Общая система уравнений гидромеханики для различных наиболее распространенных моделей жидкости. Основы гидродинамики идеальной и вязкой жидкости

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А. А. ЖДАНОВА С. В. ВАЛЛАНДЕР ЛЕКЦИИ ПО ГИДРОАЭРОМЕХАНИКЕ Издательство Ленинградского университета Ленинград, 1978 Печатается по постановлению Редакционноиздательского совета Ленинградского университета УДК 532 В а л л а н д е р С. В. Лекции по гидроаэромеханике. Учеб. по­ собие. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. Ил. — 58, библиогр. — 5 назв. 296 с. В учебном пособии рассматриваются следующие вопросы: вывод общей системы уравнений гидромеханики, запись этой системы для различных наиболее распространенных моделей жидкости, основы гидродинамики идеальной и вязкой жидко­ сти. Пособие рассчитано на студентов старших курсов математико-механических и физических факультетов университетов, аспирантов, научных сотрудников и инженеров, специализирую­ щихся в области гидроаэромеханики. Под редакцией проф. Я. Н. Поляхова 2Q3Q3 135 076(02)—78 8 g_7g (6) Издательство Ленинградского университета, 1978 г. BOOKS.PROEKTANT.ORG БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ КОПИЙ КНИГ для проектировщиков и технических специалистов ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая книга представляет собой изложение курса, который много лет читал чл.-кор. АН СССР проф. Сергей Ва­ сильевич Валландер на математико-механическом факультете Ленинградского университета. Книга подготовлена на основе записей, сделанных в различные годы слушателями лекций Сер­ гея Васильевича. С. В. Валландер неоднократно собирался сам подготовить курс к печати, но, к сожалению, в силу большой занятости так и не успел этого сделать. Никакие конспекты, конечно, не могут полностью воспроиз­ вести содержание лекций, стиль автора, его образный точный язык, лаконичные четкие формулировки. Однако на основании записи лекций можно сравнительно точно передать структуру курса, научные концепции автора и методы рассмотрения задач гидроаэромеханики. В различные годы С. В. Валландер по-разному излагал от­ дельные вопросы. Для настоящего курса выбирался тот ва­ риант, который при одинаковой содержательности являлся наи­ более кратким Некоторые второстепенные вопросы составители вообще не включили в данный курс. Вместе с тем по совету ре­ цензентов были введены некоторые дополнения и примеры, ко­ торые отсутствовали в рецензируемом варианте, так как не всегда излагались в лекциях. В книге нет вводной и заключительной лекций Сергея Ва­ сильевича, к сожалению, неповторимых. Студенческие записи не могли передать их содержание достаточно точно, и потому излагать эти лекции от имени Сергея Васильевича составители книги не сочли возможным. Книга подготовлена к печати группой преподавателей и сот­ рудников кафедры в составе А. В. Беловой, Н. Б. Масловой, Е. А. Нагнибеда, А. Ф. Полянского, М. А. Рыдалевской. з При окончательном редактировании рукописи большую по­ мощь постоянной консультацией и своими замечаниями оказал Б, В. Русанов — один из первых учеников С. В. Валландера, доцент кафедры математической физики Ленинградского поли­ технического института. Перечисленным выше лицам, а также всем, кто содействовал изданию этой книги, отделение механики выражает свою благо­ дарность. Отделение механики математико-механического факультета ЛГУ приносит глубокую благодарность рецензентам чл.-кор. АН СССР проф. О. М. Белоцерковскому и заслуженному дея­ телю наук РСФСР проф. Л. Г. Лойцянскому за ряд ценных со­ ветов и замечаний, сделанных ими при просмотре рукописи. Заведующий отделением механики математико-механического факультета ЛГУ, заслуженный деятель науки РСФСР, профессор Н, Н. Поляхов ВВЕДЕНИЕ 1. Основные положения. Гидроаэромеханика есть раздел ме­ ханики, посвященный изучению законов движения и равновесия жидкостей, а также законов взаимодействия жидких сред с находящимися в них телами. Понятие жидкости в широком смысле этого слова охватывает в гидроаэромеханике как мало сжимаемые капельные жид­ кости, так и легко сжимаемые жидкости, которыми являются газы. Теоретические и экспериментальные исследования показы­ вают, что газы при скоростях, небольших по сравнению со скоростью распространения звука в них, ведут себя как несжи­ маемые жидкости. А капельные жидкости (например, вода) при больших давлениях ведут себя как сжимаемые жидкости. В основе классической гидроаэромеханики, рассматриваемой в настоящем курсе, лежат следующие предположения: справедливость классической механики — механики Ньютона, справедливость классической термодинамики, справедливость схемы сплошной среды. Первое предположение означает, что исследуются движения, скорости которых малы по сравнению со скоростью света, и по­ этому не надо пользоваться релятивистской механикой, и что рассматриваются объекты, гораздо большие объектов микро­ мира, изучаемых квантовой механикой. Термодинамически равновесным состоянием системы назы­ вается такое состояние, в котором все характеристики внутрен­ него состояния замкнутой системы при сохранении внешних ус­ ловий могут сколь угодно долго сохранять свои значения. В ус­ ловиях термодинамического равновесия состояние жидкости (газа) можно определить с помощью нескольких макроскопиче­ ских параметров (таких, например, как плотность, скорость, температура). б Переход к состоянию термодинамического равновесия тре­ бует времени. Время, характеризующее быстроту, с которой затухают отклонения системы от равновесия, называют време­ нем релаксации. Если время, необходимое для установления равновесия, очень мало по сравнению с временем, на котором заметным образом меняются макроскопические параметры газа, то в окрестности каждой точки мы будем иметь дело с жид­ костью, находящейся в состоянии термодинамического равнове­ сия или близком к нему, и можем пользоваться для описания ее термодинамическими законами. Смысл третьего предположения будет подробно рассмотрен ниже. 2. Понятие физически бесконечно малого объема и схема сплошной среды. Представим себе, что имеется некоторая среда и что в объеме т заключена масса среды М. Тогда можно найти ее среднюю плотность р<. = — . Предположим, что объем т уменьшается, стягиваясь в точку. В силу неоднородности среды плотность р р сначала будет заметно зависеть от объема, затем, когда среда в объеме т станет почти однородной, плотность практически не будет изменяться. Такая зависимость р от объема оказывается справедливой до тех пор, пока в объеме еще достаточно большое число молекул. При дальнейшем умень­ шении объема плотность начнет испытывать резкие колебания. Это связано с тем, что расстояния между молекулами оказы­ ваются сравнимыми с размерами объема, и при небольших из­ менениях объема в одних случаях число молекул в объеме мо­ жет остаться неизменным, в других — может уменьшиться. В первом случае плотность возрастет (масса постоянна, объем уменьшился), во втором плотность может резко падать. Объем, размеры которого, с одной стороны, пренебрежимо малы по сравнению с характерным размером рассматриваемого явления, так что его средние характеристики можно считать постоянными, а с другой стороны, содержит в себе настолько много молекул, что эти характеристики будут устойчивы по от­ ношению к изменению объема, будем называть физически бес­ конечно малым объемом. Во всех дальнейших рассуждениях слова «объем стягивается в точку» и запись т -> 0 будут озна­ чать переход к физически бесконечно малому объему. Кроме пространственного приходится также иметь дело с простран­ ственно-временным физически бесконечно малым объемом. Если отвлечься от молекулярного строения жидкости, то можно представить ее как непрерывно распределенную (разма­ занную) по пространству среду, обладающую физическими свой­ ствами реальной жидкости. Такая среда является приближенной моделью реальной жидкости, которая дает достаточную точность при ее изучении. Для такой среды мы можем уже строго стяги­ вать объем в точку и делать предельный переход в обычном р с ср 6 смысле. Предположение Л справедливости модели сплошной среды равносильно предположению о существовании физически бесконечно малого объема. В дальнейшем мы будем пользоваться понятием частицы (бесконечно малой частицы), подразумевая под жидкой час­ тицей малый жидкий объем (физически бесконечно малый жид­ кий объем). В силу малости этот объем можно рассматривать как поступательно движущийся и движение частицы представ­ лять себе, как движение материальной точки, характеризуемой конечным числом параметров. Трактуя жидкость как непрерывную сплошную среду, будем в дальнейшем все функции, имеющие гидродинамический смысл, считать достаточно гладкими, т. е. непрерывными и имеющими достаточное число производных. 3. Некоторые основные величины. Остановимся на понятиях плотности, скорости, напряжения. Считаем момент времени t фиксированным. Выделим в жидкости некоторый объем т, огра­ ниченный поверхностью 5. Пусть М — масса жидкости, заклю­ ченная в объеме т, К — вектор количества ее движения. Плотность жидкости в данной точке понимается как предел, к которому стремится величина р р, когда объем стягивается к точке, т. е. с p= limp =hm —. c p Скоростью точки сплошной среды, как известно из кинемаdt тики, называется производная v = -rr> де г — радиус-вектор, определяющий положение точки. Имея в виду, что наша сплош­ ная среда является моделью реальной жидкости, имеющей мо­ лекулярное строение, определим среднюю по объему скорость v как отношение количества движения к массе: v = -jg-. Соот­ ветственно скорость в точке, к которой стягивается объем т, будет г cp v = lim v = lim -тт-. cp т-Ю т-»0 м Действие жидкости, находящейся вне поверхности S, на жид­ кость, находящуюся внутри S, может быть представлено дей­ ствием системы сил, распределенных по поверхности S. Выде­ лим на поверхности площадку AS. Пусть п — нормаль к AS в какой-то средней точке А. Обозначим через F„ силу, с которой жидкость, находящаяся с той стороны площадки, куда направ­ лена нормаль, действует на жидкость, находящуюся с другой стороны площадки AS. Тогда средней поверхностной силой, приходящейся на единицу площади (напряжением), будет век7 тор т = - д § - - Предел, к которому стремится т„ , когда AS стягивается к точке А: т „ = lim T« =»Hm-b-, пср с eD определяет напряжение в этой точке. З а м е ч а н и е . По второму закону Ньютона F n = == ~dT I i m ~дТ- Таким образом, F имеет смысл количества движения, перено­ симого через площадку AS в единицу времени. Соответственно Тя есть количество движения, переносимое через единичную площадку в единицу времени, т. е. поток вектора количества движения через единичную площадку с нормалью п n ,. AS-Ю Дг>0 ДК Д Л а г Важной характеристикой состояния жидкости является тем­ пература, понятие о которой дается в физике. Если необходимо учитывать совершающиеся в жидкости тепловые процессы, то в качестве основной функции будет входить также темпера­ тура Т 4. Основные свойства жидкости. Жидкость есть сплошная среда, которая обладает следующим свойством: в случае, когда она находится в покое или движется как абсолютно твердое тело, в ней наблюдаются только нормальные напряжения и отсутствуют касательные. Ниже будет установлено, что нормальные напряжения, ко­ торые наблюдаются в жидкости, когда она находится в покое или движется как абсолютно твердое тело, не зависят от ориен­ тировки площадки. Наблюдающиеся в жидкости нормальные напряжения яв­ ляются большей частью напряжениями сжатия, но не растяже­ ния. В газах вообще не наблюдается напряжений растяжения. В реальных капельных жидкостях напряжения растяжения мо­ гут иметь место, но они невелики, т. е. прочность жидкости на разрыв невелика. Прочность капельных жидкостей в сильной мере зависит от ее чистоты; примеси очень сильно снижают прочность жидко­ сти. Ч а с т ь I. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГЛАВА I ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КИНЕМАТИКИ ЖИДКОСТИ § 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА Существуют две точки зрения на изучение движения жид­ кости: точка зрения Лагранжа и точка зрения Эйлера. Соот­ ветственно используются два вида переменных — переменные Лагранжа и переменные Эйлера. Т о ч к а з р е н и я Л а г р а н ж а . Пусть то — объем некото­ рой массы жидкости, который она занимала в начальный мо­ мент времени / - В момент времени t эта масса жидкости будет занимать объем т. Между точками то и т имеется взаимно­ однозначное соответствие. Произвольная частица объема то, ко­ торая в момент *о находилась в точке Ао, перешла в определен­ ную точку А жидкого объема т. Положение частицы определяет­ ся координатами х, у, г той точки пространства, в которой частица находится в момент времени t. Координаты частицы в момент / зависят от положения, которое частица занимала в на­ чальный момент времени. Начальное положение частицы может быть задано ее декартовыми координатами а, Ь, с в момент вре­ мени *о- Та-ким образом, координаты частиц представляются в виде х = х(а, Ъ, с, t), у = у(а, Ь, с, t), (1.1) z = z(a, b, с, t). Соответственно гидродинамические величины так же, как функции а, Ь, с, t: р = р (а, Ь, с, t), v = v(a,6, с, t), записываются (1.2) Г = Г(а, Ъ, с, t). 9 Переменные а, Ь, с, t носят название переменных Лагранжа. Равенства (1.1) и (1.2) при фиксированных а, Ъ, с дают коорди­ наты и гидродинамические характеристики частицы, начальное положение которой определяется координатами а, Ь, с. При фиксированном t равенства (1.1) и (1.2) дают координаты и гидродинамические величины различных частиц в зависимости от значений их начальных параметров а, Ь, с. Т о ч к а з р е н и я Э й л е р а . В пространстве выбирают не­ которую точку А, декартовы координаты которой х, у, z. В раз­ ные моменты времени через эту точку А будут проходить различные частицы жидкости, имея свои значения гидродинами­ ческих величин. Представляет интерес изменение искомых гидро­ динамических величин в фиксированной точке пространства в зависимости от времени. Движение, с точки зрения Эйлера, счи­ тается известным, если известны функции p = p(x, у, z, t), v = v(x, у, z, t), (1.3) Т = Т(х, у, г, t). Равенства (1.3) дают гидродинамические величины жидкой час­ тицы, которая в момент времени t находится в точке с коорди­ натами х, у, z. Переменные х, у, z, t носят название переменных Эйлера. З а м е ч а н и е . При рассмотрении переменных Лагранжа и переменных Эйлера мы использовали декартову систему коор­ динат. Можно вместо декартовых координат а, Ь, с и х, у, z ис­ пользовать любые другие координаты. § 2. ПЕРЕХОД ОТ ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА К ПЕРЕМЕННЫМ ЭЙЛЕРА И ОБРАТНО 1. Пусть задача математического описания движения жидко­ сти решена в переменных Лагранжа и требуется записать ре­ шение в переменных Эйлера. В переменных Лагранжа решение имеет вид х = х(а, Ь, с, t), y = y(a, b, с, t), z = z(a, b, с, t); (2.1) v = v (a, b, c, t), v = v (a, b, c, t), v = v (a, b, c, t)\ (2.2) p = p(a, b, c, t), T = T(a, b, c, t). (2.3) Так как между координатами х, у, z и а, Ь, с имеет место взаимно-однозначное соответствие, то якобиан x x y y д _ z В(х,у г, D (а, Ь, с) Q z ( v 2 4 ) ' При t = to а = х, b = у, с = z и якобиан равен единице. Си­ стему (2.1) можно разрешить относительно а, Ь, с и найти а = а{х, у, z, t), b = b {х, у, z, t), c = c (x, у, z, t). (2.5) Ю Подставив (2.5) в (2.2) и (2.3), получим решение задачи, запи­ санное в переменных Эйлера: v = v (х, у, г, t), v = v (x, у, z, t), v = v (x, у, z, t)\ (2.6) P = P (x, У, z, t), T = T(x, y, z, t). (2.7) x х y y z z 2. Пусть задача решена в переменных Эйлера. Это значит, что гидродинамические величины известны в виде (2.6) и (2.7). Чтобы осуществить переход от переменных Эйлера к перемен­ ным Лагранжа, надо прежде всего найти формулы вида (2.1), связывающие координаты х, у, z с переменными а, Ь, с, t. В фор­ мулах (2.1) величины а, Ь, с играют роль начальных координат, постоянных для каждой частицы, а время t — независимая пе­ ременная. Поэтому, рассматривая координаты частицы как функции времени, можем написать dx dy = w dz = , n ==V (2 nr *> -зг «" -3F '- - о ч 8) Ho v , v , v известны в виде (2.6). Подставив (2.6) в правые части (2.8), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для отыскания искомой зависимости вида (2.1) -jf=v (x, у, z,t), ~£- = v (x, у, z, t), -jt=v (x, у, z,t). (2.9) x y z x y z Проинтегрировав систему (2.9), найдем х, у, z как функции t: x = x(C C ,C ,t), y = y(Ci,C ,C ,t), z= z(C C ,C ,t). u 2 3 2 3 u 2 3 (2.10) Здесь Си С , С — произвольные постоянные. По определению при г = t х = а, у — b, z — с. Подставляя эти значения в (2.10) и решая полученные равенства относительно Си С , С , находим С\, С , С как функции а, Ь, с. Подставляя Ci(a, b, с, t ) в (2.10) и опуская при написании аргумент to, так как он один и тот же для всей задачи, получаем искомые формулы (2.1). Если теперь формулы (2.1) подставить в известные выражения для гидродинамических величин (2.6) и (2.7), то получим эти величины в переменных Лагранжа. З а м е ч а н и е . Переход от переменных Эйлера к перемен­ ным Лагранжа более сложен, так как он связан с необходи­ мостью интегрировать систему дифференциальных уравнений. 2 3 2 2 3 3 § 3. ИНДИВИДУАЛЬНАЯ И МЕСТНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ И н д и в и д у а л ь н а я п р о и з в о д н а я . Пусть А — некото­ рая гидродинамическая величина (векторная или скалярная). Для выделенной жидкой частицы эта величина будет зависеть только от времени: А = A(t). Изменение величины А в пред­ положении, что эта величина относится к фиксированной час­ тице, характеризуется производной от А по времени, которая 11 называется индивидуальной производной. Обозначим эту произ­ водную Л . Рассмотрим, как вычисляется Л в переменных Эй­ лера и в переменных Лагранжа. а) Пусть А — функция переменных Эйлера. Для фиксиро­ ванной частицы координаты в соответствии с законом ее дви­ жения будут функциями времени и и x = x(t), y = y(t), z = z{t). (3.1) Поэтому A(t) = A[x(t),y(t),z(t),t]; ЗА dx .i Л и — , дА dy + (3.2) , дА dz + ,„ „.. . ЗА + {6 а) ~dT~dT 'dy"ir ~dTdt ~дТНо (3.1) есть уравнения движения частицы, следовательно, dx dy dz , ., Отсюда .' ЗА , A =s ' "W дА , v дА . v дА ,„ - +v ч ( 3 , 5 ) + *-5Z + yW '~te- Часто для индивидуальной производной в переменных ЭйлеdA , DA о „ pa используются обозначения —тг, —гг. В дальнейшем мы приdA мем обозначение-т^-. Таким образом, .' dA дА , дА , дА , дА ,„ „ « = ЧГ = -дГ+ *-дГ + у-д1Г ''-дГб) Пусть А — функция переменных Лагранжа: А = А(а,Ь, c,t). Для выделенной частицы аргументы а, Ь, с фиксированы, изменяется только время. Поэтому ч А х> х> + х ( 3 А — ~gj~> 6 ) (3.7) а М е с т н а я п р о и з в о д н а я . Пусть в пространстве зафик­ сирована некоторая точка. Через эту точку в разные моменты времени будут проходить разные частицы. Каждой из них соот­ ветствует некоторая гидродинамическая величина А. В фиксиро­ ванной точке пространства А = A (/). (3.8) Изменение величины А в фиксированной точке пространства характеризуется производной А по времени, которая называется местной (локальной) производной по времени А . а) Пусть А — функция переменных Эйлера, т. е. А = — А (х, у, 2, t). Так как х, у, z фиксированы, то местная произ­ водная есть частная производная ы А = -щ- • м 12 (3.9) б) Пусть А — функция переменных Лагранжа: А = А(а, Ь, c,t). В разные моменты времени через фиксированную точку М пространства проходят разные частицы с разными значениями а, Ь, с. Но так как в каждый момент времени в точке М ока­ зывается одна частица, то можно записать a = a{t), b = b(t), c = c(t). Таким образом, для фиксированной точки пространства A = A[a(t), b(t), c(t), t] и ,' Л м ~ дА da . дА db . dA dc да dt ~Г db dt "•" дс dt . + дА dt • to. \с\\ > (6Л[) Эта формула приобретает значение, если известны производные da db dc r, m -тг> ~тг> ~тг • Вычислим их. Так как движение задано в переat at at менных Лагранжа, то известна связь (1.1). Дифференцируя по t обе части (1.1) и учитывая, что х, у, z фиксированы, получим „ дх da , дх db , дх dc , дх ^~~Ь~а"Ж^"ЬТЧГ'^'~ЬТ~аТ^"ЪТ' п _ ЁК. EJL _i_ lL — _L EJL — 4- EL rain u ~ da dt "г" db dt ~T~ dc dt "*" dt ' П — dz da , dz db . dz dc . dz ~ da dt "*" db dt ~T~ dc ЧГ ~Т~ ~ЪТ' ^ A U Система (3.11)—система трех линейных уравнений относитель­ но производных —гг, —гг, -гг. Якобиан системы не равен нулю. Решая систему (3.11) относительно -£-, —гг, —гг и подстав­ ляя эти решения в (3.10), приходим к формуле для местной производной D (А, х, у, г) Л м — D (х, у, z) D (а, Ь, с) • U W- > § 4. УСТАНОВИВШЕЕСЯ И НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Течение жидкости называется установившимся, или стацио­ нарным, если в каждой фиксированной точке пространства, при­ надлежащей области движения, все гидродинамические вели­ чины не зависят от времени. Это означает, что если А — некото­ рая величина, характеризующая движение, то местная производная Лм = 0. В переменных Эйлера А = ~тг> т. е. м _ = О, А = А (х, у, г). 13 l > В переменных Лагранжа для местной производной имеем формулу (3.12). Так как Л Ф 0, то признаком установившегося движения в переменных Лагранжа должно быть равенство D (А, х, у, г) . п ==0 D(t,a,b,c) т а к ' ч т о . л А= ч А(х,у,г). Если гидродинамические величины во всем пространстве, за­ нятом жидкостью, или в какой-либо части его изменяются с течением времени, то движение называется неустановившимся, или нестационарным. Заметим, что при переходе от одной си­ стемы координат к другой установившееся движение может пе­ рейти в неустановившееся, и наоборот. § 5. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ Скорость частицы является индивидуальной производной от радиус-вектора по времени, ускорение — индивидуальной произ­ водной от вектора скорости по времени, т. е. Если задача о движении жидкости решается в переменных Эйлера, то v = v (х, у, z, t), х х v = v (х, у, г, t), y v = v (x, у, z, t). y z z Ускорение можно вычислить, используя формулу (3.6): dv W dv = , dv , V = 4r w dv V + *w + ydy- . + dv V ,_ ,, ( 5 Л ) ^ - В проекциях на оси Уравнение (6.11) — линейное уравнение в частных производных первого порядка для отыскания функции &~(х, у, z, t), где t — параметр. Характеристики уравнения (6.11) удовлетворяют си­ стеме уравнений и д: v z "^ Уравнения (6.12) совпадают с уравнениями (6.4) для линий тока, т. е. характеристики уравнения (6.11) являются линиями тока. Для уравнения (6.11) обычно ставят задачу Коши: оты­ скать поверхность тока, которая проходит через заданную кри­ вую /. Эта задача имеет смысл, если кривая / не является ха­ рактеристикой. Геометрически поверхность тока обычно строит­ ся следующим образом: берут кривую, не являющуюся линией тока, и через точки этой линии проводят линии тока. Критическая точка — точка потока, в которой вектор скоро­ сти равен нулю, т. е. одновременно v = v = v = 0. (6.13) x y z Рассмотрим систему уравнений (6.4) для линий тока. Если в некоторой точке хотя бы одна из составляющих скорости не равна нулю, то в силу теоремы существования н единственности решения для системы (6.4) через такую точку проходит только одна линия тока. Если точка критическая, т. е. выполняется равенство (6.13), то эта точка является особой для системы уравнений (6.4), в ней может нарушаться теорема единствен­ ности. Через критическую точку может проходить несколько и даже бесконечно много линий тока. § 7. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕНЗОРАХ Здесь будем рассматривать трехмерное ортогональное про­ странство с декартовыми координатами х\. х , Хз с ортами ii, i , i3- Все результаты этого параграфа легко обобщаются на слу­ чай евклидова пространства любого числа измерений. 2 2 17 1. В е к т о р ( т е н з о р п е р в о г о р а н г а ) . Рассмотрим две системы координат: х х , х и х\, х , х . Их взаимное располо­ жение характеризуется следующей таблицей направляющих ко­ синусов [г х\ Х\ Х2 а «и 0| и Х' a i х' а 2 2 а 2 3 2 3 Хз а „ = Г • i = cos (х' 3 х \ т 2 2 «23 (7.1) где {х' , •*„) — угол между ортами осей. т 3 3 1 <*32 <*зз Пусть г — радиус-вектор точки с координатами х х , х : г = iiXi + i x + 1 л: . (7.2) Проектируя г на оси х[, х , JC , получим формулы преобразова­ ния координат *,, х , х в х[, х' , х' : и 2 2 2 Х = 2 а Х *3 Я 3 3 a 21 1 "I" = 2 3 a \ \ \ "f" i 2 * 2 " ^ i3*3> Лл = 3 3 3 \ 2 22 2 "I a 23 3* Я з Л "T" 32*2 ' 33*3> или в общем виде <, = £!-1 ,»Л в («=1,2,3). (7.3) Пусть а — некоторый вектор, а , а , «з — проекции вектора а на оси Xi, х , х . Тогда а = l^j + i a + 1з«з(7.4) 4 2 2 3 2 2 Проектируя (7.4) на направления осей х\, х , х , проекции а[, а , а' вектора а в новой системе 2 2 3 получаем 3 fl < = «m A + «m22 + «mA» (7-5) ИЛИ a <, = 2 . i m A (т-1,2,3). Формулы (7.5) — формулы преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой — мы полу­ чили, трактуя вектор как направленный отрезок. Можно, од­ нако, формулы (7.5) положить в основу следующего определе­ ния вектора. Если в каждой декартовой системе координат заданы три числа йи #2, з> причем при любом линейном ортогональном преобразовании координат эти числа преобразуются по фор­ муле (75), то говорят, что величины а\, a a% образуют аффин­ ный ортогональный вектор а = |[а||. В определении присутствует а 2> 18 слово «аффинный», так как преобразование координат линейное, и слово «ортогональный», так как используются только ортого­ нальные преобразования координат. В дальнейшем мы будем использовать только линейные ортогональные преобразования координат, не оговаривая этого. Если для ортов осей х[, x' х' написать выражения через их проекции на оси x х , х v iy 2 3 3 и использовать ортогональность ортов i', \ , V то получим фор­ мулы, связывающие направляющие косинусы между собой: 2 a 'm = «i. + 'ml L + «тЪ I. «m * К = a v a а ,ni „l + a ,иА2 + a m3 «3 = 1, (7.7) ( т ^ tt )' где т=\, 2, 3; п=\, 2, 3. Используя символ Кронекера 6 , формулы (7.7) можно за­ писать в виде т = п, V -А Л - I _j_ (7.8) тп 3 1 a a £-Ч = \ tni ni — °тп, ГДБ _ _ П I п тп п Р И п „ 2. Т е н з о р в т о р о г о р а н г а . Рассмотрим два вектора: а и b с проекциями а\, а , а и b Ь . b . Из компонент этих век­ торов можно образовать таблицу девяти величин аф аф , аф Си, С\ , С13 ab ab, ab (7.9) С \, С 2, Си = с ik\ аф аф , аф См, Сз2> 3 3 где, очевидно, c k = ai"kb (7.1W Поставим вопрос: как преобразуются величины c при пере­ ходе от одной системы координат к другой? По определению величин с* имеем для новой системы коор­ динат х[, х' , х : 2 и 2 3 2 u 2 2 u 2 3 3 2 2 3 2 2 с и 2 3 t t ik 2 3 c ik = a b i k- (7.11) На основании формул (7.5) можем написать (7.12) Подставляя (7.12) в (7.11), имеем Cik = ( S „ a = 1 a a ) (ZLi *A) = E L , S L i / m m a a tm kna b . m n Так как a 6„ = c „, то (7.13) можно переписать в виде ' уз уз m m (7.13) (7.14) 19 Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы коор­ динат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индек­ сами, которые при переходе от одной системы координат к дру­ гой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение: если в каждой прямолинейной ортогональной си­ стеме координат имеется совокупность девяти величин dk и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с — ||c,J|— аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга). Рассмотрим следующие примеры. 1. Таблица 1, 0, 0 0, 1, 0 о, о, 1 образует тензор второго ранга, который во всех системах координат имеет одни и те же компоненты. В этом легко убедиться, применяя формулы (7.5) и учитывая (7.7). Тензор / называется единичным. 2. Как мы уже показали вначале, таблица с = ||с/*Н, составляющие Сш которой образованы из произведений компонент двух векторов: а ( а а , а ) и Ь(&ь 6 , Ьз), так что c-,k — atbk, является тензором. Этот тензор называется диадой, образованной из векторов а и Ь. 3. Пусть компоненты а а , аз некоторого вектора а являются функциями дакоординат Х\, Х2, х%. Легко показать, что таблица Сш, в которой c = > ь 2 3 2 ь 2 ik образует тензор второго ранга, т. е. совокупность частных производных от компонент вектора по координатам образует тензор второго ранга. 3. Т е н з о р л ю б о г о р а н г а . Если в каждой декартовой системе координат задана таблица величин с п индексами C Г Д е 1 ь 2 2 3 l Vs<3 ••• 'nil' ' ' •••' **~1' ' ' и если компоненты этой таблицы при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам ^...„„-Ц-.!?,-,..- Ц^'Ч'Л^--- V ' A - v (7Л5) то говорят, что совокупность величин Ci ,,. определяет аффин­ ный ортогональный тензор ранга п (или просто тензор ранга п). Примером тензора n-го ранга является совокупность произве­ дений компонент п векторов. Формула (7.15), как и формулы (7.5) и (7.14), линейна от­ носительно величин с , суммирование в ней идет по вто­ рым индексам, она содержит произведение п направляющих косинусов. С этой общей точки зрения скаляр (величина, не x т 20 т t меняющаяся при переходе от одной системы координат к дру­ гой) есть тензор нулевого ранга, вектор есть тензор первого ранга. 4. Д е й с т в и я с т е н з о р а м и . Сложение тензоров. Если имеются два тензора ранга п: 5== л = К<,-'„1' I*v*-'J. то величины Ci i ...i l 2 = n a i ...i i i 2 + bi n l h ... 1 п определяют новый тензор С, который называется суммой тен­ зоров А и В: с = К ' , - ' „ 1 ' С = А+В. Умножение тензора на скаляр. Если имеем некоторый тензор С = |]с( i ...I | ранга п и скаляр а, то совокупность величин I 'i •••'«! определяет новый тензор ранга п, который назы­ вается произведением исходного тензора С на скаляр а: flc aC = a | | CM2 ...,J = ||a Cv2 ...*J. Умножение тензоров. Если имеем два тензора: тензор А ранга m и тензор В ранга п: Л=|а B = М 2 ...г |, т 6 fl 'i'i-/J' то, умножая каждую компоненту первого тензора на каждую компоненту второго тензора, получаем совокупность величин, которые образуют новый тензор С ранга m -f n: C = AB = la ... b ... \\. ilt2 im Ili2 ln Тензор С называется произведением (тензорным) тензоров А и В. В том, что совокупность величин а*^ ... « • bjj ... j дей­ ствительно образует тензор ранга m + n, легко убедиться, при­ меняя формулы (7.!5). Дифференцирование тензора. Пусть компоненты тензора ранга п являются функциями координат х х , х . Тогда сово­ купность первых частных производных от компонент тензора по координатам определяет тензор ранга п ~\- 1, т. е. при диф­ ференцировании по координатам ранг тензора повышается на единицу. Свертывание тензоров (сокращение индексов). Пусть имеем некоторый тензор ранга п: « = |«/ ; ... <„||. Выберем у компонент этого тензора два каких-либо индекса iu и i , выберем из всех компонент тензора такие, у которых эти два индекса одинаковы: т и 1 2 i 3 2 m 21 ik = i = / (/ = 1, 2, 3), и, наконец, просуммируем выбранные компоненты по общему индексу /. Тогда величины m 'k—i'k+l Я- ••• ' m - i ' m + i /=I «/, 'fc-l/'fc+l образуют тензор С ранга л — 2, который называется сверткой исходного тензора по индексам /* и / . Представление тензора в виде суммы симметричного и анти­ симметричного тензоров. Тензор второго ранга называется сим­ метричным, если его компоненты не изменяются при перестанов­ ке индексов Cik = cm. Тензор второго ранга называется антисим­ метричным, если его компоненты меняют знак при перестановке индексов, т. е. с,-* = —c . Общий вид антисимметричного тен­ зора О, a, b О, с а, т kl •с, О При преобразовании координат свойства симметричности и анти­ симметричности сохраняются. Покажем, что каждый тензор второго ранга || с« || может быть представлен в виде суммы сим­ метричного и антисимметричного тензоров. Пусть дан тензор С = || Cik ||. Образуем новый тензор С* = || Сы II и построим тен­ зор, равный полусумме тензоров С и С*: C C o-( 12+ 2l) 5=4(С + Г) = С ~2 ( 21 + С) С 12 у (Сз1 + Ci ) 3 Y ( C С "о ( 23 + 22 Сз2 C T( 13+ 3l) + С ^ с С ) 32 33 Тензор S симметричен. Положим R = С — S. Компоненты тен­ зора R будут иметь вид Очевидно, что Rik = —#«, Ru = 0, т. е. тензор R антисиммет­ ричен. Таким образом, C = S + R. Тензор S называют симметричной, а тензор R — антисим­ метричной частями тензора С. Приведем некоторые примеры. 1. Рассмотрим скаляр (р(х\, Х2, хз) (тензор нулевого ранга). Совокуп­ ность производных первого порядка по координатам Зф (Эф Зф Зф дх. <Элг ' дх, ' дх к \ 22 1 2 г определяет некоторый вектор А (тензор первого ранга). Этот вектор А назы­ вается градиентом функции <р л . J dqp . . dip . . dip A _ _ _ . 2. Рассмотрим тензор второго ранга, образованный из векторов а и Ь,— диаду = g r a d 9 = l l + l 2 + l 3 II'«II = 11 « Л IIОбразуем свертку. Для нее имеем D С a b - Е- 1 И 2-1 l i = 1 1 2 2 + 3 3' = а 6 + а 6 а 6 = Таким образом, свертка есть скаляр (тензор нулевого ранга), известный как скалярное произведение a b 3. Рассмотрим тензор второго ранга С = ||с**|| и единичный тензор вто­ рого ранга / = Ив™II. Умножая каждую компоненту тензора С на каждую компоненту тензора /, получаем тензор четвертого ранга fl fl c = ll «mJI = ll /Amlr Можно произвести свертывание этого тензора по значкам i и m либо по k и п. При этом придем либо к исходному тензору, либо к тензору с переставлен­ ными строками и столбцами. 5. П с е в д о т е н з о р ы . Обозначим через Д определитель, образованный из направляющих косинусов преобразования осей Х\, Х2, х в оси х[, х' , х' Известно, что 3 2 у а„ <*21 «31 «12 «13 а 22 а а 32 а 23 = ± 1. 33 Причем Д = 1, если правая (левая) система координат преоб­ разуется в правую (левую), и Д = —1, если правая (левая) си­ стема координат преобразуется в левую (правую). Введем те­ перь понятие псевдотензора. Если для каждой прямолинейной ортогональной системы координат Х\, х , х имеется совокупность 3" величин t { t преобразующихся по формулам 2 3 ' U - *„ = Л I t • • • I <*,,„, • • • a't m„t ... m a mi n (7.16) в величины t{ i ... , отвечающие другой системе координат х\, Jtg, x' , то совокупность этих величин определяет новую ве­ личину i 2 i 3 r=i'v.-a 7 17 <- ' которая называется аффинным ортогональным псевдотензором ранга п. Из формулы (7.16) видно, что когда рассматривается преоб­ разование правой системы координат в левую (или наоборот), то Д = —1 и компоненты псевдотензора меняют знаки на об­ ратные по сравнению с компонентами тензора. Если же при 23 преобразовании правая (левая) система координат переходит в правую (левую), то различия в формулах преобразования тен­ зоров и псевдотензоров нет ( Д = 1). Поэтому когда в рассмотре­ нии имеют дело только с правой системой координат, псевдотен­ зоры часто называют просто тензорами. Приведем примеры псевдотензоров. 1. Векторное произведение векторов а и b меняет знак на обратный при переходе от правой системы к левой (и наоборот), т. е. с = а Х Ь — псевдо­ тензор первого ранга (псевдовектор). 2. Угловая скорость вращения твердого тела является псевдовектором. 3. Псевдотензор Леви — Чивита — псевдотензор третьего ранга £> = = \\dkim II. антисимметричный по всем парам индексов и удовлетворяющий ус­ ловиюflfi23= 1 в какой-либо правой системе координат. Все его компоненты, имеющие два одинаковых индекса, равны нулю, и тензор имеет только шесть компонент, у которых все три индекса различны. Составляющие йц,1(1фкф1) принимают значение, равное единице, если i, k, I — четная перестановка трой­ ки (1, 2, 3), и равное — 1 , если /, k, I — перестановка нечетная. Таким обра­ зом, fif 123 = ^231 = «312 = ', 0*132 = ^213 = ^321 = — 1 - Во всех правых системах координат псевдотензор Леви — Чивита имеет один и тот же вид. 6. У м н о ж е н и е псевдотензоров и тензоров. Произведение псевдотензора на псевдотензор является тензо­ ром (так как Д = 1). Если А и В— псевдотензоры рангов т и п, то А-В — тензор ранга т + п. Произведение тензора на псевдотензор является псевдотензором. Если А—тензор ранга т, В — псевдотензор ранга п, то А-В — псевдотензор ранга т -\- п. Рассмотрим примеры. 2 1. Возьмем псевдотензор Леви — Чивита D = ||d*/ || и тензор второго ранга, образованный из векторов а и b (диаду): С = || с „ || = || a ft, ||. m p Перемножив псевдотензор D на тензор С, получим псевдотензор пятого ранга T= \\d a b \\. klm p q Выполним два раза операцию свертывания по индексам / и р и индексам т и q. При двухкратном свертывании ранг псевдотензора понизится на четыре и получим псевдотензор первого ранга (псевдовектор R). Положим / = р = i, т = q = /. Тогда = ** = 2-r£?-i Вектор dp = р' — р с проекциями о!£, cfr), dt, характеризует изменение относительного положения точки В по отношению к точке Л за время dt. С учетом (8.1) <*Р = 1 :(r'- ;)-(r-r ) = (r'-r)-( ;-r ). r r (8.2) Если через v,4 и \ обозначить скорости точек Л и В, то г' — r = v, dt — перемещение точки Л, г' — г: • v dl переме­ щение точки В за время dt. Поэтому (8.2) можно записать в виде d(y = (v -v )dt. (8.3) в B B A Здесь v = v (г) = v (x+£, y+r\, v = v (г ) = v (х, у, г). B A z+Q, (8.4) Считая рассматриваемый объем т малым, разложим Рис.1. функцию \(х + I, у + \\,z + £) в окрестности точки х, у, z в ряд Тейлора. С точностью до величин второго порядка мало­ сти получим , Г dv „ . . dv 3v Л dp = [- i + -^y + F7 , i\dt. ] (8.5) w В проекциях на оси координат «-[-Slf-M"£-4+4N*. [ dv u *-[ -TTi+^ dv. dx ° dv u dv u ~] + ^ldt, dv. dv. dy Ц '' + ' dz • c ] * . (8.51 Чтобы выяснить характер относительного изменения поло­ жений точек Л и В, преобразуем равенства (8.5'). Сделаем это 26 подробно на примере первого равенства (8.5'). Введем в рассмотрение псевдовектор-вихрь скорости /д»г а» й \ . / аи* (9u \ 2 /<5а da* \ й Q tv = i ^ - ^ J + j ^ - ^ - ^ J + k ( ^ - ^ J = = ro F F r 4 r r = Q,i + Q i + Й к. (8.7) y г Обозначим _ dv ~~dT' _ x txx - e Е г г _ __ 1 / dv dv \ У~ У -~~2\ЩГ~Т~~дГ)' x Ъх ^ & y х =e - 1 ( ^ +^Л e е " 5z ' гх~е. — хг 2 (88) \ дх ^ dz ) • С учетом (8.7) и (8.8) выражение (8.6) для dg и соответственно выражения для dr\ и dt, можнсо записать в виде dl = [e l + е г\ + ъ £ + i- (Q„£ - Q,TI)] dt, xx ху х dr\ = [e & + e Ti + е „ £ + 1 (Q £ - Q g)] Л, yje vtf г z x (8.9) dl = [e«E + e Ti + » £ + I (Q^t, - Q g)] Л. 2tf 2г y Введем в рассмотрение квадратичную форму 2 2 2 ^ = у [««б + е^т) + е £ + - 2в Дц + 2e tiC + 2в«££]. гг ж vz (8.10) Если занумеровать оси координат, положив |i = |, £2 = "П. 1з = £» 8, = e., , то (8.10) можно записать в виде ft '-тЕ-.К-Л**.. (8.100 С учетом введенных обозначе ний равенства (8.9) примут вид dh = [•!£- + Y (Q X р) J Л (/ = 1, 2, 3). (8.11) Формулы (8.11) можно записать в векторном виде dp = [gradf + 1 ( О х р ) ] л . (8.12) Сопоставляя (8.3) и (8.12), получаем формулу v = v„ + j & J X P + gradF. B (8.13) 27 Для абсолютно твердого тела известна формула v = v + -f-юХр- Здесь о — вектор мгновенной угловой скорости, с ко­ торой твердое тело вращается относительно мгновенной оси, проходящей через полюс. В случае движения жидкой частицы мы получили более общую формулу (8.13). Слагаемое grad F обращается в нуль только тогда, когда все е«* равны нулю, т. е. когда бесконечно малый объем жидкости движется как бесконечно малый объем абсолютно твердого тела. Формула (8.13)—запись теоремы, которую иногда называют теоремой Гельмгольца. Скорость точки сплошной среды, принадлежащей бесконечно малому объему, складывается из трех слагаемых: скорости по­ люса, скорости точки во вращательном движении затвердевшей жидкой частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через по­ люс А, с угловой скоростью & = у й = -* rot v, и скорости де­ формации Уд = grad F. Если обе части равенства (8.13) умножить на dt, то теорему Гельмгольца о разложении скорости можно записать для пере­ мещений dr = dr + d<(XP + А-д. (8.14) B B A A Здесь dr = v dt — поступательное перемещение точки В жид­ кой частицы; dx = УА&\ — перемещение полюса; с?ф X Р — пе­ ремещение точки В при повороте затвердевшей жидкой частицы вокруг оси, проходящей через полюс, на угол dq> = у Q dt; dr = v„,dt— деформационное перемещение. Такое представле­ ние перемещения точек жидкой частицы в виде суммы переме­ щений затвердевшей жидкой частицы и деформации единственно. Итак, при рассмотрении движения точек жидкой частицы оказалось необходимым ввести понятие скорости деформации у , являющейся потенциальным вектором: B B A n д Уд = grad F, где F—квадратичная функция (8.10). Проекция вектора у д e «дх = ъ 1 + г У) + г £ = Z L i i*&*' хх ху х (8.15) е е S «JU = гх1 + ЪгуЛ + гг£ = £fc=l 3klk- Здесь 1 / dv l 28 dv b \ (8.16) Из (8.15) видим, что скорость деформации у связана с табли­ цей Ж, которая в силу (8.16) симметрична: д г ху уу ~xz е, -yz °zy *>zz е ух = (8.17) е,- § 9. ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ Таблица (8.17) определяет аффинный ортогональный тензор второго ранга. Действительно, вектор v — тензор первого ранга. Совокупность величин,-г-*- определяет тензор второго ранга dx k I d°i \dx Его всегда можно представить в виде суммы симмет- h ричного и антисимметричного тензоров. Тензор (8.17) & I д*>1 есть симметричная часть тензора -^— x I "k . Доказательство тензорного характера величин е,* можно провести и непосредственно. Имеем равенство (8.13); в нем VA, VB — векторы, Q X Р — произведение псевдовектора Q на вектор р — также вектор. Следовательно, у — также вектор. Рассмотрим скалярное произведение у -р. Это произведе­ ние— скаляр, инвариант (проекция у на р, не зависит от си­ стемы координат). Для скалярного произведения, так как у = = grad F, имеем dF „ , dF , dF (9.1) P = dh dh Ь2 -г ?ёз ;i -+- -жт -ж- S3Ho F(lu £ , Ез)—однородная функция второй степени; по тео­ реме Эйлера об однородных функциях можем записать;у -р = = 2F. Таким образом, F— инвариант, не зависящий от системы координат. Рассмотрим две системы координат. Пусть Еь | > Ез — старые координаты, Ej, 1' , Eg — новые. Так как F = F', то, имея в виду (8.10), можем написать д д д д t t 2 д 2 2 ^ m = l i->n-\ &mt&nfin~ 6 2-4 = 1 ^-Ч-l (/Е;Е/. (9-2) Выразим старые координаты через новые: s«=ELi««iC i / = Z L , « ^ (9-3) и подставим (9.3) в правую часть (9.2): г *->т-\ ^п-1 тгЛт%п = *-Ч~\ ^l-l Ъ а a Ц V ^ m - 1 тЛт) (Ал=>1 nj%n) = ZL,r .,lX(5:?- Z;. e a a ). B I 1 | / m | e / ~ (9.4) 29 Приравнивая коэффициенты, получаем е = тп = e 2^_1 ^ / - 1 a (9.5) a ii mi nr Формула (9.5)—формула преобразования компонент тензора второго ранга при переходе от одной системы координат к дру­ гой. Следовательно, таблица Heiftll есть аффинный ортогональный тензор второго ранга — тензор скоростей деформаций. С тензором скоростей деформаций связана квадратичная форма F, имеющая вид (8.10). Всегда можно ввести такие коор­ динаты | | , | f которых квадратичная форма примет вид B ь 2 3 F^eft+еД+гД. (9.6) В этих координатах тензор скоростей деформаций будет 0 0 |e«||= ~ е (9.7) 2 е 3 Оси, в которых тензор e/s имеет вид (9.7), называются глав­ ными осями тензора скоростей деформаций (это главные оси квадратичной формы F). Величины еь г% ез, которые входят а (9.7), называют главными скоростями деформаций. Известно, что еь ег, ез являются корнями кубического уравнения , - А 812 е 821 е 22 — Л е 31 е 13 32 (9.8) = 0. 823 8« — ^ Корни этого уравнения всегда вещественны. Вещественность корней уравнения (9.8) следует из симметричности матрицы ||е<*||. Запишем уравнение (9.8) в виде 3 2 Я, + /1Я, — / Я + / = 0. (9.9) Поскольку главные скорости деформации е,- — инварианты, ин­ вариантами должны быть и коэффициенты уравнения (9.9). Эти коэффиценты / h, h называют соответственно линейным, квадратичным и кубичным инвариантами тензора скоростей де­ формаций. Наиболее простой вид имеет линейный инвариант 1\. Это просто свертка тензора е«: 2 3 ь г , . ' 1 — 1 1 ~Г 2 2 " Г 3 3 d»i | dv 2 1 dv 3 • divv. дх\ дх дхг Коэффициенты / , /з можно записать в виде е е е г 2 ей е 21 822 822 + 8 32 8 е 2 3 33 det[|e«|| 30 + 833 e 813 8Ц 3l § (О. СМЫСЛ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРЛ СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ Выражения для компонент скорости деформации имеют вид (8.15). Скорость деформации у будет определена для любой точки (при известных £, ц, £) частицы, если задана таблица (8.17). Выясним физический смысл величин е,* — компонент тензора скоростей деформаций (8.17). Рассмотрим частные случаи. 1. Пусть &хх ф 0, все остальные е;* = 0. В этом случае тен­ зор д О (10.1) О О Формулы (8.15) примут вид и д.х = = e v xxS> = ny = V AZ (10.2) 0. : Таким образом, тензору (10.1) соответствует однородное растяжение (е > 0) или сжатие (е^ < 0) объема вдоль оси х (рис. 2). Из (10.2) следует, что ДХ I ! е = - ^ Р — скорость растяжения > (сжатия) элементарного объема * вдоль оси х, приходящаяся на » единицу длины. Аналогичный смысл имеют г и е . Итак, *• диагональные элементы тензора скоростей деформаций — относи­ тельные скорости равномерного растяжения элементарного объе­ Рис. 2. ма вдоль координатных осей. 2. Пусть теперь г = ъ Ф 0, все остальные Б;* = 0. Тогда хх 1 и хх уу *• *• »• »• 2г ху ух еух 8= е ух 0 . Е ХУ (10.3) Соответственно «д* = е т1, v Хй ay = e l, yx о = 0. дг (10.4) Отсюда видно, что точки оси у\(1 = 0) испытывают сдвиг в на­ правлении оси |, пропорциональный расстоянию ц, точки оси | —сдвиг в направлении оси t\ (рис. 3). Таким образом, имеет место скашивание прямого угла (в данном случае между осями | и ц). Составляющие v ax °ху ' Уду ь ух 31 имеют смысл скорости скашивания прямого угла. Аналогичный смысл имеют другие боковые компоненты (8.17). В общем слу­ чае, когда тензор Т имеет вид (8.17), деформацию элементар­ ного объема можно представить как суперпозицию деформаций растяжений (сжатий) относительно трех координатных осей и деформаций сдвига. Если тензор скоростей деформаций отнесен к своим главным осям |, т), £, то скорость деформации будет иметь проекции Уд* = е,|, v = b>r\, У = е. £. (10.5) ay дг 3 Таким образом, самая общая деформация частицы может быть представлена как деформация растяжения относительно трех главных осей деформации. Из (10.5) следует, что если | у | =• 0, то EI = е = е = 0. Это значит, что отсутствие деформации соответствует нулевому тензору (в главных осях). Но если тензор нулевой в главных осях, то он будет нулевым и во всех других осях, т. е. из | и | = 0 следует, что еиг = 0. Очевидно, что в этом слу­ чае и все инварианты тензора е равны Цд нулю: 1\ = / = / = 0. д 2 3 д х 2 3 § 11. СМЫСЛ КОМПОНЕНТ ВИХРЯ СКОРОСТИ и ДУ - — г г L-TTrTfTff > В § 8 мы установили, что скорость любой точки жидкой частицы может быть представлена в виде РисЗ. V ^ v . + ^QXP+V,, где \А — скорость полюса; у — чисто деформационная скорость; — 2 QXP—скорость точки во вращательном движении затвердевд ., .. 