Общие теоремы строительной механики. Определение перемещений конструкций.

Лекции 2. Общи ие теорем мы строиттельной механики м и. Определение перем мещений конструк кций Рассмоотрим линеейно-упруггие стержн невые систтемы – сиистемы, перемещенияя в котоорых малы ы (для деф формаций пподходят соотношен ния Коши)) и матери иал линейн ноупруугий (подчи иняется зак кону Гука).. 1. Оббобщенны ые силы и обобщенны о ые перемещ щения Внешн ние силы, действуяя на стер ржневую систему, с ссовершаютт работу на сооттветствующ щих этим силам перремещенияях. Введем м понятиее обобщен нной силы ы и переемещения. При иззгибе балки и обобщеннной силой является си ила P , этаа сила совершает рабооту на пееремещени ии v (это прогиб п сечеения под си илой) (рис. 2.1). Рисуно ок 2.1 Обобщ щенная сил ла момент M соверш шает работту на переемещении  (рис. 2.2). Обоббщенной силе с в вид де распредделенной нагрузки н интенсивно и остью q соответству с ует обоббщенное пееремещение в виде пллощади эпю юры  под д функциейй прогибовв балки v  z  (рис. 2.3). Разм мерности об бобщенныхх сил могутт быть разл личными. Рисуно ок 2.2 Рисуно ок 2.3 2. Пр ринцип ви иртуальны ых перемещ щений для я упругих систем с Принц цип вирту уальных перемещен ний, пред дложенныйй Даламб бером, даает необбходимое и достаточн ное условиее равновеси ия системы ы со стациоонарными (не ( зависятт от врем мени) и ид деальными (реакция связи не совершает с работу наа допускаеемых связяями переемещениях)) связями. Принц цип вирту уальных перемещеений (пр ринцип ввиртуально ой работы): необбходимым и достато очным услоовием равн новесия системы явлляется раввенство нуулю сумм мы работ, совершаем с мых всеми ссилами на любых л вирт туальных пперемещени иях систем мы A  0 . (2.1) Для гееометричесски неизм меняемой системы, с состоящей с из недеф формируем мых элем ментов, этто условиее выполняяется тож ждественно,, так какк любые виртуальн ные переемещения равны р нулю ю. Но в д еформируеемой систееме возмож жны перем мещения. При П этом м кроме внеешних сил л работу буудут соверш шать и вну утренние ссилы, возни икающие при п дефоормировани ии. Поэто ому для деформир руемой системы с ппринцип виртуальн ных переемещений записывают з т как сумму му виртуалььных работ внешних и внутренн них сил: Aвнеш  Aвнутр  0 . (2.2) 3. Ваариационн ный принц цип Лагран нжа В качеестве внеш шних сил буудем рассм матривать потенциалльные (консервативны ые) силы ы; к ним относятся о силы тяжеести и сил лы упругости. Работ та потенц циальных сил с опрееделяется только на ачальным и конечным м положением сист темы и не зависит от споссоба достиижения кон нечного соостояния, то т есть нее зависит, например р, от поряд дка прилложения сиил. Работа а потенцииальных силл равна уб быванию ннекоторой функции U , полуучившей наззвание пот тенциала илли потенци иальной энеергии A  U . Тогдда для вирттуальных пееремещениий, совпадаающих с деействительнными перем мещениями и B A    dU  U  A   U  B  . (2.3) A Силы упругости – потенциальные силы. Пусть U - потенциал внутренних сил упругости (потенциальная энергия упругой деформации) упругой системы, тогда Aвнутр  U , (2.4) Aвнеш  U . (2.5) а по формуле (2.2) Это означает, что если упругая система находится в равновесии, то виртуальная работа внешних сил равна вариации потенциальной энергии упругой деформации системы. Пусть внешние силы тоже потенциальные с потенциалом П (система консервативная, то есть вся потенциальная энергия этих сил идет на совершение работы, без потерь) Aвнеш  П , В этом случае из (2.2) и (2.4) получим U  П  0 , или Э  0 . Эти условия получили название вариационного принципа Лагранжа: в положении равновесия полная энергия системы принимает стационарное значение. 