Непрерывность функции вещественной переменной

1 Непрерывность функции вещественной переменной Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x0 , если она удовлетворяет трём условиям: a) Функция определена в точке x0 , т.е. существует f ( x0 ) . b) Функция имеет конечный предел при x → x0 . c) Этот предел равен значению функции в точке x0 , т.е. lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Данную формулу можно записать в виде ( ) lim f ( x ) = f lim x . x → x0 x → x0 Это означает, что для непрерывной функции можно менять местами символы предела и функции. Если нарушено хотя бы одно из перечисленных условий, то функция не непрерывна. Точки, в которых нарушается непрерывность, называются точками разрыва функции. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны при всех значениях x , для которых они определены. Классификация точек разрыва функции Пусть существуют в точке x = x конечные пределы слева ( A1 ) и справа ( A2 ) функции y = f ( x ) , где A1 = lim f ( x ) , A2 = lim f ( x ) . Тогда x → x0 − 0 x → x0 + 0 1. Если A1 = A2 ≠ f ( x0 ) , то точка x0 – точка устранимого разрыва I рода. 2. Если A1 ≠ A2 , то точка x0 – точка неустранимого разрыва I рода. 3. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ∞ в точке x0 , то x0 называется точкой разрыва II рода. Теоремы о непрерывных функциях 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией (за исключением тех значений аргумента, при которых знаменатель равен нулю). 2 ( ) ( ) 2. Если функция u = ϕ x непрерывна в точке x0 , а функция y = f u не- ( ) прерывна в точке u0 = ϕ x0 , то сложная функция f (ϕ ( x ) ) непрерывна в точке x0 . ( ) 3. Если функция y = f x непрерывна и строго монотонна на отрезке  a , b  ( ) оси Ох то обратная функция x = ϕ y также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке  c , d  оси Оу. Исследование функции с помощью производных Достаточные условие возрастания и убывания функции на промежутке: Функция y = f ( x ) убывает на промежутке, если внутри него f ′ ( x ) < 0 , и возрастает , если f ′ ( x ) > 0 . Необходимое условие монотонности функции на промежутке: Если функция возрастает на некотором промежутке, то f ′ ( x ) ≥ 0 на этом промежутке, если убывает , то f ′ ( x ) ≤ 0 , т.е. в отдельных точках может равняться нулю. Пример. Исследовать функцию f ( x ) = x 3 − 3 x − 4 на возрастание и убывание. Решение. ООФ: ( −∞ , +∞ ) , f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3 ( x − 1 )( x + 1 ) , f ′ ( x ) = 0 при x = 1 и x = −1 . Отметим знаки f ′ ( x ) справа и слева от каждой из этих точек – рис.3. Рис. 3 Ответ: функция возрастает на интервалах ( −∞ , −1 ) и (1 , +∞ ) и убывает на интервале ( −1 , 1 ) . Экстремумы функций Точка x0 называется точкой максимума функции f ( x ) , если в некоторой её окрестности f ( x ) ≤ f ( x0 ) . 3 Точка x1 называется точкой минимума функции f ( x ) , некоторой её окрестности f ( x ) ≥ f ( x1 ) . Значения функции в точках x0 и x1 называются соответственно максимум и минимум функции и объединяются общим названием экстремум функции. Поскольку понятие экстремума связано с достаточно малой окрестностью точки, его часто называют локальным. На одном промежутке ( a ,b ) функция может иметь несколько экстремумов – рис. 4. Рис. 4 На рис 4 на промежутке ( a ,b ) имеется четыре локальных экстремума − 2 максимума (в точках x0 и x 2 ) и 2 минимума (в точках x1 и x 3 ). Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке называются глобальным экстремумом, т.е. наименьший минимум и наибольший максимум среди всех локальных. 1. Необходимое условие экстремума: для наличия экстремума функции y = f ( x ) в точке x0 необходимо, чтобы её производная в этой точке равня- лась нулю или не существовала. Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими или стационарными. Они должны входить в область определения функции. 