Определений данных понятий в курсе математики начальных классов нет. Учащиеся уясняют эти понятия на уровне представлений в процессе выполнения специально подобранных упражнений.   Программа по математике в 1-4 классах предусматривает знакомство со следующими понятиями: Числовое выражение. Сравнение числовых выражений. Равенство. Неравенство. Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками. Буквенное выражение. Выражения с переменной. Уравнение. Решение уравнений способом подбора неизвестного. Решение уравнений на основе знания связи между результатами и компонентами действий сложения и вычитания Решение уравнений на основе знания связи между результатами и компонентами действий умножения и деления. Доли. Образование и сравнение долей Нахождение нескольких долей целого. Нахождение целого по его части Задачи на нахождение доли числа и числа по его доле   Основные задачи изучения: 1. Сформировать у учащихся умения читать, записывать и сравнивать числовые выражения. 2. Познакомить учащихся с правилами выполнения порядка действий в числовых выражениях и выработать у них умение вычислять значения выражений в соответствии с этими правилами. 3. Выработать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения вида а + b, с – d, 5 – b, с : 3, k · с, с : а и вычислять их значения при данных значениях букв. 4. Познакомить учащихся с уравнениями вида 5 + х = 15, х – 3 = 7, 12 – х = 3, х · 7 = 42, х : 4 = 5, 24: х = 8 и сформировать умение решать их способами подбора и на основе знания взаимосвязи между компонентами и результатом арифметических действий. 5. Сформировать у учащихся понятие доли. Научить образовывать, называть, записывать и сравнивать доли, находить нескольких долей целого и целое по его части. Решать задачи на нахождение доли числа и числа по его доле. Познакомить с образованием дробей, научить их называть, записывать, сравнивать и решать задачи на нахождение дроби числа. 6. Развивать умения осознанно строить речевые высказывания; составлять план и последовательность действий; контролировать и оценивать процесс и результат деятельности; соотносить правильность выбора, планирования, выполнения и результата действия с требованиями конкретной задачи 1.2 МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ В начальном курсе математики определен следующий порядок изучения числовых выражений. 1 Понятие математического выражения. 2. Простейшие числовые математические выражения (3 + 4,   5 – 6,   3 · 4,   8 : 2). 3. Сложные числовые математические выражения (5 + 6 + 7,   8 – 3 – 2,   3 + 6 – 7,   8 : 2 · 3,   3 · 4 · 5). 4. Знакомство с постепенно усложняющимися математическими выражениями    ((3 + 5) – 2;   25 : 5 : 5). При ознакомлении учащихся с числовыми выражениями в методике предусматривается определенная этапность: 1 этап. Формирование понятия о простейших числовых выражениях, содержащих, одно арифметическое действие:   5 + 2,   6 – 4,   2 · 3,   15 : 5. 2 этап. Формирование понятия о сложных числовых выражениях содержащих, два и более арифметических действий одной ступени: 4 + 5 – 3,   3 + 3 + 3,   8 – 2 – 2,   10 – (3 + 4),  8 : 2 · 3,   5 · 4 : 10,   3 · 2 · 4,   20 : 2 : 5 3 этап. Формирование понятия о сложных числовых выражениях содержащих, два и более арифметических действий разных ступеней 5 · 3 + 10,   (27 + 13) : 4,   43 – 7 · 6,   4 · 8 + 15 : 5 Знакомство с первыми выражениями – суммой и разностью двух чисел происходит в первом классе при изучении сложения и вычитания в пределах 10. выполняя операции над множествами, дети усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида   6 + 1,   5 – 2   знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить» и «вычесть» и используются для чтения  (к четырем прибавить два, получится шесть; из трех вычесть один, получится два). В дальнейшем дети узнают, что прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, в вычитая уменьшаем на столько же единиц. Учим читать в новой форме (пять увеличить на один, получится шесть; четыре уменьшить на один, получится три). После ознакомления с компонентами и результатом действий сложения и вычитания учащиеся используют термины «сумма», «слагаемое», «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность» для чтения выражений (три плюс два, равно пяти; семь минус один, равно шести; первое слагаемое – два, второе слагаемое – 4, найти сумму чисел; сумма чисел 4 и 5; уменьшаемое – 5, вычитаемое – 4, найти разность чисел; разность чисел 7 и 2). Наглядно это изображается так:   ●●● ○○     3 – слагаемое 3 + 2 = 5 2 – слагаемое       5 сумма       3 + 2 – сумма Рис. Ознакомление с компонентами суммы Для усвоения новых терминов учитель предлагает такие упражнения:   – запиши сумму 6 и 3; – вычислите сумму 5 и 2; – прочитайте запись 4 + 3; – замените число 7 суммой (7 = ...  + ...); – сравните суммы 6 + 2 и 6 + 3. В результате таких упражнений учащиеся осознают двоякий смысл термина «сумма»: как названия выражения и как названия значения выражения, а также усваивают следующие выводы: чтобы записать сумму чисел надо их соединить знаком «плюс»; чтобы найти значение суммы, надо сложить заданные числа. Аналогично проводим работу над выражениями разности, произведения, частного двух чисел. Однако каждый из этих терминов вводиться сразу и как название результата действия и как название выражения. В сложных выражениях знаки действий, соединяющие простейшие выражения также имеют двоякий смысл, обозначают название результата действия и название выражения. В процессе ознакомления со сложными выражениями можно вместе с детьми рассмотреть ряд заданных выражений и ознакомить с новой формой их чтения на основе анализа структуры каждого выражения. К примеру, дети записывают выражение «к 40 прибавить частное чисел 20 и 5» и находят его значение. Выясняют, какое действие выполняется последним в данном выражении и как называются числа в этом действии; разбирают, как выражен каждый компонент и затем читают всё выражение. Возможен другой путь ознакомления со сложными выражениями, когда учащиеся их составляют сами. Например, берут сумму чисел 24 и 13. после того как дети назовут слагаемые, учитель предлагает первое слагаемое 24 заменить равным ему произведением 8 · 3. появляется новая сумма: 8 · 3 + 13. В дальнейшем, в процессе многократных упражнений в чтении, составлении и записи выражений, учащиеся постепенно овладевают умением устанавливать вид сложного выражения в 2–3 действия. Существенно облегчает им эту работу «Памятка» составленная вместе с детьми и используемая при чтении выражений.   Памятка 1. Установи, какое действие выполняется последним. 2. Вспомни, как называются числа в этом действии. 3. Прочитай, чем выражены эти числа.   Рис. Памятка обучения чтению сложных выражений без скобок   Во II классе вводятся скобки как знаки, указывающие на изменение порядка действий. Для подготовки детей к введению выражений со скобками 2 класса часть 1 предлагается заблаговременно включать в устные упражнения как можно чаще такие задания: «Найди суму (разность) чисел 6 и 4 и прибавь ее к числу 20». При этом можно использовать на доске записи, в которых сумма (разность) выделена, например, овалом. Такая подготовительная работа поможет детям научиться читать и записывать выражения со скобками. К использованию скобок можно подвести так, как предлагается в учебнике: рассмотреть образцы прочитанных и записанных примеров и, опираясь на правило, учить читать и решать такие примеры. При чтении помогает такая памятка.   Памятка 1. Посмотри на знак в скобках и скажи – это сумма или разность. 2. Посмотри на другой знак и скажи – надо прибавить или вычесть.   Рис. Памятка обучения чтению выражений со скобками При чтении надо также следить за предлогами: «прибавить к...», «вычесть из...». Можно ввести скобки и по-другому – предложить детям самим составить примеры, используя числа, знаки « + », « – » в сумму (разность), записанные на карточках. Выполняя действия, дети могут получить разные результаты: 10 – 7 + 2 = 1 10 – 7 + 2 = 5. Чтобы избежать этого и показать, что из 10 вычитают сумму, используют общий знак – скобки. Договариваются, что в таких примерах сначала находят сумму (разность), т. е. первым выполняют действие в скобках. Дети научатся читать и записывать примеры со скобками в процессе выполнения достаточного числа упражнений в течение нескольких уроков. Однако читать выражения необходимо полностью: «Из числа 4 вычесть сумму чисел 1 и 2, получится 1», не называя отдельные числа и знаки: 4, минус, скобка открывается и т.д. Когда дети будут знакомы с разными примерами – в одно и два действия, со скобками и без скобок, – можно ввести понятие и термин «выражение». Предложить детям записи, включающие все известные им примеры, в которых разные числа (однозначные и двузначные) соединены знаками « + » и « – » в различных сочетаниях.  Рассматривая с детьми данные столбики примеров, надо выявить все эти особенности. Безусловно, можно предложить учащимся самим составить и записать разные примеры, используя четыре-пять чисел, знаки действий и скобки, а затем сравнить и выявить существенные признаки (это записи, состоящие из разных чисел, соединенных разными знаками действий, которые могут включать скобки). Новые термины постепенно войдут в речь детей, если сам учитель будет их активно использовать. Пусть наряду с новыми фразами – «запищу выражение», «найду значение, выражения» звучат привычные – «запишу пример», «решу пример». Однако надо настойчиво исправлять, если дети будут смешивать эти фразы и говорить: «Запишу выражение и решу его». При тщательном анализе результатов контроля знаний, умений, навыков учитель выявляет пробелы, ошибки в выполнениях, и планирует дальнейшую работу по ликвидации недостатков в обучении. Опыт показал, что при сравнении чисел и числовых выражений учащиеся ошибаются: – в постановке знаков больше и меньше (причина в незнании конкретных понятий, не проанализирован поразрядный и поклассовый состав чисел, незнание нумерации натуральных чисел, поместное значение цифр); – в арифметических вычислениях. При нахождении значения составного числового выражения допускаются ошибки: – в порядке действий, – в неправильной записи компонентов действия (причина ошибок - не сумел определить структуру исходного выражения и соответственно применить необходимое правило, не знал алгоритма выполнения действий). 1.3 ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЯХ Раскроем процесс изучения порядка действий в математических выражениях: а) порядок выполнения действий в выражениях без скобок, в которых есть только действия одной ступени; б) порядок выполнения действий в выражениях без скобок, в которых есть действия двух ступеней; в) порядок выполнения действий в выражениях со скобками. Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, над числами производят действия либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление. Учитель учит детей читать, записывать и находить значения таких выражений, когда дети встречаются с подобными выражениями. К примеру, выражение 4 · 10 : 5 читают так: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5. В данном случае используем индуктивный метод. Необходимо обратить внимание детей на то, что важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Для обоснования этого можно привести соответствующие примеры. К моменту изучения порядка действий в 3 классе учащиеся уже умеют находить значения выражений этого вида. б) знакомство с порядком выполнения действий в выражениях без скобок, в которых есть действия двух ступеней; Наиболее трудным является правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, содержащиеся действия первой и второй ступеней. Для ознакомления можно использовать метод объяснения, поскольку правила порядка выполнения действия приняты по договоренности. Вначале можно создать проблемную ситуацию: предложить детям вычислить значение заданного выражения, выполняя действия в разном порядке. 21 + 7 · 2 = 35 21 + 7 · 2 = 14. Ученики получают два значения. Далее необходимо показать, что необходимо договориться о порядке выполнения действий.   Для усвоения правила кроме тренировочных упражнений включать: решение примеров с пояснением порядка выполнения действий, в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Алгоритм рассуждения следующий:   Рис. Порядок действия в выражениях Знакомство с порядком выполнения действий в выражениях со скобками происходит в три этапа. Вначале при нахождении значений выражений надо повторить уже известное детям правило о нахождении значений выражений со скобками. Ученики сравнивают пары выражений, при составлении которых использованы одинаковые арифметические действия и одинаковые числа, но во втором выражении каждой пары по сравнению с первым выражением действия выполняются в другом порядке, потому что есть скобки (а дети уже знают, что сначала вычисляются значения выражений в скобках).   38 – 10 + 6 = 28 + 6 = 34                 24 : 3 · 2 = 8 · 2 = 16 38 – (10 + 60 = 38 + 16 = 22            24 : (3 · 2) = 24 : 6 = 4   Ученики повторяют правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, в которых есть только сложение и вычитание или только умножение и деление. Дети составляют такие выражения и находят их значения или выписывают их из учебника и объясняют, в каком порядке выполняют арифметические действия. Далее дети могут прочитать по учебнику правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, в которых есть не только сложение и вычитание, но и умножение (или деление) или оба этих действия. Учитель предлагает решить примеры, объясняя выбор действий   (31 + 18 : 2 и 60 – 3 – 9). Это выражения без скобок, в первом из них 2 действия – сложение и деление; сначала выполняют деление, а потом сложение (31 + 18 : 2 = 31 + 9 = 40); во втором выражении тоже два действия – вычитание и умножение; сначала выполняют умножение, а потом вычитание (60 – 3 · 9 = 60 – 27 = 33). В итоге рассматриваю обобщающее правило, которое может быть использовано при нахождении значений любых выражений – со скобками и без скобок. Дети формулируют правило и под руководством учителя вырабатывают алгоритм действий, записывая его шаги в памятку.     Памятка 1. () 2. · или : 3. + или –.   Рис. Памятка о порядке выполнения действий в выражениях Упражнения для закрепления знания правил о порядке выполнения действий в выражениях выполняются под руководством учителя: вызванный ученик объясняет, есть ли в выражении скобки, называет действия в нем, определяет, в каком порядке их надо выполнять (может цифрами обозначить порядок действий), после чего выполняет вычисления. Этот прием следует использовать как можно дольше в III и IV классах. Новым здесь является составление выражений самими учащимися по данным схемам, в которых числа, обозначенные окошками, должны подобрать ученики. Например, дана схема:  ...–... +... . Ученик объясняет: «В этом выражении только вычитание и сложение, значит, надо выполнять действия в том порядке, в каком они записаны: сначала – вычитание, потом – сложение (например, 40 – 25 + 30 = 15 + 30 = 45)».   Далее рассматривается работа со схемой, включающей выражение со скобками:   ...– (... +... ) =  ...+ (... –... ) =    Объяснение ученика: «В данном выражении есть скобки, значит, сначала надо найти значение выражения в скобках; это первое действие, ставлю вверху цифру 1; потом выполню деление, это второе действие, пишу вверху цифру 2; третьим действием будет вычитание, ставлю вверху цифру 3». Учитель говорит: «Теперь будем подбирать числа. Какие числа подберем сначала? (В скобках.) Какое действие будем выполнять над числом, которое получится в скобках? (Деление.) Будем делить на 3, значит, надо подобрать такие числа, чтобы их сумма делилась на 3.  Назовите такие числа. (5 + 1 = 6, 7 + 5 = 12 и др.). Возьмем сумму 7 + 5 = 12; 12 : 3 = 4. Какое следующее действие? (Вычитание.) Значит, надо подобрать уменьшаемое так, чтобы из него можно было вычесть 4. Какое это число? (4 и любое больше чем 4; например, 20.) Запишите выражение и найдите его значение». (20 – (7 + 5) : 3 = 20 – 12 : 3 = 20 – 4 = 16.)  1.4 Методика изучения выражений с переменной Методика изучения выражения с переменной предусматривает: а) цель введения переменной; б) выражение с одной, двумя переменными; в) система упражнений при работе с выражениями, содержащими переменную (или две). Начиная со второго класса ведется работа над выражениями с переменной, благодаря чему обобщается понятие выражения и закрепляются умения оперировать ими. Подготовительная работа к введению выражений с переменной проводится во 2 классе в начале учебного года в связи с повторением действий сложения и вычитания. На этом этапе дети знакомятся с новыми буквами латинского алфавита (а, b, с, d и др.) для обозначения неизвестного числа в уравнениях. Решая примеры и задачи на нахождение неизвестного компонента, второклассники учащиеся постепенно запоминают запись и названия букв, а также усваивают тот факт, что неизвестное число можно обозначать не только буквой х, но и другими буквами. Хорошим упражнением для подготовки к введению буквенной символики являются задачи с пропущенными числами. Например: «На уроке труда ученики вырезали ... красных флажков и ... зеленых флажков. Сколько всего флажков вырезали дети?» «В мебельный магазин привезли ... столов. Продали ... столов. Сколько столов осталось в магазине?» Подбирая числа вместо точек, дети получают арифметические задачи одинакового содержания, решение которых записывают в таблице: Таблица 1 Красных флажков 10     Зеленых флажков 15     Всего флажков 10 + 15       При введении буквенных выражений важную роль в системе упражнений играет умелое комбинирование индуктивного и дедуктивного методов. В соответствии с этим упражнения предусматривают переходы от числовых выражений к буквенным и, обратно, от буквенных выражений к числовым. Например, на доску вывешивается плакат с тремя карманами, на которых .написано: «Первое слагаемое», «Второе слагаемое», «Сумма». В процессе  беседы с учениками учитель заполняет карманы плаката карточками с записанными на них числами и математическими выражениями: Таблица 2 5 5 + 0 13 20 13 + 20 41 41 41 + 41       1 слагаемое 2 слагаемое сумма   Далее учитель поясняет, что, вместо того чтобы записывать разные числа, можно обозначить любое число, которое может быть первым слагаемым, какой-нибудь буквой, например «a», а любое число, которое может быть вторым слагаемым, например буквой «b», тогда сумму можно обозначить так: «а + b» (соответствующие карточки вставляются в карманы плаката): Чтобы учащиеся осознали, что буквы, входящие в выражение, например b + с, могут принимать множество числовых значений, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений, предусматриваются упражнения на переход от буквенных выражений к числовым. На первых, порах для этой цели используется тот же плакат с тремя карманами. Учитель вставляет в карманы плаката карточки, на которых записано выражение   b + с и слагаемые b и с. Выясняется, что это сумма чисел b и с, что слагаемые b и с могут принимать любые числовые значения.  Затем предлагается вычислить значение буквенного выражения   b + с, если буквам b и с придать числовые значения (соответствующие карточки вставляются в карманы плаката): Усвоению буквенной символики помогают следующие упражнения: 1. Нахождение числовых значений буквенных выражений при данных значениях букв, например: «Прочитайте выражение   a + d. Вычислите значения суммы, если   а = 5,   d = 20;   a = 13,   d = 8;   а = 1,   d = 19». 2. Подбор самими учащимися числовых значений букв, входящих в выражение, и нахождение числовых значений этих выражений. Например, заполните таблицу: Далее в связи с работой над выражениями раскрывается понятие постоянной. С этой целью рассматриваются выражения, в которых постоянная величина фиксируется с помощью цифр, например:   а + 12,   8 ± с. Здесь, как и на предыдущем этапе, предусматриваются упражнения на переход от числовых выражений к выражениям, записанным с помощью букв и цифр, и обратно. Учащиеся замечают, что значения первого слагаемого изменяются, а второго – не изменяются. Далее выясняется, что любое число, которое может быть значением первого слагаемого, можно обозначить какой-нибудь буквой, например m. Учитель поясняет, что второе слагаемое можно записать с помощью цифр, тогда сумму чисел можно записать так: m + 8, и карточки вставляются в соответствующие карманы плаката: На этом этапе предусматриваются упражнения на нахождение числовых значений выражений при данных значениях буквы, например: «Запишите сумму чисел 6 и 20. Вычислите значения выражения, если 6 = 5,   6 = 35,   6 = 20». Предлагаются также упражнения на подбор самими учащимися числовых значений буквы, входящей в выражение, и нахождение числовых значений этого выражения, например: «Прочитайте выражение d – 13. Придайте букве d два числовых значения и вычислите значения разности». А также полезно выполнять упражнения на преобразование таблицы с тремя графами в таблицу с двумя графами и обратно. Когда учащиеся уяснят смысл буквенной символики, можно использовать буквы в качестве средства обобщения формируемых у них знаний. Конкретной базой для использования буквенной символики как средства обобщения служат знания об арифметических действиях. Таблица 3 d 10 8 15 15 + d           Вся система упражнений здесь строится в соответствии с принципом от конкретного к абстрактному. Буквенная символика будет являться средством обобщения только тогда, когда учащиеся много раз наблюдали на числовых примерах определенные связи, зависимости, отношения, свойства и т. п., формулировали соответствующие выводы, правила или свойства и пользовались ими при выполнении различных упражнений. 1. Записать при помощи букв свойства арифметических действий, связь между компонентами и результатами арифметических действий и т. п. 2. Прочитать записанные с помощью букв свойства арифметических действий, зависимости, отношения и др. 3. Выполнить тождественные преобразования выражения на основе знания свойств арифметических действий. 4. Доказать справедливость заданных равенств и неравенств при помощи числовой подстановки. Как показывает практический опыт, при решении буквенных выражений при заданных значениях входящих в него букв учащиеся допускаются следующие ошибки: – при использовании алгоритмов (конкретные вычислительные приёмы); – при конкретном выборе данного значения буквы (невнимательность, не проведен анализ соответствия данной букве определённого числа). 1.5 Методика изучения числовых равенств и неравенств Методика работы над числовыми равенствами и неравенствами предполагает следующие этапы изучения : а) подготовительная работа; а) знакомство с равенствами и неравенствами; б) сравнение чисел в различных концентрах (различные приемы сравнения) в) сравнения числа с числовым выражением; г) сравнение числовых выражений.   Понятия о равенствах и неравенствах раскрывается во взаимосвязи в первом классе, органически сочетаясь с изучением арифметических материала. Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах. Однако в процессе выполнения упражнений, учащиеся накапливают наблюдения и убеждаются, что равенства и неравенства бывают как верные, так и неверные. Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется с помощью установления взаимно-однозначного соответствия. Выполняется счет элементов множества, и сравниваются полученные числа. В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся опираются на их место в натуральном ряду: 5 больше 4, потому что при счете число 5 называют после числа 4. впоследствии при изучении нумерации чисел больших 10 сравнение осуществляется на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнение соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Сравнение величин вызывает трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически в I–IV классах предлагать разнообразные упражнения, например: – подберите равную величину: 1 дм 5 см = ... м, 2 кг= ... г; – подберите числовые значения величин так, чтобы запись была верной:  ...м < ... см, .... см=.... дм. – вставьте наименования у величин так, чтобы запись была верной: 35 км = 35000 ...,   16 мин. > 16 ...,   17 т 5 ц = 17 500 ... . – проверьте, верные или неверные равенства даны, исправьте знак, если равенства неверны:   4 т 8 ц = 480 кг,   100 мин = 1 ч,   2 м 5 см = 250 см. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами; находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях: 5 + 3 > 5            2 < 7 – 4        8 > 5            2 < 3 Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важнейшие свойства равенств и неравенств (если а = b, то b = а; если а > b, то b < а). Сравнить два выражения – значит, сравнить их значения. Например, надо сравнить суммы:   6 + 4 и 6 + 3. Ученик рассуждает так: первая сумма равна 10, вторая – 9, 10 больше, чем 9, значит, сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3. Это рассуждение отражается в записях: 6 + 4 > 6 + 3        7 – 5 < 7 – 3      10 > 9                      2 < 4 При изучении действий в других концентрах упражнения на сравнение выражений усложняются: а) более сложными становятся выражения; б) учащимся предлагаются задания вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства или неравенства; в) проверить верные ли равенства (неравенства) даны; г) неверные исправить, изменив знак отношения или число в одном из выражений; д) составить из данных выражений верные равенства (неравенства). 1.6 Методика обучения решению уравнений В методики обучения младших школьников решению уравнений определен следующий порядок изучения: а) определение уравнения, решения уравнения, корня уравнения; б) этапы формирование умения решать уравнения: – подготовительный; – ознакомление с уравнением; – решение уравнений (методом подбора, на основе связи между компонентами и результатом арифметического действия); в) алгоритм решения уравнений в начальной школе. Знакомство с уравнениями в начальной школе в современном курсе математики происходит уже в первом классе. Причем решение простых задач вводится поэтапно, по мере знакомства с компонентами действий сложения, а потом и вычитания. Для решения уравнений учителя сначала предлагают учащимся способ подбора, и при усвоении соответствующей математической терминологии (слагаемое, сумма и уменьшаемое, вычитаемое, разность) выучиваются правила нахождения неизвестных компонентов. Кроме этого подготовкой к знакомству с уравнениями является взаимосвязь с целым и частями.   Рис. Подготовки к знакомству с уравнением   Подготовительный этап решения уравнений предусматривает задания, в которых даются примеры с окошками.   Рис. Упражнения 1 этап – Подготовка к решению уравнений Например, задания вида □ + 3 = 5, □ – 2 = 2, 9 – □ = 7, □ + 2 = 8 с опорой на состав числа в первом классе на сложение и вычитание, далее на умножение и деление. Дети рассуждают так: 5 это 3 да 2. Значит, вместо окошка можно записать 2. 2 этап – Решение уравнением методом подбора Во втором классе опираясь на сформированные умения различать верные и неверные равенства и подставлять вместо буквы различные ее значения, знакомим детей с уравнением с решением уравнения способом подбора неизвестного числа. При нахождении неизвестного выполняют подстановку заданных чисел и убеждаются, что данное равенство может быть и неверным, и верным. Чтобы решить уравнение, надо найти только то значение неизвестного, при котором получается верное равенство. Важно, чтобы, подставив каждое из заданных чисел, дети не заменяли равенствонеравенством, что часто наблюдается в практике (9 +7 больше чем 14, значит, 7 не подходит; 9 +1 меньше, чем 14, значит, 1 не подходит). Надо подставлять значение буквы в равенство и проверять, какое равенство получилось – верное или неверное (9 + 7 = 14 – это неверное равенство, так как 16 не равно 14, значит, неизвестное число не равно 7, а 9 + 5 = 14 – верное равенство, так как 14 равно 14, значит, неизвестное число равно 5). 3этап – Решение уравнений на основе знания связей между результатами и компонентами действий Решение уравнений на основе знания связей между результатами и компонентами действий будет рассматриваться в третьем классе, после того как эти связи будут изучены и закреплены. На этапе подготовки необходимо воспроизвести определение уравнения: «х + 3 – это не уравнение, потому что это не равенство, 6 + b = 12 – это уравнение, потому что это равенство, в котором есть неизвестное число b». Учитель предлагает подобрать значение b, при котором получается верное равенство. Дети называют число 10, так как 10 + 2 = 12, значит, неизвестное число b равно 10. Так же рассматриваются другие записи. На следующем уроке следует предложить решить уравнения с двузначными числами, например:   52 + л = 60,   а + 17 = 19 и т. п. После их решения дети делают вывод, что не всегда легко решать уравнения способом подбора. Учитель объясняет: «Решать уравнения проще, если знать правила нахождения неизвестного числа. Сегодня вы узнаете, как находить неизвестное слагаемое. Прочитайте первый пример, называя числа их именами. (Первое слагаемое 4, второе слагаемое 3, сумма этих чисел 7.) Объясните, как получили второй пример из первого. (Из суммы 7 вычли первое слагаемое 4, получилось второе слагаемое 3.) Объясните, как получился третий пример из первого». (Из суммы 7 вычли второе слагаемое 3, получилось первое слагаемое 4.) Рис. Правило нахождения неизвестного слагаемого   Далее учитель предлагает сделать общий вывод о том, что получится, если из суммы вычесть одно из слагаемых (получится другое слагаемое). Пользуясь этим правилом, можно решать уравнения, в которых надо узнать неизвестное слагаемое по известной сумме и другому слагаемому. Рассмотрим, как надо рассуждать при решении таких уравнений, как записывать решение и выполнять его проверку. Учитель записывает на доске уравнение, например:   х + 24 = 30, и говорит: «Прочитайте уравнение. (Сумма неизвестного числа и числа 24 равна 30.) Назовите известные числа в уравнении. (Известно второе слагаемое 24 и сумма 30.) Назовите неизвестное число в уравнении. (Неизвестно первое слагаемое.) Как узнать неизвестное число? (Надо из суммы 30 вычесть известное слагаемое 24. 30 – 24 = 6.) Проверим, получится ли верное равенство при х = 6. Подставим в уравнение число 6, получим:   6 + 24 = 30; это верное равенство, так как в левой и правой части уравнения получаем 30. Запишем: 30 = 30. Значит, х = 6». Чтобы легче было решать уравнения, можно воспользоваться планом рассуждения, который записывается на доске: 1. Прочитай, называя числа своими именами (что известно, что неизвестно). 2. Вспомни, как найти неизвестное число. 3. Найди неизвестное число, выполнив арифметические действия. 4. Сделай проверку. 5. Назови чему равно неизвестное число.   План рассуждения может быть таким: 1. Читаю уравнение ... . 2. Известно ... . 3. Неизвестно ... . 4. Объясняю решение ... . 5. Проверяю ... . Впоследствии при решении уравнений можно использовать памятки. Памятка 1. Что неизвестно? 2. Как найти неизвестное? 3. Чему равно неизвестное   Памятка 1. Что? 2. Как? 3. Чему? 1.7 Методика изучения долей и дробей Последовательность методики изучения темы доли и дроби предполагает следующие этапы: а) задачи изучения темы; б) методы и средства обучения, используемые при изучении темы; в) организация деятельности учащихся при ознакомлении с долями и дробями: – образование, название, чтение и запись долей; – сравнение долей; – образование, название, чтение и запись дробей; – сравнение дробей; – сравнение долей и дробей; – решение задач на нахождение доли числа и числа по доле. – решение задач на нахождение дроби числа. Согласно плану рассмотрим методику изучения долей и дробей на каждом этапе. Основные задачи изучения темы. Создать у учащихся конкретные представления о доли и дроби, т.е. 1) познакомить с образованием доли, научит называть, записывать и сравнивать доли, 2) сформировать умения решать задачи на нахождение доли числа; 3) сформировать умения решать задачи на нахождение числа по доле; 4) познакомить с образованием дробей, научить их называть, записывать, сравнивать; 5) сформировать умения решать задачи на нахождение дроби числа. Методы и средства изучения материала. Основной метод работы наглядно-практический в сочетании с беседой, с использованием геометрических фигур: круги, прямоугольники, квадраты, треугольники, полоски, их модели, изображения на бумаге и диапозитивах. Фигуры-пособия должны быть предусмотрены как для демонстрации, так и индивидуальные для выполнения практической работы учащимися. Организация деятельности учащихся при изучении темы: С целью подготовка младших школьников к изучению дробей в 5 классе необходимо у учащихся создать конкретные представления о доле и дроби: познакомить их с понятием доли, с их записью; научить сравнивать доли и дроби, решать задачи на нахождение доли числа, числа по доле, на нахождение дроби числа. Ознакомление с долями: образование, название, чтение и запись долей Тема ознакомлению с долями дается в ознакомительном плане, и раскрываются на наглядной основе на практическом уровне. Учитель мотивирует необходимость изучения новых чисел, предварительно создавая проблемную ситуацию. Понятие доли вводится на основе деления на равные части величин: объема (апельсин, пирог), площади (плоские геометрические фигуры), длины (полоски). При ознакомлении с долями у каждого ученика должны быть наглядные пособия, с которыми он работает, повторяя действия учителя. Учитель объясняет: «Делим полоску перегибанием на три равные части, видим, в целой полоске 3 равные части (доли), каждую называют «одна третья» полоски; делим круг на 4 равные части – всего в целом круге 4 четверти, каждую долю называют «одна четвертая». Делим апельсин на дольки, их 5. Доля это каждая из равных частей единицы. После объявления темы, предлагает учащимся взять свои квадраты (заранее приготовлены) и просит их перегибанием разделить на две равные части (показывает, как надо делать). Разрезав по линии сгиба, учитель наложением показывает учащимся, что две половинки равные и одну половинку называет «это одна вторая доля квадрата». После этого просит их показать одну вторую долю своего квадрата. Далее выясняют, что целый квадрат состоит из двух вторых частей. Далее учащиеся аналогичным образом получают одну четвертую долю квадрата. После этого показываем запись долей:  и объясняем: число 2 показывает, что квадрат разделили на две равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть и т.д.. Опираясь на конкретный материал, дети видят: чем больше в целом долей, тем сами доли меньше. Можно в качестве обобщения поставить проблемный вопрос: «Что больше – одна сотая или одна десятая одного и того же отрезка?» Закрепляя понятие доли, учащимся предлагаются вопросы: 1. Объясните, как получить « отрезка»? 3. Круг разделили на 7 равных частей. Как назовете одну такую часть? 4. Отрезок разделили на 4 разные части. Можно ли одну часть назвать «одной четвертой долей отрезка»? 5. Назовите, какая доля прямоугольника закрашена и запишите эту долю. Что обозначают в этой записи числа, записанные выше черты и ниже черты? Сравнение долей Учащимся предлагается взять два круга (или  две полоски бумаги) и разрезанием получить одну вторую и одну четвертую доли. Затем, одну вторую круга накладываем на одну четвертую круга и делаем вывод, что первое больше второго. Предлагаем записать:   >  ,     < . Далее можно научить сравнивать доли, используя отрезки   и  . Предлагаем начертить отрезок и показать дугой одну третью долю. Затем начертим под первым такой же отрезок еще раз и просим показать одну четвертую долю. По длине отрезков делаем вывод, что    > .   Знакомство с решением задачи на нахождение доли числа Для ознакомления с решением задач на нахождение доли числа учителю необходимо сначала провести практическую работу. Учащимся раздаются полоски бумаги длиной 12 см. Полоску бумаги учащимся нужно разделить (перегибанием) на 2 равные части и измерить половину полоски. Учитель проводит следующую беседу. – Сколько сантиметров содержится во всей полоске? (12 см.) – А в половине ее? (Измерим – 6 см.) – Разделите полоску на 4 равные части. Чему равна длина одной четвертой части полоски? – Как это узнать без измерения? (Нужно 12 см разделить на 4, получится 3 см.) – Почему нужно 12 разделить на 4? (Потому, что для получения одной четвертой доли полоску разделили на четыре равные части.) – Проверим результат измерением. Запишем решение: 12 : 4 = 3 (см). При решении других задач достаточно воспользоваться чертежом: число изобразить отрезком, который учащиеся делят на заданное число равных частей, обозначают долю, после чего выполняют решение устно или письменно. В дальнейшем задачи на нахождение доли числа встречаются в задачах, в упражнениях типа: 1. Найди   от 1 м,     от 1 дм. 2. Сколько часов составляет ,   ,    суток?   Знакомство с решением задачи на нахождение числа по его доле При ознакомлении с задачами на нахождение числа по его доле, учителю сначала целесообразно провести практическую работу: – Покажите свои полоски бумаги (полоски должны быть заготовлены заранее так, чтобы длина их была различной, но выражалась четным числом сантиметров). – Покажите   полоски. – Измерьте половину полоски. Чему равна длина    полоски? (Спросить у нескольких учеников.) – Подумайте, чему равна длина всей полоски. Как это узнать без измерения? (Снова спрашивается несколько учеников). – Чему была равна   твоей полоски? – Какова длина всей полоски? Как ты это узнал? – Почему нужно было длину половины полоски умножить на 2? (Потому что во всей полоске содержится 2 раза постольку сантиметров, сколько их в половине.) Проверьте измерением. После этого решить задачу «Длина  полоски равна 4 см. Какова длина всей полоски?», используя чертеж. – Изобразим отрезок, показывающий одну третью часть полоски. (Чертят отрезокдлиной 4 см.) – Какую часть всей полоски показывает этот отрезок? ( ) – Как изобразить весь отрезок? (Взять 3 раза по 4 см.) – Почему? (4 см – это полоски, а во всей полоске будет три трети.) –Начертите какой длины была полоска? (12 см.) – Как узнали? (4 ∙ 3 = 12 (см).) При решении задач на нахождение числа по доле «Найди число, если  его часть равна 8» учителю необходимо научить учащихся рассуждению: «Четвертая часть числа (отрезка) равна 8, а само число (отрезок) будет в 4 раза больше, поэтому по 8 возьмем 4 раза (или 8 умножим на 4) получим 32» и только после этого можно записать решение. Этот образец рассуждения учащиеся должны запомнить. В противном случае они, задачи и упражнения на нахождение числа по его доле, будут продолжать решать делением. Это связано с тем, что в их памяти сохранилось мнение, что «доля – это часть, значит, чтобы ее найти, необходимо делить», и поэтому они ошибочно полагают что «8 делим на 4». Вначале рассматриваются только простые задачи на нахождение доли числа и числа по его доле, а далее эти простые задачи включаются в составные.   Ознакомление с дробями: образование, название, чтение и запись дробей Образование дроби, как и образование доли, рассматривается с помощью наглядных пособий. При объяснении понятия дроби учитель опирается на знания детей о доле. Вспоминают, что такое доля, как она образуется, как записывается. Затем, на основе выполнения различных упражнений, учитель показывает, как записывается дробь и, что обозначает каждое число, над чертой и под чертой. Учитель проводит практическую работу в сочетании с беседой. – Разделите круг на 4 равные части. – Как назвать каждую такую часть? (Одна четвертая круга.) – Покажите две четвертые доли. (Можно закрасить 2 части). – Вы получили дробь – две четвертых. Это записывают так . – Сколькими частями вы покажете дробь  ? (Три четвертые доли.) – Мы записали дроби   и  . – Что показывает число 4? (Число 4 показывает, на сколько равных частей разделили круг.) – А что показывают числа 2 и 3? (Сколько таких равных частей взяли.) – Дроби  и   читают так: две четвертых, три четвертых. Далее предлагаются упражнения с объяснением, того как получены дроби  (дроби можно иллюстрировать кругами)   ,   ,   ,   . После ознакомления с дробями учащиеся выполняют упражнения: 1) на объяснение образования дробей по готовому рисунку; 2) на запись дробей по готовому рисунку; 3) изображение дробей с помощью отрезка (например, покажи  отрезка); 4) на сравнение дробей в основном по изображению равных прямоугольников. 5) определение закрашенной части фигуры Для сравнения дробей обычно используются иллюстрации с равнымипрямоугольниками. Учащимся предлагается начертить 4 одинаковых прямоугольника.   Учитель предлагает следующую систему заданий. – В первом целом прямоугольнике запишем число 1. – Второй прямоугольник разделите на 2 равные части и запишите полученные доли. Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? – Третий прямоугольник разделите на 4 равные части и запишите полученные доли. Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или одна четвертая? Запишем так: (  > ). Какие знаки поставим, чтобы следующие равенства и неравенства были верными:    * ,       *  ,       * ? – Следующий прямоугольник делим на 8 равных частей. Учащиеся отвечают на аналогичные вопросы. Сравнение дробей можно иллюстрировать отрезками. Например, при сравнении дробей    и    ученик выполняет чертеж, рассуждая при этом так: «На отрезке покажу и . Для этого разделю отрезок на 5 равных частей и возьму 2 части. Такой же отрезок разделю на 4 равные части и возьму 3 части. Вижу, что второй от резок, отмеченный дугой, длиннее и поэтому   > . На этапе закрепления предлагаются упражнения на сравнение дробей: 1. Вставьте пропущенный знак «>», «<» или «=».   *  ,       *  ,      *  . 2. Подберите такое число, чтобы равенство (неравенство) было верным:   = ,     > ,     < . Знакомство с решением задачи на нахождение дроби числа Конкретный смысл дроби ярко раскрывается при решении задач на нахождение дроби числа. Решение этих задач, как и задач на нахождение доли числа, выполняется с помощью соответствующих наглядных пособий. Для ознакомления с решением задач на нахождение дроби числа лучше первыми включить задачи с отрезками, так как в этом случае легко иллюстрировать решение. Предлагается решить задачу: «Начертите отрезок длиной 12 см. Сколько сантиметров в   отрезка?». Ученики чертят отрезок заданной длины. Как получить  отрезка? (Разделить отрезок на 3 равные части и взять 2 такие части.) Разделите отрезок на 3 равные части. Как назвать каждую часть? (Одна третья.) Покажите   отрезка. (Ученики проводят сверху дугу и записывают:  ) Сколько сантиметров в   отрезка? (4 см.) Как узнали? (12 : 3 = 4.) Покажите   отрезка. (Подчеркивают дугой снизу две третьих отрезка и подписывают:  ) Как узнать, сколько сантиметров в двух третьих отрезка? (4 ∙ 2 = 8.) Запись на доске и в тетрадях: 1) 12 : 3 = 4 (см) 2) 4 ∙ 2 = 8 (см) После достаточного осмысления последовательности этих двух действий можно решение записывать в виде: 12 : 3 ∙ 2 = 8 (см). Рассматривая еще несколько задач, делаем вывод: чтобы найти, например,   от числа 8, надо это число разделить на 4 и умножим на 3. Позднее задачи на нахождение дроби включаются в составные задачи. К примеру: «С одного опытного участка собрали 45 ц пшеницы, с другого втрое больше. 2/3 всей пшеницы насыпали в мешки по 80 кг в каждый. Сколько получилось мешков пшеницы?». Решение лучше записывать в виде отдельных действий: 1) 45 ∙ 3 = 135 (ц) – пшеницы собрали с другого участка; 2) 135 + 45 = 180 (ц) – пшеницы собрали с двух участков; 3) 180 : 3 ∙ 2 = 120 (ц) – пшеницы насыпали в мешки; 4) 12000 : 80 = 150 (мешков) – пшеницы получилось. К концу обучения в начальной школе учащиеся должны уметь: 1. Показывать и называть доли прямоугольника, круга и отрезка. 2. Читать и записывать доли в виде дроби со знаменателем, не превышающим число 10. 3. Решать задачи на нахождение доли числа и числа по его доле. 4. Показывать и называть часть прямоугольника, круга, отрезка. 5. Читать и записывать обыкновенные дроби со знаменателем, не превышающим числа 10; пользуясь записью дроби, сказать, на сколько равных частей, долей разделена величина и сколько таких частей взято. 6. Уметь сравнивать дроби, опираясь во всех случаях на рисунок. 7. Решать задачи на нахождение дроби числа.  Книга 1. Методика формирования у младших школьников представлений о геометрических фигурах 1.1 Общие вопросы изучения геометрического материала «Положение геометрии по сравнению с другими школьными предметами в своём роде уникально: ни один предмет первоклассники так не готовы воспринимать, как наглядную геометрию. В тоже время ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозданием (по отношению к благоприятному моменту), как геометрию» Шарыгин И. Ф. Изучение геометрического материала занимает значительное место в развивающих программах и изучается в течение всего периода начального обучения. Как правило, отдельные вопросы, относящиеся к теме, не выделяются в отдельные блоки, а переплетаются с изучением основного – арифметического – материала. Изучение геометрического материала обеспечивает числовую грамотность учащихся, дает им начальные геометрические представления, формирует у них элементы конструкторского мышления и конструктивных умений. Работа с геометрическими объектами позволяет активно использовать наглядно-действенный, наглядно-образный и наглядно-логический уровни мышления, которые наиболее близки младшим школьникам и опираясь на которые дети выходят на высшую ступень в своем развитии – словесно-логический уровень. Одной из основных задач знакомства с геометрией в курсе математики начальной школы является развитие пространственного воображения у ребенка, умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать и абстрагировать. Как доказано психологами, возраст ученика начальной школы является наиболее благоприятным в жизни человека возрастом для развития образного (а значит, и пространственного) мышления, формирования приемов умственных действий (сравнения, обобщения, абстрагирования и других). Сравнение – сопоставление объекта познания с целью нахождения сходства и различия. Эти операции и лежат в основе всех других мыслительных операций. Анализ – мысленное расчленение предмета познания на части. Синтез – мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое. Абстракция – это мысленное выделение каких либо существенных свойств и признаков. Обобщение – а) мысленное выделение общих свойств в 2-х или в нескольких объектах и объединение этих объектов в группы; б) мысленное выделение в объекте, или нескольких объектах в результате анализа их существенных свойств в виде общего понятия для целого класса объектов. Конкретизация – а) мысленный переход от общего к частному; б) восхождение от абстрактно-общего к конкретно-частному путем выявления различных свойств и признаков. К геометрическим заданиям, специально направленным на развитие у младших школьников пространственных представлений и воображения, их речи и мышления, на формирование практических умений и навыков можно отнести задания на: а) классификацию геометрических фигур; б) деление фигур на части; в) составление геометрических фигур заданной формы из других фигур; г) вычленение фигур на чертеже сложной конфигурации; д) распознавание фигур знакомых видов в окружающей обстановке; е) выяснение геометрической формы предметов или их частей. Кроме этого важной задачей является необходимость формирования у ребенка практических умений измерения и построения геометрических фигур с помощью циркуля, угольника и линейки. Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. В геометрии изучают форму и размер предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От этого всего отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура». Работа с геометрическими объектами позволяет активно использовать наглядно-действенный, наглядно-образный и наглядно-логический уровни мышления, которые наиболее близки младшим школьникам. Младшие школьники проявляют большой интерес к изучению геометрического материала, легко запоминают названия геометрических фигур и выделяют их свойства в процессе практических действий с ними. Поэтому перечень геометрических понятий, с которыми они знакомятся, можно расширить, включив в программу такие понятия, как «шар», «круг», «окружность», «симметрия». Это положительно скажется как на развитии пространственного мышления ребенка, так и на формировании навыков работы с линейкой, угольником, циркулем. Цели изучения геометрического материала в начальной школе: 1. Развитие пространственного мышления (умение создавать и оперировать пространственными образами: образами, в которых выделены форма, расположение в пространстве, взаимное положение элементов). 2. Ознакомление ребенка с органичными для него геометрическими методами познания как естественной составляющей математических методов. 3. Развитие словесно-логического мышления (умений анализировать, сравнивать, обобщать, абстрагироваться), пространственного воображения. 4. Накопление запаса представлений о геометрических фигурах. 5. Подготовка школьников к усвоению систематического курса геометрии. Основные положения, лежащие в основе формирования геометрических представлений: – при формировании геометрических представлений необходимо идти от реального предмета определенной формы к геометрической фигуре как к его образу, так и, наоборот: от фигуры к реальному предмету; –  в НКМ система основных неопределяемых понятий более обширна, чем в среднем и старшем звене, поэтому попытка ввести раннюю формализацию при ознакомлении с геометрическими фигурами приводит к завышенным программным требованиям и возникновению ошибок; – при ознакомлении с геометрически материалом ведущую роль играют систематически проводимые практические работы по формированию умений и навыков (связанные с применением чертежных и измерительных инструментов, выполнением чертежей). При этом необходимо формировать умение словесно описывать выполняемые действия, умение применять принятую символику и терминологию, наблюдать, сравнивать, классифицировать. Принципы обучения элементам геометрии (И.В.Шадрина): – полнота математического образования; – адекватность уровню психического развития ребенка; – реализация развивающих возможностей процесса усвоения геометрических знаний; – системность развертывания содержания обучения на основе реализации фузионистского подхода и выделения свойств геометрических фигур как инвариантов преобразования от качественных к метрическим (от общих представлений о пространстве и отношениях между элементами, которые выделяются непосредственно, к выявлению и дифференцированию элементов, лежащих на более глубоких структурных уровнях). В соответствии с последней редакцией обязательного минимума содержания образования по математике для начальных классов список изучаемых геометрических понятий значительно расширился по отношению к предыдущим вариантам программы. Общая тенденция геометризации курса школьной математики коснулась и начальных классов. Таким образом, насыщение курса математики начальной школы геометрическим содержанием является перспективной линией развития математического образования начального звена. В соответствии ФГОС НОО (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 6 октября 2009 г. N 373) требованиями к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования с учетом специфики содержания предметных областей обязательный минимум содержания образования по математике содержит следующий перечень понятий геометрического характера: точка; линии: прямые, кривые; отрезок; угол; прямой угол; многоугольники: треугольник, прямоугольник, квадрат; вершины и стороны многоугольника; окружность и круг; куб; шар; измерение длины; измерение площади; вычисление площади прямоугольника. Изучение геометрии в средней школы состоит из четырех курсов: 1 курс «Наглядная геометрия» (изучается в начальной школе). Цели: ознакомление со свойствами плоских и пространственных фигур, приобретение умений и навыков их изображения, усвоение основной геометрической терминологии. Основные виды учебной деятельности: – наблюдение и изготовление (рисование) двухмерных, трехмерных геометрических фигур из бумаги, картона и пластилина; – измерение, моделирование; – несложные геометрические эксперименты для установления простейших свойств фигур (равенства, равновеликости, симметричности). 2 курс «Практическая геометрия» (изучается в 5-6 классах). 3 курс «Систематический курс геометрии» (традиционно состоит из двух частей планиметрии, изучаемой в основной школе 7-9 классы и стереометрии, изучаемой в старшей школе 10-11 классы). Задачи изучения геометрического материала в начальной школе Систематизировать имеющийся жизненный опыт учащихся и осознать геометрические формы как образы предметов окружающего мира; 1. Ознакомление с различными геометрическими фигурами (точка, прямая, отрезок, луч, угол, многоугольники и их виды, окружность, круг); 2. Развитие логического мышления (умения доказательно рассуждать, аргументировать свои выводы). Изучение геометрии является источником активного интеллектуального развития; 3. Формирование пространственных представлений; 4. Приобретение навыков изображения геометрических фигур: черчение с помощью инструментов (линейки, угольника, циркуля); пользоваться возможностью клетчатой бумаги; 5. Овладение некоторыми видами конструктивной геометрической деятельности: вырезанием из бумаги геометрических фигур, разбиением фигуры на части и составление фигур из частей; 6. Ознакомить с различными единицами измерения длины и площади, знать и применять основные из них; научиться пользоваться для измерения и сравнения длин и площадей линейкой и клетчатой бумагой; приобретение опыта измерения и вычисления длин ломанных и площадей плоских фигур; научиться оценивать расстояния на глаз. 7. Подготовка к дальнейшему изучению геометрии. Решению задач обучения наглядной геометрии и преодолению трудностей в изучении геометрического материала у учащихся во многом способствует правильная организация и методика преподавания. Последовательность развития геометрических представлений: – топологические (положение); – проективные (форма); – метрические (геометрические величины). Методы обучения Существуют различные подходы к выделению этапов формирования представлений о геометрических фигурах. С точки зрения Н. Г. Салминой, изучение геометрического материала может быть организовано через реализацию следующих этапов (43). 1. Развитие топологических пространственных представлений, характеризующихся умением выделять объект на фоне, менять объект и фон местами, видеть внеположенность объектов, расположение относительно друг друга, выделять контур предмета, выделять области на основе интуитивных представлений о непрерывности и связности, различать внутреннюю и внешнюю области, границу фигуры. 2. Создание пространственных представлений, обладающих свойством полноты относительно взаимного положения объектов (без внимания к форме объекта), через развитие образной памяти. 3. Развитие умения менять точку отсчета и пространственных проективных представлений (направленность на форму объектов, без внимания к метрике). 4. Выход в пространство с постоянно меняющейся точкой отсчета (геометрическое пространство). 5. Формирование представлений о конкретных геометрических фигурах и геометрических отношениях на основе общей схемы формирования представлений о геометрическом объекте. 6. Уточнение пространственных образов в плане метрики. 7. Знакомство с элементами логики. 8. Формирование системы представлений – предпонятий на основе умения отличать род и видовые отличия геометрической фигуры. 9. Знакомство со структурными единицами пространственного воображения - преобразования (в частности, движениями). По мнению Н.Б.Истоминой, изучение любой фигуры предполагает: – на 1 этапе – подготовительном – выяснение и уточнение имеющихся у детей общих представлений о геометрических фигурах, восприятие фигуры как целостного образа; –  на 2 этапе – формирование представлений о геометрических фигурах, осознание некоторых существенных признаков и свойств геометрических объектов, установление взаимосвязи меду ними. В соответствии с программой Л. В. Занкова формирование геометрических представлений состоит из следующих этапов: 1. Выявление знаний учащихся о геометрических фигурах; 2. Первичное знакомство с геометрической фигурой на основе наблюдений и практической работы; 3. Выделение существенных признаков геометрической фигуры; 4. Конструирование и моделирование геометрической фигуры из определенного количества палочек, полосок, бумаги, проволоки, бумаги, проволоки, пластилина; 5. Выделение знакомого образа геометрической фигуры в контурах предметов окружающей обстановки, на чертеже; 6. Разбиение множества геометрических фигур (отрезок, угол (прямой, тупой, острый), прямоугольник, квадрат и т.д.) на клетчатой бумаге; 7. Привитие навыков измерение длины отрезков, величины углов (с помощью линейки, транспортира) 8. Вычленение знакомого образа геометрической фигуры из совокупности фигур по существенным признакам; 9. Формирование элементарных навыков чтения геометрических чертежей с использованием буквенных обозначений; 10. Формирование навыков определения периметра, площади треугольника (квадрата), величины угла; 11. Знакомство с отдельными стереометрическими телами. М. Н. Шардаков берет за основу следующий план формирование геометрических понятий: 1. Организация наблюдений единичных предметов и явлений. Учащимся дается наглядное представление о явлении, предмете с помощью выразительных наглядных пособий; при этом новые понятия даются в тесной связи с уже известными учащимся понятиями. Если позволяют условия, рекомендуется дать учащимся возможность манипулировать с предметом, понятие о котором они изучают (работа с раздаточным материалом). В процессе всей работы по усвоению понятий внимание школьников акцентируется на общих существенных признаках изучаемых предметов. 2. Обогащение наблюдений. С этой целью организуется наблюдение учащимися возможно большое количество разнообразных предметов, относящихся к изучаемому понятию. Наблюдая большое количество разнообразных новых предметов, учащиеся легче всего могут обнаружить как общие существенные признаки и свойства, связи и отношения, так и несущественные индивидуальные признаки. 3. Выделение общих существенных признаков изучаемых предметов. После того как знания учащихся обогатятся достаточным количеством наблюдений разнообразных признаков и свойств предметов, связей и отношений, они начинают выделять общие существенные признаки и отношения. Этот мыслительный процесс происходит при помощи абстрагирования и анализа отдельных признаков предметов, отношение между ними, сравнение сходных признаков и связей и, наконец их синтезирования и обобщения. В результате такой мыслительной работы школьники выясняют общие и существенные признаки понятий. 4. Уточнение. Чтобы приобретенные школьниками понятия о предметах действительно были не расплывчатыми, а точными, определенными, необходимо уточнить их и, пользуясь сравнением, отличить от родственных или сходных понятий. Такое сравнение делает знание учащихся об изучаемом явлении более четкими, следовательно, и понятие о нём становится ясным, определенным и от дифференцированным от всех других понятий. 5. Определение понятий. После проделанной работы по формированию понятий рекомендуется дать его определение. Определение должно охватывать все общие существенные признаки понимания. В то же время оно не должно включать частное второстепенное. При этом определение должно быть выражено в краткой форме. В определение указывается: к какой группе, роду принадлежит данный предмет (свойство); каковы его отличительные признаки. 6. Упражнения по практическому применению понятий и проверка их усвоения. После того как учащиеся ознакомились с общими существенными признаками понятия, необходимо проверить на сколько сознательно они усвоили понятие, и научить оперировать понятием. Это достигается с помощью различного рода упражнений. Характер упражнений зависит от содержания понятия. В одних случаях это может быть вычерчивание чертежей, в других решение задач. 7. Расширение и углубление понятий. Предыдущим этапом не заканчивается работа по усвоению понятий. в процессе дальнейшего обучения учащиеся глубже знакомятся с содержанием понятий и изучают связи и отношения между различными понятиями одной и той же науки, а затем и разных наук. Очень важно при изучении геометрических фигур варьировать несущественные признаки геометрических фигур, подчеркивая при этом, что существенные признаки остаются неизменными. Формирование измерительных и чертежных навыков осуществляется в определенной последовательности (поэтапно): – показ действия учителем с комментированием его выполнения; выполнение этого действия учеником совместно с учителем или под его руководством; – громкое проговаривание учеником приемов выполнения действия; самостоятельное выполнение действия учеником (учитель контролирует его правильность); – объяснение приемов работы с помощью наводящих вопросов; автоматизация навыка путем многократного повторения; – умение самостоятельно объяснить приемы работы. Учащихся необходимо познакомить с приемом сравнения. С этой целью можно снова прибегнуть к составлению определенного алгоритма сравнения фигур. Например, при сравнении сходных и слабо дифференцируемых фигур (прямоугольника и любого параллелограмма) учащимся можно предложить такую схему: 1) вид многоугольника; 2) стороны, их число и свойства сторон; 3) углы, их число и свойства углов; 4) диагонали, их число и свойство диагоналей; 5) высоты. Формированию и развитию геометрических и пространственных представлений существенно содействует решение задач геометрического содержания. Это задачи, связанные с разного рода моделированием геометрических фигур, вычленением их на заданном чертеже, рисунке, предмете. Это деление фигуры с помощью точек, отрезков и построение новых фигур. Это задачи на измерение отрезков, площадей, поверхностей и объемов фигур. Это также задачи на построение фигур с помощью линейки, циркуля, треугольника без учета размеров и с заданными параметрами, задачи на классификацию фигур, задачи, связанные с формированием навыков чтения чертежей, использованием буквенной символики. Особое внимание при изучении геометрического материала в младших и старших классах учитель обращает на обогащение словаря учащихся специальными терминами, новыми словами и выражениями. Необходимо работать над тем, чтобы за каждым словом и термином стоял конкретный образ, чтобы учащиеся чаще включали в свой активный словарь новые слова, геометрические термины. Этому способствует составление специальных геометрических словариков, использование плакатов с новыми для учащихся словами. Средства обучения: – модели геометрических фигур (набор из 24 геометрических фигур: целесообразно иметь четыре различные геометрические фигуры: треугольник, квадрат, круг, пятиугольник, эти фигуры должны быть разного цвета: красного, желтого, зеленого и быть разного размера (большими и маленькими)); – модели геометрических тел (куб, прямоугольный параллелепипед, пирамида, шар, конус, цилиндр); – плакаты с изображением фигур; – измерительные инструменты: линейка, рулетка, циркуль, треугольник. – модели единиц измерения площади (палетка), объема; – пластилин; – цветные мелки; – дидактические игры (геометрическое лото, домино). 1.2 Методика ознакомления с геометрическими фигурами: точка, прямая, кривая, ломаная, отрезок, звено ломаной, многоугольник Рассмотрим процесс ознакомления с геометрическими фигурами: точка, прямая, кривая, ломаная, отрезок, звено ломаной, многоугольник в следующем порядке. 1. Теоретические основы и определение понятий. 2. Методика формирования изучаемых понятий по плану М. Н. Шардакова: а) определение понятий; б) организация наблюдений единичных предметов и явлений; в) обогащение наблюдений связь алгебраического материала, с другими составляющими частями курса математики; г) выделение общих существенных признаков изучаемых предметов; г) уточнение понятия о предметах, пользуясь сравнением, отличить от родственных или сходных понятий; д) определение понятий; е) упражнения по практическому применению понятий и проверка их усвоения; ж) расширение и углубление понятий. 3. Закрепление понятий в процессе выполнения упражнений. Древнегреческий геометр Евклид говорил, что «точка – это то, что не имеет частей». Точкой является отверстие, оставленное иглой в листе бумаги, жук на поверхности земли, город на географической карте, звезда на небе или наша планета в Солнечной системе. При пересечении двух линий образуется точка, возможно, не одна. Точки принято в математики обозначать заглавными латинскими буквами А, В, С, … Любое геометрическое тело, поверхность, линия, любая геометрическая фигура состоит из точек, или, как говорят математики, представляет собой множество точек. Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек. Линия – неопределяемое понятие геометрии. Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости. Точки обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: A, B, C, D, … Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, …Прямую можно обозначить также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Отрезком называют часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концам отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов AB. Основное свойство измерения отрезков выражено в следующей аксиоме: «Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой». Лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Это точка называется началом луча. Ломаная линия – фигура, состоящая из нескольких точек (вершины ломаной) и соединяющих их отрезков (звеньев). Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений, замкнутой – если у нее совпадают концы. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев ломаной. Звено ломаной – это каждый из отрезков, составляющих ломанную линию. Ломанная линия может быть замкнутой и не замкнутой. Замкнутая ломаная – ломаная, не имеющая самопересечений, ограничивает многоугольник. Многоугольник – это плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, при этом соседние звенья ломаной не лежат на одной прямой. Концы ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной называют сторонами многоугольника. Диагоналями многоугольника, называются отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника. Процесс изучения геометрического материала должен быть от начала до конца активным, конкретным, наглядным. Преподавание элементов геометрии невозможно сделать действенным, если учащиеся только наблюдают работу учителя или учащегося с наглядными пособиями. Каждый ученик должен на уроке математики работать с раздаточным геометрическим материалом. Поэтому наборы раздаточного дидактического материала должны находиться как у учителя, так и у учащегося. В качестве наглядных средств используются модели геометрических фигур, тел, изготовленные из цветного картона или плотной бумаги, дерева, пластмассы и других материалов, плакаты с изображением фигур, реальные конкретные предметы, которые по форме тождественны или имеют сходство с изучаемыми геометрическими фигурами, чертежи геометрических фигур, тел. Кроме этого для наглядности геометрических понятий широко используется метод моделирования. Моделирование: – это процесс создания моделей и действия с ними, позволяющие исследовать отдельные, интересующие качества, стороны, свойства объекта; – это метод познания через модели; – это замена действий с реальными предметами, действиями с их уменьшенными образцами, моделями, муляжами, макетами; – это замена действий с реальными предметами, действиями их графическим заменителем: рисунок, чертежи, схемы. Для изучения геометрического материала недостаточно только учителю демонстрировать различные научные модели и показывать процесс моделирования отдельных явлений необходимо чтобы учащиеся сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования. Приведем примеры моделирования изучаемых понятий темы 1.2. Изучаемая фигура Получение модели Точка Ставим на доске конец мела, в тетради – острие ручки и получим след – это и есть точка. Линия След мела на доске, карандаша на бумаге, нитка на столе - модель линии. Кривая линия Двое держат нить за концы и она провисает. Прямая линия Двое натягивают нить – получаем прямую (концы нити уходят далеко-далеко!). Луч Отрежем натянутую нить и получим начало, а конец уходит далеко-далеко. Отрезок Отрежем часть натянутой нити в двух местах и получим отрезок. Ломаная Берем проволоку (мягкую) в виде отрезка и в нескольких местах сгибаем. Получим ломаную. Замкнутая линия Соединяем концы этой проволоки и получим замкнутую линию. Незамкнутая линия Разъединяем концы – незамкнутая линия. Формирование представлений о геометрической фигуре «точка» С точкой учащиеся знакомятся с первых шагов обучения в 1 классе. Учитель с помощью заданий: «Поставьте точку посередине клетки. Поставьте точку посередине левой стороны клетки и т.д.» – учит ориентироваться в клетке. Затем эти знания используются при письме цифр. При объяснении написания цифр, учитель говорит, где начинать писать и где заканчивать. Ставя точки в клетках, затем дети соединяют их линией и рисуют различные узоры по образцу, данному учителем. После знакомства с прямой линией дети учатся ставить точки на прямой, проводить прямые линии через 1, 2, 3 заданные точки относительно прямой линии. Когда происходит знакомство с элементами многоугольника, учащиеся узнают о том, что вершины многоугольников – это точки. В дальнейшем дети знакомятся с обозначением точек латинскими буквами. Учитель поясняет, что для различения точек на чертеже принято обозначать их заглавными латинскими буквами, например: П, К, М, N. О, А и т.д., которые пишутся около точки. Формирование представлений о геометрических фигурах «прямая линия» и «кривая линия» Формирование представлений о прямой линии у первоклассников происходит в процессе выполнения ими разнообразных упражнений. При этом прямую линию сопоставляют с кривой линией. Например, натягивают нить (шнур), затем ослабляют нить так, чтоб она провисла; рассматривают рисунки, на которых изображена прямая дорога и извилистая тропинка; разрезают лист бумаги по линии, полученной перегибанием листа и т.