4. Теорема Клапейрона Будем рассматривать линейно-упругие консервативные системы, то есть системы, в которых обобщенные перемещения пропорциональны обобщенным силам, которые, в свою очередь, являются потенциальными. Материал в таких системах подчиняется закону Гука, а перемещения малы по сравнению с характерными размерами системы. Рассмотрим квазистатическое нагружение линейно-упругой системы группой обобщенных потенциальных сил Q1 , Q2 , …, Qn . В процессе приложения каждая из этих сил меняется от 0 до конечного значения Qi , i  1,..., n . Для простоты будем полагать, * что в процессе нагружения каждая сила меняется пропорционально параметру 0    1, тогда Qi  Qi* . * Обозначим конечное значение соответствующего перемещения ui . В силу линейной зависимости между силами и перемещениями перемещения также будут возрастать пропорционально параметру  : ui  ui* . Виртуальная работа этих сил совершается на виртуальных перемещениях, совместимых со связями. В момент, соответствующий параметру  n n i 1 i 1 n A   Qi ui   Q   u    Qi*ui*    . * i * i i 1 Полная работа квазистатического нагружения: 1 n A    Qi*ui*d   0 i 1 1 n * *  Qi ui . 2 i 1 В дальнейшем будем звездочки опускать, подразумевая конечные значения сил. Теорема Клапейрона. Работа внешних сил при квазистатическом приложении равна половине суммы произведений их окончательных значений на соответствующие этим силам перемещения. 1 n A   Qi ui . 2 i 1 (2.6) При квазистатическом нагружении линейно-упругой системы внешние силы совершают работу A , и она вся без потерь накапливается в системе в виде потенциальной энергии упругой деформации: U 1 n  Qi ui . 2 i 1 (2.7) Это формула Клапейрона для потенциальной энергии упругой деформации. 5. Теорема взаимности работ Бетти и принцип взаимности перемещений Максвелла Группа сил может включать в себя одну силу или несколько сил. Группа сил соответствует одному нагружению, например, нагрузки от собственного веса или нагрузка от определенного оборудования, технологическая нагрузка и т.д. Загрузим линейно-упругую систему двумя группами потенциальных сил Q j и Qk дважды, так что в первом случае сначала действует группа сил Q j , а потом Qk , а во втором – наоборот. Начальное и конечное состояния системы в обоих случаях совпадают, значит, и работа, совершенная в первом и втором случаях, одинаковая. Тогда в первом случае полная работа равна A  Ajj  Ajk  Akk , где Ajj - работа сил группы Q j на её собственных перемещениях, Ajk - работа сил группы Q j на перемещениях группы Qk , (2.8) Akk - работа р сил группы Qk на собстввенных пер ремещенияхх. Работаа во втором м случае буддет равна A  Akk  Akj  Ajj . (2 2.9) Сравни ивая эти рааботы в (2.88) и (2.9), получим, п чтто Akj  A jk (2 2.10) Теорем ма взаимно ости Бетти:: для упруго ой консерввативной сиистемы ра абота сил j тогоо нагружеения на пееремещения иях k -того нагружеения равнаа работе сил k -тоого нагруужения наа перемещениях j -тоого нагруж жения. Из теооремы Беттти вытекаеет принцип п взаимностти перемещ щений Максвелла: ессли два силовых вооздействияя численноо равны, то т перемещ щение от первого во оздействияя в напрравлении вт торого равн но перемещ щению от второго в в направлени н ии первого. Докаазательствоо (см. рис.2 2.4) Рисуно ок 2.4 Q j  Qk , то Из теорремы Бетти и следует, ччто Q j ukj  Qk u jk , если е ukj  u jk . (2 2.11) Если Q j  Qk  1 , то получчаем случай взаимноссти единиччных перем мещений f kj  f jk . (2 2.12) 6. Формула Каастильяно Для