1 о шеи жидкой частицы с угловой скоростью -^ " . Вектор ft = rot v = 2м — удвоенная угловая скорость, с ко­ торой затвердевшая жидкая частица вращается вокруг оси, про­ ходящей через полюс. Проекции вихря скорости dv , dz y ®х— л _ ^ dvy Q г dv я„ ду z dv x 2(0^, = ^ г дх ду ' Проекцию вектора угловой скорости на какую-либо ось можно одновременно рассматривать как угловую скорость вращения 32 относительно этой оси. Поэтому проекции вихря скорости есть удвоенные угловые скорости, с которыми затвердевшая жидкая частица вращается вокруг осей, параллельных осям координат. § 12. ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ, ВИХРЕВЫЕ ТРУБКИ Как было установлено, в общем случае объем жидкой части­ цы при своем движении деформируется и поворачивается, как целое, с угловой скоростью y Q . Чтобы лучше представить себе эту совокупность вращающихся частиц, вводят понятие вихре­ вых линий. Вихревой линией называется линия в данный момент времени, касательная в каждой точке которой совпадает с на­ правлением вектора вихря Q в этой точке. Записывая условие коллинеарности элемента вихревой линии dr и вектора ft, полу­ чаем дифференциальные уравнения вихревой линии dx dy dz Si Qy Й x 2 Если взять кривую АВ, не являющуюся вихревой линией, и че­ рез каждую ее точку провести вихревую линию, то получим вихревую поверхность. Вихревые линии, проведенные через точки замкнутого контура, образуют вихревую трубку. Если замкнутый контур малый (бесконечно малый), то вихревую трубку называют элементарной трубкой, или вихревой нитью. § 13. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ Возьмем в жидкости некоторую кривую /. Пусть v — ско­ рость частиц жидкости в точках этой кривой, vi — проекция v на касательную к ней. Циркуляцией скорости по некоторой кривой АВ называется вычисленный вдоль этой кривой инте­ грал Г = \ vi dl = \ v cos (v, dr) dl, JA JA где dr — вектор перемещения вдоль кривой |dr| = dl. Так как ucos(v, dr) dl—v • dr, то выражение для Г часто записывается в виде Г = \ v • dr = \ v dx + v dy + v dz. x y z Если контур замкнутый (точки А и В совпадают), то исполь­ зуют такую запись: Г = ф v • dr. i Направление обхода должно быть указано. 2 Зак, 1031 33 Теорема Стокса устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутой кривой и интегралом по поверхности, ограниченной этой кривой. Применяя теорему Стокса к цирку­ ляции Г, получаем ф v • dr = J J (rot v • n) dS = J J Q dS. n I S S Интеграл \ \ (Й • n) dS — \ \ Q„ dS называют потоком вихря через поверхность S. § 14. СКОРОСТЬ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТИ Рассмотрим в момент / некоторую массу жидкости в объеме т, ограниченном поверхностью 5. В момент / + At та же масса жидкости будет занимать объем т/, ограниченный поверхностью S'. Скоростью объемного расширения жидко­ сти в данной точке называется предел /—limТ->0 (ИЛ) тДг дг-*о Величина —т-гт есть относительное приРис. 4. тД/ ^ ращение объема в единицу времени. Вычислим величину /, определяемую формулой (14.1). Имеем (14.2) Т ' - Т - $ $ $ Л - $ ^ Л = $ $ $ Л . X' Х'—Х X Так как At мало, то объем т' — т представляет собой тонкий слой между поверхностями S и S'. Тогда элемент объема dx можно взять в виде (рис. 4) dx = dsAn = dS-v n (Н.З) At, где An — расстояние по нормали между поверхностью S и по­ верхностью S', в которую перешли точки поверхности S за время At; v — проекция скорости точек поверхности S на внешнюю нормаль к ней. Теперь х'— т можем записать в виде n U ^ dx = At \[ v dS. Отсюда n х'-х %' — х = At\ \ v dS n 34 и /= И im -ю JS- dS (14.4) Разделим обе части на А^ и устремим Д^ к нулю. При этом А' перейдет в Л, и мы получим s Как обычно, преобразуем интеграл по поверхности к интегралу по объему: \ \ Av dS = \ \ A [v cos (п, х) + v cos (п, у) + v cos (п, г)] dS — s s n x y 2 X Таким образом, для производной -тг получим выражение X т Подынтегральное выражение можно преобразовать к другому виду, раскрывая производные от произведений: дА , дА , дА , (dv dv x дА , dv \ . y z dA Соответственно равенство (15.6) примет вид Т X 2. В ы ч и с л е н и е —п- в п е р е м е н н ы х Л а г р а н ж а . Рассмотрим объем т выделенной массы жидкости в момент /. Координаты частиц этого объема можно записать в виде х = х{а, Ь, с, 0, У = у{а, Ь, с, t), z = z(a, b, с, г), где а, Ь, с — координаты этих частиц в момент времени t , когда декартовы координаты совпадали с координатами Ла­ гранжа х = а, у = b, z = с, а объем т занимал объем тоВ интеграле (15.1), который нужно дифференцировать, перей­ дем от переменных х, у, z к переменным Лагранжа. Тогда l = \ \ \ A ^ ^ d a d b d c - 1 5 < - 8 ) 37 в различных точках. Интеграл есть функция времени / = / ( / ) . Нас будет интересовать величина dl dt = -Цг\\\АЧт. (15.2) Получим выражение для производной —гг в переменных Эй­ лера и в переменных Лагранжа. 1. В ы ч и с л е н и е —гт- в п е р е м е н н ы х Э й л е р а . Рас­ смотрим два близких момента времени t и f = t-\-At. Для момента времени t сохраним введенные обозначения: А (х, у, z, t)=A, /(/) = /. Значения всех функций в момент /' = = / + At будем отмечать штрихами. Таким образом, %' X При малых Д/ можем записать dx A dr i5 3 /'=j^S ^ + W\ ' > Х'—Х X л / = 1 7 = (Л '— ( -) \ \ \ '~~ А) dx А йх + \ \\ ' Х'—Х X Подынтегральная функция А' — А вычисляется в точках, при­ надлежащих объему т, но А вычисляется в момент t, а А' — в момент t' = t + kt. С точностью до малых более высокого порядка А'-А = ^-Ы + ... Учитывая это, приходим к равенству Х'-Х X Преобразуем второе слагаемое в (15.4) так, как это уже де­ лали в § 14. Элемент dx объема т' — т выберем в виде dx = dSAn = = dSVnAt. Тогда ^A dx = AJ^A v dS. , , n х'-х S Равенство (15.4) можно теперь записать в виде х 36 S Разделим обе части на At и устремим Д/ к нулю. При этом А' перейдет в Л, и мы получим л -зЫ5$4г +55^<«х (15.5) S Как обычно, преобразуем интеграл по поверхности к интегралу по объему: \ \ Av dS — \ \ A [v cos (л, х) + v cos (п, у) + v cos (п, г)] dS = n x y z х Таким образом, для производной —тг получим выражение х + Л о , + ( Л и ) + ( л ЧМ[^ ^ < * ^ « £ Н - (15 6) - X Подынтегральное выражение можно преобразовать к другому виду, раскрывая производные от произведений: дА . дА , dt ' * дх у дА , ду ' г дА . dz ' Соответственно равенство (15.6) примет вид d dt А \\\ *=\\Ш+**"]*• i5 7) <- 2. В ы ч и с л е н и е -зу- в п е р е м е н н ы х Л а г р а н ж а . Рассмотрим объем т выделенной массы жидкости в момент t. Координаты частиц этого объема можно записать в виде х*=х(а, Ъ, с, I), y = y{a, b, с, /), z = z(a, b, с, t), где а, Ь, с — координаты этих частиц в момент времени t , когда декартовы координаты совпадали с координатами Ла­ гранжа х = а, у = b, z = с, а объем т занимал объем тоВ интеграле (15.1), который нужно дифференцировать, перей­ дем от переменных х, у, z к переменным Лагранжа. Тогда l A dadbdc -\\\ ^r~) - (15 - 8) х, 37 Но в этом случае объем интегрирования то постоянен для всех моментов времени, и можно дифференцировать под знаком интеграла. Таким образом, to X Сделаем переход в правой части равенства от переменных а, Ь, с к переменным х, у, г, учитывая при этом, что Р{а, Ъ, с) D (х, у, г) Тогда получим х х 1 = ГР(лг, у , z) I " ID (а, Ь, с) \ ' ГЛАВА И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАСС Одним из основных законов механики является закон со­ хранения масс. Это физический закон, справедливый для дви­ жений, происходящих со скоростями, незначительными по сравнению со скоростью света. В этой главе будут получены различные математические формы записи этого закона. § 1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МАСС Рассмотрим в момент времени t некоторый объем жидкости т, ограниченный поверхностью 5. Обозначим через М массу жидкости в этом объеме. Частицы жидкости, находившиеся в момент t в объеме т, перемещаясь, заполнят в момент f объем т' с массой М'. Предположим, что в процессе движения жидкости нет ни возникновения, ни исчезновения массы; тогда закон сохранения массы запишется в виде М = М'. (1.1) По определению плотности р масса в объеме dx равна dm = = pdt. Масса в объемах т и х ' соответственно будет Af=$^pdx, Af'=$$$p'dT. X t' (1.2) Закон сохранения массы примет вид X' X ИЛИ lSSS p d T = = 0 - < м ) X Предположим, что в пространстве, заполненном движущейся жидкостью, имеются пространственно-распределенные источ­ ники. Пусть в объем dx в течение промежутка времени dt за счет источников поступает масса жидкости dm = qdxdt. Здесь q имеет смысл поступающей за счет источников массы жидкости, отнесенной к единице объема и единице времени. Поэтому ве­ личину q можно назвать плотностью источников. Масса жидкости, которая в момент t находилась в объеме т, будет изменяться во время движения. За время dt она получит 39 приращение Am = d/\ \ \ g dx. За конечный промежуток врет мени от t до V приращение массы будет равно Теперь можем записать М'=*М + Ш. (1.6) Подставляя (1.2) и (1.5) в (1.6), получаем Равенство (1.7)—запись закона сохранения масс при наличии пространственно-распределенных источников для конечного объема и конечного промежутка времени. Дадим интегральную запись закона (1.7) для бесконечно малого промежутка времени. Предположим ?' = t -\- At. Тогда (1.7) можно записать в виде X' X X Поделив (1.8) на At и устремив А^ к нулю, получим 4т\\\^г = \\\^г. т (1.9) т Равенство (1.9)—запись закона сохранения масс для конеч­ ного объема для данного момента времени при наличии про­ странственно-распределенных источников. § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МАСС В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА (УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА) Исходим из записи закона сохранения масс для конечного объема (1.9). Для выполнения дифференцирования восполь­ зуемся полученной ранее формулой (15.6) гл. I, положив в ней А = р: т х Подставляя (2.1) в (1.9), получим S 5 S [ 1 + -Ш <Р»*> + If W + i M - * ] * " = °- (2.2 X 40 Равенство (2.2) имеет место для любого объема т. Это воз­ можно только в том случае, когда подынтегральная функция равна нулю. Таким образом, из (2.2) следует, что % + & (9V ) + ± <К> + Ж « = Я- X (2.3) Раскрывая в (2.3) производные от произведений и вводя обо­ значение индивидуальной производной -^-, получаем -g- + pdivv = ?. (2.30 Равенство (2.3) есть дифференциальная форма записи закона сохранения массы в переменных Эйлера при наличии простран­ ственно-распределенных источников с плотностью ц. Пусть жидкость несжимаема. Это означает, что плотность в движущейся частице не изменяется, т. е. индивидуальная про­ изводная от плотности по времени равна нулю. В переменных Эйлера это записывается в виде - £ = 0- Уравнение неразрыв­ ности (2.3) в случае несжимаемой жидкости примет вид dv,. dv q r divv = - . или dv, q - ^ + - ^ + ^L=:_. (2.4) В дальнейшем чаще всего будут рассматриваться потоки, не содержащие источников. Остановимся на рассмотрении уравнения неразрывности в случае, когда q = 0. Уравнение неразрывности (2.3) в общем случае запишется в виде t + ir (PV ) + -£ (pv ) + £ X (pv ) = 0. y z (2.5) Вводя вектор pv с проекциями pv , pv , pv , можно уравнение (2.5) переписать в виде x y z -|f- + div(pv) = 0. (2.5') Из (2.30 получаем наиболее часто употребляемую запись уравнения неразрывности -g- + pdivv = 0. (2.6) Рассмотрим запись уравнения неразрывности для частных случаев. 1. Д в и ж е н и е у с т а н о в и в ш е е с я . В этом случае мест­ ная производная должна быть равна нулю, т. е. -~ = 0. Урав­ нение неразрывности для установившегося движения j^{pv ) x + -^-(pv ) + -^-{pv ) = 0, y 2 или div(pv) = 0. (2.7) 41 2. Ж и д к о с т ь Из (2.6) следует dv r н е с ж и м а е м а . В этом случае -Jr — 0dv,. dv. 3. Д в и ж е н и е п л о с к о е . Движение называют плоским, если существует такая плоскость, что все частицы жидкости движутся параллельно этой плоскости, причем на любой пря­ мой, перпендикулярной этой плоскости, гидродинамические ве­ личины имеют одно и то же значение. Принимая эту плоскость за плоскость (х, у), получим, что v == 0, а все гидродинамиче­ ские величины будут зависеть только от х, у, t, и, следователь­ но, производные по z будут равны нулю. Уравнение неразрывности для плоского движения z Если при этом движение установившееся, то Для несжимаемой жидкости dv dv r дх ' у ду 0. 4. О д н о м е р н о е д в и ж е н и е с п л о с к о й с и м м е т ­ р и е й . Рассмотрим движение, при котором все частицы дви­ жутся параллельно некоторой прямой, причем все гидродина­ мические величины в каждой плоскости, перпендикулярной этой прямой, постоянны. Если эту прямую принять за ось х, то при таком выборе системы координат v = v = 0 и -g—==-g— = SSE 0. Уравнение неразрывности в этом случае будет иметь вид y z -& + £<Р"*> = °. Кроме движения с так называемой плоской симметрией рассматривают и другие одномерные движения — с осевой сим­ метрией, со сферической симметрией (например, точечный взрыв). § 3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА Исходим из интегральной записи закона сохранения масс (1.9). От переменных х, у, z перейдем к переменным Лагранжа а, Ь, с, которые определяют положение частиц в момент времени 48 t в соответствующем объеме to- Тогда (1.9) перепишется в виде То tо Объем то не зависит от времени. Производную -тг можно внести под знак интеграла. В переменных Лагранжа индивиду­ альная производная вычисляется как частная производная, по­ этому равенство (3.1) можно записать в виде to Из (3.2) в силу произвольности объема то будет следовать, что 3 Г D(W)-1 dt L D (a, 6, с) J v D(x,y z) D (a, b, c) ( 3 3 v ' ) ' ИЛИ <Эр . 3 i D (x, y, z) -5Г + Р - ? г n ' Г ' — q. d/ 3 / £> (a, b, с) ^ ,r. n (3.4) ' r ч Уравнение (3.4)—уравнение неразрывности в переменных Лагранжа в общем случае при наличии источников. Если q = О, то 3 5 •SrlowSMh - <-> Равенство (3.5) означает, что величина в квадратных скобках не зависит от лагранжевой переменной t, т. е. Р D (х, у, z) D(a.b.c) — Р , Д (*', у', z') В (a, ft. с) ' n m ^'°' Равенство (3.6) — уравнение неразрывности в переменных Ла­ гранжа при о = 0. Величины, стоящие слева в уравнении (3.6), вычислены в момент /, справа — в любой другой момент времени t'. Если за момент V взять момент времени to, когда х = а, у = Ь, z = с, т. е. когда декартовы координаты совпа­ дают с координатами Лагранжа, то уравнение (3.6) запишется в виде D(x,y,z) „v Д(д, 6, с) — > или подробнее р р ( а 6 r 7 ( d l 7 ) р0 с = а 6 6,) > > ' Я Д(а, ft.'c) Р д ( ' > Здесь л:, г/, 2 — функции координат Лагранжа а, Ь, с, t; p — плотность, вычисленная в момент to. Если жидкость несжимаема, то р' = р, и уравнение нераз­ рывности, как следует из (3.6) и (3.7), может быть записано в виде D (х, y,z)_D D{a,b, с) ~ (x' у', г') D(a,b,c) ' t Л Р{х, у, г) D (а, Ь, с) _ . к ^ о\ °°' ( 43 То, что якобиан сохраняет постоянное значение, равное еди­ нице, означает, что объем не изменяется по величине, хотя и может деформироваться. В случае плоского движения, принимая плоскость движения за плоскость (х, у), можем написать х = х(а, Ь, t), у = у{а, Ь, t), z = c. При этом Р(х, у, г) __ Р(х, у) D (а, Ь, с) D (а, Ъ) ' и уравнение неразрывности запишется в виде D{x,y) , D(x',y') D(x, у) V~DWb)=V / • ^и p-^-g- = . В случае одномерного движения, когда х = х(а, t), у = с •2 = С2, уравнение неразрывности будет иметь вид дх / дх' дх Р"ЛГ = Р 1Г> Р лГ = РоУкажем на связь между уравнениями неразрывности, за­ писанными в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа. Уравнение неразрывности (3.7) в переменных Лагранжа умножим на бто = dadbdc. Получим р 6т = ро бт . D ( a b ) Po ь и л и у z Здесь 6т = *' ' . dadbdc — элемент объема, в который в момент времени t переходит элемент объема бт<>. Последнее равенство можно переписать так: д 4-(рбт) = о, -|е-бт + -^-(бт)=о. Р т Отсюда "5?" + Р"37 "57 (^ ) = О- Но ранее было показано, что -JL^L(6T) = (HVV. Таким образом, получаем уравнение неразрывности в перемен­ ных Эйлера. § 4. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ Для получения уравнения неразрывности в произвольных криволинейных ортогональных координатах поступим следую­ щим образом. Пусть qi, Цъ q — криволинейные ортогональные координаты и пусть связь между q\, q%, q и декартовыми коор­ динатами х, у, z задается соотношениями x = x(q q q ), у = у (q q , q ), z = z{q q , q ). (4.1) 3 3 u 44 it 3 u 2 3 u 2 3 Рассмотрим криволинейный ординатными поверхностями <7i = const, q — const, q = const, параллелепипед, образованный ко­ (рис. 5): <7i + dq = const; q% + dq == const; (4.2) q + dq = const. { 2 2 3 3 3 Ребра этого параллелепипеда dsu ds2, ds есть элементы дуг, соответствующие приращению координат dqu dq , dq : ds = Hi dq ds == H dq , ds = H dq . (4.3) 3 2 { b 2 2 2 3 3 3 3 Здесь #i, # , # — коэффициенты Ламе: 2 3 Объем параллелепипеда в предположении ортогональности ко­ ординат будет равен dx == dsi ds ds — H H H dq dq dq . (4.5) 2 3 X 2 3 { 2 3 Для того чтобы записать закон сохранения массы, подсчитаем изменение массы бМ за время dt внутри элементарного парал­ лелепипеда двумя способами. 1. В момент времени t масса жидкости AM в объеме dx равна ДМ ===== р 1^ dsi ds ds = = p\ H H H dq dq dq . 2 3 t 1 2 3 l 2 3 В момент времени t + Д^ масса жидкости в том же объеме dx будет ДМ' == р \ dsi ds ds = = P \t+dt H H H dq dq dq . Изменение массы в объеме dx за время dt t>M = AM'-AM = ( \ Рис. 5. -p\ )H H H dq dq dq . (4.6) Из равенства (4.6) следует 6М = д Н Н Н dq dq dq dt. t + d t 2 3 { 2 3 9 t 1 2 3 l 2 x 2 3 3 x t+dt 3 9 g t Х 2 2 3 (4.7) 2. Изменение массы в рассматриваемом объеме за время dt может быть связано с тем, что есть источники, распределенные в пространстве, и что количество жидкости, которое втекло в объем dx, не равно количеству жидкости, которое вытекло из этого объема. Введем обозначения: 6 т — изменение массы в объеме dx за счет источников; 45 8ш\ — изменение массы в объеме dx за счет того, что через грань A'B'CD' могло вытечь не такое количество жидкости, ко­ торое втекло через грань ABCD; 8т — изменение массы за счет протекания через грани AA'D'D и ВВ'СС; 8т — изменение массы за счет протекания через грани АА'В'В и DD'C'C. Общее изменение массы 8М Ш — Ьт + omi + Ьт + бт . (4.8) 2 3 2 3 По определению величины q имеем bm = q dxdt — qH H H dq dq dq dt. x 2 3 x 2 (4.9) 3 Подсчитаем 6m 8m , 8m . Для этого обозначим через v\, v , v проекции скорости жидкости на оси q , q , q . Через грань ABCD в объем dx за dt поступает масса жидкости b 2 3 2 3 x 2 3 6ЛГ, = (р ds ds Vi dt) | = {pv H H ) \ dq dq dt. 2 3 Через грань A'B'CD'за ?i { 3 3 q] 2 3 то же время вытекает масса жидкости ЬМ[ = (р ds ds v dt) \ 2 2 { = (ро,Я ^ ) | 9t+d(ft 2 а dq dq dt. ? + i ? i 2 Интересующая- нас величина dm, = 6M - ЬМ[ = [ ( р о ^ Я , ) | - ( р , Я Я ) \ J l ? 2 3 3 dq dq dt = q+d 2 3 = — -^-(pv H H )dq dq dq dt. (4.10) 6m = — -^-(ра Я,Я ) dq dq dq dt; (4.11) 6m = — -j^ (pv HiH ) dq dq dq dt. (4.12) l 2 3 l 2 3 Аналогично получим 2 2 3 3 3 x 2 2 x 3 2 3 Общее изменение массы ЬМ получим, подставив (4.9) — (4.12) в (4.8): Ш = ( у Я Я [~ Ж Р > 2 з) - -^ (рОгЯ.Яз) - -^ (pv H H ) + 3 x 2 + qH H H ]dq dq dq dt. l 2 3 i 2 (4.13) 3 Сравнивая два выражения (4.7) и (4.13) для йЛГ, получаем уравнение неразрывности в криволинейных координатах Я , Я Я ^ + -^ 2 3 (9V H H ) + -^ (роаЯ.Яз) + X 2 3 + £ (pv H H ) ; Рассмотрим частные случаи. 46 3 l 2 = qH H H . 1 2 3 (4.14) а) Д е к а р т о в ы к о о р д и н а т ы х, у, г. Здесь Ч\ = х, q = y, ^3 = 2:; Я, = Я = Я = 1 . Уравнение (4.14) примет вид 2 2 3 | f + - ^ ( p ^ ) + ^ ( P ^ ) + ^ - ( p ^ ) = ^. (4.15) б) Ц и л и н д р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы (г, 9, z). Здесь Ч\ = г, q =Q, q = z; 2 v = v, :i { v = v, r 2 v = v. e 3 z Связь между цилиндрическими и декартовыми координатами имеет вид x = rcosQ, y = rsinB, z — z. Коэффициенты Ламе, вычисленные по формулам (4.4): #1 = Я = 1 , Я = Н = г, Я = Я = 1 . Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах за­ пишется в виде Г r ^r 2 & 3 г + -EF(9V r)+^{9V )+^L{ v r) r 6 9 = qr. z (4.16) в) С ф е р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы (г, 9, к). В этом случае qi = r, <72 = 9, ?з = ^; vi = v , v = v , V = V ; х = г sin 9 cos X, z/ = r sin 9 sin А, г = r cos A. r 2 e 3 X Коэффициенты Ламе Я, = Я = 1, Я = Н = г, Я = H = r sin 9, Уравнение (4.14) в сферических координатах примет вид г 2 2 в 3 x 2 г sin 9 - ^ + -—- (pv r sin 9) + -^ (pv r sin 9) -f r Q 2 + -t(pv r) = qr sine. x (4.17 Обратимся к общему уравнению (4.14). Будем дифференци­ ровать произведения, отделяя множители, содержащие р, и раз­ делим затем все члены на H\-H -H . Получим 2 др , fi dt "т" # i др dq t . у ~*~ Н др dq г 2 2 я . У "" # з 3 др • Изменение количества движения за некоторый промежуток вре­ мени равно сумме импульса массовых сил и импульса поверх­ ностных сил. Обратимся к равенству (2.3). Для дифференцирования объ­ емного интеграла имеем формулу (15.7) гл. I. Положив в нейА = pv, получим 4SSS pvcfT== - S S S № + Pvd.vv)*. (2.5) Принимая во внимание (2.5), перепишем (2.3) в виде X + pv div v — pF 1 dx = \ \ т„ dS. Рис. 6. (2.6) Равенства (2.3), (2.4), (2.6) дают интегральную запись закона количества движения. § 3. ФОРМУЛА КОШИ Запишем закон количества движения для частного случая объема т. За объем т выберем тетраэдр, три грани которого па­ раллельны координатным плоскостям (рис. 6). Обозначим пло­ щади этих граней через S , S , S . Внешние нормали к этим граням направлены противоположно осям Ох, Оу, Oz. Площадь четвертой грани с нормалью п обозначим через S„. Пусть х- , х~ , т-z, %п — напряжения, действующие на каждую из граней. Применив формулу (2.6) к объему т, будем иметь x y z х (pv) S \ \ [4г t = + p v d i vv x x d S + SS - pF "" ] dx x у = d S x z d S т dS S S -y +S S- +S S " - (3 - !) 51 ванной площадки может быть вычислено, если известна таблица из девяти величин: * = Ххх Х%ц X%z Х tyx Х Ху„ УУ Х tyz ^zx Ху х ух • уг г (3.8) гг % 4. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ Будем исходить из формулы Коши (3.7). Докажем, что таб­ лица (3.8) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования xik при переходе от одной системы координат х, у, z к другой х', у', г'. Обозначим орты координатных осей соответственно через i, j , k и i'. У, к'. Вспомним таблицу (7.1) гл. I для направляющих ко­ синусов «,Й и будем пользоваться формулой Коши, выбирая за п последовательно V, j ' , k'. Получим x > = Tj.au + T ai2 -f х а ; s s г (4.1) и V = т.,а -f т„а -f- T^a . 3[ м (4,3) J3 Рассмотрим одну из этих формул, например (4.1). Предста­ вим V через проекции х ' >, т у , туу на оси х', у', г': х ж я Соответственно т „ х , х — через проекции на оси х, у, г: у г Х = 1Х х ХХ ~\- ]Х у - j - KX , х XS 5 h 1,j = Ъух + 1Ъв + № И' ) Т = 1Т -f- \х у -]- К Т . г гд; г гг Подставляя (4.4) и (4.5) в (4.1), получаем векторное равенство Т*'*'1' + **',']' + "«Уж'*' *= «И <Т«1 + Х ] + Х к) + 4- «и (Vyxi + t y j + V ) + " < « ' + f^j + г к). (4,6) Умножая последовательно (4,6) скалярно на V, j ' , к', получим выражения для x ' > T V > т ' < через составляющие таблицы Г в координатах {х,у,г). Выпишем одно из равенств (заметим, что ( i ' - i ) = a n . {М)=«12> ( r - k ) = a i ) : ху k a хг т гг x x t X ж г 3 а "V*' = п«цТдт + ОцО^т^ + « ц а ^ - г + Ж + a a T . -f а| а т + а^н^гг(4.7) Используя (4.2) и (4.3), получаем аналогичные выражения для остальных шести составляющих. Из равенства (4.7) видно, что составляющие таблицы Т при переходе от одной системы 13 U 2Jt 3 12 ад 53 ванной площадки может быть вычислено, если известна таблица из девяти величин: х хх 1 = х хг х ху Ху ух Хуу УУ х Х уг Х *zx • х Х уг (о.О) х гг х гу § 4. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ Будем исходить из формулы Коши (3.7). Докажем, что таб­ лица (3.8) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования т,-* при переходе от одной системы координат х, у, z к другой х', у', г'. Обозначим орты координатных осей соответственно через i, j, k и V, j", k'. Вспомним таблицу (7.1) гл. I для направляющих ко­ синусов aik и будем пользоваться формулой Коши, выбирая за п последовательно V, ]', W. Получим х> = ха + ха + т а ; (4.1) V = ^ 2i + у«22 + ^ а ; (4.2) V = *«3i + г/«32 + т а . (4.3) Рассмотрим одну из этих формул, например (4.1). Предста­ вим х > через проекции х ' '> х'у'> x V '> У'> ''V = i'tx'x' + У*х'у' + k 4 v (4-4) Соответственно х , х , х —- через проекции на оси х, у, г: х х T и у a 12 г 13 т T г 23 г 33 Т х х T н а о с и х z х х х у х х х = х i^xx ~Т~ } ху ~Т~ К Т , х г = у Т г = 2 = ix + ]Хуу -\- кХу , zx "Т i^zy " г к т . yx (4.5) г lx г г Подставляя (4.4) и (4.5) в (4.1), получаем векторное равенство •V*'»' + tx'y'Y + Ъх'Л' = а (х 1 + х ) + х к) + + «12 (tyxi + т: ] + т„ к) + а (х \ + х ] + т к). (4.6) Умножая последовательно (4.6) скалярно на i', j ' , k', получим выражения для х > >, х > >, х ' > через составляющие таблицы Т в координатах (x,y,z). Выпишем одно из равенств (заметим, что (i'-i) == оси, (i'-j) = ocj2, ( i ' - k ) = a i ) : п хх уу х х х у ху г хг 13 гх гу гг х г 3 х'> = аах т х х п п хх + a a T -f ац«1з хг + + а^Оп^х + a ^ a ^ t ^ + а а Ту + + ai a T« + а а т + а1 а т . (4.7) n 12 Xtf 12 3 u 13 13 12 г гг/ 3 !3 гг Используя (4.2) и (4.3), получаем аналогичные выражения для остальных шести составляющих. Из равенства (4.7) видно, что составляющие таблицы Т при переходе от одной системы 53 координат к другой преобразуются как компоненты аффинного ортогонального тензора второго ранга. Тензор Т = ||т,* | назы­ вается тензором напряжений. Физический смысл компонент тензора напряжений очевиден. Возьмем вектор х — напряжение на площадку, перпендикуляр­ ную оси х (рис. 8): х Здесь тхх — нормальное напряжение; т , х г, являющиеся про­ екциями вектора х на оси координат у и г, есть напряжения, касательные к площадке. ху Х х Z/i *хг п Рис. 8. Таким образом, диагональные компоненты тензора дают нор­ мальные составляющие напряжений, боковые компоненты дают касательные составляющие напряжений, приложенных к пло­ щадкам, перпендикулярным осям координат. § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Исходим из интегральной записи закона (2.6) (5.1) Используя для тл формулу Коши, преобразуем интеграл по S в правой части (5.1) к интегралу по объему т, применяя фор' 64 мулу Гаусса — Остроградского: ^ т„ dS = ^ [т cos (п, х) + х cos (п, у) + х cos (n^z)] dS = х у г Подставляя (5.2) в (5.1), получаем интегральную запись закона в виде W p v + p v d i v v - p F - ^ - ^ - - ^ J d t = 0. (5.3), X Так как (5.3) имеет место для любого объема т, то, следова­ тельно, d , _ дт, дх„ дх, -pv + pvdivv-pF-^f—-JL__i o. (5.4) e Выполнив дифференцирование в первом слагаемом, можем пе­ реписать (5.4) в виде d\ /dp \ „ дх дх дх. и Равенства (5.4), (5.5) представляют собой дифференциальную запись закона количества движения в общем случае. Предположим, что движение сплошной среды происходит при отсутствии источников массы, т. е. q = 0. В этом случае урав­ нение неразрывности имеет вид (2.6) гл. II. Учитывая это, по­ лучим запись закона количества движения в векторной форме: dv дх дх„ г дх, или в проекциях на оси координат: дх д х ^ = F I ' ( *х , • дг \ dt * ~*~ р V дх "г ду ~*~ дг ) ' dv„ I /dt,.,, дт,„, дт,„\ у х F -df- y+jbf i°L=/r dt Г дх г | ' ( хг "г р V, дх гх + ^r + -dr)- 5 6 ( - ') дХ , уг • дх \ "г д«/ "*" дг ) ' гг Слева в уравнениях (5.6') стоит оператор полной производной. Уравнение (5.6) или эквивалентную ему систему уравнений (5.6') обычно называют уравнениями движения сплошной среды в напряжениях. З а м е ч а н и е 1. Запись закона количества движения в ин­ тегральном виде дается равенством (5.3). При отсутствии 55 источников массы справедливо равенство (2.6) гл. II, в силу чего закон количества движения (5.3) запишется в виде г i s или ^ $ ( p F - p w ) r f T + $$T„rfS = 0, х V (5.7) S т. е. в каждый момент времени сумма всех сил, приложенных к выделенному объему жидкости, включая и силы инерции, равна нулю. З а м е ч а н и е 2. Из второго закона Ньютона, записанного для точки —77- = г, следует, что скорость образования коли­ чества движения равна силе, т. е. сила — источник, из которого образуется количество движения. С указанной выше точки зре­ ния изменение количества движения в объеме жидкости т про­ исходит по двум причинам: за счет объемного выделения им­ пульса, порожденного массовой силой, и за счет потока импуль­ са через границу области. Г Л А В А IV ЗАКОН МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Для механической системы закон момента количества движе­ ния формулировался так: производная по времени от полного мо­ мента количества движения некоторой системы равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему. Получим запись этого закона для случая движения сплошной среды. § 1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Рассмотрим массу сплошной среды М; пусть в данный мо­ мент она занимает объем т, ограниченный поверхностью S. Эта масса обладает количеством движения К и моментом количе­ ства движения L. Элемент объема dx содержит массу dm = = pdx, количество движения которой равно pvrft. Момент ко­ личества движения этой массы относительно начала координат равен (rXpv)dx. Этот момент связан с поступательным движе­ нием и часто называется орбитальным моментом. Для области т L =$$$(rXpv)rfT. op6 (1.1) т У большинства жидкостей полный момент количества движения совпадает с орбитальным. Однако так бывает не всегда. Жидкость имеет молекулярное строение, и состояние жидкости связано с движением молекул и их взаимодействием. Столкновения молекул (атомов) между собой приводят к их вращению. Вращение каждой молекулы можно охарактеризовать вектором внутреннего момента количе­ ства движения. В обычных условиях в силу хаотичности движе­ ния сумма внутренних моментов количества движения равна нулю. В тех же случаях (например, при наличии магнитных или других сильных полей), когда распределение этих моментов не изотропное, суммарный внутренний момент оказывается отлич­ ным от нуля. В связи с этим при рассмотрении макроскопиче­ ского движения частиц необходимо вводить вектор внутреннего момента. Полный момент количества движения частицы скла­ дывается из орбитального момента г X dmv, связанного с дви­ жением частицы, как целого, и внутреннего момента количества движения, представляющего собой суммарный момент вращений молекул. Обозначим через М внутренний момент количества движения, которым обладает единица массы жидкости М = = М(г, <)• Масса dm = pdx будет обладать моментом Mpdx. Для массы в объеме т получим L =$$$MpdT. aII (1.2) 57 Полный момент количества движения массы равен К 3 L = ^ J [ ( r X p v ) + pM]dT. ( ) х Изменение полного момента количества движения связано с на­ личием моментов, порождаемых силовыми полями — полем мас­ совых и поверхностных сил, наличием объемно-распределенных источников внутреннего момента и потока внутреннего момента через поверхность. Введем необходимые определения и запишем выражения для моментов внешних сил и внутренних моментов. На элемент dx с массой dm действует сила pFdx. Орбиталь­ ный момент этой силы (rXpF)dx. Главный орбитальный мо­ мент массовых сил равен M =$$$(rXpF)rfT. (1.4) т На элемент поверхности dS с нормалью п действует поверхно­ стная сила T dS. Главный орбитальный момент поверхностных сил n М 5 = (Г Х И ( L 5 ) %п) dS - s Пусть за время dt в объеме dx порождается момент pRdxdt, где П — момент, отнесенный к единице массы и единице времени. Обозначая через Мо dt приращение за то же время внутреннего момента в объеме т, получим для М выражение я 5 5 5 рп с?т. Miвн (1.6) Через элемент поверхности dS с нормалью п в течение вре­ мени dt проникает момент n dSdt. Здесь я„ — плотность потока (проникновения) внутреннего момента. Обозначая через М.™ dt поток за время dt внутреннего момента через поверхность S, по­ лучаем M| =J$«„rfS. (1.7) s n H Производная по времени от полного момента количества дви­ жения L равна сумме перечисленных четырех моментов. Таким образом, Закон момента количества движения запишется в виде н 4т- = Мо + M + ЛС + М! , s 68 (1.8) или с учетом выражений (1.3) — (1.7) •|-S^[(rXpv) + pM]rfT=5^(rXpF)dT + X X + 5 5 5 рп л + 5 5 (г х т«>rfs+5 j «„ ds. (i.9) % s s Рассмотрим левую часть равенства (1.9). Воспользуемся фор­ мулой (15.7) гл. I, положив в ней /4 = r X p v , и преобразуем первое слагаемое (1.9): dLoD6 Чзро d dt Ш~~ 5S5(r pv)^= X х г = \ \ \ [-j[ ( X pv) + (г X pv) div v] dx. (1.10) Выпишем подынтегральное выражение • £ ( r X p v ) + ( r X p v ) d i v v = -g-Xpv + r X p - 3 T + + r X v - f - + (rXpv)divv = r X p 4 7 + + (rXv)(-g- + pdivv). (1.11) Будем предполагать, что в облачи, занятой жидкостью, нет источников массы (q = 0). Тогда в силу уравнения неразрывно­ сти (2.6) гл, II второе слагаемое в правой части (1.11) обращается в нуль. Производная —г— с учетом выражения (1.11) запишется в виде dL 6 г г г / . r .X p dv d t 1Л2) 0P dt SSS( £) - < Интеграл в (1.12) можно трактовать как момент сил инер­ ции, взятый с обратным знаком. Аналогичные преобразования dL B H выражения для —^— дадут X X Таким образом, учитывая (1.3), (1.12) и (1.13), получаем -SSS('X'4r)*+$SS''4rrf rfL dt t (..и) 59 Закон момента количества движения (1.9) с учетом (1.14) можно переписать в виде г т + S$$pndT+$$(rXT„)dS+$$* dS. (1.15) n х S S Преобразуем интегралы по поверхности к интегралам по объему. Воспользуемся формулой Коши для т : п ^ (г X О dS = $ $ [(г X t ) cos (Cx) + (г X х ) cos (Су) + x S у S + (г X т ) cos (tCz)]dS=* г x + \\\[iXr + ]Xr x y + kXr ]dx. (1.16) 2 Подставим (1.16) в (1.15) и сгруппируем некоторые слагаемые: iS!p-£*+SSS'xK-.*-£-§~£]*- S 5 $ [ i X * * 4 4 X ^ + k X T j d T - ^ $ p I I d T = ^ * „ d S . (1.17) г т S Второе слагаемое слева равно нулю в силу закона количества движения. Окончательно закон момента количества движения в интегральной форме запишется в виде ^ ^-dx-\^[iXr 9 X + iXr x y + kXr ]dxz X - W\ U 9 dx=^n dS. (1.18) n § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Рассмотрим функцию я (г, t). Применяя закон сохранения моментов к тетраэдру и действуя так же, как и при выводе фор­ мулы Коши, получим аналогичную связь между я , я , я я : л п х я„ = я* cos (я, л:) + п cos (я, у) + я cos [п, г). у 60 г у> 2 (2,1) Поток внутреннего момента будет полностью определен, если задана таблица составляющих псевдовекторов п , щ, я х "'ху Щк\\ = п ^хг п ух 2 уу Яуг ^zy ^z Таблица ||я<ь11— аффинный ортогональный псевдотензор второго ранга. Преобразуем поверхностный интеграл, входящий в (1.18), к объемному, используя формулу (2.1): \ \ «„ dS = \ \ [к cos (м, х) + я cos (ft, у) + % cos (ft, 2)] dS = s s х у z ГГ г Г дя дя х дя "| и г т С учетом (2.2) закон момента количества движения (1.18) в интегральной форме запишется в виде Ш дя дх дя х и дя,~\ Так как объем т произволен, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю. Отсюда дя. дх )П дя ду дя. дг и = 1Хт + 1Хт» + кХт . (2.3) ж а Равенство (2.3) — дифференциальная запись закона момента количества движения. Из (2.3) следует, что существует следую­ щая связь между законом сохранения момента и симметрич­ ностью тензора напряжений. 1. Если жидкость без внутреннего момента количества дви­ жения, т. е. М = 0, поле таково, что внутренний момент не возникает в объеме, т. е. П = 0 и пщ = 0, то, как следует из (2.3): i X ^ + JX^ + kX^^O. В развернутом виде это равенство дает (т* — х ) к + {х — x ) j + (x - т ) i = 0. а их гх xz yz гу 61 Из этого равенства следует симметрия тензора напряжений, т. е. == txy ty , X X zx = Т , x z ty = T y. z z \£A) 2. Если среда такова, что тензор напряжений у нее симмет­ ричен, то закон момента количества движения приобретает вид dM _, дя дл дя. х и Физически это означает, что в жидкости действуют два незави­ симых закона: закон сохранения орбитального момента и закон сохранения внутреннего момента, причем закон сохранения ор­ битального момента является следствием закона сохранения ко­ личества движения. ГЛАВА V ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Для записи такого фундаментального физического закона, как закон сохранения энергии, необходимо установить, из каких видов энергии складывается полная энергия жидкого объема, определить виды притоков энергии извне и учесть превращения одного вида энергии в другой. § 1. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ Рассмотрим сначала некоторую покоящуюся однородную массу жидкости М в объеме т. Пусть О означает ее исходное состояние, которое, вообще говоря, определяется некоторым на­ бором параметров (например, давлением, температурой и др.). В результате нагрева, сжатия и других воздействий масса жид­ кости перейдет в новое состояние, определяемое другими значе­ ниями параметров. Переход массы жидкости из исходного по­ ложения О в другое связан с изменением Д х s Равенство (4.5) есть общая запись закона сохранения энергии в интегральном виде. § 5. ВЕКТОР ПОТОКА ТЕПЛА Получим формулу для потока тепла t„. Рассмотрим тетра­ эдр (см. рис. 6), три грани которого параллельны координатным плоскостям. Введем те же обозначения, что и при выводе фор­ мулы Коши: S , S , S — площади граней, перпендикулярных осям координат; S — площадь грани с нормалью п; h — высота тетраэдра, опущенная на грань S. Объем тетраэдра будет равен r = -g-S/j. Запишем для этого тетраэдра закон сохранения энер­ гии (4.5), применив к интегралам теорему о среднем: x y z n 1 d E оьГ j Sh[ P4r , dv dv dv 1 - t . - х • — - х • -^ - е ] = = Stf + S t% + S t% + S t%. x ж у г ср x y (5.1) z Здесь S = S cos {n, x), S cos(n, y), S = Scos(n, z). Сократив see члены равенства (5.1) на S и устремив h к нулю, получим x y z t + i-x. cos (". х) + t_ cos in, у) + t- cos (n, z) = 0. n y (5.2) z Из физических соображений ясно, что t =—/_„, где U описы­ вает поток энергии внутрь, a t- — поток через площадку с нор­ малью (—п) — описывает поток изнутри. Вводя величины tx, t , t , получаем n n y z tn = t cos (n, x) + t cos (n, y) + / cos (n, z). x y (5.3) 2 Из формулы (5.3) следует, что совокупность (t , t , t ) образует вектор. В этом легко убедиться, если записать (5.3), выбирая по­ следовательно в качестве п орты новой системы координат х', у, z'. Полученные формулы связи (t >, t ', t >) и (t , t , t ) представляют собой известные формулы преобразования компо­ нент вектора при переходе от одной системы координат к другой. Вектор x x y y z t = M + g + /*k n 68 x y z (5.4) называют вектором, потока тепла. Величина t этого вектора на n: ^ = (t'n). n z есть проекция § 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Используем формулу (5.3) для преобразования связанного с вектором теплового потока: интеграла, \ \ /„ dS = \ \ [t cos (п, х) + t cos (п, у) + t cos (n, z)] dS = x y z -!$$[&+£+£]* ад т Подставим (6.1) в выражение (4.5), представляющее собой здпись закона сохранения энергии: Р x dt ' дх Г % г «"ду~ ' дг dt dt x — 8 dt y 2 — • -]rfT = 0. (6.2) дх ду дг. Равенство (6.2) справедливо для любого объема, следовательно, dE dv dv dv + dt x г + + dt y + dt z (6,3) РЧГ = *-^Х«--дУ- '^ ^' ^г ^'Равенство (6.3) — запись закона сохранения энергии в диффе­ ренциальной форме. Г + Г + Х г Г Л А В А VI ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКИХ СРЕД В предыдущих главах были получены дифференциальные уравнения, представляющие собой запись основных законов со­ хранения. Закон сохранения массы в общем случае при наличии источников массы имеет вид (2.3) гл. II. При приведении урав­ нений, представляющих собой запись законов сохранения, к бо­ лее простому виду предполагалось, что источники массы отсут­ ствуют. Сохраняя это предположение и в дальнейшем, выпишем полученные в дифференциальной форме законы сохранения. Закон сохранения массы 4f- + pdivv = 0. (I) Закон количества движения dv _ дх дх х дх у г Закон моментов количества движения rfM — р „ . дя х дя„ = П + 1 Т + 1ХХ + кХГг + + ф Закон сохранения энергии dE р Х , х у dv dv 1ПГ dv + - £. 1 dt x дя, 1 dt„ (Ш) dt z В написанных уравнениях функции F, П, е обычно известны. Искомые функции — р, v, т,к, М, пи,, t. Таким образом, неизвест­ ных больше, чем уравнений. Общих уравнений сохранения недо­ статочно для получения замкнутой системы уравнений, описы­ вающей движение сплошной среды. В этих общих уравнениях нет информации о самой среде. Надо ввести модели сплошной среды, которые с некоторой точностью отражали бы действи­ тельные свойства жидкости и были бы достаточно удобны для получения замкнутой системы уравнений и ее решения. Во всех моделях, рассматриваемых в этой главе, тензор напряжений симметричен, в силу чего уравнение моментов количества движе­ ния приобретает вид (2.5) гл. IV. § 1. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ ДЛЯ НЕЕ Жидкость называется идеальной, если в ней отсутствуют ка­ сательные напряжения и наблюдаются только нормальные на­ пряжения. Таким образом, на движущуюся жидкость распрост­ раняется свойство, которое наблюдается в жидкости при равно­ весии или ее движении как абсолютно твердого тела. В реаль» ных жидкостях касательные напряжения не равны нулю, но 70 часто встречаются случаи, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными. В таких условиях жидкости удоб­ но представить как идеальные. Итак, считаем жидкость идеаль­ ной. Во всех случаях справедлива формула Коши т„ = х cos (га, х) + х cos (га, у) + х cos (га, z). х у г (1.1) По определению идеальной жидкости х =*р п, п г = р 1, п х х Гу = р ], и х — р к. г (1.2) г Подставив (1.2) в (1.1), получим р„п =• р \ cos (га, х) -f p ] cos (га, у) + р к cos (га, г). х v г (1.3) Поскольку n = cos (га, х) i -f cos (га, у) j - f cos (n, z) k, (1.4) из (1.3) следует, что Рп = Рх = Ру = Рг=—р- (1-6) Формулы (1.2) перепишутся в виде т„ = - р п , у = — р\, х х = — р}, у рк. (1.6) Из (1.6) следует, что в идеальной жидкости величина нормаль­ ного напряжения не зависит от ориентировки площадки. Вели­ чину р называют давлением. Из (1.6) следует, что составляющие тензора напряжений ха = —р, т,-* = 0 (i Ф k). Тензор напря­ жений идеальной жидкости будет иметь вид Г=||т,*| р 1 0 0 0 = —р 0 1 0 —р 0 0 1 0 —р р/. (1.7) В тензор (1.7) входит только величина р — скаляр. § 2. ВЯЗКАЯ (НЬЮТОНОВСКАЯ) ЖИДКОСТЬ И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ НЕЕ Вязкой называют жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напря­ жения. Рассмотрим эксперимент, который проводил еще Ньютон. Имеются две плоскости, между которыми находится жидкость. Нижняя пластина закреплена, верхняя движется параллельно нижней на расстоянии h со скоростью v (рис. 10). Опыт пока­ зывает, что сила f, которую надо приложить к верхней пластине, 71 f = jj, -£• S, где 5 — площадь пластины. Сила, приходящаяся на единицу площади, в нашем случае касательное напряжение •V = H-|-. (2.1) Здесь ц — коэффициент, который зависит от свойств жидкости. Этот же опыт дает распределение скоростей жидкости: на неподвижной пластине скорость жидкости равна нулю, на верх­ ней — равна скорости пластины. Распределение скоростей по­ перек линейно зависит от расстояния у (2.2) выраж В силу ( 2 . 2 ) - ^ == -j~, ии выражение для х сать в виде ух можно запи- dv da (2.3) x V —I х Для многих жидкостей равенство (2.1) выполняется с большой степенью точности. Коэффициент ц называется коэффициентом вязкости. Причиной вязкости (касательных напряжений) яв­ ляется хаотическое движение мо3/| лекул, переход которых из слоя в слой создает торможение этих движущихся слоев относительно друг друга. _», Так как в рассматриваемом движении v = v (y) и, следо=>^ 1 /dv dv \ SKWW^KKWKI^W^WWWW* вательно, £ = Y\du~ ' ~дх~) Рис -— ° то, как следует из ~ 2 dy ' (2.3), в этом случае справедливо соотношение х = 2\1г . (2.4) В соответствии с рассмотренным опытом можно вывести связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в общем случае. Жидкость называется вязкой ньютоновской, если выполнены следующие условия: 1) в жидкости, когда она движется как абсолютно твердое тело или находится в покое, наблюдаются только нормальные напряжения; 2) компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформаций; 3) жидкость изотропна, т. е. ее свойства одинаковы по всем направлениям. Условие 1) означает, что т,к = 0 при i ф k, если все г = 0. x 71 x x y == ху 10 х ух ух тп 72 Условие 2) означает, что т<* могут быть представлены через в виде (учитывая симметрию тензора напряжений) ТЛГАГ = «ю + а £ + а г + a e + ав + а е + аъ , е тп и Х = т = УУ гг а а хх 12 е уу l3 e zz н e ху [5 8 е a z 8 «30 + «31 *х: + 31 yy у д : а е гх 8 е "Т" «33 гг ~Ь 34 ху = а 0 + «418** + « 4 2 8 4 + «43 zz + W + а*ьъ + ^zx, xy а е "Т" «35 #г + «36 гл:> e + avfl yz = к а 20 "Т" 2 1 х * Н~ «22 j/j/ + «23 zz ~Ь «24 *г/ 4 " #25 #г "Т~ 26 г*> f*y = Т x уг е (2.5) уг e ^гу = «50 + Ь\Ъхх + «52 #j/ + « 5 з в "Т" гг e + a54 xj/ + а г + а & , tzx = txz = «го + «ei ** + а г -f а з8 + + ъ&ху + а®,ъ + а г . Условие 3) означает, что коэффициенты ац, в (2.5) не зави­ сят от выбора системы координат. Предположим, что жидкость покоится или движется как аб­ солютно твердое тело. В этом случае все е = 0. Из формул (2.5) тогда будет следовать, что № уг ъ гх 8 Ь2 уу 6 гг а уг &6 2Х тп х = хх _ х «10> уу _ = х «20> _ гг «30i _ _ х Т-ху — ^ух — «40> = 2 _ 6 (-) x Ъуг — гу — «50> Tzx — xz — «60- Но по условию 1) все касательные напряжения при этом обра­ щаются в нуль. Следовательно, «40 = «so = «60 = 0. (2.7) Нормальные напряжения в этом случае не зависят от ориенти­ ровки площадки. Обозначим общую величину этих напряжений через —р. Тогда «ш == «го = «зо = — Р(2.8) Перейдем к системе координат х', у', г', оси которой являются главными осями для тензора скоростей деформаций. Обозначим x'x> = i> Ьуу'^Ч' ' ' = 3 ( ik Р *'=*=*)• Выпишем выражения для % > > и х > > — х > - в этих координатах, учиты­ вая (2.7) и (2.8): e e 8 8 Z х e = П И 2 х х у у х 8 х a 8 a 8 2 х'х- = - Р + «и 1 + i2 2 + i 3 ; Т = а е а 8 а 9 (-) 3 8 *У = V*' 41 1 + 42 2 + 43 3(2-10) Рассмотрим формулу (2.9). Покажем, что а\ = а . Для этого введем новые оси координат x = x , y" = z', z" = y'. (2.11) Оси х", у", г" — тоже главные оси тензора скоростей деформа­ ций. В этих осях равенство (2.9) сохраняет свой вид; 2 № 13 f а е а 8 V*- = - Р + ч<' + «12 ? + 1з з'- 2 12 ( - ) 73 Здесь г", е", е^'— главные скорости деформации в осях х", у", г". Учитывая (2.11) и определение величин е/, получим dv , dx" ~ dv~, dx' w e i — '' dv..