Непрерывная зависимость решения первой краевой задачи и задачи Коши

Лекция 13. Непрерывная зависимость решения первой краевой задачи и задачи Коши для уравнения теплопроводности от исходных данных 1. Непрерывная зависимость решения первой краевой задачи от граничного и начального условий и правой части уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу где . Теорема (об оценке решения). Пусть , и . Тогда для произвольной точки где . Доказательство. Рассмотрим функции , где , и , где . Тогда в На основании и боковой поверхности цилиндра и . По принципу максимума Отсюда и , а значит и . Теорема доказана. Следствие 1. В условиях доказанной теоремы Доказательство. В силу теоремы Следствие 2 (непрерывная зависимость решения от исходных данных). Пусть и – решения первой краевой задачи класса для исходных данных и соответственно, . Тогда Доказательство. Функция удовлетворяет краевой задаче , , . Из следствия 1 вытекает, что 2. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начального условия и правой части уравнения. Рассмотрим теперь задачу Коши Теорема (об оценке решения задачи Коши). Пусть (сохраняются обозначения предыдущей лекции). Тогда Доказательство. Введем функции и . Тогда в . Применив к функциям и принцип максимума в неограниченной области, получим: Отсюда, поскольку , приходим к неравенствам: что доказывает теорему. Как и при рассмотрении первой краевой задачи, получаем 2 следствия. Следствие 1. В условиях доказанной теоремы Следствие 2 (непрерывная зависимость решения от исходных данных). Пусть и – ограниченные решения задачи Коши класса для исходных данных и соответственно, причем ограничены в . Тогда Замечание. Утверждения вторых следствий из обеих доказанных в этой лекции теорем означают, в частности, что как первая краевая задача, так и задача Коши для уравнения теплопроводности корректно поставлены. То же относится и к остальным краевым задачам, на которых мы, однако, останавливаться не будем. 3. Формула интегрирования по частям. В заключение лекции приведем простое, но полезное утверждение, которое неоднократно понадобится нам в дальнейшем. Лемма (формула интегрирования по частям). Пусть . Тогда где – единичный вектор внешней нормали к области . Доказательство. К векторному полю , где стоит на i-ом месте, применим теорему Гаусса-Остроградского: . Имеем: откуда и следует утверждение леммы.