линейно-уп л пругой сиистемы об бобщенныее перемещ щения естть линейн ная одноородная фуункция обоб бщенных ссил: n u j   Qk f jk , j  1,..., 1 n. k 1 Подстаавляя (2.13) в формуллу для потенциальной й энергии (22.7), получим (2.13)) 1 n n U   f jk Qk Q j , 2 j 1 k 1 (2.14) то есть потенциальная энергия является квадратичной формой обобщенных сил. Она характеризуется симметричной матрицей единичных перемещений или матрица податливости F   f jk  . По первому принципу термодинамики потенциальная энергия является положительно-определенной квадратичной формой, поэтому все угловые миноры матрицы, в том числе и ее определитель det  f jk  положительны. Частная производная от потенциальной энергии по обобщенной силе U 1 n n   Qk  f jk  f kj  , Q j 2 j 1 k 1 с учетом взаимности единичных перемещений (2.12) и представления перемещений (2.13) получаем формулу Кастильяно: U  uj . Q j (2.15) Таким образом, частная производная от потенциальной энергии упругой деформации системы по обобщенной силе равна соответствующему обобщенному перемещению. 7. Формула Лагранжа Формулу (2.13) n u j   Qk f jk , j  1,..., n k 1 можно рассматривать как систему линейных неоднородных уравнений относительно обобщенных сил Q j с главным определителем, не равным нулю. Решение этой системы представим в виде: n Q j   k jk uk , j  1,..., n , (2.16) k 1 где K   k jk   F 1 - матрица жесткости системы, также симметричная, как и матрица податливости. Подставляя в (2.16) формулу (2.7), получим выражение для потенциальной энергии в виде квадратичной формы обобщенных перемещений 1 n n U    k jk uk u j . 2 j 1 k 1 (2.17) Вычисляя частну ую произвводную от U по об бобщенном му перемещ щению u j и учиттывая симм метрию  k jkj  , получааем формул лу Лагранж жа: U  Qj . u j (2.18) Соглассно этой фо ормуле, часстная прои изводная от потенцииальной энеергии упруггой дефоормации системы по обоббщенному перемещеению равнна соотвветствующ щей обоббщенной сииле. 8. Поотенциаль ьная энергия упруго й деформа ации Рисуно ок 2.5 Поставвим задачу у – опредеелить потеенциальную ю энергию ю для тела объемом V (рисуунок 2.5). Найдем этту энергию ю, суммиру уя по объеему тела эннергию дляя бесконеч чно малы ых элементов объем мом dV  dx  dy  dz . На граанице этогго элементта действууют норм мальные и касательн ные силы  x dy  dz ,  yx dy  dzz , … являяются по отношению о ю к этом му элементуу силами внешними. в По форму уле (2.7) по отенциальнная энергияя равна сум мме рабоот внешнихх сил: U 1 n  Qi ui . 2 i 1 При квазистатич к ческом наагружении работа нормальной н й силы  x dy  dz на переемещении  x dx (  x - относитеельная линеейная дефо ормация в направлен нии оси Ox O ) равн на (Рисунокк 2.6) 1 1 d    x x dV .   x dyy  dz     xdx 2 2 Рисуно ок 2.6 Работаа силы  yx dy d  dz на пперемещениии  yx dz равна р (  yx - угол сдви ига) 1 1  yx dy  dz     yx dz d    yxx  yx dV .  2 2 Записы ывая анало огичные вы ыражения для осталььных норм мальных и касательн ных сил, получим для д энергии и объема V ddU  1  x x   y y   z  z  xy  xy  yzy  yz   zx  zx  dV . 2 (2.19)) Потенц циальная энергия, э оотнесенная к единиц це объема,, называеттся удельн ной потеенциальной й энергией или плотноостью потеенциальной й энергии уупругой деф формации  dU 1    x x   y  y  z  z   xy  xyy   yz  yz   zx  zx  . dV 2 (2.20)) По форрмулам объемного заакона Гукаа можно вы ыразить пллотность по отенциальн ной энерргии в виде квадратич чной формы ы деформац ций или напряжений. По закону у Гука:  1 x    y   z  ,  xy  xy ,  E G  1  y  y    x   z  ,  yz  yz , E G 1  z  z    x   y  ,  xz  xz . E G x  (2.21)) Подстаавляя (2.21) в (2.20), пполучим    1  x 2   y 2   z 2  2   x  y   y  z   z  x   2E 1   xy 2   yz 2   xxz 2  .  