„ dy" 2 dv dz' y fc fc 3' 3 ~ B r lo ^• > Подставив (2.13) в (2.12), будем иметь т „ = - р + а,,8, + а 8 + а е . Л 12 3 13 (2.14) 2 Так как оси х' и х" совпадают, то т > = т^» и х Тх"х" = Гх'х'. (2.15) Приравнивая (2.9) и (2.14), получим (а - а ) (е - в ) = 0. (2.16) Так как (2.16) имеет место при любых & и е , то, следовательно, 12 13 3 2 2 3 «12 = «1з- (2.17) Положим «12 = ai3 = Л, a n = A + 2[i. (2.18) Подставляя (2.18) в (2.9), получим Х Х е в 2 8 2 х>х' = - Р + 0 , + 2 + з) + ^ Г Аналогично получим формулы для т >у> и x ' '\ у X UV = ~ Р + А 6 19 ( - ) Z Z В 8 2 8 ( 1 + 2 + з) + ^ 2 - (2.19') V = - /> + 0 , + 2 + Ч) + »hЗдесь ei + & + е = div v. Рассмотрим теперь выражение (2.10) для касательных на­ пряжений и покажем, что в главных осях тензора скоростей де­ формаций все касательные напряжения равны нулю. Наряду с системой координат х', у', г' введем систему координат х"', у"', г"': T К В 2 Z 2 3 *'" = *', у'" = -у\ '" = г'. (2.20) г Новая система координат также является главной и можно на­ писать W " = = 4 i r + V r + «43<'. (2.2D Очевидно, a . ' " Е 1 B e * ! : - ^ s e Й х " ' ~~ дх' е'"-е 1' 2 _ в"'- в 2> Б 3 В — 3- Подставляя (2.22) в (2.21), получаем а е а 6 а 8 Х V V " = 41 1 + 42 2 + 43 3 = х'У 74 2 3 (2- ) Но по физическому смыслу х , , и т ,„ „, справедливо и такое равенство: (2.24) х'"у'" '' -* >у х х Х х Действительно, t ,„= х „ величина х ,, есть проекция вектора т , на ось у', а х „, ,,, — проекция этого же вектора на противо­ положное направление. Из равенств (2.23) и (2.24) следует, что x х х х Х 'у = 0. х Аналогично устанавливается равенство нулю и остальных ка­ сательных напряжений: Чх'у' — ТУХ Гг' Ч/ г' = (2.25) 1 Хг'у — 0, т. е. в главных осях тензора скоростей деформаций касательные напряжения в вязкой жидкости равны нулю. Но такие оси есть главные оси тензора напряжений. Следовательно, главные оси тензора скоростей деформаций одновременно являются и глав­ ными осями тензора напряжений. Равенства (2.19) и (2.25) можно объединить, записав их в виде одного тензорного равенства: tyx fyy l yz "гу 1 = (— Р + ^ div v) 0 0 0 е, 0 1 0 + 2fi 0 0 1 0 0 е, (2.26) Равенство (2.26) устанавливает связь между компонентами двух тензоров (правую часть можно записать в виде одного тензора) в главных осях. Но если два тензора равны между собой в ка­ ких-то осях координат, то они будут равны и в любых других осях координат, так как компоненты тензора при переходе к другой системе преобразуются по одним и тем же законам. Таким образом, связь между тензором напряжений и тензо­ ром скоростей деформаций в любых осях координат имеет вид х хх '•ху Х УХ ~гх '•УУ ь гу ь уг 1 0 0 • (— р + К div v) 0 1 0 + 2fi 0 0 1 °ух в ху е е уу ъ г гу хг уг 8 « (2.2 7) Для составляющих получим х п *=*• — Р + A- div v + x = 2\xe (i^*k). ik ik 2це , и (2.27 0 Используя формулы для составляющих тензора скоростей де­ формаций ((8.8) гл, I), получим окончательное выражение для 75 составляющих тензора напряжений в вязкой жидкости: dv ( dv x r xx dv x = — p + hdivv + 2\i.-^-, r xy = x y = ц \-fj- + yx dv (dv y dv y , . ,. i „ dv *zz = - P + Л div V + 2 | i - j f , \ -jjpj, z \ ( dv , до, \ = fi {-£*- + -gf-j . z x X zx = x xz В формулы (2.27), (2.28) входят два параметра: X и ц. Если X = \i = 0, то тензор напряжений вязкой жидкости обращается в тензор напряжений идеальной жидкости. Коэффициент ц назы­ вают коэффициентом вязкости (или сдвиговой вязкости), X— вторым коэффициентом вязкости (или коэффициентом объем­ ной вязкости). Часто коэффициентом объемной вязкости называют не X, а величину V = А +-_-ц. Наряду с ц для несжимае­ мой жидкости часто рассматривают величину v, называемую ки­ нематическим коэффициентом вязкости v = —. Коэффициент \i может быть определен экспериментально; в случае, если изве­ стен закон межмолекулярного взаимодействия, его можно вы­ числить теоретически. Вообще говоря, [i = ц(/?, 7"), но зависи­ мость от давления слабая. Наиболее часто пользуются следую­ щими приближенными формулами для зависимости \i от Т. Для небольших интервалов температур используют линейную зави­ симость ц = ц [Ц-а(Г-Г )]. Здесь а берется из эксперимента (для воздуха а = 0,00264); Но — значение коэффициента вязкости при Т = Го. Для более широких интервалов температур принимают — = (-J-) (для воздуха п = 0,76). Часто пользуются формулой Сюзерленда _ С+ 273 / Т V/. И — Но \ 273 ) ' 1 С + т Постоянная С для воздуха, азота и кислорода соответственно имеет значения 117, ПО и 127. Второй коэффициент вязкости X исследовать трудно. В слу­ чае, если жидкость несжимаема, то divv = 0 и он выпадает из уравнений. Для случая одноатомных газов теоретически пока2 2 зано, что Х = — -j\i, т. е. А/ = Л + -д-ц = 0. Коэффициент X' существен в задаче о распространении звука. 76 З а м е ч а н и е . Закон связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций, который мы установили исходя из закона трения Ньютона, имеет вид (2.27). Жидкости, которые подчиняются этому закону, называются ньютоновскими жидко­ стями. Однако существуют жидкости, которые не подчиняются закону Ньютона. Приведем примеры. П р и м е р 1. Для растворов полимеров (например, каучук в бензоле) и некоторых легко деформируемых металлов, которые можно рассматривать как жидкости, часто используется следую­ щая связь между \\ хш II и || е,-* || (предполагается, что divv = 0): l | T , | | = - / i / + 2|i||e || + 2S||, р, Г) = 0. (6.1) Для идеальных в термодинамическом смысле газов уравнение состояния — уравнение Клапейрона pV = R T, (6.2) V — объем одного моля газа; RQ— универсальная газовая по­ стоянная. Если /п — молекулярный вес, то р = -^- и уравнение Клапейрона записывается в виде P-lt^T. (6.3) Этому уравнению подчиняются многие газы, если давление р не очень большое и температура Т не слишком низкая. Часто уравнение состояния пишут в виде р = pRT, rjieR ==—2-— газовая постоянная. При более высоких давлениях часто используют уравнение Ван дер Ваальса (p+yr)(V-b)=*R T. (6.4) 79 Здесь V = — , а а и Ь — коэффициенты, причем коэффициент а учитывает силы взаимодействия между молекулами, b — собст­ венный объем молекул. Коэффициенты а и Ь зависят от Т. В общем случае в статистической механике строятся так называемые вириальные разложения V P _ , , -j^f— В(Т) , С(Т) I + — — + —гд-+ . •••, (6.5) где В(Т), С(Т)—второй и третий вириальные коэффициенты. В случае идеальных газов все вириальные коэффициенты обра­ щаются в нуль. Часто вводятся полуэмпирические уравнения со­ стояния. Г Л А В А VII СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЕ Уравнения, представляющие собой запись законов сохране­ ния, вместе с дополнительными соотношениями, содержащимися в предыдущей главе, образуют систему уравнений гидромехани­ ки. В главе VI на с. 70 была выписана система уравнений, представляющая собой запись в дифференциальной форме зако­ нов сохранения: закона сохранения массы, закона количества движения, закона момента количества движения и закона сохра­ нения энергии. В этой главе рассматриваем идеальную жидкость. Для нее тензор напряжений имеет вид || xik II = —pi- В дальнейшем будем рассматривать жидкости без внутреннего момента. Закон моментов при М = 0, П = 0, я,-* = 0 (учитывая вид ||т,-*||) будет удовлетворяться тождественно, поэтому выписывать его не будем. § 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ 1. Уравнение неразрывности сохраняет свой вид (I). 2. Уравнения движения сплошной среды—(II). Так как жидкость идеальна, то х= х — \р, х = — ]р, у т = — кр. (1.1) г При условии (1.1) уравнение (II) примет вид dv или r, . dp .dp 4f = F-|grad/;. , dp (1.2) В проекциях на оси координат dv г. v dt ~ С х 1 др р дх ' dv 1 dp u F ir = »-TW' dv dt z __ F z (1 - 2) 1 dp p dz * Уравнения (1.2) —уравнения движения идеальной жидкости — носят название уравнений Эйлера. 81 3. Уравнение энергии— (IV). Так как жидкость нетеплопро­ водна, то t =*t = t =*0. (1.3) В силу (1.1) и (1.3) уравнение энергии запишется в виде x y z К полученным уравнениям надо присоединить уравнение со­ стояния f(p,p,T)= 0 и выражение для внутренней энергии Е через какие-либо две величины из трех (р, р, Т). Таким образом, система уравнений гидромеханики для иде­ альной нетеплопроводной жидкости примет вид -^4-pdivv==0, £ = F-| radp, g dE (I-б) p-^--f pdivv = e, f(p,p, Г) = 0. Система (1.5) —система шести уравнений для отыскания шести искомых функций: v , v , v , р, р, Т. Пять уравнений — нелиней­ ные уравнения в частных производных первого порядка, одно уравнение — конечное соотношение. Вид зависимости Е = = Е(р,Т) обычно известен. Массовые силы F считаются за­ данными функциями координат и времени. Объемное поглоще­ ние энергии е обычно задается как функция р и Т, хотя иногда может зависеть и явным образом от координат и времени. Выпишем систему уравнений (1.5) более подробно: x dp dp dv * dt d V x _l_ „ ' x dt dp dv + + V ^ + * dx dE + \ d p p dx 1 dp y v z l x dv y dv y z u x dv x d V x dv V /dv J- „ Л. ,, -El* — F ' « ду ' dz dx y / dE z dp dv ~ y +v ==F v~dy~ *~dr v~~p~~dT' V y dy dE + v * dz dE\ Г — * (dv x p Jz ' dv y (1.5') dv z \ f(p,p, Г) = 0. Здесь E = E(p,T). Этой системе уравнений удовлетворяют все течения идеаль­ ной нетеплопроводной жидкости, как установившиеся, так и не­ установившиеся, а также относящиеся к обтеканию жидкостью 82 различных тел при разнообразных условиях. Множество реше­ ний весьма широко. Надо научиться ставить условия, которые позволяли бы выбрать нужное решение, соответствующее усло­ виям задачи. § 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБ ОТЫСКАНИИ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ Согласно определению движение называется установившим­ ся, если для любой гидродинамической величины А '. Л„ = дА = -гу- = 0. Система уравнения (1.5) в этом случае может быть записана в виде v v v div v = * 4F+ y | г + *ifc+р dv ( dE , dv . . dv dE v v , + _ dE \ v 1 . + P [ * IT + « -W *~bT) f(p,p, Г) = 0, p °, (2.1) ,. d l v v = 8 ' где E = E(p, T). (2.2) Искомые функции p, v , v , v , p, T являются функциями х, у, z. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся граничные усло­ вия, которым должны удовлетворять искомые функции. 1. Г р а н и ч н ы е у с л о в и я на п о в е р х н о с т и тела. Пусть установившийся поток жидкости движется относительно тела и пусть система координат неизменно связана с телом. Обозначим, как обычно, через S поверхность тела, через п — нормаль к поверхности (функция точек поверхности). Возмож­ ны два случая. а) Тело непроницаемо, т. е. жидкость не проникает через по­ верхность S тела. Тогда нормальная составляющая скорости на границе должна быть равна нулю: x y z е>Л-0. (2.3) В этом случае говорят, что тело обтекается. б) Тело проницаемо (например, пористое тело), т. е. воз­ можно протекание жидкости через поверхность. В этом случае поток жидкости через 5 является заданной функцией точек М поверхности S и v \s-f(M). (2.4) Если в жидкости находится несколько тел, неподвижных от­ носительно друг друга, то граничные условия должны выпол­ няться на поверхности каждого из тел. n 83 2. Условия на п о в е р х н о с т и р а з д е л а ж и д к о с т е й . Пусть 2 — поверхность раздела (рис. 11). Для установившегося течения эта поверхность неподвижна. Жидкость движется вдоль поверхности 2, не проникая через нее. Это означает, что Существует еще условие, относящееся к давлению на поверх­ ности раздела. Из закона количества движения следует, что для любой массы жидкости главный вектор объемных и поверхност­ ных сил, включая силы инерции, равен нулю. Выделим элемент объема в виде шайбы вдоль поверхности раздела. Высота шай­ бы Д/i, площадь основания AS. Пусть Ah «С AS. В силу малости Д/г силы, действующие на боковую поверхность, можно не учи­ тывать. Объемные силы также можно не учитывать, так как они пропорциональны AS -Д/г. Равенство нулю главного вектора сил для такой шайбы приводит к условию равенства нулю суммы сил давлений, действующих на шайбу сверху (p'AS) и снизу (p AS), т. е. дает условие P4 = P»! . (2.6) Таким образом, на поверхно­ сти раздела должны быть выпол­ нены условия (2.5) и (2.6). Фор­ ма поверхности 2 находится из условий задачи. 3. Условия на б е с к о н е ч н о с т и . Пусть некоторое тело обтекается потоком поступательным и однородным на бесконеч­ ности. В этом случае должны быть известны vL = v PL = P»,- Л . - Г » . (2.7) Уравнение состояния связывает р, р и Т, поэтому достаточно задать только две из этих величин. Таким образом, из множества решений системы (2.1) надо выбрать то, которое удовлетворяет на поверхности тела условию (2.3) (если поверхность проницаема, то условию (2.4)), на по­ верхности раздела — условиям (2.5), (2.6), на бесконечности — условиям (2.7). Эти условия имеют общий характер и относятся к произвольным телам. Свойства жидкости (физика жидко­ сти) отражены в уравнении состояния и в выражении для внут­ ренней энергии. u 2 S e I § 3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБ ОТЫСКАНИИ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ При неустановившихся течениях жидкости гидродинамиче­ ские функции зависят от координат и времени. Система уравне­ ний, которой они должны удовлетворять, — система уравнений 84 (1.5). Рассмотрим граничные условия для нестационарных тече­ ний. 1. Г р а н и ч н ы е у с л о в и я на п о в е р х н о с т и дви­ ж у щ е г о с я т е л а . В случае нестационарного течения тела могут перемещаться в жидкости, могут и изменять свою форму. Как и раньше, пусть S — поверхность обтекаемого тела, п — нор­ маль в точках S. Обозначим через v скорость частиц жидкости, через и{М, t) — скорость точки М поверхности тела в момент t. а) Если 5 — поверхность непроницаемого тела, то 1>„| = ы„(ЛМ). (3.1) б) Если тело проницаемое, то v \ = U(M,t), (3.2) где U(M,t) — заданная функция. 2. Г р а н и ч н ы е у с л о в и я н а п о в е р х н о с т и р а з д е л а . В этом случае поверхность раздела может менять свою форму, перемещаясь с течением времени. Пусть u — скорость точек поверхности 2, разделяющей жидкости I и II (см. рис. 11). Тогда условия запишутся в виде f'| = ^ | = »« ' P'I = P % . (3.3) 5 n s s S 2 s S 3 Условия на бесконечности: vL^v.W, PL = P (0. T\ = T„{t). M M (3.4) 4. Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я . Для нестационарных задач движение будет зависеть от того состояния, с которого оно на­ чалось. Поэтому кроме граничных условий должны быть заданы в начальный момент времени t условия, характеризующие со­ стояние жидкости во всей области, занятой жидкостью: Q v у z = Т Т 5 1«-<, = о (*. У> )> Р \ t - t . Р° (*> У> *)> L*. = о (*. У> *)• (З- ) Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти такие функ­ ции ь , v , v , p, p, T, которые являлись бы решениями системы (1.5), в начальный момент времени t = t обращались бы в за­ данные функции (3.5) и во все моменты времени удовлетворя­ ли бы граничным условиям (3.1) или (3.2) на поверхности тела S, условиям (3.3) на поверхности раздела (если она имеется), условиям (3.4) на бесконечности. В начальный момент времени поверхность раздела 2о должна быть задана. Форма поверхности 2 в зависимости от / при начальном условии 2 (/) \ = 2Q ищется в процессе решения задачи. Начальные и граничные ус­ ловия должны быть согласованы, т. е. начальные условия долж­ ны удовлетворять условиям в бесконечно далекой точке и на поверхности обтекаемых тел. Кроме рассмотренных граничных условий встречаются и дру­ гие граничные условия, с которыми приходится иметь дело при рассмотрении различных задач. х y z t=i Г Л А В А VIII СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЕ В этой главе будем рассматривать вязкую жидкость, для ко­ торой связь тензора напряжений с тензором скоростей деформа­ ций дается формулами (2.28) гл. VI, установленными на основе закона трения Ньютона. Будем предполагать, что жидкость под­ чиняется закону теплопроводности Фурье (см. (4.1) гл. VI). Бу­ дем рассматривать жидкости без внутреннего момента. В этом случае уравнение моментов (учитывая, что т,* = ты) удовлет­ воряется автоматически. § 1. ОБЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Уравнение неразрывности • | f - + P div v = 0. (1.1) Уравнение движения сплошной среды dv дг дх„ х дх г Уравнение энергии dE p _ = e + T dv , . _ + , T dv y . _ + dv T 2 . _ + dt dt x _ dt u _ + + z _ . ( 1 . 3 ) Связь тензора напряжений с тензором скоростей деформаций: dv (dv dv \ = V\-Qf + -g^-), x t xx r yy x x = ~p + Kdwv+2 i-^-, х =т =*\х\ - + -^-), г +^ - ) . r xy l уг T « = - p + Jldivv + 2,i-!£., гх = x y = ~p + kdivv + 2n-g , yx гу <ж = х ^ х(^хг ] (1.4) Закон теплопроводности Фурье t L дТ дх ' , У 1 , дТ "• ду ' , 1 г , дТ "• дг ,, _. Уравнение состояния f(p, p, Г)=»0. 8S (1.6) К этим уравнениям надо присоединить выражения для внутрен­ ней энергии Е, коэффициентов вязкости ц и Л и теплопровод­ ности k: £ = £ ( р , Г), 1 = к(р,Т), |i = |i(p, Г), А«=*(р, T). (1.7) Считаем, что поле массовых сил F и вид функции е известны. Таким образом, имеем систему (1.1)—(1.6), в которой число неизвестных равно числу уравнений. Если в уравнения (1.2) и (1.3) подставить (1.4) и (1.5), т. е. исключить из рассмотрения xtk и tj, то получим систему шести уравнений: (1.1), (1-2), (1.3), (1.6) для шести искомых функций: v , v , v , р, , Т. Выразив из уравнения состояния одну из функций через две другие и подставив ее выражение в уравнения (1.1), (1.2), (1.3), можно получить систему пяти уравнений для отыскания пяти функций. x y z р § 2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Рассматриваем однородную несжимаемую жидкость. Для нее р = р = const — уравнение состояния. Будем предполагать, что коэффициенты вязкости ц и теплопроводности k являются по­ стоянными: \i = const, k = const. (2.1) Так как р = const, то -—• = 0 и уравнение неразрывности при­ нимает вид dv dv x dv u z Тензор напряжений в' силу (2.2) будет , *> (dv х dv 2 „ _i_ о,. d v =х == х уг *у * \~дГ ' v dz y х yy = -P + ^~df y / dv y x dv \ x •* — ~ \ + -дГ)' — .. ( dv z , 2 3 (-) dVx \ Рассмотрим уравнение движения (1.2). Запишем его проекцию на ось х и подставим вместо т,* выражения (2.3). учитывая при этом (2.1), получим dv x д ( dv \ x д Г (дь х дОу\\ + !*(• 87 В силу (2.2) уравнение (2.4) примет вид 2 ^«Х._Р dt ~ * 2 1 др . ц (d v р ^ р Ujt т 2 3 . dv . ду\ <Э# ^ дг ) ' x г x 2 т х 2 Аналогично запишутся два других уравнения — проекции на оси у и г. Вводя обозначения ц d'f . d*f , d*f _ . А .„,., перепишем уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в виде dvx__ 1 dp = Р* — р— Tjf + vAy*, dt ~~ дх F Г Х dv 1 dp u F + -df = y-TW r dt * p dz vAv (2 »> ^ v a v - 6) z - Уравнения (2.6) равносильны одному векторному уравнению F 47- = - - p - g r a d p + vAv. (2.6') Уравнения (2.6) носят название уравнений Навье—Стокса. Уравнение неразрывности (2.2) и уравнения Навье—Стокса (2.6) образуют систему четырех уравнений для отыскания v , v , v и р, т. е. для несжимаемой вязкой жидкости при ц = const задача об отыскании поля скоростей и давлений может быть ре­ шена независимо от задачи отыскания поля температур. После того как функции v и р будут найдены из (2.2) и (2.6), можно искать температуру, решая уравнение энергии. В отличие от уравнений Эйлера в уравнения Навье—Стокса входят производные второго порядка. Это должно отразиться на постановке граничных условий. Если же \i = 0, то уравнения Навье—Стокса переходят в уравнения Эйлера. Обратимся к уравнению энергии (1.3). Подставим выраже­ ния (2.3) для тензора напряжений в группу слагаемых, входя­ щих в уравнение энергии: x y z (dv dvy\dv x fdv y dv \ dv x z (dv z dv \ x u dv x ду i ( , о (dv x д д °у Л °у dv \ z dv x i dt) ( y (dv z + ЛИГ+-д7)-дГ + »Ы . д0 Л dv \ y dv. ду дdv u +^rhz + ( - p + 2 ^ ) | ^ = - p d i v v + (P-=cD. (2.7) 88 В силу (2.2) div v = 0. Через Ф обозначена сумма +(£+£)'+(£+£)'+&+Ш ™ Используя закон теплопроводности Фурье (1.5) и предположе­ ние, что k = const, получаем dt dt x г (д Т dt y z 2 д'Т дТ \ ж / Л л ч Учитывая (2.7) и (2.9), перепишем уравнение энергии (1.3) в виде ~ - = г + Ф + кАТ. (2.10) 9 Для несжимаемой жидкости Е = сТ + const, где с — теплоем­ кость, и уравнение энергии примет вид с р - ^ ^ е + Ф + йАГ. (2.11) Если система уравнений (2.2), (2.6) проинтегрирована, т. е. v и р — известные функции, то уравнение (2.11) есть дифферен­ циальное уравнение в частных производных второго порядка для отыскания температуры Т. Входящая в (2.11) функция Ф неотрицательна и обращается в нуль только в случае, когда жидкость покоится или движется как абсолютно твердое тело. Для идеальной жидкости Ф = 0, так как ц = 0. Функция Ф называется диссипативной функцией. Если среда неподвижна, т. е. v = v = v = 0, Ф = 0, то уравнение (2.11) принимает вид известного уравнения тепло­ проводности x 2 дТ с Р ST e z 2 . , (д Т = y 2 . дТ . дТ \ + k + Уд* + W 1?*) • Если коэффициент k нельзя считать постоянным, т. е. k = то уравнение запишется в виде k(T), Итак, уравнения (2.2), (2.6), (2.11) образуют систему урав­ нений вязкой несжимаемой жидкости dv dv dv дх ~ ду ~ dz 1 . . ( dv . x dv r. d T u x 2 2 i лч i и ( д Т 2 dy 2 , дТ 2 dv \ , , n . n% 2 , дТ \ 89 Функция Ф имеет вид (2.8). Система (2.12) содержит пять урав­ нений для отыскания пяти функций: v , v , v , P, Т. x y z § 3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБ ОТЫСКАНИИ ТЕЧЕНИИ вязкой ТЕПЛОПРОВОДНОЙ жидкости Имеем систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости (2.12). Чтобы решение интересующих нас задач, описываемых этой системой, было единственным, должны быть заданы гра­ ничные условия. Рассмотрим граничные условия трех типов: на обтекаемом теле, на границе раздела двух жидкостей и на бес­ конечности (если жидкость заполняет безграничное простран­ ство) . А. П о с т а н о в к а з а д а ч для у с т а н о в и в ш и х с я те­ чений. В этом случае для любой гидродинамической функ­ ции f df n df df . df , df 1. Граничные условия на обтекаемом теле. При установив­ шемся течении тела неподвижны, скорость и точек поверхности обтекаемого тела равна нулю. Вязкая жидкость обладает свой­ ством прилипания к телу. Поэтому на поверхности 5 непрони­ цаемого тела скорость частиц жидкости должна быть равна нулю, т. е. v | = 0, или v \ = 0, i> | =-0, (3.1) s n s T s где v , v — нормальная и касательная составляющие скорости. Если поверхность проницаема, то n x v \s = U {Щ, где U (Af) — заданная функция. Кроме условий для скорости ставится условие для температуры обычно одного из двух видов: либо задается температура Т жидкости у поверхности тела, например, если T (M)—темпера­ тура точек поверхности тела, то W T] = T (M), S W (3.2) либо задается поток тепла q, идущий от тела к жидкости (или обратно): R 90 дп = q(M). (3.3) Если k , Г — коэффициент теплопроводности . и температура тела, то это условие можно записать в виде T т (з.з') k—дп I\s —k Шздп T Условие (3.3) означает непрерывность потока тепла. 2. Граничные условия на поверхности раздела двух жидко­ стей. Поверхность 2 неподвижна. Условие для скорости v4,~v»| . (3.4) x Условие (3.4) — условие непрерывности скорости при переходе через поверхность раздела, т. е. в вязкой жидкости должны быть равны не только нормальные, но и касательные состав­ ляющие скорости. Если п — нормаль к площадке, расположенной на поверх­ ности 2, то условие для напряжений будет т ^| = а- (з-5) 2 Условие для потока тепла (сохранения потока тепла) 1 Ai дТ дТ , * . " * дп и (3.6) 3. Условия на бесконечности 5 •I» -*., e pL P«,. a = ^ (3-7) Таким образом, задача состоит в нахождении решения си­ стемы уравнений (2.12), удовлетворяющего условиям, указан­ ным в пунктах 1,2, 3. Б. П о с т а н о в к а з а д а ч . д л я н е у с т а н о в и в ш и х с я теч'ений. 1. Граничные условия на поверхности тела. При нестацио­ нарных течениях тела могут перемещаться в жидкости, могут и изменять свою форму. Пусть u (M, t) — скорость точки М по­ верхности S тела в момент времени t. Тогда для непроницае­ мого тела v | = u(M, /). s Для проницаемого тела v|s = V(M,t), где V(M, t) —заданная функция. Условия для температуры сохраняют свой вид, только в этом случае функции, входящие в (3.2), (3.3), зависят еще и от вре­ мени t. 2. Граничные условия на поверхности раздела сохраняют вид (3.4) — (3.6), но теперь от времени t могут зависеть не только функции v, т , Т, но и сама поверхность раздела 2 . л 91 3. На бесконечности должны быть известны Voo(t), pooit), 7.(0. 4. Начальные условия не отличаются от начальных условий в идеальной жидкости: в некоторый момент t должны быть за­ даны v, р, T как функции координат х, у, г. Кроме того, должна быть задана поверхность раздела 2 в момент t . Таким образом, требуется найти решение системы уравнений вязкой теплопроводной жидкости, которое в момент / = to удов­ летворяло бы начальным условиям и во все моменты времени ус­ ловиям на поверхности тела, условиям на поверхности раздела и условиям на бесконечности. Методы современной математической физики, основанные на функциональном анализе, позволяют исследовать весьма широ­ кий класс задач гидродинамики, уточнить их постановку и до­ казать теоремы существования и единственности решения, а также непрерывную зависимость решения от данных задачи. Ч а с т ь II. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ BOOKS.PROEKTANT.ORG БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ КОПИЙ КНИГ для проектировщиков и технических специалистов ГЛАВА IX УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Рассматриваем покоящуюся жидкость. В этом случае в жид­ кости наблюдаются только нормальные напряжения, причем их величина не зависит от ориентировки площадки (см. § 1 гл. VI). Тензор напряжений принимает вид (1.7) гл. VI, а это означает, что для задач о равновесии жидкости не существенно различие между идеальной и вязкой жидкостью. Будем предполагать, что у жидкости нет внутреннего мо­ мента и что для нее справедлив закон теплопроводности Фурье. § 1. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ Выпишем систему уравнений гидромеханики в общем виде: -g. + dv dE dv =х *ЧГ *--дТ дг дх х дч х pdivv = 0; дх и dv х г dt dt x + (1.1) y + + dt z + г ( L 3 ) + у--ЪТ + *--дТ -дТ -дТ ~дГ '' P = f(p, Г). (1.4) Так как жидкость находится в равновесии, то это означает,* что о ^ О и • J J - S O , а тогда для любой функции f: -^ = -щ -f+v-grad / ssO. Имея это в виду, обратимся к системе уравнений (1.1) — (1.4). Уравнение неразрывности (1.1) выполняется авто­ матически. Закон количества движения (1.2) в силу равенств ** = — lp> ty = — iP, tz — — кр 93 запишется в виде F-i-gradp-O. (1.5) Уравнение энергии примет вид dt dt x dt, u f f + e = 0. дх '' ду" +'- =дг (1.6) Уравнения (1.5), (1.6) и (1.4) образуют систему уравнений рав­ новесия. Предполагая, что объемных источников тепла нет, т. е. е = 0, и учитывая закон Фурье t = k grad T, где k = k(p, T), получим систему уравнений равновесия в виде F = i-gradp; (1.7) &(*4В+-£(*#)+£(*4г)-* м P = f(p,T). (1.9) В системе уравнений равновесия пять уравнений, а искомых функций три: р, р, Т. Система переопределена. Это означает, что равновесие возможно не всегда. Получим условия разрешимо­ сти системы (1.7) — (1.9). § 2. УСЛОВИЕ ДЛЯ СИЛ Выпишем уравнения (1.7) в проекциях: д = pF , дх Р x F 17= P Продифференцируем первое уравнение по у, второе по л: и выч­ тем одно из другого. Получим •dF v dF x р р ==0 (2 *Ту- ду V дх ду ))+ •«жУ дх Аналогично получим еще два уравнения: к (dF z p \dz 94 dF \ x „ dp y дх ) ^ l r * dz - 2) dp Гг дх и - л ^> Умножая (2.2) на, F , (2.3) на F , (2.4) на F и складывая, по­ лучим z Г„ (dF, 9\Fx{—u \ ду dF \ x (dF u y dF \ x /dF z F dF \l y x F -*r) дг + «{- T-Tx-) + A-o-x---d -)\ d y = * (2.5) или в векторном виде (2.5') F • rot F = 0. Условие (2.5) необходимо для возможности равновесия. Это условие есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы векторное поле F имело вид F = BgradK, где В и V — некоторые функции координат. Подставляя (2.6) в (1.7), получаем 1 (2.7) grad V = ^ - g r a d p Образуем якобиан D (P. V) и учтем D (x, у) равновесия (2.1) и равенство (2.6): dp dV дх дх др_ дУ ду ду D(p,V) D(x,y) = В Р (2.6) при этом дУ дУ дх дх дУ дУ ду ду уравнения (2-8) Аналогично получим ,D(PJO D(y,z) D (Р. V) D(z,x) = 0 > "' 0. (2.8') Равенства (2.8) означают, что между р и V имеется функцио­ нальная зависимость V = Q(p). (2.9) Из уравнения (2.7) следует, что dp = pB dV, рВ = -у^-, т. е. рВ = Ч(р). (2.10) Равенство (2.5) или эквивалентное ему равенство (2.6) дает общий вид сил, при которых возможно равновесие. При выпол­ нении (2.5) силовые линии ортогональны к поверхностям V = = const. Направление F параллельно grad V. § 3. УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ Пусть имеются несжимаемые жидкости I и II, разделенные поверхностью 2 , причем р ф р . Равенство напряжений в точ­ ках поверхности раздела в случае равновесия дает условие 1 11 РЧ = Р % . Я (3.1) 95 Для каждой из жидкостей справедливы уравнения равновесия г дх Р *' рг ду У Р г дг Р у Р *> р Г г дх *' дг/ ' дг ' Умножим первое уравнение на dx, второе на dy, третье на dz и сложим полученные выражения. В результате будем иметь dp^ = ^(F dx + F dy + F dz). x y z (3.3) Аналогично dp» = р» (F* dx + F dy + F dz). y z (3.4) Пусть dx, dy, dz — проекции dx — перемещения вдоль поверхно­ сти раздела 2. Тогда в силу (3.1) M dp4 = ^ l . s (3.5) s Вычитая (3.4) из (3.3) и учитывая (3.5), получаем 1 (Р - Р») (F dx + F dy + F dz) = 0. (3.6) Так как р Ф р" по предположению, то из (3.6) следует, что вдоль поверхности раздела x y z 1 F dx + F dy + F dz = 0, x y z (3.7) или F - d r = 0, (3.7') т. е. в каждой точке поверхности ее элемент ортогонален вектору силы F. Равенство (3.7) означает, что работа массовых сил при перемещении вдоль поверхности раздела равна нулю. Если считать силы тяжести направленными вертикально, то поверхностями раздела будут горизонтальные плоскости. Если принять, что силы тяжести направлены к центру земли, то по­ верхностями раздела будут сферы. § 4. РАВНОВЕСИЕ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Система уравнений равновесия содержит уравнения (1.7) — (1.9). Уравнение состояния (1.9) для однородной несжимаемой жидкости имеет вид р = ро = const. Учитывая это, можно урав­ нение (1.7) записать в виде F = J-gradp = grad(^-), (4.1) т. е. равновесие несжимаемой жидкости возможно только в по­ тенциальном силовом поле. Пусть F = - grad V. 96 (4.2) Тогда из (4.1) и (4.2) следует, что grad ( — ) = — grad V, т. е. р = С~ р 1Л (4.3) Постоянная интегрирования С находится из условия р _ = р . Таким образом, давление найдено. Если массовые силы — силы тяжести, то F = F = О, F = = — g и потенциал V = gz. Из формулы (4.3) в этом случае получаем гидростатический закон: v x y v Z Р = Ро + Pog (z — z). Для несжимаемой жидкости коэффициент теплопроводности за­ висит от температуры или постоянен. Если k = k(T), то урав­ нение (1.8) для температуры — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка. В случае k = const уравнение (1.8) переходит в уравнение Лапласа д*Т д*Т д*Т п Функции, являющиеся решением уравнения Лапласа, называют­ ся гармоническими. Следовательно, в рассматриваемом случае Т есть гармоническая функция. Для решения уравнения Лапласа должны быть заданы гра­ ничные условия. Чаще всего встречаются два типа граничных условий и соответственно формулируются две краевые задачи. 1. На поверхности S заданы значения температуры, т. е. T\s = T(M)—заданная функция точек поверхности (задача Дирихле). 2. На поверхности 5 задается значение нормальной произ­ водной, т. е. - г - =Q(M) (задача Неймана). Известно, что задача об отыскании решения уравнения (4.4), когда на 5 за­ дана -J-, разрешима только при условии, если \ \ Q(M) dS = 0. s Физический смысл этого условия очевиден. Величина k-g—dS есть поток тепла через площадку dS, а условие \ \ QdS = s -г- dS = 0 означает, что общее количество тепла, входящее •SS S и выходящее через поверхность S, равно нулю. При равновесии это условие выполнено. Если решать внешнюю задачу Неймана для безграничной области, то условие для потока тепла не ставится — тепло рас­ сеивается. Итак, в случае однородной несжимаемой жидкости задача об определении температуры решается независимо от задачи об определении давления. 4 Зак. 1031 97 § 5. РАВНОВЕСИЕ БАРОТРОПНОй ЖИДКОСТИ Введем определение: жидкость называется баротропной, если ее плотность есть функция только давления Р = Ф(Р). (5.1) В противном случае жидкость называется бароклинной. Пред­ положим, что жидкость баротропна, и выпишем уравнения рав­ новесия (2.1), учитывая (5.1): 1 _gP _ р Ф(р) дх ' х 1 д д Р —р Ф(р) ду У ' Р — р Ф(р) dz /cm Введем в рассмотрение функцию "W-te-kfrРо (5-3) Р« Для Р(р) справедливы равенства дР _ дх 1 др Ф (р) дх ' дР _ ду 1 др Ф (р) ду ' дР дг 1 др Ф (р) 02 — (5.4) Система (5.2) с учетом (5.4) примет вид £-'- £-'- £-'- <м» Из (5.5) следует, что массовые силы F должны быть потен­ циальны, т. е. равновесие возможно, если поле массовых сил консервативно. Пусть F=-gradV, (5.6) где V — потенциал массовых сил. Из (5.5) и (5.6) следует дР dV дР dV дР dV , D ... ._ _. Интегрируя (5.7), получим P(p) = C-V. (5.8) Постоянная С находится из условия р | v=v == ро- Определив р и подставив его в (5.1), получим р. Давление и плотность по­ стоянны на поверхностях V = const. З а м е ч а н и е . Если жидкость находится при постоянной температуре (изотермична) Т = Т , то уравнение равновесия для температуры удовлетворяется тождественно, а уравнение состояния принимает вид р = /(р,Г ) = Ф(р), т. е. плотность есть функция только давления — жидкость баро­ тропна. 98 П р и м е р 1. Рассмотрим равновесие жидкости при отсут­ ствии массовых сил, т. е. F = 0. В этом случае grad р = 0 (см. (1.7)) и р = const. П р и м е р . 2. Рассмотрим газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, при изотермическом равновесии Отсюда АО-" О Jp, Р Jp, Ф(Р) m Подставляя Я(р) в (5.8) и учитывая, что p\ Ро v=v —— In — = V — V, m т р = рФ К" > =Ро, получим °. Если массовые силы— pa силы тяжести, то V — gz и р = Рф R T °° Давление убывает с высотой как ехр(—Cz). § 6. ОБЩИЙ СЛУЧАИ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ В КОНСЕРВАТИВНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ Рассмотрим общий случай равновесия сжимаемой жидкости в консервативном силовом поле, когда система уравнений рав­ новесия имеет вид (1.7) — (1.9). Так как поле массовых сил кон­ сервативно, т. е. F = -gradF, (6.1) то система уравнений равновесия с учетом (6.1) примет вид dp где dV dp dV dp dV / c о ч £(*£)+£(*£)+£(*£)-* ^ P = f(p,F), (6.4) k = k(p, T). (6.5) Необходимое условие для равновесия выполнено — силы кон­ сервативны. Можно ожидать, что задача имеет решение. Из уравнений (6.2) следует, что dp = —pdV, т. е. 4* 99 Используем результаты, изложенные в § 2, положив в приве­ денных там формулах В = 1. Тогда согласно (2.9) P = P(V) (6.7) и в соответствии с (6.6) Р = Р(Ю. (6.8) Таким образом, давление и плотность есть функции только V. Так как по предположению температура входит в уравнение состояния (6.4), то -^г Ф 0. Решив (6.4) относительно Т и учтя (6.7) и (6.8), получим, что температура также есть функция только V, т. е, T = T(V). (6.9) Очевидно, что на поверхностях равного потенциала V = const давление, плотность и температура постоянны. Решить задачу — значит найти вид зависимостей р, р, Т от V. Рассмотрим уравнение (6.3). Из (6.5) в силу (6.7) и (6.9) следует, что k = k(p,T) = k(V). (6.10) Так как k и Т, входящие в (6.3), есть функции лишь V, то урав­ нение можно переписать в виде Раскрывая производные от произведений, получаем d dV (*#)Ш+(£)'+(£Л+ Используя обозначения Af и grad/, будем иметь d dV или dV V dV ) dT_ * dV LV (grad У) 2 (6.13) Левая часть (6.13)—функция только V, следовательно, и пра­ вая часть должна зависеть только от V. Обозначим Д У (grad V)* -q{V). (6.14) Отсюда следует, что равновесие возможно, если потенциал мас­ совых сил таков, что справедливо (6.14). Поле массовых сил известно, и если (6.14) выполнено, то q{V) — известная функ100 ция. Чтобы установить, для каких потенциалов массовых сил выполнено равенство (6.14), введем вместо q(V) новую функ­ цию R{V) согласно равенству (6Л5) ?w=wb Функция R(V) не может быть выбрана произвольно. По­ смотрим, какому условию она должна удовлетворять. Из равен­ ства (6.14) следует 2 2 dR (V) Г д У 2 . дУ 2 2 . д У I . d R Г/ дУ у 2 • ( дУ_\ , / <ЗУ \ ' \ дг ) . = 0. (6.16) Уравнение (6.16) есть уравнение Лапласа для R(V): г г 2 йУ L <Э* """ ду "•" 5г J 7^R(V) + 2 dV |Л дх ) + -^R(V) + V ду ) + -^R(V) + = 0. (6.17) Таким образом, равновесие жидкости в консервативном поле сил возможно, если некоторая функция R(V) является гармо­ нической. Если предположить, что V — именно такой потенциал, то функция R(V) может быть найдена из соотношения (6.15). Имея это в виду, вернемся к уравнению (6.13), которое запи­ шем в виде dV Г dV) _ R"(V) dT ~ R'(V) * к { О Л 0 } dV Интегрируя один раз уравнение (6.18), имеем £ ^ £ = С,Я'(Ю. (6.19) Собирая вместе (6.4), (6.6), (6.19), получим систему уравнений равновесия dT 6 , 2 0 < - ) Р = /(/?,Г). Таким образом, задача свелась к обыкновенным дифферен­ циальным уравнениям. Интегрируя систему дифференциальных уравнений, получим общее решение задачи о равновесии жид­ кости в консервативном поле сил р=р(У,С С ,С ), T = T(V,C C ,C ), 9 = f{p,T). Для определения произвольных постоянных С\, Сг, С должны быть заданы условия. Условия могут быть различными: и 2 3 { Ь М ) U 2 3 3 101 например, на поверхности равного потенциала V = Vo могут быть заданы р и Т, на поверхности V = V\ задано Т, т. е. (6.22) T\y~v — То> Т v=v ' 'TL З а м е ч а н и е . Все рассуждения сохранились бы и в случае, когда k = k(p,T,V) и уравнение состояния имеет вид р = = р(р, Т, V). Вместо системы (6.20) получили бы несколько бо­ лее общую систему | f = - / ( / , , Г, V), P\v-v<,~P°' t Ыг. Г I/\ t d T dR Г W (6.23) p = f(p,T, V). Пусть газ подчиняется закону Клапейрона: р = — - р7\ Пред­ положим, что m — m(V), k = k(V) (например, молекулярный вес m и коэффициент турбулентной теплопроводности k зависят от высоты). Система уравнений равновесия (6.23) с учетом урав­ нения состояния примет вид dp __ _ m(V) р . (6.24) dV R T * k{V)^ d £= C dR(V) . (6.25) dV ' m(V) p (6.26) T Из (6.25) получим V 1 dR (g) (6.27) T(V) = Ca + d\ * (I) d\ d\. a = r x Подставляя (6.27) в (6.24) и интегрируя полученное уравнение, будем иметь m (тр rfri In р = In С - -^ J 3 (6.28) •I С + С, ^ 1 dR (£) d% ft (g) dg 2 Отсюда m (T)) drj p = C exp 3 Ко C + C 2 Г LiB. ^a (6.29) Равенства (6.27), (6.29), (6.26) дают решение задачи. Запишем полученное решение для случая, когда массовые силы — силы тяжести F == — g = const. Потенциал массовых сил V = gz удовлетворяет уравнению AV = 0. Из (6.14) сле­ дует, что q(V) = . / ? " ( К ) = 0, откуда Я'(V) == const. Предполаz 102 гая, что k и т постоянны, из (6.27) получаем T = C + ^-V. k Из (6.24) и (6.26) найдем р и р: (6.30) 2 С e (6 Р = Сз(с + 4^)"*° \ P f f 2 31 " > Постоянные С С , С находятся из условий на границе. Пусть эти условия имеют вид (6.22) и пусть на поверхности Земли 2 = 0. Тогда для V = gz можно равенства (6.22) записать в виде Г | = Г , р ! = Ро, 7\ _ = Ti. С учетом условий при г = 0 и г = 2| получим известные барометрические формулы ь г = 0 Т 2 3 г = 0 z Zj Г -Г| _ т /, m ( Г Го-Г! Г г М^ '- '> p уо.аг} Последние равенства дают ход изменения температуры, давле­ ния и плотности с изменением высоты в предположении, что k и m постоянны. Температура линейно зависит от высоты. Для земной атмосферы падение температуры на 1000 м примерно равно 6,5°. Нетрудно выписать решение и для случая, когда массовые силы изменяются обратно пропорционально квадрату расстоя­ ния от центра Земли. 1. Если рассматривать не очень большие расстояния от Зем­ ли, то можно как это обычно делают, приближенно принять по­ верхность Земли за плоскость и массовые силы направленными вертикально, т. е. положить F = F = 0, F = — , ^_ , , где а — радиус Земли, g— ускорение силы тяжести на ее поверх­ ности 2 = 0. В этом случае потенциал массовых сил V = = ^—, откуда а + z = — Щ-. Функция q (V), определяемая x y z 2 2 2 формулой (6.14), будет q(V) = ^27 (fl + z) = — у , и уравнение R"(V) 2 (6.15) для R(V) запишется в виде ,' = —у . Отсюда R'(V) = yr и R(V) = —-£ + С,. Выражение R(V) через 2 будет иметь вид R =-^- (а-{-z) -\- С т. е. R(z)—гарс ионическая функция. Подставляя R'(V)=-yr в (6.27) и (6.29) и вычисляя интегралы, легко получим зависимость Т, р и р от z. В частности, температура будет опять линейно зависеть от z: T - ^ ^ z = T {l -Il=J±JLy (6.33) R / у и T = = 103 2. Задачу о равновесии атмосферы вокруг Земли, когда мас­ совые силы есть силы тяготения, можно рассмотреть и в более точной постановке, считая, что Земля — однородный шар и силы направлены к центру Земли. В этом случае, вводя сферические координаты г, 6, ф, будем иметь F — г г g a F — F — Г) г — г — и. —, е ф Потенциал массовых сил V = — ^ - удовлетворяет уравнению Лапласа AV = О и согласно (6.14) функция q(V)—0, откуда R'(V)= const. В формулах (6.27) и (6.29), дающих решение за­ дачи, следует, вообще говоря, при больших изменениях высот учитывать зависимость т и k от V, т. е. от высоты. Если же, как и раньше, принять т и k постоянными, то решение может быть сразу выписано. Для температуры оно имеет вид Го-Г, 1о ] г \ ± ) г\ ' где Т — температура при г = а; Т\ — температура при г = г\. Если в выражении для Т обозначить г — а через z, то получим Примечание редактора Из уравнений равновесия жидкости в консервативном силовом поле, как известно, следует, что между давлением р и плотностью р существует функ­ циональная зависимость. Жидкость, для которой р есть функция только р, обычно называют баротропной. При этом имеется в виду, что зависимость р от р заранее задана. Это позволяет при решении задач о движении баротропной жидкости ограни­ читься рассмотрением уравнения неразрывности и трех уравнений движения для нахождения четырех функций — v , v , v , p, а при исследовании равно­ весия жидкости — рассмотрением трех уравнений (так как уравнение нераз­ рывности удовлетворяется тождественно). Жидкость, уравнение состояния которой имеет общий вид f(p,p,T) =0 и относительно которой не делается никаких специальных предположений (об изотермичности или адиабатичности процессов и др.), называют бароклиннои. При решении задач о движении бароклиннои жидкости приходится привле­ кать уравнение энергии. Задача о равновесии жидкости, уравнение состоя­ ния которой имеет общий вид f(p, р, Т) = 0 и относительно которой не де­ лается никаких специальных предположений, также не может быть точно ре­ шена без использования уравнения энергии. Зависимость р от р в этом слу­ чае заранее неизвестна и для каждой задачи может быть найдена только по­ сле ее решения. Решение задачи о равновесии жидкости в консервативном силовом поле, изложенное в § 6, получено С. В. Валландером и изложено в статье «Равно­ весие бароклиннои теплопроводной жидкости в консервативном силовом поле» (Доклады АН СССР, 1974, т. 216, № 2). x 104 y z § 7. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА И ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИЛ ДАВЛЕНИИ Пусть имеется некоторое тело и пусть 5 — часть поверхности тела, соприкасающаяся с жидкостью. Как обычно, п — нормаль к элементу поверхности dS, направленная в ту сторону, где находится жидкость. На площадку dS со стороны жидкости дей­ ствует сила dF = x dS. (7.1) s n Момент этой силы относительно начала координат s dL = rXdF = (rXi )dS. (7.2) Проинтегрировав (7.1) и (7.2) по поверхности 5, получим об­ щие формулы для главного вектора и главного момента сил, действующих на поверхность S со стороны жидкости: n s F =$$t„dS; s (7.3) L=5J(rXt„)d5. (7.4) s Если в жидкости действуют только нормальные напряжения, то Хп = —п/7 и формулы (7.3) и (7.4) принимают вид s F =-$$pndS; s (7.5) L = -$$(rXn)/7dS. s В проекциях на оси координат получим F^ = (7.6) -^pcos(Cx)dS, S s F = -^pcos({Ty)dS, s (7.7) y Ff = — \\pcos(n, z)dS; s L = — J) P [y cos (n, z) — z cos (n, y)] dS, x s L = — \ \ p [z cos (n, x) — xcos («, z)\ dS, s y (7.8) L = — \ \ p [x cos (n, у) — у cos (n, x)] dS. s z 105 § 8. ЗАКОН АРХИМЕДА Будем рассматривать однородную несжимаемую жидкость в поле силы тяжести. Массовые силы F = F = О, F = —g. Задача о равновесии такой жидкости решена в § 4, где была получена формула для давления P = Po + Pg(z — z). (8.1) х y Z Введем вместо z координату г', положив Z == ~ Z — Z(\ • т. е. будем отсчитывать z' от так называемого приведенного уровня (р = 0 при 2 = 2 + — J • Тогда формула для давления примет вид p=-pgz'. (8.2) Пусть в жидкость погружено тело. Поверхность этого тела 5, объем т. Вычислим главный вектор F и главный момент L сил, действующих со стороны жидкости на тело. Подставляя (8.2) в формулы (7.7) и учитывая при этом, что поверхность S замкнутая, находим проекции главного вектора s F = р Z C0S ( n * £И' F * = p z ^ JJ' c o s ^ ^ ("' z) dS = F = °' " °* (8.3) dS = Pe\\\dT: = pgx. s % Таким образом, на тело, погруженное в жидкость, действует сила, направленная снизу вверх и равная весу жидкости в объ­ еме этого тела. Вычислим проекции главного момента. Используя формулы (7.8), получаем L = pg \ \ z' [у cos (л, z) — z cos (п, у)] dS = x s = р (2 £ J S S 5?" ' y ) dx=p ^ т L = — pg^xdx, y y dx SS\ ' т L = 0. 2 T Введем координаты центра тяжести объема X X Тогда выражения для L , L L можно записать в виде L = pgry , L — — pgrx , L = 0. Формулы (8.4) решают задачу о нахождении момента. x x 106 c !h z y c z (8.4) Известно, что система сил приводится к одной равнодей­ ствующей, если скалярное произведение главного вектора на главный момент равно нулю. В нашем случае это имеет место: (F • L) = F L + F L + F L = 0. X X y y 2 Z Выберем начало координат так, чтобы х = у = 0, т. е. чтобы ось г' проходила через центр тяжести объема. Тогда все со­ ставляющие момента будут равны нулю. Таким образом, система сил, действующих на тело, погру­ женное в однородную несжимаемую жидкость, находящуюся в поле сил тяжести, статически эквивалентна одной силе, равной по величине весу жидкости в объеме тела и направленной вер­ тикально вверх, причем линия действия этой силы проходит че­ рез центр тяжести объема тела. с с Ч а с т ь III. ГИДРОМЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Будем предполагать, что жидкость идеальна, нетеплопровод­ на и объемные источники тепла отсутствуют. Это означает, что г,, = —np, t = ty = t = 0, e = 0. Система уравнений гидромеханики идеальной нетеплопро­ водной жидкости была получена в главе VII (формулы (1.5)). В этих уравнениях теперь следует положить 8 = 0. x z ГЛАВА X ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ При определенных условиях некоторые из уравнений системы могут быть проинтегрированы. Эти условия имеют достаточно общий характер и оказываются выполненными во многих раз­ ных по характеру задачах. Полученные соотношения — интег­ ралы системы уравнений — часто бывает более удобно исполь­ зовать при исследовании задач, чем исходные уравнения. § 1. АДИАБАТА Движение жидкости называется адиабатическим, если жид­ кость не приобретает тепла извне и не отдает его. Предположе­ ния, принятые в этом разделе (t = 0, е = 0), означают, что мы рассматриваем адиабатические движения. 