Общая теория связи. Часть 1

Общая теория связи Лекция 1 (з/о) Информация, сообщение, сигнал Системы связи (телекоммуникационные системы) предназначены для передачи информации. Информация передается посредством сообщений. Таким образом, сообщение – форма представления информации. Информация сама по себе не существует отдельно от сообщения, так же, как масса не существует отдельно от материального тела. Сообщения могут быть дискретными (состоящими из символов, принадлежащих конечному множеству – алфавиту) или непрерывными (континуальными, аналоговыми), описываемыми функциями непрерывного времени. Сообщение представляет собой совокупность (последовательность) знаков (символов). Символы при создании сообщения выбираются из некоторого алфавита. Для передачи сообщения необходим материальный носитель, физический процесс, называемый сигналом. В радиотехнике и телекоммуникации используются электрические сигналы, которые благодаря простоте и удобству их генерирования и преобразования наилучшим образом приспособлены для передачи больших объемов данных на большие расстояния. Заметим, что в современных системах связи и устройствах хранения данных электрические сигналы зачастую преобразуются в оптические или магнитные, но, как правило, предполагается их обратное преобразование. Аналоговый сигнал 𝑥 𝑡 Аналоговый сигнал — сигнал, у которого каждый из представляющих параметров описывается непрерывной функцией времени и непрерывным множеством возможных значений. В общем случае аналоговый сигнал определен на бесконечной временной оси и в каждый момент времени может принимать любое действительное значение. На практике сигнал бесконечным быть не может и имеют дело со следующими сигналами: • сигнал ограниченной амплитуды (𝑥"#$ < 𝑥 < 𝑥"&' ); • сигнал, ограниченный во времени (𝑡"#$ < 𝑡 < 𝑡"&' ); • сигнал ограниченного спектра (𝑓"#$ < 𝑓 < 𝑓"&' ). Осциллограмма звукового сигнала: 𝑥"&' 𝑥 𝑥"#$ 𝑡"#$ 𝑡 𝑡"&' Частотно-временная диаграмма звукового сигнала: 𝑓"&' 𝑓 𝑓"#$ 𝑡"#$ 𝑡 Любой передаваемый в системах связи аналоговый сигнал обладает всеми данными ограничениями. Строго говоря, с точки зрения математики ограниченный во времени сигнал имеет бесконечный спектр, но большая часть его энергии лежит в конечной области частот, поэтому приближенно можно считать спектр также ограниченным. 𝑡"&' Пространство сигналов обладает тремя измерениями: время, частота, амплитуда (величина). Любой сигнал обладает тремя габаритными характеристиками: • длительность сигнала 𝑇с = 𝑡"&' − 𝑡"#$ ; • диапазон частот сигнала 𝐹с = 𝑓"&' − 𝑓"#$ ; • динамический диапазон сигнала 𝐷с = 𝑥"&' /𝑥"#$ . Произведение данных трех характеристик определяет объем сигнала: 𝑉с = 𝑇с 𝐹с 𝐷с . Объем сигнала определяет ресурсы системы связи, которые нужно затратить на передачу данного сигнала: время работы, диапазон полосы пропускания, мощность. Для того, чтобы «упаковать» сигнал в заданный объем пространства сигналов, выполняют различные преобразования: фильтрацию, усиление/аттенюацию, перенос частот/модуляцию. Цифровой сигнал, АЦП, ЦАП Цифровой сигнал — сигнал, который можно представить в виде последовательности дискретных (цифровых) значений. Для передачи цифрового сигнала по аналоговым каналам (например, электрическим или радиоканалам) используются различные виды манипуляции (модуляции цифровым сигналом). Для преобразования аналогового сигнала в цифровой его нужно подвергнуть дискретизации и квантованию. а) аналоговый сигнал; б) квантованный сигнал; в) дискретный сигнал; г) дискретный и квантованный сигнал Аналогово-цифровое преобразование сигнала (АЦП) Параметры АЦП. Шаг (период) дискретизации 𝑇2 - время между двумя соседними отсчетами, частота дискретизации 𝑓2 = 1/𝑇2 количество отсчетов в единицу времени. Количество уровней квантования 𝑁 – количество различаемых уровней сигнала, шаг квантования – различие по величине двух соседних уровней квантования. Разрядность АЦП 𝑛 - количество двоичных разрядов на один отсчет сигнала. Связь разрядности и числа уровней квантования: 𝑁 = 2$ . Структурная схема АЦП Преимущества передачи сигналов в цифровом виде: • повышение помехоустойчивости систем связи; • возможность регенерации сигнала; • просто достигается оптимизация по критерию получения максимума отношения сигнал/шум; • универсальность каналов связи (речь, телевидение, передача данных); • унификация узлов цифровых элементов; возможность достаточно простого сопряжения с ЭВМ, что важно при создании автоматизированных сетей связи. Цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) — устройство для преобразования цифрового (обычно двоичного) кода в аналоговый сигнал (ток, напряжение или заряд). Цифроаналоговые преобразователи являются интерфейсом между дискретным цифровым миром и аналоговыми сигналами. Звуковой ЦАП обычно получает на вход цифровой сигнал в импульсно-кодовой модуляции (англ. PCM, pulse-code modulation). Широтно-импульсный модулятор — простейший тип ЦАП. Стабильный источник тока или напряжения периодически включается на время, пропорциональное преобразуемому цифровому коду, далее полученная импульсная последовательность фильтруется аналоговым фильтром нижних частот. Классификация сигналов Скалярные и векторные сигналы различаются размерностью функций, которые их описывают. • 𝑥(𝑡) – скалярный сигнал • 𝑥⃗(𝑡) – векторный сигнал, 𝑥⃗ = 𝑥; , 𝑥= , … , 𝑥? – N-мерный вектор Многомерные сигналы, в отличие от одномерных, описываются функциями многих (двух и более) переменных. • 𝑧(𝑥, 𝑦) – двумерный скалярный сигнал (например, ч-б изображение) • 𝑧⃗(𝑥, 𝑦) – двумерный векторный сигнал (например, цветное изображение) Случайные сигналы, в отличие от детерминированных, при их наблюдении принимают значения, которые заранее невозможно предсказать точно, а можно лишь высказать о них более или менее надёжные предположения. Для описания случайных сигналов применяется математический аппарат теории вероятностей (теория случайных процессов), а для построения систем обработки таких сигналов и принятия решений – аппарат математической статистики (теория статистических решений). Строго говоря, все сигналы являются случайными, только в этом случае сигнал содержит информацию. Тем не менее, часто сигналы при теоретическом рассмотрении описываются детерминированными функциями. Иногда полезно рассматривать сигнал как детерминированную функцию, описание которой содержит «элемент случайности» – например, если случайность сигнала заключается в самом факте его передачи, или в его задержке относительно некоторого момента времени, и т.п. В таких случаях говорят квазидетерминированных сигналах. Важный пример квазидетерминированного сигнала – гармоническое колебание со случайной начальной фазой. Полезные сигналы отличаются от помех тем, что служат для передачи сообщений, в то время как мешающие затрудняют её и являются причиной потери информации. Часто полезный сигнал называют просто сигналом, а мешающий – помехой. Сигналы и помехи, рассматриваемые в совокупности, будем далее называть колебаниями. Помехи могут быть естественными и преднамеренными (искусственными), шумовыми (флуктуационными) и импульсными, активными и пассивными и т.д. Система связи Для передачи сообщений используются различные устройства, связанные между собой и действующие в соответствии с единым замыслом, т.е. образующие систему. Современная система связи (система передачи информации, телекоммуникационная система) представляет собой достаточно сложную совокупность устройств, выполняющих преобразования сообщений и сигналов с целью наиболее эффективной передачи информации от источника к получателю (или получателям). Упрощенная схема системы связи: а – сообщение, b(t) – первичный сигнал, s(t) – несущий сигнал, u(t) – модулированный сигнал Система связи с кодированием Рассмотренная структура системы связи является простейшей и сравнительно редко применяется на практике. В современных цифровых системах связи сообщение перед передачей часто кодируется, при этом последовательность символов, порождаемая источником (то есть собственно