д. каждый раз выясняют, какая получилась линия – прямая или кривая. Дети должны научиться узнавать прямую линию, начерченную в любом положении на плоскости, отличать ее от кривой, уметь проводить прямые, используя линейку. Отличие прямой от кривой в том, что она задает кратчайшее расстояние между заданными точками. В процессе выполнения упражнений, дети знакомятся с некоторыми свойствами прямой, например, упражняясь в проведении линий через точки, дети обобщают свои наблюдения: • через одну точку можно провести сколько угодно прямых или кривых линий; • через две точки можно провести только одну прямую, а кривых сколько угодно. Рассмотрим фрагмент урока «открытия» нового знания по образовательной программе «Школа 2000...» руководитель Л. Г. Петерсон по теме «Точки и линии» 1 класс. 1.  Формирование представлений о понятиях «точка» и «линия», способах обозначения точек. - Встречались ли вы с точкой? (Да.) - Где? (На уроках обучения грамоте, в книгах, …) - Что она вам напоминает? (Маленький кружочек.) - Верно, она напоминает маленький кружочек. Но когда мы ее пишем, рисуем ли мы кружки? (Нет.) - Как же правильно изображать точку. Кто из вас играл в классики? Учащиеся поднимают руки. - Когда вы прыгаете, то касаетесь начерченных клеточек одной ногой, оставляя след. Согласны? - А если мы будем касаться кончиком карандаша или ручки бумаги, то на бумаге тоже останется след. Попробуйте. Учащиеся пробуют маркером поставить точку на индивидуальных планшетках. - Что вы получили? (Точку.) - Как же правильно ставить? (Нужно один раз коснуться кончиком карандаша листа бумаги.) - Поставьте еще три точки. Учащиеся ставят на планшетках еще три точки. - Сколько точек вы получили? (Всего четыре.) - Покажите на планшетках первую точку, вторую, третью, четвертую. Учащиеся показывают на планшетках свои точки. - В математике принято давать названия точкам. Их называю буквами алфавита. Давайте назовем первую точку буквой А. Учитель показывает на доске образец обозначения точки. - Какой буквой я обозначила точку? (Заглавной буквой А.) - Какими буквами обозначают точки? (Заглавными.) - Обозначьте оставшиеся три точки. Учащиеся самостоятельно обозначают точки на планшетках. - Как вы обозначили? Учащиеся показывают свои планшетки. В случае выявления ошибок проводится коррекционная работа. - А что будет, если карандаш не отрывать от листа бумаги, а наоборот, сделать им движение по бумаги? Попробуйте. Один ученик работает у доски, остальные учащиеся работают на планшетках. - Покажите ваши планшетки. Посмотрите на доску. что вы получили? (Мы получили линии.) - Что еще мы будем изучать на уроке? (Мы еще будем изучать линии.) Учитель открывает на доске вторую часть темы «Линии». - Давайте разбираться, что такое линии. С каким образом мы сравнили точку? (Один след человека.) - А как получить линию? (Нужно оставить несколько следов.) - Раз точка – это один след карандаша, то линия – это? (Несколько следов карандаша.) - Верно, когда мы рисуем линию, карандаш или ручка оставляет множество точек. Значит, из чего состоит линия? (Из точек.) 2. Пробное действие. - Что мы с вами повторили и узнали? (Мы потренировались в счете, узнали, как правильно изображать и обозначать точку, что такое линия.) -  Какое задание вы сейчас получите? (Задание, в котором есть что-то новое.) -  Для чего? (Чтобы мы сами поняли, что мы еще не знаем.) Учитель раздает учащимся карточки с заданием для пробного действия   - Попробуйте на данном рисунке определить только линии и разбить их на две группы. Одну группу обведите синим карандашом, а другую – красным. Учащиеся самостоятельно выполняют пробное действие на карточках. - У кого есть ответ? Учитель фиксирует на доске варианты. Вероятнее всего, учащиеся не отнесут геометрические фигуры к линиям. В данном случае фиксируется затруднение следующим образом: - Никто не смог выполнить это задание правильно. Что показало ваше пробное действие? (Мы не смогли правильно найти линии на рисунке.) В случае, если правильный ответ был получен, учитель предлагает учащимся обосновать свои действия. Учащиеся не могут обосновать. - Итак, что показало ваше пробное действие? (Мы не можем обосновать.) - Какой же наш следующий шаг на уроке? (Нужно подумать над нашим затруднением.) 3. Выявление места и причины затруднения. Цель:выявить и зафиксировать место и причину затруднения. Организация учебного процесса на этапе 3: - Какое задание вы выполняли? (Мы определяли на рисунке линии и разбивали их на две группы.) - Чем это задание отличалось от предыдущих? (Мы пробовали только нарисовать линию, а какие линии бывают, мы не знаем.) - В чем возникло затруднение? (В определении, является фигура линией или нет, в определении видов линий.) - Почему возникло затруднение? (У нас правила, по которому мы могли бы определять виды линий.) 4. Построение проекта выхода из затруднения. Цель: 1) согласовать и зафиксировать цель и тему урока; 2) построить план и определить средства достижения цели. Организация учебного процесса на этапе 4: - Какую же цель мы перед собой поставим? (Открыть способ, с помощью которого мы могли бы определять виды линий.) - Давайте думать, что нам поможет. Что мы узнали в начале урока? (Линии состоят из точек, линии можно провести.) - Как это поможет? Что вы должны были разбить на группы? (Линии.) - Значит, что сначала нужно было определить? (Является фигура линией или нет.) - Как это можно определить? (Провести ее.) - А когда вы будете проводить линии, обратите внимание, как вы будете ее проводить. Для этого обозначьте точку начала линии буквой А. - Итак, как вы будете работать? (Мы попробуем провести по контуру каждой фигуры линию, обозначая начало точкой А.) 5. Реализация построенного проекта. Цель: 1) организовать коммутативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний; 2) организовать фиксацию построенного способа действия в речи и знаково (с помощью эталона); 3) организовать уточнение общего характера нового знания. Организация учебного процесса на этапе 5: - Итак, выполните наш план в парах. Учащиеся работают в парах, в случае затруднения учитель организует работу фронтально. Учащиеся по цепочке выходят к доске и доказывают, что каждая фигура является линией. При этом отмечают начало линий точкой А. Далее организуется подводящий диалог: - Сколько линий вы видите на рисунке? (Все фигуры являются линиями.) - Что вы заметили? (Есть линии, которые имеют начало и конец, а есть линии, которые возвращаются в начало.) - Придумайте название линиям. Учащиеся предлагают названия линиям. - В математике принято называть линии замкнутые и незамкнутые. - Какие линии называются не замкнутыми? (Линии, у которых есть начало и конец.) - Обозначьте конец у незамкнутых линий буквой Б. - Какие линии называются замкнутыми? (Линии, которые возвращаются в начало, не имеют начала и конца.) Если учащиеся работали в парах, учитель предлагает учащимся самим представить свои результаты. Варианты представления: - Мы выяснили, что на рисунке все фигуры являются линиями, так как можно провести по контуру, не отрывая карандаш. При этом мы заметили, что есть линии, которые имеют начало и конец, а есть линии, без начала и конца (они возвращаются в начало). Поэтому признаку можно разбить линии на две группы. - Как же назвать эти виды линий? Учащиеся предлагают свои названия. - В математике принято называть линии замкнутые и незамкнутые. - Какие линии называются не замкнутыми? (Линии, у которых есть начало и конец.) - Обозначьте конец у незамкнутых линий буквой Б. - Какие линии называются замкнутыми? (Линии, которые возвращаются в начало, не имеют начала и конца.) Далее, независимо от того, проводилась работа фронтально или в парах, организуется правильное выполнение задания на пробное действие и составление эталона. - Итак, вернемся к заданию, в котором возникло затруднение. Вы справились с затруднением? (Да.) - Какие же линии вошли в первую группу? - Какие линии вошли во вторую группу? - Как будет выглядеть эталон. Какие линии бывают? (Замкнутые и незамкнутые.) Учитель вывешивает на доску заготовку эталона   -        В чем отличия? (В замкнутой линии начало и конец совпадают, а у незамкнутой линии есть начало и конец.) Учитель наносит маркером обозначения на эталон:   - Давайте проверим наше «открытие». Учитель раздает учащимся эталоны - Сделайте вывод. (Мы все «открыли» правильно.) - Что нам позволяет новый способ? (Определять, является ли линия замкнутой или нет.) - Какой следующий шаг на уроке? (Закрепить новый способ.)   Формирование представлений о геометрической фигуре «отрезок» Для введения понятия отрезок существует два приема. Первый – как геометрического объекта, соединяющего две точки. В этом случае исходным понятием для отрезка является понятие точки. Второй – как части прямой, лежащей между двумя заданными точками. В этом случае отрезок «возникает» из прямой. Опираясь на данный подход, в дальнейшем можно ввести понятие луча (как части прямой, лежащей по одну сторону от заданной на ней точки). С отрезком дети знакомятся практически: отмечают на прямой две точки, и учитель спрашивает: «Как можно назвать эту часть прямой от одной точки до другой?» Затем поясняет, что эту часть прямой от одной точки до другой называют отрезком прямой, а точки – концами отрезка. Затем отрезок сравнивают с прямой и делают вывод, что отрезок ограничен, а прямая – не ограничена, мы изображаем на бумаге только части прямой. Можно для введения понятия отрезка использовать метод демонстрации. Учитель вызывает двух учеников и предлагает им натянуть в руках нитку или верёвку. Показывает концы нити и формулирует определение. Расстояние между концами нити – ϶то отрезок. После получения наглядной модели учитель просит детей привести примеры отрезков, которые можно увидеть в классной комнате. Учащиеся показывают, какие предметы в классе имеют вид отрезка (указка, край стола, палочки разной длины, стороны знакомых геометрических фигур, край парты и т.д.) Следующий этап – ϶то изображение отрезков на доске и в тетради. Учитель говорит, что чертить отрезок нужно по линейке, т.к. край линейки – ϶то тоже отрезок. Концы отрезка обозначаются чёрточками. Давайте продумаем, какие действия нужно выполнить, чтобы начертить отрезок заданной длины. Дети составляют план. 1. Поставить точку – начало отрезка. 2. Совместить нулевую отметку на линейке с началом отрезка. 3. Провести по линейке прямую линию. 4. Закончить линию на отметке, соответствующей заданной длине отрезка. 5. Обозначить концы отрезка чёрточками. Затем показывается, как измерить длину отрезка. В дальнейшем, длина отрезка используется для нахождения длины ломаной линии и суммы длин сторон прямоугольника и треугольника. Многие учителя с отрезком знакомят уже в 1 классе в связи с изображением условия задачи с помощью отрезков. Это не приводит к перегрузке, т.к. учащиеся уже имеют практические представления о расстоянии, о сложении расстояния и т.п. В связи с решением задач, некоторые учителя, и обозначение отрезков вводят намного раньше. После изучения понятия отрезка полезно выполнять следующие упражнения: 1. Отметь на бумаге три точки и соедини их попарно отрезками. Сколько отрезков получится? 2. Какую фигуру образуют построенные отрезки? 3. Отметь на отрезке АВ точку С. Сколько отрезков на полученном чертеже? Из каких отрезков состоит отрезок АВ? До измерения отрезков вводится понятие о равных и неравных отрезках. Разъясняется способ установления этих отношений (наложением). В дальнейшем после знакомства с «см», «дм», «м» и т.д. учащиеся выполняют большое количество упражнений в измерении и черчении отрезков, решают задачи с отрезками (на увеличение и уменьшение на несколько единиц, и т.д.). В ходе изучения геометрических фигур точка и отрезок приобретают другие свойства: они становятся их вершиной, стороной. Выделяя элементы многоугольников, учащиеся устанавливают, что стороны многоугольников – отрезки. Когда учащиеся познакомятся с обозначением отрезков буквами, даются письменные упражнения, которые закрепляют умения выделять отрезки, являющиеся частями других отрезков, а также отрезки, составленные из других отрезков. Например, предлагают записать все отрезки, которые имеются на чертеже, записать отрезки с началом в точке О, измерить с помощью линейки и выписать равные отрезки. При решении задач с взаимопроникающими элементами учащиеся осознают, что отрезок может быть общей стороной нескольких многоугольников, и, опираясь на это, выполняют упражнения на построение отрезков внутри многоугольников так, чтобы при этом образовались новые фигуры. Например, провести внутри пятиугольника один отрезок так, чтобы при разрезании получились треугольник и прямоугольник или два прямоугольника. Такие упражнения развивают у детей воображение и пространственные представления, а также закрепляют геометрические понятия. Во втором классе представление о точке, прямых, кривых и отрезке уточняются, формируется умение обозначать точки, прямые и отрезки буквами. Рассмотрим фрагмент урока «открытия» нового знания 2 класс по образовательной программе «Школа 2000...» руководитель Л. Г. Петерсон по теме «Точка. Прямая и кривая линии. Отрезок». Возьмите в руки линейку и карандаш и скажите, в какой области математики они будут первыми помощниками? (В геометрии.) – Верно, и на сегодняшнем уроке вы повторите и уточните свои знания о геометрических фигурах. И вы узнаете что-то новое о них. А значит, как будет организован урок? (Сначала мы повторим необходимые знания, потом вы дадите задание, в котором будет что-то новое, мы попробуем его выполнить и, скорее всего, не получится. Мы постараемся понять, чего мы не знаем, и сами построить способ, …) – Готовы к такой работе? Тогда в путь по стране Геометрии. 2. Актуализация и пробное учебное действие. Цель: 1) актуализировать представление о точке и отрезке, способе их изображения; 2) сформировать способность к обозначению точек заглавными латинскими буквами; 3) тренировать мыслительные операции: анализ, сравнение, классификация; 4) актуализировать норму пробного учебного действия; 5) организовать самостоятельное выполнение учащимися индивидуального задания на применение нового знания и фиксацию возникшего затруднения в выполнении пробного действия или его обосновании. Организация учебного процесса на этапе 2: 1) Точка. Способ ее изображения. – Ваши карандаши тоже готовы. Линейку пока отложите в сторону, а для карандашей я предлагаю провести разминку. Какое самое простое задание может выполнить карандаш с вашей помощью? (Поставить на бумаге точку.) – Коснитесь стола кончиками пальцев так, чтобы было похоже на точку. – Хлопните в ладоши так, будто хлопок – это точка. – Как правильно отметить точку? (Одним касанием хорошо отточенного карандаша.) – Откройте тетрадь и поставьте точку так, как только что проговорили. Учитель вместе с детьми ставит точку мелом на доске. – Итак, вы отметили… (Точку.) Повесить карточку на доску рядом с точкой. · ТОЧКА Раздать карточки № 1. 2) Обозначение точек. – У вас хорошо получилось отметить точку. Посмотрите на неё внимательно. Какие размеры имеет точка? (Точка не имеет размера.) – А теперь найдите и обведите на карточке изображение, которое точнее передаёт смысл понятия «точка».                                                     – Покажите свои карточки. Вы все обвели изображение А. Почему? (Потому, что это изображение наиболее точно передаёт смысл понятия «точка» – она не имеет размера. Образ точки – след от хорошо отточенного карандаша.) – А что нового и необычного вы заметили в задании? (Встретились неизвестные буквы.) – В математике принято пользоваться буквами латинского алфавита. Что общего в этих буквах? (Они заглавные.) – Откройте обложку в конце учебника и, пользуясь таблицей, прочитайте правильно названия точек. По одному с места. – В тетрадях обозначьте поставленную вами точку любой буквой латинского алфавита, которая вам понравится. Неважно, какую букву вы выберете, а важно… (Чтобы она была заглавной.) Учитель на доске дополняет эталон.          .А ТОЧКА – Подпишите то, что вы изобразили. (Точка.) 3) Кривая. Отрезок. Способ построения отрезка. Раздать половинки листов А–4. – Вашему помощнику карандашу так понравилось отмечать точки, что он отметил на листе одну точку, а рядом ещё одну. Помогите ему в этом. Учитель на листе А–3 большим карандашом (или мелом на доске),  дети – на листах А–4.                                         А.                           .В                                                                              – И никак не мог выбрать карандаш, какая точка ему больше нравится. Он бегал от одной точки к другой, и обратно, по дорожкам-линиям, которые сам и чертил. Начертите эти линии-дорожки на своих листах. Учитель чертит на доске, дети – на листах.                                                                                      В                                                 А                                                                                                  – Посмотрите на линии, которые получились. Как они называются? (Это кривые линии.) – Бегал-бегал карандаш по кривым линиям – устал. Пожаловался он линейке на длинные дорожки, а линейка ему и говорит: «Я помогу тебе сделать твой путь от точки до точки коротким». Как вы думаете, как линейка помогла карандашу? (Она помогла соединить две точки и провести отрезок.) – Как провести отрезок? (Нужно приложить линейку к точкам, прижать к листу и провести по ней прямую линию, соединяющую эти точки.) Учитель по ходу ответа вывешивает шаги алгоритма на доску. – Соединим по линейке красным карандашом точки А и В. Учитель соединяет точки А и В  на листе А–3, а дети – на своих листах.                                                                                                        В                                                                 А         – Назовите ещё раз получившуюся фигуру. (Отрезок.) – Назовите его концы. (Точки А и В.)   4) Построение отрезков различной длины на прямой. Задание для пробного действия. – Понравилось карандашу и линейке строить отрезки и, расходясь вечером по домам, они начертили ещё один отрезок. Вот какой он получился. Раздать листы с начерченным карандашом отрезком длиной 10 см, с другой стороны – точка Е. – Линейка и карандаш ушли. Точки на его концах тоже решили пойти по своим делам. Как вам показать, что точки ушли? (Стереть их.) – Сотрём точки. – Затем точка А вернулась и стала примерно посередине черты. Поставим точку Ана линию.                                                                    А   – Пришли утром линейка и карандаш, а отрезка-то нет! Стали они строить новый отрезок: от точки А отложили на линии отрезок, равный 2 см. Постройте этот отрезок. Обозначьте точку В. Учитель выполняет все действия на листе А–3 с помощью большого карандаша и линейки (или с помощью мела и линейки на доске).                                                                                                                                           С    А      В                                                               – От точки В карандаш и линейка отложили в другую сторону отрезок, равный 5 см. Отмерьте этот отрезок и обозначьте полученную точку С. – Итак, что вы повторили? (Точку и ее обозначение, построение отрезков и их обозначение, …) – Что будет дальше? (Вы дадите задание, в котором будет что-то новое.) – Это задание от линейки и карандаша. Послушайте историю дальше. «Здорово! – сказали друг другу линейка и карандаш, – мы можем отмерить отрезки любой длины!» И захотелось им отложить от точки С отрезок, равный 12 см. Построим и этот отрезок. (У нас не хватает линии; линия закончилась, нам не на чем отметить точку.) Учитель удивлённо: – Ни в одну, ни в другую сторону? – Действительно! Тогда переверните этот лист и попробуйте самостоятельно построить линию, на которой можно от данной точки отложить отрезок любой длины в обе стороны. – Что в этом задании для вас ново? (Нам незнакома линия, на которой можно было бы отложить отрезок любой длины от данной точки.) – Как вы поступите с этим заданием? (Мы попробуем построить такую линию.) – Пробуйте. – Поднимите свои листочки. Учитель предлагает одному из учеников прикрепить на доску его вариант. После чего учитель задаёт вопрос: «Поднимите руку, у кого по-другому». Таким образом на доске появляются все варианты. – Что получилось? (Кто-то начертил отрезки разной длины, кто-то – убрал ограничения с концов отрезка, и они у всех тоже получились разной длины, а кто-то не нарисовал никакой линии, …) – Чего же вы не смогли сделать? (Мы не смогли построить линию, на которой можно от данной точки отложить отрезок любой длины в обе стороны.) 3. Выявление места и причины затруднения. Цель: организовать фиксацию учащимися места и причины затруднения. Организация учебного процесса на этапе 3: – И что же делать? (Надо остановиться и подумать.) – Какое задание вы должны были выполнить? (Начертить линию, на которой по обе стороны от данной точки можно отложить отрезок любой длины.) – Расскажите, как вы действовали (рассуждали), выполняя это задание? (…) – На каком шаге ваших рассуждений вы почувствовали неуверенность? (…) – Почему же не удалось выполнить это задание одинаково? Какого знания вам не хватает? (Нам неизвестна линия, на которой можно было бы отложить отрезоклюбой длины в любую сторону.) 4. Построение проекта выхода из затруднения. Цель: 1) сформулировать цель учебной деятельности и согласовать тему урока; 2) выбрать способ и средства для построения нового знания. Организация учебного процесса на этапе 4: – Какова же цель урока? (Узнать, на какой линии в обе стороны от данной точки можно отложить отрезок любой длины.) – А когда вы узнаете, что это за линия, вам этого будет достаточно? (Нет, надо ещё научиться её строить.) – Тему урока сформулируем чуть позже. – Какие инструменты вам необходимы, чтобы строить линию? (Карандаш и линейка.) – А зачем линейка, ведь некоторые линии можно строить и без неё? (Линейканеобходима, так как на этой линии можно строить отрезки любой длины, а отрезокчертят только по линейке.) – Как предлагаете действовать, чтобы построить линию, на которой можно было бы отложить отрезок любой длины в любую сторону от данной точки? (Мы будем пробовать разные варианты и проверять, подходят они или нет.) 5. Реализация построенного проекта. Цель: 1) организовать «открытие» детьми нового знания, устраняющего причину затруднения с использованием действий с линейкой и карандашом; 2) организовать построение детьми способа построения прямой; 3) применить новое знание и способ действий для выполнения задания, вызвавшего затруднение; 4) зафиксировать в речи и знаково новое знание и способ действий; 5) зафиксировать преодоление возникшего затруднения. Организация учебного процесса на этапе 5: – Какие бывают линии? (Прямые и кривые, …) – Может ли эта линия быть кривой? (Нет, отрезки на кривой не уложатся.) – Ребята, а ведь нужная линия у нас уже есть. Переверните свой листок и посмотрите на линию. Что мы делали на этой линии? (Мы создавали отрезки разной длины в обе стороны от данных точек.) – Почему не удалось построить отрезок равный 12 см? (Линия закончилась.) – Разве карандашу и линейке что-нибудь мешает двинуться дальше? Почему? (Нет, ничего не мешает, потому что нет точек-ограничений на концах.) – Так что же можно сделать? (Начертить линию дальше, продолжить.) – Продолжим в оба конца. Дети продолжают линию на своих листах в обе стороны и говорят о том, что лист закончился. – А если бы лист не закончился, что бы вы сделали? (Продолжили линию ещё дальше.) – Какое же свойство начерченной линии мы узнали? (Её можно продолжать в оба конца без ограничений.) – Такая линия называется?