108 Выпишем уравнение неразрывности и уравнение энергии ^ - + pdivv = 0; (1.1) р Ц - + pdivv = 0. (1.2) Найдя divv из (1.1) и подставив ее в (1.2), получим р dt u p dt [1 й ' -> Внутренняя энергия с учетом уравнения состояния может быть представлена как функция р и р. Принимая это во внима­ ние, можем переписать (1.3) в виде H (дЕ_ dp_.dE_ dp\ U p dt "•" dp dt ) или Отсюда ~ U ' + (»f-9^ = »- dE dp f сУ? dp d< "" " L p _ p dp p dt dp dp л p ^ j*£ p _ d£ p dp dE dp <'•«> 2 (1.5) Правая часть (1.5)—известная функция р и р, обозначим ее через Q(p, p): % = Q(P,9)- (1.50 Уравнение (1.50—обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно связывает изменение давления с измене­ нием плотности в движущейся частице, поскольку уравне­ ние (1.5) получено из уравнения (1.4), в которое входили пол­ ные производные —jj и -£-. Проинтегрировав (1.5), получим Р(р,р) = С. (1.6) Здесь С — постоянная интегрирования, сохраняющая свое зна­ чение для движущейся частицы. При переходе от одной частицы к другой значение С может изменяться. Если бы движение рас­ сматривалось в переменных Лагранжа (a, b,c,t), то можно было бы записать С = С (а, Ь, с). Равенство (1.6) означает, что плотность в движущейся час­ тице является функцией одного только давления: Р = Ф(Р, с), (1.6') т. е. имеется баротропность для частиц. Интеграл (1.6) назы­ вается адиабатой. Возможны случаи, когда постоянная С, входящая в (1.6), постоянна для некоторой совокупности частиц. Так, для 109 установившегося движения С имеет постоянное значение на ли­ нии тока. Действительно, при установившемся движении траекто­ рии и линии тока совпадают. Возьмем точку М на линии тока, в ней постоянны давление рм и плотность рм-Для любой частицы, прошедшей через эту точку, можно записать С = @~(р , рм)Для частиц, движущихся вдоль линии тока, проходящей через точку М, будет справедливо равенство &~(р, р) = &~(рм, рм)Таким образом, для установившегося течения имеется баротропность на линии тока. Встречаются случаи движения, когда по­ стоянная С одинакова для всех частиц жидкости, т. е. имеется баротропность во всем пространстве, занятом жидкостью. П р и м е р . Адиабата Пуассона. Рассмотрим газ, подчиняю­ щийся уравнению Клапейрона м Т Р=Ъ (-£"=*)• (1-7) Пусть c и Ср — теплоемкость газа при постоянном объеме и по­ стоянном давлении; предполагается, что они постоянны. В этом случае внутренняя энергия (1.8) E = cJ. v п Учтем известное соотношение с„ — с„ = —(1.7) через р и р, подставим Г в (1.8): Е= ?*—£•, или £ = L <-р — v Р ^ — 1 и, выразив Т из Р Р ' (1-9) Отношение c /c = k называют показателем адиабаты. Уравне­ ние (1.5) при таком выражении для Е примет вид p v # = *£• ^ > Интегрируя последнее уравнение, получаем соотношение, кото­ рое называют адиабатой Пуассона: /> = Ср\ (1.11) Соотношение (1.11) имеет место в частице. Постоянная С мо­ жет изменяться от частицы к частице. При установившемся дви­ жении С (т. е. р/р ) постоянна на линии тока. З а м е ч а н и е . Предположение о постоянстве с и c , при котором получено соотношение (1.11), справедливо в опреде­ ленном диапазоне температур, зависящем от физических свойств с„ R газа. Величина показателя адиабаты k = — = 1 -\ зависит к р Cv v Cv от структуры молекул, составляющих газ: для одноатомных га3 5 зов с„ — у-ft и &=-5-; для двухатомных, когда энергию коле­ бательного движения молекул практически можно не учиты5 г, и 7 вать, c = r-R и /г = -г и т. д. ПО v 1 § 2. ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ Предположим, что жидкость идеальна, массовые силы кон­ сервативны, движение установившееся, имеет место баротропность на линии тока. Так как жидкость идеальна, то уравнение движения 5- = F _l g r a d p . (2-D Так как массовые силы консервативны, то F = -gradl/ (2.2) и уравнение (2.1) можно переписать в виде -g- = - g r a d V - i g r a d p . (2.3) Предположение о баротропностн на линии тока означает, что Р = Ф(Р, С), (2.4) где С постоянна на линии тока. При установившемся движении траектории и линии тока совпадают. Обозначим через dr(dx,dy,dz) элементарное пере­ мещение вдоль линии тока и умножим скалярно все члены (2.3) на dr: -^ • dr= — grad V • dr grad p-dr. (2.5) Так как линия тока является и траекторией, то v £- = ' Кроме того, £-dr = dv.v=±d(vv) = d(^). grad V ' dr = dV, grad p • dr = dp. (2.6) (2.7) Подставив (2.6) и (2.7) в (2.5), получим d(^) = -dV-±dp. (2.8) Имея в виду (2.4), введем функцию Р (р, С): С учетом (2.9) равенство (2.8) можно переписать в виде d(^ + V + P)=0. (2.10) Отсюда -£- + V + Р = const. (2.11) Равенства (2.10) и (2.11) имеют место на любой линии тока, но постоянная в правой части (2.11) может изменяться при 111 переходе от одной линии тока к другой. Равенство (2.11) назы­ вают интегралом Бернулли. Рассмотрим интеграл Бернулли для двух важных случаев. 1. О д н о р о д н а я н е с ж и м а е м а я ж и д к о с т ь . В этом случае р — заданная постоянная и Р(р)=\ —— — (р — ро)J Р., Р Р Интеграл Бернулли примет вид F = T-+ + 7 c ( 2 Л 2 ) - Если массовые силы — силы тяжести, то V = gz и интеграл Бернулли в этом случае или Отдельные слагаемые в (2.14) имеют размерность длины и называются соответственно: -=- = п — скоростной, z — геометри­ с ческой, — пьезометрической высотами. Равенство (2.14) позволяет дать такую формулировку интергала Бернулли: при движении однородной несжимаемой жидкости в поле сил тя­ жести сумма скоростной, пьезометрической и геометрической высот постоянна вдоль линии тока. 2. С о в е р ш е н н ы й г а з . В этом случае уравнение состояния есть уравнение Клапейрона р = —- р7\ с = const. При сде­ ланных в этой главе предположениях имеет место адиабата Пуассона (1.11). Введем новую постоянную D = С '*. Тогда 1 k S- = D , l k - = Dp- ' . (2.15) Учитывая (2.15), вычисляем Р(р): [ P{p)^\^=\D -^dp = D ^ ~^= ^ ^. P T TP T T (2.16) Подставив (2.16) в (2.11), получим интеграл Бернулли в виде V ^+ C + T^i = - (2.17) Из физики известно, что производная -£- равна квадрату ско­ рости звука. В случае адиабатического процесса можно убе­ диться, что cC- = -j- = k — . Таким образом, Х + 112 К +Т^Т = С - 18 (2- ) Эта формула является одной из важных формул газовой ди­ намики. В газовой динамике обычно массовые силы не учиты­ вают, а постоянную С обозначают через to- В этом случае ин­ теграл Бернулли принимает вид Здесь v — скорость газа, а — скорость звука в той же точке. Чтобы определить постоянную в правой части (2.19), доста­ точно знать характеристики в какой-либо одной точке линии тока. Из (2.19) следует, что скорость звука и температура, а с учетом (2.15), и давление и плотность будут максимальными на линии тока в точке, где скорость равна нулю. Эти величины обычно обозначают через а , Т , р , р и называют параметрами адиабатически заторможенного газа (параметрами торможе­ ния). Величину I = —— = с Т = -г—г— называют энтальпией г ' J п k—\ k— 1 р Р (теплосодержанием). Соответственно постоянную < в правой части интеграла (2.19) называют энтальпией торможения. По­ ложив в (2.19) скорость v = О, получим выражение для i через параметры заторможенного газа: а • _ ° k — k DT — P o Может случиться, что в некоторой точке скорость газа ока­ жется равной скорости распространения звука в данном месте, т. е. v = а = о*. Полагая в (2.19) v — а — а», получаем выра­ жение to через критическую скорость а*. 2 2 a 0 — a 2 "т" А— 1 k+ \ 2 а k— \ 2" Соответственно интеграл Бернулли запишется в виде 2 2 v a 2 ~ k—l 2 k+ 1 а k—\ 2 Из этого равенства следует: если v > а*, то тогда v > а, т. е. поток сверхзвуковой; если v < а», то v < а, т. е. поток дозвуковой. Поэтому ско­ рость о* и называют критической. § 3. ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ В СЛУЧАЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С УСЛОЖНЕННОЙ ТЕРМОДИНАМИКОЙ В термодинамике энтальпия единицы массы газа определяет­ ся выражением i*=E + p±. (3.1) 113 Следовательно, при малых изменениях параметров состояния di = dE + pd(j) Р) +' dp_ р 1 ) На основании первого начала термодинамики сумма dE + pd (— равна притоку тепла dq к системе. Если приток тепла к системе или отвод тепла от нее отсутствует, т. е. если процесс адиаба­ тический, то dq = 0 и d/ = ——. Таким образом, для адиабати­ ческого процесса равенство (2.8) (при отсутствии массовых сил) можно записать в виде d-^--\-di = Q и соответственно интеграл Бернулли — в виде ^- + l = k, (3.2) где ('о — значение энтальпии при v — 0. Если ввести в (3.2) выражение (3.1) для i, то будем иметь Здесь Е — внутренняя энергия, складывающаяся в случае мно­ гоатомного газа из энергии поступательного Е , вращательного £ и колебательного Е движений молекул (предполагается, что нет процессов диссоциации, ионизации и др.). В газовой дина­ мике предполагают, что газ совершенный, а теплоемкость обыч­ но считают постоянной, что справедливо в определенном диапа­ зоне температур, когда можно не учитывать колебательную энергию. В этом случае для двухатомных газов (воздух обычно рассматривают как смесь кислорода и азота) Е = Е -f- Е* = п в к п и э н т а л ь п и я —ь 1 — = 6 — 1^ Дается формулой (2.16), а ин­ теграл Бернулли имеет вид (2.17) (при V = 0). Если темпера­ туры таковы, что возбуждается и колебательная энергия Е , то интеграл Бернулли надо писать в виде к -£ + £„ + £„ + £, + -£.=:,•„. Для газа, находящегося в состоянии термодинамического рав­ новесия, колебательная энергия есть функция температуры Т, но при этом теплоемкость колебательных степеней свободы, а сле, с р с с рп + рв 4" Срк довательно, и к == — = -г -тзависят от Т. Для двухатомного газа в предположении, что молекулы — гармонические осцилляторы, выражение для колебательной энер/?9 гии имеет вид Е = - ^ . Величина 6, имеющая размерность температуры и называемая часто характеристической темперак 114 турой, равна 0 = ~j—. где v — частота колебаний, h—• постоян­ ная Планка, а к — постоянная Больцмапа. Интеграл Бернулли для двухатомного однокомпонентного газа с учетом возбуждения колебательной энергии будет иметь вид Интеграл Бернулли может быть использован и при исследо­ вании неравновесных процессов. Чаще всего неравновесным ока­ зывается процесс, связанный с изменением колебательной энергии, так как колебательная энергия достигает своего равно­ весного значения значительно медленнее, чем энергия поступа­ тельного и вращательного движений. В этом случае энергия колебательного движения £" уже не будет функцией темпера­ туры, а будет новой неизвестной функцией. Интеграл Бернулли при этом записывается в виде -£ + у RT + El = гоДля того чтобы система уравнений гидромеханики оказалась замкнутой, должно быть построено дополнительное уравнение для отыскания £]J. В случае, если колебательная энергия мало отклоняется от своего равновесного значения Е (Т) (т. е. рас­ сматривается слабонеравновесный процесс), это уравнение име­ ет вид К Здесь Е (Т)—равновесное значение Е , соответствующее дан­ ной температуре Т\ Ек — фактическое (искомое) значение ко­ лебательной энергии. Величина т, имеющая размерность времени, называется временем релаксации и характеризует бы­ строту, с которой система приходит в состояние равновесия. Обычно величина т есть функция р и Т. Если двухатомные мо­ лекулы можно представить как гармонические осцилляторы, то для однокомпонентного газа это уравнение справедливо и при больших отклонениях от равновесия. К к § 4. ДВА ПРИМЕРА НА ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА БЕРНУЛЛИ 1. И с т е ч е н и е н е с ж и м а е м о й ж и д к о с т и ч е р е з м а л о е о т в е р с т и е . Рассмотрим истечение жидкости из со­ суда через отверстие. Будем считать, что отверстие расположено вблизи дна (рис. 12). Жидкость предположим несжимаемой и находящейся в поле сил тяжести. Пусть S — площадь откры­ той поверхности жидкости в сосуде, s — площадь отверстия, Н — уровень жидкости в сосуде. 115 Предполагаем, что s/S «С 1. Когда отверстие открыто, то уровень в сосуде понижается, хотя и медленно. Возникающее течение будет неустановившимся, но медленно изменяющимся во времени (s/S мало). Это движение можно приближенно рас­ сматривать как последовательную смену установившихся дви­ жений. Такая трактовка неустановившихся движений носит на­ звание квазистационарной трактовки, или квазистационарного подхода. При таком подходе можем записать интеграл Бер­ нулли, который для несжимаемой жидкости при V = gz для любой линии тока имеет вид (2.13). Рассмотрим линию тока АВ, проходящую через точку А по­ верхности S и точку В в сечении s. Записав интеграл Бернулли для точек А и В этой линии, будем иметь A , РА , „ l Рв v V + Принимая, что давление в точках А и В равно атмосферному р = рв = р , получаем А V y A 3 R Рис. 12. Уравнение неразрывности (постоянство расхода) приводит к соотношению v S = v s. A B Из последних двух равенств найдем скорость истечения жидко­ сти из сосуда Г~22gH 2 s /S* ' Так как s/S. £ = |* достигает максимума. При » дальнейшем уменьшении | величина q уменьшается, обращаясь в нуль при 1 = 0 (рис. 14). Эксперименты под­ тверждают справедливость зависимо­ сти g{l) лишь для I > I*. При | < |* в действительности расход остается по­ стоянным, равным максимальному. Максимальное значение расхода q* = = q(£,*) достигается, когда скорость истечения оказывается равной скорости звука. Дальнейшее понижение давления р уже не оказывает влияния на истечение из отверстия — возмущения из внешней среды не проникают внутрь (скорость распростране­ ния возмущений — скорость звука — будет меньше скорости газа 117 в струе). При g < !*, когда струя становится сверхзвуковой, предположение об одномерности течения оказывается неверным, надо учитывать пространственный характер течения. § 5. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА В ФОРМЕ ГРОМЕКИ — ЛЭМБА Выпишем уравнение Эйлера 4f = F-lgradp. (5.1) Введем в рассмотрение оператор V и скалярное произведение vV: v ==0 +0 + 0 -* *-k »-k (5 *-b' 2) " Применим оператор (5.2) к вектору скорости v: (vV)-v =v +v x J 7 y W +v (5.3) z l I и используем (5.3) при записи вектора ускорения -п- в уравне­ нии (5.1): dv д\ . , ™ ^T = ^ + ( v - V ) . |L + ( v v> . )v = F-lgradp. (5.4) V Легко проверить следующее тождество: (v • V) v = grad (-J-) - v X rot v. (5.5) С учетом (5.5) уравнение Эйлера (5.4) запишется в виде -^- 4- grad (-^-) — v X r o t v = F — — grad p. (5.6) Уравнение (5.6) — уравнение Эйлера в форме Громеки — Лэмба. Запишем (5.6) в проекциях на оси, используя обозначе­ ние rot v = Q: dt ^ dx \2 ) (V z v y^ zU ) —r y x p 2 dv d / v \ u x , 1 dp '' dtj{ \ T2))- ( « ^ A ^ - »"*"" A ) = '^У - -р ^ду , z dt x (5.6') z; + ^(T-)-(^—A)-=F -l|f.. dt 2 d a 2 Здесь v = v -+- с* + f i /do 118 z di^N ./, которое следует и непосредственно из (6.1). 119 ' 2) § 7. ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА Сделаем предположения: 1) жидкость идеальна; 2) имеется баротропность во всем пространстве, занятом жидкостью, т. е. р = ф(р); 3) массовые силы консервативны; 4) движение без­ вихревое. Для безвихревого движения идеальной жидкости уравнение (5.6) принимает вид -gf+grad(-|-) = F - - g r a d / ? . (7.1) Так как жидкость баротропна, то может быть введена функция y g r a d p = gradP. Предположение 3) означает, что F = — gradV. (7.3) (7.4) Из предположения 4) следует, что v = gradcp, - | j - = grad-^-. (7.5) Подставив (7.3), (7.4), (7.5) в (7.1), получим d(^- gra + ^-+V + P) = 0. (7.6) Из равенства (7.6) следует, что выражение в скобках не зави­ сит от координат, но может зависеть от времени: ^f- + £+V + P = f(f). (7.7) Полученное соотношение носит название интеграла Лагранжа. Интеграл Лагранжа можно записать в виде If + Т[(£У+(£•)'+(S01+ '' + <' W-/W. (7.8) Предположим, что мы нашли (x,y,z,t)—потенциал скоростей, то любая функция вида ф' = Ф + 5 ( 0 также есть потенциал скоростей (gradф' = = gradф). Пользуясь этим, можно ввести функцию ф так, что 120 Интеграл Лагранжа запишется в виде ^ + ^ + V + P(p) = 0. Сравним интеграл Лагранжа и интеграл Бернулли. Как мы видели, уравнение Эйлера при соответствующих условиях при­ водит к этим интегралам. Интеграл Лагранжа в некотором смысле более общий, чем интеграл Бернулли, так как годится и для неустановившихся движений. Но он менее общий в том смысле, что требует безвихревого движения и полной баротропности (в интеграле Бернулли достаточно баротропности только на линии тока). Область действия этих интегралов разная. § 8. ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА-БЕРНУЛЛИ Предположим, что жидкость идеальна, баротропна, массовые силы имеют потенциал, движение безвихревое и установившее­ ся. Первые четыре предположения позволяют написать интеграл Лагранжа ^• + ^ + V + P = f(t). (8.1) Так как движение установившееся, то v , v , v , а следователь­ но, и ф не зависят от времени, т. е. ср = ф(х, у, z). Тогда -£• вы­ падает из (8.1), и f(t) переходит в постоянную. Имеем x y z ~ + V + P = C. (8.2) Интеграл (8.2) носит название интеграла Эйлера — Бернулли. Здесь постоянная С одна и та же для всего потока в отличие от интеграла Бернулли, в котором постоянная С на разных линиях тока различна. § 9. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ 1. Н е с ж и м а е м а я ж и д к о с т ь . Уравнение неразрывно­ сти для несжимаемой жидкости ду ду дх ~> ду х у ду _ ~> dz ~ ' г Так как движение потенциально, то дш x дх дф у да> г ду dz Подставляя v , v , v в уравнение неразрывности, получаем уравнение для потенциала скоростей несжимаемой жидкости x y z 2 2 2 д Ф , д <р . а ф _ дх "> ду- "•" дг ~~~ • п 2 2 Уравнение для ф есть уравнение Лапласа, 121 2. С ж и м а е м а я ж и д к о с т ь . Рассматриваем безвихревое движение идеальной баротропной жидкости. Считаем, что мас­ совые силы отсутствуют. В силу этих предположений можем на­ писать v = graa>; (9.1) Р = Ф (/»); (9.2) 1 К 4 + $ ^ = °- (9-3) Интеграл Лагранжа (9.3) заменяет уравнение Эйлера. К урав­ нениям (9.1), (9.2), (9.3) следует присоединить уравнение не­ разрывности 4?- + pdivv = 0. (9.4) Наша задача — получить уравнение для потенциала стей ф. Из (9.1) следует, что 2 Из (9.2), вводя скорость звука а = -~, rfp dp dp dp 1 скоро­ получаем dp (9.6) ~Ж ~~ ~dp ЧГ ~ ~a? ~dT ' Уравнение неразрывности (9.4) согласно (9.5) и (9.6) можно переписать в виде Д 9 Ф + ^ - р - 1 = °- ( -7) Из интеграла Лагранжа (9.3) следует Эф ±1 4dp£ . _ 4 -dГ 4f «Ь + .£). (9.8) == Подставим (9.8) в (9.7). С учетом равенства -^ = -^- + v • grad f будем иметь м А*-М£(#+Т-)+'-««О(&+Т)]-О- <> Здесь 2 2 ! 9 10 »'=(£)*+(f) +(t) ' « - t = w - <-> 2 < ле Из (9.3) следует, что р есть функция суммы ( т ^ + у " ) - " " довательно, а? есть функция производных от ф. Таким образом, уравнение (9.9) есть уравнение для потенциала скоростей ф. 122 2 Введем в (9.9) выражение (9.10) для и . Окончательно будем иметь з 1_ V"i 2 . 1_ д ф ™ a 2 dt 2 а 2 ду з 2_ V"» д<р_ д ф г дер г дф Z_/ 5А:, дх, 2 дх.дх, a Lu дх, „ dx.dt (9.11) Частные производные второго порядка в уравнение (9.11) вхо­ дят линейно, коэффициенты при них зависят от производных первого порядка. Уравнения, линейные относительно старших производных, называются квазилинейными. Уравнение (9.1 П служит для нахождения ср. После того как ср найдено, из (9.3) найдем р, а затем р = Ф(р). Предположим, что движение установившееся. В этом случае -^- = 0 и уравнение (9.11) для потенциала ср принимает вид д _-1_ f *L *L - ^ т Ь = °- ф т 2 a Z-i дх, t,l=i ' ' (9.12) v дх, дх.дх, ' ' Введем обозначение i = i, (I, и перепишем уравнение (9.12) в виде У ( \^*L)*L- 6 L-i V ' I, 1=1 а' дх, дх.) ' дх.дх, ' = 0t или I I, / = 1 ' ' Обозначим определитель, составленный из коэффициентов ац, через D = det || а-,-, ||. В зависимости от знака D различают три типа уравнений (9.13): эллиптические уравнения, если D > 0; гиперболические уравнения, если D < 0; параболические, если D = 0. Непосредственно можно убедиться, что в нашем случае определитель D оказывается равным „_,_«>. м>-±£($-у-£. (9Л4) Таким образом, уравнения являются эллиптическими, если М < 1, т. е. о < а, — скорость потока меньше скорости звука; уравнения гиперболические, если М >> 1, т. е. v > а, — скорость потока больше скорости звука. Ч а с т н ы й с л у ч а й . Рассмотрим задачу о распространении малых возмущений в сжимаемой жидкости. Пусть эти возмущения 123 возникают в находящемся в равновесии покоящемся газе. Обозначим через р , ро, ^о. где а = -~\ , параметры газа при 2 °Р Ф-Ро v = 0. Гидродинамические величины можно в этом случае за­ писать в виде v = v', p = Po + p', Р = Ро + р', (9-15) где v', р', р' — малые возмущения скорости, давления и плот­ ности. Так как рассматривается потенциальное движение, то v = gradcp, где ср — потенциал возмущенного движения (v = v' = grad ф). Отбрасывая в уравнении (9.11) члены, со­ держащие малые величины в степени выше первой, получаем Ц &± + 2 Ц_^э^ 2 2 (9.16) d t дх ду dz 4 Уравнение (9.16) —классическое волновое уравнение. Величина а — скорость распространения звука в покоящемся газе. Найдя Ф из решения (9.16), определим скорость v = §гаёф. Определим давление, используя интеграл Лагранжа: р' = р _ р = _ р - | 2 . . (9.17) Так как жидкость баротропна, то р = Ф(р), и можно найти р': L4 p' = p - p = f4 ) (P-PO) = -TP'. (9Л8) V dp ; , al Давление и плотность также удовлетворяют волновому урав­ нению. В этом нетрудно убедиться, дифференцируя (9.16) по t и используя формулы (9.17) и (9.18). Заметим, что волновое уравнение для р и р можно получить непосредственно из си­ стемы уравнений идеальной сжимаемой жидкости. Подставив в систему соотношения (9.15) и исключив из уравнений, напри­ мер, v' и р', получим волновое уравнение для р'. Волновое уравнение (9.16) описывает распространение воз­ мущений со скоростью а . Проще всего в этом убедиться, рас­ сматривая частные решения уравнения, зависящие только от х и /. В этом случае (9.16) принимает вид p = p ^ _ 4 ^ Р - = 0. 2 дх ( 9 Л 9 ) 2 v а\ dt ' Общее решение уравнения (9.19) Ф = f, (х - a t) + f (x + a t) (9.20) (/ь /2 — произвольные функции) описывает распространение двух волн, движущихся в противоположных направлениях со скоростью а . Таким образом, скорость звука можно интерпрети­ ровать как скорость распространения малых возмущений в по­ коящемся газе. Законы распространения звука в движущейся и покоящейся средах изучает акустика. 124 2 ГЛАВА X! ОБОБЩЕННЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ В данной главе рассматривается задача о течении газа в тру­ бе, поперечное сечение которой F(x) меняется медленно вдоль оси трубы х. В этом случае можно построить приближенное ре­ шение указанной задачи, используя тот факт, что составляющая скорости v изменяется мало по сечению трубы и поперечные x dvy dv 2 ускорения —гг-, —тг малы. § 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ Выпишем систему уравнений, считая, что жидкость баротропна и массовые силы отсутствуют: * J , „ dv , x dv x toy dt = dv dt z £ . dv x _ 1 dp . ,. n 1 dp , p ду ' (1.2) 1_ dp p dz ' (1.3) # + ' . £ + ' . £ + ' . £ + P<«vv-0; (1.4) р = Ф(р). (1.5) Предположим, что поперечными ускорениями dv y ~jf dv z ~HT можно пренебречь по сравнению с—тг-. Тогда из формул (1.2), dv y dv z (1.3), если в них положить—тг-= -т— = 0, получим приближен­ ные равенства f = о. If-о- (1-е) Из равенств (1.6) следует, что давление р, а из (1.5), что и плотность р зависят только от х и t, т. е. p = p(x,t), p = p (*,/). (1.7) Предположим, что v также есть функция только х и t, т. е. что оставшимся уравнениям можно удовлетворить, положив x «, = »*(*, 0- (1.8) 125 Система уравнений (1.1) — (1.5) в силу (1.7) и (1.8) примет вид dv , .. dv dvx -^ dt + О х дх (dv dp dx dx x dp dt x l dp (1.9) ш = - ^ Гр -dx ' dv dy x u >b7 ' (1.10) 0; + (1.11) В этой системе три уравнения и пять неизвестных функций. Пре­ образуем уравнение (1.10) так, чтобы из него исчезли v„ и v , и тем самым получим систему трех уравнений для определения интересующих нас величин (1.7) и (1.8). z '^^т Рис. 15. Проинтегрируем уравнение (1.10) по поперечному сечению трубы F: г г Г do dp dv ('dv x dv \~] u z y m ^ + *a7 + P ^ + p ( ^ + ^ ) J r f S = °- (1.12) F Три первых слагаемых не зависят от у и г, поэтому (1.12) мож­ но переписать в виде F Преобразуем интеграл в формуле (1.13). Учитывая, что р постоянно по сечению: р = p(x,t), и вводя вектор поперечной скорости u = v,j] -\- v k, получаем e р SS йг+ж) F dS=p SS d i v udS=p F § Undl (1 l4) • I Перемещение частиц за время At можно представить как сумму перемещения вдоль оси х на расстояние Ах = v At и перемеще­ ния в поперечной плоскости u At (рис. 15). Частицы с контура / перейдут на контур V. Расстояние по нормали от / до V равно An = u At. Изменение площади равно площади кольца x n taF2£§bndls*to§u dl, n 126 §u dl= n lim ~ = ^f- 15 (I- ) Заменяя в (1.13) согласно (1.14) двойной интеграл криволиней­ ным и учитывая (1.15), получаем 16 "{% + '•&+'%)+'%-<>• , г <'- > dF dF Считая, что труоа не деформируется, т. е. —т- = v -~— , запи­ шем (1.16) в виде x Отсюда окончательно получим F^-+-^( v F) P = 0. x (1.18) Уравнения (1.18), (1.9) и (1.11) образуют систему уравнений для отыскания v , p, р. Для установившихся течений эта система приобретает вид x ^ ( p , F ) = 0, y O ^+ l | £ . x e , р = Ф(р). (1.19) Уравнения (1.19) могут быть легко проинтегрированы. Решение задачи об одномерном установившемся движении жидкости по­ лучим в виде pFv = C x u ^- + \ ^ = С, р-Ф(р). 2 (1.20) Второе уравнение в (1.20) есть запись интеграла Бернулли для полученного приближенного решения задачи. Пренебрежение поперечными ускорениями, принятое вначале, равносильно тому, что в выражении для v мы пренебрегаем величиной v -\- v по сравнению с v\. Так, например, если взять трубу с углом полураствора а, таким, что t g a < 0 , l , то (у -\- v )/v < 0,01, т. е. указанное рассмотрение дает точность порядка одного процента. 2 2 2 z 2 2 у 2 z x § 2. ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ Для несжимаемой жидкости р = р — const. F — F(x) задана. Решение имеет вид v F = A, x ^- + ^ = В, Площадь р= . (2.1) Ро Отсюда 0, = 4« Р = р(в--^) = р ( в - ^ ) . (2.2) Постоянные Л и В определяются по заданным характеристикам в некотором сечении. Так, при х = х (F (х) = F (х ) = F ) 127 v должны быть заданы ^ .l = !> Р\ - , — Ро- Вместо скорости можно задать расход Q = p a ^ . Из решения видно, что с уве­ личением сечения F скорость v убывает, давление возрастает. A v х х x § 3. ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ. СОПЛО ЛАВАЛЯ Формулы (1.20) дают общее решение задачи. Постоянные, содержащиеся в этом решении, находятся по данным гидродина­ мическим элементам в некотором сечении. Постоянная С = = Q — расход жидкости. Из (1.20) все интересующие нас ве­ личины v , р, р могут быть .найдены в любом сечении F = F(x). Решение закончено. Однако здесь интересно исследовать харак­ тер течения. Для этого прологарифмируем и затем продиффе­ ренцируем первое равенство из (1.20), а второе равенство запишем в дифференциальном виде. Тогда будем иметь { x d _^dv dF . S JL+ =0 ( З Л ) Р v dv + -& = 0. x (3.2) x Используя соотношение р = Ф(р), можем найти -£-. Известно, 2 2 что -jP- = a — квадрат скорости звука. Подставляя dp = a dp в уравнение (3.2), получаем a^=-v dv , x ^-^-^dv . x (3.3) x Равенство (3.1) с учетом (3.3) можно переписать в виде ( v\ \ di< dF Соотношение (3.4) позволяет сделать ряд выводов. Будем для определенности считать ~о > 0. Знак скобки в (3.4) зависит от того, с каким течением мы имеем дело. 1. Пусть М = - ^ - < 1,т. е. v < а,— скорость течения мень­ ше скорости звука. Тогда если площадь F уменьшается, dF < 0, то dv > 0 — скорость увеличивается. Если dF>0 — сечение увеличивается, то dv < 0 — скорость уменьшается. 2. Пусть М = - ^ - > 1, г. е. v > а,— скорость потока больше скорости звука. В этом случае если dF < 0, то и dv < 0, т. е. с уменьшением сечения уменьшается скорость. Если dF > 0, то и dv > 0 — увеличение сечения ведет к увеличению скорости. Таким образом, в дозвуковом потоке, как и в несжимаемой жидкости, уменьшение сечения ведет к увеличению скорости, и х x x x x x x 128 наоборот. В сверхзвуковом потоке скорость увеличивается, если растет площадь сечения. Если скорость в потоке равна скорости звука (V = CL), то из (3.4) следует, что dF = 0, т. е. это воз­ можно лишь в сечении, где F(х) имеет экстремум. С этими рас­ суждениями связана гидродинамика сопла Лаваля — трубы, которая служит для перевода дозвукового потока, т. е. потока с малой скоростью, в сверхзвуковой поток. Чтобы получить пере­ ход от дозвукового потока к сверхзвуковому, труба должна иметь суживающуюся (конфузорную) часть, в которой скорость потока увеличивается до скорости звука в минимальном сече­ нии, и затем расширяющуюся, в которой мог бы ускоряться сверхзвуковой поток. В минимальном сечении v = а, т. е. А\ = 1. Скорость потока, равную скорости звука в данном месте, называют критической. X x ГЛАВА XII ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Течение называется плоским, если все частицы движутся па­ раллельно некоторой плоскости, причем скорости частиц в соот­ ветствующих точках плоскостей, параллельных этой фиксиро­ ванной плоскости, одинаковы по величине и направлению. Очевидно, в этом случае достаточно рассмотреть течение в од­ ной плоскости, которую можно принять за плоскость (х, у). При таком выборе системы координат все величины будут зависеть только от координат х, у. Это означает, что v = 0, -г- = 0. Так z как течение предполагается установившимся, т о - э т = 0 . Сле­ дует иметь в виду, что, говоря о течении в плоскости, мы фак­ тически рассматриваем течение в слое между плоскостью (х, у) и ей параллельной. Так, например, обтеканию контура в пло­ скости (х, у) соответствует в пространстве обтекание цилиндра, для которого контур в плоскости (х, у) является направляющей. § 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ Так как жидкость несжимаема, то плотность постоянна и должна быть известна: р = ро. Искомые функции v = v (x,y), v = v (x,y), p = p( ,y), E = E(x, у). (1.1) x x v y x Уравнениями плоской задачи являются уравнение неразрыв­ ности, уравнения Эйлера в проекциях на оси х и у и уравнение энергии. Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид dv dv x u -J7- + HF = °- 0-2) Будем считать, что массовые силы консервативны или отсутст­ вуют. Тогда при предположениях, сделанных в данной главе, справедлив интеграл Эйлера — Бернулли. Поэтому вместо урав­ нений Эйлера используем условие отсутствия вихря и интеграл Эйлера — Бернулли. Условие отсутствия вихря rot v = 0 для плоского движения, когда Q = kQ , приводит к равенству z ди dv ц x = -зГ—з}Г Интеграл Эйлера — Бернулли имеет вид 2 V2 +i V.. y -^ 130 J L r ( L 3 ) р + j+V = C. (1.4) Уравнение энергии для несжимаемой жидкости, если нет притока тепла, дает (1-5) 4f = ' т. е. для несжимаемой жидкости энергия в частице сохраняется. Уравнения (1.2), (1.3) содержат лишь функции v и v . Уравнение (1.4) может быть использовано для нахождения дав­ ления, если известны скорости v и v . x x y y § 2. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ Условие отсутствия вихря имеет вид dv ди u х i L L T - - r = 0. дх ду ' вследствие чего существует функция ц>(х,у), такая, что dq> = v dx + Vydy, x (2-1) ' v (2.2) (2-3) »* = U> ", = £ • Потенциал скоростей несжимаемой жидкости, как уже было по­ казано и ранее, в силу уравнения неразрывности (1.2) удовле­ творяет уравнению Лапласа • ^ L - L - ^ 0 . 2 (2.4) 2 дх ' ду Решение уравнения (2.4) должно удовлетворять граничным условиям. В случае обтекания тел однородным безграничным потоком решение должно быть таким, чтобы на бесконечности скорость потока была равна заданной величине v«, а на поверх­ ности S тела было удовлетворено условие обтекания, т. е. (Эф ~дх~ U oc,X, д ~дп у = 0. (2.5) s Задача нахождения решения уравнения Лапласа по заданному значению нормальной производной па границе называется зада­ чей Неймана. В случае, если область бесконечна, имеем внеш­ нюю задачу Неймана с граничными условиями в виде (2.5). § 3. ФУНКЦИЯ ТОКА Из уравнения неразрывности (1.2) следует dv x ИГ—af5 * dv u (3-D 131 Равенство (3.1)—условие того, что дифференциальная форма v dy — Vydx есть полный дифференциал некоторой функции У(х,у) v dy — Vydx — dty (3.2) x x и, следовательно, (3.3) дх ду Для плоских течений несжимаемой жидкости (вихревых и без­ вихревых) в силу (3.1) всегда существует функция ф. Выпишем уравнение линий тока для плоского случая: dx dy (3.4) Из (3.4) следует (3.5) v dy — v dx = 0. x y Сравнивая (3.5) и (3.2), видим, что вдоль линии тока di|) = 0, if = const. (3.6) Функцию ty(x, у) называют функцией тока. Равенство ty(x, y) = = const дает уравнение линии тока. Различные значения по­ стоянной соответствуют разным линиям тока. Через функцию тока может быть вычислен расход жидкости, протекаю­ щей через кривую АВ (через кусок ци­ линдрической поверхности высотой Дг = = 1 с направляющей АВ). Расход через кривую АВ S \ Рис. 16. B v ds n = А [v cos (n, x) -f v cos (п, у)] ds. (3.7) x y Если dx, dy — проекции элемента кривой ds, то очевидно (рис. 16) (3.8) cos (п, х) = dy ds> cos(«,*/) = - dx . d s Подставляя (3.8) в (3.7) и вычисляя интеграл, получаем B B Q=\ (°xdy-v dx)=\ ($dy A u A + ^dx) = = $*<Л|> = Ч> --Ч> , а Л (3.9) т. е. расход жидкости через кривую равен разности значений функции тока в концах этой кривой. 132 Для плоского течения имеется простая связь между функ­ цией тока и вихрем скорости dv 2 dv y Q. <Э г]5 x дх 2 ду дх 2 <3 t|) 2 ду — А-ф. (3.10) Если движение безвихревое (Q = 0), то тр удовлетворяет урав­ нению Лапласа Aip = 0. (3.11) Уравнение (3.11) служит для нахождения функции гр при соот­ ветствующих граничных условиях. Пусть жидкость обтекает не­ проницаемую поверхность тела. На этой поверхности v = 0. Запишем это условие через функцию тр, используя (3.3) и (3.8): n 3 12 о„ = v cos (С) + v cos (Су) = -Ц- -Й" + -W 4 г = 4 ? " • ( - > Получаем, что на контуре тела должно быть выполнено условие -^- = 0, т.е. -фI« = const — функция тока — сохраняет посто­ янное значение на s. Это означает, что граница тела должна быть линией тока. Физически это очевидно. Таким образом, в случае безвихревого движения функция тока гр может быть найдена как решение уравнения Лапласа (3.11), удовлетворяющее граничным условиям на бесконечности и на поверхности тела: x v -§^ дх = «00*, "Ф (х, у) I, = С. (3.13) Задача отыскания решения уравнения Лапласа по заданному значению функции на границе называется задачей Дирихле. Для внешней задачи Дирихле условия имеют вид (3.13). Обратим внимание еще раз на то, что если потенциал ско­ ростей существует только когда движение безвихревое, то функ­ ция тока существует всегда. При безвихревом движении функ­ ция тока удовлетворяет уравнению Лапласа. § 4. КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И КОМПЛЕКСНАЯ СКОРОСТЬ Мы получили выражения (2.3) и (3.3) для проекций скоро­ сти через производные от функций ср и гр. Сравнивая (2.3) и (3.3), получаем уравнения связи между потенциалом скоростей и функцией тока дх ду ' ду дх ' V•/ Это известные из теории функций комплексного переменного условия Коши — Римана, которые гарантируют, что функция w = ф (х, у) + /гр (*, у) 133 Равенство (3.1)—условие того, что дифференциальная форма v dy — Vydx есть полный дифференциал некоторой функции $(х,у) v dy — v dx = dty (3.2) и, следовательно, x x y <ЭФ (3.3) = °" -d7- ~ ду ' Для плоских течений несжимаемой жидкости (вихревых и без­ вихревых) в силу (3.1) всегда существует функция ф. Выпишем уравнение линий тока для плоского случая: d\j_ dx v (3.4) v y x Из (3.4) следует v dyу- —- vv dx dx — 0. (3.5) yy x Сравнивая (3.5) и (3.2), видим, что вдоль линии тока dtp = 0, гр = const. (3.6) Функцию лр (,г, у) называют функцией тока. Равенство ty(x,y) = = const дает уравнение линии тока. Различные значения по­ стоянной соответствуют разным линиям тока. Через функцию тока может быть вычислен расход жидкости, протекаю­ щей через кривую АВ (через кусок ци­ линдрической поверхности высотой Дг = = 1 с направляющей АВ). Расход через кривую АВ ("О Q = \ v ds = n J A Рис. 16. — \ [v cos (я, x) + Vy cos (n, y)\ ds. (3.7) x J A Если dx, dy — проекции элемента (рис. 16) cos (я, х) = dy_ ds кривой ds, то очевидно COS (ft, у) •• dx (3.8) ~dT' Подставляя (3.8) в (3.7) и вычисляя интеграл, получаем B B Q=\ (v dy-v dx)=\ ^dy A x y A + ^dx)^ - $ * < М > = Ч>а-ч|> , д (3.9) т.е. расход жидкости через кривую равен разности значений функции тока в концах этой кривой. 132 Для плоского течения имеется простая связь между функ­ цией тока и вихрем скорости 9 2 ди <Эф х дх 2 ду 2 <3г|) 2 дх ду Д-ф. (3.10) Если движение безвихревое (Q = 0), то г|з удовлетворяет урав­ нению Лапласа Д-ф = 0. (3.11) Уравнение (3.11) служит для нахождения функции \|i при соот­ ветствующих граничных условиях. Пусть жидкость обтекает не­ проницаемую поверхность тела. На этой поверхности v = 0. Запишем это условие через функцию г|з, используя (3.3) и (3.8): n о„ == v cos (С) x + v cos (Су) = ^ 7 y 4F + 4 г IF = 4 г • Л $ ^ Получаем, что на контуре тела должно быть выполнено условие -д— = 0, т.е. -ф\s = const — функция тока — сохраняет посто­ янное значение на s. Это означает, что граница тела должна быть линией тока. Физически это очевидно. Таким образом, в случае безвихревого движения функция тока г|з может быть найдена как решение уравнения Лапласа (3.11), удовлетворяющее граничным условиям на бесконечности и на поверхности тела: 4J-L—°— w l = o — c *<*'*)i*= - злз <> Задача отыскания решения уравнения Лапласа по заданному значению функции на границе называется задачей Дирихле. Для внешней задачи Дирихле условия имеют вид (3.13). Обратим внимание еще раз на то, что если потенциал ско­ ростей существует только когда движение безвихревое, то функ­ ция тока существует всегда. При безвихревом движении функ­ ция тока удовлетворяет уравнению Лапласа. § 4. КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И КОМПЛЕКСНАЯ СКОРОСТЬ Мы получили выражения (2.3) и (3.3) для проекций скоро­ сти через производные от функций ср и гр. Сравнивая (2.3) и (3.3), получаем уравнения связи между потенциалом скоростей и функцией тока дх ду ' ду дх ' У• > Это известные из теории функций комплексного переменного условия Коши — Римана, которые гарантируют, что функция w = Ф (х, у) + Ц-> (х, у) 133 П р и м е р 3. w{z) = -r~\nz, (5.1) где q вещественно. Рассмотрение этого примера удобнее вести в полярных коор­ динатах г, 8: т z = х + iy — гс , г = | z |, °arg , 2 ш(г) = ф + м|> = -^(1пг + <'е), Ф = ^-1пг, 4» = - ^ в. Линии тока i|) = const будут лучами, выходящими из начала координат. Линии равного потенциала ф = const есть окружно­ сти г = const (рис. 18). =const Рис. 17. З а м е ч а н и е о вычислении скоростей потенциального по­ тока в криволинейных координатах. Пусть имеется потенциал скоростей ф. Тогда v = gradqp, Vi = (V • 1) = V COS (/, x) + V COS (/, y) + V COS (/, Z) = x = 4T dx y C O S l z x ( > ) + 4тг dy COS l ( > y) + ldz£ cos z V> ) = dl Пусть q\, q% q$— криволинейные ортогональные координаты. Элементы дуг dsi, соответствующие приращению координаты qt, равны dsi = Hjdqi, где Я,-— коэффициенты Ламе. Проекции , I <5ф скоростей вычисляются по формулам v = -jf - з — . t 136 Для цилиндрических координат q\ = г, 0 скорость направ­ лена от центра (v > 0), при q < < 0 — к центру (у, <С0). Формула (5.1) дает комплексный потенциал течения от источника (стока), рас­ положенного в начале координат. Выясним смысл величины q. Под­ считаем расход жидкости Q через Рис. 19. контур, охватывающий начало коор­ динат. Записывая интеграл по замк­ нутому контуру как интеграл от А до В, где А и В — совпадаю­ щие точки контура, получим r Q = §v ds=\ dty n = ф — Мр = Л-2п = q. A в А Таким образом, q — обильность источника. При q > 0 имеем источник, при q <. 0 — сток (источник отрицательной обильно­ сти). Если источник расположен не в начале координат, а в точке 2 = а, то комплексный потенциал будет иметь вид w = ln z № ~£r ( ~ ")• П р и м е р 4. Пусть в точке А плоскости (х, у) расположен источник обильности q, в точке В — источник обильности —q (сток), причем комплексные координаты точек (рис. 19) I la Z : 2 z = - e Комплексный потенциал течения, вызываемого каждым из ис­ точников, имеет вид W л(2) = ^ 1 п ( )• е A B w B (z) •• Y J_ n (2 + 4 e'u) . 2л 137 Комплексный потенциал суммарного течения w(z) = w {z) + w {z), A B la е Т w(z) = / - I n *+±." 2л Предположим, мы рассматриваем такую точку г, что | Тогда, раскладывая логарифмы в ряды по —, получаем w(z) 2я In • - ^ ( L ia L pla _|_ e > /. "\ 2я la 2г 2я 2 ' Пусть /-*•(), а обильность q->oo, причем так, чтобы произ­ ведение ql оставалось постоянным: ql = М. Тогда для такого предельного течения комплексный потенциал будет иметь вид <|) = C0Tl5t М 1 ,. 2я z w(z) = (5.2) а Формула (5.2) дает комплексный потенциал течения от расположен­ ного в начале координат диполя с моментом М и осью диполя, обра­ зующей угол а с осью х. Ось ди­ поля принято направлять от стока к источнику. Изучим картину течения от ди­ поля. Не уменьшая общности, поло­ Рис. 20. жим а = 0, т. е. рассмотрим диполь, расположенный в начале координат, ось которого совпадает с осью Ох (рис. 20). Функции w(z), cp, тр будут иметь вид М до (г) = — -х , Ф ' 2я z ' М ф = — 2я х + у 2 х — iy + «|> = — 2я -«=- х + у ' 2 v г|э = 2 2 (5.3) М у 2я х + у ' 2 3 Линии тока i|3 = const есть линии, на которых у _ * + у г 2 ' 2с 2 Х + ( у _ 2 с) = С 2_ Линии тока — окружности, проходящие через начало координат, центры которых лежат на оси у. Аналогично линии равного по­ тенциала ф = const — окружности (х — с) + У — с , прохо­ дящие через начало координат с центрами на оси х. Скорости 2 138 2 2 легко вычислить, имея (5.3). Если а ф О, то вся картина пово­ рачивается на угол а. Если диполь расположен в точке z = a, т о „,(3) = _ _ « , . » _ _ . П р и м е р 5. w (z) = -^j In z. (5.4) В полярных координатах w(z) = ^-(\nr + m =2л ^-e-i2я 2зХ1 ( Р= ^ 9 ' ^= -Ж 1 П Г 1пт, - Линии тока т|з = const есть окружности с центром в начале координат, линии ф = const есть лучи 0 = const (рис. 21). Частицы жидкости переме­ щаются по окружностям со у^ г>о скоростями _ д<р _ «e= s— — 1 дд> _ Г 1 Q — 2я г ' y d s r d Начало координат г = 0 (центр окружностей) является особой точкой. Скорость v > О при Г > О, т. е. положительному значению циркуляции соответ­ ствует движение по окружно­ сти против часовой стрелки. Иногда говорят о «направле­ нии циркуляции», понимая под этим направление движения жидкости (Г > 0 — против ча­ Рис. 21. совой стрелки, Г < 0 — по ча­ совой). Установим смысл величины Г. Возьмем контур /, охватываю­ щий начало координат, и вычислим циркуляцию скорости у по этому контуру: e 2 n v = § ds = §^l-ds = §dcp = \ ^de = r. Vs o 1 Таким образом Г — циркуляция скорости по замкнутому кон­ туру, охватывающему начало координат. Течение, определяемое (5.4), есть течение от вихря. Если вихрь расположен в точке z = а, то комплексный потенциал w ( 2 ) = ~Ш 1 п г а % ( ~ ^ 139 П р и м е р 6. Рассмотрим течение, вызываемое присутствием в начале координат источника и вихря: w (г) = w + w = x 2 In z. 2 п (5.5) Течение, описываемое комплексным потенциалом (5.5), назы­ вается течением от вихреисточнпка. Найдем линии тока в этом течении: •iV (In r + /9), Ф + Ц- •• 2я Ф = -5г-(^1пг + Г8), ф = - L до - Г In г) 2л Линии тока \|) = const есть линии тока, на которых qO — Г In г = — const. Обозначим постоянную через Г In с; тогда —о qQ = г In у , r = ce . v Линии тока — логарифмические спирали. Линии ф = const — также логарифмические спирали, ортогональные к линиям • rip = const. Если вихреисточник расположен в точке а, то W № = ? 2я' 1 п 2 ( ~ ")• § 6. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Пусть круговой цилиндр радиуса R движется со скоростью U в потоке жидкости, имеющем на бесконечности заданную скорость V, причем скорости U и V перпендикулярны оси ци­ линдра. Выбрав плоскость (х, у) перпендикулярно образующим ци­ линдра, получим плоскую задачу о течении жидкости вне круга, дви­ жущегося со скоростью U (U , U , 0) в потоке, имеющем на бесконечности скорость V(V , V ,0). Пусть в на­ чальный момент времени ось ци­ линдра проходит через начало коор­ динат (рис. 22). Так как движение плоское и без­ Рис. 22. вихревое, то существуют комплекс­ ный потенциал w(z) и комплексная dm скорость v(z) = , . Начнем наше рассмотрение с комплексной скорости. Из физических соображений ясно, что функция v(z) = = v — iv должна быть определена во всех точках плоскости x X x 140 y y у (х, у) вне круга радиуса R. Она должна быть всюду однозначна, ограничена и принимать на бесконечности заданные значения. Такая функция комплексного переменного может быть разло­ жена в ряд Лорана по неположительным степеням г: б(2) = с + -5г + 4 + -§-+ ... (6.1) Первый член этого ряда легко находится из условия в беско­ нечно далекой точке D(z)L=V=V -iV . x y При г = оо из (6.1) следует V -iV x = c. u (6.2) Подставляя (6.2) в (6.1), имеем с dw с, — ^ )=,V -iV + - + ^+... (6.3) Проинтегрировав ряд (6.3) по г, получим комплексный потен­ циал v{z x y ш (z) = (V -iV )z x + c In z + V°° y -%-. (6.4) Комплексный потенциал (6.4) обеспечивает выполнение условий на бесконечности при любых значениях постоянных с, с . . . . . . , с , . . . Эти постоянные надо определить так, чтобы было выполнено условие обтекания цилиндра ь п о \s = U*. (Ь.Ь) п Так как движение потенциальное, то v„ = -^-. В полярных координатах г, 0 условие (6.5) на поверхности цилиндра г = R запишется в виде lrL = = / ? ^ c o s 9 sin9 +^ - 6 6 (-) Для того чтобы найти постоянные, входящие в w{z), удобно пе­ рейти в выражении (6.4) к полярным координатам, отделить вещественную и мнимую части ф и ^ и, продифференцировав Ф по г, подставить -г— в (6.6). Полученное равенство будет слу­ жить для определения с, С\, ..., с , ... Искомые коэффициенты будут, вообще говоря, комплекс­ ными. Положим с = А + 1В, с = А + iB , (6.7) z = re (6.8) п п п n ,H 141 и, подставив (6.7) и (6.8) в (6.4), получим w (2) = ф + п|) = (I/, - iV ) r (cosG + isin 6) + М + IB)(In r + /9) + y + (Л, + /ВО 7 (cos 9 - i sin 6) + + У (Л + iB ) 4г (cos пв — i sin «9). п a (6.9) Из (6.9) легко получить выражение для Ф И I|J. Выпишем выражение для ф и производной —— : 1 1 Ф = (V r + 4 ) cos 9 + (V r + 4 ) sin 0 + Л In г x y - в е + У~ ( A cos«e + - ^ •S-=(^-^)cose + (v„-^)sine + e " ) - (6.