сообщение) преобразуется кодером в последовательность кодовых символов, которая в виде цифрового сигнала поступает на вход модулятора. Упрощенная схема системы связи с кодированием: Совокупность всех кодовых символов определённого кода называется кодовым алфавитом. Количество символов в кодовом алфавите называют основанием кода. Обычно (но не обязательно) один символ исходного сообщения (например, буква в телеграфном сообщении) заменяется последовательностью из нескольких кодовых символов (кодовой комбинацией, кодовым словом). Кодом называется совокупность всех допустимых кодовых комбинаций. Если каждый символ сообщения заменяется при кодировании одинаковым количеством кодовых символов (то есть все кодовые слова имеют равную длину), то код называется равномерным, иначе – неравномерным. Длину кодовой комбинации равномерного кода называют его разрядностью. Классификация систем связи Системы связи можно подразделить в соответствии с их назначением на системы телефонии, телеграфии, фототелеграфии, телевидения, телеметрии, телеуправления и передачи данных. Системы телефонной связи предназначены для передачи речевых, а также других звуковых сообщений. Источниками и получателями сообщений в таких системах, как правило, являются люди. Сообщение преобразуется в первичный сигнал микрофоном (системой микрофонов в случае стереофонической передачи), выходной сигнал в сообщение – динамическим громкоговорителем («динамиком»), головными телефонами («наушниками») и т.п. Системы телефонной связи подразделяются на профессиональные и вещательные. Обычный бытовой радиоприемник представляет собой часть вещательной системы телефонной связи. Системы телеграфной связи предназначены для передачи символьных (цифробуквенных) сообщений. Системы фототелеграфной (факсимильной) связи применяют для передачи неподвижных изображений. Изображение (сообщение) путем по строчного сканирования «развёртывается» в одномерный временнóй (первичный) сигнал, который после передачи по каналу связи подвергается обратному преобразованию в двумерное изображение. Телевизионные системы также передают неподвижные изображения, но развёртка осуществляется в передающей камере многократно (периодически), благодаря чему последовательно сменяющие друг друга изображения (кадры) на экране телевизионного приёмника создают у наблюдателя (получателя сообщения) иллюзию движения. Как и телефонные системы, системы телевидения подразделяются на профессиональные и вещательные. К профессиональным относятся, например, широко распространённые системы видеонаблюдения. Системы телеметрии предназначены для передачи измерительной информации, системы телеуправления – для передачи команд (управляющих воздействий). Иногда те и другие объединяют под общим названием систем телемеханики. Качество систем связи Для того, чтобы можно было обоснованно выбрать систему связи из имеющихся или предлагаемых разработчиками, необходимо иметь некоторый набор показателей качества. Наиболее важными показателями эффективности систем связи являются верность и помехоустойчивость. Верность дискретных систем связи определяется вероятностью безошибочного приема сообщения или отдельной посылки – чем больше эта вероятность, тем верность выше. Для аналоговых систем связи этот показатель непригоден, т.к. вероятность безошибочного приёма аналогового сигнала всегда равна нулю. Верность систем передачи непрерывных сообщений можно характеризовать средним квадратом ошибки: = ; C 𝜀 = = ∫H 𝑏 𝑡 − 𝑏F(𝑡) 𝑑𝑡, где Т – время наблюдения сигнала. C Верность тем выше, чем меньше 𝜀 = . Помехоустойчивость системы связи характеризуют отношением мощности сигнала к средней мощности помехи, при котором обеспечивается заданная верность. Более помехоустойчивой является та система, которая обеспечивает заданную верность при меньшем отношении сигнал/помеха. Демодуляция (детектирование) заключается в восстановлении первичного сигнала по принятому искаженному колебанию, а декодирование – в восстановлении дискретного сообщения