… (Прямая.) Учитель вывешивает карточку со словом «прямая» на доску рядом с карточкой «точка». – Назовите тему урока. (Точка. Прямая.) – Когда появляется новая фигура, ей надо дать имя, или…? (Обозначить.) – Прямую обозначают маленькой латинской буквой или двумя заглавными латинскими буквами. Учитель вывешивает на доску карточку с изображением прямой и её обозначениями:   – Теперь вернитесь к вашему заданию. Отрезок какой длины надо было отложить от точки С? (Отрезок, равный 12 см.) – Сможем ли вы теперь выполнить это задание? Почему? (Сможем, т.к. продолжили прямую.) – Выполните его. – Можно ли отложить на прямой отрезки длиной 21 см, 48 см? (Можно.) – Что позволяет это сделать? (Возможность продолжения прямой в обе стороны.) – Какой длины можно отложить отрезки на прямой в любую сторону от данной точки? (Отрезки любой длины.) – Чем же прямая отличается от отрезка? (Отрезок ограничен с двух сторон, а прямая – нет, её можно продолжать сколько угодно в обе стороны, на прямой можно отложить отрезок любой длины от данной точки в обе стороны.) – Какую же линию вы должны были начертить, чтобы на ней можно было бы от данной точки отложить отрезок любой длины в обе стороны. (Прямую.) – Переверните свои листы и посмотрите, кто был прав. – Как же нам построить прямую на листе? (Берём линейку, плотно прижимаем ее к листу и проводим линию, а затем даём ей имя.) Учитель выставляет на доске соответствующий алгоритм:   – Какие отличительные признаки прямой вы можете назвать? (Её можно продолжить в обе стороны, она бесконечна; на прямой можно отложить отрезки любой длины.) 6. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи. Цель: создать условия для выполнения учащимися типовых заданий на использование нового знания и на изученный способ действий с проговариванием во внешней речи. Организация учебного процесса на этапе 6: – Что предлагаете делать дальше? (Потренироваться в распознавании прямых и их построении.)   – Назовите линии, которые обвели. (b, c, f.) – Ну что ж, подведём итог, что вы узнали сегодня о прямой? (Прямую линию можно продолжить в обе стороны бесконечно, на ней можно отложить отрезки любой длины, она обозначается одной строчной или двумя заглавными латинскими буквами.) Формирование представлений о геометрической фигуре «ломаная линия», «длина ломаной линии» Опираясь на понятие отрезка, учащиеся 1 класса, знакомятся с понятием ломаной линии. Для этого по образцу, данному учителем, предлагают учащимся построить линию из палочек или бумажных полосок. Учитель дает название новой линии. Учащиеся чертят ломаные линии. Каждый раз дети подсчитывают, сколько отрезков содержит ломаная линия и сколько у нее звеньев. Так же с опорой на практические работы вводят понятия незамкнутой и замкнутой ломаной линии. Учащиеся строят из палочек ломаную линию, находят ее начало и конец (конец последнего отрезка). Учитель дает название такой ломаной – незамкнутая, а затем предлагает по образцу соединить начало и конец незамкнутой ломаной линии. Учащиеся сами догадываются, что такая ломаная линия называется замкнутой. При этом звенья соединяют так, чтобы они кроме вершин, не имели общих точек.   В процессе упражнений устанавливают связь между замкнутой ломаной линией и многоугольником, для которого ломаная линия является границей: замкнутая ломаная линия из трех звеньев ограничивает треугольник, из четырех звеньев – четырехугольник и т.д. Затем во 2 классе учащихся знакомят с измерением ломаных линий, т.е. нахождением длины ломаной линии. Важно, чтобы к этому уроку дети имели циркули, так как вводятся два способа нахождения длины ломаной. Первый способ – измерить длину каждого звена и полученные длины сложить. Второй способ – отложить с помощью циркуля на прямой последовательно отрезки, равные по длине звеньям ломаной, а затем измерить получившийся отрезок. Оба эти способа закрепляются в дальнейшем, а также используются при нахождении периметра многоугольника. Здесь также важно, чтобы учащиеся упражнялись не только в сложении длин отрезков, но и в сложении отрезков, которые являются сторонами многоугольников. Необходимо включить достаточное количество упражнений на нахождение длины незамкнутых и замкнутых ломаных линий, которые содержат различное число звеньев. Формирование представлений о геометрической фигуре «многоугольник» При изучении первого десятка, геометрические фигуры используются как дидактический материал (круг, треугольник, квадрат), уточняются представления этих фигур, запоминаются их названия. На основе сравнения треугольников и четырехугольников (чем похожи и чем отличаются) вводится понятие многоугольника (с. 46). Важно, чтобы дети сделали правильное обобщение и не относили термин только к таким многоугольникам, у которых много углов. Среди многоугольников, которые анализируют дети на этом уроке, следует обратить внимание на треугольник как многоугольник с наименьшим числом углов, вершин, сторон. Приступая к изучению отдельных видов многоугольников, вычленяют элементы многоугольников: стороны, углы, вершины. Например: при изучении числа три и цифра 3 рассматриваются различные треугольники, при изучении числа четыре и цифра 4 рассматриваются различные четырехугольники и т.д. Понятие многоугольника можно ввести как обобщение рассмотренных видов многоугольников.   Обобщению представлений о многоугольниках способствуют задачи на распознавание. Эти задачи представлены в виде следующих упражнений. 1. На доске расположены модели геометрических фигур. Выберите из данных фигур треугольники. 2. Закрась на рисунке четырёхугольники – синим цветом, а треугольники красным. Раздели все фигуры на две группы 3. Учитель загадывает фигуру: я взяла красную фигуру, имеющую 4 угла, какую фигуру я взяла? 4. Сначала детям предлагаются для рассмотрения отдельные фигуры, затем комбинации фигур, причём цвет выступает помощником. К примеру, найдите на чертеже 8 треугольников. Причём, цвет не является помощником или отсутствует совсем. Затем задание усложняется: покажите на чертеже все треугольники, сколько их? И, наконец, какие геометрические фигуры вы видите на чертеже? Сколько их? Покажите их на чертеже. 5. После того, как дети научатся обозначать фигуры латинскими буквами, задание усложняется: назови все треугольники – АВС, ВСД,… Или, назовите треугольники, которым принадлежит точка М. 6. Задачи на конструирование рассматриваются уже в 1 классе. Здесь они выполняются по образцу. Причём образец и количество объектов для конструирования одинаково. К примеру, сложи из трёх спичек (счётных палочек) треугольник, из 4 спичек (счётных палочек) – квадрат. Составьте из двух треугольников квадрат по образцу. Затем, количество объектов для конструирования становится больше, чем элементов образца, а потом отсутствует и образец. К работе даётся словесный комментарий. К примеру, составьте из квадрата и двух треугольников прямоугольник, трапецию, параллелограмм.  1.3 методика ознакомления с геометрическими фигурами: прямой угол, прямоугольник, квадрат, периметр прямоугольника, свойства сторон и диагоналей прямоугольника и квадрата Рассмотрим процесс ознакомления с геометрическими фигурами: прямой угол, прямоугольник, квадрат и их свойствам в следующем порядке. 1. Определение понятий прямой угол, прямоугольник, квадрат. 2. Методика формирования представлений о прямом угле прямоугольнике, квадрате можно рассматривать по этапам, предложенным Л. В. Занковым. 1. Выявление знаний учащихся о геометрических фигурах. 2. Первичное знакомство с геометрической фигурой на основе наблюдений и практической работы. 3. Выделение существенных признаков геометрической фигуры. 4. Конструирование и моделирование геометрической фигуры из определенного количества палочек, полосок, бумаги, проволоки, бумаги, проволоки, пластилина. 5. Выделение знакомого образа геометрической фигуры в контурах предметов окружающей обстановки, на чертеже. 6. Разбиение множества геометрических фигур (отрезок, угол (прямой, тупой, острый), прямоугольник, квадрат и т.д.) на клетчатой бумаге. 7. Привитие навыков измерение длины отрезков, величины углов (с помощью линейки, транспортира). 8. Вычленение знакомого образа геометрической фигуры из совокупности фигур по существенным признакам. 9. Формирование элементарных навыков чтения геометрических чертежей с использованием буквенных обозначений. 10. Формирование навыков определения периметра, площади треугольника (квадрата), величины угла. 11. Знакомство с отдельными стереометрическими телами. 3. Закрепление понятий в процессе выполнения упражнений. Углом называют часть плоскости, заключенной между двумя лучами этой плоскости, исходящими из одной точки. Точки, лежащие в этой части плоскости, называют внутренними точками угла. Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла. Угол, стороны которого лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами этой прямой, называется развернутым. Углы, меньше 90, называются острыми, углы от 90о до 180о – тупыми; угол в 90оназывается прямым. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Диагонали прямоугольника равны. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Отрезки, соединяющие две не соседние вершины многоугольника, называют диагоналями многоугольника. Сумма длин всех сторон данного многоугольника называется периметром многоугольника. Прямоугольником называется четырехугольник, все углы которого прямые. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Формирование представлений о геометрической фигуре «угол» Угол может быть введен после знакомства с лучом как самостоятельная геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Важно показать, что угол – ϶то часть плоскости, заключенной между двумя лучами этой плоскости, исходящими из одной точки. Контур угла делит плоскость на внутреннюю и внешнюю область угла. При формировании представлений об углах используется метод демонстрации в сочетании с практической работой. На уроке у учеников должен быть чертежный треугольник, ножницы, прямоугольные листочки – модель плоскости и карандаш. Учитель предлагает отметить точку и провести два луча с началом в этой точке (чертеж выполняется учителем на доске и каждым учеником в тетради). Запишите в тетрадь названия лучей АВ и АС. Что вы замечаете? (У них общее начало А.) – Поставьте точку А примерно на середине модели плоскости (модель плоскости). – Начертите лучи АВ и АС. Доведите их до края модели плоскости. – Разрежьте плоскость по полученным линиям. – Возьмите меньшую часть плоскости. Вы держите в руках угол. – Что было у вас перед тем, как вы вырезали эту фигуру? (Модель плоскости.) – Чем является угол по отношению к плоскости: частью или целым? (Угол является частью плоскости.) – Как вы получили угол? (Провели два луча из одной точки.) – Что же такое угол? (Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.) «Построенную фигуру называют углом (из двух полученных углов рассматриваем меньший), лучи, образующие угол, – сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла, – объясняет учитель. – Вершину угла обозначают буквой и по ней называют угол». – Оглянитесь вокруг, найдите в окружающей обстановке углы. Чтобы подвести детей к необходимости введения трех букв для обозначения углов, используется такое задание; определить по рисунку на доске вид угла А.   Ученики отмечают, что на чертеже есть шесть углов разных видов с вершиной А, и, чтобы выделить один из них, нужно его назвать тремя буквами. Учитель подтверждает правильность выбора и обращает внимание детей на то, что буква, обозначающая вершину угла, всегда стоит в середине его буквенного обозначения. Ученики определяют вид каждого угла с вершиной в точке А или, например, с вершиной в точке С. Учитель проводит беседу. – Как вы думаете, почему так записывают угол? (По названию вершины угла.) – Ещё используют такую запись: РВАС. Что вы заметили в порядке букв в этой записи? (Буква, обозначающая вершину, записана в середине.) – Почему? (Чтобы было понятно, что А – вершина угла.) По образовательной программе «Школа 2000» руководитель Л. Г. Петерсон детей знакомят с понятием градуса и градусной меры угла и учат измерять градусную меру угла с помощью транспортира. При этом решаются задачи следующего вида. 1. Начертить угол заданной градусной меры. 2. Найти градусную меру угла. 3. «Угол АВС равен 30 градусам, угол СВД – 40 градусам. Найдите градусную меру угла АВД. 4. «Угол АВД состоит из углов АВС и СВД. Угол АВС равен 30 градусам, угол АВД – 70 градусам. Найдите градусную меру угла СВД» и др. Формирование представлений о геометрической фигуре «прямой угол» Сначала надо повторить все, что дети знают об углах. Можно начертить на доске треугольник с прямым углом и четырехугольник, в котором два прямых угла. Ученики находят углы этих фигур, объясняют, что углы образованы сторонами данных фигур, показывая, какими сторонами образован каждый угол; затем показывают вершины углов и поясняют, что они образуются при пересечении сторон. (Демонстрируют на чертеже.) Знакомство с прямым углом лучше начать с практической работы. Ученики получают произвольные листы цветной бумаги, при этом их внимание обращается на то, что листы бумаги у всех различны по форме и размерам. Затем под руководством учителя они складывают листы сгибанием сначала вдвое, потом перегибают еще раз. Учитель предлагает развернуть сложенный лист. Дети видят, что линии сгиба листа бумаги разделили его на четыре угла, у которых одна вершина – одна точка. Дети практически убеждаются в том, что все четыре угла равны между собой, так как при складывании листа бумаги по линиям сгиба углы совпадают. Моделью прямого угла является также прямой угол чертежного треугольника. Найдите на нем с помощью своей модели прямой угол. Прямой угол на чертежном треугольнике – это тоже модель прямого угла. Теперь разверните лист бумаги, из которого вы сделали модель прямого угла. Сколько прямых углов образовали линии сгиба? Проверьте с помощью любой модели прямого угла, что линии сгиба образовали четыре прямых угла. Учитель сообщает, что эти углы называют прямыми углами. Линии сгиба образовали 4 прямых угла. При этом подчеркивается, что, несмотря на различные формы листов и их размеры, получены равные углы.   Пользуясь моделью прямого угла, учащиеся находят прямые и непрямые углы на окружающих предметах. Для этого нужно: 1. Совместить модель прямого угла с вершиной измеряемого угла и одну из сторон модели с соответствующей стороной данного угла. 2. В случае если вторая сторона модели будет проходить внутри измеряемого угла, то измеряемый угол больше прямого угла, такой угол принято называть тупым. 3. В случае если вторая сторона модели будет проходить вне измеряемого угла, то измеряемый угол меньше прямого угла, такой угол принято называть острым. 4. В случае если стороны и вершины модели и измеряемого угла совпадают, то измеряемый угол – прямой. В дальнейшем можно использовать прямой угол чертежного треугольника. Для закрепления учитель предлагает каждому ученику определить вид начерченного им в тетради угла и построить еще один угол: если начерченный уголострый построить тупой, и наоборот. Если начерченный угол прямой, ученики сами выбирают вид второго угла. На этапе закрепления можно использовать следующие задания. Задание 1. – Используя модель прямого угла, найди в каждом многоугольнике все прямые углы и запиши их номера . Задание 2. Используя модель прямого угла, начерти четырёхугольники, в котором 2 угла прямые. Задание 3. Используя модель прямого угла, начерти треугольники с прямым углом. Понятие угла закрепляется в дальнейшем в процессе изучения многоугольников, например, при рассмотрении прямоугольника. Формирование представлений о геометрической фигуре «прямоугольник» В основе организации деятельности учащихся, направленной на формирование представлений о прямоугольнике и квадрате, лежат определения: прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Использование родовых и видовых понятий способствует постепенному осознанию детьми, что любой квадрат есть прямоугольник и в то же время не всякий прямоугольник может быть квадратом. Чтобы ученики увидели не только отличительные признаки прямоугольника и квадрата, но и их общие; признаки, работу целесообразно проводить в двух направлениях: 1) по выделению существенных признаков прямоугольника (квадрата); 2) по установлению связей между ними. Выделение существенных признаков прямоугольника (квадрата) способствуют специальные задания на распознавание геометрических фигур, их моделирование, вычерчивание. Выполнение заданий на распознавание геометрических фигур не только позволяет осознать существенные признаки фигуры, но и способствует формированию наглядно-образной обобщенности. Знакомство с понятием «прямоугольник» можно провести на наглядной основе, используя метод демонстрации, практической работы в сочетании с методом беседы. Для ознакомления с прямоугольником надо использовать наглядные пособия: вырезать из плотной бумаги и прикрепить на доску 2-3 прямоугольника, четырехугольник с одним прямым углом, с двумя прямыми углами и четырехугольник, в котором нет прямых углов. – Как можно назвать эти геометрические фигуры? (Четырехугольники.) – Почему так думаете? (Потому что каждая из этих фигур содержит по четыре угла, четыре вершины, четыре стороны.) – Используя модель прямого угла, найдите среди этих четырехугольников четырехугольник, имеющий прямой угол. Детям предлагается найти в этих фигурах прямые углы с помощью модели прямого угла или чертежного треугольника. В результате этой работы они увидят, что в четырехугольниках может быть один прямой угол, два прямых угла или все четыре угла могут быть прямыми. Учащиеся находят четырёхугольники, у которых все углы прямые. Учитель поясняет, что четырехугольники, у которых все углы прямые, называют прямоугольниками. Делается вывод: четырёхугольники, у которых все углы прямые, называются прямоугольниками. Для закрепления детям предлагается найти прямоугольники в окружающей среде, и начертить прямоугольник в тетради. Формирование представлений о свойствах сторон прямоугольника и его диагоналях При знакомстве учащиеся со свойствами противолежащих сторон прямоугольника крайне важно: 1. Выделить понятие противолежащих сторон, используя для этого иллюстрации прямоугольника. 2. На основе практической работы (перегибанием прямоугольника либо измерением по линейке и наложением) подвести к выводу, что противолежащие стороны прямоугольника равны. В дальнейшем, это свойство используется для вывода формулы периметра прямоугольника. Знакомство учащихся со свойством прямоугольника: противоположные стороны прямоугольника равны между собой, осуществляется путем практической работы. 1. При ознакомлении со свойством сторон прямоугольника у каждого ученика вырезанные из бумаги модели разных прямоугольников, противоположные стороны которых выделены цветом, например красным и зеленым. Объяснение можно провести так: «Какая это фигура? Как вы узнали? Стороны, которые изображены красным цветом, лежат одна напротив другой (против другой), поэтому их называют противоположными. Стороны, которые изображены зеленым цветом, тоже лежат одна напротив (против) другой, они тоже называются противоположными. У прямоугольника две пары противоположных сторон». Учитель предлагает сравнить противоположные стороны прямоугольника с помощью сгибания и наложения противоположных сторон прямоугольника друг на друга. Ученики выполняют практическое исследование и устанавливает, что стороны прямоугольника равны. Знание этого свойства закрепляется в дальнейшем, когда учащиеся чертят прямоугольники по двум заданным его сторонам (длине и ширине). Для закрепления знания свойства противоположных сторон прямоугольника надо предложить детям выполнить задания по учебник. В заключение учитель спрашивает: «Если известно, что у четырехугольника противоположные стороны равны, то можно ли сказать, что это прямоугольник?» Ученики должны ответить, что не всегда такой четырехугольник можно назвать прямоугольником, надо еще знать, будут ли у этого четырехугольника углы прямыми. Ознакомление учащихся с диагоналями прямоугольника начинается с рассмотрения заготовленного на доске чертежа прямоугольника. Ученики называют начерченную фигуру, обозначают ее буквами, показывают и называют все ее элементы (вершины, стороны). Определение диагоналей не дается. Учитель проводит в прямоугольнике отрезок АС и говорит, что АС – диагональ прямоугольника. Ученики отмечают, что диагональ разделила прямоугольник на два треугольника. Затем один из учеников по предложению учителя проводит еще одну диагональ прямоугольника, отмечает, что диагонали прямоугольника пересекаются, и обозначает точку их пересечения, например, буквой О. Затем зачитывается объяснительный текст из учебника, при этом каждый ученик, используя циркуль, проверяет свойства диагоналей прямоугольника по чертежам прямоугольников. Для закрепления – и по своему чертежу прямоугольника в тетради (при этом целесообразно рекомендовать ученикам начертить прямоугольники разных размеров, что позволит сделать обобщения). После проделанной работы ученики еще раз формулируют полученные свойства диагоналей прямоугольника. Формирование представлений о геометрической фигуре «квадрат» Для ознакомления с геометрической фигурой квадрат учащиеся из множества прямоугольников вычленяют прямоугольники с равными сторонами – квадраты. Необходимо, чтобы учащиеся увидели, что квадрат – это частный случай прямоугольника. Детям предлагается, например, измерить стороны у нескольких прямоугольников, начерченных на доске или на карточках. Среди них обнаруживаются такие прямоугольники, у каждого из которых стороны равны между собой. Раздать карточки с фигурами и полоски бумаги. Открыть это же задание на доске:   – Объедините многоугольники в две группы. (Учащиеся образуют группы: треугольников и четырехугольников) – Найдите только прямоугольники и на полоске бумаги крупно маркером запишите их номера. Расскажите, как вы находили прямоугольники. – Каждый из вас опирался на разные признаки прямоугольников и использовал способ «на глаз». – Как проверить, прямые ли углы у тех фигур, которые вы обозначили, как прямоугольники? (С помощью угольника: нужно совместить вершины и одну из сторон, если вторая сторона совпадёт, значит, угол прямой.) – Возьмите угольник и проверьте, какие фигуры являются прямоугольниками. Вначале проверяются углы фигур, относительно которых возникли разногласия. Дети отмечают прямые углы прямоугольников. В результате устанавливается, что прямоугольники это фигуры 2; 4; 6. – Итак, какой четырёхугольник является прямоугольником? (Четырёхугольник, у которого всё углы прямые). – Кто заметил на этом рисунке особенные прямоугольники? (Это квадраты.) – Обведите квадраты. Что особенного в этих прямоугольниках? (У них все стороны равны.)   В                  длина                  С   В              С   ширина             А                                               Д   А             Д     АВ=СД                ВС=АД АВ=ВС=СД=АД   Открыть на доске эталон: – Что же такое квадрат? (Это прямоугольник, у которого все стороны равны.) – Сравните свой вывод с учебником. Прочитайте каждый вслух определения в рамке. Чтобы подчеркнуть, что квадраты – это прямоугольники с равными сторонами, включают такие упражнения: «Покажите прямоугольники, которые нельзя назвать квадратами; найдите среди данных четырехугольников четыре прямоугольника; найдите два квадрата и т.