2. Достаточные условия экстремума функции: a) Пусть f ( x ) − дифференцируемая функция. Тогда, если f ′ ( x ) при переходе через точку x0 меняет знак с “+” на “−”, то x0 − точка локального максимума, а если с “−” на “+”, то x0 – точка локального минимума. 4 b) Пусть f ( x ) − дважды дифференцируемая функция и f ′ ( x 0 ) = 0 . Тогда, если f ′′ ( x 0 ) > 0 , то x0 − точка минимума, если f ′′ ( x 0 ) < 0 , то x0 − точка локального максимума. Задача отыскания глобального экстремума функции на отрезке Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции применяется при решении многих практических задач, например, транспортная задача о перевозке груза с наименьшими затратами, организация производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и т.д. Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [a ,b ] . Своё наибольшее и наименьшее значение она может принять либо во внутренней точке x0 отрезка [a ,b ] , либо на границе отрезка, т.е. при x0 = a или x0 = b . Если x0 ∈ ( a ,b ) , то x0 следует искать среди критических точек функции. Отсюда получаем правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a ,b ] : 1. Найти критические точки на интервале ( a ,b ) . 2. Вычислить значения функции в критических точках. 3. Вычислить значения функции на концах отрезка [a ,b ] . 4. Среди всех вычисленных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Замечание. Если критических точек на отрезке [a ,b ] нет, это означает, что функция на этом отрезке монотонна и на одном его конце принимает наибольшее значение, а на другом − наименьшее. Выпуклость графика функции. Точки перегиба График дифференцируемой функции y = f ( x ) называется выпуклым вниз на интервале ( a ,b ) , если он расположен выше любой её касательной на этом интервале, и называется выпуклым вверх – если расположен ниже любой её касательной на этом интервале. Любая дуга графика выпуклой вверх на интервале ( a ,b ) 5 функции лежит выше хорды, соединяющей концы дуги, а дуга графика выпуклой вниз функции − ниже хорды – см. рисунок: Достаточные условия выпуклости функции y = f ( x ) : Если f ′′ ( x ) > 0 внутри некоторого промежутка, то функция выпукла вниз на этом промежутке, если f ′′ ( x ) < 0 − то выпукла вверх. Точкой перегиба называется точка графика, разделяющая интервалы с разной выпуклостью. В окрестности этой точки кривая лежит по разные стороны от касательной, т.е. перегибается через касательную. На рисунке кривая y = f ( x ) выпукла вверх на интервале ( a , x0 ) и выпукла вниз на интервале ( x 0 ,b ) , M ( x 0 , f ( x 0 ) ) − точка перегиба. Необходимое условие перегиба в точке M ( x 0 , f ( x 0 ) ) : f ′′ ( x0 ) = 0 . Достаточное условие перегиба в точке M ( x 0 , f ( x 0 ) ) : f ′′ ( x ) меняет знак при переходе через точку x0 , в которой она равна нулю или не существует. Асимптоты кривых Асимптотой графика функции называют прямую, расстояние до которой от 6 лежащей на кривой точки стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат. 1. Вертикальной асимптотой графика функции y = f ( x ) называют прямую x = a , если либо lim f ( x ) = ∞ , либо lim f ( x ) = ∞ , либо lim f ( x ) = ∞ . Вертиx →a x →a +0 x →a −0 кальные асимптоты функции следует искать в точках разрыва II рода или на концах её области определения − рис. 1. 2. Горизонтальной асимптотой графика функции y = f ( x ) называют прямую y = b , если существует конечный предел lim f ( x ) = b − рис. 2. x→ ∞ 3. Наклонной асимптотой графика функции y = f ( x ) называют прямую y = kx + b , если f ( x ) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы k = lim f ( x ) ≠ 0 , b = lim [ f ( x ) − kx ] − рис. 3. Если хотя бы один из этих x→ ∞ x x→ ∞ пределов не существует или равен ∞ , то наклонных асимптот нет. Рис. 1 Рис. 2 Рис.3 Замечание. Если конечен только один из пределов при x → +∞ или при x → −∞ , то наклонные асимптоты могут быть односторонними (рис. 2, 3). Горизонтальная асимптота − частный случай наклонной при k = 0 . Асимптоты могут быть разными при x → +∞ и при x → −∞ , поэтому эти случаи рассматривают отдельно.