по демодулированному сигналу. Часто перед демодуляцией применяют дополнительное преобразование наблюдаемого колебания с целью повышения верности (уменьшения вероятности ошибки для дискретных систем или среднего квадрата ошибки – для аналоговых). Такое преобразование называют обработкой. Оптимальной называется обработка, обеспечивающая наивысшую верность решения или максимальную помехоустойчивость при заданной верности. Если оптимальная обработка оказывается слишком сложной и/или дорогостоящей, применяют квазиоптимальную (субоптимальную) обработку, которая может быть реализована проще и дешевле и при этом обеспечивает верность, близкую к предельной. Иногда квазиоптимальная обработка заключается в частотной фильтрации принятого колебания с целью подавления помех. Модуляция При модуляции один или несколько параметров колебанияпереносчика изменяются в соответствии с изменением первичного сигнала (или с передаваемым сообщением). В качестве переносчика часто используют гармоническое колебание, которое имеет три параметра – амплитуду A, частоту f (или круговую частоту 𝜔 = 2𝜋𝑓) и начальную фазу 𝜑. Поэтому для гармонического переносчика возможны три вида модуляции аналоговым первичным сигналом: амплитудная модуляция (АМ), частотная модуляция (ЧМ) либо фазовая модуляция (ФМ) Исходное гармоническое колебание (а), амплитудномодулированное колебание (б), частотно-модулированное колебание (в), фазово-модулированное колебание (г) Манипуляция Современные системы связи характеризуются широким применением модуляции гармонического колебания цифровым первичным сигналом. (В частности, такой сигнал может быть получен из аналогового сигнала путем аналого-цифрового преобразования). Цифровой сигнал связан с определёнными моментами времени, разделёнными временными интервалами постоянной длительности. Поэтому результатом цифровой модуляции является колебание, составленное из отрезков гармонических колебаний с параметрами – амплитудой, частотой или начальной фазой – постоянными на интервале, но меняющимися при переходе к следующему интервалу. Такую ступенчатую модуляцию называют также манипуляцией. Различают три вида дискретной (цифровой) модуляции (манипуляции) – амплитудную (АМн), частотную (ЧМн) и фазовую (ФМн). Фрагмент манипулированного сигнала, в течение которого модулируемый параметр не изменяется, называется элементарной посылкой, или просто посылкой. Модулированный сигнал при дискретных видах модуляции характеризуют технической скоростью (скоростью модуляции, скоростью телеграфирования), равной количеству элементарных посылок в секунду. Скорость модуляции выражается в бодах (1 Бод соответствует одной посылке в секунду). Вид модуляции и манипуляции оказывает влияние на помехоустойчивость. Общая закономерность: более широкополосный сигнал соответствует большей помехоустойчивости. Поэтому можно расположить виды модуляции в порядке возрастания помехоустойчивости: АМ, ЧМ, ФМ(*). * стоит отметить, что в технике связи применяется большое количество видов частотной и фазовой манипуляции, различающихся по своей помехоустойчивости Канал связи Совокупность устройств и линий связи, которые сигнал проходит последовательно между любыми двумя точками системы связи, называется каналом связи. Канал связи можно уподобить транспортному средству, которое характеризуется параметрами, аналогичными параметрам сигнала: Время действия канала 𝑇L ; Ширина полосы пропускания канала 𝐹L ; Динамический диапазон канала 𝐷L . Произведение указанных характеристик называется ёмкостью (объёмом) канала 𝑉L = 𝑇L 𝐹L 𝐷L . Для передачи информации без потерь необходимо выполнение условия 𝑉M ≤ 𝑉L . Отметим, что при этом возможен «обмен» одних параметров сигнала на другие: например, если время действия канала меньше длительности сигнала, можно «сжать» сигнал во времени. Классификация каналов связи: • по назначению – телеграфные, фототелеграфные, телефонные, телевизионные, телеметрические, каналы звукового вещания, телеуправления, передачи данных и т.