Ю) 4 - -^-(^„cosne + Положим в (6.11) г ~ R и, подставив -^Ч ния (6.6), будем иметь s i n finsinne). (6.11) в условие обтека­ (Ух-1?) cose + ( y , _ ^ ) s i n e + ^-—Jxr (Л„ cos «9 + Я„ sin «9) = С/, cos 9 + U„ sin 9. (6.12) Справа и слева в (6.12) стоят ряды Фурье. Сравнивая соответ­ ствующие коэффициенты, получим Л = 0, -j±=V , Vx V -^ x = U , Л = В, = 0 (fe = 2,3, ...), y y откуда Л = 0, A = (V -U )R*, 1 X й B = (V -U )R\ X x y y A = B = 0 (6.13) k k (k = 2, 3, . . . ) . Коэффициент В остался не определенным. Введем для него обо­ значение через новую постоянную Г. Положим B = --h- (6-14) Подставляя (6.13) и (6.14) в (6.9), получаем выражение для комплексного потенциала a»(z) = (V —«V )z + - ^ r In 2 + x 142 v . (6.15) Вводя обозначения V -iV „==$„, x V + iV =V , x y U + iU = U, m x y (6.16) запишем решение (6.15) в виде w (г) = V^z + (V 1 Wir + ш **- a (6.17) Это общий вид комплексного потенциала обтекания кругового цилиндра. Он представляет сумму трех слагаемых, из которых VooZ — комплексный потенциал поступательного потока, второе слагаемое — комплексный потенциал течения от диполя, третье — потенциал течения от точечного вихря. Таким образом, течение около цилиндра можно рассматривать как течение, по­ лученное наложением поступа­ тельного потока на поток от диполя н от вихря. Постоянная Г, имеющая смысл интенсивно­ сти вихря, входит в решение как параметр. 1. Пусть обтекается непод­ вижный цилиндр. Тогда U = = 0и ш, (z) = V z+V ^ + v oo 0O + Рис. 23. bu - (6.18) lnz 2. Пусть цилиндр движется в жидкости, покоящейся на бес­ конечности. Тогда v = V = О и x x /? 2 Г (6.19) U— + if-rlnz. 2яг 3. Пусть цилиндр неподвиженг и ' скорость потока в бесконеч­ ности равна нулю. Если U = 0 и v = V = 0, то '^2 {Z) = x w^(z) = x -^r\nz. (6.20) Имеем чисто циркуляционное обтекание цилиндра. О б т е к а н и е н е п о д в и ж н о г о ц и л и н д р а . Займемся анализом картины течения около кругового цилиндра. Будем предполагать, что U = 0, т. е. цилиндр неподвижен и поток на бесконечности направлен вдоль оси х (ось х всегда можно на­ править по направлению скорости в бесконечности). Комплекс­ ный потенциал (6.18) при V = V, V = 0 принимает вид x :J (6.21) Рассмотрим два случая. 143 А. Бесциркуляционное обтекание цилиндра 1' = 0 (рис. 23). В атом случае или ф + fy=V (x + iij + I? - ^ р ^ г ) • (6.22) Отсюда (6.23) Линии тока i|) = const, т, е. .'/('--JTF)= cons ' есть кривые третьего порядка, симметричные относительно оси у. Липни -ф = С) 11 л^ =^ —Cj симметричны относительно оси х. При ф = 0 уравнение линии тока распадается на два множи­ теля; у = 0 — ось х и х + у = R — окружность. Рассмотрим ноле вектора скорости. Перейдем к полярным координатам (г, В). Тогда г 2 2 0 — критические точки расположены на обтекаемом цилиндре |zi, | = R симметрично относитель­ но оси у, 1 т г | = 1гаг , Re г, = —ТСег-,. V" б) —-J—J- + 4У Л = 0—две критические точки сливаются в 2 2 2 г 2 2 г. Г . одну, расположенную на мнимой оси: i z > | = #, z, = Zo = -j—т^г. Гп) — -^т + 4V /? < 0 — оба корня уравнения мнимые, при­ чем [2|| < / ? , | z | > R. В области течения имеется одна кри­ тическая точка на мнимой оси вне цилиндра. liL 2 2 2 Картина течения в рассмотренных случаях, если для опре­ деленности принять Г > 0, изображена на рис. 24. В рассматриваемом случае обтекания цилиндра с циркуля­ цией линии тока симметричны относительно осп у. Давления в точках цилиндра, симметричных относительно осп у, одинаковы по величине. Симметрии течения относительно оси х здесь уже нет. Поэтому возникает сила, действующая на цилиндр в на­ правлении осп ;/. Сила в направлении оси х, как и в первом случае, равна пулю. Результат, заключающийся п том, что тело, обтекаемое по­ током идеальной жидкости, не испытывает сопротивления, носит название парадокса Даламбера. MS 2 2 Если в случае в) величину Г увеличивать так, что AV R -С Г <С-т-т> то критическая точка по мнимой оси будет удаляться от цилиндра и в пределе получим чисто циркуляционное течение. Можно поставить вопрос: какое же течение реализуется па самом деле? Для идеальной жидкости возможны все указанные случаи. При решении задачи об обтекании цилиндра либо долж­ на быть задана циркуляция, либо какие-то дополнительные ус­ ловия (например, симметрия потока и др.). Тот факт, что ре­ шение задачи содержит произвольный параметр Г, оказывается существенным при решении многих практически важных задач. 2 § 7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Рассмотрим решение задачи об обтекании контура произ­ вольной формы (рис. 25). Плоскость, в которой расположен кон­ тур /, выберем за плоскость комплексного переменного z = x -\-- it/. Одновременно с плоскостью z рассмотрим плоскость £ = = \ -f- IT) и в ней круг радиуса R. Область плоскости z вне кон­ тура / обозначим через D, область плоскости £ вне окружности /' радиуса R обозначим через D'. По теореме Римана о конформном отображении существует аналитическая функция £ = /(£), которая преобразует область D' в область D таким образом, что точки контура /' переходят в точки / и любая наперед заданная точка Д ' е й ' переходит в заданную точку A^D. Эта функция будет единственной, если в точке А' задан a r g / ( ^ , ) = ф . Воспользуемся этой теоремой, выбрав в качестве точек А и А' бесконечно далекие точки пло­ скостей z и £, и положим при этом фо = 0. Это значит, что мы берем такую функцию z = /(£), которая преобразует бесконеч­ но далекую точку плоскости £ в бесконечно далекую точку пло­ скости г и не меняет направлений в этой точке. Для этой функ­ ции в бесконечно далекой точке £ = оо производная -т|- есть / л вещественное положительное число, т. е. -^-г- = к > 0. 146 На основании теоремы Римана существует и обратное пре­ образование £ = F(z). Предположим, что нам известны функции * = f(0, l = F(z). (7.1) Будем рассматривать задачу об обтекании контура / потенци­ альным потоком, скорость которого на бесконечности задана: Vоо = Vоо л. - fI Wоо У... Пусть w(z) — комплексный потенциал, соответствующий этому течению. В w(z) заменим z его выражением (7.1) через £: ш(2) = ш[/(Й] = Г(£). (7.2) Так как функция w(z) определена во всех точках области D вне /, то W(^) определена в точках D' вне /'. Аналитическую функцию W(t,) можно рассматривать как комплексный потен­ циал некоторого течения в плоскости £. Каждому течению в плоскости z можно поставить в соответствие течение в плоско­ сти £, комплексный потенциал которого получается по формуле (7.2). Найдем это течение. Положим w {z) = ф (х, у) + ity (x, у), W(0 = O(l, Ч) + ЛР(|,Г1). ( 7 ' 3 ) В соответствующих точках плоскостей г и ? имеет место равен­ ство (7.2), т. е. Ф (х, у) + /Ф (х, у) = Ф (I, ц) + Г¥ (I, г\). Следовательно, в соответствующих точках (7.4) Ф (х, у) = Ф (6, г\), ф (х, у) = Ч (Ь х\). (7.5) Функция w(z) есть комплексный потенциал обтекания непод­ вижного контура / в плоскости г. Поэтому функция тока ф(х, у) на контуре / постоянна. Контуру / соответствует окружность /' в плоскости £, следовательно, в силу (7.5) на V функция Ч^!, т^) будет также постоянна, т. е. окружность есть линия тока тече­ ния, комплексный потенциал которого W(Q. Выясним условия на бесконечности для этого течения. Комплексная скорость г}/<.\ У d-W ^ = ~аТ dw dz = - , > dz ,_ „. ==и{г) (7 ЧГЖ Ж- " 6) В плоскости z в бесконечно далекой точке скорость известна. dz По построению функции (7.1) производная-^- в бесконечности положительна: ( dw\ \ dz Л tC °o|P dz dl k>0. 147 Следовательно, (4а-г.-«. (7.7) Таким образом, W{Z) определяет в плоскости Z течение вне круга, причем скорость потока на бесконечности равна kv . Но комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра известен, он имеет вид x ^ ( 0 = Ь - ^ + ^ ^ + ^7-1п£. £ Заменяя £ в (7.8) на F(z), получаем w {z) kvF°° (2)' + -%=^+ J-т In F {z). F (z) 2m ' v v (7-8) (7.9) Формула (7.9) дает решение задачи об обтекании произволь­ ного контура потенциальным потоком, если известно конформ­ ное отображение области вне I на внешность круга, т. е. если известна функция t, — F(z). Величина k находится по формуле £ = dz j «L (£L)~- [ F / ( 2 ) i-i r - - В решении (7.9) циркуляция Г остается не определенной. § 8. ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА Пусть в плоскости z имеем эллипс с полуосями а и Ь. Задача об обтекании эллипса поступательным потоком, имеющим ско­ рость Voo, будет решена, если будет известен комплексный по­ тенциал w(z). Для этого надо построить функцию £ = / (z), которая отображает внешность эллипса на т\> ^ © © внешность круга. Наряду с плоскостью z рассмот­ ( $ \ . рим плоскость £ (рис. 26). ^/0 X ^ ~—• Введем преобразова­ ние Жуковского 7 Рис. 26. v:Р* Z = c + V- (8.1) Подберем постоянную с так, чтобы (8.1) давало преобразование области плоскости £ вне круга радиуса R в область плоскости z вне эллипса. На окружности £ = /few = # (cos 9 - l sin 9). (8.2) Подставляя (8.2) в (8.1) и отделяя вещественную и мнимую части, получаем х = (Я + ^ - ) cos 9, £/ = (/? —-^-) sin 9. (8.3) 148 Уравнения (8.3)—параметрические уравнения эллипса с полу­ осями a= R+ \ , b= R-± (8.4) f Функция (8.1) будет давать отображение окружности на эл­ липс с заданными полуосями а и Ь, если положить (8.5) Преобразование (8.1) при этом запишется в виде 2 2 а -Ь (8.6) ••£• 5 Получим преобразование, обратное (8.6), т. е. функцию £ — F(z). Согласно (8.6) 2 2 2 г ± Уг' - (а - &) (8.7) 2 Z -^ + i(a -b ) 2 = o, £ = Обратное преобразование не однозначно. Выберем такую ветвь корня, чтобы внешность эллипса перешла во внешность крута. Для этого в (8.7) следует взять знак плюс. Действительно, при больших z в этом случае из (8.7) имеем 2 £ = 2- 1 а -& Таким образом, 2 £ = F(z) = 2 2 + 2 г + Vz - (а - Ь ) R а+ Ь k=\. (8.8) Комплексный потенциал обтекания эллиптического цилиндра будет иметь вид a + b (г w(z)•^(z + V z 2 - ^ 2 - ^ ) ) + • 2 2 2 2 2 2 - л/z - (а - b )) + -fr In (z + л/z - (a - b ) ). (8.9) 2л/ § 9. ПОСТУЛАТ ЧАПЛЫГИНА —ЖУКОВСКОГО Пусть в плоскости z имеется профиль с одной угловой точ­ кой, причем угол б < п. Введем вспомогательную плоскость £. Пусть функция z = /(£) отображает область плоскости £ вне круга радиуса R с контуром /' на внешность профиля (рис. 27). Рассмотрим вопрос о вычислении скорости в угловой точке А. Точка А при отображении переходит в точку А' окружности /'. Комплексная скорость в точке А может быть представлена в виде Сл = dw (г) dz dW(l) dl A' dz dl ,TA' dz di, A' • (9-0 v ' 149 Функция z — /(£) преобразует угол я в точке А' в угол 2л — б в точке А. Поэтому в окрестности точки Л конформность ото­ бражения нарушается н функция z{Q должна иметь разложе­ ние вида 2J z-z A = M<£-l ,) ^-+ A ... (9.2) Отсюда dz 2я (9.3) = 0. "'А А Обратимся к равенству (9.1). В нем при £ = £ < второй мно­ житель в силу (9.3) обращается в бесконечность. Если скорость ^-\ не равна нулю, то скорость v в угловой точке профиля будет бесконечно велика, что физически недопустимо. л A Рис. 27. Требование, чтобы скорость в задней острой кромке была конечна, составляет содержание постулата Чаплыгина — Жу­ ковского. Выполнение этого постулата возможно только в том случае, если скорость -^г- в точке А' равна нулю, т. е. когда точка А' является критической в потоке, обтекающем цилиндр. Положение точки А' зависит от величины циркуляции. Отсюда следует вторая формулировка постулата Чаплы­ гина — Жуковского: циркуляция при обтекании профиля с ост­ рой кромкой А такова, что точка А' окружности, в которую пе­ реходит при конформном отображении точка А, должна являть­ ся критической в потоке, обтекающем цилиндр. В критической точке А' сходятся струи потока, обтекающего цилиндр. Так как линии тока плоскости £ при отображении пе­ реходят в линии тока плоскости z, то точка А профиля также должна быть точкой схода струй. На основании этого может быть дана и третья формулировка постулата. Циркуляция при обтекании контура с острой кромкой такова, что эта кромка яв­ ляется точкой схода струй. 150 Постулат Чаплыгина — Жуковского позволяет определить значение циркуляции Г. Для комплексного потенциала W(£,) имеем формулу (7.9): W(D = kv ,t + k^f+ -^ lnZ. (9.4) a f Комплексная скорость будет Пусть поток, набегающий на профиль, наклонен под углом а к оси х, т. е. v = \v \e- , о» = | и» k ' (9.6) ia eo a M г а Положим в (9.5) С = ?4-- Т° Д согласно постулату *»1| = Л б в в __***£. _ L _ J _ = . + (9.7) Откуда Г= 2 ш - й ( ^ - й ^ , ) . (9.8) л ie Учитывая (9.6) и полагая в (9.8) £, = Re °, получим Г = 2nikR | и | (е < - °> — е~ < - ), Г = 4nkR | и.. | sin (9 — а). r г а е 1 а ад м (9.9) Угол (а — 8 ), где 9 — угол, определяющий положение точки А' на окружности /' плоскости £, называется углом атаки. Цир­ куляция Г обращается в нуль, когда а. — во = 0. В формуле (9.9) все величины известны, если только изве­ стно конформное отображение профиля на круг. Если величина Г известна, то формула (7.9) для комплексного потенциала бу­ дет давать единственное решение задачи обтекания произволь­ ного контура с одной угловой точкой. А тогда можно поставить вопрос о вычислении сил, действующих на профиль со стороны потока. З а м е ч а н и е . Если контур гладкий или имеет угол 6 > я или несколько угловых точек, то вопрос о циркуляции не может быть решен без привлечения дополнительных соображений. § 10. ФОРМУЛЫ ЧАПЛЫГИНА —БЛАЗИУСА Получим общие выражения для главного вектора и глав­ ного момента сил давлений, действующих на профиль, обтекае­ мый безотрывным установившимся потоком идеальной несжи­ маемой жидкости. Мы будем говорить об обтекании контура /, имея в виду обтекание бесконечного цилиндра, и о силе, дей­ ствующей на контур, имея в виду силу, действующую на эле­ мент цилиндра единичной высоты. 151 Главный вектор сил, действующих на профиль: F = — & pndl. Проекции на оси координат (ЮЛ) F = — Ф р cos (n, х) dl = — & р dy, x (Ю.2) F = — & p cos {п, у) dl = w p dx. y Образуем величину R: (10.3) R = F — iF ; X y R = — (у р dy — i <у р cfx = — г ф p(dx — id у) = — г & р dz. (10.4) Вдоль контура / (контур-линия тока) справедлив интеграл Бернулли. Предполагая массовые силы отсутствующими, имеем 2 + р L р= рС-р^-. ' (10.5) Подставим (10.5) в (10.4): 2 2 R = — i ф рС dz + »|- ф у dz = г | - <§ у dz. (10.6) Рассмотрим элемент контура d/. Пусть 8 — угол между каса­ тельной к контуру и осью х. Тогда dz = dle , dz = dle~ , dz = e~ dz (10.7) и формулу (10.6) можно записать в виде ie m 2 m m Я = * у ф v e~ dz. (10.8) При безотрывном обтекании скорость в точках контура / на­ правлена по касательной к нему (рис. 28): ve~ = v cos 8 — iv sin 8 = = v — iv = v, (10.9) на основании чего (10.8) приобретает вид ; Р ф v dz. Рпс. 28. (10.10) R= m x y 2 Формула (10.10) есть первая формула Чаплыгина — Блазиуса. Если движение безвихревое, то существует комплексный по­ тенциал w(z) и формула Чаплыгина — Блазиуса для этого слу­ чая принимает вид Я& *«='НШ - (10Л1) Получим выражение для главного момента сил давлений. 152 К элементу контура dl приложена сила, проекции которой dF = — р dy, dF = р dx. x y Момент dL этой силы относительно начала координат будет dl. = dFyX — dF ij = p (x dx + ydy), x (10.12) откуда момент сил, действующих на профиль, получим в виде L = §. p{x dx + ydy). (10.13) Используем интеграл Бернулли (10.5). Тогда 2 L = Ср & (х dx -f у dy) — -j & v (x dx + у dy) = a = —j§v {xdx + ydy). (10.14) Рассмотрим выражение zdz: zdz = (x -f iy) {dx — i dy) = x dx + У dy -f- i (ydx — xdy). Отсюда xdx -f- ydy = Re (zdz), и, следовательно, 2 2 £ = —-jf-ф v R&(zdz) = Re(—&§v zdzY (10.15) Используя (10.7), перепишем (10.15-) в виде 2 2 e L= Re(-|-§ y e- ' 2dz). ( (Ю.16) Принимая во внимание (10.9), получаем вторую формулу Чап­ лыгина — Блазиуса L = Re(—|-ф tfzdz). (10.17) Если движение безвихревое, то '-'Ч-f $(£)''*)• 1(1 18 < -) В формулах (10.11) и (10.18) за контур интегрирования может быть взят любой контур, охватывающий контур / обтекаемого тела. З а м е ч а н и е . Введенная сила R есть величина, сопряжен­ ная комплексной величине R = F + iF , вещественная и мни­ мая части которой есть проекции главного вектора на оси коор­ динат. Эту величину R часто называют вектором силы, или просто силой, действующей на профиль, а величину R = F — — iF — сопряженной комплексной силой. x y x y 153 § 11. ИНТЕГРАЛ ОТ КОМПЛЕКСНОЙ СКОРОСТИ Рассмотрим криволинейный интеграл l = §vdz. (11.1) 1. Предполагаем, что движение потенциальное, т. е. суще­ ствует w(z). Тогда v = —7— и , _ $ , . ^ r f z = (§> dw = § {dq> -f i dty) = Аф + i ^ . (11.2) Здесь Дф, Дф — приращение функций ф и ф при обходе кон­ тура. Рассмотрим каждый из интегралов в отдельности. Вдоль i > <Эш ,, (ЭФ контура/ dy =-тт-dl, где -гпроекция скорости на элемент контура dl, и потому § d r ,.„„, ... (12.3) Чтобы воспользоваться формулой (12.1), вычислим (-г-) : м (4г)'-«'- + » - В Г 7 + ( А . - £ ) * + ... 02.4) По теореме о вычетах & i-j—) dz==2v T. Для комплексной силы R получаем формулу 00 Я = Ф0«Г, (12.5) 155 где R = F — iF , v = v — iu . (12.6) Если воспользоваться (12.5) и перейти к комплексно-сопряжен­ ным величинам R и v , то придем к формуле (теореме) Жу­ ковского R=-ip T; (12.7) здесь R = F + iF , v„ = v , + iv . (12.8) x y eo Xat y 157 Имея (13.6) и (13.7), получим разложение подынтегральной функции - ( ^ + 2 ^ ^ ] 1 + ||+ ... Применив теорему о вычетах к интегралу (13.5), найдем мо­ мент L: L R e 2ni 2k 2k = Ь T [ ^^i 2k2v 6 2 + ^~ -{•& + » J )]} • (13.8) Выражение в круглых скобках вещественно, поэтому формула для момента окончательно примет вид L = Re[-k pvJ -2nikk pvl]. (13.9) , l l § 14. ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ Пусть в плоскости х, у мы имеем отрезок [—а, а], располо­ женный вдоль оси х. На этот отрезок под углом а набегает по­ ступательный поток, скорость которого в бесконечности равна v . Нам известно решение задачи об обтекании круг­ лого цилиндра. Чтобы вос­ пользоваться им, надо знать •>- конформное отображение а х -а ^ внешности круга на внеш­ ность отрезка [—а, а]. Пре­ образование Жуковского x Рис.29. z =|-^ + i . ) (H.I) переводит круг единичного радиуса в плоскости £ в отрезок пря­ мой плоскости г = х + iy (рис. 29). Действительно, на окруж­ ности R = 1 имеем % = е' . Подставив эти значения £ в (14.1), получим г = х + iy = у (e + e~ ) = a cos 6; (14.2) в id iQ x = a cos 9, y = 0, (14.3) т. е. окружность переходит в дважды пробегаемый отрезок [—а, а] оси х (верхняя полуокружность переходит в верхний бе­ рег разреза, нижняя — в нижний). Получим преобразование, обратное (14.1), т. е. функцию £ = F(г). Согласно (14.1) 2 а £ - 2 2 £ + а = 0, £ = 158 z ± V а ^~* . (14.4) Чтобы преобразование £ = F(z) переводило внешность отрезка во внешность круга, надо выбрать в (14.4) знак плюс. Таким образом, обратное преобразование имеет вид l=' + ^f=* . (14.5) Имея (14.5), можем записать комплексный потенциал обтекания пластинки. Учитывая, что в нашем случае Й = ^ | = Т' * п= - *1 = Т> Я = 1, (14.6) получим W(Z) = Y У„ 2 2 (z + л/z — а ) + +j^(^-V? T r 3 ^ ) + ^ l n ( 2 + V ? ^ " ) - (14.7) r Заметим, что формулу (14.7) можно было бы получить не­ посредственно из формулы (8.9), рассматривая пластинку как предельный случай эллиптического цилиндра, у которого полу­ ось b = 0. В формулу (14.7) входит циркуляция Г. Для ее определения имеем постулат Чаплыгина—Жуковского. Непосредственное его применение затруднительно, так как у пластинки имеются две острые кромки. Нас интересует пластинка как модель за­ кругленного спереди тонкого профиля с задней острой кромкой. Скорость в задней острой кромке будет конечна, если в соот­ ветствии с постулатом Чаплыгина — Жуковского циркуляцию определим по формуле (9.9): Г = 4nkR | u | sin (G — a). OT Здесь а — угол, образуемый направлением невозмущенного по­ тока с осью х; Во — угол, определяющий положение в плоскости £ точки А', в которую переходит задняя острая кромка А. В нашем случае Э = 0, k = -^-, R=l, и выражение для циркуляции будет r = -2na|yjsina. (14.8) Соответственно выражение для комплексного потенциала можно записать в виде 2 2 2 w (z) = j v (2 + л/z- - а ) + у « » ( 2 - л/z — a ) + M 2 2 + ia\ v^ I sin a In (z + <\/z — a ). (14.9) Здесь й,х> = \Voo\e- , Uoo = |Уоо|е' . Имея комплексный потен­ циал, можем найти комплексную скорость у и ее составляющие v и v в точках пластины. Картина обтекания приведена на рис. 30, а. ia x а y 159 Определим силу, действующую на пластинку, используя фор­ мулу (14.8) для циркуляции. По теореме Жуковского га R = ipv^V = — 2л/ра | о р е~ sin а. ю (14.10) Откуда 2 2 /?,.= — 2яр | и I a sin а, о о , . (Н.11) /?j, = 2лр | и |- а sin а cos а. Интересно отметить следующее. Хотя в идеальной жидкости все элементарные напряжения нормальны к пластинке, возни­ кает результирующая сила R , направленная по касательной к ней. Это связано с тем, что постулат Чаплыгина — Жуковского накладывает ограничение на величину скорости лишь у задней острой кромки. Если представить себе переднюю кромку закруг­ ленной, имеющей малый радиус кривизны, то скорости вблизи м |Ч те x Рис. 30. носовой части будут очень велики, а давление, согласно уравне­ нию Бернулли, мало. Образующаяся разность давлений ме­ жду кормовой и носовой частями профиля приводит к появле­ нию некоторой «подсасывающей» силы, параллельной оси х. Если радиус кривизны закругления устремить к нулю, то ско­ рость вблизи передней кромки будет неограниченно возрастать, а давление — падать. Непосредственными вычислениями можно убедиться, что при этом «подсасывающая» сила будет стре­ миться к некоторой предельной величине, совпадающей со зна­ чением R из (14.11). Величина силы Жуковского для пластинки P = |fl| = 2 j r a p | 0 s i n a . (14.12) Часто рассматривают коэффициент подъемной силы x 2 С = Р 1 - (14.13) В случае плоского течения за S принимают произведение хорды на единицу размаха крыла. В нашем случае S = 2а и C = 2nsina. P 160 (14.14) При малых углах а Ср=* 2жх, -^-^2я. (14.15) Ранее была получена формула (13.9) для момента сил, дей­ ствующих на профиль. Учитывая (14.6), получим выражение для момента сил, действующих на пластинку, в виде 2 L = - Re (2я/р | v f -^e- <°) = - ^ - p | x 2 W ( J sin2a. (14.16) Учитывая (14.12), выражение для L можно записать в виде L = — -JcosaP. (14.17) Из (14.17) следует, что точка приложения равнодействующей силы находится на расстоянии -г1 части хорды от передней кромки (рис. 30,6). Эксперимент показывает, что результаты, полученные при рассмотрении обтекания пластинки, могут быть использованы для тонких профилей при малых углах атаки. § 15. ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО А. Профили Жуковского Было установлено, что конформное преобразование ( 1 5 Л ) Z = T(S + T ) отображает внешность круга единичного радиуса в плоскости £ во внешность отрезка [—с, с] вещественной оси плоскости г. Перепишем формулу (15.1) в виде 2z = c£ + - J (15.2) и введем новые переменные z' и £' с помощью преобразования подобия 2г = г', с£«=£\ (15.3) Тогда получим z' = £' + -£l. (15.4) Преобразование (15.4) переводит внешность круга радиуса с в плоскости £' во внешность отрезка [—2с, 2с] плоскости z'. Пе­ репишем (15.4) следующим образом: г' — 1с г' + 2с ~~ 6 Зак, 1031 s + 2c ? +Y + ' f- 2t (Г - с) 2 « ' + О? • (15.5) 161 Точки £' = с и £' = —с соответствуют точкам г' = 2с и г' = = —2с. Произвольная окружность в плоскости £' с центром на мнимой оси, проходящая через точки £' = с и £' = —с, соответ­ ствует некоторой кривой плоскости г', проходящей через точки г' = 2с и г' = —2с. Если центр окружности L расположен з точке £' = /fe( мнимой оси, то ее радиус F'B' равен R — -\1 с + /г (рис. 31, а). Любая точка Л' окружности Z. перейдет в некото­ рую точку А плоскости г', при этом точки В'(£,' = с) и С'(£;' = —с) перейдут в точки В (г' — 2с) и С (г' = —2с). Нетрудно видеть, что ВА = О А - О В , СА = ОА —ОС, (15.6) В'А' = О А' - ОВ', С'А = О А' - ОС. 2 а Ч»' : , Y 2 © L, Л'Ч 1 L/ й' \ \ С ' ' }х *i $w -С If \? \ Рис. 31. Векторы ВА, СА, В'А' и С'А' являются изображением некото­ рых комплексных величин. Представим эти величины в виде ' -2c = r e >, z' -f 2c = r e<% ia z l 2 Из формул (15.5), (15.7) непосредственно следует равенство (15.8) lB,-B.) Г V Р2 / 2 или In - ^ + / (а, - а ) = 2 In-j^ + 2/ (р, 2 Г2 Откуда •Рг). Р2 (15.9) а. — а,: = 2 (р, - р ). Когда точка А' движется по верхней части окружности L от В' к С", угол Pi —Рг (или ZC'A'B') сохраняет постоянное значе­ ние как вписанный угол, опирающийся на дугу С В'. При этом угол ai — a (или ZCAB) тоже сохраняет постоянное значение, т. е. линия, которую описывает точка А в плоскости г', является 2 2 162 дугой некоторой окружности. Когда точка А' движется по ниж­ ней части окружности L от С к В', точка А также пробегает некоторую дугу окружности в направлении от С к В. Покажем, что точки D' и Е' пересечения окружности L с мнимой осью плоскости £' отображаются в одну и ту же точку плоскости г'. Действительно, точке D' соответствует комплекс­ ная координата £> = (k + л/k + c )i, а точке Е'— t,' , = (k — — V ^ + ° )'• Согласно (15.4) отображением/)' в плоскость г' будет являться точка D, у которой 2 2 E 2 2 2 2 z'n = (* + V* + с ) t + 7 , С> = 2/5;г, а отображением Е' в плоскость z' — точка Е, координата кото­ рой z'=(k^k + c ) i + -. .' , = 2&/ = z' 2 2 c Отсюда следует, что каждая из дуг B'D'C и С'Е'В' окружно­ сти L переходит в одну и ту же дугу BDC плоскости z', но про­ ходимую в противоположных направлениях (рис. 31,6). Таким образом, преобразование (15.4) отображает внеш­ ность круга L плоскости £' во внешность дужки BDC плоскости г'. Задача об обтекании дуги может быть решена через задачу об обтекании круга. Рассмотрим теперь проходящую через точку В' окружность L\, центр которой G' находится на продолжении отрезка B'F' на расстоянии е от точки F'. Окружность L\ будет иметь радиус, равный V& + с + е, и будет касаться окружности L в точке В'. Так как L\ охватывает окружность L в плоскости £', то контур на плоскости z', в который переходит окружность L\, будет ох­ ватывать дугу BDC, но при этом, подходя к точке В с двух сто­ рон, он будет касаться дуги BDC (по теореме о сохранении углов). Полученный таким образом контур носит название про­ филя Жуковского. При заданном расстоянии 4с в плоскости z' профили, получаемые применением преобразования Жуковского к окружностям Z-i, характеризуются двумя параметрами. Пара­ метр k, равный расстоянию по мнимой оси до центра основной окружности L, в плоскости z' характеризует изгиб или кривизну профиля (его скелетной дужки). Параметр е, равный сдвигу F'G' по радиусу центра новой охватывающей окружности L\ от­ носительно центра основной окружности L, характеризует тол­ щину профиля (его телесность). Таким образом, профили Жу­ ковского образуют двупараметрическое семейство, зависящее от параметров k/c и г/с. Если через центр G' новой окружности Ь\ провести коорди­ натные оси |i и Т|ь параллельные осям %' и ц', то точки 2 б* 2 163 комплексной плоскости £[ будут связаны с точками плоскости £' преобразованием ;' = £. + г , 05.10) где g— комплексное число плоскости £;', соответствующее век­ тору ОС. Так как О С = OF' + F'G'.jo s = Ы + ге v " " ^ = Ш - ее~~ '. (15.11) Здесь через у/2 обозначен угол G'B'C, tg(y/2) = k/c. Подстав­ ляя (15.10) в (15.4), получим z' = E i + g + ^ J . 05.12) где g определено формулой (15.11). Б. Графическое построение профилей Жуковского Рассмотрим один из приемов построения профилей Жуков­ ского, указанный Треффтцем. Рис. 32. Профиль Жуковского в плоскости г' получался применением преобразования (15.4) к окружности Ь\ в плоскости £'. Пусть в плоскости £' мы имеем окружность /,, с центром в точке G\ K ' = f t ( — ге 2 2 2 J радиуса У к + с + е (рис. 32). Проведем преобразование инверсии £" = -£-• (15.13) В результате преобразования окружность Ц перейдет в окруж­ ность L% (в теории функций комплексной переменной доказы­ вается, что дробно-линейное преобразование, частным случаем которого является (15,13), переводит окружность в окружность). Точка £' = с переходит в точку £;" = с, т. е. окружность Zj 164 также проходит через точку В*. В силу конформности преобра­ зования окружность Lz будет пересекать вещественную ось пол тем же углом, что и L т. е, Ц и Ц будут касаться друг друга в точке В', Отсюда следует, что центр С окружности Z,, лежит на прямой B'G\. Покажем, что луч 0С является отражением луча OG\ относительно мнимой оси, Проведем перпендикуляры G\D[ и G',D', u 2 2 OD\ К вещественной оси и докажем, что - , , = OD'., 0D l i , ", . Из рис. 32 GD 2 U видно, что ов;-5'д;-с-{в'с;-с (15.и) ОО' = с~В'0'^с-±.В'С' . (15.15) и 2 2 Так как треугольники B'G\D[ и B'G' D' подобны треуголь­ нику B'F'O, то 2 2 п' /V G\D[ п' п' G' D Р'п F'O ь k B'D\ B'D\ OB' С 2 2 {15.16) ' Отсюда OD[ ~в'с[-с i-o+oc;)- C "5J5T- H '< B с ОС\~ с c k OC[ + c C " T( +O (15.17) Аналогично OD\ С С-ОС\ G'j}' ~~" k c + OC ' 2 (15.18) 2 При преобразовании инверсии вещественная ось переходит сама в себя, при этом точки пересечения С\ и С окружностей А, и L 2 2 являются соответственными, т. е. ОС =— ~ Таким образом, 2 OD с 7 с — 2 о' о' — k г г ОС, т ос\ с ОС, —с 1 с+ OD, _£!_ ' —k oc\ + c —G\D[ '' ос\ (15.19) Отсюда следуют симметричность расположения лучей OG\ и OG относительно мнимой оси и способ графического построе­ ния окружности L , Каждой точке £' = | £ ' | е ' окружности L\ будет соответствовать точка £" = , , Й~ окружности L . r 2 2 ф <Ф £ 2 165 Если провести из начала координат под некоторым углом ср вектор XI до пересечения с окружностью L\, а затем — под уг­ лом (—ф) вектор X" до пересечения с окружностью L и приба­ вить второй вектор к первому, то получим некоторую точку Р с профиля Жуковского (рис. 32, б) z' = Xl + XI'= X + р - . По ряду точек мы легко сможем вычертить весь профиль. 2 2 В. Решение задачи об обтекании профилей Жуковского Комплексный потенциал обтекания круглого цилиндра ра­ диуса R в плоскости Х\ имеет вид ^(£1) = А б » $ 1 + - ^ ^ - + 2 й г 1 п г , (15.20) (о = |о |е'«). ао вв Чтобы из (15.20) получить комплексный потенциал w(z') обте­ кания профиля Жуковского, мы должны: 1) выразить Х\ через dz' I z'\ 2) найти k=-7^\ ; 3) определить циркуляцию Г при по&Q>\ loo мощи постулата Чаплыгина — Жуковского (профили Жуков­ ского имеют одну острую кромку). Согласно (15.12) 2 2 C + g ^ y O + Vz' -^ ), откуда с учетом (15.11) £, = 1 ( у + л/г' - 4с ) - {ki - ее~' "*") . 2 2 (15.21) Из формулы (15.12) следует, что k=—rr= 1 . Д л я ЦИрКуЛЯции Г, исходя из постулата Чаплыгина — Жуковского, была получена формула (9.9). В нашем случае аргумент 0 в пло­ скости £i точки В', в которую переходит острая кромка про­ филя, равен (—-j) • С учетом выражения для R из (9.9) по­ лучим О Г= 4я/?Ю51п(-|--а) = 5 = - 4 п ( У ^ Т * + е) sin ( a + ! ) | o j (15.22) Подставляя (15.21), (15.22) в (15.20), получим окончательный вид комплексного потенциала обтекания профиля Жуковского 1а w (г') = | о . | е~ 2 2 [ у ( / + л/z' - 4с ) - [ki - ее~' ^ ) ] + + Ю«* (V^y 2 --УЛ 2 4- ( z ' + V z ' - 4с ) - \ki -ее 2 ' 2 + 2t ( V c + А; + е) sin ( а + | ) Ю 2 2 + ~) X - X In [~ ( / + V^' - 4с ) - (W - е е ' "*")] (15.23) Те профили, у которых угол между верхней и нижней касатель­ ными в задней острой кромке мал, не являются прочными (у профиля Жуковского соответствующий угол вообще равен нулю). Поэтому вместо них рассматривают так называемые обобщенные профили Жуковского*. Для их построения исполь­ зуют преобразование Кармана — Треффтца £-(£f)'- Z + OC \ £+С 15 24 <-» = Если о — — — = 2 , то в результате преобразования (15.24) окружность плоскости £ перейдет в профиль плоскости 2, у которого угол между касательными в задней кромке равен б (см. рис. 27). Если а = 2, то получим преобразование ЖУКОВ­ СКОГО. Наряду с преобразованиями (15.24) для построения оолее сложных профилей используются преобразования вида 2 = Z -\ z Г "ТГ "Т ТГ "4" • • • (преобразования Мизеса). § 16. ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ. МЕТОД НУЖИНА В предыдущих параграфах было рассмотрено обтекание не­ скольких типов контуров (эллипс, пластинка, профили Жуков­ ского), для которых конформное преобразование внешности про­ филя во внешность круга найдено точно. Для расчета обтекания профиля произвольной формы имеются различные методы, ис­ пользующие идею приближенного конформного отображения внешности заданного профиля на внешность круга (методы Теодорсена, Симонова, Серебрпйского, Нужина). В настоящем * Н. Е. Ж у к о в с к и й предложил способ геометрического подобных профилей. Он назвал их профилями типа «Антуанетт». построения 167 параграфе будет рассмотрен метод приближенного построения конформного отображения внешности заданного контура на внешность круга, предложенный С. Г. Нужиным в 1947 г. Для этого метода доказана сходимость процедуры последовательных приближений. Пусть в плоскости z задан профиль / (рис. 33). Отметим точ­ ки А и В, наиболее удаленные друг от друга. Введем систему ко­ ординат таким образом, что ось х будет направлена по хорде АВ, начало координат расположим в ее середине. Пусть уравнения верхней и нижней частей профиля 6 Ув = У (х), у = Ун{х). О -О При построении функции z = }(£,), осуществляющей отображе­ ние внешности профиля (16.1) на внешность единичного круга в в я б п> , 1'У ® ф* 0' 1ц / Рис. 33. плоскости £, будем иметь в виду, что бесконечные точки в пло­ скостях z и £ соответствуют друг другу и -т? > 0 . Будем искать функцию z = f (£) в виде ряда (16.2) z = / ( £ ) = *£ +*<> + £ " TS*—'п-\ Ь Здесь к = -щг — вещественное положительное число. Пусть k = a + ib (n = 0, 1, 2, . . . ) • (16.3) Подставляя (16.3) в (16.2), учитывая, что в плоскости £ на ок­ ружности /' единичного радиуса £ = £' > получаем z = x -f- iy = k (cos 9 -f-1 sin 6) -f- CLQ -f- ib -fa n n е + ЕГ-. (a + ib )(cosnQ-ismnB). n (16.4) n Отсюда * = ao + (£-r-ai)cos8 + &isin8-f £°° " (a„cosn8 + b sinnQ), У = ^o + bi cos 8 + (k — a^ sin 6 + 2 J „ (*n n (16-5) = 2 c o s rt & — a « s ' n n ^- При изменении 6 от 0 до 2я точка с координатами х и t/ должна описывать контур / в плоскости 2, Нужно иайти такие 168 коэффициенты k, a„ и b , чтобы формулы (16.5) были парамет­ рическими уравнениями заданного профиля. Задача о нахожде­ нии коэффициентов разложений (16.4) и (16.5) решается при­ ближенно. Здесь нужно учесть, что для любого метода последователь­ ных приближений очень существен выбор нулевого приближе­ ния. В методе Нужина за нулевое приближение была принята функция Жуковского 2<°> = Р (5) = ! ( £ + { ) . 06.6) n которая отображает внешность круга на внешность отрезка [—а, а]. Согласно (16.6) x<°> = acose, г/<°> = 0. (16.7) Формула (16.7) устанавливает соответствие между л и в. Если 8 меняется от 0 до л, имеем верхний берег разреза, если 0 ме­ няется от л до 2л, — нижний. Сопоставляя (16.7) с (16.4) и (16.5), получаем £(№ _ Л „(0) _ л 0 ) *i =0, ш —о а«» = 0, 6»> = 0 ( 0 ) а == — (я = 2, 3, . . . ) • Для того чтобы в следующем приближении учесть толщину про­ филя, в формулах (16.1) заменяют х на л: из (16.7). Тогда в первом приближении будем иметь (0) г/ » = у (a cos 9), в в { а c o s 9 У н = У» ( или )> 0<9<я, я<8<2я, Г w (acos9), 9 е [ 0 , я], „to т — y<»(9) = j} ) ' " I Ун (я >, cos 9), 9 е [я, 2я] Ув v& B J Г (16.9) (1, Функцию г/ (6) можно разложить в ряд Фурье: а) У (9) = - J - + £ (a«)cos/»9 + p(}>sInne). (16.10) Ряд (16.10) может быть использован для нахождения в первом приближении коэффициентов разложений (16.5). 169 Запишем (16.5) для первого приближения: ] •tii) = (D + (£<» + а<>) cos 9 + 60> sin 9 + a } c o s e + ЕГ-2 « " + У" sin пв), yd) == 60) 4- 6<" cos 9 + ( # " - <>) sin 9 + + 2 Г - 2 On" C0S 9 а " - !г° S i n rt9 )- (16.11) 1 6 1 2 ( - ) Сравнивая (16.10) и (16.12), получим (О ь a, -f—e ^= ^ <=е 1 p = *<•> - a = а<» + (2#» - Pi») cos 9 + a' » sin 9 + + Zr= (-Pn )cos 2 e a " +! 1)sin 1 9 "> ( 16Л4 ) Из выбора системы координат следует, что в любом приближе­ нии должно быть Хд = х 1 = — а, Хв = х т П тах = а. (16.15) При этом в первом приближении точкам х = х иx = x соответствуют значения 6^> и 9j>, которые не равны значениям 0 = О и 9 = л. (При хорошем выборе нулевого приближе­ ния 0 ,' и 8^> будут близки к величинам 0 и я.) Из равенства тлх в min A ( В л й = 0 (16.16) получим Q0) = Щ) (#»), e(>) = 90)(fe0)) (16.17) a (при дифференцировании (16.14) коэффициент a > исчезает, не­ известным остается лишь /г ). Подставим экстремальные значения 9 в (16.14) и образуем выражение ^'.х(* )-*й ,„(* ) = 2а. (16.18) (1) (1, , (1) (1) Из (16.18) находим численно /г . Потом из любого равенства (16.15) найдем а . Тогда все коэффициенты разложения (16.2) будут определены, т. е. нам будет известна функция и) z =/<"(£). 170 (16.19) Для дальнейшего уточнения решения нужно по существу повторять ту же процедуру, которая позволила перейти от ну­ левого приближения к первому. Так, для получения второго приближения надо найденное л; (9) подставить в (16.1), в результате чего найдем (1) (9)), У , 2 ) Ь„(* (9)Н „ Ы (1) П ( 9<»<9<90>, 6 ы Ш ^ А ^ Ш » +, о(9)), А6(')<е<вФ 2я, 2 0 О - ) где 9^> и 8 определены в (16.17) с учетом (16.18). Имея (16.20), можно провести вычисления, аналогичные проделанным при получении первого приближения, и найти второе приближе­ ние z = / >(£). Подобным же образом могут быть определены третье и последующие приближения. Для метода Нужина доказана сходимость, т. е. доказано, что (2 т) lim /г< = /г, т~>оо lim а^ = а , п т->оо ) lim hf = b . n т->оо Обычно делают от двух до пяти приближений в зависимости от требуемой точности. Наиболее трудоемкими процедурами яв­ ляются вычисление коэффициентов Фурье (вычисление квадра­ тур) и решение серии трансцендентных уравнений для отыска­ ния Q {^ ), M # ) и kS \ Расчеты показывают, что наибольшие ошибки получаются около задней кромки и около носика профиля. Решение может быть несколько упрощено за счет хорошего выбора нулевого приближения. Можно модифицировать метод Нужина, взяв за нулевое приближение не пластинку, а теоретический профиль, например обобщенный профиль Жуковского, близкий к исход­ ному профилю в носке и задней кромке. Мы получили приближенно отображающую функцию z = = Д£) в виде ряда. Однако для решения задач обтекания нуж­ на обратная функция £, = F(z). Обращение функции z = /(£) может оказаться затруднительным (особенно вблизи профиля). Можно отказаться от построения F(z) и w(z) и использовать функцию Щ £ ) : m) m ) m B W (S) = *£»„& + - ^ f ^ - + - а н т In g. (16.21) Присоединив к (16.21) найденную функцию z = /(0, (16.22) можем исследовать решение задачи в параметрическом виде, ис­ пользуя сразу (16.21) и (16.22). Обычно важно знать скорости dz 171 Имея (16.21) и (16.22), можем вычислить скорость - _ dW dj _ ~~ dt, dz dW dl V 1 dz " Решение получим в виде б = »(Б). z = z(Q. § 17. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПЛОСКИХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Ранее говорилось о том, что для безвихревых течений суще­ ствует потенциал скорости ф, а для несжимаемой жидкости — функция тока г|з. Из определения этих функций следуют условия Коши — Римана дф ~дх~"ду' д<р ду д^ (17.1) дф дх ' которые в свою очередь эквивалентны уравнениям -S- + -0--O; (17.2) & +#-«• С") Таким образом, возможны три формулировки задачи — об отыскании потенциала ф (для этой функции справедливо уравнение (17.2)); об отыскании функции тока г|) (из урав­ нения (17.3)); об отыскании комплексного потенциала w(z) (она была сформулирована и решена для обтекания ряда кон­ туров в настоящей главе). Все три задачи эквивалентны друг другу. Например, если известна функция ф, то с точностью до константы можно найти \|), и, следовательно, w(z) = ф + а|). Но формулировки задач различны. Пусть решается задача для ф. Имеем уравнение (17.2), усло­ вия на бесконечности > _ -». ^*Е.| ду L - Ч У (17-4) условия на поверхности обтекаемого тела дф дп =0 (17.5) dm dw и условие конечности производных -—, -^- в острой кромке. Для ф мы имеем внешнюю задачу Неймана. 172 Если решается задача для г|>, имеем уравнение (17.3), усло­ вия на бесконечности дф ду = 7,<*>> ^Ф (ос) d.v (17.6) условия на обтекаемом контуре (17.7) Дф (может быть, С = 0) и конечность -рв острой кромке. 30 Для г|) имеем внешнюю задачу Дирихле. Ту же плоскую задачу можно формулировать как задачу об отыскании w(z), исходя из того, что Re w (z) = ф или что 1гаш (г) = \|з: найти комплексную функцию w(z) такую, что ее действительная часть удовлетворяет всем граничным условиям для ф, найти w(z) такую, что ее мнимая часть удовлетворяет граничным условиям для $• ГЛАВА XIII ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА В этой главе рассматривается задача об обтекании тонкого крылового профиля потенциальным потоком идеальной несжи­ маемой жидкости. Предположение о тонкости профиля позво­ ляет сделать ряд существенных упрощений в общей постановке задачи. § I. ПОНЯТИЕ ТОНКОГО КРЫЛА И УСЛОВИЯ ОБТЕКАНИЯ ДЛЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ Крыло будем называть тонким, если, во-первых, мало отно­ шение толщины крыла к длине его хорды 2а и, во-вторых, мал угол между направлением касательной в любой точке профиля и хордой. Кроме того, будем считать, что угол между направле­ нием скорости и направлением хорды (угол атаки) мал. Выберем систему координат х, у так, чтобы скорость V на бесконечности была параллельна оси х, и поместим начало ко­ ординат в середину хорды профиля. Пусть г г у = & \(х), у = З (х) (1.1) — уравнения верхней и нижней поверхностей крыла. Для тон­ кого профиля должны быть выполнены следующие неравенства: в н ^iW 2а <1, dS*~i (х) < 1, dx 2 ЗГ (х) 2а 2 dff~ (х) 2 dx <1, < 1. (1-2) Заметим, что обычные профили, с которыми приходится иметь дело при дозвуковых скоростях полета, имеют закруглен­ ную переднюю кромку и не являются тонкими в смысле данного определения. Поэтому следует иметь в виду, что решение, по­ строенное с учетом упрощений (1.2), не будет годиться в окре­ стности носика. Кроме того, исключаются из рассмотрения за­ дачи об обтекании профилей под большими углами атаки. Кроме системы координат хОу введем скрепленную с профи­ лем систему координат х*Оу*, направив ось х* по хорде профиля (—а, а). Угол между направлением скорости V оси Ох и хордой оси Ох* есть угол атаки а (рис. 34). Пусть £ = *"„(*•), У\ = ^М) — уравнения профиля в этой системе координат. Учитывая связь между х, у и х*, у* х* = х cos а — у sin а, 174 у* = х sin а + у cos а (1.3) и малость угла а, имеем х'=х, у* = ха + у. (1.4) Уравнения профиля (1.3) в системе координат х, у с учетом (1.4) примут вид лга + у = &~ (х), ха + у = #" (х), или Ув = З^в (*) — ах, у = &~„ (х) — ах. (1.5) Перейдем теперь к рассмотрению общей постановки задачи обтекания и тех упрощений, которые могут быть сделаны в ней в случае тонкого профиля. Как было установлено ранее, задача об обтекании профиля будет решена, если найдена функция w(z), удовлетворяющая условиям на бесконечности, условиям обтекания профиля (сформули­ рованным для функции г> | или ф) и постулату Чаплыгина — Жуковского. Представим комплексный потенциал w(z) в виде в в а н а w (г) =Vz + ш' (z), (1.6) Рис. 34. где Vz — комплексный потенциал поступательного потока, имеющего скорость V, a w'(z) —комплексный потенциал возму­ щений. Очевидно, что на бесконечности dw = V, 17 dw' dz = 0. (1.7) Учитывая определение комплексного потенциала w (г) = Ф (х, у) -f ity {x, у) и (1.6), можем написать Ф (х, у) = Vx + ф' (х, у), (1.8) Ф (*• У)=Уу + г|/ (х, у). Здесь ф', г|/—потенциал скорости и функция тока возмущен­ ного потока. Чтобы решить задачу об обтекании тонкого про­ филя, достаточно найти w'(z). Получим условие, которому должна удовлетворять функция г|/. Поскольку контур крыла S должен являться линией тока, то, не ограничивая общности, можно положить ^ = 0. (1.9) Подставляя (1.5) и (1.8) в (1.9), получаем для верхней и ниж­ ней частей профиля t'(x, y ) = -V(T (x)-ax), V{x,y ) = -V[ff- (x)-ax). ' R u ( L u u 175 Учитывая, что тонкое крыло вносит в поток малые возмущения, разложим функции г|/(х, у ) и $'(х,у„) в ряд Тейлора по сте­ пеням у и у„ в окрестности г/ = г/„ = 0: в в в V'{x, у,) = Ъ'(х, +0) г/в + • • •, (Ml) *'(*. I/„) = *'(-«, - 0 ) + - ^ -о ••• Уи + Подставляя (1.11) в (1.10) и ограничиваясь членами первого порядка малости, получаем условие обтекания для функции тока ty'(x, у) в виде V(x,+0) = -V(ff- (x)-ax), a ( я|/ (А-, _0) = - V (ЗГ (х) - ах). а ' Таким образом, задача об отыскании w(z) вне профиля по заданным значениям ty(x,y) на его контуре для случая тонкого профиля может быть сведена к задаче об отыскании w'(г) вне разреза (—а, а) по заданным значениям (1.12) для функции г|/ ка разрезе. При этом должны быть удовлетворены условия на бесконечности (1.7) и постулат Чаплыгина — Жуковского. Получим теперь условия обтекания, выраженные через ком­ поненты скорости. Представим v (x,y), v (x,y) в виде x v =V x y + v' , v = v' , x y (1.13) y где v' , v — скорости возмущений. Учитывая, что на контуре Vu = v tg$, можем записать x x (1.14) Разлагая функции v = v' (х, у ) и v' = v' (x, у ) в ряд Тейлора по степеням у и у в окрестности у = у„ = 0 и огра­ ничиваясь в (1.14) малыми первого порядка малости, получаем условия обтекания в виде y в у в я v' (x,+0)=V y в yн y н в (*?£*--а). ^-^К¥-)' (1.15) Таким образом, условие обтекания тонкого профиля может быть записано через скорости на верхней и нижней сторонах разреза (—а, а). 176 § 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ МЕТОДОМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ Будем искать комплексный потенциал обтекания w(z) в виде (1.6). лг dw' г . г Комплексная скорость возмущенного потока —;— — v —tvУ . аг Очевидно, что на бесконечности выполнено условие 1 х dw' dz 0. (2.1) Задача состоит в нахождении функции w'(z), удовлетворяю­ щей условию (2.1) на бесконечности, условиям обтекания и по­ стулату Чаплыгина — Жуковского. Условия обтекания, записан­ ные для функции тока, имеют вид (1.12), а для компонентьз скорости i/— (1.15). Как было показано в § 1, эти условия записываются на верхнем и нижнем берегах разреза (—а, а). Перейдем от комплексного переменного z к комплексному переменному £, используя преобразование Жуковского ( 2 , 2 ) z=z(G)=!(e + ! ) . Это преобразование переводит внешность единичного круга в плоскости £ во внешность разреза (—а, а) в плоскости z. Положим w'(z) = w'(z(t)) = W'(Q. (2.3) Будем искать функцию W(£), определенную во внешности еди­ ничного круга в плоскости £, удовлетворяющую условию на бес­ конечности **'«) = ( 2 - 4 ) dl и соответствующему условию на окружности единичного радиуса. Запишем это условие. Положим £ = ре и введем функции Ф'(р,е), Ч"(р> 0) такие, что ш Г'(£) = Ф'(Р, в) + *Ч"(р, 9). (2.5) Условия обтекания для функции тока возмущенного течения ty'(x, у) записываются на разрезе (—а,-\-а). Этому соответ­ ствует задание значений функции ^ ' ( р , 0) на окружности р = 1. Учитывая, что г|/(х, у) = W'(p, 9), получаем условие для ^ ' ( р , 6) на окружности р = 1 в виде Г — V {.T (a cos 9) — см cos 6], ( _ V/[^- (acose)-aacosej, R ^'0» ° ) = = H 0<9<я, я<9<2я. ( 2 - б ) 177 Введем функцию / #" (acosB) - ^ -. !