2G (2.22)) В главн ных площаадках потеннциальная энергия равна  1 12  2 2  32  2  12  23  13   .  2E (2.23)) Потенц циальная эн нергия всегго тела пол лучается ин нтегрироваанием по об бъему U   dV d . (2.24)) V 9. Поотенциаль ьная энергия плоскоой деформа ации призм матическоого стержн ня Рисуно ок 2.7 Рассмоотрим прям молинейны ый стержень, нагружеенный силаами, лежащ щими в одн ной главн ной плосккости инерции стерж жня (прямо ой попереч чный изгибб, упрощен нное плосккое напрряженное состояние). Плотностьь потенциал льной энер ргии 2  z 2  yz   . 2 E 2G (2.25)) Полнаяя потенциаальная энерргия l   z 2  yz 2    z 2  yz 2  1 U     dV   dz    dF F.  2 E 2G   2 E 2G  2 V  F   (2.26)) Вырази им последн нюю форм мулу через внутренни ие силовыее факторы. Нормальн ные напрряжения об бусловлены ы изгибающ щим моменттом M x и продольноой силой N z : z  Nz M x  y, F Ix I x   y 2 dF . (2.27)) F Касатеельные возн никают из--за попереч чной силы Q y (ф-ла Д Д.И.Журавского):  yz  Q y S x I xby , (2.28))  где S x - стати ический момент частти сеченияя выше уро овня y , by - ширин на сечения на этом м уровне. Подстаавляя выраажения (2..28) и (2.2 29) в (2.26 6) и интеггрируя с учетом, что ч S x   ydF  0 , получим м: F 2 1  M x 2 N z 2 Qy  U      dz , 2 l  EI x EF E GF F  (2.29)) здесьь  - безраазмерный коэффициен к нт, учитыввающий гео ометрию сеечения F  Ix 2  S x  F  by  dF .   (2.30)) Для пррямоугольн ного сечениия   6 / 5 , для кругового   10 / 9 . Сравни им вклад от каж ждого вну утреннего силовогоо фактораа в общ щую потеенциальную ю энергию системы. Рисуно ок 2.8 Рассмоотрим раму у (рис. 2.8).. Под l в (2 2.29) будем м пониматьь суммарну ую длину вссех стерж жней системы. Оцен нку вклада проведем по порядк ку величинн. Внутрен нние силоввые фактторы будутт иметь пор рядок N z : ql , M x : ql 2 , 2 геометрические характеристики сечения F : h , Q y : ql , I x : h 4 , упругие постоянные E : G . Тогда N z 2l  ql  l q 2l 3 : :  2, EF Eh 2 Eh 2 2 Qy l  ql  l q 2l 3  2, : : GF Eh 2 Eh 2 U Nz U Qy 2 M x 2l  ql  l q 2l 5  4. : : EI x Eh 4 Eh 2 U Mx Относительный вклад от продольной и поперечной сил по сравнению с вкладом от изгибающего момента 2 U Nz U Qy  h  :   .  U Mx U Mx  l  (2.31) 2 h Так как для стержневых систем    1 , то энергией растяжения и сдвига l чаще всего пренебрегают. Обычно h 1 : и погрешность при отказе от U Nz и U Qy равна l 10 1-5%. Исключением является ферма, где стержни работают в основном на растяжениесжатие. В арках, особенно в арках рационального очертания, также преобладают продольные усилия. 10. Потенциальная энергия пространственной деформации призматического стержня В поперечном сечении такого стержня возникают все 6 внутренних силовых факторов. 2 2 1  M x2 M y M z 2 N z 2  xQx 2  yQy  U         dz . 2 l  EI x EI y GI p EF GF GF  Для большинства стержневых систем вкладом растяжения и сдвига можно пренебречь, а доминируют изгибающие и крутящий моменты. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 1. Поонятие о перемещен п ниях При вооздействии и нагрузки,, температу уры и других факторров сооруж жение меняяет свою ю форму, а его точки получают п пперемещен ния. Перемеещение – векторная величина. Перемещ щение любоой точки на н плоскоссти можн но задать через ч его модуль м и ннаправлени ие. Например, вектор перемещен ния точкки А рамы ы в точку А’ (рис. 2.9 а) оп пределяетсся через еего модульь ∆ (напрравление) и уггол (рис. 2..9 б). А этии величины ы можно оп пределять ччерез гориззонтальную юи