Нормальное распределение изучаемой величины. Проверка статистической гипотезы о соответствии распределения данных нормальному распределению

Раздел 2. Исследование статистических закономерностей в данных Лекция 5. Нормальное распределение изучаемой величины. Проверка статистической гипотезы о соответствии распределения данных нормальному распределению Говоря о соответствии распределения данных (о соответствии распределения значений изучаемой величин) некоторому теоретическому закону распределения, мы будем подразумевать, что некоторое статистическое распределение данных (например, некоторая гистограмма) достаточно хорошо описывается некоторой теоретической функцией (функцией закона распределения). На графике коричневым цветом представлена гистограмма некоторой изучаемой величины. А голубым цветом – график некоторой функции, описывающей зависимость, представленную на гистограмме. Проверка значимости подобных соответствий и будет являться задачей этой темы курса. 1. Нормальный закон распределения Вместо «Нормальный закон распределения изучаемой величины» часто говорят «Нормальное распределение изучаемой величины» или «Изучаемая величина имеет нормальное распределение». И мы тоже так будем говорить. Но это не значит, что какие-то другие изучаемые величины имеют ненормальный закон распределения (с точки зрения привычного нам слова «ненормальный»). Нормальный закон распределения также называют: гауссово распределение, распределение Гаусса, распределение Гаусса-Лапласа. Нормальный закон распределения – одно из распределений значений изучаемой величины, имеющее основополагающую роль в анализе данных. Главным образом, из-за того, что корректное использование методов проверки статистических гипотез (да и многих других методов анализа данных) предполагает знание о наличии нормального закона распределения в экспериментальных данных. Раздел 2. Исследование статистических закономерностей в данных На практике изучаемая величина может иметь нормальный закон распределения, когда на неё оказывает влияние большое число случайных факторов. При этом действие каждого фактора незначительно. Историческая справка. В 1809 году немецкий математик, механик, физик и астроном Карл Фридрих Гаусс одновременно с П. Лапласом в сочинении «Теория движения небесных тел» использовал формулу нормального распределения для описания случайных ошибок, возникающих в результате многократных измерений движений небесных тел. К.Ф. Гаусс внес настолько большой вклад в разработку теории нормального распределения, что впоследствии это распределение стали назвать гауссово распределение или распределение Гаусса-Лапласса. В начале ХХ века бельгийский математик, астроном и социолог Адольф Кетле одним из первых применил нормальный закон распределения случайной величины к анализу биологических и социальных процессов. Изучая распределение солдат американской армии по росту, Адольф Кетле обратил внимание, что распределение роста подчиняется нормальному закону. Он писал: «…Человеческий рост, изменяющийся, по-видимому, самым случайным образом, тем не менее подчиняется самым точным законам, и эта особенность свойственна не только росту, она проявляется также в весе, силе, быстроте передвижений человека, во всех его физических … и нравственных способностях. Этот великий принцип… разнообразящий проявление человеческих способностей…кажется нам одним из самых удивительных законов мира» (А.Кетле, 1911). В настоящее время нормальное распределение широко используется в биологии, медицине, экономике и других областях науки. Формула, описывающая нормальный закон распределения случайной величины, имеет следующий вид: где: μ — среднее арифметическое в генеральной совокупности; σ — стандартное отклонение в генеральной совокупности, е — основание натуральных логарифмов, приблизительно равное 2,719, π — число, приблизительно равное 3,142; x — переменная, играющая роль конкретного значения изучаемой величины. Примечание: Студенты, у которых уже был курс высшей математики, могут построить схематически график этой функции на основании её свойств, изучив свойства этой функции. Студенты, у которых еще будет курс теории вероятностей и математической статистики познакомятся с этой функцией на этом курсе. Раздел 2. Исследование статистических закономерностей в данных Для нас сейчас важно только то, какой вид имеет эта функция, чтобы можно было сравнивать её с гистограммой и выдвигать гипотезы о соответствии статистического распределения изучаемой величины нормальному закону распределения. Для начала давайте посмотрим, как выглядит график, построенный на основе этой формулы. Зададим значения μ=0 и σ=1. Хочу заметить, что μ и σ — это просто числа. Их еще называют параметрами распределения. Поэтому статистические критерии, в формулу расчета которых входят параметры распределения называют параметрическими. Кривая нормального распределения вероятностей при μ=0 и σ=1 имеет вид (рис.1). Рис.1. График плотности вероятностей нормального распределения при μ=0 и σ=1. Осью симметрии графика является прямая μ=0, а точками перегиба точки: -1 +1, т.е. μ-σ и μ-σ. Если мы поменяем параметры, то получим следующее. Изменение параметра μ будет сдвигать график вдоль оси Х. Например при μ=3 график сместится вправо вдоль оси Х (рис.2). Раздел 2. Исследование статистических закономерностей в данных Рис.2. График плотности вероятностей нормального распределения при μ=3 и σ=1. Если мы оставим μ=0, а изменим параметр σ, например σ=3, то получим распределение с большим размахом (рис.3). Рис.3. График плотности вероятностей нормального распределения при μ=0 и σ=3. 2. Свойства нормального распределения 1. Нормальная кривая имеет колокообразную форму, симметричную относительно точки x=µ, с точками перегиба, абсциссы которых отстоят от µ на ± σ. 2. Нормальное распределение полностью определятся двумя параметрами: значением генерального среднего (µ) и генерального стандартного отклонения (). 3. Медиана и мода нормального распределения совпадают и равны µ. Раздел 2. Исследование статистических закономерностей в данных 4. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю. 5. В области –σ < x <σ на графике сосредоточено 68% площади распределения, в области –2σ