(в) = \ 0<6<я, Г (Гсо 6) н (2.7) 5 Тогда ImW"(£) = a l / ( a c o s 9 - f ( 9 ) ) . (2.8) Функцию №'(£)> заданную во внешности круга р = 1 и удовлет­ воряющую условиям (2.4) и (2.6), будем искать в виде где с = а + ib . Из (2.9) получим п п n Ф' (Р, в) = ^ 6 + У °° -L (a cos пв + Ь sin пв), n 2л п ^„=о р« ¥ ' (р, 9) = — - ^ In р + 2_ 1п=о ( 2 Л 0 ) у (— я„ sin «9 + 6„ cos пв). На окружности р = 1 будем иметь 6 c o s е а ¥ ' 0 , в) = ZT=o < « " — « sin «в). Сопоставляя (2.8) и (2.11), получаем Z (2.11) oo (Ь cos «9 — а sin «9) = aV (a cos 9 — / (9)). Разложим функцию /(9) в ряд Фурье: п = 0 п п а / (6) = ЕГ=о ( « c o s п в + Р» s i n п 9 (2.12) ) и подставим этот ряд в (2.12). Тогда получим Z„ oo =0 (Ьп cos «9 — а„ sin п9) = = а V [а cos 9 — £ ~ =0 (а„ cos п& + р„ sin /г9)], Из последнего уравнения найдем коэффициенты а„, Ь : а = Va$ , /г > 1, п п n а 1 / а Ь = — о . Ь = аУ(а — а,), b =~aVa , гс>2. Для определения Г воспользуемся постулатом Чаплыгина — Жуковского, согласно которому скорость в задней кромке про­ филя (z = а) должна быть конечной, и, следовательно, в этой точке должна быть конечной производная-^-. В силу того, что 1 dtp' dx n йФ d9 1 dx W 178 n ёФ 1 d% a sin 9 ' в задней кромке, которой соответствует 0 = 0, должно быть вы­ полнено условие с1Ф' = 0. (2.13) dQ е=о Воспользуемся формулой (2.10) для Ф'(р, 0) и запишем значения производной -то- на окружности р = 1 : d а. Аналитиче­ ская функция f(z) определена во внешности профиля, однознач­ на и в силу (3.1) стремится к нулю, когда z стремится к беско­ нечности. Если найдем f(z), то станет известной и искомая „ dw' скорость возмущении -^—. Будем искать f(z) во внешности разреза (—а, а). Пусть L\ — контур, охватывающий отрезок (—а, а), и z — точка вне этого контура. Введем функцию комплексного переменного 1(1) (3.4) 1-г считая 2 параметром. Функция Ф(£) имеет полюс первого по­ рядка в точке £ = z. Окружим эту точку замкнутым контуром / и проведем конгур L так, что­ бы он содержал внутри себя контуры / и L\. Обозначим че­ рез R\ и R разрезы, соединяю­ щие контур / с L\ и L . Контур L (рис. 36), состоящий из кон­ туров L\, I, L и разрезов Ri, R , проходимых дважды, огра­ ничивает односвязную область, в которой функция Ф(£) регу­ лярна. Интеграл от функции, вычисленный по этому контуру, равен нулю: Ф(£) = 2 2 2 2 2 Рис 36. 5,Ф<0^ (3.5) 0. Поскольку интегралы по разрезам, проходимым в противопо­ ложных направлениях, в сумме дают нуль, из (3.5) следует, что $,Ф(£)4+^Ф(£)4+$ £ г Ф © ^ = о. (3.6) Первый интеграл в (3.6) вычислим по формуле Коши \ - ^ d l = 4nif{z). l T Далее учтем, что равенство (3.6) имеет место при любых кон­ турах L\ и Z-2- Поэтому выберем в качестве контура L окруж­ ность большого радиуса R и устремим R к бесконечности. Ин­ теграл по L при этом устремится к нулю, так как /(£)-> 0 при 2 2 Таким образом, равенство (3.6) примет вид 2я//(г)+^Ф(£)4 = 0 180 ИЛИ 1 2я/ f(z) f(C) (3.7) rfS- )L, Специализируем теперь вид контура L\. Выберем L\ в виде, указанном на рис. 37, и будем стягивать L\ к отрезку (—а, а), устремляя е к нулю. Интегралы по окружностям С\ и Сг при этом будут стремиться к нулю. В результате получим -" 1(1 + /О) Ii_ r' / (I - /0) 2m' j . Ci dl(3.8) flf£. Введем компоненты скорости Рис. 37. o*(i, il), ^ ( | , п) в подын­ тегральные выражения в (3.8). Из определения (3.3) для f(£) следует f (0 = f <Е + /л) = К (6, л) - Ч (6, л)] V Щ ^ • Так как на верхнем берегу разреза . /С + д _ . /е + Ю + а . /д + Е , а на нижнем /g + g _ / 1 - I 0 +а _ /а +£ равенство (3.8) можно переписать в виде '«—srS'-V^ ~^TJ-aV^T (i, +o) — iv' (i, +o) S — 2- ~г , (6. - o ) d l Объединим в этом выражении члены с v' и члены с v'У: u J_fa / ( « ) = 2я J - a • / Т + Г ^ (1, +0) + Р, (£, -0) V a- £ >ТТГ + S'-.V^I l-z v 'y (t +°) +"'»(6 2я 0) dl + (3.9) Учтем теперь граничные условия (3.2) для проекции на ось у скорости возмущений v' (l, +0) = v' & -0) = V dP(\) d\ и примем,что v'Jl, +0) + v' (l, - 0 ) = 0. (3.10) y y x 181 Подставляя (4.7) в (4.6), получаем dz ь я J-а г — \ J_ а d\ г — \ b Так как Р (а) = &~ (—а) = 0, то *Е1 ЛГ« = JT^2_ (4.8) Из (4.8) видно, что постулат Чаплыгина — Жуковского выпол­ няется, если задняя кромка профиля z — а — точка возврата § 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТОНКОГО ПРОФИЛЯ Л. И. Седовым был предложен метод, позволяющий получить решение задачи обтекания произвольного тонкого профиля, если известно решение двух задач, рассмотренных в § 3 и 4: обтека­ ния профиля без толщины и бесциркуляционного обтекания симметричного тонкого профиля. Рассмотрим тонкий профиль произвольной формы Ув = ^ в ( 4 уп = $~Ах). Образуем профиль без толщины , . . , . - ^ M+ - • М (5.1) ,5.2) и симметричный профиль ГАх)-Г(х) У 2 а I, п (5.3) <Г„ (*) - У , (*) Очевидно, что 1 1 1 Ув = У +У , У» = У1+ г/"в в Требуется найти комплексный потенциал возмущений w'(z), заданный во внешности контура (5.1) и удовлетворяющий усло­ виям на бесконечности 1ПГ\ = и л 5 4 ' <'> loo на контуре $'(х, +0) = -УЗГ (х), V(x,-0) = -Vr (x) ' и постулату Чаплыгина — Жуковского. Пусть функции w\ (z), w' (z)~ потенциалы возмущений в случае обтекания профилей (5.2) и (5.3) соответственно. Эти в { n u 184 функции также удовлетворяют условиям обтекания и постулату Чаплыгина — Жуковского. Граничные условия для этих функ­ ций имеют вид dw ~dz i dw. dz = 0, 0; Ь(х, +0) = M*. -0) = -V •Фи (х, +0) = —Ч>" (х, - 0 ) = У (х) в -V (5.6) + 1Г (х) н У М ~ *"„ («) (5.7) в Составим функцию w' {z) = w[(z)+ w' {z). lu n Очевидно, что эта функция удовлетворяет условиям на беско­ нечности и постулату Чаплыгина—Жуковского. Нетрудно, учи­ тывая (5.6) и (5.7), убедиться в том, что эта функция удовлет­ воряет и условиям (5.5) на верхнем и нижнем берегах разреза (—а,-\-а). Поэтому искомая функция w' {z) = w' (z). Таким об­ разом, комплексный потенциал возмущений обтекания произ­ вольного тонкого профиля складывается из комплексных потен­ циалов возмущений обтекания профиля без толщины и бесцир­ куляционного обтекания симметричного тонкого профиля. Для комплексной скорости возмущений имеем ul dw in dz dw' dz dw. dz dwu dz (5.8) После того как решена задача обтекания, нужно найти давление и подъемную силу. Поскольку жидкость идеальна и движение установившееся, воспользуемся интегралом Бернулли 2 ' р 2 ' р - Учитывая, что и пренебрегая величинами v' , v' , получаем x х y Р 185 Подставляя (4.7) в (4.6), получаем э йг я J-tz-S Так как Р (а) = #" (—а) = 0, то Ъ~ d\ z — \ b а dw' Из (4.8) видно, что постулат Чаплыгина — Жуковского выпол­ няется, если задняя кромка профиля z = a — точка возврата (У(а) = У'(а)= 0). § 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТОНКОГО ПРОФИЛЯ Л . И. Седовым был предложен метод, позволяющий получить решение задачи обтекания произвольного тонкого профиля, если известно решение двух задач, рассмотренных в § 3 и 4: обтека­ ния профиля без толщины и бесциркуляционного обтекания симметричного тонкого профиля. Рассмотрим тонкий профиль произвольной формы Г г/в = 3 в М , Уя = ^Лх). Образуем профиль без толщины r (5.1) r ,..,._' -<->j' -'* (5 и симметричный профиль „„ . У, (*)-У (*) Ув 2 ..п__ „,,_ Г Ы-1Г (х) . 2) н в У н Ув (5.3) И о Очевидно, что 1 1 1 Ув = у[+ у[\ Уп = У + У . н я Требуется найти комплексный потенциал возмущений w'(z), заданный во внешности контура (5.1) и удовлетворяющий усло­ виям на бесконечности -JT = 0 , (5.4) d на контуре Ъ'(х,+0) = -№Лх), V{x,-0) = -V9-n{x) и постулату Чаплыгина — Жуковского. Пусть функции w\ (г), w' (z) —- потенциалы возмущений в случае обтекания профилей (5.2) и (5.3) соответственно. Эти ( 5 , 5 ) u 184 функции также удовлетворяют условиям обтекания и постулату Чаплыгина—Жуковского. Граничные условия для этих функ­ ций имеют вид do), dz = 0, = 0; dz (5.6) о iMx, +o) = iM*, -o) = -v ЗГ (x) + V В (x) n (5.7) ^ ( , +0) = X b T ( , -0) = -V l X * ( x ) / » ( х ) Составим функцию w' {z) = w' (z) + w' (z). m l u Очевидно, что эта функция удовлетворяет условиям на беско­ нечности и постулату Чаплыгина — Жуковского. Нетрудно, учи­ тывая (5.6) и (5.7), убедиться в том, что эта функция удовлет­ воряет и условиям (5.5) на верхнем и нижнем берегах разреза (—a,-fa). Поэтому искомая функция w' (z) = w' (z). Таким об­ разом, комплексный потенциал возмущений обтекания произ­ вольного тонкого профиля складывается из комплексных потен­ циалов возмущений обтекания профиля без толщины и бесцир­ куляционного обтекания симметричного тонкого профиля. Для комплексной скорости возмущений имеем ul _ dw^ dw ~~ dz "Г" dz • dw' __ dw' dz ~~ dz m n (Ь Ь -> После того как решена задача обтекания, нужно найти давление и подъемную силу. Поскольку жидкость идеальна и движение установившееся, воспользуемся интегралом Бернулли 2 ' р 2 ' р - Учитывая, что 2 v = vl+vl = (V + v' y + v' ' x y и пренебрегая величинами о', v', получаем W'+£х 9 = £?., Р 185 или •£!= Р р р ~ °° Р =-Уу' х Поскольку при рассмотрении произвольного тонкого профиля складываются скорости возмущений, соответствующие обтека­ нию профиля без толщины и обтеканию симметричного про­ филя, то складываются и возмущения давления р', а следо­ вательно, и подъемные силы. Симметричный профиль при бесциркуляционном обтекании имеет нулевую подъемную силу. Поэтому произвольный тонкий профиль имеет такую же подъ­ емную силу, как и профиль без толщины, проведенный по его средней линии. ГЛАВА XIV ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Течение называется осесимметричным, если существует та­ кая прямая /, что во всех плоскостях, проходящих через /, кар­ тина течения одинакова и траектории жидкой частицы лежат в полуплоскостях, проходящих через /. С осесимметричными тече­ ниями мы часто имеем дело на практике: например, при изуче­ нии течений в трубах и каналах, а также при обтекании тел вращения без угла атаки. Осесимметричные течения могут описываться как в цилинд­ рических г, ф, z, так и в сферических г, 0, К координатах. В ци­ линдрических координатах в случае осесимметричного течения все гидродинамические величины зависят только от г и z и не зависят от ф, а в сферических координатах они зависят от г и 8 и не зависят от X. § 1. ИСТОЧНИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ Рассмотрим сферически-симметричное течение от источника обильности q, помещенного в начале координат. Такое течение представляет собой частный случай осесимметричного (все гид­ родинамические величины функции только г). Поскольку жид­ кость несжимаемая, то уравнение неразрывности во всех точках, не совпадающих с началом координат, имеет вид divv = 0. По­ скольку течение безвихревое, то v = grad ф и потенциал ско­ ростей ф удовлетворяет уравнению Лапласа. В сферических координатах выражение для divv имеет вид (см. (4.21) гл. II) d i v v = тчыт {I!F ( V 2 s i n e sin ) + ж Ь>* e г > + ж (°* )} • O-i) Уравнение для потенциала скоростей получим, подставляя вы­ ражение для компонент скорости в этих координатах Эф V r = -W 1 5ф и е=-Ж' 1 Эф °*=7Ж5Ж .. ( 1 л > ' 2 ) в уравнение неразрывности (1.3) 187 В случае сферически-симметричного течения ср = ф(г), по­ этому из уравнения Лапласа (1.3) следует, что d д (.2 f\ дг V О, dr ) откуда, интегрируя, получаем ф = + CiТак как потенциал скоростей определен с точностью до про­ извольной постоянной, не ограничивая общности, можно счи­ тать, что С\ = 0, т. е. Зная ф, можем вычислить проекции скорости на оси координат o ^ = 75"' e = 0. ox —0. (1.5) Рассмотрим сферу радиуса г с центром в начале координат. Выразим постоянную С через обильность источника q. Обиль­ ность источника есть количество жидкости, протекающей через поверхность сферы в единицу времени. Очевидно, что 2 q = 4nr v = 4nC и С = r -~. Тогда потенциал скоростей в случае течения от источника, по­ мещенного в начале координат, запишется в виде Ф= - 1 ^ - (1.6) З а м е ч а н и е 1. Если источник помещен не в начале коор­ динат, а в точке с декартовыми координатами а, Ь, с, то ф: 2 2 An VU - а) + (у- Ь)* + (2 - с) З а м е ч а н и е 2. Потенциал скоростей ф = — -^— является решением уравнения Лапласа во всех точках, кроме точки г = 0. Поставим вопрос, какому уравнению удовлетворяет этот по­ тенциал в точке г = 0. Вычислим расход жидкости через любую поверхность, охватывающую начало координат: S S Используя формулу Гаусса — Остроградского, имеем 9 = $S$A оо, / - > 0 , причем ql = М = const. В этом случае течение называется течением от пространственного диполя. Разложим выражение в квадратных 189 скобках в ряд Тейлора по степеням / и перейдем к пределу при /-*0. В результате получим Mz г Ф = — -—з" > Д е M = ql = const. (2.4) Величина М называется моментом диполя. Нетрудно видеть, что (2.4) можно записать в виде М 4> = д / \\ 1ы17{7) Если ось диполя I не совпадает с координатной осью, то потен­ циал течения от диполя имеет вид М д ( 1\ где = C 0 S C 0 S Ж ~ЬТ ('• ^ + ~dj ^' У)+~дг — производная по направлению оси диполя. C 0 S Z V' "> § 3. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ Рассмотрим сферу радиуса R, движущуюся со скоростью и вдоль оси z; вектор скорости набегающего потока V направлен по оси z. Требуется найти потенциал скоростей ф, удовлетворяющий уравнению Лапласа Аф = 0 (3.1) и граничным условиям на поверхности сферы дп = и (3.2) п и на бесконечности dip 0, -gM =V. (3.3) дх ' ду Записывая уравнения Лапласа в сферических координатах и учитывая, что течение осесимметрично и ф не зависит от X, по­ лучаем для функции ф = ф(г, 8) следующее уравнение: U дг Граничные условия (3.2), (3.3) можно записать в виде (рис.39) -JM дп v \ ^=VcosQ, r r 190 v \^ Q r =«cos9; (3.5) \R r= = -VslnQ, v \^ K r = 0, (3.6) или Эф 1 дф Fcos9, 17 = — К sin 9. г д% (3.7) Исходя из вида уравнения (3.4) и граничных условий (3.5), (3.7), решение будем искать в виде Ф(г, 9) = Q (r) cos 9. (3.8) Подставляя (3.8) в (3.4), приходим к обыкновенному дифферен­ циальному уравнению Эйлера для функции Q(r) 2 dQ dr 2 +' 2r "' dQ dr (3.9) 2Q = 0. к Представив решение в виде Q = г , получим следующее урав нение для к: 2 ) 2 k + k — 2 = 0, корни которого k\ = —2, k = 1. Поэтому 2 cp=(c,r + -^)cos9. (3.10) Постоянные С\ и Сг определим из граничных условий. Из (ЗЛО) имеем U J r ir-*«' U A h Л С\ cos 9, °e U » = - c i sin 9, о ^ Ц ^ = 0. V (З.П) Рис. 39. Сопоставляя (3.11) и (3.6), видим, что С\ = V. На поверхности шара Эф V C S9 (3.12) r.M -^) ° - Сравнивая (3.12) и (3.5), получаем (3.13) Таким образом, потенциал скоростей имеет вид Ф(г, 9) = ( У г + - ^ ^ ) с о з 9 . (3.14) Можно переписать эту формулу в виде lr= = - 4 ( - ) Максимальное значение величины скорости на поверхности сфез ры равно Y V, оно достигается в точках 8 = ± л/2. Напомним, что в случае обтекания бесконечного цилиндра потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости мак­ симальное значение скорости на поверхности цилиндра равно 2V. Из интеграла Бернулли e 2 v 2 2 р V р 2 и —= ' S р U-sz ' р имеем р-р 2 V ( 9 \ Из симметрии распределения давлений следует, что главный вектор всех сил давления равен нулю. В этом заключается па­ радокс Даламбера в случае обтекания сферы потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. § 4. ФУНКЦИЯ ТОКА ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ При рассмотрении осесимметричных течений удобно исполь­ зовать цилиндрические координаты. В цилиндрических коорди­ натах уравнение неразрывности имеет вид (см. (4.16) гл. II) 192 В осесимметричном течении, если ось симметрии принята за ось z, все гидродинамические величины не зависят от 0. По­ этому в этом случае из (4.1) имеем dp (4.2) (Р0р) " Р ' +' -gT дг (PV ) = 0. Ч[, Z Рассмотрим выражение pv dz — pv dp. Вследствие (4.2) оно является полным дифференциалом некоторой функции ij)(p, z) d\\> = pv dz — pv dp. (4.3) p z p z Но по определению полного дифференциала d^ = ^ d dp Поэтому V P — + 9 ^dz. 1 <5ф л ] дф p дг (4.4) Vz = 2 (4.5) р | можно выразить расход жидкости. Подсчитаем расход жидкости, т. е. объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, полученную вращением кривой АВ вокруг оси 2 (рис. 40): z Q = $ J v dS = J J v • n dS. (4.6) n Здесь n — внешняя нормаль к дуге АВ. Учитывая, что в цилиндрических координатах векторы v и п имеют соответственно проекции v , 0, v и п , 0, n , перепи­ шем (4.6) в виде Q = \ \ {V(,n + v ti ) dS. s p 9 7 Зак, 1031 z z р z z 193 Поскольку dS = р d0 dl, то y tt U У Q = Jo" ( 5 P ( P p + "^«г) ^ ) <*8 = 2ix 5 Р ( P"P + Л ) dl. Л Л tt Так как p —~5г> "« = писать в виде w; > выражение для Q можно за­ Q = 2я 5 Р (У dz - и dp) = 2л ^ di|> = 2л (а|> - т|) ). Л Р г в л Очевидно, что если контур АВ замкнутый, то Q = 0. Если движение потенциальное, то существует потенциал скоростей v = grad(p. В цилиндрических координатах 5ф 1 5ф ,. (Эф _ ч причем для течения с осевой симметрией v = 0. Из (4.7) и (4.5) видно, что производные функций а> | и ф связаны следую­ щими соотношениями: e _дф_ _ ± д± <Эр р дг ' _дф_ Зг 1_ д$_ р dp / g\ \ •I 4 Заметим, что (4.8) отличаются от условий Коши — Римана, ко­ торые имели место в плоской задаче. Запишем теперь уравнение для функций ф и а|>. Сначала про­ дифференцируем первое из условий (4.8) по z, второе по р и вычтем одно из другого: йр 2 ^ 2 dz p (Эр U " ( ^ У ) Уравнение (4.9) есть уравнение для функции тока а> | в случае осесимметричных течений. Это уравнение отличается от уравне­ ния Лапласа, которому удовлетворяла функция тока в плоском случае. Теперь умножим соотношения (4.8) на р, затем первое из них продифференцируем по р, а второе по 2 и сложим: Уравнение (4.10) есть уравнение для потенциала скоростей в случае осесимметричных течений. Оно представляет собой уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах. Заметим, что если известна одна из функций ф или ф, то вы­ числение второй из них сводится к квадратуре. Действительно, если известен потенциал скорости ф(р,г), то для ф(р,z) имеем 194 Аналогично для <р(р, z) Рассмотрим несколько примеров. Запишем функции тока для некоторых осесимметричных течений. 1. Поступательный поток ф = Vz. По формуле (4.11) имеем \р = — V о-к- + С. Если ось потока р = 0 есть линия тока ty = О, 2 V то С = 0 и aj) = 2" Р • 2. Течение от источника ср = = — - = = = • . Оче2 4я г 4я V p + z 2 видно, что дф р _ 2 2 Используя второе из q z 2 2 3 An (Vp + г ) ' dp 3 <Эг ~~ 4я (л/р + г ) ' соотношений (4.8), имеем no 2, получаем 2 Р д$__ Л dz 2 2 , df 2 An ( V p + г ) 3 <Эг ' == Но на основании первого из равенств (4.8) ~г~ 9~^-> откуда следует, что -j- = 0, т. е. f (z) = C = const. Таким образом, функция тока в случае течения от источ­ ника будет 4я VP 2 + z 2 о. Течение от диполя: ф = = 3 [—==-). 2 Ал dz \ V P + z 4я г 2 / Запишем выражение для —-, используя первое равенство (4.8): дф _ jWp_ _ d j 1 dz 4я dp dz V p + z 2 2 ~ Э_ / М <5z V. 4я Р _д dp VP 2 1_ + z у'' 2 О- Отсюда будем иметь •Ф = 4я — РЭр —-Vp —7=гт=г + f (Р>+ z 2 Вычисляя производную от этой функции по р и сравнивая ее с выражением для -^—, которое можно получить исходя из 7* 195 второго соотношения (4.8), найдем, что-^- = 0, т. е. f ( p ) = const. Таким образом, функция тока для течения от диполя имеет вид Л/ о|> = (4.14) 4я Wp + z f + с. 2 2 Замечание о постановке задач в случае по тенциальных осесимметричных течений иде а л ь н о й н е с ж и м а е м о й ж и д к о с т и . Если ищется потен циал скоростей ф, то в случае осесимметричного течения нужно интегрировать уравнение Лапласа (4.10) с граничными уело dtp виями на поверхности тела - р = 0 и на бесконечности (если рассматривается обтекание неподвижного тела безграничным потоком) -5 - = 0n i£. = V. дг Другими словами, задача о нахождении ф(р, z) есть задача Неймана соответственно внутренняя или внешняя в зависимо­ сти от того, бесконечна область Oin или ограничена. Если ищется функция тока \|э, то интегрируется уравнение (4.9) с граничными условиями на теле \|з [ s = 0 и на бесконечнох 1 (Э-ф _ = 0, Р дг „ сти — 5 * - 1 Эф jrр <Эр •V. Как уже говорилось, в отли­ чие от плоских течений функция Рис. 41. тока в данном случае не являет­ ся гармонической функцией. С этим связано то обстоятельство, что для осесимметричных течений метод конформных отображений, столь эффективный для плоских задач, не может быть использован. Для решения задач в осесимметричном случае хорошо зарекомендовал себя метод источников и стоков, который рассматривается в следую­ щем параграфе. § 5. ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. МЕТОД ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ Рассмотрим продольное обтекание тела, полученного враще­ нием кривой А1В вокруг оси z (рис. 41). Идея метода источников и стоков состоит в замене рассмат­ риваемого тела системой источников и стоков, расположенных на оси вращения. Причем одна из поверхностей тока для тече­ ния, образованного этой системой особенностей, должна совпа­ дать с поверхностью тела вращения. Другими словами, по за196 данному телу вращения требуется подобрать распределение источников и стоков. Пусть источники (и стоки) распределены на оси z непре­ рывно с плотностью ц(£). Тогда суммарная обильность источ­ ников (и стоков), расположенных на отрезке £, £ + ^С. равна (i(£)af£. При малом d£ можно считать, что в точке £ расположен точечный источник обильности n(£)flf£. Функция тока для тече­ ния от этого источника равна *--^('-?ИтЫ- 5 <-» Интегрируя (5.1), получаем функцию тока для течения, обра­ зованного непрерывно распределенными по оси z источниками с плотностью ц(£): *•»•*>--£$>«>('-VP'+V-O')*- (5 ' 2) Наложим на этот поток поступательный поток со скоростью V, направленной вдоль оси z. Функция тока для поступательного потока Ф = -Р -^. (5.3) 2 2 Поскольку уравнение для функции тока линейно, то для описа­ ния суммарного течения функции тока складываются: • ( M i — ^ - ^ X ' - V P C - C H (5 4 -> Очевидно, что, выбирая разные ц(£), мы получим разные те­ чения. Наша задача так выбрать ц(£), чтобы получить течение около рассматриваемого тела. Для этого, во-первых, учтем, что тело непроницаемо, и, во-вторых, что одна из поверхностей тока должна совпадать с поверхностью тела вращения. Поскольку тело непроницаемо, должно быть выполнено ус­ ловие {%(£)*) « + (uoy + м ) Р + («о + и ) Y. ад г шг где а = cos (га, х), р = cos (га, у), у = cos (га, г), "в* = CV — <х> у, u 2 m = a> x — a> z, u = y — ® х, z x az x у т. е. | 5 . = u a + «ог/Э + u y + а> (уу — zP) + а> (za. — ху) + Qx 0z х у + со (*Р-уа). 2 (1.5) Из формулы (1.5) непосредственно можно заключить, что по­ тенциал ф должен линейно зависеть от скоростей, изменяющих­ ся во времени, и будет иметь структуру ф (t, X, у, Z) = U q>i + И »ф2 + «ОгФз + ®хЧ>4 + «г/Фб + «гФб> 0x 6 0 - ) где функции ф; ( ( ' = 1, 2, . . . , 6) будут функциями координат х, у, z. Такая форма представления потенциала принадлежит Г. Кирхгофу. Из изложенного видно, что если заданы форма тела и закон его движения, то определение потенциала возмущенного движе­ ния приводит к задаче: найти вне поверхности 5 гармоническую функцию, стремящуюся к нулю на бесконечности, нормальная производная которой на S принимает согласно (1.2) заданные значения (1.5). Эта задача в теории потенциала носит назва­ ние внешней задачи Неймана. Вследствие линейности (1.6) все функции ф,- (х, у, z), каждая в отдельности, должны удовлетворять уравнению Лапласа Дф.^0 202 ( i = l , 2, . . . . 6), (1.7) условиям на поверхности 5 dqpi дп а > S s дф4 дп s = m - * . Э ф з ft дп - Р' дп %• S дФе, (1.8) Y. = j t p --уа S ловиям на бесконечности _ <Эф( = 0. (1.9) дх дг ду оо Определение каждой из этих функций приводит, следовательно, к задаче Неймана. Из (1.8) видно, что функция ф1 соответствует тому случаю движения тела, когда u — \, и = и = 0, а> = % — ш = 0, (1.10) т. е. тело движется в направлении оси х с единичной скоростью. Аналогичное значение имеют функции <р и ф . Функция ф соот­ ветствует случаю, когда ОО Qx 0и 0г х г 2 U QX •= Щ = U у 0z = 0, ® = \ , х 3 4 0j, = CD^ = O, (1.11) т. е. тело вращается с единичной угловой скоростью вокруг оси х. Общий вид потенциала (1.6) определяет зависимость ф от времени для нестационарных задач. Из (1.6) видно, что функ­ ция ф зависит от времени только через посредство и и ю, по0 скольку функции -д— верхности тела. зависят лишь от координат точек по­ § 2. ПОВЕДЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ В ОКРЕСТНОСТИ БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКИ З а м е ч а н и е о с ф е р и ч е с к и х ф у н к ц и я х . Рассмот­ рим уравнение Лапласа ди , du , ди 0. дх ^ ду'' дг Построим решение этого уравнения, имеющее вид однородных полиномов степени п. При п = 0 существует одно линейно-неза­ висимое решение и = а = const. Однородный полином первой степени «, = ах + by -\- cz содержит три линейно-независимых решения. Квадратичный полином общего вида и = ах -}- by -f + cz -f- dxy + eyz -f- fzx будет удовлетворять уравнению Лап­ ласа, если а + b + с = 0. Таким образом, при п = 2 будем иметь пять линейно-независимых решений. Можно показать, что существует 2л + 1 линейно-независи­ мых однородных полиномов степени п, удовлетворяющих урав­ нению Лапласа. 2 7 2 2 + 2 2 2 2 2 203 Вводя сферическую систему координат по формулам х = г sin 0 cos Я, у = г sin 8 sin Я, 2 = г cos 8, можно однородные гармонические полиномы степени п записать в виде и (х, y,z) = r Y (Q, Я). n п n Функция У„(0,Я) называется поверхностной сферической, или просто сферической функцией порядка п. Очевидно, что функция У есть полином от cos 8, sin 8, cos Я, sin Я. Из сказанного выше следует, что при каждом п существует 2п + 1 линейно-независимых сферических функций. Сфериче­ ская функция общего вида может быть представлена следую­ щим образом: У (8, Я) = а Р (cos 8) + Т," (а cos тК + Ъ sin mk) P„, (cos 8), п п п 1 тш1 где Р (х) =-^-jpr п m 2 —2 d P т т m n d № — 1)" —полиномы Лежандра, а Р , (х)= п т (x) = (1 — х ) — *т — присоединенные функции Лежандра. Полагая поочередно один из коэффициентов а,- и bi равным единице, а остальные — нулями, получим 2ге + 1 линейно-неза­ висимых сферических функций порядка п. При этом легко показать, что наряду с г У„(8, Я) решением уравнения Лапласа является также функция У (6, Я)/г и что всякая гармоническая функция, стремящаяся к нулю на беско­ нечности, может быть при достаточно больших г разложена в ряд вида а л л+1 л Вернемся к задаче о движении твердого тела и рассмотрим поведение ф при г -> оо. Пусть 2 — сфера радиуса R с центром в начале координат. Так как жидкость несжимаема и объем т тела не изменяется, то поток ее через поверхность 2 должен равняться нулю, т. е. Q = $ $ v r f S = 0. r (2.2) s Потенциал скоростей ф можно представить в виде (2.1), от­ куда Тогда из (2.2) получим _ 204 4 л Л _ £ ^ i ± l \ \ У (6, Я) dS = 0. п (2.4) Чтобы (2.4) выполнялось при R -> оо, необходимо положить А = 0. Отсюда следует, что в окрестности бесконечно удален­ ной точки разложение для ф имеет вид 2 т. е. ф при г-*~оо стремится к нулю как 1/r , a v = grao^— как 1/г . 3 § 3. РАСЧЕТ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИИ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА Рассмотрим вопрос о силовом воздействии потока на тело. На поверхность тела со стороны жидкости действуют силы давления, приложенные к элементам поверхности S. Для глав­ ного вектора этих сил и для главного момента относительно на­ чала координат можно записать выражения R = -$$pnrfS; (3.1) s L= -$$p(rXn)dS, s (3.2) где n — орт внешней нормали к поверхности S; г — радиус-вектор точки поверхности относительно начала координат. Так как жидкость у нас идеальная, несжимаемая, массовые силы отсутствуют, течение безвихревое, то можно записать ин­ теграл Лагранжа в системе x ,yo,z f + 4 + f = /(0. (3.3) В бесконечно далекой точке скорость равна нулю и dt + ^ = /(0, откуда дф" f(t)--^ dt = fAt). Считая, что в бесконечно далекой точке потенциал скорости оп­ ределен для неустановившихся течений с точностью до некото­ рой функции времени, получаем dt ^ 2 ^ р р ' ал \ > где ф' = ф - $ М 0 А . (3-5) 205 Опуская штрихи, можем переписать (3.4) в виде /> = />» —p-^f — P-|-- (3.6) Подставив (3.6) в (3.1) и (3.2), получим S L = \\(rXn)(^ + ^)dS. (3.8) s Выражения для R и L можно также получить и из закона количества движения и закона момента количества движения. Возьмем произвольную неподвижную в пространстве по­ верхность 2, охватывающую поверхность S. Количество дви­ жения К жидкости, заключенной в объеме т между поверх­ ностями 5 и 2, равно P K = p SSS v d T = = p SSS X g r a d r f T (39) * - X Используя формулу Гаусса — Остроградского, приведем К к виду К == р J J фп dS — р jj jj фп dS. s (3.10) s Применяя закон количества движения к в объеме т, будем иметь массе жидкости в 1Г *'-*. (3-Й) где R' — главный век-тор сил, приложенных к поверхности 2 со стороны жидкости, находящейся вне т. Отсюда Для R', учитывая (3.6), получаем R' = -S$pnrfS = p $ S n ( f . + .£.)«*S. s (3.13) s Количество движения частиц жидкости, находящихся в объеме т, меняется со временем. Часть количества движения переносит­ ся через поверхность 2 за счет жидкости, втекающей (вытекаю­ щей) через эту поверхность. Поэтому суммарное изменение за время dt количества движения жидкости в объеме т равно dK = d Гр J J фи dS - р J J фи d S l + p J J \ v n dS dt. L s s J s 206 (3.14) Последнее слагаемое в (3.14) соответствует изменению количе­ ства движения за счет жидкости, которая втекла в объем т или вытекла из него за время dt через поверхность 2. Таким обра­ зом, ^T = -§r\\p4>ndS--£ \\pvndS+\\pvv dS. (3.15) F Z a S 2 Подставляя (3.13) и (3.15) в (3.12), получим в »-'$!-(Я+т)<«нН$«*" + 2 2 +"ir S S р ф пd S vt, ds ~ Пp » - s Так как поверхность 2 неподвижна, то -#}} РфП dS = \ \ pn — dS, поэтому s R = j \\p4>nds + \ \ (n^--vv )dS. r P S j j зЛб < ) n (3.17) 2 Учитывая, что на 2 при больших R потенциал ф имеет поря­ док -„г, a v — порядок -ти-, получаем, что при R -> оо интег­ рал по 2 в (3.17) будет стремиться к нулю. Таким образом, устремляя R к бесконечности, находим, что сила, с которой дей­ ствует безграничная жидкость на тело, такова: R = ^$$pcpnrfS. s (3.18) Теперь получим формулу для главного момента сил давле­ ний, приложенных к телу. Если I — момент количества движе­ ния жидкости в объеме %, L и V — главные моменты сил дав­ лений, которые действуют на поверхности S и 2, то закон мо­ ментов запишется в виде -|- = L ' - L . (3.19) Согласно определению 1= Р \\\ Т ( г Х v ) d x= р \\ \ ( r X g r a d ф ) dx - X Применяя формулу Гаусса — Остроградского, получаем 1 = Р J J Ф (г X n) dS - р J J ф (г X n) dS. 2 (3.20) S 307 Вместо (3.12) будем иметь L = L'-4dt (3.21) Выражения для L' и -jf будут аналогичны выражениям (3.13) и (3.15): L' = p $ $ ( r X n ) ( - ^ + - £ ) d S , (3.22) = p l7 l-SS * ( r X n ) u f S _ p wSS * S ( r X n ) d 5 + S SS p ( r X v ) t ' n r f 5 - 2 Учитывая неподвижность 2 в пространстве, приходим к фор­ муле, аналогичной (3.17); затем, устремляя R к бесконечности, получаем окончательно L«^-$$pcp(rXn)dS. (3.23) § 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ Твердое тело под действием внешних сил движется в идеаль­ ной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Воз­ никающее при этом движение жидкости потенциально. Как было установлено выше, силы давления, действующие со сто­ роны жидкости на тело, приводятся к главному вектору R и главному моменту L: R = = • Р ~dl Иs * П dS ' r -Zt\\p4>( Xn)dS. Обозначим через G главный вектор количества движения, че­ рез Н — главный момент количества движения твердого тела. Внешние силы, отличные от сил давления, приводятся к глав­ ному вектору F и главному моменту Q (F и Q следует считать заданными). Применяя закон количества движения и закон моментов ко­ личества движения к телу, движущемуся в жидкости, можем написать •f-R + F. 208 Подставляя в эти равенства выражения для R и L, получим G_p nrf S ==F "drf SS* ' ) ' г гг* ( 4 1 - 2 ) dt Интегралы В = - р JJ фп dS, (4.3) s I = -p$$ 1у — В , 1 = В , то согласно формулам (4.3), а также (1.8) можем записать х и у 2 г ъ г s 6 s fi =-p$$q>prfS=-p $$=-p\\<*4dS 3 (4.8) s = - 9 \ \ ^ d S . 209 Из (4.4) с учетом (1.8) следуют равенства fi4 = -p$S-^-dS, S S fi =-p$$q>(za-*Y)dS=-p$$q>-^-dS, s (4.9) 8 s s s Формулы (4.8) и (4.9) можно объединить: fl == ( ds (4Л0) ' -eSS P'Sr - s Подставим (4.6) в (4.10). Получим S или B =ZUMU , t (4.12) k где Л« = - Р $ $ Ф * - Ж - ^ (Л / г = 1 6). (4.13) Из (4.12) следует, что все В„ т. е. компоненты присоединенного вектора количества движения В и присоединенного вектора мо­ мента количества движения I, выражаются через Uk (т. е. ком­ поненты скорости твердого тела и и угловой скорости ю) и коэффициенты Я,-*, определенные формулами (4.13). Эти коэф­ фициенты, имеющие размерность массы, определяются по су­ ществу геометрией тела (в подвижной системе от времени они не зависят). Их называют присоединенными массами. Всего имеется 36 коэффициентов \ik (i, k = 1, 2, . . . , 6). В действительности среди этих 36 коэффициентов различ­ ных не больше, чем 21, так как имеет место симметрия коэф­ фициентов k— 1, . . . , 6, hk = ht, ,-_, (4.14) fi Докажем это. Используя вторую формулу Грина, можем за­ писать \ \ \ 810 (Ф< Дф* — Ф* Дф<) dx = В нашем случае т — объем жидкости, заключенный между по­ верхностью тела S и некоторой сферой 2 радиуса R. Левая часть в (4.15) равна нулю, так как все функции ц> { (Эф, являются гармоническими. Функции ф и -s— на сфере соот( 1 1 ветственно имеют порядок -^ и -^-, поэтому интеграл по по­ верхности 2 в (4.15) при R—УОО будет стремиться к нулю как - рз . Таким образом, получаем SSMSH-&)*-». откуда следуют равенства (4.14). Когда решены задачи об отыскании фй (k = 1, . . . , 6), вы­ числение присоединенных масс Xik сводится к вычислению квад­ ратур (4.13). Запишем выражение для кинетической энергии Т жидкости, окружающей тело. Кинетическая энергия жидкости в объеме т будет равна X Так как движение жидкости потенциальное, равенство (4.16) можно переписать в виде *•.-*$$$[(£)"+№(£)>• 17 «-> На основании первой формулы Грина будем иметь , !Ш)'+(£) +(£)>-$$'£«-И*£*Т S S Нетрудно убедиться, что при R -> оо интеграл по 2 стремится к нулю, и, следовательно, rfS г—HS*U- - (4Л8) S Подставляя в (4.18) формулу (4.6) для потенциала ф, получим следующее выражение для кинетической энергии жидкости: S или согласно (4.13) т и =т£1Х.№ * (4Л9) 211 Компоненты В,-, определяемые формулами (4.12), теперь можно записать в виде B i= i s = l W7' 6 4 > •••> - 2 ( - °) Если рассматриваемое тело имеет плоскость симметрии, то, принимая эту плоскость за одну из координатных плоскостей, например за плоскость (х, у), можно упростить вычисление функций Bi и Т. Действительно, в этом случае величины а = cos (n, х) и P=cos(rt, у) будут четными функциями, a y — cos(n, z)— не­ четной функцией координаты z. При этом согласно формулам (1.8) для искомых гармонических функций на поверхности обте­ каемого тела будем иметь равенства = 3 4 5 Ш = -Шл- * ' ' ' л 4 22 <- > где А и А' — симметричные относительно плоскости х, у точки поверхности. Условиям (4.21) будут удовлетворять гармонические функ­ ции фь фг, фб, четные относительно переменной г, а условиям (4.22)—функции фз, ф4, Фб. нечетные относительно z. Действи­ тельно, если функция ф —четная по г, то -^- — нечетная, а -^-, -~ ~ четные функции относительно z, и, следовательно, -Д- = = -~ а-\- -^-$-\--^-у — четная функция по z. Аналогично рас­ сматривается случай функции, нечетной по z. Покажем, что в этом случае коэффициенты Xik ="Кы(I = = 1, 2, 6; k = 3, 4, 5) обращаются в нуль. Используя формулы (4.13) и вводя обозначения S„ и S для симметричных относи­ тельно плоскости х, у частей поверхности, можем написать B h*=-p\\vi^ dS^-p^^dS-p^^dS. s s s H (4.23) B Вследствие нечетности подынтегральной функции и симметрии частей поверхности 5 и S будем иметь Н B Я = 0. (4.24) 13 Совершенно аналогично получим Ли —0, k = 4, 5; A = 0, i = 2,6; ift 212 /5 = 3 , 4 , 5 . (4.25) В случае, если поверхность 5 имеет три взаимно перпенди­ кулярные плоскости симметрии (например, 5 — поверхность эл­ липсоида), подобным образом можно показать, что все коэффи­ циенты %ik с разными индексами обращаются в нуль. В качестве примера рассмотрим обтекание сферы радиуса R, движущейся в жидкости со скоростью v под действием некото­ рой силы F, приложенной в центре шара. Воспользуемся полученными ранее результатами. Согласно формуле (3.17) гл. XIV потенциал обтекания шара, движуще­ гося с единичной скоростью вдоль оси г, будет 3 R cos 9 , . „_ ^г-, (4.26) Фз= ч где г, в, X — сферические координаты с началом в центре шара и полярной осью, направленной по оси z. Из (4.26) следуют ра­ венства = Ш = ^1* С05в > t ). В каждой точке вихревой поверхности согласно ее опреде­ лению вектор вихря скорости перпендикулярен нормали к по< верхности, т. е. Q„ = Q . n = 0. (3.1) Пусть жидкие частицы в момент t образуют вихревую поверх­ ность S . Рассмотрим на этой поверхности произвольный замк­ нутый контур /о, ограничивающий участок поверхности во. Со­ гласно формуле Стокса имеем Г = ф v • dx = ^ Я • n dS = 0. It 218 а» (3.2) В момент времени t частицы жидкости, находившиеся в момент t на контуре / образуют контур /, ограничивающий площадку а поверхности S, на которую перешли частицы с поверхности So. Но по теореме Томсона циркуляция по жидкому контуру не ме­ няется со временем, т. е. 0> i Следовательно, для участка а поверхности 5, учитывая формулу Стокса, получаем J j Q - n d S = 0. (3.3) а Ввиду произвольности а из (3.3) следует, что в любой точке поверхности выполняется (3.1), т. е. поверхность S вихревая. Действительно, допустим, что это не так и поверхность не вих­ ревая, тогда найдется такая точка А этой поверхности, в кото­ рой Q ф 0. По непрерывности Q„ Ф 0 и в некоторой области, ограничивающей эту точку. Эту область можно выбрать на­ столько малой, что Qn будет сохранять тот же знак, что и в точ­ ке А. Взяв эту область за а, получим \ \ Q„ da ф 0, что протиn а воречит (3.3). Докажем теперь, что вихревая линия остается при движении жидкости вихревой. Пусть в момент времени t жидкая кри­ вая А В есть вихревая линия. Проведем через какую-либо точку этой линии две пересекающиеся кривые. Проведя через точки этих кривых вихревые линии, получим вихревые поверх0 о(0) тт о(0) о(0) о(0) ности 6i и Ь . Линия пересечения см и У есть по построе­ нию вихревая линия А В . В момент времени t жидкие поверх­ ности Si и Sf перейдут в поверхности Si и 5 . По доказанному выше поверхности ^ и S будут вихревыми. На поверхности S будут все жидкие частицы, которые были на Si , на 5г —все частицы, которые были на 5г . Жидкие частицы, которые при­ надлежали сразу двум поверхностям Si' и S?", опять будут принадлежать сразу двум поверхностям Si и S - Это значит, что вихревая линия А В перешла в линию пересечения АВ вихревых поверхностей S] и S . Вектор вихря £2 в любой точке пересечения двух поверхно­ стей Si и S должен лежать в касательной плоскости к каждой из поверхностей, т. е. вектор й направлен по касательной к линии пересечения АВ, поэтому линия АВ — вихревая линия. Вторая теорема. Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длине и не изменяется со временем. Совокупность вихревых линий, проведенных через замкнутый контур, образует вихревую трубку. Интенсивностью вихревой трубки называют циркуляцию скорости по контуру, охватываю2 2 0) ] 2 2 t 0) 2 о 2 2 219 щему трубку Г = ф v • dr. Такое понятие имеет смысл, если ин­ тенсивность (т. е. циркуляция Г) не зависит от положения кон­ тура / по длине трубки. По теореме Стокса Г = & v • dx = = \ \ Q do,rji,e о — поверхность, пересекающая вихревую трубку. n а Докажем, что для всех контуров /, лежащих на поверхности трубки и охватывающих ее, интенсивность одна и та же. Пусть h и 1 -—два каких-либо из таких контуров. Рассмотрим объем т, ограниченный поверхностью S, состоящий из Si, 2, S2, где Si и S2 — сечения трубки, ограниченные соответственно контурами 1\ и l , a 2 — часть боковой поверхности трубки, заключенная между 1\ и 1 . Рассмотрим поток вихря через поверхность 5г .. S. Согласно теореме Гаусса — Остроградского, ' получим 2 2 2 r v $ $ Q d S = $ $ $ d i v a < f T = 0, (3.4) B S т так как div Q — div rot v = 0. Из (3.4) сле­ дует, что $$ Q dS= J \Q dS + \\®ndS + J \Q rfS= 0. n n n Рис. 44. (3.5) Поскольку Q = 0 на поверхности 2 ность), из (3.5) имеем (2 — вихревая поверх­ n $$Q„dS+$$Q dS = 0. (3.6) n s, s, Здесь п — внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей объем т (рис. 44). Введя щ = —гц и используя формулу Стокса, получим fjQ„dS = § vdr=»r , 2 Sl h (3.7) JjQ„rfS —^N. стерические поверхности совпадают. /у ^ ^ ^ \ л ,„_,., В рассматриваемом же нами слу­ чае эти поверхности будут пересе­ каться. Четыре поверхности: со = = соо, со = шь р = pa, р = р\ обра­ зуют трубку, которая называется Р=р +1 изобаро-изостерической. Рис. 45. Рассмотрим трубку, для которой с)1 = соо + 1. Р\ = Рй + 1. и контур ABCD, охватывающий эту трубку (рис. 45). Тогда dT dt S B A лО г С a dp— \ adp—\ S JS C JC лЛ рЛ adp—\ JD adp = adp— \ a>dp = (x>o — (o) + 0 = — 1. (4.4) JD При другом расположении поверхностей можно получить равенство -j£ — -r 1. В первом случае трубка называется единично» отрицательной, а во втором — единичной положительной изоба­ ро-изостерической трубкой. Если контур охватывает N единич­ ных положительных трубок и N~ отрицательных, то в + + 4г=« -«-- (4.5) Равенства (4.3), (4.5) составляют содержание теоремы Бьеркнеса. Они показывают, что в бароклинной жидкости dT Ф0 dt и, следовательно, вихри в бароклинной жидкости могут возни­ кать и уничтожаться, 222 § 5. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВИХРЯ Получим уравнения, описывающие изменение вихря. Будем исходить из уравнений Эйлера, записанных в форме Громеки — Лэмба: "37 + grad (-у-) — v X r o t v = F — j g r a d p. (5.1) Применим к обеим частям этого равенства операцию rot. Тогда получим ~0f + rot grad (-^-) — rot (v X rot v) = rot F — rot (— grad p ) . (5.2) Воспользуемся теперь следующими легко проверяемыми форму­ лами векторного анализа: rot (А X В) = (В • V) А - (А • V) В + В div A - A div В, (5.3) где (B-V)*=(lB + iB + kBJ-(l-jL x u + l-^ + k£) rot (aA) = . 2 д а>, 2 д а>Qi -F^ + T^ + T^- ^y>^ ' / 8 За к. 1031 2 ( 6 Л 0 ) 225 Положим v',') = grades и подсчитаем расход жидкости q через поверхность сферы S, внутри которой находится область т : t ; S г. г,, ~SSS )i dx — xfii ср- Отсюда следует, что течение с потенциалом q>; можно прибли­ женно описать как течение от источника обильности q^ Тогда можно ожидать, что ф* (х, у,г)та — xfii (4лг )~\ с р (6.11) { 2 где r = (x — l y + (y — r) f + (z — Z, Y, a (l , i\ , Q — коорди­ наты точки из области t/. Подставляя (6.11) в (6.9), получаем i i i i L { В правой части (6.12) стоит сумма Римана для интеграла -±SSi е (е, л. S) r d\ dx\ d%, поэтому можно ожидать, что решение уравнения Пуассона (6.8) имеет вид * = - ^ Ж \\\ 11 Г *>*»dt. (6.13) —оо Функция (6.13) называется ньютоновым потенциалом. В курсах математической физики доказывается, что эта функция является единственным решением уравнения Пуассона (6.8), стремящимся на бесконечности к нулю, если только нало^ жить некоторые дополнительные условия на функцию 0. Достаточно потребовать, чтобы функция 0 была кусочногладкой, ограниченной и убывала на бесконечности как , где а > О, R = л/х + tf + z . Таким образом, решение задачи (I) определяет вектор 2 + а 2 2 + 00 v ^ g r a d q ^ - ^ g r a d jjj Ч 1 '? Л ) dx. (6.14) — оо Перейдем теперь к решению задачи (II). Ранее говорилось о том, что для любого вектора А справедливо равенство divrotA = 0. Следовательно, если искать решение задачи (II) в виде V2 = rot А, 226 го первое уравнение этой задачи удовлетворяется тождественно, а второе уравнение в этом случае имеет вид rot rot А = й. (6.15) функцию А называют векторным потенциалом поля скорости. Используя легко проверяемое равенство rot rot A = grad div A — ДА, запишем уравнение (6.15) в виде ДА —graddivA = —Q. (6.16) Не уменьшая общности, можно считать, что div A = 0. Дей­ ствительно, если div А = / Ф 0, то, полагая Ai = А + grad оо Но известно, что функция, гармоническая во всем пространстве и стремящаяся к нулю на бесконечности, есть тождественный нуль. Следовательно, div А = 0. 2. Установим единственность полученного решения задачи (6.1), (6.2), (6.6). Предположим, что наряду с построенным ре­ шением v имеется другое решение задачи vj. Тогда разность u = v — Vi удовлетворяет условиям divu = 0, rotu = 0, u| = 0. oo Покажем, что и = 0. Очевидно, что и — потенциальное поле u = grad ф. Но div u = div grad ф = 0. Следовательно, ф, а вме­ сте с ней и и являются гармоническими функциями. Таким об­ разом, и — гармоническая функция, обращающаяся в нуль на бесконечности. Отсюда следует, что и = 0 и Vi == v. Единствен­ ность полученного нами решения доказана. З а м е ч а н и е . Скажем несколько слов о решении в области т, ограниченной поверхностью S, задачи (6.1), (6.2) с гранич­ ным условием (6.4). Решение этой задачи можно искать в виде v = grad ф + rot А + и, где ф и А — построенные выше функции, а и удовлетворяет уравнениям div u = 0, rot и = 0. Очевидно, что u = grad ty. Тогда div и = div grad ty = Дф = 0. Для нормальной состав­ ляющей v будем иметь n : v \s n Следовательно, дп , + TOt A\ + n s u ) =*V {M). n s a д\р = f(M), дп (6.21) где f (M) =V {M) — ~ — rot„ A | . Поскольку f — заданная функция, для о|з получаем задачу Неймана. n s § 7. СКОРОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ВИХРЕВОЙ НИТЬЮ Пусть в жидкости, заполняющей все пространство, имеете»', замкнутая вихревая трубка с конечным объемом т. Поле скоро­ стей, индуцируемое такой вихревой трубкой, определяется фор­ мулой (6.20). В нашем случае Q{x,y,z)= 0 вне области т. Так 228 как мы предполагаем, что в жидкости нет источников, то 6 (х, у, z) — 0 всюду. Поэтому X Пусть а — сечение трубки, / — средняя линия трубки, a t — единичный вектор касательной к средней линии. Полагая вихрь скорости Q постоянным в каждом сечении трубки, для элемента вихревой трубки длины dl можно записать ildx — iladl = = tQadl. Тогда I a I Устремляя а к нулю (при этом Q-*oo), но так, чтобы произве­ дение Qcr оставалось постоянным, получаем вихревую нить с ин­ тенсивностью Г = 0,а. По теореме Гельмгольца интенсивность Г постоянна вдоль /, поэтому, переходя к пределу, получаем v rot 7 3 =ir L>- <-> Проекции скорости v на координатные оси определяются по формулам х 4я V ду ) i r dz h r 2 4я V, дх Ji г ду )t r ) ' ) ' Вектор t не зависит от координат х, у, г. Выполняя дифферен­ цирование под знаком интеграла и учитывая, что grad— = = — jr, где г = (х — |) i + (у — т|) j + (z — g) k, получаем I _ : '- — Г Г ( х-1 ~ 4л та К г . \ dl_ у-г\ 1 У г 1 Ч 2 г • I В скобках под знаком интегралов в (7.4) стоят компоненты векторного произведения двух векторов t и т = —. Поэтому 8 Зак, 1031 229 формулы (7.4) для скорости, индуцируемой в пространстве вих­ ревой нитью, можно записать в виде v = lH ( t X m ) = ^ lH ( t X r ) ^- (7-5) Очевидно, что элемент вихревой нити Л/ порождает в точке М (г) скорость Av: 4 * - & ( « Х 7 ) £ Г . dl Здесь а — угол с численным значением Ау | = "тг 4л sin а -^г. г между векторами t и г (рис. 46). Формулы (7.5) и (7.6) аналогичны формулам Био — Савара в электродинамике. 