верти икальную составляющ с щие ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ и∆ вектор ра перемещ щения ∆ ∆ , ∆ пательные перемещеения ∆ , ∆ Поступ переемещениям ми, а и ∆ будем называть линейным ми – угловым у пееремещени ием. Рисуно ок 2.9 мещений основаны о на н определлении рабо от внешнихх и Методы определения перем внуттренних сил. В механ нике рассм матриваютсся два видаа таких раббот – дейсттвительныее и возм можные раб боты. 2. Деействитель ьные рабо оты внешн них и внутр ренних сил л. Потенциальная энергия Дейст твительны ым перемещ щением наазывается перемещени п ие, вызван нное силой по напрравлению ее е действи ия (рис. 22.10 а). В упругих системах перемещен ние ∆ пряямо проп порциональьно действу ующей силле и выполн няется зако он Гука ∆ где коээффициентт называеется податл ливостью.. Эта заввисимость представляяется в вид де диаграмм мы ∆ –P (риис. 2.10 б). Рисунок 2.10 Дейст твительной й работо й называеется работта силы нна ее дей йствительн ном переемещении. Действвительную работу силлы P можно о найти по рис. 8.2 б: 1 ∆ 2 Эта фоормула опр ределяет т теорему Клапейрона К а: сила, деййствующаяя на упруггую сист тему, соверршает рабо оту, равную ю половинее произведеения силы нна ее перем мещение. Исполььзуя закон Гука, полуучаем 1 2 Из форрмулы след дует, что вннешняя сила совершаеет положиительную работу. р Если на н систему действуют д т несколько о сил, по пр ринципу сууперпозици ии 1 2 ∆ В идееально-упру угой систтеме предп полагаетсяя, что раббота внеш шних сил W полн ностью перреходит в потенциальнную энерги ию деформации U: W =U. Если убрать у внеш шние силы ы, упругая система с во озвратится в исходное положен ние. Эту работу совершают внутренн ние силы. Так как работа вннешних си ил W всеггда полоожительна, то работа внутренниих сил V буд дет отрицательной: W=–V. м работу вннутренних сил с стержн невой систеемы. Теперьь вычислим а) Рабоота продол льной силы ыN Пара продольных п х сил N, ддействующ щих на элем мент dx, пр приводит к его чистоому растяяжению (ри ис. 2.11 а). Рисунок 2.11 По т теореме Клапейрона К а эти силы на общей ддеформаци ии элемен нта (дейсствительноом перемещ щении) ∆ совершаютт действитеельную рабботу 1 2 ∙∆ С учеттом закона Гука Г при ррастяжении и ∆ получи им 2 где E – модуль Юнга, Ю F – пллощадь сеч чения, EF – жесткостьь на растяж жение. б) Рабоота изгиба ающего моомента М Пара изгибающи и их моментоов M, дей йствующих на элемеент dx, при иводит к его е чисттому изгибуу (рис. 2.11 1 б). На общ щей деформ мации ∆ эти э моментты совершаают работуу 1 2 По закону Гука при п изгибе ∆ ∙∆ . Поэтому 2 где I – момент ин нерции сечеения, EI – жесткость ж на н изгиб. ыQ в) Рабоота попереечной силы Действвие пары поперечных п х сил Q пр риводит к чистому ч сддвигу элем мента dx (ррис. 2.11 в). На общ щей деформ мации ∆ оони соверш шают работу у: 1 2 ∙∆ По закону Гука при п изгибе ∆ . Поэтому 2 где – коэффици иент формы ы сечения, GF – жестк кость на сддвиг. Теперьь воспользу уемся приннципом суп перпозиции и: 2 2 2 Если проинтегри п ровать это выражени ие по всей длине д элем мента l и уч честь налич чие в си истеме n стержней, с получим ввыражениее потенциаальной энеергии всей й стержневвой системы: 1 2 3. Воозможные перемещеения. Возмож жные рабо оты внешн них и внут тренних си ил Малое перемещеение, допуускаемое связями с си истемы, наазывается возможны ым переемещением м. Причино ой возможнного перем мещения мо огут быть ддругие сил лы, изменен ние темп пературы, осадки о опор р и др. Работаа силы на ее возмож жном перем мещении называется н я возможн ной работоой. Возм