д.; • по виду используемой среды – на проводные (воздушные, кабельные, волноводные, световодные) и радиоканалы (радиорелейные, ионосферные, тропосферные, метеорные, спутниковые, космические); • по характеру связи входных и выходных сигналов – на линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, детерминированные и случайные (стохастические); • по количеству независимых переменных в описании сигналов – на временные и пространственно-временные; • по характеру входных и выходных сигналов – на непрерывные (аналоговые), дискретные (цифровые), полунепрерывные (дискретно-аналоговые и аналого-дискретные). • Для радиоканалов широко известна классификация по длине волны: Математическое описание сигналов В современных системах связи применяются сложные методы преобразования сигналов, направленные на повышение верности передачи информации, помехоустойчивости, надежности связи и т.п. Построение таких систем, характеристики которых приближаются к предельно достижимым, немыслимо без применения строгих математических методов синтеза систем и анализа их эффективности. Таким образом, естественно возникает вопрос о способах математического описания (математических моделях) сигналов и каналов связи и о возможностях преобразования различных моделей друг в друга. В качестве математических моделей сигналов обычно используются подходящие функции или их комбинации (суммы и/или произведения функций, их производных и первообразных и т.п.) Гармоническое колебание 𝐴𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜑), где A – амплитуда, f – частота, 𝜑 – начальная фаза колебания. Наравне с синусом применяют косинус. Кроме того, во многих случаях используется комплексное гармоническое колебание 𝐴𝑒𝑥𝑝𝑗(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜑), где 𝑗 = −1. Это колебание можно согласно формулам Эйлера представить суммой 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑡 + 𝜑 + 𝑗𝐴𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜑). Зачастую в описаниях гармонических колебаний используют круговую частоту ω = 2𝜋𝑓. f Функция Хевисайда 0, 𝑡 < 0 𝜎 𝑡 = 0.5, 𝑡 = 0 - функция Хевисайда 1, 𝑡 > 0 Данную функцию удобно использовать для представления прямоугольного импульса единичной амплитуды и длительности 𝜏: 𝑟 𝑡 = 𝜎 𝑡 + a = −𝜎 𝑡− a = Функция Дирака (читается «дельта-функция») 𝛿(𝑡), которая на самом деле является обобщённой функцией, то есть, строго говоря, не функцией в обычном смысле слова. Определяется 𝛿d функция выражением f 𝑡H = ∫ed 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡H ) 𝑑𝑡, которое известно, как фильтрующее (стробирующее) свойство 𝛿- функции. Оно означает, что 𝛿- функция, входящая в произведение под знаком интеграла, выделяет бесконечно узкий «срез» (отсчёт мгновенного значения) функции f (t) в точке t = 𝑡H Выражение для f 𝑡H можно понимать как предел f 𝑡H = d lim 1/𝜏 ∫ed 𝑓 𝑡 𝑟(𝑡 − 𝑡H ) 𝑑𝑡 a→H С такой точки зрения 𝛿-функцию можно рассматривать, как предел последовательности всё более коротких прямоугольных импульсов со всё большей амплитудой, причём площадь всех импульсов одинакова и равна 1. Учитывая, что 𝛿-функция является пределом последовательности всё более коротких прямоугольных импульсов со всё большей амплитудой при одинаковой их площади, равной 1, можно 0, (𝑡 < 0) j записать ∫ed 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 0.5, 𝑡 = 0 = 𝜎(𝑡) 1, (𝑡 > 0) Таким образом 𝛿 𝑡 = 2k(j) . 2j Понятие 𝛿-функции позволяет формально дифференцировать разрывные функции. Динамическое представление сигналов Сигнал 𝑥 𝑡 с учетом 𝛿-функции можно представить в виде: 𝑥 𝑡 = d ∫ed 𝑥 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 Данное выражение можно представить как предел 𝑥 𝑡 = lim ∑d $med 𝑥(𝑛𝜏)𝑟(𝑡 − 𝑛𝜏) a→H где сумма прямоугольных импульсов с различными амплитудами и различными положениями на временной оси аппроксимирует сигнал. Тогда в пределе сигнал представляется «сплошной», интегральной суммой бесконечно коротких импульсов – 𝛿функций – следующих вплотную друг к другу. Ряд Фурье и