Обобщённое преобразование Фурье, его свойства

Комментарии к Лекции 11 (24.11.2020 г.) § 8-9. Обобщённое преобразование Фурье, его свойства. Интегральное преобразование Фурье называют обобщённым преобразованием, если функцияоригинал 𝑓(𝑥) обладает ограниченным ростом, вследствие чего она не является абсолютно интегрируемой, а интеграл Фурье расходится для действительных значений спектрального параметра α. Как и в интегральном преобразовании Лапласа, сходимость интеграла достигается при комплексных значениях параметра α = σ + iτ . Мнимая часть спектрального параметра должна находиться в «коридоре» между двумя показателями степени роста функции 𝑓(𝑥): τ+ < τ < τ− . (Индексы «+» и «−» относятся к показателям роста функции для значений 𝑥 > 0 и 𝑥 < 0, соответственно.) По указанной причине линия интегрирования в обратном обобщённом преобразовании Фурье проходит не по действительной оси в α-плоскости, а параллельно ей, будучи смещённой на величину τ. В лекции рассматривается пример на вычисление изображения и оригинала для обобщённого преобразования Фурье. Вычисление интеграла в обратном преобразовании производится с использованием леммы Жордана (для получения замкнутого контура интегрирования) и теоремы о вычетах. Свойствам обобщённого преобразования Фурье можно поставить в соответствие свойства преобразования Лапласа, имея в виду связь между спектральными переменными 𝑝 = −iα. § 10. Асимптотические свойства обобщённого преобразования Фурье. Содержание этого параграфа направлено на подтверждение соотношений, которые обусловливают асимптотическое поведение функции-изображения при спектральном параметре α → ∞ и функции-оригинала при 𝑥 → 0. Предварительно оригинал 𝑓(𝑥) разлагается на сумму двух слагаемых: 𝑓(𝑥) = 𝑓+ (𝑥) + 𝑓− (𝑥), где 𝑓± (𝑥) = 𝑓(𝑥)Χ(±𝑥) и Χ – функция Хевисайда. Аналогичное разложение имеется и в спектральной области: 𝐹(α) = 𝐹+ (α) + 𝐹− (α), где 𝐹+ (α) – функция, аналитическая в области τ > τ+ , а 𝐹− (α) – аналитическая в области τ < τ− . Постулируется, что в окрестности точки α = ∞ справедливо разложение в ряд вида 𝑎 𝑛 𝐹+ (α) = ∑∞ 𝑛=0 (−iα)𝑛+1 , 1 ∞+iτ и вычисляется обратное преобразование 𝑓+ (𝑥) = 2π ∫−∞+iτ0 𝐹+ (α)e−iα𝑥 dα , где τ+ < τ0 < τ− . В подынтегральном выражении этого интеграла содержится полюс порядка (𝑛 + 1) в точке α = 0. Так как по определению функция 𝐹+ (α) не имеет особых точек в области τ > τ+ , а линия интегрирования расположена в полосе регулярности, то неизбежно должно быть 0 < τ+ < τ0 . Интеграл вычисляется с применением леммы Жордана, причём замыкание контура интегрирования дугой окружности должно производиться в нижней полуплоскости α-плоскости, так как для 𝑓+ (𝑥) должно быть 𝑥 > 0 (по определению). Результатом вычисления является ряд Маклорена: 𝑓+ (𝑥) = ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 𝑛 𝑥 𝑛! Таким образом, получается правило соответствия асимптотик: если 𝑓+ (𝑥)~𝑥 𝑛 при 𝑥 → +0, то 𝐹+ (α)~α−𝑛−1 при α → ∞ в верхней полуплоскости α. Аналогичный результат имеет место и по отношению к паре функций 𝑓− (𝑥) и 𝐹− (α). § 11. Формула суммирования Пуассона. . Интегральное преобразование Фурье используется как способ получения формулы Пуассона для суммы ряда, построенного из значений непрерывной функции 𝑓(𝑥), для которой существует Фурьеизображение 𝐹(α): 𝑓(𝑥) ≓ 𝐹(α). Пусть для простоты функция 𝑓(𝑥) обладает показателями степени роста τ+ < 0 и τ− > 0, так что в обратном преобразовании Фурье контур интегрирования в комплексной плоскости α может быть совмещён с действительной осью. Требуется вычислить сумму ряда 𝑆 = ∑∞ 𝑛=−∞ 𝑓(𝑎𝑛) , где 𝑎 является шагом дискретизации независимой переменной 𝑥. Формула Пуассона гласит, что 1 𝑎 2𝑚π ). 