можное пееремещениее обозначиим ∆ , а возможну ую работу Wij (здессь i означаает напрравление, а j – причин ну). Наприм мер, если в некоторойй точке бал лки действу ует сила Pii, а затем в другой точ чке начн нет действоовать другаая сила Pj, то балка в точке действия силы ы Pi получи ит возможн ное переемещение ∆ (рис. 2.12 а). Т Так как в это врем мя сила Pii остается постоянной, соверршаемая ею ю возможн ная работа оопределяеттся площад дью прямоуугольника (рис. ( 2.12 б): б ∆ Таким образом, возможнаая работа а равна пр роизведению ю силы на а возможнное перем емещение. Рисунок 2.12 о ии возмож жной работты следуеет рассматтривать двва состоян ния При определени системы: в одн ном из них действуют д т заданные, а во второ ом – возмож жные силы. Теорем ма Бетти. Возможнная работа сил i-го состоянияя на перем мещениях j-го j сост тояния равнна возмож жной работ е сил j-го состояния с на н перемещ щениях i-го о состоянияя. Ее частто называю ют теоремоой о взаимности раб бот. Теперьь определим возможнную работу у внутренни их сил. Длля этого расссмотрим два д состоояния систтемы: 1) дейсствует силаа Pi и вызы ывает внутр ренние усил лия Mi, Qi, Ni; 2) дейсствует силаа Pj, котораая в предел лах малого элемента ddx вызывает воззможные дееформациии ∆ Внутреенние ,∆ уссилия ,∆ перрвого со остояния на дефоормациях (возможн ных переемещениях)) второго состояния ссовершат во озможную работу ∆ ∆ ∆ Если проинтегри п ировать этоо выражени ие по длин не элементта l и учессть наличиее в системе n стерж жней, полу учим формуулу возмож жной работы внутреннних сил: нтеграл Мора М 4. Ин Рассмоотрим два состояния с сстержневой й системы: 1) грузовое состо ояние (рис . 2.13 а), в котором деействующаая нагрузкаа вызывает внуттренние уси илия MP, QP, NP; 2) един ничное сосстояние (ррис. 2.13 б),, в котором м действую ющая едини ичная сила P=1 вызывает внутренни в е усилия , , . Рисунок 2.13 Внутренние силы грузового состояния на деформациях единичного состояния , , совершают возможную работу А единичная сила P=1 единичного состояния на перемещении грузового состояния ∆ совершает возможную работу 1∙∆ ∆ По известному из теоретической механики принципу возможных перемещений, в упругих системах эти работы должны быть равными, т.е. . Значит, должны быть равны и правые части этих выражений: ∆ Эта формула называется формулой Мора и используется для определения перемещений стержневой системы от силовой нагрузки. 5. Частные случаи применения формулы Мора Во многих случаях вместо полной формулы Мора можно использовать ее сокращенные варианты. Это позволяет, без допуска больших погрешностей, существенно сократить объем вычислений. 1. В балках (рис. 2.14 а) возможны три случая: - если 8, в формуле оставляется только слагаемое с моментами: ∆ - если 5 8, учитываются и поперечные силы: ∆ - если h <5, формула Мора дает большие погрешности. В этом случае перемещения следует определять методами теории упругости. Рисунокк 2.14 22. В рамахх (рис. 2.14 4 б) элементты в основвном работаают толькоо на изгиб. Поэтому в формулее Мора учи итываются только мом менты. В высоких рам мах учитыввается и продолььная сила: ∆ 33. В арках (рис. 2.14 в) необходдимо учиты ывать соотн ношение меежду основвными размераам арки – дл линой проллета l и стр релой подъеема f 1) Если и 5 (кр руглая аркаа), учитываются тольк ко моменты ы 2) Если и 5 (по ологая ракаа), учитывааются момеенты и проддольные си илы 44. В фермаах (рис. 2.14 г) возниккают толькко продольн ные силы. П Поэтому ∆ 6. Оп пределени ие перемещ щений от т емператур ры Изменени ие температтуры по срравнению с