Обратные матрицы; системы линейных алгебраических уравнений

Чернышева Л.Р. ИжГТУ ЛЕКЦИЯ 2. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. . Содержание. 1. Понятие обратной матрицы, вычисление обратной матрицы. 2. Основные понятия системы линейных уравнений. Теорема Кронекера- Капелли. 3. Методы решения СЛАУ. П1. Понятие обратной матрицы, вычисление обратной матрицы. Определение: Матрица A 1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A , если A1  A  A  A1  E . Определение: Квадратная матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. Теорема. Каждая невырожденная матрица имеет обратную.  A11  1  A21 1 A  det A  ...   An1 T ... A1n   ... A2 n  . ... ...   ... Ann   A11 A12 ... A1n    A21 A22 ... A2 n   Обозначим матрицу из алгебраических дополнений A  .  ... ... ... ...     An1 An 2 ... Ann  A12 A22 ... An 2 Свойства обратных матриц: 1. (A-1)-1 = A; 2. (AB)-1 = B-1A-1 3. (AT)-1 = (A-1)T. 1  Пример. Найти обратную матрицу A . А   2 1  1 2 1 3 2  2 . 2  Для того, чтобы найти матрицу, обратную к матрице A , надо: а) найти ее определитель det A и убедиться, что он отличен от нуля; б) составить матрицу из алгебраических дополнений матрицы A ; в) транспонировать ее и умножить на 1 . det A Решение. а) определитель матрицы A найдем в виде разложения по элементам первой строки det A  1(1) 2 1 2 2 2 2 1  2(1)3  2(1) 4  4  4  10  2  0 . 3 2 1 2 1 3 Матрица не вырожденная и имеет обратную. 1 Чернышева Л.Р. б) А11  (1)2 2 3 2 А31  (1)4 1 А21  (1)3 ИжГТУ 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1  4; А12  (1)3  2; А13  (1) 4  5; 2 1 2 1 3 1 2 1 2  2; А22  (1) 4  0; А23  (1)5  1; 1 2 1 3 1 2 1 2  2; А32  (1)5  2; А33  (1)6  3; 2 2 2 1  4 2 2    AT   2 0 2  ;  5 1 3    в)  4 2 5    A   2 0 1  ;  2 2 3    1 1   4 2 2   2 1     A1   2 0 2    1 1  2     5 1 3   2,5 0,5 1,5  Проверка. Легко убедиться, что A A -1 =A -1A=E. 1  А А   2 1  1 2 1 3 2   2 1 1   2  2  5 1  0  1 1  2  3   1 0 0         2    1 1    4  1  5 2  0  1 2  1  3    0 1 0   Е 2   2,5 0,5 1,5   2  3  5 1  0  1 1  3  3   0 0 1  П2. Основные понятия системы линейных уравнений. Теорема Кронекера- Капелли.  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1  a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2 Определение. Система вида  , состоящая из m линейных уравнений с n .............................................  am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm неизвестными, называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Где aij - коэффициенты, а bi - свободные члены, x j -неизвестные переменные . Определение. Для системы линейных уравнений:  a11 a12  a a22 A   21  ... ...   am1 am 2  a11 a12  A B    a21 a22  a31 a32 a  m1 a m 2 ... a1n   ... a2 n  - основная матрица системы, ... ...   ... amn  ... ... ... ... a1n b1   a 2 n b2   - расширенная матрица системы, a3n ...  a mn bm  2 Чернышева Л.Р. ИжГТУ  b1   x1      x  b2  B    - столбец свободных членов, X   2  - столбец неизвестных.  ...  ...     b   xn   m Определение. Решением системы является совокупность n значений переменных x j , которые при постановке в систему превращают каждое её уравнение в тождество. Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется не совместной. Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, в случае бесконечного множества решения. Определение. Если b1 , b2 ,.., bm  0 , то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет нулевое решение. Система линейных уравнений называется неоднородной, если матрица B не является нулевой матрицей. Замечание. Однородная система всегда имеет нулевое (так называемое тривиальное) решение: x1  x2  ...  xn  0 Теорема. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы rang  A  n . Теорема. Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель основной матрицы A отличен от нуля. Теорема Кронекера Капелли. Теорема. Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. rangA  rang A B     Замечание. Если rang  A  rang A B , то система заведомо не имеет решений; если же rang  A  rang A B , то возможны два случая: 1) при rang  n решение единственно; 2) при rang  n решение бесконечно много. П3. Методы решения СЛАУ. Матричный способ решения (с помощью обратной матрицы) Матричная форма записи СЛАУ A  X  B 1 Пусть det A  0 , тогда существует A . 1 Умножим обе части уравнения на A слева: A1  ( A  X )  A1B ( A1  A)  X  A1B E  X  A1B X  A1B 3 Чернышева Л.Р. ИжГТУ  x1  2 x2  6,  Пример. Решить систему матричным способом 3x1  2 x2  x3  3,  x  3x  2 x  0. 2 3  1 Решение Запишем систему в виде в виде A  X  B , 1 2 0  6   x1        где А  3 2 1 , X  x2 , B  3 , т.к det A  0 существует A1 матрица и X  A1B .       