его свойства Представление сигнала (вектора) относительно произвольного полного ортонормального базиса 𝑢L (𝑘 = −∞, +∞), (𝑢L , 𝑢" ) = 𝛿L" называется обобщенным рядом Фурье: 𝑥 = ∑d Lmed 𝑎L 𝑢L Набор коэффициентов разложения 𝑎L (𝑘 = −∞, +∞) называется спектром сигнала относительно базиса 𝑢L (𝑘 = −∞, +∞). Зная коэффициенты разложения относительно ортонормального базиса, легко найти нормы и скалярные произведения векторов. Равенство Парсеваля (норма): 𝑥 = d ∑ (∑ d 𝑎 𝑢 , L L "med 𝑎" 𝑢" ) = Lmed (𝑥, 𝑥) = d ∑d Lmed ∑"med 𝑎L 𝑎 ∗" (𝑢L , 𝑢" ) = d ∑d ∑ Lmed "med 𝑎L 𝑎 ∗" 𝛿L" = = ∑d "med 𝑎" . В пространствах аналоговых и дискретных сигналов равенство Парсеваля принимает соответственно вид: d = • ∫ed 𝑥(𝑡) = 𝑑𝑡 = ∑d 𝑎 "med " , = d = ∑ • ∑d 𝑥[𝑛] = 𝑏 $med "med " . Геометрический смысл равенства Парсеваля – определение длины вектора. Для сигналов равенство Парсеваля связывает энергию сигнала со спектром. Формула Рэлея Пусть два вектора представлены в некотором полном ортонормальном базисе выражениями 𝑥 = ∑d Lmed 𝑎L 𝑢L , y = ∑d Lmed 𝑏L 𝑢L . Тогда их скалярное произведение: d ∑ 𝑥, 𝑦 = ∑d 𝑎 𝑢 , "med 𝑏" 𝑢" = Lmed L L d d ∑d ∑ ∑ 𝑎 𝑏 ∗ 𝛿 = " L" "med 𝑎" 𝑏 ∗" - это обобщенная Lmed "med L формула Рэлея. Формула Рэлея позволяет определить скалярное произведение сигналов через их спектры. Комплексный ряд Фурье Для пространства сигналов конечной длительности и xyz{| ограниченной энергии 𝐿= (𝑇) ортонормальный базис {𝑒 } , 𝑘 = − ∞, ∞} является полным, следовательно, всякий сигнал x t = 𝐿= 𝑇 можно на интервале (−𝑇/2, 𝑇/2) представить обобщенным рядом Фурье по ортогональным функциям ‚=ƒLj/C 𝑥 𝑡 = ∑d . Lmed 𝐶L 𝑒 Спектральные коэффициенты для этого ряда определяются выражением ; C/= 𝐶L = ∫eC/= 𝑥(𝑡) 𝑒 e‚=ƒLj/C 𝑑𝑡. C Для данного ряда справедливо равенство Парсеваля C/= ∫eC/= = 𝑥(𝑡) = 𝑑𝑡 = 𝑇 ∑d Lmed 𝐶L . xyz{| } Поскольку все функции {𝑒 , 𝑘 = −∞, ∞}. периодичны, причем для их периодов величина T – наименьшее общее кратное, ряд Фурье, рассматриваемый на всей временнóй оси, определяет периодическую функцию, которая представляет собой сигнал x(t) , повторяющийся с периодом T. Таким образом, ряд Фурье одинаково пригоден для представления сигналов конечной длительности и периодических сигналов. Коэффициенты ряда Фурье даже для вещественного сигнала в общем случае являются комплексными. Для удобства графического представления рассматривают отдельно модули и аргументы коэффициентов 𝐶L = 𝐶L 𝑒 ‚„{ , при этом совокупность 𝐶L называют амплитудным спектром, а 𝜑L – фазовым спектром. Для наглядности амплитудный и фазовый спектр изображают решетчатыми спектральными диаграммами, на которых соответствующие величины показаны длинами отрезков, а сами эти отрезки размещены на частотной оси с шагом, равным в выбранном масштабе частоте повторения сигнала 𝑓 = 1/𝑇. амплитудный спектр фазовый спектр Если сигнал x(t) принимает вещественные значения, амплитудный спектр обладает свойством четности, а фазовый – свойством нечетности. Коэффициенты комплексного ряда Фурье вещественного сигнала попарно комплексно сопряжены. Пользуясь этим свойством, для вещественных сигналов можно получить другую форму ряда Фурье, также находящую применение. Ряд Фурье можно записать в тригонометрической форме 𝑥 𝑡 = ∑d LmH 𝐴L cos( =ƒLj C + 𝜑L ), где 𝐴L = 2 𝐶L , 𝑘 ≠ 0 𝐶H Ряд Фурье представляет собой удобный инструмент анализа сигналов, заданных на конечном временном интервале, а также периодических колебаний, так как позволяет заменить несчетное множество (континуум) значений аналогового сигнала счетным множеством спектральных коэффициентов. xyz{| } Базис Фурье {𝑒 , 𝑘 = −∞, ∞} полон в пространстве 𝐿= (𝑇) , поэтому любой сигнал из 𝐿= (𝑇) можно сколь угодно точно аппроксимировать конечной суммой ряда Фурье, выбрав достаточно большое число слагаемых. Среди всех полных в 𝐿= (𝑇) базисов базис Фурье имеет то преимущество, что он составлен из функций, собственных для любого ЛИС-оператора. Это максимально упрощает анализ воздействия периодических сигналов на ЛИС-цепи. x, амплитуда f, частота