𝑎 ∞ ∑∞ 𝑛=−∞ 𝑓(𝑎𝑛) = ∑𝑚=−∞ 𝐹 ( Доказательство формулы Пуассона может быть разбито на три этапа. На первом этапе производится разложение суммы ряда на две подсуммы: 𝑆 = 𝑆+ + 𝑆− , где обо−1 значено 𝑆+ = ∑∞ 𝑛=0 𝑓+ (𝑎𝑛) и 𝑆− = ∑𝑛=−∞ 𝑓− (𝑎𝑛). На втором и третьем этапах вычисляются 𝑆+ и 𝑆− , исходя из формулы обратного преобразования Фурье для оригиналов 𝑓+ (𝑎𝑛) и 𝑓− (𝑎𝑛). После перестановки операций интегрирования и суммирования в подынтегральных выражениях образуются геометрические ряды со знаменателем прогрессии 𝑞 = exp(−iα𝑎) . Геометрический ряд сходится при условии, что |𝑞| < 1 . По этой причине в интеграле для 𝑆+ линия интегрирования, параллельная действительной оси, должна быть смещена с неё вниз на расстояние τ1 , причём 0 > τ1 > τ+ . Согласно лемме Жордана, замыкание контура дугой окружности, расположенной в верхней полуплоскости α, сводит вычисление интеграла к сумме вычетов в бесконечной последовательности действительных полюсов α = α𝑚 = 2𝑚π⁄𝑎. В результате получается ряд, членами которого являются значения изображения 𝐹+ (α), вычисленные в точках α𝑚 . Аналогично вычисляется интеграл для 𝑆− с той лишь разницей, что линия интегрирования должна быть смещена с действительной оси вверх на расстояние τ2 , причём τ− > τ2 > 0, а замыкание контура интегрирования теперь происходит в нижней полуплоскости α. В лекции рассмотрен пример на применение формулы суммирования Пуассона. По виду заданного ряда сначала записывается непрерывная функция 𝑓(𝑥) = 1⁄(1 + 𝑥 2 ). Затем вычисляется её изоб∞ ражение по Фурье: 𝐹(α) = ∫−∞ 1 eiα𝑥 d𝑥. 1+𝑥 2 Несобственный интеграл вычисляется с применением теоремы о вычетах и леммы Жордана. Вычисление проводится раздельно для положительных и для отрицательных значений параметра α. Затем выполняется дискретизация параметра α, и результат подставляют в формулу Пуассона. Получившиеся геометрические ряды вычисляются в заπ π мкнутом виде, а их сумма даёт искомый результат 𝑆 = 𝑎 cth (𝑎). § 12. Преобразование Фурье в многомерном случае. Для описания физических явлений применяются, как правило, не одна, а две или три пространственные координаты. Многие разделы математики и теоретической физики используют понятие многомерного (𝑛-мерного) пространства. В этой связи требуется рассматривать многомерное интегральное преобразование Фурье. Схему перехода к многомерному преобразованию наиболее просто можно показать на примере получения двумерного преобразования для функции двух переменных 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ). Будем временно полагать переменную 𝑥2 фиксированным параметром 𝑥2 . Эта функция, как оригинал по переменной 𝑥1 , имеет изображение: 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) ≓ 𝐹(α1 , 𝑥2 ), где α1 – спектральный параметр преобразования по координате 𝑥1 . Теперь функцию 𝐹(α1 , 𝑥2 ) можно рассматривать как оригинал по единственной координате 𝑥2 , которому соответствует изображение со спектральным параметром α2 : 𝐹(α1 , 𝑥2 ) ≓ 𝐹(α1 , α2 ). Функция 𝐹(α1 , α2 ) является, однако, изображением не только по переменной 𝑥2 , но и по переменной 𝑥1 . Следовательно, получено двумерное Фурье-изображение функции двух пространственных переменных: 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) ≓ 𝐹(α1 , α2 ) , и эта операция представляет собой прямое двумерное интегральное преобразование Фурье. Схема получения обратного двумерного преобразования выглядит аналогично; первоначально фиксируется спектральная переменная α2 и осуществляется переход к промежуточному оригиналу 𝑓(𝑥1 , α2 ), а затем от 𝑓(𝑥1 , α2 ) как изображения по α2 переходят к двумерному оригиналу: 𝐹(α1 , α2 ) ≒ 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) . В лекции приведены явные интегральные формулы для прямого и обратного интегральных преобразований Фурье с экспоненциальным ядром. Обобщённые 𝑛-мерные преобразования могут быть компактно записаны с использованием векторной символики. С этой целью вводятся 𝑛-мерные векторы в координатном пространстве 𝑛 измерений 𝒓 = 𝒓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) и такие же векторы в спектральном пространстве 𝛂 = 𝛂(α1 , α2 , ⋯ , α𝑛 ). Прямое 𝑛-мерное интегральное преобразование запишется в виде: ∞ 𝐹(𝛂) = ∫−∞ 𝑓(𝒓)ei𝛂∙𝒓 d𝒓 , где применён знак скалярного произведения векторов «∙». Обратное интегральное 𝑛-мерное преобразование Фурье выглядит таким образом: 1 ∞ 𝑓(𝒓) = (2π)𝑛 ∫−∞ 𝐹(𝛂)e−i𝛂∙𝒓 d𝛂 .