некоторой й начальноой приводи ит к тому, что ч элем менты соооружения деформирууются и ее точки и получаю ют перемеещения. Для Д опрееделения эттих перемещений буддем пользовваться прин нципом воззможных перемещени п ий. Рассмотри им простеейший элеемент - шарнирную ш балку, теемпературы ы верхней и нижн ней волокоон которой й изменяю ются на t1 и t2 (рис. 2.15 а). В Возникающ щее при эттом темп пературное перемещ щение ∆ ппо направвлению ед диничной силы P=1 совершаает возм можную раб боту 1∙∆ ∆ Рисунокк 2.15 озможной рработы вну утренних сил с рассмоттрим малы ый элемент Для определения во длин ной dx (ри ис. 2.15 б), предполаагая, что температур т ра внутри него измееняется по линеейному закоону (рис. 2.15 д). Представвим это тем мпературноое состояни ие как сумм му двух сосстояний: 11) равномеерный нагр рев (рис. 2 .15 в), когд да оба волокна нагрееваются наа среднюю темпераатуру /2 2 (рис. 2.15 5 е); ср 22) неравноомерный наагрев (рис. 2.15 г), ко огда одно (верхнее) вволокно наагревается на темпераатуру ∆ /2, а второе ((нижнее) ох хлаждаетсяя на эту жее температу уру (рис. 2.15 ж), где ∆ - разностть температтур, а t1>t2. В резулььтате этого деформацция элемен нта dx мож жет быть ппредставлен на как сум мма двухх деформац ций: 1) чистогго растяжен ния от нагррева на tcp; 2) чистогго изгиба от о одноврееменного нагрева н и охлаждениия верхнегго и нижнеего волоокон на тем мпературу ∆ /2 . Первая деформация приводит к растяжению элемента dx на величину ∆ ср ∆ , а вторая - повороту концевых сечений элемента на общий угол ∆ . Здесь - коэффициент линейного расширения материала, h - высота сечения (рис. 2.315б). Усилия, возникающие в единичном состоянии ∆ , , на этих деформациях ∆ и совершат возможную работу: ∆ ∆ ∆ ср Величины интегралов в этом выражении равняются площадям эпюр и в пределах данного элемента. На основании принципа возможных перемещений, возможные работы внешних и внутренних сил равны. Отсюда получаем ∆ ∆ ср Каждое слагаемое в этой формуле берется со знаком «+» или «-» в зависимости от совпадения деформаций единичного и температурного состояний. Например, если и в единичном, и в температурном состояниях стержень растягивается, первое слагаемое берется со знаком «+». Если в одном состоянии стержень растягивается, а в другом сжимается, оно берется со знаком «-». Знак второго слагаемого определяется аналогично. Только в этом случае учитывается совпадение или несовпадение растянутых волокон двух состояний. 7. Определение перемещений от смещения опор При смещении опор статически определимой системы внутренние силы и деформации в ее элементах не возникают, однако точки системы получают некоторые перемещения. Порядок вычисления таких перемещений изучим на примере рамы, опора которой смещается на величину c (рис. 2.16 а). При этом точка А принимает новое положение Определим вертикальное перемещение этой точки, обозначенное как ∆ . . Рисунок 2.16 Для этогоо рассмотрим единиччное состояяние рамы,, приложивв в точке А единичнуую силуу (рис. 2.16 б), и вычислим две ввозможные работы: 1) работаа сил первого состояяния на пееремещенияях второгоо W12=0 (тт.к. в первом состооянии внуттренние сил лы не вознникают); 2) работаа сил второ ого состоянния на пер ремещениях х первого ссостояния равна 1∙∆ ∙ . По теорем ме Бетти до олжно бытьь W12= W211. Отсюда получаем п ф формулу ∆ ∙ Если смещ щение буд дет по несккольким нааправлениям, то по ппринципу суперпозиц с ции имееем ∆ Каждое произведен п ние ∙ ∙ в этой фо ормуле бер рется со зннаком «+» » или «—»» в зависимости отт совпадени ия направллений реакц ции и смещ щения опоры ы.