Непрерывная случайная величина, плотность распределения, основные непрерывные распределения

ЛЕКЦИЯ 6 НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Пусть ξ случайная величина, Fξ (x ) - ее функция распределения, для которой выполнены характеристические свойства 1-3. 1. Fξ (x ) - неубывающая 2. Fξ (x ) - непрерывна слева 3. Fξ (− ∞ ) = 0 , Fξ (∞ ) = 1 Кроме того P(a ≤ ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a) . Определение: ξ называется абсолютно непрерывной случайной ( в дальнейшем просто непрерывной случайной величиной ) , если существует неотрицательная, инегрируемая на всей числовой оси функция fξ (x) , такая что Fξ ( x ) = x ∫ f ξ (t )dt (*) −∞ Определение: Функция fξ (x ) в этом интегральном представлении называется плотностью распределения случайной величины ξ. Заметим, что в точках непрерывности Fξ′ ( x ) = f ξ ( x ) . fξ ( x ) имеет место равенство Свойства плотности распределения: 1. fξ ( x) ≥ 0, 2. fξ ( x) интегрируема на всей числовой оси и ∞ ∫ fξ (x )dx = 1 , −∞ Действительно, с помощью (*) получим: b P(a ≤ ξ < b ) = Fξ (b ) − Fξ (a ) = ∫ fξ (x )dx , a отсюда: ∞ ∫ fξ (x )dx = Fξ (∞ ) − Fξ (− ∞ ) = 1 −∞ Свойства 1 и 2 являются характеристическими, то есть для любой f (x) , удовлетворяющей этим свойствам, найдется случайная величина ξ , для которой f ( x ) является плотностью распределения. Полезно заметить, что интеграл b ∫ fξ (x )dx , a а значит и вероятность P(a ≤ ξ < b ) , есть площадь криволинейной трапеции (см. рис. 8.). Если ξ - непрерывная случайная величина, то для любого ее значения ξ0 P(ξ = ξ 0 ) = 0 , так как  ∞  1  1  P(ξ = ξ 0 ) = Р ∏ ω : ξ 0 ≤ ξ (ω ) < ξ 0 +   = lim P ξ 0 ≤ ξ < ξ 0 +  = lim n → ∞ n  n  n →∞   1  Отсюда получим, что: ξ0 + 1 n ∫ξ f ξ (x )dx = 0 . P(a < ξ < b ) = P(a ≤ ξ ≤ b ) = P(a < ξ ≤ b ) = P(a ≤ ξ < b ) . Основные непрерывные распределения 1. Равномерное распределение на интервале (a, b ) : равномерно распределена на (a, b ) , если: C , x ∈ (a, b ) fξ (x ) =  0, x ∉ (a, b ) (рис. 9).Из свойств плотности имеем C > 0 , ξ Р(-∞<ξ<+∞) есть площадь прямоугольника S = (b − a )C = 1 ⇒ C = 1 b−a Следовательно, окончательно имеем:  1 , x ∈ (a, b )  fξ (x ) =  b − a 0, x ∉ (a, b ) Пример 1. ξ - равномерно распределена на интервале (− 1,3) . Найти: 1. P(ξ < 2) 3  2. P ξ <  2  3. P(ξ < −2) 4. P(− 2 < ξ < 4) Получим: 1 3 P(ξ < 2) = P(−2 <ξ < 2) = P(−1<ξ < 2) = ⋅ 3 = 4 4 3 1 5 5  P ξ <  = ⋅ = 2 4 2 8  P(ξ < −2) = 0 P(− 2 < ξ < 4) = 1 2. Показательное распределение: случайная величина ξ распределена показательно с параметром λ > 0 , если fξ (x ) имеет вид: Ce − λx , x ≥ 0 fξ (x ) =  0, x < 0 Из условия: ∞ ∞ −λx ∫ fξ (x)dx = 1 = C∫ e dx = С λ, получим: C = λ . График плотности распределения при различных λ1 < λ < λ2 представлен на рисунке 11. −∞ ξ Пример 2. известно, что P(ξ - распределена по показательному закону; < 1) = Найти P ( ξ < 2 ) . 