п.». В подобных упражнениях учащиеся должны обосновывать свои суждения, проверяя с помощью чертежного треугольника, являются ли все углы четырехугольника прямыми, а также устанавливая с помощью линейки, каково в нем соотношение сторон. Формирование представлений о свойствах квадрата При изучении свойств квадрата с учащимися проводится лабораторно-практическая работа, которая состоит в следующем. Каждый ученик получает квадрат; учитель обращает внимание детей на то, что каждый из них получил разные по цвету, размеру, изготовленные из разного материала четырехугольники; учащимся предлагается измерить все углы четырехугольника (квадрата); устанавливается, что, несмотря на то что у всех квадраты разные, углы всех фигур прямые. Далее учитель просит измерить стороны. Учащиеся убеждаются, что стороны одного и того же квадрата равны. Далее учитель показывает квадраты разных цветов (желтые, зеленые и т. д.), разного размера (большие и маленькие), изготовленные из разных материалов (деревянные, пластмассовые и т. д.), в разном положении и обращает внимание на то, что все несущественные признаки не влияют на основные свойства фигуры. Однако, если изменить хотя бы один существенный признак в квадрате (и в любой другой фигуре), то получится уже другая фигура. На модели квадрата, сделанной из палочек одинаковой длины, учащиеся пытаются изменить существенные признаки, например длину одной или двух сторон, величину углов. Получается уже новая фигура. Различные упражнения по моделированию фигур из палочек, полосок бумаги помогают учащимся лучше усвоить основные свойства фигур, понять существенные признаки, которые лежат в основе определения фигур. При знакомстве с диагоналями квадрата и их свойствами нужно обязательно вспомнить, что квадрат – это частный случай прямоугольника, и помочь ученикам сделать из этого вывод относительно некоторых свойств диагоналей квадрата. С этой целью учитель заранее записывает на доске известное детям определение квадрата с пропущенными в нем ключевыми словами: «Квадрат – это ___________, у которого ________________________________________________. Ученики вставляют пропущенные слова, а учитель, подчеркнув, что квадрат является прямоугольником, просит детей сделать вывод относительно свойств диагоналей квадрата и проверить их с помощью циркуля по чертежам. Делается вывод: – так как диагонали квадрата обладают теми же свойствами, что и диагонали прямоугольника то они равны между собой; – отрезки, которые получаются при пересечении диагоналей квадрата, тоже равны между собой. Далее выявляются различия и в самих фигурах, и в свойствах их диагоналей. По заготовленным на доске чертежам прямоугольника и квадрата с проведенными в них диагоналями учитель предлагает рассмотреть четыре угла с вершиной в точке пересечения диагоналей каждой фигуры. Используя чертежный угольник, ученики устанавливают, что при пересечении диагоналей квадрата получилось 4 прямых угла с вершиной в точке их пересечения, а при пересечении диагоналей прямоугольника с вершиной в точке их пересечения прямых углов нет (есть два острых и два тупых угла). И в этом отличие свойств диагоналей этих двух фигур. Полученное свойство диагоналей дети проверяют по чертежам. На этом же уроке полезно организовать практическую работу с моделями квадратов разных размеров и еще раз, используя перегибание модели квадрата, проверить полученные свойства его диагоналей. Формирование представлений о периметре прямоугольника и квадрата. До введения понятия периметра многоугольника после знакомства с прямоугольником, квадратом и многоугольником даются различные упражнения: 1) Начерти в тетради прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Покажи его противоположные стороны. 2) Узнай длину каждой стороны данного треугольника. Найди сумму длин всех его сторон. Учитель поясняет, что сумма длин сторон многоугольника называется его периметром. Затем специально рассматривается нахождение суммы длин сторон равносторонних многоугольников, а также нахождение суммы длин сторон прямоугольника. Сумму длин сторон этих фигур дети находят сначала путем измерения их сторон и сложения полученных чисел. На этапе закрепления предлагаются следующие упражнения. 1. Стороны прямоугольника 28 мм и 46 мм. Найди периметр. 2. Поставь в тетради точки, как показано на рисунке. Соедини их отрезками так, чтобы получился треугольник. Найди его периметр. 3. Длина прямоугольника 4 см, ширина – 3 см. Найди периметр. Но тут же обращается внимание на свойства этих фигур – равенство всех сторон или равенство противоположных сторон. Опираясь на чертеж, учащиеся они подмечают, что можно поступить и по-другому: 1) найти сумму длин смежных сторон, а затем умножить эту сумму на два, 2) либо найти сумму длин противоположных сторон, а затем умножить эту сумму на два. Рассмотрим три способа нахождения периметра прямоугольника. Учитель предлагает задачу: «Найти периметр прямоугольника, если длины его сторон 3 см и 5 см. – Сколько сторон прямоугольника достаточно измерить? (Две.) Почему? (Длины противоположных сторон будут, такие же: 3 см и 5 см.) – Объясните, как находили периметр прямоугольника первым способом. (Нашли сумму длин всех сторон: 3 + 5 + 3 + 5= 16. Ответ: 16 см.) – Рассмотрите и объясните решение вторым способом. (В первой сумме есть две пары одинаковых слагаемых: 3 и 3 и еще 5 и 5, потому что противоположные стороны прямоугольника равны. Сложение одинаковых чисел можно заменить умножением: (3·2)+ (5·2); 3 ∙ 2 – это сумма двух меньших сторон, а 5 ∙ 2 – это сумма двух больших сторон, получится: 6 + 10 = 16 (см). Ответ: 16 см.) – Рассмотрим третий способ решения (В сумме четырех слагаемых 2 раза берется сумма 3 + 5, значит, периметр прямоугольника равен (3 + 5) · 2 = 8 · 2. Ответ: 16 см.) Как можно объяснить третий способ по чертежу? (Сумма большей и меньшей сторон прямоугольника берется 2 раза, значит, периметр равен (3 + 5) · 2 =16. Ответ: 16 см.)». Решаются обратные задачи. В процессе выполнения таких упражнений формируется понятие периметра многоугольника и умение находить его, а также развиваются пространственные и геометрические представления. Большое значение для закрепления представлений о многоугольниках, а также для развития пространственных представлений в целом имеют задачи с геометрическим содержанием, которые включаются систематически, начиная с 1 класса. Это задачи на деление заданных фигур так, чтобы получившиеся части имели указанную форму; задачи на составление фигур новых из данных многоугольников; задачи на распознавание всевозможных геометрических фигур. В процессе решения таких задач у детей формируется умение воспринимать многоугольник, составленный из частей, и в то же время видеть многоугольники, являющиеся частями другого многоугольника, вырабатывается наблюдательность, зоркость, умение мысленно конструировать геометрические фигуры. 1.4 Методика ознакомления с геометрическими фигурами: круг, окружность, треугольник Рассмотрим процесс ознакомления с геометрическими фигурами: круг, окружность, треугольник в следующем порядке. 1. Определение понятий круг, окружность, треугольник, виды треугольников. 2. Методика ознакомления с геометрическими фигурами: а) круг; б) окружность; в) треугольник; г) виды треугольников в зависимости от сторон и углов. 3. Закрепление понятий в процессе выполнения упражнений. Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусомокружности. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности называют диаметромокружности. Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние – радиусом круга. Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом. Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основаниемтреугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой содержащей противолежащую сторону этого треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок, делящей угол треугольника пополам и соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороне этого треугольника. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.   Формирование представлений о геометрических фигурах «круг» и «окружность» Понятия окружность и кругом усваиваются детьми в процессе практических упражнений. Учатся чертить окружности с помощью циркуля, знакомятся с элементами окружности и круга – центром и радиусом. Сопоставив круг с многоугольником, учащиеся устанавливают, что границей многоугольника является замкнутая ломаная линия, а границей круга – замкнутая кривая линия – окружность. Организация процесса знакомства с окружностью. На уроке с помощью моделируют окружность. – 10 человек выйдите к доске, взявшись за руки, изобразите окружность. Вы – точки окружности. (Учащиеся берутся за руки и образуют замкнутую линию.) – Ещё один из вас будет «точкой». Я попрошу «точку» встать в центр «окружности». От какой точки «окружности» «центр» будет дальше всего? Ближе всего? (Центр будет находиться на одинаковом расстоянии от всех точек окружности.) – Как доказать это при помощи тесьмы? (Надо взять один конец тесьмы в руки «центру», а другой конец – «точки» окружности по очереди передают друг другу.) Выполните это. – Что вы можете сказать о расстоянии? Расстояние не меняется. На математическом языке говорят, что центр окружности равноудалён от всех её точек. А расстояние от центра окружности до любой точки окружности называется радиусом. – Если соединить линией две противоположные точки окружности, то такая линиябудет проходить через центр окружности. Называется такая линия диаметромокружности. По ходу объяснения показать это наглядно с помощью тесьмы, дав её в руки стоящим соответственно детям. – Проверьте ваши наблюдения по чертежу в рамке. – Что вы видите на чертеже? (Окружность.) – Что отмечено внутри окружности? (Центр О.) – Сколько радиусов проведено? Назовите их. (3 радиуса: ОА, ОВ, ОС.) – Сколько диаметров? Назовите их. (1 диаметр – АС.) – Какими фигурами являются радиус и диаметр окружности? (Отрезками.) – Прочтите, что об этом написано в рамке под чертежом. – Как вы думаете, удобно ли чертить окружность на бумаге с помощью тесьмы? (Нет.) – С помощью, каких предметов можно провести окружность на бумаге? (Можно использовать стакан, тарелку…) – Какой чертёжный инструмент для этого предназначен? (Циркуль.) – Рассмотрите его. У циркуля есть две «ножки». На конце одной из них игла, на конце другой – грифель. – Кто из вас знает, как чертить окружность с помощью циркуля? Я возьму большой циркуль для доски, а вы мне помогайте. – Надо раскрыть ножки циркуля на нужное расстояние, отметить точку на бумаге, зафиксировать на ней конец иголки, а второй ножкой-карандашом провести нужную линию, вращая циркуль вокруг центра. – Попробуйте начертить окружность в тетради. Учащиеся чертят окружность в тетради с помощью циркуля, учитель помогает им своими комментариями. – Итак, что вы узнали об окружности? (Окружность – это граница круга, все точки окружности удалены от центра на одинаковом расстоянии, которое называется радиусом; если две противоположные точки соединить отрезком, проходящим через центр окружности, то получим диаметр.) Чтобы учащиеся не смешивали круг и окружность, дают специальные упражнения, например: проведите окружность и раскрасьте круг, отметьте центр круга или окружности, а также точки, лежащие внутри круга, вне круга, на окружности. Формирование представлений о геометрической фигуре «треугольник» С первых уроков, когда начинается обучение письму элементов цифр и самих цифр, как правило, детей знакомят с элементами геометрических фигур – многоугольников, показывают и считают стороны, углы и вершины. При ознакомлении с числом 3 предлагаются упражнения по моделированию треугольника из палочек. Среди многоугольников, которые анализируют дети на этом уроке, следует обратить внимание, что треугольник является многоугольником с наименьшим числом углов, вершин, сторон. Приведем соответствующий фрагмент урока. Учитель спрашивает, как называется многоугольник, начерченный на доске? (Это треугольник.) – Почему он так называется? (Он так называется потому, что у него три угла, три стороны.) – Начертите в тетради любой треугольник. (Дети чертят в тетрадях разные треугольники.) – Поменяйтесь тетрадями и проверьте работы друг друга.   Организация процесса знакомства с треугольниками в зависимости от сторон. – Какие фигуры вы видите на чертеже? (Треугольники.) – Чем треугольники выделяются из всех многоугольников? (У каждого из них 3 угла, 3 вершины, 3 стороны.) – Чем эти треугольники отличаются? (Разные длины сторон). – Перед вами на столах листочки с изображением треугольников. Их надо разделить на несколько групп, используя отличие, которое вы сейчас назвали. Повторите его. (Длины сторон). Учащиеся разделили треугольники на три группы. Ответы учащихся следующие: – У фигур 1 и 5 – стороны одинаковой длины. – У фигур 2 и 6 – по две одинаковые стороны. – У фигур 3 и 4 – стороны разной длины. Учитель просит продумать, как назвать треугольники каждой группы? После ответов учитель знакомит с новыми понятиями. 1 и 4 – разносторонние, так как все три стороны разной длины. 3 – равны две стороны – равнобедренный. 2, 5, 6 – равны три стороны – равносторонние. Учитель выносит на доску новые понятия, прикрепляет к доске карточки. – Какие из этих трех понятий вы угадали? (Разносторонние, равносторонние). –  Какое название не угадали? (Равнобедренные). – Как объяснить смысл слова «равнобедренный»? (Равные бедра). – Что такое «бедра»? (Стороны). На этапе закрепления предлагаются упражнения в классификации На доске крупные фигуры. Учитель предлагает задания. 1. Задание. – На какие группы можно разбить эти треугольники? (По размеру – на большие и маленькие. По цвету – на красные, синие, зеленые. По форме – равносторонние, разносторонние, равнобедренные.). – Какая группа подходит к теме нашего урока? (Третья). На доске фигуры (можно выкладывать их по очереди). 2. Задание. – Найдите "лишнюю" фигуру. Объясните свой выбор. – "Лишний" 4 – разносторонний среди равнобедренных. – "Лишний" 3 – равнобедренный среди равносторонних. – "Лишний" 3 – равнобедренный среди разносторонних. 3. Задание. Найти и записать названия всех треугольников, которые есть на чертеже и определить их разновидность. (На доске чертеж на листе ватмана). В тетрадях таблица. Равнобедренный Равносторонний Разносторонний ∆АДС ∆АВС ∆АВО, ∆ВСО, ∆АДО,     ∆СОД, ∆АВД, ∆ВСД   Чтобы предупредить ошибку в классификации треугольников, которую часто допускают учащиеся, не рассматривая равносторонние треугольники как частный случай равнобедренных, надо выполнить не один раз упражнения в измерении двух сторон в равностороннем треугольнике, доказывая тем самым, что это равнобедренный треугольник (но так как третья сторона равна первым двум, то этот треугольник можно назвать еще и равносторонним). Можно ставить и такие вопросы: «Верно ли, что любой равносторонний треугольникявляется равнобедренным? Верно ли, что любой равнобедренный треугольникявляется равносторонним?» Организация процесса знакомства с треугольниками в зависимости от углов. На этапе актуализации знаний в порядке подготовки к рассмотрению классификации треугольников по углам целесообразно вспомнить все, что учащимся известно об углах (элементы угла, их обозначение, виды углов). 1. Задание. 2.Задание. Определите виды углов, представленные на рисунке.   3. Задание. Начертите в тетрадях 3 угла разного вида, обозначьте каждый угол буквой (один ученик на доске чертит 3 угла и обозначает их). Назовите вид каждого угла. Свой ответ обоснуйте. На этапе ознакомления с новым материалом учитель проводить беседу. – Перед вами на столах листочки с изображением треугольников. Их надо разделить на три группы.   Учащиеся разделили треугольники на три группы. Ответы учащихся следующие: – У фигур 2 и 4 – один прямой угол. – У фигур 1 и 6 и 7 – все углы острые. – У фигур 3 и 4 – один тупой угол. Учитель просит продумать, как назвать треугольники каждой группы? После ответов учитель знакомит с новыми понятиями. Треугольники 2 и 4 – прямоугольные, так как есть прямой угол. Треугольники 1 и 6 и 7 – остроугольные, так как все углы острые. Треугольники 3 и 4 – тупоугольные, так как есть тупой угол.   Полезно обратить внимание детей на то, что в треугольнике любого вида два угла всегда являются острыми и в зависимости от того, каким будет третий угол, треугольник и получает свое название. – Начертите прямоугольный треугольник. Сколько в нем прямых углов? Сколько острых? Можно ли начертить треугольник с двумя прямыми углами? (Один ученик на доске пытается сделать это и убеждается, что это невозможно: прямым в треугольнике может быть только один угол.) Аналогичным образом ученики убеждаются, что не может быть треугольника с двумя тупыми углами, если один угол треугольника тупой, то два других – острые, и не может быть треугольника, в котором один угол прямой, а другой – тупой. Из всего этого следует, что из трех углов треугольника два угла всегда острые, а третий уголможет быть прямым (прямоугольный треугольник), тупым (тупоугольный треугольник) или острым (остроугольный треугольник). Сводная таблица по видам треугольников представлена следующим образом. 1.5 Методические подходы к знакомству младших школьников с объемными телами Рассмотрим различные подходы к знакомству младших школьников с объёмными телами. Авторы И. И. Аргинская, Е. В. Вороницына в материалах курса «Особенности обучения младших школьников математике» Педагогический университет «Первое сентября» (2005) предлагают знакомить младших школьников с объёмными телами. По их мнению, в настоящее время многие авторы учебников математики как для начальной, так и для основной школы активно вводят работу с объемными фигурами в курс математики. Создаются и специальные пособия по геометрии, в которых уделяется большое внимание этому материалу. Это, очевидно, продиктовано одной общей причиной – осознанием того парадоксального положения, что, существуя реально в трехмерном пространстве, ученики на протяжении первых девяти лет обучения в школе на уроках математики «живут» в двухмерном пространстве (на плоскости), теряя способность к пространственному воображению и мышлению, что создает для большинства из них непреодолимые препятствия при изучении курса стереометрии в старших классах. Авторы считают, что в большинстве пособий есть существенный недостаток – они начинают знакомство с объемными телами с рассмотрения их изображений на рисунках, что ставит детей в ситуацию, когда основное качество таких объектов – невозможность их размещения в плоскости – явно противоречит тому, что видит ребенок. В рамках предлагаемого курса первые два года обучения младшие школьники работают только с реальными объемными предметами и моделями основных объемных фигур – шарами, цилиндрами, конусами, призмами и пирамидами. Такой подход является особенностью работы с геометрическим материалом в данном курсе. В первом классе работа ведется в следующих направлениях: – сравнение различных реальных предметов и выделение групп предметов, сходных по форме. Например, может быть предложен такой набор: мяч, банка, круглый карандаш, яблоко, кусок трубы, круглый воздушный шар. Их нужно разделить на две группы по какому-либо признаку. Среди предложенных решений (а их может быть много, так как дети могут ориентироваться на разные признаки – размер, массу, цвет, прозрачность и т.д.) учитель обращает особое внимание учеников на вариант, когда предметы объединены по форме. Такое предпочтение легко может быть оправдано тем, что при занятиях геометрией всегда большое внимание уделяется именно форме рассматриваемых фигур; – подбор других подходящих по форме предметов к выделенным группам. Эта часть работы может происходить в классе с реальным набором предметов или с их названиями, либо может быть дана в качестве домашнего поручения – найти подходящие по форме предметы среди игрушек или предметов домашнего обихода; – сравнение выделенных по сходству формы предметов с моделями объемных геометрических фигур и выбор соответствующих моделей, знакомство с названиями выбранных моделей. Так, в результате выполнения задания, приведенного выше, дети выделят две группы вещей, сходных по форме: мяч, яблоко и воздушный шар; банка, карандаш, труба. Учитель показывает несколько моделей – конус, шар, призму, цилиндр – и предлагает выбрать те, которые по форме больше всего подходят к выделенным группам. Очевидно, дети без труда идентифицируют с ними шар и цилиндр, после чего вводятся названия соответствующих геометрических фигур – шар, цилиндр. Как и всегда, прежде чем сообщить названия выбранных моделей, необходимо поинтересоваться, не знает ли их кто-нибудь из учеников. Если окажется, что это так, то названия (или одно из них) сообщает не учитель, а дети; – выделение знакомых плоскостных фигур на поверхности объемных. Это направление позволит связать в единое целое объемные и плоскостные фигуры, где плоскостные фигуры выступят в своей естественной для трехмерного пространства роли – части объемного тела (например, круг выступит как часть поверхности конуса или цилиндра, прямоугольник – как часть поверхности призмы, треугольник – пирамиды и т.д.); – выделение из реальных предметов сложной формы частей, имеющих форму шара, цилиндра, конуса, призмы, пирамиды; – создание моделей объемных фигур из пластилина и композиций из этих моделей. Это направление может осуществляться не только на уроках математики, трудового обучения, но и дома. Для создания сложных композиций моделей целесообразно объединять детей в группы. Это позволит по-разному организовать работу начиная с варианта, когда у учеников уже есть готовые вылепленные модели и группа придумывает возможную для этого набора композицию, и заканчивая случаем, когда сначала группа придумывает композицию, определяет, какие, сколько и какого размера нужно вылепить модели для ее осуществления, распределяет их изготовление между участниками и создает задуманную композицию (к последней, сложной, форме сотрудничества ученики, очевидно, придут не в первом, а в последующих классах. Во втором классе продолжаются все начатые в первом направления работы с объемными телами, но постепенно происходит расширение в сторону детального рассмотрения моделей пространственных фигур. В процессе изучения дети знакомятся с понятиями «основание», «ребро», «вершина», «грань», «поверхность», «боковая поверхность». В третьем и четвертом классах дети знакомятся с различными приемами изображения на плоскости объемных предметов, создающих иллюзию объемности. Через систему заданий дети самостоятельно подходят к выводу о том, что для этого используют художники, графики, чертежники. Художники-живописцы используют для этого игру светотени или перспективу, графики – искривление линий, чертежники – ортогональную проекцию. Помимо этих приемов, дети знакомятся с изображением трех видов объекта (спереди, сверху, сбоку). Этот способ особенно важен для развития пространственного воображения. Новое направление в рассмотрении объемных фигур – сравнение моделей различных наименований. Весь данный материал изучается на ознакомительном уровне. Например, сравнивая модели шара, цилиндра, конуса, дети отмечают, что общее для них – это способность к качению (катится). Различие в том, что шаркатится произвольно, цилиндр – по прямой, конус – по кругу, в центре которого находится его вершина. Различия этих тел также в том, что у шара нет ни вершин, ни оснований, у цилиндра – два основания, но нет вершин, у конуса – одно основание и одна вершина. Аналогично рассматриваются и сравниваются призма и пирамида, цилиндр и призма, пирамида и конус и т.