2 IW) •ом) "X I Рис. 47. Рис. 46. § 8. ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ ВИХРЕВАЯ НИТЬ Формулы (7.5), (7.6) были выведены для замкнутой вихре­ вой нити, однако они имеют смысл и для бесконечной вихревой нити. В качестве примера рассмотрим прямолинейную вихре­ вую нить, проходящую через точку (|, ц) параллельно оси г (рис. 47). Тогда t = t = 0, t =l, dl = dt, и формула (7.5) приобретает вид x y z vulli в проекции на оси координат 230 v = 0. r 2 Полагая р = л/{х — If + (у — ц) получаем # \: Поэтому формулы (8.2) можно записать так: v Y Г у-г\ 2я = Г х ^=-2я ' (8.3) v, = 0. Нетрудно видеть, что формулы (8.3) описывают плоское тече­ ние. В каждой плоскости, перпендикулярной вихрю, частицы движутся по окружности, в центре которых находится вихрь. ВеГ 1 личина скорости v =— . Таким образом, рассмотренное в главе III течение в плоско­ сти от точечного вихря, есть течение, вызываемое бесконечно тонкой прямолинейной вихревой нитью, перпендикулярной этой плоскости. § 9. ВИХРЕВОЙ СЛОЙ Представим себе плоское движение жидкости со следующим распределением скоростей (рис. 48): при у<0, при »* = 0^.у^.е, при у > е. (9.1) Две другие составляющие скорости v — v = 0. Вычислим вектор вихря для рассматриваемого движения. Так как течение плоское, то отлична от нуля только составляю­ щая вихря скорости вдоль оси z y 1> \ дх z ду ) dy Воспользовавшись выражением (9.1), получим для Q z при 2 й = ^ "'Т" г П И Е Р о при у < 0, е (9.2) °<у< . у > 0. Таким образом, линейному распределению скорости жидко­ сти в слое соответствует вихрь Q^ = ———-, д _ црпна слоя. [ Г 8* е е Ш 23! Выделим в слое вихревую трубку прямоугольного сечения шириной Лл: = 1, высотой Е М вычислим ее интенсивность: Г = ^ Q dxdy = - ^ dx s 2 S'-^T^ 1 dy=~(v,~v ). l (9.3) Из последней формулы следует, что интенсивность вихревой трубки Г = fije не зависит от толщины слоя е- В пределе, когда s ->• 0, О -> <х>, а интенсивность Г = ui — va сохраняется постоянно», будем иметь течение с поверхностью разрыва каезтельной составляющей скорости. Это течение с тангенциальным разрывом можно трактовать как течение, порождаемое вихре­ вым слоем (бесконечно тонким вихревым слоем, в котором рас­ положены вияри достаточно большой интенсивности). г ГЛАВА XVII ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА В случае обтекания крыла бесконечного размаха задача сво­ дилась к изучению плоского движения — обтеканию профилен. При рассмотрении обтекания профилей был установлен посту­ лат Чаплыгина — Жуковского и получена формула для подъем­ ной силы. Теперь нужно построить теорию обтекания крыла конечного размаха. § 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА С ЗАДНЕЙ ОСТРОЙ КРОМКОЙ. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА Пусть на крыло конечного размаха набегает установившийся езвихревой поток идеальной несжимаемой жидкости. Массовые силы будем предполагать отсутствующими. Так как поток безвихревой, то существует потенциал скоро­ стей ф и задача сводится к отысканию функции qs[x,y,z), удов­ летворяющей уравнению Лапласа в граничным условиям на поверхности крыла дп $. = 0 (1.2) и на бесконечности (принимая, что ось х параллельна v,J i2- = o дх w -' i£=0 ^- = 0 dij дг "* U " (\Э,\ * 1 J ' Если при этом, как и в случае плоской задачи, потребовать непрерывности скоростей ^ = - ~ , v = ~ , Vz = ~jf во всем внешнем по отношению к крылу пространстве, то такая задача будет иметь единственное решение. Вычислив главный вектор сил давления, действующих на крыло, получим, что F = 0 — парадокс Даламбера. Если задняя кромка крыла острая, то окажется, что полу­ ченное решение дает в этой кромке бесконечно большие значе­ ния для некоторых компонент скорости, т. с. постулат Чаплы­ гина — Жуковского в течении, соответствующем полученному решению задачи, не выполнен. В этом решении нет произволь­ ного параметра, который входил в решение для плоской задачи (там этим параметром была циркуляция Г). y 2за Таким образом, сделанные предположения не обеспечивают возможности выполнения постулата Чаплыгина — Жуковского. Нужно отказаться от некоторых из них. Предполагая, как и раньше, что движение идеальной жид­ кости установившееся и потенциальное, не будем требовать, чтобы v , v , v всюду вне крыла были непрерывны. Поскольку мы хотим сохранить постулат, т. е. чтобы жидкость, обтекая крыло конечного размаха, покидала его в задней острой кром­ ке, и так как ниоткуда не следует, что скорости частиц жид­ кости, сходящие с верхней и нижней сторон крыла, одинаковы, то естественно допустить, что в жидкости имеется поверхность 2, проходящая через заднюю острую кромку, на которой пет непрерывности скоростей. Так как движение установившееся, то эта поверхность 2 должна быть неподвижна в пространстве. В точках этой поверхности с верхней и нижней сторон должны быть выполнены условия непрерывности давления и нормаль­ ной составляющей скорости, т. е. x y z Р h —P Ь д п (1.4) дп При отсутствии массовых сил из интеграла Бернулли -^- + — = const следует, что квадрат скорости, а следовательно, и величина скорости непрерывны при переходе через 2. Но v = v + v , где v = - ^ — нормальная, vx — касательная со­ ставляющие скорости. Так как функция v непрерывна при пе­ реходе через 2, то непрерывна и v\, а тогда и абсолютная ве­ личина Vx- Но сама касательная составляющая v может тер­ петь разрыв, при этом при стационарном движении разрыв ис­ пытывает только v — поперечная составляющая v%. Поверхность, на которой терпит разрыв касательная состав­ ляющая скорости, может быть интерпретирована как вихревой слой. Заметим, что поверхность 2, вообще говоря, неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи. Таким образом, задача сводится к отысканию функции 4), т. е. крыло длинное и узкое. 3) Гипотеза плоских сечений, оправданием которой служит второе предположение, позволяет в плоскости z = const скоро­ сти и давления 2 2 v = v (x, у), x x v = v (x, у), y y р = р (х, у) построить так же, как в случае крыла бесконечного размаха. 4) Гипотеза о справедливости схемы жидкого крыла предпо­ лагает возможность подобрать такую систему особенностей, ко­ торая может заменить действие твердого непроницаемого крыла На поток и вызвать такое же движение жидкости, которое вызы­ валось действием крыла. § 2. ВИХРЕВАЯ СИСТЕМА КРЫЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Составим представление об общей схеме рассмотрения за­ дачи с учетом сделанных предположений. Жидкость, заполняю­ щая безграничное пространство, обтекает крыло конечного раз­ маха (рис. 49). С задней острой кромки крыла сбегает поверхность Е разрыва касательных составляющих скорости, ко­ торую можно трактовать как вихревую поверхность, образо­ ванную вихревыми трубками. Выделим на этой поверхности бесконечно тонкую вихревую трубку. При сделанных предполо­ жениях (движение установившееся, жидкость несжимаемая, мас­ совые силы отсутствуют) справедлива теорема Гельмгольца, со­ гласно которой вихревые трубки при движении все время остаются вихревыми трубками, перемещаясь вместе с жид­ костью. Но поскольку движение установившееся, это возможно, только если вихревые линии будут совпадать с линиями тока. 235 Так как крыло тонкое, то можно скорости представить в виде V x = V oo + К' V ij = V 'y> V z = °z> Г Д е К' V 'tf К — СКОРОСТИ ВОЗМу- щений, возникающие из-за наличия крыла. Так как последние невелики по сравнению со скоростью v , то линии тока будут мало отклоняться от линий тока невозмущенного движения. По­ верхность тока, сбегающая с задней острой кромки крыла, и совпадающая с ней вихревая поверхность будут мало откло­ няться от плоскости (x,z). Поэтому приближенно можно припять, что вихревая поверхность совпадает с частью плоскости (х, z), а вихревые линии, образующие эту поверхность, будут прямыми, параллельными оси х. По теореме Гельмгольца вихревая трубка сохраняет свою интенсивность по всей длине и потому не может оканчиваться в жидкости. Согласно схеме жидкого крыла можно считать все x Рис. 49. пространство заполненным жидкостью. Поэтому вихревую труб­ ку нужно представить продолженной в области внутрь крыла и затем выходящей из него, т. е. каждый вихрь можно предста­ вить в виде П-образного вихря. Часть вихря, связанную с кры­ лом, называют присоединенным вихрем, части вихря, покидаю­ щие крыло и уходящие в бесконечность, называют свободными вихрями. Так как крыло имеет большое удлинение (узкое), то все при­ соединенные вихри рассматривают как один линейный вихрь внутри крыла, расположенный вдоль отрезка оси z (—/ <^ z ^ ^ /), имеющий переменную интенсивность Г = Г (г) вдоль своей длины. От этого присоединенного вихря сбегают свобод­ ные вихри, образующие вихревую пелену 2 (рис. 50). Заметим, что в случае крыла бесконечного размаха свободные вихри от­ сутствуют. Свободные вихри индуцируют в пространстве скорости. В раз­ ных точках пространства эти скорости V/, называемые индуктив236 ными, различны. Но пас интересует течение вблизи крыла. На основании гипотезы плоских сечений можем свести простран­ ственную задачу к плоской. В сечении z = const (—I sc; г ^ /) будем рассматривать обтекание профиля потоком, скорость ко­ торого складывается из скорости v невозмущенного потока и скорости v/, вызываемой свободными вихрями. Так как крыло имеет большое удлинение, то на протяжении длины хорды изменения скорости v,- в зависимости от х и ц вблизи профиля малы. Поэтому можно приближенно принять индуктивную скорость постоянной и равной скорости, вызывае­ мой системой свободных вихрей, в точке на оси z, т. е. там, где расположен присоединенный вихрь (рис. 51). Теперь в сечении z = const будем иметь плоскую задачу обтекания профиля потоком, имеющим скорость v = v Удобно в формулах (2.4), (2.9), (2.10) ввести новую незави­ симую переменную, положив z = — I cos В (соответственно £ = = — /cos 6'), и представить Г в виде тригонометрического ряда r(Q) = 4vjZ" A sinnQ =Ml (0<6, 0'<я). n (2.11) Рассмотрим сначала выражение для подъемной силы. Подставим (2.11) в (2.4): 2 A R = pvl {2l) Y n y o rsinnSsinerfe. Jn (2.12) р" fn/2, rn = n, Учитывая, что \ sin «0 sin mQ dQ = \ , получим Jo (, 0, тфп, n J о 2 Я = яр^(2/) Л (2.13) т. е. подъемная сила определяется только коэффициентом А в разложении Г в ряд по синусам. Теперь запишем выражение для v . Подставим (2.11) в (2.8). Принимая во внимание, что у Ь 1 t _ 1 4 f =1(1) = ^Е/^ С О 5 0 / » 7ет' 14 (2- ) получим v =- ^ Y 3 Так как S COS пАХ t / j g dQ "°' ',. (2.15) V " JO COS 6 — COS 6 " cos nd' dQ' 57 ёГ = 0 cos H' — cos 0 л sin ив , , sino ' , , „. (2.16) v то окончательно для индуктивной скорости будем иметь Угол скоса потока при этом выразится формулой "< = Z / " ^ - 2 < -'8) Выралсение для силы сопротивления получим, подставив (2.11) в (2.5): 2 R = np^(2lfJ] nAl x ii (2.19) 239 Из (2.19) видно, что при заданной подъемной силе (последняя определяется только через А\) индуктивное сопротивление бу­ дет минимальным, если все Ai = О, i ^ 2. Определим коэффициент подъемной силы и коэффициент ин­ дуктивного сопротивления: Ry Г * = 0 0 d) с Rx r Ьх — 5 V 'oo . _ P—s Здесь S — площадь крыла в плане. Используя формулы (2.13) и (2.19) для R и R , получаем y c =zn A y ~~S~ x u 2 Так как (2/) /S = X — удлинение крыла, то выражения для С и С' можно записать в виде С„ = яАЛ (2.20) и х ь 2 С<р = я Я £ Г = т / 1 . га (2.21) § 3. КРЫЛО С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЦИРКУЛЯЦИИ Рассмотрим некоторые свойства крыла с минимальным ин­ дуктивным сопротивлением при заданной подъемной силе. Как было показано выше, у такого крыла подъемная сила и индук­ тивное сопротивление определяются формулами 2 =n ^-(2lfAl Rx= (3.1) P R = np^-(2tfA y (3.2) b Учитывая, что Л, = 0, при всех / ^ 2 из (2.11) имеем Г (6) = 4vJAi sin 9. (3.3) Исключив sin 6 из (3.3), с помощью равенства z = —/cos 0 по­ лучим уравнение для Г(г) 2 2 1 (тет) + (т) = - 3 4 <-> Из этого уравнения видно, что крыло с минимальным индуктив­ ным сопротивлением при заданной подъемной силе имеет эллип240 тическое распределение циркуляции по размаху. Уравнение (3.4) можно записать в виде (тУ+«*-<• где r = 4w i4 /. Из формул (2.17) и (2.18) следует, что у такого крыла v = — v A, а, = Л,. Подъемная сила, индуктивное сопротивление, индуктивная ско­ рость и угол скоса потока определяются только коэффициен­ том А\. Крыло с постоянным по размаху геометрическим углом атаки а называется геометрически незакручепным. Крыло с постоян­ ным по размаху эффективным углом атаки а = а — а,- назы­ вается аэродинамически незакручепным. В противном случае го­ ворят, что крыло имеет крутку (соответственно геометрическую или аэродинамическую). Очевидно, что если крыло с эллипти­ ческим распределением циркуляции является геометрически незакрученным, то оно является и аэродинамически незакрученным. Посмотрим, какую форму в плане имеет такое крыло. Запи­ шем два выражения, определяющие подъемную силу, действую­ щую на элемент крыла dz: m a x 00 I i oa 1 е dR = pv Y (z) dz, y x 2 dR = y v C p-j-b(z)dz. y Приравнивая правые части, получаем Y(z) = C ^fb{z). y Поскольку в плоскости (Г, г) мы имеем эллипс, то и b(z) имеет вид эллипса, т. е. рассматриваемое крыло с эллиптическим рас­ пределением циркуляции имеет эллиптическую форму в плане. При небольших углах атаки можно приближенно положить С = А + Ва , где А, В — некоторые характеристики профиля, а = а — at. У е г § 4. ПАРАБОЛА ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПЕРЕСЧЕТ КРЫЛА С ОДНОГО УДЛИНЕНИЯ НА ДРУГОЕ Установим связь между подъемной силой и индуктивным со­ противлением. Используем для этого формулы (2.20) и (2.21). Рассмотрим наиболее выгодные крылья (с минимальным индуктивным сопротивлением). Для этих крыльев &' = пКА\. (4.1) 241 Из формулы (2.20) можно коэффициент А\ выразить через С,у. Л,= Си •у и, подставив его в (4.1), получить связь между коэффициентом индуктивного сопротивления и коэффициентом подъемной силы: С™: (4.2) пХ< В плоскости (С , Су) зависимость (4.2) изображается в виде параболы, называемой параболой индуктивного сопротивления (рис. 52). Индуктивное сопротивление, как уже говорилось выше, свя­ зано со скосом потока, возникающим вследствие свободных вих­ рей, сбегающих с задней кромки. Если скоса потока нет, то индуктивное со­ противление равно нулю. В реальной жидкости кроме силы индуктивного сопротивления на крыло действует еще сила так называемого профильно­ го сопротивления, которое складывает­ ся из сопротивления трения и сопро­ тивления давления. Коэффициентом полного сопротивления называется ве­ личина х пполн с =г Рис. 52. >ls лн где /?п° — сумма профильного и индуктивного сопротивлений. В широком диапазоне условий коэффициенты С , С можно считать постоянными при заданной форме тела и его положении по отношению к потоку. При различных углах атаки получается кривая С = С {Су), называемая полярой крыла (см. рис. 52). При небольших углах атаки справедливо следующее соотно­ шение: Сх (С ) - Cf (С ) = Cf = const. (4.3) х х у х у у l Величина C f называется коэффициентом профильного сопро­ тивления. Тот факт, что при небольших углах атаки коэффи­ циент С х постоянен, дает возможность получить простые фор­ мулы для пересчета крыла с одного удлинения на другое. Пусть имеется поляра крыла для удлинения Я — hi, надо построить поляру для крыла с удлинением h = Яг. Воспользуем­ ся формулой (4.3): { ] {*. ) Г 242 : _ (Р) Г С? М-&> + с;-&. (4.4) СТ от удлинения не зависит, поэтому ] { К) Cf = С^ - Cf (Л,) = С Х - -^. (4.5) Из (4.4) и (4.5) получим На двух разных полярах одинаковые значения С„ могут быть только при равных эффективных углах атаки _ <М = <#,) _ (х,) a а а (4.7) # Поскольку для крыла заданной формы <х- = Л г ь то <х; = —г- Тогда из (4.7) имеем „cx J= a < v > £ ( _ L __!_). + (4 .8) Формулы (4.6), (4.8) используются для пересчета крыла с од­ ного удлинения на другое. § 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ Г(г) В ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА До сих пор мы считали Г (г) известной и по ней находили коэффициенты индуктивного сопротивления, подъемной силы и угол скоса потока. Установим уравнение, определяющее Г по заданной форме крыла. Используем формулу, полученную для циркуляции в плоской задаче: Г = Bf. ab (а - а ), (5.1) где о — хорда крыла; а = —г—; а — геометрический угол атаки; а —угол атаки, при котором подъемная сила равна нулю. Со­ гласно гипотезе плоских сечений эта формула справедлива в каждом сечении крыла, но в ней вместо а должен стоять эффек­ тивный угол атаки а Таким образом, формулу (5.1) следует записать в виде е Г (z) = - ^ а (г) Ъ (г) [а, (г) - а (г)], (5.2) где а = а — а,:. е 243 Подставляя в (5.2) вместо а,- его значение (2.9), получим следующее интегродифференциальное уравнение для нахожде­ ния циркуляции Г(г): Г (г) = !*• а (г) Ь (г) [а ( ) - - ^ ' _ Д г _ § _ _ а (г)]. (5 . ) 3 Это уравнение называется интегродифференцнальным уравне­ нием Прандтля. Если использовать представление Г(г) в виде (2.11), то можно, подставляя (2.11) в (5.3), свести это уравне­ ние к системе линейных алгебраических уравнений для коэффи­ циентов Ai ОО X [n\i (6) + sin 6] А sin я9 = р, (6) а (0) sin 6, п где (х (6) = -^- а (6)6 (0). Ч а с т ь IV. ГИДРОМЕХАНИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ BOOKS.PROEKTANT.ORG БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ КОПИЙ КНИГ для проектировщиков и технических специалистов Г Л А В А XVIII ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Ранее была получена общая система уравнений гидромеха­ ники вязкой жидкости и сформулирована постановка задач, позволяющая выделить конкретные движения. В данной главе будут рассмотрены свойства движений вяз­ кой жидкости, являющиеся общими для разнообразных видов ее движения. § 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Будем предполагать, если не оговорено особо, что коэффи­ циенты вязкости ц и теплопроводности k постоянны. В этом случае уравнения Навье—Стокса и уравнение неразрывности образуют замкнутую систему уравнений для определения давле­ ния р и составляющих вектора скорости и,- (г = 1, 2, 3): | f = F - - i - g r a d p + vAv, (I.l) divv = 0. (1.2) Уравнение энергии для несжимаемой жидкости в предположе­ нии, что внутренняя энергия является функцией только темпе­ ратуры Е = сТ, имеет вид cp^ r = e + kAT + D. (1.3) Последнее слагаемое правой части уравнения энергии, как бу­ дет показано ниже, характеризует приток тепла, обусловленный работой сил трения. Так как система уравнений (1.1), (1.2) не содержит темпе­ ратуры Т, то, решив ее, можно определить неизвестные функции 245 v и р, а затем найти температуру Т из уравнения (1.3). Тогда для определения составляющих тензора напряжений и вектора потока тепла имеем следующие уравнения: l|T || = - p / + 2|i||e ||; (1.4) t=grad7\ (1.5) где (ft '* /ft 2 ^ дх "*" дх ) • к { Для отыскания решений системы (1.1) — (1.3) должны быть заданы граничные условия. Характер этих условий в различных задачах был подробно рассмотрен в главе VII. В частности, при решении задачи об обтекании неподвижного тела с поверх­ ностью S безграничным установившимся потоком вязкой жид­ кости ищутся решения системы (1.1), (1-2), удовлетворяющие условиям vls = 0, v| = v , p L = p . (1.6) eo 00 00 § 2. НЕОБРАТИМОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Рассмотрим сначала течения идеальной несжимаемой нете­ плопроводной жидкости. Такие течения описываются системой уравнений dv „ 1 , — =F- gradp, (2.1) ? divv = 0. Массовые силы F = F (х, у, г) известны. Пусть v = v(x, у, z, t), p = p(x, у, z, 0 (2.2) — решения системы (2.1). Введем новые функции v' = — \(х, у, z, — /), // = р (х, у, z, — /). (2.3) Очевидно, что если функции (2.2)— решения системы уравнений (2.1), то функции (2.3) также будут решениями этой системы уравнений. Действительно, -j- = -тг и grad p' = grad p. Это свойство называется обратимостью течений идеальной жидко­ сти, или иначе инвариантностью по отношению к обращению времени. Таким образом, если движение идеальной несжимае­ мой жидкости возможно в одном направлении, то оно возможно с теми же скоростями и давлением в противоположном направ­ лении. Докажем теперь, что движения вязкой жидкости в об­ щем случае необратимы. Действительно, если v, p — решения системы уравнений (1.1) и (1.2), а функции v', p' определены, 4 J 0 как н ранее, по формулам (2.3), то в силу того, -jj~ ~ ~J£ > grad p' — grad р, Ду' = — Av, для функций v', p' получим сн246 стему уравнений, которая не будет совпадать с исходной систе­ мой уравнений (1.1) н (1.2). Таким образом, функции v', // не являются решениями уравнений Навье — Стокса. Обратимость течения будет иметь место только тогда, когда Av — 0, т. е. v — гармоническая функция. Но практически для всех граничных задач Av Ф 0. § 3. ЗАВИХРЕННОСТЬ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Будем исходить из системы уравнений для вязкой несжимае­ мой жидкости (1.1), (1.2). Покажем, что любое решение задачи о потенциальном движении идеальной жидкости является точ­ ным решением системы уравнений (1.1), (1.2). Действительно, если движение вязкой жидкости безвихревое, то v = grad ф. (3.1) В силу уравнения неразрывности divv = 0 имеем Аср = 0. Отсюда следует, что Av = A grad ф = grad Аф = 0. (3.2) (3.3) Но при наличии (3.3) уравнения Навье — Стокса (1.1) совпа­ дают с уравнениями Эйлера (2.1), т. е. решения уравнений Эй­ лера при предположении (3.1) являются и решениями уравне­ ний Навье — Стокса. Рассмотрим задачу об обтекании неподвижного тела уста­ новившимся потоком вязкой жидкости. Решение такой задачи должно удовлетворять уравнениям (1.1), (1.2) и граничным ус­ ловиям (1.6). Нельзя ли найти решение этой задачи в классе потенциаль­ ных (безвихревых) течений? Такое решение (если оно суще­ ствует) должно удовлетворять уравнению (3.2) и граничным условиям (1.6). Но, как было показано ранее, решение уравне­ ния (3.2) определяется с точностью до циркуляции при сле­ дующих условиях: , 5ф = 0, gradфL = v , ( При этом касательная составляющая скорости и на поверхно­ сти тела будет отлична от нуля, т. е. v \ = -^- Ф 0. Это означает, что потенциальный поток в случае вязкой жид­ кости не удовлетворяет в точках соприкосновения с твердой стенкой условию прилипания v | = 0, т. е. класс потенциальных течений не может быть использован для решения задач об обте­ кании тел вязкой несжимаемой жидкостью. Течения вязкой г x s s 247 жидкости в этом случае вихревые. Это второе принципиальное отличие движения вязкой жидкости от движения идеальной жидкости. § 4. ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Выделим некоторый объем жидкости т с массой М, ограни­ ченный поверхностью S. На этот объем * (массу) будут дей­ ствовать объемные и поверхностные силы. Обозначим через АА работу объемных сил, через AAs — работу поверхностных сил за промежуток времени dt. Вычислим работу объемных сил АА . К массе pdx, находя­ щейся в элементе объема dx, приложена сила Fpdx. Работа этой силы при перемещении объема dx на dx = \dt равна 6Л = dt p (F • v) dx. Х Х Т Работа за время dt сил, приложенных ко всей массе жидкости в объеме т, AA =dt\\\ {?-v)dx. (4.1) x 9 т Вычислим работу поверхностных сил. На площадку dS с нор­ малью п действует сила x„dS. Работа этой силы на перемещении \dt равна dt(x -v)dS. Отсюда n ^A = dt^x '\dS. (4.2) s Используя формулу Коши для х ((3.7) гл. III) и применяя фор­ мулу Гаусса — Остроградского, находим s a п лл А л * ^fff P = Л ( t *' v ШГ-Т- ) , d(yv) + <5(t -v)-| 2 -^7~+ Т—\ d x - (4 - 3) T Складывая (4.1) и (4.3) и преобразуя второй интеграл, полу­ чаем + <*SSS['"&+v-£+'.-£|««. м X Для любой сплошной среды справедлив закон количества дви­ жения ((5.6) гл. III) d\ 1 / дх дх дх \ dt ~ р V дх ^ ду ~ дг ) ' х и г * В случае несжимаемой жидкости термины «объемные» и «массовые» силы равноправны, так как р = const, 248 Поэтому (4.4) можно переписать в виде ААс-{- bA = dt \^pv s ~dx + dt \\\ D dx. X (4.5) X Здесь через D обозначено выражение D= T. — + r. — + T . . x y z (4.6) 17 Преобразуем первое слагаемое в (4.5), учитывая, что для несжимаемой жидкости (р = const) объем dx не меняется: i -$SMT-)<*-«sss r-*-«ff. X <«> X Из (4.7) следует, что первое слагаемое в (4.5) представляет со­ бой изменение кинетической энергии Т за время dt. Таким об­ разом, АЛ + ЛЛ<; = dT + dt\ 0 и обращается в нуль только тогда, когда все компоненты тензора скоростей деформации рав­ ны нулю, т. е. когда жидкость движется как абсолютно твердое тело. Таким образом, при движении вязкой жидкости только часть работы, совершенной массовыми и поверхностными си­ лами, идет на изменение кинетической энергии, а остальная часть как механическая энергия теряется (рассеивается, диссипирует), превращаясь в тепло. Здесь D — энергия, которая рассеивается за единицу времени в единице объема. При дви­ жении вязкой жидкости происходит диссипация механической энергии. Для идеальной жидкости D — 0, так как \х = 0. 249 Г Л А В А XIX ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Система уравнении несжимаемой вязкой жидкости, получен­ ная ранее, имеет вид div v = 0, i £ = - I r a d / > + vAv. g Отыскание точных решений этой системы существенно труднее, чем для идеальной жидкости. Почти все точные решения в ка­ ком-то смысле получены для одномерных течений. § 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ ОТЫСКАНИИ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Будем считать течение одномерным, если скорости парал­ лельны некоторому направлению в пространстве; при этом в точках плоскости, перпендикулярной этому направлению, гидро­ динамические величины могут принимать различные значения. Выберем направление движения за направление оси х. Тогда v = v = 0. y (1.1) z Выпишем систему уравнений вязкой жидкости, учитывая (1.1): ^ = 0. 0-2) дУх dt J r V x дх ~~ р дх + V \ дх* ^ 1 ду* "*" дг* ) ' (^ %- = 0, - ^ = 0. (1.4) ду дг ' Из (1.2) следует, что v не зависит от х, из (1.4)—что р не за­ висит от у и z, т. е. v = v {y, z, t), (1.5) p = p(x,t). (1.6) х x x x Учитывая (1.5), перепишем уравнение (1.3) следующим обра­ зом: dvx ., (d v , дЧ \ \ др . dt \ ду ~ дг J р дх " ' Левая часть (1.7) не зависит от х, следовательно, -у^- может за­ висеть только от времени: 2 x 2 х 2 | f — f ( 0 , p = /(/)x + A(0. 250 к (1.8) Таким образом, в одномерном движении давление является линейной функцией х. Функции \(t) и /|(/) могут быть найдены, если в двух сечениях Х\ и х задано давление р, а именно р(* 0 = ^ , ( 0 , P{X2,t) = &- {t). Тогда др Т (t) - Т (0 _ Ар . 2 1( 2 = 2 х дх ( 1 Дл; х — Х\ г \ • I При заданном перепаде давлений скорость отыскивается из уравнения (1.7): Уравнение (1.10) по виду совпадает с хорошо изученным уравнением теплопроводности. Неоднородное уравнение (1.10) может быть сведено к однородному заменой v = vx Jo Р x Для отыскания решения уравнения (1.10) должны быть заданы начальные и граничные условия. Одномерные движения могут осуществляться при течении жидкости в цилиндрических трубах (или вне их). Поэтому граничные условия записываются на контурах / , получаемых сечением цилиндра плоскостью х = const: v \t = u (t). (1.11) к x K K Здесь и (0—скорость точек контура. Начальные условия имеют вид » х Ц = ^(!/,г). (1.12) к Задача упрощается, если течение установившееся. В этом случае перепад давлений постоянен, и уравнение (1.10) сводится к уравнению Пуассона Начальные условия отпадают, а граничные условия не зависят от времени: v \t = u . (I.I 4) x K K В самом общем случае скорость v \t. может зависеть от точек контура v \i = v {t, M). Особый случай одномерного течения представляет безнапор­ ное движение жидкости, когда - — = 0, р = const. При этом вместо (1.10) имеем уравнение x x K K dv x 6t ' ( Э2 2 dv (w+mx 1лб <» 251 Если движение установившееся, то скорость находится как ре­ шение уравнения Лапласа & + &-0. 1 1 6 < > удовлетворяющее граничным условиям (1.14). Заметим, что задача (1.16), (1.14) (и постоянны на конту­ рах / ) эквивалентна задаче об отыскании функции тока ty в плоских течениях идеальной несжимаемой жидкости к к Отсюда следует, в частности, что для решения задачи (1.16), (1.14) можно использовать метод конформных отображений. Нетрудно показать, что сила f , действующая на контур / в вяз­ кой жидкости, выражается через циркуляцию Г соответствую­ щего течения идеальной жидкости. Действительно, K к dS = ii § U dS = VLT. f = § т« dS = ц § ^ K § 2. ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Будем рассматривать безнапорное одномерное течение вяз­ кой жидкости. В этом случае скорость v удовлетворяет урав­ нению (1.15). Предположим, что жидкость заполняет все про­ странство и что v зависит только от z и /. Тогда скорость v (z, t) должна быть найдена как решение уравнения x x x dv dt x Ji V' Легко проверить, что функция (2.1) Р ' 1 Г е Х Р 2 (г - а ) 1 П { ^-} Р" любом а удовлетворяет уравнению (2.1). Это фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Так как (2.1) — линейное однородное уравнение, то и сумма решений также будет решением этого уравнения. Общее решение уравнения (2.1) определяется формулой {г ехр °* ' ° = т т S-- {" - ^ } F {a) da - (2>2) Введем в (2.2) новую переменную £ = — ^ = - . Тогда равенство (2.2) приобретет следующий вид: Mz, / ) = - 7 = Г 252 e-£T(z+2£Vv7)4- (2.3) 8 частности (если F непрерывна и ограничена), при / = 0 бу­ дем иметь v (z,0) x = -^F(z)\ e-V dZ = F (z). Следовательно, задавая в начальный момент распределение скорости v\ = v (z,0) = F(z), (2.4) мы можем получить решение задачи (2.1), (2.4) по формуле (2.2) или (2.3). П р и м е р 1. Пусть в начальный момент в жидкости есть тангенциальный разрыв, т. е. при / = О Г оо, z > 0 , , 0 ) = /Чг) = { _ (2.5) x t=0 x О я ( г о > г < > Такое распределение скоростей соответствует вихревому слою. Решение (2.3) позволяет проследить сглаживание разрыва скоростей (рассеивание вихревого слоя). Действительно, под­ ставляя (2.5) в (2.3), получим Z УП VЛ J -оо J £=. 2 Vv< г = ^\TW -VdZ=v<&(-l=r), 2 e у л Jo (2.6) \2 yvt ) i где a>(g) = - M e - e ' r f £ . Vn J Из формулы (2.6) видно, что при t > О распределение ско-. ростей непрерывно, т. е. разрыв, который имел место при t = О, постепенно сглаживается. При /->-оо и при любом z ф 0 ско2 z рость v (z, t)-*-0, причем v ~v —=—j=. x x Последняя фор- ул 2 yvt мула определяет скорость затухания разрыва. При любом поло­ жительном t v (О, t) = 0. П р и м е р 2. Пусть над плоскостью х = 0 находится непод­ вижная жидкость. При t = 0 плоскость внезапно получает ско­ рость Ио вдоль оси х. Что будет происходить с жидкостью? Ре­ шение этой задачи легко построить из решения (2.6). Действи­ тельно, положим x fFx(z ,0 = „ ( l - o ( ^ ) ) = i r r a 0 0 (l-^Jp -^).(2.7) e Из предыдущего ясно, что функция (2.7) — решение уравнения (2.1) (поскольку и и Ф(—^=г)— решения этого уравнения). 42 yvt J 253 Кроме того, эта функция удовлетворяет граничным и началь­ ным условиям. Действительно, при z > 0 *->0, v (z, 0->0, при 2 = 0 ^ > 0 , v (0, t) = v . x x Q Возьмем теперь произвольное положительное z. В момент t = 0 скорость в точке с координатой z была равна нулю. Затем скорость будет возрастать. Если /->оо, т о Ф ( — ^ = г ] - > 0 и v (z, t)-> v . ЭТО означает, что плоскость постепенно увлекает за собой всю жидкость. x § 3. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ Пусть пространство между двумя параллельными плоско­ стями у = ±/г заполнено вязкой жидкостью. Требуется оты­ скать все возможные одномерные установившиеся течения. Из физического смысла задачи следует, что течение плоское; при­ мем, что v не зависит от г: v = v (y). Уравнение (1.13) для на­ хождения скорости в этом случае примет вид x x 2 dv J _ _Др_ x 2 dy Ар Рг — Р\ /лХ Х2 — Х\ где -т- = -—— — /„ ix Ax ' ^ п Л > заданная постоянная. Решение уравнения (3.1) должно удовлетворять граничным условиям на стенках (условиям прилипания), а именно, если «i vi «2 — скорости верхней и нижней стенок, то V \y x = h = V b V \y — h = x v 2- (3.2) Общее решение уравнения (3.1) имеет вид где С\ и С — произвольные постоянные. Определяя С\ и С на основании граничных условий (3.2), получим для v формулу 2 2 x В случае, если движение безнапорное, т. е. -£=0, линейное распределение скоростей Pi — Уг ,, 254 , V2 + Oi имеем /о с\ Остановимся на случае, когда обе стенки неподвижны. Тогда v 1 = i>2 = 0, и решение (3.4) примет вид (3.6) 2 ^= -^^^ -'Л Выражение в скобках в силу \у\ <=; h неотрицательно, так что жидкость всегда движется в направлении падения давления. Максимальное значение скорости v достигается при у = 0. За­ висимость v = v (y) имеет вид параболы (рис. 53). x x x УА У, Рис. 54. Рис. 53. Подсчитаем расход жидкости через сечение между пласти­ нами при толщине слоя вдоль оси z, равной единице: Q = ^ v dS = ^ dz^ v dy- x x 2 Ар 3)j, Дх h\ (3.7) т. е. расход прямо пропорционален падению давления, кубу рас­ стояния между пластинками и обратно пропорционален коэффи­ циенту вязкости. § 4. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ Рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости в круг­ лой трубе радиуса R (рис. 54). Труба неподвижна, ось х совпадает с осью трубы. Для определения поля скоростей надо решить уравнение (1.13) при условии, что в любом поперечном сечении на контуре трубы у -f z = R скорость равна нулю. Б.стественно ввести цилиндрические координаты. Переходя от координат у, z к координатам г, 0, получим у = г cos 0, z = = г sin 0, 2 2 д ду' 2 д 2 дг , д + 2 дг 2 2 2 , 1 д , 2 1 д 2 дг "1" г 2 дв Исследуемое течение осесимметрично, поэтому v зависит лишь от г. Уравнение (1.13) при этом становится обыкновенным диф­ ференциальным уравнением второго порядка, x 255 Таким образом, задача свелась к решению уравнения d' v , 1 dv _1_ _Л£ . 2 x 2 dr x dr Л ц Ai ^> о.Л-л = 0. Уравнение (4.1) можно переписать в виде J _ d / dv±\ ±Ар_ (4.2) ^ г при условии = г dr V dr ) _dvx_ J_±p_r^_ , ( , 3 ) 6 ц Ах • ^- > Интегрируя, получим r dr r ц Дх 2 "т" ° с 1п ь с 4 ^ = | ^ " т + > ' ' + *- 4 <-) Постоянную С] следует положить равной нулю, так как иначе на оси трубы г = 0 скорость будет неограниченной величиной, что не имеет физического смысла. Постоянную С находим из граничного условия (4.2): 2 ±^4 + С, = 0, с = —Ц11* (4.5) 2 Таким образом, для поля скоростей вязкой жидкости внутри трубы имеем формулу <>- = -№#-'*>• { 4 6 ' > Формула (4.6)—формула Пуазейля. Подсчитаем расход жидкости через поперечное сечение трубы: Таким образом, расход пропорционален падению давления, чет­ вертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэф­ фициенту вязкости. Обычно интересуются падением давления -— в зависимости от Q, /?, ц. Формула (4.7) используется также для экспериментального определения коэффициента вяз­ кости. Полученное решение (как и решение предыдущей задачи в § 3) не всегда хорошо согласуется с экспериментом. Оказывает­ ся, что качественная картина течения существенно зависит от безразмерного параметра Re, введенного Рейнольдсом. Числом VI Рейнольдса называют величину R e = — ; где v и / — харак* 256 терные для данного течения скорость и размер. Для течений в трубах за характерную скорость принимают среднюю скорость VcpR Если Re = ^1000-т- 1100, то имеется хорошее совпадение теории с экспериментом. При Re ^(1000-М 100) происходит рез­ кое изменение картины течения. При небольших Re каждая час­ тица жидкости движется по прямой, движение слоистое, спокой­ ное. Такое течение называется ламинарным. При Re > 10 каждая из частиц жидкости совершает хаотическое движение, течение перестает быть одномерным и стационарным. На сред­ нюю скорость накладываются дополнительные составляющие, зависящие от времени и координат. Такое течение называется турбулентным. Формулы (3.6), (4.6) справедливы только для ламинарных течений. Число Re, при котором происходит переход течения от ламинарного режима к турбулентному, называется критическим числом Рейнольдса. Цифра 10 , которая приводилась выше, от­ носится к обычным технически гладким трубам. Однако на са­ мом деле переход ламинарного режима в турбулентный — явле­ ние сложное. В частности, число Re при специальных усло­ виях может быть сильно увеличено. Рейнольдсом был проведен следующий опыт. Брались специальным образом подготовлен­ ные очень гладкие трубы с очень гладким входом. Жидкость подавалась в трубу из специальных баков, в которых она от­ стаивалась в течение 2—3 недель. Тогда критическое число Re возрастало до 10 . Таким образом, переход к турбулентному ре­ жиму существенно зависит от уровня начальных возмущений. Кроме того, существует и нижняя граница Re™ . Если Rex i д о \ __ др_ ^\ дх "^ ду ) ~ дх ' х г 2 2 2 (д 1) . dv\ и dp u + 1F) 4 ^ дУ дх = дУу _ ду х ' W' ( з л ) Q Если использовать эти уравнения для получения решения за­ дачи об обтекании кругового цилиндра, когда граничные усло­ вия имеют вид v L = V, x v L = 0, y р L •= р„, то оказывается, что такая задача вообще решения не имеет, так как невозможно удовлетворить одновременно условиям на теле и на бесконечности. Единственное решение задачи, удов­ летворяющее условиям прилипания на теле, есть тождественный нуль. Такое же утверждение верно для произвольного цилинд­ ра. Это — парадокс Стокса, а именно: если рассматривается обтекание цилиндра произвольной формы потоком вязкой жид­ кости, то уравнения Стокса для стационарной задачи в плоском случае решения не имеют. Возникает вопрос: справедливы ли те предположения, которые были использованы при переходе от уравнений Навье — Стокса к уравнениям Стокса. Для ответа на этот вопрос проверим, справедливы ли эти предположения в задаче об обтекании шара при том конкретном виде поля скоро­ стей, которое мы имеем в этом случае. Если по формулам (2.4) вычислить члены, входящие в уравнения Навье — Стокса, и dv. сравнить выброшенные члены v -~- и оставленные grad p, \iAv, t то окажется, что в некоторой окрестности сферы отброшенные члены действительно малы по сравнению с оставленными. Од­ нако на больших расстояниях от сферы отброшенные члены много больше сохраненных. Следовательно, предположения Стокса заведомо неверны на больших расстояниях от тела. В связи с этим возникают следующие вопросы: не в этом ли со­ стоит причина парадокса Стокса, нельзя ли усовершенствовать уравнения Стокса, сохранив линейность, но обеспечив коррект­ ность на больших расстояниях от тела. Причина несуществования стационарного решения (парадокс Стокса) может быть в какой-то мере выяснена, если рассматри- 285 шается с угловой скоростью on, а внешний — со скоростью соо. Для решения задачи удобно ввести цилиндрические координаты г, 0, х н записать в этих координатах систему уравнений вязкой жидкости. Для этого надо найти выражения divv,-^-, grad р, Av в этой системе координат. Естественно предполагать, что скорость направлена по касательной к окружности г — const и зависит так же, как и давление, только от г, т. е. v — v = 0, ve = v(r), p = p(r). Полученная система уравнений примени­ тельно к рассматриваемой задаче, когда движение установив­ шееся, принимает простой вид и позволяет сразу получить ре­ шение задачи в виде x I С п . f г v = C r+-±, e p = +\ l 2 V (г) r , —^dr. Pl J r tf, r Постоянные C\ и С определяются из граничных условий. Од­ нако для решения рассматриваемой задачи мы используем дру­ гой путь. Чтобы найти зависимости v = v(r), запишем закон сохра­ нения момента количества движения в слое Ri ^ у + z ^ г , г <. R.2 (рис. 55). Пусть М — мо­ мент сил, действующих на этот слой. Поскольку течение плоское, вектор М направлен по оси х. В силу стационарности движения имеем равенство М — 0. Оче­ видно, что М = Mi -j- M , где Mi — момент сил, действующих на внутренний цилиндр, М — мо­ мент сил вязкого трения, прило­ женных к цилиндру радиуса г. Величина этого вектора 2 2 1 2 r Л 2л M =\r 2я 2 (x r dQ) = г J т dQ. о о Здесь Тгд — проекция на ось 0 (т. е. на направление v) напря­ жения, действующего на площадку с нормалью г. При наших предположениях оно зависит только от г, поэтому r rB ге М = Г 2 х 2лг . гв Таким образом, закон сохранения момента дает равенство 2 т 2лг + Mi == 0. г9 (6.1) Пусть угол 0 отсчитывается от оси у. Очевидно, что T T re !e=o = i/z 1г=о259 Поскольку т не зависит от 9, последнее соотношение верно при всех 6. Таким образом, ге / до у . dv \\ T,e = V,|, = , x ( - j + - J [ _ . =0 (6.2) z r r z o Далее имеем v = — v sin 9 = — v —, v = v cos 9 = v •%- и y dv dz dv dy z r z=0 r (-4)L~f- _ д u Oz (6.3) z ,a r ' \dr r ) r |1г=0 o r 2 = \dr r ) Используя эти равенства, на основании (6.2) получим Tr9 = M r ^ : ( f ) . (6.4) Подставляя (6.4) в (6.1), получим уравнение для отыскания v. M, + 2nr (x-^-(f) = 0. (6.5) 3 Общее решение этого уравнения дается формулой v = C + ^-, (6.6) ir где ^-2 = ~4^7Г~" Постоянные С\ и С определяются из гранич­ ных условий 2 ИЛИ, более подробно, ед+-^=«мг„ с,/? +^=«)2«2. (6.8) 2 Решая систему (6.8), получим C l m ^ - m ^ /?2_в2 = C ' *i*l(«"2-«»i) ^2Z^2 • 2= ,, , ( - ) Q 9 6 Таким образом, распределение скоростей между соосными цилиндрами дается формулой Р = = в2_р2 AJ — А 2 г + в2_„2 A J Г Ag - ( 6 Л ) ' Имея формулу (6.10), легко вычислить т, и М : е г 2 т,е = »r -jF ( f ) = - 2ц • £ , М = т 2яг = -4яцС , (6.11) г ге 2 где С имеет вид (6.9). Заметим также, что, измеряя в эксперименте М , можно оп­ ределить вязкость. 2 г 260 Отметим частные случаи течения. а) Оба цилиндра вращаются с одинаковой угловой ско­ ростью: о)1 = юг = ь). Для этого случая из (6.10) получаем v = ar. Вязкая жидкость вращается как твердое тело с той же угло­ вой скоростью. б) Жидкость заполняет безграничное пространство вне ци­ линдра Ri:Ri= R, 0)1 = о), R = °о, ю = 0. В этом случае 2 2 v = Ri —. в) Один из цилиндров неподвижен, например o)i = 0, ш = »• Тогда 2 D2 V =—z гИГ R — Ri 2 /?2 — R\ r § 7. ПРИМЕР ПРОСТЕЙШЕГО УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ вязкой жидкости с ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТЬЮ Рассмотрим задачу. Пусть плоскость у = 0 движется вдоль оси х с постоянной скоростью v = Vo- Жидкость, заполняющая полупространство у > 0, имеет при у->оо скорость v = v . Коэффициент вязкости ц зависит от у: р. = ц(у)- Массовые силы отсутствуют. Посмотрим, имеет ли такая задача решение, и если имеет, то при каких условиях? Очевидно, следует при­ нять, что Vx = v (y), Vy = v = Q. (7.1) Выпишем систему уравнений движения сплошной среды в виде dv 1 (д% дх дх ). (7.2) dt ~ р V дх ~ ду ~ дг d i w = 0. Для составляющих x имеем равенство l | T « | | = - p / + 2|i||e ||. (7.3) При предположениях (7.1) достаточно рассмотреть только одно уравнение — проекцию уравнения движения на ось х, остальные три уравнения системы (7.2) удовлетворяются автоматически. Уравнение (7.2) в проекции на ось х дает x x x x z х t у t г ik tt dy V dy Из (7.4) имеем [ х -dy ^ - = С,. Отсюда у dy v^C^-^ + C,. й(У) = (7.5) 261 Постоянные С и С определяем из граничных условий v \ -о = vо, v ] = !>„,. х 2 x у x у=00 (7.6) Из (7.5) и (7.6) получим и : о Решение поставленной задачи имеет вид у Jo (*(#) Чтобы полученное решение имело смысл, надо, чтобы интеграл —т-г- был ограниченной величиной. Если \ —гт- < оо, то о V-(y) Jo И#) в полупространстве жидкость движется с распределением ско­ ростей (7.7). Если интеграл расходится, то формула (7.7) дает для всех у: v = v — поставленная задача не имеет решения (например решения не будет, если ц (у) = ky + ц ) • x Г Л А В А XX ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В этой главе рассматривается подобие течений вязкой жид­ кости, находящейся в поле силы тяжести, в предположении, что коэффициент вязкости ц постоянен. Вопрос о подобии имеет значение и при рассмотрении теоретических вопросов, и особен­ но при экспериментальных исследованиях. В частности, нужно знать те условия, при выполнении которых результаты экспери­ ментальных исследований над моделями можно переносить на реальные объекты. § 1. СХОДСТВЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ ТОЧКИ Рассмотрим два течения вязкой жидкости с разными коэф­ фициентами вязкости около двух геометрически подобных тел. Пусть а\, й2 — характерные размеры первого и второго тел. Движение вязкой жидкости с коэффициентом вязкости vi около первого тела будем описывать с помощью переменных х\, у\, г\, t\. Аналогично движение вязкой жидкости с коэффициентом вяз­ кости V2 около второго тела будем описывать с помощью пере­ менных х , У2, z%, t%. Так как размерность коэффициента вязко2 2 V а сти [v] = -y-, то величина — имеет размерность времени: Г—1 = Г. Величины а\ и а определяют естественный линей2 а? а\ ныи масштаб в первой и второй задачах, величины — и — могут быть приняты соответственно за масштабы времени. Имея это в виду, введем безразмерные координаты и время для каж­ дого течения с помощью соотношений b «=iL, „ ^ i L . а iL, C | e а ( х, = Л a a { (/-1,2). v i/ t t Сходственными пространственно-временными точками для двух течений около геометрически подобных тел будем называть точ­ ки (xi,yi,Zi,ti), для которых безразмерные координаты и без­ размерные времена одинаковы, т. е. точки, для которых или, что то же самое, х\ х%_ jh_ ]fr_ ' Cj a 2 г, гг_ ' a l a 2 vi a { a 2 2 af Уг^а 2 • а 2 В безразмерных координатах рассматриваемые геометрически подобные тела будут иметь характерный размер, равный еди­ нице, и оба тела будут геометрически тождественны. 