1 3 2 0 x      3   1 4 2   9 9 9    5 2 1  1  (методы нахождения обратной матрицы см. предыдущую тему) А   9 9 9    4   7 1  9 9   9  1 4 2   9 9 9   6   2    5 2 1       X  3  4  9 9 9      5   0 4       7 1  9 9   9  2   Ответ. X  4    5   Метод Крамера. Формулы Крамера. Теорема. Если A - основная матрица СЛАУ квадратная и   det A  0 , тогда СЛАУ имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам Крамера: xi  i ,  где  i − определитель, получаемый из определителя  заменой i-го столбца на столбец свободных членов. Пример. Решить систему, применив формулы Крамера:  x1  2 x 2  0 .  3 x 1  x 2  7  1 2  0 , B   1 3 7 1 2 0 2 1 0   1  6  7  0 , 1   7 – 0 7,  0  14  14 ,  2  3 7 3 7 1 1 Решение. A     x1   x   2 14 7 , 7 7  x1  2  2 , Ответ. X    .  1   x 2  1 4 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Пример. Решить систему, применив формулы Крамера: 2 x1  3x 2  x3  2,   x1  5 x 2  4 x3  5, 4 x  x  3x  4. 2 3  1  2 3 1    Решение. А  1 5 4 ,    4 1 3    2    B   5   4    2 3 1 Вычислим определитель = 1 5 4 4 1 3 Умножим элементы третьего столбца на (-2) и прибавим к элементам первого, а затем умножим на 3 и прибавим к элементам второго столбца. 1 = 9  7  4 10  8  3 Разложим этот определитель по элементам первой строки и получим = 9 7  72  70  2  0 10  8 . Вычислим определитель 1 , заменив в определителе  первый столбец (коэффициентов при x1 ) столбцом свободных членов. 2 3 1 0 1 3 7 5 4  3 7 4   24  14  10. 1   5 2 8 4 1 3 2 8 3 Аналогично находим 2 2 1 0 2  x  1 5  4  9 0 1 9 3 3 4   18  30  12. 10 2 2 2 1 0 40  14  3 10 2  3 9 3  1  5  4  39 к 2первой 3  43 строке  18  30  вторую, 12. Для умноженную на x вычисления 2 2 прибавим 10 4  строке 4  3прибавим 10 2 53вторую, (-2), и к третьей  5 . умноженную на (-4). x 1 2  3 2 0 4 13 112 4  13 12 13 3 x3  1 5 x 5 .  1 5 5    4  4  (52  57)  20. 3  19 16 19 4 4 1  4 0  19 16 2 2 3 3 На основании формул Крамера находим решение системы: x1  5    Ответ. X   6  . 10     10  5, 2 x2   12  6, 2 x3  5  20  10. 2 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Решение СЛАУ методом Гаусса. С матрицей системы линейных уравнений можно выполнять следующие элементарные преобразования: 1) Строки матрицы можно переставлять местами. 2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. 3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. 4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. 5) К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Прямой ход метода Гаусса: с помощью элементарных преобразований строк привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду (обязательно получить 0 ниже главной диагонали). Обратный ход метода Гаусса: по полученной матрице составить систему из которой найти неизвестные. Пример . 10 x1  3x2  3x3  0   x1  5 x2  3x3  8 3x  5 x  5 x  10 2 3  1 Запишем расширенную матрицу системы: 10 3 3 0    ( A / B)   1 5 3 8   3 5 5 10    Переставим первую и вторую строки местами (чтобы организовать единицу в левом верхнем углу) ( A / B)  1 5 3 8    10 3 3 0   3 5 5 10    Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. К элементам второй строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (-10) (результат во второй строке).  1 5 3 8   1 5 3 8      ( A / B) 10 3 3 0   0 53 27 80   3 5 5 10   3 5 5 10      К элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (-3) (результат в третьей строке).  1 5 3 8   1 5 3 8       0 53 27 80   0 53 27 80   3 5 5 10   0 20 14 34      Умножим вторую строку на 20, третью строку на (-53) и сложим (результат в третьей строке). Третью строку разделим на (-202). 8   1 5 3   80   0 53 27  0 0 202 202     1 5 3 8     0 53 27 80  0 0 1 1    Определитель матрицы А отличен от нуля (матрица имеет треугольный вид, т.е. ниже главной диагонали нули; поэтому определитель данной матрицы находим перемножая элементы, стоящие на главной диагонали). 6 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Следовательно, rangA  3 (по определению ранг матрицы - это наибольший порядок минора, определитель которого неравен нулю; или количество ненулевых строк матрицы, приведенной к треугольному виду с помощью элементарных преобразований). Ранг расширенной матрицы rang ( A / B)  3 , также равен 3 , поскольку только что рассмотренный определитель является минором расширенной матрицы. Следовательно, по теореме Кронекера - Капелли система совместна и имеет единственное решение. Найдём его.  x1  5 x2  3x3  8  x1  5 x2  3 x3  8  x1  8  3  5  x1  0       x2  1  53x2  27 x3  80   53x2  80  27   x2  1   x  1 x  1 x3  1 x3  1  3  3   Проверка: 10 x1  3x2  3x3  0 0  3  3  0    x1  5 x2  3x3  8  0  5  3  8 верно! 3x  5 x  5 x  10 0  5  5  10  2 3  1 0   Ответ. X  1   1    7