д. Вариантом такой работы является сравнение объемных фигур одного наименования. Например, детям предлагается сравнить несколько разных призм. При выполнении задания выявляются признаки сходства и различия. Признаки сходства: все призмы имеют два основания-многоугольника, ребра и вершины, боковые грани у них – прямоугольники (в начальной школе мы рассматриваем только прямые призмы). Признаки различия: основаниями являются разные многоугольники, число вершин и ребер различное, длины ребер разные. Можно предложить ученикам найти призмы, имеющие только один или другое число признаков различия и обсудить, почему это так. Рассмотрим фрагменты уроков знакомства с объемными телами автора проекта Гороховой Илоны Борисовны учителя Еленовской средней школы. Урок 1. Тема «Шар» Цель: познакомить с шаром. Ввести понятие «форма». Оборудование: предметы шарообразной формы, набор фотографий и рисунков предметов шарообразной формы, цилиндр, конус, круг. Организация процесса ознакомления. Рассматривание группы предметов. Что это? (Глобус, теннисный мячик, надувной шарик, мяч, бусинки, горошины ¼) Посмотрите, чем все эти предметы отличаются друг от друга? — по цвету;   по размеру;    по материалу, из которого изготовлены; — сделаны человеком или созданы природой;     по назначению; — по тяжелости;   по прозрачности и т.д. Что объединяет, чем похожи? (Если «круглые», то показать круг. Круг – круглый, а эти предметы?) Это – шары. Итак, что общего у всех этих предметов? (Форма) Что ещё? (Сравнить нарисованный мячик и мяч). Мяч можно обхватить руками, посмотреть на него со всех сторон, то есть шар – объёмный, его можно «обнять». Что ещё общего у этих предметов? Посмотрите, они не хотят лежать на столе. Они все ¼ катаются. Мяч катается? Значит, он шар. Горошина катается? Это тоже шар. Показать цилиндр и конус. Катаются? Значит, тоже шары? Попробуйте, покатайте. Как катаются эти фигуры и как катается шар? (Шар катится во все стороны.) Сделать вывод. Что общего у всех этих предметов? (Шарообразная форма, объёмность, способность кататься в разных направлениях.) Как можно одним словом назвать все эти предметы? (Шар). Посмотрите вокруг себя. Есть шары в классе? Вспомните, где вы видели предметы шарообразной формы дома, на улице? (Ёлочные украшения в форме шара, плафоны, ягоды, клубки и т.д.) Посмотрите на фотографии и рисунки. Про что вы ещё забыли? Давайте нарисуем в тетрадях шар и подпишем. Чтобы шар на рисунке не получился плоским, нарисуйте тень и закрасьте тёмные места. Вот так.         А вы знаете, почему шар называется шаром? Слово «шар» произошло от греческого слова  оφατρα ,  что означает «мяч». Домашние задания – записать в тетрадях названия предметов шарообразной формы, про которые мы в классе не вспомнили. А вы знаете, почему шар называется шаром? Слово «шар» произошло от греческого слова  оφατρα ,  что означает «мяч». Домашние задания – записать в тетрадях названия предметов шарообразной формы, про которые мы в классе не вспомнили.   Урок 2. Тема «Шар» Цель: закрепление понятия «шар», его свойств. Оборудование: набор предметов разной формы для игры в «Чёрный ящик»; геометрические тела и плоские фигуры из цветной бумаги, шары, пластилин. Организация процесса закрепления понятия. С какой геометрической фигурой познакомились? (Шар.) Какими обладает свойствами? Поиграем в игру «Молчанка». Вы мне должны молча показать, изобразить шарруками, показать все его свойства. У кого лучше? Возьмите пластилин и слепите каждый свой шар. У всех получились шары? Посмотрите, какие получились шары разные. Чем они отличаются? (Цвет, размер.) Что общего? Положите справа самый большой шар, слева – самый маленький. Положите зелёный шар, а за ним – красный, перед ним – синий. У доски – предметы различной формы, фигуры, вырезанные из цветной бумаги. Показать только шары. Раздели предметы на две группы: в одну – шары, в другую – все остальные предметы. Как назвать все предметы первой группы? (Шары, или предметы, имеющие шарообразную форму). У доски два предмета шарообразной формы, конус, цилиндр и круг из бумаги. Дети закрывают глаза, учитель убирает один предмет. Дети открывают глаза, если исчез шар, хлопают в ладоши. Давайте поиграем в игру «Чёрный ящик». Перед вами чёрный ящик. В нём лежит много разных предметов. Ваша задача – достать шар, определив, что это шар на ощупь.           Урок 3. Тема «Цилиндр» Цель: познакомить с фигурой «цилиндр», с его свойствами. Оборудование: предметы цилиндрической формы, цилиндры, фотографии, рисунки. Организация процесса ознакомления. Рассматривание группы предметов. Чем отличаются? — по цвету; — по размеру; — по назначению; — по тяжелости; — по прозрачности и т.п. Чем похожи? (Объёмные, катятся взад-вперёд, похожи по форме). Все эти предметы имеют цилиндрическую форму. У всех есть два основания. Основания какой формы? (Круглой). Они одинаковые? (Да). Эти фигуры называются цилиндры. А знаете, почему они так называются? Очень давно, когда не было ещё машин и тракторов, и никакой другой техники, люди, чтобы перетащить тяжёлый груз с одного места на другое, использовали катки из дерева. Они подыскивали прямое дерево и отрезали от него кусок. Этот кусок и служил катком. Слово «цилиндр» произошло от греческого слова  ξνλινδροσ . Означало оно «каток», «валик». Где вы встречаете цилиндр дома, в школе, на улице? Как вы думаете, почему высокие мужские шляпы называется цилиндр? (Верхняя часть цилиндрической формы) Нарисуйте в тетради цилиндр, подпишите, покажите его основания и боковую поверхность. Вот так. Домашнее задание: записать в тетрадь названия предметов цилиндрической формы, о которых мы не говорили на уроке. Урок 4. Тема «Цилиндр» Цель: закрепить понятие «цилиндр», его свойства. Оборудование: различные геометрические фигуры, шары и цилиндр, пластилин. Организация процесса закрепления понятия. С чем вы познакомились? (С цилиндром). Какими свойствами обладает тело цилиндрической формы? (Катится взад-вперёд, объёмное, имеет боковую поверхность и два основания в форме круга, равные между собой. Цилиндр можно поставить на любое основание). Поиграем  в игру «Молчанка». Покажите мне руками цилиндр, его свойства. Возьмите пластилин и слепите цилиндр. У всех получились цилиндры? Чем отличаются? (Цвет, размер). Что общего? Поставьте самый высокий цилиндр, а слева от него – самый низкий. У какого цилиндра самое большое основание, самое маленькое? У доски – шары и цилиндры. Разделить на две группы. Как называются предметы в каждой группе? Из различных геометрических фигур выбрать только цилиндры. Сравнить шар и цилиндр. Что общего? Чем отличаются? Игра в «Чёрный ящик». Достать цилиндр, описать свои ощущения.                                Урок 5. Тема «Конус» Цель: познакомить с конусом. Оборудование: предметы конической формы, рисунки, фотографии, конус. Организация процесса ознакомления. Рассматривание предметов, рисунков, фотографий. Чем отличаются? — по размеру; — по цвету; — по материалу; — по назначению и т.д. Что общего? (объёмные, катаются по кругу, имеют одинаковую форму). Посмотрите, из чего состоит фигура? (основание, боковая поверхность, вершина). Кто знает, как называется эта фигура? (Конус). Почему она так называется? Слово «конус» произошло от греческого слова  ξωυοσ .     Где вы видели конусы в классе, дома, на уроке, на улице? (Ёлочные украшения, колпачки, фишки и т.д.). Дома написать названия предметов конической формы.               Урок 6. Тема «Конус» Цель: Закрепить понятие «конус», его свойства. Оборудование: набор геометрических фигур (плоские и объёмные), пластилин. Организация процесса закрепления понятия. Что вы знаете про конус? Какие свойства конуса вы знаете? Что такое конус? (Геометрическая фигура). Из чего состоит конус? (Из основания в форме круга, боковой поверхности и вершины). Поиграем в игру «Молчанка». Ваша задача – молча, только руками показать конус и его свойства. Возьмите пластилин и слепите конус. Это не просто. У всех получились конусы? Если нет, то в чём ошибка? Какой конус самый высокий? Самый низкий? У какого конуса самое большое основание? Самое маленькое? Поставьте конус, справа от него положите шар, а слева поставьте цилиндр. Поставьте конус перед цилиндром; поставьте конус за цилиндром; перед цилиндром; шар перед конусом. Задание: из всех фигур (плоских и объёмных) выбрать только конусы. У доски несколько фигур. Дети запоминают фигуры, закрывают глаза. Учитель убирает фигуру. Если исчез конус, дети хлопают в ладоши. Учитель показывает детям фигуры и называет их номера. Дети должны записать номера конусов. Проверяют все вместе. Игра в «Чёрный ящик». В «чёрном ящике» лежат фигуры, ведущий должен на ощупь определить конус и достать его. урок 7 Обобщение по темам «Шар», «Цилиндр», «Конус» Цель: Закрепить понятия «шар», «цилиндр», «конус». Оборудование: набор геометрических фигур таблицы. Организация процесса закрепления понятиий. Ребята, какие геометрические фигуры вы знаете? (Цилиндр, шар, конус). Что вы можете сказать про каждую из этих фигур? Что общего у всех этих фигур? (Катаются). Чем отличаются? (У шара нет основания и вершины; у цилиндра нет вершины, но два основания; у конуса одно основание и вершина). Сравните между собой: — цилиндр и шар; — цилиндр и конус; — конус и шар. Что общего между ними? Чем они отличаются? Геометрические фигуры   Геометрические фигуры                 цилиндр       цилиндр                   конус       конус                   шар       шар                   Одинаковый фон – одинаковый признак. Какой признак один у всех фигур? (Катаются). Разный фон – значит, этот признак присущ только одной фигуре (у шара нет оснований, у цилиндра их два, у конуса одно).              Давайте поиграем в игру «Чёрный ящик», только немного изменим правила. Ведущий будет не доставать фигуру, а описывать её свойства, а класс угадывать.   Урок 8. Тема «Призма» Цель: познакомить с призмой, её свойствами. Оборудование: набор геометрических фигур (шары, конусы, цилиндры, призмы, рисунки, фотографии) Организация процесса ознакомления. Перед вами геометрические фигуры. Задание: разделить на группы. Все эти фигуры вам знакомы? (Нет). Какие фигуры вы знаете? (Шары, цилиндры, конусы). Оставшиеся фигуры можно отнести к какой-нибудь из трёх групп? (Нет). А на какую фигуру они немного похожи? (На цилиндр). Давайте посмотрим, чем они похожи? (Два одинаковых основания). Может, это цилиндр? (Нет). Чем они отличаются? (Цилиндры гладкие, а другие фигуры нет, они не катаются). Вы правильно выделили эти фигуры в одну группу. Они называются «призмы». Такие разные фигуры, и одно название. Что у всех призм общего? (Не катаются, два одинаковых основания). Проведите пальчиком по цилиндру, по кругу по боковой поверхности. Какой он? (Гладкий). Возьмите призму, проведите пальчиком по ней. Что вы чувствуете? Это – рёбра. Посмотрите на бока призмы. Похожа призма на гранённый драгоценный камень? (Да). Эти бока называются гранями. Вы слышали раньше это слово? Вы знаете, почему призма так называется? Слово «призма» произошло от греческого  πρισηα , что означало «отпиленный кусок», или «опиленная». Из чего состоит призма, из каких элементов? Каждая призма имеет грани (два основания и боковые грани), рёбра. Как вы думаете, как называется то место, где сходятся три ребра? (Вершина). Посмотрите на эту призму (треугольная призма). Проведите пальчиком по нижним рёбрам, по верхним. Сколько углов, сколько раз вы укололи пальчик? (Три). Эта призма называется треугольной призмой. Сколько у неё боковых граней? (Три). Сколько углов у основания этой призмы? (Четыре). Сколько боковых граней? (Четыре). Это – четырёхугольная призма. Сколько углов у основания этой призмы? (Шесть). Сколько боковых граней? (Шесть). Это – шестиугольная призма и т.д. Итак, из чего состоит призма? (Призма состоит из двух одинаковых оснований, боковых граней и рёбер). Где в жизни вы встречались с призмами? Посмотрите рисунки, фотографии.     Урок 9 Тема « Параллелепипед и куб» Цель: познакомить с параллелепипедом и кубом. Оборудование: набор геометрических фигур. Организация процесса ознакомления. Что вы знаете про призмы? Из каких элементов она состоит? Посмотрите на эту призму. Какая она? (Четырёхугольная). На что она похожа? (На кирпич, коробку). Такая призма называется параллелепипед.   параллелепипед Где встречается параллелепипед? (брусок, пенал, шкафчик и т.д.). Сколько у параллелепипеда боковых граней? (Четыре) Посмотрите на эту фигуру (куб). Что это? (кубик). Это призма, называется она куб. В чём особенность этой призмы? (Все грани равны). Про грани не говорят, что это – основание куба или боковая грань куба. Про куб говорят, что у него шесть граней. Почему? (Любая грань может быть основанием).             КУБ Где в жизни вы встречали куб? (кубики, кусочки сахара, коробки и т.д.)          Ребята, а куб и параллелепипед – родственники? (Да). Почему? (Куб – это тоже параллелепипед). А параллелепипед – призма? (Да). А куб? (Тоже призма).   Урок 10 Обобщение по теме «Призма» Цель: закрепить понятие «Призма». Оборудование: набор геометрических фигур. Организация процесса закрепления понятия. Что такое призма? (Геометрическая фигура). Из чего она состоит? (Из двух одинаковых оснований, граней и рёбер). Задание: из набора геометрических фигур выбрать только треугольные призмы; только пятиугольные призмы; только кубы. Из предложенных фигур выбрать призму, параллелепипед и куб. Подумайте, сколько надо взять фигур? Поиграем в игру «Молчанка». Показать молча призму. У всех получилось? Возьмите пластилин и слепите эту призму, которая вам больше понравилась. Какие получились призмы? Как их можно разделить на группы? (По цвету, по размеру, по количеству граней). Призмы – великолепный строительный материал. Что можно сделать из ваших призм? Поиграем в игру «Чёрный ящик». Ведущий должен достать из ящика призму.            Урок 11. Тема « ПИРАМИДА» Цель: познакомить с пирамидой, её свойствами. Оборудование: набор геометрических фигур, рисунки, фотографии. Организация процесса ознакомления. Задание: все геометрические фигуры разделить на группы. Все эти фигуры вам знакомы? (Нет). Какие фигуры вы знаете? (Шары, цилиндры, конусы, призмы). Оставшиеся фигуры можно отнести к какой-нибудь из этих групп? (Нет). На какую фигуру они больше всего похожи? (На конус). Чем они похожи? (Одно основание, одна вершина). Чем отличаются? (Конус катается, боковая поверхность гладкая; эти фигуры не катаются, боковая поверхность состоит из граней). Как называются эти фигуры? (Пирамиды). Знаете, почему они так называются? Словом «пирамида» – πυραμιζ  греки называли сооружения, которые воздвигали египтяне в память о своих фараонах. Пирамиды бывают разные. Посмотрите рисунки, фотографии. А где ещё встречаются пирамиды? Посмотрите на эту пирамиду. Проведите пальчиком по нижним рёбрам. Сколько углов? (Три). Значит, это треугольная пирамида и т.д.              ПИРАМИДА Итак, из чего состоит пирамида? (Одно основание, вершина, грани-треугольники, рёбра). Дома записать названия предметов, имеющих форму пирамиды.   урок 12. Обобщение по теме «Призма, пирамида, многогранники» Цель: обобщить знания по темам «Призма» и «Пирамида». Ввести понятие «Многогранник». Оборудование: набор геометрических фигур, пластилин. Организация процесса закрепления понятий.  Вспомните, что такое призма. Выберите призмы из набора. Из чего состоит призма? (Из двух одинаковых оснований, грани рёбер) Возьмите из набора пирамиды. Из чего состоит пирамида? (Из основания, вершины, рёбер, граней) Что объединяет эти фигуры? (У всех есть грани) Посчитайте, сколько граней у этой призмы? (Восемь). У этой пирамиды? (Восемь). Трудно было считать? (Да). Может быть пирамида с двадцатью гранями? А с сорока? (Да). Как вы думаете, легко ли было бы их пересчитать? (Нет). Сколько граней у этой призмы? (Много). Вы, наверное, поняли, что пирамиды и призмы можно назвать одним словом. Каким? (Многогранники). Где вы в жизни встречались с многогранниками? (Карандаш, резинка и т.д.) Запишите слово в тетрадь. Запомните, как оно пишется. Возьмите пластилин. Попробуйте слепить многогранник. Это сложно. Получились многогранники? Если нет, то в чём ошибка? Посмотрите, какие разные у всех фигуры и одно название. Как назвать все эти фигуры? (Многогранники). Что у них у всех общего? (Показать ещё многогранники). Чем отличаются? Что же такое многогранник? (Фигура, состоящая из граней и рёбер). Какие предметы имеют форму многогранника?   Урок 13. Тема «Многогранники и тела вращения» Цель: обобщить и закрепить знания по темам «Многогранники» и «Шар», «Конус», «Цилиндр». Оборудование: набор геометрических фигур, таблица, кроссворд. Организация процесса закрепления. Какие вы знаете многогранники? Покажите их и назовите. Какие ещё знаете фигуры? Поставьте рядом цилиндр, шар, конус и призму. Как вы думаете, имеется ли среди них лишняя фигура? Какая фигура здесь лишняя и почему? Уберите её в сторону. Поставьте рядом все пирамиды и конусы, а в другую группу поставьте все призмы и цилиндры. По какому признаку разделены на группы? Какая фигура лишняя: цилиндр, призма или конус? (конус или призма)   Кроссворд Отгадайте зашифрованное слово. Зашифрованное слово состоит из букв содержащихся в знакомых вам геометрических терминах. Для его расшифровки надо каждое вспомогательное слово записывать вертикально, начиная с той клетки, где указан соответствующий номер. 1. Чтобы угадать первую букву зашифрованного слова, надо назвать общее свойство этих предметов 2. Чтобы угадать вторую букву, нужно назвать фигуру, форму которой имеют эти предметы (цилиндр). 3. Как вы думаете, какой должна быть третья буква? Какое слово из геометрических терминов нужно выбрать? Какой вопрос нужно задать про это слово? 4. Чтобы угадать четвёртую букву слова, нужно назвать фигуру, которая может вращаться только по кругу (конус). 5. Чтобы угадать пятую букву слова, нужно назвать элемент фигуры – общую часть двух соседних граней призмы (ребро). 6. Чтобы угадать шестую букву слов, нужно назвать фигуру, которая выглядит одинаково, откуда бы на неё ли смотреть (шар).         4                   2       6 1   3   5                                                         1.1 Роль задач в развитии интеллекта младших школьников Важнейшую роль при изучении геометрического материала в начальных классах играют задачи, с геометрическим содержанием специально направленные на развитие у младших школьников пространственных представлений, воображения, их речи и мышления, на формирование практических умений и навыков. Решение задач геометрического содержания существенно содействует формированию и развитию геометрических и пространственных представлений у младших школьников. В современной философии образования различают пространство реальное, существующее, «на самом деле», концептуальное, т.е. некоторые научные представления о реальном пространстве. Например, геометрическое пространство: перцептивное, воспринимаемое человеком орган ми чувств. Непонимание отличия геометрического пространства от реального и перцептивного – основная причина трудностей в изучении геометрии. Геометрические фигуры – идеальные объекты. Среди реальных предметов нет геометрических фигур. Но освоение геометрического материала предполагает связь его с реальными объектами. Понимание обеспечивается путем контакта научных знаний с имеющимся у ребенка личностным опытом в окружающем мире. Изучение геометрических объектов предполагает предъявление реальных предметов в качестве материальных моделей этих объектов. На основе выбранных моделей учащиеся создают образы фигур, которые в дальнейшем включаются в процесс оперирования. В педагогике школьной математики с ее направленностью на «аналитику» отсутствуют методики, описывающие организацию условий, способствующих развитию умений создавать и оперировать образами. Чтобы определить, что и когда целесообразно развивать в процессе обучения, необходимо рассмотреть генетические ступени развития мышления. Наглядно-действенное ступень мышления «Маленький ребенок думает мускулами», – говорил известный психолог О.Ша. Ребенок получает результаты, выполняя практические действия. На основе деятельности наглядно-действенного мышления развивается следующая ступень мышления. Наглядно-образная ступень мышления (является приоритетной до 11 лет). Ребенку свойственно, выполняя задания, представлять ситуации, которые описаны в заданиях, и на основе созданных образов совершать преобразования и получать результаты. Понятийная или вербально-логическая ступень мышления – формируется на основе первых двух. Понятие, формирование которого проходит через все эти ступени, включает образы, созданные ребенком в ходе практической деятельности, а значит, является личностно-значимым для ребенка и оперативным. В образах, которые учащиеся создают и которыми оперируют при изучении геометрии, выделены форма, расположение в пространстве, взаимное положение элементов. За эту деятельность отвечает пространственное мышление, которое у учащихся в возрасте до 11 лет является разновидностью образного. Поэтов развивать пространственное мышление необходимо уже у учеников младшего школьного возраста. Эго подтверждают и психологи, исследования которых показали, что пространственные зрительные функции прогрессивно развиваются только до 15 лет. При обучении решению задач необходимо выявить, насколько образы, созданы учеником, адекватны соответствующим геометрическим понятиям. В некоторых учебниках начальной школы встречаются задания на пересечение линий, но в ситуациях, когда жизненное понятие «пересечение» совпадает с математическим понятием и кажется, что усвоение этого понятия не представляет трудностей. Однако стоит предложить учащимся определить пересечение лучей, отрезков в случае, когда они принадлежат одной прямой, фактически правильные ответы отсутствуют. Это объясняется тем, что объем жизненного понятия «пересечения» не включает таких ситуаций. А жизненные понятая и представления сильнее «внешних» знаний, пока последние не станут личностно-значимыми. Поэтому основная задача учителя, работающего в личностно-ориентированной педагогики, помочь ученику научиться связывать изучаемое понятие с образами, входящими в его личностный опыт, а в случае их отсутствия организовать условия для их образования, т.