263 § 2. ЗАПИСЬ УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ Имеем систему уравнений вязкой жидкости dv , dv , dv , + ^ + ° - a 7 + ^W z == ' "3i- e--gra dv dv дх ду x 1 dv t dv u @'^ z "+^«o. ' dz Предположим, что вектор g массовых сил постоянен в простран­ стве и времени. Обозначим через а характерный размер рас­ сматриваемого течения (например, хорду или размах крыла) и введем вместо х, у, z, t безразмерные координаты и время по формулам х = а%, y = ar\, z = a£, / = -^-т. (2.2) Введем безразмерные функции »->Мт)'п. «-*» 2 3 <'> Нетрудно проверить, что величины и, П, V безразмерны, так как м-И-И- Ю-м-Ш ш-И-ЙБудем теперь рассматривать и, П, у как функции безразмер­ ных переменных | , г\, £, т. Заменим в уравнениях (2.1) коорди­ наты х, у, г на \, х\, £ и время t на т по формулам (2.2). Заме­ ним в этих же уравнениях величины v, — и g на и, П и у по формулам (2.3). Сокращая на общий множитель-,-, из (2.1) получаем систему уравнений да , ди , ди , ди ,, „ , д'и , W +" " , ^д\r + ^"v dr\ + ^ "" ^дЪ •^r "«^T F =~Y - g в»°" r a d n" п ' |2 T J г , г 3 z + w+wди х ди у д\ + di| + 24 <'» ди _ г в; — и ' / где grad = i-^- + j - | + k - ^ . Система (2.4)—система уравнений вязкой жидкости, запи­ санная для безразмерных функций в безразмерных независи­ мых переменных (безразмерная форма уравнений Навье — Стокса). Систему (2.4) можно записать в виде r •fj- = Y - grad' П + Ли, divu = 0, 264 ( 2 , 4 , ) имея в виду, что операторы -^, ным | , т), £, т. Д, div относятся к перемен­ § 3. ПОДОБИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЯ Два течения вязкой жидкости (первое и второе) будем на­ зывать подобными, если значения соответственных гидродинами­ ческих величин, вычисленные для сходственных пространствен­ но-временных точек, отличаются лишь некоторыми постоянными множителями. Эти множители могут быть разными для различ­ ных гидродинамических величин (один для скорости, другой для давления). Пусть имеем два течения около геометрически подобных тел. Пусть они характеризуются величинами (I а\, Vi, g а, v 2 v >, b &-, (2) 2> gb v , т р . Для каждого из этих движений можем выписать безразмерную систему уравнений в в ъ ""'-щ- + 1°-лг + « ~Щ~ = ~ grad 2 1) д и< w {i) du + , , Л « > д¥ du П/ ' 2 дц ^ д? (3.2) ди^ + ~яГ + ~яГ = 0. Решения систем (3.2), если иметь в виду внешние задачи об об­ текании тел, должны удовлетворять условиям прилипания на границах Si обтекаемых тел (Si — поверхность тела с характер­ ным размером, равным единице) и условиям на бесконечности u«>| . = 0, u ^ ' L ^ u W (3.3) s ( Так как безразмерные искомые величины и'> и П, отличают­ ся от размерных искомых величин постоянными множителями, то для подобия движений достаточно, чтобы в сходственных пространственно-временных точках имели место равенства (i> = (2> , = П . (3.4) U и ) п 2 (,) Так как краевая задача об отыскании величин и и ГЬ ста­ вится для одинаковых областей, для которых характерный раз­ мер равен единице, при одинаковых условиях на границе обте­ каемых тел u | = 0 , для выполнения (3.4) достаточно, чтобы: 1) уравнения (3.2) для течения 1 (i = 1) и для течения 2 (i = 2) совпадали; s 9 Зак. 1031 265 2) условия на бесконечности были одинаковы, т. е. ,1, l2 u L = u »L, ибо тогда обе краевые задачи будут тождественны. Для совпадения уравнений необходимо, чтобы (3.5) Yi=Y . что с учетом (2.3) дает следующее равенство: (3.6) 2 а grf 82 1 V? ~ V? (3.7) Условия (3.5), записанные в размерных величинах, приводят к соотношению (1, v a, v т * оо I V| <2) a, (3.8) оо 2 V 2 Равенства (3.7) и (3.8) и являются условиями, достаточными для подобия течений. Как видно, они носят векторный характер. Из этого следует, что для выполнения (3.7) необходимо, чтобы векторы gi и g были параллельны: gi || g ; для выполнения (3.8)— чтобы были параллельны скорости на бесконечности: v^Mlv'^. Если считать, что эти условия параллельности вы­ полнены, то из (3.7) и (3.8) получаем 2 2 оо 1 (3.9) Vl V grf gl 2 a (3.10) 2 Если (3.9) возвести в квадрат и разделить на (3.10), то будем иметь Ж Ж. „.,„ = giai ga 2 ' 2 Условия (3.9), (3.11) эквивалентны условиям (3.9), (3.10). Безразмерную величину Re = — называют числом Рейнольдса, безразмерную величину Fr = — называют числом Фру да. Таким образом, два установившихся течения около геомет­ рически подобных тел будут подобны, если выполнены следую­ щие четыре условия: 266 2 О v<»||vg», 3) Re^ — Ref», 2)g,|]g 4)Fr"> = Fr( >, 2 2l ( З Л 2 ) где числа Re и Fr вычисляются по скоростям на бесконечности. Обычно условия 1) и 2) подразумеваются выполненными, и тогда условия подобия записываются в виде 2 Re = Re<>, 2 FrO^Fr' '. (3.13) Заметим, что число Re содержит коэффициент v. Этот параметр подобия характерен для вязкой жидкости. В идеальной жидко­ сти v = 0 и Re = оо. Подобие же по числу Фруда имеет смысл как для вязкой, так и для идеальной жидкости. Рассмотрим теперь следующий вопрос. Пусть произведен опыт с моделью в аэродинамической трубе. Когда можно ис­ пользовать данные этого эксперимента для реальных обтеканий? Предположим, что условия 1), 2) выполнены и g — поле силы тяжести. Пусть индексом 1 отмечаются величины, связанные с экспериментом в трубе. Тогда для подобия течений нужно вы­ полнение равенств Vi v 2 ' aigi a g 2 (3.14) 2 Если оба эксперимента проводятся в условиях Земли, то g\ = = g2 = g, если среда одна и та же (например, воздух), то, кроме того, vi = v . Тогда условия (3.14) перепишутся следую­ щим образом: 2 Обычно размер модели а.\ меньше размеров реального тела. По­ этому для выполнения первого условия необходимо, чтобы вы­ полнялось неравенство v^ > и®, а для выполнения второго ус­ ловия необходимо выполнение неравенства v<£ < и®. Таким об­ разом, подобие по числам Re и Fr приводит к противоречивым условиям. Один из возможных выходов из этой трудности связан с проведением экспериментов при высоких давлениях. Тогда за счет изменения плотности Г—) = v < v в принципе можно до­ биться подобия по Re при и^ < а®. Однако дело в том, что числа Re и Fr не во всех условиях одинаково существенны. При исследовании волновых процессов (в частности, качки корабля), когда существенно влияние силы тяжести, моделируют по числу Фруда. При исследовании силы сопротивления, наоборот, су­ щественно влияние вязкости — моделируют по числу Рейнольдса. Можно в уравнения (2.1) ввести вместо функции — функ­ цию я: 1 2 (g X + ёуУ + gz*) + 7 X 9* 267 перепада давлений (-^- ф О J . Безнапорное движение жидкости |-Д=0] возможно если хотя бы одна из стенок переме- V ДА: щается. § 5 ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ Рассмотрим установившееся течение в бесконечно длинной неподвижной трубе с осью, направленной по оси х, сечением ^т + -ту ^ 1. Скорость v должна удовлетворять уравнению x 2 2 до , dv х _1^ Ар x (5.1) и граничному условию на контуре »*I»L.JL_ =0а' * Ь-- (5.2) 1 Будем искать v в виде x v = A[\-^—^). (5.3) x При постоянном А функция (5.3) удовлетворяет условию прили­ пания (5.2). Следовательно, достаточно подобрать постоянную А так, чтобы выполнялось равенство (5.1). Вычисляя производ­ ные функции (5.3) и подставляя их значения в уравнение (5.1), получим _9Л f-L-l-JL \-±J*£. л— ! Р > z n 2 \ a а Ч г 2 "l" Ъ ) ~ ц ДА: ' П ~~ 2 Д 2 2ц а + Ь ДА: " Следовательно, 1 2 Др а 6 2 O-S-й- 54 <-> v = — 2ц ДА: а + Ь' При а = Ь = г из (5.4) получим формулу (4.6) для круглой трубы. Соотношение (5.4) подтверждается экспериментом для ламинарных течений. З а м е ч а н и е . Пусть имеется неподвижная цилиндрическая труба с контуром I в поперечном сечении. Задача о течении жидкости в такой трубе сводится к интегрированию уравнения (1.13) с условием v\i = 0. Такую задачу можно вообще ре^ шать для сечения любого вида. 2 x § 6. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ СООСНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ Рассмотрим стационарное течение жидкости между двумя бесконечно длинными соосными круговыми цилиндрами радиу­ сов R\ и R при отсутствии массовых сил. Направим ось х вдоль оси цилиндров, Предположим, что внутренний цилиндр вра2 258 шается с угловой скоростью соь а внешний — со скоростью «2. Для решения задачи удобно ввести цилиндрические координаты г,6,х и записать в этих координатах систему уравнений вязкой жидкости. Для этого надо найти выражения divv,—рт-, grad p, Av в этой системе координат. Естественно предполагать, что скорость направлена по касательной к окружности г = const и зависит так же, как и давление, только от г, т. е. v = v = О, ve — v(r), p = p(r). Полученная система уравнений примени­ тельно к рассматриваемой задаче, когда движение установив­ шееся, принимает простой вид и позволяет сразу получить ре­ шение задачи в виде x 2 V 1> = С Г + 9 •Р\ 1 +$: (Г) r dr. Постоянные С\ и С определяются из граничных условий. Од­ нако для решения рассматриваемой задачи мы используем дру­ гой путь. Чтобы найти зависимости и = v(r), запишем закон сохра­ нения момента количества движения в слое R\ ^ у + z ^ г , г < Яг (рис. 55). Пусть М — мо­ мент сил, действующих на этот слой. Поскольку течение плоское, вектор М направлен по оси х. В силу стационарности движения имеем равенство М = 0. Оче­ видно, что М = Mi + М , где Mi — момент сил, действующих на внутренний цилиндр, М — мо­ мент сил вязкого трения, прило­ женных к цилиндру радиуса т. Величина этого вектора 2 2 2 2 г г 2л 2л 2 М = J г (х г <Щ = г J т de. г гв Рис. 55. г9 Здесь Т/- — проекция на ось 8 (т. е. на направление v) напря­ жения, действующего на площадку с нормалью г. При наших предположениях оно зависит только от г, поэтому е 2 т,гв-2яг . М 1 г п Таким образом, закон сохранения момента дает равенство 2 т 2го- + Mj = 0. г6 (6.1) Пусть угол 0 отсчитывается от оси у. Очевидно, что T = r r 9 l e = 0 gz 1г=0' 259 Вектор С называют вектором аэродинамических коэффициентов. Соответственно вводят аэродинамические коэффициенты С , х Су, Сг" Г — Я х Я у Г — yP^S i-pt-LS г —_^f__ |p£3 Если считать, что направление невозмущенного потока ос­ тается неизменным по отношению к направлению вектора мас­ совых сил (т. е. ai и Pi постоянны) и ориентация тела по отно­ шению к потоку фиксирована (т. е. постоянны а и р), то для тела данной формы вектор С, а следовательно, и аэродинамиче­ ские коэффициенты С , С , С при любых скоростях и различ* ных размерах тел зависят только от безразмерных параметров Re и Fr, т. е. С = С (Re, Fr). х у г Если влиянием силы тяжести можно пренебречь, то коэффи­ циенты С , С , С для данного тела будут функциями только числа Рейнольдса: C = C(Re). Обычно принято вертикальную плоскость принимать за пло­ скость (х, у), считая направления скорости Voo и оси х совпа­ дающими. Тогда С , С — соответственно коэффициенты сопро­ тивления и подъемной силы, С — коэффициент боковой силы. х у г х у г ГЛАВА XXI ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕИНОЛЬДСА Течениям идеальной жидкости отвечает число Re = с». Если числа Рейнольдса велики (Re 3> 1), то можно ожидать, что те­ чения вязкой жидкости близки к течениям идеальной. Это тем более вероятно, что решение задачи о потенциальном течении идеальной жидкости является точным решением уравнений вяз­ кой жидкости. Однако, как было показано ранее, потенциаль­ ные решения не обеспечивают выполнения граничных условийна поверхности обтекаемого тела. Поэтому, если рассматривать обтекание некоторого тела, то следует ожидать, что течения вязкой жидкости при больших числах Re будут близки к тече­ ниям идеальной жидкости всюду, за исключением тонкого слоя Рис. 56. около границы. В этом тонком слое влияние вязкости суще­ ственно сказывается на распределении скорости. Гипотезу о сушествовании такого тонкого переходного слоя подтверждают и эксперименты. Этот тонкий слой принято называть пограничным. Возникает вопрос, как определить его толщину? Конечно, толщина пограничного слоя — понятие очень условное. Практи­ чески толщиной пограничного слоя Ь{х) называют такое рас­ стояние от поверхности тела, на котором касательные состав­ ляющие скорости вязкого и идеального течений жидкости от­ личаются на пренебрежимо малую величину. Таким образом, область потока, обтекающего тело, можно разделить на две — область пограничного слоя (/) и область вне его (//) (рис. 56). В пограничном слое рассматривают дви­ жение вязкой жидкости в предположении, что отношение б// <С 1 (/ — характерный размер). Последнее соотношение позволяет значительно упростить уравнения движения вязкой жидкости. В области //, вне пограничного слоя, принимают, что течение совпадает с потенциальным течением идеальной жидкости. Потенциальные течения хорошо изучены. Для какой же об­ ласти решать задачу о течении идеальной жидкости? Строго го­ воря, следовало бы решать задачу об обтекании идеальной жид­ костью тела с учетом влияния толщины пограничного слоя, но вследствие малой толщины этого слоя решают задачу об 271 обтекании тела идеальной жидкостью и полученное распределе­ ние скорости и = и на теле принимают за распределение каса­ тельной составляющей скорости на границе пограничного слоя. Схему описания пограничного слоя предложил в 1904 г. Прандтль. х § 1. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Будем считать, что Re » 1. Упростим уравнения движения вязкой жидкости применительно к пограничному слою, поль­ зуясь тем, что б// «С 1. Течение жидкости предполагаем лами­ нарным. Рассмотрим задачу об обтекании некоторого контура пло­ ским потоком вязкой жидкости. Положение точки в погранич­ ном слое можно определить, задавая длину х дуги, отсчитывае­ мую от точки разветвления потока, и расстояние у по нормали от контура. Так как толщина пограничного слоя весьма мала по сравнению с радиусом кривизны, то, пренебрегая кривизной контура, можно в пределах слоя рассматривать х и у как пря­ моугольные декартовы координаты. Если внешних сил нет, то движение жидкости описывается системой уравнений d V x д х I' v* дх ° °у , д dt J dv y v д 0 х 1' vy ду J , +Tv Av* •> д 1 Р ду р ду y дх + У dv дх д р р дх dv и dt + * 1 x ' dvy ду v a u , А vAv + y> (1.1) (1.2) (1.3) Будем рассматривать течение внутри слоя 0 ^ у ^ б (А;), где б (х) —толщина пограничного слоя. Займемся оценкой членов, входящих в уравнения (1.1) — (1.3), предполагая, что у<1. (1.4) Составляющая v на внешней границе пограничного слоя имеет порядок V, где V — скорость на бесконечности. Предпо­ ложим, что это справедливо во всем пограничном слое, т. е. x о, = 0 ( 7 ) . (1.5) При изменении х от нуля до I скорость меняется на величину порядка V, поэтому &-°(f)- te-°№)- <'-6, 272 При изменении у от 0 до б скорость v меняется от нуля (на стенке) до величины порядка V, поэтому x dv x ду •"№)• ^ - ° ( * ) - В силу предположения (1.4) -^ф- < д о* *-, поэтому уравнение (1.1) приобретает вид v-д-г-. dt ^\-Vx-z-r дх ^ +y v ду - — — р— дх -*-+ ^ " ду v х y i n (1.8) Оценим порядок членов в левой части уравнения (1.8). В силу (1.5), (1.6) имеем и* д * Порядок величины v неразрывности y 3о * Л можно оценить, используя уравнение /М Г" <Э»и /™\ ду Следовательно, ^^г = °1-гт) = °1-г)Если дополнительно предположить, что рассматриваются только такие нестационарные течения, для которых -?~- имеет тот же порядок О I — ) или меньше, то левая часть уравнения —т*имеет порядок О Г—J . Прандтль предположил, что в пограничном слое силы инер­ ции и силы вязкого трения одного порядка. Принимая это пред­ положение, получим, что или, учитывая (1.7), °№-°(х)Отсюда следует, что Относительная толщина пограничного слоя обратно пропорцио­ нальна У?{е" (так называемый первый результат теории погра­ ничного слоя). Чем больше число Re, тем тоньше пограничный слой. 273 Для оценки члена — -£• используем следующие сообра­ жения. На внешней границе пограничного слоя при устано­ вившемся течении справедлив интеграл Бернулли -s+ — = const. 2 Отсюда дх Этот результат мы имеем и из уравнения (1.8). Рассмотрим теперь уравнение (1.2). Имеем dv u ( Vb 1 \ 2 dv dx u / 6 Г ' \ dv„ 2 / U \ dv 1 (б V \ 1 1 /V\ u ^• ^ 2 2 Очевидно, в Av слагаемое y a ^ , 2 можно отбросить по сравнению 2 dv y с -j-r- Воспользовавшись оценкой (1.9), получим d4i „f V \ ^ / v / V\ /д V \ 2 2 Из (1.11), (1.12) и уравнения (1.2) следует, что |£-°(т£)- «'-и» И з сравнения (1.13) с (1.10) следует, что в пограничном слое °(ifc)-f°(ifc)Таким образом, давление по оси г/ меняется существенно медленнее, чем по оси х, поэтому уравнение (1.2) можно заме­ нить уравнением g - = 0, p = p(x,t). (1.14) Давление поперек пограничного слоя не меняется. Система уравнений вязкой жидкости содержит еще уравне* ние неразрывности. Оно остается без изменений. Уравнения (1.8), (1.3), (1.14) образуют систему уравнений пограничного слоя ЕЕ*, л.,, v dt "*" * ^2лл.„ v dx "*" v do» dVx dy ~ do — ' ^ p dx "*" v - ('••«) Если и = U — скорость на внешней границе пограничного слоя, до то в силу того, что -р- не изменяется поперек пограничного слоя (не зависит от у), уравнения, пограничного слоя с учетом (1.16) можно записать в следующем виде: dv дх , dv т, dll * v ду дх dv dv ^ дх ду x , ' x x ( 2 dv ду x 2 (1.17) y Так как, в частности, при г/= 0 —^г- — — (" -г- I v у Р дх \ > т о з а дх /у-о функцию U может быть взято решение уравнений идеальной жидкости при у = 0. При этом U = U и зависит только от х. Искомые функции v , v нужно находить как решение уравне­ ний (1.17) при следующих граничных условиях: 1) на теле при 0 ^ х ^ / (условия прилипания) 0*l»-o = O, fj,lj, o = 0; (1.18) x x y = 2) на внешней границе пограничного слоя V = (1-E)U(X), (1.19) где е — заданная малая величина. Фактически ввиду неопределенности границы пограничного слоя (8(х) неизвестна) соотношение (1.19) не является гранич­ ным условием, так как в нем v = v (x,6{x)), где 8(я) неиз­ вестна. Поэтому граничные условия несколько видоизменяют. Вопервых, решения системы (1.17) можно найти только при за­ данном значении v при х = 0. Во-вторых, условие на границе пограничного слоя заменяют условием при у-*оо исходя из X x x x 275 предположения, что внутри пограничного слоя v быстро стре­ мится к предельным значениям при удалении от тела. Таким образом, вместо условий (1.18), (1.19) получают условия: 1) при 0 < * < / 1^1^0 = 0, i>j,|j,_o = 0, (1.20) 2) v \ .o = U(0), x x x у>о 3) v \ ^ =U{x). Имея распределение скоростей в пограничном слое, т. е. найдя решение уравнений (1.17), удовлетворяющее условиям (1.20), можно найти внешнюю границу пограничного слоя 6(я), исполь­ зуя (1.19): V (X,6) = (1-E)U(X). (1.21) x y X § 2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ ОКОЛО ПОЛУБЕСКОНЕЧНОИ ПЛАСТИНКИ Пусть пластина 0 ^ х < с» обтекается потоком со скоростью V, направленной по оси х. Требуется найти течение в погранич­ ном слое (рис. 57). У* Берем уравнения теории погранич­ ного слоя для случая установившегося движения до х dv дх x Рис. 57. 1 др . р ах ' ду ' ду у г дУ х = (2.1) В этих уравнениях р = р(х)—известное давление в потоке иде­ альной жидкости на внешней границе пограничного слоя или (из-за тонкости пограничного слоя) известное давление на об­ текаемом контуре в потоке идеальной жидкости. Рассматриваемая нами пластинка не возмущает потока иде­ альной жидкости. Поэтому р = р (х) = р = const. то Следовательно, нужно интегрировать уравнения г ду dv х дх + V » ду • = уду* x (2.2) °х . ду. ""у __ дх ~*~ ду ~ - д п и Из этих уравнений нужно найти v и v . Искомые v и v яв­ ляются решением системы уравнений (2.2), удовлетворяющим краевым условиям x y x y *у-0, * > 0 = 0, V V 276 y lji-0, x>0 "> х 'у-6{х), * > 0 = v. (2.3) Условие на внешней границе пограничного слоя (при у = 6(*)) можно заменить условием при у = оо, х ^ 0 и при х = О, у > 0. Поэтому будем интегрировать уравнения (2.2) при усло­ виях и* U . „ > o = ^ V x \y-°o х>0 t (2-4) *. Из первого уравнения (2.2) имеек 2 ду х „ dv^ Vy **= д х ^ • № ду Подставляя (2.5) во второе уравнение (2.2), получаем dv * д 4- д у 2 •ЖГ + ^F * д х —n Ж /0 «\ °' ( 2 - 6 ) ду Вместо системы уравнений (2.2) можно интегрировать уравне­ ние в частных производных третьего порядка (2.6). Сформулируем граничные условия для уравнения (2.6). Эти условия должны содержать лишь функцию v . Из равенства (2.5) следует, что для выполнения условия и = 0 при у = 0, x у х > 0 должен обращаться в нуль числитель в (2.5) (предпола­ гаем, что -т^- =И= 0J. Но так как при у = 0, х > 0 и и* = 0, то это означает, что d*v = 0. x 2 ду (2.7) 1-0, х>0 Таким образом, уравнение (2.6) нужно решать при следую­ щих граничных условиях: d Vx 0, "> у-0, х>0 -ду у=-0, х>0 v *\x-o. >o=V, y 0, (2-8) Прандтль заметил, что решение уравнения (2.6) можно ис­ кать в виде Если положим 277 и условимся обозначать штрихом дифференцирование по |, то до = Т'{1)-]= - -=- —--, d л/2\ Vx * ду х ду 2 л/х ' = &" (|) ' 2vx Подставляя эти равенства в (2.6), получим для &" (£) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: &'&•'" - (gr»f _j_ grgr'* 0. (2.11) Для того чтобы v в виде (2.9) было решением уравнения (2.6) при условиях (2.8), нужно найти решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.11), удовлетворяющее условиям У* 5Г(0) = 0, 5 " ( 0 ) = 0 , # - ( о о ) = К . x Г (2.12) Уравнение (2.11) не интегрируется в квадратурах, а применение чис­ ленных методов более просто, когда условия поставлены на одном конце интервала. Рис. 58. Имея в виду решение задачи (2.11), (2.12), решим сначала вспо­ могательную задачу. Именно найдем сначала функцию ^ i ( £ ) , являющуюся решением уравнения (2.11) и удовлетворяющую условиям 0-,(О) = О, 0 - i ( O ) = l , 0Т(О) = О. (2.13) Задача (2.11), (2.13) есть задача Коши для уравнения (2.11) при начальных данных (2.13). Задачу Коши сравнительно легко решать численными методами. Можно показать, что решение задачи (2.11), (2.13)—ограниченная функция, имеющая конеч­ ный предел на бесконечности. Функция &~\ (£) фактически была построена. Считаем, что ^ i ( i ) нам известна и, в частности, из­ вестна постоянная С такая, что 0-,(оо) = С. (2.14) Имея @~\(V), построим функцию &~(%). Пусть k — некоторая постоянная. Прямой подстановкой в уравнение (2.11) можно убедиться в том, что функция 2 5Г(|) = й ^ , ( й | ) (2.15) являйся решением уравнения (2.11), если #"i(l) является его решением. Поэтому, имея 2Г\{\), мы одновременно имеем одно278 i параметрическое семейство решений уравнения (2.11), завися­ щее от параметра k и определяемое формулой (2.15). Подберем k так, чтобы функция ^ " ( | ) , определенная (2.15), была решением нужной нам задачи (2.11), (2.12). Уравнение (2.11) выполнено. Из условий (2.13), по которым строилась ^"i(D. функция &~(%) при любом k удовлетворяет первому и второму из условий (2.12). Поэтому нужно выбрать k так, чтобы было выполнено третье из условий (2.12). Записывая его, имеем 2 £ <Г, (оо) = V, 2 или с учетом (2.14) k C = V: к Следовательно, Л/ с ' есть решение поставленной задачи. В нем функция 2F\ и констагт а С известны. Предположим теперь, что решение (2.16) для полубесконеч­ ной пластины можно использовать для приближенного вычисле­ ния сопротивления R пластины конечной длины / и ширины b (рис. 58). Очевидно, x =2 dz T d =26 ** $! 5! **L * SN* dx. (2.17) у-о Коэффициент 2 в (2.17) введен из-за того, что учитываем две стороны пластины. Имеем fdv x у х у-о ^\ду dv„\\ дх J\y=o dv x r д у (2.18) у-О С учетом (2.16) и (2.13) получим =p±\L r (*/Z-JLr\\\ Хух У i 4,-0 dylC = l Ч V С V2VJC /J|j,-o Подставляя (2.19) в (2.17), найдем сопротивление пластины <2 20 *-ЧтгТф№-&>***>*- -» ибо [i = pv. Вычислим теперь коэффициент сопротивления С . По опре­ делению С, = - г ^ — • (2-21) f V*S х 9 279 Подставляя в (2.21) вместо R его выражение (2.20) и учитывая, что в нашем случае S = Ы, получим x Сх = ± # - ^ - = 4 V2 Г-!-f -TL- , (2.22) где — = Re — число Рейнольдса. V Расчеты показывают, что 4 л/2 f-^-J ' да 1,328. Таким об­ разом, С = -Ьр|-. (2.23) л При больших числах Re коэффициент сопротивления пластинки обратно пропорционален -\/Re. Формула (2.23) хорошо под­ тверждается экспериментом для чисел Рейнольдса Re=^3-10 . При больших значениях Re данные эксперимента сильно отли­ чаются от значений, даваемых формулой (2.23). Граница 3-Ю условна, ее можно увеличить, если очень хорошо полировать пластину. Эксперименты показывают, что на некотором расстоя­ нии от передней кромки ламинарный пограничный слой начи­ нает переходить в турбулентный. Этот переход и приводит к нарушению картины, предписываемой формулой (2.23). Вычислим теперь толщину пограничного слоя, положив в (1.21) величину е = 0,005. Имея для v формулу (2.16), можем написать 5 5 x с \ V с V2v у * ) Из последнего уравнения получаем 6(х) = 5 , 6 д / ^ . (2.24) Формула (2.24) также дает возможность понять, почему фор­ мула (2.16) неверна при больших Re (или /). Толщина погра­ ничного слоя растет с ростом х, и при очень больших х нару­ шаются предположения теории пограничного слоя. Формула (2.24) хорошо согласуется с экспериментом в ламинарной об­ ласти. З а м е ч а н и е . Часто используют местное число Re(я), коVх торое можно определить равенством Re(x)= — . Тогда 6{х) х _ _ 5,6 VRe (x) ' Г Л А В А XXII ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА В предыдущих главах было выяснено, что для установивше­ гося течения вязкой жидкости существенно значение числа Рейнольдса, причем при отсутствии массовых сил {g = 0) число Re является единственным параметром, характеризующим с точностью до подобия рассматриваемое течение. Поэтому когда не удается найти точное решение задачи, в общем случае раз­ вивают приближенные методы, соответствующие тем или иным предположениям относительно числа Рейнольдса. Такие при­ ближенные методы развиты в предположении, что Re » 1 и Re < 1. Ранее исследовался случай больших чисел Re. В данной гла­ ве мы будем рассматривать течения вязкой жидкости при ма­ лых числах Рейнольдса Re «С 1. Это означает, что к рассматри­ ваемому виду относятся медленные движения вязкой жидкости, движения жидкости с большой вязкостью, движения малых тел в сравнительно вязких жидкостях. § 1. УРАВНЕНИЯ СТОКСА Для получения уравнений движения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса будем исходить из общей системы уравнений Навье — Стокса -тг^—г gradp + vAv, / п div v = 0. Будем рассматривать внешнюю задачу. Пусть характерный раз­ мер обтекаемого тела а, а скорость на бесконечности v|«> = V. Введем безразмерные независимые переменные и безразмер­ ные искомые функции ( 1 1 ) = а ' и ^ а ' ^ = v * 2 а ' а ' 2 ( L 2 ) П=т £. У ) ' V. v ) р После перехода к новым независимым переменным и новым ис­ комым функциям получим du , du и , du . и ди и ,„ = g r a d Ж + * -Щ- + у "лг + *-5% ~ ди , ди ди _ т dt ^ дт\ ^ лг дЪ — * х у п , . + А и > ( 1 - 3 ) ± 281 При этом искомая функция и удовлетворяет на бесконечности условию «оо = Re. Модуль искомой величины и = | и | = — по существу является местным (вычисленным в данном месте) чис­ лом Рейнольдса. Предположение о малости чисел Рейнольдса означает, что I . I a 1 | V 1 v < 1, или (1.4) | и , 1 « 1, >и„ < 1, | ы | < 1 . Поскольку безразмерная скорость и ее компоненты и , и , и меняются на величины порядка их самих на расстояниях по­ рядка единицы (характерного размера), то в этих течениях на­ ряду с (1.4) имеем г х ди. г (1.5) < 1. <%1 у Из (1.4) и (1.5) следует, что произведения вида ди. являются величинами второго порядка малости. Пренебрегая в уравнении (1.3) величинами второго порядка малости по срав­ нению с величинами первого порядка малости, получим уравне­ ния 2 ди 1 • тт i д и ди dl ди дг\ х у + , ди , 2 ди (1.6) ди. Уравнения (1.6) есть уравнения движения вязкой жидкости при малых числах Re, записанные в безразмерном виде. Если теперь в уравнениях (1.6) снова вернуться к размерным величинам, то будем иметь систему dv dt 1 j i С о У , 2 dv ду 2 dv ду dv дх u x dv 2 dv дг ) • 2 (1.7) z Уравнения (1.7) — уравнения Стокса для движения вязкой жид­ кости при малых числах Re. Иногда их называют уравнениями Стокса для медленных движений. В случае установившихся дви­ жений они имеют вид 2 d v , d^v_ ду " ( дх dv dv дх ду 2 + x 282 2 (1.8) dv z Системы (1.7) и (1.8) отличаются от исходных уравнений (1.1), в частности, тем, что они линейны, поэтому строить их решение гораздо проще. Благодаря этому они решены во многих частных случаях. § 2. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА Пусть сфера г — а обтекается установившимся потоком, ско­ рость которого V на бесконечности направлена параллельно оси х. Чтобы решить задачу об обтекании сферы при малых числах Re, нужно найти решение системы (1.8), удовлетворяющее гра­ ничным условиям: 2 2 2 2 на сфере х + У + z = a (r = a): v | _ = 0, r a или о*1г-о = 0, » „ | _ = 0, r e v\ z = 0, r=a (2.1) на бесконечности: vL x = V, » „ L = o, 0 L = o, 8 /»L = p . (2.2) eo Вообще говоря, решение можно получить разными спосо­ бами. Наиболее естественным является следующий ход решения задачи. Вводят сферические координаты г, 6, X н записывают си­ стему уравнений и граничные условия для v , ve, v и р. Из ус­ ловий симметрии следует, что r у = 0, v = v (r, 8), л r r у = у (г, 9), е е h р = р(г, 9). Решение задачи отыскивают в виде v = f (r) cos 9, r а —g-(r)sin9, й p = \ih (г) cos 9. (2.3) Подставляя (2.3) в (1.8), получают для неизвестных функций f ( 0 . g( ), h( ) систему обыкновенных дифференциальных урав­ нений. Интегрируя эту систему уравнений и учитывая граничные условия, находят функции f(r), g(r), h(r), а следовательно, и решение (2.3). Это решение (мы его выпишем для v , v , v ) бу­ дет иметь вид r r x 3 v? = —- 3 Vaxy Vaxz 2 z (2.4) З^О-Тт)' 3 2 0-Я- y Vax 2 где г = д/* + у + z . Можно доказать, что функции (2.4) — единственное решение задачи. 283 Имея распределение давления и скоростей около сферы, мож­ но вычислить силу сопротивления R , а следовательно, и коэф­ фициент сопротивления С сферы. Главный вектор сил x х •НК dS. Формула Коши для х„ для точек поверхности сферы г = а мо­ жет быть записана в виде х = х cos(п, х) + х cos(п, у) + х cos(n,z) п х у = x ^- + г x Xy^--\-x ^. z Соответственно проекции вектора R R =^r dS=\\(^x ^^x ^^x )dS, x nx xx S yx zx S у= ** JJ X n v d s z ' ^ = JJ % n z d s ' Компоненты тензора напряжений могут быть вычислены с ис­ пользованием решения (2.4) по известным формулам ( dv, dv \ b (2.6) Подставляя (2.6) в (2.5), после вычисления получим R = = Rz = 0, R *=6n\iaV. (2.7) y x Формула (2.7)—известная формула Стокса для сопротивления сферы при малых числах Re. Сила сопротивления сферы пропор­ циональна вязкости ii, радиусу сферы а, скорости V. Коэффи­ циент сопротивления сферы при малых числах Re " - R x ^ = lReb 1 , = 1 2 Va Y pv na (2.8) т / 2 2 2 (При больших Re имеем пограничный слой, С ~—=-, при VRe еще больших Re с хорошей точностью С постоянен.) Решение (2.4) и формулы (2.7), (2.8) хорошо подтверждаются экспери­ ментом до чисел Re < -„- (решение получено в предположении Re -г^- и оставленные gfrad p, (.iAv, то окажется, что в некоторой окрестности сферы отброшенные члени действительно малы по сравнению с оставленными. Од­ нако на больших расстояниях от сферы отпрошенные члены много больше сохраненных, Следовательно, предположения Стокса заведомо неверны нд больших расстояниях от тела. В свяли с этим возникают следующие вопросы: не а этом ли со­ стоит причина парадокса Стокса, нельзя ли усовершенствовать уравнения Стокса, сохраним линейности, но обеспечив коррект­ ность на йо.'Ы!1мх расстояниях от тела. Причина несуществования стационарного решении (парадокс Стокса) может быть в какой-то мере выяснена, сели рассматри­ г вая вать нестационарную задачу обтекания цилиндра потоком жидкости, который в начальный момент на бесконечности параллелен, и изучить поведение поля скоростей при t, стремя­ щемся к бесконечности. Рассматривая эту задачу для кругового цилиндра, Б. Русанов установил, что для любой точки А в потоке, как угодно удаленной от цилиндра, скорость жидкости при t-> оо const ^ стремится к нулю как . Следовательно, цилиндр останав­ ливает жидкость, находящуюся первоначально в движении. Это эквивалентно тому, что если цилиндр движется поступательно со скоростью V(t) и lim V (t) = Vo = const ф О, то в системе коt-*O0 ординат, связанной с цилиндром, скорость жидкости в любой заданной точке будет при t -> оо стремиться к Vo, т. е. цилиндр увлекает за собой жидкость. Аналогичный результат верен для движущейся плоскости, как это было показано в § 2 главы XIX, но будет неверен в трехмерном пространстве для тела конечных размеров. § 4. УРАВНЕНИЯ ОЗИНА Наша задача — получить решение, справедливое и на боль­ ших расстояниях от тела. Будем исходить из системы уравнений Навье — Стокса dv - w . dv +v , dv . dv 1 , + v ^ + v - - = --gradp x J 7 u д°х дх . dv ду , + z n . v^, y (4.1) ч dvz_ __ dz ' и следующих условий на бесконечности: v L = V, v I» = v \„ = 0. x y z Представим v , v , v в следующем виде: x y z v =V + v', ' x v =v', x' v =»' у' у г (4.2) \'-"i г и будем считать в точках, далеких от сферы v' , v' v' , малыми вместе со своими производными по сравнению со скоростью V. Подставим (4.2) в (4.1) и, пренебрегая членами второго поряд­ ка малости, получим x dv' ^ , , dv' т + ^ дх 1 j , z л / = - g r a d p + v/W, 7 ду дг Уравнения (4.3)—уравнения для течений вязкой жидкости при малых числах Re (для медленных движений)—Озин предло286 жил использовать вместо уравнений Стокса. Эти уравнения, так же как и уравнения Стокса, линейны. В точках, удаленных от сферы, отброшенные члены не превосходят оставленных. Вблизи сферы уравнения Стокса (1.7) и уравнения (4.3) имеют одну и ту же точность. С помощью этих уравнений решались задачи об обтекании сферы, эллипсоида и круглого цилиндра. Формула для силы сопротивления сферы подтверждается экспериментом при Re < 1. В задаче об обтекании цилиндра не возникает па­ радокса Стокса. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. Я, Р о з е Н. В. Теоретическая гидромеханика М., 1963, Т. I, 584 с; т. II, 728 с. 2. Л о й ц я н с к и й Л. Г. Механика жидкости и газа. М., 1973. 847 с. 3. М и л н • Т о м с о н Л. М. Теоретическая гидродинамика. М., 1964. 655 с. 4. С е д о в Л. И. Механика сплошной среды. М., 1976, т. I—536 с ; т. И — 576 с. 5. С е д о в Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., 1966. 418 с. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Адиабата 109 — Пуассона ПО Бернулли интеграл см. Интеграл Бернулли Вектор 18 — сил 105 — момента 105 — потока тепла 68 Вихревая линия см. Линия вмхревяя Внхреисточник 140 Вихрь 139 — присоединенный 236 — свободный 236 Градиент функции (р 23 Движение (я) (течение (я)) адиабати­ ческое 108 — безвихревое 119 — ламинарное 257 — неустановившееся 14 — плоское 42, 130 — подобные 265 — потенциальное 119 — турбулентное 257 — установившееся 13, 41, 130 Диада 20 Диполь 138, 189 Дирихле задача см. Задача Дирихле Жидкость бароклинная 98, 104 — баротропная 98 — вязкая 71 — идеальная 70, 108 — несжимаемая 42, 79, 121, 130 — сжимаемая 79, 122 Жуковского профиль см. Профиль Жуковского — силы см. Сила Жуковского Задача Дирихле 133, 172 — Коши 15. 16, 17, 278 — Неймана 131, 172 Интеграл Бернулли 112 — Лагранжа 120 — Эйлера — Бернулли 121 Источник (сток) 136, 187 Коши задача см. Задача Коши Коэффициент вязкости 72 динамический 76 кинематический 76 — Ламе 45 — подъемной силы 156, 160 — сопротивления 156, 279 Критическая скорость см. Скорость критическая Крыло конечного размаха 233 — тонкое 174 289 Лагранжа интеграл см. Интеграл Лагранжа Ламе коэффициент см. Коэффициент Ламе Лапласа уравнение см. Уравнение Лапласа Линия вихревая 33 — тока 15 Скорость 7 — комплескная — критическая 113 — объемного расширения жидкости (дивергенция) 34 Слой пограничный 271 Стокса уравнение см. Уравнение Стокса Маха число см. Число Маха Момент диполя 138, 190 — главный 105 — количества движения 57, 60 — — — орбитальный 57 — полный 57 Тензор второго ранга 19 — единичный 20 — напряжений 53 — первого ранга 18 — скоростей деформаций 29 — в главных осях 30 Течение плоское 130 Траектория частицы 15 Навье — Стокса уравнение см. Урав­ нение Навье — Стокса Неймана задача см. Задача Неймана Поверхность тока 16 Пограничный слой см. Слой погранич­ ный Поляра крыла 242 Постулат Чаплыгина — Жуковского 150 Потенциал комплексный 134 — скоростей 119, 130, 201 ~ скоростей 119 Производная индивидуальная 12 — местная (локальная) 12 Профиль Жуковского 163 — тонкий 174 Псевдотепзор 23 Рейнольдса число нольдса см. Число Сила(ы) Жуковского 156 — массовые 49 — поверхностные 49 — подъемная 156 — сопротивления 156 Рей- Уравнение (я) движения сплошной среды в напряжениях 55 — Лапласа 97, 121 — Навье — Стокса 88 — пограничного слоя 274 — Стокса 282 — Эйлера 81 в форме Громеки — Лэмба 118 Фруда число см. Число Фруда Функции гармонические 97 — тока 132 Циркуляция 33, 139, 150, 154, 219 Число Маха 123, 128 — Рейнольдса 256, 257, 266 — — критическое 257 — Фруда 266 Эйлера — Бернулли интеграл см. Ин­ теграл Эйлера — Бернулли Эйлера уравнение см. Уравнение Эй­ лера Энтальпия 113 — торможения 113 BOOKS.PROEKTANT.ORG БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ КОПИЙ КНИГ для проектировщиков и технических специалистов ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение 5 1. Основные положения — 2. Понятие физически бесконечно малого объема и схема сплошной среды ' , 6 3. Некоторые основные величины 7 4. Основные свойства жидкости 8 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ Г л а в а I. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КИНЕМАТИКИ ЖИДКОСТИ § 1. Переменные Лагранжа и Эйлера § 2. Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и обратно § 3. Индивидуальная и местная производные § 4. Установившееся и неустановившееся движения § 5. Скорости и ускорения § 6. Траектории, линии тока, критические точки § 7. Некоторые замечания о тензорах § 8. Скорости и перемещения точек бесконечно малого объема сплошной среды § 9. Тензор скоростей деформаций и его инварианты § 10. Смысл компонент тензора скоростей деформации § 11. Смысл компонент вихря скорости § 12. Вихревые линии, вихревые трубки § 13. Циркуляция скорости § 14. Скорость объемного расширения жидкости § 15. Некоторые формулы дифференцирования объемных интегра­ лов 9 10 11 13 14 15 17 26 29 31 32 33 — 34 35 Г л а в а II. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАСС § 1. Интегральная запись закона сохранения масс § 2. Дифференциальная запись закона сохранения масс в перемен­ ных Эйлера (уравнение неразрывности в переменных Эйлера) § 3. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа § 4. Уравнение неразрывности в криволинейных координатах . . . 39 40 42 44 291 Г л а в а III. ЗАКОН КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ § 1. Силы массовые и поверхностные § 2. Интегральная запись закона количества движения § 3. Формула Коши § 4. Тензор напряжений § 5. Дифференциальная запись закона количества движения . . . Г л а в а IV. ЗАКОН МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ § 1. Интегральная запись закона момента количества движения . . § 2. Дифференциальная запись закона момента количества движе­ ния Г л а в а V. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ § 1. Внутренняя энергия § 2. Полная энергия § 3. Интегральная запись закона сохранения энергии § 4. Некоторые преобразования интегральной записи закона сохра­ нения энергии § 5. Вектор потока тепла § 6. Дифференциальная запись закона сохранения энергии . . . . Г л а в а VI. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКИХ СРЕД § 1. Идеальная жидкость и тензор напряжений для нее § 2. Вязкая (ньютоновская) жидкость и тензор напряжений для нее § 3. Нетеплопроводная жидкость § 4. Жидкость, подчиняющаяся закону теплопроводности Фурье . § 5. Несжимаемая жидкость § 6. Сжимаемая жидкость Г л а в а VII. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬ­ НОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТА­ НОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЕ § 1. Система уравнений гидромеханики идеальной нетеплопровод­ ной жидкости § 2. Постановка задач об отыскании установившихся течений идеальной нетеплопроводной жидкости § 3. Постановка задач об отыскании неустановившихся течений идеальной нетеплопроводной жидкости Г л а в а VIII. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗА­ ДАЧ ДЛЯ НЕЕ § 1. Общая система уравнений гидромеханики вязкой жидкости . . § 2. Система уравнений гидромеханики однородной несжимаемой вязкой жидкости § 3. Постановка задач об отыскании течений вязкой теплопровод­ ной жидкости ЧАСТЬ Глава § § § § § 292 49 50 51 53 54 57 60 63 64 — 67 68 69 70 71 77 78 79 — 81 83 84 86 87 90 II. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ IX. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 1. Уравнения равновесия 2. Условие для сил 3. Условия на поверхности раздела двух жидкостей 4. Равновесие однородной несжимаемой жидкости 5. Равновесие баротропной жидкости 93 94 95 96 98 § 6. Общий случай равновесия жидкости в консервативном сило­ вом поле 99 § 7. Общие формулы для главного вектора и главного момента сил давлений 105 § 8. Закон Архимеда 106 ЧАСТЬ III. ГИДРОМЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Г л а в а X. ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Адиабата § 2. Интеграл Бернулли § 3. Интеграл Бериулли в случае движения газа с усложненной термодинамикой § 4. Два примера на применение интеграла Бернулли § 5. Уравнения Эйлера в форме Громеки — Лэмба § 6. Потенциальные, или безвихревые, движения § 7. Интеграл Лагранжа § 8. Интеграл Эйлера — Бернулли § 9. Уравнения для потенциала скоростей Глава § § § 108 111 113 115 118 119 120 121 — XI. ОБОБЩЕННЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 1. Система уравнений 125 2. Движение несжимаемой жидкости в трубе переменного сечения 127 3. Движение сжимаемой жидкости в трубе переменного сечения. Сопло Лаваля 128 Г л а в а XII. ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕ­ НИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Система уравнений § 2. Потенциал скоростей § 3. Функция тока § 4. Комплексный потенциал и комплексная скорость § 5. Примеры простейших течений § 6. Потенциальное обтекание кругового цилиндра потоком идеаль­ ной несжимаемой жидкости § 7. Метод конформных отображений § 8. Обтекание эллиптического цилиндра § 9. Постулат Чаплыгина — Жуковского § 10. Формулы Чаплыгина — Блазиуса § 11. Интеграл от комплексной скорости § 12. Теорема Жуковского § 13. Формула для момента § 14. Обтекание пластинки § 15. Обтекание профилей Жуковского § 16. Обтекание произвольного профиля. Метод Нужина . . . . § 17. Некоторые общие замечания о плоских потенциальных движе­ ниях идеальной несжимаемой жидкости 130 131 — 133 135 НО 146 148 149 151 154 155 157 158 161 167 172 Г л а в а XIII. ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА § 1. Понятие тонкого крыла и условия обтекания для тонкого профиля 174 § 2. Решение задачи об обтекании тонкого профиля методом три­ гонометрических рядов 177 § 3. Решение задачи об обтекании профиля с нулевой толщиной . 179 § 4. Решение задачи о бесциркуляционном обтекании тонкого сим­ метричного профиля 182 § 5. Решение задачи об обтекании произвольного тонкого профиля 184 293 Г л а в а XIV. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Источники в пространстве § 2. Диполь в пространстве § 3. Обтекание сферы § 4. Функция тока для осесимметричных течении § 5. Продольное обтекание тела вращения. Метод источников п стоков § 6. Поперечное обтекание тела вращения § 7. Общий случай обтекания тела вращения Г л а в а XV. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ § 1. Общий вид потенциала скоростей § 2. Поведение потенциала скоростей в окрестности бесконечно удаленной точки § 3. Расчет гидродинамических реакций при движении тела . . . § 4. Уравнения движения твердого тела в жидкости Глава § § § § § § § § § ЧАСТЬ 201 203 205 208 233 235 240 241 243 IV. ГИДРОМЕХАНИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ XVIII. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1. Основные уравнения 245 2. Необратимость движения вязкой жидкости 246 3. Завихренность течений вязкой несжимаемой жидкости . . . 247 4. Диссипация механической энергии в вязкой жидкости . . . . 248 Г л а в а XIX. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Постановка задачи об отыскании одномерных течений вязкой жидкости § 2. Примеры одномерных нестационарных течений вязкой жидко­ сти § 3. Установившееся движение между двумя параллельными пло­ скостями § 4. Движение вязкой жидкости в круглой трубе § 5. Течение в трубе эллиптического сечения 291 196 198 200 XVI. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 1. Теорема Томсона 215 2. Теорема Лагранжа 217 3. Теоремы Гельмгольца 218 4. О возникновении вихрей 221 5. Уравнения для вихря 223 6. Определение вектора скорости по вихрю и дивергенции . . . 224 7. Скорости, индуцируемые вихревой нитью 228 8. Прямолинейная вихревая нить 230 9. Вихревой слой 231 Г л а в а XVII. ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА § 1. Математическая постановка задачи об обтекании крыла конеч­ ного размаха с задней острой кромкой. Основные предположе­ ния теории крыла конечного размаха § 2. Вихревая система крыла и основные формулы § 3. Крыло с эллиптическим распределением циркуляции . . . . § 4. Парабола индуктивного сопротивления и пересчет крыла с од­ ного удлинения на другое § 5. Определение циркуляции Г (г) в теории крыла конечного раз­ маха Глава § § § § 187 189 190 192 250 252 254 255 258 § 6. Движение вязкой жидкости между двумя вращающимися соосными цилиндрами 258 § 7. Пример простейшего установившегося движения вязкой жид­ кости с переменной вязкостью 261 Г л а в а XX ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ § 1. Сходственные пространственно-временные точки 263 § 2. Запись уравнений гидромеханики вязкой жидкости в безраз­ мерном виде 264 § 3. Подобие установившихся течений 265 § 4. Общие выражения для снл и аэродинамических коэффи­ циентов . . . 268 Г л а в а XXI ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИС­ ЛАХ РЕЙНОЛЬДСА § I. Основные предположения н система уравнений пограничного слоя 272 § 2. Пограничный слон около полубесконечной пластинки . . . . 276 Г л а в а XXII. ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА § 1. Уравнения Стокса 281 § 2. Обтекание сферы при малых числах Рейнольдса 283 § 3. Парадокс Стокса 285 § 4. Уравнения Озина 286 Рекомендуемая литература . . . . 288 Предметный указатель 289 ИВ № 520 Валландер Сергей Васильевич Лекции по гидроаэромеханике Редактор 3. И. Царькова. Художественный редактор А Г. Голубев. Техн. редактор Е. Г. Учаева. Корректоры Е. К- Терентьева, С. К- Школьник Сдано в набор 14.02.78. Подписано в печать 24.08.78. лат бум. бОХЭО'/н. Бумага тип. № 3. Уч.-изд. л. 14,72. Печ. л. 18,5. Гарнитура литературная. Печать высокая. Тираж 3424 экз. Заказ № 1031. Цена 1 р. 06 к. Издательство ЛГУ имени А. А. Жданова. 199164, Ленинград, В-164, Университетская наб., 7/9. гна Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени нии Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете Совета петров СССР по делам издательсгв, полиграфии и книжной торговли, 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.