t, время Трехмерная иллюстрация ряда Фурье Периодическая последовательность прямоугольных импульсов и ее спектр Непрерывное преобразование Фурье Обобщенный ряд Фурье представляет сигнал в виде взвешенной суммы счетного множества базисных функций. Иногда счетный базис неудобен или не годится для описания сигнала. Например, счетный базис Фурье, полный в пространстве сигналов конечной длительности, не полон в и непригоден для представления сигналов бесконечной длительности. Гармонические функции, аналогичные функциям базиса Фурье, могут применяться для представления непрерывных сигналов, но для этого мощность их множества должна быть больше мощности счетного множества (иначе говоря, множество должно быть непрерывным). Таким образом, понятие обобщенного ряда Фурье подвергается дальнейшему обобщению. Суть этого обобщения заключается в замене суммы бесконечного счетного множества базисных функций, умноженных на спектральные коэффициенты, интегралом от функции двух переменных (которая представляет собой «несчетное множество» базисных функций), умноженной на функцию одной переменной, называемой спектральной плотностью. Интеграл Фурье Для пространства 𝐿= (−∞, +∞) сигналов ограниченной энергии, xyz{| заданных на всей временной оси, базис {𝑒 } , 𝑘 = −∞, ∞} не является полным ни при каком T и, следовательно, непригоден для представления сигналов, так как ошибку аппроксимации нельзя в общем случае сделать произвольно малой путем учета достаточного числа слагаемых ряда Фурье. В самом деле, если сигнал имеет бесконечную длительность и конечную энергию, т.е. принадлежит пространству 𝐿= −∞, +∞ , то он должен убывать при стремлении 𝑡 → ±∞. При любом выборе T ряд Фурье для такого сигнала определяет периодическую функцию, которая может совпадать с заданным сигналом только на интервале длительности T , а за его пределами неизбежно будет отличаться от него. Более того, периодическая функция всегда имеет бесконечную энергию, поэтому и ошибка аппроксимации при любом T будет иметь бесконечную норму. Единственным способом использовать комплексные экспоненты в качестве базисных функций является переход к непрерывному представлению сигналов из 𝐿= (−∞, +∞) интегралом Фурье: d x 𝑡 = ∫ed 𝑋(𝑓)𝑒 ‚=ƒ‹j 𝑑𝑓, d 𝑋 𝑓 = ∫ed 𝑥(𝑡) 𝑒 e‚=ƒ‹j 𝑑𝑡. Между рядом и интегралом Фурье имеется тесная связь. Рассмотрим непериодический сигнал x(t) конечной длительности 𝜏M . Спектральная плотность X ( f ) сигнала x(t) определяется выражением прямого преобразования Фурье. Повторение финитного сигнала x(t) с периодом T , большим, чем длительность 𝜏M , дает периодический сигнал 𝑥Œ 𝑡 = ∑d Lmed 𝑥(𝑡 + 𝑘𝑇), который в силу своей периодичности может быть представлен рядом Фурье. Сравнивая выражения для спектральной плотности X ( f ) и ; L спектральных коэффициентов 𝐶L , получим 𝐶L = 𝑋( ). C C Связь ряда Ф. и интеграла Ф. Таким образом, спектральная плотность импульсного сигнала имеет форму огибающей спектральных коэффициентов ряда Фурье периодической последовательности, образованной повторением данного импульсного сигнала с произвольным периодом. Заметим, что с ростом периода повторения спектральные составляющие следуют друг за другом по оси частот все более плотно. Непериодический сигнал представляет собой предельный случай периодического при 𝑇 → ∞, поэтому можно считать (нестрого!), что спектральная плотность – это «сплошная» совокупность спектральных коэффициентов. Следует, однако, иметь в виду, что «амплитуда» каждой спектральной составляющей при этом также стремится к нулю, в отличие от спектральной плотности. Кроме того, не следует забывать, что для сигнала x(t) , имеющего размерность напряжения, спектральная плотность X ( f ) имеет размерность [Вольт/Герц], в то время как единицей измерения коэффициентов ряда Фурье является Вольт. Поэтому спектр периодического сигнала и спектральная плотность финитного сигнала – два различных объекта. Тем не менее формальное сходство можно использовать, например, для расчета спектра последовательности, полученной периодическим повторением финитного сигнала с известной спектральной плотностью. Одиночный прямоугольный импульс и его спектр Свойства преобразования Ф. Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье, которые полезно знать при практическом его использовании. Для краткости будем использовать обозначение 𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝑓) для функций времени и частоты, связанных парой преобразований Фурье. 1. Линейность: ∑ 𝑎L 𝑥L (𝑡) = ∑ 𝑎L 𝑋L (𝑓) 2. Дуальность (частотно-временная симметрия): 𝑥(𝑓) ↔ 𝑋(−𝑡) 3. Теорема сдвига: 𝑥(𝑡 − 𝜏) ↔ 𝑒 e‚=ƒ‹a 𝑋(𝑓) 4. Теорема изменения масштаба: 𝑥 𝑚𝑡 ↔ 5. Теорема дифференцирования: 6. Теорема интегрирования : 2'(j) 2j j ∫ed 𝑥 ; " ‹ " 𝑋 ↔ 𝑗2𝜋𝑓𝑋(𝑓) 𝑡 𝑑𝑡 ↔ •(‹) ‚=ƒ‹ + •(H)•(‹) = 7. Теорема модуляции: 𝑥 𝑡 𝑒 ‚=ƒ‹‘ j ↔ 𝑋(𝑓 − 𝑓H ) 8. Теорема свертки: 𝑥 𝑡 ∗ 𝑦(𝑡) ↔ 𝑋 𝑓 𝑌(𝑓) 9. Теорема умножения: 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 ↔ 𝑋 𝑓 ∗ 𝑌(𝑓) 10. Теорема сопряжения: 𝑥 ∗ 𝑡 ↔ 𝑋 ∗ −𝑓 11. Теорема обращения: 𝑥(−𝑡) ↔ 𝑋(−𝑓) Последнее свойство гласит том, что обращение временнóй оси в обычном временнóм описании сигнала эквивалентно обращению оси частотной в его спектральном представлении. Рассмотренные свойства преобразования Фурье справедливы для произвольных комплексных сигналов. На практике часто имеются дополнительные сведения о сигнале, которые позволяют упростить решение задачи спектрального анализа с учетом частных свойств спектральных плотностей. Предположение о том, что сигнал x(t) является вещественным, приводит к свойству сопряженной симметрии спектральной плотности: 𝑋 𝑓 = 𝑋 ∗ −𝑓 , 𝑋(𝑓) = 𝑋(−𝑓) , arg 𝑋 𝑓 = −arg(−𝑋 𝑓 ) Это обстоятельство следует учитывать при решении практических задач, так как в большинстве случаев рассматриваются именно вещественные сигналы. Если сигнал является вещественным и четным, то его спектральная плотность также вещественна и четна: 𝑋 𝑓 = 𝑋(−𝑓). Это утверждение следует из того, что обращение во времени не изменяет вещественного четного сигнала, а следовательно, не влияет и на его спектральную плотность, которая должна, таким образом, быть инвариантной к обращению частоты, т.е. вещественной и четной. Если сигнал является вещественным и нечетным, то его спектральная плотность – мнимая и нечетная: 𝑋 𝑓 = −𝑋(−𝑓). Действительно, обращение во времени изменяет знак нечетного сигнала, следовательно, его спектральная плотность также должна при обращении частоты лишь менять знак, но, поскольку спектральная плотность вещественного сигнала сопряженносимметрична, отсюда следует, что ее вещественная часть равна нулю, т.е. спектральная плотность является мнимой. Спектральная плотность периодических сигналов Спектральная плотность гармонического сигнала 𝑒 ‚=ƒ‹‘ j как «обычная функция» не существует, так как 𝑒 ‚=ƒ‹‘ j не принадлежит пространству 𝐿= (−∞, ∞). В то же время решение многих задач упрощается, если все же определить спектральную плотность комплексной экспоненты в терминах теории обобщенных функций. Отыскание спектральной плотности сигнала 𝑒 ‚=ƒ‹‘ j сводится к нахождению прямого преобразования Фурье отрезка функции 𝑒 ‚=ƒ‹‘ j длительности 𝜏 и предельному переходу 𝜏 → ∞. В том, что спектральная плотность данного сигнала представляет 𝛿функцию, легко убедиться, если найти сигнал, соответствующий спектральной плотности 𝛿(𝑓 − 𝑓H ), через обратное преобразование Фурье: d ∫ed 𝛿(𝑓 − 𝑓H )𝑒 ‚=ƒ‹j = 𝑒 ‚=ƒ‹‘ j . Во многих задачах одновременно присутствуют периодические и непериодические сигналы. Для того чтобы можно было пользоваться общим математическим аппаратом интеграла Фурье, найдем спектральную плотность T-периодического сигнала, который можно записать в виде ряда Фурье ‚=ƒLj/C 𝑥 𝑡 = ∑d . Lmed 𝐶L 𝑒 Учитывая линейность преобразования Фурье и зная спектральную плотность комплексной экспоненциальной функции, запишем спектральную плотность в виде =ƒ 𝑋 𝑓 = ∑d 𝐶 𝛿(𝑓 − 𝑘 ). Lmed L C Таким образом, спектральная плотность периодического сигнала состоит из 𝛿 -функций, сосредоточенных на частотах, кратных частоте повторения сигнала.