е. научиться подбирать собственную модель понятия. При расхождении жизненных и научных геометрических понятий необходимо организовать практическую деятельность, в которой ученик сможет создать образы, адекватные математическому понятию. Если представления ученика адекватны научному геометрическому понятию, то на него надо опираться при изучении понятия и предоставить возможность ученику самому сконструировать определение, выбрав из существенных свойств понятая минимальный набор этих свойств, который будет задействован в определении. Работа с геометрическими образами при усвоении математики предлагает значительную нагрузку на интеллект, поэтому «насыщение» урока учебным материалом, требующим работы с образом, должно опираться на четкое осознание учителя того, какой тип задач он предлагает ученику. Задачи могут быть связанны с разного рода моделированием геометрических фигур, с вычленением их на заданном чертеже, рисунке, предмете. Это деление фигуры с помощью точек, отрезков и построение новых фигур. Это задачи на измерение отрезков, площадей, поверхностей и объемов фигур. Это также задачи на построение фигур с помощью линейки, циркуля, треугольника без учета размеров и с заданными параметрами, задачи на классификацию фигур, задачи, связанные с формированием навыков чтения чертежей, использованием буквенной символики. Виды геометрических задач, представленных в учебниках математики для начальной школы Для правильного выбора методики обучения младших школьников учитель должен иметь общие представления о системе задач, представленных в учебниках математики для начальной школы. Эта система включает в каждом классе задачи: 1) в которых геометрические фигуры используются как объекты для счета (круга, многоугольники, элементы многоугольников). При решении задач в основном усваивается необходимая терминология, и образуются умения узнавать и различать фигуры; 2) связанные с формированием представлений о геометрических величинах (длина, площадь) и навыков измерения длин отрезка, площадей фигур; 3) вычислительные, связанные с нахождением периметра многоугольника, площади прямоугольника, квадрата и фигуры, которую можно разбить на прямоугольники и квадраты; 4) на элементарные построения геометрических фигур на клетчатой бумаге, на гладкой нелинованной бумаге с помощью линейки, треугольника, циркуля (без учета размеров); 5) на элементарные построения заданными параметрами (треугольники с прямым углом, прямоугольники с заданными сторонами); 6) на классификацию фигур; 7) на деление фигур на части (в том числе на равные части) и на составление фигур из других; 8) связанные с формированием основных навыков чтения геометрических чертежей, использование буквенных обозначений (формированием «геометрической зоркости»); 9) на выявление геометрической формы предметов или их частей; 10) логические задачи, связанные с отношениями: а) принадлежности или непринадлежности; б) параллельности или непараллельности; в) перпендикулярности или неперпендикулярности. 1.2 Методические рекомендации к организации деятельности учащихся в поиске решение некоторых видов геометрических задач 1. Задачи, в которых геометрические фигуры используются как объекты для счета Эта задачи целесообразно использовать на самых первых уроках подготовительного периода, когда идет обучение счету, а затем в теме «Нумерация в пределах 10». При формировании понятия о числе как о количественной характеристике класса равномощных множеств уточняются представления о некоторых геометрических фигурах, в частности, о многоугольниках, выделяя и перечисляя их основные элементы. Например, при формировании понятия о числе 3, можно моделировать треугольник с помощью палочек, полосок и выделять стороны, вершины и углы. Геометрические фигуры должны быть демонстрационными и для индивидуального пользования. Сами фигуры должны быть разного цвета, размера, формы и могут быть изготовлены из различных материалов. В. H. Рудницкая (автор учебника математики по системе Н. Ф. Виноградовой) рекомендует использовать набор из 24 геометрических фигур. Предлагаются четыре различные геометрические фигуры: треугольник, квадрат, круг, пятиугольник, эти фигуры должны быть разного цвета: гласного, желтого, зеленого и быть разного размера (большими и маленькими). Использование геометрического набора развивает воображение, память и мышление младших школьников при выполнении различных учебных заданий: а) каких фигур больше треугольников или квадратов; б) каких кругов больше больших или маленьких; в) запиши цифрами число: 1) больших квадратов, 2) маленьких красных квадратов, 3) маленьких кругов, 4) больших зеленых квадратов и т.п. Набор из 24 геометрических фигур используется для обучения логическому приему классификации (разложить фигуры по цвету, по размеру, по форме), для формирования умения различать фигуры и называть их по трем признакам: цвету, размеру и форме. Набор позволяет формировать названные, умения в процессе игры с «Машиной – преобразователем». 2. Задачи, связанные с формированием представлений о геометрических величинах Для формирования правильных представлений о длине, площади, объеме надо правильно подобрать систему задач. Эго могут быть задачи на сравнение объектов, на классификацию, на наблюдение и анализ объектов и явлений. При подборе заданий следует помнить, что для правильного формирования понятий следует варьировать средства наглядности, сохраняя существенные признаки формируемого понятия. Примеры задач: а) верно ли утверждение, что площади всех данных фигур одинаковы? Как это проверить?                           1                                                             2                                                                                    3 Рис.1. б) назови номера фигур, у которых одинаковые площади. Как ты можешь проверить свой ответ?  1   2  3   4   5   6 в) разбей фигуры на 2 группы так, чтобы любая фигура одной группы помещалась в любой фигуре другой группы. 3. Вычислительные задачи Так как это вычислительные задачи, то в них можно сохранить все этапы работы над арифметической текстовой задачей, т.е. начать с анализа текста задачи, выяснить, о какой фигуре говорится, начертить эту фигуру (вспомогательная модель), выделить данные элементы и вопрос задачи. Следующий шаг это разбор задачи. Целесообразно вести разбор от вопроса, т.е. выяснить, можем ли мы фазу ответить на вопрос задачи, если нет, то каких данных не хватает, можем ли мы их найти, если можем, то как? Далее идет оформление решение задачи и запись ответа. Задача. «Ширина прямоугольника 12 см., а длина на 5 см. больше. Вычислите площадь прямоугольника. Чему равен его периметр?». Анализ текста Предлагаем задачу прочитать про себя, а затем вслух и выделить, о какой фигуре говорится в задаче. В процессе анализа текста выполняем вспомогательную модель. Предлагаем начертить прямоугольник. Выясняем, что означают величины 12 см. и 5 см., выделяем вопросы задачи. В результате на доске и в тетради появляется рисунок (Рис. )   12 см   S – ? Р – ?                        ?, на 5 см б. Разбор задачи Можно ли сразу найти площадь прямоугольника? (нет, так как неизвестна длина). А можно ли найти длину? (да) Каким действием? (сложением). Почему сложение? Зная ширину и узнав длину, мы сможем ответить на вопрос задачи? (да). Каким действием? Почему? И как? Можем ли мы теперь найти периметр? Как найти периметр? Составляем устно план решения. Оформление решения задачи Предлагаем ребятам записать решение задачи под рисунком по действиям с краткими пояснениями. 1) 12 + 5 = 17 (см) – длина прямоугольника. 2) 12 ∙ 17 = 204 (см2) – площадь прямоугольника. 3) (12 + 17) ∙ 2 = 58 (см) – периметр прямоугольника. Формулировка и запись ответа. Ответ: 204 см2,58 см 4. Задачи на построение Справка В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами. С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести: – произвольную прямую; – произвольную прямую, проходящую через данную точку; – прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления. Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки. Рассмотрим простейшие задачи на построение. 1. Построение вписанных многоугольников Среди разнообразных случаев взаимного расположения фигур на плоскости особый интерес представляет расположение многоугольника и окружности, а именно, когда все вершины многоугольника лежат на окружности (Рис. 1)..      Рис.1. Треугольник вписанный в окружность В этом случае многоугольник называют вписанным в окружность, а окружность – описанной около многоугольника. Эти задачи рассматриваются в 3 классе, где не ставится цель рассмотреть теорию вписанных многоугольников в полном объеме. Учителю следует ограничиться ознакомлением учащихся с понятием «вписанный многоугольник» и научить решать простые задачи. Рассмотрим пример задачи. Задача. «Перечерти в тетрадь квадрат. Построй окружность так, чтобы все вершины квадрата оказались на окружности». После чтения текста задачи следует уточнить с учащимися, что надо знать, чтобы выполнить задание. (Надо знать, как выбрать центр и радиус окружности). Пусть дети выскажут свои предположения и попытаются их обосновать. Если у них возникнут трудности, то обратить внимание на то, что вершины квадрата должны лежать на окружности, следовательно, надо найти точку, равноудаленную от вершин квадрата. Это точка пересечения ее диагоналей. 2. Построение симметричных фигур Справка. Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной фигуры. Симметрия относительно точки. Пусть О – фиксированная точка и А – произвольная точка плоскости (Рис. 2). Рис.2. Симметрия относительно точки Отложим на продолжение отрезка ОА за точку О отрезок ОА1 равный ОА Точка А1называется симметричный точке А относительно точке О. Точка, симметрично точке О, есть сама точка О. Очевидно, что точка, симметричная точке А1,естьточка А. Рис.3 Центральная симметрия Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая ее точка A переходит в точку A1, симметричную относительно данной точке О, называется преобразованием симметрии относительно точке О. При этом фигуры F и F1 называются симметричны относительно точке О. Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется центром симметрии фигуры. Примером центрально-симметричной фигуры является квадрат. Его центром симметрии является точка пересечения диагонали (Рис. 3). Рис.4. Симметрия относительно точки Симметрия относительно прямой. Пусть l – фиксированная прямая (Рис. 5). Рис. 5. Симметрия относительно прямой Возьмем произвольную точку А опустим перпендикуляр АО напрямую l. На продолжении перпендикуляра за точку О отложим отрезок ОA1 равный отрезку AО. Точка A1 называется симметричной точке A относительно прямой l. Если точка A лежит на прямой l, то симметричная ей точка есть сама точка. Очевидно, что точка, симметричная точке A1 есть точка A. Преобразование фигуры F в фигуру F1 при котором каждая её точка A переходит в точку A1 симметричную относительно данной прямой l, называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигурыF и F1 называются симметричными относительно прямой l. Если преобразование симметрии относительно прямой l переводит фигуру F в себя, то это фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры (Рис.6). Рис.6. Осевая симметрии Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника. Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии. Прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей квадрата параллельно его сторонам и прямые, на которых лежат диагонали квадрата, являются его осями симметрии. Рис.7. Оси симметрии плоских фигур Построение симметричных фигур с помощью угольника и линейки. До 3 класса симметричные фигуры учащиеся строили, используя клетчатый фон тетради. В 3 классе с введением понятия о перпендикулярных прямых появилась возможность выполнять построение плоских фигур с помощью угольника и линейки. Вначале с помощью кальки проверяется перпендикулярность оси симметрии и прямой, проходящей через симметричные относительно этой оси точки. Затем учащиеся учатся строить прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через данную точку. Овладев этим умением, дети без труда построят точку или любую другую фигуру симметричную данной фигуре. План построения точки, симметричной относительно оси с помощью угольника и линейки Чтобы построить точку, симметричную данной относительно какой-нибудь оси, нужно: 1) построить прямую, проходящую через эту точку, перпендикулярно оси; 2) отметить на построенной прямой точку, находящуюся на том же расстоянии от оси, что и данная точка. Данный план может быть получен на основе понятия точек, симметричных относительно прямой и понятий о перпендикулярности прямых. Задача. Скопируй чертеж на лист кальки. Построй с помощью чертежных инструментов точки, симметричные вершинам треугольника. Соедини эти точки отрезками. Проверь перегибанием, симметричны ли относительно оси оба треугольника.   В процессе выполнения этого задания учащиеся приходят к выводу, что построение треугольника, симметричного данному относительно оси, по существу, сводится к построению точек симметричных вершинам треугольника. В дальнейшем этот прием построения будет перенесен и на другие геометрические фигуры (четырехугольники, пятиугольники, отрезки, ломаные и т.д.). Например, чтоб построить ломаную, симметричную данной, мы сначала построим точки, симметричные ее вершинам, затем последовательно соединим их отрезками (это будут звенья ломаной). Данная и полученная ломаные симметричны. 3. Построение параллельных прямых Справка. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. При этом, прямые считаются неограниченно продолженными в обоих направлениях. Для обозначения параллельности прямых используется значок ║. Запись а║b читается: «Прямая а параллельна прямой b». Основное свойство параллельности прямых состоит в следующем: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной». Признаки параллельности прямых: 1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу. 2. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Рис.8. Две параллельные прямые пересечены третьей Углы 1 и 3 – внутренние накрест лежащие. Углы 3 и 2 внутренние односторонние. Из этих двух теорем следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (Рис. 9). Рис.9. Две параллельные прямые перпендикулярны третьей Построение параллельных прямых важное практическое умение. Уже в начальной школе оно очень необходимо учащимся. Желательно, чтобы учащиеся сами попытались рассказать, как выполняют эту работу. При проведении прямой, параллельной другой прямой, линейка должна оставаться неподвижной, а угольник должен скользить по краю линейки. с Рис.10. Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки   Рис.11. Построение перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки 4. Построения прямоугольника с помощью линейки и угольника Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые: Диагонали прямоугольника равны. Прямоугольник легко построить, используя клетчатый фон тетради. Однако часто ученику бывает необходимо построить прямоугольник на чистом или цветном листе бумаги или картона. Поэтому на уроках математики учащимся полезно показать способ построения прямоугольника с помощью угольника и линейки. Для этого каждому ученику потребуется угольник со шкалой и линейка. Задача. Построй прямоугольник, длина которого 4 см 5мм, а ширина 2 см 5 мм, как это делали Волки Заяц. Построение должно выполняться учащимися на нелинованном листе бумаги под руководством учителя. Дети с места комментируют этапы работы, а учитель дублирует построение на доске. 1. С помощью чертежного угольника строим прямой угол. Вершина угла (точка А) – одна из вершин прямоугольника.         А 2. На сторонах угла от его вершины с помощью линейки откладываем отрезки АВ и АС длинной 4 см 5мм и 2 см 5 мм (АВ = 4 см 5мм, АС = 2 см 5 мм). Эти отрезки – стороны прямоугольника, а их концы – вершины прямоугольника. С       А                                               В   3. С помощью угольника и линейки строим прямую, параллельную лучу АВ и проходящую через точку С. С         А                                               В   4. На построенной прямой от точки С с помощью линейки откладываем отрезок СЕ длинной 4 см. 5 мм. Этот отрезок - сторона прямоугольника, а точка Е – его вершина. С                                                Е         А                                                В   5. Соединяем по линейке точки BE. Отрезок BE – сторона прямоугольника. Мы построили прямоугольник АВЕС. С                                                Е         А                                                В   В четвертом классе рассматривается задача на построение прямоугольника с помощью линейки и транспортира. 5. Построение с помощью циркуля и линейки Анализ содержания программы по математике и учебников В. Л. Рудницкой и Т. В. Юдачёвой (в концепции «Начальная школа XXI века», руководитель Виноградова Н. Ф.) позволил нам выявить основные виды задач на построение с помощью циркуля и линейки. Это задачи на: – деление отрезка на 2,4,6 и т.д. равных частей; – построение отрезка и угла, равного данному; – построение треугольников по трем сторонам, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними. Однако решение задач на построение с помощью циркуля и линейки в четвертом классе не предусмотрены программой, они решаются в систематическом курсе геометрии, выделяя все этапы: анализ, построение, доказательство, исследование. В четвертом классе мы можем лишь показать все шага построения на отдельных рисунках и провести доказательства способом наложения при помощи кальки или перегибанием. Справка. Оказывается, что многие построения можно выполнить с помощью только циркуля и линейки без масштабных делений. Поэтому в геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с помощью только этих двух инструментов. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а так же построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а так же окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Выполняя эти несложные операции, можно решить много интересных задач на построение: построить угол, равный данному углу; через данную точку провести прямую перпендикулярную к данной прямой; разделить данный отрезок пополам и другие. В начальных классах учащимся предлагаются следующие задачи на построение с помощью циркуля и линейки: 1) построение прямого угла и деление отрезка пополам; 2) построение треугольника с двумя равными сторонами; 3) построение треугольника по трем заданным сторонам; 4) построение прямоугольника (квадрата) используя окружность. Обязательного усвоения этих построений требовать от всех учащихся нецелесообразно. Их полезно предложить как дополнительный материал. В этом случае методика обучения построению сводится к чтению текста учебника совместно с учителем и выполнение соответствующих действий вслед за ним. К этим задачам учащиеся более подробно возвращаются в 5-6 классах. Этапы решения задачи на построение 1. Анализ и составление план решения. 2. Построение в соответствии с составленным планом решения. 3. Доказательство. 4. Исследование.   Задача. Построить биссектрису данного угла. 1. Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, описываем окружностьпроизвольного радиуса (Рис. 1). Пусть В и С – точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D – точка их пересечения, отличная от А. Проводим полупрямую AD. Луч AD является биссектрисой, так как делит угол ВАС пополам. Эго следует из равенства треугольников ABD и ACD, из которых углы DАВ и DAC – соответственные. . 2. Решение.     Рис. 2 а         Рис. 3 в Анализ. Дан угол А, а значит, его вершина точка А, его стороны лучи АВ и АС (рис. 2а). Нужно построить биссектрису этого угла. Предположим, что построили биссектрису AD угла А (рис. 2б). Как же ее построить с помощью циркуля и линейки? Ясно, что угол BAD должен быть равен углу CAD. Значит, нужно иметь два равных треугольника ABD и ACD, в которых углы BAD и CAD - соответственные. Нужные треугольники должны иметь по три равных стороны Алгоритм построения 1. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть М и К - точки ее пересечения со сторонами угла (рис. За), получили две стороны одинаковой длинны в искомых треугольниках. 2. Из точек М и К тем же радиусом проводим окружности. Пусть D - точка их пересечения, отличная от А (рис. 36). Получим еще две стороны искомых треугольников. 3. Проводим полупрямую AD. Видно, что AD - общая сторона нужных треугольников и искомая биссектриса угла А (рис. Зв). Доказательство Получили два треугольника AMD и AKD. Они равны по признаку равенства треугольников по трем сторонам. Из равенства этих треугольников следует равенство углов MAD и KAD. Исследование Задача имеет единственное решение, так как две окружности во внутренней области угла пересекаются в единственной точке. Через вершину данного угла и точку пересечения окружностей проходит единственная прямая (аксиома прямых). Сравнив эти два способа оформления решения можно сделать вывод, что первый вариант записи решения короче, он занимает мало места, но на этом его достоинства кончаются. На одном рисунке учащиеся не видят всех этапов построения. В то время как при втором способе оформления решения использование пяти рисунков позволяет учащимся в динамике увидеть течение хода мысли.   5. Задачи на деление фигур на части (в том числе на равные части) и на составление фигур из других 1. Задачи на деление фигур на заданные фигуры К таким задачам можно отнести такие упражнения: 1) Найди на каждом чертеже (рис.104) отрезок, который делит четырехугольникАВСД: 1) на два четырехугольника; 2) на четырехугольник и треугольник.   2) Покажи, как провести в каждой из данных фигур один отрезок, чтобы получился квадрат (рис.105). Найди площадь каждого из полученных квадратов. При решении этих задач учащиеся используется метод подбора применяя для обведения контура фломастеры разного цвета. 2. Задачи на составление фигур. Сюда входят такие задания: а) из счетных палочек постройте треугольник, четырехугольник (1 класс); б) используя чертеж, начерти два таких треугольника и составь четырехугольник(рис.101); в) начерти и вырежи два таких четырехугольник (рис.101). Составь из них прямоугольник и найди сумму длин его сторон (2 класс); г) начерти и вырежи такие прямоугольники (рис.102 ). Затем сложи из них квадрат (3 класс);   д) рассмотри рисунок 103 и расскажи, как из двух равных квадратов или их частей сложили: 1) один прямоугольник; 2) один квадрат; 3) один треугольник (3 класс). Методика решения этих задач основана на практической деятельности детей, предложенной в задании. Эти задания развивают у учащихся внимание, восприятие и воображение. Рис.103 6. Задачи на распознавание геометрических фигур Особое место при формировании геометрических понятий занимают задачи на распознавание геометрических объектов. Эти задачи способствуют формированию логического действия «подведение под определение». Сюда относятся задачи с взаимопроникающими элементами, в том числе задания вида: Рассмотри данные фигуры 1. Назови многоугольники, не содержащие угол А. 2. Назови многоугольники, содержание угол Д. 3. Выпиши названия фигур, для которых отрезок СД является общей стороной. Задачи на распознавание фигур являются частью задач на деление фигур, т.к. всякое деление на заданную фигуру начинается с распознавания в воображении. В задачах на распознавание требуется ответить на вопрос: принадлежит тот или иной объект объему данного понятия или не принадлежит. Как известно структура явного определения такова: а <=> с + Р, где а – определяемое понятие; с – родовое понятие; Р – видовое отличие. Следовательно: Va= {х/х  Vc и P(x) }, значит при решении задач на распознавание необходимо сделать следующее. 1. Проверить, принадлежит ли объект к объему родового понятия. 2. Если х не принадлежит объему родового понятия, то делаем вывод, что х не принадлежит объему определяемого понятия. 3. Если х принадлежит объему родового понятия, то продолжаем проверку, выясняем обладает ли х свойства Р. 4. Если объект х обладает свойством Р, то делает вывод о принадлежности его объему определяемого понятиям. 5. Если же х не обладает свойством Р, то делаем вывод, что он не принадлежит объему определяемого понятия. В этом алгоритме раскрывается логика решения задач на распознавание. Таким образом, анализ программ и анализ содержания учебников математики начальной школы различных авторов, позволяют нам сделать вывод о том, что геометрические задачи играют особую роль в развитии интеллекта младших школьников, в формировании геометрических понятий и представлений при умелом руководстве учителем организации поиска решения задачи.