1 . 2 Решение: из условия P(ξ 1 < 1) = λ ∫ e −λx dx = 1 , 2 получим: 1 1 ⇒ 1 − e −λ = , 2 2 λ = ln 2 . 2 P(ξ < 2) = λ ∫ e −λx dx = 1 − e −2λ , при λ = ln 2 , получим: P (ξ < 2) = 1 − e ln 1 4 = 3 . 4 3. Нормальное распределение с параметрами m , σ . (обозначается (ξ : N (m, σ )) ), σ > 0 . ξ - распределена нормально, если ее плотность распределения имеет вид: − 1 fξ (x ) = e σ 2π ( x −m )2 2σ 2 , σ >0 Характеристическое свойство 1 плотности найдем: выполнено: fξ (x ) ≥ 0 , ∞ ∫ fξ (x )dx . −∞ Имеем: I= 1 σ 2π ∞ ∫e − ( x −m )2 dx = 2σ 2 x−m −∞ σ =t = 1 2π ∞ ∫e − t2 2 dt . −∞ Рассмотрим: ∞ x2 y2 ∞ ∞ − − 1 −2 1 2 2 I = e dx ∫ e dy = ∫ ∫ e 2π −∫∞ 2π −∞ −∞ 1 = 2π 2π ∞ ∫ dφ ∫ e − ρ2 2 ρdρ = x2 + y2 2 dxdy= x = ρ cosφ = y = ρ sinφ 1 ⋅ 2π = 1 ⇒ I = 1 . 2π Таким образом характеристическое свойство 2 также выполнено. На рисунке 12 представлен график f о ( x ) при фиксированном m и различных σ : σ 1 < σ < σ 2 Площадь под каждой кривой равна 1. Вероятность попадания в интервал нормальной случайной величины Имеем: x − m )2 ( − b 2 1 e 2σ dx a σ 2π - этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях, он относится к табулируемым функциям. P(a < ξ < b ) = ∫ b ( x−m) b−m 2 − 1 I (а, в) = e ∫ σ 2π a 2σ 2 x−m 1 dx = =t = σ 2π σ t2 − 2 ∫e dt a−m σ Введем в рассмотрение Φ( x ) = 1 2π x ∫e − t2 2 dt . Эта функция является первообразной для подинтегральной функции в I(a,b) и затабулирована с небольшим шагом изменения x , для положительных x . Φ(x ) - нечетна: Φ(−x) = 1 −х t2 − 2 e ∫ 2π dt= t = −τ = − ее график представлен на рисунке 13. 1 x e ∫ 2π τ2 − 2 dτ = −Φ(x) , Φ(x ) довольно быстро приближается к Φ(3) ≈ 0,497 1 уже при x = 3 , 2 Получим:  b − m   a − m P(a < ξ < b) = I (a, b) = Φ  − Φ . σ    σ  Замечание: кроме Φ(x ) рассматривают также t2 x − 1 2 Φ * (x ) = e dt . ∫ 2π −∞ Ее таблицы есть в ряде справочников, это функция общего вида и связана с Φ(x ) соотношением: Φ * (x ) = + Φ (x ) . Соответственно: 1 2 b−m a−m P (a < ξ < b ) = Φ *   − Φ * .  σ   σ  Правило 3у . Пусть: ξ : N (m, σ ) . Найдем: P(ξ − m < 3σ ) = P(m − 3σ < ξ < m + 3σ ) =  m + 3σ − m   m − 3σ − m  = Φ  − Φ  = 2Φ (3) ≈ 1 . σ σ     Таким образом, попадание «нормальной» случайной величины в интервал (m − 3σ , m + 3σ ) считается почти достоверным событием.