Обратный оператор, ядро, образ. Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Обратный оператор, ядро, образ Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Примеры: 5, 15, 23, 28, 35 1. Что означает, что вектор принадлежит образу оператора ? 2. Что означает, что вектор принадлежит ядру оператора ? 3. Какой из следующих векторов принадлежит ядру линейного оператора с матрицей ? 1) ; 2) ; 3) ; 4). 4. Как связаны между собой размерности образа оператора, его ядра и всего пространства? 5. Линейный оператор А в пространстве R3 задан соотношением: . Определите размерность его ядра и образа. Ответ: Какие векторы данный оператор может отобразить в 0? Очевидно, что только те, у которых , т.е. векторы вида . У них только одна координата не равна нулю, следовательно, размерность ядра равна 1. Размерность всего пространства равна 3, но она равна сумме размерностей ядра и образа, следовательно, размерность образа 2. 6. Как проверить, является ли оператор вырожденным? 7. Среди следующих операторов укажите вырожденные: 1) оператор поворота вокруг оси ; 2) оператор, умножающий каждый вектор на –1; 3) оператор, у которого ядро содержит только нулевой элемент; 4) оператор, у которого размерность ядра равна 1. 8.. Пусть А – линейный оператор. При каком условии уравнение имеет единственное решение? 9. Оператор действует только на своем ядре. Что собой представляет образ этого оператора? 10. Известно, что ненулевой вектор принадлежит образу оператора . Тогда: . 11. Оператор действует только на своем ядре. Что собой представляет образ этого оператора? 12. Как определить размерность образа оператора, если в некотором базисе известна матрица этого оператора? 13. Матрица – это матрица линейного оператора в пространстве R4. Определите размерность образа этого оператора. 14. Пусть уравнение имеет решение при любом . Что можно сказать о ядре оператора ? 15. Известно, что оператор А вырожденный, то есть у него есть ядро. Можно ли утверждать, что уравнение имеет решение при любом ? Ответ: Нельзя. Если u принадлежит ядру оператора, то , следовательно, образу y соответствует не единственный прообраз, а значит, обратного оператора нет. 16. Ранг оператора в n-мерном пространстве равен n. Что можно сказать о ядре этого оператора? 17. Матрица оператора в некотором базисе имеет вид . Укажите какое-нибудь инвариантное подпространство этого оператора. 18. Подпространство натянуто на векторы , причем . Будет ли это подпространство инвариантным по отношению к оператору ? 19. Что такое характеристический многочлен оператора и как он зависит от выбора базиса? 20. Как проверить, что вектор является собственным для оператора ? 21. Является ли число собственным числом матрицы ? 22. Как проверить, является ли 0 собственным числом оператора? 23. Можно ли утверждать, что любой линейный оператор над полем комплексных чисел всегда имеет собственное число и собственный вектор? Ответ: Да, можно, т.к. любой многочлен над полем комплексных чисел всегда имеет корень. 24. Как, не производя вычислений, найти собственные числа у треугольной матрицы? 25. Невырожденный оператор A имеет собственное число , которому соответствует собственный вектор u. Можно ли утверждать, что оператор также имеет собственное число и соответствующий собственный вектор. Если да, то назовите их. 26. Оператору в 6–мерном пространстве в­ некотором базисе соответствует диагональная матрица. Какое утверждение справедливо: 1) у этого оператора нет собственных векторов; 2) имеется ровно 6 линейно независимых собственных векторов; 3) линейно независимых собственных векторов может быть меньше 6; 4) линейно независимых собственных векторов может быть больше 6? 27. Известно, что . Что можно сказать о существовании собственных чисел и собственных векторов оператора ? 28. Оператор действует только на своем ядре. Какие у него собственные числа? Ответ: , т.е. 0 – собственное число. 29. Как, зная собственные числа оператора, ответить на вопрос, обратим ли этот оператор? 30. Матрица оператора в некотором ортогональном базисе имеет вид . Сколько собственных векторов входит в базис и каким собственным числам они соответствуют? 31. Известно, что оператор имеет n различных собственных чисел. Существует ли базис, в котором матрица оператора диагональная? 32. Как изменится , если перейти к новому базису? 33. Можно ли утверждать, что любой линейный оператор в линейном пространстве над полем вещественных чисел всегда имеет собственное число и собственный вектор? 34. Невырожденный оператор A имеет собственное число , которому соответствует собственный вектор u. Можно ли утверждать, что оператор также имеет собственное число и соответствующий собственный вектор. Если да, то назовите их. 35. Дана система уравнений с 8 неизвестными. Размерность ядра сопряженной системы уравнений равна 5. Сколько линейно независимых решений имеет эта система? Ответ: Ядро сопряженной системы уравнений ортогонально образу исходной системы уравнений. Так как неизвестных 8, то размерность пространства равна 8, так как размерность ядра сопряженной системы уравнений равна 5, то размерность образа равна 3, но размерность образа - это ранг матрицы системы , а тогда система имеет n-r линейно независимых решений, т.е. 8-3=5. Множество решений системы - это ядро исходной системы уравнений. Таким образом, размерности ядер исходной и сопряженной систем равны.